автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Метод формирования тестирующих сигналов для белошумовой идентификации сложных систем

На правах рукописи

I правахрук'

Булычев Евгений Сергеевич

Метод формирования тестирующих сигналов для белошумовой идентификации сложных систем.

Специальность 05.13.01 «Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2004

Диссертация выполнена на кафедре «Управление и моделирование систем» ГОУ ВПО «Московская государственная академия приборостроения и информатики».

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Музыкин С. Н.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Елхов В.А.

кандидат технических наук, доцент Алексеев К.А.

Ведущая организация:

НИИ «Энергия»

Защита состоится «21» декабря 2004 г. в 12 ч. 00 мин. на заседании совета Д 212.119.02 в Московской государственной академии приборостроения и информатики по адресу: г. Москва, ул. Стромынка, 20.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГАПИ.

Автореферат разослан «19» ноября 2004 г.

1.3 424

3

Общая характеристика диссертационной работы.

932534

Актуальность темы. Создание математических моделей реальных сложных систем на основе внешних воздействий и реакции исследуемых объектов является одной из важных проблем современной техники.

Диссертационная работа посвящена созданию метода формирования случайных последовательностей с заданными моментными функциями необходимыми для белошумовой идентификации сложных объектов с помощью аппарата функциональных разложений Винера-Вольтерра. Этот математический аппарат является средством построения внешних моделей нелинейных объектов, а также систем с распределенными параметрами.

Достоинства этого метода заключаются в простоте его реализации, поскольку для построения математических моделей достаточно провести идентификацию, используя входной тестирующий сигнал с заранее определенными свойствами и измерить реакцию исследуемого объекта. Более того, использование белошумовых тестирующих сигналов позволяет значительно упростить формирования ядер Винера за счет их ортогональности. В то же время белошумовая идентификация позволяет создавать адекватные математические модели по следующим причинам:

- тестирующий сигнал со свойствами белого шума позволяет игнорировать естественные помехи, возникающие при исследовании моделируемого объекта;

- предлагаемый тестирующий шум является совокупностью сигналов с любой заданной формой, в силу статистических свойств белого шума, следовательно, его использование позволяет протестировать исследуемую систему наиболее эффективно.

К недостаткам этого метода можно отнести высокую чувствительность к качеству тестирующего воздействия. Для соблюдения условия ортогональности функционалов Винера, необходимо чтобы моментные функции тестирующего сигнала соответствовали моментным функциям белого шума с заданной точностью.

Развитию этого метода построения внешних моделей произвольных объектов на основе функциональных рядов были посвящены научные труды В. Мармарелиса, С.Н. Музыкина, Ю.М. Родионовой и др.

При решении задачи белошумовой идентификации необходимо учитывать ряд важных факторов, которые сильно влияют на качество построенной модели или же вообще возможность ее построения:

- порядок нелинейности моделируемого объекта;

- глубина памяти вычисляемых ядер (возможно для каждого ядра в отдельности);

- возможное ограничение на время проведения идентификации;

тип моделируемой системы.

Наиболее важным и решающим фактором при проведении белошумовой идентификации методом ядер Винера, является качество характеристик тестового шума, которое складывается исходя из всех вышеперечисленных параметров. Таким образом, при использовании тестирующей последовательности необходимо определиться с выбором следующих характеристик:

- заданный минимальный порядок моментных функций, соответствующих белому Гауссовскому шуму с заданной точностью;

- глубина памяти моментных функций;

- длина случайного процесса;

- тип случайного процесса.

Следовательно, качество тестового сигнала является определяющим критерием при проведении белошумовой идентификации, а точность создаваемой математической модели зависит от точности вышеперечисленных характеристик используемого сигнала.

Диссертационная работа посвящена созданию и развитию математического аппарата формирования случайных последовательностей (одномерных, многомерных, случайных полей) с заданными моментными функциями. В качестве основы был выбран метод последовательного преобразования произвольной начальной последовательности. При помощи этого метода можно создавать необходимые типы случайных последовательностей, моментные функции которых будут соответствовать заданным значениям с требуемой точностью. Однако этот подход имеет ряд существенных недостатков:

- необходимость ручного подбора нормирующих коэффициентов, от которых существенно зависит сходимость моментных функций к заданным значениям;

- большой объем требуемых вычислительных ресурсов, зависящий от всех требуемых параметров тестирующего сигнала, в особенности от количества точек получаемого сигнала;

- процесс изменения моментной функции некоторого порядка влечет за собой ухудшение всех остальных характеристик сигнала, при этом необходимо периодически возвращаться к ранее созданным характеристикам и начинать процесс изменения сначала.

Таким образом, преодоление указанных трудностей позволит создать конструктивный рабочий инструмент для формирования тестовых случайных сигналов различного типа необходимых для исследования широкого круга объектов, что и определяет актуальность темы диссертационной работы.

Целью диссертационной работы является создание метода формирования тестирующих сигналов с характеристиками, необходимыми для их дальнейшего. применения в решении задачи белошумовой

идентификации, с использованием аппарата функциональных разложений Винера-Вольтерра.

Основные задачи исследования:

1. Проведение сравнительного анализа существующих методов формирования случайных сигналов.

2. Формулировка задачи разработки методов и алгоритмической реализации формирования тестирующих сигналов, необходимых для проведения белошумовой идентификации.

3. Разработка методов формирования тестирующих сигналов (одномерных, многомерных, полей) с заданными моментными функциями.

4. Оптимизация процедур, связанных с вычислением моментных функций и необходимостью создания тестирующих сигналов большой длины.

5. Разработка методов и алгоритмов оптимизации процедуры формирования случайных полей в рамках представления многомерного поля.

6. Создание программного обеспечения для получения тестирующих сигналов, необходимых для белошумовой идентификации методом ядер Винера.

7. Тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспечения и анализ получаемых случайных сигналов.

8. Решение практических задач по формированию необходимых тестирующих воздействий и проведения белошумовой идентификации реально существующих систем.

Объект исследования. В качестве объекта исследования выбраны случайные сигналы (одномерные, многомерные, поля), с требуемыми статистическими характеристиками, необходимыми для решения задачи белошумовой идентификации методом ядер Винера.

Методы исследования. В работе используются методы информатики, теории сложных систем, теории динамических систем и современные компьютерные технологии.

Научная новизна исследования состоит в следующем:

1. Разработан метод получения шумов с требуемыми моментными функциями с учетом заданного критерия качества для задачи белошумовой идентификации с использованием функциональных разложений Винера-Вольтерра.

2. Создан алгоритм быстрого вычисления значений моментных функций произвольного порядка при изменении динамического нестационарного процесса.

3. Разработана методика формирования тестирующих сигналов с заданной спектральной плотностью.

Практическая ценность. На основе исследований, проведенных в диссертационной работе, реализован комплекс программных средств формирования тестирующих сигналов с заданными моментными функциями, который может быть использован при создании тестирующих

сигналов для белошумовой идентификации сложных систем с использованием функциональных разложений Винера-Вольтерра.

Реализация результатов работы. Разработанные методики создания тестирующих сигналов использованы для идентификации системы распределения нефтепродуктов на ООО «МЕГА ОИЛ М».

Программное обеспечение используется в учебном процессе кафедры управления и моделирования систем МГАПИ в рамках дисциплин «Математическое моделирование», «Моделирование систем».

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 4-ой международной научно-технической конференции «Новые информационные технологии» (27 апреля 2001 года, г. Москва), и на 5-ой всероссийской научной конференции «Динамика нелинейных дискретных электрических и электронных систем» (20 мая 2003 года, Чебоксары).

Публикации по теме диссертации. Основные положения работы отражены в пяти публикациях.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка использованных источников. Общий объем 139 страниц основного текста, 35 рисунков и 18 таблиц.

Содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность разработки методов формирования тестирующих сигналов для белошумовой идентификации сложных систем при помощи функциональных разложений Винера-Вольтерра; формулируются цели и задачи исследования; приводится краткая характеристика основных разделов диссертации.

Первая глава диссертации содержит обзор современных методов формирования случайных и псевдослучайных последовательностей. Рассмотрены классические конгруэнтные методы формирования псевдослучайных последовательностей. Исследованы примеры формирования случайных последовательностей при помощи внешних источников шума.

Для проведения идентификации изучаемый объект должен допускать представление в виде ориентированной динамической системы, обладающей ограниченной полосой пропускания, конечной глубиной памяти и порядком нелинейности.

Рис. 1. Идентификация объектов методом построения ядер Винера. Схема идентификации объектов методом построения ядер Винера приведена на рис. 1, где хЩ, - функции пространства Ь2, уУ] —

реакция модели Винера. Формально модель Винера можно представить следующим образом: Д/] = ^^ТЛ*]» гДе - набор ортогональных

функционалов Винера.'

Таким образом, необходим входной процесс л:|/], моментные функции которого удовлетворяют следующему критерию качества:

где ^(г1(...,Г£_ 1) - заданные значения моментной функции, —

моментные функции исследуемой последовательности.

Требуется подобрать такую случайную последовательность хЩ, чтобы ее моментные функции удовлетворяли критерию (1).

Рассмотрены работы на тему формирования случайных процессов с заданными статистическими характеристиками Федосенко В. А., Бурнашева М.И., Гришкина С.Г., Музыкина С.Н., А.О. Мельникова, а так же модуль формирования белых шумов из программно-математического пакета MATLAB.

Для возможности исследования различных реализаций случайных последовательностей использовались нормирующие выражения центрирования и масштабирования относительно первого значения автокорреляционной функции.

В результате формирования случайных последовательностей различной длины, при помощи вышеперечисленных методов, получены результаты вычисления У (табл. 1):

(1)

Сравниваемые методы Длины юрмируемых последовательностей

128 1 256 512 1 1024 1 2048 | 4096 | 8192

Псевдослучайные последовательности

Линейный генератор 14,82 12,43 11,47 11,99 11,66 11,77 11,87

Инверсные генераторы 12,62 11,93 12,12 12,29 12,23 12,25 12,25

12,24 11,61 11,23 12,11 11,58 11,73 11,86

Комбинированный генератор 11,64 8,35 6,69 7,69 7,35 7,37 7,38

Генераторы, основанные на внешних источниках шума

Наводки звукоусилителя 28,64 24,39 116,96 73,64 83,31 63,38 53,16

Intel Random Number Generator 12,71 12,71 12,71 12,71 12,71 12,71 12,71

Радиопомехи 13,65 13,65 13,65 13,65 13,65 13,65 13,65

Современные методы формирования случайных сигналов с заданными ха рактеристиками

Band-Limited White Noise 14,9 14,9 14,9 14,9 14,9 14,9 14,9

Генератор Бурнашева М. И. 13,8 13,8 13,8 13,8 13,8 13,8 13,8

Генератор Гришкина С.Г. 12,3 12,3 12,3 12,3 12,3 12,3 12,3

Генератор Федосенко В.А 23,7 23,7 23,7 23,7 23,7 23,7 23,7

Для оценки применимости рассмотренных случайных последовательностей, в диссертации была решена задача белошумовой

идентификации. В качестве объекта идентификации использовался выходной процесс нелинейной системы, схема которой приведена на рис. 2.

Рис.2. Объект для исследования результатов идентификации. Во время белошумовой идентификации с использованием выбранных случайных сигналов была сформирована сравнительная табл. 2: Табл.2. Идентификация обьекта (рис.2) при помощи различных сигналов.

