автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Применение интервального анализа для построения и исследования эффективных итерационных методов решения некоторых классов задач

- 5 MIT

ЛЬВХВСЫШ ДЕРЖАВНОЙ УШВЕРСШКТ 1МИН Líi-atu>A

На ripauax pyf.wnm-;.

вкнгаськии [iKTPD t;ai лм<ии

застосування 1нтервалыюго а11а1113у

дня повудови i досшд1ншя мшивннх nmuiniiiix

метод1в розв'язування деяких iüiacjb задач

Спецшлыпсть Ü5.13.16 - оаотосування обчислкеалтог техшкн, математичного моделюваппя i матиматичиих методib в наукових доолтдженпях

Автореферат дисертацп на здобугтя вченого отупеия кандидата фгзико-математнчних наук

львш - 1993

Робота виконана иа кафедрх георхх оптитльних процес1в Лькшського державного ушворситету хм. I. Франка*

Науконий керизник: кандидат фхоико-математичних наук., доцент СЕНЬО П.С.

Офщп'иц оионенти: доктор фхзико-маг^матичних наук.

профеоор ШАИД.УР0В В.В., доктор фхзико-магематичних наук-профееор ПОПОВ 15.0.

¡Цдуча оргэтзацтя: ь'анкт-Петербургеtкии доржавпии ушвероитет

'.•.ИСТ В1Д6УД€'ТЬСЯ " " 1993 р. в /5"годин

на оаохданш спецхалхзоианох ради К Ü08.26. Iс у Лынвсхкому Яйрта»ному унтере итетг гм. (франка с 29U6U2, Ih,вт, еул. У'пворситетоька 1, ЛДУ, ауд. ).

Здиоертацхею мота ознаиомитиоя и мблютоцг ' Лылвського державного ушверситету.

Автореферат роз го лапин "4 Wfo р.

Вчений еекретар с'пещадхзованох ради

О.А.Остудхн

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РоШТИ Актуальнто/гь пробломи. Побудова математичннх моделей t-.ar.vn. ох вит науки I технхкн вводиться до роов'язування нолшпмнч ртняш. ißo енотом пелишттх рхвнянь. В основному, сони рог.'п" янумтьоя :тераци'шими методами.Тому пиникае питания побудоьи ыК-ктивнич х (оотатньо еттйких ггерацгшшх методхв роев'язування таких задач.

В бхльшоетт випадкхв при теоретичних доеждшиых алгоритмхи 1бредбачаетьоя,що обчнелювальнии процес е хдеалытм. Але, на |рактицт обчислення на ЕОМ ведуться 13 скхнчепним числом розрядхв. IpiM цього, ко,инии обчлолшалышн процес оупроьоджують похибки (етоду, початкових даних, округлень i тшх. Вех их похдакн моауть ювнютю порушитн збикнхеть методу i навггь при отримашп •раничного елементу немае впевненоотх, що знаидений шуканий юзв'язок. Розв'язуючи апрокоимацшну задачу, несбххдно додатково (ияонити васильки отриманнй роэв'язок вхдрюняеться вхд точного юзв'язку ВИХХДН01 задаш. Один з шдходхв вивчоння впливу юхибок, як г супроводжусть процео розв'язування пежнхиних ивнянь, розглянутии в роботах М.Д.Бабича х В.ВЛванова, В.Войкова I 1.1.Жечева, М.Я.Вартхша х kl.H .Щербини, >.А.Бельтюкова, В.А.Курчатова, Г.М.Вайшкко, П.С.Сепьо, С.Ю.Ульма, LС.Шаманеького, О.М.Ваармана х шших.

.Тнший ПХДХ1Д полягае в застооуваши для розв'язування рхвнянь нтервалмшх 1терац1йних методхв, як им не властивх вищо названх |едол1ки. Такому пгдходу присвячещ роботи Ю. l.UioKina, I.A. Калмикова, З.Х.Юлдашева, М.М. Глазунова, О.М.Вощжхна i '.Г.Сот1рова, B.C. Добронца х В.В.Шайдурова, Г. Алефольда i ).Хецбергера, Р.Мура, Г.Г.Меньшикова.С.П. Шзрого i шших.

На даний момент розроблещ i доолхдяенх ртзнх моднфхкацп :нтервалыюго методу Ныагоиа, як1 мають квадратичний порядок >б1»юст1. Тому актуальною залишаеться задача побудопи итервальних хтераци'шнх методхв вищих порядкхв обшюэтх, якх ipooTi в резлхзаци х при виконаннх повиих умов бхльш 1$ектнвн1 в корнетуваннх. Розв'язанню тако1 аадзчх присвячещ юботи Г.Алефельда, М.Хфцбергера, Ф.Потра, А.Фромвра, Г.Майера,

э

Ь.К'г.я^тга, Р.Кравчика, П.С.Селил 1 иших.

