автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оценивание и распознавание состояний стохастических систем по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью

На правах рукописи

РОЖКОВА ОЛЬГА ВЛАДИМИРОВНА

ОЦЕНИВАНИЕ И РАСПОЗНАВАНИЕ СОСТОЯНИЙ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ ПО НЕПРЕРЫВНО-ДИСКРЕТНЫМ НАБЛЮДЕНИЯМ С ПАМЯТЬЮ

05. 13. 01 -Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Томского Государственного Университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор

Демин Николай Серапионович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

доктор физико-математических наук, профессор

Кошкин Геннадий Михайлович

Якупов Рафаэль Темирович

Ведущая организация:

Красноярский государственный технический университет Защита состоится:

26 января 2006г. в 10.30 часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомится:

В научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан:

2005г.

Ученый секретарь диссертационного совете д.т.н., профессор

iotfH

¿,4 b

Общая характеристика работы

Актуальность проблемы. Широкий класс задач обработки наблюдений заключается в следующем : по реализации Zq = {za;Q < a <t] случайного процесса zt необходимо для случайного процесса xt найти оценки ¡i[cr, t; Zq] (задача оценивания), либо построить решающее правило 6[t;Zo\ (задача распознавания) о состояниях xt. Задачи оценивания в зависимости от соотношения между моментом окончания наблюдения t и моментом времени а, в который необходимо получить оценку t;2g] для ха, разделяются на три типа: фильтрация (а = £); интерполяция (<т < i); экстраполяция (а > £). Предмет исследования диссертации - задачи оценивания и распознавания.

Рассмотрение проблемы оценивания случайных процессов было начато классическими работами А.Н. Колмогорова и Н. Винера, в которых были решены задачи минимизации среднеквадратической ошибки оценок фильтрации, интерполяции и экстраполяции стационарных случайных процессов в классе линейных фильтров Следующим фундаментальным вкладом ь развитие теории оценивания случайных процессов являются работы Р.Е. Калмана и Р.С. Вьюси, в которых дается решение задач дискретной и непрерывной линейной фильтрации и предсказания. Наиболее значительным вкладом в решение задач нелинейного оценивания являются работы РЛ. Стратоиовича, Р.Ш. Липцера и А.Н. Ширяева, Дж.Р Фишера и Е Б Стира, Б.Д.О. Андерсона, Т.Накамизо , B.C. Пугачева. В этих работах оба процесса Xt и zt одновременно являются процессами с непрерывным, либо дискретным временем. На практике распросгранена ситуация, когда вместе с непрерывными наблюдениями zt могут присутствовать в отдельные моменты времени дискретные наблюдения rj(tm) (т = 0,1,2,...). Принципиально новая ситуация заключается в том, что наблюдаемые процессы zt и г)(tm) обладают памятью произвольной кратности N относительно ненаблюдаемого процесса, т.е z, и ц(}ш) зависят не только от текущих, но и от произвольного

3

f

г

г.НАЯ

числа N прошлых значений хТ],хг.2,..., хт„ процесса .т(. Для подобного класса процессов в работах О.Л. Абакумовой, Н.С. Дёмина и Т.В. Сушко рассмотрены задачи фильтрации и обратной экстраполяции. Другим важным классом задач являются задачи синтеза алгоритмов оценивания в условиях наличия аномальных помех. Таким образом, актуальной является проблема решения задач оценивания и распознавания процессов с непрерывным временем в случае совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности N.

Цели диссертационной работы. 1) Рассмотреть обобщенную скользящую экстраполяцию с фиксированной памятью многомерного процесса с непрерывным временем х1, когда наблюдаемые многомерные процессы с непрерывным г1 и дискретным г){Ьт) временем обладают фиксированной памятью произвольной кратности N > 1. 2) Рассмотреть задачу синтеза и анализа свойств фильтра-интерполятора для процессов с непрерывным временем по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью произвольной кратности И, когда в наблюдениях присутствуют аномальные помехи. 3) Рассмотреть задачу оптимального распознавания стохастических процессов с непрерывным временем по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью произвольной кратности и задачу обнаружения аномальных помех в дискретных наблюдениях г памятью произвольной кратности.

Методика исследования. Методы исследования включают в себя методы математического анализа, линейной алгебры и теории матриц, теории случайных процессов, теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, статистики случайных процессов, теории статистических решений.

Научная новизна. 1) Рассмотрена задача обобщенной скользящей экстраполяции стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной па.мятъю произвольной кратности в общем нелинейном и условно-гауссовском случае. 2) Осуществлен совместный синтез оптимального в среднеквадрат ичсском

смысле несмещенного фильтра-интерполятора в случае непрерывно-дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности при наличии аномальных помех и исследованы свойства полученного решения. 3) Решены задачи распознавания состояний случайных процессов по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной памятью произвольной кратности, обнаружения аномальных помех в дискретных каналах наблюдения и исследовано качество обнаружения.

Теоретическая ценность работы. Результаты диссертации могут служить основой для дальнейших исследований в области решения задач оценивания и распознавания случайных процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью.

Практическая ценность работы. Теоретические результаты могут быть использованы при разработке систем обработки измерений, систем управления, навигационных систем и систем управления подвижных объектов, когда доступная измерению (наблюдению) информация является непрерывно-дискретной во времени, наблюдения обладают памятью относительно ненаблюдаемого процесса и в системе присутствуют неопределенности типа аномальных помех.

Апробация работы. Основные результаты докладывались на следующих конференциях и симпозиумах: 1) Международная конференция "Всссибирские чтения но математике" (Томск, 1997). 2) Russian-Korean International Symposium of Science and Technology "Korus" (Новосибирск 1999, Томск 2001). 3) IV Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике "INPRIM" (Новосибирск 2000).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 17 работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы общим объемом 207 страниц, включая 25 рисунков. Библиография насчитывает 145 наименований.

о

Краткое содержание диссертации.

Во введении показывается актуальность работы, дается краткий обзор работ других авторов, формулируется цель работы, обосновывается выбор методики исследования, указывается область применения результатов и приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается задача обобщенной скользящей экстраполяции стохастических процессов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности. В п.1.1 формулируется постановка задачи Главы 1. Пусть п—мерный ненаблюдаемый процесс Xt и г—мерный наблюдаемый процесс zt с непрерывным временем определяются стохастическими дифференциальными уравнениями (в смысле Ито)

dxt = f(t, xt)dt + Ф] (t, xt)dwt, t>0, x0~ po(x), (1)

dzt - h(t,Xi,xTl,xT2,xT3,...,xTN,zt)dt + Ф2(<, z<)di;t, (2)

а в дискретные моменты времени tm (m = 0,1,2,...; t0 > 0) наблюдается g—мерный процесс r/(tm) вида

m mi ZtJÇit m )- (3)

где: 0 < to < rN < tjv_i < ... < n < tm < t;rk = const, u>t и vt соответственно п и гг-мерные стандартные винеровские процессы; £(im) — гз~мерная стандартная белая гауссовская последовательность; ¿20 = Ф1(-)Ф1(-)Г. я(-) = Ф2(-) • Ф2(-)Г, V(.) = Ф3( ) • Фз(-)г - невырожденные матрицы (Т-транспонирование). Задача: Для моментов времени t + Tut + T2,t + T3,...,t + TL, таких что 7\ < Т2 < Т3 < ... < TL и Т; = const, I = 1; L, по совокупности непрерывных г1п = {za; 0 < а < t} и дискретных 77сГ = {v{to),v(.ti),r)(t2), ...,T){tm); 0 < t0 < tx < ... < tm < t} наблюдений одновременно найти оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки (ОСКСО) экстраполяции fi(t+Ti, t) для будущих значений Xt+Tt, I = 1; L, ненаблюдаемого процесса xt. Если t + Ti = st = const,

в

I = 1; L, si < $2 < s3 < ... < si, то будем иметь задачу обобщенной обратной экстраполяции.

В п.1.2 получено основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНОСЭФП) для совместной апостериорной плотности

Pt+n(x, XN,X)--dxdxvdxL (4)

значений ненаблюдаемого процесса в текущий момент времени xt, в прошлые моменты времени х^ = {жх,.iT2,хТз, ..., жг„}, связанные с наличием памяти, и в будующие моменты времени xf+TL = = {a:f+r,, •■-, ^t+Ti.}i которые являются моментами экстраполяции. Так как (i(t+Th t)=M{xt+T,\zl0, С}, l=WL- то ОСКСО + 7}, t) является первым моментом плотности (4) по переменной xl, 1 = 1; L.

Теорема 1.1. (ОУНОСЭФП) Апостериориорная плотность (4) на интервалах времени tm<t< tm+i определяется уравнением

Vt+TifaxN;xL)]

L-1 с

(kpl+TL(^,XN;xL) = Ll+Ti^\pl+TL(x;xN-,x-ь)]<Й+£ { л , - ~п

¿=1 ( «+ГД*> XN, X )

pi /j. Xtf4 ir)\ 1

x А +т,,x'[P(+Tf (x! i/v; ^ (X-xn-'X1) J J

, i r r / - м , - ГР'+Г,,^;^;^)]}

+Pi+rl(a;iii)[/i(i,a:, ¿дг, - ft(i, z^cfe, - Л(£,г«)<Й| (5)

с начальным условием

ptT,ix^N-,xL) = [С(.х,xjV;??(im),xL), (6)

где и+т^ЛЪЪ+ъАЪЦ+ъА^1*^1*^]- прямые и обратные операторы Колмогорова, соответсвующие процессу xt,

pt(x-xN) = д"+1Р{Х1 < < rft)ldxdxN, (7)

h(t,zt)= J... Jh{t,x,XN,zt)plt+TL(x\XN\xl) dxdxNdx1, (8)

C(r)(tm),ztm) = J ...J C(x, xN; r)(tm), ztjp'^+r,, xN\xL)dxdxNdxL, (9) C(x,i^;»?(tm), ztJ = exp{-^[i7(tm) - g{tm,x,xN, ztm)]Tx

xV~l{tm,zlm)[r){tm) - g{tm,x,xN,ztm)]}, (10)

ptZ°TL(x; Xff, xL) = lim p^+Tt(x; xn\xl) nput t tm, a jftJrT¡{x\XN\xl) имеет вид (4) с заменой L на I для всех I. = 1; L.

