автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.05, диссертация на тему:Планирование эксперимента в задачах многофакторных испытаний средств измерений

о

На правах рукописи

ТКАЧЕВ Сергей Владимирович

ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА

В ЗАДАЧАХ МНОГОФАКТОРНЫХ ИСПЫТАНИЙ СРЕДСТВ ИЗМЕРЕНИЙ

Специальность 05.11.05 — «Приборы и методы измерения электрических и магнитных величин»

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

ПЕНЗА 1997

Работа выполнена в Пензенском государственном техническом университете.

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Армеиский Е. В., доктор технических наук, профессор Осадчий Е. П., доктор технических наук, профессор Прохоров С. А.

Ведущее предприятие: НИИФИ, г. Пенза.

Защита состоится «. _ 1997 года, в

14 часов, на заседании диссертационного совета Д.063.18.01 Пензенского государственного технического университета по адресу: 440017, г. Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пензенского государственного технического университета.

Автореферат разослан

«/С _ 1997 года.

Ученый секретарь диссертационного совета

Крысин Ю. Л1.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Создание средств измерений (СИ) с высокими метрологическими и эксплуатационными характеристиками невозможно без проведения целого комплекса экспериментальных исследований, имитирующих их работу в реальных условиях воздействия разнообразных климатических, механических, электромагнитных и других типах влияющих факторов. Означенный комплекс работ имеет конечной целью обеспечение высокой метрологической надежности, что предполагает знание реальных функций преобразования (ФП) и функций влияния (ФВ) СИ, которые принято представлять в виде соответствующих математических моделей. Эффективное решение данной задачи требует минимизации времени и средств на проведение испытаний.

Проблема извлечения наибольшего количества информации о метрологических характеристиках при ограниченных затратах является з настоящее время весьма актуальной. В связи с этим оказывается совершенно необходимым поиск и разработка методой, которые давали бы не только способы обработки экспериментальных данных, но и позволяли бы оптимальным образом организовывать испытания СИ при многофакгорных воздействиях.

Состояние проблемы. Традиционно поставленная проблема решалась с привлечением раздела прикладной математики "Теория планирования эксперимента". В данной области знания к настоящему моменту накоплен значительный опыт, что выражается в большом числе статей и монографий, отражающих раз-гсичные аспекты проблемы планирования эксперимента. Вместе с гем, разнообразие конкретных постановок вопросов и требований по учету ограничений самого различного характера не во всех случаях позволяет прямо и непосредственно использовать достижения теории планирования эксперимента, поскольку известные методы имеют вполне определенные границы применения. Именно этот факт и заставляет вновь возвращаться к рассмотрению и решению задач планирования эксперимента и обработки экспериментальных данных для построения математических мо-1елей, естественно, с учетом специфики объекта испытаний и

физических ограничений на воспроизведение комбинаций дестабилизирующих факторов.

По отношению к испытаниям СИ специфика проявляется и следующем:

1. Если проводить испытания по ненасыщенным планам илу в экстремальных условиях, то это приведет к потере значительной части ресурса. Следовательно, необходимо иметь методы которые позволяют получать информацию как по минимально возможному (при соответствующей достоверности) числу испытаний, так и по значениям исследуемых характеристик в менее жестких условиях.

2. При задании влияющих факторов не всегда физически возможно воспроизвести комплексное воздействие, адекватное реальным условиям эксплуатации, что приводит к необходимое^ разработки методов, позволяющих строить полнофакторные мо дели по результатам испытаний при раздельном воздействии фак торов, либо при воздействии комбинаций из двух, трех факторов.

3. Воспроизведение влияющих факторов при многофактор ном эксперименте трудно осуществимо из-за отсутствия соответ ствующего- метрологического обеспечения испытательного обору давания, что требует разработки таких же методов, как в п.2.

Предмет исследований.

1. Методы планирования эксперимента, учитывающие огра ничения в области определения и задания факторов.

2. Методы эффективной обработки, позволяющие осущест вшъ построение ряда моделей на исходном наборе эксперимен тальных данных.

3. Методы выбора моделей функций отклика по внутренни; и внешним критериям.

Цель исследований. Теоретическое обобщение и разработк новых методов планирования экспериментов в задачах испытан и СИ при многофакторных воздействиях, в частности:

- разработка и исследование основных теоретических вопросе классификации моделей ФП и ФВ с позиции теории измерений моделирования систем; разработка математических моделей СИ

юрмализованнос описание ограничений в области планирования ксперимента;

- разработка и исследование вопросов построения моделей 'И в виде рациональных функций; исследование устойчивости ычислений при построении "пучка" моделей на едином наборе кспериментальных данных; разработка внутренних критериев тбора рабочих моделей ФП и ФВ;

- разработка и исследование планов эксперимента при по-трогнии полиномиальной модели СИ по краевым точкам облас-и планирования; исследование вопроса сглаживания данных на тапе обработки результатов эксперимента; исследование вопро-ов построения полиномиальных моделей по МНК;

- разработка и исследование моделей ФП и ФВ, представлен-ых в базисе Фурье; разработка алгоритмов получения многомер-ых полиномиальных моделей в базисе Фурье; исследование эф-»сюпшности спектров планов, основанных на дискретном преоб-азовании Фурье;

- разработка и исследование методов интерполяции много-герных функций по дискретным отсчетам и известным .видам •ункций в сечениях; •

- разработка и исследование процедур получения полиноми-гсьных моделей на основе использования хорошо обусловленных атриц базисных ортогональных функций из класса Виленкина-[ресте неона- Кронекера;

- доведение разработанных методик до промышленного вне-рения и использования в системах аттестации СИ.

Методы исследований. В качестве методологической основы спользовались: методы математического анализа; методы линей-ой алгебры; методы теории дискретно-экспоненциальных функ-ий; теория цифровой фильтрации; методы экспериментального ^следования и методы имитационного и статистического моде-ирования на ЭВМ.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана методологическая и концептуальная основа танирования экспериментов при многофакторных испытаниях И, включающая классификацию моделей ФП и ФВ и классифи-щию процедур построения моделей с учетом свойств влияющих

факторов и различного рода ограничении в области планирования;

- предложена методика построения параметрических моделей в виде "пучка" рациональных функций, которые строятся на одном и том же наборе экспериментальных данных, при этом разработан ряд внутренних критериев выбора и ранжирования .моделей из альтернативных вариантов;

- поставлена и решена задача построения полиномиальных моделей по краевым точкам области планирования, при этом показано, что получаемые планы близки к ^-оптимальным и разработаны методы сглаживания данных по краевым точкам области планирования;

- показано, что задача построения многомерной (многофакторной) полиномиальной модели может быть сведена к одномерной задаче интерполяции с помощью дискретного преобразования. Фурье, решение которой упрощает оценку адекватности я позволяет улучшить точность оценок параметров модели;

- поставлена и решена задача восстановления многомерны) функций отклика по известным ее сечениям, при этом предложены обобщения интерполяционной формулы Гаусса в виде рациональных функций нецелочисленных степеней, которые позволяю: при минимальном наборе экспериментальных данных получат] конкретные аппроксимации функции отклика;

- поставлена и решена задача построения полиномиальны: моделей на основе использования хорошо обусловленных систе* ортогональных функций Виленкина-Крестенсона-Кронекера.

