автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Приближенные методы моделирования и оптимизации управления на основе среднеквадратических аппроксимаций

На правах рукописи

Блинов Александр Олегович

ПРИБЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ УПРАВЛЕНИЯ НА ОСНОВЕ СРЕДНЕКВАДРАТИЧЕСКИХ АППРОКСИМАЦИЙ

05.13.18 — математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Улан-Удэ - 2011

- 3 НОЯ 2011

4858330

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук Институте программных систем им. А.К. Айламазяна РАН

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Данеев Алексей Васильевич;

кандидат физико-математических наук,

доцент

Скитневский Дмитрий Матвеевич

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Иркутский государственный университет»

Защита состоится «25» ноября 2011 г. в 14.00 час. на заседании объединенного диссертационного совета ДМ 212.022.10 при Бурятском государственном университете по адресу: 670000, Республика Бурятия, г. Улан-Удэ, ул. Смолина, д. 24 «а».

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Бурятский государственный университет». Автореферат разослан «24» октября 2011 г.

Ученый секретарь объединенного диссертационного совета М 212.022.10

доктор технических наук, профессор Гурман Владимир Иосифович

Научный консультант:

кандидат физико-математических наук,

доцент

Расина Ирина Викторовна

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

к ф.-м. н.

Т. Г. Дармаев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Построение моделей динамических систем и решение задач улучшения и оптимизации управления с их использованием является одним из основных направлений в современной математике с приложениями в различных областях (в том числе робототехника, квантовые вычисления, исследование динамики летательных аппаратов, социо-эколого-экономическое моделирование регионов и пр.). Во второй половине XX века под влиянием практических потребностей начали бурно развиваться различные методы моделирования и решения задач оптимального управления. Свой вклад в развитие таковых внесли представители отечественных и зарубежных научных школ (В.А. Батурин, А.С. Булдаев, О.В. Васильев, С.Н. Васильев, Ф.П. Васильев, В.И. Гурман, П.С. Краснощеков, В.Ф. Кротов, Н.Н. Моисеев, А.Д. Мышкис, И.В. Расина, В.А. Срочко, М.Ю. Ухин, Р.В. Хемминг, Ф.Л. Черноусько, W.J. Meyer, T.L. Saaty и другие). Ныне продолжают развиваться и совершенствоваться эти и создаются новые методы решения указанных задач. В современных условиях они ориентируются на высокопроизводительную вычислительную технику.

Математическое моделирование, решение оптимизационных задач управления для сложных систем целесообразно проводить на основе априорно приближенного подхода, позволяющего использовать различные аппроксимации на разных этапах. Более простые и грубые могут применяться для качественного анализа и получения начальных приближений, а более сложные jh точные — для последующего уточнения в численных итерационных процедурах.

Реализация этой идеи воплотилась в разработке программного комплекса ISCON (Improvement and synthesis of control), предназначенного для моделирования сложных динамических процессов, решения оптимизационных задач для различных прикладных областей на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф». Это потребовало организации с новых позиций систематических работ с моделями, содержащими имитационные компьютерные программы, и включающими в себя разнообразные эмпирические и другие таблично заданные зависимости. В свою очередь, усложнение моделей потребовало разработки новых методов и методик их исследования. Все это повлекло необходимость построения и использование многомерных аппроксимаций математических моделей, что и определяет актуальность представляемой работы.

Цель работы и задачи исследования. Цель диссертационной работы — развитие указанного подхода к решению задач моделирования, улучше-

ния и приближенно-оптимального синтеза управления на основе среднеквад-ратических аппроксимаций, реализация соответствующих алгоритмов в ПК КСШ.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

- разработка и реализация эффективных алгоритмов аппроксимации функции многих переменных;

- разработка методов и алгоритмов улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления в окрестности траектории текущего приближения или некоторой заданной траектории;

- исследование тестовых и актуальных прикладных задач.

Методика исследования. В работе используются метод наименьших квадратов, достаточные условия оптимальности Кротова, аппроксимации функции Кротова-Беллмана, принципы расширения, локализации и метод кратных максимумов Гурмана (Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления .......М.: Наука, 1997.).

Научная новизна. Новыми являются:

1) разработанный и реализованный алгоритм многомерной аппроксимации, основывающийся на методе наименьших квадратов с применением композиционных полиномов в качестве аппроксимирующих конструкций, применимый для восстановления аналитического описания моделей объекта управления, в т.ч. сложных имитационных моделей;

2) разработанный метод и реализованный единый настраиваемый алгоритм улучшения и приближенно оптимального синтеза управления в окрестности опорной траектории для дискретной или дискретизованной динамической системы на основе среднеквадратической аппроксимации функции Кротова и условий Беллмана;

3) полученные результаты численного исследования и решения практических задач подъема-разгона и безопасной нештатной посадки вертолета, оптимизации развития региона на многокомпонентной модели с применением разработанных алгоритмов, реализованных в ПК ]БС(Ж, на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф».

Теоретическая и практическая значимость работы. В работе показано, что предложенный приближенный подход к решению задач моделирова-

ния и оптимизации на основе среднеквадратических аппроксимаций является эффективным. Он позволяет применять хорошо известные теоретические методы для исследования моделей, не имеющих полного аналитического описания, за счет его восстановления с помощью аппроксимации по методу наименьших квадратов. Метод улучшения и синтеза приближенно оптимального управления позволяет приближенно разрешать соотношения Беллмана посредством среднеквадратической аппроксимации функции Кротова-Беллма-на. Разработанные на основе предложенного подхода алгоритмы могут быть применены для решения широкого круга практических задач моделирования и управления. Их реализация в ПК ISCON на суперкомпьютерах семейства «Скиф» позволяет решать указанные задачи с высокой эффективностью.

Разработанные алгоритмы были успешно использованы для решения задач безопасной посадки вертолета в нештатной ситуации, приближенно-оптимального синтеза управления вертолетом при маневре взлета-разгона и поиска магистральных решений для социо-эколого-экономической модели региона.

Результаты исследований, проведенных с применением ПК ISCON и алгоритмов, включенных в его состав, отражены в ряде публикаций, и в научных отчетах выполненных актуальных исследований в рамках:

1) проектов РФФИ(№06-01-00330-а «Реализация обобщенных решений задач управления» , №09-01-00170-а «Вырожденные задачи оптимального управления», №05-01-00260-а «Приближенный синтез оптимального управления», №08-01-00274-а «Приближенные методы оптимизации управления на основе аппроксимаций модели объекта»);

2) Программы Союзного государства «Развитие и внедрение в государствах участниках Союзного государства наукоемких компьютерных технологий на базе мультипроцессорных вычислительных систем», шифр «ТРИАДА», подпроект «Разработка программного комплекса улучшения и оптимизации законов управления для приложений в различных областях (ПК ISCON — Improvement and Synthesis of Control)»);

3) Научно-технической программы Союзного государства «Разработка и использование программно-аппаратных средств Грид-технологий перспективных высокопроизводительных (суперкомпьютерных) вычислительных систем семейства «СКИФ» (шифр «СКИФ-ГРИД»), подпроект «Многовариантные расчеты стратегии устойчивого развития Байкальского региона с применением ПК ISCON на суперЭВМ «СКИФ».

Результаты диссертационного исследования по модели «Человек-Природа» использованы в учебном пособии Гурман В.И., Трушкова Е.А. Практические методы оптимизации. Изд-во УГП им. А.К. Айламазяна, Переславль-Залесский, 2009.

Соответствие диссертации паспорту научной специальности. Диссертация соответствует формуле специальности 05.13.18 и ее областям пункт 2, пункт 4, пункт 5.

Апробация работы. Результаты работы обсуждались иа научных семинарах Исследовательских центров процессов управления и системного анализа ИПС им. А.К. Айламазяна РАН и представлены в докладах на следующих научных конференциях:

- Международная конференция «Программные системы: теория и приложения» (РЭТА-2006), ИПС РАН, г. Переславль-Залесский, 23-28 октября

2006 г.;

- Международная конференция «КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики» (ОПУ-2007), ТГУ им. Г.Р.Державина, г.Тамбов, 8-12 октября

2007 г.;

- Третья всероссийская научно-практическая конференция по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности «Имитационное моделирование. Теория и практика» (ИММОД-2007), ФГУП ЦНИИ ТС, г. Санкт-Петербург, 17-19 октября 2007 г.;

- Научно-практическая совместная конференция студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников Института программных систем Российской академии наук и «Университета города Переславля» им. А.К. Айламазяна, г. Переславль-Залесский, апрель 2008 г.;

- Международный симпозиум «Обобщенные решения в задачах управления», 23-28 июня 2008. г. Улан-Удэ - б/о «Ровесник» (оз. Байкал) Бурятия, Россия;

- IV международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления», РАСО-2008, 27-29 октября 2008 г., Москва;

- Международная конференция «Программные системы: теория и приложения», ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, май 2009 г.;

- школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях», ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, Переславль-Залесский, 2-5 января 2011 г.

Публикации. Основные результаты исследования отражены в 15 печатных работах, в т.ч. 6 в ведущих рецензируемых журналах.

В работе [1] автором разработан алгоритм приближенно-оптимального синтеза управления в окрестности опорной траектории, и приведен пример решения задачи пространственного маневра вертолета, посчитанный автором. Вклад автора в работу [3] заключается в описании аппроксимации модели вертолета по методу наименьших квадратов. В работах [4,8] изложены идеи диссертационной работы: приближенный подход к решению задач моделирования и синтеза оптимального управления на основе среднеквадратических аппроксимаций. Совместно с соавтором описана реализация прототипа ПК КСОИ, исполняемыми модулями которого в частности являются построенные в работе алгоритмы. Соавтору принадлежит описание технической стороны реализации прототипа комплекса. В работе [6] автором описана идеология применения среднеквадратической аппроксимации управляемых систем и особенности параллельной реализации алгоритма в ПК КСОЫ. В статье [7] совместно с соавтором рассмотрен приближенный подход к исследованию оптимального управления летательным аппаратом как сложным объектом, не имеющим полного аналитического описания. Предлагается аппроксимация практических (в том числе — имитационных) моделей объекта аналитическими конструкциями различной сложности и точности. Приводится пример восполнения аналитического описания динамической модели. В конце статьи приведено описание ПК КСОЫ, выполненное совместно с другим соавтором. В совместной работе [9] автором описан этап преобразования модели в предлагаемом подходе к решению задач оптимизации управления. В работе [10] соавторами рассмотрена модификация модели, предназначенной для качественного анализа и демонстрации различных вариантов управления системой «Человек-Природа», которая учитывает инновации как важнейший фактор устойчивого развития. На основе метода кратных максимумов автором решена задача оптимального управления для этой модели и произведены сравнительные расчеты для различных наборов параметров. Вклад автора в работы [11,12,13] состоит в описании разработанных им и использованных в ПК 1БСОЫ алгоритмов и область их применения. Описание идеологии интеллектуального интерфейса ПК КэСОЫ является вкладом автора в совместную работу [14]. В работе [15] автором реализовано магистральное решение.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, списка литературы и приложений. Количество страниц диссертации - 110. Список литературы - 145 наименований. Приложения содержат дополнительный иллюстративный материал и листинги кодов программ.

