автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование температурного состояния конструкций из неоднородных материалов на основе двойственной вариационной формулировки сопряженной задачи теплопроводности

На правах рукописи

Родиков Алексей Викторович

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ КОНСТРУКЦИЙ ИЗ НЕОДНОРОДНЫХ МАТЕРИАЛОВ НА ОСНОВЕ ДВОЙСТВЕННОЙ ВАРИАЦИОННОЙ ФОРМУЛИРОВКИ СОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата технических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана

Научный руководитель: д.т.н., проф. Зарубин В.С.

Официальные оппоненты: д. ф.-м. н., проф. Формалев В.Ф.,

к.т.н. Головин H.H.

Ведущая организация: Федеральное Государственное Унитарное

Предприятие "Центральный научно-исследовательский институт машиностроения" (ЦНИИМАШ).

Защита состоится 2006 года в /^часов на заседании

диссертационного совета Д212Л41Л5 при Московском государственном техническом университете имени Н.Э. Баумана по адресу: 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5.

Отзыв на автореферат в двух экземплярах, заверенный печатью организации, просим высылать по адресу 105005, г. Москва, 2-я Бауманская ул., д. 5., ученому секретарю совета Д212.141.15.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Московского государственного технического университета имени Н.Э. Баумана.

Автореферат разослан «

Ученый секретарь диссертационного совета д. ф.-м. н., проф. И.К. Волков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Проблема достоверности определения температурного состояния элементов конструкции является в современной технике одной из важнейших. От успешного ее решения зависят возможности повышения надежности, эффективности и ресурса работы энергетических установок и теплонапряженных узлов различных машин и агрегатов.

Нахождению точного аналитического решения задач по определению температурного состояния посвящена обширная литература, но нахождение точного аналитического решения, как правило связано с большими, а иногда с непреодолимыми трудностями. С прикладной же точки зрения наряду с аналитическим решением не меньшее значение имеет получение приближенного численного решения. Причем приближенные методы с инженерной точки зрения считаются приемлемыми, если при разумных затратах труда и времени дают не только необходимую информацию о значениях искомых функций, но и обеспечивают оценку достоверности этой информации.

В последнее время при разработке и сравнительном анализе методов решения задач теплопроводности указанному требованию уделяется определенное внимание, однако эти вопросы еще не получили достаточного освещения. В данной работе предпринята попытка положить в основу изложения методов расчета инженерный подход, предусматривающий возможность оценки достоверности получаемой информации о температурном состоянии конструкции.

Данная работа посвящена построению вариационной постановки сопряженных задач для тел различной структуры и нахождению среднеквадратиче-ской погрешности численного решения таких сопряженных задач. Показано, что вариационная формулировка сопряженных задач теплопроводности не только дает возможность эффективно использовать приближенные методы для расчета температурного поля в твердом теле, но и содержит в себе объективный интегральный критерий точности получаемого приближенного решения. В работе представлено применение метода конечных элементов для численного решения сопряженных задач стационарной теплопроводности и оценки погрешности этого решения, а также разработан метод нахождения нижней границы первого собственного значения операторов рассматриваемых задач, которая необходима для нахождения среднеквадратической погрешности.

Цель работы состоит в разработке численных алгоритмов для математического моделирования температурного состояния стационарных сопряженных задач теплопроводности и определению оценки погрешности полученного приближенного решения.

Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач: - построение двойственной вариационной формулировки сопряженных Задач стационарной теплопроводности;

- разработка методики определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных стационарных задач теплопроводности;

- разработка методики определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом.

Научная новизна. Разработана методика определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных стационарных задач теплопроводности, а также методика определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом. Методами математического моделирования изучено влияние густоты сетки конечно элементной модели на погрешность численного решения стационарных сопряженных задач теплопроводности.

Получена двойственная вариационная формулировка для сопряженной стационарной нелинейной задачи теплопроводности в теле, состоящем из N однородных частей, в каждой из которых коэффициент теплопроводности материала зависит от распределения температуры в теле.

Достоверность результатов основана на использовании современных методов математического моделирования и классических положений теории теплопроводности, строгости применяемых математических методов, а также на совпадении полученных численных результатов с известными аналитиче-. скими решениями.

Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы в разработках НИИ и КБ, ведущих исследования в области создания, расчетов, анализа работоспособности и применения конструкций, подверженных интенсивным тепловым воздействиям. На защиту выносятся следующие положения:

- двойственная вариационная формулировка сопряженной задачи стационарной теплопроводности в теле, состоящем из N однородных частей, в каждой из которых коэффициент теплопроводности материала зависит от распределения температуры в теле;

- методика определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом;

- методика определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных нелинейных стационарных задач теплопроводности;

- результаты математического моделирования температурного состояния те-плонапряженных конструкций.

Апробация. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на XIV Школе-семинаре молодых-ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева в г. Рыбинске в 2003г.; Научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004г.; XV Школе-семинаре молодых-ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева в г.

Калуге в 2005г.; международной научной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные программы механики», посвященной 90-летию Феодосьева В.И. в г. Москве в 2006г.; научных конференциях студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана и научных семинарах кафедры «Прикладная математика» в 2003 — 2006г.

Публикации. Основное содержание работы изложены в статьях и тезисах выступлений на конференции [1—6].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, выводов и приложения. Работа изложена на 199 страницах, содержит 32 иллюстрации и 12 таблиц. Библиография включает 64 наименования.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цели и задачи исследования, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, указаны основные положения, выносимые на защиту, структура и объем диссертационной работы.

Первая глава работы посвящена обзору методов решения стационарных задач теплопроводности, которые можно разделить на три типа: аналитические, приближенные аналитические и численные методы.

