автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Математическое моделирование оптимального управления процессом индукционного нагрева

АКАДЕМИЯ НАУК СССР ОРДЕНА ЛЕНИНА ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ имени М. В. Келдыша

На правах рукописи УДК 519.6

Гживачевский Марек Стефанович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ ИНДУКЦИОНННОГО НАГРЕВА

Специальность 05.13.16 -Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Работа выполнена в Свентокшиском политехническом институте г. Кельце Республика Польша

Официальные оппоненты:

- ведущий научный сотрудник, доктор физико-математических наук

А. П. Афанасьев (Всесоюзный научно-исследовательский институт системных исследований)

- профессор, доктор физико-математических наук

Б. Н. Четверушкин (Всесоюзный центр математического моделирования)

- доктор физико-математических наук

- В. А. Галактионов (Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР)

Ведущая организация: Вычислительный центр АН СССР

Защита состоится "_" _" 1991 г. в _час.

на заседании специализированного Совета Д 002.40.03 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук в Институте прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР ( 125047, г. Москва, А-47, Миусская пл. 4 ). С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им. М. В. Келдыша АН СССР. Автореферат разослан "_" _" 1991 г.

Ученый секретарь специализированного совета

доктор физ.-мат. наук

Е. И. Леванов

ОбЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАбОТЫ

Актуальность темы.

В настоящее время теория оптимального управления широко развивается применительно к оптимизации процессов, математическая модель которых описывается системой дифференциальных квазилинейных уравнений в частных производных. Объектом иследований являются взаимосвязаные поля различной природы,а задачи характеризуются присутсвием всех возможных типов ограничений как конечных, так и фазовых, а также ограничений на управление. При решении связаных с такой постановкой практических задач встречаютя особые режимы управления и фазовые нерегулярные точки.

Одним из примеров таких процессов является процесс индукционного нагрева, математическая модель которого должна учитывать взаимодействие полей различной структуры: тепловых, электромагнитных, механических, акустических и других. Процессом индукционного нагрева (ПИН) можно управлять, причем управление может быть функцией не только времени, а также и пространственных геометрических координат. В общем случае ПИН характеризуется:

- высоким качеством нагрева в силу быстроты процесса, отсутствием загрязнений, возможностью достижения широкого диапазона температур, возможностью нагрева в присутствии

инертных газов, в вакууме и т.д.;

- гибкостью и высокой точностью управления вследствие малой инерционности процесса, возможностью точного дозирования энергии, наличием нескольких каналов управления;

- сбережением материалов, трудовых и, во -многих случаях, энергетических ресурсов за счет уменьшения потерь материала в процессе нагрева, повышения качества продукции, увеличения производительности;

- уменьшением вредных воздействий на окружающую среду и улучшением условий труда обслуживающего персонала.

Перечисленные выше достоинства ПИН открывают возможность оптимального управления этим процессом.

Индукционный нагрев применяется в следующих случаях: при получении материалов, обладающих определенными свойствами (например поверхностная закалка ферромагнитных заготовок, литье алюминия в сильном магнитном поле и др.); при. обеспечении заданного температурного режима в сложных технологических процессах, таких, как нанесение стекляного слоя на внутренную поверхность титановых труб, предварительный нагрев заготовок перед осуществлением дальнешей обработки путем пластической деформации и т.п.

При анализе и практической реализации процессов индукционного нагрева (как уже отмечалось выше) весьма важным является решение проблемы его оптимального управления. В

силу вышесказанного, решение проблемы оптимального управления процессом индукционного нагрева складывается из решения двух основных задач: построения численной модели процесса нагрева и построения процесса управления. К особенностям модели процесса нагрева следует отнести: учет взаимосвязанных полей (теплового, электромагнитного и термонапряжений); учет многомерности каждого из перечисленных полей; учет нелинейных зависимостей свойств материала от температуры и напряженности электромагнитного поля. Особенностями процесса управления являются учет терминальных и фазовых ограничений Чебышевского типа.

Некоторые задачи из рассматриваемой в работе проблемы исследовались ранее рядом авторов. Так, общие вопросы управления системами с распределенными параметрами изучались Ж.-Л. Лионсом, А. Г. Бутковским, Т. К. Сиразердиновым, Ф. П. Васильевым, Е. П. Чубаровым и др. Следует заметить, что в работах этих авторов не рассматривались многие из введенных в диссертации конечных и фазовых ограничений, дифференцируемых только по Гато. Работы Э. Я- Рапопорта связаны с параметризованным управлением, а для случаев невозможности параметризации управления использовались упрощенные модели объекта ( две первые моды ). Кроме того в работах Э. Я-Рапопорта применялись упрощенные формулы для источников тепла и линейные аппроксимации в зависимостях теплообмена между

нагреваемым телом и окружающей средой. В статьях С. А. Горбаткова хотя и учитывались реальные условия технологического процесса, но применялись методы планирования эксперимента, которые обычно дают неоптимальные решения с большим объемом вычислений.

Настоящая работа посвящена разработке методов и алгоритмов решения проблемы оптимального управления нелинейными объектами с распределенными параметрами на примере решения задачи управления процессом индукционного нагрева.

Объект исследования.

В работе рассматривается следующий класс проблем:

- найти min З(') (1) и

при наличии следующих ограничений:

£ [В] = S{u,x,t,e) (2)

X (8(x,t0),x) = 0 (3)

ОД = q(u,x,t.8) (4)

s 0 (5)

0.(8,x,t) SO ÜM (6)

V>i(ll(ï.').î.t) s 0 . i=T7Tt , (7)

M = Mtoï) w = w(x,t) , v = v(t) (8)

где x= (x,,x„,...,x ) e R", u e R1, t e R1, Ц = fi x I,

- 1 i n' —

I = [to, t j] - функциональный отрезок времени, й С R" -

область с кусочно гладкой границей Г = д Î2, £(•) линейный

дифференциальный оператор параболического типа, £(•) оператор

граничных условий.

Цель работы.

Проведенные в работе исследования были направлены на решение следующих проблем:

- разработать численную модель основных явлений реального процесса индукционного нагрева (ПИН);

- сформулировать и обосновать локальный принцип максимума для задачи оптимального управления ПИН;

- построить численные алгоритмы решения задачи оптимального управления ПИН;

- реализовать разработанные численные алгоритмы в виде далоговой системы персональных ЭВМ типа 1ВМ РС АТ.

Общие методы исследования.

Основным аппаратом исследования задачи, рассматриваемой в диссертации, являются локальный принцип максимума, метод предельных точек и численное моделирование на персональных ЭВМ.

Научная новизна работы.

Научная новизна работы состоит в следующем.

1). Разработан метод управления взаимосвязянными электромагнитными, тепловыми и механическими полями.

2). Обнаружены и изучены нерегулярные точки фазовых ограничении ( НТФО ).

3). Для НТФО предложен алгоритм получения оптимального

управления.