Содержание работы

Во введении показана актуальность работы, определена цель и задачи, научная новизна и практическая значимость исследования, апробация выполненной работы, дан обзор приближенных методов моделирования, оптимизации и теории управления.

Глава 1. Общий подход к моделированию и оптимизации на основе среднеквадратических аппроксимаций

В данной главе развивается единый подход к моделированию управляемого объекта и оптимизации процессов управления.

На этапе моделирования предполагается, что искомая модель объекта имеет форму динамической системы — непрерывной или дискретной

i = f(t,x(t),u(t)), гет=[ьм,

<t + l) = f{t,x{t),u{t)), t€T = t/,t/ + l,...,tF, (1)

х € X(i) СГ, и е U(t, х) С Мр, x(tF) е Г,

и существует программно-алгоритмическое представление объекта (компьютерные программы для расчета аппроксимируемых функций многих переменных). Для аналитического представления таких функций предлагается процедура, аналогичная статистическим схемам обработки массивов эмпирических данных. По имеющимся программам подсчитываются таблицы их значений на сетке узлов, генерированной возможными комбинациями аргументов, распределенных в рабочем диапазоне. Аппроксимируются правые части систем (1) и функции, описывающие множества X, U. В качестве аппроксимирующих конструкций рассматриваются полиномы вида

к

1

Аппроксимация проводится по методу наименьших квадратов (МНК)

S ~ min,

где 4>{yi) - значения аппроксимируемой зависимости в узлах аппроксимации I.

Задачи оптимизации и улучшения управления рассматриваются в стандартной форме для дискретной системы из (1) как задачи минимизациия или уменьшения функционала / = F(x(tF)), F : Rn —> Ж на множестве D пар (x(t), u(t)), удовлетворяющих указанным условиям при заданных (t/, x(t/), tF). Последовательное решение задачи улучшения позволяет строить улучшающую, в идеале — минимизирующую последовательность. Для решения сформулированной задачи и разработки алгоритмов используются достаточные условия оптимальности Кротова. Предлагается единый подход к решению задач улучшения и приближенио-оптималыюго синтеза управления, который состоит в следующем. Вводится функциональный параметр x\t) --• некоторая кусочно-гладкая функция, называемая опорной траекторией. Функция Кротова <p(t, х) выбирается в общем случае так, чтобы в ее окрестности приближенно выполнялись соотношения Беллмана. Если в качестве опорной берется приближенно-оптимальная траектория, то получается приближенно-оптимальный синтез управления в ее окрестности. Иначе получается операция улучшения опорной траектории и соответствующего управления.

Реализуемый метод основан на приближенном задании разрешающей функции Кротова посредством многомерной аппроксимации соотношений Беллмана по методу наименьших квадратов на сетке узлов в окрестности опоры. При этом функция Кротова задается многомерным полиномом

к

V>(t,x) = J2^i(t)gi(t,x), (2)

!=1

где g(t,x) = (gi(t,x),... ,gk(t,x))T - набор заданных базисных функций, а ip(t) = (V>i (t),... ,ipk(t))T - набор коэффициентов, определямых из условий аппроксимации соотношений Беллмана:

min J2 {ФТ(Шxt(t)) - H(t,Xi(i),Vr(i + IM«,z*(i))))2, (3)

щч i

min £ {fßT(tF)g(tF, xt(tF)) + (1 - a)F(Xl(tF)))2 , (4)

meH{t,x,ip(t + l,x)) = max H(t,x,<p(t + l,x,u)), H{t,x,<p(t + l,x,u)) =

u€U(t,x)

[<p(t + 1 ,f(t,x,u))- \a{u — ü(t))2), l - номер узла сетки, а - регулятор окрестности опорной траектории, 0 < а < 1, который становится регулятором алгоритма улучшения. Близость полученного приближенного синтеза опти-

мального управления ü(t,x(t)) — arg max H(t,x,<p(t + 1 ,x,u)) к строгому

ueV(t,x)

оптимуму можно определить с помощью верхней оценки Кротова.

Предложенный метод улучшения и приближенного синтеза не предъявляет жестких требований (непрерывность, дифференцируемость) к модели управляемой системы по сравнению с известными методами, основанными на тейлоровских аппроксимациях, что существенно расширяет круг практических приложений. Кроме того, он не требует замены ограничений на управление штрафами.

Описанная схема легко переносится на непрерывные задачи.

Глава 2. Методы среднеквадратической многомерной аппроксимации и их применение

В этой главе описываются схемы аппроксимации функций многих переменных, применимые для реализации подхода, представленного в главе 1.

В результате сравнительного анализа различных аппроксимирующих конструкций наиболее удобными в алгоритмическом отношении оказались композиционные полиномы, представляющие собой композицию одномерных полиномов вида

"ii / т2 / mr \ \

X»* ••■£^.....м- , (5)

Ji=0 \й=0 \ jr=0 / /

где у = (х, и), г ~ п +р. Аппроксимация по методу наименьших квадратов сводится, как известно, к системе линейных уравнений относительно коэффициентов полинома. Для ее однозначной разрешимости каждое значение ms не должно превышать числа узловых значений соответствующей переменной ys (в случае равенства полином (5) становится интерполяционным). Предлагаемая методика и полиномы апробированы на тестовых примерах.

Алгоритм аппроксимации функции многих переменных является одной из основных частей ПК ISCON. Он предназначен для аппроксимации моделей объектов управления и функций Кротова при решении задач улучшения и синтеза управления. По-существу же алгоритм универсален и может использоваться для любых многомерных объектов. Аппроксимация производится в среднем по методу наименьших квадратов (МНК), который в данном случае дает возможность «развязать» аппроксимирующую конструкцию и сетку значений аппроксимируемой функции. В частности, он позволяет генерировать регулярные («прямоугольные») сетки, что очень важно для распараллеливания вычислений. Таким образом, описанная схема аппроксимации соответствует априорно приближенному подходу к решению задач управления и

позволяет связать точность приближения с размерностью аппроксимаций и с мощностью вычислительных средств.

Глава 3. Реализация разработанных алгоритмов в программном

комплексе ISCON

Описанные в предыдущих главах алгоритмы вошли в состав разрабатываемого в Институте программных систем им. А.К. Айламазяна РАН программного комплекса улучшения и оптимизации законов управления ISCON (Improvement and Synthesis of Control). Он предназначен для моделирования сложных динамических процессов, решения оптимизационных задач, задач улучшения и синтеза управления для различных прикладных областей на кластерном вычислительном устройстве семейства «Скиф».

(ХУЪЭОвЛГСЛИ

испоянжмые подали

X

КЛАСТЕР SXtP

«ч1е»ейс ко(.тое«сА

стеу вольные ИНТЕРФЕЙСЫ ПАкЯЫ сжвопьнм ВЫЧИСЛЕН« (ише. штЕтткА) интерфейс КОМАНДНОЙ СТРОКИ

V»*er.»OJUI'l МОДУЛИ

Рис. 1: Общая схема ПК КССШ

Область применения программного комплекса определяется реализованными методами (исполняемыми модулями), предназначенными для построения аналитического описания модели по имеющимся статистическим данным (алгоритм аппроксимации по МНК), улучшения приближенно оптимальной программы управления динамической системой, синтеза приближенно оптимального управления в окрестности опорной траектории. Главными компонентами комплекса являются сервер управления, управляющие модули, исполняемые модули и интерфейс пользователя. Интерфейс предназначен для

ИСПОЛНЯЕМЫЕ МОДУЛИ

МОДЕЛЬ —» СИНТЕЗ

Расчет правых частей системы 1) Синтез управления 2) Улучшение

АППРОКСИМАЦИЯ

1) Построение таблицы узлов

2) Аппроксимация по МНК

3) Приближенные модели

ПРОГРММНЫИ

HHIEPOCS*

I

MAPLE, MATHEMATICA

Рис. 2: Взаимодействие исполняемых модулей ПК КСОЫ

ввода начальных данных, постановки задачи, выбора метода решения задачи, управления потоками данных, визуализации и сохранения результатов и выполняет функцию взаимодействия пользователя с комплексом. Сервер управления участвует в обеспечении пользователям доступа к возможностям комплекса, принимает запросы на решение выбранных задач с выбранными пользователем настройками. Управляющие модули принимают полученную от сервера управления информацию и выполняют развертывание полигона для вычислений, запуская в дальнейшем либо локально, либо удаленно исполняемый модуль решаемой задачи, предназначенный для ее счета. Также управляющие модули обеспечивают сбор выходных данных и их передачу обратно серверу управления.

Предложена схема взаимодействия исполняемых модулей программного комплекса КССЖ (рис. 2), основывающаяся на развиваемом приближенном подходе к решению задач моделирования динамических процессов, оптимизации, синтеза и улучшения управления. В блоке МОДЕЛЬ находится программная реализация исходной модели объекта (1). В блоке АППРОКСИМАЦИЯ строится сетка узлов аппроксимации. Затем в результате взаимодействия с блоком МОДЕЛЬ формируется таблица значений правых частей модели. Итог операция-таблично заданная функция, которую можно приблизить по МНК с помощью различных аппроксимирующих конструкций вида (2). Таким образом, получается семейство моделей различной сложно-

сти. С помощью систем символьных вычислений (Maple, Mathematica) можно провести качественный анализ исходной системы и получить начальное приближение. Затем - решать задачи улучшения и синтеза оптимального управления алгоритмами, реализованными в блоке СИНТЕЗ. Алгоритмы аппроксимации по МНК и синтеза приближенно оптимального управления в окрестности опорной траектории реализованы автором.

Кроме того предложена идеология многофункционального интерфейса. В состав интерфейса комплекса входят специализированные интерфейсы, предназначенные для ввода/вывода данных при решении конкретных задач (например, для решения задачи о безопасной посадке вертолета). А также предусмотрена возможность для получения пользовательских данных в виде текстового файла определенного формата для решения различных пользовательских задач реализованными в исполняемых модулях методами. В этом случае интерфейс комплекса предоставляет формат такого файла (с описанием его структуры), а пользователь составляет файл и загружает его на сервер управления ПК ISCON, используя, например, интерфейс командной строки. В комплексе предусмотрена возможность обмена данными с пакетами символьных вычислений (например, Maple). Пакет Maple дает возможность быстро и удобно анализировать и обрабатывать полученные данные, а также подготавливать начальные данные для нового запуска программ на суперЭВМ. Maple имеет свой удобный пользовательский интерфейс, благодаря чему пользоваться им могут не только программисты, но и математики-теоретики и инженеры. В этом случае Maple может играть роль своеобразного интеллектуального интерфейса между пользователем и программами.

