автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оценивание, распознавание и передача информации в стохастических системах в случае совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью

На правах рукописи

(2 П^и.

РОЖКОВА СВЕТЛАНА ВЛАДИМИРОВНА

ОЦЕНИВАНИЕ, РАСПОЗНАВАНИЕ И ПЕРЕДАЧА ИНФОРМАЦИИ В СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ В СЛУЧАЕ СОВОКУПНОСТИ НЕПРЕРЫВНЫХ И ДИСКРЕТНЫХ НАБЛЮДЕНИЙ С ПАМЯТЬЮ

05. 13. 01 -Системный анализ, управление и обработка информации (в отраслях информатики, вычислительной техники и автоматизации)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Томск - 2004

Работа выполнена в Томском политехническом университете.

Научный консультант:

доктор физико-математических наук,

профессор Демин Николай Серапионович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

профессор Воскобойников Юрий Евгеньевич

доктор физико-математических наук,

профессор Кошкин Геннадий Михайлович

доктор технических наук,

профессор Светлаков Анатолий Антонович

Ведущая организация:

Московский государственный институт электроники и математики (технический университет)

Защита состоится:

23 декабря 2004г. в 1ЙЖ часов на заседании диссертационного совета Д 212.267.12 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г.Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомится:

В научной библиотеке Томского государственного университета.

Автореферат разослан: " НОЯБРЯ 2004г

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н., профессор ^ "

Смагин В. И.

гкъ\ъ:

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Широкий класс задач управления, навигации, передачи сообщений сводится к следующей формальной схеме. Имеется в общем случае векторный случайный процесс Xt, содержащий некоторую полезную информацию, либо характеризующий состояние некоторой системы, подверженной случайным возмущениям, и недоступный непосредственному измерению (наблюдению). Имеется в общем случае векторный случайный процесс который является выходом канала передачи либо выходом измерительного устройства, контролирующего состояние системы, и который доступен непосредственному измерению (наблюдению). Необходимо по реализации Zg = {zy, 0 < а < £} вынести некоторое решение (оценивание, распознавание, обнаружение) о процессе Xt. При этом можно выделить два основных аспекта данной проблемы -статистический и информационный. Статистический аспект заключается в нахождении по наблюдениям Zq оценок процесса Xt. При этом, в зависимости от соотношения между моментом получения последнего измерения и моментом времени, в который необходимо получить оценку значений процесса, различают три вида оценивания: интерполяция, фильтрация, экстраполяция. Информационный же аспект заключается в нахождении количества информации о значениях которое содержится в реализации и на его основе решения задач оптимальной передачи сигналов и исследования информационной эффективности систем наблюдения и передачи информации.

Начало рассмотрению проблемы оценивания случайных процессов было положено классическими работами А.И.Колмогорова и Н. Винера (N. Wiener), в которых они независимо друг от друга, и следуя различным подходам, решили проблему линейной фильтрации и предсказания стационарных случайных процессов. Следующим фундаментальным вкладом в развитие теории оценивания являются работы Р.Е.Калмана (R.E.Kalman) и Р.С. Бьюси (R.S. Busy), в которых дается решение

Г ное. НАЦИОНАЛЬНАЯ 31 БИБЛИОТЕКА

1 gafeffa-

задач дискретной и непрерывной линейной фильтрации и предсказания. Задачи линейного сглаживания эффективно решаются Дж.С. Медичем (J.S. Medich), Т. Кайлатом (Т. Kailath), П. Фростом (P.Frost). Решение практических проблем потребовало рассмотрения задач нелинейного оценивания. Значительный вклад в решение задач нелинейного оценивания внесли работы Р.Л. Стратоновича, Р.Ш. Липцера, А.Н. Ширяева, Дж.Р. Фишера (J.R. Fisher), Е.Б. Стара (Е.В. Stear), Дж.М. Ли (G.M. Lee), Б.Д.О. Андерсона (B.D.O. Anderson), Т. Накамизо (Т. Nakamizo), B.C. Пугачева, И.Н. Синицына.

В указанных работах оба процесса одновременно являются

процессами с непрерывным либо дискретным временем. На практике распространенной является ситуация, когда вместе с непрерывными наблюдениями в отдельные моменты времени т = 0, ],-••,

присутствуют дискретные наблюдения Решение ряда задач

оценивания и распознавания по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений осуществлено П.И. Кицулом, Л.Е. Широковым, Н.С. Деминым.

Новый класс задач порождается ситуацией, когда наблюдаемые процессы Zi и l](tm) обладают памятью кратности N относительно ненаблюдаемого процесса, то есть зависят не только от

текущих, но и от произвольного числа N прошлых значений процесса Для подобного класса процессов для случая памяти единичной кратности (N — 1) в работах Н.К. Кульмана, В.М. Хаметова и Н.С. Демина рассмотрены задачи фильтрации, интерполяции и экстраполяции и Н.С. Деминым - задача передачи стохастических процессов по непрерывно-дискретным каналам. Для случая памяти произвольной кратности в работах О.Л Абакумовой, Н.С. Демина, Т.В. Сушко рассмотрены задачи фильтрации и обратной экстраполяции. Решение ряда задач синтеза линейных фильтров получено В.Б. Колмановским.

Другим актуальным классом задач являются задачи оценивания

процессов в условиях, когда, кроме регулярных помех, могут действовать аномальные помехи. По этой проблеме можем указать на работы Ю.П. Гришина, Ю.М. Казаринова, П.П. Зелененького, А.А. Кириченко, Д. Саридиса, Е.И. Шапиро. В этих работах рассматривались задачи, когда появление аномальных помех происходит сразу по всем каналам наблюдения, хотя наиболее интересной ситуацией является появление аномальных помех в части каналов.

Таким образом, актуальной является проблема решения задач оценивания, распознавания и информационного анализа в случае совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности N.

Цель диссертационной работы. 1) На основе теории условных марковских процессов рассмотреть задачу обобщенной экстраполяции многомерного процесса с непрерывным временем по совокупности реализаций многомерных процессов с непрерывным и

дискретным временем, обладающими памятью кратности

относительно когда оценки экстраполяции одновременно находятся в произвольном числе будущих моментов времени. 2) Рассмотреть

задачи синтеза и анализа фильтра-интерполятоа-экстраполятора для процессов с непрерывным временем по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью кратности N в присутствии аномальных помех. 3) Рассмореть проблему информационного анализа задач фильтрации, интерополяции и экстраполяции в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью кратности N. 4) Рассмотреть задачи оптимальной передачи стохастических процессов по непрерывно-дискретным каналом с памятью и с запаздыванием при наличии мгновенной бесшумной обратной связи.

Методы исследования. При проведении диссертационного исследования использовались методы линейной алгебры, статистики случайных процессов, теории обыкновенных и стохастических дифференциальных

уравнений, общей теории статистических решений и теории информации.

Научная новизна работы. 1) Впервые решена задача обобщенной скользящей экстраполяции стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений со скользящей памятью произвольной кратности N > 1. Данный результат включает в себя в качестве частных случаев как известные результаты, так и ряд новых результатов. 2) Впервые осуществлен совместный синтез оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора-экстраполятора в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. Осуществлен анализ качества оценивания в зависимости от структуры воздействия аномальных помех на компоненты вектора наблюдения и от кратности резервирования каналов наблюдения. 3) Впервые в байесовской постановке решены задачи распознавания процессов по непрерывно-дискретным наблюдениям, как с фиксированной памятью, так и со скользящей памятью произвольной кратности и обнаружения аномальных помех в дискретных каналах наблюдения с памятью. На основе дивергенции по Кульбаку проведен анализ качества алгоритма обнаружения. 4) Впервые решена задача нахождения шенноновских мер количества информации о значениях ненаблюдаемого процесса, которые содержатся в совокупности непрерывно-дискретных реализаций наблюдаемых процессов с памятью кратности N для совместных задач фильтрации - интерполяции, и фильтрации -обобщенной экстраполяции. Исследована структура информационных количеств. 5) Впервые решена задача передачи гауссовского марковского процесса диффузионного типа по непрерывно-дискретным каналам с памятью и с запаздыванием при наличии бесшумной обратной связи.

Теоретическая ценность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области оценивания, информационного анализа и оптимальной передачи стохастических процессов в случае совокупности непрерывных и дискретных наблюдений

с памятью.

Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты могут использоваться при разработке систем обработки измерений, систем связи, систем передачи информации, систем управления и навигационных систем подвижных объектов, функционирование которых происходит в условиях, имеющих особенности: 1) непрерывно-дискретный во времени характер доступной измерению (наблюдению) или поступающей в каналы передачи информации, например, когда непрерывно во времени поступают сигналы бортовых измерителей, а в отдельные моменты времени - сигналы от внешних источников; 2) наблюдения обладают памятью относительно ненаблюдаемого процесса, т.е. зависят как от текущих, так и от прошлых значений ненаблюдаемого процесса; 3) в системе присутствуют неопределенности типа аномальных помех.

Апробация работы. Основные положения диссертации и ее отдельные результаты докладывались и обсуждались на международной конференции "Всесибирские чтения по математике" (Томск, 1997), международной конференции "Научные основы высоких технологий" (Новосибирск, 1997), III, IV Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "INPRIM" (Новосибирск, 1998; 2000), II, III, V, VI, VIII Russian-Korean international symposium of science and technology "KORUS" (Томск, 1998; Новосибирск, 1999; Томск, 2001; Новосибирск, 2002; Томск, 2004), международной конференции "Актуальные проблемы электронного приборостроения - АПЭП" (Новосибирск, 1998; 2000), IV, V Всероссийской конференции с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" (Томск, 2002; Иркутск, 2004), II Сибирской научной школе-семинар с международным участием "Проблемы компьютерной безопасности и криптография - SIBECRYPT" (Томск, 2003), международном симпозиуме по непараметрическим и робастным статистическим методам кибернетики

(Томск, 2003), 13-th IFAC symposium on system identification (Rotterdam, The Netherlands, 2003), 16-th IFAC symposium on automatic control in aerospace (Санкт-Петербург, 2004), 16-th symposium on mathematical theory of networks and systems (Leuven, Belgium, 2004).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 51 печатных работ, из них 21 статья общим объемом 237 страниц журнального текста.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста, заключения, списка литературы и трех приложений. Общий объем работы - 336 страниц, включая 24 рисунка. Библиография насчитывает 248 наименований.

Нумерация Утверждений в автореферате и диссертации совпадает.

Во введении обосновывается актуальность темы исследования, дается краткий обзор работ других авторов по данной тематике, формулируется цель работы, обосновывается выбор методики исследования и приводится краткое содержание диссертации.

В первой главе диссертации рассматривается задача обобщенной скользящей экстраполяции стохастических процессов с непрерывным временем по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений со скользящей памятью произвольной кратности.

В п. 1.1 приводятся математические модели процессов и их классификация по типу памяти и наличию либо отсутствию обратной связи.

В п. 12 формулируется постановка задачи главы 1. Пусть п-мерный ненаблюдаемый процесс наблюдаемый

процесс с непрерывным временем определяются стохастическими дифференциальными уравнениями (в смысле Ито)

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

dxt = /(<, xt)dt + <J>i(i, xt)dwt, t > 0, dzt = h(t,xt,x^Lt., z)dt + Ф^, z)dvt,

(1) (2)

t\<t'2< ...<t'N, t*k = const, к - l^N, (3)

где W( и Vt - соответственно и Г2-мерные стандартные винеровские процессы. Кроме процесса Zt в дискретные моменты времени tm (т — 0,1,2, •• •) наблюдается g-'мерный процесс J}(tm), который имеет вид

где £(im) - Гз-мерный стандартный белый гауссовский процесс с дискретным временем. Далее всюду ¡¡¡Lt. = {xt-t[,-■ • ,Xt~t'K}i %t+T ~ = {zt+Ti,' • • ,Z(+Ti}- Предполагается: 1.1) коэффициенты уравнений (1), (2) удовлетворяют ограничениям, обеспечивающим существование и единственность решений стохастических дифференциальных уравнений; 1.2) компоненты }{Ъ,х) дифференцируемы, а к о м п о н е%Гыд в а ж д ы дифференцируемы по

У(-) = Фз(')Фз(')Т невырождены (Т - транспонирование); 1.4) задана начальная плотность вероятность

события независимы в совокупности;

д{-) = ^(tm.x^.a;^;,...,^^^), если t% < in < t < ij!+i для всех к — l',N. Процессы Zj, Tj(tm) вида (2), (4) соответствуют случаю скользящей памяти кратности N. Если t — t\ — Tk — const, то память фиксированная. Зависимость А(-) и д{•) от z = Zq и z ~ Zq" означает наличие мгновенной бесшумной обратной связи в наблюдениях по процессу Zt.

Задача: для последовательности моментов времени t + Tj,t + I — 1;L, по совокупности непрерывных Zg = {za\ 0 < а < t} и

реализаций наблюдаемых процессов одновременно найти оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки (ОСКСО) экстраполяции n(t + Ti,t) для будущих значений процесса

Далее показывается, что нахождение ОСКСО

быть осуществлено на основе совместной апостериорной плотности

= дн+шТ{хг < щ х'1,. < хм\ х{+т < х1\г1, ^¡дхдх^дх1. (5)

Так как + 7), 4) = М{а;«+г,|4' 'й"}> то согласно (5), 4- 7], {) является первым моментом по я'. Соотношение, определяющее

будем называть основным уравнением нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции со скользящей памятью (ОУНОСЭСП). Далее всюду М{-} - математическое ожидание, Ц,гУ[-\ - прямой и обратный операторы Колмогорова, соответствующие процессу (1), с коэффициентами /(сг, у) и <2(<г, у),

СоАМъУгЪю^Уг)} = _ Ы^Уг)

ЪАМ^У,-)} - <Рг(0,У, ")Цгл

(6)

{фАр.У1 •) и у, •) - скалярные функции).

Теорема 1.1 (ОУНОСЭСП). Апостериориорная плотность (5) на интервалах времени < I < (т+1 определяется уравнением

£-1 Г , + Е А+г,,!' зд;х г')]

N |. ,

Х\\ х1)[к(ь,X, хм,г) - Л(г,г)]тх

с начальным условием

С{х,£х\фт),г)

определяется в виде (5) с заменой Ь на I,

(7)

(8) (9)

pt-фх-ш) = dN-k+lP{x»_-t.ul < (10)

h(t,z) = M{h(t,xt,xlt.,z)\4,^}, (11)

C(n(tm), z) = M{C(*(m, r/(tm), r/^1}, (12)

C{x,xN;i){tm),z) = exp{--p,(im)[r?(im) - p(tm,x,xN> z)]Tx

mi

(i), Pn{tm)—индикаторные функции процессов^ UT]{tm), которыеравны единице, если соответствующие процессы наблюдаются, и нулю, если не наблюдаются, a p\^^u+Tl{x\xn-,xl) = ^^_ГяМП{х\хм;хь) при t f tm является решением уравнения (7) на предыдущем интервале времени, вычисленным в точке t = tm.

В качестве частных случаев го ОУНОСЭСП следуют основные уравнения нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции с фиксированной памятью, нелинейной обобщенной обратной экстраполяции со скользящей памятью и с фиксированной памятью, а также основные уравнения нелинейной фильтрации с обоими типами памяти.