4). Исследованы особые управления, возникающие при при оптимальном управлении ПИН.

5). Показана связь между алгоритмом предельных точек и общим методом локального принципа максимума, а также исследованы пратические возможности предложенных методов.

6). Разработан численный алгоритм и програмное обеспечение для моделирования взаимосвязанных полей.

Практическая ценность работы.

На основе предложенных алгоритмов разработано программное обеспечение для 1ВМ РС АТ, позволяющее в диалоговом режиме решать конкретные задачи моделирования и управления процессом индукционного нагрева. С помощью этого пакета решены следующие практические задачи:

— градиентный нагрев алюминиевых слитков для последующего их пресования и получения кабельной, оболочки;

— нагрев крупногабаритных слябов перед прокаткой в индукторе с отгибами витков ( с " ушами ");

— нагрев слябов с минимальной окалиной.

Реализация результатов работы.

Разработаные пакеты программ нашли применение на Стараховицком заводе грузовых машин (г.Стараховице, РП) и в СКВ "Вихрь" (г.Уфа, СССР).

Публикации и апробация работы.

Результаты диссертации отражены в работах / 1-32 /.

Основные положения работы неоднократно докладывались и обсуждались на следующих международных, союзных и польских конференциях и семинарах: COMPUMAG, 8 th Conference on the Computation of Electromagnetic Fields, July 7-11,1991, Sorrento, Italy, International Symposium on Electromagnetic Fields in Electrical Enginnering, ISEF'89 Septenber 20-22,1989, Lodz, Poland, II International Symposium on Computer in Power Engineering,Tuzla, April 3-5.1990, Yugoslavia, 35. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, 22.-25.10.1990, Technische Hochschule Ilmenau, Germany, IFAC Workshop on Expert Systems in Mineral and metall processing, Helsinki, 1991 г., 33 Международный семинарь, Ильменау.ГДР. октабрь 1989 г., Международный Советско-Польский семинар "Математические методы оптимального управления и их приложения", 16-19 мая 1989 г., АН СССР, г. Минск, 2 Международный семинар "Моделирование электротермических установок", Ленинград, 20-23 июня 1989 r.,IFAC Symposium on Design Methods for Control Systems, Zurich, September 4-6, 1991, International Conference on Computer - Based Scientific Research, Plovdiv, October 15-21, 1984, Х-Всесоюзная

научно-техническая конференция "Применение токов высокой частоты в электротермии, Ленинград 15-17 апреля 1986 года, Dynamic Process Simulation/ 2nd Conference , Zakopane Polana

Chocholowska, Poland, June, 10-13, 1985, Teoría Obwodow i Uklady Elektroniczne, PAN, Zielona Gora, Poland, 1981, Ogolnopolska konferencja "Metody komputerowe w automatyce i elektrotechnice", Czestochowa, September, 17-19, 1986, X Всесоюзное совещание по управлению, АН СССР, Институт проблем управления, Ташкент, 25-30 сентября 1989 г., XI Всесоюзная конференция "Промышленное применение токов высокой частоты в электротехнологии", 25-27 сентября 1991 г., Санкт-Петербург, XI Ogolnopolska Konferencja Automatyki, Bialystok 91.

Результаты диссертации также обсуждались на семинарах в Самарском политехническом институте (Э. Я- Рапопорт ), Уфимском авиационном институте ( С. А. Горбатков ), Институте прикладной математике АН СССР им. М. В. Келдыша ( С. П. Курдюмов ), Свентокшиском политехническом институте в г. Кельце ( М.. Заборовский ).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из пяти глав и заключения. Библиография включает в себя 220 названий. Основная часть работы изложена на 210 страницах, включая 30 рисунков и 3 таблицы.

Следует отметить, что работа выполнена в соответствии с планом научных работ, проводимых в рамках научного сотрудничества между Свентокшиским политехническим институтом города Кельце РП, Институтом прикладной математики им.М.В.Келдыша АН СССР в Москве и Самарским политехническим

институтом.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАбОТЫ

В первой главе показана актуальность темы исследования, дан обзор литературы по теме диссертации, приведены цели работы и дана математическая постановка решаемой задачи, которая сводится к решению проблемы (1)-(8).

При решении поставленной задачи построена модель процесса индукционного нагрева, учитывающая с достаточной полнотой реальные, не идеализированные особенности процесса. Для решения задачи оптимального управления процессом в среде с распределенными параметрами впервые применен комбинированный алгоритм, объединяющий метод локального принципа максимума и метод предельных точек. Решение проблемы реализовано в форме пакета прикладных программ с использованием диалогового режима для ЭВМ типа IBM PC.

Отметим основные проблемы, которые сформулированы и описанны в первой главе.

1. Поставлена задача получения численным методом оптимального управления нелинейной многомерной математической моделью процесса индукционного нагрева. Проблема связана с управлением взаимосвязанными тепловыми, электромагнитными и механическими полями. Эта задача является частным случаем проблемы

Дубовицкого-Милютина для управления моделями с распределенными параметрами.

2. Принципиальным. моментом исследуемых в работе задач оптимального управления является факт использования ограничений Чебышевского типа.

3.Характерная особенность изучаемых задач состоит также в том, что управление зависит от времени и пространственных координат, а рассматриваемая модель объекта оптимизации многомерна.

Первые исследования в области теории оптимального управления системами с распреленными параметрами (СРП) и ее приложений к задачам нестационарной теплопроводности выполнены в основополагающих работах А. Г. Бутковского , А. И. Егорова, Ю.В.Егорова, Ж.Л.Лионса , К.А.Лурье, Т.К.Сиразединова, Э.Я.Рапопорта, где, в частности, установлены для СРП соответствующие аналоги принципа максимума. Известно однако, что мощный аппарат необходимых условий оптимальности не содержит общих конструктивных методов решения краевой задачи, что составляет основную трудность при его практическом применении для нахождения оптимальных управляющих воздействий. Указанная проблема принципиально усложняется в СРП, где точное решение бесконечномерной краевой задачи становится, как правило, невозможным, и конкретные вычисления всегда связываются с поиском приближенных решений. Отмеченное

положение является типичным для проблеммы оптимизации процессов нагрева металла.

Наиболее характерной в указанном отношении и важной в приложениях задачи оптимального управления нагревом массивного тела, исходная постановка, которой обычно связывается с жесткой фиксацией начального и требуемого конечного температурных распределений путем закрепления концов оптимальной траектории в пространстве коэффициентов модальной модели объекта . Такая задача сводится к бесконечномерной проблеме моментов , точное решение которой не может быть получено, а соответствующее оптимальное управление, ограниченное по модулю, имеет вид технически нереализуемой релейной функции с бесконечным числом переключений на конечном временном интервале.

