автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Приложения метода ε-стабилизации в задачах слежения для неустойчивых механических систем в условиях неопределенности

□0306Э800

Ефремов Максим Сергеевич

ПРИЛОЖЕНИЯ МЕТОДА е-СТАБИЛИЗАЦИИ В ЗАДАЧАХ СЛЕЖЕНИЯ ДЛЯ НЕУСТОЙЧИВЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Специальность 05 13 01 - "системный анализ, управление и обработка информации"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ВОРОНЕЖ - 2007

003069800

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель — доктор физико-математических наук,

профессор СТРЫГИН Вадим Васильевич

Официальные оппоненты доктор технических наук,

профессор ЛОЗГАЧЕВ Геннадий Иванович

Ведущая организация — Самарский государственный университет, г Самар

Защита состоится 24 мая 2007 года в 1540 на заседании диссертационного совета Д 212 038 10 при Воронежском государственном университетепо адресу 394006, г Воронеж, Университетская площадь, 1, ВГУ, ауд 436

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Воронежского государственного университета

Автореферат разослан апреля 2007 г

Ученый секретарь у '

доктор физико-математических наук, профессор БЛАТОВ Игорь Анатольевич

диссертационного совета

МАРШАКОВ В К

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Благодаря таким качествами, как экономичность, простота реализации, эффективность, надежность, робастность по отношению к внешним возмущениям, релейные системы управления получили широкое применение во многих автоматизированных системах Особенно актуальны релейные регуляторы в настоящее время, когда к разрабатываемым автоматизированным системам предъявляются очень жесткие требования

С развитием теории разрывных систем управления широкое распространение получил метод скользящих режимов Однако при проектировании систем со скользящими режимами возникли проблемы связанные с временем запаздывания, которое присутствует в любой реальной системе, и которое в случае со скользящими режимами стало причиной возникновения негативных эффектов ("чаттеринг", потеря устойчивости) Для преодоления этих проблем были предложены алгоритмы компенсации запаздывания, основанные на предикторных методах, а также в значительно меньшей мере разработанные алгоритмы управления амплитудой колебаний

Новый подход к управлению амплитудой колебаний был предложен В В Стрыгиным, А Е Поляковым и Л М Фридманом Ими были разработаны алгоритмы е- и Ле- стабилизации для синтеза эффективного релейного управления для неустойчивых объектов с учетом ограниченного внешнего воздействия и неопределенного времени запаздывания Полученные результаты были применены для различных систем стабилизации механической системы, гироскопической системы, космического аппарата с упругими элементами Однако предложенные этой группой авторов алгоритмы не применялись для следящих систем При проектировании следящих систем возникают проблемы, которых нет в системах стабилизации, поэтому применению новых методов управления амплитудой колебаний к таким системам имеет важное значение

Цель работы Разработка алгоритмов синтеза релейного запаздыва-

ющего управления для нейтральных и неустойчивых механических следящих систем и систем программного управления, функционирующих в условиях неопределенности

Объекты и методы исследования В работе рассматривались неустойчивая механическая следящая система, неустойчивая механическая система программного управления, трехзвенный манипуляционный робот с тремя степенями свободы, космический аппарат с вязкоупругими динамическими элементами с нежесткой заделкой и диссипацией энергии Все рассмотренные системы полагались находящимися под действием неизвестных ограниченных внешних возмущений, в управлении учитывалось переменное время запаздывания В работе использовались теоремы о дифференциальных неравенствах, метод решения матричного уравнения Риккати, алгоритмы е- и Де-стабилизации, принцип наименьшего действия, метод Бубнова - Галеркина, явный метод Эйлера

Научная новизна. Впервые были рассмотрены приложения методов е- и Ле-стабилизации к задачам слежения для нейтральных и неустойчивых механических систем и систем программного управления

Практическая ценность. Полученные в данной работе новые алгоритмы могут быть использованы для синтеза следящего и программного управления для нейтральных и неустойчивых механических систем, находящихся под действием ограниченных внешних воздействий и (или) в условиях параметрической неопределенности

Научные положения, выносимые на защиту На защиту выносятся следующие положения

• Новые определения е- и /¡¡е-устойчивости следящих систем

• Новый алгоритм синтеза релейного запаздывающего управления для неустойчивой механической следящей системы, находящейся под действием неопределенностей

• Новый алгоритм программного управления для лагранжевой механической системы

• Новый алгоритм синтеза релейного следящего управления для трех-зенного манипуляционного робота с тремя степенями свободы с запаздыванием по времени с учетом внешних ограниченных воздействий и наличия вязкого трения в сочленениях звеньев

• Разработка двух новых алгоритмов слежения для модели космического аппарата с учетом диссипации энергии и нежесткости заделки упругих стержней

• Исследование вопросов е- и Де-устойчивости рассмотренных в данной работе систем

• Исследование вопросов робастности построенных следящих управлений по отношению к малым ограниченным внешним возмущениям, малому неопределенному ограниченному запаздыванию в управлении, а также к неточностям в параметрах модели

Личный вклад автора. В совместных работах научному руководителю принадлежит постановка задачи и направление, в котором нужно вести исследования Подробное проведение доказательств и рассуждений принадлежит диссертанту

Апробация работы. Результаты работы докладывались на

• IX всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006г

• семинаре акад Климова Д М и акад Журавлева В Ф , Институт проблем механики РАН, 16 мая 2005г,

• конференции молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, март 2005г,

• международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление", Самара, июнь 2004г, июнь 2005г,

• семинаре научно-образовательного центра "Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах", Воронеж, 2003г

• VII международной научно-технической конференции "Кибернетика и высокие технологии XXI века", Воронеж, 16-18 мая 2006г,

• международной школе-семинаре "Современные проблемы механики и прикладной математики", Воронеж, 24-28 мая 2004г,

Публикации По теме диссертации опубликовано 5 статей, из них три в журналах, рекомендованных ВАК для публикации результатов диссертационных работ

