автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оценивание стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью

ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 519.2

Суш ко Татьяна Валерьевна

ОЦЕНИВАНИЕ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ПО СОВОКУПНОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ

05.13.16 — применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск - 1997

Работа выполнена на кафедре прикладной математики Томског государственного университета.

Научный руководитель:

доктор физико-математических паук, профессор Демин Н.С.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Терпугов А.Ф., кандидат физико-математических наук, доцент Поддубный В.В.

Ведущая организация:

Белорусский государственный университет

Защита состоится " ^'' (¿¿¿¿¿З/гЛ-_ 1997г. в ^^ "_ часа

на заседании Диссертационного Совета Д 063.53.03 по защите диссертацш на соискание ученой степени доктора наук при Томском государственно:» университете по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томской государственного университета.

Автореферат разослан

" М я МЖсйЯ/ьД- 1997р.

Ученый секретарь Диссертационного Совета кандидат физико-математических наук доцент

Б.Е.Тривоженкс

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. В широком классе инженерных задач управления, навигации, передачи сообщений может быть использована следующая формальная схема, когда по реализации zj = {г„\ 0 < <т < /} случайного процесса za необходимо в момент времени сг = т найти оценку //(г, t) случайного процесса ха. При этом в зависимости от соотношения между моментом оценивания г и моментом окончания наблюдений t задачи оценивания подразделяют на три типа: 1) фильтрация (г = t); 2) интерполяция (г < /); 3) экстраполяция (г > t).

Стандартной является ситуация, когда оба процесса х„ и za одновременно являются процессами с непрерывным или дискретным временем (Липцер Р.Ш., Медич Дж., Стратонович P.JL, Ширяев А.Н., Anderson В.D.O., Kaiman R.E., Lee G.M., Nakamizo Т. и др.). На практике распространенной является ситуация, когда вместе с непрерывными наблюдениями Zt могут присутствовать в отдельные моменты времени дискретные наблюдения r](tm), и необходимо найти оценку fi(r,t) процесса xt по совокупности непрерывных Zq и дискретных т= {T](to), ri{ti), ■ • •, J](tm); to < ti < ... < tm < t} наблюдений. Например, в современных навигационных системах подвижных объектов непрерывные наблюдения формируются из показаний бортовых измерителей, а дискретные — из показаний внешних источников. Другой распространенной на практике является ситуация, когда наблюдаемые процессы zt, r](tm) зависят не только от текущих xt, xtm, но и от произвольного числа N прошлых значений хТк, к = 1; jV, ненаблюдаемого процесса (инерционность измерителей, многолучевое распространение сигнала с различным временем прохождения и пр.), т.е. имеем случай каналов наблюдения с памятью произвольной кратности N. Наблюдаемые процессы zt и ri(tm) относятся к процессам с фиксированной памятью относительно xt, если 7> = const, и к процессам со скользящей памятью, если = t — t*k для zt и т> = tm — t*k для 7](tm), где t*k = const, к = I; N.

Первой работой по непрерывно-дискретному оцениванию процессов с непрерывным временем, по-видимому, является работа П.И.Кицула (1970г.), которая посвящена обобщению фильтра Калмана на случай непрерывно-дискретных наблюдений. За ней последовало решение ряда задач П.И.Кицулом, Л.Е.Широковым и Н.С.Деминым для случая сово-

купности непрерывных и дискретных наблюдений. Решению задач оц нивания по наблюдениям с памятью посвящены: работа Н.К.Кульма! и В.М.Хаметова, в которой в скалярном случае решается задача скол: зящей фильтрации по непрерывным наблюдениям с памятью едишг ной кратности, и работы Н.С.Демина, в которых рассматриваются зад; чи фильтрации, экстраполяции и передачи информации (в соавторстве В.И.Короткевич) для векторных процессов по непрерывно-дискретным н; блюдениям со скользящей памятью единичной кратности.

Таким образом, актуальной проблемой является решение всего класс задач оценивания (фильтрации, интерполяции и экстраполяции) проце' сов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретны наблюдений с памятью произвольной кратности N.

Цель диссертационной работы — на основе теории условных марко] ских процессов в рамках единого подхода Калмана-Стратоновича рассмс треть задачи фильтрации, интерполяции и экстраполяции многомерног процесса с непрерывным временем по совокупности реализаций и т)[ многомерных процессов с непрерывным и дискретным временен

когда наблюдаемые процессы зависят не только от текущих , , но и о произвольного числа N прошлых значений хТк, к — ненаблюдаемог процесса ха, причем рассмотреть случаи наблюдений как с фиксированно! так и со скользящей памятью произвольной кратности N.

