автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Почти периодические функции Бора-Френеля



Ой

> н "\Ч ГЛ-*

! |Л V

5 ~ "" САНКГ-ПЕГГЕРБУРТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСЭТЕТ

На правах рукописи

ОСИПОВ Виктор Федорович

ПОЧТИ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ФУНКЦИЯ БОРА-ФРЕНЕЛЯ

05. 13. Г6 - применения вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Диссертация в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Санкт-Петербург - 1993

Работа выполнена на кафедре астрономии математако-кеханического факультета Санкт-Петербургского университета'

Официальные оппоненты: члон-корреспонденг РАН,

доктор физико-математических, наук, профессор И. А. ИБРАГИШВ доктор физико-математических: наук, профессор Н. М. МАТВЕЕВ доктор физико-математических наук, профессор В. Д.. ХАРИТОНОВ

Ведущая организация - Вычислительный центр РАН

Защита состоится " § и titOjl.fr 1993 г. в {(о чалов

на заседании специализированного совета Л - 063. 57. 33 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук' при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: Санкт-Петербург, В. 0», 10 линия, дом 33, ауд 88.

С диссертацией можно ознакомиться в Няучной библиотека им.. М. Горького СПОИ", Университетскат набережная, дом 7/9,

Диссертация разослана 1993 г.

. Ученый секретарь-специализированного совета, -.. кандидат .физико-математических наук, доцент

А. Д. Еабко

ОБЩАЯ ХАРЛЯТЕРЖТМЛ РАБОТЫ

Актуальность исследования. В классическом исследовании о возмущениях больлих планет Лагранж показал, что в первом приближении долгота перигелия момет бить представлена, аргументом некоторого полинома РС^М^ + а^Ч ... + й^ е'^ц Б частном случае, когда )С!»1 > + ... + , его аргумент является суммой векового члена X,-Ъ и некоторого ограниченного остатка. Ег.ту принадлежат постановка задачи об исследовании изменения аргумента в общем слу -чае, когда тригонометрический полином не содержи преобладающего члена. После многочисленных попыток, предпринятых астрономами и математиками, только в 1909 г. П. Болю удалось полностью исследовать простейший нетривиальный случа.1 N = 3. Отметим, что Боль использует диофантовы приДлихеняя и в этой связи впервые в его работе появилось важное понятие равномерного распределения по модулю I. Другим источником теории почти периодических функций являются ранние работы Г. Бора, посвященные вопросам распределения нулей дзе-та-одгнкции и рядов Дирихле на вертикапышх прямых комплекснов плоскости, ваташ в аналитической теории чисел.

Класс непрерывных почти периодических (п. п.") функций на вещественно?} прямой ¡Я бил введен и достаточно полно исследован Г, Бором в 20-их годах. В дальнейшей теория Бора получила существенное развитие в работах С. Бохнера, Г. Зе"ш1, Да. НвЛ.еига, 3. В. Степанова, Н. Н. Боголюбова и др. В настоящее врем имеется весьма полная теория различных классов п. п. пункций и их приложений в других областях математики, например з теории обыкновешняс дифференциальных уравнении, математической '(¡изике, теории вероятностей, в частности в теории стохастических процессов и анализе временно ряцов, а такте в то и шпшнериом деле.

Теория п. п. функций оказала сильное влияние на гармонический анализ на произвольных локально компактных коммутативных группах к теория прздегавтешй. Отмзтач и обратное влияние абстрактного гармонического анализа. Например, теория двойственности Л. С. Понтрягина позволяет ввести понятие Ооровско'Л коютактирика-цки и охарактеризовать п. п. функции на группе как функции, допус-

к&'ощне нзпрсрнвиоо про^о/ггение на эту комнактн^икачпю. 3 результате теория п. п. 5yiiKU:'Ji сзоцдтси к шкшизу Фурье непрерывных 'пушс-щь1 на компактной группе, которая является естественной областью определения (пространством максимальных яцеалов) исчодкей ачгебри п. п. функций. Необходимо подчеркнуть, что по ре-сод к боровской ком-пакти'Зкшации отнюдь не стирает глубокое содер'кание теории п. п. Функций. Наоборот, вложение первоначально'! области определения в ее боровскую компактирщедим нетривиально в такой степени, что даже в проекции на естественную область 'определения какого-либо подкласса ¡тан да;;;е одной п. п. Функции .ложно обнаружить огромное разнообразие возможностей (периодические дарения в виде многомерных фигур Якссажу, всоду плотнив обмотки торов, ш'.шоки". класс.интегральных траекторий на многообразиях и т. д.) . Это позволяет моделировать достаточно сложные процессы изменения, встречающиеся, например, в теории динамических систем, теории управления, при анализе временных рядов и т. п.

Однако, кшс отмечалось еще Л. Пуанкаре, существует болое слспше виды движений.. В более поздних работах Г. БиркгоТа по нелинейной механике был выделен важный класс рекуррентные движений, т. е. движений, возникающих в результате суперпозиции различных чистых колебаний, но с переменными во времени частотами. Следуя Л. Л. Маркову, рекуррентные движения разбивается на два различных гю своим свойствам масса- эргоцические, т. е. имеющие средние значения, и наэргоднческш. Класс S непрерывных йункчпн на пря-:.:о::, обладающих средними значениями, изучался так'ке II. Винером с поиощыо обобщенного гармонического анализа. Аналитическая теория представления эргодкческих классов рекуррентных движении била построзна 3. И. Зубовым. С поиощыо широкого обобщения теоремы" Кро-некера о совместных решениях неравенств он, в частности, исследовал ааа-шЗ класс рекуррентных функции, включающий колебания с частота;;;:!, полиномиально зависящими от времени.

Другое направление развития гармонического анализа связано с общей- задачей о восстановлении функции по ое спектру ( иночеству нулей преобразования Фурье) . Так, в случае сворточной алгебры суммируемых функций на локально компактной коммутативно» группе G стандартными методами перехода к двойственным объектам задача спектрального синтеза шлет быть сформулирована как зацача об описании замкнутых идеалов I сверточноП ангебры U(G)

Простейшей характеристикой замкнутого вдеача Iе (б--)является его спектр - подмножество "2.(Х^= Е в группе Г непрерывных характеров на й , состоящее из обЛдо-ч пулой преобразований Фурье £ функций-^£3. . Если по множеству Е = 2(1) идеал X восстанавливается однозначно, то говорят, что замкнутое множество Е есть множество спектрального синтеза. Напрзмер, множествами спектрального синтеза являются пустое множество (тауберова теорома Випера), множество, состоядэе из изолированных точек (В. А. Диткин) , три-адическое множество Кантора на прямой и единичная окружность на плоскости (1С. Герц"). Однако для некомпактных групп б соответствие не является взаимно однозначным, т. е. существуют замкнутые подмножества Е с Г , для которых из условия "¿(¡.¡¡У* = = Е- не следует равенство ХЛ = 1А. Так, в 1948 г. Л.Шварц доказал, что единичная сфера 2й'с 1Р.3 не является множеством спектрального синтеза, а в дальнейшем Н. Варопулос распространил этот' результат на сферы в многомерных пространствах. Заметим, что не -синтезируемость сферы тесно связана с тем обстоятельством, что суммируемая функция в ¡^""(п» З-) , зависящая только от радиуса, имеет непрерывно дифференцируемое преобразование Фурье, что позволяет различить ддеалн со спектром по нулям о учетом их кратности.

Аналитическая техника Л. Шварца, основанная на преобразовании Фурье обобщенных функций, переносится со сфер на произвольные поверхности с ненулевой гауссовой кривизной, но не применима к подмножествам вещественной прямой или плоскости. Однако с помощью тонких методов теории случайных рядов Фурье можно доказать, что для алгебр абсолютно схо.цящихся интегралов и рядов Фурье существуют несинтезируемые множества (П. Майяввн) ,

В настоящее время существует отцелышэ теоромл с достаточными условиями для восстановления функции по ее спектру и ряд прдае-ров несинтезируемых функций. Но в целом задача спектрального синтеза, т. е. задача классификации замкнутых идеалов групповой ал -гебрц, остается нерешенной проблемой современного гармонического анализа.

Цель исследования - распространить основные теоремы гармонического анализа яа интегральные преобразования Фурье-Френеля, дать обобщенный гармонический анализ п. п. функций Бора-Френеля, изу -чить пространство максимальных идеалов, указать необходимые и дос-

таточные условия почти периодичности второй степени и полученные результаты распространить на произвольг.пе локально компактные коммутативные группы;

— построить символическое исчисление в алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье и с его помощью построить новые примеры несинтезируомых функций, дать различные конструкции семейств идеалов с одним и тем же спектром, изучить явление склеивания идеалов гладких функций при замакании.

Метопы исследования - используются основные теоремы из теории функций, классического анализа Фурье и абстрактного гармонического анализа на группах, теория индуцированных: представлений, диофанто-вы приближения и равномерные распределения, асимптотические методы для интегралов от бистро осциллирующих функций и специальные функции.

Научная новизна состоит в следующем:

Г. Установлены и доказаны осшн ные свойства интегрального преобразования Фурье-Френеля на локально компактных коммутативных группах.

2- Проведен обобщенный гармонический анализ п. п. функция Бора-Френэля на прямой.

3. Дано полное описание пространства максимальных идеалов алгебры п. п. функций Бора-Френеля на прямой, дая К"', 2 и других групп.

4. Доказаны необходимые и достаточные услозия почти периодичности второй степени в терминах почти периодов и с помощью боровских п. п. функций от нескольких переменных.