Одним ю способов шдвищашя ефактивноотх штервалышх и'орацшмих г.дтсдхв такого типу е оаотооувамы апрокоишци обери«ного оператора. - Ця задача роаглядалаоя в роботах Ю.Херцбергера, Р.Кравчика, Ж.Шмхдта 1 хнших. Поряд з нею важлииою проблемою е досл1Дження стюкоотх огаданих методгв, хх практичпе використання, порхвняння ефектипиостх методгв при роов'язуванш конкретних задач.

Метою дано1 робсти було:

1.Дослхджепня обчислювалышх аспект1в реалюаци лгеерьалышх хтерацхйних методхв ньютошвського типу, аналхз умов гх застосувалия.

2.Г!обудоза ковнх ефективних ме-тод1в розв'язуваиня систем неж:!1йних р1вняиь, дослхджепня ьлаотивоетей заиропонованих методю» визначення кхлькост1 крошв для вияонення иаявиостх кореихв в початковнх хнтервалах.

3.Аналлв г;ти'!кост1 побудованих штервалышх ггерацхшшх методхв, виб1р оптимального правила для вгддаукання допустимих областей В61ЖН0СТХ даних методхв.

4.3аотосування отримапих хнтерва-.ьних хтергщтних мотод1в до розв'язуваиня систем нелгахиних апгебрахчних рхвнянь, а також оистем, отримапих дискретизацию граничшх задач для ивичаГнтх диференщалымх рхвнянь. та крайовнх садам елхптичного типу. 5.Автоматизац1Я роал1заци штервальних обчислепь на сучасних ЕОМ, створоння бхблютеки основних штервалышх математичних операций та штервальних розшрень стандартиих математичних функции

Иаукова новизна. В робот1 залропоновано новий олос1б

I

визначення ттервальних операцхй, при введении якого справедлива властивхсть дистрибутивностх. Розглянуто обчиолгаалыц аопекти реалхзаци ргаиих модификаций интервалы ¡ого методу Ньютона, отримал1 простх умови сбхжносп одшех з них. Запропоноваио ноши вид штервалышх хтераци'ших методхв, обгрунтоващ основи хх побудови. Побудованх I дослхдженш р13Н1 модифхкаци таких мвтодхв, доведено при виконанщ вхдловхдних умов збикнзеть I

пюначено порядок оошюот! оапропонованих методхв, остановлено имькють крпкт, як г цеобхщю пропеоти для ыыоионня нзлоглосп '.ореня шчптковому хнтервалу. Утримаш х обгрунтованх умови тиксстх олшсг з модифи'.ацш штурвального хтерацгипого методу 1'ипу Рун го. В робоп аналхоуетьоя вп&хр наибхлыи офектисного 1равпла обчиолоння допустимых областей побудовапнх ттервалишх •'етодхв. Запроггонованх методи застоеовувалиоь для розв'язання гонкретних -задач (.енотом нелптитх алгобрахчних рхвнянь, рхвнянь, зтриманнх дпог.ретизацхею граничних задач для звичаиних ^ифереицгэлышх рхвнянь та краиоьих задач елптгичного типу ). На '.онкретних прикладах проведено поризняння оФективноотх запропонованих методхв х раш:се тдоких. Отворено прелроцесор шторвальиих обчиолен' , якии доссоляе снкористовувати шторвапьнх lam iiapiBiix :з xumtMit типами даних, но порувуклш структуру мови ;рограмувлн!ы.

Обгрунторэнють основиих пауков; tx сосультатхв забезпечуетьс.« (хткими катоматечники доведениями паведопих теорем, галяхом зозв'язування тестових прикладхв г порхвняння результатхв збчислень а результатами, отримакими шшига в1Д0мпми методами.

Практична щинхеть. Нобудованг х дослхджеинх обчиолгоальнг алгоритм» р12них модифхкаци! хнтервальних хтерацхйних методхв тту 3УНГ0 ЗНСС'.ОДЯТЬ ВО! ДХПСИХ кореш, в тому числх i кратнт, о ладаиому початковому штервалх. Цх метод1.! южна ефектнвио 'аетосовувати для росзв'язувапня схстем нелищ'шнх рхвнянь злгебрахчнкх рхвнянь, а тако,г. систем, отриманих дискретизатею "раничних задач для звичаиннх диференцхальних р1внянь.1 краГювпх задач олигглчиого типу. Розглянутх методи враховукггь пох;:5г.ц boix шив, включав1 in округления нашшшх олерацхи. Злачна увага в vo6oti прпд1ляеться питаниям, зв'язаних з реалхзацхею запропонованих методхв на ЕОМ. Росробл-ашй препрсцесор для автоматизаци реалхзаци .иггорвпльних обчг.олень на алгоритм1ЧН1й ловх Паскаль на компотерах типу IBM PC-XT'AT. Складенэ б1блхотека идпрограм стандартних хнтервальних операци'1 х хнтервалышх юзширень основних математичних функций. Алгоритм« отриманих

штернальннх мотодхв ревизован! у виглядх окремих пхдпрограм шжуть оутп викуристан1 для розв'язування задач вказаних тшив дл рхзипх ночаткових даиих. Результат» роботи викоркотовуються .чр читаннх спецкурс 1В та при виконаинг дипломиих г курсових росит на ка()здрх теорхх оптималышх процесхв Львхвського ушверситету т кафедр} математичнот теори мхкропроцееорних систем управлшп Саикт ~ Иетероургського унхверситету.

