автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Подсеточное моделирование процессов протекания в задачах фильтрации и геоэлектрики в многомасштабной неоднородной среде

На правах рукописи

Соболева Ольга Николаевна

Подсеточное моделирование процессов протекания в задачах фильтрации и геоэлектрики в многомасштабной неоднородной среде

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ООЗДБЫи^1

Новосибирск-2009

003468041

Работа выполнена в Учреждении Российской академии наук институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

академик РАН,

доктор физико-математических наук Михайленко Борис Григорьевич

чл.-корр. РАН,

доктор физико-математических наук Николаев Алексей Всеволодович доктор физико-математических наук Огородников Василий Александрович доктор физико-математических наук Филатов Владимир Викторович

Учреждение Российской академии наук институт горного дела Сибирского отделения РАН

Защита состоится 19 мая 2009 года в 15 часов на заседании диссертационного совета Д 003.061.02 при Институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН, 630090 г., Новосибирск, 90, проспект Академика Лаврентьева, 6.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Учреждения Российской академии наук институте вычислительной математики и математической геофизики Сибирского отделения РАН.

Автореферат разослан 16 апреля 2009 года.

Ученый секретарь диссертационного совета д.ф.-м.н.

Научный консультант:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Актуальность темы диссертации

Современная геофизика вышла за рамки традиционной горизонтально-слоистой однородной модели среды. Общепринята точка зрения, согласно которой неоднородность среды оказывает существенное влияние на процессы распространения жидкости, тепла, электрического тока, волн и т.д. В большинстве геофизических задач крупные неоднородные включения (пласты, пропластки) учитываются в модели непосредственно с помощью граничных условий. Такие задачи широко используют численные методы. Прогресс в этом направлении при современных темпах роста вычислительных возможностей представляется неограниченным. Однако и здесь имеются принципиальные трудности, если ограничиться непосредственным расчетом физических величин в средах достаточно сложной структуры. Поэтому одна из фундаментальных задач при изучении неоднородных сред касается математического моделирования, включающего малые масштабы. Эта задача возникает, например, в молекулярной динамике, турбулентных течениях и в задачах протекания жидкости, электрического тока, тепла в многомасштабных неоднородных средах. Основные уравнения для подобных явлений, такие как уравнения Шрёдингера, Максвелла, фильтрации, упругости или уравнения Навье-Стокса могут быть очень точными моделями для реальных явлений, но требуют больших вычислительных затрат из-за вариаций коэффициентов всех масштабов. Если учитывать малые масштабы, то даже компьютеры с большой мощностью не способны решить эти уравнения с достаточной точностью. Традиционный подход для преодоления этой трудности - найти упрощающие модели, требующие меньшего количества вычислительных затрат, решение которых для физических величин, например, для скорости, напряженности электрического поля и т.д. близко в среднем к решению первоначальной полной задачи. Построение таких более простых моделей, правильно описывающих поведение решения в крупномасштабном пределе, называется подсеточным моделированием. Естественным подходом для поиска подсеточной модели может быть усреднение полных уравнений по мелкомасштабной компоненте. В середине семидесятых годов прошлого столетия появилась новая область исследований в геодинамике и подземной гидродинамике - стохастическое моделирование потока и переноса. При исследовании явлений переноса в неоднородной среде мелкомасштабные неоднородности учитывают в рамках статистических моделей с помощью эффективных коэффициентов (М.И. Швидлер, 1963, О. Dagan, 1983). Эффективные характеристики системы, найденные для одной задачи, могут оказаться непригодными для другой задачи, решаемой для той же системы. Если масштаб неоднородности сравним с размерами области решения системы, эффективная проводимость зависит не только от свойств среды, но и от размеров области и типа условий на ее границе. В этом случ

эффективные характеристики зависят от условий задачи в целом и должны определяться в каждом отдельном случае. Если размеры области решения велики по сравнению с масштабом неоднородности, краевые условия мало влияют на эффективные характеристики, за исключением, возможно узкой приграничной зоны. Однако в этом случае эффективные коэффициенты должны, так или иначе, зависеть от всех параметров случайного поля, например, от всех моментов случайного поля. Попытки суммирования всего ряда теории возмущений связаны с методом перенормировок, развитым в квантовой теории поля. Формула Ландау-Лифшица-Матерона для эффективной проницаемости в рамках строгой полевой ренормализационной группы получена в работах U. Jackel, Н. Vereecken (1997), G. Chistakos, D.T. Hristopulos (1999), Э. В. Теодоровича (2002). В начале девяностых годов новые подходы в задаче подсеточного моделирования были развиты на основе динамической численной подсеточной модели, впервые введенной Джермано и др. (1991). В этом подходе ищется подсеточная модель для конкретных данных. Сначала на разных вычисляемых (достаточно крупных) масштабах численно ищется решение с хорошей точностью. Затем, используя эти решения, пытаются найти формулы экстраполяции решения от масштаба к масштабу, чтобы применить их для учета мелких масштабов. Зависимость коэффициентов от начальных данных и граничных условий принимается во внимание.

Для того, чтобы иметь основания применить метод подсеточного моделирования или применить метод перенормировок Вилсона, необходимо, чтобы задача в некотором интервале масштабов, включая малые масштабы, имела некоторую "масштабную регулярность". Например для того чтобы опыт, приобретенный при решении задачи на грубых масштабах с хорошим численным решением, можно было использовать для более мелких масштабов. Многие задачи, имеющие вариации коэффициентов от малых до больших масштабов, например, течения при больших числах Рейнольдса в неоднородных пористых средах и т.д., фактически имеют такую регулярность. Для моделирования физических величин с таким поведением используются каскадные модели, поскольку оказалось, что они хорошо описывают эмпирические данные в различных геофизических задачах. Бесконечные мультипликативные каскады, введенные впервые Колмогоровым, ведут к крайне неоднородным множествам. Впервые каскады Колмогоров ввел в 1941 г. для прикладной задачи о распределении частиц при дроблении. Процесс дробления моделировался как каскад с автомодельным механизмом последовательного измельчения частиц, что привело к логнормальному распределению их размеров. Усовершенствованная гипотеза подобия в турбулентности сформулирована Колмогоровым в 1962 г. Задачи моделирования развитой турбулентности и процессов, происходящих в неоднородной среде, различны. Речь идет лишь о внешних проявлениях двух очень разных физических процессов, а именно:

стохастичности, автомоделышсти, иерархически пространственной структурированности и наличии степенных закономерностей. Признаком масштабного подобия служит наличие степенных зависимостей в корреляционных функциях. По результатам геофизических работ в нефтегазовых скважинах и петрофизическим исследованиям многими авторами отмечалось масштабное подобие для электрофизических и гидрофизических параметров сред. К настоящему времени сложилось понимание важности проблемы учета мелких масштабов и развития методов подсеточного моделирования в геофизических задачах.

Цель исследования и основные задачи

Цель работы: создать методы определения эффективных параметров и решить уравнения движения с учетом многомасштабности и перемежаемости вариаций параметров в среде, если о флуктуациях параметров имеется, лишь статистическая информация.

Научная новизна

В настоящей работе предложен новый метод подсеточного моделирования, позволяющий решить задачи с учетом мелкомасштабных флуктуации в многомасштабной неоднородной среде, в котором физические параметры задачи моделируются непрерывными мультипликативными каскадами (испытывают сильные пространственные флуктуации с перемежаемостью). Впервые построена непрерывная каскадная модель среды, пригодная для прямой численной проверки статистических моделей. Метод применялся для решения стационарных задач фильтрации, квазистационарных уравнений Максвелла и задачи конвективной диффузии.

Практическая ценность работы

Вследствие недоступности большинства геологических систем непосредственному наблюдению их исследование производится с помощью геофизических методов и математических моделей. Поэтому большой практический интерес имеет оценка влияния микронеоднородностей при создании математической модели вытеснения пластовых флюидов фильтратом бурового раствора и возбуждении электромагнитного поля в нефтяном резервуаре. В частности, при проектировании высокочастотных зондов в индукционном каротаже. В работе получены результаты в задаче конвективной диффузии. Эта задача важна для построения математической модели распространения загрязнений токсичными и радиоактивными веществами подземных вод, переноса теплоты фильтрационным потоком, использования различных добавок к воде при заводнении нефтяных скважин.

Достоверность построенных математических моделей основана на теоретическом анализе, детальных численных экспериментах и сопоставлением полученных решений с известными решениями.

Апробация работы

Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах: «Математические методы в геофизике» под руководством академика РАН Алексеева А.С. (Новосибирск 2000-2003г.), под руководством академика РАН Михайленко Б.Г. (Новосибирск 2008г.), «Геомеханика и Геофизика» под руководством академика РАН Гольдина С.В. (Новосибирск 2001г., 2002г., 2004г., Байкал 2006г.), на семинарах по геоэлектрике под руководством академика РАН Эпова М.И. (Новосибирск, 2003г.-2008г.), «Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике» под руководством член-корр. РАН Михайлова Г.А., а также на четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000г.), посвященном памяти М.А. Лаврентьева, на 7 и 8 международных конференциях «Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей», Новосибирск 2000г., 2001г., на зарубежных конференциях: EAGE/SEG Research Workshop on «Reservoir Rocks», (PAU, France 30 April-3 May 2001), International Conference on Multifield Problems, (April 8-10, 2002, Stuttgart, Germany), на конференции « Математические методы в геофизике», (Новосибирск, ИВМ и МГ 2003), на международной конференции «Kolmogorov and contemporary mathematics», (Москва, Июнь 16--21, 2003); на зарубежных конференциях IVth IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, (September 15--19, 2003), WIAS Berlin, Symmetry in nonlinear mathematical physics, Kyiv (June 23--29, 2003), Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании, (Алматы, 2004г., 2008г.), Computational Science, Workshop Multiscale problems - ICCS 2005, (Atlanta, USA), The International Conference on Applied and Theoretical mechanics (Mechanics'06) Venice, Italy, 20-22-November, International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics, (August 28-September 1, Slovakia 2006), WSEAS International Conference Applied and Theoretical Mechanics, Spain, (December 14-16, 2007), на конференции «Обратные и некорректные задачи математической физики», Новосибирск, (21-24 августа, 2007г.), на конференции «ГЕО-Сибирь», 2008г., Новосибирск, на конференции по «Математическим Методам в Геофизике», посвященной восьмидесятилетию акад. А.С. Алексеева, Новосибирск, 2008г.

Публикации

Общее число публикаций по теме диссертации - 25. В их числе 9 статей в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук; 13 статей в

сборниках международных и российских конференций; 3 статьи в иностранных и отечественных журналах, не входящих в перечень ВАК. Личный вклад

Все результаты в соавторстве с Геннадием Андреевичем Кузьминым получены на паритетных началах. В работах с другими соавторами основной вклад принадлежит автору диссертации (получение теоретических результатов, написание основных программ, проведение численных расчетов, обсуждение результатов). Структура и объем

Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Объем диссертации составляет 204 страницы, включая 52 рисунка.

Содержание диссертации

Во Введении обоснована актуальность и практическая ценность темы диссертационной работы, дан обзор литературы, приведено краткое содержание работы по главам. В главе 1 описываются модели физических параметров. В разделе 1.1 для моделирования физических параметров предлагается подход, позволяющий построить непрерывную каскадную модель среды, пригодную для прямой численной проверки статистических моделей. Если поле физического параметра <т(х) (проницаемости, пористости, электропроводности и т.п.) известно, то в каждой точке х выполняется его измерение в образцах минимального масштаба /0 . Случайная функция пространственных координат рассматривается как предел удельной проводимости среды <т, (х)-»а(х) при /„->0. Аналогично

Колмогорову (1962), Яглому (1967) рассматривается безразмерное поле v, равное отношению проводимости сглаженной по двум различным масштабам 1,1' : i//(x,l,l') = сг(х,/')/о-(х,/), /'</. При стремлении /->/' выводится уравнение

где <р(х,/) = д|//(х,7./у)/5у|1=1 . Практически, мелкомасштабные флуктуации поля (р могут наблюдаться только в некоторой конечной области масштабов /„</<£, поэтому решение уравнения имеет вид:

где сг0 - константа, а поле <р(х,1) определяет все статистические свойства среды. Если дисперсия ^>(х,/) конечна, то для больших значений Ша

dl

(2)

интеграл (2) стремится к полю с нормальным распределением вероятностей. В разделе 1.2 рассматривается модель, в которой случайное поле ^(х,/) имеет

нормальное распределение вероятностей, соответственно, поле а,(х) имеет логарифмически нормальное распределение. Предполагается, что корреляционная функция Ф поля <р(\,1) однородна и изотропна, а флуктуации поля <р(х,1) не коррелируют на разных масштабах -y)V)cf(ln/-ln/,) . Это обычное предположение для

скэйлинговых моделей и отражает тот факт, что статистическая зависимость затухает, если масштабы флуктуаций параметров различны по величине. В теоретических выкладках это условие не имеет существенного значения, однако при численной проверке полученных теоретических формул значительно облегчает моделирование случайного поля <р. Для простоты мы используем ту же самую букву Ф в правой части формулы. Показано, что если среда масштабно инвариантна, то корреляционная функция поля сгДх) в интервале /0 < г < L степенным образом зависит от радиуса корреляции

(ст(х,/0)<т(х + г,/0)) ~ С(г/ L) Ф", где Ф„ = Ф(0,/) в масштабно-инвариантной среде гпнгтигп ~FiTi.rn4nn.rn 13т иг i корреляцнн.дой«маотеп величина- йВрамап масштабу

нвданарвйнввчж . Если г много больше L , то

(<т(х,/0)<т(х + г,/0)) -*<То • Если каскад консервативен, то для любого / должно выполняться равенство (<т,(х)) = о-0. Это условие выполняется, если

Ф0 = 2{(р). В разделе 1.3 построен мультипликативный каскад, имеющий

логарифмически устойчивое распределение вероятностей. С помощью таких распределений моделируют, как правило, редкие, но большие события, поскольку эти распределения затухают медленнее, чем нормальные распределения. Например, в работе М.С. Bouffadel др. (2000) по экспериментальным данным для скважин получены распределения полей проницаемости и некоторые статистические характеристики, показано, что поля проницаемости могут иметь логарифмически устойчивые распределения с параметрами 1<а<2, >9 = 1. В работе построена модель для этого диапазона параметров. Поле выбирается в виде:

( л а\ V"

<p(x,J)= , а'иС[ + (<р(1)), (3)

где 1 = 7' , St - шаг дискретизации по логарифму от масштаба. Коэффициенты зависят только от модуля разности индексов = a'(|i-j|), поэтому индекс j в дальнейшем может быть опущен, и имеют носитель (support) размера /' , что означает статистическую независимость

флуктуаций коэффициентов для различных по величине масштабов. Коэффициент перед случайными величинами в формуле (3) выбран в таком виде, чтобы в дальнейшем запись показателей степени в эффективных коэффициентах была компактной. Для всех / выполняется условие

(я* к к ) =' ■ При \<а<2 таким образом построенное поле (р

будет устойчивым, однородным и изотропным по пространственным переменным. Если коэффициенты а'~ удовлетворяют условию

а?.. =а'(|| -]|//) и константы Ф/I), (<р(1)) одинаковы при всех /, то поле /р

будет инвариантным относительно масштабного преобразования. Среднее для поля ср существует, что касается вторых моментов, то для а * 2 они бесконечны. Тем не менее, для крайней точки /3=1 вторые моменты для самого поля а существуют, несмотря на отсутствие дисперсии поля (р . Показано, что в интервале масштабного подобия корреляционная функция поля а степенным образом зависит от радиуса корреляции:

(<т(х)<т(х + г)^ ~ С (г / Ф,1'с1х('"г/2)*1М) _ условие консервативности для каскада выполняется при условии Ф„ / 2соз(яга /2) = -(<р).

