автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Периодические решения некоторых модельных систем дифференциальных уравнений на римановых многообразиях

Новгородский государственный университет имени Ярослава Мудрого

На правах рукописи УДК 517.9

Данг Хань Хой ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЬНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ НА РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ

05.13.18-математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

к

Великий Новгород-2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа Новгородского государственного университета имени Ярослава Мудрого.

Научный консультант: доктор физико-математических наук, Е.Ю.Панов.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Е.В. Радкевич

доктор физико-математических наук,

профессор В.А. Галкин

доктор физико-математических наук,

профессор А.Ю. Захаров

Ведущая организация: Белгородский государственный университет

Защита диссертации состоится 15 июня 2006 г. в 15 час. 00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.168.04 при Новгородском государственном универси- <~ тете имени Ярослава Мудрого по адресу:

173003, Россия, Великий Новгород, ул. Большая Санкт-Петербургская, 41

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Новгородского государственного университета.

Автореферат разослан "....".........;...2006г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.168.04 доктор физико-математических наук,

профессор

С.И. Эминов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

В диссертации рассматривается задача о периодических решениях одного класса модельных дифференциально - операторных уравнений - уравнений,, содержащих "естественный" дифференциальный оператор г(<1 + 5) и оператор Лапласа Д = —((¿+5)2 , действующий в пространствах внешних дифференциальных форм на римановом многообразии X.

Вопрос о существовании периодических решений для дифференциальных уравнений, дифференциально-операторных уравнений и уравнений с частными производными привлекал внимание многих исследователей в связи с его прикладным и теоретическим значением; такие вопросы возникают в теории устойчивости упругих систем, среди задач небесной механики, теории вибрации кораблей, при описании электромагнитных волн в волноводах и в ряде других задач.

Вопрос о существовании и свойствах периодических решений для произвольных уравнений с частными производными весьма сложен и общих результатов, в этом направлении практически нет. Отметим, в частности, что условие периодичности имеет нелокальный характер и задача о периодических решениях содержит в себе специфику и сложности нелокальных краевых задач. Поэтому представляет интерес детальное исследование задачи о периодических решениях для конкретных уравнений, позволяющее понять природу явлений, связанных с "правильными" и "неправильными" постановками граничных задач.

Задачи, рассмотренные в диссертации, являются, вообще говоря, некорректными, а вопрос об их разрешимости связан с так называемой проблемой малых знаменателей. Математически эффект малых знаменателей проявляется в том, что в решения уравнений, представленные в виде рядов Фурье, входит бесконечное число членов с коэффициентами, знаменатели которых как угодно близки к нулю, что обуславливает расходимость этих рядов. Вопрос о преодолении отрицательного влияния малых знаменателей, имеющий принципиальный теоретический характер, решается на основе «метрического» подхода, предложенного А.Н. Колмогоровым (3] в 50-х годах прошлого века при изучении некоторых задач теории динамических систем. Идея этого подхода основана на результатах теории диофантовых приближений, позволяющих получить оценки снизу для малых знаменателей, достаточные для доказательства корректности изучаемых задач. Однако, эти оценки выполнены обычно не для всех значений параметров задачи и актуальна проблема описания соответствующего множества параметров, при которых эти оценки верны. Эта проблема решается в диссертации применительно к множеству периодов, при которых исследуемые модельные уравнения допускают единственное периодическое решение.

Основное внимание уделено уравнениям вида

{^-Л)и = иКи) (1)

в пространстве дифференциальных форм на римановом многообразии X с коэффициентами, зависящими от 4 е [0,6]. Здесь Л = {(с/ + 5) или Л = Д = —((1+ б)3, (I - оператор внешнего дифференцирования, 6 - его сопряженный, Д - оператор

Лапласа, Л(и) - оператор ( линейный или нелинейный ) на пространстве дифференциальных форм.

Рассматриваемый в диссертации дифференциальный оператор й + { на многообразиях X является объектом исследования в дифференциальной геометрии [1], теории индекса эллиптических операторов [4] и других вопросах [5], [0], [7].

Интерес к выбору этого уравнения определяется также тем, что уравнение (1) представляет собой "половину" волнового уравнения

- »(«* + ¿))(| + »(<* + *))« = ф - А)и.

Следует отметить, что хотя исходный волновой оператор определен на пространстве функций, операторы — ± г(с1 + 6), полученные при его факторизации действуют в пространстве дифференциальных форм.

Исследуемые в диссертации модели включают в себя физически осмысленные задачи о периодических решениях для нелокального уравнения Шредингера, возникающего в квантовой механике, для телеграфного уравнения, описывающего распространение сигнала в проводниках. Описание периодических режимов, возникающих в таких моделях имеет большое практическое значение. В работе также приведен алгоритм численного решения модельных задач, основанный на методе последовательных приближений.

Основные теоретические результаты в диссертации получены для общего уравнения

' (Ъ1-А)ч = и}1(ч), (2)

в котором А - замкнутый линейный оператор на сепарабельном гильбертовом пространстве Н надполем С, к = Л(и) - оператор на ¿2([0,6], Н), удовлетворяющий условию Липшица. Предложим,_что в Н существует базис Рисса, состоящий из собственных векторов оператора А. Оператор А в таком случае (см. [2]) называется М -оператором ( модельным оператором ). Для уравнения (2) рассматривается задача о периодических обобщенных решениях и = и(1) € 1/2 ([0, Ь], Н), удовлетворяющих условию периодичности по £:

и|г=0 = «|*=Ь- (3)

Цель работы.

1) Исследование задачи о периодических решениях (2), (3) в случае, когда оператор — А обратим и обратный оператор ^^ — А^ ограничен. Изучение конкретных задач указанного вида, когда оператор А содержит естественный дифференциальный оператор или оператор Лапласа, действующий на пространстве дифференциальных форм на окружности, торе или сфере; нахождение ограничений на параметры задачи при которых выполнено условие существования и непрерывности (д Т\-1

оператора I — — А 1 ; доказательство в этом случае однозначной разрешимости задачи (2), (3).

2) Исследование задачи о периодических решениях для модельных линейных дифференциальных уравнений вида

(¿-Д-А)« =!/<?(«-/) (4)

3

с условием периодичности (3) в случае, когда оператор (-— — Д — А)-1 неограничен. Здесь б - линейный ограниченный оператор, / £ ¿г([0> Ч> Н) - заданная функция, А, V - заданные параметры. Детальное исследование модельных случаев, когда оператор .А есть естественный дифференциальный оператор или оператор Лапласа на торе и сфере.

3) Исследование задачи о периодических решениях для нелинейных дифференциальных уравнений вида

(Л--А-Х)и = 1'С°Н(.и) (5)

гог

с условием периодичности (3) с нелинейным оператором Л(и), удовлетворяющим условию Липшица. Детализация общих результатов для модельных уравпений, в которых оператор А есть естественный дифференциальный оператор или оператор Лапласа на торе или сфере. Нахождение оценок для норм разрешающих операторов.

4) Описание структуры множеств периодов Ь, для которых указанные выше задачи имеют единственное решение. Нахождение оценок для лебеговской меры этих множеств.

5) Исследование задач о периодических решениях для уравнения волнового, типа (комплексных телеграфных уравнений)

((¿-А)2 + а2Д)М = ^С(«-/), (6)

или

{{~-Х)г+а2^)и = иСок{и). (7)

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Укажем наиболее важные из них.

1) Найдены достаточные условия, при которых задача (2), (3) с модельным оператором в абстрактном гильбертовом пространстве имеет единственное обобщенное решение. Дана детализация этих условий для модельных уравнений с естественным дифференциальным оператором на окружности, торе и сфере.

2) Изучена линейная задача (4), (3) в "типичном" случае, когда оператор

(——А— А)-1 неограничен. В этом случае найдены условия ограниченности и ком-Э

пактности оператора (——А— А)_1оС. С использованием теории Фредгольма ком-

гс™ с с

пактных операторов доказаны результаты о существовании и единственности обобщенного решения задачи (4), (3). На основе общих результатов доказаны теоремы существования и единственности периодических обобщенных решений модельных уравнений с естественным дифференциальным оператором и оператором Лапласа

на торе и сфере. В частности, рассмотрены нелокальные интегро-дифференциальные уравнения типа Шредингера, комплексные телеграфные уравнения (6).

3) Исследованы свойства множества периодов, для которых выполнены достаточные условия корректности линейной задачи (4), (3). Показано, что это множество является множеством 1-ой категории и полной меры.

4) Найдены достаточные условия, при которых нелинейная задача (S), (3) имеет единственное обобщенпое решение, как для общего уравнения в гильбертовом пространстве, так и для конкретных модельных уравнений, содержащих естественный дифференциальный оператор или оператор Лапласа на сфере и торе. Аналогичные результаты доказаны и для нелинейного телеграфного уравнения (7). Описан алгоритм метода последовательных приближений, с указанием числа шагов, достаточного для достижения заданной точности.

5) Детально описаны множества допустимых периодов, при которых нелинейные уравнения из п. 4) имеют единственное периодическое решение. Показано, в частности, что эти множества являются нигде не плотными множествами положительной меры. Приведены оценки мер этих множества.

Достоверность результатов диссертации подтверждается наличием строгих и подробных доказательств всех содержащихся в диссертации утверждений.

Методы исследования. Граничная задача для уравнения в частных производ-ных-объект богатый и сложный и допускает рассмотрение с весьма различных точек зрения. Подход, ориентированный на выявление правильных постановок и исследование свойств решений для модельных уравнений, допускающих применение метода Фурье, предложил A.A. Дезин ( см. [2] ).

Настоящая работа основана на указанном подходе А.А.Дезина, позволяющем с помощью методов функционального анализа и метрического метода теории чисел получить условия существования периодических решений некоторых эволюционных уравнений на многообразиях и описать множество допустимых периодов, при которых периодическое решение существует и единственно.

Для исследования линейных задач в диссертации (2-ая глава) широко используются методы спектральной теории компактных операторов. Для нелинейных задач применяется принцип неподвижной точки для сжимающих отображений, при использовании которого важную роль играют оценки норм разрешающих операторов и выявление зависимости этих норм от параметров задачи.

Теоретическая и практическая ценность Диссертация носит в основном теоретический характер, ее результаты могут быть использованы в исследованиях по нелокальной теории обобщенных периодических решений дифференциальных, интегро-дифференциальных и дифференциально-операторных уравнений. Практическая ценность диссертации заключается в возможности применения ее результатов для изучения периодических режимов различных физических процессов, например, описываемых квантово-механическими и волновыми моделями.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на следующих научных семинарах.

МГУ, механико-математический факультет: семинар под рук. проф. А.И. При-лепко; Казанский гос. университет, семинар под рук. проф. В.И. Жегалова; Новго-

родский гос. университет: семинар кафедры математического анализа под рук. проф. А.П. Солдатова (неоднократно), семинар кафедры математической и теоретической физики под рук. проф. А.Ю. Захарова (неоднократно).