Методы исследования. При проведении диссертационного исследовани использовались методы теории вероятностей, теории случайных процессог теории дифференциальных уравнений и математического анализа.

Научная новизна работы заключается в том, что классические задач кибернетики, связанные с оцениванием стохастических процессов обобще ны на случай, когда имеющаяся в наличии информация представляет собо совокупность непрерывных и дискретных во времени наблюдений, которы зависят не только от текущих, но и от произвольного числа прошлых зна чений оцениваемого процесса (наблюдения с памятью).

Теоретическая ценность работы состоит в том, что полученные резуль таты могут служить основой для решения задач обобщенной экстраполя ции и распознавания по совокупности непрерывных и дискретных наблю дений с памятью, а также задач оптимальной передачи стохастически: сигналов по непрерывно-дискретным каналам с памятью.

Практическая ценность работы состоит в том, что полученные результаты могут быть использованы на этапе аналитического конструирования систем управления, навигации, предсказания траекторий и передачи данных в случае наличия инерционных измерителей либо задержек в каналах передачи.

Реализация результатов работы. Полученные результаты использовались в научно-исследовательских работах "Навигатор" в рамках программы "Конверсия и высокий технологии" (1994-1996гг.) и "Информатизация" (гос. регистрация №01.9.50001753; 1991-1995гг.)

Апробация работы. Основные положения диссертации и ее отдельные результаты докладывались и обсуждались на VIII международном симпозиуме по непараметрическим методам в кибернетике (Красноярск, 1995г.), международной научно-технической конференции "Sibconvers-95" (Томск, 1995г.), международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-96" (Москва, 1996г.), II Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "INPRIM-96" (Новосибирск, 1996г.), III международной научно-технической конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения "APEIE-96"" (Новосибирск, 1996г.), международной конференции "Всеснбирские чтения по математике и механике" (Томск, 1997г.), международной научно-технической конференции "Научные основы высоких технологий "НОВТ-97"" (Новосибирск, 1997г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 11 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения, списка литературы и двух приложений. Общий объем работы — 215 страниц, включая 18 рисунков. Библиография насчитывает 84 наименования.

Работа выполнялась при поддержке Фонда Сороса (гранты №№ а96 -816, а97 - 2586.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается краткий обзор работ других авторов по данной тематике, формулируется цель работы, обосновывается выбор методики исследования и приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается задача фильтрации стохастических процессов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности.

В п. 1.1 приводятся модели процессов Xt, zt и r?(<m) и формулируете} постановка задачи главы 1. Пусть n-мерный ненаблюдаемый процесс xt i /-мерный наблюдаемый процесс z< с непрерывным временем определяются стохастическими дифференциальными уравнениями (в смысле Ито)

dxt - f(t,xt,zt)dt+ $i{t,xt,zt)dwu t > i0 > О, (Г

dzt = h(t,xt,xTl,xT2,...,xTN,zt)dt + $>2(t,zt)dvt, (2]

to < TN < ТдГ — i < ... < Ti < t,

где Wt и vt — соответственно ri и гг-мерные стандартные винеров-ские процессы. Кроме процесса zt в дискретные моменты времени t„ (т = 0,1,2,...) наблюдается g-мерный процесс i](tm), который имеет вщ (П < tm)

т mi xt,n, xTI , XT2 > • • • > xTN , ztm) + Фз (tm, m ). (з;

где E,(tm) — гз-мерная гауссовская последовательность с M{£(im)} = 0 и M{£(<m)£T(<yfc)} = 1Гз6тк (М{-} — математическое ожидание, 1Г —единичная матрица размерности (г х г), 6mk — символ Кронекера Т — транспонирование). Предполагается: 1) коэффициенты уравнений (1), (2) удовлетворяют ограничениям, обеспечивающим существование i: единственность решений стохастических дифференциальных уравнений; 2) компоненты f(t,x,z) дифференцируемы, а компоненты Ф].(<, х, г) дважды дифференцируемы по ж; 3) Q(-) = Ф1()Ф^(-), R(-) = Ф2(-)фг('): = Фз(-)Фд (•) не вырождены; 4) задана начальная плотность ро(х) = 0P{xto < х}/дх (Р{-} — вероятность события {•}); 5) xto, wt, vt, £(<m) независимы в совокупности; 6) h(-) = h(t, xt, хГк+1,..., xTNt zt), </(•) = 9(im,xtm,xTk+l,.. .,xTN,ztm), если тк+1 < tm, t < тк для всех к = I; N, причем гдг+i = 0.

