автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Разработка программно-математических средств и исследование пространственно-временной динамики систем методом белошумовой идентификации

ВВЕДЕНИЕ.

1. ОБЗОР СОВРЕМЕННЫХ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ СИСТЕМ С ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ДИНАМИКОЙ.

1.1. Понятие о системах с распределенными параметрами.

1.2. Методы внутреннего описания систем с распределенными параметрами.

1.2.1. Дифференциальные уравнения математической физики.

Выводы.

1.2.2. Структурная теория распределенных систем.

Выводы.

1.3. Методы внешнего описания систем с распределенными параметрами.

1.3.1. Использование рядов Вольтерра для описания систем с распределенными параметрами. 31 Выводы.-.

1.3.2. Использование функциональных разложений Винера-Вольтерра для описания систем с распределенными параметрами.

Выводы.

2. ОСОБЕННОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ АППАРАТА ФУНКЦИОНАЛЬНЫХ РАЗЛОЖЕНИЙ ВИНЕРА-ВОЛЬТЕРРА К РАСПРЕДЕЛЕННЫМ СИСТЕМАМ.

2.1. Классификация систем с распределенными параметрами.

Выводы.

2.2. Использование аппарата Винера-Вольтерра для описания динамики систем с распределенными параметрами.

Выводы.

2.3. Идентификация систем с распределенными параметрами.

2.4. Формирование распределенных тестирующих сигналов с заданными моментными функциями.

2.5. Оценка адекватности моделирования распределенных систем.

Выводы.

3. АЛГОРИТМИЧЕСКАЯ И ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ.

3.1. Обобщенные аргументы распределенных сигналов.

Выводы.

3.2. Принципы построения программного комплекса для исследования распределенных систем.

Выводы.

4. ПРИМЕРЫ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ АППАРАТА ВИНЕРА - ВОЛЬТЕРРА ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕКОТОРЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ ОБЪЕКТОВ.

4.1. Пример формирования тестового белого шума.

4.2. Пример формирования тестового белого поля.

4.3. Исследование распределенного объекта с пространственно-временным выходом.

4.4. Исследование распределенного объекта с входом и выходом в виде полей.

Предлагаемая диссертационная работа посвящена проблемам описания динамики нелинейных распределенных объектов. Задачи подобного рода возникают последнее время все чаще, поскольку область интересов современных исследований давно уже перешагнула узкие рамки классических линейных теорий. С другой стороны, любая из реально существующих систем является в общем случае распределенной. Совокупность этих двух характеристик зачастую сильно усложняет подробный анализ и построение математической модели объекта, позволяя в то же время узнать гораздо больше об истинных свойствах изучаемого процесса или явления.

Основное внимание в данной работе сконцентрировано на построении моделей объектов, которые с точки зрения теории систем можно отнести к классу динамических. Такой подход дает возможность получить точную модель исследуемого процесса, определить оптимальные значения параметров системы, изучить ее поведение в различных режимах функционирования, исследовать на устойчивость и т.п.

Среди используемых в настоящий момент методов построения моделей динамических систем выделяют два основных подхода: внешнее и внутреннее описание. Под внутренним описанием понимают построение модели с помощью метода пространства состояний. В этом случае требуется наличие априорной информации об изучаемом объекте. Обычно, модель в пространстве состояний формируется на основе некоторых известных физических соотношений. Поэтому общепринятым математическим аппаратом метода пространства состояний является аппарат интегро-дифференциальных или конечно-разностных уравнений. В классе линейных систем этот аппарат позволяет достаточно легко провести декомпозицию системы, определить оптимальное управление для заданной траектории движения, исследовать объект на предмет устойчивости и т.д. Наряду с перечисленными возможностями метода пространства состояний у него существует ряд известных недостатков. Во-первых, использование дифференциальных уравнений применительно к системам с явной нелинейностью сопряжено с трудностями получения решений краевых и начальных задач (как известно, не существует общих методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, кроме сеточных методов). Во-вторых, сам процесс построения модели требует от исследователя глубоких знаний в предметной области и зачастую вносит субъективный характер в конечный вид уравнений. Ко всему прочему следует добавить тот факт, что для некоторых систем, ввиду их сложности, не удается определить структуру пространства состояний и тем более решить полученную систему уравнений.

