автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.03, диссертация на тему:Построение и исследование дифференциальных уравнений ошибок бесплатформенной инерциальной навигационной системы, функционирующей в нормальной географической системе координат

На правах рукописи

-

ЛОГИНОВ Михаил Юрьевич

ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ОШИБОК БЕСПЛАТФОРМЕННОЙ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ НАВИГАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ, ФУНКЦИОНИРУЮЩЕЙ В НОРМАЛЬНОЙ ГЕОГРАФИЧЕСКОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ

Специальность 05.11.03 — Приборы навигации

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата технических наук

- т- сен т

Саратов-2015

005561748

005561748

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки «Институт проблем точной механики и управления РАН»

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор

Челноков Юрий Николаевич

Официальные оппоненты: Чернодаров Александр Владимирович,

доктор технических наук, доцент, главный научный сотрудник

ООО «Экспериментальная мастерская «НаукаСофт» (г. Москва)

Никишин Владимир Борисович,

кандидат технических наук, доцент, руководитель группы «Навигационные технологии» ЗАО «Газприборавтоматикасервис» (г. Саратов)

Ведущая организация: Филиал ФГУП «Научно-производственный центр

автоматики и приборостроения имени академика Н. А. Пилюгина» - «ПО «КОРПУС» (г. Саратов)

Защита состоится 13 октября 2015 г. в 14:00 на заседании диссертационного совета Д 212.242.04 при ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.» по адресу: 410054, г. Саратов, ул. Политехническая, 77, корпус 1, аудитория 319.

С диссертацией можно ознакомиться в научно-технической библиотеке ФГБОУ ВПО «Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.» и на сайте www.sstu.ru.

Автореферат разосла

н « 15. а1

2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Степанов Михаил Федорович

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Теория инерциальной навигации вызывает большой интерес с самого момента своего зарождения в начале XX века, так как позволяет строить т. н. инер-циальные навигационные системы (ИНС), не требующие при работе никаких внешних по отношению к себе данных. Большой вклад в развитие теории инерциальной навигации внесли Е. Б. Левенталь, Б. В. Булгаков, Я. Н. Ройтенберг,

A. Ю. Ишлинский, В. Д. Андреев, М. Шулер, Ч. Дрейпер и другие исследователи. Значительную роль в теоретических основах инерциальной навигации играет теория устойчивости, созданная А. М. Ляпуновым.

Особенности алгоритмов автономной инерциальной навигации и ориентации таковы, что с течением времени происходит накопление ошибок определения искомых параметров ориентации и навигации. Источниками этих ошибок являются инструментальные погрешности чувствительных элементов ИНС (гироскопов и акселерометров), погрешности начального задания координат, скорости и параметров ориентации объекта (начальной выставки), погрешности используемой модели поля тяготения Земли, методические и инструментальные погрешности реализации алгоритмов ИНС в бортовом вычислителе и др.

Одной из важнейших задач теории инерциальной навигации является анализ погрешностей, возникающих при работе инерциальных навигационных систем. Эта задача должна быть решена для эффективной разработки ИНС любого класса точности. Основным инструментом для решения этой задачи являются дифференциальные уравнения ошибок ИНС, которые описывают функциональные зависимости между погрешностями её составных частей, погрешностями используемой модели поля тяготения Земли, погрешностями начального задания координат, скорости и параметров ориентации объекта, с одной стороны, и ошибками ИНС определения параметров ориентации и навигации — с другой. Вопросы, связанные с погрешностями ИНС, в том числе дифференциальные уравнения ошибок ИНС, рассмотрены во многих публикациях и книгах, изданных в России и за рубежом. Среди них можно назвать работы В. Д. Андреева, П. В. Бромберга, А. Ю. Йшлинского, В. Н. Бранца, И.П.Шмыглевского, О.Н.Анучина, Г.И.Емельянцева, В.В.Матвеева, В.Я.Рас-попова, П.К.Плотникова, Ю.Н.Челнокова, С.В.Петрова, А. В. Чернодарова,

B. Б. Никишина, Н.И. Кробки, В. В. Алёшкина, Paul G. Savage, D. Н. Titterton, J. L. Weston, I. Y. Bar-Itzhack, A. Weinred, Z. Gosiewski, A. Ortyl, H. K. Lee, N. Lovren, J. K. Pieper, S. Nassar, J. Pusa и других исследователей.

В последнее время развитие технологий изготовления чувствительных элементов (акселерометров и гироскопов) и бортовых вычислителей привело к возможности создания прецизионных бесплатформенных инерциальных навигационных систем (БИНС), которые, во-первых, конструктивно проще из-за отсутствия в их составе гиростабилизированной платформы, во-вторых, способны обеспечивать высокую точность навигации и ориентации даже при длительной автономной работе. Следовательно, повышаются требования к качеству анализа погрешностей, необходимого для разработки таких ИНС. Тема данного исследования, таким образом, является в настоящее время актуальной.

Диссертационная работа посвящена построению и изучению дифференциальных уравнений (ДУ) ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат (НГСК), в том числе построению оценок инструментальных погрешностей БИНС, погрешностей начальной выставки БИНС, разработке программ и математическому моделированию работы БИНС с помощью полных (нелинейных) ДУ ошибок, построению аналитических решений линеаризованных ДУ ошибок и изучению с их помощью динамики и устойчивости работы БИНС для трёх важных частных случаев движения объекта. Исследуются ДУ ошибок БИНС, описывающие погрешности определения проекций вектора относительной скорости объекта на оси НГСК, географических координат местоположения объекта, параметров Эйлера (Родрига-Гамильтона) и самолётных углов движущегося объекта.

