автореферат диссертации по электротехнике, 05.09.05, диссертация на тему:Применение метода Лагранжа для оптимизации формы тел в электромагнитном поле

Введение

Глава 1. Задачи оптимизации в теории электромагнитного поля 7 п. 1.1. Общая характеристика оптимизационных задач п. 1.2. Анализ методов решения задач оптимизации

Глава2. Развитие метода Лагранжа для решения задач поиска оптимальной формы и структуры тел в электромагнитном поле п.2.1. Сущность метода и возможности его использования 25 п.2.2. Применение метода Лагранжа для поиска экстремума п.2.3. Применение метода Лагранжа для решения трехмерных задач оптимизации

ГлаваЗ. Исследование свойств метода Лагранжа при численном решении задач оптимизации п.3.1. Практическая реализация задач оптимизации методом Лагранжа с использованием метода сеток 54 п.3.1Л. Задача фокусировки потока п.ЗЛ.2. Задача перераспределения потока п.3.1.3. Задача получения распределения потока, изменяющегося по заданному закону на границе области п.3.1.4. Задача идентификации формы тела п.3.1.5. Задача поиска экстремума электромагнитной п.3.2. Применение метода вторичных источников для численной реализации задач оптимизации методом Лагранжа п.3.2.1. Вывод основных формул и алгоритма решения 73 • п.3.2.2. Решение тестовой задачи п.3.3. Особенности оптимизации методом Лагранжа при использовании метода конечных элементов п.3.4. Способы численной оптимизации методом

Лагранжа п.3.4.1. Определение свойств среды во всей области допустимого изменения материала п.3.4.2. Перемещение границы оптимизируемого тела.

Алгоритм движения узлов п.3.5. Решение тестовой задачи. Сравнение результатов расчета с градиентным методом оптимизации п.3.6. Исследование метода на решении задачи поиска формы полюса квадрупольной линзы

Глава4. Практическая реализация метода Лагранжа

Для многих прикладных технических и научных задач требуется определение оптимального распределения тех или иных параметров, характеризующих рассматриваемую систему. Область применения методов оптимизации различна. Например, оптимизация производственных процессов, таких как: нагрев металла под прокатку или термообработку как в обычных проходных печах, так и в печах скоростного нагрева, сушка и обжиг сыпучих материалов во вращающихся печах, получение монокристаллов, индукционный нагрев и т.д. Многие задачи проектирования сводятся к выбору некоторого оптимального распределения какой-либо пространственной величины. Например, выбор оптимальной формы крыла самолета или ракеты, очертания контура здания или плотины, оптимальное размещение скважин в нефтеносном поле.

При проектировании электротехнических устройств одной из основных задач является поиск оптимального распределения в пространстве и во времени источников электромагнитного поля, а также задачи поиска формы и структуры тел, обеспечивающих заданное распределение электромагнитного поля.

Решение задач оптимизации имеет большое значение для различных областей электротехники, среди которых: техника высоких напряжений, электрические машины и аппараты, электрические станции и сети, электрофизика, электромагнитная совместимость и т.д. В последнее время с резким увеличением вычислительных мощностей современных ЭВМ все больше внимания уделяется исследованию различных методов оптимизации. Каждый год в мире проводятся конференции (Compumag и CEFC), где среди прочих вопросов исследуется и тема оптимизации в электротехнике. Доля работ, посвященных этой проблеме постоянно увеличивается.

Задачу поиска оптимальной формы и структуры, находящихся в электромагнитном поле проводящих и ферромагнитных тел можно рассматривать как задачу оптимального управления электрическими (диэлектрической проницаемостью е и удельной электрической проводимостью у) и магнитными (удельной магнитной проницаемостью /и и удельной магнитной проводимость v) свойствами среды. При этом характеристики среды можно называть переменными управления, а потенциалы ср и А электромагнитного поля - переменными состояния [1, 2]

Алгоритм поиска оптимума является при таком рассмотрении алгоритмом управления характеристиками среды. Его целесообразно искать вариационными методами, так как в этом случае задача решается аналитически и лишь на заключительном этапе оптимизации получаемый результат реализуется числено.