Объем и структура диссертационной работы. Диссертация состоит из введения и двух глав, изложенных на 103 страницах машинописного текста, включая 12 рисунков и список литературы из 71 наименования

Содержание работы

Во введении показано место работы в современных исследованиях по данной тематике Представлены цели работы, ее краткое описание, методы, применявшиеся при исследованиях, выделены новые результаты, их практическая значимость и область применения

Первая глава посвящена вопросу применения метода ^-стабилизации к построению релейного следящего управления для механических следящих систем

Рассматривается механическая следящая система

A(q)q + В(д, q)q = Q(q, q) + u(t - h(t)) + f(t, q), q € Rn, q{t) = 0(f), -h0<t< 0,

с эталонной траекторией q = q*(t), где A(q) и B[q,q) матрицы размерности n X n, для которых справедливо

Л+>Л->0, B(q, 0) = 0,

и £ Rn — вектор управления, вектор Q{q,q) содержит все обобщенные силы действующие на систему, кроме управляющих Предполагается справедливость оценок 0 < h(t) < hq и \\f{t,q{t))\\ < ко + ki >

0,к2 > О Управление выбирается из класса релейных законов управления вида

u(i - A(i)) = ^(sign [Si(i - A(i))], , sign [S*(f - h(t))]),

где S Rn-+ Rk, S= (Si, , Sk)T, F • R' ч R" - гладкие отображе-

Определение 1 Будем говорить, что имеет место локальное (нелокальное) слежение регулируемой величины за эталонной траекторией 9* (4) из некоторого класса допустимых траекторий С, если нулевое решение системы (1), записанной в координатах ошибки слежения, е-устойчиво (В.Е-устойчиво)

Исходная система линеаризуется в окрестности траектории д*, и к полученной линейной системе применяется известный метод факторизации

+ f(t,q) + A-\q)u(t-h(t)), где C_(t) = U2{t)U^(t), C+{t) = -P*{t) - U2{t)U{l[t), и S+ - мат-

рицы перехода к жорданову базису для матриц С_ и С+, соответственно Здесь матрицы ¡7г, 17г формируются как блоки матрицы ¡7 = ([/1[/2)г, в столбцах которой записаны собственные векторы матрицы

e(f) = — 9*(i) — ошибка слежения, д — остаточный член линеаризации и

Предполагается, что при всех t матрицы М(1) и невырождены,

спектр матрицы М({) состоит из простых вещественных собственных

ния

e(f) = C-(t)e(t) + s(t),

s(t) = C+(Mt) + - F*(t) - q*(t) + 5+

F* = F{q\ q*) = A-\q')(B{q% q*)q* - Q(q*, q*))

чисел Aj(i), г = 1, ,2n, по крайней мере п из которых отрицательны Показано, что в этом случаем можно составить U так, что матрица C-(t) будет иметь только отрицательные собственные значения \i(t), г = 1,. ,п Для положительных собственных значений предполагается справедливость оценки 0 < A(t) < Ао при всех t > О

Предполагается, что величины ||F*(i) + g*(i)|(, ||g||, ||/(i,?)|| достаточно малы (точные оценки даются в диссертационной работе) Пусть z(t) = S^fysit) Управление ищется в виде

(-Pi sign zx{t - h{t

u(t-h(t)) = -H(q\t))S+{t)

\—Pn sign zn(t - h{t))) где коэффициенты усиления p, находятся по формулам

Р3 - = Le2>

1Ф1

где L — некоторая положительная постоянная, точный вид которой приводится в диссертационной работе.

Теорема 1 Пусть задано е > 0 и пусть

А0 <

По

Тогда из

Vn(ex°h° — 1} < ^ £ - ЛоеАо„о > « =

будет вытекать ||g(i) — 5*(i)ll < £ для всех t > О

Далее в работе отмечаются некоторые недостатки предложенного алгоритма, связанные с необходимостью вычислять собственные векторы и матрицы, переходя к жорданову базису для переменных матриц В связи с чем предлагается модификация алгоритма, основанная выделении опорных точек на эталонной траектории Эталонная траектория полагается известной заранее и рассматривается задача программного управления Временной интервал управления разбивается на отрезки, центры

Рис 1 Манипуляционный робот

которых будут являться опорным временем, а значения эталонной траектории в этом момент - опорной точкой Исходная нелинейная система линеаризуется на каждом отрезке отдельно в окрестности опорной точки, и заменяется совокупностью систем дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами Для каждой из линейных систем отдельно строится релейное управление, находится оценка на время перехода от текущей опорной точки к следующей

В качестве приложения в конце главы рассмотрена задача слежения для трехзвенного манипуляционного робота с тремя степенями свободы (рис 1) Предполагается наличие вязкого трения в сочленениях звеньев, а также наличие ограниченного внешнего возмущения Для такой следящей системы предлагается алгоритм синтеза релейного запаздывающего управления Качество предложенного управления показывается с помощью численного моделирования процесса слежения

Во второй главе рассматривается модель космического аппарата (КА) с вязкоупругими стержнями (рис 2) с учетом нежесткости их заделки в центральном теле и наличия диссипации энергии Для такой системы ставится задача нелокального слежения по углу поворота центрального тела, т е задача выхода на эталонную траекторию и удержа-

ние системы вблизи нее Для решения этой задачи предлагается два новых алгоритма синтеза релейного следящего управления, с учетом времени запаздывания и неопределенных ограниченных внешних воздействий

Рис 2 Проекция КА на плоскость Ох0у0

Рассматриваются медленные движения вокруг продольной оси КА, представляющего собой центральное тело с двумя симметрично закрепленными вязкоупругими стержнями Заделка стержней в центральном теле полагается нежесткой При помощи принципа наименьшего действия находятся уравнения динамики КА I

Jj(t) + 2mJ(x + = u(t - h(t)) + /(f),

о

m(x + r)7(t) + m-J^Ll + EI-^1 + EIX-^±{x,t) = 0, и краевые условия

1/(0,0 = 0, E/0(O,t) = *a|^(O,t)