В главе 2 разработан новый метод подсеточного моделирования для стационарной задачи протекания в изотропной многомасштабной среде. Получены эффективные уравнения и оценки вторых статистических моментов некоторых физических полей. Рассматривалась система соотношений

у(х) = сг(х)Ь(х), ¿/V у(х) = 0, Ь(х) = -Уи(х) . (4)

Если трактовать систему как задачу о протекании постоянного электрического тока в неоднородной среде, то под потоком V следует понимать вектор ] - плотность электрического тока, векторное поле И определяется потенциалом (7(х), Ь(х) = -Уи(х), и является электрическим полем, локальная проводимость а(х) является случайным полем удельной

электропроводности среды. Если рассматривать задачу фильтрации однофазной жидкости в неоднородной среде при малых числах Рейнольдса, то под потоком V следует понимать вектор скорости фильтрации, поле Ь определяется градиентом давления Ь = локальная проводимость <т(х),

равная отношению проницаемости к вязкости, является случайным полем, зависящим от координат. Давление и скорость связаны уравнением Дарси. На границе Г области V , в которой решаются уравнения (4), заданы некоторые граничные условия. Размеры области V велики по сравнению с масштабом неоднородности. Поле проводимости моделировалось

непрерывным мультипликативным каскадом (2). Исследуемые поля разделялись на две компоненты - мелкомасштабную и крупномасштабную по отношению к некоторому разделительному масштабу. Крупномасштабная компонента <т(х,1) получена статистическим

усреднением по всем сг(х,/1) с /,</, мелкомасштабная (подсеточная) равна

сг'(х) = ег(х)-<т(х,/):

0-(х,/) = £т„ ехр

а \х) = а(х,1)

(ехр

I I -1\ '» 1

ехр " /

^ехр

(5)

где функция ^(х,/,)на интервале (/,/.) фиксирована, а на интервале (/„,/) случайна. Для консервативного каскада ст(х,/) = <т,(х). Крупномасштабная (надсеточная) компонента потенциала и(\,1) получается как усредненное решение уравнения (1), в котором крупномасштабная компонента ст(х,/) фиксирована, а мелкомасштабная ег'(х) является случайной величиной. Подсеточная компонента потенциала равна и' = и(х)~и(х,1). Усреднением исходных уравнений по мелкомасштабной компоненте получено надсеточное уравнение."

У[<г(х,/)У(/(х,/) + (о-'(х)У(/'(х))] = 0. (6)

Второе слагаемое в этом уравнении неизвестно. Оно не может быть отброшено без предварительной оценки, поскольку корреляция между проводимостью и градиентом потенциала может быть существенной. Выбор вида второго члена в этом уравнении определяет подсеточную модель. При начальном значении масштаба / , близкого к наименьшему масштабу /„ (А/ = /-/„) с точностью до членов второго порядка малости А/, получено уравнение для подсеточной компоненты потенциала:

Предполагается, что незначительное изменение масштаба полей ст(х,1) ,

и(х,1) влечет за собой значительные флуктуации самого поля (что

характерно для каскадных моделей полей), поэтому можно считать, что сами поля и их производные меняются медленнее, чем мелкомасштабные

компоненты ст'(х), £/'(х) и их производные. В этих предположениях в

разделе 2.1, используя решение подсеточного уравнения (7), получена оценка подсеточного члена при логарифмически нормальном распределении поля проводимости во внутренних точках области. Ошибка в этой оценке может быть существенной только в узкой области (размера радиуса корреляции) вблизи границы. Эффективная проводимость определяется по той же формуле, что и а, (х):

= °"о I ехР

I ч

где <т,„ зависит лишь от масштаба. Подставив оценку подсеточного члена в уравнение (6), получаем уравнение 1 ^ ,.чД/У. Ф„ А/ , , &Г

-1«ФЦЬ1 = 0.

(8)

Следовательно, с точностью до членов второго порядка малости по Д/ эффективная константа аы равна

ЧС)

1 +

(9)

Переходя к пределу по А/ в равенстве (9), получим, что сг0, удовлетворяет дифференциальному уравнению

¿\П<7„, Ф0(/)

(10)

с1\п1 6

Если среда масштабно инвариантна, константы Ф„, (р) не зависят от

масштаба, и решение уравнения (10) имеет простой вид аы = а,„ (// ¿^'"'"^ . Таким образом, если пройти весь интервал изменения масштабов, константа будет равна ат>=сто(Ы 1а)Ф°""м , а не <та и, следовательно, средний поток

будет равен {у) = (Щ,)Ф°"'"му0 . Эта формула согласуется с формулой Ландау-Лифшица-Матерона. В разделе 2.2 получены эффективные коэффициенты для оценки вторых одноточечных статистических моментов градиента потенциала и потока при логнормальном распределении вероятностей поля проводимости. Надсеточное уравнение для компонент второго одноточечного статистического момента градиента потенциала имеет вид

(/Цх)/!,.(х))« У/7(х,/)У//(х,/) + (У//\х)У,и'(х)). (11)

В тех же предположениях, что и предыдущая оценка для подсеточного члена в исходных уравнениях, получено, что

Используя предельный переход по А/ , получили оценки для попарных разностей и суммы компонент тензора вторых статистических моментов градиента потенциала

(к (х)2 - Л, (X)2) (/,. (X,/)2 - /г,, (X,/)2), (13)

(/гДх)2 + Ау(х)2 + АГ(х)2)«^(^(х,/)1 +/г,(х,/)2 +ЛДХ,/)2), где коэффициенты <т,?,, «г», удовлетворяют уравнениям

£/1п/ 15 """'

<Лп/ 3 '

(И)

"(М*)2>п

Ш) = 9 А М*.')2

(М*)2) м*,/)2

Из уравнений (13) получены эффективные значения для каждой компоненты ^/¡Дх)2^ . Для компонент тензора при пф) получена оценка

(Ая(х)А/(х))»<т^ Ля(х,/)Л/(х,/) . В случае масштабно-инвариантной среды оценки имеют вид

(15)

где 9 = (/ / ¿)Ф" 3 / 3, а матрица А равна

-Ш~Фо5+1 -(тГ"5+1

2(^4. (16)

_-(тГ'5+| -(Г'5+1 2(С°5+1

Для и* у справедлива оценка (/г„(х)/!/(х)}~(///,)2Ф° " А„(х,^)Ау(х,^).

Таким же образом оценивались компоненты тензора вторых статистических моментов локального потока. В разделе 2.3 получены эффективные оценки статистического среднего потока для логарифмически устойчивого распределения проводимости. В этом случае коэффициенты в дифференциальных уравнениях, дающих зависимость эффективных параметров переноса от разделительного масштаба, зависят не только от

параметров Ф„, (<р) , но и параметра распределения а . Эффективные коэффициенты для потока удовлетворяют уравнению

d\nl "w 6cos(aji/2) N w/

Ф,,(2(l-2" l)+3)/(6c«s(,I»/2)).W

(17)

/ 3, где

В масштабно инвариантной среде аы = аи, (/ / L)' постоянная <т„, характеризует связь между средним локальным потоком и средним градиентом потенциала на самом большом масштабе. Для эффективных коэффициентов, определяющих оценку второго статистического момента градиента потенциала, получены уравнения:

d\nl 15cos(«;r/2) v '

(18)

d\nl 3cos(<wr/2) "w

Оценка второго статистического момента градиента потенциала в масштабно инвариантной среде имеет вид

= i? А

(м*)2) (м*)2)

^(Х./)2

/Ь(х,/)2

(19)

где 9 = (/ / L) " »у "13, матрица А равна

,, \(г '->)ф,,/5с<к(.*т/2) р ч(2" 1 -l)<I>„/5cos{.»*/2) , , ч(21 -l)il>„/SoB(rl»/Z)

2w ~~ ~

+ 1 -(-) + J

/, \(2"'-l)<IVJcos(«»/2) ^ ^(2" ()ф,|/5ссв(<1*/2)

т) +1 2(¿y 1 ' + I +1

4^(2" 1 -|)Ф„/5соб(,«/2) ^ ^ ^ ' -|)Ф„/5СО5(«т/2) ^ ^

,^(2" '-|)ф„/5ав(итЯ) (2" '-|)ф„/5со5(«»/2)

+ 1

.(20)

В разделе 2.5 проведено численное моделирование описанной выше трехмерной задачи для логарифмически нормальной и логарифмически устойчивой моделей проводимости. Сравнение полученных плавных компонент полей с результатами прямого численного моделирования позволило оценить точность применяемого метода и то, в какой мере предложенный метод лучше обычной теории возмущений в первом порядке. В расчетах используются безразмерные переменные. Задача решается в единичном кубе, с единичным скачком потенциала и аи = 1. На гранях куба у = 0 и у = 1 задается постоянный потенциал (х)|1=||= , (х) (,. , = £/, , и[ > и 1. Потенциал на других гранях куба задается линейной зависимостью

-УУ(1.т,)Лг .2" . (21)

по U(x) = U,+(U2-U,)y. По пространственным переменным использовалась

сетка 256x256x256 . Интеграл в модели проводимости заменялся конечно-разностной формулой

log, I.

о~(х); = exp -In 2 J" ^(x.rjt/r

1оег I

Здесь /, = 2" , Ar = l - шаг дискретизации по логарифму масштаба. Корреляционная функция нормального случайного поля выбиралась в виде

(^х,г,.Жу,т/)}-(^х,т1))(р(у,^)} = (Ф,)/1п2)ехр[-(х-у)2/2:!''] . (22) Константы Ф„ , {(о) выбирались из экспериментальных данных для пористых природных сред. Поле <о(х,/,) генерировалось независимо для каждого /, . Общий показатель степени в модели проводимости

суммировался по статистически независимым слоям. Количество слоев и масштабы выбирались так, чтобы масштаб самых крупных пульсаций проводимости позволил заменить приближенно вероятностные средние величины усредненными по пространству, а масштаб самых мелких так, чтобы разностная задача хорошо аппроксимировала уравнение. Эргодичность проверялась для многих реализаций. Для численного моделирования поля был использован метод «по строкам и столбцам» (Ogorodnikov, Prigarin "Numerical Modeling of Random Processes and Fields", 1996). Для решения уравнений движения использовался итерационный метод минимальных невязок в сочетании с методом прогонки и быстрым преобразовании Фурье для предобусловливателя. На рис. 1 приведено изменение проводимости в зависимости от количества масштабов для логарифмически нормального распределения вероятностей при г = 0.5 , Ф„ = 0.3 (<р) = 0.15 (консервативный каскад). В модели использовано три масштаба I = 1 / 64, 1/32, I /16 : а) Ь)

С)

Рис. I. а) -модель для одного масштаба, Ь)-для двух, с)-для трех. На рисунках 2, 3 приведены результаты для логарифма средних значений локального потока и дисперсии компонент потока в зависимости от количества используемых масштабов в модели.

Рис. 2. 1,2- значения, полученные по теоретическим формулам при (<р\ = 0 и

= 0.15 ; 3, 4 - результат, полученный по обычной теории возмущений; * -результаты численного моделирования при = 0 , х - результаты численного моделирования при (^о) = 0.15 ; Средние значения (ух)« (у.-) ~ 0, Ф„ = 0.3 .

дисперсия

локального потока V по осям у, х; 1,2- результат, полученный по обычной теории возмущений: 3, 4 - результат, полученный по теорегическим формулам; звездочками

обозначен результат,

полученный прямым

численным моделированием; (<р) = 0.15, Ф„ = 0.3 .

Оценка среднего потока имеет точность приблизительно 97%, оценка дисперсии потока для больших значений компонент тензора - примерно 90%, для больших компонент дисперсии градиента потенциала - примерно 70%. Для маленьких компонент ( £>, - линия 4) можно говорить только о

качественном поведении компонент дисперсии. Обычная теория возмущений в первом порядке дает значительно худшую точность. На рис. 2 приведены результаты для неконсервативного и консервативного каскадов. При увеличении числа масштабов в среде средний поток должен убывать, а дисперсия потока расти. Это объясняется тем, что с увеличением количества масштабов увеличивается контактная поверхность между областями среды с разной проводимостью, и, соответственно, растет сопротивление потоку. Если поле моделируется неконсервативным каскадом ((<р) = 0, линия I),

средние значения (сг) растут с увеличением числа масштабов. Самое большое значение средняя проводимость имеет при / = /,, (при к=3 на рис.2). Если сглаживать проводимость, начиная с масштаба /0, и с этими средними

значениями проводимости проводить расчеты (без учета эффективных коэффициентов), то полученный в этих расчетах поток будет значительно превышать средние значения, полученные при численном моделировании неоднородной среды. В диссертации приведены соответствующие расчеты. Таким образом, средний поток в среде, промоделированной неконсервативным каскадом, тоже убывает по сравнению с невозмущенным движением. При численном моделировании проводимости с логарифмически устойчивым законом распределения случайное поле <р(х,т,) генерировалось по формуле (3). Коэффициенты а!ч выбирались в

для каждого г, . Независимые случайные величины в формуле (3)

моделировались с помощью генерирующих формул B.W. Chambers и др. (1986). Для логарифмически устойчивого поля оценка среднего потока имеет точность примерно 96%.

В главе 3 предложенный метод подсеточного моделирования применяется для анизотропной среды в случае, когда проводимость в точке изотропна, а корреляционная функция поля анизотропная. Предполагается, что масштабы корреляций удельной проводимости по различным осям различны. В изотропном случае вид корреляционной функции не влияет на эффективные коэффициенты. В этом случае статистическая информация исчерпывается знанием закона распределения и среднего значения поля <р и его дисперсии. Исследование анизотропного случая требует информации о виде корреляционной функции. В разделе 3.1 получены эффективные

виде а

' Т' ( (i_ 'У 1

ехр --—. Поле <р(х,т,) генерировалось независимо

коэффициенты для нескольких корреляционных функций. Предполагается, что проводящая среда, стратифицированна таким образом, что проводимость по координатам хих2 имеет одинаковые масштабы неоднородностей. Масштабы по осям х1,х2 равны /, =«,/, а по оси х, 12=а21. Одинаковые масштабы по двум осям рассматриваются только из соображений уменьшения громоздкости вычислений для того, чтобы избежать численного вычисления эллиптических интегралов, которые неизбежно возникнут при интегрировании корреляционных функций для трехмерных структур. Поле проводимости имеет логарифмически нормальное распределение вероятностей. Для определения эффективных коэффициентов необходимо вычислить интегралы

I

[¡V",,—!—.V,, ' .У,тЧ\Ф(х'-хп,1)с1х'Лх'. ** * — *1 * — *"

|х- X

16л-2 " |Х-Х'|

Основной вклад в коэффициенты ^ вносят градиенты корреляционной функции в направлениях х, . Чтобы получить представление о степени влияния вида корреляционной функции на эффективные коэффициенты, рассмотрены анизотропные корреляционные функции проводимости, полученные в экспериментальных работах. Рассматривалось три корреляционные функции:

Ф|(х-х,,/) = Ф(1ехр(-(а,2((х,г.х1)2+(х'2-л2)2) + аг22(.г,,-.г1)2)),

Ф2(х,/) = Ф„ехр

Ф, (X - *',/) = Ф„ X и, хигх щ,

Г (

и,(х-х\1) =

м3(х-х',/) =

21

21

21

, /=1,2.

21

' /

Ф4(х-х',/) =

и часто используемая инженерами прямоугольная аппроксимация корреляционных функций:

[ф„, \х,-х, ']<//<*„ / = 1,...,3, [ 0, | >//«,..

Анализ коэффициентов, вычисленных для различных корреляционных функций, показал, что для получения правильной оценки среднего потока можно пользоваться прямоугольной аппроксимацией корреляционной функции. В разделе 3.2 получены эффективные коэффициенты для вторых

статистических моментов градиента потенциала и потока в анизотропной среде. Для оценки вторых статистических моментов прямоугольная аппроксимация применима только в определенном диапазоне параметров. В разделе 3.3 сделана численная проверка полученных формул. Также как и в изотропном случае, задача решалась в единичном кубе с единичным скачком потенциала, и сг(1 = 1 . Расчеты делались для двух вариантов граничных условий. Вариант а) - граничные условия поставлены так, что поток направлен по оси у , вариант б) - поток направлен по оси г . Рассматривалось две модели среды. В первой модели коэффициент проводимости имеет крупные масштабы по осям х, у, а мелкие по оси -( а]/а2=0.25 ). Во второй модели коэффициент проводимости имеет крупные масштабы по оси г , мелкие по осям х, у { ах/аг- 4 ). Коэффициент проводимости моделировался нормальным случайным полем с корреляционной функцией

Ф, (х - х',т,) = (Ф0 / 1п 2)ехр[-[аг, (х -л')г + а, (у - /)2 + аг(: - г')2] / 22'-].