Целью работы является:

— построение полных (нелинейных) и линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в НГСК;

— аналитическое исследование построенных ДУ ошибок, включая получение аналитических оценок погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта, построение и изучение аналитических решений линейных ДУ ошибок БИНС, функционирующей в НГСК, для неподвижного относительно Земли объекта, для объекта, движущегося вдоль земного экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте, и для объекта, движущегося с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земной параллели с ненулевой широтой;

— исследование влияния погрешностей чувствительных элементов БИНС и погрешностей начальной выставки системы на точность работы БИНС;

— получение для указанных случаев движения объекта формул для амплитуд, частот, начальных фаз гармонических составляющих законов изменения ошибок определения высоты, широты, долготы и ошибок определения вертикальной, северной и восточной составляющих относительной скорости объекта, а также формул для показателей экспоненциальных составляющих погрешностей определения этих навигационных величин, характеризующих их затухание или нарастание во времени;

— анализ устойчивости решений дифференциальных уравнений ошибок БИНС для указанных случаев движения объекта;

— разработка программного комплекса для математического моделирования работы БИНС и численное исследование зависимостей погрешностей определения параметров ориентации и навигации БИНС от погрешностей их начального задания и от погрешностей чувствительных элементов (гироскопов и акселерометров).

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Построены полные (нелинейные) и линейные (линеаризованные) ДУ ошибок БИНС, функционирующей в НГСК. В этих уравнениях для описания ориентации объекта используются параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона), а в качестве модели Земли принят референц-эллипсоид Ф. Н. Красовского.

2. Получены с помощью линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок аналитические оценки погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта, а также формулы для инструментальных погрешностей БИНС, обусловленных погрешностями гироскопов и акселерометров.

3. Решены в неупрощённых формулировках задачи построения аналитических решений линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок определения географических координат местоположения объекта и проекций вектора относительной скорости объекта на оси НГСК для случая неподвижного относительно Земли объекта, для случаев движения объекта с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земного экватора и вдоль земной параллели с ненулевой широтой. Получены явные точные формулы, позволяющие выразить корни характеристических уравнений интегрируемых дифференциальных уравнений ошибок через коэффициенты исходных систем уравнений (параметры невозмущённого движения объекта). Эти формулы характеризуют неустойчивость или устойчивость работы БИНС для указанных частных случаев движения объекта.

4. Получены для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта формулы, позволяющие в явном виде находить амплитуды, частоты и начальные фазы гармонических составляющих, а также показатели экспоненциальных составляющих, входящих в состав построенных аналитических решений линейных уравнений ошибок и характеризующих собственную динамику БИНС.

5. Дан анализ устойчивости решений линеаризованных и нелинейных ДУ ошибок БИНС для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта.

6. Разработан программный комплекс для среды МАТЪАВ, позволяющий путём численного интегрирования ДУ идеальной работы БИНС, а также полных (нелинейных) и линеаризованных ДУ ошибок моделировать работу БИНС, функци-

онирующей в НГСК, для любых заданных параметров невозмущённого движения объекта, любых погрешностей чувствительных элементов и любых погрешностей начального задания координат и параметров ориентации объекта.

7. С помощью численного моделирования получены для двухчасового интервала времени движения объекта зависимости погрешностей определения параметров ориентации и навигации БИНС от погрешностей начального задания этих параметров и от погрешностей чувствительных элементов (гироскопов и акселерометров) для случая неподвижного основания, для случаев движения объекта вдоль экватора, вдоль меридиана и по вертикали.

Достоверность результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач, строгостью применяемых методов и использованием алгоритмов численного решения дифференциальных уравнений, разработанных и апробированных ранее для задач изучаемого класса, а также совпадением результатов численных и аналитических исследований уравнений ошибок БИНС.

На защиту выносятся:

1. Полные (нелинейные) и линеаризованные ДУ ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат, описывающие зависимости погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта от погрешностей их начального задания и от инструментальных погрешностей чувствительных элементов БИНС (акселерометров и гироскопов).

2. Оценки погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта, а также формулы для инструментальных погрешностей БИНС, обусловленных погрешностями гироскопов и акселерометров, полученные с помощью линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок.

3. Аналитические решения линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС для следующих случаев движения объекта:

— неподвижного относительно Земли объекта;

— движения с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль экватора;

— движения с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль земной параллели с ненулевой широтой.

4. Формулы для амплитуд, частот и начальных фаз гармонических составляющих, а также для показателей экспоненциальных составляющих, входящих в состав построенных аналитических решений линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС и характеризующих собственную динамику БИНС, для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта.

5. Результаты анализа устойчивости работы БИНС (решений линеаризованных и полных (нелинейных) дифференциальных уравнений ошибок БИНС) для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта.

6. Программный комплекс для моделирования невозмущённой и возмущённой работы БИНС, функционирующей в НГСК.

7. Установленные с помощью математического моделирования работы БИНС зависимости погрешностей определения параметров ориентации и навигации БИНС от погрешностей их начального задания и от погрешностей чувствительных элементов БИНС (гироскопов и акселерометров) для случая неподвижного основания, для случаев движения объекта вдоль экватора, меридиана и по вертикали.