Апробащя роботи. Ооповнх результат!) доповхдались и Нхжн.мроднхИ конфоренци но хнтервальних та стохаотичних методах I науцл 1 тихихцх (Москва, 1992), Вееоотонхи конферепци по управ л шик) в механхчпих системах (Львхв, 1988), Мхжреспуолхкансь кхн - науково - практнчнхп коиференцхх творчох молодх "Лктуальн щюблеми хнформатики: матемагично, программе I шформацхит ааъ'езиг'Чиння" (Мхиськ, ¡992), науково - технхчних конфэренцхя; "Заотссування оьчиелюеалыюх технхки I математичних методхв I иауковим х оконом1чних дослхджоннях" (.Кшв, 1988; Кшв, 1989 Севастополь, 1990; Львхв, 1991; Льв1в, 1992), пауковш конференцх: "Змшанх обчислеиня I перетворення програм" Новоси&хрськ, 1990) на нэрадх "Тнтервальна математика I и застосуваиня" (Абрау-Дюрсо 1992), на ушверситетських коифереищях, на семтарах кафедр! теорхх оптимальних процесхв ЛДУ.

О^СЫШлШШ^ Осиовш результати дисертацхпнох робот! мютяться в сгаттях 11 - 14 1 Лея:I матерхали були включеш в эвгги по темх "Чиоельш метод» розв'язування нелиш'ших р1внянь т; задач на екотремум " (ВНПЦ, 1нв. « и2.85и031СМ8 ).

Об'ей роботи. Диоертациша робота склада&ться 13 вотупу, чотирьох роздхл1в, додатглр, внсновк1в та списку основно] використанох лхтератури. Бона включас 450 сторхнок машшописногс тексту 1 мхртить в ообх 7 малюнкхв та РЗ таблиць. 01блгеграф1чиш описок складаеться з 119 назв.

коротким зм1ст роботи

У вступх коротко аналхзуеться стан проблеми вик.ористаши ггератйних методтв розв'язування систем нолишших рхвияпь,

©

5грунтовуетьея важливхсгь i актуальшсть питань, якх окладами, эедмет досл1Д»ения. Викладенх ооноши наук.овх результат», snu (носятьоя на захиот. Даеться аннотацхя дисертацхх по роз/цлах i фаграфах.

В першому розлхлт розглянуто спец1ьрису роалхзацл 1тервальннх обчиолень х проаналхоовано обчислювалип аопектп ¡алхзаци штервалышх 1терац1йних методгв Ньютона. ЦеП розд)Л сить ДОПОМ1ЖНШЧ характер, ало може предотавляти т оамоетхпшш терео.

В п.!.2 вводяться ochobhi поняття штервалыюго анализу х ix аотивос'и. Даеться поняття множили иашнних чисел, рхзного типу руглень, показано збережоння 1нтервалыш'л вяастнвоотеи при ругленмях. Приведет означения природнхх х обЧднанц:: гервальних розширень функцхй, хх залежшсть вгд порядку копания штервалышх операцхй. Поряд 13 звичайним визначешым эдено слхдуюче визначення штервалышх операцхй.

Пехай р - вгдображення множим» дШоннх чисел в хнтервалыти )CTip icr^ i р задано пораметрично ■♦ рсхсо;>, у Jkycoj :>.

Означения. Похай * - .бхнариа операцхя на множит, дхиопих ;ел; * е icri. ТоД1

X * Y= < 2 | z=х*у, x=xCXJ,y=ytO. VxeX. V у «= Y } , CO

шачае бхнарну операцио на хсю.

На рхдм1ну В1Д стандартного визначення 1нтервалышх операцхй, (I) випливае, що тод1 мае шсце властпвють дистрибутивност1.

п. 1.2 присвячений аналхзу деяких модифгкацхй штурвального •оду Ньютона для знаходжеиня днЮних розв'язки! оиотем

1Ш1ЙНИХ Р1ВНЯНЬ.

Нехай задане олтдуюче нелхни'ше рхвняння

гсхэ = о, с гз

г: d с к" r" . Заотосуюти до fсxi "теорему про середке чення", тод1 отримаемо

ГСхЭ = fСхЗ + J с £ о с х - х J . х е D,

J с?э - матриця пох1дних рхвняння (2), Г прнймае значения а мхжку ( х ). Позначимо через х хнторвальннй вектор, якин

мготнть в 0001 точки * I х, Тодг I ? наложить х. Пхдставимо в замтсть ( хнтервал 1з системи рюнянь

ГСхЭ I' J СХЗ Сг - х ; = О (3)

випливае, що розв'язки рхвняння (.2) належать множит розв'язки рхвняння (3). Розв'язуючи рюними способами (.3) можиа побудуват! рхзнх модифшаци хнтервалышх 1гераци'ших метод 1в Ньютона.