Численные расчеты показали, что для замены статистического усреднения усреднением по пространству при соотношениях «, / аг =0.25, а,/«2= 4, сетка 256x256x256 недостаточна, поэтому использовалось дополнительное усреднение по ансамблю Гиббса. Генерация коэффициента и решение задачи выполнялись восемьдесят раз с последующим доусреднением по пространству. Для локального потока проведено сравнение и с результатами, полученными по формулам обычной теории возмущений.

Рис. 4. 1 - теоретический результат для изотропного случая; 2 - теоретический результат для анизотропной модели; 3 - результат, полученный по обычной теории возмущений для анизотропной модели; * - обозначен результат численного моделирования в анизотропном случае; о - обозначен результат численного моделирования для изотропной модели

Интегралы, которые используются при расчете коэффициентов для обычной теории возмущений в первом порядке в анизотропной среде для оценки средних значений потока, вычисляются численно с помощью программы из СРС Program Library, Elsevier Science. На рис. 4 приведена зависимость

логарифма среднего потока в направлении оси г от числа масштабов. Модель среды: крупные масштабы по осям у, мелкие по оси г. Основной поток направлен по оси г . В этом случае относительная ошибка теоретической оценки самая большая - приблизительно 9%. В таблице 1 приведены численные значения среднего V. для описанного выше варианта расчета для анизотропной модели. Ошибка 1 это относительная ошибка теоретической оценки. Ошибка 2 это относительная ошибка обычной теории возмущений в первом порядке.

Таблица /

Кол.-во Числ. Теорет. Обыч. Ошибка 1 Ошибка 2

масштв одслиров. значение у. теория возм. у.

1 0.9051 0.8639 0.8374 4.54% 7.47%

2 0.8030 0.7464 0.6373 7.04% 20.63%

3 0.7069 0.6448 0.4330 8.78% 30.20%

Для остальных вариантов расчета относительная ошибка теоретических формул менее 5%. Ошибка оценки дисперсии градиента потенциала и потока для этого варианта расчетов по самой большой компоненте тензора составила 40%. Для остальных вариантов ошибка в пределах 30%. В главе 4 рассматривалось подсеточное моделирование конвективной диффузии в многомасшабных случайных средах. В разделе 4.1 приведена оценка средней скорости распространения фронта меченых частиц с логарифмически нормальным распределением пористости и проницаемости. В начальный момент времени в объем, заполненный чистой жидкостью, начинает поступать окрашенная жидкость. Поверхность раздела метится пассивными частицами, которые занимают начальные положения, затем перемещаются стационарным полем скорости. Поскольку жидкости физически одинаковы, то их скорость фильтрации удовлетворяет стационарному уравнению Дарси. Движение меченых частиц описывается уравнениями

¿х (23)

Цх^ф^х,), хД0) = х№

где хх - координаты к - й частицы, р - давление. Для коэффициентов проводимости ¿(х) и пористости ш(х) используется каскадная модель с

логарифмически нормальным распределением вероятностей и логарифмически устойчивым распределением. По определению поле пористости имеет естественные ограничения (т(х,1)^ -т„ для любого / в интервале /(,</<£ и 0<т(х)<1. Первое ограничение означает, что должен рассматриваться только консервативный каскад. Требование, чтобы все

значения поля были меньше или равны единице, удовлетворяется подбором параметров поля %(х,1), которое определяет все статистические свойства поля пористости в каскадной модели при заданном значении параметра т„. Корреляционные функции полей <р, х изотропны, однородны и дельта коррелированны по логарифму от масштаба:

(р(х,/Му,/,)) - (р(*,/))(р(у,/,)) = Ф" ((х - у)2)<У(1п/-1п/,),

{^(х,/,)) - <^г(х,/)) (^(у, )) = Ф^ ((х - у)2)^ (1п / - 1п /,), (24)

(«»(*,/МУ,/,)) - <?>(*,)> = Ф" ((х - У)2)<?(1п/ - 1п/,).

Поля проводимости, давления, пористости и смещения частиц представляются в виде (в дальнейшем номер частицы опускается):

е(\) = е(\,1) + е\х),

т(х) = т(х,1) + т\х), ^

р(х) = р(х,1)+ р\х), х(0 = х(г,/) + х',

где с(х,1) , ш(х,/) - крупномасштабные компоненты, полученные с помощью статистического усреднения е(х,1), т(х,1) по всем ^(х,/,),^(х,/,) при /, </. Предполагается, что параметр I мало отличается от /„, Д/ = / — /„ . Компоненты р(х,1), х(/,/) - статистические средние от давления и смещения, полученные при решении уравнений (23) с фиксированными крупномасштабными ¿-(х,/) , т(х,1) и случайными

мелкомасштабными частями. Подстановка (25) в уравнения и усреднение по мелкомасштабным компонентам приводит к уравнениям для надсеточных компонент

V, [е(х./)У,р(х,/)+ < с\х)Ч,рХх) >] = О,

В дальнейшем номер частицы опускается. Подсеточные уравнения имеют вид:

мх,/)

(27)

Л ш(х,/) ^ > т(х,1) У ' т(х,1) Л Используя те же предположения, что и в предыдущих главах, во внутренних точках области получены оценки

Переходя к пределу А/ -> 0 в разностных соотношениях, уравнения для эффективных коэффициентов (11п &!,

получили

1п / х ' 6 'Л ' £/1п/ 6 "

г^С).

(29)

£/1гш,|( сЛп/

= Ф Iх (I).

Получена оценка статистической дисперсии скорости меченых частиц с логарифмически нормальным распределением проводимости и пористости:

3А"и

Е

Л

ш

¿(/.ОУ

л

где П = -2Ф7/3-Ф«+4Фу*/3 , П,=2(«/>)+ Ф^/З-Ф" , Е - единичная

матрица, а матрица А равна матрице (16). В разделе 4.3 получена оценка средней скорости распространения фронта меченых частиц и ее статистической дисперсии с логарифмически устойчивым распределением пористости и проницаемости. В точках (х,,/), поля определяются через

суммы случайных независимых величин, имеющих устойчивые распределения с одинаковыми параметрами а, /?= I, /у = 0, <т = 1 (форма А, Золотарев, 1983 )

✓ Ч 1 /<У

«»(*/.') =

2(<Уг1п2)" фв

(30)

ч2(<Уг1п 2)"'

где / = 2', ёт - шаг дискретизации по логарифму от масштаба, 0 < г < I. Для логарифмически устойчивого распределения вероятностей пористости и проводимости эффективные параметры ¿-'„^„т,,, удовлетворяют уравнениям

({1П/ ' У к >г

(IIП

¿ы

с!\пт,,

(1-2"')

6сов(«л'/2)

2(1 - 2"') +3 ?

-1--£ф

6соз(ал-/2) 3 у '

С05(«Л-/2)

Дисперсия поля скоростей частиц в

й1п/

где ФГ=(^/Ф

масштабно-инвариантной среде оценивается по формулам

зи

А-Е

Ж

Ми) (¡с

(32)

где матрица А равна матрице (20). В разделе 4.4 проведена численная проверка теоретических формул. Теоретические оценки сравниваются с результатами численного моделирования и результатами, полученными по обычной теории возмущений. На рисунке 5 приведен логарифм средних значений скорости фронта П = ^2(с1у / Ж) для логарифмически нормального

распределения коэффициентов. По оси абсцисс отложено количество используемых в модели масштабов. Проверялась формула (29). Основной поток направлен по оси у .

Рис. 5. 1 - логарифм эффективной средней скорости частиц; 2 результат, полученный по обычной теории возмущений; * - результат численного моделирования

Численное моделирование показало, что оценки, полученные с помощью эффективных коэффициентов, имеют ошибку примерно 8% и значительно ближе к результатам численного моделирования, чем оценки, полученные по обычной теории возмущений.

В главе 5 метод подсегочного моделирования использовался для квазистационарных уравнений Максвелла. Получены оценки влияния мелкомасштабных неоднородностей на средние значения напряженностей электрического, магнитного полей и плотности тока. Оценивается статистическая дисперсия этих полей. При индукционном каротаже электромагнитное поле возбуждается монохроматическим источником, а в области высоких частот для длинных зондов условия квазистационарности выполняются с высокой точностью. Поэтому рассматривалось квазистационарное приближение уравнений Максвелла для монохроматических полей Ё(х,?) = Ке(Е(х)е""),Н(х,/)= Кс(н(х)е-""') . При отсутствии сторонних токов:

го1Н (х) = <т(х)Е(х), (33)

го1 Е = ¡а>рП,

где Н и Е - векторы напряженности магнитного и электрического полей с комплексными компонентами, ¡л - постоянная магнитная проницаемость, <т(х) - удельная электропроводность, <о - циклическая частота. Вне

конечного объема V с достаточно гладкой поверхностью удельная электропроводность постоянна и задано электромагнитное поле, возбуждаемое генераторной катушкой (петля или магнитный диполь). На границе Я непрерывна напряженность магнитного поля и касательные компоненты вектора электрического поля. Электропроводность <т(х)

описывалась моделью (2) с логарифмически нормальным распределением вероятности. Корреляционная функция поля проводимости однородна, изотропна и дельта-коррелированна по масштабу. В разделе 5.1 усреднением исходных уравнений по мелкомасштабной компоненте получена система надсеточных уравнений:

гоМ (*,/) = <т(х,/)Е(х,/)+ (сг' Е'), гогЕ(х,/) = ;Уу/УН(Х,/). И с точностью до членов второго порядка малости по /„, А/ = / — /„ получена подсеточная система уравнений:

го/Н' = 0-(х,/)Е'+<т'Е(х,/), го№ = юцЛ\'.

Используя решение уравнений, (35) во внутренних точках области получена оценка подсеточного члена в системе уравнений (34)

(<т'(х)Е1(х)>«-1ф0а(х,/)Е(х,/)^ + |л2рФ(л/)й-^(х./)Е(х,/), (36)

где к1 =/'й>//<т(х,/), к = (1+ /')Л/®//сг(х,/)/2 , ЯеА >0, 1т/: > 0.

Интегральный член в выражении (36) имеет порядок I) , где £ -максимальный масштаб неоднородности, поэтому интегральный член много меньше первого члена в равенстве (36) и при условии, что , им

можно пренебречь. Это условие выполняется в широком диапазоне частот для задач индукционного каротажа. Подставляя оценку (36) в уравнения (34) и переходя к пределу при А/ —> 0, получим уравнения для крупномасштабных компонент с эффективными коэффициентами

го1Н(х,1) - аыехр

' 1

Е(х,/),

го/Е(х,/) = ;'й^Н(х,/), (37)

<Лп/ 6 ; ^ '

В разделе 5.2 при этих же условиях получены эффективные коэффициенты для оценки вторых статистических моментов напряженности электрического поля и плотности электрического тока. Для компонент первого тензора корреляций получена оценка

( Е, (х)Е,, (х)) * Е„ (х,/)Е„ (х,/) + 2/с,2 ¡-е-'к''Ф(г,/)зт( ¿.г^Е, (х,/)Е„ (х,/)—

1 08)

Ф„ - — Л,2 ^''Ф^фЦ*,/-)^

15 " 15

+— 15

где черта означает комплексное сопряжение. Для компонент второго тензора ковариаций получена оценка

( Е„ (х)2) 8 Е„ (х,/)2+ ;)к ,г + 4;)ф(г,/)</,Е„ (х,/)2-

3 " ' <39)

Ф„ - к^е*-*" ((1 + /)* ,г + 4/)ф(г,/)йг + 2^,)Е/( (х,/)2 у. о \ I

В формулах (38), (39) интегралы малы, если выполняется условие

Через компоненты первого и второго тензоров компонент

ковариаций выражаются вторые статистические моменты реальной и мнимой частей напряженности электрического поля. В масштабно-инвариантной среде вторые статистические моменты реальных и мнимых компонент электрического поля удовлетворяют линейной системе

1 (I ТФ"(/)/3

А\у(х,/). (40)

Уравнению (40) удовлетворяют и ковариации действительной и мнимой частей электрического поля. В этом случае 1с1(х) = ^Яе£,.(х)[ш£',(х)^ .

Матрица А равна матрице (16). Подобные оценки получены и для поля плотности тока. В разделе 5.3 проведена проверка полученных теоретических формул с помощью численного моделирования. Электромагнитное поле предполагается гармоническим по времени. На проводящую среду действует переменное магнитное поле с циклической частотой со. Задача решается в безразмерных переменных в единичном кубе с 0-„ = 1 ■ Напряженность внешнего магнитного поля имеет вид:

Н = (о,//г(г),о), Я,.(г) = 1 при г=0. В безразмерном виде уравнения имеют

вид:

гогН(х) = ^(х)Е(х), гогЕ(х) = /*,Н(х),

где А, = Поле проводимости моделируется мультипликативным

консервативным каскадом (21), с корреляционной функцией (22) при

значениях параметров Ф„ =0.3, ((/>) = 0.15, к, =6\[2 . В модели использовано

три масштаба / = 1/64,1/32,1/16 . Вне куба и на границах куба

напряженность магнитного и электрического полей задаются по формулам

Н=схр(-к.Лг)схркк.&), // =Н. = 0

1 ' V ; ' (42)

Ех =ехр(-А,л/2г)ехр(|*1>/2г-?г/4), £,. = £. =0.

Используется квадратная сетка с постоянным шагом, число точек 256x256x256 . Для получения численного решения использовался метод,

основанный на конечно-разностной схеме, предложенной в работе В.И Лебедева (1964) и метод декомпозиции 8. Оауус1ус11еуа и др. (2003). Задача решается 8 раз на сетке 128x128x128. Затем собирается общее решение. Для решения линейной системы уравнений, полученных после дискретизации задачи, использовался итерационный метод для самосопряженного оператора с произвольным спектром БУММИЗ, .(. \1odersitzIci и др. (2000). Для получения усредненных решений усреднение проводилось по плоскостям {х,у) и по ансамблю Гиббса (использовалось 16 реализаций).

Выведенные выше эффективные решения сравниваются с результатами, полученными по обычной теории возмущений, если в борновском разложении учитывается только второе слагаемое, которое описывает однократно рассеянное поле (В.И. Татарский др. (1978)). На рис. 7, 8 приведены действительные и мнимые компоненты напряженностей электрического и магнитного полей, на рис. 9 действительная и мнимая компоненты плотности тока. Цифрой 1 обозначен результат, полученный для борновского приближения в первом порядке; 2 - эффективное решение, 3 - результат, полученный численным моделированием.

Рис. 8. Напряженность магнитного поля

Рис. 9. Плотность тока

В масштабно инвариантной среде частота эффективного решения степенным образом зависит от масштаба сглаживания. Толщина скин-слоя но сравнению с невозмущенным движением увеличивается, поскольку в среде с многомасштабными неоднородностями сопротивление среды возрастает.

Основные результаты и выводы

1. В работе предложена новая континуальная модель гетерогенной среды, использующая мультипликативные каскады. Это позволило промоделировать многомасштабность и перемежаемость флуктуаций физических параметров в среде и построить модели среды, пригодные для прямой численной проверки точности полученных в этой среде

эффективных коэффициентов. При моделировании физических параметров вводится непрерывная зависимость от масштаба сглаживания. Континуальная модель построена для логарифмически нормального распределения вероятностей параметров среды и обобщена на некоторые случаи логарифмически устойчивых распределений. Показано, что в такой модели корреляционные функции масштабно-инвариантных скалярных полей степенным образом зависят от радиуса корреляции в области масштабного подобия.

2. Предложен новый метод оценки влияния мелкомасштабных флуктуаций параметров на средние значения физических величин (скорость фильтрации, плотность тока, напряженности электрического и магнитного полей и т.д.), если параметры среды имеют флуктуации многих масштабов и о них известна лишь статистическая информация. Исследуемые параметры и физические поля разделяются на две компоненты: мелкомасштабную и крупномасштабную по отношению к некоторому разделительному масштабу. Затем выводятся уравнения движения только для плавных компонент полей, которые зависят от конкретных деталей задачи. Эффективные коэффициенты в этих уравнениях учитывают влияние мелкомасштабной случайной компоненты. Для эффективных коэффициентов как функций от масштаба, строятся дифференциальные уравнения.

3. На основе описанного выше подхода получены эффективные уравнения для крупномасштабных компонент потенциала, потока и вторых статистических моментов градиента потенциала и потока в стационарной задаче переноса в многомасштабных изотропных средах. Коэффициент проводимости моделировался непрерывным мультипликативным каскадом. Проводимость среды имела логарифмически нормальное распределение. Формулы получены и для некоторых случаев логарифмически устойчивого распределения (параметры распределения 1 <а < 2, р = 1).