В п. 1.3 получено уравнение для семиинвариантной функции распределения из которого

следуют уравнения для указанных частных случаев.

В п. 1.4 показывается, что эффективный синтез скользящего экстраполятора на основе теоремы 1.1 может быть осуществлен в условно-гауссовском случае, когда выполняется свойство гауссовости Pt-rK,i+Ti(x>%N',%1), I ~ 1-Х. Далее всюду N{y;a,B} - нормальное распределение (плотность) с параметрами а и В.

Утверждение. Пусть

f(t,xt) = f(t) + F(t)xu Ф,(-) = Ф1(г), ро(х)=Л/>;/*,Го}, (14)

N

Ц-) = h(t, z) + H0(t, z)xt + £ Hk(t, z)xt-tl, (15)

N

«?(•) = $(*»», Z) + G0(tm, Z)xtm + £ Gk(tm, z)xtm-t-. (16)

fc=l

=я

ХЯ X1

т

Тогда для всех 1 — 1\Ь (см. (5))

= Л/"{хлчт; ¡¿N+1+1^ - ¿я, £ + Т(), Глш-н(£ ~ * + ?})} =

МО . Д'(* + 1},0

Голг(< — ¿) Голг+1 (£ + 7},

+ Ц, (17)

(ги+1(0)т (Г'^+1(-))Т Р^+З},«)

г<?е = { + 7] = + + +

1 = ТГГ,

г

& = 1;ЛГ-1, г >

= [Г^+Л* + ть<);г^+1(< + 72, г); • • • :г|ЛЧ1(г + 7], г)], _ *лг>' + 7/, 0 ~

Г}д+1(< -*!.* + Ть 4) - П, < + 2), о

Гкд+1(£ - < + Г,, £) -£¿,4 + Ту, £) к = 1-77, ;=тгг,

Гп(< + Ть{) ГУ(£ + Ть£ + Г3-,£)

{Г« (4 + ТЬ£4- Т3, £))т Г« (4 + 7), ¿) г = 1;/ - 1, = 277, ^ > г.

Данное Утверждение соответствует Леммам 1.1 и 1.2 диссертации.

Точности е(£), е(г*,<), е(£ + 7],*) для всех к - 1;ЛГ, г = Т-Т оценок фильтрации интерполяции экстраполяции + 7],£)

определяются формулами е(£) = М{^[Г(<)]}, е(т>;,<) = М{1г[Гм(т*,<)]}, е(< + 7},*) = + Г;, £)]}. Если все коэффициенты в (14), (15),

(16) не зависят от zt, zt,n то тогда e(t) - tr[r(¿)], £(n,t) = tr[rfcfe(-7>, £)],

Для параметров распределения (5), удовлетворяющих свойству

(17) при 1 — L, получена замкнутая система дифференциально-рекуррентных соотношений, определяющих оптимальный фильтр -интерполятор-экстраполятор (ФИЭ) в случае скользящей памяти. При этом дифференциальные уравнения получены на основе (7) по методу семиинвариантной функции, а рекуррентные соотношения - на основе (8). Из этих общих результатов, как частные случаи, следуют решения следующих задач: а) скользящей экстраполяции с фиксированной памятью; б) обратной экстраполяции со скользящей памятью; в) обратной экстраполяции с фиксированной памятью; г) совместной задачи фильтрации-интерполяции со скользящей и фиксированной памятью.

В п. 1.5 проводится исследование эффективности дискретных наблюдений с памятью кратности N = 2 относительно наблюдений с памятью кратности N = 1 на основе задачи обратной экстраполяции, с фиксированной памятью. Пусть процессы скалярные и

определяются соотношениями

Тогда в случае редких дискретных наблюдений (t —» 00, tm ím+i) справедлив следующий результат.

Утверждение 1.4. Пусть t\ = tm - т\, t? = tm - т2. Тогда £21 - l"{tm,si)/f!(tm,si), где j"(tm,si) и j"(tm,si) - точности оценок экстраполяции в момент поступления Tj{tm) в случае дискретных наблюдений с памятью кратности N = 2 и кратности N = 1, как функция <2, обладает свойствами: если (G(>, Gi, G2) 6 G = {(Go, G\, G2): |G0 + Gi + G21 < |G0 + Gi|}, то ея(<5) > 1 при t[ j 0 для всех t*2 > t¡; если (Go.Gi.Gj) & G, то £21(^2) nPu 4 00 монотонно возрастает

13

от £¡¡1 <1, до е21 > 1с равенством единице в точке ¿¡Ц == ¿2,.//, которую можно определить как эффективную глубину памяти и которая определяется формулой

Для £§[, найдены выражения и дается физическая интерпретация доказанных свойств с графическими иллюстрациями.

В п.2.6 приводятся выводы по главе 1.

Во второй главе диссертации осуществлен синтез и анализ свойств оптимального в среднеквадратическом смысле обобщенного несмещенного фильтра-интерполятора-экстраполятора (ОСКСНФИЭ) для процессов с непрерывным временем по непрерывно-дискретным наблюдениям с фиксированной памятью кратности N, когда в дискретных наблюдениях присутствуют аномальные помехи.

В п.2.1 приводятся модели процессов ^ и и формулируется

постановка задачи главы 2. Пусть

v{tm) = С0(<т)хг„ + £ + Фз(Оаи + С!(1т), (22)

где 0 < Тц < ... < Г1 < ип < /(<т) - стандартный белый гауссовский г-мерный процесс с дискретным временем, причем, М{/((т)} = /о(£т), м{[/(<т) - /о(*т)]1/(*т) - /о(*т)]Т} = 6(£т)<5ть который является

аномальной помехой. Рассматривается общий случай, когда компоненты вектора аномальных помех могут действовать не по всем

компонентам вектора наблюдения ТО есть Г < д. Таким образом,

булева матрица С размера (д X г) имеет следующий вид: пусть ij - номера компонент вектора по которым действуют компоненты вектора

аномальных помех f(tm) (1 < ij < <?; 1 < j < >*); тогда в j'-м столбце матрицы С на i'j—м месте стоит единица, а на остальных местах стоят нули. Предполагается: 2.1) Xq имеет нормальное распределение с параметрами fio и Го; 2.2) Хо, Wt, Vt, £(ím), f(tm) ~ независимы в совокупности; 2.3) fo{tm) - неизвестно. Остальные предположения те же, что и в Главе 1.

Задача: для последовательности моментов времени Sj, S2,...,S¿, таких, что t < Si < ... < Si, по совокупности реализаций Zq и t¡q найти ОСКС несмещенные оценки фильтрации ¿t(í), интерполяции и

экстраполяции fi{s¡,t) соответственно для значений процесса х„ в моменты a = t, а = Тк, ег = s¡ для всех к = 1; N и I — 1; L, причем т* = const, то есть память является фиксированной, экстраполяция -

обратной.

В п.2.2 осуществлен совместный ОСКСНФИЭ - получена замкнутая система дифференциально-рекуррентных соотношений и доказана нечувствительность ФИЭ к неточному знанию матрицы интенсивности аномальной помехи.

В п.2.3 исследуются свойства ФИЭ, полученного в п.2.2.

1) ОПТИМАЛЬНОСТЬ ПРОЦЕДУРЫ ИСКЛЮЧЕНИЯ АНОМАЛЬНЫХ НАБЛЮДЕНИИ. Пусть вектор дискретных наблюдений fj(tm) размера (ч~г) получается из вектора путем исключения компонент с номерами htht" ' "Á» по которым действуют аномальные помехи. Тогда оптимальный в среднеквадратическом смысле ФИЭ, в котором используется вектор наблюдений будем называть усеченным.

Теорема 2.3. ОСКСНФИЭ и усеченный ФИЭ эквивалентны.

2) Точность ОЦЕНИВАНИЯ. Поскольку матрица С характеризует структуру воздействия компонент вектора аномальных помех на компоненты вектора наблюдения то различным матрицам С будут соответствовать различные точности фильтрации (среднеквадратические ошибки оценок). Пусть булев вектор размера q, в котором компоненты с номерами являются нулевыми, а остальные единичными. Под

точностью оценивания -/(г)^т) в момент времени <т, соответствующей вектору /(г), будем понимать величину

где А - произвольная симметричная неотрицательно определенная матрица, а - матрица вторых моментов ошибок оценок

ОСКСНФИЭ, соответствующая вектору 7(г).

Теорема 2.4. Пусть /(о), /(1), • • /(,) - вектора, последовательно отличающиеся друг от друга значением лишь одной компоненты. Если <то - первый момент появления аномальной помехи, то имеет место свойство

Тогда неравенство (24) справедливо для произвольного момента времени Iт'

В п.2.4 результаты п.2.2 и 2.3 обобщаются на случай резервирования дискретных каналов памяти. Пусть индекс [г] - кратность резервирования в дискретном канале наблюдения. Тогда q • г-мерный вектор дискретных наблюдений в соответствии с (22) принимает вид

Щ (и=с!;1 (<т) х1т + £ (¿т) хТ„ + Ф3 ({т) £м Цт) + СЙ/ (¿т), (26)

Аналогично (23) введем критерий качества, характеризующий точность оценивания при кратности резервирования

' Лт (<т) = ¿г [АГ$+Ш ¡¡¿)], (27)

где А > 0, Гд|+£_+1 (гдг, з^) - матрица вторых моментов ошибки оценки ОСКСНФИЭ, соответствующая кратности резервирования [«]. Теорема 2.6. Пусть

= = (28)

где О - матрица размера {ц X г), т.е. ($+ 1)-й резервный канал наблюдения является идеальным, каналом без аномальных помех. Если до момента времени работает система без резервирования с заданной матрицей Сщ — С, а начиная с момен^авступает в работу система с резервированием, то

Теорема 2.7. Пусть система с резервированием работает с начального момента времени. Тогда, если

то свойство (29) справедливо для произвольного момента времени Ьт.

В п.2.5 анализируются свойства полученного ОСКСНФИЭ, в частности доказана эквивалентность решенной задачи раздельному решению задач синтеза фильтра, интерполятора и экстраполятора, и формулируются решения ряда частных задач.

В п.2.6 проводится исследование эффективности дискретного канала с памятью на основе задачи обратной экстраполяции с фиксированной памятью. Пусть процессы X{, ц определяются уравнениями вида (18), (19), дискретный канал наблюдения обладает памятью кратности N = 1 и формируется как совокупность двух скалярных каналов с коэффициентами передачи соответственно для Исследуются три

ситуации: 1) аномальные помехи отсутствуют; 2) аномальная помеха интенсивности V действует по первой компоненте 3) аномальные

помехи интенсивности V действуют по обеим компонентам !}({>»)• Соответствующие этим случаям среднеквадратические ошибки оценок экстраполяции в момент будем обозначать

Как и в примере из п. 1.5 рассматривается случай редких дискретных наблюдений. Тогда

Согласно принятым обозначениям для задачи экстраполяции

= J{0) (tm), 722 (frn>s) = ^(1) (<»>), 722 s) = ^(2) (<m)- Таким образом, неравенства (31) отражают свойство (24) для рассматриваемого примера относительно оценки экстраполяции, причем при конечных значениях параметров достигаются строгие неравенства, означающие, что увеличение числа аномальных каналов наблюдения только ухудшает качество экстраполяции. Канал наблюдения, формирующий щ [tm) в ситуации 2, может быть интерпретирован, как резервный относительно ^ (¿го) и являющийся при этом идеальным. Поскольку ситуации 3 эквивалентна ситуация скалярного наблюдения то согласно

принятым обозначениям для оценки экстраполяции J\2\ (tm) = 722 (гт, s), Д21 = J|i] (im) - J{2] (¿m). Так как Д21 > О, то J[i] (im) > J(2] (tm), что отражает свойство (29) для рассматриваемого

примера относительно оценки экстраполяции, причем при конечных значениях параметров получили строгое неравенство, означающее, что наличие идеального резервного канала лишь улучшает качество экстраполяции. Воспользовавшись последней интерпретацией Д21, вводится мера эффективности дискретных наблюдений с

памятью относительно наблюдений без памяти в задаче экстраполяции,

где Д21 -значение Д21 при Gj = 0. Тогда справедливо следующее свойство.

Утверждение 2.4 Пусть G = {(G0, Gj): G'{ + 2G0Gi < О}. Тогда e2i, как функция t*, обладает свойством: если (Go,Gi) G, то en{t*) при i* —> оо монотонно убывает от > 0, до £%(< 0 с равенством нулю в точке Р — tiff, которую можно определить как эффективную глубину памяти и которая определяется формулой

lj + J

где знак -С — если G0 • Gi = |G0| • |Gi|, и знак < + если Go ■ G\ = = — |Gq| • |Gi|, a 8, A, ae, 7 me же, что в Утверждении 1-4-

Для £¡¡1 найдены выражения и дается физическая интерпретация доказанных свойств с графическими иллюстрациями.

В п.2.7 приводятся выводы по главе 2.

В третьей главе диссертации рассматривается задача распознавания произвольного числа гипотез для случая, когда ненаблюдаемый процесс является процессом с непрерывным временем, а наблюдаемый процесс представляет собой совокупность процессов с непрерывным и дискретным временем с памятью произвольной кратности, а также решается одна важная частная задача распознавания - задача обнаружения аномальных помех в дискретных каналах наблюдения с памятью.

В п.3.1 рассматривается задача распознавания в стохастических системах при непрерывно-дискретных наблюдениях с фиксированной памятью. Приводятся модели процессов X¡, Zt и í/(tm) и формулируется постановка задачи. Пусть

dxt = f(t,xt,z,e)dt + <!>i(t,xt,z,e)dwt, t > 0, (33)

dzt - h(t, xt, xTN, z, 6)dt + 4>2(í, z)dvt, (34)

фт) = g{tm, Xtm, XrN, z, в) + $3(ím, Z, 0)£(*m) , Ш = 0,1,..., (35)

где 0 < <o < tn <•••< ti < tm < t, t\. = const, k = 1;N, а параметр в является идентификатором типа гипотезы. Предполагается: 1) 0€ílg = — {00,01, • • ■, &г} с априорными вероятностями po(0j) = V{9 = 0¿}, j = üjr; 2) xq, wt, vt, £(ím), в - независимы; 3) заданы начальные плотности Pü{xü\9j) = &Р{хй < х\в — 8j}/dx, j = Ojr. Остальные предположения те же, что в Главе 1.

3 а д а ч а: по совокупности реализаций z¡¡ w r¡fi1 найти отношения правдоподобия Л((0, : ва) в задаче распознавания гипотез Hj{9 = fy} и Ча{в = ва}, j = Щг, а = 0-7.