В запальному випадку ттервальний метод Ньютона полягае £ обчиоленщ поол1доиност1 вкладених 1нтервал1в * ск-=о,1,2. ... ; но формулах

У<к> = х'к>- [ _1СЧ1к'э 3Сх""} ; (4)

х,к+1>= у"" п х'и, *<к> « К<ь. (5)

Багатьма авторами - Муром Р., Нткелем Р., Алефельдом Г., Херцбергером Ю. та итши оуло доведено, що так побудований метод дае иожливгеть знайти вс1 кореш систем и ( 2) або вндасть хнформацхю про В1дсутн1сть корешв в початковий областх. Збишсть методу (4) - (5) квадратична ( Теореми 112).

Значна чаотина часу при реалхзаци методу (4)-(5) припадае обчиолення оберненох матрнц1 до хнтервальнох матриц! пох1Дних .дсх'1":). Бхльше того, однхею з трудноицв при реал1зацх1 даног

о.)

методу е вироджешсть матриц1 пох1Дних :>.

Тому Кравчиком Р.' була запропонована моднфхкацхя методу (4)-(5), яка не мхстить обертання 1нтервалыю1 матрицх поххдних кхл>э. Так в метод1

ксх11£>з= х<к>- в,к,гс5(<1<,з+с1-в,к^сх'1<,ззсх<1о-х,к>>. (6) пКСХ«к»а> х<к> еХ<К'_ к=од-.2..... (7)

»<к> - це точкова хнверс!я до центру матриц Лх""э. |{рхм того, опрощуетьоя область, що обмежуе розв'язки системи (.2), хз з1рчатоз форми, отриманох по (4)-(5), вона набувае вигляду гхперпаралелепхпеду, граш якого паралельн1 осям координат.

Влаотивоотх посл1довноот1 ттервалхв, ■отриманох по (6)-(7) доодгджувалиоя Кравчиком Р..Алефельдом Г..Муром Р..Сельомаком Ф. та хнотми авторами. В дисертац1йн1й роботх отрнмано тверджения,

в

якому уmodи «61ЖНОСТ1 цього методу бхльш конкретих х легко ¿ревгряються при практичному застосуванш.

Теорема 3. Ilexaii в почат новому хнтервал1 х'0> мхетитьоя циний кор1нь оистеми (2). Якщо для bcix k~o,i.z. ... виконуетье.п яова

, <k> , lV> у™ , _ *V>, ,,lk> . „Л» .,-„^Ч

t <1, до t = ¡na^ ) I i- I' ~ ~ '

_t_n Ij

wll<> * ' .

)д1 x - x .

У випадку, коли дхагональ матрицх поХ1Дних оистеми (2) е эмшуючою, можна побудувати модифшашю методу (4)-(5), яка буде ючно ефективнхше розв'язуватн гтоставлену задачу. Так Хансеном Б. /в запропонований i дослхдженнй ( Теорема 4 ) слхдуючий метод

х"""== пх"". *"" 6«"", к=о.1.2..........(9)

s в jq 3 = l + d + u ; l ,d ,u - в1дпов1дно

)жня трикутна, дюнональна х серхня трикутна матриц1.

В данхй робот I проамалюовано обчислгсвалыи аспекти »алхзаци шторвальних методгв ньютошвоького типу (4)-(9). жазано, що можна викорнстовувати отримащ результуюч1 хнтервали

> деякому напрямку в ролх нових вххдних 1нтервал1в при обчисленш i цьому кроц1 результуючих 1нтервал1в по peuiTi напрямках. Точка к> наложить штервалу х'к', вона моле бути вибрана довглыюю з ггервалу х'к>. ало коли вона е середньою точкою штервалу

> доведено ( при mohotohhooti функцп ), що отримаемо лишения ширина штервалу на кожному кроц1 методу не менше, hit.

1BI4X.

Роздгл 2 приовячений побудов1 i дослхдженню штервального ■ерацтйного ' методу типу Рунге. В основу побудови цього методу жладенх сл1дуюч1 хде1:

- 1дея Рунге, яка ним була застооована для побудови' чиоельних п'одгв розв'язування задач1 Komi для звичайних диференцхалышх [внянь. Бона полягае в апроксимаци з наиб1льшою можливою »чнхстю гюх1дних вищих порядк1в л1н1гпшми ком61нэц1ями першо!

я

похщпох у вхдповхдних точках;

- поведхнка "оередтх" точок залишковнх члетв у формг Лагранж;

узагальнених рядхв Тейлора функци при стисиеннх п'ромх;кк\

розкладу в точку I сп1ВВ1ДНошепия мгж цими точками в розклад]

оамох функци та и першох пох1дно1.

[3 п.2.1 приведено обгрунтуваиня х лередумови побудов!

штервальпих методхв типу Рунге.

Побудовано хнтервальний метод типу Рунге, який полягае е

(к)

оочиеленш лоолхдовностх 1нтервал1в х ск-=ол,... :> по формулах

3/4 ГС ГЛз"1 ГСх,к,3, ( Ю)

„.!.♦»», к. п й .!,)_ к=0Л1 _ (П)

де

t | 2/3rCx<kWcx'kW"- :<,klJ=0 ).