4. Получены формулы для эффективных коэффициентов в стационарной задаче переноса в многомасштабных анизотропных средах, в случае, когда проводимость в точке изотропна, а корреляционная функция поля - анизотропная. Как правило, реальные пласты вследствие, слоистости обладают анизотропией именно такого рода. Показано, что эффективные коэффициенты зависят в основном от масштаба корреляций по различным координатным осям и очень слабо - от вида корреляционной функции.

5. Теоретические формулы проверены численным моделированием трехмерных задач. Результаты численного моделирования сравниваются с результатами, полученными по обычной теории возмущений в первом порядке. Расчеты проводились для статистических параметров в диапазоне, полученном в натурных и лабораторных экспериментах. В изотропном случае получено хорошее соответствие теоретического результата численному результату. Точность оценок около 97% для усредненного

потока и 80% - 90% для вторых статистических моментов. Значительно худшую точность дает результат, полученный по обычной теории возмущений. Расчеты проводились для логнормальной и логарифмически устойчивой моделей. В анизотропной среде метод дает хорошую точность для оценки потока в крупномасштабном пределе (около 80%). В самом плохом варианте (поток направлен в сторону наибольшего градиента проводимости) оценка дисперсии компоненты градиента потенциала в направлении потока имеет точность 60%.

Получены оценки влияния мелкомасштабных неоднородностей на средние физические величины в задаче конвективной диффузии. Мультипликативными каскадами моделируются коррелированные поля проводимости и пористости. Получены эффективные уравнения для оценки средних координат фронта диффузии, для оценки средней скорости фронта и дисперсии скорости фронта. Изотропные поля проводимости и пористости имеют логарифмически нормальное или логарифмически устойчивое распределение вероятностей. Если среда масштабно-инвариантна, то эффективные коэффициенты пористости и проводимости степенным образом зависят от масштаба сглаживания. Теоретические оценки проверены численным моделированием трехмерной задачи. Проведено сравнение теоретических результатов с численными результатами и с результатами, полученными в рамках обычной теории возмущений в первом порядке для логнормальной теории. Численное моделирование показало, что эффективные оценки дают хорошую точность (93%-97%) для оценки средних координат фронта, средней скорости фронта и дисперсии скорости фронта.

6. Получены оценки влияния мелкомасштабных неоднородностей на средние значения электромагнитных полей для квазистационарных уравнений Максвелла, при условии, что масштаб самых крупных неоднородностей много меньше размеров скин-слоя. Получены уравнения для эффективных коэффициентов в зависимости от масштаба сглаживания. Показано, что в масштабно инвариантной среде частота эффективного решения степенным образом зависит от масштаба сглаживания. Теоретические формулы проверены с помощью численного моделирования трехмерной задачи. Показано, что эффективное решение имеет значительно более высокую точность оценки средних электромагнитных полей, средней плотности тока и их одноточечных моментов, чем приближенные формулы борновского разложения в первом порядке.

Автор выражает искреннюю благодарность научному консультанту академику РАН Борису Григорьевичу Михайленко за оказанную поддержку и постоянное внимание к работе и академику РАН Михаилу Ивановичу Эпову за консультации по проблемам геоэлектрики.

Список публикаций по теме диссертации

1. Kuz'min G .A., Soboleva О. N. Conformal symmetric model of the porous media// Applied Mathematics Letters. - 2001 - Vol. 14.-.P. 783-788.

2. Kuz'min G A., Soboleva О N. The Renormgroup Model for Fluid Flow Through the Fractal Porous Media // EAGE/SEG Research Workshop on 'Reservoir Rocks', PAU, France 30 April-3 May - 2001 - Extended abstracts book. - PAU46, P. I - 4.

3. Кузьмин Г.А., Соболева О.Н. Крупномасштабные флуктуации давления жидкости при течении во фрактальной пористой среде // Вычислительные технологии. - 2001. - Специальный выпуск, Т.6. - С. 388-395.

4. Кузьмин Г.А., Соболева О.Н. Моделирование фильтрации в пористых автомодельных средах // Прикладная механика и техническая физика. - 2002. - Т.43, №4. - С. 115-126.

5. Кузьмин Г.А. , Соболева О.Н. Моделирование фильтрации и вытеснения жидкости в пористых автомодельных средах // Труды школы-семинара «Физика нефтяного пласта». - 2002. - Новосибирск. -С. 151-158.

6. Кузьмин Г. А. , Соболева О. Н. Вытеснение жидкости в пористых автомодельных средах // Физическая мезомеханика.- 2002. - Т.5, №5. -С. 119-123.

7. Kuz'min G.A., Soboleva О. N. Pollution transport in the scale-invariant porous media // Proceedings of the International Conference on Computational Mathematics. - Novosibirsk: ICM MG, SB RAS. - 2002. -P. 586-591.

8. Кузьмин Г. A. , Соболева О. H. Метод ренормгруппы для фильтрации и дисперсии во фракталях II Труды конференции: Математические методы в геофизике - Новосибирск: Изд. ИВМ и МГ, 2003.- Т. 1.-С. 112-118.

9. Kurochkina Е. P., Soboleva О. N. Numerical simulation of the two -phase displacement in a scale-invariant porous medium // Труды конференции: Математические методы в геофизике.- Новосибирск: Изд. ИВМиМГ, 2003. - Т. I,- С. 119-124.

10. Буловятов А.Н., Соболева О.Н. Фильтрация и вытеснение жидкости вблизи скважины в пористой многомасштабной среде // Труды конференции: Математические методы в геофизике. - Новосибирск, Изд. ИВМ иМГ, 2003.-Т. 1.-С. 176-182.

11. Курочкина Е.П., Соболева О.Н., Эпов М.И. Численное моделирование движения двухфазной жидкости в пористой фрактальной среде // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. - 2004. - №5. - С. 60-68.

12. Kuz'min G.A., Soboleva О N. Subgrid modeling of filtration in a porous medium with multiscale log-stable permeability // Monte Karlo methods and application. - 2004. - № 3-4. - P. 369-376.

13. Kuz'min G.A., Soboleva O. N. flow through a porous medium with multiscale log-stable permeability // Proceedings of institute of mathematics ofNAS of Ukraine. - 2004. - Vol. 50, part 3. - P. 1396-1403.

14. Kurochkina E. P., Soboleva O. N. Numerical Simulation of Replacing Oil by Water in a Scale-Invariant Porous Medium // Proceedings of institute of mathematics ofNAS of Ukraine. - 2004. - Vol. 50, part 3. - P. 1390 -1395.

15. Соболева O.H. Эффективные коэффициенты проводимости в пористой среде с логарифмически устойчивой статистикой // Прикладная механика и техническая физика. - 2005. - Т. 46, №6. - С. 145-158.

16. Кузьмин Г.А. , Соболева О.Н. Подсеточное моделирование фильтрации и дисперсии во фрактальной пористой среде // Сибирский журнал индустриальной математики. - 2005. - Т. 8, №2(22).-С. 124-134.

17. Soboleva О N. Large-scale fluctuations of pressure in fluid flow through porous medium with multiscale log-stable permeability // Computational Science - ICCS 2005, Atlanta, USA. - Eds. V. S. Sunderam et. all: LNCS 3516, Springer-Verlag. - P. 9-16

18. Soboleva O.N. Large-scale fluctuations of velocities in fluid flow through a porous medium with multiscale log-normal conductivity and porosity // WSEAS Transactions on Applied and Theoretical Mechanics. - 2006. -Issue 1, Vol. l.-P 77-84.

19. Soboleva O.N. Filtration and dispersion in a porous medium with multiscale conductivity and porosity // Proceeding of the International Conference on Applied and Theoretical mechanics (Mechanics'06). -

2006. - Venice, Italy, 20-22-November. - P. 142-147.

20. Курочкина Е.П., Соболева O.H., Эпов М.И. Эффективные коэффициенты в квазистационарных уравнениях Максвелла с многомасштабной случайно-неоднородной электропроводностью // Докл. РАН. - 2007. - Т. 413, №6. - С. 820-825.

21. Курочкина Е. П., Соболева О. //., Эпов М. И. Электрический каротаж в многомасштабной среде с логарифмически нормальной электропроводностью // Геология и геофизика. - 2007. - №10. - С. 1096-1105.

22. Kurochkina Е.Р., Soboleva O.N. Effective coefficients in anisotropic porous medium with multiscale log-normal conductivity // Proceeding of WSEAS International Conference Applied and Theoretical Mechanics. -

2007. - Spain, Puerto De La Cruz. - P. 33-38.

23. Epov M.I., Kiirochkina E.P., Soboleva O.N. Resistivity logging in a multiscale isotropic porous medium with log-normal distributed conductivity // Письма о физике элементарных частиц и атомного ядра. - 2008. - Т. 5, №3(145). - С. 387-393.

24. Курочкина Е.П., Соболева О.Н. Подсеточное моделирование для квазистационарных уравнений Максвелла // Труды научного конгресса «ГЕО-Сибирь», 2008. - Новосибирск. - С. 228-232.

25. Соболева О.Н., Курочкина Е.П. Эффективные коэффициенты для задачи гидродинамической дисперсии с фрактальной проводимостью и пористостью // Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании. -Вестник КАЗНУ им. Аль-Фараби, Алматы, серия математика, механика, информатика. - 2008. - №4(59). - С. 184- 191.

26. Soboleva О. N., Kurochkina Е. P. Flow through anisotropic porous medium with multiscale log-normal conductivity // Journal of Porous Media (принята в печать).

27. Соболева О. Н., Курочкина Е. П. Подсеточное моделирование процессов протекания в анизотропной фрактальной среде // Прикладная механика и техническая физика (принята в печать).

Подписано в печать 23.03.2009 г. Формат 60x84 1/16. Офсетная печать. Уч.-изд. л. 2. Усл.-печ. л. 1,86. Тираж 80 экз.

Заказ № 150

Редакционно-издательский центр НГУ. 630090, Новосибирск-90, ул. Пирогова, 2.

Список обозначений.

Введение.

Глава 1. Моделирование физических параметров в многомасштабной неоднородной среде.

1.1. Построение непрерывного мультипликативного каскада

1.2. Логарифмически нормальная модель поля.

1.3. Логарифмически устойчивая модель поля.

Глава 2. Подсеточное моделирование процессов переноса в изотропной многомасштабной среде.

2.1. Эффективные коэффициенты при логнормальном распределении вероятностей поля проводимости

2.2. Оценка вторых статистических моментов при логнормальном распределении вероятностей поля проводимости

2.3. Эффективные коэффициенты при логарифмически устойчивом распределении вероятностей поля проводимости.

2.4. Оценка вторых статистических моментов с логарифмически устойчивым распределением вероятностей проводимости

2.5. Численное моделирование.

Глава 3. Подсеточное моделирование в анизотропных многомасштабных средах.

3.1. Эффективные уравнения в анизотропной многомасштабпой среде с логарифмически нормальным распределением вероятностей поля проводимости.

3.2. Оценка вторых статистических моментов в анизотропной многомасштабной среде с логарифмически нормальным распределением вероятностей поля проводимости

3.3. Численное моделирование.

Глава 4. Подсеточное моделирование дисперсии фильтрационного потока в многомасшабных случайных средах.

4.1. Эффективные уравнения распространения фронта меченых частиц с логарифмически нормальным распределением пористости и проницаемости

4.2. Оценка статистической дисперсии средней скорости распространения фронта меченых частиц с логарифмически нормальным распределением пористости и проницаемости

4.3. Эффективные уравнения с логарифмически устойчивым распределением пористости и проницаемости.

4.4. Численное моделирование.

Глава 5. Подсеточное моделирование для квазистационарных уравнений Максвелла.

5.1. Эффективные уравнения с логарифмически нормальным распределением проводимости.

5.2. Оценка вторых статистических моментов плотности электрического тока и напряженности электрического поля.

5.3. Численное моделирование.

Современная геофизика вышла за рамки традиционной горизонтально - слоистой однородной модели среды. Общепринята точка зрения, согласно которой неоднородность среды оказывает существенное влияние на процессы распространения жидкости, тепла, электрического тока, волн и т.д. В большинстве геофизических задач крупные неоднородные включения (пласты, пропластки) учитываются в модели непосредственно с помощью граничных условий. Такие задачи широко используют численные методы. Прогресс в этом направлении при современных темпах роста вычислительных возможностей представляется неограниченным. Однако и здесь имеются принципиальные трудности, если ограничиться непосредственным расчетом физических величин в средах достаточно сложной структуры. Поэтому одна из фундаментальных задач при изучении неоднородных сред касается математического моделирования, включающего малые масштабы. Эта задача возникает, например, в молекулярной динамике, турбулентных течениях и в задачах протекания тепла, электрического тока, жидкости в многомасштабных неоднородных средах. Основные уравнения для таких явлений как уравнения Шрёдингера, Максвелла, фильтрации, упругости или уравнения Навье-Стокса могут быть очень точными моделями для реальных явлений, но требуют больших вычислительных затрат из-за вариаций коэффициентов всех масштабов. Если учитывать малые масштабы, то даже компьютеры с большой мощностью не способны решить эти уравнения с достаточной точностью. Традиционный подход для преодоления этой трудности - найти упрощающие модели, требующие меньшего количества вычислительных затрат, решение которых для физических величин, например, для скорости, напряженности электрического поля и т.д. близко в среднем к решению первоначальной полной задачи. Построение таких более простых моделей, правильно описывающих поведение решения в крупномасштабном пределе, называется подсеточным моделированием. Естественным подходом для поиска подсеточной модели может быть усреднение полных уравнений по мелкомасштабной компоненте. Такой метод был использован при моделировании турбулентности Рейнольдсом в девятнадцатом столетии и привел к упрощенным уравнениям, включающим так называемые напряжения Рейнольдса, которые и являются подсеточными членами в уравнениях Навье-Стокса . Много усилий было приложено, чтобы решить аналитически эту классическую задачу и найти выражение для напряжений Рейнольдса в крупномасштабном пределе . Но до сих пор удовлетворительное решение для всех случаев не найдено. Наиболее известна в теории турбулентности - подсеточная модель Смагорин-ского [1]. Влияние малых масштабов на физические величины изучалось и в подземной гидродинамике. В середине семидесятых годов прошлого столетия появилась новая область исследований в геодинамике и подземной гидродинамике - стохастическое моделирование потока и переноса. При исследовании явлений переноса в неоднородной среде мелкомасштабные неоднородности неизвестны. Их учитывают в рамках статистических моделей [2], [3], [4] с помощью эффективных коэффициентов. Эффективные характеристики системы, найденные для одной задачи, могут оказаться непригодными для другой задачи, решаемой для той же системы. Если масштаб неоднородности сравним с размерами области решения системы, эффективная проводимость зависит не только от свойств среды, но и от размеров области и типа условий на ее границе [5]. В этом случае эффективные характеристики зависят от условий задачи в целом и должны определяться в каждом отдельном случае. Краевые условия мало влияют на эффективные характеристики (за исключением возможно узкой приграничной зоны), если задачи решаются в достаточно большой области по сравнению с размером неоднородностей. Но тогда эффективные коэффициенты должны, так или иначе, зависеть от всех параметров случайного поля, например, от всех моментов случайного поля. Самым простым способом вычисления эффективных коэффициентов является использование теории возмущений, когда решения представляются в виде разложения в ряд от величины возмущения коэффициента в уравнении, рассматриваемой как малый параметр. Последующее почленное усреднение полученных рядов при заданной статистике флуктуации коэффициентов (обычно нормальной или логнормальной) позволяет вычислить средние величины физических величин, например скорости или плотности тока и т. д., и тем самым найти эффективные коэффициенты в том или ином приближении теории возмущений в виде ряда по степеням дисперсии флуктуаций коэффициентов. Подобный подход называется простой теорией возмущений [2], [3], [6] . В рамках подобного подхода приходится ограничиваться только низшими приближениями теории возмущений вследствие возрастания трудностей при переходе к высшим приближениям и вопрос о сходимости ряда остается открытым. В связи с оценкой роли высших возмущений в работе [7] для стационарной задачи переноса было высказано предположение, что низшие приближения теории возмущений представляют собой первые члены разложения в ряд Тейлора и зависимость эффективного коэффициента проводимое™ от дисперсии логарифма проводимости В\па в пространстве размерности (I имеет вид где ад = ехр < 1п <т > - среднее геометрическое значение коэффициента проводимости. Эта формула в одномерном случае для логнормального распределения является точной. В двумерном случае Матероном была получена формула aeff = ад- В трехмерном случае Ландау и Лифшицем [8] на основании общих феноменологических соображений была предложена формула erg —< сг1/3 >3. Все эти случаи для логнормального распределения согласуются с гипотезой (0.1), которая получила название формулы Ландау-Лфшица-Матерона. Расчеты по теории возмущений с учетом членов иордяка D\ncT не противоречат формуле Ландау-Лфшица-Матерона. Однако имеются указания на ее нарушение в более высоких приближениях [9], [10]. Попытки суммирования всего ряда теории возмущений связаны с методами заимствованными из квантовой теории поля [11], [12]. В частности, вместо собирания членов одного порядка малости, применяемого при построении ряда в рамках обычной теории возмущений, осуществляется переход от дифференциального уравнения для функции Грина к интегральному, иттерационное решение которого воспроизводит ряд теории возмущений [13]. При таком подходе нетрудно выявить структуру произвольного члена ряда. Элементам этой сруктуры можно однозначно поставить в соответствие некоторые графические символы - диаграммы Феймапа и в дальнейшем осуществлять анализ ряда на языке Фейманов-ских диаграмм [13], [14], [15]. В рамках этого подхода удается осуществить суммирование диаграмного ряда и получить уравнение Дайсона, в которое входит некоторый новый элемент, называемый оператором собствен

