автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Операторные методы численного исследования задач о бифуркациях в моделях популяционной динамики

На правах рукрписи Вышинский Александр Алексеевич

ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ О БИФУРКАЦИЯХ В МОДЕЛЯХ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

9 0Е5 Ш

005009878 уфа_Ш2

005009878

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений ФГБОУ ВПО "Башкирский государственный университет"

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Юмагулов Марат Гаязович.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Красносельский Александр Маркович

(Институт проблем передачи информации им, А. А. Харкевича РАН г. Москва);

доктор физико-математических наук, профессор

Хабибуллин Исмагил Талгатович

(Институт математики с вычислительным центром УНЦ РАН г. Уфа).

Ведущая организация: Пермский государственный национальный исследовательский университет, г. Пермь.

Защита диссертации состоится 2 марта 2012 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д 212.288.06 при ФГБОУ ВПО "Уфимский государственный авиационный технический университет" по адресу: 450025, г. Уфа, Республика Башкортостан, ул. Карла Маркса, д. 12, корп. 2 (конференц-зал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке университета.

Автореферат разослан 2012 г.

Ученый секретарь ,

диссертационного совета ^^

доктор физ.-мат. наук, профессор БУЛГАКОВА Г. Т.

Общая характеристика работы

Актуальность работы. Работа посвящена вопросам качественного и численного исследования математических моделей популяционной динамики — широкого класса моделей, возникающих при изучении динамики биологических популяций, экологических систем, моделей конкуренции в экономике и др. Интерес специалистов к исследованию таких моделей связан не только с важными приложениями, но и с несомненным теоретическим значением этих исследований. Существенный вклад в разработку соответствующих моделей и методов их исследования внесли Ю.М. Апонин, А.Д. Базыкин, A.C. Братусь, В. Вольтерра, Г.Ф. Гаузе, А.Н. Колмогоров, А. Лотка, Дж. Марри, Ю. Одум, Г. Остер, В.Н Раз-жевайкин, Г.Ю. Ризниченко, К.Е. Уатт, И.Л. Хабибуллин, А.И. Хибник, J.-M. Ginoux, Т. Moser и др.

Дифференциальные уравнения математических моделей популяционной динамики имеют специфические свойства фазовых портретов; они, как правило, зависят от многих параметров, имеют особенности качественных перестроек и др. Эти обстоятельства затрудняют разработку общих методов исследования таких уравнений. Известные приближенные схемы исследования интересующих режимов функционирования системы и компьютерное моделирование проводятся, как правило, на основе прямого численного расчета, что снижает эффективность предлагаемых методов исследования.

Одной из наиболее интересных и в то же время важной с теоретической и практической точек зрения является задача о локальных бифуркациях в системах, описываемых дифференциальными уравнениями моделей популяционной динамики. Такие бифуркации могут сопровождаться возникновением новых стационарных состояний, периодических колебаний малой амплитуды, инвариантных торов и др. Теория локальных бифуркаций детально разработана для динамических систем, зависящих от одного скалярного параметра- и у которых коразмерность бифуркаций равна одному. Исследованию таких систем посвящена обширная литература, здесь предложен ряд эффективных качественных и приближенных методов исследования. Существенный вклад в развитие указанной теории, в разработку общих методов исследования бифуркаций и их приложений к анализу бифуркаций в моделях популяционной динамики внесли A.A. Андронов, В.И. Арнольд, А.Д. Базыкин, Р.И. Богданов, Дж. Гукенхеймер, A.M. Красносельский, М.А. Красносельский,

Ю.А. Кузнецов, H.A. Магницкий, A.M. Молчанов, Ю.М. Свирежев, Дж. Форрестер, Ф. Холмс, Э.Э. Шноль и др.

Дальнейшее качественное и приближенное исследование основных сценариев перестроек (бифуркаций) в дифференциальных уравнениях моделей популяционной динамики представляется актуальной и важной задачей. Здесь особо важны разработки общих методов исследования многопараметрических задач, позволяющих проводить анализ бифуркаций различной коразмерности.

Важное место при изучении бифуркационных явлений занимает компьютерное моделирование. Как правило, чем сложнее бифуркация, тем большее значение принимает необходимость компьютерного моделирования. Более того, при изучении сложных бифуркационных явлений компьютерные вычисления часто выходят на первый план. Аналитические методы исследования задач о бифуркациях, как правило, сталкиваются с трудностями вычислительного характера при анализе конкретных моделей. Поэтому здесь актуальным направлением является разработка численных методов компьютерного моделирования для изучения сложных систем, охватывающих несколько степеней свободы.

Целью исследования является разработка методов исследования основных сценариев локальных бифуркаций в моделях популяционной динамики. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка численно-аналитических методов исследования задач о многопараметрических бифуркациях в моделях популяционной динамики.

2. Получение эффективных достаточных признаков основных сценаг риев многопараметрических бифуркаций в моделях популяционной динамики.

3. Разработка и обоснование итерационных процедур, позволяющих строить бифуркационные решения, их амплитуды и периоды, а также соответствующие значения параметров.

4. Разработка программ численного исследования задач о многопараметрических бифуркациях в моделях популяционной динамики.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, общие методы качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейного анализа, методы теории бифуркаций,

методы приближенного решения операторных уравнений, метод функ-ционализации параметра.

Научная- новизна определяется проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для анализа бифуркационных явлений в многопараметрических динамических системах. При этом получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан новый операторный метод построения бифурцирующих решений моделей популяционной динамики, зависящих как от одного, так и от многих параметров.

2. Разработаны методы конструирования операторных уравнений, позволяющих проводить эффективные аналитические и численные исследования многопараметрических задач о бифуркации периодических решений моделей популяционной динамики.

3. Предолжены эффективные алгоритмы решения многопараметрических бифуркационных задач в моделях популяционной динамики и разработан соответствующий комплекс программ.

Практическая и теоретическая значимость. В работе предлагается новый операторный метод качественного и численного исследования основных сценариев локальных бифуркаций в моделях популяционной динамики, Полученные теоретические результаты позволяют провести детальный анализ бифуркаций широкого класса моделей популяционной динамики. Результаты доведены до расчетных формул, алгоритмов и программ численного исследования задач о многопараметрических бифуркациях. Разработан программный комплекс, позволяющий производить вычислительный анализ поставленных задач. Предложенные схемы, процедуры и программы апробированы при решении ряда практических задач: задач о бифуркации двукратного равновесия, о бифуркациях Андронова-Хопфа и Неймарка-Саккера в системах типа хищник-жертва с однофаеторными и двуфакторными модификациям, задачи о бифуркации автоколебаний в моделях Лоренца, Лэнгфорда и др.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Операторный метод для исследования бифурцирующих решений моделей популяционной динамики, зависящих как от одного, так и от многих параметров.

2. Методы конструирования операторных уравнений в многопараметт ричееких задачах о бифуркации периодических решений дифференциальных уравнений моделей популяционной динамики.

3. Итерационная процедура численного исследования основных сценариев бифуркаций в многопараметрических системах.

