автореферат диссертации по приборостроению, метрологии и информационно-измерительным приборам и системам, 05.11.16, диссертация на тему:Анализ и обработка данных многофакторных испытаний датчиковой аппаратуры

На правах рукописи

КОРЧАГИН Павел Николаевич

АНАЛИЗ И ОБРАБОТКА ДАННЫХ МНОГОФАКТОРНЫХ ИСПЫТАНИЙ ДАТЧИКОВОЙ АППАРАТУРЫ

Специальность 05.11.16 - Информационно-измерительные и управляющие системы (приборостроение)

-U4

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

ПЕНЗА 2005

Работа выполнена в Пензенском государственном университете.

Научный руководитель — доктор технических наук,

профессор Щербаков М. А.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Геращенко С. И.;

доктор технических наук, профессор Шкодырев В. П.

Ведущая организация — ФГУП «Научно-исследовательский институт физических измерений».

Защита диссертации состоится 28 июня 2005 г., в 14 часов, на заседании диссертационного совета Д 212.186.02 в Пензенском государственном университете по адресу: 440026, г. Пенза, ул. Красная, 40.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Пензенского государственного университета.

Автореферат разослан 28 мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор технических наук,

профессор

Светлов А. В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Датчиковая аппаратура (ДА) (первичные измерительные преобразователи, воспринимающие действие физических величин, и унифицирующие преобразователи, представляющие данные в виде, удобном для обработки) является важнейшим элементом информационно-измерительных систем (ИИС). Это обусловливается тем, что датчики, как правило, включаются в прямые цепи преобразования, и метрологические характеристики датчи-ковой аппаратуры в значительной мере определяют качество метрологических характеристик ИИС в целом.

В связи с этим к обеспечению высокой метрологической надежности работы ДА в условиях влияния разнообразных типов внешних воздействий предъявляются особые требования.

Обеспечение метрологической надежности невозможно без проведения экспериментальных исследований и испытаний ДА. Задача организации подобных исследований традиционно решалась с привлечением теории планирования экспериментов. Вместе с тем прямое заимствование результатов теории планирования эксперимента не всегда возможно из-за специфики датчиковой аппаратуры как объекта исследования.

В теоретических исследованиях, проводимых специалистами в области теории измерений, среди которых следует выделить работы Куликовского К. Л., Бромберга Э. М., Купера В. Я., Новицкого П. В., Зограф И. А., Мусина И. А., Ткачева С. В., указанная задача решалась в русле традиционного подхода с позиций теории планирования эксперимента. Особое внимание при этом уделялось вопросам анализа погрешностей.

Однако и в настоящее время существует ряд нерешенных задач, связанных как с разработкой эффективных алгоритмов обработки экспериментальных данных, так и с оценками влияния искажения экспериментальных данных, обусловленных погрешностями задания влияющих факторов. Подобное положение объясняется наличием большого числа всевозможных ограничений, возникающих при реализации экспериментов, в частности, сложностью технического характера при воспроизведении комплекса влияющих величин и метрологического обеспечения соответствующей аппаратуры.

Актуальность проблемы, решаемой в диссертационной работе, диктуется следующими обстоятельствами.

Во-первых, проблемы планирования эксперимента и факторного анализа следует рассматривать как две взаимообусловленные задачи, что требует синтеза соответствующих алгоритмов обработки данных, адаптируемых к решению задач испытания ДА.

Во-вторых, известные и широко применяемые подходы к решению задач планирования эксперимента и факторного анализа ориентированы в основном на аналитические методы анализа. В настоящее время следует использовать другие методы, основанные на широком применении способов статистического моделирования, которые позволяют расширить круг задач планирования эксперимента.

В-третьих, применение новых методов анализа требует по-новому организовывать как алгоритмы планирования эксперимента, так и алгоритмы последовательности проведения исследований и обработки экспериментальных данных.

Цель работы; совершенствование методик анализа и обработки данных в задачах испытания датчиков механических величин при многофакторных воздействиях.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

- исследование возможностей применения теории планирования эксперимента для факторного анализа, построения моделей функций преобразования (ФП) и функций влияния (ФВ) датчиковой аппаратуры;

- синтез новой методики обработки данных, повышающих эффективность известных планов экспериментов;

- разработка методики обработки данных с учетом влияния погрешностей задания факторов для реализации их в информационно-измерительных системах, предназначенных для испытания и аттестации датчиковой аппаратуры;

- исследование эффективности известных и вновь синтезируемых методик с помощью статистического моделирования;

- исследование влияния погрешностей задания факторов на точность построения моделей функций отклика в виде функций преобразования и функций влияния средств измерений;

- внедрение разработанных методик и алгоритмов в системах испытания датчиковой аппаратуры.

' Методы исследований включают в себя методы теорий планирования экспериментов и факторного анализа; методы математического анализа; методы линейной алгебры; методы имитационного и статистического моделирования.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана методика упорядочения экспериментальных данных на основе использования планов Грея, которая позволяет достигнуть эквидистантности отсчетов в и-мерной области планирования и, как следствие, упрощает алгоритмы факторного анализа;

- разработана методика предварительной фильтрации данных, испытания которой путем статистического моделирования показали, что эффективность подавления влияния шумов в экспериментальных данных возрастает по мере роста мощности шумов;

- решена задача исследования влияния погрешностей задания факторов на точность оценки коэффициентов функций влияния и преобразования средств измерений при наличии систематических и случайных погрешностей, а также влияния аддитивных и мультипликативных погрешностей задания факторов;

- методом статистического моделирования показано, что при равномерном и нормальном законах распределения погрешностей задания влияющих факторов погрешности оценки коэффициентов функций отклика подчиняются законам распределения, близким к нормальным, и не вызывают методических отклонений;

- в результате исследования влияния погрешностей задания факторов в зависимости от вида функций отклика и реализуемых спектров планов эксперимента показано, что такое влияние на практике можно учитывать аналитическими методами как влияние погрешностей измерения значений функции отклика с учетом соответствующих поправочных коэффициентов.

Практическая ценность результатов работы. Предложенные в диссертации методики позволяют существенно упростить процедуры факторного анализа данных многофакторных экспериментов на основе применения планов Грея; сократить объем испытаний, что обеспечивает экономию затрат на испытания, увеличивает ресурс датчиков и упрощает требования к испытательному оборудованию ча счет применения методики предварительной фильтрации исходных

? *!

