автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численный анализ нелинейных задач вычислительной термомеханики

ВВЕДЕНИЕ

1. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ

ЗАДАЧ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ

1.1. Постановка нелинейной краевой задачи теплопроводности

1.2. Вариационная формулировка краевой задачи теплопроводности

1.3. Постановка нелинейной начально-краевой задачи теплопроводности

1.4. Построение матричных соотношений МКЭ для решения задач теплопроводности

1.4.1. Краевая задача теплопроводности

1.4.2. Начально-краевая задача теплопроводности

1.5. Изопараметрические отображения и функции формы конечных элементов

1.5.1. Построение изопараметрических отображений

1.5.2. Функции формы конечных элементов

1.6. Особенности численного интегрирования матричных соотношений МКЭ при решении задач теплопроводности

1.6.1. Интегрирование по "объёму"

1.6.2. Интегрирование по "поверхности"

1.7. Особенности численного решения задачи Коши

1.7.1. Двухслойные разностные схемы

1.7.2. Трёхслойные разностные схемы

1.7.3. Диагонализация матрицы теплоёмкости

1.7.4. Сравнение вычислительной эффективности разностных схем

2. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ

КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МДТТ

2.1. Постановка краевой задачи МДТТ

2.2. Построение матричных соотношений МКЭ при решении краевых задач МДТТ

2.3. Особенности численного интегрирования матричных соотношений МКЭ при решении задач МДТТ

2.3.1. Интегрирование по "объёму"

2.3.2. Интегрирование по "поверхности"

2.4. Приращение компонент тензора полной деформации

2.5. Приращение компонент тензора пластических деформаций

2.6. Некоторые конструкции уравнения поверхности нагружения

2.7. Построение варианта уравнения поверхности нагружения

2.8. Определение компонент тензора деформации ползучести

2.8.1. Алгоритм построение ядер ползучести

2.8.2. Аппроксимационные свойства ядер ползучести

2.8.3. Рекуррентное соотношение для вычисления компонент тензора деформаций ползучести

2.9. Основные итерационные алгоритмы решения нелинейных краевых задач МДТТ

2.10. Вариант алгоритма метода начальных напряжений для решения краевых задач МДТТ с учётом упругопластического деформирования

2.11. Алгоритм определения вектора приращений начальных напряжений

2.12. Основные алгоритмы для решения краевых задач МДТТ с учётом деформаций ползучести

2.12.1. Явная схема Эйлера

2.12.2. Неявная схема Эйлера

2.13. Алгоритм решения краевых задач МДТТ с учётом деформаций ползучести на основе использования соотношений теории наследственной среды

2.14. Алгоритм решения краевых задач МДТТ с учётом деформаций пластичности и ползучести

3. АНАЛИЗ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОЙ ЭФФЕКТИВНОСТИ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

3.1. Постановка задачи исследования

3.2. Двухслойные итерационные методы

3.2.1. Метод циклических чебышевских итераций

3.2.2. Метод верхней релаксации

3.3. Трехслойные итерационные методы

3.3.1. Полуитерационный метод Чебышева

3.3.2. Метод сопряженных поправок

3.3.3. Метод сопряженных градиентов

3.4. Локально оптимальные трехслойные методы

3.4.1. Метод сопряженных поправок

3.4.2. Метод сопряженных градиентов

3.5. Построение и использование разреженных матриц

4. КОМПЛЕКС ПРИКЛАДНЫХ ПРОГРАММ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО АНАЛИЗА КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ТЕРМОМЕХАНИКИ

4.1. Общая функциональная структура комплекса прикладных программ GERMES

4.2. Программы подготовки данных

4.2.1. Генерация сетки конечно-элементной модели

4.2.2. Задание теплофизических и физико-механических свойств материалов расчётной схемы

4.2.3. Алгоритмы формирования граничных условий теплообмена

4.3. Программы центрального вычислительного блока

4.3.1. Основные процедуры при решении температурных задач

4.3.2. Основные процедуры при решении нелинейных задач МДТТ

4.4. Программы представления данных

5. РЕЗУЛЬТАТЫ ПРИКЛАДНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ ТЕПЛОВОГО И НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ ЭНЕРГЕТИЧЕСКОГО ОБОРУДОВАНИЯ

5.1. Численный анализ теплового и напряжённо-деформированного состояний фланца стационарной энергетической установки

5.2. Численный анализ теплового и напряжённо-деформированного состояний рабочей охлаждаемой лопатки авиационного ГТД

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Дальнейшее развитие энергомашиностроения и прежде всего двигателестроения связано с существенным повышением удельных показателей. Такие объекты как комбинированные двигатели внутреннего сгорания форсируются по числу оборотов и среднему эффективному давлению. Основным направлением в развитии газотурбинных двигателей (ГТД) является повышение параметров газа перед турбиной.

В обоих случаях наблюдается интенсивный рост тепловой и механической напряжённости и в первую очередь это относится к деталям цилиндро-поршневой группы и элементам проточной части. Разрушение этих конструкционных элементов может иметь самые тяжёлые последствия.

Увеличение надёжности и долговечности ответственных элементов конструкций двигателей, работающих в условиях сложного циклического термомеханического нагружения, является одной из самых приоритетных задач современного двигателестроения.

Оценке надёжности и долговечности предшествует анализ температурного и напряжённо-деформированного состояний исследуемых элементов конструкций. В настоящее время одним из наиболее перспективных направлений исследования температурного и напряжённо-деформированного состояний является математическое моделирование.

Высокая динамика современного развития вычислительных средств привела к появлению мощных компьютерных систем. Это открывает новые более широкие возможности эффективного использования математического моделирования сложных теплофизических и физико-механических процессов. В то же время качество математического моделирования во многом зависит, во-первых, от достоверности на теоретическом уровне принятых математических моделей, во-вторых, от полноты их алгоритмической и программной реализаций.

Важнейшим результатом применения математического моделирования является проверка точности и глубины понимания изучаемых теплофизических и физико-механических процессов путем сравнения численных и доступных экспериментальных данных. При этом весьма полезным является совместное координирование экспериментальных и численных исследований и, как следствие, построение и пополнение информационных баз данных о моделируемых физических процессах, имеющих широкую перспективу технической реализации в создаваемых образцах новейшей техники.

Математическое моделирование в настоящее время интенсивно развивается. Строятся усовершенствованные модели сложных нелинейных физических процессов, конструируются новые численные алгоритмы, проводятся разнообразные вычислительные эксперименты: поисковые, диагностические, оптимизационные.

При разработке и создании термонапряжённых элементов конструкций математическое моделирование занимает одно из центральных мест - между конструированием и созданием опытных образцов. На основании результатов, полученных с помощью математического моделирования температурного и напряжённо-деформированного состояний, выполняется предварительная оценка ресурса.

Актуальностьпроблемы. Дальнейшее интенсивное развитие методов математического моделирования как эффективного средства исследования сложных процессов теплообмена и деформирования является одной из актуальных проблем прикладной математики, так как открывает новые возможности в развитии таких предметных областей как теория теплопроводности и механика деформируемого твёрдого тела, значительно расширяет перспективы создания и практического использования систем автоматизированного проектирования.