Во второй и третьей главах построены вариационные формулировки сопряженных задач теплопроводности, а также определены среднеквадратические погрешности численного решения этих задач. Во второй главе рассматривается сопряженная задача стационарной теплопроводности в неоднородном теле, состоящем из N неоднородных частей (рис. 1), а в третьей главе — сопряженная нелинейная задача стационарной тепло-рис. 1. К формулировке задачи проводности в теле, состоящем из N теплопроводности для неодно- однородных частей, в каждой из кото-родного тела рых коэффициент теплопроводности ма-

териала зависит от распределения температуры в теле.

В первом случае математическая модель имеет вид:

£Цу^1.(М/)ёга<1Тг(М/)]+^(М/,Г/) = 0, М1 еV,, Т,(/*) = /2/(Р,-), Р1 еР2/, Я,Д^)Вгас1Тг(^).п/(/>)+/1г(/>-,7;(л))=0, /} / = (1)

+ = 0, />•, Р], Р5 е Fsj П^у,

где Тг(М,), V/, ¥21 и ^1/» Ру/ и —температура, объем, поверхности,

на которых заданы граничные условия 1-го и П-го рода, контактная поверх-

ность и коэффициент теплопроводности /-ой части тела, д](Л/г-,7}) - объемная плотность мощности энерговыделения, Т$ (Р5) — температура тонкой промежуточной прослойки, й; (Р,), п¡¡{Р{) - единичные векторы внешней нормали к соответствующей поверхности в точке Р{ этой поверхности; /нЙ» *}(/})) ~~ известные функции координат точки Р{ и температуры 7} (Рг-) в этой точке; /_„• (Р,-, 7} (Р,-), Т5 (Р5 )) - известные функции координат точки Р^ и температур 7}(Р,-) и Т5(Р5) в этой точке и в точке Т5 прослойки; /2,(Рг) -известные функции координат точки Р^.

Математическая модель нелинейной задачи стационарной теплопроводности в теле, состоящем из N однородных частей, в каждой из которых коэффициент теплопроводности материала зависит от распределения температуры в теле, записывается в виде

сЗ^гаау/(М{= 0, V,-= /2г(Р>) = \^{%{Т)с1Т> Р, е

Р/б^,. (2)

где Го - нижняя граница ожидаемого диапазона изменения температуры в

теле, ^(Л/^м/,-), Л/(Р/,Ч//(Р/),Ч/5(Р,)) и \|/,(/»)) ~ из-

вестные зависимости координат соответствующих точек М\, Р/, Р8 и потенциалов теплопроводности \|/,-(Л/г-), \|/;-(Рг ), ^ ^ (Ру) в этих точках. Потенциал теплопроводности тонкой промежуточной прослойки принят в виде

линейной комбинации потенциалов теплопроводности контактирующих частей тела

удовлетворяющей условиям

>¥«№). (4)

С учетом условий (4) выражение (3) принимает вид т} т,

]^(т)аг дх,- (г) -к у (г))с?г V, Й) = ~-Т-Ч-Ч-Т-

2 7} ь 1] Т,

/Х,(Г>£Г |х7(г>/г- {Х,(гУг /Ху(Г>/Г

Т0 То То

Г, т,

).

1 Гп Гп -(5)

+__1_о_10

2 7/ Г,- Т} Т(

ъ

причем выражение (5) справедливо при не выполнении одного или нескольких из условий: 1. 0 или = 0,2. Х,(г)=^(г),3. Т](Р^) = Гу(Р5).

Однако выполнение первого условия с физической точки зрения невозможно, так как коэффициент теплопроводности любого материала строго больше нуля, то есть Х,(г)>0 и Ху(г)>0. Второе условие соответствует тому случаю, когда соприкасающиеся части тела имеют одинаковые коэффициенты теплопроводности материала, поэтому Ч^О^)111 У/(/у)• Действитель-

но, если в выражении (5) перейти к пределу при условии Х, (г)-> Л.у(г), то будем иметь

Т Т-

4Нт^тт=т

То Т0 1 1

Третье условие соответствует одному из условий идеального контакта между двумя соприкасающимися частями тела. Показано, что при 7/(Р)—» 7у(Р) и

отсутствии в промежуточной прослойке источников теплоты выполняется еще и второе условие §гас!у)-Егас1\|/Л(Р5)—>0- ТогДа выражение (5) можно использовать всегда, кроме того случая, когда Х;(г)= 0 или Ху (т) ^ 0, который с физической точки зрения никогда не выполним.

Математической формулировке (1) соответствует двойственная вариационная формулировка задачи, содержащая прямой функционал

Г/ {р^)

ау+ ¡¿ги ' ¡/и(р„т)с1т+ (6)

То л Гц Т0

ГДТ^) ДГ„(Л) Т,{РВ)

• /Л1-(Р„АГ>/(АГ)+ ¡/у(Р,,АТ)с1(АТ)- ¡Яз{рз>тут\ар Р. I о 0 т0

с дополнительными условиями Т,- ^ ) = /2,- (Р,), Р{ е и встречный функционал Js\Ггq'\ —

лИ-1,1,

I

1

SN /=1

I

2ХДм) 4 дт

лтЛ Т3(Р5)

Т)

дАТ

ар

. (7)

, ч ЭТАР5,АГ) , , ЗД), (Р г)

,х</(АГ)+ | АГ ^(АГ)- | {Т-ТоГ?^'1 ЫТ

0 2о

Функционал (б) допустимо рассматривать на непрерывных распределениях температуры Г/ во всех точках Л/,- объема Р} / -ой части тела и удовлетворяющих граничному условию Т,•(/>•) = /2/(■?/), Р/ е Бг/. Функционал (7) допустимо рассматривать на таких распределениях вектора плотности теплового потока <7/ и температуры 7}, которые удовлетворяют условиям:

Л//^-; ^ (Рг) = /1/(/),7})),^ еГц; ■«,,(/>,)=

а также вектор плотности теплового потока д,- должен удовлетворять условию непрерывности нормальной составляющей плотности теплового потока.