Лалт в дани* диеертацхишй робоп детально дослхджуеться один з

хнтервалышх методхв типу Рунге, де в ролх множинн п"" виступае ..(к) „. * „1к> сам хнтервал х , 50 ми апрюрх допускаемо, що * е х .

В и.И.2 побудовано слхдуючий штервальнчй метод

Vik W ' -t 1 /4ГС х'кЬ -+3/4Г Сх( k ' ЧВ.-ЭС x""-x'k 1 );> j "j4 x'k':> , (¡2)

x<kM._ y,k, n v «k,> x,k, e x,k, lk=01..........( ]3)

В цьому ттервалыюму методх к1льк1еть 1нтервальних сбчислень майже така ж сама, як в хнтервалыюму методх Ньютона ( 4 ) -.( 5 ) (точковг обчиоления значно не виливасть на сумарнии чао рахунку). Одшею з умов заотооування.даного методу для знаходження Д1йсних корешв системи нелхниших р1внянь (.2) е виконання умов наступнох ломи.

Леш 1. Пехай функцхя г •. d с Rn - кп двхчг неперервно диференцхйована по Фреше в кожшй точцх випукло1 множини о^с о, гсхэ - il аналхтичний вираз . Hexaft визначеио 1нтервальне розширення 11 rtxi на о , х* -розв'язок сиотеми (2) i х'°'<х

"Вагатьма авторами в публхкац1ях термхн 1нтервальне розширення вживаеться в оенот природнього тнтервального розширення. .

ik;

Ю

сх!0> < х?.1*1,2, ... ю, ne x* e xfo>c d .

IV " r>

Якщо => tx'?\x"" + Э/2 tx* - Х,0,Э1. Т0Д1

z 1

*CY<0>- x°V (14)

«I ,_o, С О > . lo) -ч , - <o>

ДО -•* + P/x-x -'.X + 3 I fJ ]r -1 - ПГ-ОМТ/Т.Ш ТОЧКИ PiUHIIU*

КОВИХ 4JI0IIID Р01М-.Л0Д1В Li рЯД ТеИЛОра ДО ДРУГ01 П0Х1ДН01 и Т0ЧЦ1 х'О>В1ДП0В1ДН0 фуНКЦИ! fCx) i f с ' * ВУЗ 11роанал1зовано властивост1 методу (12)-(13), як1 мютятьоя в олхдуючхП теорем.

Теорема 5. Немэй виконуюгься умови ломи I. Тод1

{■V 00

i обчиолена по формулах

(12)-(13), мае властивистх:

а) х «= х . х сх,х таким, що справедливо (.14);

V»' 2 > —l£>> С 1 ° > < k > ' к - i > G < к >. . _

ЬЭ Z =>Z ¿Z :>..., до Z -X ,2 =2 П X , к =1 ,2, . . ,

Якщо о п jic* з+j- «чх *gcx -х ;>;> j щ один о

1 ' (о>„ 3 1с.) 2_ — cor v - * (О)

елемент1В матрицг j i сх -х :>:>. х « х це

рхвний нескхнченосп, тоД1 пш у. <к>^х*

V -»ai

Визначено порядок збыностх запропонованого методу, а оаме доведена така теорема.

Теорема G. Пехай воображения г-, d с r" ■+ rn тричх неперервно диференци'юване по Фреше в кожшй точщ випукло1 множини с d .

Тод1 поолхдовнтсть обчиолена по формулах

(12)-(13) х яка задовхлыше умовам теореми 5 вб1гаеться до х , причому

ыСХ ск + "] < с СыСХ ,к>?з; де С > о. При реалхзаци штурвального 1терацзйного методу (12)-(13) може мати мхсце випздок, коли штервал х""*' пустин. Це ознака то во. що в початковому 1нтервэл1 немае корешв (2). Нище сформульована теорема, в якхй оцтено склльки необххдно провести кроклв методу (I2)-ll3j для вияонемня цього факту.

Тр?рема_7... Пехай f : нг' Rn задовхльняе слхдуючим уметам--

OJ |ГСхЗ | й 5 > О ДДЯ BCXX xtk'e Xlk' = Г а ' к ' , b1 к ' ] ,к=0.1, г.* . . . ;

6Jrr>o - тричг неперервно диференщйована по Фреше в кожтй точцх нинунлог mi 10жшin d^cd i г .с j =--1ТТ7з знакопоопйщ функци на x<k!

иричому |l'U,Cx""Dj < К. i=l,a,3; K=const; = mC X'k' 5.