4. Комплекс проблемно-ориентированных программ, позволяющий проводить компьютерное моделирование основных сценариев бифуркаций в моделях популяционной динамики. В качестве приложения получены решения, возникающие при бифуракциях Андронова-Хопфа и Неймарка-Саккера в моделях типа "хищник-жертва" с различными модификациями, в моделях Лоренца, Лэнгфорда и др.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Третьей Всероссийской научно-практической конференции "Проектирование инженерных и научных приложений в среде МаЛаЬ"(г. Санкт-Петербург, факультет ПМ-ПУ СПбГУ, 23-26 октября 2007 г.), на международной научной конференции "Колмогоровские чтения г V. Общие проблемы управления и их приложения. (ОПУ-2011)" (г. Тамбов, 10-14 октября 2011 г.), на научной конференции "Нелинейные уравнения и комплексный анализ"(г. Уфа, 13-17 декабря 2010 г.), на научно-практической конференции "Прикладная математика и информационные технологии в науке и образовании" (г. Сибай, СИБашГУ, 23-24 мая 2008 г.), на Международной научной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные проблемы"(г. Стерлитамак, 24-28 июня 2008 г.), на VI Уфимской международной конференции "Комплексный анализ и дифференциальные уравнения"(г. Уфа, 3-7 октября 2011 г.), на научных семинарах кафедры дифференциальных уравнений БашГУ (руководитель — д.ф.-м.н., профессор Султанаев Я.Т.), кафедры математического моделирования БашГУ (руководитель — д.ф.-м.н., профессор,Спивак С.И.), на научных семинарах кафедры прикладной математики и информационных технологий СИБашГУ (руководитель - д.ф.-м.н., профессор Юмагулов М.Г.)

Публикации. Основные результаты опубликованы в работах [1]-[И], при этом статьи [1]-[5] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК. Автор также имеет свидетельство об официальной регистрации программного продукта.

Личный вклад соискателя. Постановка основных задач принадлежит научному руководителю. Основные результаты диссертации полу-

чены автором самостоятельно. При выполнении работ, опубликованных в ■ соавторстве, соискатель принимал участие в обосновании предлагаемых алгоритмов, д также им получены основные результаты компьютерного моделирования.

Объем и структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, четырех разделов, заключения, списка литературы. Объем диссертации составляет 118 страниц основного машинописного текста, включая: 10 рисунков, список литературы из 106-ти наименований.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, сформулированы цель и основные задачи исследования, приводится обзор литературных источников, кратко излагается содержание работы.

В первой главе основное внимание уделено изучению систем, описываемых дифференциальными уравнениями

' x'1=xigi(x,n),

^ x'2 = x2g2{x,ß), ^

. x'N = xNgN(x,ß),

где х = (zi, х2, ..., ялг), ß € Rk. Система (1) изучается в первом октанте К+ = {х € Rn : Xi ^ 0}. Систему (1) называют системой попу-ляционной динамики (или популяционной моделью Колмогорова), если выполнены условия:

• функции (х, ß) являются гладкими по совокупности переменных X S К+, ß 6 Rk,

• частные производные функций ß) по Xj (при i ф j) не меняют знак при любых значениях х 6 К+.

Систему (1) удобно представлять в виде

х' = D(x)g(x, ß), (2)

где .

Xi 0 • ■ 0 " 9i(x, ß)

D(x) = 0 х2 ■ ■ 0 , ß) = 32(х, ß)

0 0 • • xN . 9n{х, ß)

Дифференциальные уравнения вида (1) возникают при математическом моделировании многих объектов в биологии, экологии, экономике, .теории игр и др.; они описывают динамику взаимодействующих систем. Особенно широкое распространение такие уравнения получили в биологии и экологии; в частности, в биологических моделях, описываемых уравнениями вида (1), переменные a;¿ обычно означают численность какой-либо биологической популяции. К системам популяционной динамики относятся модель Вольтерры-Лотки и её модификации, модели .Ферхюльста, Моно, Мак-Артура и др. В экологическом моделировании известны, например, модель Свирежева, модель очистки сточных вод с пороговым эффектом. В экономической теории к моделям популяционной динамики относятся, например, модель Гудвина, динамические модели спроса - предложения и др.

В первой главе показано, что в системе (1) при изменении параметров возможны различные бифуркационные явления, в частности бифуркации двукратного равновесия, бифуркации Андронова-Хопфа, Неймарка-Саккера. Специфика соответствующих бифуркаций в моделях популяционной динамики состоит в том, что система (1) обычно зависит от многих параметров, коразмерность бифуркации часто превышает единицу, а сами бифуркации во многих представляющих интерес моделях происходят вблизи координатных осей или плоскостей.

В первой главе изучаются также топологические характеристики неподвижных точек системы (1), качественные признаки основных сценариев бифуркаций.

Во второй главе приводится операторный метод исследования основных сценариев локальных бифуркаций, являющийся основным при изучении локальных бифуркаций в моделях популяционной динамики. Предлагаемый метод основан на переходе от задачи о бифуркации для системы (1) к эквивалентной в естественном смысле задаче о бифуркации малых ненулевых решений операторного уравнения вида

х = B{ii)x + b{x,¡j,), x£Rn, ¡i£Rk, (3)

где В(ц) — линейный оператор, а Ь(х,ц) — нелинейный непрерывный оператор, удовлетворяющий соотношению = о(||х||) при ||я|| -*

0.

Уравнение (3) при всех ц имеет нулевое решение х е 0. В задаче о бифуркации интерес представляют ненулевые решения, возникающие в окрестности нулевого решения.

Пусть е € RN - некоторый ненулевой вектор; значение ¡íq назовем правильной точкой бифуркации уравнения (3) по направлению вектора е, если существует функция 5(е), S(s) = о(е) при е —► 0, такая, что для каждого е > 0 найдется ц(е) £ S{¡ло,е), при котором уравнение (3) имеет ненулевое решение х(е) е 5(ее,5(е)) (здесь 5(хо,г) — шар радиуса г с центром в точке xq).

Правильная точка бифуркации соответствует тому, что уравнение (3) имеет семейство бифурцирующих решений ц(е) и x(s) так, что ц{е) —> цо и ||rr(e) - erejj = о(е) при е —> 0.

Предполагается, что число 1 является собственным значением оператора В(цо) кратности к. При этом собственное значение может быть как полупростым, так и не полупростым. В работе рассмотрены оба случая.

Здесь ограничимся случаем, когда Bq — В(/хо) имеет полупростое собственное значение 1 кратности к, т.е. пусть существует линейно независимая система из собственных векторов e¿: Boe¿ = е<, i = Сопряженный оператор B¡j¡ также имеет полупростое собственное значение 1 кратности к, которому отвечают собственные векторы е-: BJe* = е*, г = 1, к. Векторы e¡ и ej можно выбрать из соотношений: (е,,е*) = 1, (е*, ej) = 0 при i ф j, i = 1, j = 1, к.

Теорема 1. Пусть оператор В(цо) имеет полупростое собственное значение 1 кратности к и для некоторого ej0 имеет место соотношение:

Здесь В^ = В'^цо), г = 1 ,к, & - компоненты к-мерного вектора р. Тогда ро является правильной точкой бифуркации уравнения (3) по направлению вектора е^.

Для детального изучения правильной бифуркации уравнения (3) в условиях теоремы 1 во второй главе предлагается следующий метод, -л На первом этапе рассматривается функционализированное уравнение

где ц(х,е) = \р,1(х,е),Ц2(х,е), ...,рк(х,е)], щ{х,е) - непрерывные функционалы, которые предлагается выбрать в виде

Д = det

{B^ek,e\) (B'^el) ■■■ (В'^а1е\) (В'^е*2) (B^e^eQ ■■■ (B^eja,e¡)

(В'ъЪЛ) (B'^el) ... (B¡ikeJa,et)

ф0. (4)

X = B^x, s))x + b[x, ¡J,{x, £■)],

(5)

Здесь е > 0 - вспомогательный малый параметр. Если х* - решение уравнения (5), то х* - решение уравнения (3) при ц ~ ц{х*,е).