Здесь 7(f) — угол поворота центрального тела космического аппарата вокруг продольной осн, y(x,t) — отклонение стержня от недеформирован-

ного состояния, г — расстояние от оси Oz до точки крепления стержня, I — длина стержня, EI — изгибная жесткость стержня, ттг — погонная масса стержня, J — момент инерции КА, и — управляющий момент приложенный к основному телу, х — коэффициент диссипации, ко — коэффициент упругости заделки, /(f) — неизвестные ограниченные внешние возмущения, h(t) — время запаздывания

Далее отдельно рассматривается подсистема, соответствующая упругой части КА, и находятся собственные значения и собственные функции оператора

с краевыми условиями

Ф(0) = О, £7Ф"(0) = £0Ф'(0),

Ф"(/) = ф">{1) = 0 (2)

Показывается, что оператор L с краевыми условиями (2) является самосопряженным и положительно определенным

С помощью метода Бубнова-Галеркина находятся упрощенные уравнения динамики КА в виде к

h+2 = " + /°> i=i (3)

dt 7 + a, g, + Ъгдг + c,g, = 0, г — 1,2, ,k где /о теперь характеризует не только внешние возмущения, но и неточности модели связанные, с приближенным представлением y(x,t), i

d, — m J(x + г)Фг(х)с1х, аг = тщ, Ьг = \гЕ1хщ, о

I

Ci = ХЕ1щ, я1 = J Фг2(а:)dx

о

Заменой

к

i5 = j(7-7*) + 2Ed'«'>

i=i

система (3) расщепляется

P = u(t- h(t)) + /о,

(JА - 2ddT)q + JBq + JCq = -d{u{t - ft(i)) + /0) где q = (gb , д^)т, cit = (di, , dk)T,

A= diag{ab ,afc}, B= diag{&i, A}, C~ diag{cb ,ck},

Далее предлагается двухтактный алгоритм нелокального слежения На первом этапе система осуществляет выход на эталонную траекторию при помощи стандартного алгоритма "разгон-торможение" Рассматривается фазовая плоскость (/3, f), на которой выделяются две области

G+ =

v2 + 2р/3 > 0, v> О, v2 - 2р/3 < О, /? > О,

G~ =

v2 + 2pj3 < 0, /3 < О, v2 — 2р/3 > О, I/ < О,

р > 0 — параметр управления Показывается, что притягивающее управление определяется принадлежностью начальной точки одной из областей и имеет вид для (/?о, ^о) £

Р, 0 <4 <Т!{Ро,ио), и=< -р, 7} <4 <Т2(Ро,щ), О, t>T2{fo,vQ),

где

НОЗэ.мо) =

г2озь,ц>) =

М> + + 2рД))/2 Р

г/0 + 2y/(vg + 2рД>)/2

Для случая (/30, г^о) £ С- картина аналогичная

После выхода системы на эталонную траекторию удержание на ней производится с помощью модифицированного алгоритма е-стабилизации И удерживающее управление имеет вид

u{t - h(t)) = -рsign [с/3(i - ft(i)) + v{t - h(i))],

где

1 , 6

О < с < — In-, ho 5

p=-ce

Теорема 2 Пусть начальные условия таковы, что

Щ < е/4, \ф0 + < ¿o = се(6 - 5ech°)/(4ech°),

а внешнее возмущение fo(t) и ускорение эталонной траектории j*(t) удовлетворяют оценке ||/о(*) + ^7*(*)Н < с2е/4 Тогда справедлива оценка |/3(í)| < £ для всех t > to

Следствие 1 Если выполнены условия теоремы 2, то |¡7(í) — 7* Wll < e/J для всех t > То, где То > ¿o — некоторый момент времени

Далее в работе отмечаются некоторые недостатки предоженного алгоритма, и приводится еще один подход к синтезу релейного следящего управления, основанный на алгоритме /fc-стабилизации Согласно этому алгоритму коэффициент усиления обратной связи перед релейным элементом изменяется адаптивно, в зависимости от амплитуды колебаний решения Управление имеет вид (4), где коэффициент усиления р находится по формуле

N

р = ро(1 + 2 3"-^„(|c/3(í - h(t)) + v{t - h{t))\))

n=l

Здесь Hn{g) - функция Хевисайда,

Г 1, если g > vn, Нп(д) = < п

0, если g < ип,

параметры с, 7,ро находятся по формулам

, 15 есЛ° 0 15 2

0 < cho < ln —, 1Q_QeCho <7<3, Р = тсе7

Последовательность чисел v\ < < < fjv+ь определяющих окрестности изменения коэффициента усиления, находится по формуле ип = Зп-17£о, где ео = Зсе/4, До = (с + 1)R, а N — целое число, удовлетворяющее неравенству log3(R0/eo) < N < log3(Ro/eo) + 1 Формулируется и доказывается

Теорема 3 Для любых начальных условий \f3o\ < R и \vq\ < R и любого ограниченного возмущения fo(t) и любой эталонной траектории 7*(t) таких, что ||/o(i) + Jj*(t)\\ < v\c/2, управление u(t — h(t)) вида (4) с адаптивно изменяющимся коэффициентом р будет гарантировать существование момента времени Тс > to, начиная с которого будут выполнены неравенства |/3(i)| < е, < е

В последнем параграфе главы качество полученного управления проверяется на численном примере При моделировании учитывалось четыре тона колебаний

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

1 Ефремов М С Новый алгоритм слежения для некоторых механических систем / М С Ефремов, А Е Поляков, В В Стрыгин // ПММ -2005 -Т 69 -Вып 1 -С 30-41

2 Ефремов М С Алгоритм активной стабилизации космического аппарата с вязкоупругими элементами в условиях неопределенности / М С Ефремов, А Е Поляков, В В Стрыгин // ПММ -2006 -Т 70 -Вып 5 -С 801-812