Задача: по совокупности непрерывных z*0 — {za; to < с < i] н дискретных i/Q* = {T](t0), T](ti),..., rj(tm); tQ < tx < ... < tm < t) наблюдений найти оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки (ОСКСО) фильтрации ц(1) для xt и интерполяции для хТк, к = 1 ;N.

В п.1.2 работы показывается, что нахождение ОСКСО и //(-г*;, <), к = 1; N, может быть осуществлено на основе совместной апостериорной плотности

Рг{х-хм) = д"+1Р{Х1 <х\х?< хм\г1г№)1дхдхы, (4)

= [< х1 ... х^]Т , {хм)Т = [х\ х\ ... хЪ]Т .

Так как ц{{) = М {х^г^, г]™}, /х(тд;,<) = М {хТкг/™}, то, согласно (4), 1^(1) и ц{тк,') являются первыми моментами р((ж; хдг) по соответствующим переменным. Соотношения, определяющие р((о:;?лг), будем называть основным уравнением нелинейной фильтрации с фиксированной памятью (ОУНФФП). Далее всюду — прямой и обратный операторы

Колмогорова, соответствующие процессу (1), которые действуют по переменным а и у, ргЦ) и РпЦт) — индикаторные функции процессов и равные единице, если соответствующие процессы наблюдаются,

либо нулю, если не наблюдаются.

Теорема 1 (ОУНФФП) Апостериорная плотность (4) на интервалах времени 1т <1 < ¿т+х определяется уравнением

(/(Р((а;;гдг) = 1(,г [р((г; хдг)] dt + рг(1)р^х; хдг)

- dzt-h(t,zt)dt (5) с начальным условием

= [с{х,хм, 7?(<т),г<т)/ с(г]^т),2гт)] р(т-0(х; , (6)

где

= j ■ ! h(t,x,xN,zt)pt(x;xN)dx dxN, (7)

с(ж,5я,т?0т),г(т) = ехр | - - 5г(<т,х,глг, г(т)]Т х

х У~1{1т,ггш)[г]^т) - д(гт,х,хА(8)

= J■ ..у c{x,xN,T|{tm),Ztm)ptm-o{x■,xN)dxdxN, (9)

а р(т_о(ж;хдг) = Нтр<(х;хлг) при < Т ¿т является решением уравнения (5) на предыдущем интервале времени, вычисленным в точке I =

В п.1.3 показывается, что эффективный синтез фильтра-интерполяторг на основе теоремы 1 может быть осуществлен, когда выполняется условие гаусовости ждг). Далее всюду N{1/; а, В} — нормальное распределение (плотность) с параметрами а и В.

Теорема 2 Пусть

ДО = /(*, *«) + гг)хг, ФЛ-) = Ф1(<, ро(х) = N {х; ц0, Г0} ;

n

Л(-) = А(<,г<)+ #,,(<,*()*« +

¿=1

n

д(-) = 9^т,ггп) + й+ ^ г^)^.

(К (1

(1:

/Ь = 1

Тогда (см. (4))

Мя;жлг) = Р((хлг+1) = N ; Длг+1(глг,0. Глг-иСглг,*)} =

Г(0 Г01(Т1,0 Го,(г,-,<) ■ = N ^ ж, ; л(т1,<) . Г^(-) Гц(т1,0

[ г£.(.) гт.(.) Гй(г,-,0 .

X ■ Ц(г) ■

XI } МгьО ,

. я» .

, (1з;

где глг = [т"^, тдг-1, • • •, п], г = 2]М,] = I; N — 1, г > Точности е(£) г г(т>,2) оценок ц({) и ц(тк,1), к = определяются формулами е(<) =

1г[М{Г(/)}], е(ль,<) = к [М {Г^Дль,<)}]. £сли все коэффициенты в (10) -(12) не зависят от г^ ztm то тогда е(<) = к [Г(<)], е(т£,2) = к [Г^г*,<)]

Для параметров распределения (13) получена замкнутая системе дифференциально-рекуррентных соотношений, определяющих оптималь ный в среднеквадратическом смысле фильтр-интерполятор в случае фиксированной памяти. При этом дифференциальные уравнения получены не основе (5) по методу семиинвариантной функции, а рекуррентные соотношения — на основе (6).