5". Рассмотрены различные способы разложения п. п. функций Бора-Френеля на группе целых чисел и исследованы свойства таких разложений в связи с появлением неархимедовой компоненты в прост-; рансгве максимальных щеглов.

6.Для несинтезируешк подмножеств евклидовых пространств построены континуальные семейства промежуточных идеалов и исследован эффект склеивания идеалов гладких функщм при замыкании.

7. Построено символическое исчисление в алгебре абсолютно сходящихся интегралов Фурье.

8. Изучены расслоения группы характеров на множества уровня несинтеаируемой функции.

9. Построены семейства промезсуточных главных идеалоо в алгебре абсолютно сходящихся рядов Фурье.

ГО. Исследован класс липшицевых функций, несинтезируемих в алгебре абсолютно сходящихся рядов Фурье.

Практическая значимость работы. Исследование имеет теорем -ческий характер. Результаты могут быть попользованы при исследовании различных классов рекуррентных функций и в задачах гармонического анализа и стайтрашюго синтеза. Они могут найти применения в нелинейной механике, квантовой механике, теории динамических . систем, теории управления, в задачах кодирования и при спектральном анализе эмпирических данных.

Агтообатая материалов исследования проходила в докладах на се-.минарах по теории дифференциальных уравнений и теории функций в Салкт-Петербурге, на семинара по теории чисел в С.-Петербург, отд. 'Математического института иг.!. В. А. Стеклова Российск. АН, на се-Шнаре по банаховым алгебрам в Московском университете, на конференциях по комплексному анализу в г. Черноголовке.

По теме диссертации опубликовано 13 работ общим объемом 571 стр., из них 2 уч. пособия (по 6,5 печ. л.") и научная моно-• гравия (18 печ. л.^ ..

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

ЗиьХх.

Вместе с чистыми колебаниями Ч на вещественной прямой

1Я рассмотрим волны Зреиеля +. обра-

зуем всевозможные -тригонометрические полиномы второй степени

где ц<, Оь,..., аП/ - произвольные комплексные числа. Функция _{. на {¡^ называется почти периодической (п. п.) функцией Бора-Френеля, если дом каждого £> 0 существует тригонометрический полином второй степени Т , такой', что

Т(а")\<£ для любого х€1Я . Другими словами, п. л. Функции Бора-Френзля являются равномерными

пределами последовательностей тригонометрических полиномов второй степени. Ограничившись тригонометрическими полиномами, составленными только из чистых колебаний, мы получим в пределе п. п. функции Бора. Нетрудно убедиться в том, что дме волна Френеля с ненулевым К не является боровскоЧ п. п. функцией, поэтому класс всех п. п. функций Бора-Френеля является расширением класса Др п. п. функций Бора. Однако АРа существенно уже масса всех рекуррентных функций и дачсе меньше, чем подкласс рекуррентных функций, обладающих средними значениями. Возникает естественный вопрос о том, в какой степени основные результаты для боровских • п.. п. функций переносятся на п. п. функции Бора-Френеля. В частности, какова естественная область определения (пространство максимальных идеалов) алгебры А Ра , что дает обобщенный гармонический анализ таких функций с помоцыо автокорреляционных функций и в какой форме справедлива характеристика функций из в терми -

нах почти периодов?

Теперь рассмотрим произвольную локально компактную коммутативную группу б . и пусть Г - группа характеров, т. е. непрерывных функций и :в-»"ТГ , дчя которых +д') • Характером второй степени на называется функция % : . удовлетворяющая функциональному уравнению

Заметим, что в случае, когда £ , характеры второй степени

есть в точности волны Френеля. На аццитивпой группе целых чисел Ж характеры второй степени имеют вид

а для & =Т - понятия.характера второй степени и характера совпадают .

Будем называть тригонометрическим полиномом второй степени на группе й произвольную линейную комбинацию (о комплексными коэффициентами) характеров второй степени на в . Тогда п. п. функции Бора-Френелл на группе в возникают как равномерные предали полиномов указанного ввда. В какой степени теория а. п. функций на группе О распространяется на п. п. функции второй степени?

Глава Г. Почти периодические функции Бора-Френеля на пршой.

Г. Обобщенные сгпзиги. Известно, что непрерывная кошиэксно-значнйя функция на является п. п. функцией Бора тогда и только тогда, когда множество ,{.£сЛ еа сдвигов имеет компактное замыкание в пространстве всех ограничен-

ных непрерывных функций па прягдой. Фиксируем и определим

операцию

(АьШ-к'+Ъ*

Если - волна Френеля, то обобщошше сдвиги =

=Т£"^ЩД^_имегот групповое свойство

Пусть | - непрерывная функция на 1Р, . Если замыкание вС(Ж) множества обобщенных сдвигов { Ц.6< Д")?^^ компактно, то ^ называется (К, У) -почти периодической функцией.

Теорем а I. Непрерывная функция £ является (к, X") -почти периодической тогда и только тогда, когда , где'

^ - п. п. функция Бора.

Класс (к, У) -почти периодических функций не зависит от X , йоэтому мы будем говорить о к-почти периодических Функциях.

Все обобщенные сдвиги объединяются в одну группу ,

где групповая операция определена соотношением

т. е. есть центральное расширение (Я2, с помощью окружности т . Пусть V = (Ъ ^ ИА , а и<у,е) = — Если I = { = (Ч , - - лагран%^а пошлая

в Щ.8-, то 17(«№0= А^..

Если <Л. : !&-> отображение, дня которого оШ) =

к^вмк^о . то = , V) . Наконец, коммута -

тивная подгруппа содер;й1тся в Ь = 1*Т СА(|Я"), а функция Ц • Ь 6) =4к>*ШЭ) является характером на I» , равным

единице на подгруппе . Этот характер ^ зависит от к , т. е. от выбора лагрантевоЯ прямой I на плоскости 1Я.*'.

2. Преобразование Фурь9-?ренвтя. Для заданной лаграюсевой прямо": £ рассмотрим представление группы A(lR), индуцированное характером "Й : Д/,йч

Представление

W действует левыми сдвигами гильбертовом пространстве Н(£) - пополнении гладких функций на , ДЛЯ которых 4(iO = i(2o) 'S (г) (2 ¿A(lR), 20eL) и

^A^yJ ^SC^^ci m. С^ ^ о- ,

где с!т(г) - мера на А^у^ , естественным образом согласованная с i'epo"; Хаара <1 т.(г") на группе A(fR) • По теореме Стоуна- фон Неймана представления \V(l) , отвечавдие различным & , унитарно эквивалентны. 1Сроме того, для любой гладкой 'пункции <$€Н(£)имеем:

luixv ,

ч(х,^ ,q)=4> «е ч(л . о, о .

поэтому у полностью определяется Функцией "Ч" :ЧЧ.*") =(ä(* , ОД). Полагая ■у = R sf и продолжая по непрерывности отображение R с плотного подмножества гладких функций на все пространство Н 1£) , получим изометрический оператор из Н(£) на L^lR) . Но тогда унитарное представление W(0 можно прообразовать в унитарное представление ка : W(t) = R W(i) fT*.

Например, дая лагралгювых: прямых U 0) : Ii? } , =

= |(0, j) : jtfR};: (!}={(± , соотаетствуядке унитар-

ные представления V{,= \л?(<,сХ" = 1, 2, 3) действуют следующим образом: asit

W«(t , 0, 15ч-(3)=е Чф, Vft(x.. о, -xol,

w, (0 , ¡¡0. = -зл, vt(o . t, i^уч1*1*^

w<(c , о, , wA(o , о, ечм .

V/, (t , -Kt, Уф,

W3 (о , 3. , - J.-),

Wi <0 . 0, 6) ч^) = о .

Пусть 1"кг : L*(lR)-»i5(lR)- линейный оператор, сплетажщй представление Wi с представленае;л VK, т. е. =WKFKX (к = = i, 2, 3) . Torna Fi4 есть классическое преобразование уурье и

= дает формулу обращения. Кроме того, дая и получаек, что ( _

* Г С г^™ ,

и справедливо оаооистзо гло гчьо|- = —-• 1« , где

и

- оператор тождественного прообразована«.

Теперь определим интегральное преобразование Фурьа-Оренета:

•"а

совпадающее с преобразованием ¿урье при К = 0. Преобразования Фурье и Фурье-'5ренеля одной и той жв функции £ связаны между собой интегральным преобразованием ,а

для которого Зхгочула обращения имеет вид:

Отметж, что оператор сплетает оператор сдвига на ^ с оператором умножения на характер е2"4^ > а оператор точно так яэ сплетает обобщенный сдвиг с умножением яа характер. Аналогичные свойства справедтивн для других сплетаодах операторов и для интегрального преобразования Фурье-Френеля. Все эти свойства допускают-естественное обобщение на случай произвольных локально ко мпактных коммутативных групп.

3. Обобненный гармонический анатаз п. п. 'Ьункгщй Бо-па-^ене ■ ля. Прянш вычисление« мочно убедиться в том, что дум волны^ =к2¡ГСXх)(к-*о)энергия той части колебания, описываемого'вол-ной Френеля, которая соответствует любому конечному проме::сутку частот Сч, , равна нулю, но в то .чга время полная энергия, соответствующая всей прямой частот, с точностью до'постоянного множителя равна единице. Следовательно, средствами обобщенного гармонического анализа, использующего только чистые колебания, мы не в состоянии локализовать к любому конечноглу промежутку частот энер-гтш колебания, описываемого волнами Френеля, тригонометрическими полшгом&чи второй степени или обдага п. п. ^{ункциями Бора-Френеля.

