автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Постановка и разработка алгоритмов решения задач управления напряжениями и деформациями в теории термоупругости

На правах рукописи

РГБ ОД

1 9 ИЮН 2000

Кирюхин Валентин Юрьевич

Постановка и разработка алгоритмоврешения задач управления напряжениями и деформациями в теории термоупругости

Специальность 05.13.16 - Применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пермь, 2000

Работа вьшолнена на кафедре теоретической механики Пермскогс государственного техшгтеского университета.

. Научные руководители: Заслуженный деятель науки РФ, академик РАЕН, доктор технических наук, профессор Ю.И. Няшин;

Иностранный член Российской АН, зав. кафедрой рациональной механики Венского ТУ, профессор Ф. Циглср

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор P.A. Васин, доктор физико-математических наук, профессор A.A. Чекалкин

Ведущая организация:

Пермский Государственный Университет

Защита состоится 20 июня 2000 г. в 12.00 час на заседании диссертационного совета К 063.66.07 в Пермском Государственном Техническом Университете. Адрес:

614600, ГСП-45, г. Пермь, Комсомольский проспект, 29а, ауд. 423.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке 111 ТУ. ■ Автореферат разослан 18 мая 2000 г.

Ученый секретарь диссертационного совета К 0,63.66.07

кандидат технических наук, доцент

С.Г. Николаев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В настоящее время теория термоупругости имеет широкое применение при решении важных проблем, возникающих при разработке новых конструкций (паровые и газовые турбины, реактивные и ракетные двигатели, высокоскоростные самолеты, ядерные реакторы и многое другое). Неравномерное тепловое расширение в них в общем случае не может происходить свободно, оно вызывает тепловые (термические, температурные) напряжения. Знание величины и характера действия тепловых напряжений необходимо для всестороннего анализа конструкции.

. Построите моделей на основе теории термоупругости зачастую преследует собой цель решение задач управления напряжениями и деформациями, возникающих в теле с некоторыми опорами. Суть задачи управления - это установление параметров модели по известным решениям в напряжениях, деформациях или перемещениях.

Параметрами модели могут быть распределение нагрузок, температуры, свойства материала. Многие детали и части механизмов в процессе эксплуатации подвержены температурным и силовым нагрузкам (практически все), которые в большинстве случаев вызывают негативную реакцию со стороны свойств конструкции. Но заранее спланированное и предусмотренное температурное нагружение может даже улучшить эксплуатацшлшые характеристики деталей и механизмов, создавая в них благоприятные напряжения и деформации.

В список параметров модели могут входить распределения механических и температурных свойств материала. Такая ситуация также популярна в практике. К примеру, в настоящее время имеет место огромный интерес к возможности разработки телескопов и антенн большого диаметра при жестких ограничениях на точность поверхности. Одними из самых важных проблем в этой области являются разработка и изготовление основного зеркала телескопа диаметром один и более метров, удерживающего геометрию в установленных пределах. Главными факторами, нарушающими форму, являются постоянно меняющиеся градиент температуры и силовая нагрузка. Проблема оказывается крайне сложной в силу большого количества управляющих параметров (до 100 и более) п целей управления.

В этом случае ставится и решается проблема проектирования: задается решение в напряжениях и/или деформациях, требуется Определить распределение свойств, обеспечивающих заданное решение.

В настоящей работе рассматриваются постановки.и способы решения задач управления и проектирования в рамках термоупрутости.

Цели работы.

1. Постановка задач проектирования и управления в рамках модели термоупругости. Исследование и применение свойств решения задачи термоупругости для решения задач управления температурными напряжениями и деформациями.

2. Разработка алгоритмов решения задач управления и проектирования напряжений и деформаций.

3. Применение теории и алгоритмов к решению тестовых и некоторых практических задач управления и проектирования.

Научная новизна

1. Обобщена и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях достижения заданных напряжений в теории термоупругости. В новой формулировке учтены закрепления тела, не испойьзуются уравнения совместности, напряжения могут задаваться в виде любого допустимого поля значений.

2. Сформулированы необходимые и достаточные условия для температурного ноля, не вызывающего напряжений. Охвачен круг задач в рамках обобщенной постановки краевой задачи термоупругости с заданными закреплениями тела. Общим достоинством новых результатов является то, что не приходится решать краевую задачу термоупругости.

3. . Построены оценки отклонения истинных напряжений от заданных. Оценки ..обобщены на случай произвольной анизотропии и неоднородности тела.

4. Построены и описаны алгоритмы решения поставленных задач управления и проектирования. Рассмотрено решение каждой задачи проектирования и управления по отдельности. Определена последовательность вычислений в • каждой из них.

5. Разработанные алгоритмы использованы для решения ряда тестовых задач температурного управления и задачи проектирования двухслойного цилиндра из композиционного материала.

Практическая ценность работы. Доказанные теоретические положения и построенные алгоритмы решения задач проектирования позволяют определять механические характеристики конструкции (или тела), обеспечивающие заданные деформации и напряжения. В задачах управления результаты работы позволяют установить необходимый, нагрев для создания заданных напряжений и деформаций.

Достоверность научных положений и результатов работы подтверждается решением прямой задачи термоупругости с найденными параметрами управления. Вычисленные напряжения и деформации соответствовали (точно или приближенно) заданным значениям.

Апрабация работы.

Отдельные этапы работы докладывались на пленарном заседании международного конгресса «Thermal Stresses - 99» (Польша, Краков, июнь, 1999), па пленарном заседании международной конференции «Современные проблемы математики и механики» (Украина, Львов, май, 1998), на конференции «История Физико-Математических Наук» (Россия, Пермь, Пермский ГУ, октябрь, 1999), на научно-технической конференции «Проблемы прикладной математики и механики» (Россия, Пермь, Пермский ГТУ, 1998).

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах кафедр

«Теоретической механики», руководитель - профессор Ю.И. Няшин;

«Рациональной механики» (Institut für Allgemeine Mechanik), руководитель -профессор Ф. Циглер (F. Ziegler);

«Механики композициошшх материалов и конструкций», руководитель -профессор Ю.В. Соколкин;

«Математического моделирования систем и процессов», руководитель -профессор П.В. Трусов.

Публикации. Основные положения диссертационной работы отражены в 7-ти печатных работах.

Объем работы. Диссертация состоит из введешм.с обзором литературы, 4 глав, выводов, списка литературы, изложенных на 133 страницах машинописного текста, содержит 29 иллюстраций и список использованной литературы из 111 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цели и задачи. На основе литературного обзора выполнен анализ современного состояшм и актуальности вопроса управления и проектирования. Отмечепо, что в большинстве споём .-¡адата управления решаются построением функционала и его минимизации посредством неоднократного решения краевой задачи термоупругости.