Автору известны лишь не многочисленные работы по оптимальному управлению индукционным нагревом. Первые исследования в этой области, связанные с методом ускоренного изотермического нагрева, выполнены С.А. Яицковым и Н.А.Павловым. Разработка адекватных математических моделей

процессов индукционного нагрева металла является весьма сложной проблеммой. Значительные успехи в ее решении достигнуты в первую очередь, благодаря работам В.П.Вологдина, Л.СНеймана, А.Е.Слухоцкого, О.В.Тозони, В.СНемкова, Н.А.Павлова, СА.Горбаткова , В.Б.Демидо- вича и др. В

данной главе дана также краткая характеристика последующим четырем главам диссертации.

Во второй главе описана математическая модель исследуемых в работе процессов, которая состоит из взаимосвязанных через нелинейные коэффициенты, существенно зависящие от температуры, трех краевых задач:

- электромагнитной задачи, решение которой позволяет получить источники тепла;

- тепловой задачи, которая использует источники тепла и вычисляет распределение температуры в нагреваемом теле;

- модели термонапряжений, которая составляется по известным температурным полям.

Для случая синусоидального низкочастотного

электромагнитного поля в неоднородной неподвижной среде систему уравнений Максвелла можно свести к уравнению Гельмгольца :

а) для напряженности магнитного поля Н:

... Ум- н

V (1/зг(Т) УН<1 > - ) о> Ц(|Н|,Т) Н<1 > = - 1/у(Т) V (-—-) (9)

I = 1.2,3

б) для векторного магнитного потенциала А:

1-1/ц ¡иг А1'^- 1/ц V [(7уА)/у ] ¿=1,2,3 (10)

где:

Н - напряженность магнитного поля, А потенциал, и - круговая частота электромагнитного поля, у - удельная

электроповодимость, (1 - магнитная проницаемость. При этом использовано условие калибровки У-уА = 0 и равное нулю значение скалярного электрического потенциала нагреваемого тела.

Граничные условия для электромагнитной модели известны только в бесконечности (достаточно далеко от установки), когда магнитное поле уменьшается до нуля. Необходимо также учесть тот факт, что на некотором расстоянии от нагреваемого тела находится первичный источник электромагнитного поля — индукционная установка, параметры питания (напряжение, частота) которой существенно влияют вместе с вторичными источниками (вихревые токи в нагреваемом теле) на граничные условия электромагнитной задачи. Их значения вычисляются в итерационном процессе, решая поочередно "внутренную электромагнитную задачу" (электромагнитное поле внутри нагреваемого тела) и "внешнюю электромагнитную задачу" (граничные условия на поверхности нагреваемого тела, с учетом условия на границе воздух-металл. Для двумерного случая в качестве внешней задачи использовалась схема замещения, построенная по принципу общего потока.

Электромагнитная и тепловая модель связаны через внутренние источники тепла, которые в электромагнитном синусоидальном поле определяются как

ф = 1/у (7 х Н) (V х Н*) (11)

или

ф = у(Т)-ш2- А • А*. (12) где звездочка обозначает комплексную сопряженную величину.

Распределение температуры в нагреваемом твердом теле

описывается уравнением Киргоффа - Фурье с соответствующими граничными условиями:

с(Т)р = V А(Т) ЧТ + ф, (13)

Т(хИо) = То(х)

(14)

ЭТ(хД)

АСТ> ЭТТ-

= в(Т) (ТО - Т(х,1)) + 9 с^с ( Т^нд- Т4(х,1))

п 1 да ; х € ая (15)

где:

Т = Т(х,1) температура, х € £2 , 1 6 <1 , с(Т) -

удельная теплоемкость, р - плотность нагреваемого тела, А(Т) -теплопроводимость нагреваемого тела, ф = ф(х,Ц - объемная удельная плотность выделяемой мощности (источника тепла), определеиая формулами (12) или (13), <х(Т) — коэффициент теплопередачи ТО - температура окружающей среды, <р -дифузионный угловой коэффициент (средний либо локальный), е ^^ коэффициенты черноты соответственно нагреваемой поверхности сляба и внутренной поверхности футеровки индуктора, <г - постоянная Больцмана, Т - температура

внутренней поверхности футеровки индуктора.

Если для определения температуры футеровки принять одномернную стационарную модель, тогда из уравнения теплового баланса имеем:

«<Т) (Тинд- Т(х,1)) + 9 с1е2<г ( Т2„д- Т4(х,() ) = ТФ ктТинд

(16)

Здесь - Тф - температура внешней поверхности футеровки ПфЗ 323 К), — тепловое сопротивление футеровки

Изменение температурного поля в теле вызывает в нем изменение тензора напряжений <г и вектора перемещений и. Математическую модель термонапряжений можно записать с помощью тензора напряжений ¡г. Она должна удовлетворять уравнениям равновесия

<г • и = 0 (17)

и уравнениям совместности деформации

2_ , 1 а2о- , аТЕ Г Э2Т , 1 - v „2

1 + » Я„2

Зхт 1 " I д^

+ т4г эгэх. + гйг эйзх. = 0 <19>

( ¡=1,2,3; (и\) € {1,2;1,3;2,3}),

где: Е - модуль упругости Юнга, V - коэффициент Пуассона, оц. -

з 1

температурный коэффициент линейного расширения, сг = 2 <г .

к= 1

Для определения вектора перемещений и имеем следующую систему уравнений:

+ L s - 2 rUu «тИ. = 0 (2°)

1 К=1 К 1

( ¡=1.2,3 ).

На поверхности тела Г могут быть заданы граничные условия в виде вектора перемещений и = иг или заданого вектора внешних сил £

2 ' II = 1

где: д — единичный вектор внешней нормали к поверхности- Г.

Причем следует заметить, что

Е .aui , fE . ® öuk gTE _ _ n

i = T+U 3x7 + (1+ i>)(l- •¿v) J, Э1Г " T - 0

с i e 8u. 9u

v = ibi ^ + sr =°

' ] к J

( ¡=1,2,3; (j,K) € {1,2:1,3:2,3} )

В прикладных задачах использовались также плоские

термоупругие модели, источником которых были температурные

поля, не зависящие от координаты х3. Тогда <г]3 = а23 =0 и

^33 = " + ff22 > ~ ttT Е <Т ~ V

где:Т0 - средняя по сечению D температура. Уравнение

совместности деформации имеет вид: сс Е

Термонапряжения во время нагрева ограничиваются условием появления и распространения в металле макротрещин. Учитывая критерий Треска-Сен-Венена , с условием постоянства энергии формирования (Губера и Мизеса), пластические деформации у

кончика трещины надо ожидать тогда, когда интенсивность напряжений аг , равная

с1= ((Г11 + °"22)?(l;2- v + V * 4'<гП'°'22 + 3'°12 +

+ (<гя+ <722)-ат-Е(Т)-(1-2у)2-(Т - TD) + (ат-Е(Т))2-(Т - т/

перейдет границу <г между пластическими и упругими деформациями, т.е. процесс надо вести таким образом, чтобы с s а .