Результаты диссертации докладывались также на следующих научных конференциях.

Вторая Всесоюзная конференция "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" , 30 мая-1 июня 1989г., г. Дрогобыч; конференция молодых ученых и специалистов "Применение информатики и вычислительной техники при решении народно-хозяйственных задач" , 4-7 мая 1989г., Минск; международная конференция AMADE (Аналитические методы анализа и дифферепциальных уравнений), Минск, Беларусь, 4-9 сентября 2003г.; международная конференция "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы" , Москва, 16-22 мая 2004г.; II международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания" , Обнинск, 26-28 ноября 2004г.; международная конференция "IX Белорусская математическая конференция". Гродно, 3-6 ноября 2004г.; III международная конференция "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания" , Обнинск, 14-18 мая 2006г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 19-ти работах автора, список которых приведен в конце автореферата; среди них 4 написаны в соавторстве с A.B. Антоневичем и 2 написаны в соавторстве с Фам Нгок Тхао.

Еще 4 работы приняты к публикации, одна статья находится на рецензии. Список этих работ также приводится в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертационная работа изложена на Д75 страницах машинописного текста, состоит из введения и трех глав, разбитых на 12 параграфов. Список литературы содержит 100 наименований.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ.

Во введении приводится обзор исследований, связанных с темой диссертации и дается краткое изложение ее содержания.

Первая глава. Доказываются новые результаты о существовании и единственности периодических решений задач вида (2), (3) в случае ограниченного разрешающего оператора.

В §1.1 изложена общая схема исследования задачи о периодических решениях нелинейного дифференциально-операторного уравнения вида:

(¿-Д)« = Л(и), (8)

«l»-o = «lt=v (9)

Пусть h : Н —* Н есть нелинейный оператор на II = Ьг([0, Н). Найдены условия на операторы Л и h, при которых оператор С = — — Л имеет обратный

ограниченный оператор £-1 и задача (8), (9) имеет единственное решение. Эта схема применяется к естественным дифференциальным уравнениям на торах П" и на сферах S".

Предположение, что А - М -оператор позволяет методом Фурье строить решения в виде рядов

оо

и = ик(1)/к.

к=О

Условия разрешимости задачи (8), (9) формулируются в терминах множества

Ль = ■( £ | € ^ 1 и числа р(Ь) = т£ |ехрА*Ь — 1|. ^ 2гтг ) кфл.ъ

Здесь и ниже г - мнимая единица: г2 = — 1.

Теорема 1 . Пусть оператор А есть М -оператор, Ль = 0, р > 0. Тогда

1К-111 < сь-щР),

где С — константа, зависящая от, свойств базиса Рисса собственных векторов оператора А (в случае, когда этот базис ортогонален С = 1) и

ЩР)= > <* + 2р

21п(1 + р)

Кроме того, если реальные части собственных значений оператора А не положительны, ЛеЛк < 0, то

В силу того, что оператор к(и) удовлетворяет условию Липшица, мы получаем следующее достаточное условие существования единственного периодического решения.

Теорема 2 . Пусть оператор А есть М -оператор, Аь = 0, р > 0 . Предположим также, что оператор Н = /г (и) удовлетворяет следующему условию Липшица: существует вещественное число д, 0 < д < 1, такое, что

нлм-лмп^^ни-^уи.иея. (ю)

Тогда задача (8), (9)

имеет единственное решение. В случае, когда ДеА^ <0, к = 0,1,... условие (10) можно заменить на более слабое условие:

В §1.2 рассмотрена задача о периодических решениях ( с условием (9) ) для нелинейного уравнения

Си = ^ — (ао-Л + ах)« = /г(и), (11)

где А = (<1 + <5) - естественный дифференциальный оператор на торе X —'Пч, Н - оператор на Ьг([0, Ь],Н°(£)), Ь € [0,6]; ац, а\ - комплексные параметры. Здесь Я0(О - гильбертово пространство квадратично интегрируемых дифференциальных форм на торе X = П" .

Здесь (и в аналогичных задачах ниже) предполагается, что £, - замыкание соответствующего "классического" оператора, действующего в пространстве гладких периодических функций на [0, Ь] х X , так что условие периодичности (9) включено в само определение оператора С.

К поставленной задаче применима общая схема из теоремы 2. Явный вид собственных значений оператора Л = (<1 + 6) позволяет конкретизировать общие результаты.

Пусть п — 1,X = П1 - окружность (одномерный тор). Верна

Теорема 3 . Пусть выполняется одно из следующих условий:

(г) Леа0 ф 0, ах + а0тгк ф —-— V к, т 6 2;

Ь

(И) Деао = 0, Леах ф 0;

(Ш) Леоо = Леах = 0, ТтаоЬ - рациональное число, , . 2тгтг ,, . „ а! + аолк ф —;— V к,т 6 2 ...

о

Тогда Ль = 0 и р — 1п/к0Ль|ехр(аО7гй + а1)6— 1| > 0.

Предположим также, что оператор Н удовлетворяет условию Липшица:

II0<д<1. (12)

Тогда задача (11), (9) имеет единственное решение. Неравенство (12) заменяется неравенством

||А(«)-Л001Ку11«-«|| - (13)

при выполнении условия (гп) .

Пусть п> 2,Х = П" ( п-мерный тор). Верна

Теорема 4 . Пусть выполняется одно из следующих условий: -

2т1

(г) ЛеапфО, а\ ф-к(±ао\к\--—)

о _

для любых т £ Ъ, к = (кг, кг,..., к„) е Ъп . Здесь |/с| = \/к'у + к% + +

(гг) Неао - О, Леах ф 0.

Тогда

Ль = {Л | (±ао|А| + ах)~ 6 Щ = 0, ¿жг

р = 1п/к$Аь | ехр (±а0тт|й| + аг)6 - 1| > 0.

Если оператор Н удовлетворяет условию Липшица (12), то задача (11), (9) имеет единственное решение.

Заметим, что при условии (»г») Леа® = Игах = 0 всегда р = 0 и в этом случае оператор С не имеет ограниченного обратного. Конечно, здесь предполагается, что ао ф 0 и п > 1.

В §1.3 изучается задача (11), (9) на сфере X = 5" , п > 2. Основным результатом является следующая

Теорема 5 . Пусть выполняется одно из следующих условий: (г) Пеаа ф 0, (ах ± аоу/к(к + п — 1 ))Ь ф 27гтг для любых т 6 к = 0,1,2,...; (гг) Неао = 0, Лесц ф 0;

(ш) Неао = Леах = 0, 1та$Ь -рациональное число,

(±ао(£ + —) + /тах) ^ 2тгI для всех к = 0,1,2,...,1 6 2;

(ах ± ао + ^ 2я-тг для любых к = 0,1,2,..., т € 2. 7Ьг<?а

Ль = 0, | ехр (±а0\А(А: + п - 1) + а^Ь - 1| > 0.

При условии, что оператор Ь. удовлетворяет условию Липшица (12) задача (11), (9) имеет единственное решение. Неравенство (12) можно заменить неравенством (13) при выполнении условия (Ш).

Вторая глава. Предположим, что оператор А есть М -оператор на Н и существует ортонормированный базис собственных векторов {Д} , к — (к\, > • ■ • ,к3) € Ж? /состоящий из собственных векторов оператора Л, с соответствующими собственными значениями А* , |А*| —)• оо при = + к% + ... + —>• оо и для каждого значения имеется не более двух разных значений А*;.

В §2.1 приведена общая схема исследования задачи о периодических решениях для уравнения

(~ + Л-А)и(*) = »/С(и-/)) (14)

с условием периодичности

м|г=0 = «|«=ь. (15)

Здесь А, v - заданные комплексные числа.

Заменой Ь — Ьт паша задача сводится к задаче о периодических решениях для уравнения

(Ь — Х)и = + «(*) = »*?(«-/), (16)

с фиксированным условием периодичности: и|;=о = гг[4=1 . Здесь в - непрерывный линейный оператор на пространстве Н.

Пусть В - М -оператор в Н , у которого {/&} есть система собственных векторов 11 {йь} есть система соответствующих собственных значений: БД = (Лк/к , причем —>• со при —* оо и > 1 при Цк ф 0 (последнее условие не нарушает

общности, так как оно всегда будет выполнено после умножения оператора В на подходящую константу).

и для этой меры выполнена оценка снизу

+ ч л Аа{С)) > I - СБ&Р + 0 > 0. (18)

с) Для отрезка [0,/] всегда [0, /] П Аа(С)) > 0 и верна оценка

р([0, /] П Аа{С)) > тах /0(1 - Са{10)), (19) 0</о<«

где

а(() = + £)(тах(1> к(1) )гАМ> (20)

Ж = ; ;>}; А-(0 = гат{ |Ак-А|>у },

причем Нт а(1) — 0. Множество Аа является борелевским множеством I -ой категории и полной меры Лебега.

Изучена структура множества Е С СхМ+, состоящего из пар {у, Ь) , при которых задача (14), (15) имеет единственное решение.

Теорема 9 . Пусть А Ф А* . Тогда множество Е - измеримое множество полной меры на С х К+ .

Из этой Теоремы непосредственно вытекает следующее важное

Следствие 1 . Пусть А Ф А*, . Тогда для п.в. V €Е С задача (14), (15) имеет единственное периодическое решение для почти всех значений периода Ъ £ К+ .

В §2.2 результаты, полученные для общей задачи (14), (15), применены к уравнениям вида

(Ь - А)« = аА) - А^ ч(х, г) = К7(и - /), (21)

в которых А = 1{<1 + 6) есть естественный дифференциальный оператор, действующий в пространстве дифференциальных форм Н°(£) на сфере или торе, С -интегральный оператор с ядром д{х, у) ; а, А, г/ - заданные параметры. Как обычно, мы предписываем условие периодичности

1х|«=0 = «|«=ь- (22)

Для примера приведем результаты, полученные в случае, когда многообразие X = П - окружность. В этом случае Ад, = апк, к <Е Ъ.

п г ■. 2ттг

Заметим, что собственные числа оператора Ь имеют вид = —;--1- ттак ,

о

т,к £ X и, как следует из теоремы Вейля, при иррациональном аЪ множество {А^т} всюду плотно на вещественной прямой. Поэтому, обратный оператор (Ь — А)-1, определенный при А ф А^.т , т,к неограничен при любом вещественном А. Та же ситуация возникает и для других задач, рассматриваемых в диссертации, при "типичных" значениях параметров.

Теорема 10 . Пусть матрица д(х,у) задана на П2 и такова, что 9хх(х,у), д(х, у) € Ьг(П хП), 0 < <г < 1, Ь € Аа(С). Тогда определен обратный оператор (£, — Л)-1 и произведение (Ь — А)-1 о С? есть компактный оператор.

