автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Полиномиальное решение задач управления для линейной стационарной динамической системы

и1-'-'

ЛЕ ХАЙ ЧУНГ

На правах рукописи

Полиномиальное решение задач управления для линейной стационарной динамической системы

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации

на соискание ученой степени кандидата физико - математических наук

1 О ДЕК 2009

ВОРОНЕЖ - 2009

003487503

Работа выполнена на кафедре математического анализа Воронежского государственного университета

Научный руководитель: засл. деятель науки,

доктор физико - математических наук, профессор Покорный Юлий Витальевич

Официальные оппоненты: доктор физико - математических наук,

профессор Каменский Михаил Игоревич

кандидат физико - математических наук доцент Перловская Татьяна Витальевна

Ведущая организация: Воронежская государственная лесотехническая

академия

Защита состоится 16 декабря 2009. г в 15 часов 10 минут на заседании диссертационного совета Д 212.038.20 при Воронежском государственном университете но адресу: 394006, Воронеж, Университетская пл., 1, ауд. 333 .

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан " " ноября 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.038.20,

кандидат физ.-мат. наук,

доцент

Провоторов В. В.

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Динамическая система называется полностью управляемой, если существует такое управляющее воздействие, которое переводит систему из произвольного начального состояния в произвольное конечное состояние за конечный промежуток времени.

Рассматривается динамическая система, описываемая дифференциальным соотношением:

^ = Bx(t)+Du{t), (1)

где В € L(Rn, Rn), D е L(Rm,Rn), x(t) е Rn, u(t) e Rm, ie[0,T].

Система (1) называется полностью управляемой, если существует вектор-функция u(t) такая, что после подстановки ее в уравнение (1), решение x(t) полученного дифференциального уравнения удовлетворяет двум краевым условиям:

*(0) = чо, (2)

х(Т) = Ьо, (3)

где ао,Ьо - произвольные элементы из R".

В данной постановке задача (1), (2), (3) называется задачей управления, система (1) называется системой управления, вектор-функция x(t) - функцией состояния, состоянием, траекторией системы, вектор-функция u(t) - функцией управления, управлением.

Четкое определение полной управляемости для системы (1) было сформулировано Р. Калманом в 1961 г. Им и был сформулирован, ставший к данному моменту классическим, критерий полной управляемости, согласно которому система (1) является полностью управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости совпадает с размерностью исходного пространства R", то есть:

rank(D BD ...Bn~lD) = п. (4)

Этот критерий называется критерием Калмана, хотя условие вида (4) встречается в работах сороковых годов прошлого столетия акад. Крылова А.Н., акад. Понтрягина Л.С..

Свойство управляемости динамических систем анализировалось в многочисленных монографиях, обзорах, статьях, где отражена и история вопроса Андреев Ю.Н., Андриевский Б.Р., Фрадков А.Л., Афанасьев В.Н., Колмановский В.Б., Носов В.Р., Гамкрелидзе Р.В., Гончарова Н.Е., Гурман В.И., Егоров А.И., Зубова О.В., Зубова С.П., Игнатов В.Г., Калман P.E., Ким Д.П., Красовский H.H., Кух-тенко А.И., Никитенко О.В., Удилов В.В., Ли Э.Б., Никулин Е.А., Параев Ю.И., Покорный Ю.В., Раецкая Е.В., Ройтенберг Я.Н., Габасов Р.Ф., Кириллова Ф.М.,

Марченко В.М., Асмыкович И.К., Уонэм М., Фельбаум A.A., Чаки Ф., Чистяков В.Ф., Щеглова A.A., Шолохович Ф.А.

На данный момент сформулировано значительное количество критериев полной управляемости динамических систем (Андреев Ю.Н., Бояринцев Ю.Е., Уонэм М., Раецкая Е.В) и разработаны различные методы исследования полной управляемости подобных систем (Чистяков В.Ф., Щеглова A.A., Мисриханов М.Ш., Зубова С.П., ...).

Зачастую для решения вопроса полной управляемости подобных систем авторы прибегают к использованию пакетов прикладных програм MatLab, Mathematica ...(Зыбин Е.Ю., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н.).

Наряду с вопросом об управляемости, весьма актуальной является задача построения управляющей функции u(t) и функции состояния x(t) рассматриваемых систем в том или ином виде.

Однако, трудно говорить о том, что в настоящее время теория и методы построения функций состояния и управления разработаны широко и полно. Гораздо меньшее количество работ посвящено отысканию функции состояния и управления для широкого класса динамических систем.

Как правило, авторами применяется формула Коши

t

x(t) = etBx(0) + J e^BDu(s)ds, о

выражающая состояние системы (1) как функцию от управления. Этот путь, однако, не является эффективным при построении искомых функций.

В работе Андреева Ю.Н. функция u(t) найдена в виде:

т

u(t) = D*etB'{ J e-sBDD*esB'ds)-1{e-TBxT -x°). о

В работах Зубовой С.П., Раецкой Е.В. разработан метод построения функций состояния и управления, основаный на поэтапном разбиении пространств на подпространства. Суть метода заключается в том, что исходное пространство расщепляется в прямую сумму некоторых подпространств. В результате исходное уравнение сводится к аналогичному уравнению в более "узком" подпространстве. В силу конечности исходного пространства процесс каскадного расщепления завершается за конечное число шагов и на последнем этапе получается система, аналогичная системе (1). При этом матрица, стоящая при функции псевдоуправления, является либо нулевой (тогда исходная система (1) неуправляема), либо сюръективной (исходная система полностью управляема).

Псевдосостоянием и псевдоуправлением называются функции, играющие роль состояния и управления в редуцированной системе.

В результате применения этого метода построена функция управления в виде:

где Pr(t) - некоторый многочлен порядка г по степеням t с векторными коэффициентами, Dp и Bp -некоторые матрицы. Но наличие матричной экспоненты в этой формуле затрудняет дальнейшее исследование свойств u(t) и x(t).

В работе Ailon A., Barachart L., Grimm J., Langholz G. другим способом показано, что u(t) можно построить в виде многочлена, степень которого меньше, чем 2п, а в работе Ailon A., Langholz G. этот результат уточняется: "управление, переводящее систему из заданного начального состояния в заданное конечное положение, может быть представлено многочленом степени M = 2г 4- 1, где г = п — rank В. Очевидно, что M < 2п действительно, поскольку система управляема, то rankß > 0 и, более того, степень управляющего многочлена уменьшается, когда rankß увеличивается".

Очевидно, однако, что степень многочлена не может не зависеть от свойств матрицы D.

Следующий пример показывает, что этот результат можно уточнить, то есть существуют управление и состояние системы (1) в виде многочленов меньшей степени.

Пример. Рассмотрим систему

с условиями Xj(0) = 0, £¿(1) = 1, i = 1,4. Здесь п = 4, rankS = 2, М = 5. В работе Ailon А., Langholz G. функции Uj(t), j = 1,2, и Xi(t), i = 1,4, строятся в виде многочленов по t степени 5.

Однако система (5) состоит из двух независимых систем

Здесь i = 1 и 3. Каждая (следуя Ailon А., Langholz G.) имеет М = 2(2 —1) + 1 = 3. Следовательно функции Uj(i), Xi(t) можно построить в виде многочленов 3-го порядка.