Математической формулировке (2) соответствует двойственная вариационная формулировка задачи, содержащая прямой функционал

■ЯМ-ЕЛ,

!

>7/

I

о

аг + (9)

о

♦Л /

АУ^(^) уД/»)

о о о

ар

с дополнительными условиями у встречный функционал

■^ЬЕм

I

^ д\у

2 о ^ ] 4, О ^

- /айййУаСч^+Л /Гтлу^'^^ду)

с I л ^^

Функционал (9) допустимо рассматривать на непрерывных распределениях потенциала теплопроводности \|/,(М/) во всех точках Л/;- объема /-ой части тела и удовлетворяющих граничному условию

¡(т)ЛГ, /) е Р2г-. Функционал (10) допустимо рассматривать на таких распределениях вектора плотности теплового потока и потенциала теплопроводности у,- (М,-), которые удовлетворяют условиям:

=<?■ (МпМ/Д = Ъ =

= Л/ > АЧ/), Л/ (П, Ау) + Л/ >¿У* (Р5 )) + <7* (Р*, Ау* )) (11)

а также вектор плотности теплового потока должен удовлетворять условию непрерывности нормальной составляющей плотности теплового потока.

Анализ вариационных формулировок задач (1) и (2) позволил установить, что:

1) пара альтернативных функционалов (б), (7) удовлетворяет неравенству я] - ^ \Т\> пара функционалов (9), (10) - неравенству J's [\|/, д] < J's [у],

а стационарные значения этих пар функционалов совпадают;

2) среднеквадратическая погрешность приближенного численного решения сопряженных задач (1) и (2) оценивается неравенствами

г<2А/Л Г,д]/Эь (12)

где Р], Р| — нижние границы первого собственного значения операторов задач (1) и (2), Д/у[Г,с[\ - разности значений пар функционалов (б), (7) и (9), (ю) соответственно;

3) если операторы А и В абстрактной задачи на собственные значения Аи = рВи являются симметрическими и положительно определенными и если интервал {а, Ъ) содержит одно из собственных значений Р; оператора А, то оценка для этого собственного значения имеет вид

а<Ф-С2/(б-Ф)<Р/ <Ф + С2/(Ф-а)<6, (13)

где Ф = {Аи, и)/{Ви, и) и Ф2 + ё1 = \в~ХАщ Аи]/{Ви, и), причем

Ф-С2/б-Ф<р1 < Ф (при а -» -оо из (13) следует Ф-£2Д-Ф<Р1 <Ф).

Четвертая глава посвящена применению проведенных исследований для различных стационарных задач теплопроводности как в целях тестирования разработанных методов по аналитическим решениям (двумерное прямое ребро и неоднородный стержень), так и для анализа температурного состояния сложной конструкции (оболочка камеры сгорания двигателя).

Двумерное прямое ребро

Рассмотрено двумерное прямое ребро высотой Ь и толщиной к = 25 (рис. 2) с заданной температурой основания Го и идеально теплоизолированным

торцом. На боковой поверхности происходит конвективный теплообмен с постоянным коэффициентом теплообмена ас со средой, имеющей температуру Тс. В силу симметрии ребра относительно оси г и в случае постоянности коэффициента теплопроводности X математическая формулировка для определения температурного состояния двумерного прямого ребра имеет вид

дг дх дх X X

Математической модели задачи (14) соответствует двойственная вариационная формулировка, включающая функционал

[Г] = Я11Ь"^*- г)Г ал + |ае (7- - Гс )ыт,

00 О Т0

который допустимо рассматривать на непрерывных распределениях температуры Т(М) во всех точках рассматриваемой области.

(15)

X «с Тс {

0 - 5 \ \ ■ £ 1'

. <*е Т. \

ас,Тс

9о

-г

Л

о

"с.Тс

Т

Ч

рис.2. Расчетная схема однородного рис.3. Расчетная схема неоднородно-двумерного ребра го стержня

Встречным по отношению к У[г] является функционал [5] , 18, ч Ь Т(д.г)

= ¡¡[д^+д^сЬ-¡ск ¡ас(Т-То^Т} (1б)

Л 00 0 То

который допустимо рассматривать на таких распределениях теплового потока и температурного поля, которые удовлетворяют условиям

й\щ{х,:)=0У(х,г)е [0,б]х[0,Ь]; Чг(л:,Ь) = 0 V* б [0,б]; 9,(0,г)=0Уге[0,Ь]\ д,(5,г) = ас(Г(8,г)-Г0) Уге[0,1], а также условию непрерывности нормальной составляющей теплового потока к любому контуру ребра, который разбивает его на два тела. Аналитическое решение задачи (14) имеет вид

гМ=

= тИ1—|70 -(То -Гс)сЬ(Уи*)/(^8Ь(ут5)+сЬ(уст5)1}8т(утг)(17), ь Ут I / V ас )\

Собственные значения оператора Лапласа (14) находятся по формуле

Р т = Ym +vm> rneN, где ут - (2тя-1)я/(2£), a vm определяются из трансцендентного уравнения вида ctg(v5) = vX/ac .