данных. Кроме того, разработанные методики статистического моделирования исследования влияния спектров планов эксперимента и погрешностей задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей позволяют на этапе планирования рационально определять требования к метрологическим характеристикам испытательного оборудования и повысить точность оценок параметров моделей.

Реализация и внедрение. Теоретические и практические результаты работы были использованы и внедрены в виде алгоритмов и программного обеспечения в ФГУП «НИИ физических измерений». Внедрение результатов научных исследований позволило: 1) сократить объем испытаний, что обеспечивает экономию затрат на '

испытания ресурсов датчиков в процессе аттестации; 2) поднять уровень метрологической надежности датчиковой аппаратуры; 3) повысить точность оценок параметров моделей при метрологической аттестации характеристик датчиковой аппаратуры.

Кроме того, полученные в диссертационной работе результаты используются в учебном процессе на кафедре «Автоматика и телемеханика» Пензенского государственного университета в рамках специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах».

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях Пензенского государственного университета (2000 - 2004 гг.); международных научных конференциях «Методы и средства измерения в системах контроля и управления» (г. Пенза, 2001 г., 2002 г.); Международной школе-семинаре «Синтез и сложность управляющих систем» (г. Москва, 2002 г.); международных симпозиумах «Надежность и качество» (г. Пенза, 2002 г., 2003 г., 2005 г.); научно-технических конференциях «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления» (г. Москва, 2001 -2003 гг.); всероссийских научных конференциях «Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЪАВ» (г. Москва, 2002 г., 2004 г.).

На защиту выносятся:

1. Процедура построения моделей ДА по результатам многофакторных испытаний, включающая в себя этапы статистического мо-

делирования процессов измерения и обработки данных, позволяющая учитывать погрешности исходных данных на этапе выбора модели и спектра плана.

2. Методика факторного анализа результатов испытаний с использованием планов Грея, позволяющая получить равномерную дискретизацию функции отклика.

3. Методика предварительной фильтрации экспериментальных данных, основанная на применении дискретного преобразования Фурье.

' 4. Методика статистического моделирования влияния системати-

ческих и случайных погрешностей при различном характере их проявления на оценку коэффициентов регрессионных моделей.

> 5. Методика статистического моделирования влияния спектров

планов эксперимента и погрешностей задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе 1 статья, 14 тезисов докладов на конференциях и 1 информационный листок.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения и девяти приложений. Основной текст - 201 страница машинописного текста. Библиография -110 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы исследования, кратко охарактеризовано состояние проблемы, сформулирована научная новизна, цели и задачи исследования.

В первой главе рассматриваются вопросы планирования испытаний датчиков, выбора вида математических моделей функций влияния и акцентируется внимание на существующих методах факторного анализа и теории планирования эксперимента, применяемых при обработке данных, полученных при испытаниях датчиков.

Анализ методов обработки данных многофакторных экспериментов показал, что факторный анализ, впервые предложенный Фишером в рамках теории планирования эксперимента, и классическая теория факторного анализа хорошо известны и отработаны. Но специфика испытаний датчиков, а также использование особых планов экспериментов дают достаточно оснований утверждать, что использование существующих методов не всегда возможно.

С другой стороны, до сих пор решаемые теорией факторного анализа задачи являются частным случаем задач теории планирования эксперимента, где для сравнительной оценки влияния тех или иных факторов применяются специфические математические модели объектов и алгоритмы обработки результатов измерений.

В результате сравнения методов факторного анализа было установлено, что самым оптимальным параметрическим методом является регрессионный анализ. Среди непараметрических наиболее эффективным является метод оценки изолированного влияния факторов.

При анализе вопроса выбора вида функции влияния, т. е. формы описания зависимостей оценок погрешностей, его можно рассмотреть с двух точек зрения. Во-первых, с точки зрения теории измерений, где при моделировании погрешностей средств измерений (СИ) важнейшим является механизм проявления и влияния тех или иных факторов и самой преобразуемой величины на погрешность преобразования. Во-вторых, с точки зрения теории планирования эксперимента и теории моделирования систем, где существуют свои методики, применяемые в исследованиях средств измерений.

В измерительной технике вопрос представления погрешностей в виде математических моделей является центральным. В соответствии со сказанным используется аддитивная макромодель погрешности, включающая основную систематическую погрешность Ас, основную случайную погрешность Д, дополнительную погрешность от дестабилизирующих факторов АДОп и дополнительную случайную

погрешность Ддоп.

В теории планирования эксперимента функция отклика от п переменных обычно представляется в виде разложения в ряд Тейлора в центре области планирования. После нормирования переменных ее можно представить в виде

к к к срЦ,*,,.= (30 + + + + -' О)

М 1=1 (-1

'<7

где х, е [-1, 1] - влияющие факторы, 1 = 1,к; (3„ (3^ - параметры модели.

В общем случае этот ряд бесконечен, но на практике ограничивается конечным числом его членов, аппроксимируя тем самым неизвестную функцию полиномом с заданной точностью.

В результате анализа и сопоставления спектров планов экспериментов было показано, что последние отличаются как точностью моделей, получаемых с их помощью, так и точностью оценки коэффициентов.

Проведя сравнительный анализ двух моделей, линейных относительно коэффициентов и влияющих факторов, можно сказать, что вид модели оказывает существенное влияние на сложность и точность проведения факторного анализа. Кроме того, в случае использования полиномиальной модели о влиянии того или иного фактора можно говорить лишь в некотором вероятностном смысле.

Вторая глава посвящена методу факторного анализа результатов испытаний ДА с использованием оптимальных планов эксперимента, а также вопросам целесообразности проведения предварительной фильтрации данных с целью уменьшения влияния случайных погрешностей измерений и не учтенных в модели влияющих факторов.

Обе задачи объединяются общей идеей, суть которой заключается в специальном упорядочении отсчетов функции отклика, позволяющем осуществить равномерную дискретизацию данных по точкам на поверхности многомерной области планирования, и, следовательно, появляется возможность применения известных алгоритмов по расчету конечных разностей и спектров функции отклика посредством дискретного преобразования Фурье.