Из Теоремы 1.1 формулируется ряд следствий. В п.1.3 получено уравнение для семиинвариантной функции плотности (4) (Теорема 1.3). В п.1.4 показывается, что эффективный синтез скользящего экстраполятора на основе Теоремы 1.1 может быть осуществлен в условно-гауссовоском случае, когда выполняется свойство гауссовости р^Д-т;!.v;x'), / = 1; L. Далее всюду AF{y; а, В}—нормальное распределение (плотность) случайной величины Y с параметрами а а В.

Утверждение Al. Пусть

f(t,xt) = f(t) + F{t)xt, Ф1(.) = Ф1(4), ро(х) = Л/"{х;/хо;Го}, (11)

N

h(t, xt,x?, zt) = h(t, zt) + H0(t, zt)xt + Y. Hk{t, zt)xTk, (12)

k=1

N

g(tm, XLm,x^, ztm)=g(tm, ztn¡) + Go(tm, ztm)xtm+Y, Gk(tm,ztm)xTk- (13) Тогда для всех l = 1; Л (см.(4))

p\+Tt{XH+i+i)=N{xN+i+i\p.N+l+i(fN,t+Ti,t)SN+l+l{TN,t + T¡,t)} =

X Mí) Г(() г 0N(fN,t) r^NH(t+ft,t)

XN 1 AJV(TW,Í) fojv(') Fi\'(f¡v,t) rlNN+l(TN,t+Ti,t)

í< p!(t+Ti,t) . (fW'))T (f'W-)f f'(t+7},í)

гдетм = {тит2,...,т„), £ + Т, = (« + Тъ Ь + Г2,..., С + 7}), / = 1;£.

Для параметров распределения (4), удовлетворяющих свойству (14) при I = Ь, с использованием Теоремы 1.3, получена замкнутая система дифференциально-рекуррентных соотношений, определяющих оптимальный фильтр- интерполятор-экстраполятор (ФИЭ) в случае фиксированной памяти (Теорема 1.5.). В п.1.5 формулируются ряд следствий. В п.1.6 проводится исследование эффективности дискретных наблюдений с памятью кратности N = 1 относительно наблюдений без памяти на основе задачи обратной экстраполяции с фиксированной памятью. Пусть процессы х1, 2г, т]{1т) скалярные и определяются

соотношениями

dxt = -axtdt + $idwt, a > 0, po(x) = AÍ{x;¿io;7o}, (15)

dzt = H0xtdt + Ф2dvi, Tjityn) = G0xtm + GixT + Ф3Ç(tm). (16)

Тогда в случае редких дискретных наблюдений (í оо, tm < ím+1) справедлив следующий результат.

Утверждение 1.2 Пусть t' = t - т, G = {(G0, <?i) : G? + 2G0(?i < 0}, £io = 7u(e.ím)/7u(s>ím)> 7u(e,ím) u 711 (s, tm)~точности оценок экстраполяции в момент tm соответственно в случае дискретных наблюдений r¡(tm) с памятью кратности N = 1 и без памяти fj(tm). Тогда ею, как функция t*, обладает свойствами: если (Go, Gi) е G, то e10(í*) > 1 для всех t* > 0 при произвольном значении глубины памяти; если (Go, G\) ^ G, то £w(t*) при t* —► оо монотонно возрастает от £% < 1 до ejg > 1 с равенством единице в точке t* = í*yy вида

Ге// = i ln{(|G1|(F+œ7G^))/(|Go| [\/Vt+ee-rGKV+anGl) T v])}, (17)

где A = y/a* + SQ, S = H$/R, 7 = (A-a)/S, аг= (A+a)/2A, знак « - » берется в том случае, если GqG\ = |Go| • ¡Gi¡. о знак -С + » , если GqGI = —|G0¡ • |Gi|.

Для £%, £Îo найдены выражения и дается физическая интерпретация доказанных свойств с графическими иллюстрациями. Величина t*ejj может быть определена как "эффективная глубина памяти". В п.1.7 приводятся выводы по Главе 1.

Во второй главе диссертации осуществлен синтез и анализ оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора (ОСКСНФИ) для процессов с непрерывным временем по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной памятью произвольной кратности, когда в каналах наблюдения присутствуют аномальные помехи.

В п.2.1 формулируется постановка задачи Главы 2. Пусть

x(í) = F(í)x(í)+w(í),í > 0,я(0)==а:о~ро(20=^{:г;/4);7оЬ (18)

z(t) = H0(t)x(t) + £ Hk(t)x(Tk) + v(t) + B<p(t), (19)

fc=1

v{tm) = Go(tm)x(tm) + £ Gk{tm)x{rk) + Ç(tm) + Cf(tm), (20)

где: u}{t) и v(t) -соответственно, n— и l— мерные белые гауссовские процессы с матрицами интенсивности Q(t) и R{t) и нулевыми математическими ожиданиями; Ç(im) - q— мерная белая гауссовская последовательность с нулевым математическим ожиданием и матрицей интенсивности V(tm): у>(£)~«-мерный (s < I) белый гауссовский процесс, a f{tm)-r-мерная (г < д) белая гауссовская последовательность, которые являются аномальными помехами, причем M{tp(t)} = <po(t), M{[<p(t) — МЫ*) - = Ф(*Ж«-«т), M{f(tm)} = f0(tm), M{[f(tm)-

fo(tm)}[f(tk)-fo(tk)]T} = Q(tm)Smk. Матрицы В размера (/ x s) и С размера (g х г), определяющие структуру действия компонент векторов аномальных помех ip{t) и f(tm) на компоненты векторов наблюдений z(t) и rj(tm) соответственно, являются булевыми соответствующего вида, и предполагается, что <po{t) и fo(tm) неизвестны. Задача: По совокупности наблюдений Zq и т?™ найти оптимальные в среднеквадратическом смысле несмещенные оценки фильтрации jti(i) и интерполяции /j,(rk,t), соответственно для x(t) и х(тк), к — 1; N.

В п.2.2 рассматривается случай, когда аномальные помехи присутсвуют только в непрерывных наблюдениях, и осуществлен для этого случая систез ОСКСНФИ. В п.2.3 для случая совокупности непрерывных и дискретных наблюдений осуществлен, с использованием Теоремы 1.5, синтез ОСКСНФИ (Теорема 2.4.).

Теорема 2.4. На интервалах времени tm < t < tm+l оптимальный в среднеквадратическом смысле несмещенный фильтр-интерполятор (ОСКСНФИ) в классе линейных фильтров определяется уравнениями

fi(t) = F{t)fi{t) + ¿о(i)z(t), А(ть t) = Lk(t)z(t), k = ITW,

Г (t) = F(t)T(t) + T(t)FT(t) + Q(t) - L0(t)H0(t),

îkk{rk, t) = -Lk{t)Hk(t), tokin, t) = F{t)Tok(rk, t)-L0(t)Hk{t), k=TîN,

fw(Ti,Tbt)= -Lk{t)H,{t), k= 1;ЛГ-1, l = l>k,

L0(t) = La(t)[l, - ВS{t)}, Lt(t) = Lk(t)[I, - BS(t)}, S(t) = [BTBr1{t)B\-lBTR-\t\ z(t) = z(t) - H0(t)fi(t) - £ Hj(t)ß(Tj, t), с начальными условиями ß(tm) = ß(tm - 0) + Ko{tm)v(tm),H(Tk, tm) = /Ч7"*. im - 0) + Kk(tm)f}(tm), T{tm) = r(tm-0) - K0{tm)G0{tm), rfcfc(rb tm) = rfcfc(rfe, tm-0) - Kk{tm)Gk{tm), гOfcfa, <m) = Гок(тк, tm- 0) - Ko(tm)Gk(tm), гJt/(n, тк, tm) - Tki(ri, Tk, tm- 0) - Kk(tm)Gi(tm), K0(tm) = K0(tm)[Iq - CY(tm)], Kk(tm) = tft(tm)[/4 - CV(im)j,

^(tm) = [C^-^tn.JC]-^^-1^),

N

v(tm) = i?(im) - Ga(tm)ß{tm - 0) - X! G](tm)ß(Tj, tm - 0),

J=1

So(tm) = Go(tm)r(tm - 0) + 5: tm - 0),

j=i

_ JV

Gfc(im) = im - 0) + £ Gj(tm)l (Tv rfc, tm - 0),

= St>(tm)W-l(tm), Kk(tm) = G^(tm)W-l(im),

W(tm) = V(im) + Giimjfir+iiîiv.tm - 0)GT(im), G(im) = [Go(im):Gi(im); ■ • • :Gjv(i»n)].

