автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами

кандидата физико-математических наук
Банько, Мария Анатольевна
город
Ставрополь
год
2005
специальность ВАК РФ
05.13.18
Диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению на тему «Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами»

Автореферат диссертации по теме "Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами"

На правах рукописи

I

1 I

Банько Мария Анатольевна

) I

Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ставрополь - 2005

Работа выполнена в Ставропольском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Семенчин Евгений Андреевич

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

старший научный сотрудник Каплан Лев Григорьевич

доктор физико-математических наук, доцент Толпаев Владимир Александрович

Ведущая организация: Ростовский государственный университет,

г. Ростов

Защита состоится 23 декабря 2005 года в 16 часов 40 минут на заседании регионального диссертационного совета ДМ 212.256.05 при Ставропольском государственном университете по адресу: 355009,г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1, зуд. 214.

С диссертацией можно ознакомится в научной библиотеке Ставропольского государственного университета по адресу: г. Ставрополь, ул. Пушкина, 1.

Автореферат разослан « ^ » ноября 2005 года.

Ученый секретарь

регионального диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, доцент

Л.Б. Копыткова

ЩгЗ 2- 2&Т2 //

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В настоящее время все более широкое распространение получают вероятностные модели, которые в отличие от детерминированных более полно и точно отражают реальные процессы, происходящие в технике, природе и обществе. Описание этих моделей приводит либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, параметрами которых являются случайные функции времени, либо к стохастическим дифференциальным уравнениям. При реализации вероятностных моделей реальных процессов основное внимание обращается на их устойчивость, что привело к созданию соответствующего направления в теории устойчивости -стохастической теории устойчивости.

Работы всех исследователей в этом направлении опираются либо на изучение уравнений типа уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и вероятностные свойства решений стохастических дифференциальных уравнений, либо на анализ моментных уравнений с последующим применением методов Ляпунова.

Наиболее разработанной является теория систем с «белыми шумами» и марковскими процессами. Теория устойчивости математических моделей, представляющих собой системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковских процессов, является менее изученной. Поэтому рассмотрение и исследование математических моделей с полумарковскими коэффициентами является актуальным.

В работе К.Г. Ванеева, О.Л. Кареловой, В.И. Горелова [1*] введено понятие /^-устойчивости линейных систем со случайными параметрами. Исследование /^-устойчивости позволяет обоснованно применять уравнения для первых начальных моментов при построении математических моделей систем.

Диссертационная работа продолжает исследования применения моментных уравнений и приложения введенного понятия /^-устойчивости к моделированию различных процессов со случайными параметрами.

Цель исследования. Целью диссертационной работы является исследование устойчивости математических моделей со случайными параметрами.

Объектом исследования являются математические модели с марковскими и полумарковскими коэффициентами, а также математические модели систем, находящих под действием возмущений типа «белого шума».

Предметом исследования является устойчивость рассматриваемых моделей на основе математического аппарата методов моментных уравнений и функций Ляпунова.

Задача исследования. Задачей диссертационного исследования является нахождение необходимых и достаточных условий ¿^-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднем и среднеквадратичном математических моделей, представляющих собой линейные системы с марковскими и полумарковскими коэффициентами и возмущениями типа «белого шума», и применение получек народонаселения и динамики разв»

1И I. У ||У П А XI ЖХ 1ШШ

^ешр^^^^^ш^ц! поьтооения моделей

ВИТЮ} ФиРЧ«ВЛ110ТЕКАИАЯ {

Поставленная задача декомпозируется на частные подзадачи:

1) получить уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей, представляющих собой системы линейных дифференциальных уравнений с марковскими коэффициентами;

2) получить с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿^-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднеквадратичном математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами;

3) получить уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей, представляющих собой системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами;

4) получить с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка необходимые и достаточные условия ¿^-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами;

5) получить с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿^-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами;

6) построить модифицированную демографическую модель народонаселения и модель динамики развития фирмы с помощью моментных уравнений первого порядка;

7) разработать методику расчета построенных моделей изменения численности населения и динамики развития фирмы.

Методы исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании математического аппарата линейных дифференциальных и операторных уравнений, методов теории детерминированной и стохастической устойчивости, объектно-ориентированного программирования.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационном исследовании теоретических и практических результатов, формулировок теорем обеспечивается корректным применением аппарата математического и функционального анализа, теории случайных процессов, теории устойчивости. Адекватность предложенной модели народонаселения реальным демографическим процессам подтверждается результатами численного расчета и их сравнением со статистическими данными.

На защиту выносится следующие основные положения.

1. Моментные уравнения первого и второго порядка математических моделей с марковскими и полумарковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном и ¿^-устойчивость рассматриваемых моделей.

2. Необходимые и достаточные условия ¿^-устойчивости (полученные с помощью стохастических функций Ляпунова) математических моделей с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.

3. Необходимые и достаточные условия ¿^-устойчивости (полученные с помощью моментных уравнений) математических моделей с полумарковскими коэффициентами.

4 Необходимые и достаточные условия /^-устойчивости (полученные с помощью стохастических функций Ляпунова) математических моделей, описываемых системами стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

5. Модифицированная демографическая модель народонаселения и модель динамики развития фирмы, построенные на основе применения моментных уравнений к вероятностным моделям с марковскими коэффициентами, и методика расчета этих моделей.

Научная новизна.

1. Получено описание моментными уравнениями первого и второго порядка математических моделей со случайными параметрами, которые представляют собой системы линейных дифференциальных уравнений с маршвскими и полумарковскими коэффициентами.

2. Известные методы моментных уравнений и функций Ляпунова, применявшиеся ранее для исследования устойчивости в среднем, среднеквадратичном и Ь-устойчивости вероятностных моделей, обобщены на линейные математические модели марковского и полумарковского типа. Получены необходимые и достаточные условия ^-устойчивости рассматриваемых моделей.

3. Показано, что случайный процесс полностью описывается моментным уравнением первого порядка в случае, когда система ¿^-устойчива, либо ¿^-устойчиво отклонение системы от математического ожидания.

4. Построена модифицированная демографическая модель народонаселения и модель динамики развития фирмы на основе моментных уравнений вероятностных моделей с марковскими параметрами, позволяющие исследовать изменение со временем численности населения и динамику развития фирмы.

5 Разработана общая методика расчета предложенных моделей с учетом случайного характера коэффициентов, позволяющая получить значения численности населения и графическое отображение результатов моделирования.

Практическая значимость полученных результатов.

1 Исследование математических моделей со случайными параметрами, обладающих свойством /^-устойчивости, можно заменить исследованием поведения уравнений первых начальных моментов.

2. Предложенные математические методы применимы для исследования устойчивости вероятностных моделей из различных областей прикладной математики: демографии (прогнозирование численности населения), финансовой математики (исследование портфеля ценных бумаг, расчет опционов и др.), экономики (динамика развития отрасли хозяйства или фирмы, распространение рекламной продукции и др.), экологии, механики, теории управления и оценивания и др.

3. Предложенная методика расчета моделей народонаселения и динамики развития фирмы применима для широкого спектра задач, в которых уравнения изменения состояния описываются системами линейных дифференциальных уравнений с марковскими и полумарковскими коэффициентами.

5

Реализация и внедрение. Модифицированная математическая модель народонаселения, методика расчета и ее программная реализация внедрены в практическую деятельность Территориального органа по Ставропольскому краю Федеральной службы государственной статистики (Ставропольстата), что подтверждается соответствующим актом о внедрении результатов диссертационного исследования. Отдельные положения использованы в учебном процессе СГУ при подготовке студентов по специальности Прикладная математика и информатика в рамках дисциплины «Случайные процессы и их приложения».

Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались на

V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004 г.), первой Международной научно-технической конференции «Инфотелешммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2004 г.), XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18», (Казань, 2005 г), Всероссийской конференции «Математика и ее приложение в математическом образовании - 2», (Улан-Удэ, 2005 г.), VII Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность» (Таганрог, 2005 г),

V Международной научно-практической конференции «Моделирование Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2005 г.), V региональной научно-практической конференции «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование» (Ставрополь, 2005 г.)