В п. 1.4 проводится исследование влияния непрерывных наблюдений 1 памяти в дискретных наблюдениях на эффективность оценок фильтрации и интерполяции стационарного гауссового марковского процесса диффузионного типа (процесса Орнстейна-Уленбека). Пусть процессы а^, и т}(1т) имеют вид

dxt — —axtdt-^■Фldwt, а > 0,

(К

¿г1 - Н0хг<И-|-Ф2^(, (15)

Фт) = СоХ^ + в 1®г, +02аГг3+Фз^т). (16)

Тогда в случае редких дискретных наблюдений (< —► оо, <т <С ¿т+О справедливы следующие результаты.

Теорема 3 Пусть = = ** (¿1 = * — гь = * _ т2)- Тогда £гоф = где 7(<т) « 7о(<т) — точности оценок фильтра-

ции в момент поступления г}(1т) в случае соответственно дискретных наблюдений с памятью кратности N — 2 и без памяти (С\ = 62 = 0), как функция V, обладает свойствами: если (Сго,Си,С?2) £ М = {(Со.СьОг) : С??2 + 2 С?0 < 0; = бх + С2}, то е2оф >1 для любых V; если (С?о, С?1,С?2)€./И, то £2оф при монотонно возрастает от

е20ф < 1 до > 1 с равенством единице в точке = которую можно определить как эффективную глубину памяти.

Теорема 4 Пусть N = 1 (С?2 = 0). Тогда ею. = 711 (Т1, <т)/7п(п, <т), где 7и(т1,<т) и 7п(т1,£т) — точности оценок интерполяции в момент поступления ^(¿т) в случае соответственно дискретных наблюдений с памятью кратности N = 1 и без памяти (Си = 0), как функция <1 = < — п (^ |д°) обладает свойствами: если (Со, Си) € М = {(60,^1): |<^11 — 2 |С?о| < 0}, то е10и монотонно убывает от е10н > 1 до £5он < 1 с равенством единице в точке = <1 ; если (С?о, Си) € 1иШ, где I и Ш — первый и третий квадранты области (С?о, Си), то £юИ монотонно возрастает от < 1 до £юИ < 1/ если (С?о,Си) 6

Мх = {(Со,С?1): 2 |С0| < | < С?0= -|С?0| |С?!|}, то ею, монотонно убывает от < 1 до < 1; если (С?о,Си) 6 М \ = |(С?о,Си): < |Си|; боСи = —|С?0| |Си|то £юк ие является монотонной функцией, т.е. существует причем £'1ои(^1тах) < 1-

Для £зоф, Кф> £10,! > ^тах найдены выражения и дается физическая и графическая интерпретация доказанных свойств.

Во второй главе диссертации рассматривается задача фильтрации стохастических процессов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений со скользящей памятью произвольной кратности.

В п.2.1 для моделей процессов Х(, г< и »?(<т) вида (1) - (3), когда Тк = < — в (2) и Тк = — в (3), к = 1; ЛГ, формулируется задача типа задач] из главы 1.

В п.2.2 показывается, что согласно аргументации, которая использо валась в п.1.2, ОСКСО и — к = 1;^, являются первым!

моментами ждг) вида (4) по соответствующим переменным, в кото рой осуществлены замены: т —— тк —► < — & = 1; ЛГ. Соотношения определяющие р((ж; ждг), будем называть основным уравнением нелинейно! фильтрации со скользящей памятью (ОУНФСП).

Теорема 5 (ОУНФСП) Апостериорная плотность рг(х;хдг) на ии тервалах времени 1т <1 < tm+l определяется уравнением

n ( = £

р<(я;жлг)

Р1_1?(хлг-л+1)

+11 = 12 + 11 (17

с начальным условием (6),

где рг-П(г„-к+1) = д^+'Р^^1 <

С

;гЛГ-* + ПТ

Г =

1 'к+1

, (жЛг_А;+1)Т =

>/32лг-*+1 т ГТ1Т

tmk < t < <т1+1, /г(<,2<), с(аг,глг,/г(<т), г(т), с(г){1т), 2<т) определяютс. соотношениями вида (7) - (9) теоремы 1, Д — правая часть уравнени. (5), а р(т_о(аг, ждг) = Нтр«(ж; ждг) при1 | <т является решением уравнени. (17) на предыдущем интервале времени, вычисленным в точке < = <т.