и т

Принимая другие критерии разрушения (теория наибольших

касательных напряжений), можно ограничить максимальную

разность главных напряжений, т.е.

шах о* - min о- s с кк кк т

к к

В начале третьей главы представлена задача оптимального управления процессом индукционного нагрева, которая сводится к решению следующей экстремальной проблемы: ?(•) -» min

U

с учетом следующих ограничений:

модель объекта 3T(x,t)

c(T(x,i)) gy^- = V-(A(T(x,t)) £ T(x,t)) + flu(x,t),x,t) ,

V(x,t) e Ц (21)

T(x.t0) = To(x) V x € £2 , (22)

*(T(x.t)) = q(u(x,t),x,t,T) V x e Г, tel, (23)

конечные ограничения на перепад температуры

max|T(x,t,) - Т*(х)| s е, (24)

П 1 J

конечные ограничение на энергию нагрева

! * (М(хЛ).*.М) dx dt ^ с, (25)

ц О 4

конечные ограничение на окисление поверхности нагреваемого сляба

S F(T(x,t)) dx dt s e5 (26)

Гх 1 f 0 , если T s T,

F(T) = J 1

l [T-T,]T если T > Tj, К > 1

фазовые ограничения на максимальную температуру

max T(x,t) se, , V(x,t) е Ц (27)

U 1

фазовые ограничения на перепад температуры

max|T(x.t) - T(y,t)| < с3 , V(x,t) € Ц n V(ï,t) € Ц (28)

ограничения фазовые на максимальные термонапряжения

= ^11+ «^V- » + 1) - 4*0'ii(r22 + (ат* Е(Т))^(Т - Т0)2+ + (0-,,+ <г22)• ат• Е(Т)• (l-2i>)2• (Т - Т&) + s p(T(x,t)),

V(x,t) € Ц, (29)

где тензор напряжений с? вычиляется из следующего уравнения ô ■ Ч = О V (x,t) € Ц

V2«rn+ (г]2) + ^j-EiT) V2T = О V (x,t)_e Ц (30) â • n = 0 V(x,t) € Г х 1

ограничения на управление

»¡(ïï.(*.t),x.t) s 0 , i=T7R . (31)

Следует заметить, что конечные ограничения могут быть

заменены на соответствующие функционалы для фиксированного отрезка времени 1= [tQ, tf]:

1) i(u) = J Ф (u(x,t),x,t,T) dx dt min; (32)

ц 0

2) J(u) = max|T(x,t.) - T*(x)l min; (33)

Й 1

3) ?(•)=/ F(T(x,t)) dx dt min; (34)

Гх I u

где: Ц = П x I, i! с R" - область с кусочно гладкой границей Г = 9 Î2 ,х= е R", t 6 R1, u = (w,v), w = w(x,t): Ц -» Rr, v = v(t): I -» Rs , u = u(x,t): Ц -> Rr+S.

В работе также рассматривается следующая задача управления по быстродействию:

? = t, min (35)

u

Для вышеупомянутых задач сформулирована и доказана следующая теорема локального принципа максимума. Теорема (принцип максимума).

Пусть (T, u, O'jj, Cjj, <r)2) - оптимальный набор в этой задачи,

и пусть Л(Т°)*0 на Г х I и с(Т°) > 0 на Ц . Тогда существует

нетривиальный набор множителей Лагранжа ао, ф(х, t), du ,

dB, der, ф^, i/ig- ^cr ^v, m.(x,t),( i=T7k ) таких ,что

aQ а 0 -число; <Kx,t) Ц -» R1 - функция, du а О

неотрицательная мера Радона на Ц, сосредоточенная на множестве {(x,t) е Ц|Т°(хД) = е,},

dl» неотрицательная мера Радона на Ц сосредоточена на множестве

Mj = { х е 0 :| |Т(х,Ц) - Т*(х)1 = е2 > ,d(r " мера

на

П = Яхйх I такая, что d<r = dff++ dir , do-+a 0 , du i О; dcr+ соредоточена на M+ = {(х.уД) e П |T(x,t) - Т(уД) = e3 }

du" соредоточена на M~ = {(х.уД) e П |T(x,t) - T(^,t) = -e3 }

dir порождает меру d8 на Ц, где dB = do^ - d<r2, dtfj и d<r2 -

проекции меры d(Г определенные следующим образом: если А - измеримое множество в Ц,

то с,(А) otP^A)), сг2(А) "= otPä'iA)).

Р^ и P2~ проекторы :

P, : (х.Ь*) e fi x ß x I -» (x,t) e Ц

P2 : (x,i,t) € П x П x I -» (y.t) e Ц

P^A), P21(A) - полные прообразы множества А;

tf , 0®" - функции 0°"(x,t): Ц R1, ¡=1,2;

dfip. - неотрицательная мера Радона на Ц, сосредоточенная на множестве

Лг={(Ы) € Ц|(о-п+ °-22)г(»2- » + 1) - 4-<rn<r22 + 3-о^2 +

+ (<r11+ o-22)-<xt-E(T)-(1 - 2-i;)-(T(x,t)-Tc(t))+ + (aT-E(T))2-(T(x,t) - Tc(t))2 = p(T(x,t))}, p(T(x, t)) > 0

где Т.^) = | Т(х, 1) Ах/ I dx

средняя температура по

т.(хД):Ц -» К1- неотрицательные функции, удовлетворяющие условиям дополняющей нежесткости тДхЛ) ^¡(ц0(хИ)Л) = 0 , ¡=й7 и при этом выполнены следующие условия: а) сопряженные уравнения на ф , ф? ( ¡=1,2):

[л720(хД) + с +ф(х,\)-ф'т -ао-Ф; +е'(Т) 72Т + 72е(Т)]фссй=

= ф + <18 + [ч4(х,1) + <!До- •

дф**

У(хИ) е Ц,

е Ц, У(хЛ) € Ц,

- эз^Н «" = (ч12 + ч,,)-^ ЩхЛ) е ц,

л

где:

е(Т) = т-^-р'ЩТ), = v2-v + 1 , »2 = ат-(1 - 2и) чп(хД) = 2-^,-0-,,+ (2-1»,- 4)-«г22 + 1>2-Е(Т)"(Т - Т) Ч22(х,1) = (2-у,- 4)-<гп+ 2-1'1-<г22 + 1уЕ(Т)-(Т - Т) ч12(х.<) = = з-о-]2

я4(хи) = (0-,,+ о-22)-у2-Е(Т) - р' +

+ 2• ат• Е(Т)• (Т- Тс)-[Е'(Т)-(Т-Т) + ат-Е(Т)]

£2

сечению

q5(x,t) = - P2-E(T)-(o-n+ <r22) - 2-(ат-ЩТ))2-(Т - T.)