Глава 4. Прикладные задачи

В этой главе описано приложение разработанных алгоритмов к содержательным задачам.

Оптимизация маневров вертолета. В этом разделе рассмотрены задачи подъема-разгона и нештатной посадки вертолета (при отказе одного из двигателей). Были проведены расчеты по описанной в главе 1 схеме приближенно-оптимального синтеза управления в окрестности приближенно оптимальной траектории подъема-разгона вертолета, полученной профессором JT.H. Никифоровой на упрощенной модели пространственного движения вертолета как материальной точки в земной системе координат с учетом реальных ограничений. Соответствующая система дифференциальных уравнений, была дискретизована. Минимизировалось отклонение конечного состояния

Рис. 3: Траектории подъема разгона

от заданного. В результате получена приближенная функция Кротова-Белл-мана, генерирующая позиционное управление и построено соответствующее семейство траекторий (рис. 3).

В задаче о безопасной нештатной посадке вертолета применялась аппроксимация модели движения, которая содержит четыре дифференциальных уравнения, относительно горизонтальной и вертикальной составляющих скорости, скорости вращения несущего винта и высоты полета. В качестве управлений выступают угол отклонения вектора тяги от вертикали и общий шаг несущего винта. Часть зависимостей, входящих в уравнения, рассчитываются с помощью компьютерной фортран-программы, практически используемой в ОАО «КАМОВ». Было построено семейство МНК-аппроксимаций табличных зависимостей, рассчитанных с помощью указанной программы, с использованием конструкций вида (5) и тем самым получено несколько приближенных моделей различной сложности. Наиболее простая - линейная аппроксимация

I, сек

Рис. 4: Изменение высоты на итерациях улучшения

- была использована для нахождения начального приближения оптимального режима, более сложные — для его итерационного улучшения.

После трех итераций метода (рис. 4) значение начальной высоты увеличилось на 1 м, что соответствует повышению границы опасной зоны на 15 процентов против начального приближения при сохранении качественного характера динамики управлений и состояния.

Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели. Исследована задача оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной социо-эколого-экономической модели, учитывающей ограничения на восстановительные мощности природной среды и социальной сферы и на инновационные мощности. Переменными состояния являются: индексы состояния природной среды и социума, основные фонды, инновационные индексы и текущее благосостояние населения. Управляющие воздействия — выпуски отраслей, инвестиции, восстановительная и инновационная активность. Максимизируется накопленное благосостояние. Для решения задачи в целом применяется трехэтапная процедура оптимизации. На первом этапе инвестиции принимаются неограниченными, восстановительный и инновационный сектор — работающими на полную мощность, а инновации — распространяющимися лишь на коэффициенты прямых производственных затрат и отрицательного воздействия отраслей экономики на природу и социум. Задача при этом оказывается вырожденной с разрывным магистральным решением, которое находится в формульном виде. На втором этапе оно улучшается изложенным в главе 1 методом при предположении, что инновации распространяются на все значимые параметры модели. Полученное решение модифицируется с учетом реальных ограничений модели и берется за начальное приближение для окончательного улучшения на третьем этапе. В диссертационной работе проведены расчеты для первых двух этапов для условного региона с характеристиками, близкими к Байкальскому региону. На рис. 5 изображены итерации улучшения магистрального решения. На рис. 6 — соответствующее улучшение функционала (благосостояния).

В заключении сформулированы основные научные результаты исследования, полученные в диссертации.

В приложениях содержится дополнительный иллюстративный материал, листинги кодов программ.

-0,72 ■ -0,74 0-0,76 -0,78 -0,80

/ 10

15 20

I

200

130-

У Ю0'

50-

( : (................ „ — —

«у- \

:1

к

0 1 0 1 2С

400 300" 200 100 О

0 1,01

1

1 ~ ~ 1

1

' ! Г

1

0,99

10 t

■ первая итерация - вторая итерация

О 5 10 t

-— - третья итерация ■ — - четвертая итерация

Рис. 5: Итерации улучшения

Рис. 6: Улучшение магистрального решения

Основные научные результаты работы

1. Разработана методика построения аналитических динамических моделей объекта управления с использованием его описания в форме компьютерных программ и эмпирических данных на основе среднеквадратических аппроксимаций. Указанная методика апробирована на практической задаче.

2. Разработан метод и реализован единый настраиваемый алгоритм улучшения и приближенно оптимального синтеза управления в окрестности опорной траектории для дискретной или дискретизованной динамической системы на основе среднеквадратической аппроксимации функции Кротова и условий Беллмана.

3. Показана практическая применимость и действенность разработанных подходов: исследованы и решены практические задачи подъема-разгона и безопасной нештатной посадки вертолета, оптимизации развития региона на многокомпонентной модели с применением разработанных алгоритмов, реализованных в ПК КЗССЖ, на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф».

Список публикаций по теме диссертации

1. Блинов А.О., Ухин М.Ю., Приближенный синтез оптимального управления в окрестности оптимальной опорной траектории, Программные системы: теория и приложения //Труды международной конференции «Программные системы: теория и приложения», ИПС РАН, г. Пере-славль-Залесский, октябрь 2006/ Под редакцией С.М. Абрамова. В двух томах. - М.: Физматлит, 2006. - Т. 2, с.83-94.

2. Блинов А.О. Приложение метода наименьших квадратов к задачам моделирования и оптимизации //Вестник тамбовского университета. Естественные и технические науки, 2007, Т.12, №4, С. 412-414.

3. Трушкова Е.А., Блинов А.О., Метод улучшения управления в моделировании динамических систем //Сборник докладов третьей всероссийской научно-практической конференции по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности «Имитационное моделирование. Теория и практика» (ИММОД-2007), ФГУП ЦНИИ ТС, г. Санкт-Петербург, 17-19 октября 2007., 2007, Т.1, с. 234-236.

4. Блинов А.О., Фраленко В.П. Приложение метода наименьших квадратов к задачам моделирования и оптимизации Программные системы: теория и приложения(к пятнадцетилетию УГП им. А.К. Айламазяна) //Сборник трудов научно-практической совместной конференции студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников Института программных систем Российской академии наук и «Университета города Переславля» им. А.К. Айламазяна, г. Переславль-Залесский, апрель 2008/ Под редакцией С.М. Абрамова, и C.B. Знаменского. В двух томах. .....Переславль-Залесский: Изд-во «Университет города Переславля»,

2008. - Т. 1, С. 67-78.

5. Гурман В.И., Блинов А.О., Аналитическая.аппроксимация динамических систем в задачах приближенной оптимизации управления //Вестник Бурятского государственного университета. Математика и информатика. 2008. С. 25-30.

6. Белышев Д.В., Блинов А.О., Фраленко В.П., Параллельный алгоритм аппроксимации моделей управляемых систем,, Труды четвертой международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления» (РАСО'2008), Москва, 27-29 октября 2008 г. Институт проблем управления им. В.А.Трапезникова РАН., 2008.

7. Блинов А.О., Гурман В.И., Фраленко В.П., Аналитическая аппроксимация модели динамики летательного аппарата в задачах приближенно-оптимального синтеза управления //Вестник СГАУ, 2009, №4, с. 16-25. (Рецензируемый журнал)

8. Блинов А.О., Фраленко В.П., Многомерная аппроксимация в задачах моделирования и оптимизации //Автоматика и телемеханика, 2009, Ж 4, С. 98-109. (Рецензируемый журнал)

9. Гурман В.И., Трушкова Е.А., Блинов А.О. Приближенная оптимизация управления на основе преобразований модели объекта //Автоматика и телемеханика, 2009, №. 5, С. 13-23. (Рецензируемый журнал)

10. Гурман В.И., Блинов А.О. Оптимизация управления в модели «Человек-Природа» с учетом инноваций// Вести. Вестник Бурятского государственного университета. Сер. Математика и информатика, - 2009. - Вып. 9. - С. 34-38.

11. Блинов А.О., Гурман В.И., Трушкова Е.А., Фраленко В.П. Программный комплекс улучшения и оптимизации законов управления // Тр. межд.

конф. «Программные системы: теория и приложения» ИПС РАН, г. Пе-реславль-Залесский, май 2009, для научных сотрудников, аспирантов и студентов. Tl. с. 25-41.

12. Блинов А.О., Гурман В.И., ТрушковаЕ.А., Фраленко В.П. Программный комплекс оптимизации законов управления //Программные продукты и системы, 2009, №2, С. 95-100. (Рецензируемый журнал)

13. Гурман В.И., Трушкова Е.А., Блинов А.О. Приближенная оптимизация управления в параллельных вычислениях //Вестник Бурятского государственного университета. Сер. Математика и информатика......2010......Вып.

9. - С. 18-28. (Рецензируемый журнал)

14. Гурман В.И., Расина И.В., Блинов А.О. Эволюция и перспективы приближенных методов оптимального управления // Электронный научный журнал «Программные системы: теория и приложения» Переславль-/Залесский: Институт программных систем имени А.К. Айламазяна Российской академии наук, 2011 Вып. 2, Т. 2, С. 11-29. http://psta.psiras. ru/read/psta2011_2_l1-29.pdf

15. Расина И.В., Гусева И.С., Блинов А.О. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели //Вестн. Бурят, гос. ун-та. Сер. Математика и информатика. 2011. - Вып. 9. - С. 36-42. (Рецензируемый журнал)

Объем 1,0 п.л. Формат СО х 84 / 16. Тираж 100 экз. Отпечатано: ЧП Лутай Т.Н. 152025, г. Переславль-Залесский, ул. 50 лет Комсомола, д. 16, офис 108.

Введение

ГЛАВА 1. Общий подход к моделированию и оптимизации на основе среднеквадратических аппроксимаций

1.1. Постановка задач и основные теоремы.

1.2. Улучшение и приближенно оптимальный синтез управления

1.3. Алгоритм приближенного синтеза.

1.4. Алгоритм улучшения.

1.5. Выводы.

ГЛАВА 2. Методы среднеквадратической многомерной аппроксимации и их применение

2.1. Задача многомерной аппроксимации таблично заданной функции

2.2. Основные конструкции МНК.

2.3. Возможные аппроксимирующие конструкции.

2.3.1. Композиционный полином.

2.3.2. Композиция сплайнов.

2.3.3. Кусочно-линейная конструкция

2.3.4. Описание экспериментов. Наблюдения и выводы.

2.4. Применение многомерной аппроксимации в моделировании.

2.5. Выводы.

ГЛАВА 3. Реализация разработанных алгоритмов в программном комплексе КСОЫ 50 3.1. Описание программного комплекса ЕЗСОМ.