Практическое значение. Результаты работы могут быть ис пользованы при разработке планов эксперимента по построении моделей ФП СИ и ФВ погрешностей от дестабилизирующих фак торов, а также в более широких областях, где необходимо строит модели по минимально-возможному набору экспериментальны данных и при ограничениях на значения факторов в области и изменения. Изложенные в работе теория и методология позволя кгг, используя разработанные алгоритмы обработки данных оценки погрешностей, на этапе планирования рационально т значить требования к метрологическим характеристикам испыта тельного оборудования. Открывается возможность экономизаци эксперимента не только путем сокращения объема испытаний, н

[ за счет сжатия области задания значений влияющих факторов и прощения требований к испытательному оборудованию. Разра-ютанные планы и алгоритмы обработки экспериментальных дан-1ых имеют преимущества перед аналогами.

Реализация и внедрение. Диссертация представляет собой еоретическое обобщение ряда научно-исследовательских разра-юток, выполненных автором в соответствии с планом совмест-шх работ между научно-производственным объединением Измерительная техника" (НПО ИТ) и Пензенским государствен-!ым техническим университетом (ПГТУ) N01.82.204.7381, i01.83.001.0588, N01.84.001.1015, N01.85.006.6449, N01.88.001.7354 i посвященных методическим и техническим вопросам испыта-шй, обеспечивающих максимальное приближение к условиям 1ксплуатации приборов и систем измерения.

В ходе выполнения НИР автором получены следующие ре-ультаты:

1. Поставлена и решена задача построения полнофакторных юделей групповых характеристик первичных измерительных феобразователей (функций преобразования и функций влияния) ю результатам неполнофакторных экспериментов. •

2. Построены математические полиномиальные модели для [змерителей линейных ускорений и температуры.

3. Разработан ряд методик проведения испытаний измери-ельной аппаратуры на метрологическую надежность при ком-¡лексном воздействии внешних дестабилизирующих факторов.

4. Разработаны алгоритмы обработки экспериментальных анных для построения полнофакторных моделей измерительной ппаратуры с использованием базисов Фурье и Виленкина- Кре-тенсона-Кронекера.

5. Предложены критерии выбора моделей и оценки эффек-ивности алгоритмов обработки экспериментальных данных.

Перечисленные результаты используются в подразделениях 1ПО ИТ и смежных организациях Министерства общего маши-¡остроения (MOM). Внедрение результатов научных исследова-ий позволило:

1. Сократить объем испытаний, что обеспечивает экономию есурсов в процессе аттестации.

2. Поднять уровень метрологической надежности СИ.

3. Разработать методику выбора типа математических моделей ФП и ФВ.

4. Повысить точность оценок параметров моделей при метрологической аттестации характеристик СИ.

Апробация работы. Основные положения диссертационно!! работы докладывались н обсуждались на Всесоюзном семинар: "Проблемы метрологического обеспечения систем обработки измерительной информации" (Москва, 1980), Всесоюзной конференции "Сбор и обработка информации в автоматизирован ны: системах управления" (Куйбышев, 1981), Всесоюзной конференции "Применение методов и средств тензометрии для измеренш механических параметров" (Москва, 1982), Всесоюзной конференции "Совершенствование методов контроля надежности и и; стандартизация" (Горький, 1985), межотраслевой научно-практической конференции "Проблемы внедрения достижений научно технического прогресса в области автоматизации и механизацш производственных процессов" (Уфа, 1985), Всесоюзной 'конференции "Методы и средства измерения механических параметро: в системах -контроля и управления" (Пенза, 1986, 1989, 1990 1992), Всесоюзном межотраслевом симпозиуме "Обработка ин формации в системах управления" (Новосибирск, 1986), Всесо • юзном совещании-семинаре "Датчики и преобразователи инфор мационно-управлякмцих систем" (Москва, 1987), краевой научно технической конференции "Вопросы совершенствования винто дейдвудных комплексов судов" (Владивосток, 1988), республикан ском межотраслевом семинаре "Теория и практика разработк средств автоматизации" (Уфа, 1989), Всесоюзной конференцш "Тензометрия-89" (Свердловск, 1989), Всесоюзной научно технической конференции "ИИС-89" (Ульяновск, 1989), Всесо юзной научно-технической конференции "Проблемы теории чув ствительности измерительных датчиков электронных и электро механических систем" (Владимир, 1989), Всесоюзной научно технической конференции "Микроэлектронные датчики в маши ностроении" (Ульяновск, 1990), Всесоюзной научно-техническо конференции "Проблемы "применения микропроцессорных кон троллеров" (Минск, 1991), Всесоюзной конференции "Измерени и контроль при автоматизации производственных процессов

(Барнаул, 1991), Международном симпозиуме инженеров-механиков (Львов, 1995), Всероссийской научно-технической конференции с участием зарубежных специалистов "Датчики и преобразователи систем измерения, контроля и управления" [Гурзуф, 1987, 1989, 1990, 1991, 1992, 1993, 1994, 1997).

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, основного материала, заключения, списка литературы и четырех приложений. Введение, основная часть и заключение изложены на 315 страницах, проиллюстрированы 63 рисунками и 27 таблицами.

Содержание работы.

Методологические аспекты планирования эксперимента при ^следовании характеристик средств измерений.

Предметная область, связанная с испытанием СИ, закладывает определенную специфику на решение задачи тланирования экспериментов.

При планировании эксперимента по испытанию СИ цен-ральным является вопрос выбора модели (агрегатов, описываю-цих связь между интересующими влияющими факторами). Дан-шй вопрос рассматривается с двух точек зрения. Во-первых, с очки зрения измерительной техники и теории измерений, где 1ри моделировании погрешностей СИ важнейшим является ме-анизм проявления и влияния тех или иных факторов и самой [реобразуемой величины на погрешность преобразования. Во-ггорых, с точки зрения теории планирования эксперимента и еории моделирования систем, где наработана своя методология, юзультаты которой следует применить- к исследованию средств [змерений.

В качестве основы используется следующая макромодель:

о о

Д = Дс + Д+ Ддоп + Лдоп, • (1)

о

где Дс — основная систематическая погрешность,- Д - основ-ая случайная погрешность, Ддоп — дополнительная погрешность

от дестабилизирующих факторов, АДОп — дополнительная случайная погрешность.