На втором этапе уравнение (5) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого (5) представляется в виде

Ро(х, е) + ы{х, е) = 0, (6)

где ^(ж, е) = х - В[ц(х, е)]®, ы{х, е) = -Ь[®, ц{х, с)].

Положим Хй ~ ее3-0; оператор Ро(х,е) дифференцируем по Фреше в окрестности вектора Хо. Из соотношения (4) следует, что существует ограниченный оператор Го = [-^(а^е)]-1 : Я**, при этом опе-

ратор Го не зависит от е.

Основным утверждением, позволяющим строить бифурцирующие решения уравнения (3) является

Теорема 2. При всех достаточно малых е > 0 уравнение (6) имеет в шаре £>(хо> единственное решение х(е), которое может быть получено как предел последовательных приближений

хп+1 = хп - Г0Г0(х„, е) - Г0ю(хп, е), га = 0,1,2,... (7) при этом ||а:(е) - ее|| = о(е), д(х(е),е) —► /¿о при е

Теоремы 1 и 2 являются базовыми в предлагаемых в главах 3 и 4 операторных методах исследования задач о многопараметрических бифуркациях в моделях популяционной динамики, а также в разработке соответствующих алгоритмов и программ,

В третьей главе рассматриваются задачи перехода к операторным уравнениям для различных сценариев бифуркаций в системах популяционной динамики вида (1), указываются пути реализации приведенного во второй главе операторного метода анализа бифуркационных задач.

Укажем в краткой форме схему исследования соответствующих задач. Для исследования задачи о бифуркации двукратного равновесия системы (1) необходимо перейти к операторному уравнению

Ц) = 0. (8)

Пусть уравнение (8) имеет решение х = х*{(1). Положим

где

G(x, ц) =

gi{x, ц) О

О д2{х, ц) ■■■

О О

О О ••• дм{х,ц)

Пусть при некотором ^ — Цо матрица А(цо) имеет собственное значение 0. В этом случае в системе (1) возможна бифуркация двукратного равновесия в окрестности неподвижной точки х*(ц). Для её исследования необходимо определить кратность собственного значения 1 и соответствующие собственные векторы операторов о) и В*([1о), где

Далее проверяется выполнение условия (4) для уравнения (8). Если условие (4) выполнено, то для построения бифурцирующих решений можно воспользоваться итерационной процедурой (7).

Аналогичные методы разработаны для исследования задач о бифуркации Андронова-Хопфа и бифуркации Неймарка-Саккера в моделях популяционной динамики. В третьей главе показано также, что предложенные методы могут использоваться (с естественной модификацией) и для исследования более широкого класса динамических систем.

Наряду с задачами о бифуркациях в классических моделях популяционной динамики в третьей главе рассматриваются также задачи о бифуркациях в моделях со слабоосцилирующими параметрами. Во многих представляющих. практический интерес динамических системах параметры либо медленно изменяются во времени по закону вида /х = /¿о + Й, либо слабо осцилируют по периодическому закону вида ц = щ + 6ip(t), где (p(t) — это периодическая функция, а 8 > 0 — малый параметр.

В диссертации для изучения бифуркационных явлений в моделях популяционной динамики со слабоосцилирующими параметрами предлагается следующая постановка. Пусть система (2) имеет неподвижную точку х = х*(ц), при этом определенная равенством (9) матрица А(цо) имеет чисто мнимые собственные значения. Пусть параметр ц системы (2) слабо осцилирует по закону

где <р(5, £) — это 0-периодическая по Ь функция, а 6 — малый параметр (скалярный или векторный), при этом <р(0, £) = 0.

В третьей главе рассмотрены основные сценарии бифуркации, когда матрица А(/1 о) имеет собственное значение 0 или собственные значения ±га)о- В частности, если А(цо) имеет пару простых собственных значений

Ц = !Мз + <р(5, t),

±га>о, то здесь возможны различные сценарии бифуркации, зависящие

ви>п

от соотношения чисел в и ш0. Показано, что в случае, когда —— яв-

Р 27Г

ляется рациональным числом вида -, то основным сценарием является

возникновение периодических решений с периодом —д. Коразмерность

и>о

такой бифуркации равна двум; следовательно параметр 5 необходимо выбирать двумерным. Для таких сценариев указаны операторные уравнения, позволяющие провести аналитическое и численное исследование бифуркаций.

В четвертой главе приведено описание комплекса программ, разработанных автором, для решения ряда бифуркационных задач. Комплекс программ составлен для решения следующих задач:

• поиск бифурцирующих решений и соответствующих значений параметров в задаче о бифуркации малых ненулевых решений операторных уравнений вида (5) (программа Ы&);

• реализация перехода к эквивалентным операторным уравнениям в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа (программы ВЬорГ и £Ьор£);

• реализация перехода к эквивалентным операторным уравнениям в задаче о бифуркации НеймаркагСаккера (программа Впз и йи).

В комплекс программ входят пять программных модулей: Ы&, ВЬор£, йюр^ Впв и написанных на языке МаЛаЬ.

Программа Ый: является основной в данном комплексе. Данный модуль включает внутренние функции для вычисления вспомогательных компонент.

Этапы работы основной программы для операторной постановки бифуркационной задачи:

1. Входные данные: ¡щ — бифуркационное значение параметра, е — амплитуда решений, В(д), Ь(ц,х), — операторы задачи, погрешность приближения.

2. Проверка достаточных условий бифуркации и выбор вспомогательных операторов в зависимости от типа собственного значения.

3. Итерационная процедура поиска решений.

4. Выходные данные: бифурцирующие решения хе и значения параметров це.

В четвертой главе также приведены тексты основных программ.

В работе на основе разработанного программного комплекса проведено численное исследование ряда математических моделей. Приведем в качестве иллюстрации результаты компьютерного моделирования двух задач. Первый пример связан с исследованием модели "хищник - две жертвы" (Ю.М. Апонин), описываемой уравнениями

(и{ = их (ах —щ — 6и 2 —

и'2 = «2(122 - «2 ~ "1 - 1£Ь), (10)

у' = -и(1 - 0,25«х - 4М2 + У).

Здесь щ и иг — численность популяций каждой из жертв, V — численность популяции хищников. В данной модели параметры ах и а2 отвечают за экологическую обстановку.

Рассмотрим задачу о бифуркации Андронова-Хопфа в окрестности ненулевой неподвижной точки х* — (—11,2+8,2ах—4,4а2; 1,2—0,7ах +

0,4а2; 1-0,75а1Ч-0,5а2).

Рисунок 1. Семейство периодических траекторий системы (10).

Пусть сц = 3,7. Тогда при а2 « 3,87 матрица Якоби правой части системы (10), вычисленная в точке х*, имеет два чисто мнимых собственных значения. При этом третье собственное значение не равно нулю. Следовательно, при переходе а2 через значение а2 в системе (10) в окрестности точки х* возникают циклы.