Равномерная дискретизация функции отклика при использовании насыщенных планов типа 2" представляет собой переход от одной точки факторного пространства к другой по граням гиперкуба, причем при таком переходе изменяется значение лишь одного фактора.

В работе предложено для этой цели использовать коды Грея. Путем перестановки строк матрицы спектра плана эксперимента в соответствии с таким кодом достигается равномерная дискретизация функции отклика. Предлагается получаемые спектры планов называть планами Грея.

Одними из самых распространенных и эффективных планов, применяемых при испытаниях и аттестации ДА, являются планы

эксперимента типа 2", оптимальные в широком смысле. Подобные планы строятся на основе матриц Адамара, Уолша, Пэли. Характерная особенность подобного порядка представления данных заключается в неравномерной дискретизации и-мерной функции отклика.

На рисунке 1 показана последовательность представления отсчетов для плана 23 (таблица, поле В).

Рисунок 1 - Последовательность представления отсчетов для плана 23

Последовательность отсчетов для плана 23 и планов Грея

ЛЯ 5=2" Ыв-321 0-321 М7-123 №3-312

*з хг *з *2

А В С Б Е Г

1 0 0 0 I 0 0 0 1 1

2 0 0 1 2 0 0 1 5 3

3 0 1 0 4 0 1 1 7 4

4 0 1 1 3 0 1 0 3 2

5 1 0 0 7 1 1 0 4 6

6 1 0 1 8 1 1 1 8 8

7 1 1 0 6 1 0 1 6 7

8 1 1 1 5 1 0 0 2 5

Как следует из рисунка 1, расстояния между отсчетами принимают значения из ряда 2, 2 л/2 , 2 л/з . Такая неравномерность отсчетов является несущественной для получения значений коэффициентов

полиномиальной модели. Но, с точки зрения интерпретации результатов и объяснения физического смысла тех или иных коэффициентов, получаемые модели усложняют сущность изучаемых объектов за счет представления результатов в обобщенном виде.

Для перестановки строк матрицы плана в соответствии с кодом Грея в работе предлагается сначала представить строку плана в виде двоичного числа, заменив д= -1 на «О» (см. таблицу).

В таблице приведены примеры нескольких планов Грея. Цифры в названии плана указывают порядок следования индексов факторов. Например, в поле С показана последовательность отсчетов функции отклика при реализации плана Грея О-321. Соответственно, в поле Б представлен сам указанный спектр плана.

Последовательность равномерных отсчетов иллюстрируется на рисунке 2, где расстояния между отсчетами эквидистантны и равны 2.

Рисунок 2 - Последовательность представления отсчетов для плана й-321

Методика факторного анализа экспериментальных данных заключается в следующем.

Вначале для достижения равномерной дискретизации отсчетов в и-мерной области используются планы Грея. Далее для переупорядоченных данных находятся конечные разности.

Чем больше конечная разность, соответствующая изменению какого-либо фактора или комбинации факторов, тем существеннее вклад этого фактора (или комбинации факторов) в значение отклика.

Поскольку различные варианты планов Грея получаются путем перестановки индексов факторов, общее количество таких планов равно

МР1 = п\, (2)

где п - количество факторов.

Методика предварительной фильтрации данных на основе дискретного преобразования Фурье предлагает объединение векторов откликов, полученных в соответствии с различными планами Грея. При этом последовательность отсчетов функции отклика имеет равномерную дискретизацию (рисунок 3).

Номера отсчетов в исходном плане ПФЭ2*

Номера отсчетов 8 плане Грея

12 3 4 5 6 7 8

* з^б * $ эфе эфе эфе

12 3 45678

123 45 678

эфе эфе эфе э|с эфе эфе эфе эфе

Л

********

123 45 678 в-Ъ1\

********

12345678 (У-132

/А

* * ^ ^ ^ ^ ^Ф^

123 45 67 8 0-312

Рисунок 3 - Упорядочение данных для процедуры ДПФ

При объединении векторов откликов необходимо придерживаться такого порядка, чтобы каждая последующая присоединяемая группа данных начиналась с точки, ближайшей к последнему предыдущему отсчету.

Для полученной последовательности отсчетов находится спектр Фурье, и осуществляется его фильтрация. Затем восстанавливается исходная последовательность, по которой находятся усредненные значения функции отклика датчика.

На рисунке 4 приведены результаты исследования эффективности описанной методики с использованием метода статистического моделирования.

На рисунке 4 используются следующие обозначения: - дисперсия погрешности оценки значений функции отклика, полученных с помощью процедуры ДПФ; Вш - дисперсия шума; Иу - мощность функции отклика без шумов.

Рисунок 4 - Результаты статистического моделирования

Анализ результатов статистического моделирования позволил сделать следующие выводы:

- фильтрация с использованием ДПФ обеспечивает уменьшение погрешностей оценки данных функций влияния;

- как следует из рисунка 4, предлагаемый способ фильтрации влияния шумов измерения эффективен в случаях, когда относительная погрешность шумов более 1,2.

Третья глава посвящена исследованию влияния погрешностей задания (измерения) значений факторов на точность определения коэффициентов регрессионных моделей функции отклика.

В работе показано, что условия математической корректности регрессионного анализа, применяемого в классической теории планирования эксперимента, не всегда выполняются в полной мере. # В частности, условие равенства нулю погрешностей задания или

измерения факторов X никогда не может быть выполнено в полной ^ мере. Обычно под этим понимается то, что вклад, вносимый случай-

ными погрешностями задания факторов X в дисперсию воспроизводимости, неизмеримо мал по сравнению с действием других неконтролируемых факторов, образующих случайную погрешность е при измерении значений функции отклика в каждой точке плана эксперимента.

При планировании экспериментов по испытанию средств измерений нельзя пренебрегать погрешностями задания факторов, особенно в случаях, когда объектом являются прецизионные средства измерений.

Аналитическое исследование влияния погрешностей задания факторов показало, что погрешность моделирования имеет тот же порядок, что и погрешности задания факторов 8« т. е. применение методов регрессионного анализа является корректным.

Рассматривалась двухфакторная модель, коэффициенты которой можно получить с помощью плана 22:

У = а0 + аххх + а2х2 + а3х1х2, (3)

где лсь х2 - влияющие факторы; а, - параметры модели, i = 0,3 .