Неоднородный стержень Рассмотрен неоднородный стержень длиной 21 и толщиной h (рис. 3), который состоит из двух однородных стержней с длинами £ и толщиной h. На боковой поверхности неоднородного стержня происходит конвективный теплообмен с постоянным коэффициентом теплообмена ас со средой, имеющей температуру Тс. Правый торец стержня имеет температуру Тс> а на левом торце стержня задан тепловой поток, плотность которого равна gQ. Коэффициенты теплопроводности левого и правого стержней равны и Х2, соответственно. Между стержнями существует тонкая промежуточная прослойка, имеющая температуру Ts. Тогда, при коэффициентах контактного теплообмена левого и правого стержней с тонкой промежуточной прослойкой a^i и ак2 соответственно математическая формулировка задачи для определения температурного состояния неоднородного стержня имеет вид kiV27i (х)- 2ac (7i - Тс )/h = 0, * е [- 0];^ dTx (- i)¡dx = д0;Т2 (г) = Тс;

X2V2T2(x)-2ac(T2-Tc)/h = 0, xe[0j]; kidr1(0)/dx-aKi(Tl(0)-Ts) = 0't b2dT2(0)/dx-aK2(T2{0)-Ts)=0-, ак1(Г1(0)-Г,)+аяс2(Г2(О)-7;)=О.(18) Математической модели задачи (18) соответствует двойственная вариационная формулировка, включающая функционал

О I О

Jc[T]=M/2 ^dTl{x)/dxfdx + 'k2/2^dT2(x)/dxfdx + ac/h \(Т1-Тс)2сЬс + -г о -i

t

+ ajh j{T2 -Tcfdx + 7¡(-£)д0 + [ак1ак2/(ак1 + а,2)]2(71(о)-Г2(о))2/2, (19) О

который допустимо рассматривать на непрерывных распределениях температуры Т\ (х) и Т2 (х) во всех точках интервалов [- 0J и [0, í\ соответственно. Встречным по отношению к (19) является функционал

JclT,q\=~ ]gKx)dx--^-\ql{x)dx + ^ ](Tl-Tc)2dx +

2h J¿ 2 ¿ Ъ

t

+ ac/h ¡(T2-Tcfdx + TÚ-iko +[ак1ак2/(ак1 +ак2)]2(Г1(0)-72(0))2/2. (20) 0

Функционал (20) допустимо рассматривать на непрерывных распределениях теплового потока, которые также удовлетворяют условиям

dgl{x)/dx = 0, хе[-£,О]; dg2(x)/dx = 0, х e[0j]; qi(-¿) = qo\

1*1-21.1

+

дх (0) = -42 (0>= ак1ак2 (о) - Г2 (0))/(<хк1 + ак2) • ' Аналитическое решение задачи (18) имеет вид

7|(;с) = Тс +С1сЬ(ш1х) + с28Ь(т1х) и Т2(х) = Тс +сзсь(т2л:) + с4811(ш2л:), (21) где т1 — 72^7^, пг2 = л/2Нас/Х2 , С1 > с2 > ^з и с4 — константы, значения которых находятся из граничных условий задачи (18).

Первое собственное значение оператора задачи (18) дается выражением

и*8^"*') + 1} + *2к-1'2к»к {сЪ{2пк£) _ !)

. ^2к-1 2п~к2 2(-1) + ас//г+ -+ 252к_1Вк вЪ(пк£)/пк -2з2кВк(сЪ(пкИ)-\)1пк -("О* "сЬ(2п^))/2пк + + з1к)$Ъ{2пк1)/4пк\+

где В* =2асТс/^кг$к\-Тс, пк = ^2(ас/к + \х)/Хк , А: = 1,2, 52, и -константы, значения которых находятся из условия минимума функционала (19) с граничными условиями (18), р. — множитель Лагранжа, который находится из условия нормировки ^[^ООР^х + = Т^¡21.

Круговая цилиндрическая оболочка камеры сгорания двигателя

Рассмотрена круговая цилиндрическая оболочка камеры сгорания двигателя (рис. 4). Оболочка состоит из наружной стенки радиусом К и толщиной И2 и внутренней стенки, в которой параллельно оси оболочки выфрезерованы каналы прямоугольного поперечного сечения шириной 2Ь, так что между каналами образованы продольные ребра высотой Ь и шириной 26. Оставшаяся после фрезерования толщина внутренней стенки равна .

Отношение радиуса оболочки к толщине много больше единицы, поэтому в тепловом отношении описанную выше конструкцию можно представить как плоскую стенку с выфрезерованными на ней прямыми ребрами высотой Ь и шириной 25, причем расстояние между ребрами 2Ь. Время работы двигателей, в которых используются подобные конструкции камеры сгорания, сравнительно невелико, однако процессы теплопроводности в оболочке камеры протекают с высокой интенсивностью, что позволяет решать более простую стационарную задачу теплопроводности, которая является предельным случаем нестационарной задачи. Так как условия теплообмена не изменяются по длине оболочки, то для повторяющегося элемента конструкции (рис.5) в случае идеального контакта математическая формулировка имеет вид ^[ХдоёТ] (*,*)] = 0 ={0,Ь + 5) х (0,^)1) (0,б)х (О,/^ +Ь),

ёгф.2Егас172(л:,г)]= 0 У(х,г)е(72 = (0,Ь + б)х + +Ь + И2), -57] (дг, 0)/& + агГ] (х, 0) = аГТГ, Х2 дТ2{х,И1+Ь + к^/дг = 0 V* е [0,£ + 5],

Э7| (0, г)/8х = О V* е [О, Гц + Ь], дТх(6 + 8, г)/дх = 0 Уг е [О, ], (22)

Х1аГ1(х,й1)/аг + ажГ1(х,Л1)= ажГж, \/хе[8,8 + б], -Х2дТ2(х,Ь1 + £)/8г + ажТ2(х,1ц +^)=ажТж У*е[8,8 + £], Я! дТ1(5,г)/8х +

аж Ту (б, г) — ажГж ЭГ2(0,г)/йх = 6Г2(Ь + б, г)/дх = 0 Уг € + Ь,^ + Ь + Т^], 7! (х, ^ +1) = Т2 Ос, /2! + ¿) и Я.1 дТг (х,кх + Ь)/дг = Х2 дТ2 (х, Ац + £)/& Ух е [о,8], где "к 2 ~ коэффициенты теплопроводности материалов внутренней и наружной стенок соответственно; аж, аг — коэффициенты теплообмена с охлаждающей жидкостью и газом соответственно; Тж, Гг — температуры охлаждающей жидкости и газа соответственно.