На рисунке 1 изображены фазовые траектории решений е) системы (10) при е = 0,1, е = 0,2 и е = 0,3, полученные с помощью разработанных алгоритмов и программ. Символами * обозначены точки

Предложенный во второй и третьей главах метод может быть использован для анализа бифуркационных задач более широкого класса динамических систем. В работе предложены примеры таких моделей. В качестве второго примера рассмотрим систему

Эта система при всех значениях параметра имеет периодическое решение щ (t) = (cos i^i; sini>i; 0). При переходе параметра (j, через щ = 0 в системе (11) реализуется сценарий бифуркации Неймарка-Саккера в

окрестности цикла ifo(t). В частности, здесь возможно возникновение

27Г

субгармонических колебаний с периодом Т = кТо, где То = —.На рисунке 2 изображено одно из таких субгармонических колебаний, а именно, с периодом Т — 4То, полученное с помощью разработанных алгоритмов и программ.

x(0,s).

(И)

0.1.

Рисунок 2. Субгармонические колебания системы (11).

В заключении анонсируются основные полученные результаты:

1. Разработаны новые операторные методы качественного и численного исследования задач о локальных бифуркациях в моделях популя-ционной динамики. Особенностью предложенных методов является то, что они позволяют исследовать не только однопараметрические, но и многопараметрические задачи со сложным вырождением.

2. Получены новые достаточные признаки основных сценариев многопараметрических бифуркаций в моделях популяционной динамики. Полученные признаки не требуют исследования топологических и спектральных свойств операторов задачи.

3. Разработаны новые итерационные процедуры численного построения бифуркационных решений, их амплитуд и периодов, соответствующих значений параметров в задачах о многопараметрических бифуркациях динамических систем.

4. Разработан комплекс программ для численного исследования задач о многопараметрических бифуркациях в моделях популяционной динамики.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ В рецензируемых изданиях из списка ВАК

1. Юмагулов, М.Г. Операторный метод исследования локальных бифуркаций многопараметрических динамических систем / М.Г. Юмагулов, A.A. Вышинский, С.А. Муртазина, И.Д. Нуров, // Вестник СПбГУ. Серия 10. «Прикладная математика, информатика, процессы управления». - 2009. - Вып. 2. - С. 146-155.

2. Вышинский, A.A. Бифуркации периодических колебаний в нелинейных системах управления / A.A. Вышинский // Вестник Тамбовского университета. Серия «Естественные и технические науки». -2009. - Т. 14. Вып. 4. - С. 687-689.

3. Вышинский, A.A. Операторный метод приближенного исследо- -вания правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах / A.A. Вышинский, Л.С. Ибрагимова, С.А. Муртазина, М.Г. Юмагулов // Уфимский математический журнал. - 2010. - Т.2. №4. - С. 3-26.

4. Вышинский, A.A. Приближенное исследование многопараметрических бифуркаций в моделях популяционной динамики / A.A. Вышинский // Уфимский математический журнал. — -2011. - Т.З. №4. - С. 15-19.

5. Вышинский, A.A. Операторный подход исследования некоторых задач многопараметрических бифуркаций/ A.A. Вышинский // Вестник Тамбовского университета. Серия «Естественные и технические науки». - 2011. - Т. 16. Вып. 4. - С. 1052-1055.

В других изданиях

6. Вышинский, A.A. Приближенное исследование бифуркации ма-

■ лых решений операторных уравнений / A.A. Вышинский, CA. Мур-

тазина // Новые программные средства для предприятий Урала. Выпуск 5.: Сб. науч. тр. - 2006. - С. 100-102.

7. Юмагулов, М.Г. Моделирование периодических колебаний динамических систем со сяабоосцшшрукяцими параметрами / М.Г. Юмагулов, A.A. Вышинский // Создание и внедрение корпоративных информационных систем (КИС) на промышленных предприятиях Российской Федерации. Вып. 2: Сб. тр. Международной науч,-техн. конф. Под редакцией Д.Х. Девятова. - 2007.- С. 295-297.

8. Юмагулов, М.Г. Моделирование бифуркационных задач многопараметрических динамических систем / М.Г. Юмагулов, A.A. Вышинский, И.Д. Нуров // Материалы III Всероссийской научной конференции "Проектирование научных и инженерных приложений в среде MatLab 23-26 октября. URL: http://matlab.exponenta.ru/ conf2007/ (дата обращения: 20.11.07) - 2007. - С. 742-748. .

9. Юмагулов, М.Г. Моделирование бифурцирующих решений ^-параметрических динамических систем / М.Г. Юмагулов, A.A. Вышинский, И.Д. Нуров // Доклады АН Респ. Таджикистан. - 2007. -Т. 50. №5.- С..409-417.

10. Вышинский, A.A. Бифуркации циклов нелинейных динамических систем / A.A. Вышинский // Материалы региональной науч.-практ. конференции "Уральский регион РБ: Человек, природа, общество". - 2009. - С. 357-360.

11. Вышинский, A.A. Асимптотические формулы в задаче о бифуркациях нелинейных колебаний / A.A. Вышинский, С.А. Муртазина // Материалы Всероссийской школы-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании". - 2007. - С. 20-21.

Патентные документы

12. Свидетельство о регистрации электронного ресурса №17645: <Программный комплекс, реализующий алгоритм численного решения задач о многопараметрических бифуркациях динамических систем> // A.A. Вышинский. М.: Роспатент, 2011. - Свидет. о гос. per. № 50201151532 от 07.12.2011.

Соискатель /fe^J^ А. А. Вышинский

Вышинский Александр Алексеевич

ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИССЛЕДОВАНИЯ ЗАДАЧ О БИФУРКАЦИЯХ В МОДЕЛЯХ ПОПУЛЯЦИОННОЙ ДИНАМИКИ

Специальность 05.13.18- математическое моделирование, ' численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени

кандидата физико-математических наук

г

Лицензия на издательскую деятельность ЛР№ 021319 от 05.01.99 г.

Подписано в печать 26.01.2012 г. Формат 60 х 84/16. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 110. Заказ № 111.

Редакционно-издательский центр Башкирского государственного университета 450074, РБ, г. Уфа, ул. З.Валиди, 32. Отпечатано на множительном участке РИЦ Сибайского института (филиала) БашГУ 453833, РБ, г. Сибай, ул. Белова, 21. Тел.(34775) 5-15-37.

Введение.

1 Модели популяционной динамики

1.1 Динамические системы и их бифуркации: вводные понятия

1.2 Классические модели популяционной динамики

1.3 Системы популяционной динамики.

1.4 Бифуркации одномерных динамических систем

1.5 Бифуркации в двумерных системах.

2 Операторный метод исследования задач о многопараметрических бифуркациях

2.1 Бифуркации операторных уравнений

2.2 Однопараметрические бифуркации.

2.3 Двупараметрические задачи.

2.4 Многопараметрические задачи.

3 Численное исследование задач о бифуркации динамических систем

3.1 Основные сценарии локальных бифуркаций.

3.2 Бифуркации состояний равновесия.

3.3 Задача о бифуркации Андронова-Хопфа

3.4 Бифуркации Неймарка-Саккера.

3.5 Модели со слабоосциллирующими параметрами.

3.6 Компьютерное моделирование бифуркаций динамических систем.

4 Программный комплекс

4.1 Разработка программного комплекса: специфика и основные проблемы.

4.2 Описание программ.

4.3 Иллюстративный пример.

4.4 Тексты программ.