Основная систематическая погрешность Дс, если ее интерпретировать как детерминированную составляющую (при фиксированных х£Х и значениях факторов х1...хк), может быть представлена моделью

Лс = + Z4'c/(*f) + ZZ VciM^j), (2)

> i Í

где 4' x (xKX ) = Á0+ Axx^ +A7x^+

— реальная функшш влияния входной величины . описывающая но сути дела погрешность куля А0, погрешность чувствительности А1 и погрешность нелинейности А2 и А3 (полниог. третьей степени задается согласно ГОСТ 8.009-84); d (x¡) — со-1;о:супкость функций влияния внешних дестабилизирующих факторов: Тüj(Xi,Xj) — совокупность функций совместного влияния Модель (2), очевидно, может быть использована в исследова тельских целях для минимизации погрешностей разрабатываемы: СИ или для целей коррекции погрешностей в процессе эксплуа тащш по известным х¥х, Ч' d и üj.

о

Относительно основной случайной погрешности Д принима ется гипотеза о том, что она имеет нулевое математическое охи дание. Размер погрешности оценивается ее дисперсией, для кото рой используется модель:

D{Д} = Д<хя) + , <*,) +11D y(xt >Xj), (•

i . i. J

где Щх^) — функция дисперсии в зависимости от входной вел! чины, D ¡(x¡) - совокупность функций влияния факторов í дисперсию, Dy(x¡,xj) - совокупность функций совместно] влияния на дисперсию пар факторов. Данная модель строится i предположения о независимости компонент.

Систематическая дополнительная погрешность Ддоп, если пр. дслжигь ту же логику, может быть представлена моделью

. Ддоп ^Z^si^a^ + EI^Í*/.*;), <

1 ' /

где Т д/(*вх>х/) — совокупность функций совместного влияния

входной величины и дестабилизирующих факторов, ^¡{х^х^.—

совокупность функций совместного влияния дестабилизирующих факторов.

По аналогии с (3) строится модель и для оценки дополнительной случайной погрешности

= + (5)

I I ]■

которая не требует пояснений.

Во всех приведенных моделях, в общем случае, вид функций влияния не определен.. В законодательной метрологии имеются указания рекомендательного характера о том, что эти функции должны быть линейными (за исключением Фактически в

большинстве случаев функции влияния носят явно нелинейный характер. Вот почему следует обратиться к опыту теории планирования эксперимента и теории моделирования систем.

Основной целью, с которой строятся модели, является предсказание свойств объекта в тех точках области исследования, которые не попали в экспериментальные данные.

Математические модели можно разделить на две ' большие группы.по способу использования исходных данных для определения функции отклика.

К первой группе относятся модели, которые условно можно назвать модели численно-аппроксимирующего типа. В этих моделях для вычисления значений функции отклика У при координатах факторов х всякий раз требуется использовать информацию о значениях узлов х, и откликов У,, получаемых соответственно из спектра плана и эксперимента, т.е.

У = /а(х1,У„х). (6)

Подобные модели, очевидно, предполагают сложные вычисления, но они являются реальной альтернативой тем методам моделирования, которые используются в теории планирования экспе: римента. По смысловому содержанию рассматриваемые модели по сутц представляют собой известные в численных методах математики формулы интерполяции и аппроксимации функций.

Вторая группа представгт""-,'",трнчсскпс модели

г

где 0 — вектор параметров модели, которые вычисляются по значениям х1 тл У¡, т.е.

В этом случае сложные вычисления по определению © выполняются один раз при построении модели, и в дальнейшем работа по прогнозированию, оценке параметров и т.п. ведется с помощью относительно простой формулы (модели) (7).

В свою очередь параметрические модели из-за их разнообразия можно классифицировать по двум признакам:

1. По виду процедур получения параметров модели разделяются на параметрические модели прямого расчета, композиционные параметрические модели и алгоритмические (самонастраивающиеся) модели. --2. По виду (форме) представления функции воздействия факторов на аддитивные, мультипликативные и рационального вида.

' Построение моделей в силе рациональных функций (РФ).

Интерес к рациональным функциям можно объяснить с дву: позиций — математической и физической.

С математической точки зрения рациональные функциз обладают целым рядом ценных качеств:

- фундаментальным свойством оставаться рациональной пр] переносе и растяжении независимой переменной;

- РФ можно приближать такие функции, которые принимаю бесконечные значения для конечных значений аргументов;

- РФ удобно применять при больших диапазонах изменени значений аргументов;

Важно отметить "гибкость" рациональных функций, котора позволяет решать задачу экономизации, т.е. описания сложно зависимости с помощью меньшего числа коэффициентов. Обра тим внимание и на такой факт. В РФ формально эффект взаимо действия может отсутствовать, но он скрыт в структуре формулы

С физической точки зрения модель в виде. многочлена я всегда может бьггь удовлетворительной по причине отсутстви "прозрачного" смысла ее коэффициентов.

г

6 = ср„(А-,.,У/).

(8)

г

Аппроксимация рациональным» функциями имеет ряд специфических особенностей, связанных как с выбором узлов интерполяции, так и с эффектами, которые возникают при вычислениях (деление на ноль, контроль за устойчивостью решения и т.п.). Характерной особенностью данной работы является то, что все модели в виде рациональных функций строятся на одном и том же наборе экспериментальных данных, получаемых по планам 2к, т.е. решения получаются не в виде одной модели (функции), а в' виде так называемого "пучка функций". Например, при двухфакторном эксперименте обобщенная структура модели имеет следующий вид:

= щ + 0*1 + 0*2 + 0*1*2 ^ (9)

1+0*!+ О.Х2 + 0Х[Л*2

где коэффициент а0 присутствует во всех формулах, а на местах, обозначенных 0 необходимо разместить три неизвестных коэффициента (что следует из изложенной выше постановки задачи использования единого набора экспериментальных данных).

В связи с последним замечанием возникает задача выбора из ряда полученных функций некоторой наилучшей или удовлетворяющей определенным критериям.

Ситуация усугубляется тем, что по мере увеличения числа факторов К число возможных моделей очень быстро увеличивается. Общее число моделей в виде отношения степенных многочленов можно подсчитать по формуле для числа

сочетаний без повторений для 2-{2к - элементов и ¡2к -

мест, т.е. получаем при 2-х факторах 20 моделей, при 3-х факторах -3432 модели, при 4-х факторах - 155117500 моделей.

В связи с этим автором разработаны три упрощенных критерия выбора моделей из "пучка" функций, которые являются альтернативой критериям, применяемым в регрессионном анализе. При этом предполагается одновременная работа с рядом моделей, ранжируемых в порядке возрастания применяемого критерия.