3.2. Специальный интерфейс

3.3. Универсальный интерфейс. Взаимодействие ISCON и Maple

3.4. Выводы

ГЛАВА 4. Прикладные задачи

4.1. Оптимизация маневров вертолета.

4.1.1. Приближеииый синтез оптимального управления, реализующего пространственный маневр вертолета.

4.1.2. Ход решения.

4.1.3. Задача о нештатной посадке вертолета.

4.2. Исследование магистральных решений в задаче устойчивого развития региона.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Поиск магистрального рептеиия.

4.2.3. Улучшение магистрали как дискретно-непрерывного процесса.

4.2.4. Анализ решения.

В данной работе речь пойдет о приближенном подходе к математическому моделированию, разработке алгоритмов улучшения и приближенно оптимального синтеза, их апробации на прикладных задачах и реализации в программном комплексе ISCON (Improvement and Synthesis of Control). Комплекс разрабатывается в Учреждении Российской академии наук Институте программных систем им. А.К. Айламазяна РАН. Он призван решать задачи моделирования, оптимизации, синтеза и улучшения оптимального управления на основе приближенных методов теории управления. Рассмотрим эти методы и идеи.

Остановимся вначале на математическом моделировании, следуя работе [51].

Изучение любого реального объекта математическими методами может начаться лишь после того, как построена его математическая модель, т.е. реальному объекту сопоставлен некоторый математический, идеальный — уравнение конечное или дифференциальное, система неравенств и т.п. Моделирование в целом есть сугубо индуктивный, творческий процесс, который не может быть проведен целиком в рамках математической теории, хотя для отдельных его элементов могут применяться математические методы. Очень грубо и условно процесс моделирования делят на два этапа — концептуализацию, т. е. выбор семейства моделей, зависящего от числовых параметров, и идентификацию, т. е. определение значений указанных параметров. Окончательная модель зависит, очевидно, как от объекта, так и от цели моделирования.

Следуя известным работам по математической теории систем [110, 112], под математической моделью реального объекта (системой) в общем случае будем нонимать некоторое отношение — унарное (R, X), бинарное (R, X, Y) и т. д. В частности, это может быть некоторый оператор (отображение) .Р: X —> ¥. В теории управления множества X, У называют пространствами входов и выходов соответственно.

Как правило, реальные объекты имеют сложную иерархическую структуру, и их поведение является результатом взаимодействия различных составляющих их частей. Если при моделировании необходимо отразить их внутреннее строение, то можно использовать такое понятие как сеть операторов. Остановимся на нем более подробно. Пусть имеется N операторов

Пг г:Хг->¥г, Хг = Д Хг-,

9=1

Множества Х^ с элементами Хщ будем называть каналами и будем говорить, что выход оператора г подается на вход оператора если найдется такой номер д, что хзч = уг для любых хзч, у^.

Пусть рассматриваемые операторы соединены таким образом по некоторой схеме, представляемой связным графом (рис. 1.1). Если число к{ выходов других операторов, подаваемых на вход оператора i, меньше, чем щ, то оставшиеся свободные каналы образуют множество пг Д Х^, г 6 I = {г: ^ < кг +1 без ограничения общности считаем, что свободные каналы имеют номера от + 1 до щ. Такую систему будем называть сетью операторов.

Рис. 1. Сеть операторов

Описанную сеть можно рассматривать как некоторый оператор

М N

X =П О,-=П ¥=Д¥г,

61 1=1 г=1 где X/, I = 1,., М, — все свободные каналы. Будем называть его оператором следующего верхнего уровня (при сравнении в обратном порядке будем говорить об операторах следующего нижнего уровня). Если заданы схема соединений (топология сети) и описание каждого оператора, то тем самым задано описание всей сети или, иначе, задано описание оператора следующего верхнего уровня. Такое описание может оказаться сложным и плохо обозримым. Тогда возникает задача нахождения упрощенного описания оператора следующего верхнего уровня на основе изучения сети.

Наглядными примерами сети операторов могут служить блок-схема телевизора, системы автоматического управления, компьютерная программа, конечный автомат, нейронная сеть, сеть Петри и т.п.

Смысл такого подхода состоит в том, что проблема моделирования сложного объекта, представляющего собой систему взаимодействующих частей, сводится к определению топологии сети (из наблюдений) и описанию элементарных операторов сети.

Подчеркнем, что все рассмотренные понятия имеют одну и ту же природу и на таком абстрактном уровне ни одно из них не имеет смысла априори рассматривать как обобщение или конкретизацию другого. Какому из них отдать предпочтение — зависит от характера решаемой проблемы. Так, если нас интересует не внутреннее строение системы, а лишь то, что она отражает некоторую причинно-следственную связь, то понятие оператора, очевидно, предпочтительнее понятия сети операторов. Если нас интересует лишь факт связи между явлениями в реальной системе, и не важно — что причина, а что — следствие, то, по-видимому, лучше использовать понятие отношения, а не оператора и т.д. С этой точки зрения наиболее абстрактным понятием системы (с минимумом деталей) является унарное отношение (И, X).

Хотя математическое моделирование в настоящее время ориентировано, как правило, на применение вычислительной техники, взаимодействие различных моделей с компьютерами далеко не одинаково. По этому признаку все модели можно разделить, впрочем достаточно условно, на два больших класса — имитационные и теоретические. Первые рассчитаны на непосредственное использование компьютеров. С такими моделями обращаются примерно так, как с экспериментальной установкой, работающей в условиях помех и ошибок измерения, т. е. проводят статистические эксперименты и обработку их результатов статистическими методами. Примером имитационной модели является модель Азовского моря [46]. Часто сам этот процесс, организацию машинных экспериментов, и называют моделированием. Ясно, что при этом важно возможно точнее отобразить реальный объект, чтобы результаты эксперимента были достаточно объективными. Ограничений на средства описания не накладывается. Здесь возникает множество проблем, связанных с большой сложностью моделей, их программной и технической реализацией. В связи с этим разработан ряд универсальных и узкоспециальных средств программирования, облегчающих процесс моделирования.

Теоретические модели рассчитаны, главным образом, на предварительное исследование аналитическими методами с использованием компьютеров лишь на конечных этапах для получения численного решения задач, поставленных на модели. Простейшим примером теоретической модели является любой из законов Ньютона. Для них весьма существенны методические ограничения при выборе средств описания, связанные с возможностью применения тех или иных методов исследования. Так, при моделировании сложных экономических систем популярны линейные системы уравнений и неравенств, поскольку для них имеются надежные математические методы решения характерных задач оптимизации, которые, как правило, ставятся для таких моделей.

Очевидно, при решении практических проблем желательно иметь модели обоих типов для одного и того же объекта, как взаимно дополняющие друг друга.

Вопросам построения моделей систем посвящены работы [96, 6, 8, 119].

Перейдем теперь к вопросам оптимизации управляемых процессов.

В конце 50-х и начале 60-х годов XX века в связи с бурным развитием техники и появлением первых космических программ возникла настоятельная необходимость решения задач оптимизации процессов управления. В это время были сформулированы такие основополагающие результаты, обобщающие известные положения вариационного исчисления, как принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования Беллмана [128, 14], принцип оптимальности Кротова [100], общая теория экстремума Милютина-Дубовицкого [88].

Несмотря на то, что эти новые теории учитывали особенности современных задач управления, главным образом, наличие разнообразных ограничений в дополнение к основным — дифференциальным — связям в вариационном исчислении, их прямое практическое использование оказалось весьма ограниченным сложностями реализации теоретических соотношений, описывающих искомое решение получаемых уравнений. Как правило, аналитическое решение можно было найти лишь в редких случаях, если не считать специально подобранных примеров. Это послужило причиной для разработки приближенных методов, позволяющих решать сложные практические задачи.

За прошедший с момента их появления полувековой период было предложено множество разнообразных приближенных, численных методов, позволяющих искать оптимальное решение напрямую, минуя условия оптимальности, посредством операций улучшения управления, повторяемых в итерационной процедуре. При этом косвенно использовались как сами основополагающие результаты, так и принципы, лежащие в их основе.

Будем использовать далее следующие постановки задач оптимизации и улучшения управления в стандартной форме, для непрерывной и дискретной систем = /(*,*,«), *ет = (1) х(г + \) = /(*,*(*),«(*)), г ет = {¿7,^ + 1,.,^}, (2) жеГ, и е и (г, х) с (з)

Предполагается, что ¿/, х (¿/) = ж/, Ьр фиксированы. Задан функционал как функция конечного состояния: I = Р (х (&)).

Задача оптимизации состоит в поиске последовательности {тв} С О, минимизирующей функционал I, 1({гп3}) —> игр, где Ю— множество процессов т — (ж^), гг(£)), удовлетворяющих (1) или (2) и (3). Построение минимизирующей последовательности может вестись через решение задачи улучшения, в которой задан некоторый элемент т1 £Б. Требуется найти элемент гп11 £ О, на котором I меньше: /(га11) < /(га1). Решая эту задачу итерационно, можно получить улучшающую, в частности, минимизирующую последовательность {га5}.

Непрерывная задача рассматривается в естественных для практики предположениях: непрерывность функций / х:и), ^ (х) и многозначного отображения и (¿, ж), кусочная непрерывность кусочная гладкость ж(£). В дискретной задаче никаких теоретико-функциональных ограничений априори не накладывается.

Исторически развитие методов улучшения началось с методов первого порядка, известных как градиентные методы, одновременно с созданием современной теории оптимального управления. В числе основоположников отметим Р. Куранта [1], Д.Е. Охоцимского и Т.М. Энеева [126, 127, 145], Л.В. Канторовича [92], Л.И. Шатровского [144], Дж. Келли [93].

Улучшающее изменение управления строится по схеме 5и3{1) = —£31^, где £3 > 0, /„ — градиент минимизируемого функционала. Выбором £3 обеспечивается выполнение неравенства 51 < 0 , где 51 — первая вариация функционала. При вычислении производной функционала обычно используют уравнение в вариациях и тождество Лагранжа, что приводит к необходимости решения системы дифференциальных уравнений для сопряженной переменной с соответствующими начальными условиями.

В зависимости от способа выбора величины получаются различные формы градиентных методов. Для задачи с закрепленным левым концом, свободным правым и при отсутствии ограничений вариация управления выбирается в виде 5и3(1) = £3-Ни(Ь, х3(Ь),и3(1),ф^)) , где Н = ф'/ — сопряженная система ф = — НХ(Ь, х3^), ф(£)) дополняется условием на правом конце ф(Ьр) = ■ Подробный вывод уравнений градиентного метода в терминах конструкций достаточных условий оптимальности можно найти в книге [103]. Более сложные схемы требуются при наличии ограничений на переменные управления и состояния. Здесь можно отметить, например, работы Р.П. Федоренко и В.Г. Гюрджиева [140, 85]. Описание некоторых из градиентных методов можно найти в [127, 7]. Наряду с этим реализовались и другие методы, родственные градиентным, основанные на принципе максимума Понтрягина [105, 106, 36]. Ряд интересных схем предложен в книге H.H. Моисеева [114]. Для линейных систем весьма эффективным оказался метод моментов [98, 40].