Актуальность работы. Работа посвящена вопросам качественного и численного исследования математических моделей популяционной динамики — широкого класса моделей, возникающих при изучении динамики биологических популяций, экологических систем, моделей конкуренции в экономике и др. Интерес специалистов к исследованию таких моделей связан не только с важными приложениями, но и с несомненным теоретическим значением этих исследований. Существенный вклад в разработку соответствующих моделей и методов их исследования внесли Ю.М. Апонин [6], А.Д. Базыкин [6, 7, 65], A.C. Братусь [11-13], В. Вольтерра [15, 48, 79] , Г.Ф. Гаузе [6, 11 79], А.Н. Колмогоров [27], А. Лотка [6, И], Дж. Марри [47], Ю. Одум [6], Г. Остер [И], В.Н Разжевай-кин [57], Г.Ю. Ризниченко [6, И], К.Е. Уатт [6], И.Л. Хабибуллин [66], А.И. Хибник [6, 7, 65], J.-M. Ginoux [79], Т. Moser [66] и др.

Дифференциальные уравнения математических моделей популяционной динамики имеют специфические свойства фазовых портретов; они, как правило, зависят от многих параметров, имеют особенности качественных перестроек и др. Эти обстоятельства затрудняют разработку общих методов исследования таких уравнений. Известные приближенные схемы исследования интересующих режимов функционирования системы и компьютерное моделирование проводятся, как правило, на основе прямого численного расчета, что снижает эффективность предлагаемых методов исследования.

Одной из наиболее интересных и в то же время важной с теоретической и практической точек зрения является задача о локальных бифуркациях в системах, описываемых дифференциальными уравнениями моделей популяционной динамики. Такие бифуркации могут сопровождаться возникновением новых стационарных состояний, периодических колебаний малой амплитуды, инвариантных торов и др. Теория локальных бифуркаций детально разработана для динамических систем, зависящих от одного скалярного параметра и у которых коразмерность бифуркаций равна одному. Исследованию таких систем посвящена обширная литература, здесь предложен ряд эффективных качественных и приближенных методов исследования. Существенный вклад в развитие указанной теории, в разработку общих методов исследования бифуркаций и их приложений к анализу бифуркаций в моделях популяционной динамики внесли A.A. Андронов [1], В.И. Арнольд [2-5], А.Д. Базыкин [6, 7, 65], Р.И. Богданов [9], Дж. Гукенхеймер [16, 80, 81], A.M. Красносельский [31, 84-86], М.А. Красносельский [26, 28-30, 32, 33, 87], Ю.А. Кузнецов [88], H.A. Магницкий [38-42], A.M. Молчанов [2], Ю.М. Свире-жев [60], Дж. Форрестер [69], Ф. Холмс [16], Э.Э. Шноль [69] и др.

Дальнейшее качественное и приближенное исследование основных сценариев качественных перестроек (бифуркаций) в дифференциальных уравнениях моделей популяционной динамики представляется актуальной и важной задачей. Здесь особо важны разработки общих методов исследования многопараметрических задач, позволяющих проводить анализ бифуркаций различной коразмерности.

Важное место при изучении бифуркационных явлений занимает компьютерное моделирование. Как правило, чем сложнее бифуркация, тем большее значение принимает необходимость компьютерного моделирования. Более того, при изучении сложных бифуркационных явлений компьютерные вычисления часто выходят на первый план. Аналитические методы исследования задач о бифуркациях, как правило, сталкиваются с трудностями вычислительного характера при анализе конкретных моделей. Поэтому здесь актуальным направлением является разработка численных методов компьютерного моделирования для изучения сложных систем, охватывающих несколько степеней свободы.

Целью исследования является разработка методов исследования основных сценариев локальных бифуркаций в моделях популяционной динамики. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

1. Разработка операторных методов качественного и численного исследования задач о многопараметрических бифуркациях в моделях популяционной динамики.

2. Получение эффективных достаточных признаков основных сценариев многопараметрических бифуркаций в моделях популяционной динамики.

3. Разработка и обоснование итерационных процедур, позволяющих строить бифуркационные решения, их амплитуды и периоды, а также соответствующие значения параметров.

4. Разработка программ численного исследования задач о многопараметрических бифуркациях в моделях популяционной динамики.

Методы исследования. В работе использованы методы математического моделирования, общие методы качественной теории дифференциальных уравнений, нелинейного анализа, методы теории бифуркаций, методы приближенного решения операторных уравнений, метод функ-ционализации параметра.

Научная новизна определяется проведенными исследованиями, в результате которых разработан математический аппарат для анализа бифуркационных явлений в многопараметрических динамических системах. При этом получены следующие новые научные результаты:

1. Разработан новый операторный метод построения бифурцирующих решений моделей популяционной динамики, зависящих как от одного, так и от многих параметров.

2. Разработаны методы конструирования операторных уравнений, позволяющих проводить эффективные аналитические и численные исследования многопараметрических задач о бифуркации периодических решений моделей популяционной динамики.

3. Предолжены эффективные алгоритмы решения многопараметрических бифуркационных задач в моделях популяционной динамики и разработан соответствующий комплекс программ.

Практическая и теоретическая значимость. В работе предлагается новый операторный метод качественного и численного исследования основных сценариев локальных бифуркаций в моделях популяционной динамики. Полученные теоретические результаты позволяют провести детальный анализ бифуркаций широкого класса моделей популяционной динамики. Результаты доведены до расчетных формул, алгоритмов и программ численного исследования задач о многопараметрических бифуркациях. Разработан программный комплекс, позволяющий производить вычислительный анализ поставленных задач. Предложенные схемы, процедуры и программы апробированы при решении ряда практических задач: задач о бифуркации двукратного равновесия, о бифуркациях Андронова-Хопфа и Неймарка-Саккера в системах типа хищник-жертва с однофакторными и двуфакторными модификациям, задачи о бифуркации автоколебаний в моделях Лоренца, Лэнгфорда и др.

В первой главе основное внимание уделено изучению систем, описываемых уравнениями

А = xigi(x,fx), х'2 = х292{х,у), < (1) х'п = xNgN(x,fi).

В этой системе переменные Х{ означают удельную численность каждой отдельной биологической популяции, х = (rci, х^ ., х^), Ц £ Rk. Система (1) изучается в первом октанте К+ = {х € RN : Xi ^ 0} . Систему (1) называют системой популяционной динамики (или популяционной моделью Колмогорова), если выполнены условия:

• функции gi(x,fj,) являются гладкими по совокупности переменных хеК+, ц 6 Rk,

• частные производные функций gi(x} ¡1) по Xj (при г ф j) не меняют знак при любых значениях х € К+

Математическое моделирование динамики численности различных популяций, взаимодействующих по принципу хищник - жертва, конкуренция, мутуализм, хищник - две жертвы, как правило, приводит к моделям, описываемыми системами популяционной динамики. К системам популяционной динамики относятся модель Вольтерры-Лотки, и её модификации, модели Ферхюльста, Моно, Мак-Артура и др.

В системе (1) при изменении параметров возможны различные бифуркационные явления, в частности бифуркации неподвижных точек, бифуркации Андронова-Хопфа, Неймарка-Саккера. Эти бифуркации связаны с изменением характера устойчивости точек равновесия или периодических орбит системы (1).

Система (1) имеет следующие особенности

• интерес представляют решения в первом октанте К+,

• система (1) имеет нулевую точку равновесия; многие модели приводят к уравнениям с точками равновесия на координатных осях и плоскостях,

• коразмерность бифуркаций системы (1) нередко больше 1.

В первой главе изучаются топологические характеристики неподвижных точек и периодических орбит системы (1), качественные признаки бифуркаций. При этом рассматриваются основные сценарии бифуркационного поведения систем.