Задачи оптимизации имеют две особенности. Одна из них заключается в том, что характеристики среды могут изменяться в ограниченных пределах (/ит1п < /л < jumax), в связи с чем задачу относят к неклассическим задачам вариационного исчисления. Вторая особенность связана с тем, что решение может разыскиваться в различных классах сред, причем для каждого из классов цель оптимизации может достигать своего отличного от других экстремального значения. Один из классов сред - линейные и нелинейные однородные изотропные среды. В этом случае оптимизации подлежит форма тела, так как его структура задана. При поиске оптимума в классах неоднородных изотропных ь анизотропных сред разыскивается структура тел, определяющая одновременно и их форму.

Если задача оптимизации допускает решение в любом из указанных классов сред, то целевая функция принимает в общем случае различные значения для каждого из классов. 6

Форму проводящих или ферромагнитных тел приходиться определять при решении различных задач, таких как задачи получения заданного распределения поля вдоль линии, на поверхности или в объеме, экранирования, получения экстремума действующей на проводник с током или на заряженные тела силы или момента и ряде других. При решении этих задач разыскивают форму и структуру тел, используя функционалы различных видов, которые должны достигать экстремума.

Несмотря на многообразие задач и соответствующих им функционалов алгоритм решения остается одним и тем же.

В данной диссертационной работе рассматривались вопросы исследования метода Лагранжа. Была произведена проверка этого метода для решения конкретных прикладных задач и определение возможности его применения. Представляло интерес исследование метода Лагранжа совместно с различными методами решения краевых задач, проанализировать их влияние на точность решения, определить свойства при использовании материалов с различными свойствами среды. Кроме задач синтеза электромагнитного поля были рассмотрены также и задач!: идентификации.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В результате исследования были выявлены основные особенности оптимизационного метода Лагранжа, а именно:

- метод Лагранжа позволяет решать задачи оптимизации, исключая вычисление производных целевых функций по параметрам оптимизации, что существенно упрощает расчет и сокращает затраченное время;

- решение может быть найдено для различных классов сред: изотропных однородных и неоднородных, изотропных линейных и нелинейных, анизотропных однородных и неоднородных;

- решения задач показывают, что экстремальное значение функционала достигается применением анизотропного материала. Но ввиду того, что его практическое использование затруднено, приходится решение проводить также для изотропного класса сред. Для задачи получения распределения напряженности магнитного поля по закону косинуса среднеквадратичное отклонение для анизотропной неоднородной среды составило: 9,9%, а для изотропной однородной: 12,5%.;

- уникальным свойством метода является возможность определения не только формы тела, но и его структуры, а также возможность поиска оптимального решения по всему объему тела, а не только на его границе;

- использование метода Лагранжа позволяет получить оптимальную форму тела в первом приближении за малое время вычисления. На примере задачи получения однородного распределения магнитной индукции вдоль линии показано, что форма полюса, характеризующая оптимальное распределение магнитного материала в первом приближении, получено после 8-й минуты расчета методом Лагранжа. В то время как, при оптимизации модифицированным методом

Ньютона при равных условиях, аналогичный результат был достигнут после 103 минуты вычислений. Дальнейшее уточнение решения легко может быть продолжено классическим градиентным или другим методом оптимизации, т.к. метод Лагранжа использует обычную (стандартную) постановку задачи и позволяет быстро перейти к оптимизации другим способом;

- время расчета не зависит от числа параметров оптимизации, в то время как у методов, использующих градиент целевой функции, время расчета непосредственно зависит от числа параметров. Это также продемонстрировано при решении задачи получения однородного распределения магнитной индукции вдоль линии. При оптимизации методом Лагранжа время, затраченное на 1 итерацию, составило 20 секунд, независимо от числа перемещающихся узлов или количества элементов, в которых разыскивалось распределения магнитной индукции. При использовании модифицированного метода Ньютона время выполнения одной итерации при перемещении 11 граничных точек составило 1 минуту 32 секунды. Для 41 точки - 8 мин. 36 секунд.