Научная и практическая ценность. Полученные ДУ ошибок БИНС, результаты их численного и аналитического исследования, построенные аналитические решения линеаризованных ДУ ошибок, построенные оценки инструментальных погрешностей БИНС и разработанный программный комплекс могут быть использованы при изучении свойств БИНС, построении алгоритмов функционирования автономных (некорректируемых) и корректируемых БИНС, а также при определении требований к точности чувствительных элементов БИНС.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 8-й Международной конференции «Авиация и космонавтика» (Россия, Москва, 2009); 27-й конференции памяти Н. Н. Острякова

(Санкт-Петербург, 2010); 17-й Международной конференцнн по интегрированным навигационным системам (Россия, Санкт-Петербург, 2010); 12-й конференции молодых учёных «Навигация и управление движением» (Санкт-Петербург, 2010); Всероссийской научной конференции «Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении» (Саратов, 2013), а также на научных конференциях механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н. Г. Чернышевского и на научных семинарах лаборатории «Механика, навигация и управление движением» ИПТМУ РАН (2008-2015 гг.). По результатам исследований опубликовано десять работ [1-10], в том числе четыре научные статьи [1-4] в журналах, рекомендованных ВАК РФ для соискателей учёной степени кандидата наук.

Личный вклад автора. Все научные результаты, вошедшие в диссертационную работу и публикации [1-10], получены автором диссертации индивидуально. Научному руководителю принадлежат исходные дифференциальные уравнения функционирования БИНС в НГСК и постановка задач исследования. М. Г. Ткаченко принадлежит методология построения опубликованного в работе [3] аналитического решения линейных ДУ ошибок для случая движения объекта вдоль экватора.

Использование результатов. Результаты, полученные в диссертационной работе, были использованы при выполнении временным трудовым коллективом под руководством д.ф.-м.н., проф. Ю. Н. Челнокова работ по заказу ООО «Аэроспец-проект» (Московская обл., г. Жуковский) в рамках договора «Разработка технологии создания программно-аппаратных модулей для БИНС нового поколения на базе прецизионных ВОГ» от 01.02.2013, заключённого на основании положений этапа №2 по ГК № 12411.1400099.18.009 от 15.10.12 (НИР). Имеется акт о внедрении. Полученные результаты были также использованы при выполнении лабораторией «Механика, навигация и управление движением» Института проблем точной механики и управления РАН научно-исследовательских работ по теме «Исследование проблем механики, навигации и управления движением с использованием кватернионных и бикватернионных моделей и методов пространства состояний» (2013-2015 гг.).

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка сокращений, списка литературы и двух приложений. Объем диссертации составляет 227 страниц, включая 142 рисунка, 67 таблиц и 13 листингов программного кода. Список литературы содержит 77 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертационной работы, сформулированы цели исследования.

В первой главе выполнен обзор работ по теме диссертации, кратко изложены основные результаты работы и приведены известные уравнения идеального функционирования БИНС в нормальной географической системе координат (НГСК), которые связывают северную вертикальную уц и восточную ид составляющие относительной скорости объекта (в проекциях на оси НГСК), долготу А, широту </з, высоту над уровнем моря Н и параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) •ус] {■} — 0,1,2,3), характеризующие ориентацию объекта относительно НГСК, с одной стороны, с измеряемыми на борту объекта проекциями щ (/ = 1, 2, 3) вектора кажущегося ускорения и проекциями ш, (г = 1,2,3) вектора абсолютной угловой скорости вращения объекта на объектовые осн — с другой. Эти уравнения имеют вид:

Ъ'е=ЯЕ+ЫН + «я) илг - ("лг ,

Х = уе/(Н1СОИ-Р), ф=у,\/112, Н=ьц/а; (3)

и,\'=их + УЕ/И 1, ^ц=иц+УЕ^/Я\, и1Е = -У.у/112, (4)

= исоа'-р, и ц = ийт^;

6

Щ = (а+Н)/а, Д2 = (а+Я)(1-е2)/а3, а = (1-е28т2у?)1/2; (5)

. , х0х2-х1х3 , х0х1-х2х3 • а г., , ч

+ ^ = + (6)

аг> = {0,а,\,ац,аЕ), а = {0,а1,а2,ая); (7)

;7 = 5ес,а2(1+г8т2(р)/(а+Я)2, (8)

где ац (А; = ЛГ, Я, Е) — проекции вектора кажущегося ускорения объекта на оси НГСК; шь (к = N, Н, Е) — проекции вектора абсолютной угловой скорости вращения НГСК на её же оси; пш, п„, тх, т^, — кватернионные матрицы типов пит, элементы которых суть величины их (г = 1,2,3), х^ (_/ = 0,1,2,3) и и^ (к = N,11,Е); д — модуль ускорения силы тяжести, и = 7,292115085- 10~5с-1 — угловая скорость суточного вращения Земли, е2 = 0,006692 —квадрат первого эксцентриситета, а = 6378245м — большая полуось земного эллипсоида вращения, део = 9,78049м/с2, <5 = 5,317-10~3; верхняя точка означает производную по времени I.

Интегрирование системы (1)-(3) на бортовом вычислителе для заданных начальных условий позволяет найти в текущий момент времени параметры и,у, уц, уе, Л, у, Я и 0 =0,1,2,3). Соотношения (6) позволяют по найденным значениям параметров Xj вычислять значения углов рыскания ф (а также географический курс объекта, равный —ф), тангажа ■в и крена 7.

Во второй главе построены полные (нелинейные) и линейные (линеаризованные) дифференциальные уравнения ошибок БИНС, функционирующей в НГСК. Для построения уравнений ошибок используется концепция Ляпунова возмущённого и невозмущённого движений, в соответствии с которой в уравнениях идеального функционирования (1)-(8) показания гироскопов и акселерометров, атакже интересующие нас параметры ориентации и навигации объекта представлены в виде сумм их точных (невозмущённых) значений и погрешностей (отклонений), после чего из полученных соотношений вычтены уравнения идеального функционирования. При этом невозмущённые показания гироскопов и акселерометров соответствуют показаниям идеальных (т. е. не имеющих погрешностей) гироскопов и акселерометров, а невозмущённые параметры ориентации и навигации описывают точные положение, скорость и ориентацию объекта.