Результат Ailon А., Langholz G. совпадает с результатом данной работы в том и только том случае, когда rankD = 1 и добавление каждой матрицы BlD в мат-

u(t) = B+etB»Pr(t),

(5)

{

Xi — щ» #1+1 = х%.

рице управляемости добавляет один линейно независимый вектор. В остальных случаях степени полученных в работе многочленов меньше М.

Цель диссертации и основные задачи. Построение функций состояния и управления для различных динамических систем в виде многочленов по < с векторными коэффициентами минимальной степени. С этой целью разработанный ранее в работах Зубовой С.П., Раецкой Е.В. метод каскадного расщепления пространств модифицируется следующим образом. Совершается пошаговый переход от краевых условий (2), (3) к дополнительным условиям для функции псевдосостояния последнего этапа и ее производные.

В отличие от работы Раецкой Е.В., где на последнем этапе получены дополнительные краевые условия для функции псевдоуправления и ее производные, в данной работе на каждом этапе получаются дополнительные краевые условия на функцию псевдосостояния и ее производные. Предлагаемый способ получения дополнительных краевых условий именно для функций псевдосостояний позволяет получить в полиномиальном виде функции состояния и управления исходного уравнения, что является весьма удобным при исследовании поведения данных функций и их свойств.

Применяемый в данной работе метод позволяет решать задачи управления, то есть строить функции состояния и управления для систем с различными дополнительными требованиями.

Нахождение функций состояния и управления в виде многочленов эффективно и для решения задач оптимального управления в классе гладких функций. Для этого следует строить функцию псевдосостояния редуцированного уравнения хр{Ь) в виде многочлена степени большей, чем указано в соответствующих теоремах. В этом случае коэффициенты многочленов будут функциями дополнительных параметров, которые могут быть найдены из условий оптимальности (или других каких-либо условий).

Указаным методом можно решать задачу управления для дескрипторной системы

А^- = Вх(г) +Dv.it), (6)

где А, В 6 ЦН1, Ят), И 6 Ь(Я1, Дт), 4 е [О, Т].

Особенность уравнения (6) в сравнении с уравнением (1) состоит в следующем. Дифференциальное уравнение (1) при любой непрерывной функции и{Ь) имеет решение, удовлетворяющее одному из краевых условий (2), (3), и требуется подобрать функцию и{€) так, чтобы выполнялось другое краевое условие.

Решение же уравнения (6) может не принимать заданного значения в точках t = 0 или £ = Т ни при каком

Методы исследования. В математических конструкциях диссертации использованы методы качественной теории дифференциальных уравнений, аналитические методы анализа, отдельные методы функционального анализа, специальные методы теории матриц.

Научная новизна работы. Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Модифицирован известный метод каскадной редукции исходной системы.

2. Разработан метод построения функций состояния и управления линейных стационарных динамических систем в полиномиальном виде.

3. Проведено построение состояния и управления динамических систем при условии прохождения траектории системы через произвольное количество контрольных точек.

4. Решены задачи управления при дополнительных ограничениях на функции состояния и управления и их производные в контрольных точках.

5. Рассмотрена возможность нахождения оптимального управления в классе гладких функций.

6. Проиллюстрировано применение пакетов "МаЛетаиса" и "МаЛаЬ" для решения задач управления методом каскадного расщепления уравнений на уравнения в подпространствах.

7. Результаты работы могут быть использованы для выявления полной управляемости линейных стационарных динамических систем, а также для построения функций управления и состояния в полиномиальном виде для широкого класса задач управления.

Практическая и теоретическая значимость работы. Результаты работы имеют теоретический характер. Они могут оказывать помощь исследователям и в различных прикладных задачах, например, при необходимости решения задачи управления с предварительно заданной траекторией введение достаточного количества контрольных точек, принадлежащих этой траектории, позволяет найти управление, под воздействием которого состояние системы (1) сколь угодно мало отличается от заданной траектории. А также в задачах межотраслевой динамики, которые в ряде случаев можно формализовать как задачи управления линейными динамическими системами (6).

Нахождение функций состояния и управления в виде многочленов эффективно и для решения задач оптимального управления в классе гладких функций.

Аппробация работы. Результаты диссертации докладывались в Воронежских Весенних математических школах "Понтрягинские чтения XVII", Воронеж,

2006 г. и "Понтрягиниские чтения XIX", Воронеж, 2008 г.; на конференции "Современные проблемы механики и прикладной математики", Воронеж, 2007 г.; на II международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования"; на научном семинаре математического факультета ВГУ (рук. проф. Курина Г.А.).

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в 7 работах совместно с соавторами. Вклад диссертанта в работу над публикациями составляет 66% в статьях [2], [4], в остальных статьях 50%. Списку ВАК соответствуют работы [1], [2].

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 3 глав, разбитых на параграфы, приложения и библиографического списка из 96 наименований. Общий объём диссертации - 106 стр. Изложение проиллюстрировано компьютерной графикой (5 рисунков), выполненной в вычислительно - программном комплексе МаЛета^са.

В заключении выражаю глубокую признательность научному руководителю проф. Покорному Ю.В. и научному консультанту Зубовой С.П..

Краткое содержание работы

В §1 первой главы подробно описывается процесс перехода от задачи (1), (2), (3) к эквивалентной задаче в подпространствах методом каскадного расщепления, опирающимся на известные результаты.

Используется свойство матрицы С : В.к —> В?\

Як = 1тС*+КегС, В? = 1тС+КегС*, (7)

и сужение С на Со1тС имеет обратную матрицу С'1.

Далее используются обозначения:

Р - проектор на КегС, <2 - проектор на КегС*, отвечающий разложению (7), — <5) = С+ (С* - матрица, сопряженная к С).

Применяется следующая лемма.

Лемма. Соотношение Си = V, и £ В.к, V € Я3, эквивалентно системе

Г Ф = 0

\ и = С+у + Ри, { >

где Ри - произвольный элемент из КегС.

После того, как управляемая исходная система сведена к редуцированной системе, в пункте 2.1 §2 строится функция псевдосостояния последнего этапа в

виде многочлена по £ с векторными коэффициентами. В данном разделе работы уточняется минимальная степень многочлена: она равна 2р + 1, где (р — 1) - минимальное количество матриц в матрице управляемости Калмана, ранг которой равен п.

В пункте 2.2 §2 строится функция псевдоуправления редуцированной системы и доказывается

Теорема 1. В случае сюръективной матрицы Бр существует управляющая функция 2/р(£) в виде многочлена степени 2р+1 по которая переводит состояние хр{Ь) системы

^ = Врхр{1) + ОрУр(1)

из произвольного состояния хр(0) = ар в произвольное состояние хр(Т) = Ьр. При этом функция состояния хр{Ь) удовлетворяет условиям (1-19) и имеет вид многочлена степени 2р + 1 по 4 с векторными коэффициентами.