В п.2.3 в условиях апостериорной гауссовости на основе теоремы 5 осу ществляется эффективный синтез фильтра-интерполятора.

Теорема 6 Пусть имеют место ограничения (10) - (12), причем Тк = I - гк в (И) и тк = гт - 6 (12), к = туж Тогдй записывая параметры апостериорных распределений в блочной фор ме, получаем, что р((х;хдг) определяется (13) с заменами: гдг -

г - Г

Рг-

дг = Тк -> < - гк, к = 1;ЛГ, г<Э

«¡¡(яЛГ-к + О = N ^Жуу-л-ц; ДлГ-А:-ы(< ~ + + — +

Ч+и • • • >

2; ЛГ - к, з = 1; ТУ - к - 1, г > к = 1; N - 1, Точности е{г)

— оценок и ц(1 — 1*к,{), к = 1; /V, определяются формулами е(<) = 1г[М{Г(<)}], е(<= ИМ {Гн,(* -*£,*)}]• бсе коэффициенты в (10) - (12) не зависят от г%т то тогда е(<) = к[Г(<)],

Для параметров распределения рх{х\хм) получена замкнутая система дифференциально-рекуррентных соотношений, определяющих оптимальный в среднеквадратическом смысле фильтр-интерполятор в случае скользящей памяти. При этом дифференциальные уравнения получены на основе (17) по метеду семиинварнантной функции, а рекуррентные соотношения — на основе (б).

В п.2.4 для того, чтобы проиллюстрировать возрастание сложности задачи в случае наблюдений со скользящей памятью, приводятся результаты по решению задачи фильтрации стохастических процессов с непрерывным временем только по дискретным наблюдениям со скользящей памятью произвольной кратности.

В третьей главе рассматривается задача нахождения ОСКСО обратной экстраполяции ¡i{s,t) для процесса вида (1) в момент времени s > t, s = const, по совокупности реализаций zl0 и Т]™ процессов вида (2), (3), обладающих как фиксированной, так и скользящей памятью. Далее всюду все коэффициенты в (1), (10) не зависят от zt. Показывается, что поскольку /z(s,i) = M{rs\zq, i]™}, то нахождение fi(s,t) может быть осуществлено на основе совместной апостериорной плотности

pl(x-,xN-,x) = dN+2P{xt < х;х? < xN\x, < х |zj, г£}/дх dxN дх. (18)

Соотношения, определяющие р\(х\ ж), будем называть основными уравнениями нелинейной обратной экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНОЭФП) и со скользящей памятью (ОУНОЭСП).

В п.3.1 рассматривается случай фиксированной памяти.

Теорема 7 (ОУНОЭФП) Апостериорная плотность (18) на интервалах времени tm <t < tm+i определяется уравнением

e(t-t*k,t) = tr[rkk(t-tl,t)].

+ Рг^)р\{х\х^-,х) [Л(<, x, xn,zt)-

Л

с начальным условием

р\т(х] хлг; = [с{х, хм,фт),г1т)1 с{т}{1т), „)] хы\х), (20)

где

(21)

Ф,«„),*„) =

с(х, ждг, Т](1т), имеет вид (8), р4(а;;глг) определяется ОУНФФП (теорема 1), а р\'п~0(х\х^\х) — Нтр^(ж; ждг; х) при I | 1т является решением уравнения (19) на предыдущем интервале времени, вычисленным в точке

Эффективный синтез экстраполятора на основе теоремы 7 может быть осуществлен в условиях гауссовости рЦх; х).

Теорема 8 Пусть имеют место ограничения (10) - (12). Тогда (см. (18))

р1(х-,хк-х) = N |хлг+2; ДлГ+2(гдг,<,5), Г^^(гдг, <, =

N

XN+l

X

Глг+1(глг,<) Г(гЛг,г,б)

гт(-) Глг+1,^+1(в,0

,(23)

где Гт(?л',<,«) = Г£лг+1(М) 1Г)Лг+1(«, гь*) ГТдц.Дв, г,-, <)

а гдг, «лг+ъ Длг+1 ('Глг,Глг+1(?/у,0 определены в теореме 2. Точность оценки экстраполяции /л(«,<) определяется формулой £(в,<) = (;г [М{Глг+1,лг+1 (в, 0}]- ■Ё'сли есе коэффициенты в (11), (12) не зависят от то тогда е(в^) — [Глг+1дг+1(5) <)].