- метод Лагранжа позволяет решать практические задачи с требуемой точностью. При оптимизации полюса дипольного отклоняющего Ш-образного магнита было получено среднеквадратичное отклонение магнитной индукции от заданного значения 2,1-10"4.

- метод множителей Лагранжа целесообразно использовать для решения широкого круга оптимизационных задач.

Несмотря на все вышеперечисленные результаты, достигнутые при исследовании метода Лагранжа, осталось еще большое поле для дальнейшего исследования этого метода, в частности, для решения трехмерных задач оптимизации, отличающихся большим числом параметров оптимизации.

1. Абрамян Е.А. Промышленные ускорители. М., 1986. 248 с.

2. Ален И. Голуб. С и С++. Правила программирования. М. 1996. 272 с.

3. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс.: Пер. с англ. М.,1988. 128 с.

4. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М. 1987. 600 с.

5. Бессонов JI.A. Теоретические основы электротехники. Электромагнитное поле. Учебник для вузов. М. 1986. 263 с.

6. Бинс К., Лауренсон П. Анализ и расчет электрических и магнитных полей. М. 1970.376 с.

7. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. М.1987. 524 с.

8. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М. 1962. 608 с.

9. Брынский Е.А., Данилевич Я.Б., Яковлев В.И. Электромагнитные поля в электрических машинах. Л. 1979. 176 с.

10. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами. М., 1965. 476 с.

11. Бухгольц Г. Расчет электрических и магнитных полей. М. 1961. 712 с.

12. Варламов Ю.В., Чечурин В.Л. Поиск оптимального распределения материала и расположения тел в адаптивных электродинамических системах // Энергетика. 1996.

13. Васильев* Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.,1988. 552 с.

14. Гибянский Л.В., Лурье К.А., Черкаев А.В. Оптимизация фокусировки теплового потока неоднородной теплопроводной средой (задача о термолинзе) //ЖТФ, т.58, 1988. №1, с.67-74.

15. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М., 1985. 509 с.

16. Глебов И.А., Кашарский Э.Г., Рутберг Ф.Г. Синхронные генераторы в электрофизических установках. J1. 1977. 127 с.

17. Глебов И.А., Кашарский Э.Г., Рутберг Ф.Г. Синхронные генераторы кратковременного и ударного действия. Л. 1985. 224 с.

18. Гольштейн Е.Г., Третьяков Н.В. Модифицированные функции Лагранжа и их применение // Экономика и математические методы. 1983. т. 19, №3. с. 528-547.

19. Демирчян К.С., Чечурин В.Л. Машинные расчеты электромагнитных полей. М., 1986. 240 с.

20. Дьюхарст С. Программирование на Си++. Киев. 1993. 271 с.

21. Забрейко П.П., Кошелев А.И., Красносельский М.А., Михлин С.Г. и др. Интегральные уравнения. М. 1968. 448 с.

22. Касаткин А.И. Профессиональное программирование на языке Си. От Turbo С к Borland С++. Минск. 1992. 239 с.

23. Колесников Д.Н., Душутина Е.В., Пахомова В.И. Введение в MATLAB с примерами решения задач оптимизации и моделирования. СПб. 1995. 116с.

24. Комар Е.Г. Ускорители заряженных частиц. М., 1964. 388 с.

25. Котов В.И., Миллер В.В. Фокусировка и разделение по массам частиц высоких энергий. М., 1969. 280 с.

26. Лурье К.А. Оптимальное управление в задачах математической физики. М., 1975. 480 с.

27. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М., 1981. 416 с.

28. Мешков А.В., Тихомиров Ю.В. Visual С++ и MFC. Программирование для Windows NT™ и Windows® 95. т.1. СПб. 1997, 464 с.

29. Мешков А.В., Тихомиров Ю.В. Visual С++ и MFC. Программирование для Windows NT™ и Windows® 95. т.2. СПб. 1997, 830 с.

30. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М. 1975. 528 с.

31. Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации. М. 1978.352 с.

32. Нейман JI.P., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. т.1. Л., 1981.536 с.

33. Нейман Л.Р., Демирчян К.С. Теоретические основы электротехники. т.2. Л, 1981.416 с.

34. Новгородцев А.Б. Задачи синтеза электрических полей в электрофизических устройствах: Диссертация доктора технических наук. Л. 1991. 383 с.

35. Новгородцев А.Б., Шакиров М.А., Юринов В.М. Расчет электрических и магнитных полей. Учебное пособие. Л. 1975. 80 с.

36. Орловский С.А. Проблема принятия решений при нечеткой исходной информации. М. 1981. 208 с.

37. Пильщиков В.Н. Программирование на языке ассемблера IBM PC. М. 1999.288 с.

38. Подбельский В.В. Язык Си++. М. 1996. 560 с.

39. Потемкин В.Г. Система MATLAB 5 для студентов. М. 1998. 314 с.

40. Сильвестер П., Феррари Р. Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. М. 1986. 229 с.

41. Страуструп Б. Язык программирования Си++. Красноярск. 1991. 348 с.

42. Тамм И.Е. Основы теории электричества. М. 1989. 504 с.

43. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М. 1986. 288 с.

44. Тозони О.В. Метод вторичных источников в электротехнике. М. 1975. 296 с.

45. Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчет трехмерных электромагнитных полей. Киев. 1974. 352 с.

46. Черноруцкий И.Г. Оптимальный параметрический синтез: Электротехнические устройства и системы. JI. 1987. 128 с.

47. Чечурин В.Л. Оптимизация структуры и формы тел в плоскопараллельном магнитном поле // Электричество. 1995. №7.

48. Чечурин В.Л., Эйдемиллер М.В. Поиск формы тела, обеспечивающей экстремум силы, методом множителей Лагранжа // Известия ВУЗов. Электромеханика. 1998 г. №4, с.14-18.

49. Чечурин В.Л., Эйдемиллер М.В., Варламов Ю.В. Применение метода Лагранжа для поиска оптимальной формы тел в электромагнитном поле // Научно-технические ведомости СПбГТУ. 2000 г. №3, с.54-62.

50. Штеффен К. Оптика пучков высокой энергии. М., 1969. 224 с.

51. Юдин Д.Б., Голыптейн Е.Г. Линейное программирование. Теория, методы и приложения. М. 1969. 424 с.

52. Brandstatter B.R., Ring W., Magele Ch., Richter K.R. Shape design with great geometrical deformation using continuously moving finite element nodes. COMPUMAG Conference Record, Brazil, 1997.

53. C. Chat-Uthai, J.A. Ramirez, E.M. Freeman. An Improved Constrained Quasi-Newton Method for the Solution of Inverse Electromagnetic Problems. IEEE Transaction on magnetics, vol.32, no. 3, pp.1318-1321, 1996.

54. Chechurin V.L., Eidemiller M.V., Kalimov A.G. Comparison of Lagrange multipliers and constrained Quasi-Newton methods in magnetic shape optimization // Proceedings of 13th Compumag Conference on the Computation of Electromagnetic Fields, n.35. 2001.

55. Chechurin V.L., Plaks A.E. The method of the search for the shape and structure of magnetics to extermize the electromagnetic force. IEEE CEFC'96. Proceedings of the 7- Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Field Computation, March 18-20, 1996.

56. Chechurin V.L., Plaks A.E. The procedure of optimization of magnetic structure. IEEE Transaction on Magnetics, vol. 32, pp. 1278-1281, May 1996.

57. S. Ratnajeevan H. Hoole. Artificial neural networks in the solution of inverse electromagnetic field problem. IEEE Transaction on magnetics. vol.29, pp. 1931-1934, 1993.

58. S. Subramaniam, A.A. Arkadan, S. Ratnajeevan Hoole. Optimization of a Magnetic Pole Face Using Linear Constraints to Avoid Jagged Contours. IEEE Transaction on magnetics, vol.30, no. 5, pp.3455-3458, 1994.