Методы первого порядка демонстрируют, как правило, высокую эффективность на первых итерациях и ее резкое снижение в окрестности оптимума. Это заставило обратиться к более сложным схемам построения алгоритмов и разработке методов второго порядка [2, 104, 10]. Они связаны с тейлоровской аппроксимацией функции Кротова-Беллмана и условий Беллмана в окрестности текущего приближения с точностью до малых второго порядка, что приводит к дифференциальным уравнениям для первых и вторых производных функции Кротова-Беллмана. Если при этом так же аппроксимируются правые части систем (1), (2) по переменным состояния и управления то получается метод слабого улучшения, а результирующий синтез управления оказывается линейным. Ряд таких методов для непрерывных и дискретных систем приведен в [58, 71, 56]. Иначе получаются методы сильного улучшения. Такого типа методы представлены в [104, 68, 51].

Приведем соотношения в методе сильного улучшения: ф = -Н\- (т{П\ - H¡), ф(гР) = -aFx{x\tF)) - (1 - а)Е, (4) & = ~(П1ХХ + аП\х + П1хра + аН\ра)), a(tF) = -aFxx{x\tF))+ (5) х) = х, (ф(Ь) + сг(ж - х1 {€)))), (6)

Н.(Ь,х,ф) = тах Н(Ь,х,ф,и), иеи(г,х) х,р) — arg тах Н(Ь,х,р,и). ие и(г,х)

Здесь ф и ст соответственно градиент и матрица вторых производных функции Кротова по компонентам гг на опорной таектории. Уравнение для матрицы а представляет собой матричное уравнение Риккати, которое может и не иметь решения в одной из точек заданного отрезка (особая точка). В этом случае предложена специальная процедура сдвига особой точки в начало отрезка и модификация алгоритма [58].

Новые методы повлекли за собой новую проблему. Если близость соседних приближений в методах градиентного типа первого порядка регулировалась величиной шага по градиенту, то методы второго порядка потребовали иных подходов. Один из возможных подходов был сформулирован в [51] и получил название принципа локализации. Он использовался в [68, 58, 71, 56]. Остановимся на этом подробнее. Вместо исходного функционала рассматриваются функционалы следующего вида:

1« = а1 + \(1-а) I\Ах\2сИ + ^\Ах{ЬР)\2, и кр

1а = а1 + ±{1-а) I [/3|Д.т|2 + (1 — ¡3)\Аи\2] <И + и

О < а < 1, 0</3<1, Ах = х - х1^), Аи = и-и1^).

В первой конструкции второе слагаемое является «штрафом» за отклонение от опоры по состоянию. Второй функционал содержит еще одно слагаемое как «штраф» за отклонение и по управлению. В каждом из функционалов коэффициенты а и /5 являются весовыми коэффициентами. Специальный подбор весовых коэффициентов позволяет регулировать близость соседних приближений.

Это позволяет решать по единой схеме задачи поиска оптимального процесса путем итерационного улучшения и реализации найденного решения в форме синтеза оптимального управления в окрестности его траектории. При этом получаются матричные уравнения Риккати относительно коэффициентов функции Кротова и их дискретные аналоги. В общем случае они отличны от уравнений Риккати классической теории АКОР [109, 4], и соответствующий им приближенно-оптимальный синтез управления, в общем случае, в отличие от синтеза в АКОР — нелинейный.

Если положить а — 0 в уравнениях (4), (5), то получается метод первого порядка, отличный от градиентного. Методы улучшения, как первого, так и второго порядков, использовались для решения широкого круга прикладных задач [83, 39, 86].

Эпоха освоения космоса привела к необходимости расчета траекторий перелета с одной планеты Солнечной системы на другую (Земля-Марс) и разработки алгоритмов передвижения шагающих аппаратов по поверхностям других планет. Особенность указайных задач состоит в том, что на заданном отрезке времени управляемый процесс разбивается на отдельные этапы, каждый из которых имеет свое описание либо в терминах дифференциальных, либо дискретных уравнений. Все эти этапы связаны общим функционалом. Такие процессы получили название сложных или многоэтапных. В настоящее время их часто называют гибридными. Для них сформулированы общие достаточные условия оптимальности типа Кротова [48, 51], и на этой основе разработана серия приближенных численных методов, которыми только и возможно практическое исследование столь сложных объектов [42, 67, 65, 66, 125].

В работе В.И. Гурмана [48] впервые была приведена математическая модель сложного процесса, и сформулированы достаточные условия оптимальности. Модель сложного процесса содержит два уровня. Нижний уровень представляет собой непосредственное описание управляемого процесса. На этом уровне действует непрерывная модель. Верхний уровень создается искусственно в виде дискретного процесса, связывающего моменты изменения описания исходной системы управления. Позднее обнаружилось, что существуют процессы подобного вида, описываемые дискретными уравнениями. Поэтому в работе [67] модель и достаточные условия оптимальности были распространены на класс дискретных задач. В этом случае модели верхнего и нижнего уровней дискретные.

В работе К.Н. Габелко [42] приведен первый алгоритм решения задачи оптимального управления для сложных процессов градиентного типа. С помощью аналогичного метода решена задача оптимизации химического процесса [9]. Позднее в работах В.И. Гурмана и А.Г Орлова [65, 66] были приведены более общая модель и достаточные условия оптимальности, и решена задача управления шагающим аппаратом. Затем в работе [125] впервые построен для сложных процессов метод улучшения второго порядка.

В статье [129] приведены достаточные условия оптимальности как в форме Кротова, так и в форме Беллмана. Сочетание этих условий и специальное преобразование части приращения функционала позволило построить алгоритм второго порядка, содержащий меньшее число сопряженных переменных на каждом этапе по сравнению с более ранними вариантами метода. В [131, 130] рассматривались достаточные условия оптимальности для сложных процессов с параметрами и процессов с запаздыванием по состоянию. Для последних получен алгоритм градиентного типа.

Иные подходы к оптимизации сложных процессов как процессов в логико-динамических системах развиваются в [37] и в [28].

В конце 1980-х, в 1990-ые годы и в первые годы 21-го века, с одной стороны шла шлифовка разработанных методов, а с другой продолжался процесс создания новых алгоритмов по ранее рассмотренным направлениям. В монографии [35] наряду с методами решения экстремальных задач подробно освещаются итерационные процессы, основанные на принципе максимума. Большое внимание уделено градиентным методам и задаче с дополнительными функциональными ограничениями. Широкий спектр методов и их приложения для решения практических задач представлены в [12, 13]. В монографии [13], помимо изложения методов улучшения и исследования вопросов их настройки, рассматриваются вопросы сходимости методов.

Своеобразным итогом и обобщением многолетних исследований достаточных условий оптимальности и методов улучшения, построенных на базе достаточных условий оптимальности служит монография В.Ф. Кротова [5]. В ней в частности описан общий метод глобального улучшения управления и его конкретная реализация с линейной разрешающей функцией, оказавшаяся особенно эффективной в приложении к управлению квантовыми системами. Родственные методы улучшения, называемые нелокальными, описаны в книге В.А. Срочко [133]. Эти методы развиваются в работах A.C. Булдае-ва [31, 32, 33].

К нелокальным следует также отнести процедуры улучшения в вырожденных задачах оптимального управления, которые характеризуются наличием пассивных дифференциальных связей. Их исключение не меняет искомого решения задачи, но приводит к задаче меньшего порядка (производной задаче). При этом известные локальные улучшения в производной задаче автоматически ведут к нелокальным в исходной [47, 54, 55, 89, 56, 57].

Иные подходы к решению задач улучшения, использующие схемы динамического программирования, представлены в [115, 142, 113].

Большое количество разработанных методов, их модификаций и решенных практических задач привело к появлению обзоров и созданию первых монографий по приближенным методам оптимального управления, досконально освещающим проведенные исследования и новые, возникающие по ходу исследований проблемы. Среди них [143, 111, 94, 40].

Развитие вычислительной техники, появление суперкомпьютеров создало предпосылки для активного использования в задачах улучшения и приближенно-оптимального синтеза схем многомерной аппроксимации уравнения Беллмана, непосредственное использование которого связано с катастрофическим ростом объемов вычислений и памяти с увеличением размерности решаемой задачи. В.Ф. Кротовым впервые предложена схема приближенного синтеза с оценкой на основе достаточных условий оптимальности [101]. Она может реализоваться с помощью различных аппроксимирующих конструкций.

Одна из них, композиция одномерных полиномов, предложенная и реализованная в свое время в [29, 30, 50] позволяет проводить интерполяцию на прямоугольной сетке. Другие варианты интерполяции функции Кротова-Беллмана рассмотрены в [56]. В совместных работах В.И. Гурмана и В.А. Батурина [52, 53] используется интерполяция функции Кротова-Беллмана либо кусочно-постоянной функцией, либо кусочно-линейной. Родственный подход для дискретных систем рассматривался в [62]. Вторая конструкция, регулярный тейлоровский полином обеспечивает интерполяцию на специальной сетке.

Наиболее широкие возможности для применения разнообразных конструкций предоставляет аппроксимация по методу наименьших квадратов.

Сами аппроксимирующие конструкции при этом тоже могут улучшаться. Разные аспекты такого подхода рассматривались в [80, 78, 138]. Теми же методами возможно приближенное аналитическое представление моделей объектов управления, необходимое для применения методов теории управления как точных, так и приближенных, в то время как в реальности эти модели зачастую представлены сложными зависимостями, в том числе эмпирическими, табличными, и компьютерными программами. Наглядным примером может служить модель вертолета при оптимизации режимов нештатной посадки [61, 135, 24].

Отметим, что в связи с этим повысился интерес к дискретизации непрерывных систем — переходу от непрерывной модели к дискретной на ранних стадиях исследования задачи, а не в конце, при численном интегрировании конечных дифференциальных соотношений оптимального процесса. Такое преобразование модели управляемой системы позволяет обойти обременительные теоретико-функциональные требования в применяемых схемах аппроксимации и оценках приближенных решений. Кроме того, в терминах постановки дискретной задачи оптимального управления и соответствующих достаточных условий, возможна интерпретация самых разнообразных задач. Эти вопросы затрагивались в работах [48, 51, 13]. Дискретные модели естественно используются для применения развитых методов нелинейного программирования к решению задач оптимального управления [90, 41, 44].

