автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Исследование устойчивости и оптимизация линейных систем с коэффициентами, зависящими от полумарковских и марковских процессов

Введение.

Глава 1. Обзор работ по теории устойчивости и теории оптимального управления для систем со случайными параметрами.

§1.1. Обзор работ по теории устойчивости решений систем дифференциальных и разностных уравнений со случайными параметрами.

§1.2. Обзор работ по оптимизации решений систем дифференциальных и разностных уравнений со случайными параметра.ыи.

§1.3. Некоторые определения и теоремы.

1.3Л. Скалярное произведение матриц.

1.3.2. Сопряженный монотонный оператор.

1.3.3. Стохастические операторы.

1.3.4. Полумарковский конечнозначный процесс с непрерывньш временем.

1.3.5. Полумарковскнй конечнозначный процесс с дискретньпм временем.

Глава 2. Исследование устойчивости решений систем линейных дифференциальных и разностных уравнений с марковскими коэффициентами.

§2.1. Вывод. ыоментныхуравнений.

2.1.1. Система линейных разностных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами.

2.1.2. Нестационарные системы линейных разностных уравнений.

2.1.3. Система линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами.

2.1.4. Нестационарная система линейных дифференциальных уравнений.

§2.2. Исследование Ь.А-устойчивостирешений системы .пинейныхразностных уравнений с коэффициентами, зависящими от .марковской цепи.,

2.2.1. ¿2 устойчивость решений разностных уравнений.

2.2.2. Построение функций Ляпунова для системы линейных разностных уравнений.

2.2.3. Построение функций Ляпунова с помош;ью моментных уравнений.

§2.3. Исследование ЬА-устойчивостирешений системы линейных дифференциальных уравнений с марковскими коэффициентами.

2.3.1. ¿2устойчивость решений дифференциальных уравнений.

2.3.2. Построение функций Ляпунова для системы линейных нестационарных дифференциальных уравнений.

2.3.3. Исследование¿2-устойчивости решения системы линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными марковскими коэффициентами.

2.3.4. Построение функций Ляпунова с помощью моментных уравнений.

Глава 3. Исследование устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

§3.1. Моментныеуравнения для системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

3.1.1. Вывод операторных уравнений для частных плотностей.

3.1.2. Вывод моментных уравнений.

3.1.3. Уравнения для моментов решений системы линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными полумарковскими коэффициентами.

§3.2. Вывод моментных уравнений для стохастической системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

§3.3. Исследование устойчивости решений системы линейных дифференциальных уравнений.

3.3.1. Определения устойчивости решений.

3.3.2. Построение функций Ляпунова.

3.3.3. Построение функций Ляпунова для системы стохастических дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковского процесса.ПО

Глава 4. Синтез оптимального управления для линейных систем дифференциальных уравнений с коэффициентами, зависящими от полумарковских и марковских процессов.

§'Л, 1. Оптимизация решений систе.мы .шнейных дифференцгшпных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

4.1.1. Оптимизация решений системы линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

4.1.2. Оптимизация решений системы линейных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными случайными коэффициентами

§4.2. Опшшша^иМ линейной системы с коэффгщиенжоми, завистцими от полумарковского процесса и при случайном входе.

§4.3. Оптимизация решений системы линейных дифференциальных уравнений с коэффициента. ыи, зависящими от марковского процесса.

4.3.1. Использование принципа динамического программирования.

4.3.2. Оптимизация линейньк дифференциальных систем со сдзАтайной структурой.

§4.4. Телеграфные белые шумы.

Глава 5. Устойчивость и оптимизация линейных систем разностных уравнений, зависящих от полумарковских и марковских цепей.

§5.1. Моментные уравнения для системы линейных разностных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

5.1.1. Операторные уравнения для частньж плотностей.

5.1.2. Вьшод моментных уравнений.

5.1.3. Система разностных уравнений с кусочно-постоянными полумарковскими коэффициентами.

5.1.4. Линейные разностные уравнения со случайными марковскими коэффициентами и скачками решений.

§5.2. Исследование устойчивости решений системы разностных уравнений со случайными полумарковскими коэффициентами.

§5.3. Оптимизация решений системы линейных разностных уравнений с полумарковскими коэффициентами.

5.3.1. Необходимые условия оптимальности.

5.3.2. Оптимизация решений системы линейных разностных уравнений с кусочно-постоянными полумарковскими коэффициентами.