Исследуются свойства ОСКСНФИ относительно нечувствительности к матрицам интенсивности аномальных помех (Теоремы 2.2, 2.5) и относительно процедуры исключения аномальных компонент векторов наблюдений (Теоремы 2.3, 2.6). В Теоремах 2.7 и 2.8 проводится исследование точности оценивания в зависимости от структуры воздействия компонент аномальной помехи f(tm) на компоненты вектора наблюдений г/(£,„). В п.2.4 результаты п.п.2.2 и 2.3 обобщаются на случай резервирования дискретных наблюдений. В Теоремах 2.9 и 2.10 проводится исследование точности оценивания в зависимости от кратности резервирования.

п

Проводится исследование эффективности дискретного канала с памятью при наличии аномальных помех относительно канала без памяти в задачах фильтрации и интерполяции. Рассматривается частный случай процессов (18)-(20). Ненаблюдаемый процесс является процессом Орнстейна^Уленбека, когда в (18) F{t) = —а, а = const > 0. Наблюдаемый процесс с непрерывным временем (19) является процессом без памяти и без аномальных помех. Дискретный канал наблюдения обладает памятью кратности N = 1 и формируется как совокупность двух скалярных каналов с коэффициентами передачи Go и G\ соответственно для xtm и хт. В задачах фильтрации и интерполяции рассмотрим два случая: 1) аномальная помеха действует по первой компоненте гд(4т); 2) аномальные помехи действуют по обеим компонентам r)i{tm). T}2{tm) двумерного вектора наблюдений Tj(tm). Соответствующие этим случаям ошибки оценок фильтрации в момент tm будем обозначать 71(£т). 72(tm), а ошибки оценок интерполяции -7п(т,*т), 7и(т-,£т). Пусть Afn = 72(tm) -7'(*m), Д21 = 7ll (-Mm) ~ 7п(т! гт)- Если над этими величинами стоит знак "волна", то они относятся к случаю дискретных наблюдений без памяти (Gi = 0). Доказывается, что Д21 > 0, А'21 > 0. В качестве мер эффективности наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задачах фильтрации и интерполяции берутся соответственно величины £21 = A2i — Д21, £21 = = А%21 — AI;. Если £21 > 0, e'2i > 0, то наблюдения с памятью эффективнее наблюдений без памяти. При £21 < 0, е\х < 0, имеем обратное свойство. Исследование £21 и e2i' к&к Функции глубины памяти t* = t — т, даёт следующие результаты.

Утверждение 2.7 Пусть G = {(G0,Gi) : G\ + 2G0Gi < 0}. Тогда s{i(t*) при (G0, Gi) £ G является монотонно убывающей функцией от значения е21 > 0 до значения < 0 с равенством нулю в точке f =t*ejj вида (17). Если (G0,Gi)eG, то e!n{f) < 0.

Утверждение А2. Пусть (G^Gx) е G~ = {(Go,Gi):G?-l-2GoGi<0}. Тогда ег21 (t*) является монотонно возрастающей функцией от значения

< 0 до значения е™ > 0 с равенством нулю в точке V = ^ц вида

?еП = 11п{(|Со| + ;|С0|2-8е(1-ае)|С1|2)/(ае|С1|)}. (21)

Если {во, вх) , то £21^') > 0.

Для £®х, £21 в обеих задачах найдены выражения и дается физическая интерпретация доказанных свойств с соответствующими графическими иллюстрациями. Результаты Утверждений 2.7 и А2 подтверждают справедливость общих свойств, доказанных в Теоремах 2.7-2.10. Величины могут быть определены как "эффективная глубина памяти". В п.2.5 приводятся выводы по Главе 2.

В третьей главе диссертации рассматривается задача распознавания произвольного числа гипотез, когда ненаблюдаемый процесс является процессом с непрерывным временем, а наблюдаемый процесс представляет собой совокупность процессов с непрерывным и дискретным временем с фиксированной памятью произвольной кратности. Также решается важная частная задача распознавания- задача обнаружения аномальных помех в дискретных каналах наблюдения с памятью.

В п.3.1 приводятся модели процессов и формулируется постановка задачи Главы 3. Пусть (см. (1) - (3))

¿Х1 = /{г.х1,г1,в)(И + Ф1 {1,х1,гив)йюи £ > 0, (22)

<1г( = XI, хТ,, ■ ■ -, хТг], г(, в)<& + Фг(^ (23)

»7(0 = д(*т,Х1т,хп,---,хт„,е)+фт) ,т = 0,1,.. , (24)

где параметр в является идентификатором типа гипотезы. Предполагается: 1°) в е с априорными вероятностями ро(яо) = дР{& = в3}. ] = ОГг. 2°) И^т) - белая гауссовская последовательность с М{£(£т)\в = в3) — = Ь,(1т) и МШ^-МОШО-МОЛ* = 0,} = У(Ьт,в3\, 3°) Хо, VII, Щ* £(0- 0 - независимы в совокупности; 3°) заданы начальные плотности Ро(хо\0]) = дР{х0 < х\в — в3}/дх, ] — 0;г. Задача: По совокупности реализаций -4 и 77™ найти отношения правдоподобия . 0а) в задаче распознавания гипотез "Н3{в = виНа{0 = ] = ОГг, а = ОГг.

В п.3.2 находятся апостериорные вероятности гипотез Р((б3) = дТ{в = в3\г10,т]™}. и отношения правдоподобия.

Утверждение 3.1 и Теорема 3.1 определяют соответственно Рь{в3) и М0, : "«)• Следствия 3.1 и 3.2 дают интегральные представления для р^в]) и : 0а), как решения соответствующих стохастических

дифференциальных уравнений. В п.3.3 рассматривается случай, допускающий эффективное вычисление указанных статистик, что возможно, когда выполняется условие гауссовости для рс(х; х^\в3) —

= < ЯГ, X? < хц\в = в3, 4, гЮ/дхдхн-

Утверждение 3.2. Пусть (см. (11)-(13). (22)-(24))

Л(-) = Н0(«, в)«,+ £ Я*(4, г., 0)®*,

д(-) = С0Ц,г1,9)х11п+^Ок(1т,ги,в)хг,. (25)

Тогда справедливо свойство

Я^^Цк+^тк^в^^к+^^в,)}, 7=0-7. (26)

Блочные составляющие параметров Ддг+1(-) и Глг+1(-) определяются при каждом замкнутой системой дифференциально- рекуррентных соотношений согласно Главе 1 (Теорема 1.5, Замечание 1.5) с коэффициентами, зависящими от в3.

Теорема 3.2 определяет А1(03: 0а) при этих условиях. В п.3.4 решается задача оценивания. В п.3.5 рассмотрен частный случай задачи распознавания, когда в условиях (25) отсутствуют зависимости от г*. Теорема 3.3 определяет Л((0; : ва) для этого случая. Далее рассматривается случай, когда гипотезы связаны только с шумом £(£т), т.е. в условиях Теоремы 3.3 зависимость от в3, ] — 0-7, сохраняется только через У{^т,в3) и начальные условия, а решение выносится только по значениям А1т{63 : ва), что соответствует случаю редких дискретных наблюдений. Утверждение 3.3 определяет для этого случая отношение правдоподобия : ва) и односторонние дивергенции Лт (] : а) —

■ 0а)\П3}, 1и{а : з) = -М{\1т(63 : ва)\На}, где А(т(в3 : 0а) = 1п{Л(т(^ : ва)}. В п.3.6 рассматривается задача обнаружения аномальных помех в дискретных каналах наблюдения, когда в (25) отсутствуют зависимости от г^ и в, а в (20) последнее слагаемое в правой части имеет вид 0С/(£т), где в е П» = {<?о;#1} = {0;1}. Остальные условия те же, что и в п. 2.1, кроме одного -/о(£т) предполагается известным. Таким образом, задача обнаружения в моменты времени 1т аномальной помехи в дискретном канале наблюдения по совокупности наблюдений г^ и г/10 является задачей различения гипотез Но{в = 0О} и Н1{в = в\}. Получены соотношения, определяющие логарифм отношения правдоподобия : вй) и направленные дивергенции 7^(1 : 0) =

= : 0о)|Н!}, /4т(0 : 1) = -М{Л{„№ : 0о)|Ко}-

Утверждение 3.4. Логарифм отношения правдоподобия и

направленные дивергенции имеют вид

КЧк ■■ 0») = + [и^(*т) - ж-1{ьт)} фт)+

- Ь(«п,), (27)

4Д1 : 0) = ^¡М + [Н-(О^О) +

- (28)

- (29)

где ?)(£т), \¥(1т), №'{1т) определены в Теореме 2.4-

Как и качество оценивания (п. 2.2), качество обнаружения зависит от структуры матрицы С, определяющей структуру воздействия компонент аномальной помехи на компоненты вектора наблюдения. В качестве меры "расстояния" между гипотезами Но и Н\ берем дивергенцию по Кульбаку Уи(1,0) = /¡„,(1 : 0) + ¡1,п(0 : 1). Исследуется эффективность процедуры обнаружения в зависимости от структуры воздействия компонент

аномальной помехи на компоненты вектора наблюдений (Теорема 3.5) и от кратности резервирования каналов наблюдения (Теорема З.б). В п.З.б также исследуется эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче обнаружения аномальной помехи. Рассматривается случай (15), (16), но при этом в правой части соотношения Для r)(tm) добавляется слагаемое 0f(tm), в = {0О, f(tm) ~ Ро{х) = = ЛГ{/0;в}. Тогда AItJ 1 : 0) = 4,(1 : 0) - ïtm(l : 0), и Д7(,„(0 : 1) = = /tm(0 : 1) - /tm(0 '• 1)> где "волна" сверху означает соответствующие величины в случае канала без памяти (Gi = 0), будут характеризовать эффективность канала с памятью по сравнению с каналом без памяти относительно нижних границ вероятностей а* и /3* вероятностей а (ложная тревога) и ¡3 (пропуск аномальной помехи). Исследование с использованием Утверждения 3.4 дало следующие результаты.