Теорема 11 . Пусть А ф апк Ук е X; дхх(х,у), д(х,у) 6 Ьг(П х П) . Тогда множество Е. - измеримое - множество полной меры на С х К+ . В частности, для п.в. с£С задача (21), (22) имеет единственное периодическое решение для почти всех значений периода Ь € К+ .

Аналогичные результаты получены в случаях, когда многообразие X есть многомерный тор или сфера.

В §2.3 рассмотрена задача о периодических решениях для нелокального уравнения типа Шредингера

(Ь - Х)и ее - аД - А^ «(ж, 0 = иО(и - /), (23)

с условием периодичности:

■и|<=о = и|(=г>- (24)

Здесь и(х, £) - комплексная функция на [О, Ь\ :< X . Оператор Лапласа Д действует в пространстве функций на многообразии X .

Изучены случаи, когда многообразие X - сфера или тор. Приведем результаты, полученные в сферическом случае. В этом случай А*; = ак(к + п — 1), к = 0,1, 2,..;>:

Теорема 12 . Пусть функция д(х, у) 6 ¿2 (-У" х 5") такова, чщо функция &хд(х, У) 6 1^2{Зп х , 0 < <г < 1, Ь € Аа(С) . Тогда определен обратный оператор (Ь — А)-1 и {Ь — А)-1 о С? есть компактный оператор.

Теорема 13 .Пусть А ф ак(к + п — 1), к = 0,1,2,...; д{х,у), Ахд(х,у) е Ь^Б" х £ГП) . Тогда множество Е - измеримое множество полной меры на С х . В частности, для п.в. и 6 С задача (23), (24) имеет единственное периодическое решение для п.в. Ъ ё .

Следует отметить, что к уравнению типа Шредингера на сфере приводится "обычное" уравнение, рассматриваемое на пространстве х 6 ®"+1 в классе функций, удовлетворяющих условию однородности по пространственным переменным.

Итак, рассмотрим задачу о периодических решениях для нелокального уравнения типа Шредингера

(~-а||х|рд)и(1)4) = ^(«-Д (25)

с условием периодичности

и|4=о = и| 1=ь- (26)

Здесь и(х, <) - комплексная функция на [О, Ь] х (Еп+1 \ {0}) , п > 1; в€К, в^О, V 6 С; /(х, 4) - заданная функция; С - интегральный оператор

<?«(*.*) = Ы"[ »(А.уИЗ/.О^

Jsn Нх11 13

(cfy-Mcpa Лебега-Хаусдорфа на сфере Sn = {ж € Rn+1 | ||х|| = 1} ) с ядром IMI^ipp»), где р е К, ff(w,y) е L2(S" х 5") . Пусть

Мы будем искать решение u(x,t) рассматриваемой задачи как однородную по пространственным переменным функцию u(x,t) = r''v(—,t) = i). Выписывая

г

оператор Лапласа в сферических координатах, получим задачу о периодических решениях для уравнения (23):

(А - aAs - А)и = vG{v - f)

с условием периодичности: w|t=o = ^|t=t- Здесь G есть интегральный оператор на Sn с ядром д(и>,у) на S" х Sn:

Gi>(u;, i) = / p(w,2/)f(y,i)dy, A = ац(ц + n — 1). JSn

Из вышеизложенных результатов исследования задачи (23), (24) вытекает следующая

Теорема 14 . Пусть функция д(х,у) задана на Sn X S" и такова, что g(x,y),Axg(x,y) € L2(Sn х Sn); у. ф к, к > 0, к е Z. Тогда для п.в. v е С задача (25), (26) имеет единственное периодическое решение вида t) для почти всех значений периода Ь.

Следствие 2 . При условиях Теоремы 14 для п.в. и € С, /г 6 R задача (25), (26) имеет периодическое решение вида u(x,t) = r^v(uj, t) при почти всех значений периода Ъ.

Рассмотрим теперь задачу (23), (24) на торе X = Пп. В этом случае А*, = an2\k\2, k е Zn.

Теорема 15 . Пусть оператор L задан выражением (23) и Ь € Аа(С) при некотором а, удовлетворяющем условию 1 < а < 1 + 2а. Если G есть интегральный оператор с ядром д{х,у) € £2(ПпхП"), таким, что (—у) 6 //г(Пп хП") , то обратный оператор (L — А)-1 определен и произведение (L — X)~1oG есть компактный оператор.

Следствие 3 . Пусть А ф атг2|А:|2, к € Ъп ; д(х, у), (-Ах)1+ад(х,у) € Ь2(ПП х Пп). Тогда для п.в. v Е С задача (23), (24) на торе имеет единственное периодическое решение для почти всех значений периода b € .

В §2.4 рассмотрена задача о периодических решениях для нелокального уравнения второго порядка волнового типа

Ьи = ((^-Х)2 + а2А)и = иС(и-Л, (27)

с условием периодичности:

м|«=о = "I г=ь- (28)

Здесь и(х,{) - комплексная функция на [О,Ъ] х X . Рассмотрены случаи, когда многообразие X является сферой 5", п > 2 или тором X = П" = Е"/(22)" , п > 2 .

Заметим, что рассматриваемое уравнение отличается от эволюционного уравнения (14). Однако, общая методология, описанная в §2.1 и основанная на оценке малых знаменателей, оказывается применимой и для уравнений вида (27).

Уравнение (27) можно переписать в виде комплексного телеграфного уравнения

(~Ш + а2д) и + + д2и = ~ /)-

Если и = + ¿«2 , О = См + ¿С?2 , / = /1 + г/г , то полученное уравнение приводится к следующей системе двух телеграфных уравнений относительно вещественных функций И1, И2 ■'

+ А2 + а2Д)и! - 2А^«2 = у (64 (щ - /х) - С2(и2 - /2)),

(-^2 + д2 + °2Л)М2 + = " ~ Л) + с1(и2 - /2)) >

с условиями периодичности |(=о = гл|(=ь, и2|<=о = (=г> •

Рассмотрим случай, когда многообразие X является сферой У , п > 2. Пусть множество /1с(С) определено условием (17) при А^ = ±а^|/с|(|/с| + п — 1) , £ € 2. Справедлива

Теорема 16 . Пусть функция д(х,у) задана на 5" х и такова, что д{х,у) 6 12(5'"х5п) , (-А)1+ад(х, г/) € Х2(5"х5") , 0 < а < а , Ъ £ А,(С) . Тогда определен обратный оператор и Ь~1 о (7 естъ компактный оператор.

Следствие 4 . Пусть А Ф + п — 1), к 6 2 . Тогда для п.в. и 6 С зада-

ча имеет единственное периодическое решение для почти всех значений

периода Ъ е .

Рассмотрим теперь случай, когда многообразие X — П" = Еп/(22)" - тор, п > 2. Определим множество Аа{С) условием (17) при Ад. — ±аж\к\, к Ъп .

Теорема'17 . Пусть функция д(х,у) 6 ^(П" х Пп) такова, что функция (-Дх)1+ад{х,у) € Ь2{Т1п х П"), Ь € А<,(С), причем 1 < <т < а . Тогда определен обратный оператор Ь"1 и Ь~х о (3 есть компактный оператор.

Следствие 5 .■ Пусть А Ф ±ая-|й|, к € . Тогда для п.в. и & С задача (27), (28) имеет единственное периодическое решение для почти всех значений периода Ь е К+ .

Третья глава. Рассмотрена задача о периодических решениях полулинейных уравнений вида:

(Ьъ - А)и = + А - Х)и = е<3 о Ми)

i от

с условием периодичности (15): и|4=о = и\>.=ь ■ Предполагается, что оператор Л = Л (и) удовлетворяет условию Липшица с постоянной Ло . Как показано во 2-ой главе, для рассматриваемого семейства задач проявляется эффект, когда обратный оператор {Ьь~ А)-1 неограничен, но при этом произведение (•£(, — А)-1 о (7 является ограниченным оператором. Тогда при выполнении условия |е| • ||(£ь — А)-1 о С?||Ло < 1 имеет место существование и единственность периодического решения, в силу принципа сжимающих отображений. Однако, множество тех значений параметра Ь, для которых выполнено условие |е| ■ ||(Ьь — А)-1 о (7||/1о < 1 является нигде не плотным множеством и устроено достаточно сложно.

В §3.1 мы приводим общую схему исследования задачи о периодических решениях уравнений с модельным оператором А, действующем в абстрактном гильбертовом пространстве

^~+Л-А^и(!е,<) = е<3,оЛ(и), (29)

с условием периодичности: ■, .

«к-о - (30)

Пусть А* , к € Ъ" - собственные числа оператора А, а В - оператор на Н, свойства которого указаны перед Теоремой 6. Верна следующая

Теорема 18 . Пусть С? - линейный и непрерывный оператор на Н, такой, что В* о С непрерывен на Н, Ь 6 Аа(С), а > 0. Пусть величина

4(|&| + 1)2+2а

(Ы +1)2

ограничена сверху положительной постоянной А при всех к £ . Тогда определен обратный оператор (Ь — А)-1 , произведение (Ь — А)-1 о б есть ограниченный оператор и _

\\(Ь-\)-1оС\\<М^. (31)

Здесь

М = тах{||В*оС||,||С||}, Л = вир +

лег» +1)"

Следствие 6 . Если А Ф А/ь, к £ 1? , то для почти всех Ь (именно, для Ь 6 А„ ) существует е(Ь) > 0, такое, что при условии |е| < е(Ь) существует единственное периодическое решение уравнения (29). При этом мы можем положить

^ ' ЪъМ^ЬА

Здесь и ниже С(Ь) - наибольшая из констант С, при которых выполнена оценка (17).

Обозначим через B{sо) множество, состоящее из чисел b, для которых выполнено неравенство

- l (з2)

При Ь € В(ео) имеет место утверждение о существовании и единственности периодического решения при всех |е| < £о- Тогда основной вопрос следующий: при каких условиях множество В(ео) непусто и какова структура этого множества. Ответ на этот вопрос содержится в приведенной ниже Теореме 19. Обозначим

_ _ d__21_

Е° ~~ VKÄh0M' Sp'1 ~ h0MV5ÄS(p, р +1)'

где d = mint) Ад, — А| > 0, а величина S(p,p + I) определена в Теореме 8.

Теорема 19 . Если ео < £о> то мера множества -В(ео) положительна, это множество принадлежит отрезку [0,-—] и является нигде не плотным мно-

ефа М a/5v4

жеством, инвариантным относительно отображений Ь —> Ь/k, к £ N.

При этом, меры пересечений В(ео) П [р,р + JJ оцениваются снизу следующим образом. Для пересечения B(eq) П [0, /] имеется следующая оценка.