Далее в пункте 2.3 §2 осуществляется последовательное построегше функций псевдоуправлений и псевдосостояний предыдущих этапов и доказывается

Теорема 2. Для полностью управляелюй системы (1) (КегБ* = {0},) существует управляющая функция и(£) в виде многочлена по Ь степени 2р + 1, переводящая систельу из произвольного состояния в произвольное состояние Ьо. Причем функция состояниях(£) имеет вид многочлена по1 степени 2р + 1.

В главе 2 производится решение задачи управления (1), (2), (3), при наличии контрольных точек.

Так в §1 второй главы строятся полиномиальные решения классической системы управления (1), (2), (3) при наличии одной контрольной точки, то есть с дополнительным условием

®(т) = Ло, (9)

где т б (0, Г), Ло € -Я"- При выявлении управляемости исходной системы (1) и построении функций состояния х(Ь) и управления и(Ь) в виде многочленов по < с векторными коэффициентами применяются методы и алгоритмы, разработанные в главе 1.

Дополнительное условие (8) на последнемр - и шаге трансформируется в (р+1) дополнительных условий на функцию псевдосостояния хр(Ь) последнего шага, что приводит к изменению степени полиномов для функций состояния и управления по сравнению с теми, что были найдены в главе 1.

Доказано, что минимальная степень многочленов функций состояния и управления задачи (1)-(3), (8) равна 3(р + 1) — 1, и построены эти функции в полиномиальном виде, что и отражено в следующей теореме.

Теорема 3. В случае сюръективной матрицы Ор существует управляющая функция в виде многочлена по £ степени (3р + 2), которая переводит си-

стему из произвольного состояния ао в произвольное состояние 6о за время Т, при этом траектория системы проходит через контрольную точку (т, Ио).

Соответствующая функция состояния системы х(£) имеет вид многочлена по £ с векторными коэффициентами степени 3р + 2.

В §2 решается задача управления с произвольным конечным количеством контрольных точек (и,х(и)), г = 1) /с, 0 < ¿1 < ¿2 < ... < ^ < Т, то есть заданы значения о^ и условия

*(*) = <& (Ю)

Появление дополнительных контрольных точек по сравнению с задачей, рас-смотреной в §1, приводит к увеличению степеней многочленов для функций состояния и управления до [(р + 1)(п + 2) — 1]-ой степени.

Результатом §2 главы 2 является

Теорема 4. Существует функция управления и(Ь) в виде многочлена по степеням порядок которого меньше или равен ((р + 1)(к + 2) — 1), такая, что решение х(€) задачи (1), (2), (3), (2.24) является многочленом ((р+1)(& + 2) — 1) - го порядка по степеням £ с векторными коэффициентами.

В §3 главы 2 рассматривается система (1), (2), (3), (9) с дополнительными ограничениями

<£и(<)

йР

= 4

4=0

<1Р

<£и(«)

¿Р

:р'Т г = 1,г^=\,к (11)

г=т

на функцию управления.

Такая система является более "жесткой "по сравнению с рассмотренными в предыдущих разделах.

Постановка задачи с условиями (9) естественна, например, для управляемых до момента £ = 0 систем. В этом случае при Ь = 0 функция и{{) и ее производные имеют, вообще говоря, определенные значения. Также в задаче о мягкой стыковке движущихся объектов функция «(£) и ее производные должны принимать в конечный момент времени заданные значения.

Условия (10), в силу свойств системы (1) могут быть сведены к дополнительным условиям

сРх(г)

йР

г=о

йР

■й

й1х{г)

йР

1,г + 1-,] = 1,к.

г=т

(12)

Указанный переход обуславливает появление (г+р + 1) - го условия на функцию псевдосостояния хр{1) в точках £ = 0, £ = (у = 1, к), £ = Т, что приводит к увеличению степеней многочленов для функции состояния х(Ь) и управления и(Ь) поставленой задачи до [(г + р + 1)(п + 2) — 1] степени.

Результаты §3 главы 2 формулируется в следующих теоремах

Теорема 5. В случае сюрьективной матрицы Dp существует функция управления u(t) системы (1) в виде многочлена not с векторными коэффициентами степени [(г + р + 2)(к + 2) — 1], удовлетворющая условиям (2.32), которая переводит систему (1) из произвольного состояния ао в произвольное состояние Ь(, через контрольные точки (2.24)- При этом функция состояния x(t) также построена в виде многочлена not с векторными коэффициентами степени [{r+p + 2)(k + 2)-l\.

Теорема 6. В случае сюрьективной матрицы Dp существует функция управления u(t) системы (1) в виде многочлена по t с векторными коэффициентами степени [(г + р + 2)(к + 2) — 1], которая переводит систему (1) из произвольного состояния а0 в произвольное состояние bo через контрольные точки (2.24) с выполнением условий (2.33). При этом функция состояния x(t) также построена в виде многочлена note векторными коэффициентами степени [(г +р + 2)(к + 2) — 1].

В главе 3 решаются различные задачи управления. В §1 рассматривается более общая, по сравнению с системой (1), так называемая дескрипторная система управления

А^Ф- = Bxit) + Du(t) (13)

at

с условиями (2), (3), (9).

Методами, предложеными в работе Раецкой Е.В. эта задача сводится к задаче, рассмотреной в §3 второй главы.

Доказывается

Теорема 7. При выполнении условий

а) Q(C)QB = 0;

б)(A-sB)v = 0-^v = 0,£eU{0), v€Rn;

в) система

^- = Bx(t) + Dx(t),

полностью управляша

существует управляющая функция u(t) в виде многочлена по степеням t порядка (p+2)(k+2) —1 с векторными коэффициентами. Под воздействием такого управления состояния системы также имеет вид многочлена по степеням t порядка (р + 2)(к + 2) — 1.

В §2 решается задача управления с ограничениями на состояние и управление в виде неравенств. В качестве примера рассматривается движение материальной точки (Краснова С.А., Уткин В.А.), движущейся в вертикальной плоскости в

и

поле силы тяжести. Предполагается, что в качестве управляющего воздействия к точке приложена реактивная сила, возникающая в результате отделения от нее частиц с элементарной массой.

Движение материальной точки описывается системой вида (1) с естественными условиями положительности соответствующих компонент системы.

Система неравенств относительно функций, построеных в виде многочленов, решается графическими методами с применением программы "МаШета^са".

С помощью полученных графиков устанавливаются промежутки времени, на которых выполняются заданные неравенства при различных значениях дополнительного параметра.

В §3 описывается способ построения оптимального управления в классе гладких функций. В качестве примера рассматривается система, описывающая "макроэкономическую модель, предназначеную для теоретического изучения вопроса о тенденциях в изменении долей потребления и накопления в национальном доходе" (Гурман В.И.).

Требуется максимизировать взвешенное суммарное потребление на душу населения.

Неизвестные компоненты функций состояния и управления находятся в виде многочленов по £ с дополнительными слагаемыми, наличие которых позволяет удовлетворить неравенствам, заявленным в задаче и найти оптимальное управление в классе полиномов.

В приложении рассматривается система вида (1) с п = 8, управляемость которой изучалась в работе Зыбина Е.Ю., Мисриханова М.Ш., Рябченка В.Н.. Авторами статьи установлено, что "исследование управляемости системы (1) при п = 8 с помощью критерия Калмана в среде "МаЛаЬ" (всего 200 экспериментов) показало, что вычислительные погрешности приводят к отрицательному результату приблизительно в 60% случаев".