Утверждение 3.7. Пусть (С0, (?i) € G~= {(G0A) '• G? 4- 2G0GX < 0}. Тогда Д/(т(1. 0) и AItm(0:1) при t* î(f монотонно убывают от значений, Alfjl : 0) > 0 и (0:1) > 0 до значений Д/£(1:0) < 0 Д/~(0:1) < 0, переходя через ноль в точке t* = которая имеет вид (21). Утверждение 3.8. Пусть © = 0 и d-порог в обнаружителе

Âim($i : Bq) > d. Тогда для вероятностей ошибок а и (3 имеют место «о

формулы а = (3 = Ф^-^^у где Ф(у) =

= l/v/fc? / exp{-iS2}dS, q = fo/W, W = V + -yg(t*), g(t*) = G\+

—OO

+Gj [œ+(l — œ) exp{—2Ai*}] + 2G0Gi exp{—Ai*}, b = qs/V/W, h = = —q2V/2W. Если d — 0, то Да = Д/3 = Ах, причем при выполнении условия (Go,Gi) € G" Ax(t') монотонно возрастает при t* То° от

д» < о * д.« > о, Л лй=* Q^)-* •

лЛ qW \ _(1 qs/V \

ДУоо = Ф —===== | — Ф - , , переходя через ноль в

точке t* = t*ejf, имеющей вид (21).

Величина t*yy может быть определена как "эффективная глубина памяти". В п.3.7 приводятся выводы но Главе 3.

В заключении формулируются основные результаты исследования, выносимые на защиту. В приложения вынесены некоторые формальнее преобразования.

Основные результаты работы

Основные научные положения, выносимые на защиту, сводятся к тому, что для случая совокупности непрерывных и дискретных во времени наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности N :

1) Получено основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНОСЭФП) для апостериорной плотности р\+Т/(х: х^; xL). Сформулированы частные результаты, следующие из ОУНОСЭФП как следствия.

2) В условиях апостериорной гауссовости p\+Ti(x; хц\ xL) на основе ОУНОСЭФП осуществлен синтез фильтра-интерполятора-экстраполятора, определяющего оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки фильтрации p(t), интерполяции р.(тк, t), к — 1; N, экстраполяции n(t + 7], t). Сформулированы частные результаты, следующие из этого общего результата.

3) Осуществлен совместный синтез оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности, когда в наблюдениях присутствуют аномальные помехи, и исследованы его свойства.

4) Получено решение проблемы нахождения апостериорных вероятностей гипотез и отношений правдоподобия в общей задаче распознавания произвольного числа гипотез по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений для случая фиксированной памяти произвольной кратности. Решена задача обнаружения аномальных помех

с заданной структурой воздействия её компонент на компоненты вектора наблюдения и исследованы свойства алгоритма.

5) С использованием общих результатов решены задачи исследования эффективности наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задачах фильтрации, интерполяции, экстраполяции, обнаружения аномальных помех.

Основные публикации по теме диссертации

1) Д ё м и н Н. С., Р о ж к о в а С. В., Р о ж к о в а О. В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью // Автоматика и вычислительная техника. - 1999. - №4 - С. 23-34.

2) Д ё м и н Н. С., Р о ж к о в а О. В. Распознавание в стохастических системах в случае наблюдений с фиксированной памятью // Вестник Томского гос.ун-та - 2000. - №271 - С.164-168.

3) Д ё м и н H .С., Р о ж к о в а С. В., Р о ж к о в а О. В. Непрерывно-дискретная фильтрация стохастических процессов в случае резервирования каналов наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. // Автоматика и вычислительная техника - 2001 - №5 - С. 56-67.

4) Дёмин H С., Рожкова С. В., Рожкова О. В Обнаружение аномальных помех в случае непрерывно-дискретных каналов наблюдения с памятью.// Автоматика и вычислительная техника - 2003 №5 - С. 70-82.

5) Д ё м и н Н. С., Рожкова С. В., Рожкова О. В. Фильтрация в динамических системах по непрерывно - дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. I. Непрерывные наблюдения // Вестник Томского гос.ун-та - 2003. - №280 - С. 175-179.

6) Дёмин Н. С, Рожкова С. В, Рожкова О. В Фильтрация в динамических системах по непрерывно- дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. И. Непрерывно - дискретные наблюдения // Вестник Томского гос.ун-та - 2003. - №280 - С. 180-184.

7) Р о ж к о в а О. В. Фильтрация в стохастических системах с непрерывным временем по наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. Синтез // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томский гос.ун-т - 1999. - С. 127-133.

8) Р о ж к о в а О. В. Фильтрация в стохастических системах с непрерывным временем по наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. Анализ // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томский гос.ун-т - 1999. - С. 134-139.

9) D у о m i п N. S.. Roshkova S. V, Roshkova О. V. Filtering of stochastic systems in the case of continuous-discrete time channels of observations with memoiy in the presence of anomalous interferences in the discrete channels with reservation // The Third Russian-Korean International Symposium of Science and Technology. Proceedings "KORUS 99" - Novosibirsk: NSTU - 1999. - V.l. - P. 261-264.

10) D y o m i n N. S., Roshkova S. V., Roshkova О .V . Simultaneous problem of filtering and interpolation of stochastic process to the set continuous-discrete time memory observations in the presence of anomalous noises // Proceedings of the fifth Russian-Korean Int. Symp. of Science and Techology ("KORUS 2001") - Tomsk: TPU - V.2. - P. 223-226.

11) D y o m i n N. S- R o s h k о v a S. V., Ro s h k o v а О .V . Generalized adaptive sliding exstrapolation on the set of continuous and discrete time observations with the fixed memory //' Proceedings of the fifth Russian-Korean Int. Symp. of Science and Techology ("KORUS 2001")- Tomsk: TPU - V.2. -P. 232-234.

12) Dyomin N. S., Roshkova S. V., Roshkova О. V. Likelihood ratio determination for stochastic processes recognition problem with respect to the set of continuous and discrete memory observations // "Informática" -2001 - V.12, N.2 - P. 263-284.

Of.

РНБ Русский фонд

2007-4 8142

Подписано к печати 13.12 05 Бумага офсетна; Печать RISO Формат60x84/16 Тираж 100 экз Заказ,' Центр ризографии и копирования Ч/П Тислен» Св-во №14.263 от 21 01 2002 г, пр Ленина, 41, о<

ЯНР ш

Л Введение

1 Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной памятью

1.1 Постановка задачи.

1.2 Основное уравнение нелинейной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью.

1.3 Уравнение для семиинвариантной функции.

1.4 Синтез экстраполятора в условиях апостериорной гауссовости

1.4.1 Некоторые предварительные результаты

1.4.2 Уравнение для семиинвариантной функции.

1.4.3 Синтез экстраполятора.

1.5 Обобщенная обратная экстраполяция с фиксированной памятью.

1.6 Исследование эффективности дискретного канала с памятью в задаче экстраполяции.

1.7 Выводы.

2 Фильтрация в динамических системах по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной памятью при наличии аномальных помех

2.1 Постановка задачи.

2.2 Случай непрерывных наблюдений.

2.2.1 Синтез фильтра-интерполятора.

2.2.2 Анализ чувствительности.

2.2.3 Оптимальность процедуры исключения аномальных наблюдений.

2.3 Случай непрерывно-дискретных наблюдений.

2.3.1 Синтез фильтрагинтерполятора.

2.3.2 Анализ чувствительности.

2.3.3 Оптимальность процедуры исключения аномальных наблюдений.

J 2.3.4 Точность оценивания.

2.3.5 Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче интерполяции. . . . 105 2.4 Случай резервирования дискретных каналов наблюдения с памятью при наличии аномальных помех.

2.4.1 Резервирование дискретных каналов наблюдения.

2.4.2 Фиксированный момент включения системы с резервированием.

2.4.3 Произвольный момент включения системы с резервированием.

2.4.4 Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче фильтрации.

I 2.5 Выводы.

3 Распознавание стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью

3.1 Постановка задачи.

3.2 Общие соотношения.

3.3 Случай эффективного вычисления At(0j : $а)

3.4 Оценивание.

3.5 Частные случаи

3.6 Обнаружение аномальных помех

3.6.1 Основные результаты.

3.6.2 Случай резервирования каналов наблюдения.

3.6.3 Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти.

3.7 Выводы

Актуальность проблемы.

Широкий класс встречающихся на практике задач управления [6, 7, 9, 16, 47, 49, 70, 83, 88, 92], навигации [7, 68, 77, 85, 96, 97, 102], передачи сообщений [14, 31, 62, 82, 83, 84, 85, 89, 90] и обработки наблюдений [8, 10, 35, 45] заключается в следующем: по реализации zo ~ 0 < с < случайного процесса zt необходимо для случайного процесса xt построить управляющее воздействие U[t; Zq], найти оценки /4*7, 4], либо решающее правило S[t; Zq] о состояниях xt. Задачи оценивания в зависимости от соотношения между моментом окончания наблюдения t и моментом времени сг, в который необходимо получить оценку /¿[сг, t; Zq] значений процесса xt, разделяются на три типа [63, 64, 65, 66, 67, 70, 83]: фильтрация (<т = t); интерполяция (сг < t)] экстраполяция (а > t). Поскольку предметом исследования данной работы являются задачи оценивания и распознавания, то остановимся подробнее на сути каждой задачи.