3 Стрыгин В В Стабилизация, управление движением и хаотические аттракторы механических систем с запаздывающим релейным управлением / В В Стрыгин, А Е Поляков, М С Ефремов // Материалы семинаров научно-образовательного центра волновые процессы в неоднородных и нелинейных средах —Воронеж, 2003 —С 397-405

4 Об одном алгоритме стабилизации космического аппарата с вязко-упругими элементами в условиях неопределенности / Стрыгин В В [и др ] // Вестник ВГУ, серия "Системный анализ и информационные технологии" -№1,-2006,-с 121-129

5 Стрыгин В В Управление механической системой при учете динамики привода / В В Стрыгин, М С Ефремов // Нелинейное моде-

лирование и управление тез докл международ семинара—Самара, 2004-С 58-59

6 Стабилизация углового положения космического аппарата с упругими динамическими элементами посредством релейной обратной связи с неопределенным запаздыванием / В В Стрыгин [и др ] // Нелинейное моделирование и управление тез докл международ семинара —Самара, 2005 —С 39-40

Подписано в печать 17 04 2007 Формат 60x84/16 Уел печл 1,0 Тираж 100 Заказ 229 Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета 394006, г Воронеж, Университетская площадь, 1, ком 43, тел 208-853 Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ

Введение

I. Релейные локальные алгоритмы слежения для неустойчивых лагранжевых систем в условиях неопределенности

§1. Постановка задачи.

1.1 Уравнения Лагранжа второго рода движения голономных механических систем.

1.2 Понятия е и ife-устойчивости

1.3 Об ^-устойчивости следящих систем.

1.4 Основные обозначения

§2. Релейный алгоритм слежения, основанный на факторизации линеаризованной системы уравнений Лагранжа.

2.1 Линеаризация уравнений движения.

2.2 Факторизация системы.

2.3 Теорема о слежении.

2.4 Алгоритм синтеза управления.

§3. Релейный алгоритм программного управления, реализующий движение механической системы по опорным точкам

3.1 Постановка задачи.

3.2 Линеаризация уравнений движения.

3.3 Вспомогательные утверждения.

3.4 Основная теорема.

3.5 Алгоритм синтеза управления.

§4. Численный пример. Моделирование управляемого движения манипуляционного робота.

4.1 Математическая модель манипуляционного робота

4.2 Результаты численного моделирования.

И. Слежение в условиях неопределенности для космического аппарата с вязкоупругими элементами

§1. Вывод уравнений движения.

1.1 Математическая модель.

1.2 Вычисление энергии системы.

1.3 Нахождение уравнений движения системы с использованием принципа наименьшего действия.

§2. Переход к приближенным уравнениям.

2.1 Нахождение собственных функций и собственных значений .6G

2.2 Самосопряженность и положительная определенность оператора L.

2.3 Применение метода Бубнова-Галеркина для упрощения системы.

§3. Синтез управления для следящей системы.

3.1 Постановка нелокальной задачи слежения.

3.2 Первый релейный алгоритм нелокального слежения

3.3 Второй алгоритм синтеза запаздывающего управления для следящей системы.

§4. Численное моделирование.

На протяжение почти всего прошлого века и до настоящего времени активно развивались различного рода автоматизированные системы. Развитие этих систем послужило толчком к широким исследования в области теории автоматического регулирования. Результатом этих исследований стало большое число различных методов и подходов к проектированию систем автоматического регулирования. Среди таких систем принято выделять системы стабилизации, следящие системы и системы программного управления. Во всех системах автоматического регулирования целью является поддержание равенства регулируемой величины (например, температуры, скорости вращения, угла поворота и др.) некоторой эталонному значению. Различие состоит в том, что в системах стабилизации эталонное значение постоянно, в следящих системах оно является неизвестной заранее функцией времени, а в системах программного управления эталонное значение - функция времени, но известная заранее на всем временном интервале управления.

Среди всех регуляторов, которые были разработаны теорией автоматического управления, особое место занимают релейные регуляторы. Благодаря такими качествами, как экономичность, простота реализации, эффективность, надежность, робастность по отношению к внешним возмущениям, релейные системы управления получили широкое применение во многих автоматизированных системах. Особенно актуальны релейные регуляторы в настоящее время, когда к разрабатываемым автоматизированным системам предъявляются очень жесткие требования. Они должны эффективно и надежно функционировать под действием неизвестных внешних возмущений, в условиях параметрической неопределенности и при этом быть недорогими. Выполнение обеих этих условий (эффективности и экономичности) способны обеспечить релейные системы управления.

Релейные системы управления, первые публикации по которым появились в литературе еще в тридцатые годы прошлого века [33], получили дальнейшее развитие в работе Я.З. Цыпкина [52]. С появлением теории разрывных систем управления [51], а так же таких ее разделов как теория систем с переменной структурой С.В. Емельянова [13, 14] и теория скользящих реэ/симов В.И. Уткина [48, 49, 71], исследование релейных систем управления вышло на новый уровень.

Метод скользящих режимов стал мощным инструментов для проектирования релейных систем управления, который доказал свою эффективность при построении управления для сложных, существенно нелинейных, систем, функционирующих в условия параметрической неопределенности и внешних возмущений. За сравнительно короткий промежуток времени системы со скользящими режимами нашли свое применение в самых отраслях промышленности, что нашло отражение в появлении большого числа публикация по данной тематике [13, 48, 49, 59, 71]. Однако, при проектировании систем со скользящими режимами, возникли определенные проблемы. Дело в том, что практически в любой системе управления присутствует запаздывание по времени, природа которого может заключаться в различного рода неидеалыюстях системы. Чаще всего запаздывание возникает в измерительных и исполнительных приборах. При наличии в системе внешних возмущений запаздывание приводит к невозможности возникновения движения в скользящем режиме, появления, так называемого, "чаттеринга"и к последующей потери устойчивости при росте величины запаздывания.

Для преодоления этих проблем были предложены алгоритмы компенсации запаздывания, основанные на предикторных методах [61, 65, 68, 69], а также в значительно меньшей мере разработанные алгоритмы управления амплитудой колебаний [50, 58, 70].