- 12 -

Однако обобщенный гармонически?! анатаз на прямой можю проводить с использованием не только средних значена л автокорреляционных функций _

но и их аналогов, нозникаощих при замене операции обычного сдвига на операцию обобщенного сдаига :

нГ (^o^x^t,

Т-»+оо -Т —-_

Результатом такого анализа являются следуэдче теоремы.

Теорем а 2. Для лчбой п. п. функции Бора-5ренеля \ су.це-ствуот конечной среднее значение Н^?-) . Более общо: для каядоД пары /к, XJe.R*' существует конечное среднее значение

^ - N lim i- ^f^'^Ux.

* v -т *

при этом выполняется уравнение замкнутости

у—|c(K,V»r- fcm

т—о. ЯТ зт

Теорема 3. Для любой п. п. функция Бора-Фрелачя ее ряд Борэ-5урье ^--ТПкхЧ^Х*.

2_c(w,v)e

сходится к Функции + в смысле среднеквадратичного по фильтру конечных. дополнений, т. е. для кавдого£> 0 судестьует конечное под-мло'когтво FociRA, такое, что для Бсех конечных подмножеств F^lR*; содержащих Г0 , выполняется неравенство

м(| и*-)' Е ¡*W

С«,У>€5= л .. . О

оудем называть спектром п. п. функция Ьора-^рзчеля f множество тех характеров в'^роЯ стелена (волн Френеля) , для которых С(к , у> =M($4vt>>ta.

Теорема 4. Каздая п. п. функция Бора-Орзноля с любой точность» равномерно аппроксимируется тригонометрическим полипомами второй стапеля, состаьленшми из волн Фроиоля, пппнпдаетшалх ее спектру.

- 13 -

Теорема 5. Если для почти периодической пункции Бора-Зрекеля ^ среднее значение М(\?11) = О, то | = 0.

Теорема 6. Существует оператор проектирования Р0 : А Ра -»АР ' ДОЯ которого 1\Р0Н =11 выполняется условие Бирк-гофа:

для люб юс |бАР и ^ £ А Ра. . Кроме того, для любого

существует непрерывная проекция Рк: АРь->АРбО113 алгебры почти периодических функций Бора-Френеля на замкнутое подпространство АРС^ . состоящее из всех к -почтя периодических Туш'диЛ.

Отметил, что теорема 6 и аналогичные утверждения о существовании непрерывных проекций для других, подалгебр или подпрост -ракств, используемых далее, доказываются с помодью подходящих аппроксимативных единиц типа ядер ОеЗера яли составных ядер Бох-нера, но модифицированных к ситуация обобщенных сдвигов.

4. Пространство максимальных идеатор атгебта

Из об- .

ще": теории банаховых алгебр следует, что алгебры АР(1Ю я АРа(1^ изометрически К - изоморфна атгебрач всех непрерывных сункцю: на некоторых'компактных хаусдорфовых пространствах. Яатримэр, в случае ачгэбры в качестве такого пространства мо:шо ззять боровскую компактификацию (Я5 вещественно,1 прямой, состоящую из всех алгебраических характеров на 18. , т. е. отображений у :1Я-нГ , для которых $(*■♦• = "йС*^(без требования непрерывности, поэтом;/ в анализе Фурье появляются неизмеримые функции) . Прямая1Я вкладывается в как всюду яютное подгдаокаство, т. е. суцест-вует непрерывная биекцяя Т : 1Й , такая, что г ((Я) = ¡й ^ . Кроме того, п. п. функция Бора ^ есть та и только те непрерывные Функции на , которые допускают непрерывное продолжение на , т. э. существует такая, что = |в(т(*))лдя любых хе. К. .

Боровскую компактн^икаци» (Я^ и вложение мотао опи-

сать елелуицям образом. Стачала рассмотрим алгебру Ст(1й) всех непрерывных периодических .рункця.'х на с периодом Т , т. а. равномерное замшсаняе жо7.ества тригонометрических полиномов,составленных из чистых колебаний вида^¡.ъ-ыл. ^_ > Ж) . В качестве пространства максимальных идеалов для адгебрн

взять произвольны.! отрезок данной Т , в котором дополнительно ото'лцвотвляотся концы. Эту о&чу» область определения фунЗДиЯ из СтО^) стандартно изобразим в виде окру.шости Т . Далее, пусть "Г=г*Л7т = г. 3,... ^ и и. = —= — - аликвотная часть перво-

т \ * ' Т1 ПО. ..

начальной частоты ы . Пространство максимальных идеалов атгебры есть снова окрушость Т . Пусть Р : Сг^К^С-^^

- проекция из на подалгебру Ст(Я) , заданная оор.мулой

Тогда сопряженный оператор швдцирует непрерывное отображение пространств максимальных идеалов 'Н' : Т^-^ТТ , дтя которого ^ а"1- - »«.-кратная обмотка окрухности ТГ . Если и - две ата:зотные части .Тмксирован-

ной частоты ы и ¿делятся нам.(6 =кт>, то дм Т, = иТ^= — пространства максимальных идеалов алгебр и С-у (КС) свя-

заны непрерывным отобра-.онпем : Т^-^Тм. . ДО* которого

= 2* - к-кратная обмотка окружтости Т^ окружностью Т^. Очевидно, что отобраюния согласованн метсду собой, т. е.

Ч'р^ = . vm.lt и .В результате получаем

проективную систему окружностей [Т(Д , для которой проектявпш! предел Х(д> есть пространство 1лаксяматьных идеалов алгебры А(<*>) -равномерного замыкания шотсестза тригонометрических полиномов, составленных из колебаний в:шД

Теперь возьмем две несоязларяше частоты я и рассмотрим алгебру всех непрерывных Дунк'^ий, которые мотао с л<обой точностью равномерно аппроксимировать тригонометрическими полиномами, составленными из волн вица«ир/5?Цкы4 , . Ее пространство максимадьнь'д. идеалов мозно отождествить с двумерным торой Та. Но тогда дая всех функций, которые молено построить с помощью волн видаехрф^г^+г^^ж.) , естественной областью задания будет проективный предел системы торов"Т< > -

ТГ ТГ V 4) ^

= х относитзльно согласованной системы отображений = ' = мях, чте '*Сг,,гА-)=(24к,,ждк*-'),

где = , = кдИд,.

Аначогичко для трех рационально независимых частот Ч,«,, и иг, алгебра функций, образованных с пэмоцью волн вида«хр(}Г;1(>|^ +

и;леет своим пространством чакси -

малъшлс идеалов проективный преде ч система трехмерных тороз. Затем рассматряваэтся всевозможные конечны? системы ратионаг но независимых частот , ,..., , со. лзэтствутохю *> -мерные торн Т1 и их проективные пределы, из которых строится пространство максимальных идеалов алгебры AP^R4) всех боровских п. п.- мункдай на прямой с помогаю еще одного проективного продела по всевозможным конечным подмножествам , и!я,..., } базиса дня ве^ест -венной прямо.1 (R , рассматриваемо! как бесконечномерное линейное пространство над полем рациональных чисел Q . Наконец, вло'кешю

t': lft строится следуга'дягл образом. Как уае отмечалось,

прямая IR наматывается на округлость в случае ачгебрн C-j^R'), а при рассмотрении двух несоизмеримых частот возникает всюду плотная обмотка двумерного тора. Аналогично мы получаем обмотки многомерных торов, причем влоаеиия в пространства максимальных идеалов различных подалгебр согласованы мечцу собо.'!, поэтому маяно образовать их проективный предал - влотенле прямой R в пространство максимальных идеатов алгебры АР(ЙЧ) .

Доказнэаотся, что естественная область определения алгебры получается в результате удвоения всех окрудностей, то-I30B и их проективных пределов, которые встречается в теории боровских п. п. функций, т. е. волны .¿"""•к*"' a х в определенной смысле незазяслмы. Точнее, справедливы следущиэ теоремы.

Теорем а7. Пусть к0, Х0 - произвольные вещественные числа, отличные от нуля, и Ко) есть алгебра всех п. п. функ-

ций Вора-Френеля, спектр которых содержится в множестве ( : Кб к0 Ж , XfiAoZ-J. Тогда пространство максимальных идеаяов алгебры Хо) есть двумерный тор ТТ* , а вложение прямой (Я в 1Г осуществляется непрерывный обобрат-енивм Ч" :

при этом "Ч^ iC) = Т\й.

ТворемаЗ. Пусть Ко , Х0 - произвольные вещественные числа, отличные от нуля, Хл= — (rv = I, 2,...\ и

IV

С(Ко До) =U b(v<o,X.v>

С л~)

- замкнутая -подалгебра, состоящая из всех п. п. функцил Бора-Френеля, споктр которых содержится в множестве { {*,> :k€kpiE, Xfe^Q]. Пусть непрерывные отображения :Тг~»Т* (м^та про-

страыетва максимальных идеалов алгебры В(к0,Х„Лв пространство максимальных идеалов алгебры Ь(к0, Хц,-) заданы формулой

и (п = I, 2,...) - непрэрьшчые вложения прямой й в

пространства макслчальных идеалов алгебр Ь(к0, X«,").

Тогда системы {Чвв1\и (ч*^согласованы метду собой в том смысле, что =ЧПю»<Зт4 (л 1м ,м|()и Ч пространство максимальных идеалов алгебры С (к«, Хо") есть проективный прэдел двударних торов Т*- относительно системы стобратсзний

Члт , а вложение "Ч' прямой 1Р. в пространство максклалышх идеалов алгебры С (к», Хо") а качестве всюду плотного подмножества является проективным пределом последовательности вложений Ч^:

& т*.