Как известно, выбор начального приближения, достаточно близкого к оптимуму, играет важную роль при проведении расчетов любым итерационным I методом. Общих методик и рекомендаций на этот счет не существует. Однако для вырожденных задач, широко распространенных на практике, предлагается в качестве начальных приближений находить магистральные решения таких задач специальными методами [49, 81, 79]. 1

17

В связи с появлением суперкомпьютеров появилась уникальная возможность параллельных вычислений для решения оптимизационных задачи, что позволяет существенно увеличить их допустимую размерность. Вопросы распараллеливания алгоритмов при решении задач оптимального управления и некоторые результаты этого направления рассматриваются в [73, 74]. В указанных статьях представлен опыт применения параллельных вычислений для приближенного решения задач улучшения и оптимизации законов управления динамическими системами. Для этих целей в ИПС им. А.К. Айламазя-на РАН разрабатывается программный комплекс ISCON (Improvement and Synthesis of Control).

Одним из перспективных направлений решения задач оптимизации является применение многометодного подхода, заключающегося в комбинировании различных методов в процессе решения задачи. Описание подобных технологий есть в работах А.И. Тятюшкина, А.Ю. Горнова [137, 45].

Авторы предлагают в качестве средства для создания многометодных процедур использовать механизм параллельных вычислений, при котором выполняется одновременный запуск нескольких алгоритмов, а на основе сравнения полученных промежуточных результатов выбирается наилучший. Описанный метод достаточно прост в реализации, но при этом не используются знания о свойствах решаемой задачи и применяемых алгоритмах улучшения, которые бы позволили снизить объем вычислений.

В [15, 17] предложен и получил определенное развитие принцип построения многометодных процедур оптимального управления, использующий интеллектуальный анализ соответствия задач и алгоритмов их решения.

Такой подход ориентирован не только на повышение эффективности поиска оптимальных управлений но, что может быть важнее, — на решение проблемы отдаления потенциальных пользователей из предметных областей от ценных достнжеиий теории управления, заключенных в большом разнообразии предлагаемых приближенных схем и алгоритмов, иными словами — на автоматизацию процесса поиска решения по тому запросу, который способен сформулировать пользователь.

Хотя этот подход еще далек от полного воплощения, но проведенный анализ обзорного характера и собственный опыт убеждают в том, что в сочетании со стремительным прогрессом в области технических средств он представляет главное направление развития приближенных методов оптимального управления.

Из приведенного обзора видно, что возможная перспектива развития приближенных методов оптимального управления неотъемлемо связана с высокопроизводительными вычислениями. В данной работе освещены некоторые наработки в этом направлении.

Синтез законов управления, обеспечивающих требуемые свойства управляемой системы и достижение требуемых целей, является кардинальной проблемой теории управления, которая влечет многочисленные математические постановки и их теоретические исследования, соответствующие разнообразным практическим ситуациям. Практическая численная реализация ценных теоретических результатов, полученных в этом направлении ранее, вызывает трудности, связанные со сложностью изучаемых объектов. Получение точного численного решения задач синтеза оптимального управления связано с «проклятием размерности» — проблемой экспоненциального возрастания количества данных из-за увеличения размерности пространства. Термин был введен Ричардом Беллманом в 1961 году. «Проклятие размерности» особенно явно проявляется при работе со сложными системами, которые описываются большим числом параметров.

В работе развивается приближенный изначально (а не на стадии реализации теоретических результатов) подход к синтезу оптимального управления для дискретных динамических систем. Теоретической основой данного подхода являются общая теория достаточных условий оптимальности Крото-ва [ЮЗ] и общего принципа расширения Гурмана [51], которые дают возможность вычисления, по крайней мере, верхних оценок точности приближенных решений. При этом в конструктивном плане используются аппроксимация решений уравнений типа Беллмана, как функций многих переменных.

Помимо прямого назначения, процедуры синтеза оптимального управления и описываемый приближенный подход могут быть использованы для исследования свойств управляемых систем, для повышения эффективности итерационных методов улучшения управления и решения на этой основе широкого круга задач оптимального управления, возникающих в приложениях.

Поскольку даже приближенный подход к решению задач улучшения и синтеза оптимального управления требует больших вычислительных мощностей, исследования в этом направлении стимулируются активным развитием суперкомпьютерной отрасли в России. Благодаря этому в последнее время интенсивно развиваются новые методы, ориентированные на параллельные вычисления на кластерных вычислительных устройствах с учетом высокой степени возможного параллелизма, обусловленного самой природой рассматриваемого класса задач.

Реализация вышеизложенных идей воплотилась в разработке программного комплекса КССЖ (ПК КСОМ), предназначенного для моделирования сложных динамических процессов, решения оптимизационных задач и задач улучшения и синтеза приближенно-оптимального управления для различных прикладных областей на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф».

Непосредственной целью работы является развитие приближенного подхода к решению задач моделирования и синтеза приближенно оптимального управления на основе среднеквадратических аппроксимаций, а также реализация и апробация на прикладных задачах соответствующих алгоритмов и их внедрение в ПК ]БС(Ж. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

- разработка и реализация эффективных алгоритмов аппроксимации функции многих переменных;

- разработка методов и алгоритмов улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления в окрестности траектории текущего приближения или некоторой заданной траектории;

- исследование тестовых и актуальных прикладных задач.

Разработанные алгоритмы аппроксимации функций многих переменных и приближенного синтеза оптимального управления в окрестности опорной траектории могут быть применены для решения широкого круга практических задач моделирования и управления.

По результатам испытаний ПК 1БС(Ж можно сказать, что на основе нового априорно приближенного подхода к решению прикладных задач моделирования, оптимизации, улучшения и синтеза управления разработан достаточно эффективный инструмент, позволяющий решать вышеперечисленные задачи на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф».

Результаты исследований проведенных с применением ПК ЕЭССШ и его алгоритмов отражены в ряде публикаций, и в научных отчетах выполненных актуальных исследований в рамках:

1) проектов РФФИ(Ж)6-01-00330-а «Реализация обобщенных решений задач управления» , №09-01-00170-а «Вырожденные задачи оптимального управления», №05-01-00260-а «Приближенный синтез оптимального управления», №08-01-00274-а «Приближенные методы оптимизации управления на основе аппроксимаций модели объекта»);

2) Программы Союзного государства «Развитие и внедрение в государствах участниках Союзного государства наукоемких компьютерных технологий на базе мультипроцессорных вычислительных систем», шифр «ТРИАДА», подпроект «Разработка программного комплекса улучшения и оптимизации законов управления для приложений в различных областях (ПК ISCON — Improvement and Synthesis of Control)»);

3) Научно-технической программы Союзного государства «Разработка и использование программно-аппаратных средств Грид-технологий перспективных высокопроизводительных (суперкомпыотерных) вычислительных систем семейства «СКИФ» (шифр «СКИФ-ГРИД»), подпроект «Многовариантные расчеты стратегии устойчивого развития Байкальского региона с применением ПК ISCON на суперЭВМ «СКИФ».

Результаты работы обсуждались на семинарах исследовательского центра процессов управления и исследовательского центра системного анализа ИПС им. А.К. Айламазяна РАН. В виде докладов результаты были представлены на следующих научных конференциях:

- Международная конференция «Программные системы: теория и приложения» (PSTA-2006), ИПС РАН, г. Переславль-Залесский, 23-28 октября 2006 г.;

- Международная конференция «КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики» (ОПУ-2007), ТГУ им. Г.Р.Державина, г.Тамбов, 8-12 октября 2007 г.;

- Третья всероссийская научно-практическая конференция по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности «Имитационное моделирование. Теория и практика» (ИММОД-2007), ФГУП ЦНИИ ТС, г. Санкт-Петербург, 17-19 октября 2007 г.;

- Научно-практическая совместная конференция студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников Института программных систем Российской академии наук и «Университета города Переславля» им. А.К. Айламазяна, г. Переславль-Залесский, апрель 2008 г.;

- Международный симпозиум «Обобщенные решения в задачах управления», 23-28 июня 2008. г. Улан-Удэ - б/о «Ровесник» (оз. Байкал) Бурятия, Россия;

- IV международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления», РАСО-2008, 27-29 октября 2008 г., Москва;

- Международная конференция «Программные системы: теория и приложения», ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, май 2009 г.;

- школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях», ИПС им. А.К. Айламазяна РАН, Переславль-Залесский, 2-5 января 2011 г.

Основные результаты исследования отражены в 15 печатных работах, в т.ч. 6 в ведущих рецензируемых журналах [16, 21-27,59,60,72,74,76,132,136].

В работе [25] автором разработан алгоритм приближенно-оптимального синтеза управления в окрестности опорной траектории, и приведен пример решения задачи пространственного маневра вертолета, посчитанный автором. Вклад автора в работу [136] заключается в описании аппроксимации модели вертолета по методу наименьших квадратов. В работах [26,27] изложены идеи диссертационной работы: приближенный подход к решению задач моделирования и синтеза оптимального управления на основе среднеквадра-тических аппроксимаций. Совместно с соавтором описана реализация прототипа ПК ШССШ, исполняемыми модулями которого в частности являются построенные в работе алгоритмы. Соавтору принадлежит описание технической стороны реализации прототипа комплекса. В работе [16] автором описана идеология применения среднеквадратической аппроксимации управляемых систем и особенности параллельной реализации алгоритма в ПК КСОМ. В статье [24] совместно с соавтором рассмотрен приближенный подход к исследованию оптимального управления летательным аппаратом как сложным объектом, не имеющим полного аналитического описания. Предлагается аппроксимация практических (в том числе — имитационных) моделей объекта аналитическими конструкциями различной сложности и точности. Приводится пример восполнения аналитического описания динамической модели. В конце статьи приведено описание ПК 1БСОМ, выполненное совместно с другим соавтором. В совместной работе [76] автором описан этап преобразования модели в предлагаемом подходе к решению задач оптимизации управления. В работе [60] соавторами рассмотрена модификация модели, предназначенной для качественного анализа и демонстрации различных вариантов управления системой «Человек-Природа», которая учитывает инновации как важнейший фактор устойчивого развития. На основе метода кратных максимумов автором решена задача оптимального управления для этой модели и произведены сравнительные расчеты для различных наборов параметров. Вклад автора в работы [22,23,74] состоит в описании разработанных им и использованных в ПК 1БС(Ж алгоритмов и область их применения. Описание идеологии интеллектуального интерфейса ПК ГБСОК является вкладом автора в совместную работу [72]. В работе [132] автором реализовано магистральное решение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Ниже приводятся основные научные результаты, полученные в диссертации.

1. Разработана методика построения аналитических динамических моделей объекта управления с использованием его описания в форме компьютерных программ и эмпирических данных на основе среднеквадра-тических аппроксимаций. Указанная методика апробирована на практической задаче.