Новый подход к управлению амплитудой колебаний был предложен В.В. Стрыгиным, А.Е. Поляковым и JI.M. Фридманом в работах [44], [60, 62]. В работе [60] был рассмотрен релейный алгоритм синтеза запаздывающего управления для локальной стабилизации амплитуды колебаний (алгоритм е—стабилизации), который получил свое развитие в релейном алгоритме почти полу глобальной [66] стабилизации в работе [62] (алгоритм нелокальной стабилизации, алгоритм ife-стабилизации). Эти методы позволяют строить релейное управление для неустойчивых систем стабилизации с учетом переменного ограниченного запаздывания по времени и неопределенных ограниченных внешних возмущений [17, 63, 61].

Алгоритмы, которые применялись для систем стабилизации, во многих случаях применимы и для следящих систем [10, 34]. Так для построения следящего управления с успехом использовался метод скользящих режимов [59, 71]. Однако при проектировании следящих систем особое внимание должно уделяться подавлению возмущений. Поскольку, как было сказано выше, время запаздывания всегда присутствует в реальных системах, то при построении следящего управления необходимо оба этих фактора учитывать. В таком случае классический метод скользящих режимов становится неприменим, и необходимо разрабатывать новые алгоритмы. Так в работе [16] алгоритм ^-стабилизации был использован для синтеза следящего управления в механической системе с постоянным временем запаздывания при условии отсутствия внешних возмущений.

В качестве примера реальных следящих систем можно привести мани-пуляционные роботы. Существует большое количество публикаций в литературе посвященных исследованию манипуляционных роботов. Здесь особо можно выделить работы Е.С. Пятницкого [12, 38] и разработанный им метод декомпозиции для синтеза иерархической системы управления [36, 36], который затем был применен для управления различными механическими системами, в том числе и манипуляционными роботами [12, 30, 31]. Кроме того, особое внимание заслуживают публикации Ф.Л. Черноусько [53]-[56].

Зачастую при рассмотрении механических систем необходимо учитывать упругие свойства их элементов. Подобная ситуация, например, возникает при рассмотрении космического аппарата с упругими элементами [5, 11]. Здесь особое внимание должно быть уделено работам Е.П. Ку-бышкина [18, 19], A.M. Формальского [25, 26] и Е.И. Сомова [40]. Кроме того, для космического аппарата с упругими динамическими элементами были разработаны алгоритмы нелокальной стабилизации. Так в работе [35] была рассмотрена модель космического аппарата с упругими стержнями при условии идеальности заделки стержней в центральном теле и отсутствия диссипации в них. Для такой системы был предложен релейный алгоритм нелокальной стабилизации углового положения космического аппарата. В работах [17], [43] была рассмотрена модель космического аппарата с диссипацией в стержнях, для которой были предложены два новых алгоритма стабилизации углового положения.

Настоящая диссертация посвящена приложениям методов е- и Дестабилизации , разработанных Стрыгиным В.В., Поляковым А.Е, Фридманом JI.M. [60, 62], к задачам слежения с неопределенными возмущениями. Результаты, полученные этой группой авторов, в данной работе обобщаются на случай механической следящей системы, механической системы программного управления, трехзвенного манипуляционного робота с тремя степенями свободы и космического аппарата с вязкоупру-гими динамическими элементами.

Цель данной работы. Разработка алгоритмов синтеза релейного запаздывающего управления для нейтральных и неустойчивых механических следящих систем и систем программного управления, функционирующих в условиях неопределенности.

Структура работы. Работа состоит из двух глав.

Первая глава посвящена проблеме синтеза релейного запаздывающего управления для механических следящих систем в условиях неопределенности. Первые три параграфа данной главы — теоретические, в последнем рассматривается модель трехзвенного манипулятора и приводятся результаты численного моделирования.

В параграфе 1 рассматривается голономная неустойчивая механическая система, движение которой описывается уравнениями Лагранжа второго рода. Приводятся понятия е- и ife-устойчивости [35]. Вводятся определения е- и Re - устойчивости следящих систем. В конце параграфа даются основные обозначения, использованные в данной работе.

Параграф 2 посвящен исследованию е-устойчивости неустойчивой механической следящей системы, функционирующей в условиях неопределенности. Исходная система уравнений Лагранжа второго рода линеаризуется в окрестности эталонной траектории. Линеаризованная система затем факторизуется с выделением устойчивой и неустойчивой (управляемой) подсистем. Далее находятся условия ^-устойчивости следящей системы и формулируется основной результат параграфа в виде теоремы.

Выделяется множество допустимых эталонных траекторий. В заключение приводится алгоритм синтеза релейного запаздывающего управления.

В параграфе 3 обсуждаются некоторые недостатки алгоритма, полученного в параграфе 2, и делаются предположения, при которых эти недостатки могут быть устранены. Предполагается, что эталонная траектория известна заранее на всем отрезке управления, т.е. имеет место не задача слежения, а задача программного управления. На эталонной траектории выделяются опорные точки, вблизи которых должна пройти траектория движения механической системы. Затем исходная система уравнений Лагранжа второго рода аппроксимируется совокупностью линейных систем, полученных путем линеаризации исходной системы в окрестности каждой из опорных точек. Рассматриваются вспомогательные задачи стабилизации для простейших систем, дается оценка максимального времени перехода из малой окрестности текущей опорной точки в малую окрестность следующей опорной точки. Далее формулируется основная теорема и приводятся условия ^-устойчивости системы программного управления. Выделяется множество допустимых программных движений. В заключение приводится алгоритм синтеза релейного управления.

Четвертый параграф - практический и посвящен приложению теории, предложенной в предыдущих трех параграфах. Рассматривается модель трехзвенного манипулятора с тремя степенями свободы. Предполагается, что все звенья совершают поступательные движения, в сочленениях присутствует вязкое трение, и, кроме того, на систему действуют неизвестные ограниченные внешние возмущения. Для подобной механической системы рассматривается задача слежения и приводится алгоритм синтеза релейного запаздывающего управления. Качество приведенного управления демонстируется на численном примере.