Методом каскадного расщепления с применением пакета "Ма1ета(лка" подтверждается управляемость исследуемой системы, что совпадает с результатами работы Зыбина Е.Ю., Мисриханова М.Ш., Рябченка В.Н..

Публикации автора по теме диссертации

[1] Ле Хай Чунг. О полиномиальных решениях линейной стационарной системы управления / С.П. Зубова, Раецкая Е.В, Ле Хай Чунг // Автоматика и Телемеханика. Москва. № 11. 2008. с. 41 - 47.

[2] Ле Хай Чунг. Построение полиномиального управления линейной стаци-

онарной системой с контрольными точками и дополнительными ограничениями / С.П. Зубова, Ле Хай Чунг // Системы управления и информационные технологии. Воронеж. 2008. № 1.2(31). С. 225 - 227.

[3] Ле Хай Чунг. Полиномиальное решение линейной стационарной системы при наличии контрольных точек и ограничений на управления / С.П. Зубова, Ле Хай Чунг // ISJ Spectral and Evolution Problems. Simferopol. 2008. Vol.18. c. 71 -75.

[4] Ле Хай Чунг. О полиномиальных управлениях линейной стационарной системы с контрольной точкой / С.П. Зубова, Ле Хай Чунг // Современные проблемы механики и прикладной математики. Воронеж. 2007. с. 133 - 136.

[5] Ле Хай Чунг. Об управлении движением с мягкой посадкой реактивного аппарата при наличии контрольной точки / С.П. Зубова., Ле Хай Чунг // Современные методы краевых задач: материалы Воронежской весенней школы "Понтрягиские чтения - XVII". Воронеж. 2006. с. 73.

[6] Ле Хай Чунг. О полиномиальных управлениях линейной стационарной системой с контрольными точками / С.П. Зубова, Ле Хай Чунг, Чан Тхань Туан // Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования: материалы II Международной научной конференции. Воронеж. 2007. с.79.

[7] Ле Хай Чунг. Полиномиальное решение одной задачи управления при наличии контрольных точек / С.П. Зубова, Ле Хай Чунг // Современные методы краевых задач: материалы Воронежской весенней школы "Понтрягиские чтения - XIX". Воронеж. 2008. с.94 - 95.

Работы [1], [2] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК РФ

Подписано в печать 12.11.09. Формат 60x84 '/is. Усл. печ. л. 1. Тираж 100 экз. Заказ 1851

Отечатано с готового оригинала-макета в типографии Издательско-полиграфического цешра Воронежского государственного университета. 394000, Воронеж, ул. Пушкинская, 3.

Введение

Глава 1. Полиномиальное решение задач управления

§1. Переход к эквивалентным задачам в подпространствах модифицированным методом каскадного расщепления пространств.

§2. Полиномиальное решение задач управления.

2.1 Построение псевдосостояния редуцированного уравнения.

2.2 Построение псевдоуправления редуцированного уравнения.

2.3 Нахождение функций состояния и управления исходной задачи.

Глава 2. Решение задач управления при наличии контрольных точек

§1. Полиномиальное решение линейной стационарной системы с одной контрольной точкой.

§2. Случай произвольного количества контрольных точек.

§3. Решение задачи управления с контрольными точками и условиями для управления.

Глава 3. Полиномиальное решение некоторых задач управления

§1. Полиномиальное решение дескрипторной системы у правления.

§2. Полиномиальное решение задачи управления с ограничениями на состояние и управление.

§3. Построение оптимального управления в классе полиномов.

Динамическая система называется полностью управляемой, если существует такое управляющее воздействие, которое переводит систему из произвольного начального состояния в произвольное конечное состояние за конечный промежуток времени.

Рассматривается динамическая система, описываемая дифференциальным соотношением: l = Bx(t) + Du(t), (1) где В £ L(Rn,Rn), D G L{Rm,Rn), x(t) G Rn, u(t) G Rm, t G [0,T].

Система (1) называется полностью управляемой, если существует вектор-функция u(t) такая, что после подстановки ее в уравнение (1), решение x(t) полученного дифференциального уравнения удовлетворяет двум краевым условиям:

0) = «о, (2) х(Т) = Ъ0, (3) где ао, bo - произвольные элементы из Rn.

В данной постановке задача (1), (2), (3) называется задачей управления, система (1) называется системой управления, вектор-функция x{t) - функцией состояния, состоянием, траекторией системы, вектор-функция u(t) - функцией управления, управлением.

Четкое определение полной управляемости для системы (1) было сформулировано Р. Калманом в 1961 г. [36]. Им и был сформулирован, ставший к данному моменту классическим, критерий полной управляемости, согласно которому система (1) является полностью управляемой тогда и только тогда, когда ранг матрицы управляемости совпадает с размерностью исходного пространства Дп, то есть: rank(£> BD .Bn~lD) = п. (4)

Этот критерий называется критерием Калмана, хотя условие вида (4) встречается в работах сороковых годов прошлого столетия акад. Крылова А.Н., акад. Понтрягииа JI.C.

Свойство управляемости динамических систем анализировалось в многочисленных монографиях, обзорах, статьях, где отражена и история вопроса [1]-[3], [5]-[11], [15], [16], [19]-[23], [25]-[33], [36]-[38],[40], [42], [45]-[52], [54]-[56], [58], [59], [61]-[65], [67], [68], [ТО], [71], [73]-[96].

На данный момент сформулировано значительное количество критериев полной управляемости динамических систем (см. [1],[9],[67], [71], [58], [59]) и разработаны различные методы исследования полной управляемости подобных систем (Чистяков В.Ф., Щеглова А.А., Мисриханов М.Ш., Зубова С.П., .).

Зачастую для решения вопроса полной управляемости подобных систем авторы прибегают к использованию пакетов прикладных програм (MatLab, Mathematica .)[32].

Наряду с вопросом об управляемости, весьма актуальной является задача построения управляющей функции u(t) и функции состояния x(t) рассматриваемых систем в том или ином виде.

Однако, трудно говорить о том, что в настоящее время теория и методы построения функций состояния и управления разработаны широко и полно. Гораздо меньшее количество работ посвящено отысканию функции состояния и управления для широкого класса динамических систем.

Как правило, авторами применяется формула Коши t x{t) = etBx(0) + J e^BDu{s)ds, о выражающая состояние системы (1) как функцию от управления. Этот путь, однако, не является эффективным при построении искомых функций.

В работе [1] функция u(t) найдена в виде: т u{t) = D*etB\ J e~sB DD*esB*ds)~l(e~TBxT - z0). о

В работах Зубовой С.П., Раецкой Е.В. [31], [58], [59] разработан метод построения функций состояния и управления, оснований на поэтапном разбиении пространств на подпространства. Суть метода заключается в том, что исходное пространство расщепляется в прямую сумму некоторых подпространств. В результате исходное уравнение сводится к аналогичному уравнению в более "узком" подпространстве. В силу конечности исходного пространства процесс каскадного расщепления завершается за конечное число шагов и на последнем этапе получается система, аналогичная системе (1). При этом матрица, стоящая при функции псевдоуправления, является либо нулевой (тогда исходная система (1) неуправляема), либо сюръективной (исходная система полностью управляема).