/¿([0,i] П В(е0)) > max I0( 1 - eo/ioMV^4/2a(Z0)) > О, 0<1й<1

где функция а(1) определена равенством (20). Для пересечения В (so) П \р,р + i] имеется следующая оценка. Если ео < ep,i при р > 0, то

ц{В{е0) П [р,р + i]) > i - e0h0MV5Ä/2S{p,p + I) > 0.

В заключение §3.1 приведен алгоритм численного решения общей задачи (29), (30), основанный на методе последовательных приближений (итераций) и дана оценка числа шагов, достаточного для достижения заданной точности.

В §3.2 рассмотрена задача о периодических решениях для уравнения

(L- Л)и = (j

содержащего естественный оператор А = i(d + S) на сфере или торе, с условием периодичности:

«|t=o = ,"It=b. (34)

Приведем результаты, касающиеся задачи (33), (34) на n-мерном торе X = П" = Rn/(2Z)n , п > 2. Здесь

и(х, t) = uo{x,t) + ^2,uIp{x,t)dxIp = (ti/„(x,i)) h

(+ aA) — Aj u[x, t) = sG о h(u),

(33)

где l — min ^i, Iq, {aCD) i-»^ , С = BohoM^/bÄ/2, а параметры Iq,D описаны равенствами

Для пересечения В(ео) П [р, р +1] имеется следующая оценка. Если £ц < epj при р > 0, то

ц(В(ео) П [р,р + i]) >l-sohoMV5Ä/2S(p,p+l) > 0.

Аналогичные результаты доказаны и в случае, когда многообразие X есть сфера. Рассмотрим далее задачу о периодических решениях для уравнения

Lu = (-Д + 1) J^ + <*А) - Л^ и(х, t) = eh{u), (36)

с условием периодичности:

u|t=o = u|t=b, (37)

где и(х, t) - комплексная форма на римановом многообразии X ( X - сфера или тор ) с коэффициентами, зависящими от t € [0, Ь]; h(u) - оператор на пространстве Ьг([0,6],Н°(£)), удовлетворяющий условию Липшица с постояшюй ho. Заметим, что рассматриваемая задача является частным случаем задачи (33), (34), изученной выше, с оператором G = (—Д + I)-1. Этот оператор является интегральным оператором Гильберта-Шмидта на пространстве (его ядро - это соответствующая функция Грина). Важной особенностью этой задачи является то обстоятельство, что оператор G коммутирует с естественным дифференциальным оператором А, что позволяет уточнить общие условия разрешимости.

Ограничимся случаем, когда X = 5", п > 2. Пусть множество А„{С) определено условием (17) при Afc = sign(k)a\/\k\(\k\ + п — 1), т, к £ Z. Справедлива следующая

Теорема 22 . Пусть оператор L задан выражением (36), Ь е Аа(С) при некотором сг, удовлетворяющем условию 0 < <т < 1. Тогда оператор ограничен и для его нормы имеет место оценка

IIL-1!! < vCi/c, (38)

где

. (|fc| + 1)2+2" А = sup-

fcez(|fc|(M + n-l) + l)2'

Следствие 8 . Если А ф «г<?п(£)а-\/Ц:|(|А;| + п — 1), к € 2, то для почти всех Ь существует е(Ь) > 0, такое, что при условии |е| < е(Ь) существует единственное периодическое решение уравнения (42). При этом, мы можем положить

h0VÄ

Обозначим через В(ео) множество, состоящее из чисел Ь, для которых выполнено неравенство £оЛо "тттгс 5: 1- Пусть ¿о = —=—. Справедлива

С (о) 2\Л4й0

Теорема 23 . Если Eq < ¿о, то множество В(ео) имеет положительную меру,

лежит в отрезке 0,-~~7= I и является замкнутым, нигде не плотным мно-

, eohoV-AJ

жеством, инвариантным относительно отображений Ь —>■ Ь/k, к £ N. 77ри этом, справедлива оценка

/*([о,г]пв(е0))>г(1-сог),

где

C = eo/ioVC4, r=min(i,i0,((l + ^)C£>)-1/<r) ,

а параметры lo,D определены соотношениями :

' , - Г т IT 1 п 16(1 + <х)„ тт. /2|a|V !,,/0 = ШШ12|Л| + (»-1)|аГ2й|' I> = -3^-(,0+d4~J •

В §3.3 рассмотрена задача о периодических решениях для нелинейного нелокального уравнения типа Шредингера

(L — Х)и = - аД - Л^ и(х, t) = eG о ft(u), (39)

■ u|i=o =«|t=b- (40)

Для примера, рассмотрим задачу (39), (40) на сфере S", п > 2 . Предполагается, что G есть интегральный оператор Гильберта-Шмидта с ядром д(х, у) на Sn х Sn,

Gu(x, t) = / g(x,y)u(y,t)dy Js"

(-мера Лебега-Хаусдорфа на сфере 5"), оператор Л (и) удовлетворяет условию Липшица с постоянной Ло > 0 .

Теорема 24 . Пусть А ф ак(к -I- п — 1) для всех целых т и к, к > 0; Ь е Аа(С) при некотором а-, удовлетворяющем условию 0 < с < 1. Если С? есть интегральный оператор на пространстве Ьг([0> Ь], 5") с ядром д(х, у), таким, что д(х,у),Ахд(х,у) 6 Ь?(Б^хв™) , то оператор {Ь—Х)~1оС ограничен и для его нормы имеет место оценка _

\\{Ь-Х)-^оС\\<М^ (41)

где

М = тах{||Дж оС?||, ||С||}, А~ вир -

'*cz,£>o (*(*+«- 1) + 1)2'

Следствие 9 . Если А ф ак(к + п — 1) , к = 0,1,..., то для почти всех Ь существует е(Ъ) > О, такое, что при условии |е| < е(Ь) существует и притом единственное периодическое решение уравнения (39). При этом мы можем положить

е(Ь) = 2С^

К ' НоМЛДА'

Обозначим через В(ео) множество, состоящее из чисел Ь, для которых выполнено неравенство < 1 и пусть е~0 = ер>, =

Теорема 25 . Если ео < ¿д, то мера множества В(ео) положительна, это множество принадлежит отрезку [0,-—■] и является нигде не плотным мно-

е0Г10Мл/5А

жеством, инвариантным относительно отображений Ь Ь/к, к £ N.

При этом, меры пересечений .В (го) П [р,р + оцениваются снизу следующим образом.

Для пересечения В(ео) П [ОД] имеется следующая оценка

^([0,/] П В{ео)) > Г - ССГ^)/2,

где I ' пип равенствами

^ ^ ^СД^ ^ , С^М^А,2, а параметры 1о,0 описаны

1о = п^ттг, £ = ^^(/о + ^ад-"». п|а| + |Л| Зя-сг а

Для пересечения В(ео) П [р,р + 1] имеется следующая оценка. Если ео < £р,1 при р > 0, то

/<(В(ео)П[р,р + /]) > I - £0Н0Му/ЕА/23(р,р + 1) > 0.

Аналогичные результаты доказаны для случая тора X = П".

В §3.4 на сфере рассмотрена задача о периодических решениях для уравнения

Ьи = (-Д + 1) - аД - А^ и(х, ^ = ей (и), (42)

«|«=о = «|г=ь» (43)

Здесь Й(и) - оператор, удовлетворяющий условию Липшица с постоянной йо на гильбертовом пространстве ¿^([О, Ь],Н°(£)).

Ясно, что данную задачу можно рассматривать и на пространстве функций и е ¿2([0, Ь] х 5"). В этом случае задача (42), (43) является частным случаем задачи (39), (40), с оператором (7 = (—Д + I)-1, являющимся интегральным оператором Гильберта-Шмидта. Обстоятельство, что операторы Си А коммутируют позволяет уточнить общие условия разрешимости, указанные в §3.3. Пусть множество Ас (С) определено условием (17) при Ад. = ак(к + п — 1), к = 0,1,...

Теорема 26 . Пусть оператор Ь задан выражением (42), А ф —\-ак(к-\-п — 1) для всех целых т и к = 0,1,... : бе Аа(С) при некотором сг, удовлетворяющем условию 0 < (т < 1. Тогда оператор Ь~1 ограничен и для его нормы имеет место оценка

р-1!! < у/А/С, (44)

где „ „

(к + 1)2+2"

А = нир -----

Следствие 10 . Если А ф ак(к + п — 1) , к = 0,1,..., то для почти всех Ъ существует е(Ь) > 0, такое, что при условии |е| < е(Ь) существует и притом единственное периодическое решение уравнения (42). При этом, мы можем взять

Ло у/А'

Обозначим через В(ео) , £о > 0 множество, состоящее из чисел Ь, для которых выполнено неравенство ео^о^тгт — Пусть ¿о = —т=— , а параметры ¡о , £>

С{Ь) 2\Л4й0

определены равенствами:

Теорема 27 . Если £о < ёо, то множество В(ед) имеет положительную меру,

"" и является замкнутым, нигде не плотным мно-

лежит в отрезке

О,-

£0h0y/Ä

жеством, инвариантным относительно отображений b—tb/k, к 6 N. При этом, справедлива оценка

ju([0, г] ПВ(ео)) > i-CDiV+°V2,

где

С = e0h0y/Ä, 1= min .

В §3.5 на сфере Sn,n > 2 рассматривается задача

о

Lu = -X)2+a2A)u = vG о h(u), (45)

tot

u|t=0 = «|t=b- (46)

Здесь а, А - заданные вещественные числа, и- заданное комплексное число; u(x,t) -комплексная функция на сфере Sn с коэффициентами, зависящими от f 6 [О, Ь], г2 = — 1; h = h(u) - оператор на Ьг([0, b] х Sn) , удовлетворяющий условию Липшица с постоянной ho. Мы предполагаем, что

Gu(x, t)= g(x, у)и(у, t)dy Jsn

;сть интегральный оператор с ядром д(х,у) на 5" х ¿'п. Определим, как и выше, множество Аа(С) условием (17) с А к — ±а у/к(к + п — 1), Л = 0,1,____Верна

следующая теорема.

Теорема 28 . Пусть функция д(х,у) задана на 5"1 х Зп и такова, что д(х, у), А2хд(х, у) 6 Ь2(Зп х 5"), 0 < <г < 1, Ь € Л,(С) .

Тогда определен обратный оператор , ХЛ1 о £7 есть ограниченный оператор

и

Здесь

4{к + 1)4+4'у

М = тах{||Д2 о G||, ||Gj|}, А= sup

к&Х>о {кЦк + п- 1)» + 1)»'

Следствие 11 . Если А ^ ±а^/к(к + п — 1), к — 0,1,..., то для почти всех Ь существует е{Ь) > 0, такое, что при условии |е| < е(Ъ) существует и притом единственное периодическое решение уравнения (45). При этом, мы можем положить

2 С2 (6)

hüMs/bA

Обозначим через В(ео) множество, состоящее из чисел Ь, для которых выполнено неравенство ефм ■ ~ 1- Положим го = -еГ); =

2 СЩ ~ и 21ц>М-/5А р'

Л0Л/ч/534/252(р,р + 0'

Теорема 29 . Если ео So, "го .мера множества В(ео) положительна, это мно■

Го

жество принадлежит отрезку

и является нигде не плотным

eokoMt/5Ä]

множеством, инвариантным относительно отображений Ь -+ Ь/k, к € N.