Важнейшим с этой точки зрения является дальнейшее развитие перспективных прикладных методов математического моделирования применительно к решению новых классов задач вычислительной термомеханики, математические постановки которых в наиболее общем виде учитывают сложные физические эффекты, возникающие при неизотермическом циклическом вязкоупругопластическом деформировании. Это даёт возможность проведения более полного и тонкого анализа температурного и напряженно-деформированного состояний ответственных элементов конструкций, подверженных сложному термосиловому нагружению, и, таким образом, получения данных для более точной оценки их ресурса.

Актуальной является также проблема создания новых эффективных алгоритмов и на их основе современного прикладного программного обеспечения для решения нелинейных задач вычислительной термомеханики.

Диссертация выполнена в МГТУ им. Н.Э. Баумана на кафедре "Прикладная математика" (ФН-2).

Обзор состояния проблемы. Первым этапом при решении задач вычислительной термомеханики является определение температурных полей исследуемых элементов конструкций. В настоящее время особое значения придаётся решению нелинейных краевых и начально-краевых задач теплопроводности.

В создание и развитие методов решения задач теплопроводности большой вклад внесли А.Н. Тихонов, A.A.

Самарский, C.K. Годунов, B.C. Рябенький, Г. И. Марчук, A.B. Лыков, B.C. Зарубин, Э.М. Карташов, Н.М. Беляев, A.A. Рядно, Л.А. Коздоба, Л.И. Кудряшев, Н.Л. Меньших, Г. Карслоу, Д. Егер, Ж.Л. Лионе, Д.Б. Сполдинг, С. Патанкар, К. Флетчер, П. Шнейдер и многие другие.

Применение аналитических методов для решения нелинейных задач теплопроводности ограничивается, как правило, областями канонической формы и жестким ограничением на коэффициенты уравнения теплопроводности, начальное и граничные условия. При этом широко используются различные типы подстановок и преобразований. В результате получается некоторое аналитическое выражение, требующее в той или иной степени численной реализации [8, 9] .

В областях, имеющих сложную геометрическую форму, и при сравнительно невысоких требованиях к гладкости функций, входящих в формулировку краевых и начально-краевых задач, наиболее перспективны численные методы, среди которых продолжительное время лидирующее положение занимает МКЭ [10, 11, 16, 32, 34, 35, 46].

Широкому и успешному применению МКЭ способствовали его основные конструктивные свойства, например, такие, как естественность, простота, доступность, универсальность и высокая технологичность. МКЭ позволяет проводить численный анализ в областях сложной геометрической формы, учитывать особенности граничных условий, теплофизических и физико-механических свойств материалов расчётных схем. Характерной особенностью МКЭ является прозрачность основных вычислительных процедур, что позволяет эффективно контролировать обработку данных. Кроме того, МКЭ алгоритмически и программно весьма удобен для объединения с современными методами и средствами компьютерной графики.

При решении краевых задач теплопроводности с помощью МКЭ используется, как правило, интегральная, в частности, вариационная формулировка [10,11,34,35,46]. Существенным преимуществом вариационных формулировок является то, что они позволяют не только найти решение, но и оценить его погрешность. В этом смысле весьма эффективным оказывается применение двойственных вариационных формулировок. Построение и использование двойственных вариационных формулировок для получения апостериорных оценок точности температурных полей подробно рассмотрено в работах [28,29, 52] .

Без ограничения общности не удаётся дать эквивалентную вариационную постановку начально-краевым задачам теплопроводности. В данной ситуации технически простым является использование метода Роте [2,52]. В этом случае аппроксимация строится по временной переменной, что позволяет перейти от задачи с параболическим оператором к последовательности задач эллиптического типа на фиксированных временных шагах, каждая из которых часто допускает вариационную постановку. При этом полученное на предыдущем шаге решение рассматривается как начальное на текущем. Сходимость полученных решений рассмотрена в работе [2].

Однако более широкие возможности для решения нестационарных задач даёт применение метода взвешенных невязок в форме Галёркина [29,35,52]. Численное решение начально-краевых задач с использованием МКЭ, как правило, осуществляется в, соответствии с методом Галёркина. Решение реализуется в два этапа. На первом этапе с помощью процедур МКЭ выполняется дискретизация по пространству, а на втором этапе применяется какая-либо конечно-разностная схема на временном отрезке, приводящая к пошаговой процедуре интегрирования по времени.

Если рассматривается нелинейная начально-краевая задача, то, если не применяются линеаризующие процедуры, на каждом шаге по времени придется решать систему нелинейных алгебраических уравнений с помощью итерационных методов [26]. Для того чтобы этого избежать, применяют схемы типа "предиктор - корректор" [12, 13]. Эти схемы на каждом временном шаге требуют решения двух систем линейных алгебраических уравнений. В работе [13] рассмотрены условия, которые обеспечивают точность схем "предиктор - корректор" по временной переменной порядка

0(Ъ^) и 0(1^) (Ьт - шаг по времени) . Существенными недостатками использования схем "предиктор - корректор" являются: общее усложнение алгоритма решения и дополнительные затраты оперативной памяти. Эти трудности можно обойти, если начально-краевую задачу в каждый момент времени решать методом простых итераций с явным заданием скорректированных значений коэффициентов уравнения теплопроводности и граничных условий, применяя метод Галёркина для построения матричных соотношений МКЭ [14-17]. Таким образом, в каждой точке временного отрезка решение нелинейной начально-краевой задачи заменяется последовательностью решений подобных линейных краевых задач, отличающихся численными значениями коэффициентов уравнения теплопроводности и граничных условий. При этом перед проведением очередной итерации численные значения коэффициентов определяются в явном виде по полученному на предыдущей итерации решению.

Применение итераций при решении нелинейных уравнений эллиптического и параболического типов является известным и достаточно широко используемым методом [18-24] . Наиболее полные результаты здесь получены для эллиптических уравнений. Особую проблему при использовании итерационного решения составляет сходимость. При анализе сходимости, как правило, рассматривается обобщённое решение в подходящем функциональном классе, а в отдельных случаях анализ проводится на конечномерных подпространствах. Для параболических уравнений характерно рассмотрение сходимости итераций на конечномерных подпространствах, построенных либо с помощью метода Галеркина, либо некоторым разностным методом. Одним из подходов к анализу сходимости последовательных приближений (итераций) является следующий: пусть исходный нелинейный дифференциальный оператор удовлетворяет двум неравенствам, одно из которых является некоторым вариантом условия монотонности, а второе - ограниченной нелинейности в некоторой области, тогда дискретный аналог с помощью процедур какого-либо разностного метода строится так, чтобы сохранились эти два свойства. После этого теоретические исследования сходимости итераций в рамках дискретного аналога проводятся идейно близко некоторым основным положениям из теории монотонных операторов [22, 23, 25] . Кроме того, при анализе сходимости итераций как на дифференциальном уровне, так и на конечномерных подпространствах, если это возможно, используются дифференциальные свойства нелинейных операторов - дифференцируемость по Фреше или, в крайнем случае, по Гато.