Т е о р в м а 9. Пусть Ко, Х0 , Х^ - произвольные вецественниз числа, отлетные от нуля, Х»/хА- иррационатьное число, С(«ь. - замкнутая *-подалгебра для , состоящая из всех п. п.

функций Бора-5ранеля, спектр которых содержится в множестве {-Рид: Ж , X (■- Х„ф + Х,0] . Пусть две последовательности -[Хрп ] к заданы соотношениями Хо = п Хвл , = 1, 2,...■)

и 6(кв, Хо»,, , т = I, 2,...} - замкнутые подачгебры функ-

ций со спектром, лежащем в множестве {?к,\: Кб 2, Х4 Х011"2. +■ + Х<П1Ж}.

Тогда ——|-

С («о. Хь. V«) = и и В(Кс,ЛопЛиЛ.

пространства максимальных идеалов алгебр Ь(к0,Х0п , являются трехмерными торами Т* , а пространство максимальных идаалов ал -гебрц С(к0, X«, есть проективный. предал систег/щ торов ТГ«>1а = ^ ТГ3 относительно .системы согласованных мэвду собой отображений

«».и ~ ' и г*ТГ„ (п01ч„ п«!*»«^. ГДе & ' 2,11 ^ = *'Вв ' т' = *

Получвиный в теореме 9 результат о структуре пространства максимальных идеалов алгебры С(к0.Х0 , X,) переносится иа случай одного ненулевого а конечного набора рационально независи-

мые частот X, , ,

Зместс с атгебройС (к0,\Х-«) рассмотреть алгебры С (Коя., >ч.....¡^и4) , соответствуете аишошш частя . К0Л=

=ка/Л,(л= 2, 3,.., ) , и алгебру_

3>(«о . *......= Х(.....ХО '

Пространство яакелмалытх идеалов алгебра Ь(|'о Д\ ,... ДОпредставляется прошсктннгл япечелом по,х'ипя'",?г' сисге-ла (х* I) -чзрнвх торов яяя лроекгггоныа арегселоа проссралств г.таксматышх идеалов

алгебр С(коп, X,.....Хг") . Кроме того, для лэбых наборов рацио -

иальпо незазнси-.мс чнсз.т (х, ,НЬ ,... ,>ч) ()>, , X а,,..., V х ^ рассматривается алгебра , , | л, , Аа ,..., ы. п. -Ъунк-ця?. Бора-Зрзаоля, спектр ко торах состоит из волн Зроналя 0 ... + к4£) , X 6 X,® ч-Хя.® + ... +\гО . пространством наксипадаетх кд^т-юэ такой алгеЗры является подходлтдей проективный предел (ь +г) -лграшс тороз. Доказательство использует технику операторов усреднения, удовлвтворякгцяк условия £аркгэ1&, с помэчьд которых яз:га строятся оператора проектирования на различные подачгебрн, а такяв тоореми из творчя рчвкоморлих распределений после довательлосте',1 чисел л векторов и теорему Кронекэра о совместных рулениях неравенств.

Наконец, пространство максимальных идеалов алг^брч АРцОЮ строится аз пространств максичалыпгх идеалов алгебр 3)(к,....,К4 , А,,..., Х-с) с помочь» проективного продела по всевозможным конечным наборам (к, , .....к4у ;; [Х< , Хь) рациональна /«зависима ве-цоственных. чисел из двух базисоз для К, над О . Кроме того, вло-гения Ч^ ....д^ прямой в пространства максимальных идеалов алгебр Ь(к, ,..., к4 , X, ,..X») согласованы мелду собой, поэтому мотно образовать их проективный предел -влоге.члз ^ в пространство максимальных идеалов алгебры (^¡Рч") -

Залети-,5, что с точность» до гомеоморфизма пространство максимальных здеаяов алгебры АРаС^ можно представить иначе. ПустьЬ(к) и - алгебры п. п. функций Бора-5рололя, состазлэшшо из функций, спектр которых содерадтся в множествах {е.9"**'**: СР} я [ ^"'Г^-*- : ¡Ь€ соответственно. Тогда пространства максимальных идеалов : Ху алгебр Т>60 и ЬОЛ есть проечтишше пределы систем окру.шостей Т .

Т е о р в и а 10. Пусть А и К - произвольные базисы для

бесконечномерного линейного пространства [R над поле.м рациональных чисел Q . Тот-да пространство максимальных идеалов алгебры ДРЛ (líV) п. п. функций Бора-щренелл на R совпадает (с точностью до гомеоморфизма ) с прямым произведением

х = (пх,)х(пх)

4XéA ЧеК '

пространств макет кальш« ияеачзв ч Ук зажнутых подачгебр

1)(А) !I ЬМ соответственно.

и достаточные усчовчя почти перпотинос«; üTQno't отеде:га. Пусть X - пространство гйысалаль:ш:с ддеадов а/г-гебоц APi(lR4) к t : R -» X - непрермзноо вло.'юнде R в X ■ Непрерывная функция | на IR является п. п. 'пункцией Еора-Орэколя тогда и только тогда, кох'да она допускает непрерывное продолжение на X > т. е. существует напрэрывная ¿унхция ч на компакте X • такан, что = для всех ÍR .

Как ¡tío отмечалось, п. п. фушс ,:;и Бора-Френеля является рекуррентными (по Биркгофу)функциями, поэтому они обладав? относительно плоткмч множеством почти периодов, зависящих, вообще гозоря, от аргумента * . Сле,дут>цие две теоремы указьшаот на характер такой зависимости.

Теорема II. Если | - п. п. Функция Бора-Френеля, то для любого £>0 существуют целм полотительнме числа а и 4 , нопгре-рызные гомоморфизмы "Ч", : (R. ТГг и Y*: IR Т6 , имеющие плотны"; образ в Тг и ТГЬ соответственно, а такче существует oitpacT-иости и Va единичного элемента в Т\г и ТТ4 , такие, что

| +1) - \(Л>\< Í дах.НЙ , как только ч-Д) ¿V, и 4í(2.kí é. Vx •

ТеоремаМ. Если | - п. ь. функция Ьэра-1>рэнеля, то дчя любого £7 С существу .от положительные числа Т =T¿£) и $ такие, что в л'Обж промэ-яугкаг Ь, Q +ТЦ a Q , Ь +ТЦ суцэст -вуют поцпроме^тм Д,= л = ^ (Í) длино.0. S , для которнх \\(х -t-t) - , как только -té й-., и xi Д. л, .

Одно из возмо.шшх описаний класса APs.п. п. Ф/нкцкй Бора-Френеля дает следуощея теорема.

Теорема 13. Напреркшая функция -? па ярямой ^ является почти периодической ЛуикциаЯ Бора-£рэнеля тогда и толико тогда, когда существует почти периодическая функция Ч на плоскости ¡я3-, такая, что {(-¿) = У (л дтш всех .

Другами словам!, класс п. п. Т.ункци.Ч Бора-Зргпеля совпадает с алгеброй сужений на параболу боровскюс п. п. ¡увщз!? от дг.ух перзмешшх.

Приводам еще одно необходимое и достаточное условно почти периодичности второй степени.

ТэоремаМ. Непрерывная функция | на прямой ¡Я является почти периодической функцией Еора-5реиеля тогда я только тогда, когда для любого положительного £ существуют положительное число Б и два набора рационально нозазясишос чисел (>ч Ля. , и

(к, ,к^ ,...,Н4) , такие, что

| - Ы< £

для всех х , -Ь € (Я , которые яаляэгся решениями системы неравенств

= I, 2.....х) ,

Глава 2. Почти периодические Ъутщгт Бора-Фрзиеля на локально компактных коммутативных группах.

I. Преобразование Отрье-Фоззета на группе. Аналогом ваши Френеля > является характер второй степени на произвольной локально компактной комчутатлзиоГ; группе б - непрерывная функция | : С 1Г , для которой отображение Ь Т , заданное

формулой п.

япляется характером ка о ш какдоI переменной при фиксированной другой.

Например, в случае, когда группа Ох - , характер второй степени 2 ямэет вид

а = е >>„,

- квадратичная Тюрма, а = ) а^- ла-неГлая Т«|у'4Гна езюпдозом пространстве *ж4

- га -

Пусть Г - двойственная группа характеров на G к = <х,ц> для л G , yfe Г - значение характера ¿f на элементе л. Считаем, что мерк Хаара на G и Г знбранн согласованна! образом, наярп'пр, s том сжгсло, что имеэт ¡лэсто стандартная формула обрацекм для пдроЗгвзоваахя 5урьь на груше G :

, F F< *)<*.*> J'i-

Рассмотрим "фазовое пространство" G x Г и для любого W = =(Ь .х/е G* Г определим оператор

Тогда F^V^U^ мя любых W, =(i,,TO =

=(tj Лл-) е&хГ , где F(w, = <t4, гА> . Кроме того, в А(&) = = G *ГхТ определил группозую операцию

В естественной топологии l\( G^) ест*. локально компактная группа ^группа Гейзенберга) , которая является центральные расширением группы G у. Г с помощью окрухности Т . Очевидно, что (w , 6)-* U(w . б) = G'UO)- унитарное представление группа Гейзеиберга А(&) в гильбертовом пространстве Lj(&).

С каздлм характером второй степени $ на группе G ассоциирован ымиетричшш гомоморфизм S = : G Г , для которого

+ ^ = <* G)-

Пусть t-{w(i)=(i. , ç t") : t е G ^ - лаграа-адво подпространство и oL : G A (G) - гомочор/рнзм, для которого J. (i) =(w(L), f(t)> • Боли Lt =■ ¿хТ и X : L —определено соотно;1экиомх(и,0") ~ & , то t : L->Т является непрерывным характером для коммутативной подгруппы LeA(G) • В результате для заданного харах-тэра второй степени определены лагрантезо подпространство h , коммутативная груша L и обычный характер X на L , равный на ¿((».Рассмотрим теперь представление V/(C) группы А(&), нндуцяро-ванное характером "С группы L :

v(e)= in/^l.