Использование внешнего описания подразумевает нахождение оператора связи между векторами входа и выхода системы. В общем случае при этом не требуется иметь дополнительных сведений о внутренней структуре исследуемого объекта. Этот аппарат ориентирован, прежде всего, на построение адекватной модели исследуемого процесса, оценку влияния параметров модели на вход - выходные характеристики, а также на получение искусственных систем с требуемой динамикой. Одним из наиболее удачных инструментов построения моделей такого типа является аппарат функциональных разложений Винера - Вольтерра. Использование этого инструмента дало возможность получать модели с требуемой точностью для большого класса динамических объектов, в том числе и нелинейных. Метод нашел широкое применение в области исследования биологических систем, приборов функциональной электроники, гибких автоматизированных производств и других объектов, для которых сложно получить формализованное описание с помощью методов пространства состояний.

При исследовании распределенных нелинейных объектов в качестве основного инструмента используется аппарат дифференциальных уравнений в частных производных, применение которого связано с перечисленными выше трудностями. Поэтому при построении моделей таких систем многие исследователи используют методы внешнего описания [11]. Однако следует отметить, что на сегодняшний день инструмента, обеспечивающего в достаточной мере адекватное описание систем с пространственно-временной динамикой неизвестной структуры нет.

Целью данной диссертационной работы является:

- проведение сравнительного анализа современных методов исследования систем с пространственно-временной динамикой; классификация систем с пространственно-временной динамикой; выявление особенностей применения аппарата функциональных разложений

Винера - Вольтерра к системам с распределенными параметрами;

- разработка эффективных методов моделирования для систем высокого порядка нелинейности с произвольным соотношением размерностей пространственных базисов входного и выходного сигналов;

- создание программного обеспечения для проведения идентификации и моделирования распределенных объектов;

- исследование некоторых математических объектов с целью проверки развиваемых в работе методов.

Научная новизна исследования: создана методика идентификации и моделирования одномерных распределенных систем с произвольным соотношением размерностей пространственных базисов входного и выходного сигналов;

- разработаны единые для распределенных и сосредоточенных сигналов алгоритмы вычисления оценок корреляционных функций, интегральных сверток и т.п., учитывающие особенности систем изучаемого класса;

- модернизированы алгоритмы формирования тестирующих воздействий; на основе проведенного исследования создано программное обеспечение.

Практическая ценность: программные средства, реализующие приведенные алгоритмы, могут быть использованы для исследования широкого круга распределенных систем и в качестве учебного пособия в ВУЗе.

Окончательной реализацией результатов работы явилось создание комплекса программных средств для идентификации и моделирования систем с распределенными параметрами.

Некоторые аспекты диссертации подробно освещены в 6 печатных работах.

Результаты проведенных исследований подробно изложены в последующих четырех главах. В первой главе дается обзор существующих методов описания рассматриваемых систем. Освещаются достоинства и недостатки внутреннего и внешнего подходов к описанию систем с пространственно-временной динамикой.

Во второй главе приводятся основные результаты, полученные при исследовании математических объектов с распределенными параметрами с помощью функциональных рядов. Дается обоснование выбора аппарата функциональных разложений в качестве универсального инструмента исследования таких объектов. Рассматриваются основные проблемы, возникающие при идентификации исследуемых систем с помощью белого шума.

Третья глава носит практический характер. Здесь подробно излагаются алгоритмические и программные аспекты реализации указанных моделей. Рассматривается структура и принципы функционирования программного комплекса идентификации систем с распределенными параметрами.

В четвертой главе рассматриваются примеры построения внешних моделей распределенных систем различного вида.

В заключении подводится итог всей проделанной работе, отмечаются положительные стороны и недостатки, даются рекомендации по дальнейшему развитию данного направления.

Введение

Предлагаемая диссертационная работа посвящена проблемам описания динамики нелинейных распределенных объектов. Задачи подобного рода возникают последнее время все чаще, поскольку область интересов современных исследований давно уже перешагнула узкие рамки классических линейных теорий. С другой стороны, любая из реально существующих систем является в общем случае распределенной. Совокупность этих двух характеристик зачастую сильно усложняет подробный анализ и построение математической модели объекта, позволяя в то же время узнать гораздо больше об истинных свойствах изучаемого процесса или явления.

Основное внимание в данной работе сконцентрировано на построении моделей объектов, которые с точки зрения теории систем можно отнести к классу динамических. Такой подход дает возможность получить точную модель исследуемого процесса, определить оптимальные значения параметров системы, изучить ее поведение в различных режимах функционирования, исследовать на устойчивость и т.п.