Показано, что для такой модели случайная добавка к отсчетам функции отклика будет описываться формулой

о о о о о о **

АГ =-а, Д|-а2 Аг-а, А1 Дг+л;2 Д1+х, Дг , (4) V

о о

где Д1, Д2 - случайные погрешности факторов; а, - параметры модели, / = 0,3.

В результате оценки дисперсии случайной погрешности А У было получено следующее выражение (при этом учитывалось, что в ПФЭ типа 2" факторы принимают значения ±1):

Аш = А2(а,2 + а]) + А2(а22 + + +

+ 2оэ% + 2а2,К^ + 2а]К«г> ,

где К^ - ковариация между случайными погрешностями факторов х\ их2;

<22>

К\2 - ковариация между квадратами случайных погрешностей;

<12> 0 °2 К\2 - ковариация между случайными погрешностями А] и Аг;

<21> °2 0 Кц - ковариация между случайными погрешностями Д1 и Аг.

Данное выражение показывает, что при оценке влияния погрешностей задания влияющих факторов необходимо учитывать взаимную корреляцию погрешностей.

Кроме того, задача исследования погрешностей оценки коэффициентов регрессионной модели (3) решалась с использованием метода статистического моделирования. При этом исследовались как характер погрешности (аддитивный и мультипликативный), так и закон ее распределения (нормальный и равномерный).

Методика статистического моделирования погрешностей задания влияющих факторов основана на классической методике обработки экспериментальных данных. При этом изменяются матрицы плана эксперимента в зависимости от вида погрешности.

Для аддитивных погрешностей каждый элемент «зашумленной» матрицы спектра плана эксперимента принимает значение

(6)

где 5 у - элемент исходной матрицы спектра плана;

Ду -погрешность задания у'-го фактора в /-м эксперименте, нормированная относительно диапазона изменения фактора [-1; +1] с равномерным или нормальным законом распределения.

Для мультипликативных погрешностей

Г/,у, (7)

где у у = (1 + А(1/).

По результатам исследования было получено следующее:

- для обоих законов распределения погрешностей факторов погрешности оценки коэффициентов регрессионной модели, линейной относительно параметров, распределяются по нормальному закону с уровнем значимости 0,01;

- в случае мультипликативного характера помехи значение коэффициента а0 определяется математически точно (погрешность равна нулю);

- в случае аддитивного характера помехи математически точно определяются коэффициенты, учитывающие взаимодействие факторов.

Последний результат статистического моделирования был доказан аналитически. Для значений функции отклика модели (3) с уче-

том влияния аддитивных погрешностей можно записать следующую систему уравнений:

'ух =а0 + а,(1 +Д,) + а2( 1 + Д2) + а3( 1 + Д,Х1 + Д2); у2 = а0 + а,(-1 + А,) + а2( 1 + Аа) + а}(-1 + Д,Х1 + А2);

(о)

у3 = а0 + + Д, )■+ а2(-1 + Д2) + а3(1 + Д,Х-1 + А2); у4 = а0 + я,(-1 + Д,)+ а2(-1 + Д2)+ яД-1 + А, Х~1 + Д2), где Д, и Д2 - нормированные аддитивные погрешности задания факторов.

После соответствующих преобразований были получены следующие выражения для погрешностей оценок коэффициентов модели (3):

% = +Уг + Уз +У*) = аоид-аД -а2Д2-а3Д,Д2; (9) % ="(^1 ~У2+У} ~У*) = а1ЙЛ ~ «А; С10)

Я2р = +У2 ~У4) = а2нд ~азЛ1'> О 1)

<*эР=^(У1-У2-Уэ+У4) = (*3иа, (12)

где а(НД - идеальные значения коэффициентов функции отклика; а1р- реальные значения коэффициентов функции отклика, / = 1,4 .

Анализируя выражения (9) - (12), можно утверждать, что оценки значений коэффициентов а0, а, и а2 зависят от влияния аддитивных погрешностей, тогда как значение а3 определяется математически точно, т. е. имеет место взаимная компенсация погрешностей, присутствующих в векторе У = (у,, у2, у3, уА).

В четвертой главе сформулирована и решена задача оценки влияния погрешностей задания факторов на точность построения регрессионных моделей функций отклика при реализации различных спектров планов эксперимента.

При проведении данного исследования применялись классический регрессионный и дисперсионный виды анализа.

При исследовании влияния неточности задания факторов X на параметры а использовались модели без учета и с учетом взаимодействия факторов.

В настоящее время существует большое количество планов экспериментов для оценки параметров различных видов моделей, удовлетворяющих самым разнообразным критериям оптимальности. В настоящей работе использовались следующие планы:

1) для модели без учета взаимодействия факторов:

- нецентрированный правильный симплекс-план ХА,

- центрированный правильный симплекс-план Хв,

- почти целочисленный правильный симплекс-план Хв;

2) для модели с учетом комбинаций фактбров, кроме вышеназванных:

- план полного факторного эксперимента типа 2".

Для решения поставленной задачи применялся метод статистического моделирования. Были получены следующие результаты:

- относительные погрешности оценки коэффициентов практически для всех планов экспериментов составляют сотые доли процента;

- для всех планов средние значения погрешностей оценок коэффициентов А распределены нормально;

- для всех планов дисперсии погрешностей оценок коэффициентов А распределены либо нормально, либо по закону Эрланга;

- с увеличением погрешности факторов дисперсия оценок коэффициентов возрастает;

- для плана полного факторного эксперимента типа 2" максимальная дисперсия А для нормального распределения погрешностей факторов больше максимальной дисперсии А для равномерного распределения погрешностей факторов;

- для симплекс-планов ХА, ХБ, Хв наблюдается обратная зависимость.

В качестве альтернативного инструмента статистического анализа результатов наблюдений, которые зависят от различных одновременно действующих факторов, в работе применялся дисперсионный анализ. Его задачей является определение меры влияния того или иного фактора на рассматриваемый признак.

Были выбраны следующие факторы: А - погрешность задания факторов Xj в диапазоне 0,005 -ь 0,05 с шагом 0,005; В - различные симплекс-планы экспериментов.