Замена переменных, представляющая показания чувствительных элементов БИНС, а также параметры ориентации и навигации объекта в виде сумм их точных (невозмущённых) значений и погрешностей, вводится следующим образом: уг = уГ=у> + дг,1 (г = 1,2,3), V,, = V*' =у'у+Д ур(р= Ы,Н, Е),

Н=НР = Н*+АН, А = АР = А*+ДА, ч, = Ч>Р = ¥>*+Д<Л

+ = Ах=(Ахо,Ах1,Ах2,Ахя)т, (9)

= а*+Аа,, иг1=и>{' (¿ = 1,2,3),

С„ = С1 = ДС„, су = с£ = с*,-+Дс,} (и = 1,2,3). Здесь величины с верхним индексом «*» обозначают точные (невозмущённые) значения параметров, а величины со знаком «Д» — отклонения параметров от их точных значений, т. е. погрешности. Верхний индекс «Б» используется для удобства и отражает тот факт, что величина рассматривается как сумма точного (невозмущённого) значения и погрешности (ошибки). Таким образом, величины Аи: (г = 1,2,3), Аур (р — N,11, Е) обозначают погрешности определения относительной скорости объекта в проекциях на оси связанной системы координат и НГСК соответственно; АН, ДА, А'р — погрешности определения высоты, долготы и широты объекта; Ах—погрешность определения ориентации объекта в параметрах Эйлера (Родрига-Гамильтона); Ааи Дш, (г = 1, 2, 3) —инструментальные погрешности акселерометров и гироскопов соответственно; Сх, С'х и АС * представляют собой

матрицы направляющих косинусов размерности 3 х 3 и состоят из элементов су, су и А су (г,j = 1,2,3) соответственно. Матрица С„ описывает ориентацию объекта относительно НГСК, матрица С* — невозмущённую ориентацию объекта относительно НГСК, матрица АСХ — погрешность определения параметров ориентации объекта в НГСК.

Элементы су (i,j = 1,2,3) матрицы направляющих косинусов Сх выражены в работе через параметры Эйлера (Родрига-Гамильтона) щ (j = 0,1,2,3).

ДУ невозмущённого движения имеют вид уравнений (1)-(3), в которых вместо величин переменных vN, vH, vE, Я, ip, A, x} (j = 0,1,2,3), <ц, ш, (t = 1,2,3) нужно взять величины v'N, v'u, v*E, H*, <p', A*, x' (./=0,1,2,3), a*, cj* {¿ = 1,2,3).

Нелинейные (полные) ДУ ошибок БИНС, функционирующей в НГСК, относительно ошибок Avn, Ауц, А^е, АЯ, ДА, Ду? и Axj (j = 0,1,2,3) имеют вид: Avn = Aax+cjgvf, - +-u*Evj,+{и"н +ш'н)ьЕ,

Ave = AaE++uifj)vfj - - (4 +(u'N+ u*N)vj,;

AH = 4-~. ДА=- ^ ^

aF a*' Щ' Äfcos^ R[cos:p''

A<?=5eoä2[(l+5sinV)/(а+ЯГ)2-(1+&тУ)/(ä+Я*)2],

Да2- = (n£)Tm£aF - «fm^a'. В этих уравнениях = uj? + /R(, uif, = иЦ + vgtgipF/R(, uf = - v$/r£,

и% = ucos/, uf, = ш/, = (l-e2sinV)1/2, R[ = (ä+HF)/aF,

= (а+Я^)(1-е2)/(ар)3, Да*. = (0,Да^,Аа//,ДаЕ)Г, aF = (0,а£Х,а3р)Т,

о* = (0.a;,aj,a5)T, где величины vfj, vE, ipF, HF и xF определены соотношениями (9), а n*, nF, n*, m'„, mF, m* z, и mFzl — кватернионные матрицы типов n и m, элементы которых есть величины и', (i = 1,2,3), х*, xF (р = 0,1,2,3), ш*, uf (j = N,H,E).

Построены линейные (линеаризованные) дифференциальные уравнения ошибок БИНС, которые в матричной форме имеют следующий вид:

AX = A(t)AX+B(t), (11)

Ax=(l/2){nlAx+Anu,x'-n'1<Auz'-An1<Ljtz,), (12)

ß(i) = (Ob02,03,0,0,0)T, Oi = Ej=.1CviAaJ+Ej3=1Q(J-aJ, Q = C'vACl, (13) где ДАТ = (Av'n, Av'h, Ave, АН, Аф, ДА)Т, ДХ = (Avn,Avh,Ave,AHA'pAX)T, ** = Ах = (Ах0,Ах1,Ах2,Ах3)т, U'z, = (0tu'N,u,fl,u),E)T,

AüjZ' = (0,Aujn, Ашц, Awe)t, матрицы направляющих косинусов С* и АС[ описывают невозмущённую ориентацию НГСК относительно инерциалъной системы координат (ИСК) и погрешность определения параметров ориентации объекта относительно ИСК. Элементы ay (i,j = 1,...,6) матрицы A(t) сложным образом выражаются через параметры невозмущённого движения объекта.

В третьей главе путём анализа линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС построены оценки и формулы для погрешностей определения параметров ориентации и навигации объекта.