Среди используемых в настоящий момент методов построения моделей динамических систем выделяют два основных подхода: внешнее и внутреннее описание. Под внутренним описанием понимают построение модели с помощью метода пространства состояний. В этом случае требуется наличие априорной информации об изучаемом объекте. Обычно, модель в пространстве состояний формируется на основе некоторых известных физических соотношений. Поэтому общепринятым математическим аппаратом метода пространства состояний является аппарат интегро-дифференциальных или конечно-разностных уравнений. В классе линейных систем этот аппарат позволяет достаточно легко провести декомпозицию системы, определить оптимальное управление для заданной траектории движения, исследовать объект на предмет устойчивости и т.д. Наряду с перечисленными возможностями метода пространства состояний у него существует ряд известных недостатков. Во-первых, использование дифференциальных уравнений применительно к системам с явной нелинейностью сопряжено с трудностями получения решений краевых и начальных задач (как известно, не существует общих методов решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, кроме сеточных методов). Во-вторых, сам процесс построения модели требует от исследователя глубоких знаний в предметной области и зачастую вносит субъективный характер в конечный вид уравнений. Ко всему прочему следует добавить тот факт, что для некоторых систем, ввиду их сложности, не удается определить структуру пространства состояний и тем более решить полученную систему уравнений.

Использование внешнего описания подразумевает нахождение оператора связи между векторами входа и выхода системы. В общем случае при этом не требуется иметь дополнительных сведений о внутренней структуре исследуемого объекта. Этот аппарат ориентирован, прежде всего, на построение адекватной модели исследуемого процесса, оценку влияния параметров модели на вход - выходные характеристики, а также на получение искусственных систем с требуемой динамикой. Одним из наиболее удачных инструментов построения моделей такого типа является аппарат функциональных разложений Винера - Вольтерра. Использование этого инструмента дало возможность получать модели с требуемой точностью для большого класса динамических объектов, в том числе и нелинейных. Метод нашел широкое применение в области исследования биологических систем, приборов функциональной электроники, гибких автоматизированных производств и других объектов, для которых сложно получить формализованное описание с помощью методов пространства состояний.

При исследовании распределенных нелинейных объектов в качестве основного инструмеэта используется аппарат дифференциальных уравнений в частных производных, применение которого связано с перечисленными выше трудностями. Поэтому при построении моделей таких систем многие исследователи используют методы внешнего описания [11]. Однако следует отметить, что на сегодняшний день инструмента, обеспечивающего в достаточной мере адекватное описание систем с пространственно-временной динамикой неизвестной структуры нет.

Целью данной диссертационной работы является: проведение сравнительного анализа современных методов исследования систем с пространственно-временной динамикой;

- классификация систем с пространственно-временной динамикой;

- выявление особенностей применения аппарата функциональных разложений Винера - Вольтерра к системам с распределенными параметрами; разработка эффективных методов моделирования для систем высокого порядка нелинейности с произвольным соотношением размерностей пространственных базисов входного и выходного сигналов;

- создание программного обеспечения для проведения идентификации и моделирования распределенных объектов;

- исследование некоторых математических объектов с целью проверки развиваемых в работе методов.

Научная новизна исследования:

- создана методика идентификации и моделирования одномерных распределенных систем с произвольным соотношением размерностей пространственных базисов входного и выходного сигналов;

- разработаны единые для распределенных и сосредоточенных сигналов алгоритмы вычисления оценок корреляционных функций, интегральных сверток и т.п., учитывающие особенности систем изучаемого класса; модернизированы алгоритмы формирования тестирующих воздействий; на основе проведенного исследования создано программное обеспечение.

Практическая ценность: программные средства, реализующие приведенные алгоритмы, могут быть использованы для исследования широкого круга распределенных систем и в качестве учебного пособия в ВУЗе.

Окончательной реализацией результатов работы явилось создание комплекса программных средств для идентификации и моделирования систем с распределенными параметрами.

Некоторые аспекты диссертации подробно освещены в 6 печатных работах.

Результаты проведенных исследований подробно изложены в последующих четырех главах. В первой главе дается обзор существующих методов описания рассматриваемых систем. Освещаются достоинства и недостатки внутреннего и внешнего подходов к описанию систем с пространственно-временной динамикой.

Во второй главе приводятся основные результаты, полученные при исследовании математических объектов с распределенными параметрами с помощью функциональных рядов. Дается обоснование выбора аппарата функциональных разложений в качестве универсального инструмента исследования таких объектов. Рассматриваются основные проблемы, возникающие при идентификации исследуемых систем с помощью белого шума.

Третья глава носит практический характер. Здесь подробно излагаются алгоритмические и программные аспекты реализации указанных моделей. Рассматривается структура и принципы функционирования программного комплекса идентификации систем с распределенными параметрами.