Для параметров распределения (23) получена замкнутая система дифференциально-рекуррентных соотношений, определяющих оптимальный в среднеквадратическом смысле обратный экстраполятор в случае фиксированной памяти. При этом дифференциальные уравнения получены на основе (19) по методу семиинвариантной функции, а рекуррентные соотношения — на основе (20).

На классе процессов (14) - (16) проводится исследование эффективности дискретных наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче экстраполяции и формулируются результаты типа теорем 3 и 4.

В п.3.2 рассматривается случай скользящей памяти. В этом случае р\(х\х^\ х) имеет вид (18) с заменами г на t — t*, на t — , к = 1; N.

Теорема 9 (ОУНОЭСП) Апостериорная плотность р\(х\х^\х) на интервалах времени tm < t < tm+\ определяется уравнением

dtpl(x-,xN-,x) = I2 + I3 (24)

с начальным условием (20), где h(t,zt), c(r](tm), ztm) и с(х,хм ,rj(tm), ztm) имеют вид соответственно (21), (22) и (8), /г определено в (17) с зал«е-ной pt(x;xN) на pI(x-,xn'; х), 1з — правая часть уравнения (19), pt(x]xj\) определяется ОУНФСП (теорема 5), а р\т~°(х\х^\х) = limp® (ж; х^; х) при t | tm является решением уравнения (24) на предыдущем интервале времени, вычисленным в точке t = tm.

Эффективный синтез экстраполятора на основе теоремы 9 может быть осуществлен в условиях гауссовости р\(х\х^-,х).

Теорема 10 Пусть имеют место ограничения (10) - (12), причем Tjfc = t — t*k в (11) и = tm — t*k в (12), k = 1 ;N. Тогда, записывая параметры апостериорного распределения в блочной форме, получаем, что pI(x-,xn] х) определяется (23) с заменой тдг на t — t*N, где t — t*N, xn+i, ßN+i(t и I\v+i(f — t*N%i) определены в теореме 6.

Точность e(s,t) оценки экстраполяции fi(s,t) определяется формулой e(s,t) = tr[M{rV+i,7\r+i(M)}]- Если все коэффициенты в (11), (12) не зависят от zt, ztm то тогда s(s, t) = tr [Гjv+i.at+i (s, f)]-

Для параметров распределения р\(х\х^', х) получена замкнутая система дифференциально-рекуррентных соотношений, определяющих оптимальный в среднеквадратическом смысле обратный экстраполятор в случае скользящей памяти. При этом дифференциальные уравнения получены на основе (24) по методу семшшвариантной функции, а рекуррентные соотношения — на основе (20).

В четвертой главе рассматривается задача нахождения ОСКСО скользящей экстраполяции fi(t + T,t) для процесса вида (1) в момент времени t + Т, Т = const, по совокупности реализаций Zg и rj™ процессов вида (2),

(3), обладающих как фиксированной, так и скользящей памятью. Показывается, что поскольку fi(t+T, t) = М{ж(+т|го, т)™}, то нахождение fi(t+T, t) может быть осуществлено на основе совместной апостериорной плотности

р\+т(х]хм\х) = dN+2P{xt <х-,хт < xN\xt+T < х\г10,т11™}1дхдхм дх.

(25)

Соотношения, определяющие р1+т(х;хдг;х), будем называть основными уравнениями нелинейной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью (ОУНСЭФП) и со скользящей памятью (ОУНСЭСП).

В п.4.1 рассматривается случай фиксированной памяти.

Теорема 11 (ОУНСЭФП) Апостериорная плотность (25) на интервалах времени tm <t < <m+i определяется уравнением

Ър\+Т(х]хх]х) = Lt+T,x [pl+T(x>XN',i)] dt + I3 (26,

с начальным условием (20), в котором s заменяется на tm + Т, где h(t, zt) и c(i](tm), ¿tm) определяются (21) и (22) с заменой s соответственно не t + Т и tm + Т, 1з — правая часть уравнения (19), в которой s заменяется на t + T, c(x,XN,i)(tm),Ztm) имеет вид (8), pt(x\xдг) определяетеi ОУНФФП (теорема 1), a агдг; х) — \\тр\+Т(х\х^\х) при t f tm

является решением уравнения (26) на предыдущем интервале времени, вычисленным в точке t — tm.