Псевдосостоянием и псевдоуправлением называются функции, играющие роль состояния и управления в редуцированной системе.

В результате применения этого метода построена функция управления в виде: u{t) = DpeiBpPr(t), 5 где Pr(t) - некоторый многочлен порядка г по степеням t с векторными коэффициентами, Dp и Вр -некоторые матрицы. Но наличие матричной экспоненты в этой формуле затрудняет дальнейшее исследование свойств u(t) и x(t).

В работе [75] другим способом показано, что u{t) можно построить в виде многочлена, степень которого меньше, чем 2п, а в [74] этот результат уточняется: "управление, переводящее систему из заданного начального состояния в заданное конечное положение, может быть представлено многочленом степени М = 2r + 1, где г = п — rankf?. Очевидно, что М < 2п действительно, поскольку система управляема, то ranki? > 0 и. более того, степень управляющего многочлена уменьшается, когда rankl? увеличивается".

Очевидно, однако, что степень многочлена не может не зависеть от свойств матрицы D.

Следующий пример показывает, что этот результат можно уточнить, то есть существуют управление и состояние системы (1) в виде многочленов меньшей степени.

Пример 1. Рассмотрим систему

XI = иъ

Х2 = Xi,

5)

Жз = Щ, Ха = Жз, с условиями Жг(0) = 0, 1) = 1, г = 1,4. Здесь п = 4, rank В = 2, М = 5. В [74] функции Uj(t), j = 1,2, и i = 1,4, строятся в виде многочленов по t степени 5.

Однако система (5) состоит из двух независимых систем

Хг = Wj, •Ег+1 =

Здесь г = 1 и 3. Каждая (следуя [74]) имеет М — 2(2 — 1) + 1 = 3. Следовательно функции Ui(t), Xi(t) можно построить в виде многочленов 3-го порядка.

Результат [74] совпадает с результатом данной работы в том и только том случае, когда rankD = 1 и добавление каждой матрицы BlD в матрице управляемости добавляет один линейно независимый вектор. В остальных случаях степени полученных в работе многочленов меньше М.

Целью диссертации является построение функций состояния и управления для различных динамических систем в виде многочленов по t с векторными коэффициентами минимальной степени. С этой целью разработанный ранее в работах Зубовой С.П., Раецкой Б.В. метод каскадного расщепления пространств модифицируется следующим образом. Совершается пошаговый переход от краевых условий (2), (3) к дополнительным условиям для функции псевдосостояния последнего этапа и ее производные.

В отличие от [59], где па последнем этапе получены дополнительные краевые условия для функции псевдоуправления и ее производные, в данной работе на каждом этапе получаются дополнительные краевые условия на функцию псевдосостояния и ее производные. Предлагаемый способ получения дополнительных краевых условий именно для функций псевдосостояний позволяет получить в полиномиальном виде функции состояния и управления исходного уравнения, что является весьма удобным при исследовании поведения данных функций и их свойств.

Применяемый в данной работе метод позволяет решать задачи управления, то есть строить функции состояния и управления для систем с различными дополнительными требованиями.

В частности, в дайной работе решена задача управления для системы (1) с условием прохождения траектории системы через произвольное конечное количество контрольных точек г — l,k\ti £ (0,Т), что является весьма важным для приложений. Например, при необходимости решения задачи управления с предварительно заданной траекторией введение достаточного количества контрольных точек, принадлежащих этой траектории, позволяет найти управление, под воздействием которого состояние системы (1) сколь угодно мало отличается от заданной траектории.

Нахождение функций состояния и управления в виде многочленов эффективно и для решения задач оптимального управления в классе гладких функций. Для этого следует строить функцию псевдосостояния редуцированного уравнения xp(t) в виде многочлена степени большей, чем указано в соответствующих теоремах. В этом случае коэффициенты многочленов будут функциями дополнительных параметров, которые могут быть найдены из условий оптимальности (или других каких-либо условий).

Указаным методом можно решать задачу управления для дескрип-торной системы

A^j&==Bx{t) + Du(t), (6) где A, Be L(Rn,Rm), D е L(Rl,Rm): t e [0,Т].

Подобные системы возникают, например, в задачах межотраслевой динамики, которые в ряде случаев можно формализовать как задачи управления линейными динамическими системами (6). Здесь накопление представляется как произведение вырожденой матрицы приростных фондоемкостей А на производную валовых выпусков х (£). Вырожденость матрицы А связана с тем, что не все отрасли, участвующие в процессе производства, являются фондообразующими. Такой способ описания расширенного воспроизводства был впервые предложен В.В. Леонтьевым (см. [44]).

Особенность уравнения (6) в сравнении с уравнением (1) состоит в следующем. Дифференциальное уравнение (1) при любой непрерывной функции u(t) имеет решение, удовлетворяющее одному из краевых условий (2), (3), и требуется подобрать функцию u(t) так, чтобы выполнялось другое краевое условие.

Решение же уравнения (6) может не принимать заданного значения в точках t = 0 или t = Т ни при каком u{t).

Приведем некоторые результаты, полученные в диссертации.

В §1 первой главы подробно описывается процесс перехода от задачи (1), (2), (3) к эквивалентной задаче в подпространствах методом каскадного расщепления, опирающимся на известные результаты.

Используется свойство матрицы С : Rk —> Rs\

Rk = ImC*+KerC: Rs = ImC+KerC\ (7) и сужение С на CoimC имеет обратную матрицу С~1.

Далее используются обозначения:

Р - проектор на КетС, Q - проектор на КегС*, отвечающий разложению (7), С~1{1 — Q) = С+ (С* - матрица, сопряженная к С).

Применяется следующая лемма.

Лемма. Соотношение Си = v: и G Rk, v G эквивалентно системе

Qv = О и - C+v + Pw, где Pn - произвольный элемент из КегС.

После того, как управляемая исходная система сведена к редуцированной системе, в пункте 2.1 §2 строится функция псевдосостояния последнего этапа в виде многочлена по t с векторными коэффициентами. В данном разделе работы уточняется минимальная степень многочлена: она равна 2р+1, где (р — 1) - минимальное количество матриц в матрице управляемости Калмана, ранг которой равен п.

В пункте 2.2 §2 строится функция псевдоуправления редуцированной системы и доказывается

Теорема 1. В случае сюръективной матрицы Dp существует управляющая функция yp(t) в виде многочлена степени 2р + 1 по t, которая переводит состояние xp(t) системы Bpxp(t) + Dpyp(t) из произвольного состояния хр(0) = ар в произвольное состояние хр(Т) = Щ. При этом функция состояния xp(t) удовлетворяет условиям (1.19) и имеет вид многочлена степени 2р + 1 по t с векторными коэффициентами.

Далее в пункте 2.3 §2 осуществляется последовательное построение функций псевдоуправлений и псевдосостояний предыдущих этапов и доказывается

Теорема 2. Для полностью управляемой системы (1) (KerD* = {0}) существует управляющая функция u(t) в виде многочлена по t степени 2р + 1, переводящая систему из произвольного состояния в произвольное состояние &о- Причем функция состояниях(£) имеет вид многочлена по t степени 2р + 1.