2. Разработан метод и реализован единый настраиваемый алгоритм улучшения и приближенно оптимального синтеза управления в окрестности опорной траектории для дискретной или дискретизованной динамической системы на основе среднеквадратической аппроксимации функции Кротова и условий Беллмана.

3. Показана практическая применимость и действенность разработанных подходов: исследованы и решены практические задачи подъема-разгона и безопасной нештатной посадки вертолета, оптимизации развития региона на многокомпонентной модели с применением разработанных алгоритмов, реализованных в ПК 18С(Ж, на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф».

1. Courant R. Variational Methods for Solutions of Problems of Equlibrium and Vibrations // Bull. Amer. Math. Soc. V. 49, M, 1943.

2. Jacobson D.H. New second-order and first-order algorithms for determinining optimal control. A differential programming approach //J. Optimiz. Theory and Applications. 1968. V. 2. №4.

3. Jepson W.D. Some considerations of the landing and take-off characteristics of twin engine helicopters. //Journal of the American Helicopter Society. Vol 7, N 4, 1962.

4. Kalman R. Contributions to the theory of optimal control // Bui. Soc. Mech. Mat. 1960. P. 102-119.

5. Krotov V.F. Global methods in optimal control theory. New York, Marcel Dekker, 1996.

6. Meyer W.J. Concepts of Mathematical Modelling. — N.Y.: McGraw-Hill,1984.

7. Miele A. Recent Advances in Gradient Algorithms for Optimal Control Problems //J. Optimiz. Theory and Applications. 1975. V.17. №516.

8. Saaty T.L., Alexander J.M. Thinking with Models: Mathematical Models in the Physical, Biological and Social Sciences. — Oxford: Pergamon Press, 1981.

9. Агафонова И.A. , Гулнн JI.JT., Расина И.И. Математическое моделирование и оптимизация процесса метилирования динатриевой соли суль-фамина антипирина. Деп. в ВИНИТИ 10.11.78, е 3457-98 ДЕП.

10. Анрион Р. Теория второй вариации и ее приложения в оптимальном управлении. М.: Наука, 1979.

11. Арнольд В.И. О представлении функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных //Мат. просвещение. 1958. Вып. 3. С. 41-61.

12. Батурин В.А., Гурман В.И., Дыхта В.А. и др. Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения.- Новосибирск: Наука, 1990.

13. Батурин В.А., Урбанович Д.Е. Приближенные методы оптимального управления, основанные на принципе расширения. Новосибирск: Наука, 1997.

14. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: ИЛ, 1960.

15. Белышев Д.В., Гурман В.И. Программный комплекс многометодных интеллектуальных процедур оптимального управления//Автоматика и телемеханика, 2003, №6, с. 60 67.

16. Белышев Д.В., Саблин М.Ю. Алгоритм второго порядка поиска оптимального управления дискретной системой // Математика, информатика: теория и практика. Сборник трудов, посвященный 10-летию Университета города Переславля. — Под редакцией А.К. Айламазяна. —

17. Переславль-Залесский: Издательство: «Университет города Переслав-ля», 2003, с. 125-129.

18. Бердышев, В.И., Петрак Л.В. Аппроксимация функций, сжатие численной информации, приложения. — Екатеринбург: УрО РАН, 1999.

19. Бертсекас Д. Условная оптимизация и методы множителей Лагранжа. М.: Радио и связь, 1987.

20. Блинов А.О. Приложение метода наименьших квадратов к задачам моделирования и оптимизации //Вестник тамбовского университета. Естественные и технические науки, 2007, Т.12, №4, С. 412-414.

21. Блинов А.О., Гурман В.И., Трушкова Е.А., Фраленко В.П. Программный комплекс оптимизации законов управления //Программные продукты и системы, 2009, №2, С. 95-100.

22. Блинов А.О., Гурман В.И., Фраленко В.П. Аналитическая аппроксимация модели динамики летательного аппарата в задачах приближенно-оптимального синтеза управления //Вестник СГАУ, 2009, №4, с. 16-25.

23. Блинов А.О., Фраленко В.П. Многомерная аппроксимация в задачах моделирования и оптимизации //Автоматика и телемеханика, 2009, №4, С. 98 109.

24. Вортаковский A.C., Пантелеев A.B. Достаточные условия оптимальности управления непрерывно-дискретными системами.- Автоматика и телемеханика, 1987, №7, с.57-66.

25. Букреев В.З. Об одном методе приближенного синтеза оптимального управления // Автоматика и телемеханика, №11, 1968.

26. Букреев В.З. Синтез оптимального управления летательным аппаратом на активном участке // Космические исследования, т. 8, №6, 1970.

27. Булдаев A.C. Методы возмущений в задачах улучшения и оптимизации управляемых систем. Улан-Удэ: Изд-во Бурятск. гос. ун-та, 2008. 260с.

28. Булдаев A.C. Проекционные процедуры нелокального улучшения линейно управляемых процессов // Известия вузов. Математика. 2004. -т.- С. 18-24.

29. Булдаев A.C., Моржин O.B. Улучшение управлений в нелинейных системах на основе краевых задач // Известия Иркутского государственного университета. Математика. 2009. - Т. 2, №1. - С. 94-107.

30. Бутырский Е. Ю. Аппроксимация многомерных функций //Информация и космос, 2006, №4, С. 40-51.

31. Васильев О.В., Аргучинцев A.B. Методы оптимизации в задачах и упражнениях. М.: Физматлит, 1999.

32. Васильев О.В., Тятюшкин А.И. Об одном методе решения задач оптимального управления, основанном на принципе максимума.- Журн. Вычисл. Математики и мат. Физики, 1981, т.21, №6.

33. Васильев С.Н., Жерлов А.К., Федосов Е.А., Федунов, Б.Е. Интеллект-ное управление динамическими системами, М.: Наука, Физматлит, 1999.

34. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980.

35. Викулов В.Е., Гурман В.И., Данилина Е.В.и др. Эколого-экономическая стратегия развития региона. Новосибирск: Наука, 1990.

36. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Современное состояние теории оптимальных процессов // Автоматика и телемеханика, №9, 1972.

37. Габасов Р., Кириллова Ф.М., Тятюшкин А.И. Конструктивные методы оптимизации. 4.1: Линейные задачи. — Минск: Университетское, 1984.

38. Габелко К.Н. Последовательное улучшение многоэтапных процессов //Автоматика и телемеханика. №12, 1974.

39. Горбань А.Н. Функции многих переменных и нейронные сети //Соро-совский образовательный журнал, 1998, №12. С. 105Ц-112.

40. Горнов А.Ю. Вычислительные технологии решения задач оптимального управления. — Новосибирск: Наука, 2009.

41. Горнов А.Ю., Тятюшкин А.И. Программная реализация мультиметод-ной технологии для задач оптимального управления. Труды III Меж-дунар. конф. «Проблемы управления и моделирования в сложных системах». Самара: ИПУСС РАН, 2001, с. 301 307.

42. Горстко А.Б. Имитационная система «Азовское море». — М.: Труды ВНИТО, T.CXVIII. Вопросы математического исследования и моделирования экосистемы Азовского моря. 1974. С. 48-55.

43. Гурман В.И. Вырожденные задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1977.

44. Гурман В.И. К теории оптимальных дискретных процессов //Автоматика и телемеханика, 1973, Na6.

45. Гурман В.И. Магистральные решения в процедурах поиска оптимальных управлений. Автоматика и телемеханика, 2003, №3, с. 61-71.

46. Гурман В.И. Приближенный синтез оптимального управления //Автоматика и телемеханика, №5, 1976.

47. Гурман В.И. Принцип расширения в задачах управления — М.: Наука, 1985,1997.

48. Гурман В.И., Батурин В.А. Построение и оценка приближенного синтеза оптимального управления. Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, №4, 1978.

49. Гурман В.И., Батурин В.А. Приближенные синтез оптимального управления с помощью дискретной оценки. В кн. Проблемы устойчивости движения, Наука, 1979.

50. Гурман В.И., Батурин В.А. Улучшение и локальный синтез управления. Вырожденные задачи. ВИНИТИ, №618А-ДЕП.81

51. Гурман В.И., Батурин В.А., Данилина Е.В. Нелокальное улучшение и приближенно оптимальный синтез управления в задачах оптимальногоуправления с неограниченным множеством скоростей. Деп. в ВИНИТИ, №3395-84 ДЕП.

52. Гурман В.И., Батурин В.А., Данилина Е.В. и др. Новые методы улучшения управляемых процессов. Новосибирск: Наука, 1987.

53. Гурман В.И., Батурин В.А., Москаленко А.И. и др. Методы улучшения в вычислительном эксперименте. Новосибирск: Наука, 1988.

54. Гурман В.И., Батурин В.А., Расина И.В. Приближенные методы оптимального управления. Иркутск, Изд-во Иркут. Ун-та, 1983.

55. Гурман В.И., Блинов А.О. Аналитическая аппроксимация динамических систем в задачах приближенной оптимизации управления //Вестник Бурятского государственного университета. Математика и информатика. 2008. С. 25-30.

56. Гурман В.И., Блинов А.О. Оптимизация управления в модели «Человек-Природа» с учетом инноваций //Вестн. Бурят, гос. ун-та. Сер. Математика и информатика. 2009. Вып. 9. С. 34-38.

57. Гурман В.И., Квоков В.Н., Ухин М.Ю. Приближенные методы оптимизации управления летательным апаратом //Автоматика и телемеханика, 2008. №4. С. 191-201.

58. Гурман В.И., Константинов Г.Н., Расина И.В. Приближенный синтез оптимального управления для дискретных систем. Методы оптимизации и исследование операций, прикладная математика. Сб. статей. Сибирский энергетический институт СОАН СССР, Иркутск, 1976.

59. Гурман В.И., Матвеев Г. А., Трушкова Е. А. Социо-эколого-экономическая модель ре-гиона в параллельных вычислениях //Управление большими системами. Выпуск 32. М.: ИПУ РАН, 2011. С. 109-130.

60. Гурман В.И., Ни Минь Кань Реализация скользящих режимов как обобщенных решений задач оптимального управления, Автоматика и телемеханика, 2008, №3, С. 51Ц59.

61. Гурман В.И., Орлов А.Г. Достаточные условия оптимальности сложных процессов. Автоматика и телемеханика, №4, 1978.

62. Гурман В.И., Орлов А.Г. Сложные процессы двуногой ходьбы. Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша, №95, 1979.

63. Гурман В.И., Расина И.В. Достаточные условия оптимальности сложных дискретных процессов. Сб. Численные методы, Иркутск, 1978.

64. Гурман В.И., Расина И.В. О практических приложениях достаточных условий сильного относительного минимума //Автоматика и телемеханика, 1979, №10, с. 12-18.