Публикации. Основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 13 печатных работах: из них 4 - в центральной печати в журналах «Известим Томского политехнического университета», «Известия вузов. Северо-Кавказский регион» и «Обозрение прикладной и промышленной математики», 8 - в сборниках материалов научных конференций.

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, четырех гнав, заключения и списка литературы, содержащего 126 наименований. Основная часть работы изложена на 155 страницах машинописного текста

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении определены цель и задачи диссертационной работы, обоснована актуальность темы исследований, очерчен круг проблем, рассматриваемых в работе, показана их практическая значимость, сформулированы защищаемые положения

Первая глава посвящена краткому обзору результатов работ, которые используются при изложении в последующих главах. Определено понятие стохастического оператора, приведены сведения из теории операторов, теории случайных процессов, стохастических уравнений, вероятностной устойчивости моделей В работе автора [2] приведен обзор работ по теории вероятностной устойчивости математических моделей со случайными параметрами

Во второй главе получены уравнения для начальных моментов первого и второго порядка для систем с марковскими коэффициентами.

Рассмотрена математическая модель, описываемая системой линейных дифференциальных уравнений

A(g(t))X(t),(t £ 0), (i)

где Aj = А{9 ) (j = 1,...,«) - кусочно-постоянные функции, -марковский конечнозначный случайный процесс, принимающий значения в j (J = \,...,п) с вероятностями Pj(0 = PÍfO) = 0j] О = 1,удовлетворяющими системе

j, (у = 1,...,и) (2)

at J=1

Получены уравнения для начальных моментов первого порядка dMAt) »

-¿r = AJMJít) + Y,"}MA<) (7 = 1,.-,") и система матричных уравнения для начальных моментов второго порядка dD At) . »

1=1

Устойчивость нулевого решения системы матричных моментных уравнений первого порядка равносильна устойчивости нулевого решения системы уравнений (1) в среднем. Устойчивость нулевого решения системы матричных моментных уравнений второго порядка равносильна устойчивости нулевого решения системы уравнений (1) в среднем квадратичном

Кроме того, в главе приведены известные результаты в виде необходимых и достаточных условий ¿^устойчивости решений нестационарных систем. На основе этих результатов с помощью функций Ляпунова найдены необходимые и достаточные условия /^-устойчивости моделей, описываемых системами с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.

Основные стохастические функции Ляпунова задаются соотношениями

00

v. (t, X) = Х*С5(t)X = \{w{X(t),д(ф I X(t) = X, g(t) = )dt (s = 1,...,«), , 1

где w(X, g{t)) = X R{g(t))X - положительно определенная квадратичная форма.

Система уравнений для определения функций Ляпунова имеет вид

8v,(t,X) DvÁt,X) . v А . п ,

OÍ UX 1

и равносильна системе матричных уравнений dС (t} п

,Л } + а;с,(0 + С,0)А, + Bs + £ a„c,(t) = 0 (i = 1, ,»)

«t U\

Однородная система уравнении dC С/1 я

—£±+A\C,(t) + C,{t)A, +1 а„С,(0= 0 (5 = 1, ,и),

является сопряженной к соответствующей системе моментных уравнений для матриц начальных частных моментов второго порядка dO j (t)

■^AjDjiQ + DjW'j+'Zaj.D.Q) 0 = 1 ,..,")• (3)

at „1

Доказана следующая теорема.

Теорема 1. Пусть система пинейных дифференциальных уравнений (1) имеет кусочно-постоянные случайные коэффициенты, зависящие от однородного марковского процесса д(>), плотности распределения которого определяются системой уравнений (2). Чтобы нулевое решение системы (1) было Ь-устойчиво и асимптотически устойчиво в среднем квадратичном, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из условий:

1. Нулевое решение системы моментных уравнений для матриц нача льных частных моментов второго порядка (3) быю асимптотически устойчиво при г1 —> +оо .

2. Нулевое решение однородной системы уравнений

^¿2+4(г)С,(0 + С,(1)А,(О + £а1.О)СЛО = 0 = 1, ,п),

являющейся сопряженной к соответствующей системе моментных уравнений (3), было асимптотически устойчиво при t —> —оо.

3. Система матричных линейных уравнений для матриц начальных частных моментов второго порядка

Н} = ]еа''е^Пу(0)еА>Л 0 = 1,...,«) з=1 о ' 0 '

при любых Н;> 0 имела положительное решение DJ > 0 (j = 1, ,п)

4. Система матричных линейных уравнений

+ ± а^е'-'е^'С^'Л, С, = (* = 1, ,„). (5)

'=1 о о

1*1

При любых О, > О имела положительное решение С, > О (.V = 1, ,п).

5. Система уравнений (4) при некоторых матрицахН1 > о, например, Н ] = Е, имела положительное решение > О О = 1, .,п) .

6. Система уравнений (5) при некоторых матрицах С! > О, например, й, = Е, имела положительное решение С, > О (.V = 1, ,п).

7. Метод последовательных приближений решения системы (4)

= Я, + £а&ь'е^П^'сИ, /)<°> = 0 (к = 0,1,2,...;; = 1 ,...,„)

i=l о

S*J

сходился при н 1 > 0 (у = 1, ,и)

8. Метод последовательных приближений решения системы (5) С^^в. + ^а^е'^С^Л, С<°'=0 (к = 0,1,2, ,5 = 1, ,«)

з=1 о '*}

сходился при Gs > 0 (л = 1,. ,и).

9. Система матричных уравнений „

^ + + = (У = 1, • ,»)

при В, >0 0=1. ,") имеларешение DJ>0 (у = 1, ,,п) 8

10. Система матричных уравнений Ляпунова

л;с, + с,А, + В, + £ а „С, =0 (5 = 1, ,и)

1=1

при В; >0 (5 = 1, ,«) имела решение С\ > О (л = 1, ,и).

Кроме того, дчя Ь-устойчивости и дчя асимптотической устойчивости в среднем квадратичном нулевого решения системы (1) достаточно, чтобы при некоторых матрицах DJ >0 0=1, ,п) выполнялись неравенства

А^ + +£а;Л < О О = I,- ,п) (6)

или, чтобы при некоторых матрицах С 5 > 0 выполнялись неравенства

А\С, + + ¿Я/А < о (5 = 1,. ,«). (7)

1=1

Неравенства (6) и (7) могут быть использованы для приближенного исследования устойчивости решений системы уравнений (1).

Полученные результаты опубликованы в работе [13]. В дальнейшем полученные результаты обобщены на класс систем с полумарковскими коэффициентами. В работе [4] приведен пример исследования /^-устойчивости математической модели, представляющей собой линейное дифференциальное уравнение с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.

В третьей главе получены уравнения для первых и вторых начальных моментов математических моделей, которые определяются системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

Рассмотрена математическая модель, описываемая системой линейных дифференциальных уравнений

0 (8) где д(1) - полумарковский конечнозначный процесс, принимающий конечное число состояний в случайные моменты времени

Со <4 <4 <■■■)■

Полумарковский случайный процесс £"(0 определяется интенсивностями

переходов из состояния вк в состояние в5

00

= Ч,к (0 ^0 (/>0), = (*Д = 1, ,«) (9)

Пусть д(() имеет скачки в моменты времени ^, ^ , ^,... . Система (8) распадается на п систем дифференциальных уравнений, соответствующих различным реализациям случайного процесса

(*=1, >м*о), (Ю)

ш

для которых известны фундаментальные матрицы решений Nк (?) Xk{t) = Nk(t)Xk( 0), N к (0) = Е {к = 1,...,и). Если с(/у - 0) = вк и д^, +0) = в3 , то при / < / < /у+1 система уравнений (8) принимает вид

В момент ^ скачка процесса д(Т) решение системы (8) имеет скачок, определяемый уравнением

Х{г1 + 0) = С,кХ(1]-0), А<лсл*0 ,п) (12)

Доказана следующая теорема, определяющая частные плотности математических моделей, представляющих собой системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами (8).