Эффективный синтез экстраполятора на основе теоремы 11 может быть осуществлен в условиях гауссовости р1+Т(х] xjv; х).

Теорема 12 Пусть имеют место ограничения (10) - (12). Тогда, записывая параметры апостериорного распределения в блочной форме, получаем, что р\+Т(х; хдг; х) определяется (23) с заменой s на t + T, гд( xn-hi , Jin+i{tn, t), rjv+i(?vv, t) определены в теореме 2. Точность e(t+T, t] оценки экстраполяции pi(t -f T,t) определяется формулой e(t + T,t) = tr [М{Глг+1,лг-н(£ + T, f)}]. Если все коэффициенты в (11), (12) не зависят от Zt, Ztm то тогда e(t +T,t) = tr [Pjv+i,A/4-i + T, i)].

Для параметров распределения р\+т(х-,х^г;х) получена замкнутая система дифференциально-рекуррентных соотношений, определяющих оптимальный в среднеквадратическом смысле скользящий экстраполятор в случае фиксированной памяти.

В п.4.2 рассматривается случай скользящей памяти. В этом случае р\+т(х' имеет вид (25) с заменами г на t — t*, Tk на t — t*k, k = 1; N.

Теорема 13 (ОУНСЭСП) Апостериорная плотность р\^г{х\х^\х) на интервалах времени ¿т < < < /т+1 определяется уравнением

(1гр\+Т(х; хм\х) = 14 + 1-х (27)

с начальным условием (20), в котором « заменяется на 1т + Т, где /1(^,2«), с(?у(<т), г<т) и с(аг, ждг, гу(<т), г<т) определены в теореме 11, /4 — правая часть уравнения (26), 72 определяется в (17) с заменой Р1{х]хм) на р\+Т[х] ждг; ¿), р((г;;хлг) определяется ОУНФСП (теорема 5), а хдг; ¿) = Нтр5+Т(ж; х^г; ¿) при I | <т является решением урав-

нения (27) на предыдущем интервале времени, вычисленным в точке I — ^т '

Эффективный синтез экстраполятора на основе теоремы 13 может быть осуществлен в условиях гауссовости р1+Т(х; хн; х).

Теорема 14 Пусть имеют место ограничения (10) - (12), причем Тк = I — б (11) и ть = 1т — 1*к в (12), к = Тогда, записывая па-

раметры апостериорного распределения в блочной форме, получаем, что рг1+Т(х;х^;х) определяется (23) с заменами: в на1 + Т, гдг на Ь — ¿*у, где I— ?лг+ъ — и — ¿дм0 определены в теореме 6. Точ-

ность £(¿ + Х1,/) оценки экстраполяции /|(£ + Т, ¿) определяется формулой

+ ¿) = 1;г [М{Глг+11лг+1(^ + Г, <)}]. ¿'ели все коэффициенты в (11), (12) ие зависят от г(т то тогда е{1 + Т,Ь) = 1;г [Глг+1,лг+1 + Т, <)].

Для параметров распределения р\+т{х\ х^; х) получена замкнутая система дифференциально-рекуррентных соотношений, определяющих оптимальный в среднеквадратическом смысле скользящий экстраполятор в случае скользящей памяти.

В заключении формулируются основные результаты исследования, области применения результатов исследования и область дальнейших исследований.

В приложение 1 вынесены формальные, но достаточно громоздкие преобразования, связанные с выводом некоторых формул и уравнений.

В приложение 2 вынесены решения дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании эффективности наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задачах фильтрации, интерполяции и экстраполяции.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

Основные научные положения, выносимые на защиту, сводятся к следующему.

1. (а) Получены основные уравнения нелинейной фильтрации (ОУНФ)

как для случая фиксированной памяти, так и для случая скользящей памяти произвольной кратности, определяющие совместную апостериорную плотность Рг(х; ?дг) значений ненаблюдаемого процесса ха в момент окончания наблюдений ¿ив моменты времени Тк,к = \\Ы, характеризующие память, (б) Получены основные уравнения нелинейной обратной и скользящей экстраполяции (ОУНОЭ и ОУНСЭ) как для случая фиксированной памяти, так и для случая скользящей памяти произвольной кратности, определяющие совместные апостериорные плотности р1(х; хдг; х) и р\+т(х] хдг; х) значений ненаблюдаемого процесса ха в моменты времени, присутствующие в постановке задачи: момент экстраполяции « или 1+Т, момент окончания наблюдения < и моменты времени г*,, к = характеризующие память.