Метод нахождения : 9а) основан на формуле Л¡(fy: 9а) =

= Ыва)ШзШвз ■ 0«), где Pt(dj : 0«) = ft(*j)/ft№»), й(0,-) = Г{в =

Теорема 3.1. Апостериорные вероятностиPt{9j) гипотез H¡{B — Oj)

на интервалах Ьт<1< ¿т+] определяются уравнениями

«ЫЭД = ьШЩг Щ - Фъ - Л(М)А)

с начальными условиями

которым эквивалентна формула

= Рп-о(^) ехр | £

1п

сш>*)

«_ ___

+ /[Л(а, г|0,) - Л(а, г)]ТД-1(в, г)х п

где

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

ЖЩ = М{Л(«, ц, х"Т, г, 9)\в = 0,-, ^ 1Й1}, = М{Л(4, а*, х?, г, в)\4,0»

= М{С(ч(4т). г, 0)1* = Ч чГ1}.

С(т,(1т),г) = М{С(фт),г,Х1т,х?,е№",Т1Г1},

хК-^т,г,0,)[тК«т) - д{и,х,г,0,-)]}, (43)

« Р«т-о№) = при Ь Т ¿т-

Теорема 3.2. Отношение правдоподобия : 0а) в задаче распознавания гипотез Н]{в = и = 0а}, ; = 0|7, а = ка интервалах Ьт<Ь < определяется уравнением

: 0«) = Л,(0; : ва)х х - Щ,г\6а)]Т1Г% г) [¿г, - ¡Ш^] (44)

с начальным условием Лега(% : 0«) = : 0О),

которым жвталентна формула

t_

+ )[к(8,гЩ) - h(s,z\ea)]TR-1(s,z)x п

х[dzs - z\Oj)ds - ^h{s,z\ea)ds]}, (46)

где Atm-a(0j ■ 0a) = limA((^ : ва) при 11 tm.

Эффективное нахождение pt[93) и At(0j: 0O), на основе теорем 3.1, 3.2 может быть осуществлено, когда выполняется условие гауссовости Pt(x-,xN\ej) = dN+lV{xt < х,х? < х»\в = e^zlrj^/dxdxN. Утверждение 3.1. Пусть (см. (33)-(35))

/(•) = f(t, z, в) + F(t, г, в)хи Ф^) = г, в),

А(-) = h{t, z,в) + H0{t,г,d)xt + £ Hk(t, z,в)хп,

fc=i

n

g(-) ~ g{tm, z, o) + G0(t, z, в)х,т + £ Gk(tm, z, e)xn,

fc=1

(47)

Тогда справедливо свойство

= ^{£>41; Щ),1\к+1{тк, j =Щг. (48)

Блочные составляющие параметров Длт-ц^) и определяются

при каждом в] замкнутой системой дифференциально-рекуррентных соотношений, согласно Главе 1, с коэффициентами, зависящими от в соответствии с

Теорема 3.3. Апостериорные вероятности гипотез

и

отношения правдоподобия : ва) определяется соотношениями

Теорем 3.1, 3.2, где

ХУ-1^,

X

ехр

ехр

В п.3.2 задача распознавания, рассмотренная в п.3.1, обобщается на случай скользящей памятью, когда в (34) и (35) Тц = Ь — и т* = ¿т — к = 1;ЛТ. Доказаны аналоги Теорем 3.1-3.3.

В п.3.3 решается задача оценивания. Задача: по совокупности реализаций найти оптимальные в среднеквадратическом смысле

оценки фильтрации, интерполяции и экстраполяции. Решение получается в форме адаптивных в смысле Лаиниотиса (Б.О. ЬатюНв) оценок.

В п.3.4 рассматривается случай, когда /(•), /г(-), д(-) не зависят от г и решение ищется в моменты времени приема дискретных наблюдений т.е. только по значениям Л(т(<^- : ва). Получены выражения для '■ и для дивергенций по Кульбаку (8. Ки11Ьаск).

В п.3.5 исследуется задача обнаружения аномальных помех. Модели процессов предполагаются вида (21), (22), но при этом последнее слагаемое в правой части формулы для имеет вид

где и не зависит от

причем Т3{в = (?о} = р$, "Р{в = 01} = Р1, ро + Р1 = 1. Остальные условия те же, что и в п. 2.1, кроме одного - /о(£т) предполагается известным. Таким образом, задача обнаружения в моменты времени аномальной помехи в дискретном канале наблюдения по совокупности наблюдений и Г]™ является задачей различения г и п?^{(?=е%} и Получены соотношения, определяющие логарифм отношения правдоподобия и направленные дивергенции

Как и качество оценивания (п. 2.3), качество обнаружения зависит от структуры матрицы С, определяющей структуру воздействия компонент

= М{Л4„(0!: вот}, ио ■■ 1) = -М{Л(„№ : в0)\Щ.

аномальной помехи на компоненты вектора наблюдения. В качестве меры "расстояния" между гипотезами Но и Иг берем дивергенцию по Кульбаку Л„(1,0) == 7(т(1: 0) + /(т(0 :1). Вектора /(г) те же, что и в п.2.3.

Теорема 3.11. Пусть <т - первый момент появления аномальной помехи. Тогда для векторов 1(1), • ■■, 1(я), последовательно

отличающихся друг от друга значением лишь одной компоненты, имеет место свойство

Как и в задаче оценивания рассматривается случай резервирования каналов наблюдения, когда ^[¿](£т) имеет вид (26). Теорема 3.12. Пусть (см. (28))

и пусть идеальный резервный блок включается в работу в момент времени (т. Тогда

В п.З.б рассматривается эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задаче обнаружения на основе сравнения нижних границ для вероятностей ошибок 1-го и 2-го рода, которые находятся из неравенств Кульбака. Проведенное исследование показало (аналогично п.1.5, п.2.6), что как и в задачах оценивания, в задаче обнаружения при определенных условиях существует интервал эффективной глубины памяти, на котором наблюдения с памятью эффективнее наблюдений без памяти в смысле обеспечения меньших вероятностей ошибок.

В п.3.7 приводятся выводы по главе 3.

В четвертой главе рассматривается нахождение шенноновских мер количества информации о значениях ненаблюдаемого процесса которое содержится в реализациях наблюдаемых процессов с памятью

произвольной кратности

■7<;+1'(1,0) > ,/£>(1,0).

(51)

С[1+1] = [ей; °т]

(52)

(53)

В п.4.1 данная проблема рассматривается для совместной задачи фильтрации и интерполяции. Пусть

dxt = f(t, xt)dt + t > 0,

dzt = h{t, xt, if, z)dt + Ф2(<, z)dvt, (54)

y{tm) = 9{tm, xtm,x",z) + Ф3(£т, z)£(im), m = 0,1,...,

где 0 < to < где < • • • < Ti < tm < t, Tk = const, fe = 1; iV, т.е. память

фиксированная, и выполняются все предположения Главы 1.

Задача: найти соотношения, определяющие эволюцию во времени совместного количества информации I\t [¡г^,®*;^,^] о текущих Xt и прошлых х^ значениях ненаблюдаемого процесса, а также информационные количества

прошлых значениях ненаблюдаемого процесса, которые содержатся в совокупности реализаций наблюдаемых процессов.

В Теоремах 4.1 и 4.2 получены представления через /([•] и /'[•], на основе которых доказывается следующее утверждение.

Следствие 4.1. Количество информации J'( [х^едгд,^™] на интервалахtm <t< tm+i определяетсяуравнением

Результаты конкретизируются для условно-гауссовского случая (Теоремы 4.3, 4.4, Следствие 4.2), когда имеют место условия (14)-(16) (с заменой t — t^.кtm — t'¡.ш 7>). Проведено исследование (аналогично п. 1.5, п.2.6, п.З.б) информационной эффективности наблюдений с памятью в задачах фильтрации и интерполяции, которое показало, что существуют интервалы эффективной глубины памяти, на которых наблюдения с памятью эффективнее наблюдений без памяти.

В п.4.2 поставленная проблема рассматривается для совместной задачи фильтрации и обобщенной экстраполяции. Задача: для последовательности моментов времени найти

соотношения, определяющие эволюцию во времени совместного количества

информации I*{xt,xg', zl,r)™} о текущих Xt и будущих XJ значениях ненаблюдаемого процесса, которое содержится в совокупности реализаций Zq и т/Ц1 наблюдаемых процессов, причем Si = const, I = 1; L, т.е. экстраполяция рассматривается как обратная.

Теорема 4.5. Количество информации Il[xt,xfjZq,ijg1] на интервалах tm^t < tm+l определяетсяуравнением

л(х) = 0Р{а»<х|4ч1Р}/а®, рЦ,х) = дТ{х(<х}/дх, (60)

Л(глг, г\х, х1') = х?, ф, = = х1,4, (61)

Д^К,^; 4", = М{1п[С(г,((т), %)/С(фт), г)]}, (62)

= М{с(хи,х?,фт),ф^ = = г^-.С-1}. (63)

о = при Ь | Проведено исследование

(аналогично п. 1.5, п.2.6, п.3.6, п.4.1) информационной эффективности наблюдений с памятью, которое показало, что наличие памяти может как увеличивать, так и уменьшать количество информации в задаче экстраполяции с существованием эффективной глубины памяти.

В п.4.3 исследуется вопрос о структуре количества информации по Шеннону в совместной задаче фильтрации и экстраполяции. Задача: найти соотношения, определяющие эволюцию во времени количества информации /(',[•] через информационные коли ч/^с-г^в^а и о текущих и будущих значениях ненаблюдаемого процесса, соответственно. Решение данной задачи дается Теоремами 4.9, 4.10. Результаты Теорем 4.9, 4.10 конкретизируются для условно-гауссовского случая (Теоремы 4.11, 4.12). Заметим, что в условно-гауссовском случае все информационные количества выражаются через блоки матрицы

В п.4.4 приводятся выводы по главе 4.

В пятой главе диссертации рассматривается задача оптимальной непрерывно-дискретной передачи гауссовского марковского процесса диффузионного типа по каналам с памятью и с запаздыванием при наличии мгновенной бесшумной обратной связи. В п.5.1 рассматриваются каналы с памятью. Пусть

= РХф^оЙ + Ф1 {Ь)<1у}и ро(а') =Л/"{Ж;йь7о}, (64)

= Л(<, х{, хТ, г)(И + Фг(<)<й>г>

т

г) + ФзШт), 0 < «о < г < < Л. (65)

С точки зрения классификации задач и процессов Глав 1 и 4 наблюдаемые процессы zt и rj(tm) обладают фиксированной памятью единичной кратности (N = 1, tï = т) с наличием мгновенной бесшумной обратной связи по процессу zt. 3 а д а ч а: в классе кодирующих функционалов /С = {Н\ 0} = {h{-)\ #(•)}> удовлетворяющих энергетическим ограничениям

M{h2(t, xt, хт, z)} < h(t) < h, M{g2{tm, xtm, xT, 2)} < g(tm) < g, (66)

найти функционалы h°(-) и g°(-), обеспечивающие относительно задачи фильтрации минимальную ошибку декодирования A°(i) = infA(i), где Д (i) = M{[ï( — x(t, z, г/)]'2} является ошибкой оценки фил1>трации x(t, z, 77) щюцесса х*, которая соответствует принятому сообщению {zfor)fi*} при заданных h(-) и д(-).

Теорема 5.1. Яа классе Ki — {Hj; Gi} линейных функционалов

z)=h(t,z) + H0(t,z)xt + Hi(t,z)xT},

Й=Ы-): ait z) =g(tm,z)+Go(tm, z)xtn + G1(tn, z)xT} : (67)

1°) оптимальные кодирующие функционалы h°(-), g°( ) имеют представления

2°) оптимальное сообщение rj0(im)} определяется соотношениями

V(U - Mt,n)/A-°(tm - о fi2[xla - ii\tm - 0)] + ыши; (71)

3°) оптимальное декодирование ц°{1) и минимальная ошибка декодирования Д°(<) на интервалах <т < < < ¿т+1, определяются уравнениями

h°(t,z0) = -H°Q(t,za)At),

H°0(t,z°) = [М<)/Д°(*)]1/2, //?(*,za) = о,

g0(tm,za) = -G°a(tm,z0)Atm- 0), C%(tm,z0) = [g(tm)/A°(tm - or.GÎ^,«») = 0;

(68)

(69)

dznt = - ti°(t)\dt + Ф2(t)dvt,

(70)

<V(i) = F(t)n°(t)dt + R-\t)[h(t)Aa{t)]l'2dzl

(72)

dù?{t)/dt = [2F(t) - ir\t)h(t)}A\t) + Q(t) (73) с начальными условиями

Atm) = Л*» - 0) + [?(tm)A°(im - 0)]1/2[V(im) + ¿(ОГV(U (74)

A°(im) = V(fm)[7(im) + g(im)]^A°(im - 0), (75)

где Q(t) = Ф?(«), = ФШ V(tm) = Ф|(<т), p°(im - 0) = Ктр(<), Д°(<т - 0) = lim Д(<) при 11 tm.

Теорема 5.2. Кодирующие функционалы, оптимальные в классе Ki линейных функционалов (67), являются оптимальными в общем классе К нелинейных функционалов.

В п.5.2 рассматриваются каналы с запаздыванием. Пусть

dz, = h(t, ХТ, z)dt + Ф2(«)«М, v{tm) = s(tm, Хт, z) + $3(<m)£(im), (77)

т.е. в отличие от п. 5.1 в данном пункте рассматривается случай непрерывно-дискретной передачи с запаздыванием, когда в непрерывном и дискретном каналах передаются прошлые значения Хт процесса Х( при наличии мгновенной бесшумной обратной связи по процессу щ. Задача: в классе кодирующих функционалов К} — {W1;^1} = {ft(-); <?(■)}> удовлетворяющих энергетическим ограничениям

найти функционалы обеспечивающие относительно задачи

фильтрации минимальную ошибку декодирования где

является ошибкой оценки фильтрации процесса которая соответствует принятому сообщению при

заданных

Теорема 5.4. На классе. /С} = {Hj ',Ç}} линейных функционалов Н\ = {/»(•) : h{t, ХТ, z) = h{t,z) + Hi(t, z)xr}, # = {fl(0 : g(tm,xT,z) = g(tm,z)+Gl(tm,z)xT} : (79)

1°) оптимальные кодирующие функционалы h°(t,xT,z°), g°(tm,xr,z°) и оптимальное сообщение {z^\rf(tm)} имеют представления h% z°) = -//»(£, z°)i/'(t, t), IIÏ(t, z°) = [h(t)/A°n(t, tf!\ (80)

g\tm,z°) = -GÎ(tm,z>V-im - 0),

g°i(tm, z°) = [ff(<m)/AÎl(r, Un - 0)]1/2, (81)

dz°^^t)//S!'n{T,t)}1^[xT-ii0{r,t)}dt + Ф2(<)^, (82)

rf{tm) = [g(tm)l^n{t, tm - q)]^[xr - ar, tm - 0)1 + s>3(tmwmy, (83) 2°) оптимальное декодирование n°(t) и минимальная ошибка декодирования Д°(£) на интервалах tm < t < tm+i, определяются уравнениями

d,m = F(t)nn(t)dt + Я-1 (i) Д?, (r, t)]1 /2 (г, , (84)

dA°(t)/dt = (2F{t) - Я'Ц^Щх

x [(Д°,(т, i))2/An(i)An(r, i)])A°(i) + Q(t) (85)

с начальными условиями

Atm) = Aun - 0) + Anol(r, tm - 0)[à(fm)/An(r, tm - 0)]V2X

*{V(tm) + g(tm)}-llf(tm), (86)

JuàWÎ, (Aqi (т,<т - О))2 \1

[ V(tm) \l Д °(tm - 0)Aji(r, tm - 0)jj ' {bl) где Q(t) = <t>](t), R(t) = Ф|(*), V(tm) = Ф23(0;

3°) Ar,t) = MK^TTO, Д?,М - M{[xT - P°M]2}), A°i(T,t) = M{[a;( - fin(t)}[xT - /i°(r,i)]}) на интервалах tm < t < im+i определяются уравнениями

dAr, t) = Я-^ЩЩА^т, tf'Hzl (88)

dA°n(T,t)/dt = -R'^tfh^A^t), (89)

^(r, t)/dt = [F(t) - R~l(t)h(t)]Aa01(r,t) (90) с начальными условиями Ar,tm) = АЫш - 0) + [g(tm)A°n{T,tm - 0)]1/2x

29

Ди(г,0 = +5М"1 Ди(г,«т - 0),

Дщ(т, *») = У(1т)[У(1т) + ¿(^Г'ДЦг, £т - 0).