Во второй главе рассматриваются три варианта случайных сигналов (одномерные и многомерные случайные шумы, многомерные случайные поля). Предложен обобщенный критерий сходимости для любого из перечисленных типов случайных сигналов:

iZ\Rk<í)-Vk{i)f

к=1/

(2)

Получены выражения для моментной функции произвольного порядка для каждого типа сигнала в отдельности. Используя выражения для произвольной моментной функции, получено преобразование значения моментной функции в полином относительно

некоторого члена случайного сигнала Исходя из преобразованных

моментных функций в виде полинома и предлагаемого критерия сходимости, получены выражения, позволяющие минимизировать принятый критерий качества относительно заданного члена случайного сигнала.

Полученное выражение имеет вид:

(3)

где - максимальный порядок исследуемой моментной функции, размерность случайного поля или многомерного шума, значения, определяющие исследуемую область моментных функций.

,[*-!,т] =

'0,0

начения моментных функций, где к = \,п,

/А-2,0 '" *к-2,т-1_

Разработан алгоритм получения шумов с заданными моментными функциями, включающий следующие этапы:

1. Формирование начальных значений случайного сигнала.

2. Итерационный процесс изменения членов случайного шума:

a. Выбор произвольного члена случайного сигнала Хг.

b. Формирование полиномиальной зависимости критерия качества формируемого случайного сигнала относительно при помощи выражения (3).

c. Вычисление глобального минимума полученного выражения

(1. Изменение члена случайной последовательности на новое оптимальное значение

e. Возврат к выбору нового члена случайного сигнала.

3. Итерационный процесс изменения членов случайного сигнала (шаг

2) повторять до удовлетворения неравенства (2). Таким образом, во второй главе разработаны основные принципы изменения случайного сигнала, позволяющие формировать тестирующие воздействия с заданными значениями моментных функций.

Третья глава диссертационной работы посвящена вопросам оптимизации процесса вычисления дискретных значений моментных функций и полиномов, полученных в результате преобразования этих значений.

Исследование значений моментных функций показывает их симметричность относительно вектора индексов задающего соответствующие значения. В результате сравнительного анализа оказалось, что требуемое количество вычислений при стандартном расчете суммарного полинома с учетом моментных функций до 3-го порядка

включительно для одномерного случайного сигнала равно 1 + £ + £ , g — глубина коррекции моментной функции. Использование свойства симметричности для этого же суммарного полинома 5{Хд), позволяет

сократить количество вычислений до 1 + . Рассуждая аналогичным

образом, можно получить соотношения для требуемого количества вычислений при расчете с учетом моментных функций до 4-го

порядка, которые будут равны при стандартном расчете,

при использовании свойства симметричности.

Нетрудно показать, что если Х5) — полином, образованный

в результате преобразования значения моментной

функции

относительно произвольного числа то значение полинома

в точке будет равняться исходному значению

Следовательно, если при формировании X¿) сохранить промежуточные полиномы, образованные от соответствующих значений моментных функций, то после изменения выбранного числа последовательности можно посчитать числовые значения моментных функций в рассматриваемых точках.

Для быстрого вычисления значений моментных функций, представленных в виде полинома относительно произвольного члена случайной последовательности, с учетом соответствующих им числовых значений, можно использовать соотношения вида:

где^ ^ Хд ) - полином, с^юрмированный относительно только той

части моментной функции, в которой содержатся числа Хг, &\-1(!{к~ХМ\Х5)[Хг] - значение полинома Л](*1*_1'т1;Лгг) в точке Хг.

Таким образом, полученное соотношение (4) позволяет находить полиномы не пересчитывая их, а используя заранее

сохраненные численные значения соответствующих моментных функций.

Разработан алгоритм быстрого вычисления требуемых значений моментных функций в процессе формирования тестирующего сигнала, включающий следующие этапы:

1. Формирование значений моментных функций

2. Запись полученных значений в промежуточные массивы М1.

3. Процесс изменения случайных чисел:

a. Выбор произвольного члена случайного сигнала Хг.

b. Быстрое вычисление полиномов соответствующих требуемым значениям моментных функций при помощи выражения (4) и промежуточных массивов

c. Запись полученных полиномов в промежуточный массив М2-

d. Вычисление нового оптимального члена случайного сигнала

e. Обновление промежуточного массива М\, с использованием нового значения и сохраненных полиномов

Г. Возврат в цикл изменения случайного сигнала.

Использование симметричности значений моментных функций, а так же промежуточных массивов числовых значений моментных функций и соответствующих им полиномов, позволяет формировать случайные сигналы произвольной длины (с учетом ограничений вычислительной техники и операционной системы). То есть требуемая вычислительная мощность будет зависеть только от заданной памяти, граничных значений и порядка исследуемых моментных функций.

Четвертая глава диссертационной работы посвящена вопросам алгоритмической реализации рассмотренных ранее математических методов формирования последовательностей и оптимизации этих методов.

Основное внимание в этой главе уделяется методу формирования случайных полей, как наиболее универсального из трех рассматриваемых типов сигналов. Поэтому здесь так же рассмотрены такие вопросы как хранение многомерных случайных полей и реализация необходимых функций, требуемых для реализации вышеописанных методов.

В работе показано, что формирование случайных полей сопряжено с многомерными массивами, и, следовательно, функции, необходимые для реализации этого метода, будут носить рекурсивный характер. Для решения сложившейся проблемы, предложено хранить случайное поле в виде выпрямленного массива данных. Для этого предлагается использовать соотношение V = /(¡) = (((»о '¡о + '2+ —)+ » которое позволяет

однозначно представить местоположение произвольного числа X? многомерного поля в одномерной последовательности ;ф>]. Обратное преобразование индексов можно осуществить при помощи выражений вида:

Р<т-1

1Р =

»p-1>

р = тя-Г v; р = -1

•p-i *""—/»» '

(5

Sp Р<т-Г

(5

где р = т-1,0.