Яри этом меры пересечений B(eq) П \р,р + ij оцениваются снизу следующим образом. Для пересечения В (so) П [0,1] верна оценка

MIO, 1} П В(е0)) > Г(1 - CDI").

Здесь

С = у/s0h0MVn./2, 7= min {I, Iq, ((1 + cr)CD)-^a}, а параметры lo, D заданы равенствами

, . Г_ff fir, 16(1 + <г)., , 1с. (2\a\Y

h = тШ 12jA| + (» - l)|a|+ dH ^ J '

Для пересечения B(eo) П [р,р + i] имеется следующая оценка. Пусть ео < £p,i при р> 0 . Тогда

КВЫ П \р,р + I]) > I - yJeoh0M</5Ä/2S(j>,p +1) > 0.

Автор выражает глубокую благодарность консультанту профессору Е.Ю. Панов; за постоянное внимание к работе и полезные обсуждения ее результатов, профессор] A.B. Антоневичу за поддержку и постоянный интерес к данным исследованиям.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Данг Хань Хой и Фам Нгок Тхао. Периодические решения эволюционных систем естественных уравнений на римановых многообразиях (I). Acta. Math. Viet. 1988. V. 13, № 2. С. 31-44.

2. Данг Хань Хой. Периодические решения эволюционных систем естественных уравнений на римановых многообразиях /"///.University of Hanoi, Faculty of Mathematics, Mechanics and Informatics, Hanoi, 1987, p. 5-13.

3. Антоневич А.Б., Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых неоднородных эволюционных дифференциальных уравнений на римановых многообразиях: Дифф. Уравн. 1989. Т. 25, № 10. С. 1731-1736.

4. Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых дифференциально-операторных уравнений с переменными коэффициентами. Деп. в ВИНИТИ. 1989. №-53337-В-89-20.

5. Dang Khanh Hoi and Pham Ngoc Thao. Periodic solutions of natural differential evolution equations on riemannian manifolds. Journal of Science. University of Hanoi. 1993. P. 35-40.

6. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых нелинейных эволюционных естественных дифференциальных уравнений на многообразиях. Труды Института математики. Минск. 2004. Т. 12. № 2. С. 57-61.

7. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых нелинейных эволюционных естественных дифференциальных уравнений на многообразиях. Вести. Новг. гос. унта, сер. Техн. науки. 2004. JV« 26. С. 104-107.

8. Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых нелинейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений на многомерном торе. Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн. науки. 2004. № 28. С. 77-79.

9. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых нелинейных эволюционных систем дифференциальных уравнений на многомерной сфере. Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн. науки. 2005. № 30. С. 58-62.

10. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных интегро-дифференциалъпых уравнений на многомерной сфере. Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн. науки. 2005. № 34. С. 53-56.

11. Антоневич A.B., Данг Хань Хой. Положительность меры одного множества, возникающего в теории малых знаменателей. Труды ИМ HAH Беларуси. 2005. Т. 13, № 1. С. 3-11.

12. Антоневич A.B., Данг Хань Хой. Условия существования периодических решений некоторых дифференциальных уравнений на многообразиях. Тезисы докладов Второй Всесоюзной конференции "Новые подходы к решению дифференциальных уравнений" (30 мая-1 июня 1989г., г. Дрогобыч). 1989. С. 10.

13. Данг Хань Хой. Периодические решения эволюционных естественных дифференциальных уравнений на Sn . Тезисы докладов конференции "Применение информатики и вычислительной техники при решении народно-хозяйственпых задач" (4-7 мая 1989г. Минск). 1989. С. 40.

14. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых нелинейных эволюционных естественных дифференциальных уравнений на римановых многообразиях. Тезисы докладов международной конференции AMADE (Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений), Минск, Беларусь, 4-9 сентября 2003г. С. 62.

15. Данг Хань Хой. Периодические решение некоторых нелинейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений. Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы". Москва, 16-22 мая 2004г. С. 48.

16. Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых нелинейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений на многомерной сфере. Тезисы докладов II международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания". Россия, Обнинск, 26-28 ноября 2004г. С. 36.

17. Антоневич A.B., Данг Хань Хой. Множество периодов периодических решений квазилинейного дифференциального уравнения. Тезисы докладов международной конференции "IX Белорусская математическая конференция". Гродно, 3-6 ноября 2004г. С. 72-73.

18. Данг Хань Хой. О множестве периодов периодических решений некоторых линейных эволюционных систем дифференциальных уравнений на многомерном торе. Тезисы докладов XII Всероссийской школы-коллоквиума по стохастическим методам и VI Всероссийского симпозиума по прикладной и промышленной математике. www.tvp.ru/conferen/vsppm06autumn.htm

19. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых линейных эволюционных уравнений на торе. Тезисы докладов III международной конференции "Математические идеи П.Л.Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания". Россия, Обнинск, 14-18 мая 2006г.

Следующие работы приняты к печати:

1. Антоневич А.Б., Данг Хань Хой. О множестве периодов периодических решений модельного квазилинейного дифференциального уравнения. Дифф. Уравн. 2006, принято к печати.

2. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных интегро-дифференциальных уравнений на многомерной сфере. Алгебра и Анализ. 2006. Т. 18. X9 4, принято к печати.

3. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых линейных эволюционных уравнений на сфере. Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн. науки. 2006., принято к печати.

4. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых линейных систем дифференциальных уравнений . Сибирские электронные математические известия. 2006. Т. 3, принято к печати.

Следующая статья находится на рецензии:

1. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений. Дифф. Уравн. 2006.

Список литературы

[1] Де Рам Г. Дифференцируемые многообразия. М.: Иностранная литература, 1960.

[2] Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.

[3] Колмогоров А.Н. О динамических системах с интегральным инвариантом на торе. Докл. АН СССР. 1953. Т. 93, № 5. С. 763-766.

[4] Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М.: Мир. 1970.

[5] Фам Нгок Тхао. Естественные дифференциальные операторы на компактных многообразиях. Дифф. Уравн. 1969. Т. 5, №1. С. 186-198.

[6] Фам Нгок Тхао. Граничные задачи для естественных дифференциальных операторов на многообразиях. Дифф. Уравн. 1970. Т. 6, № 5. С. 877-888.

[7] Фам Нгок Тхао. Boundary value problems for natural differential operators on Riemannian manifolds. Inst, of Math. Polish Acad, of Sci. Preprint №240. 1981.

Изд. лиц. ЛР № 020815 от 21.09.98. Подписано в печать 05.05.2006. Бумага офсетная. Формат 60x84 1/16. Гарнитура Times New Roman. Печать офсетная. Усл. печ. л. 1,6. Тираж 100 экз. Заказ № 72. Издательско-полиграфический центр Новгородского государственного университета им. Ярослава Мудрого. 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41. Отпечатано в ИПЦ НовГУ. 173003, Великий Новгород, ул. Б. Санкт-Петербургская, 41.

Введение

1 УРАВНЕНИЯ С ОБРАТИМЫМ ОПЕРАТОРОМ — - А

1.1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-ОПЕРАТОРНОЕ

УРАВНЕНИЕ С М- ОПЕРАТОРОМ (— - А)и = Ми)

1.2 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ЕСТЕСТВЕННОЕ УРАВНЕ

НИЕ НА ТОРЕ — - {а0А + ах)и = h{u).

1.3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ЕСТЕСТВЕННОЕ УРАВНЕ

НИЕ НА СФЕРЕ — - {а0А + ai)u = h{u)

2 ЛИНЕЙНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С МОДЕЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ

2.1 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ С МОДЕЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ А. ОБЩАЯ СХЕМА ИССЛЕДОВАНИЯ.

2.2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЕСТЕСТВЕННЫМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫМ ОПЕРАТОРОМ НА МНОГООБРАЗИИ

2 3 ЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ТИПА ШРЕДИНГЕРА

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЦЕЛЬ РАБОТЫ

В диссертации рассматривается задача о периодических решениях одного класса дифференциально - операторных уравнений - уравнений, содержащих "естественный" дифференциальный оператор i(d + 5) и оператор Лапласа А = ~(d + 8)2, действующий в пространствах внешних дифференциальных форм на римановом многообразии X.

Вопрос о существовании периодических решений для дифференциальных уравнений, дифференциально-операторных уравнений и уравнений с частными производными привлекал внимание многих исследователей в связи с его прикладным и теоретическим значением; такие вопросы возникают в теории устойчивости упругих систем, среди задач небесной механики, теории вибрации кораблей, при описании электромагнитных волн в волноводах и в ряде других задач.

Вопрос о существовании и свойствах периодических решений для произвольных уравнений с частными производными весьма сложен и общих результатов в этом направлении практически нет Отмегим, в частности, что условие периодичности имеет нелокальный характер и задача о периодических решениях содержит в себе специфику и сложности нелокальных краевых задач. Поэтому представляют интерес детальное исследование задачи о периодических решениях для конкрехных уравнений, позволяющее понять природу явлений, связанных с "правильными" или "неправильными" постановками граничных задач.

Основное внимание удалено уравнениям вида

-— Л)и = uh(u) (0.0.1)

С/ L в пространстве дифференциальных форм на римановом многообразии X с коэффициентами, зависящими от t € [0,6]. Здесь Л = i(d + 5) или Л = Д = —(d + 5)2, d - оператор внешнего дифференцирования, 8- ею сопряженный и Д - оператор Лапласа, h(u)— оператор ( линейный или нелинейный ) на пространстве дифференциальных форм

Рассматриваемый в диссертации дифференциальный оператор d+5 на многообразиях X является объектом исследования в дифференциальной геометрии [39], теории индекса эллиптических операторов [50] и возникав г во многих уравнениях математической физики, см. [37], [66], [67], [68].

Интерес к выбору этого уравнения определяется также тем, что уравнение (0.0.1) представляет собой "половину" волнового уравнения jt - i(d + <5))(| + «(d + *))u = - Д)« (0.0.2)

Следует отметить, что хотя исходный волновой оператор определен на пространстве функций, операторы — ±г'(о? + 5), полученные при его факторизации действуют в пространстве дифференциальных форм.

НЕОБХОДИМЫЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ

Оператор А = i(d + 5) на многообразиях.

Мы будем обозначать через X - С°° -риманово многообразие, которое всегда предполагается ориентированным и замкнутым.