(91)

(92)

(93)

Доказываются Теоремы 5.3,5.5, что при оптимальных способах передачи (68), (69) и (80), (81) передается максимальное количество информации, а энергетические возможности каналов используются полностью.

В п.5.3 рассматриваются смешанные ситуации.

В п.5.4 проведено исследование эффективности дискретного канала с памятью относительно дискретного канала с запаздыванием, когда непрерывный канал является каналом передачи с памятью, а также исследование эффективности непрерывного канала с памятью относительно непрерывного канала с запаздыванием, когда дискретный канал является каналом передачи с памятью.

В п.5.5 приводятся выводы по главе 5.

В заключении формулируются основные результаты исследования, области применения результатов исследования.

В приложения 1 вынесены формальные, но достаточно громоздкие преобразования, связанные с выводом некоторых формул и уравнений. В приложение 2 вынесены решения дифференциальных уравнений, возникающих при исследовании эффективности наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти в задачах фильтрации, интерполяции и экстраполяции. В приложении 3 приведены некоторые результаты, применение которых в диссертации является существенным.

Основные научные положения, выносимые на защиту, сводятся к следующему. Для случая совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности:

1. Получено основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции со скользящей памятью (ОУНОСЭСП), определяющее

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

совместную апостериорную плотность значений

ненаблюдаемого процесса в момент окончания наблюдений в моменты времени характеризующие память, и в

будущие моменты времени являющиеся моментами

экстраполяции (прогноза, предсказания) процесса Сформулированы частные результаты, следующие из ОУНОСЭСП как следствия.

2. В условиях апостериорной гауссовости на основе ОУНОСЭСП с использованием метода семиинвариантной функции осуществлен синтез фильтра-интерполятора-экстраполятора, определяющего оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки фильтрации интерполяции

Сформулированы частные результаты, следующие из этого общего результата.

3. Осуществлен совместный синтез оптимального в среднеквадра-тическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора-экстраполятора, когда в дискретных наблюдениях присутствуют аномальные помехи, и исследованы его свойства.

4. Получено решение проблемы нахождения апостериорных вероятностей гипотез и отношений правдоподобия в задаче распознавания гипотез.

5. Решена задача обнаружения аномальных помех с заданной структурой воздействия ее компонент на компоненты вектора наблюдения и исследованы потенциальные свойства алгоритма относительно нижних границ вероятностей ложного обнаружения и пропуска аномальной помехи.

6. Получено уравнение для совместного количества информации о текущем и прошлых значениях ненаблюдаемого процесса в общем и условно-гауссовском случаях, т.е. с информационной точки зрения рассмотрена совместная задача непрерывно-дискретной фильтрации и интерполяции, и исследована структура этого количества информации.

7. Получено уравнение для совместного количества информации о текущем и будущих значениях ненаблюдаемого процесса в общем

и условно-гауссовском случаях, т.е. с информационной точки зрения рассматривается совместная задача непрерывно-дискретной фильтрации и обобщенной экстраполяции, и исследована структура этого количества информации.

8. Найдены оптимальные способы кодирования и декодирования при непрерывно-дискретной передаче диффузионного гауссовского марковского сигнала по каналам с памятью и с запаздыванием при наличии бесшумной обратной связи.

9. С использованием общих результатов решены задачи исследования эффективности наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти и с запаздыванием в задачах фильтрации, интерполяции, экстраполяции, обнаружения аномальных помех, информационной эффективности и оптимальной передачи.

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Демин Н.С., Рожкова СВ., Сушко Т.В., Яковлева А.В. Оптимальное в среднеквадратическом смысле оценивание диффузионных марковских процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений // Международная конференция "Всесибирские чтения по математике и механике". Избранные доклады. - Томск: Том. ун-т., 1997. - С. 109 - 114.

2. Демин Н.С., Рожкова С.В. Непрерывно-дискретная фильтрация с памятью при наличии аномальных помех в дискретных наблюдениях // Международная конференция "Научные основы высоких технологий". Труды. - Новосибирск: НГТУ, 1997. - С. 103 - 105.

3. Демин Н.С, Рожкова СВ. Обобщенное непрерывно-дискретное оценивание при наличии аномальных помех // III Сибирский Конгресса по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов. -Новосибирск: Институт математики, 1998. - Ч.З - С. 58.

4. Dyomin N.S., Rozhkova S.V. Generalized adaptive extrapolation of stochastic processes on the continuous and discrete time observations with the fixed memory // The second Russian-Korean International Symposium of Sci-

ence and Technology. Abstract. - Tomsk: TPU, 1998. - C. 196.

5. Демин H.C., Рожкова СВ. Обнаружение аномальных помех в случае непрерывно-дискретных каналов наблюдения с памятью при резервировании дискретных каналов // Международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения". Труды. -Новосибирск: НГТУ, 1998. - Т.13 - С. 3-5.

6. Демин Н.С., Рожкова СВ. Обобщенная скользящая экстраполяция в стохастических системах в случае совокупности непрерывных и дискретных каналов наблюдения с фиксированной памятью // Международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения". Труды. - Новосибирск: НГТУ, 1998. - Т.13 - С. 33-37.

7. Демин Н.С, Рожкова СВ., Рожкова О.В. Распознавание стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью // Математическое моделирование и теория вероятностей. Томск: Пеленг, 1998. - С 157-162.

8. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Alikberova I.I. Detection of anomalous interferences in the case of continuous-discrete time channels of observation with memory with reservation of discrete channels // The fourth International conference on actual problems of electronic instrument engineering. Proceedings. - Novosibirsk: NSTU, 1998. - V.I - P. 340-342.

9. Dyomin N.S, Rozhkova S.V. Generalized moving extrapolation of stochastic systems in the case of continuous and discrete time channels observations with the fixed memory // The fourth International conference on actual problems of electronic instrument engineering. Proceedings. - Novosibirsk: NSTU, 1998. - V.I - P. 353-357.

10. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Rozhkova O.V. The closed form of solution of problem generalized moving extrapolation on the set of continuous and discrete observations with the fixed memory // The third Russian-Korean International Symposium of Science and Technology. Abstract. - Novosibirsk: NSTU, 1999.-V.I-P. 246.

11. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Rozhkova O.V. Filtering in stochastic systems in the case of continuous-disciete time channels of observations with memory in the presence of anomalous interferences in the discrete channels with reservation // The third Russian-Korean International Symposium of Science and Technology. Proceedings. - Novosibirsk: NSTU, 1999. V.I - P. 261 - 264.

12. Демин Н.С., Рожкова СВ. Фильтрация стохастических сигналов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью при наличии аномальных помех // Автометрия. - 1999. - № 3. - С. 23 - 35.

13. Демин Н.С., Рожкова СВ. Непрерывно-дискретная фильтрация стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех // Автоматика и вычислительная техника. - 1999. -№ 1. - С. 13 - 25.

14. Демин Н.С., Рожкова СВ., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью // Автоматика и вычислительная техника. - 1999. - № 4. - С. 23 - 34.

15. Демин Н.С., Рожкова СВ., Рожкова О.В. Анализ задачи непрерывно-дискретной фильтрации стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. // Автоматика и вычислительная техника. - 2000. - № 2. - С. 26 - 37.

16. Рожкова СВ., Рожкова О.В. Фильтрация стохастических процессов с непрерывным временем по непрерывным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех // IV Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов. - Новосибирск: Институт математики, 2000. - 4.4 - С. 44.

17. Демин Н.С, Рожкова СВ., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция в стохастических системах в случае совокупности непрерывных и дискретных каналов наблюдения со скользящей памятью // Международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения". Труды. - Новосибирск: НГТУ, 2000. - Т.7 - С. 22 - 25.

18. Демин Н.С., Рожкова СВ., Рожкова О.В. Совместный синтез фильтра-интерполятора-экстраполятора в обобщенной задаче непрерывно-дискретной экстраполяции с памятью при наличии аномальных помех // Международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения". Труды. - Новосибирск: НГТУ, 2000. - Т.7 - С. 26 - 30.

19. Демин Н.С., Рожкова СВ. Непрерывно-дискретное оценивание стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. Синтез // Изв. РАН. Теория и системы управления. -2000. - № 3. - С. 5 - 16.

20. Демин Н.С, Рожкова СВ., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Изв. РАН. Теория и системы управления. - 2000. - № 4. - С. 39-51.

21. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Rozhkova O.V. Simultaneous problem of filtering and interpolation of stochactic process to the set continuus-discrete time memory observations in the presence of anomalous noises // The fifth Russian-Korean International Symposium of Science and Technology. Proceedings. -Tomsk: TPU, 2001. - V.2 - P. 223 - 226.

22. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Rozhkova O.V. Generalized adaptive sliding extrapolation on the set of continuous and discrete time observations with the fixed memory // The fifth Russian-Korean International Symposium of Science and Technology. Proceedings. - Tomsk: TPU, 2001. - V.2 - P. 232 - 234.

23. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Safronova I.E. Information analysis of joint filtering and generalized extrapolation problem of stochastic processes by continuous-discrete time memory observations // The fifth Russian-Korean International Symposium of Science and Technology. Proceedings. - Tomsk: TPU, 2001. - V.2 - P. 229 - 231.

24. Демин Н.С, Рожкова СВ., Рожкова О.В. Непрерывно-дискретная фильтрация стохастических процессов в случае резервирования

каналов наблюдения при наличии аномальных помех // Автоматика и вычислительная техника. - 2001. - № 5. - С. 56 - 67.

25. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Rozhkova O.V. Likelihood ratio determination for stochastic processes recognition problem with respect to the set of continuous and discrete memory observations // Informatica. - 2001. - V.12, N.2. - P. 263 - 284.

26. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Rozhkova O.V. Generalized adaptive sliding extrapolation on the set of continuous and discrete time observations with the sliding memory // The sixth Russian-Korean International Symposium of Science and Technology. Proceedings. - Novosibirsk: NSTU, 2002. - P. 128 -132.

27. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Safronova I.E. The information analysis of generalized problem of continuous-discrete filtering-interpolation-extrapolation // The sixth Russian-Korean International Symposium of Science and Technology. Materials. - Novosibirsk: NSTU, 2002. - P. 58.

28. Рожкова СВ., Сафронова И.Е. Оптимальная передача стохастических процессов по каналам с памятью при наличии бесшумной обратной связи // Вестник Томского гос. ун-та. - 2002. - Приложение, №1(1).- С. 117-122.

29. Рожкова СВ., Сафронова И.Е. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации, интерполяции и экстраполяции по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью // Вестник Томского гос. ун-та. - 2002. - Приложение, №1(1) - С 123 - 128.

30. Демин Н.С, Рожкова СВ., Рожкова О.В. Анализ задачи непрерывно-дискретного оценивания стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех // Известия ТПУ. - 2003. - Т.306, №2.-С 6-11.

31. Демин Н.С, Рожкова СВ., Рожкова О.В. Непрерывно-дискретное оценивание стохастических процессов в случае резервирования каналов наблюдения с памятью при наличии аномальных помех // Известия ТПУ.

- 2003. - Т.306, № 3. - С. 15 - 19.

32. Демин Н.С., Рожкова СВ., Рожкова О.В. Обнаружение аномальных помех в случае непрерывно-дискретных каналов наблюдения с памятью // Автоматика и вычислительная техника. - 2003. - № 5. - С. 70 - 82.

33. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Safronova I.E. Optimal transmission of the stochastic process over the memory channels at presence of a clear lag in discrete observations // Вестник Томского гос. ун-та. - 2003. - Приложение, №6. - С. 259 - 264.

34. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Safronova I.E. The information analysis in joint problem of continuous-discrete filtering and generalized extrapolation // 13-th IF AC Symposium on System Identification. Preprints. - Rotterdam, The Netherlands, 2003. - P. 1048 - 1053.

35. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Safronova I.E. Information amount determination for joint problem of filtering and generalized extrapolation of stochastic processes with respect to the set of continuous and discrete memory observations // Informatica. - 2003. - V.14, N.3. - P. 295 - 322.

36. Демин H.C., Рожкова СВ., Рожкова О.В. Фильтрация в динамических системах по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. I. Непрерывные наблюдения // Вестник Томского гос. ун-та. - 2003. - № 280. - С 175 - 179.

37. Демин Н.С, Рожкова СВ., Рожкова О.В. Фильтрация в динамических системах по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. П. Непрерывно-дискретные наблюдения // Вестник Томского гос. ун-та. - 2003. - № 280. - С 180 -184.

38. Демин Н.С, Рожкова СВ., Рожкова О.В. Оценивание и распознавание в стохастических системах при непрерывно-дискретных наблюдениях со скользящей памятью // Международный симпозиум по непараметрическим и робастным статистическим методам кибернетики.Труды. - Томск: ТГУ, 2004. - С 173 -177.

39. Демин Н.С., Рожкова СВ. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Общий случай // Известия ТПУ. - 2004. - Т.307, № 3. - С. 13 -17.

40. Демин Н.С., Рожкова СВ. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Условно-гауссовский случай // Известия ТПУ. - 2004. - Т.307, №4. - С. 6-10.

41. Dyomin N.S., Rozhkova S.V. Nonlinear filtering, interpolation and extrapolation in stochastic systems under continuous and discrete observations with memory // 16-th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace. Preprints. - St. Petersburg, Russia, 2004. - V.2. - P. 250 - 255.

42. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Safronova I.E. Information analysis in joint problem of continuous-discrete filtering and interpolation with memory observation // 16-th Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems. Proceedings. - Leuven, Belgium, 2004. - 7P.

43. Демин Н.С., Рожкова СВ., Сафронова И.Е. Оптимальная передача гауссовского процесса по непрерывно-дискретным каналам с памятью и запаздыванием // Вестник Томского гос. ун-та. - 2004. - Приложение, №(II).- С. 156-161.

44. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Safronova I.E. About structure of Shannon information amount for joint filtering and extrapolation problem by continuous-discrete memory observations // Informatica. - 2004. - V.15, N.2. - P. 171 - 202.