Очевидно, что моментная функция произвольного порядка для преобразованного случайного поля будет иметь вид: .... 1 1«1*-''т1)-1 к-2

Ъ = -ч 2 x[D{q)}\\AD{q)-I{tp)},

n(/p-max(iO) 9=0

о

где D(q) - некоторая функция преобразования индексов, -

количество произведений, участвующих в правой части выражения (5),

D(q) = q + I(M) + J:(qmodBp )-Cp. p=0

Исследование поведения моментной функции для преобразованного случайного поля позволяет получить выражение функции D(q):

D(q) = q + I(M) + m£(.qmodBp)-Cp, (7

р=о

IX i >0

s=0 '

0 5=0

Ър = [тах(? 0),..., тах(? р),а ,...,am_1]Jp = [tpfi,tpl ],

^=[/0.....lp,ap+\,...,am-i], ap = 0, ap =1, p~\,m-l.

Используя выражения (6) и (7) совместно, можно преобразовать всю схему вычисления суммарного полинома, необходимого для изменения случайного поля, представленного в виде выпрямленного одномерного массива.

где Bp=fl[bs-cs],Cp=I(bp)~

s=0

После того как получен суммарный полином, отражающий зависимость критерия качества случайного сигнала относительно произвольного числа необходимо последовательно найти все экстремумы этого полинома и выбрать наименьший. В этой главе кратко описаны два наиболее эффективных численных метода нахождения корней уравнений (Ньютона и Эйткена-Среффенсона). Предложено их комбинированное применение вместе с процедурой последовательного вычленения полученных корней.

Разработан метод, позволяющий использовать модифицированный метод быстрого преобразования Фурье, с целью формирования случайных последовательностей с заданной спектральной плотностью, который включает следующие этапы:

1. Выбор произвольного члена случайной последовательности

2. Построение массива значений моментных функций, преобразованных в полиномы относительно

3. Преобразование Фурье от массива полученных полиномов, в результате чего получатся два массива полиномов, отражающие зависимость мнимой и действительной частей спектральной плотности от

4. Полученные массивы используются при формировании полинома 5(А'г ), с учетом заданных значений спектральной плотности.

Такой подход позволяет изменять как мнимую, так и действительную части спектральной плотности и применять алгоритмы быстрого преобразования Фурье.

В заключительной части представлена блок-схема реализации алгоритма предлагаемого метода формирования случайных сигналов.

В пятой главе приведены примеры формирования случайных сигналов с применением разработанного программного комплекса.

В результате тестирования программного обеспечения сформированы тестирующие случайные сигналы представленны в таблицах 3 и 4.

На основе программного обеспечения БувЫеП;, разработанного на кафедре «Управления и моделирования систем» МГАПИ, с применением сформированного многомерного тестового сигнала, была решена задача белошумовой идентификации и построена модель объекта (рис. 2) с использованием функциональных разложений Винера-Вольтерра.

Реакции объекта и модели показаны на рис. 3., при этом адекватность полученной модели составила 99%.

10 20 30 40

Сравнение полученной модели и табл. 2 показывает, что предложенный метод формирования тестирующих случайных сигналов позволяет наиболее точно решать задачу белошумовой идентификации и строить более точные модели методом функциональных разложений Винера-Вольтерра.

Сравнительные тесты быстродействия формирования тестирующего сигнала с заданными моментными функциями с использованием алгоритмов, учитывающих свойство симметричности моментных функций, и метод корректировки значений требуемых моментных функций в процессе изменения случайного сигнала приведены в табл. 5.

Табл. 5. Сравнение быстродействия методов формирования случайных сигналов

Симметричность значений моментной _функции

Корректировка значений моментных функций_

) — 1 2 3 4 5 6 я

— Стандартный метод С учетом симметричности

Параметры формируемого случайного сигнала:

/ = 1024, я = 4, g = 1,6

/ = 128,256,512,1024, и = 4, g = 1

Результаты сравнительного теста быстродействия предлагаемого метода изменения случайного сигнала и аналогичного метода формирования случайных сигналов, предложенного в работе А.О. Мельникова приведены на рис. 4.

Рис. 4. Сравнение быстродействия предлагаемого метода и [4].

Для данного теста был сформирован одномерный белый шум со следующими параметрами: длина последовательности /=150, максимальный порядок исследуемой моментной функции п = 4, глубины коррекции моментных функций g|=15, g2~7, =4, точность приближения £ = 1е-6, а так же двумерное случайное полк со следующими характеристиками: длина случайного поля / = 30x30, максимальный порядок формируемых моментных функций п = 4, глубины коррекции моментных функций g,=2x2, g2=3x3, £з=7х7, точность приближения е = 1е - 6.

Все тестирования производились на вычислительной технике со следующими параметрами: Intel® Pentium® IV 2.4 GHz, RAM 256Mb.

С помощью предлагаемого средства формирования случайных сигналов решена задача идентификации системы принятия решений в процессе распределения нефтепродуктов с учетом нелинейности до 3-го порядка и внедрена на предприятии ООО «МЕГА ОИЛ М». В качестве входных параметров использовано 3-х мерное случайное поле, полученное при помощи рассмотренных методов, отражающее требуемые объемы нефтепродукта в разрезе нефтебаз места доставки

нефтетоплива /?2,типа топлива ръ (рис. 5).

Рис. 5. Идентификация процесса распределения нефтепродуктов.