0.1) ной энергии ( в приложении к другим задачам его иногда называют поляризационным оператором). Использование теории возмущений уже для оператора собственной энергии, последующая его подстановка в уравнение Дайсона и решение полученного уравнения соответствует суммированию некоторой бесконечной последовательности полного ряда - суммирование одночастично-неприводимых диаграмм. Этот подход называется частичным суммированием ряда теории возмущений. Результаты большого количества работ, посвященных этой теме, приведены в книгах [16], [17], [18], а также в обзорах и статьях [19], [20], [21]. Улучшение теории возмущений связано также с методами ренормализационной группы [11], [22], [23], [24], [25]. Существует некоторая дополнительная группа преобразований симметрии, не связанная непосредственно с формой дифференциальных уравнений, а вытекающая из произвола в способе задания начальных и граничных условий задачи. Совокупность оставляющих инвариантным решение задачи преобразований, описывающих переход от одного способа задания начальных или граничных условий к другому, образует группу симметрии, называемую ренормализационной группой. В работах [26], [27] авторы применили метод ренормализационной группы для дальнейшего улучшения теории возмущений в стационаром уравнении Дарси, когда оператор собственной энергии определяется не в низшем приближении теории возмущений, а является решением некоторого уравнения, соответствующего теории самосогласованного поля. Формула Ландау - Лифшица -Матерона для эффективной проницаемости в рамках строгой полевой ренормализационной группы Вилсопа [11] вычислена в работах, [28], [29]. В работах [28], [29] анализируются предыдущие работы по полевой ренормализационной группе (РГ). В частности, упоминаются аргументы книги [30], согласно которым методы ренормализационной группы частично учитывают высшие порядки теории возмущений и должны улучшить точность получаемых формул. Такие же аргументы применимы и для подсеточного моделирования. Теоретические оценки в приведенных выше работах получены только для средних значений физических величин, таких как скорость, давление, потенциал. Статистическая дисперсия этих величин не оценивалась.

В девяностые годы новые подходы в задаче подсеточного моделирования были развиты на основе динамической численной подсеточной модели в задачах турбулентности, впервые введенной Джермано и др. [31], [32].

В этом подходе ищется подсеточная модель для конкретных данных. Сначала на разных вычисляемых (достаточно крупных) масштабах численно ищется решение с хорошей точностью. Затем, используя эти решения, пытаются найти формулы экстраполяции решения от масштаба к масштабу, чтобы затем применить их для учета мелких масштабов. При этом принимается во внимание зависимость коэффициентов от начальных данных и граничных условий .

Эффективные параметры для уравнений с периодическими коэффициентами построены в книге [33]. В книге рассмотрены математические модели задач теории упругости, теплопередачи, переноса энергии излучением и распространения волн в микронеоднородных материалах, диффузии и фильтрации в пористой среде; получены континуальные модели решетчатых конструкций. Итогом проводимых построений, в частности, являются математически обоснованные алгоритмы определения средних и локальных характеристик сред на основании информации об их микроструктуре. Задачи решаются для композиционных материалов.

Для того, чтобы иметь основания применить метод динамического под-сеточного моделирования или применить метод перенормировок Вилсона, необходимо, чтобы задача, в некотором интервале масштабов, включая малые масштабы, имела некоторую "масштабную регулярность". Метод репормализационной гуппы использует свойство независимости функциональной формы решения от способа задания начальных или граничных условий. Это свойство получило название функциональной автомодельпо-сти, оно является обобщением свойства масштабного подобия и связанного с этим подобием метода размерного анализа. В отличие от свойства масштабного подобия, заключавшегося в неизменности формы решения при растяжении координат (изменении масштаба), при функциональной авто-модельности имеет место неизменность формы решения при растяжении координат и соответствующей перенормировке некоторых числовых параметров задачи. В подсеточном моделировании масштабная регулярность нужна, например, для того, чтобы опыт, приобретенный при решении задачи на грубых масштабах с хорошим численным решением, можно было использовать для более мелких масштабов. Многие задачи, включающие область масштабов от маленьких до больших, например, задачи, связанные с течениями при больших числах Рейнольдса в неоднородных пористых средах и т.д., фактически имеют такую регулярность. "Масштабная регулярность" проявляется в том, что коэффициенты имеют фрактальную природу и решение задачи в некоторой степени наследует фрактальные свойства. Разброс по величине физических параметров в средах с многомасштабными неоднородностями увеличивается при измельчении интервала измерений, поэтому физические параметры могут испытывать сильные случайные пространственные флуктуации (явление перемежаемости). Для моделирования физических величин с таким поведением используются мультифрактали [34],[35], [36],[37], [38], [39], [40], [41], [42], [43], поскольку оказалось, что они хорошо описывают эмпирические данные в различных геофизических задачах.

Для анализа электропроводности, проницаемости и других массобмен-ных процессов в неупорядоченных средах широко используются также решетчатые модели, свойства которых анализируются на основе теории пер-коляции. Достаточно подробный обзор этих работ можно найти в [44], [45], [46]. В задаче протекания среда моделируется случайной системой связей, по которым может протекать жидкость, примесь либо электрический ток. В некоторых случаях построенная искусственная среда (фрактал) качественно напоминает реальную неоднородную среду и моделирует ее некоторые свойства. Фрактал характеризуется системой геометрических параметров, например, размерностями [47]. Интересы теории протекания связаны с изменением свойств неоднородных систем в окрестности точки фазового перехода "проводник - изолятор", изучением топологии проводящих и непроводящих областей - кластеров. Методы теории перколяции важны для изучения несмешиваютцихся жидкостей в окрестности критических на-сьпценностей, для которых характерно разрушение бесконечного кластера.

Интерес к задачам аномальной диффузии привел к появлению большого количества работ работ, посвященных рассмотрению как субдиффузионных процессов, наблюдаемых при броуновском движении , при переносе в пористых системах [48], [49] , так и процессам супердиффузии, возникающих при блуждании в неоднородном поле скоростей [50], [51], [52], [53]. Для решения проблемы аномальной диффузии применяются различные методы, основные на обобщении броуновского движения, использующие уравнение Ланжевена , обобщенное уравнение Ланжевена, основанные на обобщении обыкновенного уравнения диффузии , на использовании статистической термодинамики, с применением метода Монте-Карло, а также основанные на модели скачкообразного случайного процесса, более известного в западной литературе под аббревиатурой CTRW (Continuous Time Random Walk). Выбирая в этой модели степенное распределение пробегов и времен покоя частиц, в этих работах показано, что такой процесс блужданий описывается уравнениями в дробных производных. В связи с этим появился большой интерес к уравнениям в дробных производных, стали интенсивно развиваться методы их решения. Нахождение пространственного распределения частиц сводится к вычислению обратного преобразования Фурье-Лапласа, что не всегда возможно сделать. Однако, что изучение аномальной диффузии на основе модели скачкообразного случайного процесса получило большое распространение. Модель скачкообразного случайного процесса оказалась довольно простым, и довольно мощным инструментом изучения аномальной диффузии, который помогает лучше понять что происходит в реальности [54].

Извлечение нужной геофизической информации при использовании дробных производных и перколяционных моделей - не простая задача, поскольку дистанция между измеряемыми геофизиками величинами и параметрами, используемыми в этих теориях достаточна велика.

В настоящей работе при подсеточном моделировании эффективных коэффициентов в уравнениях для крупномасштабных компонент использованы идеи ренормгруппы Вилсона [11]. Используется континуальный подход, в котором физические параметры задачи моделируются мультипликативными каскадами. Цель работы: создать новые методы определения эффективных параметров в уравнениях движения в среде с мелкомасштабными неоднородностями, если о флуктуациях параметров среды имеется, лишь статистическая информация. Особенностями рассматриваемых задач является многомасштабность и перемежаемость вариаций параметров в среде.

Бесконечные мультипликативные каскады, введенные впервые Колмогоровым [55], ведут к крайне неоднородным множествам - мультифрак-талям. Впервые каскады Колмогоров ввел в 1941 г. [56] для прикладной задачи о распределении частиц при дроблении. Процесс дробления моделировался как каскад с автомодельным механизмом последовательного измельчения частиц, что привело к логнормальному распределению их раз

1=21 £0М(1,1)

Е0\л/(1 ,1 )\л/(2,1) ц=2

80\Л/(1,2)\/У(2,4)

6^1,1 №,2) 8^(1,2^(2,3)

Рис. 0.1. Схема мультикапликативного каскада. Статистическое среднее е(г,]) равно £0 на каждом уровне. меров. В том же году Колмогоров определил скейлинговые свойства турбулентности в несжимаемой жидкости при больших числах Рейнольдса [57]. Усовершенствованная гипотеза подобия в турбулентности сформулирована Колмогоровым в [55]. Задачи моделирования развитой турбулентности и процессов, происходящих в неоднородной среде, различны. Речь идет лишь о внешних проявлениях двух очень разных физических процессов, а именно: стохастичности, автомодельности, иерархически пространственной структурированности и наличии степенных закономерностей. Признаком масштабного подобия служит наличие степенных зависимостей в корреляционных функциях. По результатам геофизических работ в нефтегазовых скважинах и петрофизическим исследованиям многими авторами отмечалось масштабное подобие для электрофизических и гидрофизических параметров сред [34],[35], [36], [37], [39], [40], [41], [42], [44]. На рисунке 0.1 приведен пример простейшего трехуровневого дискретного мультипликативного каскада в одномерном пространстве.

На нулевом шаге рассматривается постоянное поле ег0, на интервале длины L. Далее длина L делится на п отрезков (на рисунке 0.1 п = 2 ), генерируется п случайных положительных чисел w(i,j) (г = 1, j = 1, вероятностное распределение этих чисел обсуждается ниже), поле во умножается на w(i,j) в соответствующем отрезке. Повторение этой процедуры дважды приводит к использованию п2 весовых чисел. Полученное поле e(i,j) случайно для г > 0, а масштабное соотношение ¡1 = п1 растет с увеличением г. Веса w(i,j) выбираются так, чтобы их среднее на каждом уровне было равно единице. В этом случае получается консервативный каскад и вероятностное среднее поля e{i,j) равно eg- При /л —> оо получается канонический статистический мультифракталь [58J. Положим для простоты £д=1, тогда поле после г шагов равно e(ij) = W{ 1) х W(2) х . х W(i), (0.2) где пространственная зависимость весов на шаге меньшем г, опущена для простоты. Прологарифмируем правую и левую часть равенства (0.2): loge(i,j) = logW(l) + \ogW(2) + . + logiy(i). (0.3)

Веса W(i) - независимые случайные величины. Согласно предельной теореме о суммах независимых случайных величин logs(i,j) имеет нормальное распределение, следовательно, поле e(i,j) имеет логарифмически нормальное распределение. Логнормальная модель подвергалась критике Мандель-бродом. Он считал, что логнормальная модель, по крайней мере в задачах развитой турбулентности, может быть получена при чрезвычайных и маловероятных условиях и предложил моделировать каскад случайными величинами с бесконечной дисперсией. Но в работе [40| Г.В. Молчан показал, что критика модели, основанная на анализе скэйлинговых свойств диссипации энергии, неверна, поскольку операции осреднения по пространству и ансамблю оказались не тождественными.

В настоящей работе физические параметры моделируются непрерывным мультипликативным каскадом, зависящим от масштаба сглаживания. Дискретный каскадный процесс, описанный выше, имеет явный недостаток, поскольку описывает неоднородности прямыми линиями, что следует из процедуры его построения. Это затрудняет вывод эффективных коэффициентов для уравнений в частных производных. Как правило, непрерывный каскад строят с помощью сложного предельного перехода от дискретного каскада с помощью фильтров, использующих дробное интегрирование [34], [59], [60] . В настоящей работе строится непрерывный каскад позволяющий построить простые модельные фрактальные среды, пригодные для прямой численной проверки статистических моделей. Построение непрерывного каскада и его подробное обсуждение приведено в первой главе.

В разделе 1.1 для моделирования физических параметров используется подход, подробно описанный в работах [61], [62], [63]. Пусть поле физического параметра <т (х) (проницаемости, пористости, электропроводности и т. д.) известно. Это означает, что в каждой точке х выполнено его измерение в образцах минимального масштаба ¿о- Случайная функция пространственных координат сг(сс) рассматривается как предел параметра О70(ж). При 1о —> 0, <т/0(ж) —ь <т(ж). Так же как в работах Колмогорова [55] и Яглома [64], рассматривается безразмерное поле, равное отношению проводимости сглаженной по двум различным масштабам /, I': ф(х, I, V) = <т^(ж)/сг/(гс), V < I. При стремлении V —ь I выводится уравнение дЫа^х) где (р(х,1) — дф(х,1,1у)/ду |?/=1. Практически, мелкомасштабные флуктуации поля (р могут наблюдаться только в некоторой конечной области масштабов 1$ < I < Ь, поэтому решение уравнения имеет вид

Гь

Т10(х) = о-0ехр

- /

Л0 11 ■ где его константа, а поле </?(аг, 1\) определяет все статистические свойства среды. В разделе 1.2 рассматривается модель, в которой поле ср имеет логарифмически нормальное распределение вероятностей. При этом предполагается, что поле I) однородно и изотропно, а флуктуации поля ср не коррелируют на разных масштабах. Это обычное предположение для скэйлинговых моделей и отражает тот факт, что статистическая зависимость затухает, если масштабы флуктуаций параметров различны по величине. В теоретических выкладках это условие ие имеет существенного значения, но при численной проверке полученных теоретических формул значительно облегчает моделирование случайного поля <р. Показано, что в интервале масштабного подобия корреляционная функция поля <т(х) степенным образом зависит от радиуса корреляции. Величина обратная масштабу I называется радиусом корреляции неоднородности масштаба I. В разделе 1.3 построен мультипликативный каскад, имеющий логарифмически устойчивое распределение вероятностей. Увеличение хаотичности и перемежаемости в поведении физических полей при уменьшении масштаба измерения заставило в некоторых случаях отказаться от логарифмически нормальной модели и рассматривать более общий случай логарифмически устойчивых распределений [65], [66]. Например, в работе [67] по экспериментальным данным для скважин получены распределения полей проницаемости и некоторые статистические характеристики, показано, что поля проницаемости могут иметь логарифмически устойчивые распределения с параметрами 1<а<2,/? = 1.В настоящей работе строится модель для этого диапазона параметров [68], [69],/[70]. Модель поля <р выбирается в виде : где I = 2Т, 6т - шаг дискретизации по логарифму от масштаба, коэффициенты а1^ имеют носитель (support) размера 13, зависят только от модуля разности индексов а^ = а1 (|г — j|), поэтому индекс j в дальнейшем может быть опущен. Коэффициенты перед случайными величинами имеющими устойчивый закон распределения с параметрами-1 < а < 2, (3 = 1, ¡1 = 0, А = 1, выбраны в таком виде, чтобы в дальнейшем запись показателей степени в эффективных коэффициентах была компактной. При а = 2 дисперсия поля равна Фо(I)- Для всех I выполняется условие Y2kx X^fcy X/A( akxkvks) = L ПРИ 1 < а < 2 таким образом построенное поле ip является устойчивым, однородным и изотропным по пространственным переменным. Если коэффициенты а» удовлетворяют условию а1^ = а1 ^^у^ и коэффициенты Фо, (<р) одинаковы при всех I, то поле ip будет инвариантным относительно масштабного преобразования. Среднее поля (р существует, что касается вторых моментов, то для а ф 2 они бесконечны. Показано, что в области масштабного подобия корреляционная функция поля <т(х) степенным образом зависит от радиуса корреляции.