45. Rozlikova S.V. Estimation, recognition and information transmission in stochastic systems under continuous and discrete observations with memory // The eighth Russian-Korean International Symposium of Science and Technology. Proceedings. - Tomsk: TPU, 2004. - V.2. - P. 168 - 172.

Подписано к печати 01.11.94 Бумага офсетная. Печать RISO. Формат 60x84/16. Тираж 120 экз. Заказ № 01-11-03 Центр ризографии и копирования. Ч/П Тисленко О. В. Св-во №14.263 от 21.01.2002 г., пр. Ленина, 41 , оф № 2.

1221 lb РНБ Русский фонд

2005-4 21313

Введение

1 Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений со скользящей памятью

1.1 Математические модели процессов.

1.2 Основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции со скользящей памятью.

1.3 Уравнение для семиинвариантной функции.

1.4 Синтез экстраполятора в условиях апостериорной гауссовости

1.4.1 Некоторые предварительные результаты

1.4.2 Уравнение для семиинвариантной функции.

1.4.3 Синтез экстраполятора.

1.5 Исследование эффективности дискретного канала с памятью

1.6 Выводы.

2 Непрерывно-дискретное оценивание стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех

2.1 Постановка задачи.

2.2 Синтез фильтра-интерполятора-экстраполятора

2.3 Анализ свойств фильтра-интерполяра-экстраполятора

2.3.1 Оптимальность процедуры исключения аномальных наблюдений.

2.3.2 Точность оценивания.

2.4 Резервирование каналов наблюдения

2.4.1 Фиксированный момент включения системы с резервированием.

2.4.2 Произвольный момент включения системы с резервированием.

2.5 Анализ результатов

2.6 Исследование эффективности дискретного канала с памятью

2.7 Выводы.

3 Распознавание состояний стохастических систем в случае наблюдений с памятью

3.1 Распознавание в стохастических системах при непрерывно-дискретных наблюдениях с фиксированной памятью

3.1.1 Постановка задачи.

3.1.2 Общие соотношения.

3.1.3 Случай эффективного вычисления Л^(0j : 9а)

3.2 Распознавание в стохастических системах при непрерывно-дискретных наблюдениях со скользящей памятью.

3.2.1 Постановка задачи.

3.2.2 Общие соотношения

3.2.3 Случай эффективного вычисления Лt(6j : 9а)

3.3 Оценивание

3.4 Отсутствие обратной связи.

3.5 Обнаружение аномальных помех

3.5.1 Постановка задачи.

3.5.2 Общие соотношения.

3.5.3 Случай резервирования каналов наблюдения.

3.5.4 Эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти.

3.6 Выводы.

4 Информационный анализ задачи оценивания стохастических процессов

4.1 Информационный анализ в совместной задаче фильтрации и интерполяции.

4.1.1 Постановка задачи.

4.1.2 Общие соотношения.

4.1.3 Условно-гауссовский случай.

4.1.4 Информационная эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений с запаздыванием

4.1.5 Непосредственное нахождение IlT t [х^, rg\

4.2 Информационный анализ в совместной задаче фильтрации и обобщенной экстраполяции.

4.2.1 Постановка задачи.

4.2.2 Общие соотношения.

4.2.3 Условно-гауссовский случай.

4.2.4 Информационная эффективность наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти

4.3 О структуре количества информации по Шеннону в совместной задаче фильтрации и экстраполяции.

4.3.1 Постановка задачи.

4.3.2 Общие соотношения.

4.3.3 Условно-гауссовский случай.

4.4 Выводы.

5 Оптимальная передача гауссовского марковского процесса по каналам с памятью и с запаздыванием при наличии бесшумной обратной связи

5.1 Каналы с памятью

5.1.1 Постановка задачи.

5.1.2 Решение. Свойства

5.2 Каналы с запаздыванием.

5.2.1 Постановка задачи.

5.2.2 Решение. Свойства.

5.3 Смешанные ситуации

5.4 Исследование эффективности оптимальных способов передачи

5.5 Выводы.

Актуальность проблемы. Широкий класс встречающихся на практике задач обработки наблюдений [12, 17, 22, 75], управления [11, 16, 24, 78, 82, 108, 128, 137], навигации [11, 106, 118, 125], передачи сообщений [23, 121, 122, 123, 124, 130] сводится к следующей формальной схеме. Имеется в общем случае векторный случайный процесс xt, содержащий некоторую полезную информацию, либо характеризующий состояние некоторой системы, подверженной случайным возмущениям, и недоступный непосредственному измерению (наблюдению). Имеется в общем случае векторный случайный процесс zt, который является выходом канала передачи xt, либо выходом измерительного устройства, контролирующего состояние системы, и который доступен непосредственному измерению (наблюдению). Необходимо по реализации zb0 = {za\ 0 < а < t} вынести некоторое решение 6[xt] Zq] о процессе xt. При этом можно выделить два основных аспекта данной проблемы - статистический и информационный. Статистический аспект заключается в нахождении по наблюдениям Zq оценок процесса Xt и его неизвестных параметров, либо распознавание состояний этого процесса [81, 105, 115, 124]. При этом, в зависимости от соотношения между моментом получения последнего измерения и моментом времени, в который необходимо получить оценку значений процесса, различают три вида оценивания: интерполяция, фильтрация, экстраполяция [100, 102, 103, 104, 105]. Информационный же аспект заключается в нахождении количества информации о значениях xt, которое содержится в реализации Zq, и решение с использованием количества информации задач исследования информационной эффективности каналов передачи информации (каналов наблюдения), оптимальной передачи сигналов, максимизации пропускной способности каналов передачи [35, 81, 101, 156, 161]. В соответствии со сказанным для xt и Zi будем использовать, в зависимости от рассматриваемых задач, следующие термины: xt - вектор состояния системы, ненаблюдаемый процесс, полезный сигнал; zt - вектор наблюдения, наблюдаемый процесс, принимаемый сигнал. В зависимости от того, что понимается под решением 6[xt\ Zq], для пары процессов {xt', Zt} ставятся следующие задачи.

Задача оценивания. По реализации Zq = {za\ 0 < о < t} процесса za найти для ха в момент времени а — т оценку ß(r,t) = ß[r,t; Zq], как некоторый функционал от реализации Zq. При этом: если т < t, то /i(r, t) - оценка интерполяции (сглаживания); если т > то /i(r, t) - оценка экстраполяции (прогноза, предсказания); если т = t, то ¡i{t) - оценка фильтрации.

Задача распознавания. Имеется несколько типов процесса Xt и по реализации Zq нужно вынести решение о том, какой тип процесса Xt реализовался.

Задача передачи информации. Найти количество информации о значениях хи содержащееся в реализации Zq, и найти способ передачи сигнала, обеспечивающий передачу максимального количества информации и минимальную ошибку воспроизведения сигнала.

Задача управления. Требуется найти такое управление u(t) = u[t; Zq], как некоторый функционал от реализации наблюдаемого процесса, чтобы критерий J[x; w], характеризующий качество системы управления, достигал минимального значения.

Начало рассмотрению проблемы оценивания случайных процессов было положено классическими работами А.Н.Колмогорова [92] и Н. Винера (N. Wiener) [194], в которых они независимо друг от друга и следуя различным подходам решили проблему минимизации среднеквадратической ошибки оценок фильтрации и предсказания стационарных случайных процессов в классе линейных фильтров. Следующим фундаментальным вкладом в развитие теории оценивания случайных процессов являются работы Р.Е.Калмана (R.E.Kaiman) [167], Р.Е.Калмана и P.C. Бьюси (R.S. Busy)

168], в которых дается решение задач дискретной и непрерывной линейной фильтрации и предсказания. Некоторые задачи линейной фильтрации, интерполяции (сглаживания) и экстраполяции (прогноза) эффективно решены Дж.С. Медичем (J.S. Medich) [108, 182], Т. Кайлатом (T. Kailath) и П. Фростом (P.Frost) [163, 164].

Решение практических проблем потребовало рассмотрения задач нелинейного оценивания. Наиболее значительным вкладом в решение задач нелинейного оценивания являются работы P.JI. Стратоновича [127, 128], Р.Ш. Липцера [100], Р.Ш. Липцера и А.Н. Ширяева [102, 103, 104, 105], Дж.Р. Фишера (J.R. Fisher) и Е.Б. Стира (E.B. Stear) [157], Дж.М. Ли (G.M. Lee) [178], Б.Д.О. Андерсона (B.D.O. Anderson) [145], Т. Накамизо (T. Nakamizo) [184], В.М. Вонэма (W.M. Wonham) [24,196], Г. Каллианпура (G. Kallianpur) [81, 166], Г.Д. Кушнера (H.J. Kushner) [170], B.C. Пугачева и И.Н. Синицина [115, 116, 117, 188].

Одно из направлений дальнейшего развития теории оценивания случайных процессов связано с наличием памяти (memory) [162, 180], временных задержек (time-delays) [148, 197, 193], последействия (aftereffect) [89, 90, 91, 169] в математических моделях процессов, что связано с инерционностью систем и каналов наблюдения за состоянием систем, с конечным, а не мгновенным прохождением сигналов по каналам передачи. Решение ряда задач оценивания и управления для подобного класса систем было осуществлено В.Б. Колмановским [88, 89, 90, 91, 169], В.Л. Чаном (W.L. Chan) [153], Р.Х. Куонгом (R.H. Kwong) [173], M.K. Делфором (M.K. Delfour) [154], 3. Вонгом и Д.В.К. Хо (Z. Wang, D.W.C Но) [193], М. Базиным и Р. Мартинес-Зунига (М. Basin, R. Martinez-Zuniga) [148]. Поскольку в части перечисленных работ временные задержки присутствуют в моделях ненаблюдаемых процессов, в другой части - в моделях наблюдаемых процессов, а в некоторых -в моделях обоих процессов, то далее мы будем пользоваться термином "память", обозначая присутствие временных задержек только в моделях наблюдаемых процессов.

Во всех перечисленных выше работах оба процесса xt и zt одновременно являются процессами с непрерывным, либо дискретным временем. Однако на практике распространенной является ситуация, когда вместе с непрерывными наблюдениями могут присутствовать в отдельные моменты времени дискретные наблюдения rj(tm) (т = 0,1,2, • • •). Подобным классом систем являются, например, навигационные системы подвижных объектов, в которых непрерывные наблюдения zt формируются из показаний бортовых измерителей, работающих непрерывно во времени, а дискретные v{tm) ~ из показаний внешних источников (PJIC, спутники, акустические маяки и пр.), срабатывающих в отдельные моменты времени [106, 118]. Одной из первых работ, исследующих подобную ситуацию, является работа П.И. Кицула [84], которая посвящена обобщению фильтра Калмана на случай непрерывно-дискретных наблюдений. За ней последовало решение ряда задач оценивания и распознавание П.И. Кицулом [85], J1.E. Широковым [140] и Н.С. Деминым [46, 47, 48, 49, 50, 51, 52] для случая совокупности непрерывных и дискретных наблюдений.

Новый класс задач порождается ситуацией, когда наблюдаемые процессы zt и 7](tm) обладают памятью произвольной кратности N относительно ненаблюдаемого процесса, то есть Zt и rj(tm) зависят не только от текущих, но и от произвольного числа N прошлых значений хТ1,хТ2, - • • ,xTn процесса Xt- Для подобного класса процессов для случая памяти единичной кратности (N = 1) в работах Н.К. Кульмана, В.М. Хаметова [97] и Н.С. Демина [55] рассмотрена задача фильтрации, в [56] -задача экстраполяции, в [62] - задача передачи стохастических сигналов по непрерывно-дискретным каналам. Для случая памяти произвольной кратности N в работах O.JI Абакумовой, Н.С. Демина, Т.В. Сушко [1, 2, 3] рассмотрена задача фильтрации.

Другим актуальным классом задач являются задачи синтеза алгоритмов оценивания процессов в условиях наличия неопределенностей типа неизвестных параметров, либо аномальных помех, связанных с атмосферными, акустическими, искусственными помехами, а также с помехами, возникающими при отказах в измерительных устройствах [36, 37, 76, 83, 113, 121, 138]. Последний случай особенно важен, так как он связан с проблемой конструирования устройств оценивания, функционирующих в автоматическом режиме, которые могли бы выполнять свои функции в условиях нарушений нормального режима работы. В указанных работах в многомерном случае (в случае многоканального приема) рассматривались задачи, когда появление аномальных помех происходит сразу по всем каналам, хотя наиболее интересной и распространенной на практике ситуацией является появление аномальных помех в какой-то части каналов наблюдения. В настоящее время для решения подобных задач сформировалось четыре основных метода - адаптивный [121, 175], условно-оптимальный [115, 116, 117], минимаксный [186, 187] и метод, использующий первоначальное байесовское решение задачи фильтрации. Для случая непрерывно-дискретных наблюдений без памяти подобные задачи рассмотрены с использованием последнего метода в [64, 65, 66].

Таким образом, подводя итог проведенному анализу, можем утверждать, что актуальной проблемой является: а) решение задач оценивания (фильтрации, интерполяции, экстраполяции) и распознавания для случая, когда наблюдаемый процесс представляет собой совокупность непрерывных и дискретных во времени компонент, причем каналы наблюдения обладают памятью произвольной кратности; б) синтез алгоритмов оценивания в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности, когда в дискретных наблюдениях присутствуют аномальные помехи, и обнаружение аномальных помех; в) информационный анализ задач фильтрации, интерполяции и экстраполяции в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности.

Цель диссертационной работы. 1) На основе теории условных марковских процессов рассмотреть обобщенную скользящую экстраполяцию многомерного процесса с непрерывным временем хь по совокупности реализаций многомерных процессов с непрерывным и дискретным т](1т) временем, когда наблюдаемые процессы обладают памятью произвольной кратности N > 1, т.е. зависят не только от текущих а^, но и от произвольного числа N прошлых значений хТк, ненаблюдаемого процесса хь в наиболее общей ситуации скользящей памяти и скользящей экстраполяции. Обобщенность задачи экстраполяции понимается в том смысле, что одновременно находятся оценки процесса в произвольном числе Ь будущих моментов времени зх, • • •,

2) Рассмотреть задачу синтеза и анализа свойств фильтра-интерполятоа-экстраполятора для процессов с непрерывным временем по совокупности реализаций процессов, обладающих памятью произвольной кратности АГ, когда экстраполяция осуществляется в произвольном числе будущих моментов времени, а в дискретных наблюдениях присутствуют аномальные помехи.

3) Рассмореть решение задачи нахождения шенноновских мер количества информации о значениях ненаблюдаемого процесса Хь, которые содержатся в реализациях наблюдаемых процессов 77(£т), обладающих памятью произвольной кратности N для совместных задач фильтрации - интерполяции и фильтрации - обобщенной экстраполяции, а также для раздельных задач фильтрации, интерполяции, экстраполяции, исследовать структуру этих количеств информации.

4) Рассмотреть решение задачи оптимальной передачи стохастических процессов по непрерывно-дискретным каналам с памятью и с запаздыванием при наличии мгновенной бесшумной обратной связи.