На втором этапе исследований решается краевая задача механики деформируемого твёрдого тела (МДТТ), в которой полученное температурное поле используется при формировании компонент тензора температурных деформаций и тех параметров задачи, которые зависят от температуры.

Решение линейных задач МДТТ даже в сложных трёхмерных областях в настоящее время достаточно успешно реализуется с помощью численных методов. Очевидно это связано с тем, что основы механики линейно-упругих деформируемых сред наиболее полно разработаны и в значительной мере завершены. Сложности возникают при решении физически и геометрически нелинейных задач МДТТ.

В создание и развитие методов решения нелинейных задач МДТТ большой вклад внесли A.A. Ильюшин, Ю.Н. Работнов, В.И. Феодосьев, JI.M. Качанов, И.А. Биргер, H.H. Малинин, B.C. Зарубин, Б.Е. Победря, Д.Л. Быков, В.А. Шачнев, B.C. Бондарь, И.И. Ворович, Ю.П. Красовский Е.М. Морозов, Г.Н. Никишков, В.А. Постнов, Л.А. Розин, В. Г. Корнеев, A.C. Сахаров, М.Р. Айронс, Дж. Аргирис, Дж. Оден, O.K. Зенкевич, Я. Ямада и многие другие.

В рамках данной работы рассматриваются физически нелинейные задачи. Для данного класса задач одной из проблем является выбор и построение определяющих уравнений, обеспечивающих адекватное описание неупругого деформирования с учётом особенностей рассматриваемой задачи.

При решении задач с учётом упругопластических деформаций определяющие уравнения строятся либо на соотношениях деформационных теорий, либо - теорий течения. В первом случае устанавливаются соотношения для конечных значений напряжений и деформаций, например, используются соотношения A.A. Ильюшина [56,81,86,91,99] или соотношения Г. Генки [81,86,91,99] здесь

1 + ф[ ср + Зи/(1 + о) компоненты девиаторов соответственно деформаций и напряжений (1^=1,2,3) ; еи, ои - интенсивности соответственно деформаций и напряжений; , компоненты тензоров соответственно деформаций и напряжений; о - коэффициент Пуассона; О - модуль сдвига, а0 = +а22+а33); ср - некоторая функция координат.

Во втором случае рассматриваются соотношения, устанавливающие связь между приращениями компонент тензоров деформаций и напряжений, например, в форме уравнений Прандтля-Рейсса [81,91] с1с, 1 и-ви^аоо

3 ^и I * \ у или между компонентами тензора скоростей деформаций и девиатора напряжений 8у, например, в форме уравнений Сен

Венана - Леви - Мизеса, если приращения компонент тензора пластических деформаций велики по сравнению с приращениями компонент тензора упругих деформаций [91] где ёи - интенсивность скоростей деформаций.

Для определения компонент тензора приращений пластических деформаций сЦ5 в большинстве теорий течения используется ассоциированный закон течения [56,81,91] здесь с1А, - множитель Лагранжа.

Функция F определяется уравнением F=0 поверхности нагружения в пространстве тензора напряжений [56] . В настоящее время известно очень много работ, в которых изучаются особенности построения таких уравнений, например, [56-86]. Некоторые конструкции уравнений поверхности нагружения рассмотрены в разделах 2.6. и 2.7.

При решении задач МДТТ с учётом деформаций ползучести широкое применение нашли различные варианты теории наследственной ползучести и трёх основных технических теорий - старения, течения и упрочнения [90-99, 105] . Известны также теории, использующие для описания ползучести аппарат структурных моделей и механических аналогов [79,89,108].

Большинство теорий ползучести удовлетворительно описывает деформирование при постоянных или медленно изменяющихся нагрузках. Анализ напряжённодеформированного состояния при переменных нагрузках лучше описывается с использованием теорий течения и упрочнения, при этом теория упрочнения имеет некоторые преимущества перед теорией течения, так как несколько точнее аппроксимирует результаты экспериментов [91]. С точки зрения организации вычислительного процесса технические теории имеют известные преимущества перед наследственными [91,93]. Однако история нагружения полнее учитывается наследственными теориями. В 2.8 рассматривается построение наследственных теорий ползучести и их аппроксимационные свойства при циклических нагрузках.

Расчёт кинетики напряжённо-деформированного состояния при циклических нагружениях сложных элементов конструкций в трёхмерной постановке характеризуется в общем случае весьма большой трудоёмкостью. Задача вычисления параметров деформирования, определяющих долговечность конструкции, делает необходимым расчёт большого числа циклов нагружения, что связано с достаточно медленным протеканием процессов стабилизации, особенно в условиях ползучести. Поэтому важнейшей проблемой при решении нелинейных краевых задач МДТТ является выбор метода решения и реализация его алгоритма. При этом необходимо отметить, что число нелинейных задач, которые могут быть решены для конечных значений нагрузки, весьма ограничено. Практика численных исследований показывает, что результаты расчётов существенно зависят от вида и способа нагружения, т. е. программы нагружения. В этой связи широкое применение нашёл шаговый метод - метод последовательных нагружений, заключающийся в том, что рассматривается последовательное нагружение деформируемого тела приращениями нагрузки [10 6-132] . После приложения приращения нагрузки на текущем шаге в соответствии с выбранным методом решения находится приращение глобального вектора узловых перемещений и определяется напряжённо-деформированное состояние, а затем делается новый шаг по нагрузке. Сказанное относится к решению задач в приращениях перемещений, аналогично решаются задачи в приращениях напряжений. Таким образом, метод последовательных нагружений позволяет исследовать особенности кинетики напряжённо-деформированного состояния.

Для решения нелинейных задач в пределах текущего шага нагружения используются различные итерационные методы. Условно их можно разделить на три группы. Первую группу образуют методы, в основе которых лежит изменение матрицы жёсткости (при неизменном векторе правой части). К этой группе методов относятся метод переменных параметров упругости, дополнительных нагружений, тангенциальных модулей [91,107,108,122]. К второй группе относятся методы, требующие коррекции вектора правой части, при этом матрица жёсткости на шаге нагружения остаётся постоянной в пределах шага нагружения. К второй группе относятся два семейства методов - метод начальных деформаций и метод начальных напряжений [108,109,112117] . Третью группу методов составляют комбинированные методы, при реализации которых изменяется как матрица жёсткости, так и вектор правой части. Как правило, алгоритмы этих методов строятся путём различного комбинирования алгоритмов первой и второй групп методов. Достаточно подробно эти методы рассмотрены в работах [35,109-119,122-133]. В 2.9 рассматриваются особенности основных итерационных алгоритмов решения краевых задач МДТТ .

При численном решении нелинейных краевых задач вычислительной термомеханики с помощью МКЭ после построения дискретных аналогов с использованием процедур линеаризации возникают сеточные уравнения - системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), эффективное решение которых является достаточно сложной задачей.

Матрицы линейных сеточных уравнений, построенных на основе МКЭ, имеют высокий порядок, равный числу узлов сетки, и разреженную структуру, при этом число ненулевых элементов в строках не зависит от общего числа узлов сетки. Кроме того, весьма часто эти матрицы являются плохо обусловленными - велико отношение максимального собственного числа к минимальному. Однако матрицы сеточных уравнений имеют и положительные свойства - они, как правило, симметричны и положительно определены.