Теорема 2. Пусть коэффициенты системы линейных дифференциальных уравнений (8) зависят от полумарковского конечнозначного случайного процесса д(1) , который определен интенсивностями (£, к = 1,...,«) из (9). Пусть между двумя последовательными скачками случайного процесса £"(/) при < ? < при д{1) = в5 система уравнений (8) совпадает с системой (11). Пусть решения системы уравнений (8) имеют скачки вида (12), происходящие одновременно со скачками процесса д(1). Тогда частные плотности fk{t,X} случайного процесса (X(I), д(!)) определяются уравнением Г(1,Х) = КО*(0,Х), (13) оператор удовлетворяет операторному уравнению

ко = У(0Я(0 + } щ- г)5(г)й(гМг; (14)

где F(í, X)— вектор-столбец частных плотностей /к (/, X) (к = 1,...,п); ¿(0 = | — стохастические операторы Г'О) = I(/')F(0) (! > 0);

*Р(') р', | — матрица вероятностей, с которыми процесс остается в

состоянии вк; = ^ Я = \<1Ц [ — стохастические операторы.

Полученные результаты опубликованы в работе [10].

Для вывода моментных уравнений системы (8) использовались полученные уравнения для плотности распределения решений /к(!,Х) (к = 1, ,п) случайного процесса (X (/), дО)) (13) Доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть выполнены условия теоремы 2. Тогда математическое

п

ожидание М(1) = {^(0) = (0 случайного решения системы (8)

к=!

определяется системой матричных интегральных уравнении

1

Мк (0 = щк №„ (0А/4 (0) +1 гЛ* ~ С - *Ук №. (15)

о

1=1 о 1=1

а матрица вторых начальных моментов £>(/) = * (')) =

определяется системой интеграпьных уравнений

Ок (0 = ¥к тк №к (0)< (0 + } ¥к (Г - т)Мк (? - (г)^; (Г - х)с!г,

о

^ С)=I Чь (0СЬ N. (ОА (0)< (/)с; +

(*=1, ,«) (16)

О »=1

Для исследования устойчивости математических моделей в среднем используется система (15), а для исследования устойчивости моделей в среднем квадратичном - (16) Результаты опубликованы в работах [8,10].

С помощью моментных уравнений получены необходимые и достаточные условия /^-устойчивости математических моделей (8) с полумарковскими коэффициентами.

Нулевое решение системы (8) Ь2-устойчиво в том и только том случае,

оо

когда сходится матричныи интеграл

о

Системы линейных уравнений (16) для матриц Бк, IVк имеют вид

ик = / А(/)Л = ]¥ктк№к(0)М'к«)<а + ]ч,ктк«)1Гкы'к(0л (к = 1,. ,,п)

0 0 о

= + (к = I, ,«) (17)

о »"1 о

Используя обозначения Вк=0к(0)+Щс (к=\...,п), система матричных уравнений (17) будет определяться соотношением

Вк =/\(0) + 1]<иОСьЛГДОЯХ(')С;<Й (* = 1,. ,я). (18)

5=1 О

Найдены необходимые и достаточные условия /^-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений (8) с полумарновскими коэффициентами.

Теорема 4. Пусть для системы линейных дифференциальных урс!внений (8) со скачком решений выполнены условия теорем 2, 3.

Для того, чтобы нулевое решение системы (8) было Ь2-устойчивым необходимо и достаточно выполнение одного из условий:

1. Система уравнений (18) при любых Ок(0) > 0 (к = 1, ,п) имела положительное решение Вк> О (к = 1,. ,и).

2. Система уравнений (18) при Ок(Р) = Е (к = 1,. ,«) имела положительное решение Вк > 0 (£=1, ,п).

3. Сходился метод последовательных приближений решения системы (18)

= Ок(0) + ±]дь(()СьЫ^)В^Н:{1)Си1, фп 0 (¿ = 1,. ,и,7 =0,1,2,..).

з-1 О

4. Оператор Ь имел спектральный радиус меньше единицы.

Кроме того, для L ^устойчивости решений системы (8) достаточно, чтобы при некоторых матрицах Вк> О (к = \,...,п), выполнялись неравенства

Вк - ¿Ï<7ь(')Сk,N,{t)B3N',(t)C'kidi > О (* = !,. „и)

г=1 О

Результаты опубликованы в работе [12]. В [1] приведен пример исследования ¿^-устойчивости математической модели, представляющей собой линейное дифференциальное уравнение с полумарковскими коэффициентами.

В работах [7, 11] опубликован вывод моментных уравнений и уравнений для плотности распределения решения математических моделей, описываемых стохастическими системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

Получены уравнения для определения стохастических функций Ляпунова, с помощью которых найдены необходимые и достаточные условия L- устойчивости математических моделей, описываемых системами стохастических дифференциальных уравнений с полумарновскими коэффициентами.

Исследована линейная система стохастических дифференциальных уравнений dX = A(t,ç(t ))X(t )dt + G(t, ç(t ))X(t )dw(t ) (19)

где ç(t) - полумарковский процесс, принимающий конечное число состояний вх,...,в п в случайные моменты времени t0,tut2, , (tQ <tl <t2 <...), w(t) - стандартный винеровский процесс. Пусть ç(t) имеет скачки в моменты t0,tl,....

Основные стохастические функции Ляпунова имеют вид

Î fJok(X)fk(0,X)dX=fd \ск о АУ* fk(0,X)dX =j^Ck о Dk(0),

ЕпМ к. 1

ик(Х) = Х*СкХ (к= 1.....п)

Пусть X к (t) - случайное решение системы (19) при начальных условиях Х(0) = X и ç(0) - 0к . При ç(t) = ek (I >0) справедливо равенство

^Xk(t)=Nk(t)X (к = 1.....п),

где N к (t ) - случайные матрицы, определяющие решение системы уравнений dX = Ak(t)X(t)dt+ Gk(t)X(t)dw(t) (к = \,.,п). (20)

При скачке полумарковского процесса ç(t) происходит скачок решения системы, определяемый векторным уравнением (12). При этом уравнение для функций Ск (к = 1,...,п) имеет вид

® » 00 (21)

ск = Qt + fi чЛ (г)г; (r)c; csc!kdz ,Qk^\Vk «г; тк m

Система уравнений для функций Ляпунова определяется соотношением

ок(Х) = ]Yk(t){yvk(t,Nk(t)X))jt+ J£ qsk (T)T'k(t)vs(X)dt (к = 1.....н) (22)

О 0 »=1

Нами получены необходимые и достаточные условия ¿^-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных стохастических дифференциальных уравнений (19) с полумарковскими коэффициентами, сформулированные в виде следующей теоремы.

Теорема 5. Пусть коэффициенты системы стохастических линейных дифференциальных уравнений (19) зависят от полумарковского кстечнозначного случайного процесса д(?), который определен заданными интенсивностями дхк({) ($,к = \,...,п) (9). Пусть между двумя последовательными скачками случайного процесса д(1) при г] < г < при д(Х) = в5 система стохастических уравнений (19) совпадает с системой (20). Пусть решения системы стохастических уравнений (19) имеют скачки вида (12), происходящие одновременного скачками процесса д(1). Пусть несобственные матричные интеграчы |'//<-(1){ик(1 )И*к (1 ^ Л<да и являются положительно определенными симметрическими матрицами. Тогда для того, чтобы нулевое решение стохастической системы уравнений (19) было Ь-устойчиво необходимо и достаточно выполнения одного из следующих условий:

1. Система уравнений (21) при ()к >0 (к =1 ,...,п) имела решение Ск>0(к = \,...,п).