Результаты по решению перечисленных выше задач выносятся на защиту

Методы исследования включают в себя методы линейной алгебры, теории случайных процессов, теории обыкновенных и стохастических дифференциальных уравнений, общей теории статистических решений, теории информации, математической статистики и статистики случайных процессов, математического анализа. Точные результаты формулируются в форме лемм, утверждений, теорем и следствий.

Существует три основных подхода к нахождению оптимальных оценок случайных процессов, суть которых заключается в следующем.

1. Нахождение апостериорных распределений (плотностей) значений ненаблюдаемого процесса с последующим нахождением оптимальной оценки, как первого момента этого распределения [81, 102, 103, 104, 105]. При этом существенным образом используется метод семиинвариантной функции [40, 79, 184].

2. Непосредственное нахождение оптимальной оценки, как апостериорного среднего, в том числе в классе условно-оптимальных оценок, когда решение ищется на некотором классе фильтров [115, 116, 117, 148, 188].

3. Использование принципа дуальности задач оптимального управления и оптимального оценивания [9, 88, 91, 153].

По видимому наиболее универсальным следует признать первый подход. Во-первых, потому, что наиболее полная апостериорная инфоримация о случайных процессах содержится в апостериорных распределениях, на основе которых могут быть найдены все характеристики этих распределений. Во-вторых, потому, что при решении задач распознавания и передачи информации необходимо знание этих распределений [35, 43, 61, 62, 142, 143]. Поэтому в данной работе в основе всех исследований лежит нахождение совместной апостериорной плотности распределения значений ненаблюдаемого процесса во все моменты времени, присутствующие в постановке задач: в текущий момент времени t\ в прошлые моменты времени ti,72, • • •, тдг, связанные с наличием памяти; в будущие моменты времени Si, S2, • • •, sl, которые являются моментами экстраполяции.

Научная новизна.

X) Впервые решена задача обобщенной скользящей экстраполяции стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений со скользящей памятью произвольной кратности. Получено основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции. В условиях апостериорной гауссовости осуществлен синтез скользящего непрерывно-дискретного фильтра-интерполятора-экстраполятора со скользящей памятью. Проанализированы известные результаты и частные задачи, решения которых следуют как следствия из полученного базового решения.

2) Впервые осуществлен совместный синтез оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора-экстраполятора в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности при наличии аномальных помех. Исследованы свойства полученного решения, касающиеся зависимости точности оценивания от структуры воздействия компонент вектора аномальных помех на компоненты вектора наблюдения и кратности резервирования каналов наблюдения.

3) Впервые решена задача распознавания случайных процессов по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью произвольной кратности и задача обнаружения аномальных помех в дискретных каналах наблюдения. На основе дивергенции по Кульбаку [95] исследовано качество обнаружения в зависимости от структуры воздействия компонент аномальной помехи на компоненты вектора наблюдения и от кратности резервирования каналов наблюдения.

4) Впервые решена задача нахождения шенноновских мер количества информации о значениях ненаблюдаемого процесса, которые содержатся в совокупности реализаций непрерывных и дискретных во времени процессов с памятью произвольной кратности для совместных задач фильтрации -интерполяции, и фильтрации - обобщенной экстраполяции. Исследована структура информационных количеств и информационная эффективность наблюдений с памятью.

5) Впервые решена задача передачи гауссовского марковского процесса диффузионного типа по каналам с памятью и с запаздыванием при наличии мгновенной бесшумной обратной связи. Исследована эффективность оптимальных непрерывно-дискретных способов передачи при фильтрационном, интерполяционном и экстраполяционном приемах.

Теоретическая ценность. Полученные результаты могут служить основой для дальнейших исследований в области решения задач оценивания и распознавания случайных процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью, а также задач оптимальной передачи стохастических сигналов по непрерывно-дискретным каналам с памятью и с запаздыванием.

Практическая ценность. Полученные в диссертации теоретические результаты могут использоваться при разработке систем обработки измерений, систем управления, систем связи, систем передачи информации, навигационных систем и систем управления подвижных объектов, функционирование которых происходит в условиях, имеющих особенности: 1) непрерывно-дискретный во времени характер доступной измерению (наблюдению) или поступающей в каналы передачи информации, например, когда непрерывно во времени поступают сигналы бортовых измерителей, а в отдельные моменты времени - сигналы от внешних источников; 2) наблюдения обладают памятью относительно ненаблюдаемого процесса, т.е. зависят как от текущих, так и от прошлых значений ненаблюдаемого процесса, что связано с инерционностью измерителей, либо с конечным временем прохождения сигналов по каналам передачи информации; 3) в системе присутствуют неопределенности типа аномальных помех.

Апробация. Основные результаты докладывались на следующих конференциях, симпозиумах:

Международная конференция "Всесибирские чтения по математике" (Томск, 1997);

Международная конференция "Научные основы высоких технологий" (Новосибирск, 1997);

III, IV Сибирский Конгресс по прикладной и индустриальной математике "INPRIM" (Новосибирск, 1998; 2000);

II, III, V, VI, VIII Russian-Korean International Symposium of Science and Technology "KORUS" (Томск, 1998; Новосибирск, 1999; Томск, 2001; Новосибирск, 2002; Томск, 2004);

Международная конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения - АПЭП" (Новосибирск, 1998; 2000);

IV, V Всероссийская конференция с международным участием "Новые информационные технологии в исследовании сложных структур" (Томск, 2002; Иркутск, 2004);

II Сибирская научная школа-семинар с международным участием "Проблемы компьютерной безопасности и криптография - SIBECRYPT" (Томск, 2003);

Международный симпозиум по непараметрическим и робастным статистическим методам кибернетики (Томск, 2003);

13-th IFAC Symposium on System Identification (Rotterdam, The Netherlands, 2003);

16-th IFAC Symposium on Automatic Control in Aerospace (St.Petersburg, Russia, 2004);

16-th Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (Leu-ven, Belgium, 2004).

Публикации. Основное содержание диссертации опубликовано в 51 печатных работах, которые приведены в списке литературы [198-248].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы и трех приложений общим объемом 336 стр. из которых 257 стр. основного текста.

5.5 Выводы

В пятой главе рассматривается задача оптимальной непрерывно-дискретной передачи гауссовского марковского процесса диффузионного типа по каналам с памятью и с запаздыванием при наличии мгновенной бесшумной обратной связи.

1) Решена задача оптимальной непрерывно-дискретной передачи диффузионного гауссовского марковского сигнала по каналам с памятью при наличии бесшумной обратной связи (Теоремы 5.1-5.3).

2) Решена задача оптимальной непрерывно-дискретной передачи диффузионного гауссовского марковского сигнала по каналам с запаздыванием при наличии бесшумной обратной связи (Теоремы 5.4, 5.5).

3) Решена задача оптимальной непрерывно-дискретной передачи диффузионного гауссовского марковского сигнала по непрерывному каналу с памятью и дискретному каналу с запаздыванием, а также по непрерывному каналу с запаздыванием и дискретному каналу с памятью при наличии бесшумной обратной связи (Следствия 5.2, 5.3).

4) Проведено исследование эффективности дискретного канала с памятью относительно дискретного канала с запаздыванием, когда непрерывный канал является каналом передачи с памятью (Утверждения 5.1-5.4).

5) Проведено исследование эффективности непрерывного канала с памятью относительно непрерывного канала с запаздыванием, когда дискретный канал является каналом передачи с памятью (Утверждения 5.5-5.7).

Заключение

Основные научные положения, выносимые на защиту, сводятся к следующему. Для случая совокупности непрерывных и дискретных во времени наблюдений с памятью произвольной кратности N1

1. Получено основное уравнение нелинейной обобщенной скользящей экстраполяции со скользящей памятью (ОУНОСЭСП), определяющее совместную апостериорную плотность х^\хь) значений ненаблюдаемого процесса в момент окончания наблюдений t, в моменты времени £ — к = 1; /V, характеризующие память, и в будущие моменты времени £ + Т}, / = 1; Ь, являющиеся моментами экстраполяции (прогноза, предсказания) процесса х^ Сформулированы частные результаты, следующие из ОУНОСЭСП как следствия.

2. В условиях апостериорной гауссовости на основе ОУНОСЭСП с использованием метода семиинвариантной функции осуществлен синтез фильтра-интерполятора-экстраполятора, определяющего оптимальные в среднеквадратическом смысле оценки фильтрации //(£), интерполяции /2(£ — ££, £), к = 1; И, экстраполяции /л(£ + Т}, £), / = 1; Ь. Сформулированы частные результаты, следующие из этого общего результата.

3. Осуществлен совместный синтез оптимального в среднеквадратическом смысле несмещенного фильтра-интерполятора-экстраполятора в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью произвольной кратности, когда в дискретных наблюдениях присутствуют аномальные помехи, и исследованы его свойства.

4. Получено решение проблемы нахождения апостериорных вероятностей гипотез и отношений правдоподобия в общей задаче распознавания произвольного числа гипотез по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений как для случая фиксированной, так и для случал скользящей памяти произвольной кратности.

5. Решена задача обнаружения аномальных помех с заданной структурой воздействия ее компонент на компоненты вектора наблюдения и исследованы потенциальные свойства алгоритма относительно нижних границ вероятностей ложного обнаружения и пропуска аномальной помехи.

6. Получено уравнение для совместного количества информации Рт1 [а^, т/д1] о текущем xt и прошлых х^ значениях ненаблюдаемого процесса в общем и условно-гауссовском случаях, т.е. с информационной точки зрения рассмотрена совместная задача непрерывно-дискретной фильтрации и интерполяции в случае непрерывно-дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности.

7. Получено уравнение для совместного количества информации 1Цх1,х3;го^о1] о текущем х% и будущих х3 = * • • ,х31} значениях ненаблюдаемого процесса в общем и условно-гауссовском случаях, т.е. с информационной точки зрения рассмотрена совместная задача непрерывно-дискретной фильтрации и обобщенной экстраполяции в случае непрерывно-дискретных наблюдений с фиксированной памятью произвольной кратности.

8. Решена задача оптимальной непрерывно-дискретной передачи диффузионного гауссовского марковского сигнала по каналам с памятью и с запаздыванием при наличии мгновенной бесшумной обратной связи и проведено исследование эффективности оптимальных способов передачи.

9. С использованием общих результатов решены задачи исследования эффективности наблюдений с памятью относительно наблюдений без памяти и наблюдений с памятью относительно наблюдений с запаздыванием в задачах фильтрации, интерполяции, экстраполяции, обнаружения аномальных помех, информационной эффективности наблюдений и оптимальной передачи.

1. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. I. Основное уравнение нелинейной фильтрации // Автоматика и телемеханика. 1995. - № 9. - С. 49 - 59.

2. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью. II. Синтез фильтров // Автоматика и телемеханика. 1995.- № 10. С. 36 - 49.

3. Абакумова О.Л., Демин Н.С., Сушко Т.В. Фильтрация стохастических сигналов с непрерывны временем по дискретным наблюдениям с памятью // Проблемы передачи информации. 1995. - Т.31, № 1. -С. 68 - 83.

4. Абгарян К.А. Матричные и асимптотические методы в теории линейных систем. М.: Наука, 1973. - 432 с.

5. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976.- 756 с.

6. Алберт А. Регрессия, псевдоинверсия и рекуррентное оценивание. -М.: Наука, 1977. 224 с.

7. Аоки М. Оптимизация стохастических систем. М.: Наука, 1971. -424 с.

8. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М. Машиностроение, 1968.- 764 с.

9. Барабанов А.Т., Агранович Г.А., Кузнецов В.М. Оптимальное управление и фильтрация в непрерывно-дискретных системах.

10. Тезисы докладов восмого Всесоюзного совещания по проблемам управления. Минск: Изд-во Бел. НИИ НТИ, 1977, ч.1, С. 180-183.

11. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.: Наука, 1976. 352 с.

12. Богуславский А.И. Методы навигации и управления по неполной статистической информации. М.: Машиностроение, 1970. - 256 с.

13. Большаков И.А. Статистические проблемы выделения потока сигналов из шума. М.: Советсткое радио, 1969. 464 с.

14. Болыпев JI.H., Смирнов Н.В. Таблицы математической статистики. -М.: Наука, 1983. 416 с.

15. Борисов A.B., Панков А.Р., Сотский Н.М. Минимаксное оценивание в линейных дифференциальных неопределенно-стохастических системах // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 4, С. 57 - 63.

16. Боровков A.A. Математическая статистика. М.: Наука, 1984. - 472 с.

17. Брайсон А., Хо Ю Ши. Прикладная теория оптимального управления.- М.: Мир, 1972. 172 с.

18. Браммер К., Зиффлинг Г. Фильтр Калмана-Бьюси. М.: Наука, 1982.- 200 с.

19. Браславский Д.А. Приборы и датчики летательных аппаратов. М.: Машиностроение, 1970. - 392 с.

20. Браславский Д.А., Петров В.В. Точность измерительных усройств. -М.: Машиностроение, 1976. 312 с.

21. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗов. М.: Наука, 1998. - 608 с.

22. Вагди М.Н. Применение адаптивных систем управления для обнаружения и отключения неисправных датчиков // Аэрокосмическая техника, 1983. - Т. 1, № 2. - С. 155 - 160.

23. Венгеров A.A., Щаренский В.А. Прикладные вопросы оптимальной линейной фильтрации. М.: Энергоиздат, 1982. - 192 с.

24. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. М.: Советское радио, Т.1, 1972. - 744 с.

25. Вонэм В.М. Стохастические дифференциальные уравнения в теории управления // Математика. 1973. Т. 17, № 4. - С. 129-167; 1973. - Т. 17, № 5. - С. 82 - 114.

26. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М: Наука, 1984. - 318 с.

27. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. М.: Советсткое радио, 1974. 720 с.

28. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М: Наука, 1988. - 548 с.

29. Гельфанд И.М., Колмогоров А.Н., Яглом A.M. К общему определению количества информации. ДАН СССР, 1956, T.III, № 4, С. 745-748.

30. Гельфанд И.М., Колмогоров А.Н., Яглом A.M. Количество информации и энтропия для непрерывных распределений. Труды 9-го Всесоюзного математического съезда. - М: Изд-во АН СССР. -1958. - Т. 3. - С. 300-320.

31. Гельфанд И.М., Яглом A.M. О вычислении количества информации о случайной функции, содержащейся в другой такой функции // УМН.- 1957. Т.12, № 1. - С. 3 - 52.

32. Гихман И.И., Скороход A.B. Теория случайных процессов. М.: Наука, I, 1971. - 664 е., II, 1973. - 639 е., III, 1975. - 496 с.

33. Гихман И.И., Скороход A.B. Введение в теорию случайных процессов.- М.: Наука, 1977. 568 с.

34. Гихман И.И., Скороход A.B. Стохастические дифференциальные уравнения и их приложения. Киев: Наукова думка, 1982. - 357 с.

35. Гольдман С. Теория информации. М.: ИЛ, 1957. - 446 с.

36. Городецкий А.Я. Текущее количество информации для непрервной оценки в задачах нелинейной фильтрации (гауссовское приближение) // Автоматика и телемеханика. 1979. - № 11. - С. 76- 82.

37. Гришин Ю.П. Обнаружение нарушений в динамических системах // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. - № 5. - С. 42 - 53.