Вторая глава посвящена вопросу синтеза релейного следящего управления с запаздыванием для космического аппарата с вязкоупругими динамическими элементами.

В параграфе 1 вводится в рассмотрение модель космического аппарата с вязкоупругими элементами, приводятся основные предположения относительно этой модели, проводится ее краткое сравнение с подобными моделями, рассмотренными ранее в литературе. Подробно описывается процесс вывода уравнений динамики космического аппарата при помощи принципа наименьшего действия.

Во втором параграфе полученные уравнения динамики космического аппарата упрощаются при помощи метода Бубнова - Галеркина. Отдельно рассматривается подсистема, описывающая колебания упругой части системы. Для такой системы вычисляются собственные значения и собственные функции. Производится сравнительный анализ случая упругой заделки динамических элементов со случаем идеально жесткой заделки. Показывается самосопряженность и положительная определенность оператора системы. Исходная система заменяется упрощенной с учетом к первых тонов колебаний упругих стержней.

В параграфе 3 ставится нелокальная задача слежения по углу поворота космического аппарата. Приводится два алгоритма синтеза управления для следящей системы. Первый алгоритм — комбинированный и представляет собой сочетание классического алгоритма "разгон - тормо-жение"с модифицированным алгоритмом е-стабилизации. Второй алгоритм — это модификация алгортма ^-стабилизации для случая задачи слежения. Выделяется класс допустимых эталонных траекторий. Основные результаты формулируются в виде двух теорем.

В четвертом параграфе качество предложенного управления проверяется на численном примере.

Основные результаты.

• Введены новые определения е- и ite-устойчивости следящих систем.

• Предложен новый алгоритм синтеза релейного запаздывающего управления для неустойчивой механической следящей системы, находящейся под действием неопределенностей и выделен класс допустимых эталонных траекторий.

• Разработан новый алгоритм программного управления для лагран-жевой механической системы и выделен класс допустимых программных движений.

• Для модели трехзенного манипуляционного робота с тремя степенями свободы разработан новый алгоритм синтеза релейного следящего управления с запаздыванием по времени с учетом внешних ограниченных воздействий и наличия вязкого трения в сочленениях звеньев.

• Рассмотрена модель космического аппарата, учитывающая нежесткость заделки упругих стержней в центральном теле, а также диссипацию энергии в стержнях. Для такой механической системы предложены два новых алгоритма синтеза релейного запаздывающего управления для отслеживания эталонной траектории.

• Исследованы вопросы е- и ^-устойчивости рассмотренных в данной работе систем.

• Исследованы вопросы робастности построенных следящих управлений по отношению к малым ограниченным внешним возмущениям, малому неопределенному ограниченному запаздыванию в управлении, а также к неточностям в параметрах модели.

• С целью оценки качества предложенных управлений произведено численное моделирование управляемых движений моделей трехзвеи-ного манипулятора и космического аппарата в соответствии с заданными эталонными траекториями.

Практическое значение работы. Полученные в данной работе новые алгоритмы могут быть использованы для синтеза следящего и программного управления для нейтральных и неустойчивых механических систем, находящихся под действием ограниченных внешних воздействий и (или) в условиях параметрической неопределенности.

Методы исследования. При доказательстве утверждений в работе были использованы теоремы о дифференциальных неравенствах [23]. При факторизации линеаризованной механической системы был использован метод решения матричного уравнения Риккати, предложенный в [21]. В качестве основы для построения следящего управления, были использованы алгоритмы е- и ite-стабилизации [60], [62]. Для вывода уравнений движения трехзвенного манипулятора был использован метод, предложенный в работе [32]. При выводе уравнений динамики космического аппарата использован принцип наименьшего действия [1]. Для упрощения системы интегро - дифференциальных уравнений динамики космического аппарата был использован метод Бубнова - Галеркина. При численной моделировании управляемого движения систем с разрывной правой частью и запаздыванием в управлении был использован явный метод Эйлера [3]. Расчеты проводились в пакете символьных вычислений Maple 8. Демонстрационные примеры разработаны в среде Microsoft Visual С-Н- с использованием графической библиотеки OpenGL.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на

• IX всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород, 22-28 августа 2006г.

• семинаре акад. Климова Д.М. и акад. Журавлева В.Ф., Институт проблем механики РАН, 16 мая 2005г.;

• конференции молодых ученых "Навигация и управление движением", Санкт-Петербург, март 2005г.;

• международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление", Самара, июнь 2004г., июнь 2005г.;

• семинаре научно-образовательного центра "Волновые процессы в нелинейных и неоднородных средах", Воронеж, 2003г. [42]

• VII международной научно-технической конференции "Кибернетика и высокие технологии XXI века", Воронеж, 16-18 мая 2006г.;

Сделан ряд публикаций в журналах, рекомендованных ВАК

• Прикладная математика и механика, т.69, вып.1, 2005 [16];

• Прикладная математика и механика, т.70, вып.5, 2006 [17];

• Вестник ВГУ, серия "Системный анализ и информационные технологии", №1, 2006г. [43].

В заключение выражаю глубокую признательность своему научному руководителю профессору Стрыгину Вадиму Васильевичу за ценные замечания и поддержку.

Релейные локальные алгоритмы слежения для неустойчивых лагранжевых систем в условиях неопределенности

§1. Постановка задачи

1. Айзерман М.А. Классическая мехаиика / М.А. Айзерман. — М.: Наука, 1980. - 368с.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами / Ю.Н. Андреев. М. : Наука, 1976. - 424 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы, 4-е изд. // Н.С. Бахвалов. — БИ-НОМ.ЛЗ, 2006. 636 с.

4. Безнос А.В. Управление при помощи маховика маятником с неподвижной точкой подвеса / А.В. Безнос, А.А. Гришин, А.В. Ленский // Известия РАН: ТиСУ. 2004. - М. - С.27-38.