§5.4. Оптимизация решений системы линейных разностных уравнений с марковскими коэффициентами.

§5.5. Разностная аппроксимация системы стохастических дифференциальных уравнений.

Глава 6. Моделирование социально-демографической ситуации в

Ставропольском крае.

§6.1. Вынужденная миграция в России.

§6.2. Региональные факторы миграции и этническая структура миграционного потока на Северном Кавказе.

§6.3. Социально-демографическая ситуация в Ставропольском крае.

§6.4. Марковская модель развития демографической ситуагщи в

Ставропольском крае.

§6.5. Полумарковская модель развития демографической ситуации в

Ставропольском крае.

§6.6. Анализ полученных результатов.

Заюпочение.

В настоящее время все более широкое распространение получают вероятностные модели, более полно и точно отражающие реальные процессы, происходящие в технике, природе и обществе. Описание этих моделей приводит к обычным дифференциальным уравнениям, параметрами которых являются случайные функции времени. При реализации реальных процессов основное внимание обращается на устойчивость и управляемость этих моделей, понимаемых в различных смыслах, поэтому изучение вероятностных моделей привело к созданию соответствующих направлений в теории устойчивости и тесно с ней связанной теории оптимального управления: стохастической теории устойчивости и оптимальному управлению случайными процессами.

Теоретические основы исследования устойчивости для систем дифференциальных уравнений со случайньши параметрами бьши заложены А.Н.Колмогоровым в 1938 году.

При этом для построения содержательной стохастической теории принципиально важными оказались следующие моменты: 1).Рассмотрение систем, обладающих марковскими свойствами. 2).Концепция сильной вероятностной устойчивости.

В дальнейшем его подходы были развиты в работах Р.Л.Стратоновича, Дж.Е.Бертрана и Р.Е.Сарачека, Н.Н.Красовского, В.И.Зубова, А.М.Тихонова, И.Я.Каца, В.Б.Колмановского, В.Р.Носова, Р.З.Хасьминского, А.В.Скорохода, Т.К.Сиразетдинова, И.Е.Казакова , К.Г.Валеева, Г.Н.Мильштейна и других авторов.

Работы всех исследователей опираются, либо на изучение уравнений типа уравнения Фоккера - Планка - Колмогорова и вероятностные свойства решений стохастических дифференциальных уравнений, либо на анализ моментных уравнений с последующим применением методов А.М.Ляпунова.

В развитии теории оптимального управления вьщающуюся роль сьпрали работы Р.Беллмана и Л.С.Понтрягина. Для оптимального управления случайными процессами эти работы бьши развиты Н.Н.Красовским,

A. А.Красовским, Р.Л.Стратоновичем, ЭА.Лидским, А.М.Летовым,

B. Винером, Р.Е.Калманом и другими авторами. т~ч и и

В современной теории управляемых случайных процессов управляют либо траекториями случайных процессов, либо вероятностными мерами, заданными на траекториях некоторого случайного процесса. Оба этих подхода позволяют установить принцип оптимальности Беллмана, вывести уравнение Беллмана для некоторых классов случайных процессов, полз^чить аналоги пррпщипа максимума Понтрягина, вьшести в ряде случаев необходимые и достаточные условия существования оптимального решения. Отметим работы И.И.Гихмана, А.В.Скорохода, Г.Н.Мильштейна, В.М. Артемьева и других авторов.

Много работ посвящено исследованию управляемых процессов диффузионного типа. Это работы Р.Л.Стратоновкгаа, Г.Е.Колосова, Ф.М.Черноусько, В.Б.Колмановского и других авторов.

При этом наиболее разработанной является теория систем с «белыми шумами» и марковскими процессами. Теория оптимального управления систем зависящих от полумарковских процессов является менее разработанной. Отметим работы К.Г.Валеева и его учеников.

Диссертационная работа посвящена исследованиям в области теории устойчивости и теории оптимального управления линейными системами, зависящими от марковских или полумарковских процессов. Целью работы является нахождение необходимых и достаточных условий существования ¿2-устойчивых и асимптотически устойчивых в средне квадратичном решений; нахождение необходимых и достаточных условий существования оптимальных решений линейных систем с марковскими и полумарковскими коэффициентами и возмущениями типа «белого шума».

В настоящей работе используется математический аппарат метода моментных уравнений и метод стохастических функций Ляпунова.