Тодх хнтервал x;k> , який не мхстить иул1В rc>o t може бути виклклений в т кроках хнтервального хтерацхйного методу (12)-(13), до

A|V) v 1 9

т S Ход С К ыСХ J->1^44mC» » + % ^

2 6

В п.2.3 побудовано модифхкацпо хнтервального методу типу

Рунге (12)-(13) з викориотанням iflei Кравчика Р. . Бона мае (.мпдуючнй вигляд:

К'.:х '-с' к>гсх'* 'э+ci-c-' |"р'сх<к>э>сх<к>-х'к>з, (15)

x""",KC)i'k>? л х'к! к=о.1,г..........(16)

де початковий интервал;

<к) * <к> с - приблизна шверсхя центру матриц1 р сх

г - единична матриця; х""«з

Цей метод знаходйтъ воi Д1йон1 кореш системи нелтхйних рхвнянь в наперед заданому гючатковому хптервалх. Метод (15)-(1б) не мхотить обертань хнтервальних матрпць, що оуттево зменшуе об"ем обчислепь. Влаетивоетх цього методу узагальненх в слхдукщй TeopeMi.

Теорема 8. Нехай вадображення г ■■ Ъ <= к " .» r дв1Ч1 неперервно диференц1йоване по- Фреше на с о. Для хонуе

лггервальне розширення на - нуль го-"-1 на

Тодх послхдовнють хнтервалхв < обчислена но

формулах (15)~(16), задов1Лыше слхдуючим спхввхдношенням:

\ * ___ „. _ . „lk>_, <к> (к) Э X lk>, , * Ik)

а) х •= КСХ Э , к=0,1 , . . . , де X 21 У. ,х + g t х -х )),х 2х ;

б)якщо для в1Дображення виконуеться умова

)i-ccx,0bF'cx'0,3| < 1, де ccx,0b=cF'cx,0b3"i'.

ТОДТ lin X = X ; к < а

в)якщо, крхм а) г б), ic:o три'-и: непек-рвно ди((>еренцпюваиа но Фреше на х"" с ot тод1 мае мюце

< с С^Сх"1'}.)3, с>0,

Ця модифхкацхя штервального 1терац1иного методу тину l'yui'o ■ пор1вняно з шшими iipooTiiiia в реалхзаци х тому сама п рекомендуемо для практичннх обчиолень.

В п.2.4 розглядаються питания ctiiikocti штервального методу типу Рунге (12)-(13) при збуреннях оберненого оператора

' (1^) * I le t > f ^ l — !

tl/4 f CxZI + 3-"4 f Cx + 2/3 CX - X ЗЭ] г ВИООрОМ

початкових.операторгв в апроксимацхях. Стижхсть методу полягае, по-перше, в збхжност1 до одного i того ж граничного елемеиту при опиоаних вище збуреннях; по-друге, в збереженш порядку збхжноот! методу. Умови ст1йкоотх базового методу (12)-(13) мхотить слхдуюча теорема.

Теорема 9. Нехай для точок *.у е cx'0> ,yt o> i с d с r'\< ,-<у:> виконуються умовн:

1) вхдображення f : d с Rn - r" дв1чх неперервно диференцтйоване по Фреше i f£x<0,3 < о < гсу'°'У;

2)в1Д0браж.ення A:{Cx,iO| ix'®' .у'°' i xt*' .У( °1 з> Rn >< а", де fCx3~fCyD=ACx.yZKx-y);

3)неперервне в1дображення

B:il.x.y3 | tx^'.y'0' Jxtx(0,.y<0>J> -» r™ х r°. де В=ВСх,уЭ=1/4Г СуЗ+З/4 Г Су+й-'ЗСх-уЗЭ ,

задов1льняе оп1вв1дношенням:

a)BCx,yD < ВСх.уЭ, ЯКЩО х £ X < у < у; бМСх./Л < ВСх.уЗ;,

в)юпуе всх.уэ"* i всх.уз"* г о;

4)матриця р'°' е r" >r rri невиродж.ена i*

а)всх'°',у'0)з г'01 < г;б) рГ0,вс«,0>.у,0>з < j;b) р<0> - о Тодх ПОС Л ГДОВНООТ1 < х"">ь"в. < у"" < p,k>\!V

визначенх по формулах

1 3

'jp<k>ic 21 -Bt x'

tk+i> rtc+t>. . У

задовхлыыюгь ошввадношенням

fС X* 3 > fCy* ) •= О.

Якщо для fcx>, kpim цього , icnye тротя поххдна по Фреше i во на задовхльняе^умовх Лтшхца:

Ilf"'cx3 - f Су) « < с II к - у II Сс - consO,

г I fc 1 <k > , ш , _ (к > „ со . ТГ7, ^

то п^олхдовноотх < fx . у J >к = 0' р >k=03 U7) зб1га!с>гься

в1дпов1дяо до с х**, у"] ,р*. причому порядок зб1жноот1 не менше 3.

В роздхлх 3 показано заотооування побудованих хитервальних методгв типу Рунге для знаходження bcix дп'юних корошв систем нелипйних рхвнянь.

Так як о по чат к у . для локалхзаци корешв системи викориотоьуютьоя мбтоди подглу 1нтервал1в, то в п.3.1 проанал1зовано рхзномаштнх правила под1лхв i отримано правило, яке дозаоляе найоптималышие для даного класу метод1в знайги локал1зуюч1 хнтервали.