В качестве простейшего внутреннего критерия можно использовать точечный критерий, который предусматривает :равнение поведения функций в нуле, т.е. в точке с соординатами х1 = х2 = 0. В соответствии с критерием функции эанжируются по мере их удаления относительно некоторой

оценки', их среднего либо математического ожидания, либо медианы.

Более качественный из' простейших критериев предусматривает исследование рассеяния пучка функций-претендентов по интегральному критерию, т.е. по N точкам внутри области определения. В качестве оценки меры отклонения функций друг от друга логично использовать сумму квадратов отклонений

¿„^ъЬ^т-у^ш)2, (Ю)

*=г

где Б у — оценка отклонения У и у функций по Лоточкам.

Идея рассматриваемого критерия проста: если некоторая функция лежит в центре распределения пучка, то отклонение других функций-претендентов будет минимальным. В соответствии с этим функции-претенденты можно проранжировать в порядке убывания критерия интегрального отклонения от /-той функции

(И)

у •

Можно использовать и другой принцип ранжирования, который заключается в том, что по данным Б у последовательно

выписываются значения оценок расстояний между функциями в порядке возрастания. Далее рядом выписываются номера функций, которые составляют пару для соответствующих оценок расстояний. Для каждой функции-претендента определяется •сумма мест в списке. В соответствии с суммой мест функции-претенденты можно проранжировать в порядке возрастания Практика применения данного мажоритарного критерии показывает, что он дает результат, мало отличающийся от результатов интегрального критерия.

Построение модели по краевым точкам области планирования,

В настоящей работе рассматривается задача построени! моделей по краевым точкам области планирования, которьи располагаются на ребрах я-мерного гиперкуба. При этом а основу принимаются хорошо изученные и широко распро страненные планы полнофакторных экспериментов типа 2* которые модифицируются с учетом указанных ограничение Проектируемые таким образом планы являются асимпто тическими к 2* -планам, и это имеет тот смысл, что пр

определенных условиях модифицированные планы совпадают с классическими планами типа 2к, и их свойства по эффективности приближаются к указанным планам. Планы юлнофакторного эксперимента типа 2к служат базой для ;равнения.

Методологически рассматриваемые модифицированные планы тродолжают традиционную задачу построения линии регрессии

У = аа + <з,х, (12)

^.о в л-мерном пространстве, где обобщениями выражения (12) шляются

V = а0 + а^ + а2х2 + агххх2 (13)

игл двухмерного пространства и

У = <з0 + аххх + а2х2 + + а^ххх2 + «5X1X3 + аьх2х3 + а1х1хгх3 (14)

1ля трехмерного пространства и т.д.

Б качестве примера рассмотрим построение модели вида (13). -Сак показывают исследования, лучшие варианты планов могут Зыть получены, если осуществлять упорядочение точек по прямоугольникам (см. ряс. 1, а), предполагая, что измерения ¥ осуществляются при двух фиксированных значениях х2 и мриациях Х1 = ±а. В данном случае матрица базисных функций, шеет В1Щ

-1

У. -1

"А

—s3-

I

У, 3

-I

У, .

Рис. I.

-1

б).

I

л

3

I

2

2

а

—а

а

4

4

^Bl -

®A,

lala. 1 -a i -a 1 a -1 -a ] -a -1 a

столбцы из матрицы спектра плана.

(15)

1 а ,1 -а

(16)

где здесь и далее (* )

Если проводить измерения Упри двух фиксированных значениях X] и варьировать х2 (см. рис. 1, б), то получим

* *

1 1 а а 1 -1 а -а = А ® 1 1 -а -а 1 -1 -а а

При уравновешивании матриц и Лъ2 они превращаются I матрицы Адамара Л2 ~ А% А, что гарантирует хорошук обусловленность вычислений.

Выражения (15) и (16) дают ключ к обобщению пр] построении модифицированных планов типа 2к (при любых к) При этом важно отметить: сохраняются все закономерности пр5 суммировании и эффективность планов, асимптотичесю стремящаяся к классическим планам 2к.

Так для трехфакторного эксперимента при фиксированных х: и хг и переменном зг; = ±а имеем

А31 -

* * *

1 а 1 а . 1 а 1 а

1 -а 1 -а 1 -а 1 -а

1 а -1 -а 1 а -1 -а

1 -а -1 а 1 -а -1 а

1 а 1 а -1 -а -1 -а

1 -а 1 -а -1 а -1 а

1 а -1 -а -1 -а 1 а

1 -а -1 а -1 а 1 -а

ö0 а\ «з öj «6 . а7

1 а 1 -а

<8>А®А. (1*

Внизу указаны коэффициенты функции отклика согласно (14). По аналогии можно составить планы, в которых варьируется

т.е. л*,

±<х.

^32 ~

* *

1 1 а а 1 1 а а

1 -1 а -а 1 -1 а —ос

1 1 -а -а 1 1 -а -а

1 -1 -а а 1 -1 -а а

1 1 а а -1 -1 -а -а

1 -1 а -а -1 1 -а . гх

1 1 -а -а -1 -1 а ос

1 -1 -а а -I 1 а -а

а0 а\ «2 а4 <*5 аб а1

= А<

А. (18)

В общем случае следует:

1) матрица базисных функции » соответствующнй спектр тлана для любого числа переменных может быть построен путем <роь'екеровского произведения матриц Адамара и матрицы

1 а 1 -а

причем место сомножителя

1 а

1 -а

указывает на номер

переменной, по которой мы определяем краевые точки;

2) те коэффициенты, которые соответствуют уравновеши-

заемым столбцам, определяется с погрешностью ~ у -> ■ Этот

/ а

£акт следует учитывать при усреднении;

3) если задаются краевые точки по двум факторам и более, то матрица базисных функций может быть получена по аналогии с помощью кронекеровского произведения путем включения соот-

1' а,

ветствующих сомножителей вида

1 -а,

, где i - номер фактора.

Планирование многофакторпмх регрессионных экспериментов на основе дискретного преобразования Фурье (ДПФ).

Указанная многомерная задача может быть сведена к эдномерной задаче интерполяции с помощью ДПФ. Суп» подобного перехода заключается в выделении на поверхности гипершара, задающего область планирования Н, некоторой

криво»! ф, вдоль которой с равномерным шагом задаются значения факторов х, = |х!;,л'2/.,хт || и определяются соответствующие отклики у,. Изменение значений функции отклика вдоль "кривой" (р можно представить б виде разложения б дискретный ряд Фурье, а зная свойства ф в «-мерном пространстве, можно применять интерполяцию и определять значения функции отклика в любой точке области планирования Н.

Таким образом, ядром процедуры построения модели является ДПФ, которое в задачах восстановления хорошо приспособлено для исследования свойств сигналов и функций г фазах планирования и интерпретации.