Основными научными результатами, полученными в диссертации являются: получены моментные уравнения для моментов первого и второго порядка решений систем линейных дифференциальных и разностных уравнений, коэффициенты которых зависят от конечнозначного полумарковского процесса; вводится понятие ¿2 "Устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений со случайными коэффициентами; получены необходимые и достаточные условия ЬЛ-устойчивости решений нестационарных систем линейных дифференциальных уравнений, коэффшщенты которых зависят от конечнозначных марковских и полумарковских процессов; получены необходимые и достаточные условия

2и и и Л Л о

-устойчивости решений системы линеиных дифференциальных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами, являющимися функциями конечнозначных марковских и полумарковских процессов; вьшедены уравнения для определения стохастических функций Ляпунова, на основании которых получены необходимые и достаточные условия ¿2'Устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами и скачками решений; получены необходимые и достаточные условия ¿2 "Устойчивости решений стохастической системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами и скачками фазовых траекторий; ползЛены необходимые условия оптимальности линейной системы управления с коэффициентами, зависяпщми от конечнозначных марковских или полумарковских процессов и скачками решений; решена задача прогнозирования социально-демографической ситуации в Ставропольском крае на основе как марковской, так и полумарковской модели.

Диссертация состоит из введения, 6 глав, заключения и списка литературы.

ЗА1СЛЮЧЕНИЕ

На защиту вьшосятся следующие результаты:

1. Введено понятие /-Л-устойчивости рещений дифференциальных и разностных уравнений со случайньпии коэффшщентами;

2. Получены уравнения для моментов рещений систем линейных дифференциальных и разностных уравнений, коэффициенты которых зависят от конечнозначного полумарковского процесса, позволяющие исследовать устойчивость и осуществлять синтез оптимального управления таких систем;

3. Получены необходимые и достаточные условия -устойчивости решений нестационарных систем линейных дифференциальных уравнений, коэффициенты которых зависят от конечнозначных полумарковских процессов;

4. Получены необходимые и достаточные условия ¿2 -устойчивости решений системы линейных дифференциальных и разностных уравнений с кусочно-постоянными коэффициентами, являющимися функциями конечнозначных полумарковских процессов;

5. Вьшедены уравнения для определения стохастических функций Ляпунова, на основании которых получены необходимые и достаточные условия /.л" и и и 1 1 и устойчивости решений систем линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами и скачками решений;

6. Получены необходимые и достаточные условия ¿2 -устойчивости решений стохастической системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффншрнентами и скачками фазовых траекторий;

7. Получены необходимые условия оптимальности линейной системы управления с коэффициентами, зависящими от конечнозначных полумарковских процессов и скачками решений;

8. Решена задача прогнозирования социально-демографической ситуации в Ставропольском крае на основе как марковской, так и полумарковской модели.

1. Александров А.Г. Оптимальные и адаптивные системы.-М.: Высшая школа, 1989.-164С.

2. Алиев ФА., Ларин В.Б., Науменко К.И., Сунцев В.Н. Оптимизация линейных инвариантных во времени систем управления.-Киев: Наукова думка, 1978.-327С.

3. Анапольский Л.Ю., Иртегов В.Д., Матросов В.М. Способы построения функций Ляпунова. В сб.: Итоги науки и техники. Общая механика.-М.: ВИНИТИ, 1975. С. 53-112.

4. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами.-М.: 1976.-424С.

5. Андреева Е.А., Колмановский В.Б., Шайхет Л.Е. Управление системами с последействием. М.: Наука, 1992. 336с.

6. Андронов A.A., Понтрягин Л.С., Витт A.A. О статическом рассмотрении динамических систем.// ЖЭТФ.- 1933.- З.-вьш.З.-с. 165 180.

7. Антомонов Ю.Г. Синтез оптимальных систем.-Киев: Наукова думка, 1972.-320с.

8. Аоки М. Оптимизация стохастических систем.-М.: Наука, 1971.-424с.

9. Артемьев В.М. Статистический анализ систем с обратной переменной структурой. // Проблемы повьппения эффективности систем управления. Минск.: Минсвязь, 1971. с.34 - 41.

10. Артемьев В.М. Теория динамических систем со случайными изменениями структуры.-Минск: Высшая школа, 1979.-160с.

11. И.Артемьев В.М., Ивановский A.B. Дискретные управления со случайным периодом квантования.-М.: Энергоатомиздат, 1986.-96с.

12. Баранова О.В. О глобальной управляемости линейных систем со случайными параметрами.//Нелинейные колебания и теория управления.-Ижевск,1987.- с.ЗЗ 53.