п.3.2 прновячений розв'язуванню тестових систем нел1Шйних р1внянь хнтервальними методами типу Рунге. Розглядастьоя системи рхзного стуленя окладноот1, з рхзним розмхщенням корен1В в початкових хнтервалах, рхзнох розмхрноотх. Ироводяться порхвняння о В1ДП0ВЗДНИМН модифхкацхями хнтервального методу Ньютона. Результата обчиолень тдтверджукяь теоретичш висновки теорем, наведених в роздхлх 2.

В и.3.3 показано застосування штурвального методу типу Рунге (17) для розв'язування систем нелкт'ишх рхвнянь, якх отримащ диокретизацтею гранпчних задач, слхдуючого вигляду

у" » fCt.y}, уСОЭ=» а, уС13= Ь.

1аг«?дет результат» обчиолонь конкретпнх приклад 11!. приводиться юртняння з уже втдомими методами.

В п.3.4 побудовано модифшацио методу (l'âMI'à). яка сраховуе структуру матриц! ПОХ1ДИИХ систем» (Й), а оаме, якщо голопна щагональ матриц! пох-тдиих снотеми ч домшуючою, то зручно використати олгдуючии штервальний метод

*,k,=x,V,-ijCX,,"3CCUC*",,5- LCM,k,33CK"'>- х' :>-ГСх"" ЗО . ( |8) х"* * 1 1 - У ""г. Х<к ' , к =0.1 .2, Э. . . (19)

де К«"'. Dcx'k>:> = CfXX,k,JJ-;

р'сх<к>5 = i,cx<v >ï-utx,k')-fxx""j; Ixx,kl3 дгагональна . их1 1 :> ,исх,к':> - В1ДП0В1ДИ0 пи,пня i верхня трикутш магршц

F cx'^'j; f'cx"":) = lv-4 rix"") + 3/4 I4x'k> + Й^х"" -- x"":0.

Влаотивосп методу (Ib)-(I'J), иого умови збшюсп узагальнеш и слтдукм 1й теорем!.

Теорема 10.' Пехай для втдображення г : г> с r" . r" виконуються умови:

I ) х* fi D. I ГСх"з - О; '¿) F = LCXJ - UCX.-» - DCX3;

3) х* е х'0>, х'о1£ D; 4)BCi дгисщ матриц F сх,0>>- М-матриц1.

(kl

Тодх послгдовнгсть штервалш < х' 1 >t..0, отримапа но (I8M19), волод!в слхдуючим» властивостям»: 5) Xй 6 х,к: к = 0.1.Я.з. ...;6) х,°>гх'1,й...гх,,!,эх<к*"э... ;

7) Um X,V>== х".

к -»CD

Показано викорнетання цього методу для розв'язування -систем нелпшших ртнянь, отрнманих дискрегизацгею елглгичних кранових задач такого виду

Д и = Ks, t, иЗ. С s, О е il.

якщо ucs,o= г <s.tj для cs.o « <? о. Проведено поргвпяння результата обчиолонь методу <.(8)~( 19) г вгдповгдпо! модифгкацп штурвального методу Ньютона (У)-(9).

Розягл 4 прксвячений реализаци штервальних обчислень на IIEOM. Розроблено препроцесор, якнп дае змогу викорнетовугзати штервальш данг каргвш з шиими типами дзннх. Розшрено иабгр

1S

опер-'мик в1,цкош«Н1ы г добавлено в умовний оператор В1ДП0В1ДН 6.1ЛЫК- роегалулень. (.'тпорено бхблхотоку стандартних штервалыш оперший 1 лггериалшнч розшреиь елементарних математимнн Функцш.

В сформульован I 001 ювнх результат« роботи.

В до латках мютятьоя текст« програм оброблеш преироцесором, ; тякиж' документ», ягл (идтвердхукл'ь впроваджепня результата

ДИОерТ.?!Ц1.

0С1ЮВН1 РЕЗУЛЬТАТ» ДИСЕРТЛЦП

I.Для розв'язування систем нолишших р1внянь побудованш" хнтерваш-ний хторацтйний метод типу Рунге наведет алгоритм« йоге рхяних модифжандй, проапалхзовано умови гх використання.

К.Змпроионовано х досл1Джено 1нтервальний метод типу Рунге у фирмг Гяуса. Доведекх теореми про збгжнхеть х порядок зб1жност1 даного методу, а також теорема про максимальпу кхлькхсть кроки алгоритму запролонованого хнтервального методу для визначення наявноетг кореня в початковому 1нтервал1.

З.Побудоеана I дослхджена модяЦчкацхя хнтервального методу типу Рунге, яка не мхетить хнверехи ттервальних матриць.

4.11роаналхзовано стхйкють штервзлыюго методу типу Рунге при збуреннях оберноного оператора г при ргзному виборх початкових Яаних. .

П.Обговоренх обчислювальш аспекты заотосування штервальних

ш типу Рунге для зиаходжепня пехх дхиеннх коренхв систем н^лппйних ртипянь, а також особливоси розв'язування систем опетэльного виду. Проверено' порхвняння результапв обчислень запропоновнннми методами I втдп0в1дними модифшащями хнтервального методу Ньютона.