Ь+ 5

Рис.4. Фрагмент сечения оболочки камеры Рис.5. Повторяющийся эле-сгорания, ортогональный оси оболочки мент конструкции

В случае неидеального контакта между ребрами и наружной стенкой оболочки вместо двух последних условий задачи (22) необходимо записать следующие три

ак1{Т1{х^+Ь)~Т3Уак2(Т2(х,Ь1+^-Т3)=0 Ухе[о,8], (23)

ШхЛ +1)-тЛдТ2{х£+1)^(т2(хЛ

Математической модели (22) в случае независимости коэффициента теплопроводности стенок от распределения температуры, соответствует двойственная вариационная формулировка, включающая функционал

0 0 о ^

6+5Й1+£+Л2 г Н7,т2 6+5 71(х,0) 6+5 ^(хЛ)

| + |с£с |аг(Г-Гг>/Г + \ (Ьс |аж х

+

0 2 О Г0 8 Т0

Их+Ь 71 (б,г) 6+5 Г2(х,й,+Х)

х(Г-ГжУг+ /аж(Г-Гж>/Г+ /¿к /аж(Г-ГжУГ, (24)

Т0 5 Г0

который допустимо рассматривать на непрерывных распределениях температуры Т(м) во всех точках рассматриваемой области.

Встречным по отношению к (24) является функционал

. 6+5Й1/ ч . 5^1+1/ ч

0 0 И,

. 6+5^1+^+^2 / ч 6+5 71(х,0) 6+5

-гг- / / ¡аг(Т-Т0)с!Т- ¡с1хх (25)

2 0 0 Т0 5

^(х,^) 71(5, г) 6+5 Г2(х,Л,+£)

х \аж(Т-Т0)аТ- \ <Ь /аж(Г-Г0>/Г- /¿к /аж(Г-Г0>/Г, То л, Г0 3 Г0

который допустимо рассматривать на таких распределениях теплового потока и температурного поля, которые удовлетворяют условиям

дх(0,г) = 0, г е [0,Ъ + 5], -д2(х, 0) = аг[7(х, 0)-Гг ], х б ¡0, Ъ + б], (26)

Яг(*> ) = «жИ*»Ь)~Тж\ Чх(Ъ>2) = «ж[Т(Ь>~тж 1 * е [КЬ +¿\>

а ж[г(х, ^ + Ь)-Тж\ х е [б, Ъ + б], а также условию непрерывности нормальной составляющей теплового потока к любому контуру тела, который разбивает его на два тела.

Математической модели задачи (23) в предположении независимости коэффициента теплопроводности внутренней и наружной стенок от распределения температуры соответствует двойственная вариационная формулировка, включающая функционал

^И=^И+[ак1«к2/(«к1 +а*2)]2 +1)-Т2(х,к1 +Х))2л/2,(27)

который допустимо рассматривать на непрерывных распределениях температуры Т(м) во всех точках рассматриваемой области, кроме контактной поверхности при г = + Ь и х е (0, б), на которой Т\

Встречным по отношению к (27) является функционал

1

А[Т,яЬ^о[Т,д] + -[ак1ак2/(ак1 + а,с2)]2|(Г1(х,/11 + Ь)-Т2(х,И1 + 1))2<&,(28)

0 . который допустимо рассматривать на таких распределениях теплового потока и температурного поля, которые удовлетворяют условиям (2б) и

«Л*»к +1) = «к^кгЙС*.^ + £)-Г2(х,^ + Х,))/(схж1 + ак2), *е [0,б], (*» 1\ + ь)= ак\<*к2(т2(х>Ь1+1*)-7\(хЛ+ ¿))/(<*к1+ ак2)з х.е [0,б], а также условию непрерывности нормальной составляющей теплового потока к любому контуру тела, который разбивает его на два тела.

_ _Таблица 1.

5 Аналитическое решение5 Численное решение Погрешность

4

прямое ребро 965342.577 965342.577 675006.400 965342.57700011 965342.5779998 675006.312 16-Ю-6

неоднородный стержень -341444.786 -341444.786 223.608 -341444.70771275 -341444.70771268 223.607 12-10'7

оболочка : Идеальный контакт - - - -4.4788736-107 -4.4788809 107 13.5106 0.72

Неидеальный контакт - - - -4.4788735-107 -4.4788793-107 14.1-Ю6 0.63

Примечание: 1 - значение прямого функционала, 2 - значение встречного функционала, 3 - первое собственное значение оператора задачи, 4 - нижняя граница первого собственного значения оператора задачи

\434 14:8 ?423.4 418.1 4}9.4\ Л \ \ 4118

407.5-

0.0002 - -

00 444.7 43|9.443^14г'8 7|42Э.4[ 4181 Т.КОО 0 00013 0.0005 0.00075 0.001 0.00123 0.0015 0 00175 0.002*> " Т К0 0 0.00025 0.00050.00075 0.001 0.00125 0 0015 0.00175 0.002«. и

Рис.6. Аналитическое решение зада- Рис.7. Численное решение задачи по чи по определению температурного определению температурного состоя-состояния прямого ребра ния прямого ребра

Результаты моделирования, которое проведено при следующих значениях параметров: Ь = 0.002м, 1ц= 0.001м, Ь2 = 0.0032м, Ь = 5 = 0.001м, £ = 0.2м, И = 0.01м, =290Вт/(м-К) , Х2 =14.5Вт/(м-К),

аг=2960Вт/(м2-к), аж = 17300Вт/(м2-к), Тт = 3558К, ГЖ=ТС= 373К,

Г0=450К, ^ =1000Вт/м2, ак1 =3160Вт/(м2-к) и ак2 = 2960Вт/(м2-к), представлены на рис.6-12. Причем на рис.6, 8 приведены аналитические ре-

13

шения, а на рис.7, 9 — численные решения для двумерного прямого ребра и неоднородного стержня соответственно. На рис. 10, 11 представлены линии уровня температурного поля и функции тока для оболочки камеры сгорания двигателя в случае идеального и неидеального контакта ее внешней стенки и торца ребра соответственно.