8

Получена оценка погрешности Auz' определения вектора абсолютной угловой скорости вращения НГСК через погрешность Avz> определения относительной скорости, погрешность Д<р определения широты и погрешность АН определения высоты объекта для случая, когда Земля является сферой (а* = 1, е2 = 0,Щ = Щ = а+Н'):

< [(|tg^| + N/2)//?;]|At)Z-| + [2ti+|vzV(/?icos2V*)]lAvl+

\Avz,\ = (Av2N+Avl+Avl)1/2, \v'z.\ = (Ш2+Ш2+(у'е)2)1/2.

Получены оценю! погрешностей Аф, Д7 и Ai9 определения углов ориентации объекта через погрешность Ах определения кватерниона ориентации объекта относительно НГСК для случая сферической Земли:

\Аф\< [(l+sinV)1/2/|cos^|]|Ax|, |Д7|< [(l+sinV)1/2/|costf*|]|A*|,

|Ai?| < |Ax|/|cost?*|, |Дх| =

Получена оценка погрешности Ах определения кватерниона ориентации объекта относительно НГСК через погрешность Дх-° задания кватерниона начальной ориентации объекта, инструментальную погрешность Aui определения абсолютной угловой скорости объекта и погрешность Aojz' определения угловой скорости вращения НГСК для случая сферической Земли:

|Д*|<|Дх°| + ^ /о'|Ди;(г)|^г+/о'|Ды2'(т)|йг|,|Ди;| = (Дш2+Да;|+ДШ^)1/2.

Для случая, когда погрешности Avn, Ауц и Ave определения относительной скорости объекта известны (например, носят инструментальный характер), получены оценки погрешностей АН, Atp и ДА определения высоты, широты и долготы объекта через погрешности АН0, Atp°, ДА0 начального задания этих параметров и погрешности Ауц, Ау,\ и Ave определения составляющих относительной скорости объекта."

|Atf(i)|<|Atf°| + /oW(T)Mr;

ц»и Д i/U

\AX(t)\<\AX°\ + lf^f>\dT+±fl ' aJo cosy3*(r) a2Jo

1 /'КМНЛЯМ!

cosiр'{т)

dr+

+

1 f'\VE(T)\-\Ap(T)\r

/

lJ о

, , , -йт, ДА° = ДА(0), а = 6378245 м. а ■'о со52<р'{т)

Получены приближённые формулы для погрешностей определения составляющих относительной скорости объекта Ду%с, Ау^с, а также погрешностей определения высоты АЯасс, широты Д^асс и долготы Д Аа!* объекта, обусловленных инструментальными погрешностями акселерометров Даь Аа2, Аа-у.

Д<СС = /¿(СЯДДг,яС = /.'¿(^Д^ОЛ, Д«Г = ¿¿(с'зДа^Л,

ДЯВСС=/о^ LU^Mt dt, А^ = JoUch^j)dt

l j — j * l j — 1

dt,

dt, a* = yl — e2sin2y>*,

e2 = 0,006692, Л; = (а+Я')/а*, Л5 = (а+Я*)(1-е2)/(а*)3.

Элементы с^ = с*^(£) матрицы направляющих косинусов С'н в общем случае являются функциями времени и выражаются через параметры Эйлера л), а также через невозмущённые углы рыскания ф', тангажа ■0* и крена 7*.

Получены приближённые формулы для погрешностей нахождения проекций относительной скорости объекта Лг)дГ°, Д^я™, Ау/Г", а также погрешностей нахождения высоты Д//£>то, широты А'^0 и долготы ДАеуг0 объекта, обусловленных инструментальными погрешностями гироскопов:

(АаТАаГЛаГ)Т = С-ЛАСГ)Т(аЬс4,а'3)т.

Компоненты матрицы АС^10 выражаются через элементы вектора-столбца ДА®™, характеризующего ошибку определения ориентации объекта в инер-циальной системе координат. Вектор-столбец ДАеу^° определён соотношением ДА8уго= (1/2)пд(Л/ц(г1д)7 Дп^(т)А*(т)(/г, где А* — кватернионная матрица п-типа и векгор-столбец, составленные из параметров Эйлера и характеризующие невозмущённую ориентацию объекта в инерциальной системе координат, Дпш — кватернионная матрица п-типа, составленная из инструментальных погрешностей гироскопов Дшь Дшг, Дшд.

В четвёртой главе построены аналитические решения линеаризованных ДУ ошибок БИНС для случая неподвижного относительно Земли объекта и для случаев движения объекта с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль экватора и вдоль параллели с ненулевой широтой. В каждом случае для однородной части системы (11) построено характеристическое уравнение, и найдены его корни.

Построенное общее решение однородной линейной системы ДУ ошибок в случае неподвижного относительно Земли объекта имеет скалярный вид:

Ауи =Л[С,2со8(Л«)-С,18т(^)]+А[С,зе&'-С'4е-/'3'] +Д[С6со3(/хг)-С58т(/1г)], Див=41)[С1СО5(Л0+С'28т(й«)]+аз3)[С'зеЛ4+С4е-й:,,] + ь «з5) [Сг,со8(/}г)+с68т(/1г)],

АН = С1ст(й1)+С2в,\п{ш1) +Слсм +С4е~1Ы + С5сон(;и)+С'^т([и), Д V? = а^^созСйО+С"2шп(а>«)]+43) [С3еЛ£+ + [СасовОК)+С6яп(/)0],

где С\ (г = 1,...,6) представляют собой постоянные интегрирования, а все остальные величины в правых частях уравнений сложным образом выражаются через параметры невозмущённого движения объекта.

Отдельно построены общие решения линейных однородных уравнений ошибок для неподвижного объекта на экваторе и на широте 7г/4 рад.