В первой главе рассмотрены постановки задач термоупругости и задач управления и проектирования.

Модель, определяющая зависимость напряжений п деформаций от температурных и силовых нагрузок описывается уравнениями

о(г) - ё(г) ■ (е(м(г)) Г- ЪТ (F)), VFGF, (1)

Ja--c(&w)dr-JP-6wdS-fQ-8wcfr = 0, VSh-(F) = 0, г с Su, (2)

У S. V

5г(О=й(О(7ХО-Г0(г)), (3)

е (»(?)) = \ (V« + «V), V? s V, (4)

«(?) = 0, reSu, . (5)

ü{ г)е(Ж'(Г))3, Г(г)е12, Sefe)6, s e(l2)6, С.,, e ¿2 . (6)

Здесь F - объем, занимаемый телом; S - граница объема V, V = V U S ; Sa - часть поверхности, на которой заданы поверхностные силы, Р - поверхностные силы; Л'„

- оставшаяся часть поверхности, но которой заданы перемещения ¡7(7) - О в смысле следа; С(г) - положительно определенный тензор 4-го ранга, описывающий

упругие свойства материала. С, вообще говоря, может зависеть от температуры, е

- симметричный тензор малых деформаций; ёг(г) - тензор температурных деформаций, а - тензор коэффициентов температурного расширишя. '/'„ -отсчетная температура естественного состояния тела, при котором Э = 0 и е = О при отсутствии внешних сил. Вектор Q обозначает объемные силы, й(г') с (Wl(y)f

- Соболевское функциональное пространство функций с обобщещюй производной суммируемой в квадрате. В соотношении (4) производные рассматриваются как обобщенные. Деформации s считаются малыми и аддитивными.

Система (1)-(6) является математической формулировкой обобщенной постановки краевой задачи термоупруго ста. В соотношениях (6) указаны пространства, из которых рассматриваются соответствующие величины.

Выбор задачи термоупругости связан с тем, что она позволяет описать с достаточной точностью поведение тел во многих процессах деформирования и нагружения. При этом для обобщешюй задачи термоупругости доказаны единственность и существовшше решения.

На основе модели (1)-(6) рассматриваются следующие обратные задачи: задача проектирования и задача температурного управления.

1. Управление температурными напряжениями и деформациями Требуется определить распределение температурного (или иного не силового) поля Т(г) как параметра модели (1)-(6), обеспечивающего в теле при

заданных механических С (г ) и температурных а(г ) свойствах известные напряжения 5(f) и деформации s(г)такие, что

• c(7) = 5'(F), VreF, (7)

s(f) = s'(0, VreF. (8)

Зачастую практически гораздо более важно взамен деформаций по всему - телу обеспечить лишь перемещения на некоторой его подобласти (к примеру, в задачах размеростабильности)

й{г) = й*(г), VreDcF. (9)

Тензоры 5" и с* - заданные напряжения и деформации, которые обязательно должны быть возможным решением задачи (1)-(6). Условие (9) не должно противоречить гратгчному условию (5).

II. Задача проектирования

Требуется определить распределение механических С'(г) и температурных а (г) свойств тела, обеспечивающих в нем при заданных условиях нагружения известное решение модели (1)-(6) в напряжениях о(?) и деформациях ё(г)

5(г) = а*(г),

8(г) = Г(г), УгеУ либо и(г) = й'(г), \ffeDcV.

Общие задачи управления I и проектирования II предлагается решать с помощью последовательности более частных задач управления, в которых условия (7)-(9) рассматриваются по отдельности либо в совокупности попарно. Это задачи проектирования напряжений, проектирования деформащга, проектирования перемещений. Более сложные задачи проектирования сводятся либо к одной из простых подзадач, либо к их последовательности.

Помимо представленных постановок задач управления и проектирования в первой главе описываются метод решения задачи термоупругости с помощью аналогии Дюгамеля. Описан метод анализа коэффициентов чувствительности, часто используемый в современных работах для минимизации функционала.

Во второй главе приводятся теоретические основы решения представленных задач управления и проектирования.

Для описания свойств деформаций вводится новое дополнительное определение - пространство Ни. Это множество симметричных тензоров второго

ранга /

■ /„•=-/,, (Ю)

обладающих тем свойством, что для каждого из них существует некоторый вектор перемещений, удовлетворяющий условию

= : /(г) = ^(УЙ+йу) ' (11)

Фактически это означает, что пространство Ни - это множество всех совместных тензоров деформации, которые могут быть решением задачи (1)-(6). В пространстве Ни определены некоторые свойства. Это свойства линейности по операциям сложения элементов и умножениям на скаляр, описанные следуюшими . формулам!

7,£е Ни + • ' (12)

. аеЯ,/еНи => а]еНи. (13)

Определены операция скалярного произведения и норма

Vf.geH. (f,g)H=jf-ë-gJy, ■ (14)

к

v/ея,, ||/|| = 40,Ли • . (15)

Следующим этапом изложения является важная теорема, занимающая ключевое положение в данной работе. Теорема выглядит следующим образом

Пусть cr*(F) - симметричный тензор второго ранга, удовлетворяющий уравнению (1). Далее вводится тензор

' f(r)=zT{f) + 5-\ryv\r). (16)

Условие / е Ни есть необходимое и достаточное условие тош, что будут

созданы напряжения 5(?) = б*(?) по йсему объему тела, занимающего область

— 2 V в пространстве Е .

Доказательство теоремы основано на теореме о единственности и существовании решения обобщенной задачи термоупругости в работе Дюво и Лионса (Г. Дюво, Х.-Л. Лионе. Неравенства в механике и физике. Наука, Москва, 1980).

Дшшая теорема формулирует свойство напряжений как решения системы (1)-(6) без реше!шя самой системы и уравнения теплопроводности. На ее основе и строятся процедуры решение задач управления в термоупругости. Необходимо построить пространство Ни, обеспечить принадлежность ему тензора /, и тем самым обеспечивается создание определенных напряжений по всему объему тела. При этом интересно отметить, что с точки зрения алгоритма не важно, какой параметр выбирается для решения задачи управления. Принадлежность тензора / пространству Ни можно обеспечить за счет подбора любого параметра, входящего

в правую часть (16): температура, распределение свойств, напряжения 5*(?).