-О г -0.1$ -0.12 -0.08 .0.04 0.0 0.04 0.08 012 016 0.2 *."

Рис.8. Аналитическое решение задачи по определению температурного

•0.2 Л16 -0.12 -0.08 -0 04 0.0 0.04 0 08 012 0.16 0.2

Рис.9. Численное решение задачи по определению температурного состояния неоднородного стержня

О 0.5 1 1.5 2

а.)

Рис. 10. Линии уровня температурно- Рис. 11. Линии уровня температур-го поля в °С (а.) и функции тока в ного поля в °С (а.) и функции тока в Вт/м (б.) для случая идеального кон- Вт/м (б.) для случая неидеального такта контакта

В табл. 1 приведены значения альтернативных функционалов, их разности, аналитические значения, если они есть, оценки снизу первого собственного значения и оценки для среднеквадратической погрешности для задач по определению температурного состояния двумерного прямого ребра, неоднородного стержня и оболочки камеры сгорания двигателя в случае идеального и неидеального контактов ее стенок.

Хорошее совпадение точного аналитического решения для первого собственного значения положительно определенного оператора с положительно

определенным весом с оценкой снизу этого собственного значения (табл. 1) показывает работоспособность разработанной методики по определению двусторонних оценок собственных значений для задач, неимеющих точного аналитического решения.

Из зависимостей представленных на рис.12, видно, что температура ребер в зоне контакта выше, чем температура наружной стенки при учете неидеального теплового контакта между этими поверхностями. Температура при идеальном тепловом контакте между ребрами и наружной стенкой попадает в интервал между температурой наружной стенки и температурой торца ребра.

В приложении приведена вариационная формулировка несвязанной задачи термопластичности и с использованием результатов анализа температурного состояния оболочки камеры сгорания двигателя проведен расчет напряженно-деформированного состояния этой оболочки.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построена вариационная формулировка стационарной сопряженной задачи теплопроводности для тела, состоящего из нескольких однородных частей, коэффициенты теплопроводности материалов которых зависят от искомого распределения температурного поля. Построены обладающие экстремальными свойствами функционалы, по разности значений которых можно определить оценку погрешности численного решения.

2. Разработана методика оценки погрешности численного решения сопряженных задач стационарной теплопроводности для тел различной структуры с использованием двойственной вариационной формулировки задач и первого собственного значения оператора задачи.

3. Разработана методика определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом.

5. Построены алгоритмы метода конечных элементов для расчета температурного состояния тел, состоящих из нескольких частей, тепловой контакт между которыми неидеальный.

6. Достоверность разработанных алгоритмов подтверждается хорошим совпадением полученных результатов с известными аналитическими решениям.

- температура наружной стенки

- температура при идеальном контакте

- температура торца ребра

«—31*_____

х,и 0.001 0.0008 0.0006 0.0004 0.0002 0.0 0.0009 0.0007 0.0005 0.0003 0.0001

рис.12. Значение температуры стенок внутренней и наружной стенок по линии контакта в случае идеального и неидеального контактов

7. Проанализирована зависимость погрешности приближенного решения сопряженных задач теплопроводности (на примере оболочки камеры сгорания двигателя) от густоты конечноэлементной сетки. Показано, что начиная с определенного значения количества точек разбиения дальнейшее увеличение их количества не приводит к увеличению точность приближенного решения задач.

8. Разработан и применен комплекс программ, позволяющий определять температурное состояние тел, состоящих из нескольких частей с неидеальным тепловым контактом, а также двусторонние оценки собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом и погрешность приближенного решения таких сопряженных задач.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ ОТРАЖЕНЫ В РАБОТАХ

1. Зарубин B.C., Родиков A.B. Температурное поле оболочки камеры сгорания двигателя // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Тр. XIV Школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева. - М., 2003. - Т.2. -С. 376-379.

2. Родиков A.B. Математическое моделирование поля температур в неоднородном теле // Современные естественно-научные и гуманитарные проблемы: Сборник трудов научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана. - М., 2004 - С. 609-614.

3. Родиков A.B. Температурное состояние оболочки камеры сгорания двигателя // Известия вузов. Машиностроение. — 2004. — № 5 — С. 83-96.

4. Зарубин B.C., Родиков A.B. Определение среднеквадратической погрешности численного решения задачи теплопроводности в неоднородном теле // Проблемы газодинамики и тепломассообмена в энергетических установках: Тр. XV школы-семинара молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева. - М., 2005. - Т.2. - С. 427-430.

5. Родиков A.B. Численное моделирование температурного поля для сопряженной задачи теплопроводности в неоднородном теле //Ракето-космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы механики: Материалы международной научной конференции, посвященной 90-летию В.И. Феодосьева. - М., 2006 - С. 84.

6. Зарубин B.C., Родиков A.B. Математическое моделирование температурного состояния неоднородного тела // Теплофизика высоких температур. — 2006.-№7.-С. 23-38.

/00v

Принято к исполнению 23/10/2006 Исполнено 24/10/2006

Заказ № 764 Тираж: ЮОэкз.

Типография «11-й ФОРМАТ» ИНН 7726330900 Москва, Варшавское ш.э 36 (495) 975-78-56 www.autoreferat.ru

1. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

2. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

2.1. Постановка задачи.

2.2. Вариационная формулировка задачи.

2.2.1. Построение прямого функционала.

2.2.2. Построение встречного функционала.

2.3. Требования к аппроксимации допустимых функции альтернативных функционалов.

2.3.1. Допустимые функции прямого функционала.

2.3.2. Допустимые функции встречного функционала.

2.4. Оценка точности численного решения.