б.Запроиомовоно модифхкацио хнтервального методу типу Рунге, що враховуе структуру матрицх поххдних системи I показано хх використання для розв'язування систем нел1нхйних рхвнянь, отриманих дискретизацхею крайових задач елштичного ,типу.

7.Побудованш) - препроцесор для автоматизацхх реалхзаци

нтервальних обчисп^нь па и.ереоналышх ЕОМ a fiiKopucTitiiir.iM ииотим 'рограмуоопил iL'H'U - iv.ix/.i-,

Оспорит результати дис.'.-ртацп внкладош в работах: .Венгерськии U.C. Комплекс програм реалхоащг штервальних терац1И)г,1х процеотв па tC Е'>М. Втон. Львтв. ун-ту. Сер. шх. -¡ат. - 1989. - Dun. 31. - С. 75-81.

¡.Венгерськип U.C. Автоматизацгя реалхзаци хнтервалыых обчиолень ia переснальних компгаерах серп IBM. ГС Матерхали

11жреспубл1кансько1-науково-практично1 конф. творчох молод! 'А.ктуалып проблеми тформатнкн: математичне, программе i :нформацл1не аабезпечення". - Mïhc-ьк, 1992. - 0.229-230. З.Вепгероький П.С.,Кардаи А. I.,Сеньо П.С.Обчислювальпх аепокти .нтервального методу типу Рунге ^ Науково - техшчна конф. •Застооування обчнелювалыки технхки i математнчних методтв в layKOBiix 1 економ1чних дооладженнях". - Кшв, 1988. - С.'У-9. 1.Венгерський П.С.,Кардаш Л. I. .Сеньо П.С. Про застооування деяких :нтервальних хтерацтйних методхв до розв'язуваиня систем юлхшйних алгебрахчних рхвнянь Обчислшальна х прикладна ютематика. - Khib, 1990. - н '70. - С. 11-21.

з.Венгероький U.C.,' Карпов В.В., Сеньо U.C. 1'еалхзацхя :нтервальних обчислень за допомогою препроцесора па алгоритмхчнхи юв1 Паскаль для IBM PC.' JIbBiB. ун-т. - Лылв, 199;-'. - 29 о. -|еп. в УкрНДШП 13.01.92, м 24-Ук92.

).Венгерський П.С., Карпов В.В.,Сеньо U.C. Препроцесор [нтервальпого аналхоу для алгорнтм1чно1 моин Паскаль на IBM 'С. " Змииашп обчислення i перетворення програм. Збхрннк праць.-1овосиб1рськ, 1991. - С. 128-133.

'.Венгерськии U.C..Сеньо П.С. 1нтервалышй метод роэв'язуваиня !истем нел1н1иних рлжянь, який основании на граничных теоремах ipo середне.-' Льв1в. ун-т. - Льв1в,1990. - 23 с. - Дел. в 'крНД1НТ1 20.09.90, n 1612-УкОО.

З.Венгерський П.С..Сеньо П.С.Роэв'язування задач оптимального шравл!ння методами титервального анагазу ^ 6-та Всесоюзна конф.

но управлшию в мох. системах. - Льв1в,1988. - С. 29. О.Венгероький U.C., Сеньо Л.С. Про врахування boix тннхв похнбок при розв'язуваши систем нелнллних рхвнянь. Тез. доп.

ШК0ЛИ-01МП. "Сиотемологхя:мхждиоцмплхнарнх доолхдження i ироектування складних систем". - Львхв, 1988, - С. 27.

10.Сеньо U.C..Венгорський U.C. Аналоги хнтервалышх ггерацтйних метод1в, якт не мхотять ximepciri гитервальних матриць " Науково -тесачна конф: "Заотооування обчиолталыю! технтки х математичних методхв в наукових i економхчних дослхдженнях". -Ки1В,1991. - С. 169.

11. Сеньо П.С., Венгерськнй П.С. Заотооування деяких штервалышх хтерацхшшх методхв до розв'язування систем нел1и1иних р1внянь споцхалыюго виду.// Мхжнародна конф. по штервалышх i отохаотичних методах в науц1 i tôxhxui. Збхрник праць. - Мооква, 1992.-С. 144-146.

12.Сеньо Г1. С.,Венгерськнй П.С. 1нтервалышй хтерацхиннн метод розв'язування нелхшйних систем рхвнянь, який не мхотить iimepoin хнтервалышх мзтриць // Bich. Льв1В. ун-ту. Сер. мех.-мат. -1991. - Вип. 35. - С. 18-24.

13.Сеньо fl.C. .Венгероький Г1.С. Розв'язування систем нелпшших Р1виянь одним хтерацхйним штервальним методой Науково -техн1чна конф. "Заотооування обчнелювальнох техшкн х математичних методib в наукових i екопомшних дослхдженнях". -Севастополь, 1990. - С. 6-7.

14.Сеньо U.C.,Венгерськнй П.С.Прискорення зб1жностх штервального зтерацхйного методу типу Рунге. " Науково - технхчна конф. "Заотооування обчиолювальнот техшки i математичних методхв в наукових I економшинх дослхдженнях". - Ки1в,1989. - С.51-52.