I. Задача оценивания. По реализации Zq = {za; 0 <cr<t\ случайного процесса za необходимо в момент времени сг найти оценку /л(сг, t) = //[сг,£;<4] случайного процесса как некоторый функционал от реализации z = Zq. При этом в зависимости от соотношения между моментом оценивания а и моментом окончания наблюдения t задачи оценивания подразделяют на три типа [67, 70]. Далее момент оценивания в задаче интерполяции обозначаем как т, а в задаче экстраполяции как s. i

Типы задач оценивания следующие:

1) фильтрация, когда а — t (Рис.0.1);

2) интерполяция (сглаживание), когда г < t (Рис.0.2);

3) экстраполяция (прогноз, предсказание), когда s > t (Рис.0.3).

Задачи интерполяции и экстраполяции в свою очередь также подразделяются на три типа.

Рис. 0.1 : Фильтрация J

Интерполяция. a) прямая интерполяция или интерполяция в фиксированной точке, когда т-фиксировано, ¿-переменная, и ищется зависимость оценки /i(r, t) от момента окончания наблюдений t при фиксированном моменте оценивания т. b) обратная интерполяция или интерполяция на фиксированном интервале, когда ¿-фиксировано, т-переменная, и ищется зависимость оценки /i(r,t) от момента оценивания т при фиксированном моменте окончания наблюдений t. c) скользящая интерполяция или интерполяция с фиксированным отставанием, когда ¿ и т-переменные, причем т = t — t*, t* = const.

Экстраполяция. a) прямая экстраполяция или экстраполяция на фиксированном интервале, когда ¿-фиксировано, s-переменная, и ищется зависимость оценки fi(s,t) от момента оценивания s при фиксированном моменте окончания наблюдений ¿. b) обратная экстраполяция или экстраполяция в фиксированной точке, когда «-фиксировано, ¿-переменная, и ищется зависимость оценки fj.(s,t) от момента окончания наблюдений ¿ при фиксированном моменте оценивания s. c) скользящая экстраполяция или экстраполяция с фиксированным упреждением, когда s и ¿-переменные, причем s = £ + Т, Т = const.

II. Задача распознавания. Имеется несколько типов процесса xt, т.е. Xt G Q,x = {xet}, в € Г&0, и по реализации Zq нужно вынести решение о том, какой тип процесса xt из множества Пх реализовался. Данная задача является задачей распознавания гипотез Hj{9 = Oj} , j — 0;г, когда в классе нерандомизированных байесовских решающих правил решение данной задачи сводится к проблеме нахождения апостериорных вероятностей гипотез и отношений правдоподобия [14, 85, 89, 83]. Важным частным случаем задачи распознавания является задача обнаружения сигнала, т.е. одна частная задача для случая распознавания двух гипотез [14, 85, 89].

Начало рассмотрению проблемы оценивания случайных процессов было положено классическими работами А.Н. Колмогорова [57] и Винера [143], N в которых были решены задачи минимизации среднеквадратической J ошибки оценок фильтрации, интерполяции и экстраполяции стационарных случайных процессов в классе линейных фильтров. Следующим фундаментальным вкладом в развитие теории оценивания случайных процессов являются работы P.E. Калмана (R.E. Kaiman) [122], P.E. Калмана и P.C. Бьюси (R.S. Busy) [123], в которых дается решение задач дискретной и непрерывной линейной фильтрации и предсказания в пространстве состояний. Некоторые задачи линейной фильтрации, интерполяции (сглаживания) и экстраполяции (прогноза) эффективно решены Дж.С. Медичем (J.S. Medich) [70, 133], Т. Кайлатом (T. Kailath) [118] и П. Фростом (P. Frost) [120]. Решение практических проблем потребовало рассмотрения задач нелинейного оценивания. Наиболее значительным вкладом в решение задач нелинейного оценивания являются # работы P.JI. Стратоновича [87, 88], Р.Ш. Липцера [63], Р.Ш. Липцера и

A.Н. Ширяева [64, 65, 66, 67], Дж.Р. Фишера (J.R. Fisher) и Е.Б. Стира (E.B. Stear) [114], Дж.М. Ли (G.M Lee) [130], Б.Д.О. Андерсона (B.D.O. Anderson) [98], Т.Накамизо (T.Nakamizo) [135], В.М. Вонэма (W.M. Won-ham) [16], Г.Каллианпура (G. Kallianpur) [48], Г.Д. Кушнера (H.J. Kushner) [126], B.C. Пугачева и И.Н. Синицына [74, 75, 76].

Одно из направлений дальнейшего развития теории оценивания случайных процессов связано с наличием памяти (memory) [117, 131], временных задержек (time-delays) [100, 142, 145], последействия (aftereffect) [54, 55, 56, 124], что связано с инерционностью систем и каналов наблюдения за состоянием систем, с конечным, а не мгновенным временем прохождения сигналов по каналам передачи. Решение ряда задач оценивания и управления для подобного класса систем было осуществлено

B.Б. Колмановским [53, 54, 55, 56, 124], Чаном (W.L. Chan)[103], Р.Х. Куонгом (R.H. Kwong)[127], M.K. Делфором (M.K. Delfour) [105], 3. Вонгом и Д.В.К. Хо (Z. Wang, D.W.C. Но) [142], М. Базиным и Р. Мартинес-Зунига

M. Basin, R. Martines-Zuniga) [100]. Поскольку в части перечисленных работ временные задержки присутствуют в математических моделях ненаблюдаемых процессов, в другой части-в моделях наблюдаемых процессов, а в некоторых-как в наблюдаемых так и ненаблюдаемых, то далее мы будем пользоваться термином "память", обозначая присутствие временных задержек только в моделях наблюдаемых процессов.

Во всех перечисленных выше работах стандартной является ситуация, когда оба процесса xt и zt одновременно являются процессами с непрерывным, либо дискретным временем. Однако на практике распространенной является ситуация, когда вместе с непрерывными наблюдениями могут присутствовать в отдельные моменты времени дискретные наблюдения rj(tm) (га = 0,1,2,.). Подобным классом систем являются, например, навигационные системы подвижных объектов, в которых непрерывные наблюдения zt формируются из показаний бортовых измерителей, работающих непрерывно во времени, а дискретные r}(tm)-из показаний внешних источников (PJIC, спутники, акустические маяки и пр.), срабатывающих в отдельные моменты времени [68, 77]. Одной из первых работ, исследующих подобную ситуацию, является работа П.И. Кицула [51], которая посвящена обобщению фильтра Калмана на случай непрерывно-дискретных наблюдений. За ней последовало решение ряда задач оценивания и распознавания П.И. Кицулом [52], JI.E. Широковым [94] и Н.С. Дёминым [22, 23, 24, 25, 26, 27, 28] для случая совокупности непрерывных и дискретных наблюдений.

Новый класс задач заключается в том, что наблюдаемые процессы zt и r)(tm) зависят не только от текущих, но и от произвольного числа N прошлых значений , Я/72, "^Tff процесса т.е. обладают памятью произвольной кратности N относительно ненаблюдаемого процесса. Для подобного класса процессов для случая памяти единичной кратности (N = 1) в работах Н.К. Кульмана, В.М. Хаметова [61] и Н.С. Дёмина [29] рассмотрена задача фильтрации, в [53]-задача экстраполяции, в [31]-задача передачи стохастических сигналов по непрерывно-дискретным v(l)

1 / j f Y ju(rx,t) / iii/ /

TN ••• tk ••• Tx tm t

Рис. 0.4: тк = const -фиксированная память, тк =t -t*k, t*k= const - скользящая память.

Рис. 0.5:

Sj = const - обобщенная обратная экстраполяция, S; = t + Tl, Г7 = const - обобщенная скользящая экстраполяция. каналам.

Для случая памяти произвольной кратности N в работах O.JI. Абакумовой, Н.С. Дёмина, Т.В. Сушко [1, 2, 3] рассмотрена совместная задача фильтрации и интерполяции, когда по совокупности реализаций zo ~ iz<r\0 < 0" < О и tjq1 — {r){to), rj(ti),., r)(tm)} одновременно находятся оценки фильтрации fi(t) и интерполяции //(г, t),k = 1; TV, для значений ненаблюдаемого процесса Xt соответственно в моменты времени .i, 7i, т"2, .,Тлг. При этом, если Tk — const, А; = 1; iV, то память фиксированная, а если т> = t — Ц = const, то память скользящая (Рис. 0.4). Соответственно в этом случае задачи экстраполяции могут быть сформулированны как обобщенные задачи экстраполяции, когда по совокупности реализаций {z^o1} одновременно находятся оценки //(s/, I = 1; L, для значений процесса xSl ненаблюдаемого процесса xt в произвольном числе si, «2,., Sjj будущих моментов времени. При этом если si = const, / = 1; L, то имеем обобщенную обратную экстраполяцию, а если si — t + Ti, Ti = const,I = 1; L, то обобщенную скользящую экстраполяцию (Рис.0.5). Обобщенная обратная экстраполяция рассмотрена в [43].

Другим актуальным классом задач являются задачи синтеза алгоритмов оценивания процессов в условиях наличия неопределенностей типа неизвестных параметров, либо аномальных помех, связанных с атмосферными, акустическими, искуственными помехами, а также с помехами, возникающими при отказах в измерительных устройствах [19, 20, 46, 50, 72, 82, 93]. Последний случай особенно важен, так как он связан с проблемой конструирования устройств оценивания, функционирующих в автоматическом режиме, которые могли бы выполнять свои функции в условиях нарушений нормального режима работы. В указанных работах в многомерном случае (в случае многоканального приема) рассматривались задачи, когда появление аномальных помех происходит сразу по всем каналам, хотя наиболее интересной и распространенной на практике ситуацией является появление аномальных помех в какой-то части каналов наблюдения.