65. Гурман В.И., Расина И.В. Сложные процессы.// Методы решения за,-дач оптимального управления на основе принципа расширения. Новосибирск, Наука, 1990. С. 84-94.

66. Гурман В.И., Расина И.В. Улучшение и приближенно-оптимальный синтез управления в окрестности опорной траектории. А и Т. 2011, №11. (в печати)

67. Гурман В.И., Расина И.В., Батурин В.А., Данилина Е.В. Достаточные условия относительного минимума в задачах улучшения и синтеза управления. В кн.: Методы оптимизации и их приложения. Новосибирск: Наука. Сиб. Отд-ие, 1982, с. 80-102.

68. Гурман В.И., Трушкова Е.А. Приближенные методы оптимизации управляемых процессов. PSTA. Pdf; Переславль-Залесский, Программные системы: теория и приложения, ИПС им.А.К.Айламазяна, 2010,т.

69. Гурман В.И., Трушкова Е.А., Блинов А.О. Приближенная оптимизация управления в параллельных вычислениях //Вестник БГУ, 2010, №9. С. 18-28.

70. B.А.Ильина, Россия, Бурятия, г. Улан-Удэ оз. Байкал, 23-28 июня 2008 г. Улан-Удэ, 2008, С.48-50.

71. Гурман В.И., Трушкова Е.А., Блинов А.О. Приближенная оптимизация управления на основе преобразований модели объекта //Автоматика и телемеханика, 2009, №5, С. 13-23.

72. Гурман В.И., Трушкова Е.А., Ухин М.Ю. Улучшение управления, реализующего скользящий режим //Автоматика и телемеханика. 2008. №3.1. C. 161-171.

73. Гурман В.И., Ухин М.Ю. The extension principle in control problems. Constructive methods and applied problems.- Moscow, Fizmatlit, 2005.

74. Гурман В.И., Ухин М.Ю. Магистральные решения в задачах оптимизации развития регионов //Автоматика и телемеханика, №4, 2004.

75. Гурман В.И., Ухин М.Ю. Метод улучшения дискретного управления, основанный на аппроксимации множества достижимости. Сборник научных трудов, посвященный 20-летию ИПС РАН.- М.: Физматлит. 2004.

76. Гурман В.И., Ухин М.Ю. Приближенный синтез оптимального управления в задачах с магистральными решениями.- Труды второй международной конференции по проблемам управления (МКПУ II) 16-20 июня 2003г., ИПУ РАН, 2003.

77. Гусева И.С., Трушков В.В. Реализация магистральных решений высших порядков // Вестник ВГУ. 2010. №9. С. 29-34.

78. Модели управления природными ресурсами. Под ред. В.И.Гурмана -М.: Наука, 1981.

79. Моделирование социо-эколого-экономической системы региона./Под ред. В.И. Гурмана, Е.В. Рюминой. — М: Наука, 2001. 175 с.

80. Гюрджиев В.Г. Метод возможных направлений для решения задачи оптимального управления с фазовыми ограничениями. — М.,Рукопись депонирована в ВИНИТИ 18.09.1980, №4099-80 Деп.

81. Данилина Е.В., Румянцев А.К. Панарин A.B. и др. Модели и методы оценки антропогенных изменений геосистем. — Новосибирск: Наука, 1986.

82. Демидович Б.П., Мирон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа — М.: Физматлит, 1963.

83. Дубовицкий А.Я., А.А.Милютина A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений. — Жури, вычислит, математики и мат. физики. Т. 5, №3, 1965.

84. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. — М.: Наука, 432 с.

85. Зоркальцев В.И. Метод наименьших квадратов: геометрические свойства, альтернативные подходы, приложения — Новосибирск: Наука, 1995.

86. Канторович Л.В. Функциональный анализ и прикладная математика // УМН. 1948. - Т.З, №6. - С. 89 - 185.

87. Келли Г. Дж. Метод градиентов. В кн.:Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. Под ред. Дж. Лейтмана. М.: Наука, 1965.

88. Кирин Н.Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Л.: Изд-во ЛГУ, 1968.

89. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и сложения. Доклады Академии наук СССР, 1957. Т. 114. №5. С.953-956.

90. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. — М.: Изд-во МГУ, 1983.

91. Красовский A.A. Аппроксимация функций многих аргументов в системах цифрового моделирования //Изв. АН СССР Техн. кибернетика. 1989. №3. С. 3-11.

92. Красовский H.H. Теория управления движением. — М.: Наука, 1968.

93. Высшая математика для экономистов.\ Под. ред. проф. Н.Ш. Кремера. М.: ЮНИТИ, 2001.

94. Кротов В.Ф. Методы решения вариационных задач на основе достаточных условий абсолютного минимума. Автоматика и телемеханика. I, №12, 1962; II, №5, 1963; III, №7, 1963; IV, №11,1965.

95. Кротов В.Ф. Приближенный синтез оптимального управления// Автоматика и телемеханика, т.25, №11, 1964.

96. Кротов В.Ф., Букреев В.З., Гурман В.И. Новые методы вариационного исчисления в динамике полета. — М: Машиностроение, 1969.

97. Кротов В.Ф., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. — М.: Наука, 1973.

98. Кротов В.Ф., Фельдман И.Н. Итерационные методы решения экстремальных задач. В кн.: Моделирование технико-экономических процессов. М.: Изд-во Московского экономико-статистического института, 1978.

99. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для задач оптимального управления.Журнал вычислительной математики и математической физики, 1962. Т. 2, №6.

100. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. Решение задач оптимального управления методом локальных вариаций // Журн. вычислит, математики и мат. физики, 1966. Т.6. №2.

101. Лалетин К.Н. Практическая аэродинамика вертолета Ка-26. Москва, «Транспорт», 1974 г.

102. Летов A.M. Аналитическое конструирование регуляторов, II Автоматика и телемеханика. 1960, Т. 21, №5. С. 561-568.

103. Матросов В.М. Метод сравнения в динамике систем. I, II // Дифф. уравнения.-1974.-Т. 10, N 5.-С. 1547-1559; 1975.-Т. 11, N З.-С. 403-417.

104. Мерриэм К.У. Теория оптимизации и расчет систем управления с обратной связью. М.: Мир, 1967.

105. Месарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. — М.: Мир, 1978.

106. Моисеев H.H. Методы динамического программирования в теории оптимальных управлений. 1-11// Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1964. Т. 4, т. 1965. Т.5, №1.

107. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. — М.: Наука, 1971.

108. Моисеев H.H. Численные методы теории оптимального управления, использующие вариации в пространстве состояний // Кибернетика, 1966. Т.5. №3.

109. Мордашев В.М. Аппроксимация функций нескольких переменных суммой функций меньшего числа переменных // Доклады Академии наук СССР. 1968, Т. 183, №4. С. 778-779.

110. Мордашев В.М. О наилучшем приближении функции многих переменных суммой функций меньшего числа переменных // Математические заметки. 1969. Т. 5. №2. С. 217-226.

111. Мордухович Б.Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. — М.: Наука, 1988.

112. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. Изд. 5-е. — М.:Книжный дом «ЛИБРИКОМ», 2011.

113. Никифорова Л.Н., Ухин М.Ю. Метод формирования траекторий перелета вертолета на основе теории оптимального управления //Вертолет 5, 1999.

114. Никифорова Л.Н., Ухин М.Ю. Приближенный синтез дискретно оптимального управления — М.: Физматлит // Труды конференции посвященной 20-летию ИПС РАН, Переславль-Залесский, май 2004, 2004, с. 377-386.

115. Никифорова Л.Н., Ухин. М.Ю. Синтез оптимального управления вертолетом на маневре в вертикальной плоскости //Научное обозрение, No 2, 2006. С. 63-72.

116. Никифорова Л.Н., Ухин. М.Ю. Синтез оптимального управления вертолетом на посадке с режима авторотации //Научное обозрение, No 6, 2005. С. 65-72.

117. Никифорова Л.Н., Ухин М.Ю., Феофилов Е.Б. Оптимизация пространственных траекторий полета вертолета // Сборник научных трудов Международной академии информатизации «Системный анализ, информатика и оптимизация», 1999, с. 58-68.

118. Орлов А.Г., Расина И.В. Метод улучшения второго порядка сложных процессов. — Новосибирск, 1977.

119. Охоцимский Д.Е. К теории движения ракет // Прикладная математика и механика. Т. 10, №2, 1946.

120. Охоцимский Д.Е., Энеев Т.М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли // Успехи физических наук, т. 15, вып. 1а, 1957.

121. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. — М.: Наука, 1961.

122. Расина И.В. Две формы достаточных условий оптимальности и метод улучшения второго порядка для сложных процессов. Юбилейный сборник научных трудов к 10 летию СИПЭУ. Иркутск, изд-во «Макаров», 2004, с. 180-192.

123. Расина И.В. Сложные процессы с параметрами. Актуальные проблемы права, экономики и управления в Сибирском регионе. Сборник статей международной научно-практической конференции (18-19 апреля 2005г.), Иркутск: СИПЭУ, 2005. - Вып. I, Т.И, с. 42-44.

124. Расина И.В., Гусева И.С., Блинов А.О. Магистрали в задаче оптимизации стратегии развития региона на многокомпонентной модели //Вестн. Бурят, гос. ун-та. Сер. Математика и информатика. 2011. (в печати).

125. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. — М.: Физматлит, 2000.

126. Суриков Н.Ф., Иоффе Г.И., Дмитриев Ф.Ф., Пак Е.Г. Вертолет Ка-26. — М.: Транспорт, 1982.

127. Трушкова Е.А., Квоков В.Н., Ухин М.Ю. Метод улучшения управления на имитационной модели объекта и его применение к задаче оптимизации маневров нештатной посадки вертолета //Вест. СГАУ., 2009, №1, с.161-170.

128. Тятюшкин А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем. — Новосибирск: Наука, 1992.

129. Ухин М.Ю. Приближенный синтез оптимального управления. — М.: Физматлит, 2006.

130. Ухин М.Ю., Ачитуев С.А. Оптимизация стратегий развития региона на многокомпонентной модели // Автоматика и телемеханика. 2008. №3. С. 178-189.

131. Федоренко Р.П. Метод проекции градиента в задачах оптимального управления. М., Препринт ИПМ АН СССР, №45,1975.

132. Хемминг Р.В. Численные методы. — М.: Наука, 1968.

133. Хрусталев М.М. Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана. Докл. АН СССР, 1975, Т,242, №5.

134. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления //Мат. анализ. Итоги науки и техники. Т. 14. М.: ВИНИТИ, 1977. С.101-166.

135. Шатровский Л.И. Об одном численном методе решения задач оптимального управления //Журн. вычисл. математики и мат. физики. №2, 1962.

136. Энеев Т.М. О применении градиентного метода в задачах теории оптимального управления //Космические исследования, т. 4, №4, 1968.