38. Гришин Ю.П., Казаринов Ю.М. Динамические системы, устойчивые к отказам. М.: Радио и связь. - 1985. - 176 с.

39. Гриффин Р., Сейдж А. Анализ чувствительности дискретных алгоритмов фильтрации и сглаживани // Ракетная техника и космонавтика. 1969. - № 10. - С. 85 - 93 .

40. Григелионис Б. О стохастических уравнениях нелинейной фильтрации случайных процессов // Литовский матем. сб., 1972. Т.12, № 4. - С. 37 - 53.

41. Дашевский М.Л., Липцер Р.Ш. Применение условных семиинвариантов в задачах нелинейной фильтрации марковских процессов // Автоматика и телемеханика. 1967. - № 6. - С. 63 - 74.

42. Демин Н.С. О процедуре сглаживания для скачкообразных марковских сигналов / / Известия АН СССР Техническая кибернетика. - 1975. - № 6. - С. 129 - 136.

43. Демин Н.С. Оптимальное оценивание состояния и оптимальная классификация стохастических систем со случайными скачкообразными процессами в канале измерений // Автоматика и телемеханика. 1976. - № 8. - С. 25 - 33.

44. Демин Н.С. Оптимальное распознавание случайных марковских сигналов с непрерывными и скачкообразными компонентами // Радиотехника и электроника. 1976. - № 10. - С. 2142 - 2148.

45. Демин Н.С. Оптимальное сглаживание с постоянным запаздыванием векторов состояний динамических систем // Автометрия. -1977. 1.- С. 8 16.

46. Демин Н.С. Оптимальное распознавание скачкообразных компонент марковских сигналов // Проблемы передачи информации. 1977. -№ 2.-С. 45 -54.

47. Демин Н.С. Интерполяция состояния стохастической системы со случайными параметрами при непрерывно-дискретных наблюдениях // Автоматика и телемеханика. 1977. - № 7. - С. 28 - 38.

48. Демин Н.С. Оптимальная классификация непрерывных компонент марковских процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 1. - С. 44 -52.

49. Демин Н.С. Адаптивное оценивание вектора состояния линейной стохастической динамической системы по совокупности непрерывных и дискретных измерений / / Автометрия. 1978. - К® 2.-С. 40-46.

50. Демин Н.С. Оптимальное распознавание случайных марковских сигналов с непрерывными и скачкообразными компонентами при непрерывно-дискретных наблюдениях // Радиотехника и электроника.- 1978. № 7. - С. 1543 - 1545.

51. Демин Н.С. Оценивание и классификация случайных процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений // Известия АН СССР Техническая кибернетика. - 1979. - № 1. - С. 153 - 160.

52. Демин Н.С. Фильтрация и интерполяция скачкообразного марковского процесса по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений // Радиотехника и электроника. 1979. - № 5. - С. 1079 - 1082.

53. Демин Н.С. Непрерывно-дискретная скользящая экстраполяция марковских процессов // Автоматика и телемеханика. 1981. - № 7. -С. 74 - 83.

54. Демин Н.С. Теория оценивания и распознавания стохастических сигналов. Томск: Изд-во ТГУ, 1983. - 110 с.

55. Демин Н.С. Теория фильтрации. Томск: Изд-во ТГУ, 1985. - 140 с.

56. Демин Н.С. Фильтрация случайных процессов при непрерывно-дискретных каналах наблюдения с памятью // Автоматика и телемеханика. 1987. - № 3. - С. 59 - 69.

57. Демин Н.С. Экстраполяция случайных процессов при непрерывно-дискретных каналах наблюдения с памятью // Автоматика и телемеханика. 1992. - № 4. - С. 64 - 72.

58. Демин Н.С., Лузина Л.И. Оптимизация систем фильтрации стохастических сигналов. Томск: Изд-во ТГУ, 1991. - 191 с.

59. Демин Н.С., Жадан Л.И. Об оптимальности процедуры исключения аномальных измерений // Автометрия. 1983. - № 4. - С. 29 - 33.

60. Демин Н.С., Жадан Л.И. Синтез и анализ оптимального алгоритма фильтрации для дискретных сигналов с аномальными помехами // Радиотехника и электроника. 1984. - № 2. - С. 250 - 255.

61. Демин Н.С., Кадиров М.Р. Информационный анализ задачи экстраполяции стохастических процессов в случае непрерывно-дискретных наблюдений с памятью // Изв. вузов Физика. - 1999. -№ 3. - С. 135 - 140.

62. Демин Н.С., Короткевич В.И. О количестве информации в задачах фильтрации компонент марковских процессов // Автоматика и телемеханика. 1983. - № 7. - С. 87-96.

63. Демин Н.С., Короткевич В.И. Об уравнениях для шенноновского количества информации при передаче марковских диффузионныхсигналов по каналам с памятью // Проблемы передачи информации.- 1987. Т.23, № 1. - С. 16 - 27.

64. Демин Н.С., Лузина Л.И. Точность оценивания и обнаруживаемость отказов в системах фильтрации при резервировании измерительных комплексов // Автометрия. 1989. - N2 4. - С. 62 - 65.

65. Демин Н.С., Михайлюк В.В. Фильтрация в стохастических динамических системах при аномальных помехах в канале наблюдения. I. Системы с непрерывным временем // Изв. РАН- Техническая кибернетика. 1994. - № 4. - С. 46 - 52.

66. Демин Н.С., Михайлюк В.В. Фильтрация в стохастических динамических системах при аномальных помехах в канале наблюдения. И. Системы с непрерывно-дискретным каналом наблюдения // Изв. РАН Техническая кибернетика. - 1994. -№ 6. - С. 46 - 57.

67. Демин Н.С., Михайлюк В.В. Обнаружение аномальных помех в случае непрерывно-дискретных каналов наблюдения // Автометрия. 1994. -ДО1.-С. 109-119.

68. Демин Н.С., Петров В.В. Интерполяция состояния стохастической системы со скачкообразными параметрами по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений // Известия АН СССР- Техническая кибернетика. 1977. - № 6. - С. 193 - 202.

69. Демин Н.С., Петров В.В. Фильтр Калмана-Бьюси для коррелированных непрерывно-дискретных наблюдений / / Изв. вузов Приборостроение. - 1978. - № 5. - С. 14 - 19.

70. Демин Н.С., Сушко Т.В., Яковлева A.B. Обобщенная обратная экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Изв. РАН- Теория и системы управления. 1997. - № 4. - С. 48 - 59.

71. ТО. Добрушин P.JI. Общая формулировка основной теоремы Шеннона в теории информации // УМН. 1959. - Т. 14, № 6. - С. 3 - 104.

72. Дуб Дж. J1. Вероятностные процессы. М.: ИЛ, 1956. - 605 с.

73. Дынкин Е.Б. Марковские процессы. М.: ФМ, 1963. - 859 с.

74. Дэвис М.Х.А. Линейное оценивание и стохастическое управление. М.: Наука, 1984. - 205 с.

75. Ершов А.А Стабильные методы оценки параметров (обзор) // Автоматика и телемеханика. 1978. - № 8. - С. 66 - 100.

76. Жандаров A.M. Идентификация и фильтрация измерений состояния стохастических систем. М.: Наука, 1979. — 112 с.

77. Зелененький П.П. Применение методов теории статистических решений при исключении аномальных измерений // Изв. АН СССР- Техническая кибернетика. 1969. - К0- 2. - С. 139 - 142.

78. Ирвин Ф.Г., Стендиш Ч.Д. Тода Н.Ф. Расходимость фильтрации по методу Калмана // Ракетная техника и космонавтика. 1967. - № 6. -С. 73 - 81.

79. Казаков И.Е. Статистическая теория систем управления в пространстве состояний. М.: Наука, 1975. - 384 с.

80. Калвер К.О. Оптимальные оценки состояния нелинейных систем. ЭИ САУ. М.: Изд-во ВИНИТИ, 1970, № 5, с. 1-15.

81. Калман P.E., Бьюси P.C. Новые результаты в линейной теории фильтрации и теории предсказания // Техническая механика, сер. "Д".- 1961. Т.83, № 1. - С. 123 - 141.

82. Каллианпур Г. Стохастическая теория фильтрации. М.: Наука, 1987.- 320 с.

83. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления.- М.: Мир, 1977. 650 с.

84. Кириченко А.А. и др. Оценивание вектора состояния динамической системы при наличии аномальных измерений // Зарубежная радиоэлектроника. 1981. - № 12. - С. 3 - 23.

85. Кицул П.И. Нелинейная фильтрация по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений. Адаптация, самоорганизация. М.: Наука. -1970. - С. 52-57.

86. Кицул П.И. О непрерывно-дискретной фильтрации марковских процессов диффузионного типа // Автоматика и телемеханика. 1970. -№11.-С. 29- 37.

87. Кицул П.И. К решению одной задачи эффективной последовательной интерполяции // Автоматика и телемеханика. 1974. - № 12. - С. 89 -94.

88. Колесник В.Д., Полтырев Г.Ш. Курс теории информации. М.: Наука, 1982. - 416 с.

89. Колмановский В.Б. Об оптимизации процесса наблюдения при запаздывании информации // ПММ. 1971. - Т.35, № 2. - С. 312 -320.

90. Колмановский В.Б. О фильтрации некоторых стохастических процессов с последействием // Автоматика и телемеханика. -1974. С. 42 -49.

91. Колмановский В.В., Майзенберг Т.Л. Оптимальное управление стохастическими сигналами с последействием // Автоматика и телемеханика. 1973. - № 1. - С. 47 - 61.

92. Колмановский В.В., Майзенберг Т.Л. Оптимальные оценки состояния и некоторые задачи управления системами с последействием // ПММ. 1977. - Т.41, № 3. - С. 446 - 456.

93. Колмогоров А.Н. Интерополирование и экстраполирование стацианарных случайных последовательностей // Известия АН СССР, Сер. матем. 1941. - Т.5, № 3.

94. Колмогоров А.Н. Теория передачи информации. М.: Изд-во АН СССР, 1956. - 33 с.

95. Крогман У. Фильтр Калмана, основная теория и возможности применения его в системах инерциальной навигации // Механика. -1973. № 5. - С. 17 - 31.

96. Кульбак С. Теория информации и статистика. М.: Наука, 1967. -408 с.

97. Кульман Н.К., Хаметов В.М. Оптимальная экстраполяция марковских процессов на фоне помех // Изв. АН СССР Техническая кибернетика. - 1978. 1. - С. 149- 154.

98. Кульман Н.К., Хаметов В.М. Оптимальная фильтрация в случае косвенного наблюдения диффузионного процесса с запаздывающим аргументом // Проблемы передачи информации. 1978. - Т.14, № 3. -С. 55 - 64.

99. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1982. - 272 с.

100. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Сов. радио, 1968, т.2. - 504 с.

101. Липцер Р.Ш. Об экстраполяции и фильтрации некоторых марковских процессов // Кибернетика. 1968. - № 3. - С. 63 - 70; № 6. - С. 70 - 76.

102. Липцер Р.Ш. Оптимальное кодирование и декодирование при передаче гауссовского марковского сигнала по каналу с бесшумной обратной связью / / Проблемы передачи информации. 1974. - №4. -С. 3-15.

103. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Нелинейная фильтрация диффузионных марковских процессов. Труды МИ АН СССР им. В.А. Стеклова. -1968. - Т.104. - С. 135 - 180.

104. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Экстраполяция многомерных марковских процессов по неполным данным // Теория вероятностей и ее применение. 1968. - Т.13, № 1. - С. 17 - 38.

105. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Нелинейная интерполяция компонент диффузионных марковских процессов (прямые уравнения, эффективные формулы) // Теория вероятностей и ее применение. -1968. Т.13, № 4. - С. 602 - 620.

106. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1974. - 696 с.

107. Малаховский P.A., Соловьев Ю.А. Оптимальная обработка информации в комплексных навигационных системах самолетов и вертолетов // Зарубежная радиоэлектроника. 1974. - № 3. - С. 18 -53.

108. Маркус М., Минк X. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.: Наука, 1972. - 232 с.

109. Медич Дж. Статистически оптимальные линейные оценки и управление. М.: Энергия, 1973. - 440 с.

110. Мельников A.B. О стохастическом анализе в современной математике страхования // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1995. - Т.2, № 4. - С. 514 - 526.

111. Миронов М.А. Условия применимости метода гауссовской аппроксимации в марковской теории оптимальной нелинейной фильтрации // Радиотехника и электроника. 1981. - №6. - С. 1186 -1197.

112. Миронов M.А. Идентификация и адаптивное оценивание методами теории условных марковских процессов // Радиотехника и электроника. 1982. - №. - С. 65 - 74.

113. Невельсон М.Б., Хасьминский Р.З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972. - 304 с.

114. Обнаружение изменения свойств сигналов и динамических систем / Под ред. Бассивиль М., Банвенист A.M. М.: Мир, 1989. - 278 с.

115. Параев Ю.И. Введение в стохастическую динамику процессов управления и фильтрации. М.: Сов. радио, 1976. - 184 с.

116. Пугачев B.C. Оценивание состояния и параметров непрерывных нелинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1979. - №6. -С. 63 - 79.

117. Пугачев B.C. Условно-оптимальная фильтрация и экстраполяция непрерывных процессов // Автоматика и телемеханика. 1984. - №2. - С. 82 - 89.

118. Пугачев B.C., Синицын И.Н. Стохастические дифференциальные системы. М.: Наука, 1990. - 630 с.

119. Ривкин С.С. Метод оптимальной фильтрации Калмана и его применения в инерциальных навигационных системах. JL: Судостроение, 1974. - 155 с.

120. Розовский Б.Л. О формуле Ито-Вентцеля // Вестник МГУ, сер. матем., механ., 1973. - №1. - С. 26 - 32.

121. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978. -551 с.

122. Саридис Д. Самоорганизующиеся стохастические системы управления. М.: Наука, 1980. - 400 с.

123. Сейдж Э., Меле Д. Теория оценивания и ее применения в связи и управлении. М.: Связь, 1976. - 496 с.

124. Снайдер Д. Метод уравнений состояния для непрерывной оценки в применении к теории связи. М.: Энергия, 1973. - 104 с.

125. Сосулин Ю.Г. Теория обнаружения и оценивания стохастических сигналов. М.: Сов. радио, 1978. - 320 с.

126. Сосулин Ю.Г. Теоретические основы радиолокации и навигации. М.: Радио и связь, 1992. - 303 с.

127. Сотсков Б.М., Щербаков В.Ю. Теория и техника Калмановской фильтрации при наличии мешающих параметров // Зарубежная радиоэлектроника. 1985. - №2. - С. 3 - 29.

128. Стратонович РЛ. Условные процессы Маркова // Теория вероятностей и ее применения. 1960. - Т.5. - N«2. - С. 172 -195.

129. Стратонович Р.Л. Условные марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М.: Изд-во МГУ, 1966. - 319 с.

130. Стратонович Р.Л. Теория информации. М.: Советское радио, 1975.- 423 с.

131. Тихонов В.И., Кульман Н.К. Нелинейная фильтрация и квазикогерентный прием сигналов. М.: Советское радио, 1975.- 704 с.