В главе 2 производится решение задачи управления (1), (2), (3), при наличии контрольных точек.

Так в §1 второй главы строятся полиномиальные решения классической системы управления (1), (2), (3) при наличии одной контрольной точки, то есть с дополнительным условием x(r) = hQ, (8) где г е (О,Г), ho € Rn. При выявлении управляемости исходной системы (1) и построении функций состояния х(t) и управления u(t) в виде многочленов по t с векторными коэффициентами применяются методы и алгоритмы, разработанные в главе 1.

Дополнительное условие (8) на последнем р - м шаге трансформируется в (р -+- 1) дополнительных условий на функцию псевдосостояния xp(t) последнего шага, что приводит к изменению степени полиномов для функций состояния и управления по сравнению с теми, что были найдены в главе 1.

Доказано, что минимальная степень многочленов функций состояния и управления задачи (1)-(3), (8) равна 3(р + 1) — 1, и построены эти функции в полиномиальном виде, что и отражено в следующей теореме.

Теорема 3. В случае сюрьективной матрицы Dp существует управляющая функция u(t) в виде многочлена not степени (Зр + 2); которая переводит систему из произвольного состояния clq в произвольное состояние bo за время Т, при этом траектория системы проходит через контрольную точку (г, ho) ■

Соответствующая функция состояния системы x(t) имеет вид многочлена по t с векторными коэффициентами степени Зр + 2.

В §2 решается задача управления с произвольным конечным количеством контрольных точек (ti,x(ti)), г = 1, fc, 0 < t\ < £2 < ••• < tk < о

Ог х(и) = 4. (9)

Т, то есть заданы значения а^ и условия

Появление дополнительных контрольных точек по сравнению с задачей, рассмотреной в §1, приводит к увеличению степеней многочленов для функций состояния и управления до [(р + 1)(гг + 2) — 1]-ой степени.

Результатом §2 главы 2 является

Теорема 4. Существует функция управленияu(t) в виде многочлена по степеням t, порядок которого меньше или равен ((р+ 1)(& + 2) — 1), такая, что решение x(t) задачи (1), (2), (3), (2.24) является многочленом ((р + 1)(А; + 2) — 1) - го порядка по степеням t с векторными коэффициентами.

В §3 главы 2 рассматривается система (1), (2), (3), (9) с дополнительными ограничениями u{t) dtl ог Mt) — Р О'

4=0 dt t=ti dt1 РгТ г = = 1, /с t=T

10) на функцию управления.

Такая система является более "жесткой"по сравнению с рассмотренными в предыдущих разделах.

Постановка задачи с условиями (9) естественна, например, для управляемых до момента t = 0 систем. В этом случае при £ = 0 функция u(t) и ее производные имеют, вообще говоря, определенные значения. Также в задаче о мягкой стыковке движущихся объектов функция u(t) и ее производные должны принимать в конечный момент времени заданные значения.

Условия (10), в силу свойств системы (1) могут быть сведены к дополнительным условиям d*x(t) dP Р 0) t-0 dti t=tj dt Ргт, г = l,r + 1; j = l,k. t=T

П)

Указанный переход обуславливает появление (г + р + 1) - го условия на функцию псевдосостояния xp(t) в точках t = 0, t — tj, (j =

1,/c), t = T, что приводит к увеличению степеней многочленов для функции состояния x(t) и управления ii(t) поставленой задачи до [(г + р + 1)(п + 2) — 1] степени.

Результаты §3 главы 2 формулируется в следующих теоремах Теорема 5. В случае сюрьективной матрицы Dp существует функция управления u(t) системы (1) в виде многочлена not с векторными коэффициентами степени [(г+р+2)(&+2) — 1], удовлетворющая условиям (2.32), которая переводит систему (1) из произвольного состояния ао в произвольное состояние bo через контрольные точки (2.24). При этом функция состояния x{t) также построена в виде многочлена по t с векторными коэффициентами степени [(г + р + 2)(к + 2) — 1].

Теорема 6. В случае сюрьективной матрицы Dp существует функция управления u(t) системы (1) в виде многочлена not с векторными коэффициентами степени [(г + р + 2) (к + 2) — 1], которая переводит систему (1) из произвольного состояния ао в произвольное состояние bo через контрольные точки (2.24) с выполнением условий (2.33). При этом функция состояния x(t) такоюе построена в виде многочлена по t с векторными коэффициентами степени [(г + р + 2) (к + 2) — 1].

В главе 3 решаются различные задачи управления. В §1 рассматривается более общая, по сравнению с системой (1), так называемая дескрип-торная система управления Bx(t) + Du(t) (0.1)

СLL с условиями (2), (3), (9).

Методами, предложеиыми в [59] эта задача сводится к задаче, рас-смотреной в §3 второй главы.

Доказывается

Теорема Т. При выполнении условий а) Q(C)QB = 0; б){A-£B)v = 0->v = 0, ее 17(0), v е Вп; в) система (3.4) полностью управляема существует управляющая функция u(t) в виде многочлена по степеням t порядка (р + 2) (А; + 2) — 1 с векторными коэффициентами. Под воздействием такого управления состояния системы такэ/се имеет вид многочлена по степеням t порядка (р + 2)(k + 2) — 1.

В §2 решается задача управления с ограничениями на состояние и управление в виде неравенств. В качестве примера рассматривается движение материальной точки (см. [39]), движущейся в вертикальной плоскости в поле силы тяжести. Предполагается, что в качестве управляющего воздействия к точке приложена реактивная сила, возникающая в результате отделения от нее частиц с элементарной массой.

Движение материальной точки описывается системой вида (1) с естественными условиями положительности соответствующих компонент системы.

Система неравенств относительно функций, построеных в виде многочленов, решается графическими методами с применением программы "Mathematical

С помощью полученных графиков устанавливаются промежутки времени, на которых выполняются заданные неравенства при различных значениях дополнительного параметра.

В §3 описывается способ построения оптимального управления в классе гладких функций. В качестве примера рассматривается система, описывающая "макроэкономическую модель, предназначеную для теоретического изучения вопроса о тенденциях в изменении долей потребления и накопления в национальном доходе"[16].

Требуется максимизировать взвешенное суммарное потребление на душу населения.

Неизвестные компоненты функций состояния и управления находятся в виде многочленов по t с дополнительными слагаемыми, наличие которых позволяет удовлетворить неравенствам, заявленным в задаче и найти оптимальное управление в классе полиномов.

В приложении рассматривается система вида (1) с п = 8, управляемость которой изучалась в работе [32]. Авторами статьи установлено, что "исследование управляемости системы (1) при п = 8 с помощью критерия Калмана в среде "MatLab" (всего 200 экспериментов) показало, что вычислительные погрешности приводят к отрицательному результату приблизительно в 60% случаев".

Методом каскадного расщепления с применением пакета "Mathematica" подтверждается управляемость исследуемой системы, что совпадает с результатами [32].

Таким образом, в диссертации получены следующие ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Модифицирован известный метод каскадной редукции исходной системы.

2. Разработан метод построения функций состояния и управления линейных стационарных динамических систем в полиномиальном виде.