Сама формулировка теоремы является новым результатом, достигнутым в работе. Ранее была известна подобная теорема для управлеши остаточными напряжениями, но она была сформулирована для иного класса проблем по нескольким причинам: 1 - рассматривалась задача пластичности, 2 - остаточные напряжения считались самоуравновешенными; 3 - тело предполагалось незакрепленным, что, вообще говоря, охватывает редкий круг задач. Данная теорема сформулирована для напряжений произвольной природы, которые не обязательно должны быть нулевыми или самоуравновешенными. Также теорема применима к телам, имеющим произвольно распределенные закрепления, выраженные граничным условием (5). В этом состоит обобщение предыдущих результатов.

На основе теоремы доказывается ряд следствий. В литературе (Е. Мелан, X. Паркус, А. Коваленко, Б. Боли, Дж. Уэйнер) обсуждается такой вопрос: как надо нагреть тело, чтобы в нем не возникало напряжений? Такой нагрев в зарубежной литературе называется имлотентным. Указанными авторами ответ на этот вопрос искался на основе классической (дифференциальной) постановки задачи термоупругости с использованием уравнений совместности и рассматривались только свободные тела.

В работе было доказано следствие, которое обобщает результат на случай интегральной постановки краевой задачи, без использования уравнений совместности и для тел с закреплением.

Следствие 1. Если тензор ет принадлежит пространству Ни (сг е//„), то это сеть необходимое и достаточное условие отсутствия в теле температурных напряжений, т.е. 5*(Г) = О, V? е V.

В другом следствии, формулируются необходимые условия, которым должно удовлетворять температурное поле для того, чтобы при температурной нагрузке не возникли температурные напряжепия. Следствие имеет место для более частных задач. Предполагается, что деформации имеют непрерывные производные до второй включительно. Следствие 2. Пусть компоненты тензора деформаций имеют непрерывные производные до второй включительно, т.е. е е (С2 У'. Тогда для того, чтобы в термически однородном и изотропном теле температурное поле не вызывало температурных напряжений необходимо (но 'недостаточно), чтобы температурное поле было линейной функцией декартовых координат

Т(х,у,1,{) = а^)х+:а2(1)у1 а3(0г + а4(/). (17)

Другое следствие при тех же предположешмх. Следствие 3. Условия совместности температурных деформаций являются необходимыми и достаточными условиями отсутствия температурных напряжений в статически определимой системе.

В статически неопределенной системе они являются лишь необходимыми условиями. Следующие следствия пе отвечают на классические вопросы управления напряжениями и деформациями, по играют важную роль в построении алгоритмов.

Следствие 4. О деформации при управлении. Когда-' в теле будут созданы напряжения 5 = а'(г), то тензор / е #„ и е(г) = /</'), ЧгеУ. Следствие 5. Добавление тензора деформаций : гаМ е Ни не изменяет напряжений 5(г) = о*(г) V? е V .

Доказательство следствий опирается на теорему о необходимых и достаточных условиях достижения заданных напряжений. В следствии 5 описывается множество деформаций, не вызывающих напряжений. Это могут быть деформации как температурные (следствие 1) так и пьезодеформащш, деформации, вызванные изменением свойств и деформации любой другой неуттругой природы.

Была сформулирована и доказана еще одна теорема, представляющая конструктивную возможность построения пространства Ни.

Добавление деформации е не вызывает в теле напряжений (е е Ни) тогда и только тогда, когда существует распределение объемных ()(г), г еУ, и поверхностных сил Р(г), г такое, что создаваемью ими деформации гр удовлетворяют соотношению

Далее в работе строятся соотношения для оценки отклонения предписанных напряжений от истинных, необходимые для решения задач управления. Построение оценки и ее вычисление не требует при этом решения прямой задачи тсрмоупругости.

Во-первых, строится оценка для напряжений в одноосном напряженном состоянии, которая выражается в общем случае равенством

1а11-а;,|| = 4п-/п)(р-/> + £2||Д/п||2. 09)

в частном случае статически определимой системы-

|°и ~°п| = £||Д/и|- (2°)

В формулах (19), (20) использованы следующие обозначения

Р1 = = {Да,, ШЯ = , (21)

В случае трехмерного напряженно-деформированного состояния связь между управляющим параметром и разностью напряжений в виде равенства получить не удается. В этом случае строится оценка сверху. Было показано

свойство коэрцитивности тензора податливости С-1 (г)

(¿К-а, а] ' (23)

V /I,

ГДе ^тш ~ минимальное собственное число тензора С-1, с помощью которого были проведено доказательство оценок, представленных в следующих формулах

для однородного изотропного тела

г2

1=1

для однородного анизотропного тела

5-5* 7)1, "2>,2 . (25)

для неоднородного анизотропного тела

геУ 1 1

В формулах (24)-(26) использованы следующие обозначения: а1 -коэффициенты Фурье в базисе я,-, / = 1, 2,3, ... пространства Ни

¡¿У. . (27)

Ранее была известна оценка лишь для однородного и изотропного тела (24). Новизна результата состоит в построении оценки для произвольного случая анизотропиии и неоднородности тела. При решении на практике правая часть неравенств (24)-(26) записывается в виде функционала

Ф-^СЛ/^-Е"'. (28)

V 1=1

Г1 1 1

где коэффициент К может пришшать значения --г-5— или

l-2v' т1пЛ,(?)

геГ

зависимости от однородности и шгазотроиии свойств тела, п - конечное число базисных элементов пространства Ни, отвечающее за точность решения. Как видно из выражений для функционала (28) приближение напряжений к желаемым значениям согласно оценкам осуществляется без решения самой задачи термоупругости.

В третьей главе описываются методы решещи задач управления и проектирования с использованием введенных определений, сформулировашшх и доказанных теорем и следствий, с помощью построетгых оценок. Методы позволяют найти значения управляющих параметров без решения задачи термоупрутости и уравнения теплопроводности. Разработка методов проведена с единых теоретических позиций, полученные алгоритмы отличает простота использования на практике.

Сначала опишем алгоритмы решения задачи температурного управления напряжениями и деформациями.

Задача 1.1. Управление температурными напряжениями. Найти температурное поле 1\(г) УгеУ, создающее в теле V заданные напряжения

5*(?). геУ.

-12- задается тензор желаемых напряжений 5*(?);

- вводится в задачу, вообще говоря, несовместный тензор f, формула (16),

- записывается функционал Ф, управляющим параметром является, согласно постановке, функция Тх (F), входящая в первый член правой части выражения (16); -процесс температурного управления состоит в определении профиля Ч\ (г). обеспечивающего минимум функционалу Ф.