Для решения сеточных уравнений создано много прямых и итерационных методов, некоторые из которых постоянно совершенствуются. Выбор метода решения для заданного класса сеточных уравнений, его алгоритмическое построение и программная реализация в значительной степени зависят от типа решаемой краевой задачи (одномерная или многомерная, эллиптическая или параболическая, линейная или нелинейная и т. п.) и технических характеристик доступной вычислительной техники. При решении двух и трехмерных задач большое значение имеет вид области анализа.

В настоящее время известно много работ, посвященных применению прямых методов для решения СЛАУ с разреженными матрицами, достаточно полную библиографию по прямым методам можно найти в работах [134-146,157,160-162]. Прежде всего это относится к развитию семейства метода Холецкого и методов факторизации. Перспективным направлением в разработке прямых методов является реализация алгоритма быстрого дискретного преобразования Фурье. Наиболее значительные результаты применения прямых методов получены при решении СЛАУ не очень большого порядка в областях типа прямоугольник и параллелепипед.

При решении краевых задач в областях общего вида, прямые методы требуют значительных временных затрат и, кроме того, остро встает проблема накопления ошибок округления. В отдельных случаях решение, полученное с помощью прямого метода, подвергается итерационному уточнению. Достаточно сложной для прямых методов является проблема рационального использования оперативной памяти. Известно, что прямые методы для своей реализации требуют, в общем случае, больше оперативной памяти по сравнению с итерационными, что связано в первую очередь с особенностями выполнения процедуры исключения (проблема восполнения).

Несмотря на успехи в создании и развитии эффективных прямых методов, в настоящее время решение сеточных уравнений с разреженными матрицами высокого порядка (десятки и сотни тысяч уравнений) и областей сложной формы с помощью итерационных методов представляется более перспективным [146,148,152,163-165]. В пользу выбора итерационных методов выступают такие факторы, как разреженность матрицы (хранятся и используются в процедурах только ненулевые элементы нижней или верхней треугольной матрицы), не возникает проблемы с нумерацией (перенумерацией) узлов сетки (структура матрицы не обязательно должна быть ленточной), простота алгоритмической и программной реализаций, возможность оперативного контроля достигнутой точности в процессе выполнения итераций.

Широкое внедрение МКЭ-технологии как составной части комплексной автоматизации сквозного цикла: проектирование конструирование - изготовление, определило появление большого количества комплексов и пакетов прикладных программ (КПП и ППП) . Условно всё их многообразие можно разделить на две большие группы: исследовательские и профессиональные. Первые имеют весьма узкую специализированную ориентацию. Определяющим здесь является быстрота разработки, отладки и оперативное проведение численных исследований. Как правило, исследовательские КПП сопровождаются самим авторским коллективом. После доработки пользовательского интерфейса, а иногда, и функционального ядра с учётом опыта эксплуатации, исследовательские комплексы программ могут быть доведены до уровня профессиональных ППП, имеющих высокий сервисно-диагностический уровень. Например, к известным профессиональным ППП можно отнести средние" и "тяжёлые" CAD/CAE/CAM системы, созданные в нашей стране такие, как МАРС, ЛИРА, МЕГРЭ-ЗД, FEMHCA, МАК, АСТРА, КАСКАД-2, ASTA,

АРМ WinMachine, и за рубежом - I-DEAS, CATIA, Pro/ENGINEER, MSС/NASTRAN, ANSYS, MARC+Mentat II, MATRA, Unigraphics, COSMOS/M, STAADIII, BEASY, CADdy и некоторые другие (см. http :/www.cprsysl.demon.со.uk и http :/www.vtt.fi/rte7/femsivut.htm) . Эти пакеты обладают очень высокой универсальностью и обеспечивают решение практически любой задачи, не содержащей особых сложностей. Для пользователей основная трудность состоит в овладении навыками сопровождения, причём процесс полного освоения такого пакета может оказаться достаточно длительным и трудоёмким. Сравнительный анализ современных CAD/CAE/CAM систем можно найти в работах [180-183].

В настоящее время сохраняется необходимость в дальнейшем развитии существующих и создании новых исследовательских КПП, что вызвано, во-первых, ростом требований к уровню проводимых численных исследований и, во-вторых, динамически расширяющимися возможностями современных вычислительных средств. Практика численных исследований убедительно показывает, что наряду с созданием и развитием программных комплексов общего назначения необходимо вести разработку целевых программ для решения задач в рамках одной или нескольких идейно близких математических моделей, поскольку такие программы значительно повышают эффективность вычислительного эксперимента в соответствующей предметной области.

Адаптация МКЭ к новым задачам требует пересмотра концептуальных взглядов на отдельные этапы его реализации и, в частности, на подходы к построению самих математических моделей, описывающих сложные теплофизические и физико-механические процессы, где и закладывается начальная посылка получения достоверных результатов. При этом остаётся проблема организации вычислительных процедур с максимальной степенью экономичности при соблюдении достаточно высокой точности.

Цель работы. В соответствии с изложенным выше целью настоящей диссертационной работы является развитие перспективных численных методов решения нелинейных краевых задач вычислительной термомеханики с использованием функциональных определяющих соотношений, учитывающих особенности поведения материала конструкции в условиях сложного термосилового нагружения.

В соответствии с целью работы были поставлены следующие основные задачи исследования:

1. Разработка алгоритмов для решения нелинейных краевых и начально-краевых задач теплопроводности в трёхмерных областях сложной геометрической формы.

2. Разработка математических моделей и алгоритмов для решения физически нелинейных квазистатических краевых задач МДТТ в трёхмерных областях сложной геометрической формы.

3. Создание на основе разработанных моделей и алгоритмов комплекса прикладных программ для решения трёхмерных нелинейных задач теплопроводности и МДТТ.

Содержание работы. В соответствии с поставленными задачами исследования в первом разделе работы рассмотрены формулировки нелинейных краевой и начально-краевой задач теплопроводности. Для их решения использован метод последовательных приближений с коррекцией данных, зависящих от температуры. При этом для стационарных задач рассмотрена эквивалентная вариационная формулировка, а для нестационарных - метод Галёркина.

В этом же разделе приведены основные используемые соотношения МКЭ для различных типов конечных элементов. Для двух и трёхслойных разностных схем на примерах рассмотрения модельных задач показано влияние на решение нестационарной задачи теплопроводности соотношения шагов по пространству и времени, а также диагонализации матрицы теплоёмкости.

- 337 -ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны алгоритмы для решения нелинейных краевых и начально-краевых задач теплопроводности в трёхмерных областях сложной геометрической формы.

2. Разработаны математические модели и шаговые итерационные алгоритмы для решения физически нелинейных квазистатических краевых задач МДТТ в трёхмерных областях сложной геометрической формы, с использованием функциональных определяющих соотношений учитывающих особенности поведения материала конструкции в условиях термосилового нагружения.

3. На основе разработанных моделей и алгоритмов, создан комплекс прикладных программ для решения трёхмерных нелинейных задач теплопроводности и МДТТ.