3. Проведено построение состояния и управления динамических систем при условии прохождения траектории системы через произвольное количество контрольных точек.

4. Решены задачи управления при дополнительных ограничениях на функции состояния и управления и их производные в контрольных точках.

5. Рассмотрена возможность нахождения оптимального управления в классе гладких функций.

6. Проиллюстрировано применение пакетов "Mathematica" и "MatLab" для решения задач управления методом каскадного расщепления уравнений на уравнения в подпространствах.

7. Результаты работы могут быть использованы для выявления полной управляемости линейных стационарных динамических систем, а также для построения функций управления и состояния в полиномиальном виде для широкого класса задач управления.

Результаты диссертации докладывались в Воронежских Весенних математических школах "Понтрягинские чтения XVII", Воронеж, 2006 г. и "Понтрягиниские чтения XIX", Воронеж, 2008 г.; на конференции "Современные проблемы механики и прикладной математики", Воронеж, 2007 г.; на II международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования"; на научном семинаре математического факультета ВГУ (рук. проф. Курина Г. А.).

Вклад диссертанта в работу над публикациями состовляет 66% в статьях [25], [27], в остальных статьях 50%. Списку ВАК соответствуют работы [27], [29]. Проведенные в работе исследования выполнены при частичной поддержке гранта РФФИ (проект № 07-01-00397).

В заключении выражаю глубокую признательность научному руководителю проф. Покорному Ю.В. и научному консультанту Зубовой С.П.

В данной работе применяется следующая нумерация. Во введении формулы пронумерованы последующими цифрами; в основном тексте применяется двойная нумерация: первая цифра означает номер главы, остальные цифры - номер соответствующей формулы; в приложении -первая буква "п", остальные цифры - номер формулы.

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976. - 424с.

2. Андриевский Б. Р. Анализ систем в пространстве состояний. СПб.: ИП Маш. РАН, 1997. 206с.

3. Андриевский Б. Р., Фрадков A. JI. Избранные главы теории автоматического управления с примерами на языке MatLab. СПб.: Наука, 1999. 466с.

4. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1975. 240с.

5. Афанасьев В. Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высшая школа, 1998. 573с.

6. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М.: Наука. 1966. -118с.

7. Бесекерский В. А., Попов Е. Н. Теория систем автоматического управления. М.: Наука. 1975. 767с.

8. Биркгоф, Джордж Дэвид. Динамические системы. Пер. с англ. Е. М. Ливенсова под ред. А. А. Маркова и др.-Ижевск.: Удмурт, ун-т, 1999.-407с.

9. Бояринцев. Ю. Е. Методы решения вырожденных систем обыкновенных дифферениальных уравнений. Сибирское отделение.: Наука, 1988. 154с.

10. Бублик Б. Н. Основы теории управления. Киев.: Вища Школа, 1975. 327с.

11. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси.: Изд-Тбилис. ун-та, 1975. 230с.

12. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966. 576с.

13. Гейл Д. Теория линейных экономических моделей. Перевод с английского Л.И. Горькова, С.С. Кислицына, И.Л. Романовской. Под редакцией Н.Н. Воробьева. Издательство иностранной литературы, Москва 1963. 406 с.

14. Гельфанд И. М., Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1998. -319с.

15. Гончарова Н. Е. Теория управления. М.: Приор-издат, 2006. 221с.

16. Гурман. В. И. Вырожденные задачи оптимального управления. Наука, 1977. 304с.

17. Джон Мэтыоз Г., Куртис Финк Д. Численные методы Использование MATLAB. М.: Вильяме, 2001. 713с.

18. Директор С., Рорер Р. Введение в теорию систем. М.: Мир, 1974. -464с.

19. Егоров А. И. Основы теории управления. М.: Физматлит, 2004. -502с.

20. Ерофеев А. А. Теория автоматического управления. СПб.: Политехника, 2003. 301с.

21. Заде Jl., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. М.: Наука, 1970. 704с.

22. Зубов И. В. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. 495с.

23. Зубова О. В. Математические основы управления движением. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1997. 77с.

24. Зубова С.П. Решение задачи Коши для дифференциального уравнения с нётеровым оператором при производной. Актуальные проблемы математики и информатики. Труды матем. ф-та ВГУ. Воронеж № 4. 2008. с. 12-23.

25. Зубова С.П., Ле Хай Чунг. Об полиномиальных управлениях линейной стационарной системой с контрольной точкой. Современные проблемы механики и прикладной математики. Сборник трудов международной школы-семинара. Воронеж, 2007. с. 133 - 136.

26. Зубова. С. П., Ле Хай Чунг. Полиномиальное решение линейной стационарной системы управления при наличии контрольных точек и ограничений на управление. Spectral and Evolution problems. Simferopol. 2008. Vol. 18. P. 71 75.

27. Зубова. С. П., Ле Хай Чунг. Построение полиномиального решения линейной стационарной системы с контрольными точками и дополнительными ограничениями. Системы управления и информационные технологии. Воронеж, 2008. №1.2(31). с. 225 227.

28. Зубова. С. П., Раецкая Е. В., Jle Хай Чунг. О полиномиальных решениях линейной стационарной системы управления. Автоматика и Телемеханика, №11, 2008. с. 41 47.

29. Зубова. С. П., Jle Хай Чунг., Чан Тхань Туан. О полиномиальных управлениях линейной стационарной системой с контрольными точками. Современные проблемы прикладной математики и матимати-ческого моделирования. Воронеж, 2007. с. 79.

30. Зубова. С. П., Jle Хай Чунг. Полиномиальное решение одной задачи управления при наличии контрольных точек. Современные методы краевых задач. Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения XIX". Воронеж, 2008. с. 94 - 95.

31. Зубова С.П., Раецкая Е.В. Математические методы и приложения. Труды XIV математических чтений РГСУ. Москва.: 2005. с. 34 39.

32. Зыбин Е.Ю., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Рекурсивные тесты на управляемость и наблюдаемость больших динамических систем. АиТ. №5, 2006, с. 119 132.

33. Игнатов В. Г. Теория управления. М.: Март, 2006. 463с.

34. Икрамов X. Д. Численное решение матричных уравнений. М.: Наука, 1984.

35. Каган В.Ф. Основание теории определителей. Одесса.: Госуд. Из-во Украины, 1922. 521с.

36. Калман Р.Е. Об общей теории систем управления. Труды IFAC, Москва, 1960, с.521 546

37. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления; русский перевод: В. А. Васильева., Ю. А. Николаева, М.: Мир, 1977. 650с.

38. Ким Д. П. Теория автоматического управления. Т.2. М ногомерные, нелинейные, оптимальные и адаптивные системы. Учеб. пособие.-.М.: Физматлит, 2004. 464с.

39. Краснова С. А., Уткин В. А. Каскадный ситез наблюдателей состояния динамических систем. М.: Наука, 2006. 272с.

40. Красовский Н.Н. Теория управления движением. Наука, 1968 476с.

41. Курина Г. А. Полная управляемость линейных матричных сингулярно возмущенных систем. Деп. в ВИНИТИ 28.08.87, № 6373-В87.

42. Кухтенко А. И., Никитенко О. В., Уди лов В. В. Алгебраические инварианты и теория управлеия конечномерными стационарными объектами. Автоматика, № 6, Киев, 1982, с. 53 64.

43. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978. 280с.

44. Леонтьев В.В. Исследование структуры американской экономики. М.: Госстатиздат, 1958. 640 с.

45. Ли Э. В., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972.

46. Ломадзе В. Г. Об обобщенных линейных автономных динамических системах. Собщения АН ГССР, 1987, т. 126, с. 261-264.

47. Малин А. С. Исследование систем управления. М.: ГУ ВШЭ, 2002. 397с.

48. Минюк С. А., Панасик О. А. Критерии управляемости и достижимости линейных алгебро-дифференциальных систем. Известия РАН. Теория и системы управления, 2008, № 5, с. 5 18.

49. Мухин В. И. Основы теории управления. М.: Экзамен, 2003.-254с.

50. Мыльник В. В. Исследование систем управления. М.: Деловая кн, 2003. 350с.

51. Неймарк Ю. И., Коган Н. Я., Савельев В. П., Динамические модели теории управления.: М. Наука, 1985. 400с.

52. Никулин Е. А. Основы теории автоматического управления. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 631с.

53. Осетинский Н. Н. Обзор некоторых результатов и методов в современной теории линейных систем. Теория систем. Математические методы и моделирование. М.: Мир, 1989. С.328-379.

54. Параев Ю. И. Алгебраические методы в теории линейных систем управления. Томск. 1980. 136с.

55. Петров Ю. П. Новые главы теории управления и компьютерных вычислений. СПб.: БХВ-Петербург, 2004. 192с.

56. Покорный. Ю. В., Оптимальные задачи. Воронеж, 2002. 198с.

57. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1982, 329 с.

58. Раецкая Е.В. Критерий полной условной управляемости сингулярно возмущенной системы. Оценки функции состояния и управляющей функции. Кибернетика и технологии XXI века: V международ, науч.-техн.конф., Воронеж, 2004. с.28 - 34.

59. Раецкая Е. В. Условная управляемость и наблюдаемость линейных систем: Дисс----канд. физ. мат. наук. Воронеж, 2004.

60. Райе Джон. Матричные вычисления и математическое обеспечение. Пер. с англ. О. Б. Арушаяна под ред. В. В. Воеводина. М.: Мир, 1984. 264с.

61. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1971. -396с.

62. Справочник по теории автоматического управления. Под ред. А. А. Красовского. М.: Физматлит, 1987. 712с.

63. Сю Д., Мейер А. Современная теория управления и ее приложения. М.: Машиностроение, 1972. 544с.

64. Теория автоматического управления. Учеб. для вузов. В 2-х частях. Под ред. А. А. Воронова. 2-е изд. М.: Высшая школа, 1986.

65. Теория управления движением: библиограф, указатель/ сост.: Р. Ф. Габасов, Ф. М. Кириллова, В. М. Марченко, И. К. Асмыкович.-Минск: Ин-т математики АН БССР 1983.

66. Тихонов А. Н., Васильева А. Б., Свешников А. Г. Дифференциальные уравнения. 2-е изд. М.: Наука, 1998. 232с.

67. Уонэм М. Линейные многомерные системы управления. М.: Наука, 1980. 375с.

68. Фельбаум А. А. Основы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1966. 623с.

69. Хопкрофт Джон. Введение в теорию автоматов, языков и вычислений. Пер. с англ. О. И. Васылык и др. Киев.: Вильяме, 2002. 527с.

70. Чаки.Ф. Современная теория управления. М.: Мир, 1975. 424с.

71. Чистяков В.Ф., Щеглова А.А. Управляемость линейных алгебно-дифференциальных систем. АиТ, №3, 2002, с. 62-75.

72. Шилов Г.Е. Математический анализ (конечномерные линейные пространства). М.: Наука, 1969. 432с.

73. Шолохович Ф.А. Об управляемости линейных динамических систем. Изв. Ур. ГУ.-1998.-Т.10, N 1. с. 103 128.

74. Ailon A., Langholz G. More on the controllability of linear time-invariant systems. Int. J. Contr. 1986. 44. JNM. p. 1161 1176.

75. Ailon A., Barachart L., Grimm J., Langholz G., On polynomial controllability with polynomial state for linear constant systems. "IEEE Trans. Autom. Contr". 1986, 31, №2. p. 155-156.

76. Achim Ilchmann., Volker Mehrmann. A behavioral aproach to time-varying linear systems. SIAM J. Control and Optimization. Vol 44, № 5. Norvember 2005. P 1725 1765.

77. Ailon A. Controllability of generalized linear time-invariant systems. "IEEE Trans. Autom. Contr". 1987, 32, №5, p.429 432.

78. Anderson B.D.O. The inverse problem of optimal control, technical Report No. 6560-3, Stanford Electronics Laboratories, Stanford University, Stanford, calif, 1966.

79. Anderson B.D.O., Moore J.B. Linear Optimal Control, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1971.

80. Axelsson 0. Numerical linear algebra.: Cambrige, 1996.

81. Ayres F. Theory and Problems of Matrices.: Schaum, 1962.

82. Baratchart L. On the parametrization of linear constant systems. SIAM J. Control and Optimization, 23, Ж 5, 1985. p. 752 - 773.

83. Brunovsky P. A classification of linear controllable systems. -Kibernetika, 6(1970), P. 176 188.

84. Elgerd O.I. Control Systems Theory, McGraw-Hill, New York, 1967.

85. Fath A.F. Evalution of a matrix polinomial, IEEE Trans. Autom. Control, 13, 2. 1968. p. 220 221.

86. Hayman W.K., Shanidze Z.G. Polynomial solutions of partial differential equations. Methods and Aplications of Analysis. 6(1). 1999. p. 97-108.

87. Kalman R.E., Contributions to the theory of optimal control, Bol. Soc. Mat. Mexicana, 5, p. 102-119 (1960).

88. Mikhail Lyubich. Dynamics of quadratic polynomials. New York.: SUNY StonyBrook Institute for Mathematical Sciences, 1996.-18p.

89. Melsa J.L, Schultz D.G. Linear System Theory. McGraw-Hill, New York, 1969.

90. Tou J.S. Modern Control Theory, McGraw-Hill, New York, 1964; русский перевод: Ту Ю., Современная теория управления, М.: Машин-ностроение, 1971. 472с.

91. Smith S.P. Polynomial solutions to constant coefficient differential equations. Transactions of the American mathematical society. Vol. 329, Number 2, Feb. 1992. p. 551-569.

92. Stroud A.H., Secrest D. Gaussian Quadrature Formulas. Englewood Cliffs, New Jersey.: Prentice-Hall, 1966.

93. Wolovich W.A. On the stabilization of controllable systems, IEEE Trans. Autom. Control, 13, 5. 1968. p. 569 572.

94. Zadeh L.A., Desoer C.A. Linear System Theory: The State Space Aproach, McGraw-Hill, New York, 1963; русский перевод: Заде JI., Дезоер Ч., Теория линейных систем. Метод пространства состояний, М.: Наука, р. 67 70.

95. Zadeh L.A., Desoer C.A. Linear System Theory. McGraw-Hill, New York, 1963. 374p.