Теорема Стоуна-фон Неймэиа утварвдает, что все так построенные

унитарные продстазллгая W(£) ушггарио эквивалентны. Следовательно, молю рассмотреть операторы, сплетающие друг с другом прэде-ташгошш W(C) с различными исходны.!!! характерами второй отзпекм, а преобразование 5урье-3ренеля на группа G есть один из таких, сплетащих операторов.

Обозначим через Xs_(jG') мулиишшативпуэ группу характеров второй степени на G . Характер второй стоиени лазызаот-

ся невцрозцешшм характером, если ассоциирований с $ симметричный 'гомоморфизм 3 является изоморфизмом G На Г . Кромэ того, для изоморфизма g определил ого модуль услозяем:

=\г\ i 3>(?x^cU (ФеЬЧП),

т. е. 1?|

Если и в (*)= \ <- -х, - его преобразование

Фурье, то из формулы обращения и групповых свойств характера второй степени еяедтет, что = ^ (о") , uosToi.iy I = £(o) = = lgl l§(o'>ls' и, значит,

где - некоторое комплексное число, по мэдулза равное единица,. - групповой аналог пнтегралоз Френеля. Отмотай, что характер второй степени не является, вообще говоря, суммируемой функцией, поэтому строгий вывод последней формулы основан на теории преобразования Фурье распределений ¡Еварца-Бряа. Интегральное преобразование

будем называть преобразованием Оурье-Фрэиеля фуше.щи "ty .

Т е о р з м а 15. Пусть £ - произвольный невыроэдештЛ характер второй степени на локально компактной ко.ммутатнзиой группе G- и $ & ->Г - изоморфизм, ассоциированный с . Тогда для преобразования Фурье-Френеля справедлива следующая формула обращения:

г

Кроме того, преобразования Фурье к Фурье-Фрвяоля связаны

- 22 -

мячшу собой интегральными соотноденшми

= ^Л)Ы \* Г),

Ответим, что преобразование Фурье переводит операцию сдвига Фугпсцни в умножение на характер, г. е.(т1.Ч')Ск)= <-t r«e

• Для характера второй степени^ , рассмотрю,? но-*уп операция обобцошюго сдвига :

которуи мо-шо такте записать в виде

где (_$(-*)•') - оператор уынотания на функции . Имеем: .

то.чтому преобразование Фурье-Френодя оператор обобщенного сдвига преобразует в оператор ушотаняч на характер.

Следующая теорема является обобщением теоремы 15 на случай произвольного характера второй степени.

Теорема IS. Пусть - произвольный xapaicrep второй степэна на группе G и f : G Г - гомоморфизм, ассоциированный с , Ц =KitJ и характер второй степени |0 на фактор-группе G/H определен формулой

. = <-* (* ,

где Хо - такс л непрерывный характер на группе G , что

Веля дополнительно |0 - невыроэден'характер второй степени на

G/H , т. е. ассоциированный с гомоморфизм So '■ -^Н1" = - является изоморфизмом G/H на H ^ , то преобразования

íypbe и Оурье-Фронеля Ттушищк Ч связаны пеяду собой елвдуатрж иятвгралыпгга преобразованиями:

— 23 —

2. Почта пещ-Т'чческ.то бушсчии Бора-^рялялп на локальна кочпздтпо": ко-гпгтач,из1Ю'л группа .Пусть Я> - локально ког.'.навдмая ко'.р^/татнапая группа. Рассмотрач алгебру АРд(&) - раино.'лзрное :за~ мыкаиле множества всевозможных тригонометрических полиномов вто-ро": степени на С , т. е. конечных линэ.лих комбинаций (с коиплэк-сшс.я хоэЗЗпчиеитами) характеров второй степени па О . (5ункц;м из /\PaCG~) назЕваятся п. п. функциями Бора-Френа.ил на группе С .

Рассмотри1! просте'Ьий пример. ¡Тусть^бХг(б~) -

семейство обобщенных сдзигов, порожденное характером второй степени ^ . Непрерывная и ограниченная функция Ч" на группе С назьша-ется | -почти периодической Оункцизй, если имэет компактное замыкание (относительно -нормы) - обобцз-

ше к-почти периодических. Оуякцил на прямо2 1Я .

Теорема Г7. Непрерывная и ограниченная Функцня •у на б является ^ -почти периодической тогда и только тогда, когда функция у , заданная формулой <$(оО = {(-¿^(¿Х^С") ост , п. п. 'Луик-ция на группе С .

Отметим, что если | , имеют об!ци'1 гомоморфизм 3 =» = Х(Ъ =$($>) в -* Г .то понятия | -почтя периодичности и почтя периодичности равносильны, псэтогу класс всех | -почти периодических функций ш обозначаем АР (О . В частности, если £ -трцвиадыш:! гомоморфизм, то /\Р(2) совпадает с АР(6)- алгеброй всех п. п. функций на группе б • 3 об'чегл случае есть замк-

нутое линейное подпространство в АРа(С'), являющееся ЛР(&") -модулем. Кроме того, АР(з1уАР(?я') = + ?«.) , где слева рассматривается затактна гшотоства -^уширЛ вица Ч^-ь^О^а* ... + с , Чк€АР(<гЛ>л .....•

Теперь вместо модуля АР(0 = АР рассмотри замкнутую -алгебру &(■?•') , пороэденауо п. п. функциаш к^. О и зсэвоз-мо хшми стапелями характера вгоро.1 степени % . Если Н -

пространство ижспчалышк идеалов алгебры , то калдая точка хбН . рассматриваемая как мультипликативныи функ дознал ня&(£), определяется свонгш значениями на степенях л на подалгебре АР(&) , поэтому И можно рассматривать как пожгноздстно л Тх. 6б • гда - боровская ко.-ддактирякация группы в .

Пусть =: з - замкнутая погрруппа группи С . Рассмотрим замкнутую подайте б рр , поро-кдошгуи стопелиш ^ иг

рама; ££ . Без ограничения общности считая, что = £>

мо::с;ш определить характер второй степени на фактор-группе С/С, Формулой , где Л = л +• (хеО, и раосмот -

реть алгебру В(?<) фуккнз"; на , изометрически *-изоморф-

ную алгебре Ом . Пусть Н | - пространство ыаксялальных идеалов аягебрв 6>(1,") я <? : Н' Нч - ваюзгштаское непрерывное отоб-ралзпие, кядуцпрозанггае оператором проектирования Р : 6Л = =■ В ("Л • Тогда ишем разлоггоггае И "а замкнутые дззьшхтше под-№507.3ства Е(х> { 5 Ь н х^. Если ^ =¿2 .^еН^Тх Се ,

тЩ)-- х =(г Я) , гео = -й ^/с^^/сДм а ят опара-

тора проектирования Р : справедлива формула

(Р^Ф- ^ §(^-с)с1гг("Г) (хеИ,, ^Вф),

т. е. оператор проектирования Р есть оператор усреднения по цор-шросаиноЗ мере Хаара |л на компактной груше , перенесенной на ка'здкй слой Е(х') .

Теорема 18. Пространство максимальных идеалов алгебры , порожденной алгеброй всех п. п. функций на группа С и степенями характера второй степени | , является расслоенном над пространством максимальных: идеалов алгебры &(!<") , каядый слой • которого гомосморфен боровской ког.шактифжеадиз подгруппы бд =■ = к се с С .

Те о р в м а 19. Пусть локально компактная коммутативная группа С продстаыыа в виде прямой сумма К© Рч"", где К - некоторая компактная подгруппа групп С . Тогда пространство максимальных идеалов Н(&) алгебры АРа(С") всех п. п. фунщий Бора-Орелеля на грутше б совпадает (с точностью до гомеоморфизма) с тополоигчоским произведением КхИ(1йп')группы К па пространство максимальных идеалов Й(1&а'') алгебры всех п„ п. функций Бора-Френеля па «.-мерном евклидовом пространстве

Основная структурная теорема утверждает, что в произвольной локально компактной коммутативной группе в существует открытая подгруппа , которая является прямой суммой некоторой компактной групг • К ж евклидова пространства Й""(к > 0) . Так как С4ав~ томатичэскн заденут а в 0, , фактор-группа есть дискретная

группа. Следовательно, достаточно изучить пространства такси:,заль-

ных идеалов алгебр А^(&)для груш вида К® К"" , рассмотреть вопрос о том, как устроено пространство максимальных идеалов алгебры АРа (Ь) из пространств максимальных идеалов алгебр А Рд (60 к

• И дать описание щюстранства максимальных идеалов з случае произвольной .дискретной группы.

Далее мы рассматриваем случаи, когда С есть ¡Я^или 2. .

3. Дочти пэртодичэские 'У.тшга Вода-Зганоля на [Я"7 . Построение пространства максимальных идеалов для алгебра АР* п. п. фупъциЯ Бора-5ренеля на (А"' в виде проективного предела системы многомерных торов проходит по той .т.е схеме, что и для частного случая н.= 1. Однако при 2 возникает некоторые технические усложнения.