13. Барбашин Е.А. Функции Ляпунова.-М.: Наука, 1970.-240с.

14. Беллман Р. Введение в теорию матриц.-М.: Наука, 1969.-368с.

15. Бевдат Дж., Пирсол А. Применение корреляционного и спектрального анализа.-М.: Мир, 1983.-312с.

16. Бендерский М.М. Об асимптотике решений линейных уравнений со случайными коэффициентами.//Матем. Методы анализа динам, систем.-Харьков,1977.- с. 13 15.

17. Бершптейн С.Н. Собрание сочинений, Т.4.-М.: Наука, 1964.-578с.

18. Боголюбов H.H. О некоторых статистических методах в математической физике.- Киев: Изд-во АН УССР, 1945.- 137с.

19. Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами.-М.: Наука, 1973.-445с.

20. Бондарос Ю.Г. Исследование стохастических характеристик линейной двухканальной системы с модуляцией методом моментов.//АиТ, №2,1975. С.75 - 78.

21. Броди СМ., Погосян И.А. Вложенные стохастические процессы в теоррш массового обелзживания.-Киев: Наукова думка, 1973.-128с.

22. Бромберг П.В. Матричные методы в теории релейного и импульсного регулирования.-М.: Наука, 1967.-324с.

23. Бухалев В.А. Оптимальная фильтрация в системах со случайной структурой.//АиТ.-№11, 1967.- с. 122 126.

24. Бухалев В.А. Синтез управления марковским объектом со случайной структурой.//АиТ.- №8, 1979.- с. 95 99.

25. Валеев К.Г. Расщепление спектра матриц.-Киев: Вьпца школа, 1985.-272с.

26. Валеев К.Г., Дильмурадов Н. О синтезе оптимального управления для линейных разностных уравнений со случайными коэффициентами, зависящими от марковской цепи./Доклады АН Украины,-1993.М12.-С.22-24.

27. Валеев К.Г., Жаутьпсов O.A. Бесконечная система дифференциальных уравнений.-Атма-Ата: Наука, 1974.-416с.

28. Валеев К.Г., Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами.Монография-М. :Изд-во РУДН, 1996.-258с.

29. Валеев К.Г., Митропольский Ю.А., Финин Г.С. Численный анализ оптимального управления для линейных стационарных систем.-Киев: 1980.-76С. (Препринт/АН УССР, Ин-т математики; 80.4).

30. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Аналитическое описание случайных процессов1. «Нелинейные задачи гидроаэромеханики и теории упругости». Т2. Днепропетровск, 1987г.С.68-72

31. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Аналитическое описание случайных процессов1.. «Нелинейные задачи гидроаэромеханики и теории зшрутости». ТЗ. Днепропетровск, 1987Г.С.68-72

32. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Исследование устойчивости в линейных цепях со случайными параметрами. Первая Всесоюзная конф. по ТОЭ. Тез.докл. Ташкент, 1987Г.С.21-22

33. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Исследование устойчивости решений системы дифференциальных уравнений со случайной правой частью. Пятая Всесоюзная Четаевская конф. "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением" Тез.докл. Казань, 1987г. С.22.

34. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Метод моментных уравнений.-Киев: 1985.-56с.-(Препринт/АН УССР, Ин-т электродинамики; 467).

35. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Моделирование случайных процессов.-Киев: 1985.-56с.-(Препринт/АН УССР, Ин-т кибернетики; 88-63).

36. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Стохастические дифференциальные уравнения с телеграфными белыми шумами. Киев. 1987г. -20с. Деп. в УкрНИИНТИ 24.02.87. №832Ук87.

37. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Устойчивость решений систем линейных дифференциальных уравнений со случайными коэффициентами. В кн.: Применение выч.техн. и мат.методов в научных исследованиях. Киев. 1985г. С.5.

38. Валеев К.Г., Стрижак О.Л. Функциональные уравнения теории случайных процессов. Всесоюзная конф. По теории и приложениям функционально-дифференциальных уравнений. Тез.докл. Душанбе, 1987г.С.71

39. Валеев К.Г., Финин Г.С. Построение функций Ляпунова.-Киев:- Наукова думка, 1981.-412с.

40. Вентцель Е.С. Теория вероятностей.-М.: Наука, 1964.-576с.

41. Вонем В.М. Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления//Математика (сб.переводов).-1973.-т. 17,N4.-C. 129-167, т.5.-С.82-114.

42. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.-М.: Наука, 1988.-548с.