2. Сходился метод последовательных приближений решения системы (21) С*0+1> = б* + ]£ Чл(*)Г1(т)СлС,Сл<1т СГ -0 (к = 1,...,«;у = 0,1,2,...; •

Кроме того, для Ь-устойчивости решений стохастической системы (19) достаточно, чтобы при некоторых симметрических положительно определенных матрицах Ск> 0 (к = \,...,п) выполнялись неравенства

Ск-]£ч,к(т)Тит)С;кС,СЛ<1т>0 (к = \,...,п).

О '=1

Результаты опубликованы в работах [5,6, 9].

Рассматриваемая теория применима как к уравнениям невозмущенного движения, так и к уравнениям возмущенного относительно среднего движения. При этом все доказанные теоремы справедливы и для уравнений возмущенного движения. В случае ¿^устойчивости модели, описываемой уравнением с марковскими, полумарковскими коэффициентами или возмущениями типа «белого шума», уравнение для начальных моментов первого порядка адекватно описывает рассматриваемую модель В случае, если модель неустойчива в среднем, то исследуется ¿^-устойчивость уравнения возмущенного движения. Если возмущенное движение относительно математического ожидания ¿^-устойчиво, то и в этом случае моментные уравнения первого порядка характеризуют вероятностную модель независимо от того, каким случайным процессом вызвано возмущение: марковским, полумарковским или типа «белого шума».

Возможности практического применения полученных моментных уравнений на примерах демографической модели народонаселения и модели динамики развития фирмы представлены в четвертой главе. Предложена методика расчета моделей и программная реализация модели народонаселения. Проведен численный расчет, подтверждающий адекватность модели народонаселения реальным демографическим процессам. Получено графическое отображение результатов в виде кривых зависимостей демографической ситуации по группам стран мира с перспективой на 15 лет до 2015 года.

Вероятностная модель народонаселения Исследуется первое приближение логистического уравнения, описывающего эволюцию биологической популяции

йХ ^ Кр-Кс

-= ал , а =--пх\

а юоо (23)

где X - численность населения, а - разность коэффициентов рождаемости К и смертности Кс на 1000 населения.

Демографические процессы в различных странах носят случайный характер, поэтому уравнение (23) будет точнее описывать изменение численности населения, если коэффициент а зависит от случайного процесса и не зависит от предыстории. Поэтому коэффициент а можно считать зависящим от марковского или полумарковского процесса.

Совокупность вероятностей перехода показателей рождаемости и смертности из одного состояния в другое определяется матрицей переходных вероятностей. Разброс значений Кр и Кс в последние годы незначителен. Поэтому можно считать, что процесс имеет только два крайних и среднее состояния.

Таким образом, исследуется математическая модель народонаселения, описываемая линейным дифференциальным уравнением (23) со случайным коэффициентом а, зависящим от марковского или полумарковского процесса, принимающего три состояния, и постоянной на периоде прогнозирования матрицей переходных вероятностей, которая меняется в зависимости от рассматриваемой территории.

Уравнения для математического ожидания получены во второй главе и имеют вид

<ММ) »

—¿-^^(о+Ём^с) 0=1, ,«)

м

Уравнение для начальных первых моментов уравнения (23) в дискретном случае определяется соотношением

3 3

+ = М(Й) = 5Х(А) (у = 1, 2, 3; А = 0,1, 2, ), (24)

' »=1 5=1

где М,(А) — частные моменты первого порядка, И - шаг изменения времени (в данном случае 1 год), тс - элементы матрицы переходных вероятностей, а3 - коэффициенты уравнения (23) для случаев максимальной, средней и минимальной рождаемости и смертности.

Моделирование динамики численности населения опубликовано в работе [3].

Методика расчета модели народонаселения

1. Выделить регион расчета.

2. Определить начальную численность населения региона расчета - значения первых начальных моментов в начальный момент времени.

3. Выбрать максимальные, средние и минимальные коэффициенты рождаемости и смертности.

4. Вычислить значения коэффициентов уравнения (23) для максимальных, средних и минимальных коэффициентов рождаемости и смертности.

5. Разбить административные части региона в соответствии с коэффициентами рождаемости и смертности и представить их количество элементами матрицы^.

6. Построить матрицу переходных вероятностей П путем нормирования матрицы А по столбцам при условии, что сумма элементов каждого столбца должна равняться единице.

7 Провести расчет модели в соответствии с уравнением для первых начальных моментов (математического ожидания) (24) и графически представить результат.

Следуя приведенной методике, проведено моделирование динамики численности населения мира в соответствии с регионами Восточная Азия и Тихий океан, Европа и Средняя Азия, Латинская Америка и страны Карибского моря, Ближний Восток и Северная Африка, Южная Азия, Африка района Сахары, предложенными Всемирным Банком.

За начальный момент времени принят 2000 год. В качестве значений общей численности населения в 2000 году по регионам и коэффициентов рождаемости и смертности по странам использовались данные Всемирного Банка.

Для графического отображения результатов разработана программа в среде С++ ВшЫег 6, позволяющая получить численное и графическое отображения результатов на 15 лет вперед до 2015 года. При изменении ситуации в мире программа позволяет откорректировать исходные данные и получить уточненный прогноз.

Согласно предложенной методике для стран Европы и Средней Азии получены следующие результаты, представленные на рисунке 1.

.'.'.01Г И)['<1ВАНИЕ Л1МГ.Г |><ФИЧГ<Н|- ПГНП Ч.Л! ;«. _ |Х

;щтЩГ ' ">?<"< .......У "4- %, " ~-Щ(Г "к {

Рисунок 1 - Моделирование динамики численности населения стран Европы и Средней Азии.

Для проверки адекватности модели исследовалась /^-устойчивость возмущенного движения относительно первого начального момента.

На рассматриваемом временном интервале данные разброса аппроксимируется убывающей экспонентой (рисунок 2), интеграл которой является сходящимся. Таким образом, на интервале расчета показано, что возмущенное движение /^-устойчиво и, поэтому построенная с помощью уравнений для начальных моментов первого порядка математическая модель адекватно отражает динамику численности населения.

время, года

Рисунок„2-- График изменения средней численности населения стран Ёвропы и Средней Азии с вероятностным разбросом значений

Данные результаты подтверждают надежность и адекватность мЬдели и возможности ее использования для дальнейших прогнозов.

На рисунке 3 представлены сводные результаты моделирования динамики численности населения мира по группам стран

# # # / / / / # ^ ** время, годы

г— Восточная Азия и Тихий океан

— Южная Азия

-Африка района Сахары

Латинская Америка и страны Карибского моря

■Европа и Средняя Азия

-Ближний Восток и Северная Африка

Рисунок 3 - Моделирование динамики численности населения по группам стран мира.

Проведенный численный расчет модели на основе предложенной методики и сравнение полученных результатов со статистическими данными 2001,2002, 2003 года и данными прогноза Всемирного Банка на 2015 год, представленными в таблице 1, также показывают адекватность построенной модели народонаселения реальным демографическим процессам.

Таблица 1 - Относительная погрешность результатов прогнозирования по сравнению со статистическими данными (2001, 2002,2003 гг.) и прогнозом Всемирного Башса (2015 г.)

Группа стран

По сравнению со статистическими данными 2001 года, %

По сравнению со статистическими данными 2002 года, %

По сравнению со статистическими данными 2003 года, %

По сравнению с прогнозом Всемирного

Банка на 2015 год, %

Ближний Восток и Северная Африка

0,121

0,104

0,245

2,726

Восточная Азия и Тихий океан

0,067

0,262

Европа и Средняя Азия Латинская Америка и страны Карибского моря

0,337

1,058

0,035

0,005

0,349

0,181

1,510

4,876

0,281

1,920

Южная Азия

0,645

0,251

0,122

2,581

Африка района Сахары

Пределы погрешности

0,078

0,134

0,040

1,281

0,035 - 0,645

0,005-1,058

0,122-1,510

0.181-4,876

Вероятностная модель динамики развития фирмы Аналогично демографической задаче ставится задача исследования динамики развития фирмы. Рассмотрено предприятие, занимающееся предпринимательско-хозяйственной деятельностью, структура которого предполагает наличие отдельных подразделений. Каждое структурное подразделение характеризуется начальным финансовым капиталом в данный момент времени и показателями дохода и расхода.