.Существенным является и то, что при этом упрощается оценка адекватности получаемых моделей, которая может бып оценена через сумму квадратов отбрасываемых членов рад; Фурье.

В задаче построения линейной регрессионной модели, дл> которой функция отклика описывается выражением

п

у = + (19.

1

модель в виде ряда Фурье получается с помощью следующе1 подстановки:

х, =

1 + 1 . .

• соэ——— <р, для I = 2к + 1,

г-вш^-ср, • для / = 2к,

(20

где г — параметр, определяющий размеры гипершара облает] планирования Н, ф е[0,2и} — вектор-аргумент функции отклика.

Для задания спектра плана -требуется определить фуикцш отклика в (л + 1) точке, что при равномерном шаге дискретизацт предполагает задавать значения ср в точках

2п —

<р*=--— к, где к = 0,п. (21

(« + 1) _

Для случаев г = 1 и п = 3,4 матрицы значений базисны функций имеют следующий вид:

-Л 6

л/,

1 10 1 10 1-1

1-10 1 1 0-1-1

(22)

мл

а оасположенни

1

' 0.309 -0.809 -0.803 0.309 точек

0

0.951 0.588 -0.588 -0.951 спектра

I

-0.809 0.309 0.309 -0.809 плана

0

0.588 -0.951 0.951 -0.588 X,

(23)

в «-мерном

пространстве относительно друг друга наблюдается следующая закономерность, которую поясним формулой, представляются собой матрицу расстояний между точками в евклидовом пространстве для случая п = 5

0-2.83 2.45 2.83 2.45 2.83

I

2.83 0—2.83 2.45 2.83 2,45,

2.83 2.45 2.83

♦ (24)

0—2.83 2.45

2.45 2.83 2.45 2.83 0-2.83

2.р 2.45 2.83 2.45 2.83 0

к-

2.45 2.83 2.83 2.45 2.83

При четных п точки располагаются на равном расстоянии, следовательно, соответствующие планы будут центрированными симплекс-планами.

При нечетных п расстояния различны и имеется ряд вариантов построения цепочек с эквидистантными отсчетами, необходимыми для применения дискретного преобразования Фурье на равномерной сетке. Один из примеров построения последовательности отсчетов приведен на матрице Ц. Важно отметить, что получаемые цепочки замыкаются в циклический контур, а это создает предпосылки устранения влияния явлений Гиббса при реализации ДПФ.

Искомые коэффициенты а1 могут быть полумены посредством следующей процедуры:

1. Вычисляется спектр Фурье (ДПФ).

2. Соответствующие значения коэффициентов а( непосредственно получаются по спектру Фурье по следующему правилу:

д0 = А0. ■

а\ = Ах / г; аг = В1 / г;

• аъ =Аг!г\ аА - В2 / г; (25)

а5 = Аъ / г; .а6 = В} / г;

где Ак и Вк - соответственно sin и cos спектры Фурье.

Для процедуры, предполагающей использование ДПФ, дисперсии оценок коэффициентов определяются формулами:

/>{а0} = £>,/<» + 1); (26)

D{a¡} = 2D,; / (п + 1), где / = \,п, п - четное; (27) D{ant,} = Dy / 2(п +1), п — нечетное. (28)

Рассмотренные выше спектры планов могут быть модифицированы за счет замены г ~> г* и введения поворота исходной системы координат на угол <р0, т.е. формула (20) заменяется на

'/ + 1

Ф + ФоЬ для / = 2к +1;

а ^ (29)

5т| —(р + ф01, . для / = 2к.

При увеличении г можно уменьшить дисперсию оценок коэффициентов В[а1) для / = 1 ,л, но это достигается за счет

искусственного увеличения области планирования Н.

Как показал анализ, рассматриваемые спектры планов'близки к /^-оптимальным (наихудшие оценки дисперсии отличаются лишь в два раза).

Подстановку (29) можно применять и в случае построения полиномиальных моделей вида (12)...(14).

Получаемые таким образом планы эксперимента являются ортогональными и рототабельньши. Кроме того эти планы

асимптотически Л-оптнмальны (при ф0 = — точно /)-отим;:льны

и, кроме того, А- и £-оптималыш).

Как II в рассмотренном выше случае, искомые коэффициенты а1 можно находить либо по матрицам шачелий базисных функций, либо посредством промежуточного ДПФ. Пересчет спектра Фурье в коэффициенты полиномиальной модели осуществляется, например для двухфакторной модели по следующей системе формул:

а0 - ¿о'>

1 г ,

а} = —[А1 со5фо - й] ят фо];

а2 = — [At sintpo + Вх сойфо]; 2А->

(30)

г sin 2ф0

Следует отмстить, что функцию отклика можно рассматривать как в виде полиномов (12)...(14), так и в полярной системе коордицат, т.е.

i *\J í - J

У = А о + 1

7 -'

Л1

*V

СО5[У(ф-ф0)]+ B]\—J sin[y( ф-ф0)1

где

(31)

(32)

(33)

ф = агБС*! +7 • ДГ2). Как показывает анализ, при использовании в алгоритме обработки ДПФ точность оценки коэффициентов регрессионной модели возрастает.

Обобщение предлагаемой методики планирования и. обработки экспериментальных данных на основе ДПФ на случай ^-факторного "эксперимента возможно при использовании следующей подстановки:

X/ г= гсо8(2'"2ф + ф0); / = 1 ,к. (34)

Предлагаемая методика применима и для насыщенных планов второго порядка, например, модели вида

у = а0 + Д]Х| + а2х2 + £3*1*2 + а4х? + аьх\. молено построить с помощью подстановки:

( /71

reos (X, — +cpo

v 6 ' / = 0,5. (36)

í « 1 2/ = rcosla2 -¿- + (PoJ;

Ирм этом получаются /í-оптимальные насыщенные планы.

Способы восстановления многомерных функций по дзннич эксперимента.

Задача построения модели численно-аппроксимирующего Tima для функций преобразования СИ и параметров его погрешностей по математической сути сводится к восстановлению w-мерной функции, заданной в узлах x¡ значениями отклика У,,

где i = 1, N , x¡ = j|xu, x2¡,...,xni¡, т.е. требуется построить гладкую функцию Y(x), проходящую через указанные точи; Y(x¡) = Yl. Если значения Y¡ заданы на границах области планирования эксперимента, то задача интерпретируется как интерполяционная. В случае же задания узлов x¡ внутри области планирования имеет место задача экстраполирования.