Задача 1.2. Управление температурными деформациями. Найти дополнительное температурное поле T2(r) Vr eV, создающее в объеме тела V предписанные деформации ё*(г) V? е V, но не создающее дополнительных напряжений.

Созданные в теле деформации z е II и, следствие 4, могут отличаться от желаемых e*(r)sHu. Но разность между ними (желаемыми и достигнутыми деформациями) Дё = ё*(г)-ё(г) также есть элемент пространства Ни в силу его линейности, формулы (12),(13), следовательно, добавление Дё к тензору е не изменит напряжений, следствие 5, т.к. тензор Дe(F) е Нк. В роли корректирующего тензора Де мохут выступить тензор деформации из Ни любой природы. Для решения рассматриваемой задачи Ле может иметь смысл температурных деформаций

Дё(г) = а(?)Г2(0- (29)

Из выражения (29) определяет корректирующее температурное поле. Согласно следствию 1 и 5 его добавление не изменит сложившихся напряжений в теле.

Алгоритмы решения задач проектирования напряжений и деформаций. Задача 2.1. Задача проектирования напряжений. Требуется определить

распределение механических С (г) и температурных а (г) свойств материала, которые при заданных условиях нагружения создают в теле предписанные напряжения 5(г) по всему объему reV.

Решается аналогично задаче 1.1, управляющим параметром являются тензор-значные функции а (г), С~1(г) в правой части формулы (16).

• Задача 2.2. Задача проектирования деформаций. Требуется определить

распределение изменений механических АС (г) и температурных Ла(г) свойств материала, которые при заданных условиях нагружения создадут в теле предписашше деформации ё* (г) по всему объему г е V, но не изменят при этом напряжений.

Решеиие предлагается вести как это описано в задаче 1.2 управления температурными деформациями. В этой задаче (задаче 2.2) придается иной физический смысл тензору добавочных деформаций Дё = ё* - /. Это может быть

Ае = Да(г)Г1(г), или Дё = ДС"1- О!^), или Да^ДЪ + АС"1 • а'(?) (30) Алгоритмы решения задач управления и проектирования перемещениями. Разработка методов решения задачи температурного управления перемещениями и задачи проектирован™ перемещений на некоторой подобласти О с V строятся одинаковым образом.

При решении условие й(г) = й'(г) \ZrsD вводится в граничные условия на £„, т.е. условие (5) преобразуется к виду

. \т=и\г) д

(и(?) = о

и под следует понимать в дальнейшем границу 11В и

й(г) = й'(г) - (32)

Однако для использования разработанной теории существенно условие равенства нулю перемещений на границе 8и, формула (5). Условие (32) сводится к условию (5) заменой переменных так, чтобы п новых перемещениях

?(?) = 0 УгеБ^. ' (33)

Такая замена приведет к появлению неупругих деформаций е', которые будут добавлены к правой части (16).

Задача 1.3. Задача управления температурными перемещениями. Найти температурное поле Т(г) У г е V, создающее на подобласти В предписанные

перемещения и* (?) V? е В и напряжения 5* (г) на области V? 6 V .

Задача 2.3. Задача проектирования перемещений. Найти распределение механических С (г ) и температурных й (г) свойств материала, создающее на подобласти В предписшшые перемещения й'(г) V/7 с В и напряжения 5'(г) на области V? е V .

Решение задач аналогично решению задач 1.1 и 2.1. Если /еЯ„, то ё = /, следствие 4, и значит соответствующие перемещения у(У) = 0 \/г е ^.

Следовательно, и(?) = и'(г) V/- е В :

Приведем некоторые примеры использования разработанных алгоритмов для решения задач управления температурными напряжениями и деформациями.

Управлеггае температурными напряжениями. Рассматривается тонкая пластина, свободная от нагрузок и закреплений, рисунок 1. Требуется определить

температурное поле, обеспечивающее предписанное одноосное напряженное состояние

апОО = а;,0') = 4уМс2). (34)

• Используя оценку (19) удается получить точное выражение и приближенное решение для профиля температуры. Удается получить точное решение

= (35)

а также приближенное решение в виде кусочной линейной функции. Графики приближенного и точного решений сведены на рисунке 2.

Задача на управление температурными деформациями. Дана стержневая конструкция, изображенная на рисунке 3. Центральный элемент - балка, на которую действует сила, ее положение определяется параметром /. Требуется определить нагрев, сохраняющий созданные силой F напряжения, но восстанавливающий 'недеформированную форму конструкцию. Получены выражения для температуры в каждом элементе, во в.сех стержнях она имеет линейный вид. Наиболее интересный нагрев в центральном элементе. Профиль безразмерной температуры по вертикальному осевому сечению показан на рисунке 4.

Рисунок 1. Тонкая пластина, не Рисунок 2. Гоафики точного (сплошная

подверженная силовым нагрузкам. линия) и приближенного (штриховая

линия) профилей температуры.

Рисунок 3. Ферменная конструкция. Свойства Рисунок 4. Распределение нагрева по

всех элементов одинаковы. вертикальному осевому сечению в 4-ом

-15В четвертой главе описано применение разработанных алгоритмов к проектированию двухслойного цилиндра.'

Изготовление цилиндра происходит намоткой волокнистого однонаправленного композиционного материала на трубчатую болванку, рисунок 5. Композит укладывается слоями под углом ф к оси цилиндра. Слоев может несколько. Обеспечить заданные условия при такой технологии можно подбором углов укладки слоев, а также варьированием материала. Рассмотрим задачу проектирования двухслойного цилиндра.

Цилиндр стштается достаточно длинным и обладает трансверсальной изотропией. Трубчатый элемент подвержен однородному нагреву. Никаких закреплений и силовых нагрузок к нему не приложено. Предполагается, что поведение цилиндра описывается моделью (1)-(6). Требуется определить углы укладки двух слоев цилиндра, обеспечив при этом нулевые удлинение'и закрутку правого края цилиндра относительно левого. Решения в деформациях й напряжениях не заданы и, вообще говоря, могут быть произвольными. С помощью прямого решения получены примерные значения искомых углов

ф, « -0,2рад, ф2 к 1,5рад и ф! га 0,2рад, ф2 => -1,5рад. (36)

Эти значения использовались для верификации решения задачи проектирования по разработанному алгоритму.

Решение задачи проектирования состояло в том, что она была сведена к задаче проектирования перемещений 1.3. Поиск глобального минимума функционала (28) привел к ответу

ф, м -0,21 рад, ф2 »1,51 рад, и (р! » 0,21 рад, ф2 « -1,51 рад . (37).