4 . Применительно к объектам энергомашиностроения решены трёхмерные задачи теплопроводности и МДТТ, демонстрирующие возможности разработанных методов, алгоритмов и программ.

1. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В. В. Лекции по математической физике. М.: Изд-во МГУ, 1993. - 352 с.

2. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. - 408 с.

3. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Квазилинейные эллиптические уравнения и вариационные задачи со многими неизвестными // Успехи математических наук.1961. Т. XVI, вып. 1. - С. 19-90.

4. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Краевые задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений. Часть I // Известия АН СССР. Сер. Математика.1962. № 26. - С. 5-52.

5. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Краевые задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений. Часть II // Известия АН СССР. Сер. Математика.1962. № 26. - С. 753-780.

6. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Краевые задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений. Часть III // Известия АН СССР. Сер. Математика.1963. № 27. - С. 161-240.

7. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1976. - 392 с.

8. Кудряшев Л.И., Меньших Н.Л. Приближённые решения нелинейных задач теплопроводности. М. : Машиностроение, 1979. - 232 с.

9. Лыков А. В. Методы решения нелинейных уравнений нестационарной теплопроводности // Известия АН СССР. Сер. Энергетика и транспорт.-1970.- №5. С. 109-150.

10. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М. : Мир, 1975. - 540 с.

11. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.- М.: Мир, 1977. 351 с.

12. Нестационарные тепловые процессы в энергетических установках летательных аппаратов / Н.Д. Коваленко, А.А. Шмукин, М.Н. Гужва и др. Киев: Наукова думка, 1988. - 224 с.

13. Сергиенко И.В., Скопецкий В.В., Дейнека B.C. Математическое моделирование и исследование процессов в неоднородных средах. Киев: Наукова думка, 1991.- 432 с.

14. Молчанов И.Н., Николенко Л.Д. Основы метода конечных элементов. Киев: Наукова думка, 1989. - 272 с.

15. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. М.: Мир, 1986. - 318 с.

16. Митчелл Э., Уэйт Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. М.: Мир, 1981. -216 с.

17. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике. М.: Мир, 1985. - 590 с.

18. Кошелев А.И. О сходимости метода последовательных приближений для квазилинейных эллиптических уравнений // Доклады Академии наук СССР. 1962. - Том 142, N5. - С. 1007-1010.

19. Шейбак Т. Построение итерационного процесса для решения квазилинейного эллиптического уравнения сразрывными коэффициентами // Дифференциальные уравнения и их применение.-1985.- № 38.- С. 61-67.

20. Арделян Н.В. О сходимости итерационных методов решения нелинейных разностных схем для нелинейного уравнения теплопроводности // Дифференциальные уравнения. 1985. - Т. XXI, № 12. - С. 2131-2137.

21. Jordan A. Iterative Method of the Analysis of Nonlinear Heat Transfer Problems // Scientific Journal Bialystok University of Technology. Technical Sciences. Electricity.-1992. Vol.83, №11.-P. 53-60.

22. Качуровский P. И. Нелинейные монотонные операторы в банаховых пространствах // Успехи математических наук. 1968. - Т. 23, вып. 2(140). - С. 121-168.

23. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978. -336 с.

24. Станкевич И.В. Сходимость метода простых итераций при решении нелинейных стационарных уравнений теплопроводности // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 1995. - № 3. - С. 97-102.

25. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1993. - 440 с.

26. Ортега Дж. , Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М: Мир, 1975.-558 с.

27. Коша А. Вариационное исчисление. М.: Высшая школа, 1983. - 279 с.

28. Зарубин B.C. Температурные поля в конструкции летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1978. -184 с.

29. Марчук Г.И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1981. - 416 с.

30. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. -М. : Мир, 197 9. 392 с.

31. Метод конечных элементов в механике твёрдых тел / Под ред. A.C. Сахарова, И. Альтенбаха. Киев: Вища школа, 1982. - 480 с.

32. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1987. -600 с.

33. Петушков В.А., Кузнецов С.Ф. Применение метода конечных элементов для определения температурных полей в элементах конструкций / / Машиноведение. 1976. № 5. - С. 68-76.

34. Майерс Г. И. Критическая величина шага по времени, используемого при решении двумерных нестационарных задач теплопроводности методом конечных элементов // Труды амер. общ-ва. инж.-мех. Теплопередача. 1978. Т. 100, №1. - С. 130-139.

35. Цыбенко A.C., Паленый В. В. Анализ двухслойного семейства разностных схем применительно к решению задач нестационарной теплопроводности методом конечных элементов // Проблемы прочности. 1984. -№ 4.- С. 106-109.

36. Тарасов А.И., Челак В.И. Особенности решения задач нестационарной теплопроводности методом конечных элементов // Труды Харьковского гос. ун-та. 1986. -Вып. 42. - С. 94-101.

37. Големшток Г.М., Руденко С.М., Угодчиков H.A. Исследование неявных двухслойных схем решения нестационарных задач диффузии МКЭ // Прикладные проблемы прочности и пластичности: Сб. статей. Горький: Изд-во Горьковского гос. ун-та, 1986.1. С. 40-46.

38. Gabbert U., Baumgarten H. Nichtlineare instationare Temperaturfeldberechnungen mit der Finite-Elemente-Methode // Technische Mechanik. 1987. - Vol.8, № 2. - P. 5-17.

39. Цицин А.Г., Афанасьев К.Е. Устойчивость и монотонность решения задач нестационарной теплопроводности методами конечных элементов и конечных разностей // Вопросы атом, науки и техники. Сер. Мат. модел. физ. проц. 1991. - № 3. -С. 4 6-49.

40. Zienkiewicz О.С. The finite element method. New York: McGraw-Hill, 1977. - 676 p.

41. Уманский С.Э. Оптимизация приближённых методов решения краевых задач механики. Киев: Наукова думка, 1983. - 168 с.

42. Трощиев В.Е., Шагалиев P.M. Консервативные узловые схемы методов конечных элементов для двумерного уравнения теплопроводности // Численные методы механики сплошных сред. 1984. - Т.15, № 4. -С. 131-157.

43. Кувыркин Г.Н., Панин С.Д., Цицин А. Г. Особенности численного решения задач нестационарной теплопроводности при высокоинтенсивном нагреве // Известия АН СССР. Серия энергетика и транспорт. -1988. № 5. - С. 162-165.

44. Кувыркин Г.Н. Термомеханика деформируемого твёрдого тела при высокоинтенсивном нагружении. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. - 142 с.

45. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчёты теплового режима твёрдых тел. JI. : Энергия, 1976. - 352 с.

46. Зарубин B.C., Селиванов В.В. Вариационные и численные методы механики сплошной среды. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1993. - 360 с.

47. Станкевич И.В. Численный анализ трёхмерных нелинейных краевых задач нестационарной теплопроводности // Актуальные проблемы фундаментальных наук: Труды Второй Межд. науч.-тех. конф. М., 1994. - Т. 1, часть 1. - С. 19-22.