Известные способы решения данной задачи с помощью интерполяционных многочленов и сплайнов не всегда эффективны из-за того, что первые обладают плохой устойчивостью, а вторые плохо обобщаются на многомерный случай. Для преодоления отмеченных недостатков было предложено обобщение интерполяционной формулы Гаусса (ИФГ), которая для функции одной переменной имеет вид:

¿ г,

' (37)

Обобщенная формула (37) только за счет изменения одного параметра а позволяет строить модели с самыми разнообразными свойствами-.

Задавая а » 2 , можно моделировать зависимости со ступенчатым характером изменения, при а « 2 моделировать «гладкие»-

функции, а при а -» 0 моделировать зависимости с сингулярными свойствами.

Для оценки потенциальных возможностей обобщенной интерполяционной формулы Гаусса с точки зрения восстановления можно воспользоваться методикой, принятой в теории цифровой фильтрации, согласно которой ядро представляет собой импульсную весовую функцию интерполирующего фильтра, а соответствующая амплитудно-частотная характеристика (характер ее затухания) показывает эффективность подавления высокочастотных компонент, обусловленных дискретизацией. На рис. 2 для сравнения приведены амплитудно-частотные характеристики интерполирующего по формуле (37) фильтра и сплайн-пнтерпо-лирующего фильтра 2-го порядка, которые показывают, что сравниваемые способы интерполяции соизмеримы по точности восстановления. Интерполяционная формула (37) легко обобщается на случай восстановления многомерной функции. При этом заменяется на расстояние между соответствующими точ-камИ'В я-мерном евклидовом пространстве, т.е.

20 1о8(^/50) 20 \ag\UF0/

-200

0

о - сплайн 2-го порядка,

Рис. 2.

II Е1

у 12&

- формула (37) для а=2

Л' у.

I- '

/=1

Оп(х) = ^ 'У1 , (38)

где ©,2(х) = (л, - х,,.)2 + (х2 -х2/)2+...+(хп - ХЫ)7 (39)

Как показывает опыт применения формулы (38), ее точностные характеристики близки к характеристикам многомерных полиномиальных моделей и позволяет получить погрешности аппроксимации на уровне дисперсии воспроизведения опытов.

Практика проведения экспериментов по исследованию СИ показывает, что не во всех точках области планирования возможно активное воспроизведение эксперимента по получению значений функции отклика У,. Здесь возникают ограничения технико-экономического характера, обусловленные дефицитностью материалов, стоимостью оборудования, отсутствием необходимых приборов, временем проведения эксперимента, невозможностью практической реализации эксперимента.

' Разрешение указанного противоречия, По мнению автора, следует искать в иной постановке задачи, а именно, в восстановлении функции отклика по результатам двухфакторных и одно-факторных экспериментов. При этом мы приходим к обобщению задачи интерполяции, которая традиционно формулируется как задача восстановления функции по известным се значениям в некоторых узлах. В рассматриваемой ситуации имеется возможность получать информацию о функции отклика в некоторых сечениях, которые могут иметь вид линий, кривых, плоскостей и т.д. Например, на рис.3 для случая построения трехфакторной модели условно представлены сечения в виде линий аЬ и а/, вдоль которых можно получить значения функции отклика путем однофакторных экспериментов, и в виде плоского сечения efgh, в котором поведение функции отклика описывается с помощью двухфакторного эксперимента. Таким образом, формулируется задача восстановления не по точкам, а по функциям в известных сечениях.

■ Соответствующие обобщающие формулы получаются из выражения (38) путем составления интегральных сумм и предельного перехода к интегральной форме представления. Например. для двухфакторной функции отклика ее значения в точке (х10>*2о) при известных

функциях в

L параллельных сечениях, где х7с = const — значения л*2

= 1,1,), описываются формулой:

Х>

Рис.3.

в которых заданы сечения

—' J 1 . . ct 1

r^.i^-eiW

где

*=i фк(хХ ©* (*i) = (*1 - Л"ю)2 + (x2ct - x2(l)

(40)

(41)

1ск Х20)

1к, Ик — соответственно верхняя и нижняя граница ¿-того сечения.

Для трехфакторной функции отклика при известных сечениях в трех взаимно-перпендикулярных плоскостях интерполяционная формула имеет вид:

ff fl(xlox2>хз) , , ,

JJ-----ТсГ ^2dr3 +

JJ dx2dx} +

*л|в,(дг2.*з)Г

4i

H h^ht^^A dxy

dxxdxi + |J

/з(х1>х2'х3е)

ûÈCjûtCj

5,3 ]e2(x,,x3)|a

3 , jj __

su Q3(xi,X2)|

+ ||__

Jj!j©2(x1,x3

dxxdx2

©Г(х2,х3) = (xlc - x10)2 + (x2 - л20)2 + (x3 - x30)2 (43)

©2(*i,*3) = (*i - x10)2 + (x2c - x20y + (x3 - x30)2 ■ (44) ©j(x,,x2) = (x, - xI0)2 + (x2 - x20)2 + (x3c - x30)2 (45)

S:l — площадь соответствующих сечений, по которым ведется интегрирование.

В конкретных случаях путем предварительного интегрирования, когда fk (хк) задаются в виде степенных многочленов выражения (40) и (42) существенно упрощаются.

Так, если L = 2, а = 4 и Л(*1,*2с, ) = аок + aikxi + a2kxî > то (42) преобразуется к виду

где С| - х2с< - хм и Сг - х2сг - Х20 •

Данная формула является приемлемой с точки зрения затрат на ее реализацию.

Планирование экспериментов в базисе дискретно-экспо-иеяпиальных функций.

Известно, что структура модели и соответствующая матрица базисных функций взаимообусловлены. Или другими словами, гели применить инверсную логику рассуждений, рассматривая информационные матрицы со свойствами, позволяющими полу-

Ы_ 4C12Cf(gîl|C2l + a22lC1|)

чать хорошо обусловленные решения, можно, сопоставляя им соответствующие модели, решать задачи планирования эксперимента. То есть идти не от модели к процедурам оценки коэффициентов, а напротив, от процедур оценки к моделям.

Все сказанное представляется достаточно конструктивным, поскольку' известно много систем функции, которые обладают требуемыми свойствами, например, дискретно-экспоненциальные функции (ДЭФ) из класса Виленкина-Крестснсона (ВКФ)

сШх, р) = У/рх = ехр и

1крх

~7Г

(46)

где р, х — аргументы, N— число функций в базисе.

Например, для N=3 матрица базисных функций Внленкина-Крестенсона имеет вид:

IV0 IV0 ¡У[ IV2 V/2

(47)

При N - 2к матрицы базисных ВКФ являются матрицами Адамара и широко применяются при' реализации планов типа 2к . В общем же случае в базисе ДЭФ соответствующие матрицы заполняются комплексными числами и им соответствует множество моделей в виде степенных многочленов. Так матрица £3 порождает следующую модель в базисе ДЭФ

Уь(х) ~ ао + о.{1Ух + а21Уи. (48)

Вид функции отклика уь(х) иллюстрируется на рис. 4.