В качестве рассматриваемого признака выбиралось среднее значение абсолютной ошибки оценки коэффициента регрессии

где ат =| ä0,Sl,a2,ä3 j - МНК-оценка коэффициентов модели при наложении шумов на матрицу плана; я„ст = |<зисто <яист1 аист2 оистз1 - заданные значения коэффициентов модели.

Дисперсионный анализ показал, что на оценку минимального коэффициента модели влияет взаимодействие факторов А и В при раз- ' личных законах распределения погрешностей влияющих факторов. Кроме того, показано, что учет только двух факторов оказался недостаточным. Нельзя однозначно сказать, как и на какой коэффициент модели будут влиять эти факторы и их сочетание. Необходимо учитывать влияние еще двух факторов, а именно: соотношение коэффициентов модели и закон распределения погрешностей влияющих факторов.

В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

В приложениях приводятся MathCad-программы статистического моделирования и результаты их работы.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

В соответствии с целями и задачами представляемой диссертационной работы были получены следующие результаты:

1. Показано, что задачи факторного анализа и задачи планирования экспериментов являются взаимообусловленными и на современном этапе должны решаться совместно. 1

2. Предложена методика обработки результатов многофакторных экспериментов, основанная на использовании планов Грея, с помо- ^ щью которых обеспечивается эквидистантность отсчетов в п-мерной области планирования, что позволяет эффективно решать задачи факторного анализа.

3. Разработана методика предварительной фильтрации данных многофакгорных экспериментов на основе процедуры дискретного преобразования Фурье.

4. Предложена методика статистического моделирования погрешностей задания влияющих факторов, позволяющая оценивать точность построения моделей функций отклика в виде функций преобразования и функций влияния средств измерений с учетом указанных погрешностей.

5. Показано, что при различных видах погрешностей задания факторов законы распределения погрешностей оценки коэффициентов модели функции отклика получаются близкими к законам Эрланга и нормальному.

6. Показано, что для более эффективной оценки влияния погрешностей задания факторов дополнительно требуются знания соотношения между коэффициентами модели функции отклика и законов распределения погрешностей влияющих факторов.

7. Результаты работы внедрены в производство и используются в виде алгоритмов и программного обеспечения в ФГУП «НИИ физических измерений», а также в учебном процессе на кафедре «Автоматика и телемеханика» Пензенского государственного университета.

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Корчагин П. Н. Идентификация параметров функции отклика при полнофакторных испытаниях датчиков / П. Н. Корчагин, В. В. Сазонов // Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления: Тр. Междунар. науч.-техн. конф. - М.: Изд-во МИЭТ, 2001. - С. 293.

2. Корчагин П. Н. Исследование влияния неточности задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионной модели методом статистического моделирования / П. Н. Корчагин, В. Д. Михотин, В. В. Сазонов // Датчики систем измерения, контроля и управления: Межвуз. сб. науч. тр. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2001.-Вып. 20.-С. 135-143.

3. Корчагин П. Н. Дисперсионный анализ результатов статистического моделирования неточности задания влияющих факторов //

Методы и средства в системах контроля и управления: Тр. Междунар. конф. - Пенза: ИИЦ Пенз. гос. ун-та, 2002. - С. 171-173.

4. Корчагин П. Н. Исследование влйяния погрешности задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионной модели / П. Н. Корчагин, В. Д. Михотин, В. В. Сазонов // Датчики и системы. - 2002. - № 6. - С. 14-18.

5. Корчагин П. Н. Исследование влияния спектра плана и уровня погрешности задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей / П. Н. Корчагин, В. Д. Михотин, В. В. Сазонов // Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления: Тр. Междунар. науч.-техн. конф. - М.: Изд-во МИЭТ, 2002. - С. 96-97.

6. Корчагин П. Н. Использование процедуры ДПФ в многомерном регрессионном анализе / П. Н. Корчагин, В. Д. Михотин, В. В. Сазонов // Надежность и качество: Тр. Междунар. симпозиума. -Пенза: ИИЦ Пенз. гос. ун-та, 2002. - С. 183-185.

7. Пакет прикладных программ для синтеза спектров планов экспериментов / П. Н. Корчагин, В. Д. Михотин, С. П. Пискарев, М. В. Тюрин // Информационный листок № 182-02. Сер. Р 50.41.25. -Пенза: Пенз. ЦНТИ, 2002. - 4 с.

8. Корчагин П. Н. Применение кода Грея в факторном анализе / П. Н. Корчагин, В. Д. Михотин, В. В. Сазонов // Синтез и сложность управляющих систем: Материалы ХШ Междунар. школы-семинара. -Ч. П. - М.: МГУ, 2002. - С. 163-165.

9. Корчагин П. Н. Программа сравнительного анализа спектров планов экспериментов для испытаний датчиковой аппаратуры / П. Н. Корчагин, В. В. Сазонов // Проектирование научных и инженерных приложений в среде МАТЬАВ: Тез. докл. Всерос. науч. конф. - М.: ИПУ РАН, 2002. - С. 79-80.

10. Корчагин П. Н. Упрощенный факторный анализ по планам 2" / П. Н. Корчагин, В. Д. Михотин, В. В.Сазонов // Методы и средства измерения в системах контроля и управления: Тр. Междунар. конф. -Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2002. - С. 160-163.

11. Корчагин П. Н. Построение регрессионных метамоделей датчиковой аппаратуры / П. Н. Корчагин, В. Д. Михотин // Надежность

и качество: Тр. Междунар. симпозиума. - Пенза: ИИЦ Пенз. гос. унта, 2003.-С. 215-216.

12. Корчагин П. Н. Способ организации данных для решения задач факторного анализа // Датчики систем измерения, контроля и управления: Межвуз. сб. науч. тр. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2003. - Вып. 23. - С. 99-103.

13. Статистическое моделирование средствами пакета 81тиНпк процедур планирования экспериментов при испытаниях датчиковой аппаратуры / П. Н. Корчагин, В. Д. Михотин, С. П. Пискарев, М. В. Тюрин // Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления. Датчик-2003: Материалы XV науч.-техн. конф. - М.: Изд-во МИЭТ, 2003. - С. 61-63.