Пусть £ = Фр=о£р = ®р=0А.р{Т*Х) ® С - комплексифицированное расслоение внешних степеней кокасательного расслоения Т*Х многообразия X (по определению, сечениями расслоения £ являю 1ся дифференциальные формы на X ); С°°(£), Нк(£)- пространство гладких дифференциальных форм и пространство Соболева дифференциальных форм над X соответственно [50].

Через А будем обозначав оператор i(d + 5), где d - внешний дифференциальный оператор, а 5 = d* - его формально сопряженный относительно скалярного произведения в С°°(£), индуцированною римановой структурой на X. Известно (см [50], [66]), чю d+8 - эллишический дифференциальный оператор первого порядка на X. Из основных результатов теории эллиптических операторов на замкнутых многообразиях главным для нас будет следующее предложение

Предложение 0.1. В гильбертовом пространстве Н°(£) существует ортонормированный базис {/&}, к £ Z, состоящий из собственных векторов fk причем соответствующие собственные значения оператора А являются чисто мнимыми и -> оо при \k\ оо, Хк = —X-k ■

Доказательство этого Предложения имеется в [68].

Подчеркнем также, что рассматриваемый в Я°(£) оператор А нормален, а А = d + 8 самосопряженный оператор; АЛ* = А*А = Л2 = —А, где А - оператор Лапласа.

Пусть Ра А - множество собсгвенных значений оператора А. Везде в нашей работе мы условимся, что каждое собственное значение повторяется столько раз, какова его крагность так, что каждому Хк отвечает один и только один собственный вектор fk. Для всякой функции F(z) на Ра А определен оператор F = F(A), действующий в #°(£) по правилу ( см , например, [36] ):

00

Fu= £ F(\k)ukfk, (0.0 3) к—— оо где ик = (u,fk) - коэффициенты Фурье элемента и в базисе Д. По определению область определения оператора F состоит из элементов и £ #°(£), для которых ряд (0.0 3) сходится в #°(£).

Обозначим как обычно через pF,aF, Pcri^CcF-соотвеасгвенно резольвентное множество, спектр, точечный спектр и непрерывный спектр оператора F, для каждого линейного оператора F в Я°(£). Тогда мы имеем

Предложение 0.2. Спектр aF оператора F : ->■ #°(£) является замыканием в комплексной плоскости множества

PaF={F(\k),\kePaA}, а его непрерывный спектр - множество

CaF = PoF \ PaF.

Оператор А = i(d + 6) на торе.

Пусть теперь X = П" = Rn/(2Z)n- п- мерный тор со стандартной римановой структурой. Укажем собственные векторы и собственные значения оператора А на Пп. Основной результат содержится в следующей теореме

Теорема 0.1. Множество собственных значений оператора А на П" имеет вид каждое из этих чисел является собственным значением конечной кратности.

Доказательство этой теоремы имеется в [13].

Замечание. Собственные формы оператора Л = d + S, соответствуюгде k е Ъп , а икг] 6 Ф^0ЛР(СП), г] = {щ,. ,т]п) е {-1, +1}" - некоторый базис в 2п -мерном пространстве комплексных дифференциальных форм с постоянными коэффициентами, зависящий от вектора к € Zn (параметр 7] нумерует элементы этого базиса). Мы не приводим здесь явный вид форм Wkrj, ввиду громоздкости выражений.

Оператор А = i(d + 5) на сфере.

Пусть Sn - сфера в Mn+1, Sn = {х е Mn+1, ||z|| = 1} с римановой структурой, наследованной из евклидовой структуры на Rn+1.

Положим Дs = -А2 = А2 на Sn , и пусть щие собственному значению т]птт\/к2 + Щ Н-----Ь имеют вид п р ■ Rn+1 \ {0} ^ Sn, р{х) = х

- каноническая проекция.

Наша задача состоит прежде всего в нахождении собственных значений и собственных векторов оператора А. Для этого будем работать со сферическими координатами на Rn+1 : (г; а), г = ||ж||;а = rj—^ - коорди

IfII наты на Sn.

Рассмотрим форму на R"+1 вида h(r) Л w(a) класса С°° , обозначив при этом одновременно через w(a) форму на Sn и ее продолжение p*w на Mn+1 Непосредственно проверяется, что

A(h(r) А Ца)) = Ah(г) A w(a) + h Л (Aw).

Если h - функция (иначе говоря, форма степени 0), то

Ah{r) = h"(r) + -h'{r), г

Aw = -^Asw. ri и наконец, для h(r) = г^ имеем

A(r>lw(a)) = гм-2(Д3гу + fi(/i + п - 1 )w).

Отсюда вытекают следующие известные результаты

Предложение 0.3. При г > 0, w ф 0, равенство Д(г^ги) = 0 равносильно тому, что w является собственным вектором оператора As, отвечающим собственному значению

А = + гг — 1).

Предложение 0.4. Все собственные значения оператора As имеют вид

А = -k(k + n- 1), fc = 0,1,2,. (0.0 5)

Следующая теорема доказана в работе [14].

Теорема 0.2. Все собственные значения оператора А = i(d+5) на сфере Sn задаются формулой = ±гу/к{к + п- 1), А; = 0,1,.

Мы условимся, что

Хк = sign(k)iy/\k\{\k\ + n-l), к е Z. (0.0.6)

Эти формулы определяют взаимно однозначное соответствие между целыми числами и собственными значением оператора i(d + S) на Sn . Мы ничего не утверждаем о размерности собственного подпространства, соответствующего собственному значению Л^ , кроме того, что эта размерность конечна.

Собственные значения оператора Лапласа в просхранстве функций на сфере известны (см., например, [71]), они имеют вид, указанный в Предложении 0.4, соответствующие собственные функции - это хорошо известные сферические функции (то есть сужения на сферу Sn однородных гармонических полиномов в Rn+1).

МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Граничная задача для уравнения в частных производных-объект богатый и сложный и допускает рассмотрение с весьма различных точек зрения. Подход, ориентированный на выявление правильных постановок и исследование свойств решении для модельных уравнений, допускающих применение метода Фурье, предложил А.А. Дезин (см например [36, 38])

Настоящая работа основана на указанном подходе А.А Дезина, позволяющем с помощью методов функционального анализа и метрическою метода теории чисел получить условия существования и единственности периодических решений для ряда физически осмысленных эволюционных интегро-дифференциальных уравнений на многообразиях и описать множество периодов решений.

Для исследования линейных задач в диссертации (2-ая глава) широко используются методы спектральной теории компактных операторов. Для нелинейных задач применяется принцип неподвижной точки для сжимающих отображений, при использования которого важную роль играет оценивание норм разрешающих операторов и выявление зависимости этих норм от параметров задачи.

ИСТОРИОГРАФИЯ ВОПРОСА.

В последнее время большое внимание уделяется исследованию некорректных задач, в том числе некорректных граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными Это вызвано как запросами практики, так и чисто теоретическим интересом (см., например, работы [46], [49J, [64], [91]). С точки зрения постановки граничных задач наиболее хорошо изучены дифференциальные уравнения с частными производными классических типов и непосредственные их обобщения Что касается произвольных уравнений с частными производными, а также неклассических задач, то при их изучении получены более скромные результаты Одним из немногих общих результатов в теории граничных задач для дифференциальных уравнений с частными производными являе1ся теорема Хёрмандера, согласно которой для любого линейного дифференциального оператора в частных производных с постоянными коэффициентами, рассматриваемого в ограниченной области, существует некоторая корректная граничная задача. Однако в этой теореме, являющейся теоремой существования, не дается никаких указаний относительно эффективного описания корректной задачи с помощью граничных условий для наперед заданного оператора Корректность граничных задач для некоторых общих дифференциальных и дифференциаль-но-операюрных уравнений изучается в различных аспектах в работах А А Дезина [33, 34, 35, 36, 38], В.К. Романко [53, 54, 55, 56], Н.И. Юрчука [69, 70], В М. Борок [9, 10, 11] и других авторов; много рабог посвящено также изучению неклассических граничных задач для отдельных дифференциальных операторов с частными производными. В большинстве из этих работ выделяются случаи корректно поставленных задач. Однако граничные задачи с данными на всей границе области (как и ряд других задач) для общих дифференциальных операторов с частными производными являются, вообще говоря, некорректными, а вопрос об их разрешимости во многих случаях связан с так называемой проблемой малых знаменателей Наглядными примером сказанного является задача Дирихле для уравнения колебания струны, исследованию которой посвящено много работ как отечественных, так и зарубежных авторов; на некорректность этой задачи в 1921 г. указал Ж. Адамар. С проблемой малых знаменателей впервые ученые встретились в небесной механике еще в XVIII веке ( см. [12] ) при математических исследованиях дифференциальных уравнений, описывающих движения планетных и спутниковых систем в ньютоновских гравитационных полях. Математически эффект малых знаменателей проявляется в том, что в решения уравнений движения, представленные в виде рядов Фурье, входит бесконечно число членов с коэффициентами, знаменатели которых как угодно близки к нулю, что обуславливает расходимость этих рядов; с динамической точки зрения в движениях планет появляются эффекты, называемые в физике и нелинейной механике резонансными. Исследования А.Пуанкаре по качественной теории дифференциальных уравнений показали, что проблема малых знамена!елей возникает также в следующих задачах: 1) о траекториях на торе; 2) об отображении окружности на себя; 3) об усюйчивости особой ючки типа центр Вопрос о преодолении отрицательного влияния малых знаменателей, о сходимосхи рядов, связанных с решением указанных выше задач, носил принципиальный теоретический характер и долгое время оставался нерешенным. Первые положительные результаты в решение проблемы малых знаменателей на основе «метрического» похода были получены в 1939 г Д Боржином и Р. Даффином [76] при исследовании задачи Дирихле для уравнения колебания струны, а в 1942 г-К Л Зигелем [94] для задачи об устойчивости особой точки типа центр. В 1953-1954 гг. А.Н. Колмогоров [47] предложил метрическую концепцию и во всей полноте применил ее в задаче о движении на торе и в теории динамических систем. В этих задачах появились малые знаменателей, имеющие вид линейной формы и), к) =ш\к\Л-----Н u)pkp, где ьо G Мр, к G IP. Идея метрического подхода состояла в следующем: 1) использовался тот факт, что малые знаменатели для почти всех (в смысле меры Лебега) векторов ш удовлетворяют некоторым оценкам снизу, 2) анализ сходимости рядов с малыми знаменателями проводился не для всех частот ш , а только для множества частот, удовлетворяющих упомянутым оценкам. Эти оценки имеют вид

1(^)1 >щр (С > 0, 5 > 0) и выполняются при 5 > р - 1 и некотором С = С(ш) для почти всех (в смысле меры Лебе1а в Мр) векторов ш.