В четвертой главе рассматриваются примеры построения внешних моделей распределенных систем различного вида.

В заключении подводится итог всей проделанной работе, отмечаются положительные стороны и недостатки, даются рекомендации по дальнейшему развитию данного направления.

Выводы

Таким образом, в данной главе подробно рассмотрены эффективные алгоритмы обработки распределенных сигналов, идентификации и моделирования рассредоточенных систем. Затронуты вопросы проектирования прикладного программного обеспечения, реализующего рассматриваемые в работе математические подходы. Рассмотрен пример конкретной реализации программного комплекса для исследования распределенных объектов методом бело-шумовой идентификации.

4. Примеры использования аппарата Винера - Вольтерра для исследования некоторых распределенных объектов

В этой главе подробно рассматриваются примеры идентификации распределенных объектов с нелинейными свойствами, для исследования которых обычно использовался аппарат дифференциальных уравнений в частных производных. О положительных и отрицательных аспектах использования моделей в функционалах было много сказано в предыдущих главах данной работы, здесь же сосредоточимся на самом процессе идентификации распределенных нелинейных систем.

Как известно, для успешного проведения идентификации распределенного объекта необходимо, чтобы он обладал следующими свойствами.

• Объект должен допускать ориентированное представление.

• Реакция системы должна быть аналогична, то есть допускать разложение в полиномиальный ряд.

• Система должна обладать ограниченной памятью в пространстве и во времени.

В качестве тестового сигнала должно использоваться искусственное «белое» гауссовское поле, удовлетворяющее следующим условиям.

• Любые два отсчета такого сигнала, разнесенные во времени или в пространстве менее чем на глубину соответственно временной или пространственной памяти системы, должны быть статистически независимы. Это требование фактически означает, что спектральная плотность используемого теста должна быть постоянна во всем диапазоне полосы пропускания исследуемой системы.

• Моментные функции поля нечетных порядков должны быть близки к нулю.

• Моментные функции четных порядков должны быть близки к теоретическим значениям моментных функций белого поля в пределах, необходимых для идентификации системы.

• Интенсивность тестового сигнала должна перекрывать динамический диапазон системы в ее нормальном режиме функционирования.

При проведении идентификации реальных объектов мы имеем дело обычно с дискретными выборками, а не с непрерывными сигналами. Для широкополосного дискретного белого сигнала интенсивность связана с шагом квантования:

Ы = М'СГ2. (4.1)

Здесь N - интенсивность сигнала, А^ - период дискретизации, СГ - дисперсия сигнала.

Таким образом, при проведении идентификации с помощью дискретного тестового сигнала следует, во-первых, определить необходимую величину периода дискретизации п

А/ = — (4.2)

В' во-вторых, выбрать амплитуду сигнала таковой, чтобы произведение дисперсии на шаг перекрывало требуемый динамический диапазон.

Примерам формирования таких сигналов посвящен следующий параграф.

4.1. Пример формирования тестового белого шума

Рассмотрим, как может быть использован разработанный комплекс программных средств для формирования белого шума. В качестве исходных данных будем использовать следующие: 2

У - дисперсия формируемого теста;

- длина генерируемой последовательности;

- шаг дискретизации;

- порядок моментной функции, вплоть до которой будет осуществляться коррекция исходной последовательности;

- глубина коррекции по каждой из моментных функций.

Для этих целей нам потребуется два модуля из стандартного набора, поставляемого в составе комплекса:

1. Генератор белого гауссовского поля (Генератор БГП). Этот модуль формирует исходную последовательность заданной длины на основе сложения 12-ти равномерно распределенных значений.

2. Фильтр коррекции моментной функции белого поля (фильтр Кхк2-Ж.ук2) является универсальным фильтром, позволяющим корректировать моментную функцию произвольного порядка, при этом сама последовательность может иметь также произвольную размерность. Несколько фильтров, соединенных последовательно, образуют схему формирования псевдо-белого сигнала с требуемыми свойствами.

Пусть, для примера, нам требуется осуществить коррекцию моментных функций до четвертого порядка включительно. Дня этого с помощью визуального редактора формируем следующую схему.

Генератор БГП &41Н

Ц ¿1 Г;РлОХ—>ЕУ01 X щмпаояе д.XI г.«51ог-->Рчог кед.Х! поплзм

Е»оя Евитйфмч'еяъ

Рис. 4.1. Схема формирования белого шума.