14. Корчагин П. Н. Анализ данных многофакторных экспериментов с использованием кодов Грея // Проектирование инженерных и научных приложений в среде МАТЬАВ: Тр. П Всерос. науч. конф. -М.: ИПУ РАН, 2004. - С. 207-211.

15. Корчагин П. Н. Регрессионный анализ с использованием ДПФ / П. Н. Корчагин, В. В. Сазонов // Проблемы автоматизации и управления в технических системах: Тр. Междунар. науч.-техн. конф. -Пенза: ИИЦ Пенз. гос. ун-та, 2004. - С. 293-296.

16. Корчагин П. Н. Влияние погрешностей задания факторов на точность построения моделей функции отклика датчиков / П. Н. Корчагин, М. А. Щербаков // Надежность и качество: Тр. Междунар. симпозиума. - Пенза: Изд-во Пенз. гос. ун-та, 2005. - С. 105-106.

Корчагин Павел Николаевич

Анализ и обработка данных многофакторных испытаний датчиковой аппаратуры

Специальность 05.11.16 — Информационно-измерительные и управляющие системы (приборостроение)

Редактор Т. Н. Судовчихина Технический редактор Н. А. Вьялкова

Корректор С. Н. Сухова Компьютерная верстка С. П. Черновой

ИД № 06494 от 26.12.01 Сдано в производство 25.05 05. Формат 60х84'/1б. Бумага писчая. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,16. Заказ № 353. Тираж 100.

Издательство Пензенского государственного университета. 440026, Пенза, Красная, 40.

i

I

í

»13009

РНБ Русский фонд

2006-4 14684

Введение.

1 МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ПЛАНИРОВАНИЯ И ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ МНОГОФАКТОРНЫХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ ДАТЧИКОВОЙ АППАРАТУРЫ.

1.1 Вводные замечания.

1.2 Обзор методов факторного анализа результатов испытаний датчиковой аппаратуры.

1.2.1 Классификация и свойства методов факторного анализа.

1.2.2 Сравнение методов факторного анализа.

1.3 Математические модели функций преобразования и функций влияния датчиковой аппаратуры.

1.4 Спектры планов экспериментов, применяемых при многофакторных испытаниях датчиковой аппаратуры.

1.4.1 Назначение и классификация планов первого порядка

1.4.2 Назначение и классификация планов второго порядка

1.5 Исследование влияния вида модели на точность определения влияния факторов.

Выводы по первой главе.

2 МЕТОД ФАКТОРНОГО АНАЛИЗА РЕЗУЛЬТАТОВ ИСПЫТАНИЙ ДАТЧИКОВОЙ АППАРАТУРЫ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЛАНОВ ГРЕЯ.

2.1 Вводные замечания.

2.2 Факторный анализ с использованием планов Грея.

2.2.1 Варианты организации планов Грея.

2.2.2 Исследование эффективности факторного анализа на основе планов Грея.

2.3 Использование процедуры дискретного преобразования Фурье при обработке данных с использованием планов Грея.

2.3.1 Методика построения модели функции отклика в базисе Фурье.

2.3.2 Результаты статистического моделирования и оценки эффективности фильтрации шумов при использовании процедуры дискретного преобразования Фурье.

Выводы по второй главе.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПОГРЕШНОСТЕЙ ЗАДАНИЯ ВЛИЯЮЩИХ ФАКТОРОВ НА ОЦЕНКУ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ДАТЧИКОВОЙ АППАРАТУРЫ.

3.1 Вводные замечания.

3.2 Аналитическое исследование влияния погрешностей задания факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей

3.3 Исследование влияния погрешностей задания факторов на точность построения моделей функции отклика.

3.3.1 Постановка задачи и методика исследования.

3.3.2 Результаты исследования при равномерном законе распределения погрешностей.

3.3.3 Результаты исследования при нормальном законе распределения погрешностей.

3.4 Исследование влияния характера случайных погрешностей на точность оценки коэффициентов функции отклика.

Выводы по третьей главе.

ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ СПЕКТРОВ ПЛАНОВ ЭКСПЕРИМЕНТА И ПОГРЕШНОСТЕЙ ЗАДАНИЯ ВЛИЯЮЩИХ ФАКТОРОВ НА ОЦЕНКУ КОЭФФИЦИЕНТОВ РЕГРЕССИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ДАТЧИКОВОЙ АППАРАТУРЫ

4.1 Вводные замечания.

4.2 Программа и методика исследования.

4.3 Результаты исследования для модели с учетом совместного влияния факторов.

4.4 Результаты исследования для модели без учета совместного влияния факторов.

4.5 Дисперсионный анализ результатов статистического моделирования.

Выводы по четвертой главе.

Датчиковая аппаратура (ДА), включающая в себя собственно датчики и первичные унифицирующие преобразователи, которые представляют данные в виде, удобном для обработки, является важнейшим элементом, как специализированных измерительных приборов, так и информационно-измерительных систем (ИИС) [106]. Это обусловливается тем, что датчики, как правило, включаются в прямые цепи преобразования, и метрологические характеристики датчиковой аппаратуры в значительной мере определяют качество метрологических характеристик ИИС в целом. В связи с этим предъявляются особые требования к обеспечению высокой метрологической надежности ДА, поскольку она работает в самых сложных условиях влияния разнообразных климатических, механических, электромагнитных и других типах внешних воздействий [73, 90, 91, 96].

Качество датчиков и их метрологическая надежность закладываются на этапе проведения экспериментальных исследований и испытаний ДА, реализуемых с помощью специальных ИИС, которые оснащаются как средствами воспроизведения внешних влияющих факторов, так и соответствующим математическим и алгоритмическим обеспечением, используемым в прикладном программном обеспечении процедур сбора и обработки экспериментальных данных.

Состояние проблемы. Организация экспериментальных исследований и испытаний ДА традиционно решается с привлечением таких разделов прикладной математики как «Теория планирования эксперимента» [2, 20, 53, 54, 57, 64, 66, 67, 69, 73, 74, 91, 96, 100] и «Теория факторного анализа» [27, 101], где накоплен большой опыт по рациональному заданию значений воздействующих факторов, построению математических моделей датчиков и их погрешностей.