Прежде всего, построение операторов проектирования на различ-нне подалгебры алгебры основано ка выборе более слокных

аппроксимативных едакиц и использует асимптотические оценки для кратных интегралов от быстро осцолирукЕри уушсдаЗ. Кроме того, общаЗ вид характера второй степени

привода? к необходимости.рассматривать более слозпае обмотки ио-гомерных тороз при построения проективных систем. Наконец, отмэ -там, что в многомерной ситуации при доказательстве следующей теоремы возникают более ело «низ система норазепств. Как и в одномерном случае, их совместная разрешимость устанавливается с помощью сравнительно простого изменения доказательства теоремы йронекера.

Рассмотри произвольные конечные наборы (а^0 .....\

2.....^ ,{йГ{) .а1;'" .....(1^<<ип)я

{(^•б.1^ 2,..., О , катдаЗ из которых состоит

из рационально независимых вещественных чисел, и образуем группа частот

А* «о^Ж+и^Ж + ... =1, г,...,п.) ,

Ак,е -а^Ж+Сг - ... ж ,

к-^я+С?.*... .....^ •

- 26 -

Теорема 20. Пространство максимальных идеалов алгебры 6 =В(А*,Ак>£, Е»*) всех непрерывных функций на К*, которые можно о любой точностью аппроксжшровать равномерно на ¡К"' тригоно -метрическими полинома®, составленными из характеров второй степени ^ указшшого вида, с коэф^адяента.'.га кватратичной и линейной форм из заданных групп частот: 0КК£.АК ,Д^^А^ек о^е Бк, совпадает (с точностью до гомеоморфизма ) с мнэгомернцм тором размерности И-. __»1

т = Че+

ье-»«

Выбрав (к+1)«./^, экзежадров базиса лине;1ного пространства !К над полем рациональных чисел й} , шзно, как и в случае п.= £, построить проективнуто систему многомерных торов и пространство максимальных идеалов адгебрн АРг((Йл") представить в виде проективного предала этой системы, а также указать вло&ениэ в

I е о р в и а 21, Непрерывная функция ^ на ^ является почти периодической йункциеи Бора-5ренеля тогда и только тогда, когда для некоторой боровской почти периодической функции ^ от переменных справедливо равенство

для любых х =(х4 , ,..., о<и^ £ 1йЛ.

Теорем а22. Непрерывная функция | на ¡Я"- является почти периодической функцией Бора-Оренеля тогда и только тогда, когда для лЗобого положительного £ существую" положиельное число б и конечные наборы (а/Ч.... = £. 2.....и.) ,

* —2,..., к) , кавдый из которых состоит из рационально независимых вещественных чисел, такие, что

для всех решений X =(*<,-*! Ъ систе-

мы неравенств

4. Почта пеппочичасютз 'йтнкгши Бота-Дренеял на 2 , Произвольны:': характер второй степени на аддитивной группе целых чисел Ж имеет вид . эиЧ+а^лл. .

|(п")=4 (а 6 2),

т. э. 4 определяется двута комшгексньми числами ^ = 2 и ¿ц, = -^«.г«.*, _ ¡комплексные числа 2, и 2|. мо'тао заменить только на -2Ч и сохраняя характер I , поэтому Х*(20 ^'/{^п] •

Рассмотрим сначала алгебру АР(2) борозсяих п. п. функций на группа Ж . Зе пространство максимальных, идеалов есть Х^ - боровская компактыфикация для Ж , т. о. Же =(ТШ" , где ТГд - ок~ рузгасть в дискротнол топологии. Пусть "Ц* : каноническое

влочеиие, для которого —Жь • Коживксиозначная функция^

на Ж является п. п. функцией тогда и только тогда, когда существует ее непрерывное продол¡гекие на т. е. существует непрерывная Функция на , такая, чтод(п) ^(^"-^(пбЕ).

Цусть Н - произвольная когаатстификашк для £ , т. е. Н -компактная домуяутатязнаа группа и сущестзуэт изоморфизм ^ : н . для которого • т°гда I? модно пропустить че-

рез Ч' . Последнее означает, что существует кепрерыгшй гомоморфизм : И , тако^, что ^..(Ч'ОО) для всех «в Ж . Нетрудно убедиться в том, что 8СТЬ изоморфизм, поэтому мокко считать, что А = Нл есть подгруппа, плотная в ТГ . Отсэца заключаем, что А1" - замкнутая подгруппа р Же и К = = . прячем Ч е (хГ) = X + А*" -касс сиедности, содер-,кащк£ ■ элемент * .

Т а' о ре " а 23. Дкя того, чтобы кочплекснозначная Функция £ на группе "Ж. допускала непрерывное продолжение ка компактную группу Ц = 2е/Дх , необходимо и достаточно, чтобы была почти пзр;юдичос:;о;г функцией на группе 2 , а ее спектр содержался в по дгруппе А группы ТГ .

Например, з качестве А можно рассмотреть подгруппу окружности Т , состоянии из всех элементов конечного порядка. Тогда

- 28 -

И = Лх - компактная вполне несвязная комлутатнзная группа". Ряд Бора-'Зурье функции | , допускаэдеЯ непрерывное продолжение на Н > ¡¿мает вид _

(о г

где сут-мированиа проводится по всем рациональным числам t е 10, 1).

Если дая каздого простого числа f> рассмотреть подгруппу ЛрС Д , состояг?у~о из элементов, порядок которых является сте- • пенью простого числа р , то Др = 21 р- компактная группа (кольцо) цачлс р-одических чисел. В результате получаем, что Н =

= - П - открытая компактная подгруппа неархимадовэЯ

компоненты группы аделеЗ поля Q .

Теорема 24. Пусть А - плотная подгруппа окру:шостиТ, состоящая из всех элементов конечного порядка. Тогда для заалкну-тоГ[ подадгебры А0сДР(2.) всех почти периодических функций на ~SL . спектр которых содер-жтся в подгруппе Л , пространство максимальных идеалов есть вполне несвязная ког.шактная группа Н = = алгебраически и топологически изоморфная полной пря-

мо* су?,ни хашакяшзс групп Ну •

Теперь рассмотрим произвольней характер Y бесконачього порядка, т. е. <п , = = ^^^(леЖ), где ot - иррациональное число'из интервала (с, I) . Тогда A j = |еЯ,1"'в!<г i t»£ Zj— плотная подгруппа в Т , изоморфная Ж. . Следовательно, = Zб/л^ «язоморфна "ТГ .

Теорема 2о. Пусть d. - иррациональное число и алгебра всех почти периодических фухж'тй на И , спектр которых содержится в группе частот : Тогда пространст-

во макси;дальше: идеалов алгебры B^i, совпадает (с точностью до гомеоморфизма) с проективным пределом окружностей Т .

Далее поступаем таким зо образом, что и в случаеG = IR . Не-, обходимо вкбрать базис для IR над <Q , состоявдк" из иррааиоиаль-!шх чисел в интервале (о, I) u cl - Г. Пусть А1 - алгебра постоянных Функций на И , А^ - алгебра функций па Ж , спектр которых содержится в группе частот Л л. (группе корней степени ы. из едини-

Ч'1') п U A v„ • Гогда пространство максимальных идеалов этой in)

алгебра = П 2 ,>.

2сля т,э jJ-^ иррациональное ччсло, то - алгебра -ТуякцлЛ на Z , спектр которых содержатся з группе частот Ao6={es-"'-met:

ftitZ^. Перехода к аликвотным частям, получаем алгебрн Aj/m, для которых пространство максимальных идеалов ТГ . Наконец,

= U Ал;ти ее пространство максимальных идеалов есть про-ективны"; предел окрукностед.

Теорема 25. Пространство максимальных идеалов алгебры АР(2)всзх почта периодических: функций на Ж совпадает (с точностью до гомеоморфизма } с топологическим проязведештем П X<¿, » где произведение' берется по всем элементам базиса R над , включач единичную частоту.

Топологически различие мезду пространствами максимальных. идеалов для аттебр AP(IR);; ДР(Е) наблюдается з единичной частоте, которая в случае G = 2. приводит к неархимедовой компоненте.

Рассмотрим теперь ачгэбру АРЯ (Ж) всех п. п. функций Бора-Фрэнэхч на ~2- . Фиксируя произвольным образом два иррацяшаты лс числа б -л cL, рассмотрел сначата заглкнутуп подалгебру B(0,o¿) алгебра A P¿ (Z), породденпуя алгеброй Али степенями характера

|0н = ея»'в .

Т 6 о р в i! а 27. Пространство максимальных идеалов алгебры 6>(© , vi) совпадает (с точностью до гомеоморфизма) с двумерным тором и*8, ■

Далее, образуя адиквотные части и переходя к пределу, получаем алгебру С (9 , с*-4) = ( m ' Т^ с пРоотРаг'5'кзс)И максималь-кш; вдоалоз в виде проективного предела согласованной системы двумерных торов. Дальнейшие рассу:щэ:п-м проходят пс стандартной схеме, поэтоглу ш их опустсаем. Отметим только, что в случае Q, = = Ж рациональные частоты лризодят к рассмотрению конечных групп типа Ж./т.2 , на которых характеры второй степени образуют пе-рополнэнпуэ систону состояний, поотому достаточно рассматривать только систему чистых колебанкП. Кругами слозага, в предельно?. Кйарххмедозой компоненте отсутствует "удаоэгае" размерности.

~ з о р е м а 23. Пространство махеималъних идеалов алгебры

АРа,(2")воех почти периодических: функций Бора-Френеля та аддитивной группе целых чисел 2. совпадает•(с точностью до гомеоморфизма1) с топологическим пооизвздением

гдо справа в первом иаотатеяе произведение берется по всем отличным от единицы элементам базиса Ж. лад б) , во втором - также по всем отличным от единицы элементам зторого базиса 1Я над , а .2 третьем - по всем простым ч^лач р .