В качестве выхода идентифицируемого объекта (рис. 5) использовалось 3-х мерное поле У(Р\>Р2>Рз) аналогичное тестирующему сигналу Х(Р\'Р2'Рз)' отражающее распределение автотранспорта для развоза требуемых объемов нефтепродуктов. Адекватность полученной модели составила 63%.

Основные результаты работы В диссертационной работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Проведен сравнительный анализ и классификация современных методов формирования случайных и псевдослучайных сигналов; обоснована необходимость построения нового алгоритма формирования тестирующих сигналов.

2. Разработаны методы формирования тестирующих сигналов (одномерных, многомерных, полей) с заданными моментными функциями.

3. Получены соотношения для оптимизации процедур связанных с вычислением моментных функций в рамках изменения произвольного члена тестирующего сигнала.

4. Разработаны методы и алгоритмы представляющие многомерные случайные поля в виде одномерного сигнала; модернизирован алгоритм вычисления произвольной моментной функции для получаемого представления.

5. Получена модификация процедуры БПФ одномерного сигнала, позволяющая построить полином, необходимый для оптимизации спектральной плотности случайной последовательности.

6. Реализовано и используется в учебном процессе, программное обеспечение формирования тестирующих сигналов с заданными моментными функциями (одномерных, многомерных, полей) на кафедре «Управления и моделирования систем» МГАПИ.

7. Предлагаемая методика разработана и внедрена для идентификации системы автоматизации распределения нефтепродуктов на предприятии ООО «МЕГА ОИЛ М».

8. По результатам исследований, проведенных в диссертационной работе, направленных на формирование тестирующих сигналов пригодных для белошумовой идентификации сделан вывод о состоятельности и эффективности разработанных методик.

Публикации по теме диссертации

1. Булычев Е.С. Методы быстрого создания белых Гауссовских сигналов. // Математическое моделирование и управление в сложных системах. Сб. научных трудов под редакцией д.т.н., профессора Музыкина С.Н. — М.: МГАПИ, 2000.— С.5-10.

2. Булычев Е.С. Представление аппарата для белых Гауссовских шумов, введение дополнительных функций и процедур, адаптированных к использованию на компьютере. // Материалы IV всероссийской научно-технической конференции «Новые информационные технологии» — М.: МГАПИ, 2001.— С.19-26.

3. Булычев Е.С. Преобразования последовательности чисел в «белый» Гауссовский шум методом минимизации функции расхождения корреляции. // Математическое моделирование и управление в сложных системах. Сб. научных трудов под редакцией д.т.н., профессора Музыкина С.Н. — М.: МГАПИ, 2001.— С.93-97.

4. Булычев Е.С. Формирование многомерного «белого» шума. // Материалы V всероссийской научной конференции «Динамика нелинейных дискретных электрических и электронных систем» — Чебоксары: ЧТУ, 2003.— С.213-217.

5. Булычев Е.С. Формирование случайной числовой последовательности с использованием модифицированного БПФ. // Материалы V всероссийской научной конференции «Динамика нелинейных дискретных электрических и электронных систем» — Чебоксары: ЧТУ, 2003.— С.255-259.

Подписано к печати 16.11.2004 г. Формат 60x84.1/16 Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 175

Московская государственная академия приборостроения и информатики

107996, Москва,ул. Стромынка, 20

щ 2 3 4 1 J

РНБ Русский фонд

2005-4 23121

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ФОРМИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ И ПСЕВДОСЛУЧАЙНЫХНОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ

1.1. Требуемые характеристики для тестирующего сигнала используемого в задаче идентификации винера-вольтерр а.

1.2. Предварительное преобразование последовательности.

1.3. Классификация существующих методов.

1.3.1. Создание псевдослучайных последовательностей и их модификации.

Выводы.

1.3.2. Формирование стучайных сигналов с использованием внешних источников шума.

Выводы.

1.3.3. Методы формирования последовательностей с заданными характеристиками.

Выводы.

2. МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ СЛУЧАЙНЫХ СИГНАЛОВ С ЗАДАННЫМИ МОМЕНТНЫМИ ФУНКЦИЯМИ

2.1. Начальные условия.

2 2. Формирование квадратичного полинома относительно произвольного члена последовательности.

2.2.1. Преобразование моментной функции для одномерной последовательности.

2.2.2. Преобразование моментной функции для многомерного шума.

2.2.3. Преобразование моментной функции для случайного поля.4S

Выводы.

3. МЕТОД БЫСТРОГО ПОИСКА ДИСКРЕТНЫХ ЗНАЧЕНИЙ МОМЕНТНЫХ ФУНКЦИЙ И ИХ ПОЛИНОМОВ

3.1. Необходимость альтернативных методов быстрого поиска моментных функций.

3.2. Симметричность моментной функции произвольного порядка.

Выводы.

3.3. Нахождение дискретных значений моментных функций для изменяемой последовательности. выводы.

3.4. Оптимальное формирование значений моментных функций, преобразованных в полиномы.

Выводы.

4. АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ И ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ФОРМИРОВАНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

4 1. Необходимые функции для полинома произвольного порядка.

4 2. Особенности формирования случайного поля.

4.2.1, Выпрямление белого поля произвольного порядка в одномерную последовательность.

Выводы.

4 22. Моментная функция произвольного порядка для поля представленного в виде одномерной последовательности.

Выводы.

4.3. Использованные численные методы получения екстремумов полинома произвольного порядка

Выводы.

4 4. Модификации метода формирования случайной последовательности.

4 4.1. Формирование последовательностей с заданными значениями спектральной плотности.

4.4.2. Формирование последовательности с заданной постоянной спектральной плотностью.

Выводы.

4 5 Алгоритмическая реализация метода преобразования последовательности.

Выводы.

5. ТЕСТИРОВАНИЕ РАЗРАБОТАННОГО ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА

5 1. Примеры формирования случайных сигналов различного типа.