В теории планирования эксперимента - разделе прикладной математической статистики, изучающей рациональную организацию измерений, подверженных случайным ошибкам, обычно рассматривается следующая схема планирования эксперимента. Со случайными ошибками измеряется функция /(А,Х), зависящая от неизвестных параметров (вектора А = |а\у ci2, . ап|) и от переменныхх, которые по выбору экспериментатора могут принимать значения из некоторого допустимого множества X. Целью эксперимента является обычно либо оценка всех или некоторых параметров А или их функций, либо проверка некоторых гипотез о параметрах А. Исторически первым направлением было факторное, что нашло отражение в сохранившейся терминологии [10, 11, 27, 106]. Здесь функция /(А,Х) зависит от вектора X переменных (факторов) с конечным числом возможных значений и характеризует сравнительный эффект влияния каждого фактора и комбинаций разных факторов. Позднее данное направление было развито в теорию факторного анализа.

В настоящее время указанные выше теории получили широкое развитие и применение, но, вместе с тем, прямое заимствование результатов теорий планирования эксперимента и факторного анализа не всегда возможно при решении рассматриваемых в диссертации проблем из-за специфики ДА как объекта исследования.

Применение методов планирования экспериментов для получения математических моделей предусматривает два этапа решения: неформализованный и формализованный. Неформализованный этап решения направлен на выбор локальной области факторного пространства с определением уровня варьируемых факторов и их интервалов варьирования. Этот этап требует соответствующей подготовки исходных данных и выделения существенных факторов. Второй этап направлен на построение различных планов проведения экспериментов, является формализованным и с методологической точки зрения универсальным для всех задач. В области теории планирования эксперимента большой вклад внесли такие ученые как Адлер Ю.П. [2], Бродский В.З. [86], Красовский Г.И. [53], Филаретов Г.Ф. [53], Ткачев С.В.

91, 96], Маркова Е.В. [2], Налимов В.В. [66, 67], Чернова Н.А. [67], Федоров В.В. [100], Мусин И.А. [64] и др. Из зарубежных исследователей необходимо отметить Р. Фишера [1], который является основоположником современной статистической теории планирования эксперимента, а также Ч. Хикса [105], Ф. Иетса, Д. Финни, Р. Плакетта, И. Бермана, Г. Бокса, К. Уилсона, И. Кифера [12, 86] и других, которые успешно эту теорию развивали [20, 53, 102].

В теоретических исследованиях, проводимых специалистами в области измерений, среди которых следует выделить работы Куликовского K.JL, Бромберга Э.М., Купера В.Я. [54]; Новицкого П.В., Зограф И.А. [69, 70]; Мусина И.А. [64], Михотина В.Д., Ткачева С.В. [87 - 98] указанная задача решалась в русле традиционного подхода с позиций теории планирования эксперимента. Особое внимание при этом уделялось вопросам построения моделей погрешностей и синтезу новых эффективных спектров планов эксперимента.

Однако и в настоящее время существует ряд нерешенных задач, связанных как с разработкой эффективных алгоритмов обработки экспериментальных данных, так и с оценками влияния неточности экспериментальных данных, обусловленных погрешностями задания влияющих факторов. Подобное положение объясняется наличием большого числа всевозможных ограничений, возникающих при реализации экспериментов, в частности сложностью технического характера при воспроизведении комплекса влияющих величин и метрологического обеспечения соответствующей аппаратуры.

Актуальность проблемы, решаемой в диссертационной работе, диктуется следующими основными обстоятельствами.

Во-первых, проблемы планирования эксперимента и факторного анализа следует рассматривать как две взаимообусловленные задачи, что требует синтеза соответствующих алгоритмов обработки данных, адаптируемых к решению задач испытания ДА.

Во-вторых, известные и широко применяемые подходы к решению задач планирования эксперимента и факторного анализа ориентированы в основном на аналитические методы анализа. В настоящее время следует использовать другие методы, основанные на широком применении способов статистического моделирования, которые позволяют расширить круг задач планирования эксперимента.

В-третьих, применение новых методов анализа требует по-новому организовывать как алгоритмы планирования эксперимента, так и алгоритмы последовательности проведения исследований и обработки экспериментальных данных.

Цель работы: совершенствование методик анализа и обработки данных в задачах испытания датчиков механических величин при многофакторных воздействиях.

Поставленная цель достигается решением следующих задач:

- исследование возможностей применения теории планирования эксперимента для факторного анализа, построения моделей функций преобразования (ФП) и функций влияния (ФВ) датчиковой аппаратуры;

- синтез новой методики обработки данных, повышающих эффективность известных планов экспериментов;

- разработка методики обработки данных с учетом влияния погрешностей задания факторов для реализации их в информационно-измерительных системах, предназначенных для испытания и аттестации датчиковой аппаратуры;

- исследование эффективности известных и вновь синтезируемых методик с помощью статистического моделирования;

- исследование влияния погрешностей задания факторов на точность построения моделей функций отклика в виде функций преобразования и функций влияния средств измерений;

- внедрение разработанных методик и алгоритмов в системах испытания датчиковой аппаратуры.

Методы исследований включают в себя: методы теорий планирования экспериментов и факторного анализа; методы математического анализа; методы линейной алгебры; методы имитационного и статистического моделирования.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана методика упорядочения экспериментальных данных на основе использования планов Грея, которая позволяет достигнуть эквидистантности отсчетов в w-мерной области планирования и, как следствие, упрощает алгоритмы факторного анализа;

- разработана методика предварительной фильтрации данных, испытания которой путем статистического моделирования показали, что эффективность подавления влияния шумов в экспериментальных данных возрастает по мере роста мощности шумов;

- решена задача исследования влияния погрешностей задания факторов на точность оценки коэффициентов функций влияния и преобразования средств измерений при наличии систематических и случайных погрешностей, а также влияния аддитивных и мультипликативных погрешностей задания факторов;

- методом статистического моделирования показано, что при равномерном и нормальном законах распределения погрешностей задания влияющих факторов погрешности оценки коэффициентов функций отклика подчиняются законам распределения, близким к нормальным, и не вызывают методических отклонений;

- в результате исследования влияния погрешностей задания факторов в зависимости от вида функций отклика и реализуемых спектров планов эксперимента показано, что такое влияние на практике можно учитывать аналитическими методами как влияние погрешностей измерения значений функции отклика с учетом соответствующих поправочных коэффициентов.