132. Файнстейн А. Основы теории информации. М.: ИЛ, 1960. 136 с.

133. Фано Р.П. Передача информации. Статистическая теория связи. М.: Мир, 1965. - 438 с.

134. Фуджисаки М., Каллианпур Г., Кунита X. Стохастические дифференциальные уравнения в задачах нелинейной фильтрации // Математика (сб. перев. иностр. статей). 1973. - Т. 12. - № 2. - С. 108 - 128.

135. Фукунага К. Введение в статистическую теорию распознавания образов. М.: Наука, 1979. - 368 с.

136. Хазен Э.Ш. Методы оптимальных статистических решений и задачи оптимального управления. М.: Сов. радио, 1968. - 256 с.

137. Цзян Цзы-Пей. Замечание об определении количества информации // Теория вероятностей и ее приложения. 1958. — JV2 1. — С. 99-102.

138. Черноусько Ф.Л., Колмановский В.Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978. - 351 с.

139. Шапиро Е.И. Рекуррентный алгоритм нелинейной фильтрации с учетом аномальных ошибок // Радиотехника и электроника. 1980. - № 2. - С. 290 - 295.

140. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. М.: ИЛ, 1963. 829 с.

141. Широков Л.Е. Оценка состояния нелинейной динамической системы при непрерывно-дискретном канале наблюдения // Изв. АН СССР -Техническая кибернетика. 1975. - №1. - С. 180 - 187.

142. Ширяев А.Н. О некоторых понятиях и стохастических моделях финансовой математики // Теория вероятностей и ее применения. -1994. Т.39. - т. - С. 5 - 22.

143. Шпилевский Э.К. Нелинейная оптимальная классификация наблюдений при распознавании случайных процессов // Изв. АН СССР Техническая кибернетика. - 1973. - №. - С. 129 - 136.

144. Шпилевский Э.К. Опознавание динамических систем в обстановке помех // Автоматика и телемеханика. 1974. - №12. - С. 60 - 71.

145. Ярлыков М.С. Статистическая теория радионавигации. М.: Радио и связь, 1985. - 344 с.

146. Anderson В.D.O. Fixed interval smoothing for nonlinear continious time systems // Information and Control. 1972. - 32, N 3. - P. 294 - 300.

147. Arimoto S. Information-theoretical considerations on estimation problem // Inform. Control. 1971. - 19, N 2. - P. 181 - 194.

148. Athans M., Tse E. A direct derivation of the optimal linear filter using the maximum principle // IEEE Trans. Autom. Control. 1967. - AC-12, N 6. - P. 690 - 698.

149. Basin M., Martinez-Zuniga R. Optimal filtering for linear systems with multiple delays in observations / / 13-th IF AC Symposium on System Identification. Preprints. Rotterdam, The Netherlands, 2003. - P. 1042 - 1047.

150. Basin M., Alcorta-Garcia M.A. Optimal filtering for bilinear systems // 13-th IFAC Symposium on System Identification. Preprints. Rotterdam, The Netherlands, 2003. - P. 467 - 472.

151. Boukas E.K., Liu Z.K. Deterministic and stochastic time-delay systems. Berlin: Birkhauser, 2002.

152. Bucy R.S. Nonlinear filtering theory // IEEE Trans. Autom. Control. -1968. AC-10, N 2. - P. 198.

153. Bucy R.S., Joseph P.D. Filtering for stohastic processes with application to guidance. New York: Interscience Publishers, 1968.

154. Chan W.L. Variational dualities in the linear regulator and estimation problems with and without time delay //J. Inst. Math. Appl. 1976. -N.18. - P. 237-247.

155. Delfour M.C. The linear quadratic control problem with delays in state and control variables: a state space approach // SIAM J. Control and Optim. 1986. - N.24. - P. 835 - 883.

156. Dion J.M., Dugard J.L., Fliess M. Linear Time-Delay Systems. London: Pergamon, 1999.

157. Duncan T.E. Mutual information for stochastic differential equations // Information and Control. 1971. - 19, N.3. - P. 265 - 271.

158. Fisher J.R., Stear E.B. Optimal nonlinear filtering for independent increment processes // IEEE. 1967. - IT-13, N.4. - P. 558 - 578.

159. Fukunaga K. Introduction to stochastical pattern recognition. New York: Academic Press, 1972.

160. Gallager R.G. Information theory and reliable communication New York: Wiley, 1968.

161. Grene C.S. An analysis of the multiple model adaptive control algorithm.- Ph. D. Dissertation. M.I.T. Cambridge. Mass. August. 1978.

162. Ihara S. Capacity of mismatched gaussian channels with and without feedback // Probab. Th. Relat. Fields 1990. - 84, N.4. - P. 453 - 471.

163. Jazwinski A.H. Limited memory optimal filtering // IEEE Trans, on Au-tom. Control. 1968. - AC-13, N.5. - P. 558 - 563.

164. Kailath T. An innovations approach to least squares estimation part I. Linear filtering in additive white noise // IEEE. - 1968. - AC-13, N.6. -P. 646 - 655.

165. Kailath T., Frost P. An innovations approach to least squares estimations- part II: Linear smoothing in additive white noise IEEE. 1968. - AC-13, N.6. - P. 655 - 660.

166. Kailath T. A general likelihood ratio formula for random signals in Gaussian noise // IEEE Trans. Inform. Theory. 1969. - IT-13, N.3. - P. 350 -361.

167. Kallianpur G. Stochastic filtering theory. New York: Springer-Verlag, 1980.

168. Kalman R.E. A new approach to linear filtering and prediction problems // Trans. ASME. J.Basic Eng. Ser. D. 1960. - 82(March). - P. 35 - 45.

169. Kalman R.E., Bucy R.S. New results in linear filtering and prediction theory // Trans. ASME. J.Basic Eng., 1961. 83(March). - P. 95 - 108.

170. Kolmanovskii V.B., Shaikhet L.E. Control of systems with after-effect. -Providence: American Math. Soc. 1996.

171. Kushner H.J. On the differential equations satisfide by conditional probability densities of Markov processes with applications // SIAM J. Control.- 1964. N.2. - P. 106 - 119.

172. Kushner H.J. Dynamical equations for optimal nonlinear filtering //J. Diff. Equarions. 1967. - 3. - P. 179 - 190.

173. Kushner H.J., Schweppe F.C. The maximum principle for the stochastic control system // J. of Math. Anal, and Appl. 1964. - 8, N.2. - P. 287 -307.

174. Kwong R.H. A stability theory for the linear-quadratic-Gaussian problem for systems with delay in the state, control and observations // SIAM J. Control and Optimiz. 1980. - V.18, N.l. - P. 49 -75.

175. Lainiotis D.G. Optimal adaptive estimation: structure and parameter adaptation // IEEE. 1971. - AC-16, N.2. - P. 166 - 170.

176. Lainiotis D.G. Optimal adaptive estimation and system identification // Information and Control. 1971. - 19, N.l. - P. 75 - 92.

177. Lainiotis D.G. Partioned estimation algorithm: nonlinear estimation // Information sciences. 1974. - V.7, N.2. - P. 203 - 235.

178. Lainiotis D.G. Partioned estimation algorithm: linear estimation // Information sciences. 1974. - V.7, N.2. - P. 317 - 340.

179. Lee G.M. Nonlinear interpolation // IEEE. 1971. - IT-17, N.l. - P. 45- 49.

180. Malek Zavarii M., Jashmidi M. Time-delay systems: analysis, optimization and applications. Amsterdam: Noth-Holland, 1987.

181. Makila P.M., Partington J.R. On linear models for nonlinear systems // Automatica. 2003. - V.39, N.l. - P. 1 - 13.

182. Mc Lenndon J.R., Sage A.P. Computational algorithms for discrete detection and likelihood ratio computation // Information Sciencess. 1970.- 2, N.3. P. 589 - 598.

183. Medich J.S. On optimal linear smoothing theory // Information and Control. 1967. - 10, N.6. - P. 598 - 615.

184. Middleton D. Introduction to statistical communication theory. New York: Me G raw-Hill, 1960.

185. Nakamizo T. On the state estimation for non-linear dynamic systems // Intern. J. Control. 1970. - 11, N.4. - P. 683 - 695.

186. Ocone D., Pardoux E. A generalized Ito-Ventzel formula // Ann. Inst. Henri Poincare. 1989. - V.25, N.l. - P. 39 - 71.

187. Pankov A.R. Conditionally-minimax nonlinear filter for differential system with discrete observations // Advances in Model. Analysis. AMSE Press. 1993. - V.28, N.l. - P. 31 - 39.

188. Pankov A.R., Borisov A.V. A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic dynamic systems // Intern. J. Control. 1994. - V.60, N.3. - P. 413 - 423.

189. Pugachev V.S., Sinitsyn I.N. Stochastic systems: theory and applications. Singapure: World Scientific, 2001.

190. Van Trees H. Detection, estimation and modulation theory. New York: Wiley, 1971.

191. Schweppe F.C. Evaluation of likelihood functions for Gaussian signals // IEEE Trans. Inform. Theory. 1965. - IT-11, N.l. - P. 61 - 70.

192. Shannon C.E., Weaver W. The mathematical theory of communication // Univ. Illinois Press, Urbana, Illinois. 1949.

193. Tomita Y., Ohmatsu S., Soeda T. An application of information theory to estimation problems // Inform. Control. 1976. - 32, N.2. - P. 101 -111.

194. Wang Z., Ho D.W.C. Filtering on nonlinear time-delay stochastic systems // Automatica. 2003. - V.39, N.l. - P. 101 - 109.

195. Wiener N. Extrapolation, interpolation and smoothing of stationary time series // New York: The technology press and John Wiley and Sons. -1949.

196. Willsky A.S., Jones H.L. A generalized likelihood ratio approach to the detection and estimation of jumps in linear systems // IEEE Trans on Aut. Control. 1976. - AC-21, N.l. - P. 108 - 112.

197. Wonham W.M. Some applications of stochastic differential equations to nonlinear filtering // SIAM J. Control. 1965. - N.2. - P. 347 - 369.

198. Yu Т.К., Seinfeld J.H., Ray W.H. Filtering in nonlinear time delay sistems // IEEE Trans. Autom. Control. 1974. - V. 19, N.4. - P. 324 - 333.

199. Демин Н.С., Рожкова С.В. Непрерывно-дискретная фильтрация с памятью при наличии аномальных помех в дискретных наблюдениях // Международная конференция "Научные основы высоких технологий". Труды. Новосибирск: НГТУ, 1997. - С. 103 - 105.

200. Демин Н.С., Рожкова С.В. Обобщенное непрерывно-дискретное оценивание при наличии аномальных помех // III Сибирский Конгресспо прикладной и индустриальной математике. Тезисы докладов. -Новосибирск: Институт математики, 1998. Ч.З - С. 58.

201. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Распознавание стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретныхнаблюдений с фиксированной памятью / / Математическое моделирование и теория вероятностей. Томск: Пеленг, 1998. С. 157-162.

202. Демин H.C., Рожкова С.В. Фильтрация стохастических сигналов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью при наличии аномальных помех // Автометрия. 1999. - № 3. - С. 23 - 35.

203. Демин Н.С., Рожкова С.В. Непрерывно-дискретная фильтрация стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех // Автоматика и вычислительная техника. 1999. -ДО 1.-С. 13-25.

204. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с фиксированной памятью // Автоматика и вычислительная техника. 1999. -ДО 4. - С. 23 - 34.

205. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Анализ задачи непрерывно-дискретной фильтрации стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. // Автоматика и вычислительная техника. 2000. - ДО 2. - С. 26 - 37.

206. Демин Н.С., Рожкова С.В. Непрерывно-дискретное оценивание стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех. Синтез // Изв. РАН Теория и системы управления. - 2000. - № 3. - С. 5 - 16.

207. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обобщенная скользящая экстраполяция стохастических процессов по совокупности непрерывных и дискретных наблюдений с памятью // Изв. РАН- Теория и системы управления. 2000. - № 4. - С. 39 - 51.

208. Демин H.C., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Непрерывно-дискретная фильтрация стохастических процессов в случае резервирования каналов наблюдения при наличии аномальных помех // Автоматика и вычислительная техника. 2001. - № 5. - С. 56 - 67.

209. Dyomin N.S, Rozhkova S.V., Rozhkova O.V. Likelihood ratio determination for stochastic processes recognition problem with respect to the set of continuous and discrete memory observations // Informática. 2001. -V.12, N.2. - P. 263 - 284.

210. Рожкова С.В., Сафронова И.Е. Оптимальная передача стохастических процессов по каналам с памятью при наличии бесшумной обратной связи // Вестник Томского гос. ун-та. 2002. -Приложение, №1(1). - С. 117 - 122.

211. Рожкова С.В., Сафронова И.Е. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации, интерполяции и экстраполяции по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью // Вестник Томского гос. ун-та. 2002. - Приложение, №1(1). - С. 123 - 128.

212. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Анализ задачи непрерывно-дискретного оценивания стохастических процессов в случае наблюдений с памятью при наличии аномальных помех // Известия ТПУ. 2003. - Т.ЗОб, № 2. - С. 6 - 11.

213. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Непрерывно-дискретное оценивание стохастических процессов в случае резервирования каналов наблюдения с памятью при наличии аномальных помех // Известия ТПУ. 2003. - Т.ЗОб, № 3. - С. 15 - 19.

214. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Обнаружение аномальных помех в случае непрерывно-дискретных каналов наблюдения с памятью // Автоматика и вычислительная техника. 2003. - № 5. -С. 70 - 82.

215. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Safronova I.E. Optimal transmission of the stochastic process over the memory channels at presence of a clear lag in discrete observations // Вестник Томского гос. ун-та. 2003. -Приложение, №6. - С. 259 - 264.

216. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Фильтрация в динамических системах по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. I. Непрерывные наблюдения // Вестник Томского гос. ун-та. 2003. - ДО 280. - С. 175 - 179.

217. Демин Н.С., Рожкова С.В., Рожкова О.В. Фильтрация в динамических системах по непрерывно-дискретным наблюдениям с памятью при наличии аномальных помех. II. Непрерывно-дискретные наблюдения // Вестник Томского гос. ун-та. 2003. - ДО 280. - С. 180 - 184.

218. Демин Н.С., Рожкова С.В. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Общий случай // Известия ТПУ. 2004. - Т.307, ДО 3. - С. 13 - 17.

219. Демин Н.С., Рожкова С.В. О структуре количества информации в совместной задаче фильтрации и интерполяции по наблюдениям с памятью. Условно-гауссовский случай // Известия ТПУ. 2004. -Т.307, ДО 4. - С. 6 - 10.

220. Демин H.C., Рожкова С.В., Сафронова И.Е. Оптимальная передача гауссовского процесса по непрерывно-дискретным каналам с памятью и запаздыванием // Вестник Томского гос. ун-та. 2004. - Приложение, №9(11). - С. 156 - 161.

221. Dyomin N.S., Rozhkova S.V., Safronova I.E. About structure of Shannon information amount for joint filtering and extrapolation problem by continuous-discrete memory observations // Informática. 2004. - V.15, N.2. - P. 171 - 202.