Решения (46) получились близкими, если сравнивать с (36). Для найденных углов укладки удлинение и закрутка имели порядок десять в минус шестой

. е0 =-3,453641010"7 Т, у0 =1,2573710 10"7 Т. (38)

Все результаты, приведенные в работе, остаются справедливыми и для связанной квазистатической задачи термоупругости.

Общие выводы по работе

1. В работе рассмотрены постановки задач управления и проектирования в рамках краевой обобщенной задачи связанной термоупругости.

2. Основные результаты данной работы: обобщена' и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях достижения заданных напряжений. Новизна результата состоит в том, что в ней учтены закрепления тела, не

г!3

Рисунок 5. Укладка слоя под некоторым углом ср коси иилиндоа.

используются уравнения совместности, напряжения могут задаваться в виде любого допустимого поля значений.

3. Сформулированы необходимые и достаточные условия для температурного поля, не вызывающего напряжений. Новизна состоит в более широком круге ■охватываемых задач, поскольку результат основан на обобщенной постановке задачи термоупругости, рассматриваются тела с закреплениями и не используются уравнения совместности.

4. С использованием теоремы построены оценки, отклонения истинных напряжений от заданных. Оценки обобщены на случай произвольной анизотропии и неоднородности тела.

5. 'На единой теоретической базе построены и описаны алгоритмы решения поставленных задач управления и проектирования. Рассмотрено решение каждой задачи проектирования и управления по отдельности. Определена последовательность вычислений в каждой из них.

6. Разработанные алгоритмы использованы для аналитического и численного решения ряда тестовых задач температурного управления.

7. Поставлена и решена, задача проектирования. Рассмотрен двухслойный цилиндрический элемент. В результате использования метода проектирования, представленного в работе, получены углы укладки двух слоев цилиндра, обеспечивающие нулевые закрутку и удлинение цилиндра.

Содержание диссертации отражено в следующих работах соискателя:

1. Ф. Циглер, Ю.И. Няшин, В.Ю. Кирюхин. Управление структурными температурными напряжениями и деформациями. "Проблемы прикладной математики и механики", тезисы докладов сотрудников факультета "Прикладная математика и механика" на научно-технической конференции ПГТУ, г. Пермь, с. 27-28, 1998 г.

2. Ю.И. Няшин, Ю.И. Кирюхин. Управление Температурными Напряжениями и Деформациями: Теоретические Основы и Применение в Космосе. Конференция «История Физико-Математических Наук», г. Пермь, с. 42-43, 21-22 октября, 1999 г.

3. В.Ю. Кирюхин. Температурные напряжения и деформации: теоретические подходы к решению задач управления. Вестник ПГТУ. Математика и прикладная математика. Специальный выпуск. Пермь, с. 65-72,1999. "

4. Franz Ziegler, Yuriy I. Nyashin, Valentine Y. Kiryukhin. Thermal Stress and Strain . Modeling and Control. Международная конференция "Проблемы математики v

механики", г. Львов, р. 187-188,25-28 мая, 1998 года.

5. Yuriy I. Nyashin, Valentine Y. Kiryukhin, Franz Ziegler. Thermal Stress and Strain Modeling and Control. Proceedings of International Congress «Thermal Stresses 99» Krakow, 39-42, June, 1999.

6. Franz Ziegler, Yuriy I. Nyashin, Valentine Y. Kiryukhin. thermal Stress and Strain Modeling and Control. Принято к печати в Journal of Thermal Stresses.

7. H. Irschik, V.Y. Kiryukhin, Y.I. Nyashin, F. Ziegler. Thermal Stress and Strain Control Schriftenreihe der Technischen Universität Wien, Vienna, 2000 (accepted to print).

Сдано в печать 15.05.00 г. Формат 60x84/16. Объем 1,0 п.л. Тираж ТОО. Заказ 1107. Ротапринт ПГТУ.

Вводная часть. Обзор литературы.

Гпава 1. Постановки задач.

1.1. Постановка задачи термоупругости.

1.1.1. Основные соотношения теории термоупругости.

1.1.2. Математическая модель термоупругого поведения тела.

1.2. Аналогия Дюгамеля для решения задач термоупругости.

1.3. Постановки задач управления и проектирования.

1.3.1. Управление температурными напряжениями и деформациями.

1.3.2. Задача проектирования.

1.3.3. Простейшие основные задачи управления и проектирования.

1.4. Метод анализа коэффициентов чувствительности.

1.5. Выводы по главе 1.

Гпава 2. Теоретические основы решения обратных задач термоупругости.

2.1. Пространство совместных тензоров.

2.2. Теорема о необходимых и достаточных условиях получения заданных напряжений .,.

2.3. Следствия из теоремы.

2.4. Теорема о деформациях, не вызывающих напряжений.

2.5.'Оценки отклонения напряжений от предписанных значений.

2.5.1. Одноосно напряженный случай. Примеры.

2.5.2. Общий случай напряженно-деформированного состояния.

2.6. Выводы по главе 2.

Гпава 3. Разработка и применение алгоритмв'ё^к решению обратных задач.

3.1. Алгоритмы решения задачи температурного управления напряжениями и деформациями.

3.2. Алгоритмы решения задач проектирования напряжений и деформаций.

3.3. Алгоритмы решения задач управления и проектирования перемещениями.

3.4. Решение задач температурного управления.

3.4.1. Управление напряжениями в тонкой пластине. Аналитическое и численное решение.

3.4.2. Управление деформациями в ферменной конструкции 1.

3.4.3. Управление деформациями в ферменной конструкции 2.

3.5. Выводы по главе 3.

Глава 4. Задача проектирования двухслойной цилиндрической оболочки

4.1. Описание объекта.'.

4.2. Постановка задачи проектирования перемещений.

4.3. Вывод решения задачи термоупругости для многослойного цилиндра.

4.4. Решение прямой задачи термоупругости для двухслойного цилиндра.

4.5. Решение задачи проектирования.

4.5.1. Использование прямого решения.

4.5.2. Использование алгоритма в проектирования перемещений

4.6. Выводы по главе 4.

2. Основные результаты данной работы: обобщена и доказана теорема о необходимых и достаточных условиях достижения заданных напряжений. Новизна результата состоит в том, что в ней учтены закрепления тела, не используются уравнения совместности, напряжения могут задаваться в виде любого допустимого поля значений.