Для моделирования динамики развития фирмы, то есть изменения начального капитала предприятия в течение определенного промежутка времени, рассматривается линейное приближение логистического уравнения

dX v D-R

—- = аХ. а =-

dt R

(25)

где О - сумма дохода предприятия, R - сумма затраченных средств.

Таким образом, коэффициент а будет характеризовать рентабельность предприятия, т.е. отношения суммы прибыли к сумме затраченных средств.

Процессы на экономическом рынке носят явно выраженный случайный характер, поэтому уравнение (25) будет точнее описывать динамику развития фирмы, если коэффициент а зависит от случайного процесса и не зависит от предыстории. Поэтому коэффициент а будет характеризоваться марковским или полумарковским процессом. Совокупность вероятностей перехода показателей доходности и убыточности из одного состояния в другое можно записать в виде матрицы переходных вероятностей. Таким образом, построена математическая модель, представляющая собой линейное дифференциальное уравнение (25) со случайным коэффициентом се, зависящим от марковского или полумар-ковского процесса, и постоянной на периоде прогнозирования матрицей переходных вероятностей. Методика расчета модели динамики развития фирмы аналогична методике расчета модели народонаселения

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

В процессе выполнения работы получены следующие основные результаты. 1. Получены уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей с марковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном и /^-устойчивость рассматриваемых моделей 2 Получены с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия /^-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднеквадратичном математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.

3. Получены уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей с полумарковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном и /^-устойчивость рассматриваемых моделей.

4. Получены с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка необходимые и достаточные условия /^-устойчивости математических моделей, которые определяются системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами

5. Получены с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и " достаточные условия /^-устойчивости математических моделей,

описываемых системами линейных стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

6. Построены модифицированная модель народонаселения и модель динамики развития фирмы с помощью моментных уравнений первого порядка, позволяющие исследовать динамику численности населения и развития фирмы.

7. Разработана общая методика расчета предложенных моделей и программная реализация модели народонаселения, обеспечивающая получение значений численности населения и графическое отображение результатов моделирования на определенный временной период.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Бань ко М А. /^-устойчивость линейного дифференциального уравнения со случайными коэффициентами // Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18. Сб. трудов XVIII Международ, науч. конф. В 10 т Т. 1. Секция 1 Качеств и числ. методы исследования диф. уравнений / Под общ ред. В С. Балакирева, г. Казань, 31 мая - 2 июня. - Казань: Изд-во Казанского гос. технол. ун-та, 2005. С. 50-54.

2. Бань ко М. А. Исследование подходов к определению устойчивости систем дифференциальных уравнений со случайными параметрами // Сборник материалов V региональной научно-практической конференции «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование». В 2 ч. Ч. 1. г. Ставрополь, 26 мая 2005 года. - Ставрополь' Изд-во СИУ, 2005. С. 120-129.

3. Банько М А. Моделирования динамики изменения численности населения на базе марковских моделей // Сборник материалов V региональной научно-практической конференции «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование». В 2 ч Ч 1. г. Ставрополь, 26 мая 2005 года. - Ставрополь: Изд-во СИУ, 2005. С. 129-137.

4 Банько М А. Необходимые и достаточные условия /^-устойчивости нулевого решения линейного дифференциального уравнения с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами // Материалы VII Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность», г. Таганрог, 4-8 июля 2005 года. - Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2005. С. 28-30.

5. Банько М.А Постановка задачи построения функции Ляпунова для системы стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами. // Материалы первой международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» г. Ставрополь, 19 декабря 2004 г. - Ставрополь: Изд-во Сев-КавГТУ, 2004. С. 346-348

6 Банько М А Результаты исследования /^-устойчивости решения системы стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами // Материалы первой международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» г. Ставрополь, 19 декабря 2004 г. -Ставрополь: Изд-во Сев-КавГТУ, 2004. С. 348-351

7 Карелова О Л., Банько М.А Вывод моментных уравнений для стохастической системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковского процесса // Обозрение прикладной и промышленной математики, Т. 11, вып. 4, 2004. С 830-831

8. Карелова О.Л., Банько М.А. Вывод уравнений для моментов решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами // Известия Томского политехнического университета -2005. - Т. 308. - № 4. С. 14-19.

9. Карелова О.Л., Банько М.А. Исследование ¿^-устойчивости нулевого решения системы стохастических линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковского процесса // Информационные технологии моделирования и управления Международный сборник научных трудов. Выпуск 18/ Под ред. д-ра техн. наук, проф. О.Я. Кравца - Воронеж: Издательство «Научная книга», 2004. С. 24-29.

10. Карелова О.Л., Банько М.А. Моментные уравнения системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами. // Моделирование. Теория, методы и средства: Материалы V Междунар. науч.-пракг. конф. - Новочеркасск, 8 апр. 2005 г.: В 5 ч. / Юж.-Рос. гос. техн. ун-т (НПИ). - Новочеркасск: ЮРГТУ, 2005. - 4.1. С. 16 - 18

11. Карелова О.Л., Банько М.А. Плотность распределения решения стохастической системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковского процесса // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2005. Приложение №4. С. 4-7.

12. Карелова О.Л., Банько М.А Получение необходимых и достаточных условий ¿^-устойчивости решения системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковского процесса // Известия Вузов. Северо-Кавказский регион. Естественные науки, 2005. Приложение №4. С. 7-12.

13. Карелова О.Л., Семенчин Е А., Банько М.А Условия ¿2-устойчивости решения системы линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами // Материалы Всероссийской конференции с международным участием «Математика, ее приложения и математическое образование», г. Улан-Удэ, 26-30 июня 2005 года - Улан-Удэ, Изд-во ВСГТУ, 2005. С. 110-115.

Цитированная литература

1*. Валеев К.Г., Карелова О.Л , Горелов В И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. Монография. - М.: Изд-во РУДН, 1996 -258 с.

Подписано в печать 11.11.2005 г. . печ л. 1,16 Заказ № 201, тираж 100 экз.

Отпечатано в типографии Ставропольского института управления

*

f

»25272

РНБ Русский фонд

2006-4 28837

Введение 2005 год, диссертация по информатике, вычислительной технике и управлению, Банько, Мария Анатольевна

В настоящее время все более широкое распространение получают вероятностные модели, которые в отличие от детерминированных более полно и точно отражают реальные процессы, происходящие в технике, природе и обществе. Описание этих моделей приводит либо к обыкновенным дифференциальным уравнениям, параметрами которых являются случайные функции времени, либо к стохастическим дифференциальным уравнениям. При реализации вероятностных моделей реальных процессов основное внимание обращается на их устойчивость, что привело к созданию соответствующего направления в теории устойчивости - стохастической теории устойчивости. Теоретические основы исследования устойчивости для систем дифференциальных уравнений со случайными параметрами были заложены А.Н. Колмогоровым в 1938 году.

В дальнейшем его подходы были развиты в работах P.JI. Стратоновича, Дж.Е. Бертрана и P.E. Сарачека, H.H. Красовского, A.M. Тихонова, И.Я. Каца, Р.З. Хасьминского, A.B. Скорохода, К.Г. Валеева, O.J1. Кареловой, Г.Н. Милыптейна и других авторов.

Работы всех исследователей опираются либо на изучение уравнений типа уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова и вероятностные свойства решений стохастических дифференциальных уравнений, либо на анализ мо-ментных уравнений с последующим применением методов Ляпунова.

Наиболее разработанной является теория систем с «белыми шумами» и марковскими процессами. Теория устойчивости математических моделей, представляющих собой системы дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковских процессов, является менее изученной. Поэтому рассмотрение и исследование математических моделей с полумарковскими коэффициентами является актуальным.