Фильтры не сохраняют промежуточные версии сигнала, поэтому замыкает схему модуль «Повторитель», сохраняющий в себе конечный вариант сигнала. На нижнем выходном коннекторе каждого фильтра формируется моментная функция соответствующего порядка.

Примем в качестве исходных данных:

Параметр Модуль Значение с.к.о. Генератор БГП. Все фильтры. 1.0

Длина последовательности Генератор БГП. 150 отсчетов

Шаг дискретизации Генератор БГП. Произвольный

Порядок Определяется схемой до 4-го порядка

Глубина коррекции Фильтр 2-го порядка 15 отсчетов

Глубина коррекции Фильтр 3-го порядка 7 отсчетов

Глубина коррекции Фильтр 4-го порядка 4 отсчета

Точность приближения Константа комплекса 1.0е-6

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Основное внимание в данной диссертационной работе было уделено вопросам распространения аппарата функциональных разложений Винера-Вольтерра на класс рассредоточенных динамических объектов. Однако корни проблемы кроются в отсутствии как такового универсального аппарата для исследования распределенных нелинейных систем. Безусловно, в работе невозможно было охватить всю эту область целиком, поэтому были поставлены и решены лишь следующие задачи:

- проведение сравнительного анализа современных методов исследования систем с пространственно-временной динамикой;

- классификация систем с пространственно-временной динамикой;

- выявление особенностей применения аппарата функциональных разложений Винера-Вольтерра к системам с распределенными параметрами;

- разработка эффективных методов (алгоритмов) моделирования для систем высокого порядка нелинейности с произвольным соотношением размерностей пространственных базисов входного и выходного сигналов;

- создание программного обеспечения для проведения идентификации и моделирования распределенных объектов;

- исследование некоторых математических объектов с целью проверки развиваемых в работе методов.

Созданное программное обеспечение позволит исследовать широкий класс математических объектов, для которых обычно необходимо было многократно применять численные методы.

К сожалению, за рамками рассмотрения остался целый ряд важных вопросов, таких, например, как случай многомерных распределенных нелинейных систем, о которых вскользь упоминалось в третьей главе.

В заключение хотелось бы подчеркнуть важность развития средств построения нелинейных моделей, потенциал использования которых еще далеко не исчерпан.

1. Баренблатт Г.И. Подобие, автомодельность, промежуточная асимптотика. -Л. :Гидрометеоиздат, 1982. 255с.

2. Белотелов Н.В., Лобанов А.И. Популяционные модели с нелинейной диффузией// Математическое моделирование. 1997. - Том 9. - N 12. - С. 44-55

3. Бутковский А.Г. Структурная теория систем с распределенными параметрами. -М:Наука, 1977. 320с.

4. Бутковский А.Г. Характеристики систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1979. - 320с.

5. Винер Н. Нелинейные задачи в теории случайных процессов. М.: Изд. иностр. лит., 1961.-159с.

6. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интегро-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1982. - 304с.

7. Галактионов В.А, Курдюмов С.П., Самарский A.A. Процессы в открытых диссипативных системах. М.: Знание, 1988. - 31с.

8. Мармарелис В., Мармарелис П. Анализ физиологических систем: Метод белого шума. -М. Мир, 1981.-480с.

9. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем. М.: Мир, 1978. - 312с.

10. Музыкин С.Н., Родионова Ю.М. Моделирование динамических систем. -Ярославль: 1984.

11. Музыкин С.Н., Родионова Ю.М. Функциональные разложения Винера-Вольтерра в задачах проектирования. Ярославль: 1992.

12. Пупков К.А., Ющенко A.C., Капалин В.И. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. -М.:Наука, 1976.

13. Рубан А.Н. Определение динамических характеристик нелинейных объектов с распределенными параметрами: Труды Сибирского физико-технического института им. В.Д. Кузнецова при Томском Государственном Университете им В.В. Куйбышева. -Вып. 51, 1970.

14. Самарский A.A., Галактионов В.А., Курдюмов С.П., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений.

15. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. -736 стр. с илл.

16. Филатов В.В. К вопросу вычисления моментных функций высоких порядков: Доклады II международной научно-технической конференции «Моделирование и исследование сложных систем». -М.:МГАПИ, 1998.

17. Флейк Р.Г. Теория рядов Вольтерра и ее приложение к нелинейным системам с переменными параметрами: Труды II Конгресса EFAC, «Оптимальные системы. Статистические методы». -М.: Наука, 1965.

18. Штыкин М.Д. Разработка программно-математического комплекса белошумовой идентификации динамических объектов в системах автоматизации технологических процессов: Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. -М. :МГАПИ.