3. Следующий новый результат. Удалось сформулировать необходимые и достаточные условия для температурного поля, не вызывающего напряжений, это следствия 1, 5, вторая теорема. Новизна также состоит в более широком круге охватываемых задач, поскольку результат основан на обобщенной постановке задачи термоупругости, рассматриваются тела с закреплениями и не используются уравнения совместности. Общим достоинством теорем и следствий является то, что не приходится решать краевую задачу термоупругости.

4. С использованием теоремы построены оценки отклонения истинных напряжений от заданных. Важный новый результат - это обобщение оценок на случай произвольной анизотропии и неоднородности тела.

5. На единой теоретической базе построены и описаны алгоритмы решения •поставленных задач управления и проектирования. Рассмотрено решение каждой задачи проектирования и управления по отдельности. Определена последовательность вычислений в каждой из них. Достоинство результата -это то, что в процессе расчетов по алгоритмам не требуются вычисления по уравнениям термоупругости, в том числе и теплопроводности даже в связанной постановке.

6. Разработанные алгоритмы использованы для решения ряда тестовых задач температурного управления. На одном из примеров детально обсуждается аналитическое и численное решение задачи температурного управления напряжениями в одноосном напряженном и в общем напряженно-деформированном состояниях. Рассмотрен ряд проблем температурного управления деформациями. Для нетривиальных, статически неопределимых конструкций аналитически получены результаты.

7. Поставлена и решена задача проектирования. Рассмотрен двухслойный цилиндрический элемент. Сделан ряд упрощающих вычисление гипотез. Построена и упрощена процедура прямого решения. Реализован метод ■проектирования, представленный в работе. Получены углы укладки двух слоев цилиндра. Ответ проверен на прямой процедуре.

1. АД. Коваленко. Термоупругость. Вища школа, Киев, 1975.

2. D. Bushell. Control of Surface Configuration by Application of Concentrated Loads. AIAA Journal, vol. 17, no. 1, pp. 71-77, January, 1979.

3. P.T. Haftka. An Analytical Investigation of Shape Control of Large Space Structures by Applied Temperatures. AIAA Journal, vol. 23, no. 3, pp. 450-457, March, 1985.

4. H. Parkus. Thermoelasticlty. 2nd ed., Vienna, New York, Springer-Verlag, 1976.

5. Э. Мелан, Г. Паркус. Термоупругие Напряжения, Вызываемые Стационарными Температурными Полями. ФМГИЗ, Москва, 1958.

6. F. Ziegler. Mechanics of Solids and Fluids, 2nd ed., New Yor, Springer, 1995.

7. Б. Боли,Дж. Уэйнер. Теория Температурных Напряжений. Мир, Москва, 1964.

8. В.М. Майзель. Температурные Проблемы в Теории Упругости. Академия Наук Украинской ССР, Киев, 1951.

9. В. Новацкий. Термоупругость. Мир, Москва, 1975.10. • Г. Дюво, Х.-Л. Лионе. Неравенства в механике и физике. Наука, Москва, 1980.

10. А.К. Noor, Y.H.Kim, J.M.Peters. Transverse Shear Stresses and Their Sensitivity Coefficients in Multilayered Composite Panels. AIAA Journal, vol. 32, no. 6, pp. 12591269, June, 1994.

11. A.J. Durelli, C.H.Tsao. Determination of Thermal Stresses in Three-Ply Laminates. Journal of Applied Mechanics, no. 6, pp. 190-192, June, 1955.

12. R.B. Hetnarski. Stresses In Long Cylinder Due to Rotating Line Source of Heat. AIAA Journal, vol. 7, no. 3, pp. 419-423, March, 1969.

13. T.R. Tauchert. Ritz Solution for Thermoelastic Cylinders. J. Eng. Mech. Division, no. 10, pp. 825-837, October, 1976.17. ' T.R. Tauchert. Ritz Solutions for Axisymmetric Temperature and Stress Fields in Finite

14. Elastic Cylinders. Journal of Thermal Stresses, vol. 8, pp. 567-572, 1978.

15. T.R. Tauchert. Thermal Buckling of Thick Antisymmetric Angle-Ply Laminates. Journal of Thermal Stresses, vol. 10, pp. 113-124, 1987.

16. M.W. Hyer, C.Q. Rousseau. Thermally Induced Stresses and Deformations in Angle-Ply Composite Tubes. Journal of Composite Materials, vol. 21, no. 5, pp. 454-480, May, 1987.

17. M.W. Hyer, D.E. Cooper, D. Cohen. Stresses and Deformations in Cross-Ply Composite Tubes Subjected to a Uniform Temperature Change. J Thermal Stresses, no 9, pp. 97117,1986.

18. M.W. Hyer, D.C. Loup, J.H. Starnes. Stiffener/Skin Interactions in Pressure-Loaded Composite Panels. AIAA Journal, vol. 28, no. 3, pp. 532-537, March, 1990.

19. C.A. Meyers, M.W. Hyer. Thermally Induced, Geometrically Nonlinear Response of Symmetrically Laminated Composite Plates. Composite Eng., vol. 2, no. 1, pp. 3-20,1992.

20. T.Y. Yang, R.K. Kapania, S. Saigal. Acurate Rigid-Body Modes Representation for a Nonlinear Curved Thin-Shell Element. AIAA Journal, vol. 27, no. 4, pp. 211-218, April, 1989.

21. C. Libove, Chu-Ho Lu. Beam Like Bending of Variable-Thickness Sandwich Plates. • AIAA Journal, vol. 27, no. 4, pp. 500-507, April, 1989.

22. R.A. Chaudhuri, K.R. Abu-Arja. Closed-Form Solution for Arbitrary Laminated Anisotropic Cylindrical Shells (Tubes) Including Shear Deformation. AIAA Journal, vol. 27, no. 11, pp. 1597-1605, November, 1989.

23. F. Ashida, N. Noda. Stress Signularity in Transient Thermoelastic Field of a Circular Cylinder in Asymmetric Contact with Rigid Bodies. Proceedings of Congress on Thermal Stresses, pp. 367-370, 1997.

24. R.K. Thangaratnam, R. Ralaniathan, J. Ramachandnan. Thermal Buckling of Laminated Composite Shells. AIAA Journal, vol. 28, no. 5, pp. 859-860, May, 1990.

25. K.K. Tamma, R.R. Naburu. Computational Approach with Applications to Non-classical and Classical Thermomechanical Properties. Appl. Mech. Rev., vol. 50, no. 9, September, 1997.

26. Z Wieckowski. Longitudinal Shearing of Elastic-Plastic Fibrous Composite with Frictional Fibre Matrix Interface. Journal of Theoretical and Applied Mechanics, vol. 4, no. 36, pp.855-877, 1998.