Коэффициенты этой модели легко пересчитываются в соответствующие коэффициенты модели в виде алгебраического полинома

у(х) = д0 + + а2х2, (49)

поскольку уь(х) - целая функция.

Следует отметить, что в общем слу-13 чае для получения значений а,, а затем

а( необходимо осуществлять такую

/ N

{ 4 \

! ч

/

V ) ,/

\ __ /

3 Ке(><4М) Рко. 4.

нормировку, чтобы л* е[0, Л' - 1].

В работе показано, что в случае построения мультипликативных моделей в виде произведения степенных многочленов следует работать в базисе ВКФ-Кронекера. Например, для двухфак-торной квадратичной модели

у(х,,х2) = а0 + а,х, + агх\ + а3х2 +аАх{х2 + + а5х2х,- + а6х2* +а-,ххх1 + а8х,~х2 дискретно-экспоненциальная матрица базисных функций ВКФ-

Р

:ет вид:

IVй ¡V0 IV0 ц/0 IVй IV0 цг* IVй

IVй IV0 IV0 IV1 IVх IVх IV2 IV2 IV2

IV0 IV0 IV0 IV2 IV2 IV2 (Vх IV1 IVх

IV0 IVх IV2 IV0 IVх IV2 \Vй IVх IV2

IV0 IVх IV2 IVх IV2 IV0 \V2 IV0 IVх

о IVх IV2 IV2 IV" IVх ■ IVх IV2 И/0

И'0 IV2 IVх IV0 IV2 IVх IV0 IV2 (Vх

IV0 IV2 IVх IVх IV0 IV2 IV2 IVх IV0

IVй VV2 * IVх IV2 * IV1 IV0 IVх IV0 IV2

Показатели степени в столбцах, отмеченных (*), очеввдно, задают соответствующий спектр плана эксперимента.

Как показали исследования, при использовании базиса ВКФ-Кронекера реализуются /1-оптимальные планы, которые наиболее эффективны при построении квадратичных моделей.

Основные выводы.

1. Прямое применение теории планирования эксперимента к решению задач испытания СИ не всегда возможно, что требует разработки, специальных методов планирования и обработки результатов, учитывающих специфику СИ как объекта анализа.

2. Построение моделей функций преобразования и функций влияния СИ в виде рациональных функций можно осуществлять на едином наборе экспериментальных данных, позволяющих по-

лучать «пучок» моделей, среди которых отбираются наиболее адекватные.

3. Построение многофакторных моделей СИ по краевым точкам области планирования, позволяющее экономизнропать эксперименты и получать асимптотически £>-опгимальные планы, можно осуществить на основе базисных функций, полученных кронексровским произведением функции однофакторных экспериментов, при этом усреднение следует проводить с учетом координат краевых точек.

4. Применение процедур ДПФ при обработке результатов эксперимента по испытанию СИ даст возможность свести многомерную задачу к одномерной задаче спектрального анализа, что позволяет проводить хорошо обусловленные вычисления и в ряде случаев повысить точность оценки коэффициентов полиномиальных моделей.

5. Эффективные многофакторные модели СИ численно-аппроксимирующего типа можно получать на основе предложенной обобщенной интерполяционной формулы Гаусса, которая характеризуется хорошей устойчивостью по отношению к неточности задания данных и простотой вычислений, а также позволяет строить модели по сечениям многомерной функции, т.е. по результатам малофакторных экспериментов.

6. Использование матриц базисных функций Виленкина-Крестенсона-Кронекера позволяет строить спектры планов для испытания СИ и получать оценки коэффициентов с лучшими характеристиками в смысле А- и Е- критериев по сравнению с традиционными.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих трудзх;

1. Ткачев C.B. Об использовании сигма-множителей Ланцоша при цифровом анализе спектральных характеристик. Труды Л ПИ N 372, Ленинград, 1980. - С. 27-30.

2. Ткачев C.B. Метод построения оптимальных усеченных матриц Уолша для нахождения спектра Фурье. — Материалы 3-го Всесоюзного семинара "Проблемы метрологическоого обеспечения систем обработки измерительной информации."— М., 1980.— С.53.

3. Исмаилов Ш.Ю., Сысоев H.Ф., Ткачев C.B. Аналого-цифровое устройство для предпроцессорной обработки случайных сигналов при определении спектральной плотности. — Материалы 2-й Всесоюзной конференции "Методы и средства аналого-цифрового преобразования параметров электрических сигналов и цепей". - М., 1981. - С.29.

4. Фадеев, Маслянко А, Ткачев C.B. Исследование эрозий турбинных лопаток с помощью интегральных характеристик поверхности. Известия вузов "Энергетика " №1, Минск, 1981.- С.97-100.

5. Исмаилов Ш.Ю., Сысоев Н.Ф., Ткачев C.B. Об одном алгоритме определения спектральной плотности с применением ИВК — Материалы 8-й Всесоюзной конференции "Сбор и обработка информации в автоматизированных системах управления: — Куйбышев, 1981. - С.96-101.

6. Баранов В.Е., Манжосов А.К., Ткачев C.B. Анализ погрешности аналого-цифрового преобразователя при определенш спектральных характеристик случайных процессов. — Материаль 2-й Всесоюзной конференции "Методы и средства аналога цифрового преобразования параметров электрических сигналов i цепей". — М., 1981. - С.123-124.

7. Баранов В.Е., Манжосов А.К., Сысоев Н.Ф., Ткачев С.В Информационно-вычислительная система для анализа спектраль ной плотности случайных процессов. Информационный листо] № 968-81, Ленинградский межотраслевой территориальный цент] НТИ. — Ленинград, 1981.

8. Марченко В.В., Савоськпн B.C., Ткачев C.B., Чепасов А.П Методика планирования факторного эксперимента датчиково! аппаратуры с использованием многоуровневых матриц. — Мате риалы Всесоюзной конференции "Применение методов и средст тензометрии для измерения механических параметров". — M 1982. - С. 98.

9. Ткачев C.B. Планирование эксперимента с использование! многоуровневых матриц. — Материалы областной конференци: "Ученые и специалисты в комплексном экономическом и соци ачьной развитии области". — Пенза, 1983. — С. 56.

10. Ткачев C.B., Савоськин B.C., Чепасов А.П. Планировани многофакторных экспериментов датчиковой аппаратурь "Датчики систем измерения, контроля и управления": Межвузов ский сборник научных трудов. — Пенза, 1984. — С.13-16.

1J. Ткачев C.B., Ткачева O.E., Пискарев С.П. Измерительная система для комплексных испытаний датчиков. — Материалы зональной школы-семинара "Повышение эффективности автоматизированных средств восприятия и обработки информации". — Пенза, 1985. — С.45.