Практическая ценность результатов работы. Предложенные в диссертации методики позволяют существенно упростить процедуры факторного анализа данных многофакторных экспериментов на основе применения планов Грея; сократить объем испытаний, что обеспечивает экономию затрат на испытания, увеличивает ресурс датчиков и упрощает требования к испытательному оборудованию за счет применения методики предварительной фильтрации исходных данных. Кроме того, разработанные методики статистического моделирования исследования влияния спектров планов эксперимента и погрешностей задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей позволяют на этапе планирования рационально определять требования к метрологическим характеристикам испытательного оборудования и повысить точность оценок параметров моделей.

Реализация и внедрение. Теоретические и практические результаты работы были использованы и внедрены в виде алгоритмов и программного обеспечения в ФГУП «НИИ физических измерений» (г. Пенза). Внедрение результатов научных исследований позволило: 1) сократить объем испытаний, что обеспечивает экономию затрат на испытания ресурсов датчиков в процессе аттестации; 2) поднять уровень метрологической надежности дат-чиковой аппаратуры; 3) повысить точность оценок параметров моделей при метрологической аттестации характеристик датчиковой аппаратуры.

Кроме того, полученные в диссертационной работе результаты используются в учебном процессе на кафедре «Автоматика и телемеханика» Пензенского государственного университета в рамках специальности 220201 «Управление и информатика в технических системах».

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на ежегодных научных конференциях Пензенского государственного университета (2000 - 2004 гг.); Международных научных конференциях «Методы и средства измерения в системах контроля и управления» (Пенза, 2001 г., 2002 г.); Международной школе-семинаре «Синтез и сложность управляющих систем» (Москва, 2002 г.); Международных симпозиумах «Надежность и качество» (Пенза, 2002 г., 2003 г., 2005 г.); Научно-технических конференциях «Датчики и преобразователи информации систем измерения, контроля и управления» (Москва, 2001 - 2003 гг.); Всероссийских научных конференциях «Проектирование научных и инженерных приложений в среде MATLAB» (Москва, 2002 г., 2004 г.).

На защиту выносятся:

1. Процедура построения моделей ДА по результатам многофакторных испытаний, включающая в себя этапы статистического моделирования процессов измерения и обработки данных, позволяющая учитывать погрешности исходных данных на этапе выбора модели и спектра плана.

2. Методика факторного анализа результатов испытаний с использованием планов Грея, позволяющая получить равномерную дискретизацию функции отклика.

3. Методика предварительной фильтрации экспериментальных данных, основанная на применении дискретного преобразования Фурье.

4. Методика статистического моделирования влияния систематических и случайных погрешностей при различном характере их проявления на оценку коэффициентов регрессионных моделей.

5. Методика статистического моделирования влияния спектров планов эксперимента и погрешностей задания влияющих факторов на оценку коэффициентов регрессионных моделей.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 печатных работ, в том числе, 1 статья, 14 тезисов докладов на конференциях и 1 информационный листок.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, 4-х глав, заключения и девяти приложений. Основной текст - 201 страница машинописного текста. Библиография - 110 наименований.

7. Результаты работы внедрены в производство и используются в виде алгоритмов и программного обеспечения в ФГУП «НИИ физических измерений», а также в учебном процессе на кафедре «Автоматика и телемеханика» Пензенского государственного университета.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В соответствии с целями и задачами представляемой диссертационной работы были получены следующие результаты.

1. Показано, что задачи факторного анализа и задачи планирования экспериментов являются взаимообусловленными, и на современном этапе должны решаться совместно.

2. Предложена методика обработки результатов многофакторных экспериментов, основанная на использовании планов Грея, с помощью которых обеспечивается эквидистантность отсчетов в «-мерной области планирования, что позволяет эффективно решать задачи факторного анализа.

3. Разработана методика предварительной фильтрации данных многофакторных экспериментов на основе процедуры дискретного преобразования Фурье.

4. Предложена методика статистического моделирования погрешностей задания влияющих факторов, позволяющая оценивать точность построения моделей функций отклика в виде функций преобразования и функций влияния средств измерений с учетом указанных погрешностей.

5. Показано, что при различных видах погрешностей задания факторов законы распределения погрешностей оценки коэффициентов модели функции отклика получаются близкими к закону Эрланга и нормальному.

6. Показано, что для более эффективной оценки влияния погрешностей задания факторов дополнительно требуются знания соотношения между коэффициентами модели функции отклика и законов распределения погрешностей влияющих факторов.

1. Fisher A.R. Mathematics of a Lady Tasting Tea. // The World of Mathematics, v.3. Simon and Schuster: New York, 1956. - P. 1512 - 1523.

2. Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий / Адлер Ю.П., Маркова Е.П., Грановский Ю.В. М.: Наука, 1976. - 347 с.

3. Алгоритмы и программы восстановления зависимостей. / Под ред.

4. B.Н. Вапника. М.: Наука, 1984. - 814 с.

5. Арнольд В.И. О представлении непрерывных функций нескольких переменных в виде суперпозиции функций меньшего числа переменных // Мат. просвещение. 1957. - № 19. - С. 41 - 61.

6. Большев JI.H. Таблицы математической статистики / Болыпев JI.H., Смирнов Н.В.-М.: Наука, 1983.-518 с.

7. Бурдун Г.Д., Основы метрологии / Бурдун Г.Д., Марков Б.Н. М.: Изд-во стандартов, 1985. - 256 с.

8. Волков В.А. Математические модели погрешностей измерительных устройств / Волков В.А., Рыжаков В.В. // Устройства и системы автоматизированной обработки информации. Пенза: Пенз. политехи, ин-т, 1975.1. C. 104-114.

9. Волков В.А. Метрологические и надежностные характеристики датчиков / Волков В.А., Рыжаков В.В. М.: Энергоатомиздат, 1993.- 152 с.

10. Гласс Дж. Статистические методы в педагогике и психологии / Гласс Дж., Стенли Дж. М.: Прогресс, 1976. - 495 с.

11. Глудкин О.П. Статистические методы в технологии производства радиоэлектронной аппаратуры / Глудкин О.П., Обичкин Ю.Г., Блохин В.Г. -М.: Энергия, 1977. 296 с.12.