2. В условиях апостериорной гауссовости на основе ОУНФ, ОУНОЭ I ОУНСЭ с использованием метода семиинвариантной функции осуществлен синтез фильтров-интерполяторов-экстраполяторов, определяющих оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки фильтрации интерполяции , к = 1;ЛГ, обратной и скользящей + экстраполяции как для случая фиксированной памяти так и для случая скользящей памяти.

3. С использованием общих результатов решены задачи исследования эффективностей оценок фильтрации, прямой интерполяции и обратной экстраполяции стационарного гауссовского марковского процесса диффузионного типа (процесса Орнстейна-Уленбека) для случая присутствия непрерывных наблюдений без памяти и дискретных наблюдений с фиксированной памятью, причем для задачи фильтрацш: исследована эффективность дискретного канала с памятью кратности N = 2 относительно дискретных каналов с памятью кратности Ы = \ и без памяти, для задачи прямой интерполяции исследована эффективность дискретного канала с памятью кратности N = ]

относительно дискретного канала без памяти, а для задачи обратной экстраполяции исследована эффективность дискретного канала с памятью кратности N = 2 относительно дискретного канала без памяти.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Абакумова O.JI., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических сигналов с непрерывным временем по дискретным наблюдениям с памятью // Проблемы передачи информации, 1995, Т. 31, №1, С. 68 - 83.

2. Абакумова O.JI., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. I. Основное уравнение нелинейной фильтрации // Автоматика и телемеханика, 1995, №9, С. 49 - 59.

3. Абакумова О.Л., Демин П.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. II. Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика, 1995, №10, С. 36 - 49.

4. Dyomin N.S., Sushko T.V. Opposite extrapolation of probability processes by the aggregate of continuous and discrete observations with memory // The Scientific Conference On The Use Of Research Conversion Results In The Siberian Institutions Of Higher Education For International Cooperation (SIBCONVERS-95). Abstracts. — Tomsk: Tomsk State Academy of Control Systems and Radioelectronics, 1995, P. 52.

5. Sushko T.V. Investigation of efficiency of discrete storage channel relatively memoryless channel in the extrapolation problem // The Scientific Conference On The Use Of Research Conversion Results In The Siberian Institutions Of Higher Education For International Cooperation (SIBCONVERS-95). Abstracts. — Tomsk: Tomsk State Academy of Control Systems and Radioelectronics, 1995, P. 52.

6. Сушко Т.В. Эффективность дискретного канала с памятью в задачах фильтрации и интерполяции // Информатика и системы управления: Межвузовский аспирантский и докторантский сборник научных трудов / отв. ред. А.И. Рубан, Б.П. Соустин. Красноярск: КГТУ, 1996, С. 109- 116.

7. Демин Н.С., Сушко T.B. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной математике (ИНПРИМ-96) Тезисы докладов. — Новосибирск: Институт математики СО РАН 1996, С. 175.

8. Демин Н.С., Сушко Т.В., Яковлева A.B. Предсказание траекторий некоторых стохастических процессов финансовой математики // Второй Сибирский Конгресс по Прикладной и Индустриальной математике (ИНПРИМ-96). Тезисы докладов. — Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1996, С. 148.

9. Демин Н.С., Сушко Т.В., Яковлева A.B. Синтез оптимальных алгоритмов оценивания и распознавания стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Третья международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения (АПЭП-96)" Тезисы докладов. — Новосибирск: НГТУ, 1996, Т.7, С. 6 - 7.

10. Демин Н.С., Сушко Т.В., Яковлева A.B. Оптимальное в среднеква-дратическом смысле оценивание диффузионных марковских процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Международная конференция "Всесибирские чтения по математике и механике". Тезисы докладов. — Томск.: ТГУ, 1997, Т.1

11. Демин U.C., Сушко Т.В. Скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Международная научно-техническая конференция "Научные основы высоких технологий (НОВТ-97)". Тезисы докладов. — Новосибирск.: НГТУ, 1997, Т. 2, С. 98 - 102.

С. 126.