5 1.1. Одномерная последовательность

5 1.2 Трехмерный шум.

5.1.3. Двумерное поле.

5.1.4. Одномерная последовательность с заданной спектральной плотностью.

5 2 Белошумовая идентификация с использованием сформированных случайных сигналов.

5 3. Сравнение быстродействия разработанных алгоритмов и методов

Предлагаемая диссертационная работа посвящена проблеме формирования тестирующих сигналов, необходимых для проведения идентификации нелинейных динамических систем (в частности с распределенными параметрами). Существует значительное количество методов идентификации нелинейных объектов, которые применимы при моделировании различных классов задач.

Основные проблемы, возникающие при проведении идентификации сложных систем, связаны с ограниченностью существующих методов с одной стороны классом возможных идентифицируемых объектов, с другой - сложностью моделируемого объекта, то есть возможностью определения его структуры, его размерность, степень нелинейности, количество входов и выходов, и т.п. Более того, при анализе реальных физических моделей очень часто невозможно определить с достаточной точностью вышеперечисленные характеристики. Следовательно, при выборе метода для идентификации системы необходимо учитывать ограничения используемого метода, а так же требования и ограничения моделируемой системы.

Одним из наиболее эффективных теоретико-экспериментальных подходов к решению задачи идентификации и математического представления нелинейных динамических объектов является аппарат функциональных разложений Винера-Вольтерра. Этот подход позволяет получить формализованное описание выходного сигнала - нелинейной системы (при поступлении на ее вход сигнала типа белого шума) в виде ряда:

1=0 где У if) — оценка реального выходного сигнала нелинейной системы, h,} - набор ядер Винера, однозначно описывающий рассматриваемую систему.

Применение этого метода, несомненно, зависит от значений ядер Винера-Вольтерра, которые должны быть вычислены с достаточной точностью. В общем виде ядро Винера И -го порядка нелинейной системы может быть вычислено с помощью формулы м о у i=l hn(a1,.,anA) = 1 n\N" где N - значение спектральной характеристики тестового белого шума.

Поиск ядер Винера-Вольтерра может быть осуществлен при помощи различных подходов. Наиболее эффективным является метод ортогонализации ряда Вольтерра для белого Гауссовского шума. В этом случае используется корреляционный метод прямого наблюдения многомерных ядер Винера-Вольтерра. В результате общее выражение ортогонального функционала П -ой степени имеет следующий вид п

00 СО у) nlN

G\hn,x{t)]=\.\hn{Tl,.,T^x{t-T,)dTl-YJ-^ о о '=i т=\ уп — im)\lm\ 00 xG, о о п п где 2 - наименьшее целое, то есть 2 п/ 2; п- четное (и-1)/2; п-нечетное

Получаемое функциональное разложение ортогонально и модель становится более универсальной для получаемого набора ядер

Очевидно, что точность получаемых ядер Винера, а, следовательно, и точность математической модели зависит от качества используемых тестовых шумов. Более того, сама возможность их получения полностью зависит от характеристик используемых сигналов (случайных процессов, одномерных и многомерных, случайных полей). Поскольку при идентификации моделируемого объекта используется корреляционный метод, то наибольшее внимание, при использовании тестирующих сигналов, уделяется его моментным функциям. При этом, для вычисления ядер И -го порядка, необходимо, чтобы используемый случайных процесс имел требуемые моментные функции порядка не менее чем 2я .

При проведении идентификации системы приходится ограничиваться некоторым набором вычисляемых ядер. При этом необходимо учитывать следующие факторы:

1) порядок нелинейности моделируемого объекта

2) глубина памяти вычисляемых ядер (возможно для каждого ядра в отдельности)

3) возможное ограничение по времени идентификации

4) тип моделируемой системы a) одномерные, с сосредоточенными параметрами b) многомерные, с сосредоточенными параметрами c) с распределенными параметрами.

Перечисленные требования, возникающие при идентификации объекта, однозначно влияют на требования, предъявляемые к тестирующему сигналу:

1) минимальный заданный порядок моментных функций, соответствующих белому Гауссовскому шуму с заданной точностью

2) глубина памяти моментных функций

3) длина случайного процесса

4) тип случайного процесса a) одномерный b) многомерный c) случайное поле

Среди используемых в настоящий момент методов формирования случайных последовательностей выделяют три вида: формирование псевдослучайных последовательностей, получение случайных последовательностей с использованием внешних источников шума и специальные методы формирования случайных последовательностей с заданными статистическими характеристиками. Формирование псевдослучайных последовательностей, как правило, основано на рекуррентном соотношении. Такие последовательности имеют некоторый период повторяемости, после которого получаемые числа начинают дублировать уже сформированные. Методы формирования псевдослучайных чисел делятся на: линейные, инверсные и комбинированные. Среди рассмотренных методов наибольшее внимание следует уделять комбинированным методам формирования псевдослучайных последовательностей, поскольку получаемая последовательность имеет нормальный закон распределения и наиболее близка к требуемому критерию, по сравнению с другими псевдослучайными последовател ьностями.

Рассмотрено три генератора с использованием внешних источников шума. Каждый основан на своем внешнем источнике (звуковой усилитель, радиопомехи, тепловой шум). Такие последовательности обладают рядом известных преимуществ: случайность, неповторяемость, нормальный закон распределения и т.д. Однако статистические характеристики таких последовательностей нельзя предсказать, и сами последовательности невоспроизводимы.

Методы формирования случайных сигналов с заданными характеристиками часто основаны на генераторах псевдослучайных последовательностей или их модификациях и направлены на создания сигналов с заданным законом распределения или спектральной плотностью. Среди рассмотренных можно выделить метод обратного преобразования Фурье с рандомизацией параметров.