Во второй главе изложен метод подсеточного моделирования для стационарной задачи протекания в изотропной многомасштабной среде. Рассматривалась система соотношений

V (аз) = <7 (ж) к (аз), (Ну у (аз) = 0, Н (аз) = —V?/ (аз).

Если трактовать систему как задачу о протекании постоянного электрического тока в неоднородной среде, то под V следует понимать вектор плотность электрического тока, поле Н определяется потенциалом II (аз), Н (х) = —VII (аз) является электрическим полем, локальная проводимость а (аз) является случайным полем удельной электропроводности среды. Если рассматривать задачу фильтрации однофазной жидкости в неоднородной среде при малых числах Рейнольдса, то под V следует понимать вектор скорости фильтрации, поле Н определяется градиентом давления Н (аз) = —\7р (аз) , локальная проводимость сг(аз), равная отношению проницаемости к вязкости, является случайным полем, зависящим от координат. Давление и скорость связаны уравнением Дарси. На границе Г области V, в которой решаются уравнения, заданы некоторые граничные условия. Размеры области V велики по сравнению с масштабом неоднородности. Как и в работах [61],[71], [72], [73], [74], [75] поле проводимости моделировалось непрерывным мультипликативным каскадом, алгоритм построения которого и свойства описаны в 1.1, 1.2. Исследуемые поля разделялись на две компоненты — мелкомасштабную и крупномасштабную по отношению к некоторому разделительному масштабу. Крупномасштабная компонента проводимости сг(аз,/) получена статистическим усреднением по всем (р(х,1{) с 1\ < I, мелкомасштабная равна сг'(аз) = <т(аз) — сг(аз,/). Крупномасштабная (надсеточная) компонента потенциала и(х,1) получается как усредненное решение уравнения, в котором крупномасштабная компонента сг(аз, I) фиксирована, а мелкомасштабная а' случайна. Подсеточная компонента равна и' = II (аз) — и(х,1). Усреднением исходных уравнений по мелкомасштабной компоненте получено надсеточиое уравнение:

V [<т(аз, 1)+ < (т\х)^и'{х) >] - 0.

Второе слагаемое в этом уравнении неизвестно. Оно не может быть отброшено без предварительной оценки, поскольку корреляция между проводимостью и градиентом потенциала может быть существенной. Выбор вида второго члена в этом уравнении определяет подсеточную модель. При начальном значении масштаба I, близкого к наименьшему масштабу /о, получено уравнение для подсеточной компоненты потенциала:

А11' (х) =--(ж) VII (х, I). сг(х,1)

Предполагается, что незначительное изменение масштаба полей сг(ж,/), II (ж,/) влечет за собой значительные флуктуации самого поля (что характерно для мультифрактальных полей), поэтому можно считать, что сами поля и их производные меняются медленнее, чем а' (х), и' (х) и их производные. В этих предположениях в разделе 2.1, используя решение подсеточного уравнения, получена оценка подсеточного члена и среднего локального потока при логарифмически нормальном распределении поля проводимости. Показано, что эффективное значение коэффициента ад; удовлетворяет дифференциальному уравнению

Ппоог Фо(0 . ,т = - Ш).

Если среда масштабно-инвариантна, коэффициент сто/ зависит от подсеточного масштаба как степень

СоI = Соь I £ I

В разделе 2.2 получены эффективные коэффициенты для оценки вторых одноточечных статистических моментов градиента потенциала и потока при логнормальном распределении вероятностей поля проводимости. Надсеточное уравнение для компонент второго одноточечного статистического момента градиента потенциала имеет вид

К {х) Щ {х)) = Чпи{х, 1)4,11 (х, I) + (Чпи'(х).

Оценка вычислялась в тех же предположениях, что и предыдущая оценка для подсеточного члена в исходных уравнениях. В результате была получена оценка для попарных разностей и суммы компоненты тензора вторых статистических моментов градиента потенциала

Нх (ж)2 - Ну (ж)2^) ~ а^ (нх (ж, /)2 - Ну (ж, ¿)2) ,

Нг (ж)2 - /гу (ж)2^ ~ о-щ (иг (ж, /)2 - Ну (ж, О2) , (Нх (ж)2 + Л„ (ж)2 + Кг (ж)2) ~ 4х (Нх (ж, /)2 + Ну (ж, ¿)2 + (ж, /)2) , где коэффициенты сг^, сг^ удовлетворяют уравнениям = -Фо (I) С1Ы1 15

Далее выписаны эффективные значения для каждой компоненты (¡11 (ж)' Для компонент тензора при п фу получена оценка

Ип (ж) (ж)> ~ аУьп (ж, I) ^ (ж, /).

Таким же образом оценивались компоненты тензора вторых статистических моментов локального потока. Было выведено падсеточное уравнение

VI (ж) Ук (ж)) = а (ж, I)2 Х7{и (ж, I) Чки (ж, /) + <т (ж, I)2 {Чки' (ж) (ж)) + (</ (ж)2) (ж, О (ж, 0 + 2 (</ (ж) (ж)) Ц (ж, /) +2Чки (ж, 0 <<т' (ж) (ж)).

И для попарных разностей и суммы компонент тензора вторых статистических моментов потока получены дифференциальные уравнения, дающие зависимость эффективных параметров переноса от разделительного масштаба: МО-*<*>.

В разделах 2.3, 2.4 получены эффективные оценки статистического среднего локального потока и второго момента градиента потенциала для логарифмически устойчивого распределения проводимости. В этом случае коэффициенты в дифференциальных уравнениях, дающих зависимость эффективных параметров переноса от разделительного масштаба, зависят не только от параметров Ф, (<£>), но и параметра распределения а.

После того как уравнения для крупномасштабной компоненты с эффективными коэффициентами получены должна быть выполнена вторая, не менее сложная часть работы - проверка полученных формул. В работе эта проверка сделана численно. В разделе 2.5 проведено численное моделирование описанной выше трехмерной задачи для логарифмически нормальной и логарифмически устойчивой моделей проводимости. Сравнение полученных "плавных" компонент полей с результатами прямого численного моделирования позволило оценить точность применяемого метода и то, в какой мере предложенный метод улучшает обычную теорию возмущений. В расчетах используются безразмерные переменные. Задача решается в единичном кубе, с единичным скачком потенциала и сто = 1. На гранях куба у = 0 , у = 1 задается постоянный потенциал 1/(х) |2/=о= ^ъ и{х) и2 , > С/2- Потенциал на других гранях куба задается линейной зависимостью по : и(х) = СД + (и\ — £/2)2/- По пространственным переменным использовалась сетка 256 х 256 X 256. Интеграл в модели проводимости заменялся конечно-разностной формулой. Корреляционная функция нормального случайного ноля выбиралась в виде (р{х,Ь) >с.= (Ф0/Ь2)ехр (х - х')2 /22т^

Эта корреляционная функция является в некотором смысле оо базовой" функцией, поскольку формула Я(г) = J ехр (—77т*2) с?^7, (77), где о

Р функция распределения вероятностей, исчерпывает все непрерывные изотропные корреляционные функции в гильбертовом пространстве [76]. Константа Фо = 2 < ц> > выбиралась из экспериментальных данных для пористых природных сред [44]. Поле (р(х,1¿) генерировалось независимо для каждого ^ (дельта-коррелированность по логарифму масштаба). Общий показатель степени в модели проводимости суммировался по статистически независимым слоям. Для расчета использовалось ограниченное количество слоев. Количество слоев и масштабы выбирались так, чтобы масштаб самых крупных пульсаций проводимости позволил заменить приближенно вероятностные средние величины усредненными по пространству, а масштаб самых мелких так, чтобы разностная задача хорошо аппроксимировала уравнение. Для численного моделирования был использован метод построения изотропного поля "по строкам и столбцам", позволяющий экономично построить поле [77], [78]. Для решения уравнений движения использовался итерационный метод минимальных невязок . Результаты, полученные численным моделированием, сравниваются с результатами, полученными по теоретическим формулам, и с результатами, полученными по формулам обычной теории возмущений.

Механизм осадконакопления в достаточно спокойных условиях приводит к тому, что природным неоднородным средам свойственен характер слоистой системы. Поэтому большой интерес представляет исследование задач геоэлектрики и фильтрации в анизотропных средах. В третьей главе предложенный метод подсеточного моделирования применяется для анизотропной среды в случае, когда проводимость в точке - изотропна, а корреляционная функция поля - анизотропна. Как правило, реальные пласты, вследствие слоистости, обладают анизотропией именно такого рода. Предполагается, что среда состоит из множества однородных изотропных блоков, по форме близких к параллелепипеду. Проводимость блоков случайна. Если блоки размещены в пространстве достаточно упорядочено, такая среда будет макроанизотропной. Это видно в предельном примере слоистой системы, состоящей из слоев различной проводимости. В дальнейшем предполагаем, что масштабы корреляций удельной проводимости по различным осям различны. В изотропном случае вид корреляционной функции не влияет на эффективные коэффициенты, полученные с помощью метода, описанного в главе 2. В этом случае статистическая информация исчерпывается знанием закона распределения, среднего поля <р(х, I) и его дисперсии. Исследование анизотропного случая требует информации о виде корреляционной функции. Экспериментальное определение этой функции требует измерения проводимости в большом количестве точек в различных интервалах. Такие систематические измерения довольно дороги, требуют больших временных затрат и, вследствие этого, редки в научной литературе. Одна из основных трудностей - это извлечение ненарушенного керна из рыхлой осадочной породы. Тем не менее, в работах [79], [80] получены экспериментально не только средние значения и дисперсия поля проводимости, но и вид корреляционной функции. В работе предполагается, что проводящая среда, стратифицированна таким образом, что проводимость по координатам Х2 имеет одинаковые масштабы неодно-родностей. Если по осям х\, x<i масштаб равен li = а\I, по оси жз - h = а^ то ai < «2 или а\ > о?2. Одинаковые масштабы по двум осям рассматриваются только из соображений уменьшения громоздкости вычислений и, чтобы избежать численного вычисления эллиптических интегралов, которые неизбежно возникнут при интегрировании корреляционных функций для трехмерных структур. Поле проводимости имеет логарифмически нормальное распределение вероятностей. Анализ корреляций полей в анизотропных средах в рамках обычной теории возмущений показал, что вид корреляционной функции несущественно влияет на величину корреляционного момента [2]. Чтобы получить представление о степени влияния вида корреляционной функции на эффективные коэффициенты, предлагаемые в данной работе, рассмотрены анизотропные корреляционные функции проводимости, приведенные в работах [2], [79], [80], [81]. Результаты вычислений эффективных коэффициентов для различных корреляционных функций приведены в таблицах 1, 2. Показано, что для получения правильной оценки среднего потока можно пользоваться прямоугольной аппроксимацией корреляционной функции, поскольку коэффициенты в основном зависят от масштаба корреляций по различным осям. Для оценки вторых статистических моментов такая аппроксимация применима только в определенном диапазоне параметров. В разделе 3.2 сделана численная проверка полученных формул. Рассматривалось две модели среды. В первой модели коэффициент проводимости имеет крупные масштабы по осям х, у, а мелкие по оси z. Во второй модели коэффициент проводимости имеет крупные масштабы по оси г, мелкие по осям ж, у. Численные расчеты показали, что для замены статистического усреднения усреднением по пространству, сетка 256 х 256 х 256 недостаточна, поэтому использовалось дополнительное усреднение по ансамблю Гиббса. На рисунках для сравнения приведены результаты расчетов как для анизотропного, так и изотропного случая. Для локального потока проведено сравнение с результатами, полученными по формулам обычной теории возмущений.

В главе 4 рассматривалось подсеточное моделирование дисперсии фильтрационного потока в многомасштабных случайных средах. Нерегулярность реальных пористых сред и, как ее следствие, нерегулярность поля скоростей являются причиной дисперсии жидкости, тепла и т. д. в процессе фильтрационного переноса. Задача имеет важное прикладное значение. Например, при решении проблем захоронения радиоактивных отходов, загрязнения воды химическими отходами, переноса теплоты фильтрационным потоком, использования различных добавок к воде при заводнении нефтяных скважин. Знание процесса переноса способствует решению обратных задач, дает возможность исследовать структуру среды. Важность задачи подтверждает огромное количество публикаций по данной тематике. Обширная библиография приведена в книгах [2], [3] и обзоре [44]. Теоретические основы анализа дисперсии закладывались В. Н. Николаевским, Р. С Зайшап, А. Е. Шейдегером в работах [82], [83], [84], [85], [86], где приведены основные уравнения, дан анализ экспериментов и некоторых задач.

Можно выделить мысленно некоторый объем в фильтрационном потоке и проследить за жидкими микрочастицами, находящимися в первоначальный момент времени в этом объеме. Нерегулярность поля скоростей в межпоровом пространстве приведет к тому, что через некоторое время микрочастицы займут новые положения в пространстве, расстояния между ними изменятся. Если следить за многими микрочастицами, то индивидуальное положение частицы будет определяться полем истинной скорости фильтрации, т. е. усредненным полем скорости жидких микрочастиц. Диспергирующие свойства усредненной скорости главным образом зависят от изменчивости макроскопических свойств пористого пространства, т.е. от флуктуаций полей проводимости и пористости.

В настоящей работе рассматривается только конвективная диффузия, то есть диффузия порождаемая только флуктуирующим полем скорости [87], [88] [89], [90], [91], [92], [93], [94], [95]. В этом случае перенос жидких частиц определяется довольно сложным механизмом и для его описания привлекаются статистические методы. В разделе 4.1 приведена оценка средней скорости распространения фронта меченых частиц с логарифмически нормальным распределением пористости и проницаемости. В начальный момент времени в объем, заполненный чистой жидкостью, начинает поступать окрашенная жидкость. Поверхность раздела метится пассивными частицами, которые занимают начальные положения, затем перемещаются стационарным полем скорости. Поскольку жидкости физически одинаковы, то их скорость фильтрации удовлетворяет стационарному уравнению Дарси. Для коэффициентов проводимости е (ж) и пористости т (ж) используется каскадная модель с логарифмически нормальным распределением вероятностей. Предполагается, что поле у? (ж, V) и поле, моделирующие пористость, /) - дельта-коррелированы по логарифму от масштаба. По определению поле пористости имеет естественные ограничения (т (ж, /)) = то, 1о < I < Ь, 0 < т (ж) < 1. Первое ограничение означает, что должен рассматриваться только консервативный каскад. Требование, чтобы все значения поля были меньше или равны единицы, удовлетворяется подбором дисперсии поля х(ж, I) при заданном значении параметра то. Корреляция между полями пористости и проницаемости задается через корреляцию полей ф (ж, /) и х {ж, I)'ж, ж,/, I') = (<р(х, 0х(ж, 1'))с = Фрт (1п/ - Ы) .

В разделе 4.2 в этой постановке получена оценка статистической дисперсии скорости меченых частиц с логарифмически нормальным распределением проводимости и пористости. Задача решается в координатах Лагран-жа. Выведены надсеточная и иодсеточная модели. В разделе 4.3 получена оценка средней скорости распространения фронта меченых частиц и ее статистической дисперсии с логарифмически устойчивым распределением пористости и проницаемости. В разделе 4.4 проведена численная проверка полученных теоретических формул. Система уравнений для определения положения частиц решается методом Рунге - Кутта. Приведены результаты численных расчетов для средних координат фронта в зависимости от времени. Приведен квадрат среднего отклонения точек поверхности от среднего уровня фронта в двойных логарифмических координатах. Если отбросить входной участок, где ощущается влияние граничных условий, то увеличение квадрата толщины происходит по степенному закону. Приведены графики для логарифма средних скоростей фронта и компонент тензора статистической дисперсии фронта в зависимости от учитываемых в модели масштабов.