43. Гихман И.И. Об устойчивости решений стохастических дифференциальных уравнений.//Предельные теоремы и статистические вьшоды. Ташкент, 1966.- с. 14 -15.

44. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов.-М.: Наука, 1977.-567С.

45. Голубин А.Ю., Толмачева Н.Д. Об оптимальном управлении системой с конечным пространством состояний при неполной информации и ее надежности.// Вероятностные процессы и их приложения, 1985.- с. 23 -28.

46. Горелов В.И., Карелова О.Л. Математическое моделирование в экологии. Монография-М.:Изд-во РУДН, 2000.-197с.

47. Горелов В.И., Карелова О.Л. Об одной модели народонаселения. Вестник РУДН,«Экология»:М.:РУДН,2001г.С.51-54.

48. Горелов В.И., Карелова О.Л. Применение теории орграфов к моделям в экологии. Тез. ХХУП конференции ф-та физ.-мат. и естеств.наук.-М.:РУДН, 1997Г.С. 132-134

49. Горелов В.И., Карелова О.Л. Социо-эколого-экономическое моделирование. Тез. ХХУШ конференции ф-та физ.-мат. и естеств.наук.-М.:РУДН, 1998Г.С. 138-142.

50. Гурин Л.Г. Об управлении динамической системой при воздействии на нее случайного процесса.//Вьгч. матем. и матем. физика, 1985.- т.25.- №10.-с.106-111.

51. Евланов Д.Г., Константинов В.Н. Системы со случайными параметрами.-М.: Наука, 1976.-568с.

52. Егоров А.И. Оптимальное управление линейными системами.- Киев: Вьпца школа, 1988.-280С.

53. Зубов В.И. Дифференциальные уравнения вероятностных распределений/Дифференциальные уравнения.- 1979,т.25,К2.-С.351-353.

54. Зубов В.И. Интерполяция и аппроксимация вероятностных распределений//ДАН СССР.-1991.-т.316,М6.-С. 1298-1301.

55. Зубов В.И. Лекции по теории управления.-М.: Наука, 1975.-496с.

56. Казаков И.Е. Оценивание и идентификация в системах переменной структуры.//АиТ, 1979.- №11. с. 81 - 84.

57. Казаков И.Е. Статистическая динамика систем с переменной структурой.-М. : Наука, 1977.-356с.

58. Карелова О.Л., Горелов В.И. Оптимизация линейных систем со случайными коэффициентами. Тез.докл.ХХХН научн.конф.ф-тЛиз.-мат. и естеств.наук.М. :РУДН, 1996.С.62.

59. Карелова О.Л. Оптимизация решений линейной системы управления со случайными коэффициентами. Тез. Воронежской матем. школы «Понтрягинские чтения У1». Воронеж, 1995.С.20.

60. Карелова О.Л. Оптимизация решений системы разностных уравнений с кусочно-постоянными полумарковскими коэффициентами. Тез.докл. 1У междунар. Семинара "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления".М.:ИПУ, 1996.С.84.

61. Карелова О.Л. Построение функций Ляпунова для системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами.Тез.докл. Второй Крымской Междунар. матем. школы «Метод фзшкций Ляпунова и его приложения».Крым,Алушта, 1995.С.73

62. Карелова О.Л. Применение фзЛнкций Ляпунова к исследованиюи и и 1 1 иустойчивости решений системы линейных дифференциальных уравнений с полумарковскими коэффициентами. Тез. ХХХУ1 конф. ф-та физ.-мат. и естеств.наук.-М.:РУДН,2000г.С.52-54.

63. Кац И.Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры.- Екатеринбург, 1998.- 222с.

64. Кац И.Я. Об устойчивости движения стохастических систем с разрьгонъпми фазовыми траекториями.-В сб. "Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений".-Новосибирск: Наука, 1988.-С. 179-185.

65. Кац И.Я., Красовский H.H. Об устойчивости систем со случайными параметрами// Прикл. математика и механика.-1960.№.-С.809-823.

66. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления.-М.: Мир, 1977.-650С.

67. Коваленко И.Н., Наконечный А.Н. Приближенный расчет и оптимизация надежности.- Киев: Наукова думка, 1989.-184с.

68. Колмановский В.Б. Об устойчивости стохастических систем с запаздьшанием.//Проблемы передачи информации, 1969. т.5. - вьш.4. -с.55-59.