В настоящее время для решения подобных задач сформировалось четыре основных метода: адаптивный [82, 129]; условно-оптимальный [74, 75, 76]; минимаксный [136,137]; метод, использующий первоначальное байесовское решение задачи фильтрации. Для случая непрерывно-дискретных наблюдений без памяти подобные задачи оценивания рассмотрены с использованием последнего метода в [32, 33], а задача обнаружения аномальных помех в [34].

Таким образом, подводя итог проведенному анализу, можем утверждать, что актуальной проблемой является: а) решение задач оценивания (фильтрации, интерполяции, экстраполяции) и распознавания процессов с непрерывным временем для случая, когда наблюдаемый процесс представляет собой совокупность непрерывных и дискретных во времени компонент, причем каналы наблюдения обладают памятью произвольной кратности; ) синтез алгоритмов оценивания процессов с непрерывным временем в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности, когда в наблюдениях присутствуют аномальные помехи, и обнаружения аномальных помех.

Цели диссертационной работы.

1) На основе теории условных марковских процессов рассмотреть обобщенную скользящую экстраполяцию с фиксированной памятью многомерного процесса с непрерывным временем х^ когда наблюдаемые многомерные процессы с непрерывным и дискретным временем обладают фиксированной памятью произвольной кратности N > 1, т.е. зависят не только от текущих х^ хьт, но и от произвольного числа N прошлых значений хТк, к = 1; АГ, ненаблюдаемого процесса

2) Рассмотреть задачу синтеза и анализа свойств фильтра-интерполятора для процессов с непрерывным временем по совокупности реализаций процессов с непрерывным и дискретным временем, обладающих фиксированной памятью произвольной кратности N, когда в наблюдениях присутствуют аномальные помехи.

3) Исследовать влияние кратности резервирования дискретных каналов наблюдения на точность оценивания.

4) Рассмотреть в классе нерандомизированных байесовских решающих правил задачу оптимального распознавания стохастических процессов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности.

5) Рассмотреть задачу обнаружения аномальных помех в дискретных наблюдениях с памятью и исследовать качество обнаружения в зависимости от структуры воздействия компонент аномальной помехи на компоненты вектора наблюдения и от кратности резервирования каналов наблюдения.

Методика исследования.

Методы исследования включают в себя методы линейной алгебры, теории матриц, теории случайных процессов, теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, общей теории статистических решений, математической статистики и статистики случайных процессов, математического анализа. Точные результаты формулируются в форме лемм, утверждений, теорем и следствий.

Оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой фильтрации является апостериорное среднее [67], т.е. //(£) = ту™}, где усреднение осуществляется по апостериорной плотности р^х) = х\4, С}/дх. Таким образом, в общем случае нахождение /¿(¿) связано с нахождением рг{х). Опыт решения задач статистики случайных процессов, где в постановке присутствуют несколько моментов времени [1]-[3], [61] говорит, что наиболее конструктивным является подход, основанный на совместной апостериорной плотности значений ненаблюдаемого процесса в моменты времени, присутствующие в постановке задачи. Такими моментами в задаче обобщенной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью кратности N являются: момент ¿-момент окончания наблюдения; моменты т^ = сопй£-моменты времени, связанные с наличием памяти, к = моменты £ + 7], 7} = сопй^моменты экстраполяции, I = 1; Ь. Таким образом, искомые оценки х(£ + 7], £) скользящей экстраполяции будут первыми моментами по соответствующим переменным апостериорной плотности , - У{хг <х;х?< хн] х{+т < тД где = {хТ1, х%+т = {хг+Тг, я*+т2, Существует несколько методов получения уравнений для моментов на основе уравнения для апостериорной плотности [21, 84, 89, 101, 102, 135] (находить + как первый момент апостериорной плотности или как первый семиинвариант семиинвариантной функции апостериорной плотности.) В данной работе, следуя [2, 66, 135], воспользуемся методом семиинвариантной функции, поскольку он обладает рядом преимуществ [21, 135], когда уравнения для моментов находятся как уравнения для семиинвариантов.

Научная новизна.

1) Впервые решена задача обобщенной скользящей экстраполяции стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности. Получено основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции. В условиях апостериорной гауссовости осуществлен синтез скользящего непрерывно-дискретного фильтра-интерполятора-экстраполятора с фиксированной памятью.

2) Впервые осуществлен совместный синтез оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора в случае непрерывно-дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности при наличии аномальных помех. Исследованы свойства полученного решения, касающиеся зависимости точности оценивания от структуры воздействия компонент вектора аномальных помех на компоненты вектора наблюдения и кратности резервирования дискретных каналов наблюдения.

3) Впервые решена задача распознавания состояний случайных процессов по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной памятью произвольной кратности и задача обнаружения аномальных помех в дискретных каналах наблюдения, а также исследовано качество обнаружения в зависимости от структуры воздействия компонент аномальной помехи на компоненты вектора наблюдения и от кратности резервирования каналов наблюдения.

Теоретическая ценность работы.

Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области решения задач оценивания и распознавания случайных процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью.

Практическая ценность работы.

Полученные в диссертации теоретические результаты могут быть использованы при разработке систем обработки измерений, систем управления, навигационных систем и систем управления подвижных объектов, функционирование которых происходит в условиях, имеющих следующие особенности:

1) непрерывно-дискретный во времени характер доступной измерению (наблюдению) информации, например, когда непрерывно во времени поступают сигналы бортовых измерителей, а в отдельные моменты времени- сигналы от внешних источников;

2) наблюдения обладают памятью относительно ненаблюдаемого процесса, т.е. зависят как от текущих, так и от прошлых значений ненаблюдаемого процесса, что связано с конечным временем срабатывания измерителей, либо с конечным временем прохождения сигналов по каналам передачи информации;

3) в системе присутствуют неопределенности типа аномальных помех.

Апробация работы.

Основные результаты докладывались на следующих конференциях, симпозиумах:

1) Международная конференция "Всесибирские чтения по математике" (Томск, 1997).

2) Russian-Korean International Symposium of Science and Technology "Korus" (Новосибирск 1999, Томск 2001).

3) IV Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике "INPRIM" (Новосибирск 2000).

Публикации.

По теме диссертации опубликовано 17 работ, приведенных в списке литературы [36]-[42], [78, 79, 80], [107]-[113].

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, четырех приложений и списка литературы общим объемом 207 страниц. Используется тройная нумерация формул: первая цифра-номер главы, вторая цифра-номер пункта, третья цифра-номер формулы. Нумерация утверждений (теорем, лемм, следствий, замечаний) двойная: первая цифра-номер главы, вторая цифра-номер соответствующего утверждения. Нумерация рисунков -двойная: первая цифра-номер главы, вторая цифра-номер рисунка.

3.7 Выводы

В третьей главе рассматривается проблема нахождения отношения правдоподобия в задаче распознавания процессов с непрерывным временем по совокупности наблюдений процессов с непрерывным и дискретным временем, обладающими фиксированной памятью произвольной кратности N.

1) Полученно решение проблемы нахождения отношения правдоподобия (Теоремы 3.1, 3.2 ; Следствие 3.2).

2) Рассмотрены частные случаи (Теоремы 3.3, 3.4 ; Следствие 3.4), позволяющие находить дивергенции по Кульбаку (Утверждение 3.3).

3) Решена задача обнаружения аномальных помех с заданной структурой воздействия её компонент на компоненты вектора дискретных наблюдений с памятью кратности N (Утверждения 3.4, 3.6).

4) На основе неравенств Кульбака исследованы потенциальные свойства алгоритма обнаружения относительно нижних границ вероятностей ложного обнаружения и пропуска аномальной помехи (Теоремы 3.5, 3.6).

5) Исследована эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче обнаружения аномальной помехи.

Заключение

Основные научные положения, выносимые на защиту, сводятся к следующему. Для случая совокупности непрерывных и дискретных во времени наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности N :

1) Получено основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНОСЭФП), определяющее совместную апостериорную плотность Pt+TL(x'ixN',xL) значений ненаблюдаемого процесса ха в момент окончания наблюдений t, в моменты времени к = 1; 7V, характеризующие память, и в будующие моменты времени t + 7], такие что Т\ < Тч < Т3 < . < TL, 7] = const, I = 1; L. Сформулированы частные результаты, следующие из ОУНОСЭФП как следствия.

2) В условиях апостериорной гауссовости на основе ОУНОСЭФП с использованием метода семиинвариантной функции осуществлен синтез фильтра-интерполятора-экстраполятора, определяющего оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки фильтрации ц(Ь), интерполяции к = IJN, экстраполяции /i(t + для будущих значений

Xt+Tij ^ = 1; L. Сформулированы частные результаты, следующие из общего результата.

3) Осуществлен совместный синтез оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности, когда в наблюдениях присутствуют аномальные помехи, и исследованы его свойства.

4) Получено решение проблемы нахождения апостериорных вероятностей гипотез и отношений правдоподобия в общей задаче распознавания произвольного числа гипотез по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений для случая фиксированной памяти произвольной кратности.

5) Решена задача обнаружения аномальных помех с заданной структурой воздействия её компонент на компоненты вектора наблюдения и исследованы потенциальные свойства алгоритма относительно нижних границ вероятностей ложного обнаружения и пропуска аномальной помехи.

6) С использованием общих результатов решены задачи исследования эффективности наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задачах фильтрации, интерполяции, экстраполяции, обнаружения аномальных помех.

1. А б а к у м о в а О. Л., Д ё м и н Н. С., С у ш к о Т. В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. II. Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика. 1995. - № 10. - С.36-49.