Найденное аналитическое решение неоднородных линеаризованных ДУ ошибок БИНС для случая неподвижного относительно Земли объекта имеет вид:

АХ{1) = 8{1)МАХ0+^3{1~т)МВ(т)ат, (15)

где АХ° = (Д4,Д<,Д4,ДЯП,Д/,ДА0)'Г, Ау%, Ау<1,, Дг^, АН0, Д<Д ДА°-начальные условия интегрирования, ДХ(£) = (Аух, Ауц, Аур, АН, Ар, АХ)1, вектор-столбец В(() определён согласно выражениям (13). Матрицы и М имеют размерность С х 0, их элементы сложным образом выражаются через параметры невозмущённого движения объекта.

Построены также аналитические решения линеаризованных дифференциальных уравнении ошибок БИНС для случаев движения объекта вдоль экватора и вдоль параллели с ненулевой широтой.

Решения состоят из гармонических составляющих с частотами из, /1, а также нарастающих во времени экспоненциальных составляющих с показателем Д|£ (т. к. /Зз > 0) и затухающих во времени экспоненциальных составляющих с показателем —Получены точные явные формулы, позволяющие выразить частоты ш, /1 и величину /Зз через параметры невозмущённого движения объекта.

Для каждого частного случая движения вычислены значения й, р., для различных параметров движения объекта. Эти значения, а также периоды Т& = 2ж/и>, Тц = 27г//1 для неподвижного относительно Земли объекта, находящегося в точках с различной широтой на нулевой высоте, приведены в таблице 1.

Таблица 1. Значения величин /З3, ш, /5, Тс и Т,\ для неподвижного объекта

у", рад @з,с~х й, с-1 /X с-1 То, с (мин) 7},, с (мин)

0,001 0.0017472 0,0012412 0,0012383 5062(84,37) 5074(84,57)

0,01 0^0017472 0,0012414 0,0012381 5062(84,36) 5075(84,58)

0,1 0,0017473 0,0012472 0,0012324 5038(83,96) 5098(84,97)

г/4 0,0017515 0,0012933 0,0011902 4858(80,97) 5279(87,99)

1,0 0,0017534 0,0013039 0,0011812 4819(80,31) 5319(88,65)

1,5 0,0017558 0,0013164 0,0011710 4773(79,55) 5366(89,43)

Построенные решения представлены в работе в особой форме, удобной для анализа амплитуд, частот и начальных фаз входящих в их состав гармонических составляющих. Проведена проверка корректности построенных решений, приведены примеры их использования для расчёта погрешностей работы БИНС.

С помощью теорем об устойчивости движения линейных автономных систем установлено, что невозмущённое движение объекта неустойчиво по всем переменным (составляющим относительной скорости г>у, уц, у/••, высоте Н, широте :р и долготе А) для случаев неподвижного основания и движения вдоль параллели с ненулевой широтой, так как для этих случаев движения имеется положительный корень характеристического уравнения.

В случае движения объекта вдоль экватора невозмущённое движение неустойчиво в отношении восточной ур; и вертикальной ?;// составляющих относительной скорости, высоты Я и долготы А объекта, но устойчиво в отношении северной составляющей относительно» скорости уу и широты объекта, так как построенные решения линейных ДУ ошибок для этих навигационных параметров содержат только гармонические составляющие с ограниченной амплитудой.

Из теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения следует, что для всех трёх описанных частных случаев движения объекта решения не только линеаризованных ДУ ошибок, но и нелинейных ДУ ошибок БИНС неустойчивы независимо от членов выше первого порядка малости.

В пятой главе приведены результаты численного исследования зависимости ошибок БИНС от погрешностей гироскопов, акселерометров и начальной выставки путём численного интегрирования полных ДУ ошибок на двухчасовом интервале времени. Для этого исследования создан программный комплекс для среды МАТЬАВ, позволяющий интегрировать построенные линейные и нелинейные уравнения ошибок, а также уравнения идеального функционирования БИНС. Рассмотрены четыре случая невозмущённого движения объекта: установка

БИНС на неподвижном основании, вертикальный полёт, движение с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль экватора и вдоль меридиана.

Погрешности гироскопов Аш^ и погрешности акселерометров Да^ рассматриваются как суммы погрешностей, вызванных смещением нуля, и погрешностей, вызванных неточностью масштабного коэффициента:

Д^ = До^+Д^5Т<Ц, Д а3 = АЩсса*, 0 = 1,2,3), где Аы?, Да* у = 1,2,3) — ошибки, вызванные смещениями нуля гироскопов и акселерометров; ДА,®™, Ак™с — безразмерные погрешности масштабных коэффициентов гироскопов и акселерометров; и*, а] (] = 1,2,3) — точные значения компонент измеряемой угловой скорости вращения и кажущегося ускорения объекта.

Результаты моделирования представлены в виде 45 таблиц и 138 графиков, отражающих изменение во времени погрешностей определения северной, восточной и вертикальной составляющих относительной скорости объекта, его высоты, широты, долготы и трёх углов ориентации (рыскания, крена, тангажа).

Увеличение погрешностей гироскопов, акселерометров или начальной выставки на один порядок увеличивает ошибки определения координат местоположения объекта через час работы системы также примерно на один порядок.

На графиках погрешностей определения северной составляющей относительной скорости Дид', широты Ар и угла тангажа во многих случаях видны колебания с периодом, близким к периоду Шулера (84,4 мин). В менее выраженном виде колебания с таким периодом встречаются также и на графиках погрешностей определения других параметров ориентации и навигации.

Найдены максимальные погрешности определения высоты, широты и долготы, возникающие через час работы системы при наличии инструментальных погрешностей гироскопов и акселерометров, а также погрешностей начального задания координат местоположения и углов ориентации объекта. Проведён их анализ.