69. Колмановский В.Б., Носов В.Р. Устойчивость и периодические режимы регулируемых систем с последействием. М.: Наука, 1981. - 286с.

70. Колмановский В.Б., Черноусько Ф.Л. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978. 352с.

71. Колмановский В.Б.,Майзенберг Т.Л. Оптимальное управление стохастическими системами с последействием.//АиТ, 1973. 1. - с.47 - 61.

72. Колмогоров А.Н. Об аналитических методах в теории вероятностей// Успехи матем. науки. -1938. -вьш. 5.-С.5-41.

73. Коловский М.З., Троицкая З.В. Об устойчивости линейных систем со случайными параметрами.//ПММ, 1972.- вьш.36.- №2.- с.218 224.

74. Коломиец В.Г., Кореневский Д.Г. Об устойчивости линейных систем со случайньпли возмущениями.// Прикл. Механика.-1967.- 3, вьш.8.- с. 119123.

75. Коломиец В.Г., Пригула H.H. Асимптотические методы в исследовании случайных колебаний в некоторых системах с распределенными параметрами и последействием. Препринт №33 Ин-т матем. АН УССР, 1985.-51с.

76. Колосов Г.Е. Синтез оптимальных автоматических систем при случайных возмущениях. М.: Наука, 1984. 256с.

77. Кореневский Д.Г. Устойчивость динамических систем при случайных возмущениях параметров. Алгебраические критерии.-Киев: НазАова думш, 1989.-208С.

78. КоролюкВ.С. Стохастические модели систем.-Киев: Наукова думка, 1989.-210с.

79. Королюк B.C., Свищук A.B. Полумарковские случайные эволющш.- Киев: Наукова думка, 1992.- 256с.

80. Королюк B.C., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их приложения,-Киев: Наукова думка, 1976.-182с.

81. Красовский A.A. Статистическая теория переходных процессов в системах управления. М.:,1968. - 314с.

82. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем.-М.: Наука, 1974. 232с.

83. Красовский H.H. Об оптимальном регулировании при случайных возмущениях.//ПММ, I960.- т.24.- Вьт. 1.,- с.31- 34.

84. Красовский H.H., Лидский Э.А. Аналитическое конструирование регуляторов в системах со случайными параметрами.АиТ, 1961. №9 11.

85. Кунцевич В.М., Лычак М.М. Синтез систем автоматического управления с помощью функций Ляпунова.-М.: Наука, 1977.-400с.

86. Кушнер Дж.Г. Стохастическая устойчивость и управление.-М.: Мир, 1969.-200с.

87. Ланкастер П. Теория матриц.-М.: Наутса, 1978.-280с.

88. Левит М.В., Якубович В.А. Алгебраический критерий стохастической устойчивости линейных систем с параметрическим воздействием типа «белый шум».//ПММ, 1972.- 36, вьш.1.- с. 142 148.

89. Летов A.M. Математическая теория процессов управления.-М.: Наука, 1981.-256с.

90. Лурье А.И. Некоторые нелинейные задачи теории автоматического регулирования.-М.-Л.: ТИТТЛ, 1951.-216с.

91. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения.-М.: Гостехиздат, 1950.-472С.

92. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения.-М.: Наука, 1965.-432с.

93. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств.-М.: Наука, 1972.-232С.

94. Мартьшюк Д.И. Лекции по качественной теории разностных уравнений.-Киев: Наукова думка, 1978.-246С.

95. Мильштейн Г.Н. Об устойчивости линейной системы, находящейся под действием марковской цепи//Дифференциальные уравнения.-1970.-T.6,N11.-C. 1982-1993.

96. Мильштейн Г.Н. Распределение интеграла от марковской цепи с двумя состояниями.//Матем. Записки Уральского гос. Ун-та, 1972.-т.8.-с.80 -90.

97. Мильштейн Т.Н., Репин Ю.М. О воздействии марковского процесса на систему дифференциальных уравнений//Дифференциальные уравнения.-1969.-T.5,N8.-C. 1371-1384.

98. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем.-М.: Наука, 1971.-424с.

99. Насимов К.А. Устойчивость стохастических систем и новые классы случайных процессов.- Киев, 1987.- 48с. Деп. В УкрНИИНТИ 10.03.87. № 930-Ук87.

100. Неймарк Ю.И., Коган Н.Я., Савельев В.П. Динамические модели теории управления.-М.: Наука, 1985.-400с.

101. Острем К.Ю. Введение в стохастическую теорию управления.-М.: Мир, 1973.-322с.