2. А б а к у м о в а О. Л., Д ё м и н Н. С., С у ш к о Т. В. Фильтрация стохастических сигналов с непрерывным временем по дискретным наблюдениям с памятью // Проблемы передачи информации. 1995. - Т.31, № 1. - С.68-83.

3. А б г а р я н К. А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973. - 432с.

4. А л б е р т А. Регрессия, псевдоинверсия и рекурретное оценивание. -М.: Наука, 1977. 224с.

5. А о к и М . Оптимизация стохастических систем. М.: Наука, 1971. -424с.

6. Богуславский А. И. Методы навигации и управления по неполной статистической информации. М.: Машиностроение, 1972. - 256с.

7. Большаков И.А. Статистические проблемы выделения потока сигналов из шума. М.: Советское радио, 1969. - 464с.

8. Браславский Д.А., Петров В.В. Точность измерительных устройств. М.: Машиностроение, 1976. - 312с.

9. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1998. -608с.

10. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Советское радио, Т.1, 1972. - 744с.

11. Венгеров A.A., Щаренский В.А. Прикладные вопросы оптимальной линейной фильтрации. М. : Энергоиздат, 1982. - 192с.

12. В о н э м В .М . Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления // Математика. 1973. Т. 17, № 4. - С. 129-167; 1973. - Т. 17, № 5. - С. 82-114.

13. ГантмахерФ. Р. Теория матриц. М: Наука, 1988. - 548с.181Гихман И .И., Скороход А.В. Введение в теорию случайных процессов. М. Наука, 1977. - 568с.

14. Гришин Ю .П . Обнаружение нарушений в динамических системах // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. - № 5. - С. 42-53.

15. Дёмин Н .С .Интерполяция состояния стохастической системы со случайными параметрами при непрерывно-дискретных наблюдениях // Автоматика и телемеханика. 1977. - Я8 7. - С. 28-38.

16. Дёмин Н .С . Оптимальная классификация непрерывных компонент марковских процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений // Автоматика и телемеханика. 1978. - К® 1. - С. 44-52.

17. Дёмин Н .С . Адаптивное оценивание вектора состояния линейной стохастической динамической системы по совокупности непрерывных и дискретных измерений // Автометрия. 1978. - Я9 2. - С. 40-46.

18. Дёмин Н .С . Оптимальное распознавание случайных марковских сигналов с непрерывными и скачкообразными компонентами при непрерывно-дискретных наблюдениях // Радиотехника и электроника. 1978. - № 7. - С. 1543-1545.

19. Дёмин Н .С . Оценивание и классификация случайных процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений // Известия АН СССР-Техническая кибернетика. 1979. - № 1. - С. 153-160.

20. Дёмин Н .С . Фильтрация и интерполяция скачкообразного марковского процесса по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений // Радиотехника и электроника. 1979. - № 5. - С. 10791082.

21. Дёмин Н .С . Непрерывно-дискретная скользящая экстраполяция марковских процессов // Автоматика и телемеханика. 1981. - № 7. -С. 74-83.

22. Д ё м и н Н .С . Фильтрация случайных процессов при непрерывно-дискретных каналах наблюдения с памятью // Автоматика и телемеханика. 1987. - № 3. - С.59-69.

23. Дёмин Н .С . Экстраполяция случайных процессов при непрерывно-дискретных каналах наблюдения с памятью // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 4. - С. 64-72.

24. Дёмин Н.С., Короткевич В.И. Об уравнениях для шенноновского количества информации при передаче марковских диффузионных сигналов по каналам с памятью / / Проблемы передачи информации. 1987. - Т.23, № 1. - С. 16-27.

25. Дёмин Н.С., Михайлюк В.В. Фильтрация в стохастических динамических системах при аномальных помехах в канале наблюдения. I. Системы с непрерывным временем // Известия РАН Техническая кибернетика. - 1994. - № 4. - С. 62-65.

26. Дёмин Н.С., Михайлюк В.В. Фильтрация в стохастических динамических системах при аномальных помехах в канале наблюдения. II. Системы с непрерывно-дискретным каналом наблюдения // Известия РАН Техническая кибернетика. - 1994. -№ 6. - С. 46-57.

27. Дёмин Н.С.,Михайлюк В.В. Обнаружение аномальных помех в случае непрерывно-дискретных каналов наблюдения // Автометрия. 1994. - № 1. - С. 109-119.

28. Дёмин H .С Р о ж к о в а С.В. Непрерывно-дискретная фильтрация стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. // Автоматика и вычислительная техника. 1999. - № 1, С. 13-25.

29. Дёмин H .С ., Р о ж к о в а С.В.,Рожкова О.В. Распознавание стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью / / Математическое моделирование и теория вероятностей. Томск: Пеленг, 1998. -С. 157-162.

30. Дёмин Н.С., Рожкова C.B., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью // Автоматика и вычислительная техника. 1999. - JV® 4, С. 23-34.

31. Дёмин Н.С.,Рожкова О.В. Распознавание в стохастических системах в случае наблюдений с фиксированной памятью / / Вестник Томского гос. ун-та. 2000. - ДО 271. - С. 164-168.

32. Дёмин Н.С., Рожкова C.B., Рожкова О.В. Непрерывно-дискретная фильтрация стохастических процессов в случае резервирования каналов наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. // Автоматика и вычислительная техника. № 5.- 2001. С. 56-67.

33. Дёмин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обнаружение аномальных помех в случае непрерывно-дискретных каналов наблюдения с памятью.// Автоматика и вычислительная техника. 2003. - X® 5. - С. 70-82.

34. Дёмин H .С., Рожкова C.B., Рожкова О.В. Фильтрация в динамических системах по непрерывно- дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. I. Непрерывные наблюдения // Вестник Томского гос. ун-та. 2003. - ДО 280. - С. 175-179.

35. Дёмин H .С., Рожкова C.B., Рожкова О.В. Фильтрация в динамических системах по непрерывно- дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. И. Непрерывно- дискретные наблюдения // Вестник Томского гос. ун-та. 2003. - ДО 280. - С. 180184.

36. Дёмин Н. С., С у ш к о Т. В., Я к о в л е в а А. В. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Изв.РАН -Теория и системы управления. 1997. - ДО 4. - С. 48-59.

37. Д э в и с M .X .А . Линейное оценивание и стохастическое управление.- М.: Наука, 1984. 205с.

38. Жандаров А.М. Идентификация и фильтрация измерений состояния стохастических систем. М.: Наука, 1979. - 112с.

39. Зелененький П.П. Применение методов теории статистических решений при исключении аномальных измерений // Изв. АН СССР -Техническая кибернетика. 1969. - № 2. - С. 139-142.

40. Казаков И.В. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975. -384с.

41. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. М.: Наука, 1987. - 320с.

42. Квакернаак Х.,Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977. - 650с.

43. Кириченко А. А. и др. Оценивание вектора состояния динамической системы при наличии аномальных измерений // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. Xй 12. - С. 3-23.

44. К и ц у л П. И. Нелинейная фильтрация по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений. Адаптация, самоорганизация. М.: Наука. - 1970. - С. 52-57.

45. Кицул П.И. О непрерывно-дискретной фильтрации марковских процессов диффузионного типа // Автоматика и телемеханика. 1970. - № И. - С. 29-37.

46. Колмановский В.Б. Об оптимизации процесса наблюдения при запаздывании информации // ПММ. 1971. - Т. 35, № 2. - С. 312-320.

47. Колмановский В.Б.О фильтрации некоторых стохастических процессов с последействием // Автоматикаи телемнханика. 1974. -№ 1. - С. 42-49.

48. Колмановский В.Б., Майзенберг Т.Л. Оптимальное управление стохастическими сигналами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1973. - Я9 1. - С. 47-61.

49. Колмановский В Оптимальные оценки состояния системами с последействием // П

50. Колмогоров А.Н.Ин стационарных случайных послед Сер. матем. 1941. - Т.5, № 3.

51. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967. - 408с.и

52. Кульман Н.К., Хамето марковских процессов на фоне пф кибернетика. 1978. - № 1. - С.

53. Кульман Н.К., X фильтрация в случае косвенного с запаздывающим аргументом / 1978. Т. 14, №3. - С. 55-64.

54. Левин Б .Р . Теоретические М.: Советское радио, 1968, Т.2.

55. Липцер Р.Ш.Об экстр марковских процессов // Киберн С. 70-76.

56. Л и п ц е р Р .Ш ., Ш и р я

57. Липцер Р.Ш.,Ширяев А.Н. Экстраполяция многомерных марковских процессов по неполным данным / / Теория вероятностей и её применение. 1968. - Т. 13, № 1. - С. 17-38.

58. Липцер Р. Ш., Ширяев А.Н .Нелинейная интерполяция компонент диффузионных марковских процессов (прямые уравнения, эффективные формулы) // Теория вероятностей и её применение. -1968. Т. 13, № 4. - С. 602-620.

59. Липцер Р.Ш.,Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.- М. Наука, 1974. 696с.

60. Малаховский Р. А., Соловьев Ю. А. Оптимальная обработка информации в комплексных навигационных системах самолетов и вертолетов // Зарубежная радиоэлектроника. 1974. - № 3. - С. 18-53.

61. Маркус М .', М и н к X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972 - 232с.

62. М е д и ч Д ж . Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973. - 440с.

63. Мельников А.В. О стахостическом анализе в современной математике страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. - Т. 2, Я® 4. - С. 514-526.

64. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / под ред. Бассвиль М Банвениста А. М. М : Мир. 1989.- 278с.