5. Гантмахер Ф.Р. Лекции по аналитической механике / Ф.Р. Гантмахер.-М.: Физматгиз, 1966.—300с.

6. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц / Ф.Р. Гантмахер. — М.: Наука, 1966. 576с.

7. Глумов В.М. К вопросу о технической управляемости и декомпозиции лагранжевых систем с ограниченными управлениями / В.М. Глумов, С.Д. Земляков, В.Ю. Рутковский и др. // Автоматика и телемеханика. 2002. - №10. - С.13-33.

8. Горитов А.Н. Оптимальность в задачах проектирования и управления роботами / А.Н. Горитов, A.M. Кориков // Автоматика и телемеханика. 2001. - №7. - С.82-90.

9. Гуляев С.В. О быстродействии следящих систем максимальной степени устойчивости / С.В. Гуляев, A.M. Шубладзе // Автоматика и телемеханика. — 1999. — №5. — С.45-60.

10. Дегтярев Г.Л. Синтез локально-оптимальных алгоритмов управления летательными аппаратами / Г.Л. Дегтярев, И.С. Ризаев. — М. Машиностроение, 1991. — 304с.

11. Дунская Н.В. Стабилизация управляемых механических и электромеханических систем / Н.В. Дунская, Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1988. — №12. — С.40-51.

12. Емельянов С.В. Теория систем управления с переменной структурой / С.В. Емельянов. М. : Наука, 1967. - 336с.

13. Емельянов С.В. Бинарные системы управления с переменной структурой / С.В. Емельянов. — М. : Наука, 1984. — 313с.

14. Емельянов С.В. Новые типы обратной связи. Управление при неопределенности / С.В. Емельянов, С.К. Коровин. — М. : Наука; Физматлит, 1997. — 352с.

15. Ефремов М.С. Новый алгоритм слежения для некоторых механических систем / М.С. Ефремов, А.Е. Поляков, В.В. Стрыгин // Прикладная математика и механика. — 2005. — Т.69. — Вып.1. — С.30-41.

16. Ефремов М.С. Алгоритм активной стабилизации космического аппарата с вязкоупругими элементами в условиях неопределенности / М.С. Ефремов, А.Е. Поляков, В.В. Стрыгин // Прикладная математика и механика. 2006. - Т.70. - Вып.5. - С.801-812.

17. Злочевский С.И. О влиянии колебаний упругих элементов с распределенными массами на ориентацию спутника / С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин // Косм, исследования. — 1987. — Т.25. — №4. — С.537-544.

18. Злочевский С.И. О стабилизации спутника с гибкими стержнями / С.И. Злочевский, Е.П. Кубышкин // Косм, исследования. — 1991. — Т.29. №6. - С.828-839.

19. Зотов Ю.К. Управляемость и стабилизация программных движений транспортного робота / Ю.К. Зотов // Прикладная математика и механика. 2000. - Т.64, Вып.б. - С.909-928.

20. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений / Х.Д. Ик-рамов. М.: Наука, 1984. — 190с.

21. Кантарелли Дж. Устойчивость положения равновесия склерономных механических систем / Дж. Кантарелли // Прикладная математика и механика. 2002. - Т.66, Вып.б. - С.988-1001.

22. Коддингтон Э.А. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений / Э.А. Коддингтон, Н. Левинсон. — М.: Изд. иностранной литературы, 1958. — 475с.

23. Крутова Н.Н. Исследование процесса стабилизации многомерной динамической системы с релейным управлением / Н.Н. Крутова // Автоматика и телемеханика. — 1999. — №4. — С.27-43.

24. Лавровский Э.К. О стабилизации углового положения упругого стержня / Э.К. Лавровский, А. М. Формальский // Изв. АН СССР: Техн. кибернетика. 1989. - №6. - С.115-123.

25. Лавровский Э.К. Управление упругим звеном манипулятора при помощи обратной связи по положению и скорости груза / Э.К. Лавровский, А. М. Формальский // Прикладная математика и механика.- 1993. Т.57. - Вып.6. - С.51-60.

26. Ландау Л.Д. Теоретическая физика, т.7 / Л.Д. Ландау, Е.М. Лиф-шиц. М.: Наука, 1987. - 248с.

27. Лойцянский Л.Г. Курс теоретической механики. Т.2. / Л.Г. Лойцянский, А.И. Лурье. М.: Наука, 1983. - 640с.

28. Манита Л.А. Оптимальные режимы с учащающимися переключениями в задачах управления манипуляторами / Л.А. Манита // Прикладная математика и механика. — 2000. — Т.64, Вып.1. — С.19-28.

29. Матюхин В.И. Устойчивость движений манипуляционных роботов в режиме декомпозиции / В.И. Матюхин // Автоматика и телемеханика. 1989. - №3. - С.33-44.

30. Матюхин В.И. Управление движением манипуляционных роботов на принципе декомпозиции при учете динамики приводов / В.И. Матюхин, Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1989. — №9.- С.67-81.

31. Медведев B.C. Системы управления манипуляционных роботов /B.C. Медведев, А.Г. Лесков, А.С. Ющенко. М.: Наука, 1978. — 416 с.

32. Никольский Г.Д. К вопросу об автоматической устойчивости корабля на заданном курсе / Г.Д. Никольский // Труды центральной лаборатории проводной связи. — 1934. — № 1. — С. 34-75.

33. Перов В.П. Статистический синтез монотактных дискретных следящих систем / В.П. Перов, И.В. Щербакова // Автоматика и телемеханика. 1999. - №1. - С.77-89.

34. Поляков А.Е. Управления нейтральными и неустойчивыми объектами при помощи релейной обратной связи с запаздыванием : дис. канд. физ.-мат. наук : 05.13.01: защищена 15.12.2005 : утв. 12.03.2007 / А.Е. Поляков. Воронеж, 2005. - 127с.

35. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. I / Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1989.- М. С.87-99.