Исследование рассмотренных методов показывает невозможность применения случайных сигналов, полученных с их помощью, для поставленной задачи и доказывает необходимость создания нового метода формирования случайных сигналов (одномерных, многомерных, полей) с заданными моментными функциями.

Целью диссертационной работы является создание метода формирования тестирующих сигналов с характеристиками, необходимыми для их дальнейшего применения в решении задачи белошумовой идентификации, с использованием аппарата функциональных разложений Винера-Вольтерра.

Основные задачи исследования'

1. Проведение сравнительного анализа существующих методов формирования случайных сигналов.

2. Формулировка задачи разработки методов и алгоритмической реализации формирования тестирующих сигналов, необходимых для проведения белошумовой идентификации.

3. Разработка методов формирования тестирующих сигналов (одномерных, многомерных, полей) с заданными моментными функциями.

4. Оптимизация процедур, связанных с вычислением моментных функций и необходимостью создания тестирующих сигналов большой длины.

5. Разработка методов и алгоритмов оптимизации процедуры формирования случайных полей в рамках представления многомерного поля.

6. Создание программного обеспечения для получения тестирующих сигналов, необходимых для белошумовой идентификации методом ядер Винера.

7. Тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспечения и анализ получаемых случайных сигналов.

8. Решение практических задач по формированию необходимых тестирующих воздействий и проведения белошумовой идентификации реально существующих систем.

Научная новизна исследования

1. Разработан метод получения шумов с требуемыми моментными функциями с учетом заданного критерия качества для задачи белошумовой идентификации с использованием функциональных разложений Винера-Вольтерра.

2. Создан алгоритм быстрого вычисления значений моментных функций произвольного порядка при изменении динамического нестационарного процесса.

3. Разработана методика формирования тестирующих сигналов с заданной спектральной плотностью.

Практическая ценность На основе исследований, проведенных в диссертационной работе, реализован комплекс программных средств формирования тестирующих сигналов с заданными моментными функциями, который может быть использован при создании тестирующих сигналов для белошумовой идентификации сложных систем с использованием функциональных разложений Винера-Вольтерра.

Реализация результатов работы Разработанные методики создания тестирующих сигналов использованы для идентификации системы распределения нефтепродуктов на ООО «МЕГА ОИЛ М».

Программное обеспечение используется в учебном процессе кафедры управления и моделирования систем МГАПИ в рамках дисциплин «Математическое моделирование», «Моделирование систем».

Основные аспекты диссертации подробно освещены в 5 печатных работах.

Результаты проведенных исследований подробно изложены в последующих пяти главах. В первой главе дается обзор существующих методов формирования случайных и псевдослучайных сигналов. Для каждого предлагаемого метода выделяется один из наиболее распространенных и проводится несколько реализаций случайных последовательностей. В результате каждая последовательность рассматривается в сравнительной таблице на предмет соответствия принятому критерию качества. Так же, проведен пример идентификации стандартной математической модели при помощи сформированных случайных и псевдослучайных последовательностей.

Во второй главе выявляется полиномиальная зависимость для принятого критерия качества шума относительно произвольного члена начальной случайной последовательности. Приводится три метода формирования случайных сигналов (одномерных, многомерных и случайных многомерных полей).

Третья глава предлагает использовать ускоренный метод поиска необходимых значений для моментной функции произвольного порядка в режиме изменения чисел начальной последовательности, для оптимизации метода преобразования случайных последовательностей.

В четвертой главе приведено несколько алгоритмов, позволяющих оптимизировать процесс изменения случайного сигнала. В частности, представление случайного поля в виде одномерной последовательности и модифицирование всех функций необходимых для реализации предлагаемого метода. Здесь же приводятся два модифицированных метода для формирования случайной одномерной последовательности с заданной спектральной плотностью.

В пятой главе рассмотрено несколько примеров формирования случайных сигналов различного вида.

В заключении подводится итог всей проделанной работе, отмечаются положительные стороны и недостатки, даются рекомендации по дальнейшему развитию данного направления.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основное внимание в данной диссертационной работе было уделено вопросам построения методов формирования случайных сигналов с заданными моментными функциями различных порядков соответствующими белому шуму. Очевидно, что для построения случайных сигналов необходимо рассматривать и другие статистические характеристики. Безусловно, в работе невозможно охватить всю область создания случайных сигналов с учетом различных статистических характеристик, поэтому были поставлены и решены лишь следующие задачи:

- проведение сравнительного анализа существующих методов формирования случайных сигналов;

- формулировка задачи разработки методов и алгоритмической реализации формирования тестирующих сигналов, необходимых для проведения белошумовой идентификации;

- разработка методов формирования тестирующих сигналов (одномерных, многомерных, полей) с заданными моментными функциями;

- оптимизация процедур, связанных с вычислением моментных функций и необходимостью создания тестирующих сигналов большой длины;

- разработка методов и алгоритмов оптимизации процедуры формирования случайных полей в рамках представления многомерного поля;

- создание программного обеспечения для получения тестирующих сигналов, необходимых для белошумовой идентификации методом ядер Винера;

- тестирование разработанного алгоритмического и математического обеспечения и анализ получаемых случайных сигналов;

- решение практических задач по формированию необходимых тестирующих воздействий и проведения белошумовой идентификации реально существующих систем.

Созданное программное обеспечение позволяет формировать произвольные типы сигналов (одномерные, многомерные, случайные поля) с заданными моментными функциями и требуемыми параметрами (длина, размерность, память, максимальный порядок исследуемых моментных функций).

К сожалению, за рамками рассмотрения остался целый ряд важных статистических характеристик, таких, например, как плотность распределения, дисперсия, ковариационные функции и т д.

В заключение хочется подчеркнуть важность развития методов и средств формирования случайных сигналов с заданными случайными характеристиками.