102. Петров Ю.П. Синтез оптимальных систем управления при неполностью известных возмущающих силах.-Л.: Изд-во ЛГУ, 1987.-292с.

103. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.-М.:Физматгиз, 1969.-384с.

104. Пугачев B.C., Синипин И.И. Стохастические дифферешщальные системы.-М.: Наука, 1985.-560с.

105. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление.-М.: Наука, 1978.-552с.

106. Румянцев В .В. Метод функций Ляпунова в теории устойчивости движения. В кн. Механика в СССР за 50 лет.-М.: Наука, 1968, т. 1.-С.7-66.

107. Свешников A.A. Прикладные методы теории случайных функций.-Л.: Судпромгиз, 1961.-252с.

108. Сигалов Г.Г. К анализу нелинейных систем методом уравнений моментов.//АиТ, 1970.- №6.- с.37 47.

109. Сильвестров Д.С. Полумарковские процессы с дискретным множеством состояний// Методические разработки по специальному lypcy для специализаций. Теория вероятностей и теоретическая кибернетика.-Киев, 1971.-133С.

110. Стратонович Р.Л. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений. Вестник МГУ, сер. Матем.и мех., 1964,№ 1, с.25 31.

111. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы.-Изд. МГУ, 1966.-318с.

112. Стрижак О.Л. Вьшод моментных уравнений для некоторых классов разностных и дифференциальных уравнений. Киев. 1987г. -5 с. Деп. в УкрНИИНТИ 24.02.87. №833Ук.87.

113. Стрижак О.Л. Обобщение уравнения Фоккера-Планка-Колмогорова. В кн.: Применение вьгчг.техн имат.методов в научных исследованиях.-Киев, 1987г. С.5-6

114. Стрижак О.Л. Синтез оптимшшного управления для систем со случайными параметрами и случайньш регулятором. В кн.: Применение вьгч.техн. и мат.методов в научных исследованиях. Киев. 1988г. С. 14-15.

115. Тихонов В.И., Миронов М.А. Марковские процессы.-М.: Сов. радио, 1977.-488С.

116. Треногий В.А. Функциональный анализ.-М.: Наука, 1980.-436с.

117. Труды международной конференции «Проблемы населения и рьшков труда России и Кавказского региона» М,-Ставрополь, 1998.- 176с.

118. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах.-М.: Мир, 1984.-т.1.-528с.,т.2.-752с.

119. Хазен Э.М. Определение одномерной плотности распределения и моментов случайного процесса на выходе существенно нелинейной системы.//Теория вероятностей и ее применение, 1961.- вьш. 1.- с.21 29.

120. Хасъминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров.-М.: Наука, 1969.-368с.

121. Хори Р., Джонсон Ч. Матричный анализ.-М.: Мир, 1989.-656с.

122. Хрисанов СМ. Показатели Ляпунова линейных систем с марковскими коэффициентами/Шрикладная математика и механика.-1983, T.47,N1.-C.21-26.

123. Хрисанов СМ. Разностные уравнения с марковскими коэффициентами/ЛГеория вероятностей и математическая статистика.-Киев, 1981,N25.-C. 149-153.

124. Хрисанов СМ., Хрисанова Т.В. Метод моментных уравнений в задачах управления линейными системами со случайными параметрами.//Диф. Уравнения и их применение. Труды 3-й конф., ч. 1.-Руссе, 1987.-c.449 452.

125. Царьков Е.Ф. Случайные возмущения с последействием. Дисс. Д.ф-М.Н.- Рига, Рижский политехи.ин-т, 1981.- 326с.

126. Четаев Н.Г. Устойчивость движения.-М.: Изд-во АН СССР, 1962.-536с.

127. Шуенков В.А., Донченко B.C. Прикладные модели теории массового обслуживания.-Киев: НМК ВО, 1992.-398с.

128. Шумафов М.М. О построении функций Ляпунова для некоторых нелинейных стохастических дифференциальных уравнений второго порядка и вопросы устойчивости.//ДУ,1981.- т. 17.- №6.- с.1143 1145.