В главе 5 метод подсеточного моделирования использовался для квазистационарных уравнений Максвелла [96], [97].

Классическая теория электромагнитных зондирований переменным полем была разработана на основе однородной модели среды. Это означает, что при решении прямой и обратной задач параметры среды, например, проводимость, предполагаются постоянными или кусочно-постоянными (слои по глубине). Такое предположение значительно упрощает задачу и в некоторых случаях позволяет получить аналитическое решение. Реальные геологические среды неоднородны. Особое внимание геофизиков привлекают структуры, обладающие в том или ином смысле пространственным самоподобием. Важным свойством гетерогенной среды, состоящей из хорошо и плохо проводящих компонент, является скейлинг статистических моментов электропроводности - масштабная зависимость, описываемая степенным законом. Исследования показывают , что каскадные модели хорошо описывают мерзлые глинистые породы в масштабах от десятков сантиметров до десятков метров. Такие породы обладают высокой контрастностью сопротивлений (лед - засоленные суглинки) [42]. В этой главе изучается влияние мелкомасштабных неоднородностей на средние напряженности электрического и магнитного полей, также на среднюю плотность тока, оценивается статистическая дисперсия этих полей. В разделе 5.1 усреднением исходных уравнений по мелкомасштабной компоненте получена система надсеточных уравнений: и с точностью до членов второго порядка малости по dl подсеточная система уравнений: rotH' = а (ж, I) Е' + а'Е (ж, I), rotE' = гшрьН'.

Считая известными поля Е (ж, I), Н{ж, V) и используя векторный потенциал для Еполучено решение подсеточной системы уравнений: rotH (ж, I) = сг(ж, 1)Е (ж, I) + (а'Е') rotE (ж, I) = icofiH (ж, I), ikr v ikr

Используя это решение, получена оценка подсеточного члена при условии, что Ш1М7 (ж) Ь2 < 1. Это условие справедливо в широком диапазоне частот для задач скин-слоя в геоэлектрике. Система уравнений для кузупномас-штабных компонент с эффективными коэффициентами имеет вид: где коэффициент сгдг удовлетворяет уравнению, которое определяет его зависимость от масштаба сглаживания.

В разделе 5.2 при этих же условиях получены эффективные коэффициенты для оценки вторых статистических моментов напряженности электрического поля и плотиости электрического тока. В разделе 5.3 проведена проверка полученных теоретических формул с помощью численного моделирования. Находится решение уравнений Максвелла с переменными коэффициентами в кубической области. Ставятся граничные условия типа Дирихле. Электромагнитное поле предполагается гармоническим по времени. На проводящую среду действует переменное магнитное поле с циклической частотой и. Напряженность внешнего магнитного поля имеет вид: Н = (0, Ну(г), 0), где Ну(г) = Но, если г — 0. В расчетах используются безразмерные переменные. Задача решается в единичном кубе, поле проводимости моделируется мультипликативным консервативным каскадом со средним значением, равным единице. Для получения численного решения использовался метод, основанный на конечно-разностной схеме, предложенной в работе [98], и метод декомпозиции изложенный в [99]. Используется квадратная сетка с постоянным шагом. Выведенные выше эффективные решения сравниваются с результатами, полученными по обычной теории возмущений, если в борновском разложении учитывается только второе слагаемое, которое описывает однократно рассеянное поле [16].

В Заключении сформулированы основные результаты работы.

Научная новизна. В настоящей работе предложен новый метод подсеточного моделирования, позволяющий изучить влияние мелкомасштабных флуктуаций на средние значения физических величин в многомасштабной неоднородной среде. Впервые используется континуальный иод-ход, в котором физические параметры задачи моделируются мультиплиь го1Е1 (х) = гш^Н (х, I) кативными каскадами, то есть физические параметры среды испытывают сильные пространственные флуктуации. Построена каскадная модель среды, пригодная для прямой численной проверки статистических моделей. Другим преимуществом применяемого подхода является то, что используемые этим методом основные параметры и функции могут быть получены в натурных экспериментах или полевых измерениях.

Практическая ценность работы. Вследствие недоступности большинства геологических систем непосредственному наблюдению их исследование производится с помощью геофизических методов и математических моделей. Поэтому большой практический интерес имеет оценка влияния микронеоднородностей на физические величины при создании математической модели вытеснения пластовых флюидов фильтратом бурового раствора и изменения электромагнитного поля в нефтяном резервуаре. По результатам измерений электромагнитного поля можно судить о строении среды в резервуаре. Аналогичные результаты получены в задаче конвективной диффузии. Эта задача важна для построения математической модели распространения загрязнений токсичными и радиоактивными веществами подземных вод, переноса теплоты фильтрационным потоком, использования различных добавок к воде при заводнении нефтяных скважин.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на семинарах "Математические методы в геофизике "под руководством академика РАН Алексеева A.C. (Новосибирск, 2000-2003г.), под руководством академика РАН Михайленко Б.Г. (Новосибирск, 2008г.), па семинарах "Геомеханика и Геофизика"под руководством академика РАН Голь-дина C.B. (Новосибирск 2001г., 2002г., 2004г., Байкал 2006г.), на семинарах по геоэлектрике под руководством академика РАН Эпова М.И. (Новосибирск, 2003г.-2008г.); на семинаре "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике"под руководством член-корр. РАН Михайлова Г. А., а также на четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000), посвященном памяти М. А. Лаврентьева; на Т и 8 конференциях "Устойчивость течений гомогенных и гетерогенных жидкостей", (Новосибирск 2000г., 2001); на международных конференциях: EAGE/SEG Research Workshop on "Reservoir Rocks", (PAU, France 30 April-3 May 2001); International

Conference on Multifield Problems, (April 8-10, 2002, Stuttgart, Germany); "Kolmogorov and contemporary mathematics", (Москва, Июнь 16-21, 2003); IVth IMACS Seminar on Monte Carlo Methods, (September 15-19, 2003), WIAS Berlin; Symmetry in nonlinear mathematical physics, Kyiv (June 23-29, 2003); Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании, (Алматы, 2004г., 2008г.); Computational Science, Workshop Multiscale problems - ICCS 2005, (May, 25-30, Atlanta, USA); The International Conference on Applied and Theoretical mechanics (Mechanics'06), (Venice, Italy, 20-22-November); International Conference on Mathematical Modeling and Computational Physics, (August 28-September 1, Slovakia 2006); WSEAS International Conference Applied and Theoretical Mechanics, ( December 14-16, 2007, Spain); на конференциях: Обратные и некорректные задачи математической физики, (Новосибирск ,21-24 августа, 2007г.); Математические методы в геофизике, (Новосибирск, ИВМ и МГ 2003);на конференции "ГЕО-Сибирь", 2008, (Новосибирск), на конференции по Математическим Методам в Геофизике, посвященной восьмидесятилетию академика А.С. Алексеева, Новосибирск, 2008.

Публикации. Общее число публикаций по теме диссертации - 25. В их числе 9 статей - в журналах из перечня ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученой степени доктора наук; 13 статей - в сборниках международных и российских конференций и 3 статьи - в иностранных и отечественных журналах, не входящих в перечень ВАК.

Личный вклад. Все результаты в соавторстве с Геннадием Андреевичем Кузьминым получены на паритетных началах. В работах с другими соавторами основной вклад принадлежит автору диссертации (получение теоретических результатов, написание основных программ, проведение численных расчетов, обсуждение результатов).

Рассмотренные в диссертации задачи выполнялись в соответствии с планом научно-исследовательских работ Института Вычислительной Математики и Математической Геофизики: "Многодисциплинарные математические модели геофизики, теория, численные методы с приложением к практическим задачам сейсморазведки, сейсмологии, нефтедобычи", раздел "Математическое моделирование геофизических полей в средах сложной геометрии и реологии"за 2004-2006 г.г.; Госбюджет ПСО № 477 27.12.2006, ПроектЗ "Математическое моделирование природных и техногенных геофизических полей в средах сложной геометрии и реологии", раздел 4, "Многодисциплинарные математические модели геофизики, теория, численные методы с приложением к практическим задачам сейсморазведки, сейсмологии, нефтедобычи". Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (проекты № 00-05-653 301,№ 03-05-64402, № 0605-64149 - исполнитель ), проект № 04-05-64415 "Развитие теории электромагнитных зондирований неоднородных многомасштабпых нефтегазовых коллекторов руководитель. Работа выполнялась и в рамках интеграционных проектов: Проект СО РАН №61, "Комплексный электромагнитный и гидродинамический анализ характеристик нефтегазовых коллекторов по данным каротажа и бурения ответст. испол. от ИВМ и МГ. Проект СО РАН № 75 "Теоретико-методические основы интегрированных комплексов для исследований в нефтегазовых скважинах ответст. испол. от ИВМ и МГ . Результаты работ автора вошли в важнейшие результаты завершенных фундаментальных научных исследований СО РАН в 2002 г. и Института вычислительной математики и математической геофизики в 2008 г.

Автор выражает искреннюю благодарность научному консультанту академику РАН Борису Григорьевичу Михайленко за оказанное внимание и поддержку на всех этапах работы над диссертацией, а также академику РАН Михаилу Ивановичу Эпову за консультации по проблемам геоэлектрики.

Заключение

1. В работе предложена новая континуальная модель гетерогенной среды, использующая мультипликативные каскады. Это позволило промоделировать многомасштабность и перемежаемость флуктуаций физических параметров в среде и построить модели среды, пригодные для прямой численной проверки точности полученных в этой среде эффективных коэффициентов. При моделировании физических параметров вводится непрерывная зависимость от масштаба сглаживания. Континуальная модель построена для логарифмически нормального распределения вероятностей параметров среды и обобщена на некоторые случаи логарифмически устойчивых распределений. Показано, что в такой модели корреляционные функции масштабно-инвариантных скалярных полей степенным образом зависят от радиуса корреляции в области масштабного подобия.

2. Предложен новый метод оценки влияния мелкомасштабных флуктуаций параметров на средние значения физических величин (скорость фильтрации, плотность тока, напряженности электрического и магнитного полей и т.д.) для случая, если параметры среды имеют флуктуации многих масштабов и о них известна, лишь статистическая информация. Исследуемые параметры и физические поля разделяются на две компоненты: мелкомасштабную и крупномасштабную по отношению к некоторому разделительному масштабу. Затем выводятся уравнения движения только для плавных компонент полей, которые зависят от конкретных деталей задачи. Эффективные коэффициенты в этих уравнениях учитывают влияние мелкомасштабной случайной компоненты. Для эффективных параметров получены дифференциальные уравнения по разделительному масштабу.

3. На основе описанного выше подхода получены эффективные уравнения для крупномасштабных компонент потенциала, потока и вторых статистических моментов градиента потенциала и потока в стационарной задаче переноса в многомасштабных изотропных средах. Коэффициент проводимости моделировался непрерывным мультипликативиым каскадом. Проводимость среды имела логарифмически нормальное распределение. Формулы получены и для некоторых случаев логарифмически устойчивого распределения.

4. Получены формулы для эффективных коэффициентов в стационарной задаче переноса в многомасштабных анизотропных средах в случае, когда проводимость в точке изотропна, а корреляционная функция поля - анизотропная. Как правило, реальные пласты вследствие слоистости, обладают анизотропией именно такого рода. Показано, что эффективные коэффициенты зависят в основном от масштаба корреляций по различным координатным осям и очень слабо - от вида корреляционной функции.

5. Теоретические формулы проверены численным моделированием трехмерной задачи. Результаты численного моделирования сравниваются с результатами, полученными по обычной теории возмущений в первом порядке. Расчеты проводились для статистических параметров в диапазоне, полученном в натурных и лабораторных экспериментах. В изотропном случае получено хорошее соответствие теоретического результата численному результату. Точность оценок около 97 процентов для усредненного потока и 80 — 90 процентов для вторых статистических моментов. Значительно худтпую точность дает результат, полученный по обычной теории возмущений. Расчеты проводились для логнормальной и логарифмически устойчивой моделей. В анизотропной среде метод дает хорошую точность для оценки потока в крупномасштабном пределе (около 80 процентов). В самом плохом варианте (поток направлен в сторону наибольшего градиента проводимости) оценка дисперсии компоненты градиента потенциала в направлении потока имеет точность 60 процентов.

6. Получены оценки влияния мелкомасштабных неоднородностей на средние физические величины в задаче конвективной диффузии. Мультипликативными каскадами моделировались коррелированные поля проводимости и пористости. Получены эффективные уравнения для оценки средних координат фронта диффузии, для оценки средней скорости фронта и дисперсии скорости фронта. Изотропные поля проводимости и пористости имеют логарифмически нормальное или логарифмически устойчивое распределение вероятностей. Если среда масштабно инвариантна, то эффективные коэффициенты пористости и проводимости степенным образом зависят от масштаба сглаживания. Теоретические оценки проверены численным моделированием трехмерной задачи. Проведено сравнение теоретических результатов с численными результатами и с результатами, полученными в рамках обычной теории возмущений в первом порядке для логнормальной теории. Численное моделирование показало, что эффективные оценки дают хорошую точность (93-97 процентов) для оценки средних координат фронта, средней скорости фронта и дисперсии скорости фронта.

7. Получены оценки влияния мелкомасштабных неоднородностей на средние значения электромагнитных полей для квазистационарных уравнений Максвелла при условии, что масштаб самых крупных неоднородностей много меньше размеров скин-слоя. Получены уравнения для эффективных коэффициентов в зависимости от масштаба сглаживания. Показано, что в масштабно инвариантной среде частота эффективного решения степенным образом зависит от масштаба сглаживания. Теоретические формулы проверены с помощью численного моделирования трехмерной задачи. Показано, что эффективное решение имеет значительно более высокую точность оценки средних электромагнитных полей, средней плотности тока и их вторых одноточечных моментов, чем приближенные формулы борновского разложения в первом порядке.

1. Smagorinsky J. General circulation experiments with the primitive equations // Monthly Weather Review. -1963. — Vol. 91, No. 3. — P. 99-1G4.

2. Швидлер M. И. Статистическая механика пористых сред. — Москва: Недра, 1985.

3. Dagan G. Flow and transport in Porous Formation. — Berlin: Springer- Verlag, 1989.

4. Радушкевич Л. В. Попытки статистического описания пористых тел // Основные проблемы теории физической адсорбции под ред. М.М Дубинина и В.В. Серпин-ского. — Москва: Наука, 1970. — С. 270.

5. Weissberg Н. L. Effective diffusion coeffocientin porous materials // J. Appl. Phys. -1963. — Vol. 34. — P. 2636-2648.

6. Найфэ A.X. Методы возмущений. — Москва: Мир, 1976.

7. Axness С. L.and Gellhar L. W. Three-dimmtnsional stohastic analysis of macrodipersion in aquifers // Water Resour. Res. — 1983. — Vol. 19, No. 1. — P. 161-180.

8. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Москва: Наука, 1982.

9. De Witt A. Correlation struture dependence of the effective permeability of heterogeneous porous media // Phys. Fluids. —1995. —Vol. 7, No. 11. — P. 25532562.

10. Abrarnovich D., Indelman P. Effective permeability of log-normal isotropic random media // Phys.A: Math. Gen. 1995. - Vol. 28, No. 3. - P. 693-700.

11. Wilson K. G. and Kogut J. The renormalization group and the e-expansion // Physics Reports, 12C(2). P. 75-199, 1974.

12. Gell-Mann M., Low F. E. Quantum electrodynamics at small distanses. J. Phys. Rev. -1954. Vol. 95, No. 5. —P. 1300-1312.

13. King P. R. The use of field theoretic methods for study of flow in heterogeneous porous media // J. Phys.A: Math. Gen. 1987. - Vol. 20, No. 12. - P. 3935-3947

14. Christakos G., Hristopulos D. Т., Miller H. Stochastic diagrammatic analysis of groundwater flow in heterogeneous poroys media // Water Resour. Res. — 1995. Vol. 31, No. 7. - P. 1687-1703.

15. Dean D. S., Drummond T., Horgan P.R. Perturbation schems for flow in random media 11 J. Phys.A: Math. Gen. 1994. - Vol. 27, No. 15. - P. 5135-5144.

16. Кравцов Ю. А., Рытое С. M., Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику. — Москва: Наука, 1978.

17. Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. — Москва: Наука, 1967.

18. Татарский В. И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. — Москва: Наука, 1980.