4 (t) = f fq (x.t) / Г dx 1 dx ; 5c J L 5 J J

б) граничные условия при t = tj (условия трансверсальности) 0(x,tt) = - [т°(хЛ,) ~ T*(x) ] dv для всех V х € О; (36)

в) граничные условия для 0(х, t), i/i^x.t), 0^(х. t), t) на Гх1:

- (ЦТ)-Ф + e(T))-q4 m-ГУФ)) = о на Гх1

~ произвольные V(x,t) € Гх1,

<(x.t) = 0 , §|з = 0 V(x,t) е Гх1,

где функции ф , - непрерывны, а функции - могут

иметь разрыв;

г)локальный принцип максимума:

)■»; (u°(x,t).x,t.T) - ч;(и0(х,1),хл.т)) -

- V*; (Ц0(*-»),х,1) - Е m (x.t)- 2i*(u0(x.t).x,t) = О

¡=1 « (37)

для (x.t) € Ц ;

j[Wx.t)-(0;(u°(x.t).x.t,T) - q;(u°(x.t).x.t.T)) -Q

для 1 е I, где

г ч(и,х,1,Т) ¡Г х е Г

Ч(и,х,1.Т) = ( о ¡Г х 6 ОЧГ.и

Следствие. Условия приведенной теоремы можно записать в

эквивалентной, принятой в теории принципа максимума для

обыкновенных дифференциальных уравнений форме, введением

следующих обозначений:

Я = ф-(ф — сГ > — а0'Ф0 ~ Е т1<р1 •

I

Л = £ И <1х ,

*; = £«; Чх .

Тогда (37)-(38) примут вид: И' = 0 , Л' = 0.

—и/ —V

Замечание 1 Равенство

¿х = - (Т(х,1,) - Т*(х)) «1» (39)

понимается в предельном смысле при I ■* 11 - 0 : последовательность абсолютно непрерывных (по мере Лебега) мер Радона

<1е 1

= ф(хА) с1х (40)

слабо * сходится к мере Радона ¿V с указанными свойствами. Из равенства (39) и определения меры (1» вытекает, что ДОхЛ,) = 0 , если |Т(х, 41) - Т*(х)| < е2 для V* 6 й

(41)

Замечание 2

Для задач с конечными ограничениями предполагается, что (25)—(26) для данной задачи могут быть физически выполнены (что происходит далеко не всегда и требует в алгоритмах доказательства или проверки). В случае активизации этих ограничений вводится дополнительный набор множителей Лагранжа ctj > 0, а2 > 0, удовлетворяющих условиям дополнительной нежесткости:

«Г [ J Ф0(И (x,t).x,t.T) dx dt - с4 ] =0 (42)

Ц

V ( ДРОХ**)) dx dt - с5 ] =0 (43)

Замечание 3

При индукционном нагреве невозможно получить точно требуемое распределение температур в конце процесса. Поэтому минимальное значение функционала $(•) для оптимального набора (Т°, u°,<r° ]>°'22'<г12^ в эт0" задаче является положительной величиной, которую обозначим через е2:

с = шах |T°(x,t ) - Т*(х)| . (44)

J * е £2 1

Тогда, в задаче наиточнейшего нагрева требуется найти такой набор (Т, u, orj о~22, о"12) и связяное с ним конечное распределение температуры T(x,tj), которое удовлетворяло бы условию:

max |T(x,t,) - T*(x)l £ max |T°(x,t.) - T*(xJI- (45)

x € Я 1 x € Q 1

Замечание 4

Для задачи оптимизации по быстродействию рассматривается оптимальный набор (Т, и, <Гц, сг22, о",2) на оптимальном отрезке I = [tQ, t°] . Тогда увеличивается нетривиальный набор множителей Лагранжа на количество функций ifit( т), таких,что ф{(т),: I -» к' и при этом выполнены следующие дополнительные условия:

аг = J[- + ? mi '»¡tj-i* + J (46>

n 1 'г

Причем, 0tOo) _ произвольное и ~ Заметим, что

имеет место также следующее тождество

|j0t(t) + J0* А(Т(х.4>) V T(x,t)) + ф(и(х,t),х,t)jdxjdt = 0.

4 о Q (47)

Заметим, что в третьей главе также доказан ряд теорем,

аналогичных приведенной выше, для некторых частных случаев

описанной выше задачи оптимального управления.

Отметим, что в последнем параграфе данной главы приведен

ряд важных частных случаев описанной выше задачи оптимального

управления ПИН, которые могут быть в том или ином смысле

параметризированы. Для этих важных в практике случаев в

следующей главе подробно приведены численные алгоритмы решения

сформулированной задачи, реализованные в работе в форме

диалоговой системы для IBM PC.

В четвертой главе подробно описывается как основная идея построения численных методов решения задачи оптимального управления ПИН для параметрических случаев, так и приводятся конкретные алгоритмы их реализации на персональных ЭВМ. При этом также отмечаются существенные особенности, которые могут встретиться при решении практических задач. Рассмотрим эти вопросы подробнее.

Характерной чертой рассматриваемой задачи вычисления оптимального управления ПИН является конечное ограничение на перепад температуры. В локальном принципе максимума это проявляется в специфической форме условий трансверсальности. В них существуют точки, в которых значения сопряженной функции Ф(цЛ\) могут быть ненулевые. Эти точки в дальнейшем будут называться предельными точками, которые впервые были введены Э. Я. Рапопортом, а метод использующий их для получения оптимального управления - методом предельных точек. Для решения рассматриваемой задачи методом прямого использования локального принципа максимума необходимо знать число и расположение предельных точек. Число предельных точек связано с числом неизвестных параметров управления и является следствием локального принципа максимума. Особенностью метода предельных точек является то, что он позволяет вычислять оптимальное управление без определения сопряженных функций. Однако, этот метод имеет также свои ограничения, к которым

прежде всего можно отнести возможность применения его только для задач с параметризованным управлением как временным, так и пространственным. Полученные результаты всегда можно проверить на оптимальность, изпользуя более общий принцип. Легко также указать границы справедливости возможного применения метода.

Опишем возможные случаи параметризации задачи оптимального управления ПИН, так как выше было отмечено, что метод предельных точек можно использовать только для параметризованных управлений. Предварительная параметризация управления, с учетом принципа максимума позволяет как физически реализовать устройство управления процессом индукционного нагрева, так и решать рассматриваемую задачу на инженерном, необходимом для внедрения в промышленность уровне. Подготока задачи определения оптимального управления для инженерного решения должна учитывать:

1° Предварительное определение управления, либо выбор класса управления.

2° Формализация задачи в виде, позволяющем применить метод предельных точек.

3° Учет поведения траектории при активизации фазовых ограничений.

4° Анализ существования особых участков управления с возможной их компановкой.

Важным элементом реализации метода предельных точек

является предварительный анализ возможного их числа в конце процесса нагрева, связанного с количеством параметров управления. Процедура этого определения связана с рассмотрением свойств функции Гамильтона Л в конце процесса, т. е.