48. Розин JI.A. Вариационные постановки задач для упругих систем. Л.: Изд-во ЛГУ, 1978. - 224 с.

49. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. М.: Мир, 1987. - 542 с.

50. Ильюшин A.A. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. - 270 с.

51. Клюшников В. Д. Математическая теория пластичности. -М.: Изд-во МГУ, 1979. 208 с.

52. Хилл Р. Математическая теория пластичности. М. : Гостехиздат, 1956. - 407 с.

53. Dorn J.E. Stress-strain relations for anisotropic plastic flow // J. Appl. Phys. 1949. - Vol.20, №1.- P. 15-20.

54. Hu L.W. Studies on the plastic flow of anisotropic metals // J. Appl. Mech. 1956. - Vol. 23, № 3. -P. 444-450.

55. Mises R. Mechanik der plastischen Formänderung von Kristallen // ZAMM. 1928. - Bd. 8, № 3.1. S. 161-185.

56. Olszak W., ürbanowski W. The plastic potential and the generalized distorsion energy in the theory of nonhomogeneous anisotropic elastic-plastic bodies // Arch. Mech. Stosow. 1956. - V. 8, № 4. -P. 671-694.

57. Prager W. The theory of plasticity: a survey of recent achievment // Proc. Inst. Mech. Eng. 1955. -Vol. 169, № 1. - P. 41-57.

58. Ишлинский А. Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. матем. журн. 1954. - Т. 6, № 3.- С. 314-324.

59. Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В. Теория пластичности, учитывающая остаточные микронапряжения // ПММ. 1958. Т. 22, № 1. - С. 78-89.

60. Арутюнян Р. А., Вакуленко А. А. О многократном нагружении упругопластической среды // Изв. АН СССР. Сер. Механика. 1965. - № 4. - С. 53-61.

61. Edelman F., Drucker D.C. Some extension of elementary plasticity theory // J. Francl. Inst. 1951. - Vol. 251, № 6. - P. 581-605.

62. Baltov A., Sawczuk A. A rule of anisotropic hardening // Acta mech. 1965. - Vol. 1, № 2. - P. 81-92.

63. Yoshimura Y. Hypothetical theory of anisotropic and Bauschinger effect due to plastic strain history // Aeronaut. Res. Inst. 1959. - Vol. 25, № 9. -P. 221-229.

64. Svensson N.L. Anisotropy and the Bauschinger effect in cold rolled aluminium // J. Mech. Eng. Sci. 1966. Vol. 8, № 2. - P. 162-172.

65. Shrivastava H. P., Mroz Z., Dubey R. N. Yield criterion and the hardening rule for a plastic solid // ZAMM. 1973. - Bd. 53, № 10. - S. 625-633.

66. Гольденблат И. И., Копнов В. А. Критерии прочности и пластичности конструкционных материалов. М.: Машиностроение, 1968. - 191 с.

67. Малмейстер А.К., Тамуж В.П., Тетере Т.А. Сопротивление жестких полимерных материалов. Рига: Зинатне, 1972. - 498 с.

68. By Э. М. Феноменологические критерии разрушения анизотропных сред // Механика композиционных материалов. 1978. - Т. 2. - С. 401-491.

69. Kaneko К., Ikegami К., Shiratori E. The yield condition and flow rule of a metal for the various prestrain path // Bull. ISME. 1976. - Vol. 19, № 132. - P. 577-583.

70. Yoshida F., Tajima N., Ikegami K., Shiratori E. Plastic theory of the mechanical ratcheting // Bull. ISME. 1978. - Vol. 21, № 153. - P. 389-397.

71. Косарчук В. В., Ковальчук Б. И. Условие текучести пластически деформированных материалов // Проблемы прочности. 1982. - № б. - С. 3-10.

72. Кувыркин Г. Н. Феноменологическая модель описания деформирования и разрушения металлов при сложном неизотермическом нагружении // Проблемы прочности. -1982. № 8. - С. 35-37.

73. Новожилов В. В., Кадашевич Ю. И. Микронапряжения в конструкционных материалах. JI.: Машиностроение, 1990. - 223 с.

74. Москвитин В. В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981. - 344 с.

75. Коларов Д., Балтов А., Бончева Н. Механика пластических сред. М.: Мир, 1979. - 302 с.

76. Кадашевич Ю. И., Новожилов В. В. Теория пластичности, учитывающая эффект Баушингера // Доклады АН СССР. -1957. Т. 117, № 4. - С. 586-588.

77. Кадашевич Ю. И. О различных вариантах тензорно-линейных соотношений в теории пластичности // Исследования по упругости и пластичности. 1967. - Вып. 6. - С. 39-4 5.

78. Ziegler H. A Modification of Prager's Hardening Rule // Quarterly of Applied Mathematics. 1959. Vol. 17, № 1. - P. 55-65.

79. Бондарь B.C. Математическая модель неупругого поведения и накопления повреждений материала // Прикладные проблемы прочности и пластичности. Методы решений: Сб. статей. Горький: Изд-во Горьковского гос. ун-та, 1987. - С. 24-29.

80. Ковальчук Б.И., Лебедев А.А., Уманский С.Э. Механика неупругого деформирования материалов и элементов конструкций. Киев: Наукова думка, 198 7. - 280 с.

81. Станкевич И.В. Теория циклической пластичности первоначально изотропных разносопротивляющихся материалов // Современные проблемы прочности: Труды IV Межд. семинара им. В.А. Лихачёва. Старая Русса, 2000. - С. 118-122.

82. Механические свойства сталей и сплавов при нестационарном нагружении / Д. А. Гохфельд, Л. Б. Гецов, К. M. Кононов и др. Екатеринбург: УрО РАН, 1996. - 408 с.

83. Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях.

84. М.: Машиностроение, 1984. 256 с.

85. Писаренко Г.С., Можаровский Н.С., Антипов Е.А. Пластичность и прочность материалов при нестационарных нагружениях. Киев: Наукова думка, 1984. - 216 с.

86. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. - 398 с.

87. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. М.: Мир, 1986. - 360 с.

88. Гольденблат И. И., Бажанов B.J1., Копнов В. А. Длительная прочность в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. - 248 с.

89. Ильюшин A.A., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970.-280 с.

90. Колтунов М.А., Кравчук A.C., Майборода В. П. Прикладная механика деформируемого твёрдого тела. М.: Высшая школа, 1983. 349 с.

91. Кравчук A.C., Майборода В.П., Уржумцев Ю.С. Механика полимерных и композиционных материалов. М.: Наука, 1985. - 304 с.

92. Арутюнян Н.Х., Дроздов А.Д., Наумов В.Э. Механика растущих вязкоупругопластических тел. М.: Наука,1987. 472 с.

93. Арутюнян Н.Х., Зевин A.A. Расчёт строительных конструкций с учётом ползучести. М.: Стройиздат,1988. 256 с.

94. Шевченко Ю.Н., Бабешко М.Е., Терехов Р.Г. Термовязкоупругопластические процессы сложного деформирования элементов конструкций. Киев: Наукова думка, 1992. - 328 с.

95. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М.: Мир, 1985. - 509 с.

96. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решение нелинейных уравнений. М.: Мир, 1988. - 440 с.