Во второй главе приводится операторный метод исследования основных сценариев бифуркаций в системах вида (1). Предложенный метод основан на переходе от задачи о бифуркации для системы (1) к эквивалентной задаче о бифуркации малых ненулевых решений операторного уравнения вида х - B(ii)x + h{x,ii), xgRn, ¡ieRk, (2) где fi - векторный параметр, линейный оператор B(fi) : RN —» RN является вполне непрерывным, а нелинейный вполне непрерывный оператор b(x, fi) удовлетворяет соотношению: lim sup 1%1 = 0.

Уравнение (2) при всех ц имеет нулевое решение х = 0.

Пусть е € Rn - некоторый ненулевой вектор; значение fio назовем правильной точкой бифуркации уравнения (2) по направлению вектора е, если существует функция 6(е:), 5(е) = о(е) при г —> 0, такая, что для каждого е > 0 найдется е S(fiо, £), при котором уравнение (2) имеет ненулевое решение х(£) £ S(£e,6(£)) (здесь S(xo,r) — шар радиуса г с центром в точке о;о). Векторы и значения /¿(е) назовем бифур-цирующими решениями уравнения (2). Правильная точка бифуркации соответствует тому, что уравнение (2) имеет семейство бифурцирующих решений ц{£) и так, что —► ¡iq и ||ж(е)—ее|| = о(е) при £ —> 0.

Предполагается, что выполнено условие

Условие 1. Число 1 является собственным значением оператора В (fio) кратности к.

Пусть условие 1 предполагает, что 1 является полупростым собственным значением оператора В (fio). Тогда Во = B(fio) имеет полупростое собственное значение 1 кратности к, то существует линейно независимая система из собственных векторов e¿: i?oe¿ = e¿, i = 1, к. Сопряженный оператор Bq'.H—>H также имеет полупростое собственное значение 1 кратности к, которому отвечают собственные векторы е\: B$e¡ = е*, i = 1, к. Векторы e¿ и éj можно выбрать из соотношений: (e¿,e£) = 1, (e¿,ep = 0 при i Фз, i - 1,к, j = 1 ,к.

Ниже, наряду с 1, предполагается, что для некоторого собственного вектора е,0 оператора Во выполнено условие:

Условие 2. Имеет место соотношение:

Л = ¿еЬ

В'^еХ) в'пеЬ>ек) (В'е^е*к) ••• (В' ек,е%)

Ф о- (3)

Здесь В'р. = В'^Цо), г = 1 ,к, - компоненты к-мерного вектора р.

Теорема 1. Пусть выполнены условия 1 и 2. Тогда /¿о является правильной точкой бифуркации уравнения (2) по направлению вектора е^ .

Приводятся также аналогичные условия для случая, когда оператор В([1о) имеет неполупростое собственное значение 1 кратности 2.

В основе схемы построения бифурцирующих решений уравнения (2) положим метод функционализации параметра.

На первом этапе рассматривается функционализированное уравнение х = В[р(х)]х + Ь[х, р(х)},

4) где ц{х) = [¿¿1(2),/¿2(я), > /¿¿(я) - непрерывные функционалы, которые предлагается выбрать в виде ^0(х) = р+ - [(х,е*0) — е], а

1 £ остальные щ(х) = /¿9Н—(гс, е]) при г ф ¿о, где - вектор, для которого выполнено условие 2. Здесь е > 0 - вспомогательный малый параметр.

Если х* - решение уравнения (4), то х* - решение уравнения (2) при р = ц(х*).

На втором этапе уравнение (4) изучается методом Ньютона-Канторовича. Для этого (4) представляется в виде о(ж) + т{х) = О,

5) где -Ро(ж) = х — В[[1(х)]х, т(х) = —Ь[х,^(х)]. Операторы ^о, и> действуют в пространстве Ям и зависят параметра е > 0, однако, для простоты изложения (учитывая, что уравнение (5) будет рассматриваться при фиксированных значениях е) в обозначении операторов .Ро и т параметр £ не используется.

Положим #0 = £е]0 5 оператор ^о(гг) дифференцируем по Фреше в окрестности вектора яо • Из условия 2 следует, что существует ограниченный оператор Г0 = К(#о)]-1 : Яы —'► Я1* > при этом оператор Го не зависит от е. Для оператора Го может быть получено явное представление из формулы, определяющей оператор -Ро(жо) •

Теорема 2. При всех достаточно малых е > 0 уравнение (5) имеет в £ шаре Б(хо, -) решение х{£), которое может быть получено как предел последовательных приближений хп+1 = хп- Т0Г0(хп) - Г0к;(2;п), п = 0,1,2,. (6) при этом ||ж(£) — £е|| = о(е), /¿(х(£)) —> Цо при £ —> 0.

Доказательство теоремы 2 сводится к проверке достаточных условий сходимости модифицированного метода Ньютона-Канторовича с возмущениями для уравнения (5). Теорема 1 следует из теоремы 2, так как уравнение (2) при /х = /¿(ж(е)) имеет ненулевое решение ж(е).

В третьей главе рассматриваются задачи перехода к операторным уравнениям для различных систем популяционной динамики вида (1), указываются пути реализации приведенного во второй главе операторного метода для анализа бифуркаций в системах популяционной динамики, описывается программа численного исследования, а также рассмотрен ряд иллюстративных примеров. Изложен переход от динамической системы в задаче о бифуркации Андронова-Хопфа к эквивалентной задаче о бифуркации неподвижных точек операторного уравнения; на основе отображения Пуанкаре составлена задача о бифуркации неподвижных точек операторного уравнения эквивалентная задаче о бифуркации автоколебаний. Также здесь представлены результаты компьютерного моделирования бифуркационного поведения некоторых систем взаимодействующих популяций, систем Лоренца, Лэнгфорда, а также ряда модельных примеров.

В четвертой главе приводится описание комплекса программных средств, разработанных автором, для решения ряда бифуркационных задач.

Этапы работы основной программы для операторной постановки бифуркационной задачи:

1. Входные данные: /¿о, В((х), Ь((1,х), погрешность приближения.

2. Определение векторов ег- и ег*, а также типа собственного значения.

3. Проверка достаточных условий бифуркации и выбор вспомогательных операторов в зависимости от типа собственного значения.

4. Итерационная процедура поиска решений.

5. Выходные данные: бифурцирующие решения х£ и значения параметров ¡1е.

В программный комплекс, входят также процедуры перехода к операторным уравнениям от задач о бифуркации Андронова-Хопфа, Неймарка-Саккера. Достаточно указать функции исходной динамической системы.

Заключение

В результате работы были достигнуты следующие цели:

1. Разработаны новые операторные методы качественного и численного исследования задач о локальных бифуркациях в моделях популяци-онной динамики. Особенностью предложенных методов является то, что они позволяют исследовать не только однопараметрические, но и многопараметрические задачи со сложным вырождением.

2. Получены новые достаточные признаки основных сценариев многопараметрических бифуркаций в моделях популяционной динамики. Полученные признаки не требуют исследования топологических и спектральных свойств операторов задачи.

3. Разработаны новые итерационные процедуры численного построения бифуркационных решений, их амплитуд и периодов, соответствующих значений параметров в задачах о многопараметрических бифуркациях динамических систем.

4. Разработан комплекс программ для численного исследования задач о многопараметрических бифуркациях в моделях популяционной динамики.

1. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. - М.: Наука, 1967, 488 с.

2. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 400 с.

3. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978, 304 с.

4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Ижевск: Редакция журнала "Регулярная и хаотическая динамика", 2000, 368с.

5. Арнольд В. И., Афраймович В. СИльяшенко Ю. С., Шильников Л. П. Теория бифуркаций. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.5. Динамические системы V. М.: ВИНИТИ, 1986, С. 5-218.