В работе К.Г. Валеева, O.JT. Кареловой, В.И. Горелова [26] введено понятие ¿^-устойчивости линейных систем со случайными параметрами. Исследование ¿¿-устойчивости позволяет обоснованно применять уравнения для первых начальных моментов при построении математических моделей систем.

Диссертационная работа продолжает исследования применения мо-ментных уравнений и приложения введенного понятия ¿¿ устойчивости к моделированию различных процессов со случайными параметрами.

Цель исследования. Целью диссертационной работы является исследование устойчивости математических моделей со случайными параметрами.

Объектом исследования являются математические модели с марковскими и полумарковскими коэффициентами, а также математические модели систем, находящих под действием возмущений типа «белого шума».

Предметом исследования является устойчивость рассматриваемых моделей на основе математического аппарата методов моментных уравнений и функций Ляпунова.

Задача исследования. Задачей диссертационного исследования является нахождение необходимых и достаточных условий ¿¿-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднем и среднеквадратичном математических моделей, представляющих собой линейные системы с марковскими и полумарковскими коэффициентами и возмущениями типа «белого шума», и применение полученных результатов для построения моделей народонаселения и динамики развития фирмы.

Поставленная задача декомпозируется на частные подзадачи:

1) получить уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей, представляющих собой системы линейных дифференциальных уравнений с марковскими коэффициентами;

2) получить с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿¿-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднеквадратичном математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами;

3) получить уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей, представляющих собой системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами;

4) получить с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка необходимые и достаточные условия /^-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами;

5) получить с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿2-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами;

6) построить модифицированную демографическую модель народонаселения и модель динамики развития фирмы с помощью моментных уравнений первого порядка;

7) разработать методику расчета построенных моделей изменения численности населения и развития фирмы.

Методы исследований. Решение поставленных задач основывается на использовании математического аппарата линейных дифференциальных и операторных уравнений, методов теории детерминированной и стохастической устойчивости, объектно-ориентированного программирования.

Научная новизна полученных результатов.

1) Получено описание моментными уравнениями первого и второго порядка математических моделей со случайными параметрами, которые представляют собой системы линейных дифференциальных уравнений с марковскими и полумарковскими коэффициентами.

2) Известные методы моментных уравнений и функций Ляпунова, применявшиеся ранее для исследования устойчивости в среднем, среднеквадратичном и ¿^-устойчивости вероятностных моделей, обобщены на линейные математические модели марковского и полумарковского типа. Получены необходимые и достаточные условия £ ¿-устойчивости рассматриваемых моделей.

3) Показано, что случайный процесс полностью описывается моментным уравнением первого порядка в случае, когда система ¿2-устойчива, либо ¿¿-устойчиво отклонение системы от математического ожидания.

4) Построена модифицированная демографическая модель народонаселения и модель динамики развития фирмы на основе моментных уравнений вероятностных моделей с марковскими параметрами, позволяющая исследовать изменение со временем численности населения и динамику развития фирмы.

5) Разработана общая методика расчета предложенных моделей с учетом случайного характера коэффициентов, позволяющая получить значения численности населения и графическое отображение результатов моделирования.

Практическая значимость полученных результатов.

1. Исследование математических моделей со случайными параметрами, обладающих свойством /^-устойчивости, можно заменить исследованием поведения уравнений первых начальных моментов.

2. Предложенные математические методы применимы для исследования устойчивости вероятностных моделей из различных областей прикладной математики: демографии (прогнозирование численности населения), финансовой математики (исследование портфеля ценных бумаг, расчет опционов и др.), экономики (динамика развития отрасли хозяйства или фирмы, распространение рекламной продукции и др.), экологии, механики, теории управления и оценивания и др.

3. Предложенная методика расчета моделей народонаселения и динамики развития фирмы применима для широкого спектра задач, в которых уравнения изменения состояния описываются системами линейных дифференциальных уравнений с марковскими и полумарковскими коэффициентами.

Реализация и внедрение. Модифицированная математическая модель народонаселения, методика расчета и ее программная реализация внедрены в практическую деятельность Территориального органа по Ставропольскому краю Федеральной службы государственной статистики (Ставропольстата), что подтверждается соответствующим актом о внедрении результатов диссертационного исследования. Отдельные положения использованы в учебном процессе СГУ при подготовке студентов по специальности Прикладная математика и информатика в рамках дисциплины «Случайные процессы и их приложения».

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационном исследовании теоретических и практических результатов, формулировок теорем обеспечивается корректным применением аппарата математического и функционального анализа, теории случайных процессов, теории устойчивости.

Адекватность предложенной модели народонаселения реальным демографическим процессам подтверждается результатами численного расчета и их сравнением со статистическими данными. Относительная погрешность на срок 2 года (по отношению к статистическим данным на 2002 год) не превышает 1,058% и находится в пределах 0,005% — 1,058%, а на срок 15 лет (по отношению к прогнозу Всемирного Банка на 2015 год) - не превышает 4,876% и находится в пределах

0.181.-4.876%.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту.

1. Моментные уравнения первого и второго порядка математических моделей с марковскими и полумарковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном и ¿¿-устойчивость рассматриваемых моделей.

2. Необходимые и достаточные условия ¿¿-устойчивости (полученные с помощью стохастических функций Ляпунова) математических моделей с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.

3. Необходимые и достаточные условия /^-устойчивости (полученные с помощью моментных уравнений) математических моделей с полумарковскими коэффициентами.

4. Необходимые и достаточные условия ¿2~устойчивости (полученные с помощью стохастических функций Ляпунова) математических моделей, описываемых системами стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

5. Модифицированная демографическая модель народонаселения и модель динамики развития фирмы, построенные на основе применения моментных уравнений к вероятностным моделям с марковскими коэффициентами, и методика расчета этих моделей.

Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались на V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (Сочи, 2004 г.), первой Международной научно-технической конференции «Инфотелекоммуникационные технологии в науке, производстве и образовании» (Ставрополь, 2004 г.), XVIII Международной научной конференции «Математические методы в технике и технологиях - ММТТ-18», (Казань, 2005 г.), Всероссийской конференции «Математика и ее приложение в математическом образовании - 2», (Улан-Удэ, 2005 г.), VII Международной научно-практической конференции «Информационная безопасность» (Таганрог, 2005 г.), V Международной научно-практической конференции «Моделирование. Теория, методы и средства» (Новочеркасск, 2005 г.), V региональной научно-практической конференции «Совершенствование методов управления социально-экономическими процессами и их правовое регулирование» (Ставрополь, 2005 г.).

Опубликованносгпь результатов. Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах: из них 4 - в изданиях, включенных в перечень научных и научно-технических журналов, издаваемых в Российской Федерации, в которых рекомендуется публикация основных результатов диссертационных исследований на соискание ученой степени доктора наук

Известия Томского политехнического университета», «Известия вузов. Северо-Кавказский регион» и «Обозрение прикладной и промышленной математики»), 8 - в сборниках материалов региональных, Всероссийских и Международных конференций.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы (содержащего 126 наименований). Основная часть работы изложена на 155 страницах машинописного текста, содержит 12 рисунков и 7 таблиц.

Заключение диссертация на тему "Применение метода моментных уравнений для построения и исследования устойчивости математических моделей со случайными параметрами"

4.5. Выводы по четвертой главе

1. С помощью полученных моментных уравнений, построены модифицированная модель народонаселения и модель динамики развития фирмы, учитывающая зависимость от марковских или полумарковских процессов коэффициентов модели.

2. Разработана методика расчета построенных моделей, основанная на применения уравнений для начальных моментов первого порядка, учитывающая случайный характер коэффициентов систем, описывающих данные модели.

3. Доказана обоснованность применения моментных уравнений с помощью исследования ¿¿-устойчивости возмущенного движения.

4. Проведен численный расчет демографической модели, подтверждающий полноту и адекватность модели реальной системе. Относительная погрешность на срок 2 года (по отношению к статистическим данным на 2002 год) не превышает 1,058% и находится в пределах 0,005% - 1,058%, на срок 15 лет (по отношению к прогнозируемым данным Всемирного Банка на 2015 год) - не превышает 4,876% и находится в пределах 0.181%-4,876%.