27. Y. Obata, N. Noda. Two-Dimensional Unsteady Thermal Stresses in a Partially Heated Plate Made of Functionally Graded Material. Congress on Thermal Stresses. 1997.

28. H. Irschik, F. Ziegler. Dynamic of Composite Structures Based on Lower Order Eigenstrains Analysis. Fracture. A Topical Encyclopedia of Current Knoledge, Ed. by P. Cherepanov, Malabor, Florida, 1998.

29. G. Birlik. Transient Wave Propagation in Multilayered Thermoelastic Cylindrical Shells. Proceedings of the First International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. 5-7 June, Shizuoka, 1995.

30. J.A. Daniels, A.N. Palazotto. Failure Characteristics in Thermoelolastic Composite Laminates Due to an Eccentric Circular Discontinuity. AIAA Journal, vol. 29, no. 5, pp. 830-837, May, 1991.

31. P.J. Comwell, 0.0. Bendiksen. Localization of Vibrations in Large Space Reflectors. AIAA Journal, vol. 27, no. 2, pp. 219-226, February, 1989.

32. H. Irschik, R. Heuer, F. Ziegler. Static Shape Control of Redundant Beams and Trusses by Thermal Strains Without Stress. Proceedings of the Second International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics, 1997.

33. M.L. Blosser. Thermal-Stresses-Free Fasteners for Jointing Orthotopic Materials. AIAA Journal, vol. 27, no. 4, pp. 472-478, April, 1989.

34. K. Yamada, Thermal Stress-Free Conditions for Bonded Dissimilar Materials. Proceedings of the First International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. 5-7 June, Shizuoka, 1995.

35. А.А. Поздеев, Ю.И. Няшин, П.В. Трусов. Остаточные Напряжения: Теория и Приложения. Наука, Москва, 1982.

36. Y.I. Nyashin, O.R. llialov. Optimization Problem for Obtaining a Prescribed Residual Stress Distribution: Formulation and Solution. Int. Journal of Mechanic Sciences, vol. 37, no. 5, pp. 485-493, 1995.

37. M. Ishihara, Y. Tanigawa, R. Kawamura, N. Noda. Theoretical Analysis of Residual Stresses Removal by Heat Supply. Congress on Thermal Stresses, pp. 235-238, 1997.

38. S. Kang, C.A. Hieber, K.K. Wang. Minimizing Residual Stresses in Injection-molded Parts. Journal of Thermal Stresses, vol. 21, pp. 141-155, 1,998.

39. F. Ziegler, H. Irschik. Thermal Stress Analysis Based on Maisel's Formula, in R.B. Hetnarsky (ed.), Thermal Stress II, Elsevier, 120-188.

40. M.J. Cialkowski, K.W. Grysa. On a Certain Inverse Problem, of Temperature and Thermal Stress Fields. Acta Mechanica, vol. 36, pp. 169-185, 1980.

41. R.A. Meric. Coupled Optimization in Steady-State Thermoelasticity. Journal of Thermal Stresses, vol. 8, pp. 333-347,1985.

42. Е.И. Гоиголюк, Я.С. Подстригай, Я.И. Бурак. Оптимизация Нагрева Оболочек и Пластин. Наукова Думка, Киев, 1979.

43. О.Н. Шаблий, В.И. Зарецкий. Оптимальное Управление Напряженно-деформированного Состояния в Дисках. Прикладная Механика, том 17, № 8, стр. 755-759, 1981.

44. М. Sunar, S.S. Rao. Thermopiezoelectric Control Design and Actuator Placement. AIAA Journal, vol. 35, no. 3, March, 1997.

45. H.J. Lee, D.A. Saranos. Coupled Layerwise Analysis of Thermopiezoelectric Composite Beams. AIAA Journal, vol. 34, no. 6, pp. 1231-1237,1996.

46. S.S. Rao, M. Sunar. Piezoelectricity and Its Use in Disturbance Sending and Control of Flexible Structures: A survey. Applied Mechanics Reviews, vol. 47, no. 4, pp. 113-123, 1994.

47. H. Irschik, F. Ziegler. Maysel's Formula Generalized for Piezoelectric Vibrations: Applicastion to Thin Shells of Revolution. AIAA Journal, vol. 34, no. 11, pp. 2402-2405, 1996.

48. D. Bushell. Control of Surface Configuration of Nonuniformily Heated Shells. AIAA Journal, vol.17, no.1, pp. 78-84, January, 1979.

49. M. Sunar, S.S. Rao. Thermopiezoelectric Control Design and Actuator Placement. AIAA Journal, vol. 35, no. 3, March, 1997.

50. F. Ashida, J.-S. Chopi, N. Noda. An Inverse Thermoelastic Problem in a Isotropic Plate Associated with a Piezoelectric Ceramic Plate. Journal of Thermal Stresses, vol. 19, pp. 153-167, 1996.

51. F. Ashida, N. Noda. Control of Transient Thermoelastic Displacement of an Isotropic Plate Associated with a Piezoelectric Ceramic Plate. Journal of Thermal Stresses, vol. 20, pp. 407-427, 1997.

52. Using Piezoelectric Actuation. Proc. of IUTAM Symposium on Transformation Problems in Composite and Active Materials, March 9-13,1997, Cairo, Egypt.

53. R.A. Meric. Material and Load Optimization of Thermoelastic Solids. Parti: Sensitivity analysis. Journal of Thermal Stresses, vol. 9, pp. 359-372, 1986.

54. N. Oihoff, J.E. Taylor. On Structural Optimization. J Appl. Mech, vol. 50, no. 12, pp. 1139-1151, December, 1983

55. J.S. Przeminieniecki. Design of Transparencies. Journal of the Royal Aeronautical Society, vol. 63, pp. 620-636, November, 1959.71. ' Z. Wasiutynsky, A. Brandt. The Present State of Knowledge in the Field of Optimum

56. Design of Structures. Applied Mechanics Reviews, vol. 16, no. 5, pp. 341-350, 1963.

57. W. Prager. Optimal Thermoelastic Design for Given Deflection. Int. J. Mech. Sciences, vol. 12, pp. 705-709, 1970.

58. W. Prager, J.E. Taylor. Problems of Optimal Structural Design. Transactions of ASME, pp. 102-106, march, 1968.

59. K. Imai. Structural Optimization to Include Material Selection. Int. Journal for Numerical Methods in Engineering, vol. 19, pp. 217-235, 1983.