6. Базыкин А. Д. Нелинейная динамика взаимодействующих популяций. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 368 с.

7. Базыкин А. Д., Кузнецов Ю. А., Хибник А. И. Портреты бифуркаций. М.: Знание, 1989, 47 с.

8. Басов В. В. Бифуркация положения равновесия в системах с нулевыми корнями характеристического уравнения. // Математические заметки, 2004, 75, № 3, С. 323-341.

9. Богданов Р. И. Версальная деформация особой точки векторного поля на плоскости в случае нулевых собственных чисел. // Труды семинаров им. И. Г. Петровского, 1976, Вып. 2, С. 37-65.

10. Боровских А. В., Перов А. И. Лекции по обыкновенным дифференциальным уравнениям. Москва-Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика Институт компьютерных исследований, 2004, 540 с.

11. Братусь А. С., Мещерин А. СНовожилов А. С. Математические модели взаимодействия загрязнения с окружающей средой. // Вестник МГУ, серия Вычислительная математика и кибернетика, 6, 2001, С. 140-148.

12. Брату сь А. С., Новожилов А. С. Математические модели экологии и динамические системы с непрерывным временем. М.: МГУ, 2004, 235 с.

13. Брату сь А. С., Новожилов А. СПлатонов А. П. Динамические системы и модели биологии. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010, 400 с.

14. Байнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М: Наука, 1969, 529 с.

15. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: Наука, 1976, 288 с.

16. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002, 560 с.

17. Даймонд Ф., Юмагулов М. Г., Матвеенко Н. И. Анализ сходимости дискретных и проекционных процедур построения циклов в задаче о бифуркации Хопфа. // Автоматика и телемеханика, 1999, № 9, С. 3-12.

18. Занг В. В. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. Пер. с англ. М.: Мир, 1999, 335 с.

19. Заславский Г.М. Стохастичность динамических систем. М.: Наука, 1984, 272 с.

20. Исаев А. С., Хлебопрос Р. Г., Недорезов Л. В. и др. Динамика численности лесных насекомых. Новосибирск: Наука, 1984, 224 с.

21. Ибрагимова Л. С. Об итерационных методах исследования бифуркационных задач с простым вырождением. // Известия РАЕН. Математика. Математическое моделирование. Информатика и управление. 2005, Т. 9, № 3-4, С. 15-26.

22. Йосс ЖДжозеф Д. Элементарная теория устойчивости и бифуркаций. М.: Мир, 1983, 304 с.

23. Канторович Л. ВАкилов Г. П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977, 742 с.

24. Като 71 Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1975, 740 с.

25. Каток А. Б., Хасселблат Б. Введение в теорию динамических систем. М.: МЦНМОб, 2005, 464 с.

26. Козякин В. С., Красносельский М. А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации. // Доклады АН СССР, 1980, Т. 254, № 5, С. 1061-1064.

27. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981, 543 с.

28. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966, 332 с.

29. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975, 512 с.

30. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. В., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969, 456 с.

31. Красносельский А. М., Кузнецов Н. А., Рачинский Д. И. Нелинейная бифуркация Хопфа. // Доклады РАН, 2000, Т. 372, № 4, С. 455-458.

32. Красносельский М. А., Кузнецов Н. А., Юмагулов М. Г. Функцио-нализация параметра и асимптотика циклов в бифуркации Хопфа. // Автоматика и телемеханика. 1996, № 11, С. 22-28.

33. Красносельский М. А., Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в проблеме собственных значений. // ДАН России, 1995, Т. 365, № 2, С. 162-164.

34. Куликов Д. А. Знак Ляпуновской величины в задаче о бифуркации от однородного цикла. // Современные проблемы математики и информатики, 2005, № 7, с. 78-81.

35. Куракин Л. Г., Юдович В. И. О бифуркациях равновесий при разрушении кососимметрии динамической системы. // Сибирский математический журнал, 2004, Т. 45, № 2, С. 356-374.

36. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1983, 328 с.

37. Локшин А. А., Лопатников С. А., Саакян А. с. Метод сжатых отображений в симметричной проблеме собственных значений. М.: Изд-во МГУ, 1995, 143 с.

38. Магницкий Н. А. Теория динамического хаоса. М.: ЛЕНАНД, 2011, 320 с.

39. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Новые методы хаотической динамики. М.: Едиториал УРСС, 2004, 336 с.

40. Магницкий Н. А., Огинова Ю. В. Исследование сценария перехода к хаосу в модели экологической системы. // Труды ИСА РАН, Т. 14. М.: КомКнига/иЯЗБ, 2005, С. 190-197.

41. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. О переходе к диффузионному хаосу через субгармонический каскад бифуркаций двумерных торов. // Дифференц. уравнения, 2005, Т. 41, № И, С. 1550-1558.

42. Магницкий Н. А., Сидоров С. В. Динамический хаос в двумерных неавтономных нелинейных системах о.д.у. // Дифференц. уравнения, 2006, Т. 42, № 11, С. 1507-1514.

43. Малинецкий Г. Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Наука, 1997, 225 с.

44. Малинецкий Г. Г., Потапов А. Б. Современные проблемы нелинейной динамики. М.: Наука, 2000, 336 с.

45. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Едиториал УРСС, 2004, 432 с.

46. Мардсен Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980, 362 с.

47. Мари Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983, 397 с.

48. Недорезов Л. В. Моделирование вспышек массовых размножений насекомых. Новосибирск: Наука, 1986, 125 с.

49. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1972, 472 с.

50. Неймарк Ю. И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. М.: Наука, 1987. 422 е.; 2-у изд. М.: Книжный дом «Либро-kom»/URSS, 2009.

51. Нейштадт А.И. О затягивании потери устойчивости при динамических бифуркациях I, II. // Дифференциальные уравнения. 1987, Т. 23, Вып. 12, С. 2060-2067.

52. Новиков М. Д., Павлов Б. М. Об одной нелинейной модели со сложной динамикой. // Вестник МГУ, сер. «Вычисл. матем. и кибернетика», 2000, № 2, С. 3-7.

53. Нуров И. Д., Юмагулов М. Г. Приближенное исследование малых периодических колебаний систем автоматического регулирования. // Автоматика и телемеханика. 1993, № 3, С. 101-108.

54. Острейковский В.А. Анализ устойчивости и управляемости динамических систем методами теории катастроф. М.: Высш. шк., 2005. 241 с.

55. Плисс В. А. Интегральные множества периодических систем дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1977, 304 с.

56. Пуанкаре А. О кривых, определяемых дифференциальными уравнениями. М.-Л.: ГИТТЛ, 1947, 392 с.

57. Разжевайкин В.П. Об асимптотическом поведении решений в системах типа «хищник жертва». // Исследование операций (модели, системы, решения), РАН ВЦ им. Дородницына 2008, с. 6-26.

58. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971, 288 с.

59. Романов М. Ф., Федоров Н. П. Математические модели в экологии. СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001, 232 с.

60. Свирежев Ю.Н. Нелинейные волны. Диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука, 1987, 368 с.

61. Сидоров С. В. Появление хаотических решений в модели брюсселя-тора // Труды ИСА РАН. Динамика неоднородных систем, 2006, в. 10, с. 91-97.

62. Симо К., Смейл С., Шенсине А. и др. Современные проблемы хаоса и нелинейности. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002. 352 с.