Библиография, связанная с проблемой малых знаменателей для обыкновенных дифференциальных уравнений, может быть найдена, например, в монографии В.А. Якубовича и В.М. Старжинского [73]. Обзор работ, связанных с исследованием периодических решений некоторых уравнений с частными производными содержится в монографиях Б.И. Пташника [51, 52] и О. Вейводы [97]

Отметим некоторые результаты, относящиеся к задачам с условием периодичности по временной переменной t. Для дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического и составного типов периодическая по t краевая задача являелся, вообще, некорректной, а вопрос о существовании решения связан с проблемой малых знаменателей Трудности, связанные с малыми знаменателями, являются одной из причин того, что периодические краевые задачи для гиперболических уравнений (как линейных, так нелинейных) начали исследоваться сравнительно недавно.

Первой в этом направлении была работа Н.А. Артемьева [7], в которой в области {0 < t,x < 1} рассматривалась задача

2(0,0 = ^(1,0 = 0 (0 0 8) dz dz z{x, 0) = z(z, 1), ^|t=o = (0.0.9)

Доказано, что если a = (2m + 1 )/p (m,p— целые числа, p Ф 0), то при соответствующих ограничениях, налагаемых на Ф(х,1) и }(z), задача (0.0 7)-(0 0.9) при достаточно малых значениях \ц\ имеет единственное классическое решение в классе функций, представляющихся рядами

00 z(x, 0 = ^ 22fc+i(0 Sin(2fc + 1)тхх. к=0

При доказательстве существования решения задачи (0.0.7)-(0.0.9) Н.А. Артемьев пользуется системой функций Грина

0 < f, т < 1;п € N). (0.0 10)

2nairsm(anir/2)

Утверждается, чго при иррациональном а каждая функция <£>п(£,т) в отдельности ограничена, но совокупность всех функций ipn не ограничена (так как знаменатель sin(cm7r/2) может принимать как угодно малые значения для бесконечного множества натуральных п). Заметим, однако, что совокупность всех функций (0 0 10) ограничена, если а - такое иррациональное число, что для всех целых m и п ф 0 и некоторого С > 0 выполняется неравенство а — —\> (0011) п гг

Неравенство (0 0 И) удовлетворяют иррациональные числа, которые разлагаются в цепные дроби с ограниченными элементами, в частности квадратичные иррациональности Для отдельного случая впервые это было отмечено ГТ Соколовым в работе [62], где исследована задача (0.0 7)-(0 0 9) при a=^/p/q (p,qG N).

Позднее, задача о периодических уравнений для различных гиперболических уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными изучалась в работах [58, 65, 74, 75, 77, 78, 89, 96]. Многомерные гиперболические задачи исследовались в работах [82, 95, 98, 100]. В работах [44, 45, 80, 81, 93] исследовались периодические решения для гиперболических квазилинейных систем. Уравнениям более высокого порядка посвящены работы [72, 79, 85].

В работах [84, 86, 90] изучаются задачи о периодических решениях для линейных и квазилинейных параболических уравнений Аналогичные задачи для многомерных линейных и квазилинейных волновых уравнений рассматривались в [95, 100]. Отметим, что в работе [100] областью изменения пространственных переменных является многомерная сфера.

В работах Ю.А. Дубинского [40]-[43] исследуются периодические решения эллиптических, эллипгико-параболических и дифференциально-операторных уравнений бесконечного порядка. При этом вводятся и изучаются пространства Соболева бесконечного порядка на торе

В кандидатской диссертации [16] были исследованы периодические решения некоторых линейных уравнений, содержащих естественный дифференциальный оператор на многообразии.

Приведем (конечно - далеко не полный) обзор работ по периодическим решениям, опубликованных в последние годы.

Исследования Li Donglong, Guo Doling [87] посвящены изучению существования периодических решений трехмерного комплексного уравнения Гинзбурга-Ландау. Методом Галеркина и с помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке доказывается существование периодических решений уравнения щ = ри + (1 + irfAu - (1 + щ) - \и\2аи + /.

Zhang Yan-Zhou [99] исследовал задачу о симметрических периодических решениях телеграфных уравнений в пространстве высокого числа измерений С помощью теоремы Шаудера о неподвижной точке доказывается существование Т-периодических симметрических решений однородной задачи Дирихле для уравнения

Utt + 5щ + А и- g(t, х,и) = О в R х Ва, Ва = {х е W1, \\х\\ < а}.

Genttle Guido, Mastropietro Vieri, Procesi Micheala [83] исследовали периодические решения вполне резонансных нелинейных волновых уравнений utt ~ ихх = <р(и) с краевыми условиями Дирихле. При определенных условиях на функцию ip(u) доказывается существование периодических решений малой амплитуды.

В работе И.А. Рудакова [60] рассматривается многомерное волновое уравнение в шаре с условиями Дирихле на границе, при условии, чю нелинейное слагаемое удовлетворяет условиями нерезонансности.

Li Hongyan, Zhou Shengfan, Yin Fugi [88] рассматривают задачу о существовании глобального периодического аттрактора для сильно затухающих волновых уравнений с периодической по времени подгоняющей силой д2и . ди , ,ди. . . . ~di + (¥} + = 9^ ^

В нашей работе на основе метрической концепции исследуются вопросы корректной постановки некоторых неклассических задач о периодических решениях линейных и нелинейных дифференциальных уравнений и систем Эхи задачи объединены общей методикой исследования. Они является некорректными, а их разрешимость связана с проблемой малых знаменателей; при этом возникают знаменатели сложной нелинейной структуры, что ведет к новым не исследованным еще задачам метрической теории диофантовых приближений Найдены условия корректности рассматриваемых задач в соответствующих функциональных пространствах (дифференциальных форм), приведены формулы для решений в виде рядов по системам ортогональных функций (форм). Для каждой задачи впервые исследована структура множества периодов, при которых она имеет единственное периодическое решение. Оказалось, что это множество имеет довольно сложную структуру, оно является множеством 1-ой категории Бэра и потому нигде не плотно (таким образом, при сколь угодно малом изменении периода свойство однозначной разрешимости задачи может нарушиться). С другой стороны, это множество всегда имеет положительную меру Лебега, а для рассмотренных во 2-ой главе линейных задач - даже полную меру Лебега. В частности, линейные задачи из 2-ой главы имеют единственное периодическое решение для почти всех значений периода Для общих нелинейных задач, в диссер!ации получены оценки снизу на меру множества периодов, гарантирующих однозначную разрешимость задачи. Результаты, полученные в диссертации, доказаны для общих дифференциально-операторных уравнений с модельным оператором, действующем в абстрактном гильбертовом пространстве Затем эти результаты прилагаются и уточняются для ряда конкретных модельных операторов, содержащих или естественный дифференциальный оператор А = i(d + 5) или оператор Лапласа Д на римановом многообразии X. Рассмотрены случаи, когда многообразие X = Пп - многомерный тор (это соответствует задачам с условием периодичности по прос1ранствен-ным переменным) и когда X = Sn - многомерная сфера (что соответствует задачам с радиальной симметрией). Исследуемые задачи включают в себя физически осмысленные задачи о периодических решениях для нелокального уравнения Шредингера, возникающего в квантовой механике, и для телеграфного уравнения, описывающего распространение сигнала в проводниках (или волноводах) Описание периодических режимов, возникающих в таких моделях имеет большое практическое значение В работе также приведен алгоритм численного решения модельных задач, основанный на методе последовательных приближений. СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ.

Настоящая диссертация посвящена качественному исследованию задачи о периодических решениях одного класса модельных интегрально-дифференциальных уравнений. Работа состоит из трех глав.

1. Антоневич А.Б., Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых неоднородных эволюционных дифференциальных уравнений на римановых многообразиях. Дифф. Уравн. Т. 25, № 10. 1989. С. 17311736.

2. Антоневич А.Б , Данг Хань Хой. Положительность меры одного множества, возникающего в теории малых знаменателей. Труды ИМ НАН Беларуси. 2005. Т. 13. № 1. С. 3-11.

3. Антоневич А.Б., Данг Хань Хой. О множестве периодов периодических решений модельного квазилинейного дифференциального уравнения. Дифф. Уравн. 2006. в печати

4. Арнольд В И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений М.: "Наука", 1987.

5. Борок В.М. Критерий абсолютной с-устойчивости уравнений в частных производных ДиФФеренц. уравнения. 1988. Т. 24, № 3. С. 438-444

6. Борок В.М. Фардигола JI.B. Нелокальные корректные краевые задачи в слое Матем. заметки. 1990. Т. 48, № 1. С. 20-25.

7. Борок В.М. Кенне Э. Классификация интегральных краевых задач в широкой полосе. Пзв. вузов. Математика. 1994. Т 384, № 5 с. 3-12

8. Гребенников Е.А., Рядов Ю.А. Резонансы и малые знаменатели в небесной механике. М.,: Наука, 1978.

9. Данг Хань Хой и Фам Нгок Тхао. Периодические решения эволюционных систем естественных уравнений на римановых многообразиях (I). Acta. Math. Viet Т.13, №2. 1988. С. 31-44.

10. Данг Хань Хой. Периодические решения эволюционных систем естественных уравнений на римановых многообразиях (^///University of Hanoi, Faculty of Mathematics, Mechacics and Informatics, Hanoi 1987. P. 5-13

11. Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых дифференциально-операторных уравнений с переменными коэффициентами Деп. в ВИНИТИ. 1989. N-53337-B-89-20

12. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых дифференциальных уравнений на многообразиях Диссертация . кандидата физ -мат наук Минск, 1989.

13. Dang Khanh Hoi and Pham Ngoc Thao. Periodic solutions of natural differential evolution equations on riemannian manifolds. Journal of Science. University of Hanoi. 1993. P. 35-40.

14. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых нелинейных эволюционных естественных дифференциальных уравнений на многообразиях. Труды Института математики. Минск. 2004 Т. 12. № 2. С. 5761.

15. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых нелинейных эволюционных естественных дифференциальных уравнений на многообразиях. Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн. науки. 2004. №26 С. 104-107.

16. Данг Хань Хой. О периодических решениях некоторых нелинейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений на многомерном торе Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн. науки. 2004. №28 С. 77-79

17. Данг Хань Хой О структуре множества периодов периодических решений некоторых нелинейных эволюционных систем дифференциальных уравнений на многомерном сфере. Вестн. Новг. гос. ун-та, сер Техн. науки. 2005. № 30. С. 58-62.

18. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных интегро-дифференциальных уравнений на многомерной сфере Вестн. Новг. гос. ун-та, сер. Техн.науки. 2005 № 34. С. 53-56.

19. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений. Дифф. Уравн. 2006 в печати

20. Данг Хань Хой. О структуре множества периодов периодических решений некоторых линейных интегро-дифференциальных уравнений на многомерной сфере. Алгебра и Анализ. 2006. Т. 18. № 4, в печати.

21. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых линейных эволюционных уравнений на сфере. Вести. Новг. гос. ун-та, сер. Техн.науки 2006. в печати

22. Данг Хань Хой. Периодические решения некоторых линейных систем дифференциальных уравнений . Сибирские электронные математические известия. 2006. в печати

23. Данг Хань Хой. Периодические решение некоторых нелинейных эволюционных систем естественных дифференциальных уравнений Тезисы докладов международной конференции "Дифференциальные уравнения и смежные вопросы". Москва, 16-22 мая 2004. С. 48

24. Дезин А.А. К теорий операторов вида А. ДАН СССР. 1965.atТ. 164, № 5. С. 963-966

25. Дезин А. А. Операторы с первой производной по "времени "и нелокальные граничные условия Изв. АН СССР. Сер. мат. 1967. Т. 31, № 1. с. 61-86

26. Дезин А.А. К общей теории граничных задач Мат. сборник (новая серия). 1976. Т. 100(142). № 2. С 171-180.

27. Дезин А.А. Общие вопросы теории граничных задач М., 1980.

28. Дезин А.А. Многомерный анализ и дискретные модели М : Наука 1990.

29. Дезин А.А Дифференциально-операторные уравнения Метод модельных операторов в теории граничных задач Труды Матем ин-та им В А. Стеклова 2000 Т. 229

30. Де Рам Г. Дифференцируемые многообразия. М.: Иностранная литература. I960.

31. Дубинский Ю.А. Периодические решения эллиптико-параболических уравнений. Мат. сборник. 1968. Т. 76 (118), № 4. С. 620-633.

32. Дубинский Ю.А. О некоторых дифференциально-операторных уравнениях произвольного порядка. Мат. сборник. 1973. Т. 90(132), № 1. С. 3-22.

33. Дубинский Ю.А Пространства Соболева бесконечного порядка на торе и некоторые вопросы теории периодических решений дифференциальных уравнений. Докл. АН СССР. 1975. Т. 222. № 2. С. 269-272.

34. Дубинский Ю.А. Нелинейные эллиптические и параболические уравнения. Итоги науки и техники (ВИНИТИ). Сер. Современ проблемы математики. М 1976. Т. 9. С. 5-130.

35. Жесткое С.В. О двоякопериодических решениях квазилинейных гиперболических систем в частных производных. Дифференц уравнения. 1988. Т. 24, № 12. С. 2164-2166.

36. Жесткое С.В. О существовании и -периодических решений квазилинейных волновых систем с п пространственными переменными Вестник АН Белоруссии. Сер. физ.-мат. наук. 1994. № 2. С. 5-9.

37. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее применения М.,: Наука, 1978.

38. Колмогоров АН О динамических системах с интегральным инвариантом на торе Докл АН СССР. 1953. Т. 93, N° 5. С 763-76648| Корнфельд И П., Синай Я Г, Фомин С.В Эргодическая теория М , "Наука 1980.

39. Лаврентев М.М., Романов В.Г., Шишатский С П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М : Наука, 1980.

40. Пале Р. Семинар по теореме Атьи-Зингера об индексе. М.: Мир. 1970.

41. Пташник Б И Некорректные граничные задачи с частными производными. Киев, 1984.

42. Пташник Б.И., Илькив B.C., Кмить И.Я., Полищук В.М. Нелокальные краевые задачи для уравнений с частными производными. Киев : Наукова Думка 2002.dm

43. Романко В.К. К теории операторов вида ---А Дифференц. Уравdtmнения. 1967. Т. 3, № 11. С. 1957-1970

44. Романко В.К. Граничные задачи для некоторых дифференциально-операторных уравнение. Докл. АН СССР. 1976. Т. 227, № 4. С. 812-816.

45. Романко В.К Однозначная разрешимость граничных задач для некоторых дифференциально-операторных уравнений. Дифференц. уравнения 1977 Т. 13, № 2 С. 324-335.

46. Романко В К. Задача о сопряжении дифференциально-операторных уравнений. Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, № 1. С. 124-134

47. Романко В К. Разрешимость граничных задач для дифференциально-операторных уравнений высокого порядка. Дифференц. уравнения 1978. Т. 14, № 6 С 1081-1092

48. Рудаков И.А Задача о свободных периодических колебаниях струны с монотонной нелинейностью. Успехи мат. наук. 1985. Т. 241, вып. 1. С. 215-216

49. Рудаков И.А. Периодическое решение нелинейного телеграфного уравнения Вестн. Моек ун-та. Сер 1. Магема1ика. Механика 1993 № 4 С. 3-6.

50. Рудаков И.А. Периодическое радиально-симметричное решение нелинейного волнового уравнение в шаре. Вестн. МГУ. сер. 1. 2004. N° 6 С. 8-14.

51. Рудин У. Функциональный анализ. М.: Мир. 1975.

52. Соколов Г.Т. О периодических решениях волнового уравнения Учен, зап Ферган пед. ин-та. Сер. мат. 1965, вып. 1, С. 17-25.

53. Спринджук В.Г. Метрическая теория диофантовых приближений. М , 1977.

54. Тихонов А.Н , Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1974.

55. Третьякова Л.Г. К задаче о 2it -периодических решениях уравнения колебания струны. Вестн. Белорус, ун-та. 986 Сер. 1, № 3. С. 49-51.

56. Фам Нгок Тхао Естественные дифференциальные операторы на компактных многообразиях. Дифф. Уравн. 1969. Т. 5. № 1. С. 186-198

57. Фам Нгок Тхао. Граничные задачи для естественных дифференциальных операторов на многообразиях. Дифф. Уравн. 1970 Т 6 Я0 5 С. 877-888.

58. Фам Нгок Тхао. Boundary value problems for natural differential operators on Riemannnian manifolds. Inst.of Math. Polish Acad, of Sci. Preprint JV° 240. May 1981

59. Чесалин В П , Юрчук ИЛ. Задача с граничными условиями для абстрактных уравнений Лява. Изв. АН БССР. Сер. физ.-мат наук 1973 N° 6 С. 30-35.

60. Чесалин В.П., Юрчук Н.Н. Задача сопряжения абстрактных параболических и гиперболических уравнении с нелокальными условиями по t. Докл АН БССР 1974 Т 18, № 3 С. 197-200.

61. Якубович В.А., Старжинский В.М. Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения М • Наука, 1972

62. Arias М., Martinez-Amorez P., Ortega R. Doubly-periodic solutions of a forced semihnear wave equation Proc. Amer. Math. Soc. 1987. V. 101, N° 3. P. 503-508.

63. Ben-Naoum A.K., Mawhin J. The periodic-Dirichlet problem for some semihnear wave equation Journ. Diff. Equat. 1992 V. 96. N° 2 P. 340354.

64. Bourgin D.G., Duffin R., The Dirichlet problem for the vibrating string equation. Bull. Amer. Math. Soc., 1939. V. 45. № 12. P. 851-858.

65. Brezis II. Periodic solutions of nonlinear vibrating strings and duality principles. Bull. Amer. Math. Soc (New Series) 1983. № 8. P. 409-426.

66. Brezis H., Nirenberg L Forced vibrations for a Nonlinear Wave Equation Comm. Pure Appl. Math. 1978. V. 31. P. 1-30.

67. FeireisI E On existence of infinitely many periodic solutions for an equation of a rectangular thin plate Czechosl. Math. Journ. 1987 V. 37, № 2 P 334-341.

68. FeireisI E. Small time-periodic solutions to a nonlinear equation of a vibrating string. Apl. mat 1987. V. 32, № 6. P. 480-490

69. Felmer P.L., Manasevich R.F. Periodic solutions of a coupled system oj telegraph-wave equations. J. math. anal, and appl. 1986. V. 116, № 1. P. 10-21.

70. Fucik S., Mawhin J. Generalized periodic solutions of nonlinear telegraph equations. Nonlinear. Anal., Theory, Methods and Appl. 1978 V. 2, № 5. P. 601-617.

71. Genttle Guido, Mastropietro Vieri, Procesi Micheala Periodic solutions for completely resonant nonlinear wave equations with Dirichlet boundary conditions. Commun. Math. Phys. 2005. V. 256. N 2. P. 437-490.

72. Grindrod P., Rynne B.P. Time-periodic solutions to semilmear parabolic equations Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 1986. V. A104, № 3-4. P. 329-342d2u

73. Hall W S. On the existence of periodic solutions for the equations +d2puef{t,x,u). Journ. Diff. Equal. 1970 V. 7, N°- 3. P. 509-526.

74. Kannan R , Nieto J.J Periodic solutions of semilmear partial differential equations of parabolic type. Ann. mat. pura ed appl 1987. N° 148. P 1-16

75. Li Donglong, Guo Boling. Existence of periodic solutions for 3-D complex Gmzburg-Landau equation. J. Part. Differ. Equat 2004. V 17 № 1, P. 1228.

76. Li Hongyan, Zhou Shengfan, Yin Fugi. Global periodic attractor for strongly damped wave equations with time-periodic driving force J. Math Phys. 2004 V. 45. № 9. P. 3462-3468.

77. Li S , Szulkin A Periodic solutions for a class of nonautonomous wave equations Diff. and Integral Equat 1996 V. 9, JVe б P 1197-1212

78. Nkashama M.N , Willem M Time-periodic solutions of boundary value problems for nonlinear heat, telegraph and beam equations Differ EquatQualit Theory : 2nd Colloq. (Szeged, Aug. 27-31,1984). Amsterdam, 1987. V. 2. P. 809-846.

79. Payne L E. Improperly posed problem in partial differential equations. Red Conf. Ser. Appl. Math. № 22. Philadelphia (Pa), Soc. Ind. and Appl. Math., 1975. P. 76.

80. Rabinowitz P. H. A prion bounds for a semihnear wave equation. Lect Notes Math. 1979. V. 703 P. 340-347.

81. Rehacek J. On periodic solutions of a special type of the beam equation Appl. math. 1988. V. 33, N 1. P. 33-40.

82. Siegel C.L. Interactions of analytic functions. Ann. Math 1942. V. 43 N 4. P. 607-612.

83. Smiley M.W. Time periodic solutions of wave equations on M1 and R3 Math. meth. appl. sci. 1988. V. 10, N 4. P 457-475

84. Sugimuia K. Infinitely many periodic solutions of a forced wave equation with an exponential growth nonlinear term. Journ. Math. Anal, and Appl 1995. V. 190. P. 517-545.

85. Vejvoda O. Partial differential equations: time periodic solutions USA Sijthoff: Noordhoff, 1981.

86. Vidossich G. Periodic solutions of hyperbolic equations using ordinary differential equations. Nonlinear anal. Theory, meth. and appl. 1991 V. 17, N 8. P. 703-710

87. Zhang Yan-Zhou. Symmetric periodic solutions of the telegraph equations with high space dimension. Acta Anal Funet. Appl 2004. V. 6. N 3 P. 236239. Кит; рез. англ

88. Zhou Z. The existence of periodic solutions of nonlinear wave equations of Sn Cornrnun Part Differ Equat. 1987 V 12, N 8 P 829-882