12. Map ченко В.В., Ткачев C.B., Ткачева O.E., Пискарев С.П. Синтез оптимальных планов эксперимента с использованием дискретных экспоненциальных функций. — Материалы Всесоюзной конференции "Совершенствование методов контроля надежности и их стандартизация". — Горький, 1985. — С.170.

13.Ткачев C.B. Система испытаний датчиков на надежность. — Материалы межотраслевой научно-практической конференции "Проблемы внедрения достижений научно-технического прогресса в области автоматизации и механизации производственных процессов". — Уфа, 1985. — С.7.

14. Марченко В.В., Ткачев C.B., Ткачева O.E., Пискарев С.П. планирование испытаний датчиков. — Материалы Всесоюзной конференции "Методы и средства измерения механических параметров в системах контроля и управления".— Пенза, 1986.— С.99.

15. Ткачев C.B., Ткачом O.E. Оптимальное планирование прочностного эксперимента. — Материалы 6-го Всесоюзного межотраслевого симпозиума "Обработка информации в системах управления". — Новосибирск, 1986,— С.36.

16. Ткачев C.B. Многофакторные испытания датчиков. — Материалы Всесоюзного совещания-семинара "Датчики и прсобразо-ватсли информационно-управляющих систем". — М.. 19S7. - С.52.

17. Марченко В.В., Ткачев C.B., Ткачева O.E. Оптимальные планы для многофакторных испытаний датчиков. "Датчики систем измерения, контроля и управления": Межвузовский сборник научных трудов. — Пенза, 1987. — С.88-91.

18. Ткачев C.B., Ткачева O.E., Пискарев С.П. Планирование" комплексных испытаний датчиковой аппаратуры. "Датчики систем измерения, контроля и управления": Межвузовский сборник научных трудов. — Пенза, 1988. — С.62-64.

19. Ткачев C.B., Лузгин B.C. Граничные оценки точности моделирования комплексных воздействий. — Материалы краевой научно-технической конференций "Вопросы совершенствования вннтодейдвудных комплексов судов".— Владивосток, 1988,— С. 17.

20. Ткачев C.B., Лузгнн B.C. Автоматизированная система для комплексных испытаний датчиков. — Материалы 5-го Республиканского межотраслевого семинара "Теория и практика разработки средств автоматизации". — Уфа, 1989. — С.54.

21. Ткачев C.B., Лузгин B.C. Расширение возможностей многофункциональных автоколебательных систем для комплексны) испытаний датчиковой аппаратуры. — Материалы 10-й Всесоюзной конференции "Тензометрия-89".— Свердловск, 1989. — С.32.

22. Ткачев C.B., Лузгин B.C. Многофакторные испытания датчиковой аппаратуры. — Материалы Всесоюзной конференцш "Методы и средства измерения механических параметров в системах контроля и управления". — Пенза, 1989. — С.90.

23. Ткачев C.B., Лузгин B.C., Щуров Ю.П. ИИС для комплексных испытаний датчиков. — Материалы Всесоюзной научно-технической конференции "ИИС-89". — Ульяновск, 1989. -С.143.

24.Ткачев C.B. Исследование чувствительности пьезоэлектрп чсских акселерометров при многофакторных испытаниях. — Ma териалы Всесоюзной научно-технической конференции "Пробле мы теории чувствительности измерительных датчиков, электрон ных и электромеханических систем". — Владимир, 1989. — С.131.

25. Ткачев C.B., Лузгин B.C., Щуров Ю.П. Автоматизирован ная система для комплексных испытаний. — Материалы зональ ного семинара "Методы и средства измерения механических па раметров в системах контроля". — Пенза, 1990. С.42.

26. Ткачев C.B. Многофакторные испытания пьезоэлектриче ских акселерометров. — Материалы 2-го Всесоюзного совещание молодых ученых и специалистов "Датчики и преобразователи ин формации систем измерения, контроля и управления". — Гурзуф 1990.-С.143.

27. Ткачев C.B. Автоматизированная система для комплексны испытаний пье ;оакселерометров. Материалы Всесоюзной научно технической конференции "Микроэлектронные датчики в маши построении". — Ульяновск, 1990. — С.25.

28. Ткачев C.B. Комплексные испытания датчиков с примене нием ПЭВМ. — Материалы Всесоюзной научно-техническо] конференции "Проблемы применения микропроцессорйых кон троллеров". — Минск, 1991. — С.49.

29. Ткачев C.B. Автоматизированная система для комплексног испытания датчиков. — Материалы 3-го Всесоюзного совещани

с участием зарубежных ученых "Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления". — Гурзуф, 1991. - С.196.

30. Ткачев C.B., Медведев С.П., Герасимов А.И. Автомати?а-ция климатических испытаний на базе ПЭВМ. — Материалы 2-й Всесоюзной конференции "Измерение и контроль при автоматизации производственных процессов". — Барнаул, 1991. С.18.

31. Ткачев C.B. Система для комплексного испытания датчиков. — Материалы Всесоюзной научно-технической конференции "Методы и средства измерения механических параметров в системах контроля и управления". — Пенза, 1992. С.53.

32. Ткачев C.B. Граничные оценки точности комплексных испытаний датчиков. — Материалы IY научно-технического :овещання ученых и специалистов с участием представителей зарубежных стран "Датчики и преобразователи систем измерения, контроля и упраачения".— Гурзуф, 1992. — С.5.

33. Ткачев C.B. Комплексные испытания датчиков. — Материалы Y Международной научно-технической конференции 'Датчики и преобразователи систем измерения, контроля и /правления". — Гурзуф, 1993. — С.281.

34. Ткачев C.B. Михотин В.Д. Интерполяция рациональными функциями по оптимальным планам для испытания датчиковой шпаратуры. — Материалы Всероссийской научно-технической конференции с участием зарубежных специалистов "Датчики и треобразователи систем измерения, контроля и управления",— Гурзуф, 1994. — С.449.

35. Ткачев C.B. Граничные оценки точности при совокупных омерениях. "Информационно-измерительная техника": Межву-ювекий сборник научных трудов. — Пенза, 1994. — С.37-41.

36. Ткачев C.B. Особенности испытаний пьезоэлектрических акселерометров. — Материалы Международного симпозиума шженеров-механиков.— Львов, 1995.— С.168.

37. Ткачев C.B., Михотин В.Д. Планирование эксперимента шя испытания датчиковой аппаратуры на, метрологическую на-гелсность. — Пенза: Изд-во Пенз. гос. техн. ун-та, 1996. — 184 с.

38. Ткачев C.B. Интерполяция рациональными функциями по ттимальным планам. "Информационно-измерительная техника": Межвузовский сборник научных трудов. - ~ — С. 21-23.