Следует заметить, что представление пространства максимальных идеалов с помощью проективного предела требует явного указания согласованных мезшу собой отображений для пространств максимальных идеалов различных подалгебр, при этом явно строятся и вло-кения первоначальной области задания функций Ж. в соответствующие пространства максимальных идеалов и, значит, в их проективный предел. Наконец, появление когерентных систем характеров второй сте-пони в случае рациональных частот указывает на многообразие зоз -ио;шых способов мочения Ж. в нэархимздову часть естествэнмГс области задания функция целочисленного аргумента.

Глава 3. О спектральном синтезе на локально компактных, коммутативные группах.

I. Оператор?! усреднения в задачах спектрального синтеза."

Пусть б - локально компактная коммутативная группа и Г = -

двойственная группа непрерывных характеров н?. С . Фиксируя меру

Хаатэа на 6 , рассмотрим алгебру Ц1 (&) суммируемых бункций на О (относительно операми свертки ■*"> и сопряженное пространство

^(С) • Пусть Чб^Г^и Ц<Л - ка-меньдазе -слабо зашгутое подпространство в Ц*1^) , содэраащое всевозможные сдвиги функции

у . Спектром фушэди У называется множество всех характеров на & , которые дрзшадлезаг эго.'лу подпространству, Например, если ^ - конечная мэра на Г а ^(л) . то совпа-

дает с носителем меры у . ""

Вулвдоя у называется синтезируемой, если ее мозно в ¡*-~сла-бо.': топологии на и (Сг) аппроксимировать тригонометричесюми полино-ма-ли, составленными из ее спектра. Более общо, рассмотрим * -слабо

замкнутое подпространство L в LT°(G"), инвариантное относительно сдвигов. Является ля оно *-слабо замкнутой оболочкой своего спектра, т. е. множества характеров из L ?

Дво;1стзенн!Ы объектом для такдх подпространств L являются замкнутш идеалы I =.{ i ^L?(.G0: | = 0 дач acexuj&L^ . Замкнутому идеалу X сопоставим множество для любых -'спектр идеала X .

Замкнутое множество Ее Г называется множеством спектрального сиктпза, если оно является спектром единственного замкнутого идеала X . Отметим, что для любого замкнутого ггиотастиа Ес Г [■юлю образовать идеал Х(Е")= ■[ Ф) • 4- =0 на Е} и идеал J(£) замыкание (по норме в L1(<^>) зсех ОУ^-Ч11^ дач ко-

торых | - 0 в некоторой окрестности иаозсества Е .. Тогда для лэ-бого замкнутого идеала X с Z(l) = Е. справедливо включение

J(E)clcl(E); т. есть нааценьшй, аХ(.Е) - наибольший среда замкнутых

идеалов X , для которых спектр2(Г) = Е .

Tai: как па группах G , отличных от компактных, синтез невозможен, т. е. существуют нвезнтезлруэглш множества, спектр замкнутого идеала X не определяет идеал X однозначно, поэтому естественно рассмотреть вспомогательные алгебры, в которых идеалам сопоставляется спектр с учетом кратности нулей, и такие идеалы поднимать в неходкую алгебру ÜCG4) . В основном роль операторов перехода от одних алгебр к другим играют опе^д-горы усреднения следующего вида.

Пусть h , В> - коммутативные банаховы алгебры с единдчнкмн элементами Сд и соответственно. Рассмотрим отображения

где Ч° - непрерывный гомоморфизм и - . u - лкне!1;ш2 непрерывный оператор и = I на Е> . Тогда Р = - непрерывный оператор проектирования алгабрн А на подалгебру А„=(£°(&), изоморфную В> . Кроме того, предполагается, что

u(<X4°(li) (ае.А , & £ Ъ)

- условие Биркгофа, эививаштюе условию

P(üae)=P(a)Q0 («л h, «öe Ао).

- 32 -

Гояомо$фзя 150 индуцирует непрорывное отображение У : У _> у дая пространств шксюальных идеалов X = М (А") и У = = М(В) . лоэзадму А мо:вго разбить на дизъюнктные заихнутяч '¡¡ко-* лестза Еф = (л е X : - ^ \ • При достаточно об-дкх условиях; (налршзр, в случае полупростых регулярных банаховнх алгебр) оператор проектирования Р ', удовлетворяющий условию Баритона, является оператором усреднения с помощью .условных мер," сосрадо-тсчошшх на шохествах ЕС^") :

(РаК*> \ (леХ , 3 = Ч(й) ,

где л указывает на про образованна Гель;уанца. •

ЗаГикс;¡р;;е ,1 теперь точку ^ & У , п. пусть X - »аксамальный идеал атгебры б> , отзечагти точке ^ , а - соответствуа-пз:2 мужьташсшагвшай функционал. Еолз существует Зутеджал 'г'ша точечного ях?'1®решррозания, т. е. такоЗ, что

аде^«(^(о* весело.-

для. любых элементов ё . с £ 6> , 7- существует элемент €Х , для которого (6о) ф С, то существует грмаряьй зажнутш идеал с одноточечный спектром , отличный от максюальпох э идеала X. Ко тогда в алгебре А существуют различима зашнутыэ идеалы с общим спектром , что в случае А- — приводит к нйсинта-зируе:.тастя ¡шояэства ЕС^") .

страштае. Простейшим примером оператора усреднение указанного вида является оператор усреднения по сферам о алгебре А (К,11). Тогда в качестве Е> нунно взять алгебру суммируемых функций на

, 'зависящих только от радиуса. Интегральное, преобразование Фурье на алгебре Е> превращается й 'преобразование Оурье-Гаакеля, которое преобразует функции из В> в непрерывные функции, имеищга ;:еярэркшже производима порядка' к 4 ]. . В результате с/чествует несколько замкнутых идеалов с одноточечным спектром (по кратности обращения в куль^ , которые можно поднять в исходную алгзб-ру и (Ц!.'1. 3 то зе время известная теорема Хелсока утзерщает, что в сли чае несштезируеиого множества Е существует континуальное семейство прокэ.'гуточпьсс-затшутнгс ддеалов со спектром Е . Следующая теорема дает явную конструкцию таких семейств промаху-

точных идеалов о общим спектром. Заметим, что первоначально теорема была доказана для cjáep б Ша , однако известная техника асимптотических оценок для преобразования síypbe мер, сосредоточенных на многообразиях, позволила перонести результата и на нодмнохост-ва более общего зида.

Пусть S - гладкое многообразна в IR^ коразмерности I и без кратных точек. Так как задачи спектрального синтеза имеют локальный характер, ограничимся некоторой окрестность» W точка.F^ic 5> , где S можно задать явно с помощью гладкой функции ■X*=<S6xi,..

, и предположим, что в этой окрестности ф 0. Пусть

Wfi S Ео3• • - некоторая цепочка замкнутых

поданоадств, 1(Е0, ,..., есть замыкание в HÍRV1") множества быстро убывающих гладких функции, дяя которых преобразование Фурье обращается в нуль на Ео , имеет нулевые производные £-ого порядка на ,..., имеет нулевые производите к-ого порядка на

Е*.

Т е о р е м а 29. Пусть1(Е0, Е*.....ЕкГ)и1(Е0',Е< .....Е*)

- замкнутые идеалы, соответствующие двум цепочкам замкнутых, под-tfflo.iecTB в Wn S . Если u\tEt =¡t iwt Ec да некоторого I.....

C^t-U .'«>3lce-.ea.....

Золи же множества, из которых составляются цепочки, отличаются на более тонкие множества, то зозмашо склеивание идеалов гладких пункций при замыкании. Например, если п. = 3, то1($*,-{*Ов =L(S>4 , 0) . Другой itp;i«p:I(Sft =l(i>a,дая любого замкнутого подмножества спремляемой кр.шой, лежащей на с^зро S^ .

Отметим, что явление склеивания идеалов гладких Функций позволяет доказать, что на существует непрерывной проекции кзU^lR") на наиаенмшй идоал J (S"), а такгвд на существует непрерывной проекции из X(S) на J(S') .

3. Символическое исчисление и алгебра абсолютно сходящихся , интегралов >грье. Фиксируем вецвсгвеннум функцию f на

Г = G'* , конечную меру у на Г к компакт К = . Для

любой функции gtL'CO определим лшШшй непрерывный функционал Р на С(Ю :

F(ч)«\г ч (Lv) iitUtiv С

- 34 -

Тогда до теореме Рисса Р(<0= ^ для некоторой меры-

на К . Веля , то' Р(У)= - преобразование

Фурьэ-Стклтьеса :лоры ш£ . Наконец, для дабого О рассмотрим Фуикцио = а пололам

6 v * чй 3

поэтому

Рассмотрим два условия: п

(A) существует С > О, такое, чго11££(а-|)^П 4 С и

^-С дам всех €,>0; РМ1°

, Рп(П Л

(B) Ь^ь * -слабо в пространстве псевдомер РМ(Г).

Теорема 30. Если дня некоторого вещественного числа а выполнены условия (А) и (.В") , то для любой аналитическойфункции Ч" и ^ €функции бь н , соответствующие <| и 1ь = | , удовлетворяют предельным соотношениям

¿¡.т^СДа)- Нь(й)) = о. (Н',(У)- = о.

«.-►о 6-»о ь

Отсюда следует, чуо при выполнении условий (.А.) и (Б) су-щэствувт линейные непрерывные функционалы типа точочного дифференцирования первого порядка.