2.4.1. Определение среднеквадратической погрешности.

2.4.2. Определение двусторонней оценки собственных значений оператора задачи.

3. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО СОСТОЯНИЯ ДЛЯ СОПРЯЖЕННОЙ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Вариационная формулировка задачи.

3.2.1. Построение прямого функционала.

3.2.2. Построение встречного функционала.

3.3. Требования к аппроксимации допустимых функций альтернативных функционалов.

3.3.1. Допустимые функции прямого функционала.

3.3.2. Допустимые функции встречного функционала.

3.4. Оценка точности численного решения.

3.4.1. Определение среднеквадратической погрешности.

3.4.2. Определение нижней границы первого собственного значения оператора задачи.

4. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ.

4.1. Однородное ребро.

4.1.1. Постановка задачи.

4.1.2. Вариационная формулировка задачи.

4.1.3. Аналитическое решение.

4.1.4. Численное решение.

4.1.5. Результаты компьютерного моделирования.

4.2. Неоднородный стержень.

4.2.1. Постановка задачи.

4.2.2. Вариационная формулировка задачи.

4.2.3. Аналитическое решение.

4.2.4. Численное решение.

4.2.5. Результаты компьютерного моделирования.

4.3. Оболочка камеры сгорания двигателя.

4.3.1. Случай идеального контакта между внутренней и наружной стенкой

4.3.1.1. Постановка задачи.

4.3.1.2. Вариационная формулировка задачи.

4.3.1.3. Применение метода конечных элементов.

4.3.1.4. Определение разности значений функционалов.

4.3.1.5. Результаты компьютерного моделирования.

4.3.2. Случай неидеального контакта между внутренней и наружной стенкой.

4.3.2.1. Постановка задачи.

4.3.2.2. Вариационная формулировка задачи.

4.3.2.3. Результаты компьютерного моделирования.

РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

Для многих отраслей промышленности, таких как ракето- и самолетостроение, характерны конструкции, работающие в условиях интенсивных тепловых воздействий [10, 11, 14, 47, 49, 61]. Работоспособность и долговечность таких теплонапряженных конструкций зависит от взаимосвязанных факторов, которые являются предметом изучения различных разделов механики. Учет этих факторов приводит к необходимости решения задач по определению температурного состояния элементов конструкции.

Актуальность работы. Проблема достоверности определения температурного состояния элементов конструкции является в современной технике одной из важнейших. От успешного ее решения зависят возможности повышения надежности, эффективности и ресурса работы энергетических установок и теплонапряженных узлов различных машин и агрегатов.

Нахождению точного аналитического решения задач по определению температурного состояния посвящена обширная литература [17, 19, 23, 31, 45, 33, 63], но нахождение точного аналитического решения, как правило связано с большими, а иногда с непреодолимыми трудностями. С прикладной же точки зрения наряду с аналитическим решением не меньшее значение имеет получение приближенного численного решения. Причем приближенные методы с инженерной точки зрения считаются приемлемыми, если при разумных затратах труда и времени дают не только необходимую информацию о значениях искомых функций, но и обеспечивают оценку достоверности этой информации. Выполнение этого требования имеет большое значение при анализе результатов численного решения и их прикладной интерпретации, а также важно при разработке систем автоматизированного проектирования теплофизических установок и оборудования.

В последнее время при разработке и сравнительном анализе методов решения задач теплопроводности указанному требованию уделяется определенное внимание [8, 18, 19, 20, 21, 23, 26, 54], однако эти вопросы еще не получили достаточного освещения. В данной работе предпринята попытка положить в основу изложения методов расчета инженерный подход, предусматривающий возможность оценки достоверности получаемой информации о температурном состоянии конструкции.

Одним из подходов, удовлетворяющих подобному требованию, является подход, основанный на использовании вариационной формулировки задачи, которая должна включать в себя альтернативные функционалы, то есть функционалы, достигающие в стационарных точках на истинном решении равных значений, но один из них, называемый прямым, достигает в стационарной точке минимума, а второй, называемый встречным, максимума. Это позволяет найти среднюю квадратическую погрешность этого численного решения.

Данная работа посвящена построению вариационной постановки сопряженных задач для тел различной структуры и нахождению среднеквадратической погрешности численного решения таких сопряженных задач. Показано, что вариационная формулировка сопряженных задач теплопроводности не только дает возможность эффективно использовать приближенные методы для расчета температурного поля в твердом теле, но и содержит в себе объективный интегральный критерий точности получаемого приближенного решения. В работе представлено применение метода конечных элементов для численного решения сопряженных задач стационарной теплопроводности и оценки погрешности этого решения, а также разработан метод нахождения нижней границы первого собственного значения операторов рассматриваемых задач, которая необходима для нахождения среднеквадратической погрешности.

Цель работы состоит в разработке численных алгоритмов для математического моделирования температурного состояния стационарных сопряженных задач теплопроводности и определению оценки погрешности полученного приближенного решения.

Поставленная цель достигается на основе решения следующих задач:

• построение двойственной вариационной формулировки сопряженных задач стационарной теплопроводности;

• разработка методики определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных стационарных задач теплопроводности;

• разработка методики определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом.

Научная новизна. Разработана методика определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных стационарных задач теплопроводности, а также методика определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом. Методами математического моделирования изучено влияние густоты сетки конечно элементной модели на погрешность численного решения стационарных сопряженных задач теплопроводности.

Получена двойственная вариационная формулировка для сопряженной стационарной нелинейной задачи теплопроводности в теле, состоящем из N однородных частей, в каждой из которых коэффициент теплопроводности материала зависит от распределения температуры в теле.

Достоверность результатов основана на использовании современных методов математического моделирования и классических положений теории теплопроводности, строгости применяемых математических методов, а также на совпадении полученных численных результатов с известными аналитическими решениями.