для t = tj требуется максимизировать функцию Л(у(Д)) = - 2 ш.О,) Vj(v) +

+ j[Wbt1)'«(v(A)tx,t1,T) - ао-Фо(у(Л),х,1,,Т^х (48)

Я

Учитывая условия параметризации и трансверсальности , (48) можно представить в виде

3v(A)

где

• Г Е "(Т(х\1 ) - Т (х'))-сИ;-¥>(х\Т) -4 = 1 1

- ао-^2(Т) - Ц-^-пьа,)] = 0 (49)

¥>,(21. Т) = ?0(хД) - ?(х,Т).

ч(Ю),х,Т) = КУ- ?(х,Т), *0(Х(4).Х,Т) = У(1)-5о(Х,Т).

Поскольку (49) является выпуклой оболочкой (48),то согласно теореме Каратеодори имеет место неравенство, определяющее число г предельных точек ( п - число параметров управления ):

Нг£п + 1 (50)

Замечание. Следует отметить, что метод предельных точек не

охватывает все возможные случаи решения задачи оптимального управления ПИН. Тогда можно использовать более общий, но и более трудоемкий численный алгоритм, базирующийся только на локальном принципе максимума. Некоторые возможные варианты подобных алгоритмов рассмотрены в диссертации.

Основой численного алгоритма метода предельных точек является :

— выбор класса параметризованных управлений;

- итерационный процесс достижения заданной точности нагрева е, начальным приближением которого является решение задачи наиточнейшего нагрева с однопараметрическим управлением

Далее, в рамках итерационного процесса, уменьшается е за счет увеличения количества параметров управления к , при этом

/ к \

предельные значения с^. Д образуют убывающий ряд неравенств: е( !> > е(2) > .... > е(к) = е. . > 0 , kü. (51)

min min min ml ' 4 '

Попадение в конечное многообразие для t = tj эквивалентно

выполнению в некоторых точках х' ( называемых предельными точками) следующих соотношений:

|Т(хМ,) - T*(xj)| = с V х'е й, (52)

(j = 1,2-----г)

В силу соотношений (51)—(52), с учетом (50) и свойств решаемой задачи, зависимость числа предельных точек г от количества параметров управления к и точности нагрева е дается следующей таблицей.

Таблица 1.

количество - параметров управления число предельных точек г

с > е<к> Ш 1 п с = е<к> Ш 1 п с = е<к> = с. , т 1 п 1 п 1

к г = к г = к + 1 Г5А+2

Таким образом число передельных точек х' всегда оказывается не меньше количества неизвестных параметров оптимального процесса, к которому относятся неизвестные значения параметров управления к , а также априори неизвестная величина •

На этом основании можно всегда составить замкнутую систему уравнений.

При реализации любого алгоритма оптимального управления важную роль играет соблюдение фазовых ограничений. В диссертации эта задача решается путем отслеживания фазовых ограничений для случаев, в которых отсутствуют фазовые нерегулярные точки. В нерегулярных точках используется субоптимальный алгоритм, основанный на локальном принципе максимума и свойствах фазовых нерегулярных точек.

Следующим важным моментом в решении задач оптимального управления являются особые режимы, которые обычно определяются условием стационарности функции Понтрягина в задаче минимизиции без учета ограничений.

Определение. Отрезок назовем участком особого режима

для траектории (Т°,и°) , удовлетворяющей локальному принципу

максимума, если для любого набора множителей Лагранжа

(осо, 0(x,t), dß , d8, der, \fy ф* dfi^ du, m.(x.t),

( i=ü )) выполнены условия

m.(x,t) = 0 для всех Vx e J2, t e [t',t"] ( j = T7E" )-

Для задачи оптимального управления ПИН особые режимы имеют

место при минимизации потерь на окалину:

, a^x.t)

А(Т°) V2fet) + с(Т°) + ф(хЛ) ф-т - aoV = 0 (53)

[ ?(i,t,T) - 5(x,t,T)l - aQ $ (x,t,T)l dx = 0. (54)

П

Из определения особого режима следует, что для ф должны быть выполнены условия (53)—(54), которые не содержат и0, Т°. Связь ф с (Т°,и°) происходит только через граничные условия и условия трансверсальности.

В заключении четвертой главы описаны в виде алгоритма основные этапы численного моделирования оптимального управления ПИН на каждом временном шаге итерационного процесса решения, которые положены в основу разработанной автором диалоговой системы для персональных ЭВМ. Обобщенно основные этапы алгоритма приведены ниже, т. е.:

1). Задание параметров управления.

2). Решение электромагнитной задачи.

3). Определение источников тепла.

4). Решение тепловой задачи.

5). Проверка на выполнение фазовых ограничений по температуре.

6). Решение задачи термонапряжений с учетом поля температур.

7). Проверка на выполнение фазовых ограничений по термонапряжениям

8). Принятие решения о новых параметрах управления или об окончании вычислительного процесса.

В пятой главе приведены примеры решения трех практических задач предложенными автором методами с помощью разработанной диалоговой системы. К ним относятся следующие проблемы:

- оптимальное управление градиентным нагревом цилиндрических алюминевых слитков;

- оптимальное управление нагревом крупногабаритных слябов в индукторе сложной формы;

- оптимальное управление нагревом слитков с минимальным окислением.

Основой математической модели градиентного нагрева цилиндрических алюминевых слитков, состоящей из описания электромагнитного и теплового полей, являются: I - уравнение Максвела для электромагнитной модели; | - уравнение Кирхгоффа-Фуръе в цилиндрических координатах для

)

I тепловой модели.

Задача ¡оптимального управления решалась в смысле наиточнейшего нагрева. При этом управление /априори является параметризованным и состоит из трех параметров: длины

интервала основного нагрева, длины интервала выравнивания температуры, длины интервала градиентного нагрева. Задача решалась методом предельных точек классическим трехинтервальным управлением с учетом транспортировки. При компьютерном моделировании использовались: метод связанных контуров ( для электромагнитной модели ), метод конечных разностей (для тепловой модели ) и применялась приближенная факторизация. По результатам моделирования можно сделать следующие выводы:

- при отсутсвии управления формой настила тока в пространстве и во времени при заложенных ограничениях на класс управляющих воздействий невозможно выполнить фазовых ограничений на перепад температуры и термонапряжения при высокой интенсивности процесса (1) з 140 с);

- индукционная система становится управляемой, учитывая заложенные ограничения на класс управляющих воздейстий, только при трехинтервальном управлении (основной нагрев - градиентный нагрев - охлаждение при транспортировке);

- возможности управления расшираются при несиметричном заглублении;

- электрический КПД заметно повышается на стадии градиентного нагрева (т) гн >т)э ), что свидетельствует о значимости фактора взаимосвязи теплового и электромагнитного полей;

- необходимость приближения к заданной градиентной кривой

можно достичь также за счет управления формой источников (настила тока), однако при этом не удовлетворяется ограничение равномерности нагрева по радиусу а , следовательно, необходимо управлять интенсивностью источников по времени.