97. Голуб В.П. Циклическая ползучесть жаропрочных никелевых сплавов. Киев: Наукова думка, 1983. 224 с.

98. Ползучесть элементов машиностроительных конструкций / А.Н. Подгорный, В. В. Бортовой, П. П. Гонтаровский и др. Киев: Наукова думка, 1984. - 264 с.

99. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. М.: Мир, 1976. - 464 с.

100. Термопрочность деталей машин / Под ред. И.А. Биргера, Б.Ф. Шорра. М.: Машиностроение, 1975. - 455 с.

101. D8. Зарубин B.C. Прикладные задачи термопрочности элементов конструкций. М.: Машиностроение, 1985. -296 с.

102. Ерёменко С.Ю. Методы конечных элементов в механике деформируемых тел. Харьков: Изд-во "Основа" ХГУ, 1991. - 272 с.

103. Гаврюшин С.С., Коровайцев A.B. Методы расчёта элементов конструкций на ЭВМ. М. : Изд-во ВЗПИ, 1991. - 160 с.

104. Морозов Е.М., Никишков Г.П. Метод конечных элементов в механике разрушения. М.: Наука, 1980. - 256 с.

105. Бугров А. К. О решении смешанной задачи теории упругости и теории пластичности грунтов // Основания, фундаменты и механика грунтов. 1974. - №6.1. С. 20-23.

106. Амусин Б.З., Фадеев А.Б. Метод конечных элементов при решении задач горной геомеханики. М. : Недра, 1975.- 144 с.

107. Фадеев A.B. Метод конечных элементов в горной геомеханике. М.: Недра, 1987. - 221 с.

108. Бандурин Н.Г., Николаев А. П. К решению нелинейных задач // ЖВМ и МФ. 1984. - №4. - С. 612-615.

109. Цыбенко A.C., Идесман A.B. Алгоритм решения задачи неизотермической термопластичности на основе метода конечных элементов // Проблемы прочности. 1983.- № 6. С. 38-42.

110. Бреббия К., Теллес Д.К.Ф., Вроубел JI. Методы граничных элементов. М.: Мир, 1987. - 524 с.

111. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Методы граничных элементов в прикладных науках. М.: Мир, 1984. - 494 с.

112. Быков Д.JI. О некоторых методах решения задач теории пластичности // Упругость и неупругость. 1975.- Вып. 4. С. 119-149.

113. Темис Ю.М. Самокорректирующийся шаговый метод решения нелинейных задач упругости и пластичности // Труды ЦИАМ. 1980. - № 918. - С. 1-24.

114. Темис Ю.М. Применение метода Ньютона-Канторовича при решении задач деформационной теории пластичности // Труды ЦИАМ. 1988. - № 1256. - С. 1-21.

115. Макунян К.М., Никишков Г. П. Алгоритм решения задач пластичности и ползучести с зависимостью свойств материала от температуры // Физика и механика, деформации и разрушение. 1981.- Вып.10. - С. 53-60.

116. Манукян К.Н., Сапунов В. Т. Модификация метода начальных деформаций для решения задач ползучести // Прочность и долговечность материалов и конструкций атомной техники. 1982. - Вып. 12. - С. 8 9-94.

117. Zienkiewicz О. С., Nayak G.C. Note on the "Alpha"-constant stiffness method for analysis of non-linear problems // Int. J. Num. Meth. Eng. 1972. - Vol. 4.- P. 579-582.

118. Ray S. К., Utku S. A numerical model for the thermo-elasto-plastic behaviour of a material // Int. J. Num. Meth. Eng. 1989. - Vol. 28. - P. 1103-1114.

119. Allen D. H. Computational aspects of the nonisothermal classical plasticity // Computers & Structures. 1982. - Vol. 15, № 5. - P. 589-599.

120. Темис Ю.М. Прикладные задачи термопластичности и термоползучести // Машиностроение. Энциклопедия: В 3 т. / Под общ. ред. К.С. Колесникова. М. : Машиностроение, 1994. - Том 2. - С. 226-272.

121. Победря Б.Е. Численные методы в теории упругости и пластичности. М.: Изд-во МГУ, 1995. - 366 с.

122. Шешенин С. В. Об одном типе итерационных методов для решения некоторых краевых задач механики деформируемого твёрдого тела // Изв. РАН. МТТ. 1997. №2. - С. 21-26.

123. Эстербю О., Златев 3. Прямые методы для разреженных матриц. М.: Мир, 1987. - 120 с.

124. Тьюарсон Р. Разреженные матрицы. М.: Мир, 1977. -191 с.

125. Брамеллер А., Аллан Р., Хэмэм Я. Слабозаполненные матрицы. М.: Энергия, 1979. - 192 с.

126. Райе Дж. Матричные вычисления и математическое обеспечение. М.: Мир, 1984. - 264 с.

127. Джордж А., Лю Дж. Численное решение больших разреженных систем уравнений. М.: Мир, 1984. 333 с.

128. Абаффи Й., Спедикато Э. Математические методы для линейных и нелинейных уравнений: Проекционные ABS-алгоритмы. М.: Мир, 1996. - 268 с.

129. Икрамов Х.Д. Численные методы для симметричныхлинейных систем м • т-^ хнаука, Гл. ред. физ.-мат.лит.,1988. 160 с. 1. Ильин В. П. Методы неполной факторизации для решениясистем. М.: Физматлит, 1995. гия разреженных матриц.1. М. :алгебраических228 с.

130. Писсанецки С. Техноло. Мир, 1988. 410 с.

131. Парлетт Б. Симметричная проблема собственныхзначений. Численные методы. М.: Мир, 1983. - 387 с.

132. Уилкинсон Дж.Х., Райнш К. Справочник алгоритмов наязыке АЛГОЛ. Линейная алгебра. М. : Машиностроение, 1976. - 391 с.1.ons В.M. A frontal solution program for finite element analysis // Int. J. Num. Meth. Eng. 1970. -№2. - P. 5-32.

133. Хейгеман Л., Янг Д. Прикладные итерационные методы. -М.: Мир, 1986. 448 с.

134. Самарский А. а., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1978. - 592 с.

135. Дьяконов е. г. Минимизация вычислительной работы. Асимптотически оптимальные алгоритмы дляэллиптических задач. М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 272 с.

136. Некоторые современные методы решения сеточных Уравнений / А. А. Самарский, И.Е. Капорин, А. Б. Кучеров, Е. С. Николаев // Изв. вузов. Сер.

137. Математика. 1983 - №7. - С. 3 - 12.

138. Cohen A. I. Rate of convergence of several conjugate gradient algorithms // J. Numer. Anal. 1972. -Vol. 9, № 2. - P. 248 - 259.

139. Reid J. I. The use of conjugate gradients for systems of liner equations possessing "property A" // J. Numer. Anal. 1972. - Vol. 9, № 2. -P. 325-332.

140. Шешенин С.В. Численный анализ квазистатических краевых задач МДТТ: Автореф. дис. . докт. физ.-мат. наук: 01.02.04. М.: Изд-во МГУ, 1990. - 27 с.