36. Пятницкий Е.С. Синтез иерархических систем управления механическими и электромеханическими объектами на принципе декомпозиции. II / Е.С. Пятницкий // Автоматика и телемеханика. — 1989.- №2. С.57-71.

37. Пятницкий Е.С. Управление механическими системами в условиях неопределенности при отсутствии количественной информации о текущем состоянии / Автоматика и телемеханика. — 1999. — №5. —C.164-169.

38. Соколов В.Ф. Асимптотическое робастное качество дискретной системы слежения / В.Ф. Соколов // Автоматика и телемеханика. — 1999. — №1. — С.101-112.

39. Сомов Е.И. Робастная стабилизация упругих космических аппаратов при неполном дискретном измерении и запаздывании в управлении / Е.И. Сомов // Изв. РАН: ТиСУ. 2001. - №2. - С.124-143.

40. Стрыгин В.В. Управление механической системой при учете динамики привода / В.В. Стрыгин, М.С. Ефремов // Нелинейное моделирование и управление : тез. докл. международ, семинара. — Самара, 2004. С. 58-59.

41. Стрыгин В.В. Локальная стабилизация релейных систем с запаздыванием / В.В. Стрыгин, Л.М. Фридман, А.Е. Поляков // Докл. РАН. 2001. - Т.379. - №5. - С.603-605.

42. Стрыгин В.В. "Управление составом топливной смеси в камере сгорания двигателя автомобиля / В.В. Стрыгин, А.Е. Поляков, М.В. Крячков // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. — 2005. №1 - С. 214-220.

43. Тимошенко С.П. Колебания в инженерном деле / Тимошенко С.П. Наука, 1967. - 444с.

44. Уткин В.И. Скользящие режимы и их применение в системах с неременной структурой / В.И. Уткин. — М.: Наука, 1974. — 272с.

45. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимизации и управления / В.И. Уткин. М.: Наука, 1981. - 368с.

46. Фридман JI.M. Установившиеся режимы в автономных уравнениях с разрывом и запаздыванием / JI.M. Фридман, Э.М. Фридман, Е.И. Шустин // Диф. уравнения. 1993. - Т. 29, М. - С. 1340-1346.

47. Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. — М.: Наука, 1985. 225с.

48. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического управления / Я. 3. Цыпкин. — М.: Гостехиздат, 1955. — 560с.

49. Черноусько Ф.Л. Манипуляционные роботы. Динамика, управление, оптимизация / Ф.Л. Черноусько, Н.Н. Болотник, В.Г. Градецкий. — М.:Наука, 1989. 363с.

50. Черноусько Ф.Л. Управление системой с одной степенью свободы при сложных ограничениях / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. — 1999. — Т.63, Вып.б. — С.707-724.

51. Черноусько Ф.Л. Волнообразные движения многозвенника по горизонтальной плоскости / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. 2000. - Т.64, Вып.4. - С.518-531.

52. Черноусько Ф.Л. Управляемые движения двузвенника по горизонтальной плоскости / Ф.Л. Черноусько // Прикладная математика и механика. 2001. - Т.65, Вып.4. - С.578-591.

53. Шатина А.В. Быстрая и медленная диссипативная эволюция в механических системах содержащих вязкоупругие элементы / А.В. Шатина // Изв. РАН: МТТ. 2004. - №2. - С.14-23.

54. Akian М. Control of delay systems with relay/ M. Akian, P-A. Bliman, M. Sorine // IMA Journal Mathematical Control and Information. — 2002. V. 19, №1. - P.133-155.

55. Vibration damping in elastic robotic structure via sliding modes / G. Bartolini et all. // International Journal of Robotic Systems. — 1997. — V.14. P.675-696.

56. Fridman L. Stabilization of oscillations amplitudes via relay delay control / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov // International Journal of Control. 2003. - V.76, №8. - P.770-780.

57. Fridman L. Robust eigenvalue assignment for uncertain delay control systems / L. Fridman, P. Acosta, A. Polyakov // Proceedings of 3rd IFAC Workshop on Time Delay Systems. — Santa Fe, New Mexico, 2001. P.239-244.

58. Fridman L. Nonlocal stabilization via delayed relay control rejecting uncertainty in time delay / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov // International Journal of Robust Nonlinear Control. — 2004. — V.14, M. P.15-37.

59. Fridman L. Semiglobal stabilization of linear uncertain system via delayed relay control / L. Fridman, V. Strygin, A. Polyakov // Variable Structure Systems: From Principles to Implementation (Eds. A. Sabanovic et al.). 2004. - P.377-400.

60. Fridman L. Steady modes in an autonomous system with break and delay / L. Fridman, E. Fridman, E. Shustin // Different. Equations. — 1993. V.29. - M. - P.1161-1166.

61. Furutani E. Robust stability of state-predictive and Smith control systems for plants with a pure delay / E. Furutani, M. Araki // International Journal of Robust and Nonlinear Control. — 1998. — V.8. P. 909-919.

62. Isidori A. Nonlinear control systems / A. Isidori. — France : Springer Verlag, 1995. 549p.

63. Li X. Sliding mode control of systems with delayed states and controls / X. Li, S. Yurkovitch // Variable Structure Systems, Sliding Mode and Nonlinear Control(Editors K.D. Young, U. Ozguner.). — Berlin : Springer Verlag. 1999. - P.93-108.

64. Palmor Z. Stability properties of Smith dead time compensator controller / Z. Palmor // International Journal of Control. — 1980. — V.32. — P.937-949.

65. Smith O. J.M. Closer control of loops with dead time / O.J.M. Smith // Chemical Engineering Progress. 1959. - V.53. - P.217-219.

66. Shustin E. Oscillations in a second order discontinuous systems with delay / E. Shustin, E. Fridman, L. Fridman // Discrete and continuous dynamical systems. 2003. - V.9, №3. - P. 339-357.

67. Utkin V. Sliding modes in electromechanical systems / V. Utkin, J. Guldner, J. Shi. London: Taylor&Francis, 1999. - 344p.