Математической моделью нагрева крупногабаритных слябов в индукторе сложной формы являются:

- квазестационарное уравнение Гельмгольца для векторного потенциала ( электромагнитные поля );

- уранение теплопроводности Фурье ( тепловые поля ).

Целью задачи оптимального управления являлась минимизация употребляемой энергии. При этом уравнение Гельмгольца решалось методом вложенных сеток, а уравнение Фурье - путем расщепления задачи с помощью блочных итераций. Многочисленные расчеты полученные при моделировании достаточно хорошо аппроксимируют реальные данные. В задаче, учитывая локальный принцип максимума удалось, оптимизировать форму индуктора (управление формой источников тепла) и определить временную составляющую управления. Обнаружены фазовые нерегулярные точки.

Исследованы вопросы вычислительной технологии для индукционных систем сложной формы. Показано, что перспективным

направлением при разработке разностных схем для трехмерного электромагнитного поля в парамагнитных телах является понижение размерности расчетной системы путем декомпозиции исходной задачи на подзадачи, сшиваемые итерационно. Путем

численных экспериментов на ЭВМ исследованы закономерности нагрева плоских слитков из алюминевых сплавов при ярком скин-эффекте (на промышленной частоте). Показано, что одним из способов управления электромагнитным полем по критерию равномерности ( перепад по обему = 40°С ) является ослабление магнитной связи витков индуктора со слитком в зоне нагрева, т.е. в зоне узкой грани сляба. Однако "ценой" такого управления является снижение электрического КПД примерно на 15-18%. Учет связи электромагнитного и „теплового поля позволяет на стадии проектирования более точно определить время нагрева (оно сокращается на 10-15%) и тем самым полнее реализовать резервы индукционной системы.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В данной работе теоретически обоснованы и апробированы на решении ряда важных прикладных задач методы построения оптимального управления процессом индукционного нагрева. Предложеные методы включают в себя совместное управление взаимосвязанными электромагнитными, тепловыми и механическими полями. Кроме того происходит учет фазовых и терминальных ограничений, а также ограничений на управление. Перечислим основные результаты работы.

1. Поставлена и решена задача получения численным методом оптимального управления нелинейной многомерной математической

моделью процесса индукционного нагрева. Проблема связана с управлением взаимосвязанными тепловыми, электромагнитными и механическими полями. Эта задача является частным случаем проблемы Дубовицкого-Милютина для управления моделями с распределенными параметрами.

2. Проведен анализ математической модели процесса индукционного нагрева, принципиальным отличем которого является достаточно большая ее размерность, что значительно усложняет решение (так называемое в литературе "проклятие размерности"). В связи с этим, для решения каждой конкретной задачи рекомендовано упрощать модели, но таким образом, чтобы не потерять в точности управления.

3. Доказана теорема локального принципа максимума для всех наиболее часто встречающихся задач оптимального управления процессом индукционного нагрева: нагрев с употреблением минимальной энергии, нагрев по быстродействию, наиточнейший нагрев, нагрев с минимальным окислением.

4. Доказано, что оптимальное управление процессом индукционного нагрева (без учета фазовых ограничений) принимает свои граничные значения для случая, когда управление входит линейно в модель процесса.

5. Доказано, что оптимальное управление при нагреве с минимальной энергей является также оптимальным управлением по быстродействию.

6. Доказано утверждение локального принципа максимумма для оптимального управления, являющегося функцией времени и пространственных координат.

7. Создан математический аппарат для разработки численных алгоритмов оптимального управления процессом индукционного нагрева, а также для параметризации исходной задачи и доказательства теорем.

8. Разработанны численные алгоритмы построения оптимального управления процессом индукционного нагрева.

9. Предложенные алгоритмы реализованны в виде программного обеспечения для 1ВМ РС АТ в диалоговом режиме, что значительно облегчает пользование ими при решении конкретных задач.

10. С помощью разработанного програмного обеспечения решены следующие важные практические задачи:

- градиентный нагрев алюминиевых слитков для последующего их пресования и получения кабельной оболочки;

- нагрев крупногабаритных слябов перед прокаткой в индукторе с отгибами витков ( с " ушами ");

- нагрев слитков с минимальной окалиной.

Основное содержание диссертации отражено в следующих публикациях:

»

1.Коломейцева М.Б.,Гживачевский М. Цифровая модель с распределенными парметрами. Труды МЭИ, вып.434, 1979, с.20-24.

2.Grzywaczewski M.,Gorbatkow S. Model matematyczny

wielowymiarowych nieliniowych ukladow elektromagnetycznych z rozlozonymi parametrami, Teoria obwodow i Uklady Elektroniczne, PAN, Zielona Gora, 1981, p. 152-156.

2.Grzywaczewski M., Stochniol A. Model matematyczny procesu nagrzewania indukcyjnego wlewkow о przekroju prostokatnym// Zeszyty naukowe Politechniki Swietokrzyskiej, Elektryka 10, 1982, s.7-26.

3.Grzywaczewski M.,Gorbatkov S. Symulacja cyfrowa optymalnego sterowania przestrzenno-czasowego procesem indukcyjnego nagrzewania wlewka, Materialy Sympozjum SPD-2, Polana Chocholowska, 10-13.06.1985, str.195-202.

4.Гживачевский M., Горбатков С.А. О факторном планировании цифровых экспериментов для решения нелинейных многомерных краевых задач математической физики, International Conference on Computer Based Scientific Reaseach, Plovdiv, Bolgaria, 1985, Proceedings, Vol. II, pp. 250+258.

5.Grzywaczewski M. Optymalne sterowanie procesem nagrzewania wlewkow о parametrach elektrofizycznych silnie zaleznych od temperatury, Metody komputerowe w automatyce i elektrotechnice, Czestochowa .wrzesien 17-19, 1986, Politechnika Czestochowska, Materialy konferencyjne, torn 111, str.33+41.

6.Горбатков С.А., Гживачевский M. Микропроцессорная, система

оптимального дискретного подвижного управления индукционными нагревательными установками. Тезисы докладов, X Всесоюзной научно-технической конференции "Применение токов высокой частоты в электротермии", Ленинград, 15*17 апреля 1986 г., с.98+99.

7.M.Grzywaczewski, A.Stochniol, Algorytm przyblizonej faktoryzacji typu LU dla rozwiazania trojwymiarowych parabolicznych rownan rozniczkowych czastkowych, Zeszyty Naukowe Politechniki Swietokrzyskiej Elektryka 20, Kielce 1988, str. 189-210.

8.M.Grzywaczwski, S.Gorbatkow. Analiza wybranego przetwornika elektromagnetycznego z rozlozonymi parametrami, Zeszyty Naukowe Politechniki Swietokrzyskiej, Elektryka 20,- Kielce 1988, str.41-48.