65. Овсеевич А .И., Шматков А.М.К вопросу о сопоставлелении вероятностного и гарантированного подходов к прогнозу фазового состояния динамических систем // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 1997. - К® 4. - С. 11-16.

66. Пугачев В.С. Оценивание состояния и параметров непрерывных нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1979.- № 6. - С. 63-79.

67. Пугачев В.С. Условно-оптимальная фильтрация и экстраполяция непрерывных процессов // Автоматика и телемеханика. 1984. - № 2.- С. 82-89.

68. Пугачев В.С., Синиц ын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990. - 630с.

69. РивкинС. С. Метод оптимальной фильтрации Калмана и его применения в инерциальных навигационных системах. Л.: Судостроение, 1974. - 155с.

70. Рожкова О. В. Фильтрация в стохастических системах с непрерывным временем по наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. Синтез / / Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: ТГУ, 1999. С. 127-133.

71. Рожкова О. В. Фильтрация в стохастических системах с непрерывным временем по наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. Анализ // Математическое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: ТГУ, 1999. С. 134-139.

72. РойтенбергЯ. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.- 551с.

73. Саридис Д. Самоорганизующиеся стохастические системы управления. М.: Наука, 1980. - 400с.

74. СейджЭ., МелсД. Теория оценивания и ее применения в связи и управлении. М.: Связь, 1976. - 496с.

75. Снайдер Д. Метод уравнений состояния для непрерывной оценки в применении к теории связи. М.: Энергия, 1973. - 104с.

76. СосулинЮ. Г. Теоретические основы радиолокации и навигации.- М.: Радио и связь, 1992. 303с.

77. СотсковБ. М., Щербаков В. Ю. Теория и техника Калмановской фильтрации при наличии мешающих параметров // Зарубежная радиоэлектоника. 1985. К® 2. - С. 3-29.

78. СтратоновичР.Л. Условные процессы Маркова // Теория вероятностей и её применения. 1960. - Т.5. - № 2. С. 172-195.

79. СтратоновичР .Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. - 319с.

80. Тихонов В .И ., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный приём сигналов. М.: Советское радио, 1975. - 704с.

81. Тихонов В.И., Харисов В.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991. - 432с.

82. Фукунага К . Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979. - 368с.

83. Черноусько Ф.А., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978. - 351с.

84. Шапиро Е.И. Рекуррентный алгоритм нелинейной фильтрации с учетом аномальных ошибок // Радио техника и электроника. 1980.- Я® 2. С. 290-295.

85. Широков JI.E. Оценка состояния нелинейной динамической системы при непрерывно-дискретном канале наблюдения // Изв. АН СССР Техническая кибернетика. - 1975. - № 1. - С. 180-187.

86. Ширяев А.Н.О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и её применения. -1994. Т.39. - № 1. - С. 5-22.

87. ЯрлыковМ.С. Применение марковской теории нелинейной фильтрации в радиотехнике. М. Советское радио, 1980. - 344с.

88. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. М.: Радио и связь, 1985. - 344с.

89. Anderson B.D.O. Fixed interval smoothing for nonlinear continius time systems // Infomation and Control. 1972. - 32, N.3. - P. 294-300.

90. AthansM.,TseE.A direct derivation of the optimal linear filter using the maximum principle // IEEE Trans. Autom. Control. 1967. -AC-12, N.6. - P. 690-698.

91. Basin M., Martines-Zuniga R. Optimal filtering for linear systems with multiple delays in observations // 13-th IF AC Symposium on System Identification. Preprints. Rotterdam, The Nethelands, 2003.- P. 1042-1047.

92. В u с у R. S. Nonlinear filtering theory // IEEE Trans. Autom. Control.- 1968. AC-10, N.2. - P. 198-200.

93. В u с у R. S., J о s e p h P. D. Filtering for stohastic processes with application to guidance. New York: Interscience Publishers, 1968.

94. Chan W .L .Variational dualities in the linear regulator and estimation problems with and without time delay // J.Inst. Math. Appl. 1976. -N.18. - P. 237-247.

95. Davis M .H .A . Linear estimation and stochastic control. Chapman and hall. London. 1977.

96. Delfour M.C. The linear quadratic control problem with delays in state and control variables: a state space approach // SIAM J. Control and Optim. 1986. - N.24. - P. 835-883.

97. D y o m i n N .S . On one problem of stochastic processes statistics // Proc. of 4-th International Vilnius Conference on Probability Theory and Mathematical Statistics. Vilnius: IMK SA Lit. SSR, 1, 1985. P. 218-200.

98. Dyomin N.S., Roshkova S.V,Roshkova O.V. Likelihood ratio determination for stochastic processes recognition problem with respect to the set of continuous and discrete memory observations // Informática. 2001. - V.12, N.2. - P. 263 - 284.

99. Fisher J. R., S t e a r E. B. Optimal nonlinear filtering for independent increment prosses // IEEE. 1967. - IT-13, N.4.- P. 558-578.

100. F u k u n a g a K. Introduction to statistical pattern recognition. New York: Academic Press, 1972.

101. G r e n e C. S. Analysis of the multiple model adaptive control algorithm.- Ph. D. Dissertation. M.I.T. Cambridge. Mass. August. 1978.

102. Jazwinski A.H. Limited memory optimal filtering // IEEE Trans, on Autom. Control. 1968. - AC-13, N.5. - P. 558-563.

103. K a i 1 a t h T . An innovation approach to least squares estimation-part I. Linear filtering in additive white noise // IEEE. 1968. - AC-13, N.6.- P. 646-655.

104. K a i 1 a t h T . A general likelihood ratio formula for random signals in gaussian noise // IEEE Trans. Inform. Theory. 1969. - IT-13, N.3. -P. 350-361.

105. K a i ! a t h T., Frost P. An innovations approch to least squares estimations -part II: Linear smoothing in additive white noise IEEE. -1968. AC-13, N.6. - P. 655-660.

106. K a 11 i a n p u r G. Stochastic filtering theory. New York: SpringerVerlag, 1980.

107. Kaiman E. E. A new approach to linear filtering and predition problems // Trans. ASME. J.Basic Eng. Ser.D. -1960. 82(March). - P. 35-45.

108. K a I m a ii R. E., B u c y R. S. New results in linear filtering and prediction theory // J.Basic Eng. 1961. 83(March). - P. 95-108.

109. KolmanovskiiV.B^Shaikhet L.E. Control of systems with after-effect. Providence: American Math.Soc. - 1996.

110. Kullback S. Information theory and statistics. New-York: John Wiley, 1960.

111. Kushcer H.J. On the differential equations satisfide by conditional probalibility densities of Markov processes with aplications // SI AM J. Control. 1964. - N.2. - P. 106-119.

112. Kwong R.H.A stability theory for the linear-quadratic-Gaussian problem for systems with delay in the state, control and observations // SIAM J. Control and Optimiz. 1980. - V.18, N.L - P. 49-75.

113. Lainiotis D.G. Optimal adaptive estimation: Structure and parameter adaptation // IEEE Trans on Aut. Control. 1971. - AC-16(2). - P. 160-170.

114. Lainiotis D.G. Optimal adaptive estimation and system identification // Information and Control. 1971. 19, N.L - P. 75-92.

115. Lee G .M . Nonlinear interpolation // IEEE. 1971. - IT-17, N.l. -P. 45-49.

116. Makila P.M., Partington J.R.On linear models for nonlinear systems // Automatica. 2003. - V.39, N.l. - P. 1-13.

117. Mc Lenndon J.R.,Sage A.P Computational algorithms for discrete detection and likelihood ratio computation // Information Sciencess.- 1970. 2, N.3. - P. 589-598.

118. M e d i c h J .S . On optimal linear smoothing theory // Information and Control. 1967. - 10, N.6. - P.598-615.

119. Middleton D. Introduction to Statistical Communication Theory.- New York: Mc Graw-Hill, 1960.

120. N a k a m i z o T . On the state estimation for non-linear dynamic systems // Intern. J. Control. 1970. - 11, N.4. - P. 683-695.

121. Pankov A.R. Conditionally-minimax nonlinear filter for differential system with discrete observations // Advances in Model. Analysis. AMSE Press. 1993. - V.28, N.l. - P. 31-39.

122. Pankov A.R,Borisov A.V.A solution of the filtering and smoothibg problem for uncertain-stocastic dynamic systems // Intern. J. Control. 1994. - V.60, N.3. - P. 413-423.

123. Pankov A.R.,Bosov A.V. Conditionally-minimax algorithm of nonlinear system state estimation // IEEE Trans. Autom. Control. -1994. V. AC-39, N.8. - P. 1617-1620.

124. Sage A.P.,Melse J.L. Estimation theory with application to communication and control. New York: Mc Graw-Hill, 1972.

125. Schweppe F.C. Evaluation of likelihood functions for gaussian signals // IEEE Trans. Inform. Theory. 1965.- IT-ll(l). P. 61-70.

126. Van Trees H. Detection, estimation and modulation theory. New York: Wiley, 1971.

127. W a n g Z ., H o D .W .C . Filtering on nonlinear time-delay stohastic systems // Automatica. 2003. - V.39, N.l. - P. 101-109.

128. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series. New York: The technology press and John Wiley and Sons, 1949.

129. Willsky A .S ., Jones H.L.A generalized likelihood ratio approach to the detection and estimation of jumps in linear systems // IEEE Trans on Aut. Control. 1976. - AC-21(1). - P. 108-112.

130. Yo T.K., Seinfeld J.H., Ray W.H. Filtering in nonlinear time delay sistems // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. - V.19, N.4. - P. 324-333.