5. Получены кривые зависимости демографической ситуации по группам стран мира, позволяющие исследовать динамику изменения численности населения с перспективой на 15 лет до 2015 года.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения работы получены следующие основные результаты.

1. Получены уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей с марковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном, и ¿^-устойчивость рассматриваемых моделей.

2. Получены с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия /^-устойчивости и асимптотической устойчивости в среднеквадратичном математических моделей, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.

3. Получены уравнения для начальных моментов первого и второго порядка математических моделей с полумарковскими коэффициентами, позволяющие исследовать устойчивость в среднем, среднеквадратичном, Ь2-устойчивость рассматриваемых моделей.

4. Получены с помощью уравнений для начальных моментов первого и второго порядка необходимые и достаточные условия ^-устойчивости математических моделей, которые определяются системами линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

5. Получены с помощью стохастических функций Ляпунова необходимые и достаточные условия ¿¿-устойчивости математических моделей, описываемых системами линейных стохастических дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

6. Построена модифицированная модель народонаселения и модель развития фирмы с помощью моментных уравнений первого порядка, позволяющая исследовать динамику численности населения и развития фирмы.

7. Разработана общая методика расчета предложенных моделей и программная реализация модели народонаселения, обеспечивающая получение значений численности населения и графическое отображение результатов моделирования на определенный временной период.

Библиография Банько, Мария Анатольевна, диссертация по теме Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

1. Агафонов С.А., Герман А.Д., Муратова Т.В. Дифференциальные уравнения. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004.

2. Анапольекий Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. В сб.: Итоги науки и техники. Общая механика. -М.: ВИНИТИ, 1975. С. 53-112.

3. Андронов A.A., Понтрягин Л.С., Витт A.A. О статическом рассмотрении динамических систем.// ЖЭТФ. 1933. - 3. Вып.З. G. 165-180.

4. Артемьев В.М. Статистический анализ систем с обратной переменной структурой. // Проблемы повышения эффективности систем управления. Минск: Минсвязь, 1971. С. 34-41.

5. Артемьев В.М. Теория динамических систем со случайными изменениями структуры. Минск: Высшая школа, 1979. - 160 с.

6. Артемьев В.М., Ивановский A.B. Дискретные управления со случайным периодом квантования. М.: Энергоатомиздат, 1986. - 96 с.

7. Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 2003. - 614 с.

8. Базыкин А.Д. Математическая биофизика взаимодействующих популяций. М.: Наука, 1985.

9. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова. М.: Наука, 1970. - 240 с.

10. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969.

11. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1969. - 368 с.

12. Бендат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа. М.: Мир, 1983. - 312 с.

13. Бендерский М.М. Об асимптотике решений линейных уравнений со случайными коэффициентами // Матем. методы анализа динам, систем. -Харьков, 1977. С. 13-15.

14. Бестужев-Лада И.В. Основные этапы разработки прогнозов. (К комплексной методике социального прогнозирования) // Социологии, исслед. 1982, №1.

15. Бигон М., Харпер Дж., Таусенд К. Экология. Особи, популяции и сообщества. М.: Мир 1989.

16. Бондарос Ю.Г. Исследование стохастических характеристик линейной двухканальной системы с модуляцией методом моментов // АиТ, №2, 1975. С. 75-78.

17. Броди С.М., Погосян И.А. Вложенные стохастические процессы в теории массового обслуживания. Киев: Наукова думка, 1973. - 128 с.

18. Бухалев В.А. Оптимальная фильтрация в системах со случайной структурой // АиТ, №11, 1967. С. 122-126.

19. Бухалев В.А. Синтез управления марковским объектом со случайной структурой // АиТ, №8, 1979. С. 95-99.

20. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. Монография. М.: Изд-во РУДН, 1996.-258с.

21. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Аналитическое описание случайных процессов I. «Нелинейные задачи гидроаэромеханики и теории упругости». Т.2. Днепропетровск, 1987. С. 68-72.

22. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Аналитическое описание случайных процессов 11. «Нелинейные задачи гидроаэромеханики и теории упругости». Т.З. Днепропетровск, 1987. С. 64-69.

23. Валеев К.Г., Стрижак O.JI. Исследование устойчивости в линейных цепях со случайными параметрами. Первая Всесоюзная конф. по ТОЭ. Тез. докл. Ташкент, 1987. С. 21-22.

24. Валеев К.Г., Стрижак O.JI. Метод моментных уравнений. Киев: 1985. -56 с. - (Препринт/АН УССР, Ин-т электродинамики; 467).

25. Валеев К.Г., Стрижак.O.JI. Моделирование случайных процессов. Киев: 1985. - 56 с. - (Препринт/АН УССР, Ин-т кибернетики; 88-63).

26. Валеев К.Г., Стрижак O.JI. Стохастические дифференциальные уравнения с телеграфными белыми шумами. Киев. 1987. 20 с. Деп. в УкрНИ-ИНТИ 24.02.87. №832Ук.87.

27. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова. Киев: Науко-ва думка, 1981.-412 с.

28. Валентей Д.И., Кваша А.Я. Основы демографии. М.: Мысль, 1989. 286 с.

29. Венецкий И.Г. Математические методы в демографии. М.: Статистика, 1971.-296 с.

30. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М.: Наука, 1964. - 576 с.

31. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988. - 548 с.

32. Гихман И.И. К теории дифференциальных уравнений случайных процессов. 4.1. Укр. мат. жур., 1950, 2, №4, с. 37-63; 4.2, 1951, 3, №3, с. 317-339.

33. Гихман И.И. Об одной схеме образования случайных процессов. Докл. АН СССР, 1947, 58, №6, С. 961-964.

34. Гихман И.И. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений // Предельные теоремы и статистические выводы. Ташкент, 1966. С. 14-15.

35. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. М.: Наука, 1977.-567 с.

36. Горелов В.И., Карелова О.Л. Математическое моделирование в экологии. Монография. М.: Изд-во РУДН, 2000. - 197 с.

37. Горелов В.И., Карелова O.JI. Об одной модели народонаселения. Вестник РУДН, «Экология». М.: РУДН, 2001. С. 51-54.

38. Горелов В.И., Соловьев И.А. Моделирование миграционной ситуации на Северном Кавказе // Тезисы международной научной конференции «Проблемы миграции и опыт ее регулирования в полиэтничном Кавказском регионе». Москва-Ставрополь, 2003. С. 80-85.

39. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: Физматгиз, 1963.

40. Евланов Д.Г., Константинов В.Н. Системы со случайными параметрами. -М.: Наука, 1976.-568 с.

41. Жуковский Н.Е. О прочности движения. Уч. зап. Моск. ун-та, отдел физ.-матем., вып. 4, 1882.

42. Зубов В.И. Дифференциальные уравнения вероятностных распределений // Дифференциальные уравнения, 1979, т.25, №2. С. 351-353.

43. Казаков И.Е. Оценивание и идентификация в системах переменной структуры // АиТ, 1979, №11. С. 81-84.

44. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой. -М.: Наука, 1977.-356 с.

45. Карелова О.Л., Банько М.А. Вывод уравнений для моментов решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами // Известия Томского политехнического университета. 2005. - Т. 308. - № 4. С. 14-19.

46. Кац И Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург, 1998. - 222 с.

47. Кац И.Я. Об устойчивости движения стохастических систем с разрывными фазовыми траекториями. В сб. «Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений». Новосибирск: Наука, 1988. С. 179-185.

48. Кац И.Я., Красовский Н.Н. Об устойчивости систем со случайными параметрами // Прикладная математика и механика, 1960, №5. С. 809-823.

49. Колмановский В.Б. Об устойчивости стохастических систем с запаздыванием // Проблемы передачи информации, 1969. Т.5. Вып. 4. С. 55-59.

50. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 286 с.

51. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей // Успехи матем. науки, 1938. Вып. 5. G. 5-41.

52. Коловский М.З., Троицкая 3.В. Об устойчивости линейных систем со случайными параметрами // ПММ, 1972. Вып. 36. №2. С.218-224.

53. Коломиец В.Г., Кореневский Д.Г. Об устойчивости линейных систем со случайными возмущениями // Прикладная механика, 1967.- 3. Вып. 8. С. 119-123.

54. Коломиец В.Г., Притула H.H. Асимптотические методы в исследовании случайных колебаний в некоторых системах с распределенными параметрами и последействием. Препринт №33 Ин-т матем. АН УССР, 1985.-51 с.

55. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии. Киев: Наукова думка, 1989. -208 с.

56. Королюк B.C. Стохастические модели систем. Киев: Наукова думка, 1989.-210 с.

57. Королюк B.C., Свищук A.B. Полумарковские случайные эволюции. -Киев: Наукова думка, 1992. 256 с.

58. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения. Киев: Наукова думка, 1976. - 182 с.

59. Короновский A.A., Трубецков Д.И. Нелинейная динамика в действии. -Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. 324 с.

60. Красовский A.A. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М.:1968. - 314 с.

61. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. - 232 с.

62. Красовский H.H., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными параметрами // АиТ, 1961, №9. С.11.

63. Крылов Н.М., Боголюбов H.H. Про р1вняння Фоккера-Планка, що виво-диться в теорП петрубацш методом, заснованым на спектральных вла-стивостях пертурбацшного гамшьтошана. Зап. Каф. Мат. физики / Киев. ун-т, 1939, т.4. С. 5-158.

64. Кушнер Дж.Г. Стохастическая устойчивость и управление. М.: Мир, 1969.-200 с.

65. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. - 280 с.

66. Левит М.В., Якубович В.А. Алгебраический критерий стохастической устойчивости линейных систем с параметрическим воздействием типа «белый шум» // ПММ, 1972. 36, вып.1. С. 142-148.

67. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиз-дат, 1950.-472 с.

68. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Москва-Ленинград, Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952. -432 с.

69. Марков A.A. On mean values and exterior densities. \\ Математический сборник №4, 1938. С. 165-191.

70. Маркус М.,50 Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232 с.

71. Медков В.М. Демография: Учебное пособие. Ростов н/Д., 2002. -303 с.

72. Мильштейн Г.Н. Об устойчивости линейной системы, находящейся под действием марковской цепи // Дифференциальные уравнения, 1970, т.6, №Ц. С. 1982-1993.

73. Мильштейн Г.Н. Распределение интеграла от марковской цепи с двумя состояниями // Матем. запики Уральского гос. ун-та, 1972, т.8. С. 80-90.

74. Мильштейн Т.Н., Репин Ю.М. О воздействии марковского процесса на систему дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения, 1969, т.5, №8. С. 1371-1384.

75. Народонаселение: Энциклопедический словарь. / Гл. ред. Г.Г. Меликьян. -М.: Большая Российская энциклопедия, 1994.

76. Насимов К.А. Устойчивость стохастических систем и новые классы случайных процессов. Киев, 1987. - 48 с. Деп. В УкрНИИНТИ 10.03.87. № 930-Ук87.

77. Пугачев B.C., Синицын И.И. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1985. - 560 с.

78. Ризниченко Г.Ю., Рубин А.Б. Математические модели биологических продукционных процессов. М.: Изд-во МГУ, 1993.

79. Румянцев В.В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн. Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968, т.1. С. 7-66.

80. Саградов А. А. Модель развития населения // Российский экономический журнал, 1992, №7, с.77-82.

81. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций. Л.: Судпромгиз, 1961. - 252 с.

82. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. -М.: Наука, 1978.

83. Сигалов Г.Г. К анализу нелинейных систем методом уравнений моментов // АиТ, 1970, №6. С. 37-47.

84. Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний (основы расчета функциональных и надежностных характеристик стохастических систем). М.: Сов. Радио, 1980. - 272 с.

85. Соболева С. В. Демографические процессы в региональном социально-экономическом развитии. Новосибирск: «Наука», 1988. - 208 с .

86. Современная демография. Под ред. А Я.Кваши, В. А. Ионцева. М.: МГУ, 1995.

87. Староверов О.В. Модели движения населения. М.: Наука, 1977.

88. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы. Изд. МГУ, 1966. -318 с.

89. Стрижак О.Л. Вывод моментных уравнений для некоторых классов разностных и дифференциальных уравнений. Киев. 1987. 5 с. Деп. в Укр-НИИНТИ 24.02.87. №833Ук.87.

90. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы. М.: Сов. радио, 1977.-488 с.

91. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. - 436 с.

92. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. М.: Мир, 1984, т.1. - 528 е., т.2. - 752 с.

93. Хазен Э.М. Определение одномерной плотности распределения и моментов случайного процесса на выходе существенно нелинейной системы // Теория вероятностей и ее применение, 1961. Вып.1. С. 21-29.

94. Харламов Б.П. Непрерывные полумарковские процессы. СПб.: Наука, 2001.-432 с.

95. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М.: Наука, 1969. -368 с.

96. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.: Мир, 1989. - 656 с.

97. Хрисанов С.М. Показатели Ляпунова линейных систем с марковскими коэффициентами // Прикладная математика и механика. 1983, т.47, №1. С. 21-26.

98. Хрисанов С.М. Разностные уравнения с марковскими коэффициентами // Теория вероятностей и математическая статистика. Киев, 1981, №25. С. 149-153.

99. Хрисанов С.М., Хрисанова Т.В. Метод моментных уравнений в задачах управления линейными системами со случайными параметрами // Дифференциальные уравнения и их применение. Труды 3-й конф., 4.1. Руссе, 1987. С. 449-452.

100. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения с последействием. Дисс. д.ф.-м.н. Рига, Рижский политехи, ин-т, 1981. - 326 с.

101. ПЗ.Четаев Н.Г. Устойчивость движения. М.: Изд-во АН СССР, 1962. -536 с.

102. Шумафов М.М. О построении функций Ляпунова для некоторых нелинейных стохастических дифференциальных уравнений второго порядка и вопросы устойчивости // Дифференциальные уравнения, 1981, т. 17, №6. С. 1143-1145.

103. Ягельский М. География населения. М.: 1980. - С. 312-315.

104. Bertram J.E., Sarachik Р.Е. Stability of circuits with randomly time-varying parameters // Proc. of the Intern.Sympos. on Circuits and Inform.Theory, Los-Angeles, Calif. IRE Transactions. 1959. CT-6. P.260-270.

105. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications. New York: Acad, press, 1976. - 344 p.

106. Ito K. On a stochastic integral equations. /Proc. Imp. Acad. Tokyo, 1946, v.22, p. 32-35.

107. Ito K. On stochastic differential equations. /Mem. Amer. Math. Soc., 1951, №4. P. 1-51.

108. Karelova O.L. Stabilization of solution of system of linear differential equations depending on semi-Marcovian process. Второй Европейский конгресс математиков. Будапешт, 1996. С. 83.

109. Levy P. Processus semi-Marko veins // Proc.Internat.Congr. Math. (Amsterdam, 1954),v.III, Noordhoff, Groningen; North-Holland, Amsterdam, 1956, MIR.l9.469. P. 414-426.

110. Mohammed S.-E.A. Stability of linear delay Equations under a small noise // Proc. Edinburgh Math. Sos. 1986. - 29. P.571 - 573.

111. Nazaroff G.J. Stability of Linear Stochastic Differential Delay Systems // IEEE Trans. Automat. Control. 1973. - 18, №6. P. 672-673.

112. Routh, A Treatise on Stability of a given State of motion.

113. Smith W.L. Regenerative stochastic processes // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1955. Vol. 232. P. 6-31.

114. Thomson and Tait, Treatise on Natural Philosophy, t.I, 1879.