129. Bertram J.E., Sarachik P.E. Stability of circuits with randomly time-varying parameters/ZProc. of the Intern. Sympos. on Circuits and Infoim.Theory, Los-Angeles, Calif. IRE Transactions. 1959. CT-6. P.260-270

130. Bunke H. Gewohuliche Differentialgleichungen mit zufaUigen Parametern// Berlin. Academic-Verlag, 1972.-210s.

131. Chang S.L. Synthesis of optimmn control systems// N. Y. Mograw-Hill Book Company, 1961.-3 8 Ip.

132. Chen C.F., Shieh L.S. Not on expanding PA+ATp=-Q//iEEE Trans.Automat Contr., 1968,13,N6.-P.747-748.

133. Friedman A. Stochastic Differential Equations and Applications.-New York Acad.Press, 1976.-344p.

134. Hagander P. Numerical solution of ATs+SA+Q=0^nform sei., 1972, N4.-P.35-50.

135. Hahn W. Theorie und Anwendungen der directen Methoden von Liapunov.-Berlin: Springer, 1959.-142s.

136. Hotz A., Skeleton R.E. Covariance control theory.// Int. J. Conti, 1987.-V.46.-N1.-P.13-32.

137. Ito К. On a formula concerning stochastic differentials//Ibid.-1951.-3,Nl.-P.55-65.

138. Ito K. Stochastic integral.-/Proc.Imp.Acad.Tokyo, 1944,v.20.

139. Jameson A. Solution of the equation AX+BX=C by inversion of an mxm or nxn matrix.-SIAM J.Appl.Math., 1968,16,N5.-P. 1020-1023.

140. Karelova O.L. Stabilization of solution of system of linear differential equations depending on semi-Marcovian process. Второй Европейский конгресс математиков.Будапешт, 1996г.С.83.

141. Karelova O. L., Gorelov V.l. Use information systems in megapolice ecology. Intern. Conf. "Actual problems of measuring technique". Kiev, 1998.-P.143.

142. Leibowits M. A. Statistical behavior of linear systems with randomly varying parameters//Journ. of Math.Phisics.4,6 (1993) p.852-858

143. Levy P. Processus semi-Märkoveuis//Proc.Intemat.Congr. Math. (Amsterdam, 1954),v.III, Noordhoff, Groningen; North-Holland, Amsterdam, 1956, MIR. 19.469.-P.414-426.

144. Mendel J. M. Gieseking D. L. Bibliography on the linear-quadratic-causian problem//IEEE Trans.AutomatControl, 1971, AC-16,N6.-P.847-869.

145. Mcfeammed S.-E.A. Stability of linear delay Equations under a small noise.//Proc. Edinburgh Math. Sos.- 1986.- 29.- p.571 573.

146. Morozan Т. Stability and control of seme linear discretetime systems with jump Markov disturbances/ZRev.roum.math. pures et appl. 1981.-26,N1 .P. 121134

147. MuUer P.Ch. Solution of the matrix equation AX+XB=-Q and sTx+XS=-Q //SIAM J. Appl. Math., 1970,18,N3.-P.683-687.

148. Nazaroff G.J. Stability of Linear Stochastic Differencial Delay Systems./ЯЕЕЕ Trans. Automat. Control.- 1973.- 18, N 6.- p. 672 673.

149. Pawula R.F. Generalization and extensions of the Fokker-Planck-Kohnogorov equations.//-Trans. IEEE, 1967, IT-3,N1.-P.33-41.

150. Power H. M. A note on the matrix equation AL A-L=-K//IEEE Trans. Automat. Contr., 1969,14,N4.-P.411-412.

151. Smith P.G. Numerical solution ofthe matrix equation AX+XAT+B = 0//IEEE Trans.Automat. Contr., 1971, 16, N3.- P.278-279.

152. Smith R.A. Matrix equation XA+BX=C//SIAM J.Appl.Math., 1968,16,NL-P. 198-201.

153. Valeev K. G., Karelova O.L. Optimization of solution of system of non-linear differential equations. Intern. Conf. "Nonlinear differential equations". Kiev,1995, "Book of abstr ".-P. 173.

154. Valeev K. G., Karelova O.L. Optimization of solution of system of non-linear differential equations depending on Marcovian process.// ДНАН Украины,1996, №5.-0.12-14.

155. Valeev K.G., Karelova O.L. Stabilization and optimization of solution of system of non-linear differential equations. Международная конф. "Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом и их приложения".Тез.докл.Сегед, 1996г. С.21

156. Valeev K. G., Karelova O.L. Stabilization of solutions of the system of nonlinear difference equations depending on Marcovian chain. // ДНАН Украины, 1996, №3.-C. 1-4.

157. Warga J. Optimal control of differential a nd functional equations. : N. Y. -Lnd. ,Acad.Press., 1972,XIII.-531p.