Практическая значимость. Материалы диссертации могут быть использованы в разработках НИИ и КБ, ведущих исследования в области создания, расчетов, анализа работоспособности и применения конструкций, подверженных интенсивным тепловым воздействиям.

На защиту выносятся следующие положения;

• двойственная вариационная формулировка сопряженной задачи стационарной теплопроводности в теле, состоящем из N однородных частей, в каждой из которых коэффициент теплопроводности материала зависит от распределения температуры в теле;

• методика определения двусторонних оценок собственных значений положительно определенного оператора с положительно определенным весом;

• методика определения среднеквадратической погрешности численного решения сопряженных нелинейных стационарных задач теплопроводности;

• результаты математического моделирования температурного состояния теплонапряженных конструкций двигателя.

Апробация. Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на XIV Школе-семинаре молодых-ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева в г. Рыбинске в 2003г.; Научно-методической конференции, посвященной 40-летию НУК ФН МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2004г.; XV Школе-семинаре молодых-ученых и специалистов под руководством академика РАН А.И. Леонтьева в г. Калуге в 2005г.; международной научной конференции «Ракетно-космическая техника: фундаментальные и прикладные программы механики», посвященной 90-летию Феодосьева В.И. в г. Москве в 2006г.; научных конференциях студентов и аспирантов МГТУ им. Н.Э. Баумана и научных семинарах кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2003 - 2006г.

Публикации. Основное содержание работы изложены в статьях и тезисах выступлений на конференции [26, 25, 24, 53, 54, 55].

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, выводов и приложения. Работа изложена на 199 страницах, содержит 32 иллюстрации и 12 таблиц. Библиография включает 64 наименования.

1. Авдеев В.П., Зарубин B.C. Использование функций тока теплового потока для оценки точности численного решения задач теплопроводности // Вопросы теплопередачи. - М, 1981. - С. 96-103.

2. Агеев В.П., Алик В.П. Марков Ю.М. Библиотека алгоритмов. М.: Советское радио, 1976. - Вып. 2 - 136с.

3. Акаев А., Дулънев Г.Н., Об одном приближенном методе решения основных стационарных и нестационарных краевых задач теплопроводности // Тепло- и массоперенос. Минск, 1972. - Т.8. - С. 161-170.

4. Амосов A.A., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высшая школа, 1994. - 544с.

5. Балабух Л.И., Алфутов H.A., Усюкин В.И. Строительная механика ракет. М.: Высшая школа, 1984. - 391с.

6. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. -М.: Физматлит, 2000. 622с.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. М.: Наука, 1986. - 544с.

8. Ванъко В.И., Ермошина О.В., Кувыркин Г.Н. Вариационное исчисление и оптимальное управление: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999.—488с.

9. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики: Учеб. для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 700с.

10. Градштейн И.С., Рыжик КМ. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. -М.: Физматгиз, 1963. 1100с.13 .Гулд С. Вариационные методы в задачах о собственных значениях: Пер. с англ. М.: Мир, 1970. - 322с.

11. Гущин В.Н. Основы устройства и конструирования космических аппаратов: Учебник для вузов. М.: Машиностроение, - 2003. - 272с.

12. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений: Пер. с англ. М.: Мир, 1985. - 336с.

13. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования -М.: Наука, 1976.-320с.П.Зарубин B.C. Математическое моделирование в технике: Учебник для вузов / Под ред. B.C. Зарубина, А.П. Крищенко. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. - 336с.

14. Зарубин B.C. Вариационные методы решения нелинейных задач теплопроводности. // Тепломассообмен-VI. Минск, 1980. - Т. 9. -С.62-65.

15. Зарубин B.C. Инженерные методы решения задач теплопроводности -М.: Энергоатомиздат, 1983.-328с.20 .Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкции. М.: Машиностроение, 1985. - 293с.

16. Зарубин B.C., Кувыркин Т.Н. Математические модели термомеханики М.: Физматлит, 2002. - 328с.

17. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.-541с.

18. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. -М.: Мир, 1986.-318с.

19. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. - 512с.

20. Каханер Д., Моулер К, Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М.: Мир, 1998. - 575с.

21. Керн Д., Краус А. Развитые поверхности теплообмена: Пер. с англ. -М.: Энергия, 1977.-464с.ЗА.Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. -М.: Наука, 1975.-228с.

22. Коздоба Л.А. Электрическое моделирование явлений тепло- и массопереноса.-М.: Энергия, 1972. -296с.

23. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). Определения, теоремы, формулы. 6-е изд: Пер. с англ. СПб.: Издательство «Лань», 2003- 832с.

24. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980. -536с.АА.Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными: Пер. с англ. М.: Мир, 1981. - 216с.

25. Поляев В.М., Майоров В.А., Васильев 77.77. Гидродинамика и теплообмен в пористых элементах конструкций летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1988. - 168с.

26. Потемкин В.Г. Введение в Matlab. М.: Диалог МИФИ, 2001. - 238с.

27. Пэдовен. Решение задач анизотропной теплопроводности методомМонте-Карло // Теплопередача. 1974. -№ 3. - С. 182-183

28. Решение краевых задач методом Монте-Карло / Б.С. Елепов, A.A. Кронберг, Г.А. Михайлов, К.К. Сабельфельд. Новосибирск: Наука, Сибирское отделение, 1980. - 176с.

29. Садовничий В.А. Теория операторов. М.: Изд-во московского университета, 1986. -368с.

30. Самулъ В.И. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1982.-264с.

31. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов: Пер. с англ. -М.: Мир, 1979.-392с.

32. Соболь КМ. Численные методы Монте-Карло. М.: Наука, 1973. -312с.

33. Современные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений: Пер. с англ. / Под ред. А.Д. Горбунова. М.: Мир, 1979. -312с.

34. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1972.-736с.ЬА.Черноусъко Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные методы механики и управления. М.: Наука, 1973. - 238с.