1. Атанас М , Флаб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.

2. Ахо А , Хопкорф Дж, Ульман Дж. Построение и анализ вычислительных алгоритмов. М,: Мир 1979.

3. Аязан Г. К, Авдеев В. Н., Корнюшко В. Ф. Метод интегральных нелинейных объектов с использованием псевдослучайных сигналов. В кн.: Идентификация и оценка параметров нелинейных систем. IV симпозиум ИФАК. М. ИПУ, 1976.

4. Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения). М.: Наука, 1962.

5. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.

6. Бендат Дж, Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов. М.: Мир, 1979.

7. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, тт. 1,2. М: Наука, 1966.

8. Булычев Е С. Методы быстрого создания белых Гауссовских сигналов. // Математическое моделирование и управление в сложных системах. Сб. научных трудов под редакцией д.т.н., профессора Музыкина С.Н. М.: МГАПИ, 2000,- С.5-10.

9. Булычев Е.С. Формирование многомерного "белого" шума. // Материалы V всероссийской научной конференции "Динамика нелинейных дискретных электрических и электронных систем" Чебоксары: ЧГУ, 2003.- С.213-217.

10. Бутковский А. Г. Жарактеристики систем с распределенными параметрами. М: Наука 1979.

11. Вавилов А. Н. Имитационное моделирование производственных систем. М.: Машиностроение; Берлин: Техника, 1983.

12. Ван-Трис Г. Синтез оптимальных нелинейных систем управления. М.: Мир, 1964.

13. Верлань А. Ф., Сизиков В. С. Методы решения интегральных уравнений с программами для ЭВМ. Киев: Наукова думка, 1978.

14. Винер Н. Кибернетика или управление и связь в животном или машине. М.: Сов. Радио, 1968.

15. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. М.: ИЛ, 1961.

16. Вольтера В. Теория функционалов, интегральных и интегродифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982.

17. Гельфонд А. О. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1973.

18. Гихман И. И, Скороход А. В. Теория случайных процессов, т. 1, т. 2 М.: Наука, 1983.

19. Гнеденко Б И. Курс теории вероятности. М.: Наука, 1967.

20. Данциг Г. Линейное программирование. М.: Прогресс, 1966.

21. Дезоер Ч., Ввдьясагар М. Системы с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1983.

22. Дейч А. М. Методы идентификации динамических объектов. М.: Энергия, 1979.

23. Дженкинс Г., Ватте Д Спектральный анализ и его приложения. Вып. 1, вып. 2 М.: Мир. 1972.

24. Дуб Д Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956.

25. Ермаков С. М. Методы Монте-Карло и смежные вопросы. М.: Наука, 1971.

26. Заде Л , Дезоер Ч. Теория нелинейных систем. М.: Наука, 1970.

27. Иванов А.И. Одномерная идентификация ядер Вольтерра по экспериментальным данным. Пензенский научно-исследовательский электротехнический институт.

28. Иго К., Маккин Г. Диффузные поцессы и их траектории. М.: Мир, 1968,

29. Кабанов Д. А. Функциональные устройства с распределенными параметрами. М.:Мир, 1971.

30. Калман Р. В., Фалб П, Арбиб М. Отчерки по математической теории систем. М.: Мир, 1971.

31. Кантарович Л. В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М : Физматгиз, 1962.

32. Каста Дж. Большие системы. Связность, сложность и катастрофы. М.: Мир, 1982.

33. Кахан Н. П. Случайные функциональные ряды. М. Сов. Радио, 1979.

34. Кнут. Д. Искусство программирования для ЭВМ. М.: Мир, 1976.

35. Колмогоров А. Н, Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

36. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

37. Краммер Г. Математические методы статистики. М.: ИЛ, 1948.

38. Леви П. Стохастические процессы и броуновское движение. М.: Наука, 1972.

39. Ли Ю, Шетцен М. Оптеделение ядер Винера-Хопфа методом взаимной корреляции. В кн.: Техническая кибернетика за рубежом, под ред. Солодовникова В. С. М.: Машиностроение, 1968.

40. Лоев М. Теория вероятностей. М: ИЛ, 1962.

41. Мармарелис П, Мармарелис В. Анализ физиологических систем. Метод белого шума. М.: Мир, 1981.

42. Мельников А.О. Разработка программно-математических средств и исследование пространственно-временной динамики систем методом бело-шумовой идентификации: Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. М.: МГАПИ.

43. Мессрович М., Такахара Я. Теория систем. М.: Мир, 1980.

44. Милн В. Э. Численный анализ. М.: ИЛ, 1955.

45. Музыкин С.Н, Родионова Ю.М. Моделирование динамических систем. Ярославль: 1984.

46. Музыкин С.Н, Родионова Ю.М. Моделирование нелинейных систем с использованием белошумовой идентификации. М.: -ОАО "Можайский полиграфический комбинат", 1999.

47. Музыкин С.Н., Родионова Ю.М. Функциональные разложения Вииера-Вольтерра в задачах проектирования. Ярославль: 1992.

48. Никольский С. М. Математический анализ, тт. 1,2. М.: Высшая школа, 1973.

49. Норенков И. П. Введение в автоматизированное управление технологических систем. М.: Высшая школа, 1980.

50. Островский А. М. Решение уравнений и систем уравнений, М.: ИЛ, 1963.

51. Петренко А. И, Семенов О. И. Основы построения систем автоматизированного проектирования. Киев: Высшая школа, 1984.

52. Петровский И. Г. Лекции об уравнениях с частными производными. М.: Физматгиз, 1961.

53. Полляк Ю. Г. Вероятностное моделирование на электронных вычислительных машинах. М.: Советское радио, 1971.

54. Понтряшн Л. С., Болтинский В. Г., Гамкрелидзэ Р. В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1969.60.