Графики на рис. 1-6 отображают зависимости ошибки определения долготы неподвижного относительно Земли объекта от погрешностей гироскопов и акселерометров. В таблице 2 для неподвижного относительно Земли объекта приведены погрешности определения высоты широты Д и долготы ДА™? через

час работы системы при наличии различных возмущающих факторов. Значения погрешностей определения широты и долготы, являющиеся по сути угловыми величинами, приведены в соответствующей линейной мере (в метрах).

Таблица 2. Погрешности БИНС через час работы системы для неподвижного объекта при наличии различных возмущающих факторов

Возмущ. фактор Значение ДЯ»»м ДяГ.м ДА*»».

Погрешности 10"27ч 745,80 1446,91 1136,43

гироскопов 10-37ч 74,45 144,69 113,67

Дш1, Дшг, Лиз 10-47ч 7,44 14,47 11,37

Погрешности ю-38 8,53-105 9307,12 17013,46

акселерометров Ю-48 90081,75 921,69 2043,94

Да1,Да2,Даз ш-5е 9062,00 92,06 208,43

Погрешности Юм 2769,52 13,62 75,20

нач. выставки 1м 277,01 1,36 7,52

Д#°,Ду?°,ДА0 0,1м 27,70 0,14 0,75

Погрешности нач. выставки Д^°,Д1?°,Д70 0,1° 1° 10° 47796,30 4790,69 479,18 14240,78 1419,82 141,94 9346,49 930,78 93,04

В заключении сформулированы результаты и выводы по диссертации.

- - Да> = 10-а11с8/Ь| —Ди = Щ-Мсд/Ь[

- - Д-1 = 10",б

---Да =

-Да = Ю-*к|

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000

2500 3000 3500 4000

Рис. 1. Ошибка определения высоты

для погрешностей гироскопов Аа; величиной 10~2о/ч, 1(Г3о/ч и 10~4о/ч

Рис. 2. Ошибка определения высоты для погрешностей акселерометров Да величиной 10~3 g, 10~4 g и 10~5 §

Д*> (8иис,Ды = Ю-^.-.КГЧса/Ь) Д* (ЗЦЩС, До = Ю-'.-.Ш"^)

Рис. 3. Ошибка определения широты Рис. 4. Ошибка определения широты

для погрешностей гироскопов Да; для погрешностей акселерометров Да

величиной 10~2о/ч, 10"3о/ч и 10~4о/ч величиной 10~3 g, 10~4 § и Ю-5 g

Рис. 5. Ошибка определения долготы для погрешностей гироскопов Да; величиной 10~2о/ч, 10"3о/ч и 10"4о/ч

Рис. 6. Ошибка определения долготы для погрешностей акселерометров Да величиной 10~3 g, Ю-4 g и 1СГ5 g

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Построены неоднородные полные (нелинейные) и линейные (линеаризованные) дифференциальные уравнения ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат (НГСК), образующие системы нестационарных дифференциальных уравнений десятого порядка относительно погрешностей определения северной, вертикальной и восточной составляющих относительной скорости объекта, погрешностей определения высоты, широты, долготы и погрешностей определения параметров Родрига-Гамильтона (Эйлера), описывающих собой ориентацию объекта в НГСК.

2. Получены с помощью линеаризованных уравнений ошибок аналитические оценки погрешностей БИНС, а именно:

— оценка погрешности определения вектора абсолютной угловой скорости вращения НГСК через погрешности определения широты, высоты и относительной скорости объекта;

— оценки погрешностей определения углов ориентации объекта через погрешность определения кватерниона его ориентации относительно НГСК;

— оценка погрешности определения кватерниона ориентации объекта относительно НГСК через погрешность задания кватерниона начальной ориентации объекта в НГСК, инструментальную погрешность измерителей его абсолютной угловой скорости и погрешность определения угловой скорости вращения НГСК;

— для случая, когда погрешности определения относительной скорости объекта известны (например, носят инструментальный характер), получены оценки погрешностей определения высоты, широты и долготы объекта через погрешности их начального задания и погрешности определения составляющих относительной скорости объекта.

3. Получены приближённые формулы для погрешностей определения северной, вертикальной и восточной составляющих относительной скорости объекта, а также погрешностей определения высоты, широты и долготы, обусловленных инструментальными погрешностями измерителей абсолютной угловой скорости (гироскопов) и кажущегося ускорения объекта (акселерометров).

4. Построены аналитические решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в НГСК, для трёх частных случаев движения объекта, а именно: неподвижного по отношению к Земле объекта, движения с постоянной скоростью на постоянной высоте вдоль экватора и вдоль земной параллели с ненулевой широтой. Построенные аналитические решения, состоящие из гармонических составляющих, а также нарастающих во времени и затухающих во времени экспоненциальных составляющих, представлены в компактном и удобном для исследования виде. Для корней характеристических уравнений, характеризующих собственную динамику БЙНС и её неустойчивость для указанных частных случаев движения объекта, получены точные явные выражения через параметры невозмущённого движения объекта. Отдельно построены общие решения линейных однородных уравнений ошибок для неподвижного объекта, находящегося на экваторе и на широте тг/4 рад.

5. Получены для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта формулы для амплитуд, частот, начальных фаз гармонических составляющих законов изменения ошибок определения высоты, широты, долготы и ошибок определения проекций относительной скорости объекта, а также формулы для показателей экспоненциальных составляющих погрешностей определения этих навигационных величин, характеризующие их затухание или нарастание во времени. Эти формулы характеризуют собственную динамику БИНС.