Теорема 31. Пусть | ^¿^(й,1")) - радиальная вещественная функция класса С3 , а - ^ещэствецноэАчксло и существует положительное Ъ» , для которого ^о) - О и \^ 0- Кроме того, пусть мора с1у = р> 4 а , гдз р> - радиальная гладкая 'пункция, носитель-которой содержится в достато.ыо малой окрестности точки^,,. Тогда семейства псевдомер &£(а-$)]< , ^ »^(«-р^

удовлетворяют условиям (А) и (В') .

Отмотш, что теорема 31 распространяется на более широкий класс рушедий | . Например, с помодью гладкого диЗдеоморфизаа можно семейство сфер "полебэлить", превратив в семейство поверхностей с ненулевой гауссовой кривизной. Эти поверхности является поверхностями уровня для функции \ аналогичной радиальной функций в теореме 31. Кроме того, нетрудно получить о&бщеяия на случая (Я*1 с 1г> 3, а такта подмногообразий коразмерности, больаел 1.

- 35 -

Теорема 30. и тоорома 31 вместе с ее обобщениями позволяют построить континуальные семейства различных замкнутых главншс идеаюв, об!цш спектром которых являются c.jrapa S" . компактная поверхность с ненулевой гауссозои кршзизно:? или ее многолмршй аналог, а тахла привести различные призри склеяаааия главных, идеаюв гладких фуякцЛ: при зависании.

4. Расслоение группы характеров на множества уровня нэсинтв-зируегю:-; «такдии. Наиболее антирескш.® являяхся прадоквння скмао-лического исчисления s случае интегралов £>урьэ на прямой (Q - IR ) л абсолютно сходящихся рядов Фурье (G = 2.)- По аналогии с расслоением на сферы или поверхности с ненулевой гауссовой кривизной (G = мы рассмотрим в одномерном случае расслоение rjjpnu характеров Г на множества уровня посинтезируодай Функции | .

При достаточно общих условиях на функции | (например, если

(С): 1МК = V lui* ||«P(tu{)y II 4ц <-v°°

линеиныи функционал g b(,t) , первоначально заданны!! на функциях класса А (О = :. ,лш;шо продолжить по непрерывности на С( , где Е^. = { Г : | = t ^ и, пользуясь гео-pe.Moii Рисса, этот функдконая представить мерой f-t , сосредоточенно"; на Е^ . В результате получаем, что G(4:)= ^ <j Cy)^" (0,:тдл любой Функции Et 1

Т е о р е м а 32. Пусть a.tînt К , ^ - достаток..;) малое'по-ло.птельное число, числа 6 и С выбраны , ах, чтобы выполнялась неравенства о.-1<&<а<с<а + Ъ , Q =U{Et: 6 . Тогда

для любой пЧункции ^ N(0 справедливо равенство .

L (L §C»^tCï>)«»t+ï i JMAr.

q в \ Lt«

Если мера Хаара множества tgv Ее. равна нулю, то

Последняя формула есть аналог классической форели для вычисления кратного интеграла, например, з сТюрическол систем координат, так как в случае G = л радиальной руякцли | условная , мера J1^ совпадает с точность i до. аостояшого шохителя с ь'.ероЛ площади на сфере.

- 36 - л

Пусть множество уровня [^ьГ : |(Ю = а} содержится в некоторой окрэсшостд \Д/ с компактным защдаанйем. Тогда дал асэх достаточно малых положительных £ множество V

- а|<£ \ есть окрестность для Е0 и \Jc\f/ . Рассмотрим функцию о€А(Г), такул, что на Г , <*>= I на V и а> = О

газ "V , и для каждого хе С образуем йункцшо ^ £ А(г): <}($= = Х^иСх). Кроме того, пусть гОункция 6 А(<") и конечная мера р на Г с -ьирр удовлетворяет условяя (С") . Тогда для всех'Ь, достаточно близких к 0. , соответствие = опреде-

ляет функция ? , для которой

- аналог формулы Лашхаса дая функций Бесселя.

Если условная мера у^* 0, то из условия (С) получаем на-гривиальшш лишёный непрерывный функционал типа точечного доИ>е-ренцирования, разделяющий главные идеалы Х.,= (| -1")АСГ) и = = - ■1')®- |\(с") . Следующее свойство мери , связанное с условием Дпткина дая алгебры А(Г) , позволяет построить несчетное семейство глазных замкнутых идеалов со спектром Е^ , леяацих мезду замкнута, ш адеалами Х< и 1«, .

Т в о р е м а 33. Носитель условной мери не содержит изолированных точек.'

5. О дшыидевых •Душэтичх. нэсянтез;-;рув»шх э алгебре абсолэт-но схозяпыхся рядов Фурьэ. Пусть С, = Ж - аддитивная группа целых чисел. Тогда4 ее группа непрерывны* характеров есть Г =Т и для ^ 6. (ЗГ) преобразование Фурье имеет вид:

т— . , ? . «е

где . 31*)«- V

. Пусть А(тг)= || : {} - банахова алгебра абсолютно

сходядихсл рядов Фурьа с нормой II ^ . Тогда сопряжен-

ное пространство А(Т)* = РН(Т) есть пространство псаэдомрр у на ТГ , т. е. распределений у на I , для которых

- 37 -

Пусть Л^ обозначает масс нвпрзразних '¿'й'-порлодическ.и ■Г'унлгхил на 1Я , которые удовлетворяют условию Лпиица с показателе..! с1 . Лзвестло, что лооач ^удкдия | €Д</д является синтезируемо!; ¿/лсрюг!. Кроме того, идя л/ооого «16.(и,4/г) существует иескл-тезнруемач 'Э/н.сция из класса Лл .

Дяя кбШ обозначим:

и рассмотрел услов гл (^С) : ] |и1М(иЙи<+со . интерес к этому условию вызван тем, что прд его выполнении мошо построить для лаоого псевдомеру о) «доказать, что для бесконечного набора чисел й пподества уровня Вй : ^(х') = а| не является мпомсг-

ва.щ спектрального синтеза. {

Пусть й - ¿и"-периодическая ¿уш.цля, равная ^/2 на промежутка , или, более об'до, такал, чтоЦе"1*IIрц(ц) = 0( при и-ых> ^цапрл..;ер, кале в лэмлах Ван-дэр-х<орп/га ) . Рассмотрим

= У д^ д (пцУ) , где - уб.щаацач последоьатольность положительных чисел, для которой О» +%+ .. .о<*> , л 1- строго возраставшая последовательность натуральных чисел, • Тогда

|€ А(ТГ^ . Зсли :.<е последовательность [ик^возрастает достаточно быстро, то Iущ | выполняется условие (0) .

Так, при Ок = 9Г4 , 11к (считаем, что А .цвоично-радио-

нальпо и Лц задаются это.1 формулой для достаточно уольлпхк) орав-нителыю просто доказывается, что усло.мз (с) выполняется, если Д > 383. Тогда 4 - лосинтезлруолая ул.ецпя, удовлетворяющая условию Яшшща с показателем Л = 1/2А < 1/736.

В произведении = | | 0ТдвдЬ1Ш0 мло-штолп

в определенном сшолв почти ивзаздяЕЯ'э, поэтолу при аичнемниа коэррицизитов ¡>урье это,: рушс доя интеграл ао-дю заменить произведением интегралов от от,дельных мно-.оио.ло;; и оцепить нознн.шщу.о догралаость. Однако, объединяя в подход® не группы шшот&ш, .ця'цпе а и рассматривая пролзвздошю интегралов от этчть-

ннх групп сомчо;ителеа, мы получаегл более точнкч оценки ногр^мнис-ти с пояощыо аналптлчзско;! тзхшиш оценок кратких трнгоно.птрнч.'о янх су;м.

'Г 0 о р в 1.1 а 34. При А>63 функция =) С1КА(гскУ)

является насинтэзируемоп функцией в алгебре абсолютно сходшдлхся рядов уурье.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. О спектральном синтезе на сфере. - ДАН СССР, 1972, Т.203, »3, с. 532-533.

2. Об инвариантных поломтелъно определенных (функциях. -Вестник ЛГУ, 1972, ¿в I, с. 45-50.

3. О спектральном с-штезе на егере. - Вестник ЛГУ, 1972, И 2, с. 156-157.

4. Некоторые вопросы спектрального синтеза на сферах. -Чатам, сб., Т. 92, й 2, с. 313-342.

5. Некоторые вопросы спектрального синтеза на нодашо.чесг-аах еькллсойых пространств. - Зестник ЛГУ, 1580, .г 7, с. 32-39.

6. Склеивание вдеачоа гладких ^ункцш! £ А(|КЛ). - Зесгник ЛГУ, 1980, А 1, с. 47-51.

7. О символическом исчислении в ахгебре абсолютно сходядпх-ся интегралов шурье. - Бостя:пс ЛГ/, 1932, 13, с. 51-56.

8. О псевдомерах 8(л-|~)у и дм алгебры абсолютно сходящихся интегралов \£урье. - Зесгник ЛГУ, 1982, 19,

с. 21-28.

9. О расслоения группы характеров на множества уроаня носин-твзируемой рункции. - Вестник ЛГУ, 1983, ?> I, с. 54-53.

10. О лмшшцевых ¿/акциях, несиптезируэмых в атгебре А(тг). -Вестник ЛГУ, 1984, .« I, с. 23-28.

11. ¿ведение в абстрактны! гармонически,! анамз. - Л.: Ленингр. ун-т, 1984, 104 с.

12. Анализ Бора-^урье на локально компактных комглутативных группах. - Л.: Ленингр. ун-т, 1988, 104 с.

13. Почтя периодические фушщя Бора-Зрэнеля. - С.-Петербург, Изд—во СПб/, 1992 г., 310 с.