Э.М.Гживачевский, C.A. Горбатков. К , анализу

итероаппроксимативного метода для трехмерных нелинейных задач теплопроводности. Известия АН СССР "Энергетика и транспорт", 1988г., № 2, с. 101+110.

Ю.М.Гживачевский, А.Стохниол, В.Демидович. Комплекс программ на микрокомпьтеры типа IBM PC исследования динамики индукционного нагрева ферромагнитной стали. Тезисы докладов II Международного семинара "Моделирование электротермических установок", Ленинград, 20-23 июняя 1989 г., с. 1+18. П.Гживачевский М., Зимин Л.С., Лившиц М.Ю., Рапопорт Э-Я-

Методы решенияя задач оптимального управленияя процессами с технологической теплофизики. Тезисы докладов Международного Советско - Польского семинара "Математические методы оптимального управления и их приложения" , Минск, СССР, 16-19 мая 1989 г., с 152.

12.Гживачевский М., Горбатков CA.. Многомерные нелинейные математические модели и алгоритм оптимального подвижного управленияя в индукционных системах при неполной информации о состояние объекта, 34 Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, Technische Hochschule Ilmenau, Germany, Oktober, 23-27 1989 , Preceedings, Elektrowärme, c.13.

13.Гживачевский M., Стохниол А., Применение современных микрокомпьтеров в проектировании индукционных нагревательных установок и оптимальном управлении режимами их работы, 34 Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, Technische Hochschule Ilmenau, Germany, Oktober, 23-27 1989 Preceedings, Elektrowärme, стр.19.

14.Гживачевский M. Оптимальное управление процессом индукционного нагрева с учетом технологический ограничений, 34 Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, Technische Hochschule Ilmenau, Germany, Oktober, 23-27 1989 Preceedings, Elektrowärme, pp.l.

15.Бахарев H.A., Попов Ю.П, Гживачевский M., Коберский 3. Использование системы интерактивной машинной графики для

автоматизации вычислительного эксперимента, II konferencja: "Mikrokomputery w Edukacji", Zakopane 12-18, czerwiec 1989 г., str.34-39.

16.Гживачевский M., Дилигенцкий H.B., Зимин Л.С., Лившиц M.' Ю. Оптимизация процессов технологической теплофизики в гибких производственных комплексах. Тезисы докладов X Всесоюзного Совещания по проблемам управления, (Ташкент, 25-30 сентября 1989 г.), Москва 1989, с. 352+353.

17.Гживачевский М., Рапопорт Э.Я, Рыбаков В.В.. К задаче синтеза оптимальных по быстродействию систем управления нагревом металла. В кн. " Идентификация и оптимизация управляемых технологических процессов", г. Куйбышев, КПИ, 1989, стр. 69+80.

18.Grzywaczewski M.,Rapoport E.,StochnioI A., Optimal Control of Electromagnetic and Temperature Fields in Induction Heating, International Symposium Elektromagnetic Fields in Elektrical Engineering - 1SEF'89, September 20-22. 1989 Lodz, Poland, Preceedings, James & James Science Publishers Ltd, London, England, pp.

19.Grzy\vaczewski M.,Rapoport E.,Stcchniol A., Optimal control of coupled elektromagnetic and temperature fields,. II Internationl symposium on computer in power engineering, Tuzla, April 3-5.1990, Preceedings, pp.27-36.

20.Бахарев И.А. Гживачевский M.,Попов Ю.П.. Автоматизация

изучения динамики процессов с распределенными параметрами. 35. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, 22.-25.10.1990, Technische Hochschule Ilmenau, Germany, Preceedings, Heft 3, pp. 105-5-108.

21.Гживачевский M., Стысь Я-. Пакет программ на IBM PC AT/XT для обучения избранных проблем оптимального управления объектами с распределенными параметрами на примере управления процессом индукционного нагрева. 35. Internationales Wissenschaftliches Kolloquium, 22.-25.10.1990, Technische Hochschule Ilmenau, Germany, Preceedings, Heft'3, pp.101+105.

22.Zimin LS:, Grzywaczewski M., Electrodynamics Processes At The Induction Heating, Zeszyty Naukowe Politechniki Swietokrzyskiej, Elektryka 24, Kielce 1990, pp.305*312.

23.Бахарев И. А., Горбатков С. А., Гживачевский M., Мельников В.И. Разработка разностных схем для расчета двух и трехмерных электромагнитных полей. В кн."Электродинамика и техника СВЧ и КВЧ, Теория, математическое моделирование и САПР СВЧ", (под ред.Нефедова Е.И.), ИАП АН СССР, М., 1991, с.5-15.

24.Grzywaczewski М., Rapoport E.Y. Optimal Control of Electromagnetic Field Problems Coupled ' to Temperature and Thermal Stress in Induction Heating. Proceedings of COMPUMAG, Sorento, Italy, vol. 1, pp.171-174.

25. Grzywaczewski M., Rapoport E.Y. Optimal Control of Electromagnetic and Thermal Coupled Fields in Induction

Heating in Indefinite Condition. Proceedings of International Symposium on Electromagnetic Fields in Electrical Engineering,(ISEF'91), Southampton UK, pp.305+308.

26.Grzywaczewski M. Optimal Induction Heating of Ingots with regard to Thermal Stresses. Proceedings of International Seminar on Heat Transfer, Lodz, Poland, 1991, pp. 117-122.

27.Livshic M.J.,Grzywaczewski M. Dialog program for optimal control of process induction heating of Ingots. Proceedings of International 1FAC Workshop on Expert Systems in Mineral and Metall Processing, Helsinki, 1991, pp. 223-227.

28.Rapoport E.J., Kozakow A.,Grzywaczewski M. Optymalizacja ukladow z rozlozonymi parametrami w zadaniach z Czebyszewwskimi ograniczeniami koncowymi, XI Krajowa Konferencja Automatyki, Bialystok 91, Referaty T.l, str. 573*580.

29.Liwshic M.J.., Grzywaczewski M., Problemy budowy pakietu CAD/CAM dla procesow chemiczno-termicznej obrobki metali, XI Krajowa Konferencja Automatyki, Bialystok 91, Referaty Т.Н., str. 439+447.

30.Рапопорт Э.Я. Зимин Л.С., Лившиц М.Ю.,Гживачевский M. Оптимизация систем индукционного нагрева в технологических комплексах обработки металла давлением. Тезисы докладов XI Всесоюзной научно-технической конференции "Применение токов высокой частоты в электротермии", Санкт- Петербург, 25+27

сентября 1991 г., "с.38*39.

31.Гживачевски М. Цифровое моделирование оптимального управления процессом индукционного нагрева. Труды СПИ, 1991 г., с. 158 .

32.Bachariew I.,Grzywaczewski M. Wykorzystanie technology Hypertextu do budowy podrecznika komputerowego, IV konferencja: "Mikrokomputery w Edukacji", Zakopane - Dolina Chochlowska, czerwiec,17-21,1991 г., str.59-64.

fWoMM.