6. Вычислены для трёх вышеуказанных частных случаев движения объекта точные значения корней характеристического уравнения, входящих в показатели экспоненциальных составляющих, и частот гармонических составляющих законов изменения ошибок определения высоты, широты, дат готы и ошибок определения проекций относительной скорости для различных параметров невозмущённого

движения объекта. Показано, что периоды гармонических составляющих законов изменения погрешностей БИНС в случае неподвижного основания существенно зависят от высоты и широты объекта; в случае движения вдоль параллели с ненулевой широтой — от высоты и широты объекта, а также от восточной составляющей его относительной скорости; в случае движения вдоль экватора один из периодов зависит от высоты, другой — от восточной составляющей относительной скорости объекта и от его высоты. Установлено, что вблизи экватора эти периоды оказываются близкими к периоду Шулера (84,4 мин), при удалении объекта от экватора один из периодов убывает, а другой — нарастает.

7. Показано, что решения линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок БИНС неустойчивы по всем навигационным параметрам (северной, восточной, вертикальной составляющим относительной скорости объекта, высоте, широте, долготе) в случаях неподвижного относительно Земли объекта и объекта, движущегося вдоль земной параллели с ненулевой широтой, а в случае движения объекта вдоль земного экватора эти решения уравнений ошибок БИНС неустойчивы в отношении восточной и вертикальной составляющих относительной скорости, высоты и долготы объекта, но устойчивы в отношении северной составляющей относительной скорости и широты объекта.

8. С помощью теоремы Ляпунова о неустойчивости движения по уравнениям первого приближения показано, что для всех трёх описанных частных случаев движения объекта решения не только линеаризованных дифференциальных уравнений ошибок, но и нелинейных уравнений ошибок БИНС неустойчивы независимо от членов выше первого порядка малости.

9. Создан программный моделирующий комплекс для среды МАТЬАВ, позволяющий численно интегрировать линейные и нелинейные дифференциальные уравнения ошибок, а также уравнения идеального функционирования БИНС. С его помощью на двухчасовом временном интервале численно исследовано влияние на ошибки БИНС погрешностей акселерометров и гироскопов, а также погрешностей начального задания параметров ориентации и навигации объекта, для случаев неподвижного относительно Земли объекта, вертикального полёта, движения объекта вдоль земного экватора и вдоль земного меридиана. Установлено, что увеличение погрешностей гироскопов, акселерометров или погрешностей начальной выставки на один порядок увеличивает ошибки определения координат местоположения объекта через час работы системы также примерно на один порядок.

Публикации автора в изданиях, рекомендованных перечнем ВАК РФ:

1. Логинов, М. Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат / М. Ю. Логинов, Ю.Н. Челноков // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2009. -№ 10,- С. 64-72.

2. Логинов, М.Ю. Аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС для случая неподвижного объекта / М. Ю. Логинов, Ю.Н. Челноков // Мехатроника, автоматизация, управление. — 2012. — № 10. — С. 55-63.

3. Логинов, М.Ю. Аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат, для случая движения вдоль экватора с постоянной скоростью на постоянной высоте / М. Ю. Логинов, М. Г. Ткаченко, Ю. Н. Челноков // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. - 2013. - № 1. - С. 69-84.

4. Логинов, М.Ю. Аналитическое решение линейных дифференциальных уравнений ошибок БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат, для случая движения вдоль земной параллели с постоянной скоростью и на постоянной высоте / М. Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков // Авиакосмическое приборостроение. — 2013. — № 6. — С. 34-47.

Публикации в других изданиях:

5. Логинов, М. Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат. Вывод и результаты моделирования / М. Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков // Авиация и космонавтика: сб. докл. VIII Междунар. конф. Москва, 2009 г. — М., 2009. С. 112-113.

6. Логинов, М.Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат. Вывод и результаты моделирования / М. Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков // Навигация и управление движением: сб. докл. XII конф. молодых учёных. Санкт-Петербург 2010 г. - СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2010. С. 75-76.

7. Логинов, М. Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат. Вывод и результаты моделирования / М. Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков // XVII Санкт-Петербургская Междунар. конф. по интегрированным навигационным системам: сб. докл. Санкт-Петербург, 2010 г. - СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2010. С. 116-118.

8. Логинов, М.Ю. Дифференциальные уравнения ошибок корректируемой БИНС, функционирующей в нормальной географической системе координат. Вывод, аналитические решения и результаты моделирования / М.Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков // XXVII конф. памяти Н. Н. Острякова: сб. докл. Санкт-Петербург 2010 г. - СПб: ГНЦ РФ ЦНИИ «Электроприбор», 2010, С. 18-19.

9. Логинов, М. Ю. Дифференциальные уравнения ошибок БИНС и их аналитические решения / М. Ю. Логинов, Ю. Н. Челноков // Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении: сб. тезисов Всероссийской науч. конф. Саратов, 2013 г. — Саратов: ООО Издательский центр «Наука», 2013. С. 264-267.

10. Логинов, М.Ю. Аналитическое решение дифференциальных уравнений ошибок БИНС для случая неподвижного основания / М. Ю. Логинов // Проблемы критических ситуаций в точной механике и управлении: сб. тезисов Всероссийской науч. конф. Саратов, 2013 г. — Саратов: ООО Издательский центр «Наука», 2013.

Подписано в печать 01.07.15 Формат60х84 1/16

Бум. офсет Усл. печ. л. 1,0 Уч.-изд. л. 1,0

Тираж 100 экз. Заказ 79 Бесплатно

Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю. А.

410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Отпечатано в Издательстве СГТУ. 410054, Саратов, Политехническая ул., 77 Тел.: 24-95-70; 99-87-39, e-mail: izdat@sstu.ru