141. Малышев А. Н. Введение в вычислительную линейную алгебру. Новосибирск: Наука, Сиб. отделение, 1991.- 229 с.

142. Воеводин В. В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления.- М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1984. 320 с.

143. Воеводин В. В. Линейная алгебра М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1980. - 400 с.

144. Лебедев В.И., Финогенов С. А. Решение проблемы упорядочения параметров в чебышевских итерационных методах // ЖВМ и МФ. 1973. - Том 13, № 1. -С. 74-92.

145. Kershaw D.S. The incomplete Cholesky - Conyugate gradient metod for the iterative solution of linear equftions // J. Сотр. Physics. - 1978. - Vol. 26, №9.- P. 43-65.

146. Meijerink J.A., Vorst H.A. Guidelines for the usage of incomplete decompositions in solving sets of linear equations as they occur in practical problems // J. Сотр. Physics. 1981. - Vol. 44, № 11. -P. 134-155.

147. Rershaw D.S. On the problem of unstable pivots in the incomplete LU conjugate gradient method // J. Comp. Phisics. - 1980. - Vol. 38, № 8. - P. 114 - 123.

148. Шайдуров B.B. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989. - 288 с.

149. Коновалов А.Н. Об одном способе построения итерационных процессов // Изв. СО АН СССР. Сер. Технические науки. 1967. - № 13, вып. 3. - С. 7-15.

150. Wilson E.L., Bathe К.-J., Doherty W.P. Direct solution of large systems of linear equations // Comp. & Struct. 1974. - Vol.4, № 3.- P. 363-372.

151. Станкевич И.В. Численные методы линейной алгебры: Учебное пособие. М.: Изд-во МВТУ им. Н.Э. Баумана, 1991. - 44 с.

152. Станкевич И.В. Сравнительный анализ вычислительной эффективности прикладных итерационных методов решения сеточных уравнений теплопроводности // Тепломассообмен: Труды Второй Российской национальной конференции. М., 1998. - Том 7. - С. 213-216.

153. Станкевич И. В. Хранение и использование разреженных матриц в конечно-элементной технологии // Информационные технологии. 1998. - №12. - С. 9-12.

154. Сабоннадьер Ж.-К., Кулон Ж.-JI. Метод конечных элементов и САПР. М.: Мир, 1989. - 192 с.

155. Чайнов Н.Д, Станкевич И.В., Руссинковский С.Ю. Повышение эффективности расчётов деталей ЦПГ с помощью МКЭ // Двигателестроение. 1983. - № 9. - С. 16-18.

156. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980. - 280 с.

157. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко B.JI. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. - 352 с.

158. Василенко В.А. Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1983. - 215 с.

159. Корнейчук Н.П. Сплайны в теории приближения. М.: Наука, 1984. - 352 с.

160. Математика и САПР: В 2 кн. / П. Шенен, М. Коснар, И. Гардан и др. М.: Мир, 1988. - Кн. 1 - 204 с.

161. Математика и САПР: В 2 кн. / П. Жермен-Лакур, П.Л. Жорж, Ф. Пистр, П. Безье. М.: Мир, 1989. -Кн. 2. - 2 64 с.

162. Романычева Э.Т., Сидорова Т.М., Сидоров С.Ю. AutoCAD. Практическое руководство. Версии 12,13,14. М.: Радио и связь, 1997. - 480 с.

163. Омура Дж. AutoCAD 13 для Windows 95, Windows 3.1 и Windows NT. М.: ЛОРИ, 1997. - 756 с.

164. Вабищевич П.Н. Численное моделирование: Учебное пособие. М.: Изд-во МГУ, 1993. - 152 с.

165. Пакеты прикладных программ: Программное обеспечение математического моделирования / Под ред. A.A. Самарского. М.: Наука, 1992. - 153 с.

166. Победря Б.Е. Лекции по тензорному анализу: Учебное пособие. М.: Изд-во МГУ, 1986. - 264 с.

167. Векуа И.Н. Основы тензорного анализа и теории ковариантов. М. : Наука, Глав. ред. физ.-мат. лит., 1978. - 296 с.

168. Мазурин А. Компьютерное моделирование изделий и САЕ-системы // САПР и графика. 2001. - №1. С. 56-63.

169. Погребинский А. , Павлов А. Сравнительный анализ CAD/CAM-систем // САПР и графика. 2000. - № 8. С. 75-77.

170. Назаров Д. Обзор современных программ конечно-элементного анализа // САПР и графика. 2000. - № 2. С. 52-55.

171. Мазурин А. Совместный семинар ведущих российских разработчиков САПР // САПР и графика. 2000. - № 8. С. 37-47.

172. Гюнтер Б. Форматы данных. Киев: Торгово-издательское бюро BHV, 1995. - 472 с.

173. Климов A.C. Форматы графических файлов. Киев: НИПФ "ДиаСофт Лтд", 1995. - 480 с.

174. Епифанов В.М., Станкевич И.В. Математическое моделирование трёхмерных температурных полей турбинных лопаток // ДАН РАН. 1993. - Т. 330, № 3. - С. 318-320.

175. Епифанов В.М., Станкевич И.В. Математическое моделирование температурных полей сопловых и рабочих лопаток газотурбинных двигателей // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. 1993. - №1. - С. 46-55.

176. Данилов В.Л., Станкевич И. В. Математическое моделирование температурных полей сложных элементов конструкций аэрокосмической техники / / Новыес материалы и технологии: Сб. статей. М.: Изд-во

177. Тепловые и гидравлические характеристики охлаждаемых ; лопаток газовых турбин / С.З. Копелев, М.Н. Галкин,

178. A.A. Харин и др. М.: Машиностроение, 1993. - 176 с. .92. Теплопередача в охлаждаемых деталях газотурбинных ; двигателей летательных аппаратов / В.И. Локай,

179. М.Н. Бодунов, В.В. Жуйков и др. М.: Машиностроение, 1993. - 216 с.

180. Методы расчёта сопряжённых задач теплообмена / Э.К. Калинин, Г.А. Дрейцер, В.В. Костюк и др. М.: ; Машиностроение, 1983. - 232 с.

181. Тепловая защита лопаток турбин / Б.М. Галицейский,

182. B.Д. Совершенный, В.Ф. Формалёв и др. М.: Изд-во МАИ, 1996. - 356 с.

183. Дульнев P.A. Расчёт на прочность при неизотермическом циклическом нагружении. М.: Машиностроение, 1989. -68 с.

184. Махутов H.A. Деформационные критерии разрушения и расчёт элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981. - 272 с.

185. DO. Туляков Г.А. Термическая усталость в теплоэнергетике. М.: Машиностроение, 1978. - 199 с.

186. Гусенков А.П., Котов П.И. Малоцикловая усталость при неизотермическом нагружении. М. : Машиностроение, 1983. - 240 с.

187. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П. И. Вычислительные методы: в 2 т. М.: Наука, 1977. Том 2. - 399 с.

188. Горинштейн A.M. Практика решения инженерных задач на ЭВМ. М.: Радио и связь, 1984. - 232 с.

189. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов J1.A. Численное i моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984. - 288 с.