60. M.P. Bendsone, J.M. Guedes, S. Plaxton, J.F. Taylor. Optimization of Structure and Mechanical Properties for Solids Composed of Softening Material. IUTAM Symposium on Optimization of Mechanical Systems, pp. 17-24, Kluwer, 1996.

61. Y.-S. Lee, Y.-W. Lee, M.-S. Yang, B.-S. Park. Optimal Design of Thick Laminated Composite Plates for Maximum Thermal Buckling Load. Proceedings of the First International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. 5-7 June, Shizuoka, 1995.

62. M. Walker, T. Reiss, S. Adali, V.E. Vrijenko. Optimal Design of Symmetrically Laminated Plates for Maximum Buckling Temperature. Journal of Thermal Stresses, vol. 20, pp. 21-33,1997.

63. T.R. Tauchert. Influence of Temperature Change on Optimum Laminate Design. AIAA ' Journal, vol. 15, no. 9, pp. 1238-1241, September, 1977.

64. V.A. Krys'ko, V.V. Bochkarev. Design of Plates and Shells near Optimal on Weight with Allowance for the Temperature effect. Saratov Politechn. Inst, Translated from Prlkladnaya Mekhanika, vol. 17, no. 11, pp. 54-59, November, 1981.

65. A. Muc. Optimization of Composite Topology for Doubly Curved Laminated Shells under Buckling Constraints. Optimal Design with Adv. Materials, P. Pedersen (ed.), Elsevier Science Publisher B.V., pp. 407-423, 1993.

66. F. Erbatur, Y. Mengi. Thermoelastic Optimal Design of Plates. J. Eng. Mech. Division, no. 8, pp. 649-658, August, 1977.

67. T.R. Tauchert, S. Adibhatla. Optimum Thermoelastic Design of Laminated plates. Journal of Thermal Stresses, vol. 8, pp. 11-24,1985.

68. S. Adali, K.J. Duffy. Optimal Design of Antisymmetric Hybrid Laminates Against Thermal Buckling. Journal of Thermal Stresses, vol. 13, pp. 57-71, 1990.

69. J.L. Grenestedt, P. Gudmundson. Layup Optimization of Composite Material Structures. Optimal Design with Advanced Materials, P. Pedersen (ed.), Elsevier Science Publishers B.V., pp. 311-350, 1993.

70. R.A. Meric. Optimization of Thermal Conductivities of Isotropic and Orthotropic Solids. Transactions of the ASME. Journal of Heat Transfer, vol. 107, pp. 508-512, August, 1985.

71. R.A. Meric. Shape Optimization of Thermoelastic Solids. Journal of Thermal Stresses, vol. 11, pp. 187-206, 1988.

72. R.A. Meric. Optimal Boundary Tractions for Solids with Initial Strains, Trans. ASME, J. Appl. Mech., vol. 52, pp. 363-367, 1985.

73. R.A. Meric. Optimal Loading of Solids by the Boundary Element Method, int. J. Eng. Sci., vol. 23, pp. 1101-1111, 1985.

74. M.R. Eslami, М. Shaken, A.R. Ohadi. Coupled Thermoeiasticity of Shells. Proceedings of the First International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. 5-7 June, Shizuoka, 1995.

75. Y. Zongda, L. Pengtang. The Coupled Thermoelastic Analysis of Circular Plate in Nonstationary Temperature Field. Proceedings of the First International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. 5-7 June, Shizuoka, 1995.

76. J. Qu, Y. Dou, Y. He, C. Qin. FEM Equation for Coupled Thermoelastic Axisymmetric Problem. Proceedings of the First International Symposium on Thermal Stresses and Related Topics. 5-7 June, Shizuoka, 1995.

77. O.R. Odabas. Thermomechanical Coupling Effects at High Flight Speeds. AIAA Journal, vol. 32, no. 2, February, 1994.

78. Y. Weitsman. Residual Thermal Stresses Due to Cool-Down of Epoxy-Reisn Composites. Journal of Applied Mechanics, vol. 46, no. 9, pp. 563-567, September, 1979.

79. M.E. Gurtin, R.C. McCamy, L.F. Murphy. On Optimal Strain Paths in Linear Viscoelasticity. Quarterly of Applied Mathematics, pp. 151-156, July, 1979.

80. M.M. Domb, J.S. Hansen. Development of Free-Edge Effect During Processing of Semicrystalline Thermoplastic Composites. AIAA Journal, vol. 32, no. 5, May, 1994.

81. M. Makino, T. Tsuji, N. Noda. A Simulation of Mechanical and Thermal Properties of Functional Gradient Materials by Molecular Dynamics. Congress on Thermal Stresses, 1997.

82. Y. Obata, N. Noda. Two-Dimensional Unsteady Thermal Stresses in a Partially Heated Plate Made of Functionally Graded Material. Congress on Thermal Stresses. 1997.

83. M. Nemat-Alla, N. Noda. Thermal Stress Intensity Factor for Edge Cracked Functionally Graded Strip With Two Dimensionally Coefficient of Thermal Expansion. Congress on Thermal Stresses, 1997.

84. K. Washizu. A Note on the Conditions of Compatibility. Journal of Mathematics and Physics, vol. 36, pp. 306-312, 1957.

85. Л.И. Седов. Механика Сплошной Среды, том. 1. Наука, Москва, 1970.

86. К. Васидзу. Вариационные Методы в Теории Упругости и Пластичности. Мир, Москва, 1987.

87. И.В. Шрагин, Ю.И. Няшин. О Постановке Краевой Задачи Определения Остаточных Напряжений. Функционально-дифференциальные уравнения, Пермь, ППИ, .1986. . .

88. С. Менсон. Температурные Напряжения и Малоцикловая Усталость. Машиностроение, Москва, 1974.

89. В.М. Вигак. Оптимальное Управление Стационарными Температурными режимами. Киве, Наукова Думка, 1979.

90. А. Г. Бутковский, С.А. Малый, Ю.Н. Андреев. Оптимальное управление нагревом металла. Москва, Металлургия, 1972.

91. А.Е. Bryson and У.С. Но. Applied Optimal Control, p. 47, Wiley, New York, 1975.

92. H. Parkus. Thermoeiasticity. Blaisdell Publishing Company, Waltham, MassachusettsToronto-London, 1968.

93. С.Г. Михлин. Курс Математической Физики. Москва, Наука, 1968.

94. А.А. Селянинов, В.И. Санчелов. Удлинение и Кручение Круглых Стержней из Углепластика. Краевые задачи. Межвузовский сборник научных трудов. Пермский политехнический институт. Пермь, с. 91-97, 1991.