19. Оделевский В. И. Расчет обобщенной проводимости гетерогенных систем // Журнал технической физики. —1951 — Т. 21, № 6. — С. 667-685.

20. Фокии Г. А. Метод перенормировок в случае неограниченной среды в отсутствие внешних сил // Прикладная математика и механика —1977. — Т. 41, № 6. — С. 1095-1098.

21. Кудинов В. А., Можейс Б. Я. Эффективная проводимость неоднородной среды. Иттерационный ряд и вариационные оценки для метода Херринга // Журнал технической физики. —1979. — Т. 49, № 8. — С. 1595-1603.

22. Овсянников JI. В. Общее решение уравнений ренормализационной группы // Докл. АН СССР. 1956. - Т. 109, № 6. - С. 1112-1115.

23. Мнацакаиян М. А. Нелинейные задачи переноса и ренормализационная группа // Докл. АН СССР. 1984. - Т. 262, № 4 — С.856-859.

24. Ширков Д. В. Ренормализационная группа, принцип инвариантности и функциональная автомоделыюсть // Докл. АН СССР. — 1982. — Т. 263, 1. — С. 64-67.

25. Ширков Д. В. Ренормгруппа и функциональная автомодельность в различных областях физики // Теоретическая и математическая физика. — 1984. — Т. 60, jYs 2. — С. 218-223.

26. Jackel U., Vereecken Н. Renormalization group analysis of macrodispersion in directed random flow // Warter Resours Reserch — 1997. — Vol. 33, No. 10. — C. 2287-2229.

27. Christakos G. Hristopulos D. T. Renormalization group analysis of permeability upscailing // Stohastic Enviromental Reserch and Risk Assessment. —1999. — Vol. 13, No. 1/2. P. 131-160.

28. Теодорович Э. В. Метод ренормализационной группы в задаче об эффективной проводимости случайно-неоднородной пористой среды // ЖЭТФ. — 2002. — Т. 122, 7. — С. 79-89.

29. Теодорович Э. В. Метод улучшенной теории возмущений при описании эффективной проницаемости случайно-неоднородной среды // Прикладная математика и механика. — 2002 — Т. б, № 3. — С. 448-456.

30. Боголюбов H. Н., ШирковД. В. Введение в теорию квантованных полей.— Москва. :Наука, 1950; Т. 1.

31. Germano M., Piomelly U., Moin P. and Cabot W. H. A dynamic subgrid scale eddy viscosity model // Phys. Fluids A. — 1991. Vol. 3, No. 7. —P. — 1760-1765.

32. Sagaut P. and Germano M. Large Eddy Simulation for incompressible flow. — Berlin Heidelberg: Springer, 1998.

33. Бахвалов H. С., Панасенко Г. П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. — Москва: Наука, 1984.

34. Schertzer D. and Lovejoy S. Physical modeling and analysis of rain and clouds by anisotropic scaling multiplicative processes // Journal of Geoph. Res. — 1987. —Vol. 92. P. 9693-9714.

35. Schertzer D. and Lovejoy S. Nonlinear variability in geophysics: Multifractal simulations and analysis, in fractals // Physical Origin and Properties. — 1997. — Vol. 33. — P. 2273-2286.

36. Molz F. J. and Boman G. A fractal-based stochastic interpolation scheme in subsurface hydrology // Water Resour. Res. — 1993. — Vol. 29. P. 3769-3774.

37. Schmitt F., Schertzer D., Lovejoy S. Multifractal analysis of the greenland ice-core project climate data // Geophsical Research Letters. — 1995. — Vol. 22, No. 13. — P. 1689-1692.

38. Dynamics of fluids in hierarchical porous media / edited by J. H. Cushan. — San Diego: Academic, 1990.

39. Painter S. Evidence for non-gaussian scaling behavior in heterogenous sedimentary formations // Water Resour. Res. — 1996.- Vol. 32. P. 1183-1195.

40. Молчан Г. M. Турбулентные каскады: Мультифрактальные характеристики // Вычислительная сейсмология. — 1997. — Т. 29. С. 155-167.

41. Molz F J., Liu H. H., Szulga J. Fractional brownian motion and fractional gaussian noise in subsurface hydrology: A review, presentation of fundamental properties // Water Resour. Res. 1997.- Vol. 33. — P. 2273-2286.

42. Бобров H. Ю., Крылов С. С., Любчич В. А. Масштабная зависимость кажущегося сопротивления и фрактальная структура железистых кварцитов // Известия РАН. Физика Земли. — 2002. — № 12. С. 14-21.

43. Современные подходы к исследованию и описанию процессов сушки пористых тел / Под ред. В. Н. Пармона. — Новосибирск: СО РАН, 2001.

44. Caldwell J. A. The percolation through fissured rocks // Proceeding of Symposium on Percolation Through Fissured Rocks — Stuttgart: International Society for Rock Mechanics and International Association of Engineering Geology, 1972.

45. Feder J. Fractals.- New York: Plenum, 1988.

46. Margolin G. and Berkowitz B. Application of continuous time random walks to transport in porous media //J. Phys. Chem. B. — 2000. — Vol. 104.— P. 3942-3947.

47. Curtin W. A. Accurate dc conductivity for hopping conduction within the continuous time random walk approach // J. Phys. Chem. B. —2000. — Vol. 104. — P. 3937-3941.

48. Amblard F., Maggs A. C., Yurke В., Pargellis A. N. Subdiffusion and anomalous local viscoelasticity in actin networks // Phys. Rev. Lett. — 1996. —Vol. 77, No. 21. — P. 4470-4473.

49. Barkai E., Klafter J. Comment on subdiffusion and anomalous local viscoelasticity in actin networks // Phys. Rev. Lett. — 1998. — Vol. 81, No. 5. — P. 1134-1137.

50. Castiglione P., Mazzino A., Muratore-Ginanneschi P. Numerical study of strong anomalous diffusion // Physica A. — 2000. — Vol. 280. P. 60-68.

51. Klafter J., Zumofen G. Scale-invariant motion in intermittent chaotic systems // Phys. Rev. E. 1993. -Vol. 47, No. 2.- P. 851-863.

52. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // Успехи физических наук. 2003. — Т. 173, № 8. — С. 847-876.

53. Kolmogorov А. N. A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high reynolds number // J. Fluid Mech. 1962. - Vol. 13. - P. 82-85.

54. Колмогоров A. H. О логарифмически нормальном законе распределения размеров частиц при дроблении // Докл. АН СССР. 1941. - Т. 31. - С.99 101.

55. Колмогоров А. Н. Локальная структура турбулентности вязкой несжимаемой жидкости при больших числах Рейпольдса. Докл. АН СССР. — 1941. — Т. 30. — С. 301-305.

56. Mandelbrot В. В. The fractal geometry of nature. — San Francisco: Freeman, 1983.

57. Wilson J., Schertzer D. and LovejoyS. Continuous multiplicative cascade models of rain and clouds // Nonlinear Variability in Geophysics.— Norwell. Mass: KluwerAcad., 1991.

58. Kuz'min G., Soboleva О. Conformal symmetric model of the porous media // Appl.Math. Lett. 2001. - Vol. 14. - P. 783-788.

59. Кузьмин Г. А., Соболева О. H. Моделирование фильтрации в пористых автомодельных средах // Прикладная механика и техническая физика. — 2002. — Т.43, № 4. С. 115-126.

60. Монин А. С., Яглом А. М. Статистическая гидромеханика. — Москва: Наука, 1967; Т.2.

61. Kida S. Fractional levy motion as a model for spatial variability in sendimentary rock // Phys. Soc. Jpn. 1991. - Vol. 60. - P. 5-8.

62. Painter S., Paterson L. Log-stabel distribution and intermmittency of turbulence // Geophysic. Res. Lett. 1994. — Vol. 21. - P. 2857-2860.

63. Bouffadel M. C., Moltz Fred J., Lu S. Multifractal scaling of the intrinsic permeability // Physics of the Earth and Planetary Interiors. — 2000. — Vol. 36, No. 11. -P. 32113222.

64. Kuzrnin G. A., Soboleva O. N. Subgrid modeling of filtration in a porous medium with multiscale log-stable permeability // Monte Carlo Methods and Applcations. — 2004. Vol. 10, No. 3-4. - P. 369-376.

65. Соболева О. H. Эффективные коэффициенты проводимости в пористой среде с логарифмически-устойчивой статистикой // Прикладная механика и Техническая физика. 2005,- Т. 46, № 6. — С. 146-158.

66. Soboleva О. N. Large-scale fluctuations of pressure in fluid flow through porous medium with multiscale log-stable permeability // Computational Science ICCS 2005/ Eds. V. S. Sundcram et al. - 2005.- Vol. 3.- P. 9-16.

67. Буловятов A. H., Соболева О. II. Фильтрация и вытеснение жидкости вблизи скважины в пористой мпогомасштабной среде // Тр. Математические методы в геофизике. Новосибирск: Изд. ИВМ и МГ СО РАН. - 2003- Ч. 1. — С. 176-182.

68. Курочкина Е. П., СоболеваО. Н., Эпов М. И. Электрический каротаж в многомасштабной среде с логарифмически нормальной электропроводностью // Геология и геофизика. 2007. - № 10. - С. 1096-1105.

69. Epov М. I., Kurochkina Е. P., Soboleva О. N. Resistivity logging in a multiscale isotropic porous medium with log-normal distributed conductivity // Письма о физике элементарных частиц и атомного ядра. — 2008. — Т.5, № 3. С. 387-393.

70. Гихмап И. И., Скороход А. В. Теория случайных процессов.— Москва: Наука, 1971.

71. Ермаков С. М., Михайлов Г.А. Статистическое моделирование. — Москва: Наука, 1982.

72. Ogorodnikov V. A., Prigarin S. М. Numerical Modeling of Random Processes and Fields: Algorithms and Applications. — Utrecht: Kluwer, 1996.

73. Freeze R. A. A stochastic-conceptual analysis of one-dimensional ground water. Water Resources Reseach // 1975. Vol. 11, No. 5.- P. 725-741.

74. Sudicky E.A. A natural experiment on solute transport in a sand aquifer:spatial variability of hydraulic conductivity and its role in the dispertion process // . Water Resources Reseach. -1986. — Vol. 22, No. 13.— P. 2069-2082.

75. Soboleva O.N., Kurochkina E. P. Effective coefficients in anisotropic porous medium with multiscale log-normal conductivity // Proceeding of 3nd WSEAS Int. Conference on Applied and Theoretical Mechanics. — Spain, Puerto De La Cruz. — 2007.— P. 3338.

76. Николаевский B.H. Конвективная диффузия в пористых средах // Прикладная математика и механика. — 1959 — Т. 23 № 6. — С. 1042 -1050.

77. Николаевский В. II. Механика насыщенных пористых сред. — Москва: Недра, 1970.

78. Развитие исследований но теории фильтрации в СССР. / Под ред.акад. П. Я. Полубариновой-Кочиной. — Москва: Наука, 1969.

79. Suffman P.G. A theory of dispertion in porous medium // J. Fluid Mechanics. — 1959. — Vol. 6, No. 3. P. 321-349.

80. Шейдегср А. Е. Физика течений жидкости через пористые среды. — Москва: Гостоптехиздат, 1960.

81. Кузьмин Г. А., Соболева О. II. Вытеснение жидкости в пористых автомодельных средах // Физическая мезомеханика. — 2002. — Т. 5 JV® 5.— С. 119-123.

82. Кузьмин Г.А., Соболева О.Н. Метод ренормгруппы для фильтрации и дисперсии во фракталях // Труды конференции: Математические методы в геофизике. — Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН. 2003. - Ч . 1. - С. 112-118.

83. Kurochkina Е. P., Soboleva О. N. Numerical simulation of the two -phase displacement in a scale-invariant porous medium // Труды конференции: Математические методы в геофизике. — Новосибирск: ИВМ и МГ СО РАН. — 2003. — Ч . 1. — С. 119-124.

84. Курочкина Е. П., Соболева О.Н., Эпов М. И. Численное моделирование движения двухфазной жидкости во фрактальной пористой среде // Физико-технические проблемы разработки полезных ископаемых. — 2004. — 5. — С. 60-68.

85. Кузьмин Р. А., Соболева О. Н. Подсеточное моделирование фильтрации и дисперсии во фрактальной пористой среде // Сибирский журнал индустриальной математики. 2005. - Т. 8, № 2. — С. 124-134

86. Курочкина E. П., Соболева О. H., Эпов М. И Эффективные коэффициенты в квазистационарных уравнениях Максвелла с многомасштабной случайно-неоднородной электропроводностью // Докл. РАН.— 2007. — Т. 413, № 6. — С. 820-825.

87. Курочкина Е. П., Соболева О. Н. Подсеточное моделирование для квазистационарных уравнений Максвелла // Труды научного конгресса ГЕО-Сибирь 2008. — 2008. С. 228-232.

88. Лебедев В. И. Разностные аналоги ортогональных разложений основных дифференциальных операторов и некоторых краевых задач математической физики // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1964. Т. 4, № 3. С. 449-461.

89. Davydycheva S., Drushkin V., Habashy Т. An efficient finite-difference scheme for electromagnetic logging in 3-d anisotropic inhomogeneous media // Geophysics. — 2003. Vol. 68, No. 5. - P. 1525-1536.

90. Гнеденко В. В., Колмогоров А. Н. Предельные распределения для сумм независимых случайных величин. — Ленинград: Гостехиздат, 1949.

91. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. — Москва: Мир, 1964.

92. Брычков Ю. А., Маричев О. И., Прудников А. П. Интегралы и ряды. — Москва: Наука, 1981.

93. Градштейп И. С., Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — Москва: Физматгиз, 1963.

94. Эрдейи А. Асимптотические разложения. — Москва: Физматгиз, 1962.

95. ЗолотаревВ. М. Одномерные устойчивые распределения. — Москва: Наука, 1983.

96. Zolotarev V. М., Uchaikin V. V. Chance and Stability. Stable Distributions and their Applications. — The Netherlands Utrecht.: VSP, 1999.

97. Samorodnitsky G.,Taqqu M. S. Stable non-Gaussian random processes. — N.Y., London: Chapman-Hill., 1994.

98. Лаврентьев M. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. — Москва: Наука, 1965.

99. Лифшиц И. М. Розеицвейг Л. Н. К теории упругих свойств поликристаллов // Журнал теоретической и экспериментальной физики. — 1946. — Т. 16, № 11. — С. 967-980.

100. Шварц Л. Математические методы для физических наук. — Москва: Мир, 1965.

101. Каган Р. Л., Федорченко Е. И. К вопросу о статистическом моделировании двумерных метеорологических полей // Труды ГГО 1973. — 1973. — С. 20-26.

102. Товстик Т. М. Моделирование однородного Гауссовского поля // Труды X Всесоюзного симпозиума Методы моделирования и аппаратурный анализ случайных процессов и полей. — 1978. — С. 75-77.

103. МихайловГ. А., Войтишек А. В. Численное статистическое моделирование. — Москва: Учебно-Изд. центр "Академия", 2006.

104. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. — Москва: Наука, 1989.

105. Chambers J. М., Mallows С., Stuck В. W. A method for simulating stable random variables // Jornal of the American Statistical Association. — 1976. — Vol. 71, No. 354. P. 340-344.

106. Bouffadel M. C., Lu S., et al. Multifractal scaling of the intrinsic permeability // Water Resours Research. 2000. - Vol. 36, No. 11. — P. 3211-3222.

107. Соболева O.H., Курочкина E. П. Эффективные коэффициенты в задаче гидродинамической дисперсии с фрактальной проводимостью и пористостью // Вестник КАЗНУ им. Аль-Фараби серия математика, механика, информатика.— 2008. — Т. 59, № 4. С. 184-191.

108. Антонов Ю.Н. Технология исследования нефтегазовых скважин на основе ВИ-КИЗ / Ред. М.И. Эпов. Новосибирск: СО РАН, 2000.

109. Глинер Э. В., Котляков Н. С., Смирнов М. М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. — Москва: Физматгиз, 1962.

110. Yee К. S. Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. — 1966. Vol. 14, No.3. - P. 295-301.

111. Sleijpen G., Van der Vorst H. and Modersitzki J. Differences in the effects of rounding errors in krylov solvers for symmetric indefinite linear systems, matrix // Matrix Anal. Appl. 2000. - Vol. 22, No. 3. - P. 726-751.