63. Терехин М. Т. Бифуркация периодических решений функционально-дифференциальных уравнений. // Известия высших учебных заведений. Математика. 1999, № 10 (449), С. 37-42.

64. Томпсон Дж. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. -М.: Мир, 1985, 254 с.

65. Четырбоцкий А. И., Базыкин А. Д., Хибник А. И Качественное исследование одной из моделей, описывающих динамику системы хищник-жертва с учетом насыщения и конкуренции. Препринт 19(106) Владивосток: ВЦ ДВНЦ АН СССР, 1983, 12 с.

66. Хабибуллин И.Л. Экологическое моделирование: Учебное пособие. -Уфа: РИО БашГУ, 2002, 121 с.

67. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970, 720 с.

68. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989, 655 с.

69. Хэссард Б., Казаринов Н., Вэн И. Теория и приложения бифуркации рождения цикла. М.: Мир, 1985, 280 с.

70. Шильников Л. П. и др. Методы качественной теории в нелинейной динамике. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004, 416 с.

71. Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в задаче приближенного расчета малых автоколебательных режимов. // Автоматика и телемеханика. 1988, № 10, С. 76-84.

72. Юмагулов М. Г. Метод функционализации параметра в итерационных процедурах исследования бифуркации Хопфа для уравнений с последействием. // Доклады АН России. 1993, Т. 331, № 1, С. 24-27.

73. Юмагулов М. Г., Ибрагимова Л. С. Функционализация параметра и ее приложения в задаче о локальных бифуркациях динамических систем. // Автоматика и телемеханика. 2007, № 4, С. 3-12.

74. Юмагулов М. Г., Ибрагимова Л. С., Музафаров С. М., Ну ров И. Д. Бифуркация Андронова-Хопфа со слабоосциллирующими параметрами. // Автоматика и телемеханика. 2008, № 1, 2008, С. 36-41.

75. Alsholm Preben Existence of limit cycles for generalized Lienard equations, J. Math.Anal, and Appl., 171, 1 (1992), 242-255.

76. Dancer E. N. Bifurcation theory in Real Banach Space. // Proc. London Math. Soc. (3)23(1971), pp. 699-734.

77. Doedel E., Keller H. and Kernevez J. Numerical analysis and control of bifurcation problems. Bifurcation in finite dimensions, Int. // J. Bifurcation and chaos, Vol. 1. 493-520. 1991.

78. Garcia Isaac A. Transcendental limit cycles via the structure of arbitrary degree invariant algebraic curves of polynomial planar vector fields. Rocky Mount. J. Math. 2005. 35, № 2, c. 501-515.

79. Ginowx J.-M., Rossetto В., Jamet J.-L. Chaos in three-dimensional

80. Volterra-Gause model of predator-prey type. // Int. Journ. Bifurcation and Chaos, Vol. 15. p. 1689-1708. 2005.

81. Guckenheimer J. and Worfolk P. Dinamical systems: some computational problems. Bifurcations and Periodic orbits of Vector Fields. Kluwer Academic Publishers. Dordrecht etc., 241-278. 1993.

82. Guckenheimer J. and Williams R.F. Structural stability of Lorenz At-tractors. // Publ. Math. IHES, 1979, v. 50, p. 59-72.

83. Holden L. J., Erneux T. Slow passage through a Hopf Bifurcation: From oscillatory to steady state solutions. // SIAM J. Appl. Math. 1993. V. 53. № 4. P. 1045-1058.

84. Izydorek M., Rybicki S. Bifurcations of bounded solutions of 1-parameter ODE's. // J. Differ.Equat. 1996. 130. P. 267-276.

85. Krasnosel'skii A. M., Mawhin J. Periodic solutions of equations with oscillating nonlinearities. // Mathematical and Computer Modelling, 32, 2000, 1445-1455.

86. Krasnosel'skii A. M., Rachinskii D. I., Schneider K. Hopf bifurcations in resonans 2:1. // Nonlinear Analysis. Theory, Methods Applications, 52, 3, 2003, 943-960.

87. Krasnosel'skii A. M., Rachinskii D. I. Subharmonic bifurcation at infinity. 11 Journal of Differential Equations, 226, 1, 2006, 30-53.

88. Kozyakin V. S., Krasnosel'skii M. A. The method of parameter func-tionalization in the Hopf bifurcation problem. // Nonlinear Analysis. Theory, Method Applications, 11, 2 1987, 149-161.

89. Kuznetsov Yu. A. Elements of Applied Bifurcation Theory. // Applied Mathematical Sciences (V. 112), Springer-Verlag, New-York etc., 1995.

90. Llibre Jaume, Pantazi Chara Counterexample to a conjecture on the algebraic limit cycles of polinomial vector fields. Geom. dedic. 2005. 110, c. 213-219.

91. Panazzolo D., Roussarie R. Bifurcations of cuspidal loops preserving nilpotent singularities. Moscow Math. J. 2005. 5, № 1, c. 207-244.

92. Shilnikov L. Bifurcations and strange attractors. Proceedings of the International Congress of Mathematicans, Beijing, Aug. 20-28, 2002, Vol.3, Invited Lectures. Beijing: Higher Educ. Press, 2002. P. 349-372.

93. Sparrow C. The Lorenz Equations: Bifurcations, Chaos, and Strange Attractors // Applied Mathematical Sciences (V. 41). Springer-Verlag, 1982.

94. Suqie Jitsuro The global centre for the Lienard system, Nonlinear Analysis, Theory, Meth. and Appl., 17, 4 (1991), 333-345.

95. Wu Cheng-qiang Limit cycles of a kind of predator-prey system with functional response. Fuzhou daxue xuebao. Ziran kexue ban=J. Fuzhou Univ. Natur. Sei. Ed. 2004. 32, № 4, с. 410-412.

96. Yumagulov М. G. Operator approach for the studi of periodic solutions to Lienard equation. // Adv. in Math. Sei. Appl., Gakkotosho, Tokyo. 1997. Vol. 7. № 2. pp. 569-578.

97. Вышинский A.A. Бифуркации периодических колебаний в нелинейных системах управления. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Т. 14, вып. 4, 2009, с. 687689.

98. Вышинский A.A., Ибрагимова Л.С., Муртазина С.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод приближенного исследования правильной бифуркации в многопараметрических динамических системах. Уфимский математический журнал. Т.2, №4, 2010, с. 3-26.

99. Вышинский A.A. Приближенное исследование многопараметрических бифуркаций в моделях популяционной динамики. Уфимский математический журнал. Т.3, №4, 2011, с. 15-19.

100. Вышинский A.A. Операторный подход исследования некоторых задач многопараметрических бифуркаций. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки. Т. 16, вып. 4, 2011, с. 1052-1055.

101. Вышинский A.A., Муртазина С.А. Приближенное исследование бифуркации малых решений операторных уравнений. Новые программные средства для предприятий Урала. Выпуск 5.: Сб. науч. тр. Магнитогорск: ГОУ ВПО "МГТУ 2006, с. 100-102.

102. Вышинский A.A., Нуров И.Д., Юмагулов М.Г Моделирование би-фурцирующих решений к -параметрических динамических систем. Доклады АН Респ. Таджикистан, Т. 50, №5, Душанбе, изд. "До-ниш 2007, с. 409-417.

103. Вышинский A.A. Бифуркации циклов нелинейных динамических систем. Материалы региональной науч.-практ. конференции "Уральский регион РБ: Человек, природа, общество Уфа, Зауральский филиал ФГОУ ВПО "БГАУ 2009, с. 357-360.