автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимизация управления стохастических систем с запаздыванием

На правах рукописи

АЮКАСОВ Рустам Анатольевич

ОПТИМИЗАЦИЯ УПРАВЛЕНИЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ЗАПАЗДЫВАНИЕМ

Специальность: 05.13.01 - системный анализ, управление и обработка информации (механика)

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 9 МАЙ 2011

Казань-2011

4846712

Работа выполнена в Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева

Научный руководитель доктор технических наук, доцент

Роднищев Николай Егорович

Официальные оппоненты доктор техн. наук, профессор

Балоев Арнольд Андреевич

доктор физ.-мат. наук, профессор Лазарев Александр Алексеевич

Ведущая организация Казанский государственный

технологический университет, г. Казань

Защита состоится 27 мая 2011 года в _ часов на заседании

диссертационного совета Д 212.079.01 при Казанском государственном техническом университете им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, 10, зал заседаний Учёного совета.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного технического университета им. А.Н. Туполева по адресу: 420111, г. Казань, ул. К. Маркса, 10. Автореферат диссертации размещен на сайте Казанского государственного технического университета им. А.Н.Туполева www.kai.ru

Автореферат разослан «_»_2011 г.

Ученый секретарь У

диссертационного совета, /-ЖСКР^^?^^

доктор физ.-мат. наук, профессор ^ Данилаев П.Г.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Системы, описываемые стохастическими дифференциально-разностными уравнениями, играют значительную роль в исследовании многих прикладных задач. Такие уравнения появляются там, где свойства объекта определяются эффектом последействия, и служат математическими моделями различных процессов: автоматического регулирования и управления техническими и механическими системами, развития экономических и социальных систем; генерации сигналов, горения в жидкостно-реактивных двигателях, замедления нейтронов, влияния излучений, линий задержки; радиолокации и радионавигации, процессов в авиационных силовых установках и т.д.

Запаздывание в системах приводит к новым эффектам, например самовозбуждению колебаний, увеличению перерегулирования и неустойчивости объектов управления и др.

Существующие в настоящее время условия оптимальности управления формулировались в основном на использовании принципа максимума Понтрягина. Использование такого подхода требует численного решения стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием для всего множества возможных реализаций компонент фазового вектора, что в общем случае является практически неразрешимой задачей ввиду бесконечного множества возможных реализаций компонент фазового вектора. Также следует отметить, что практическое использование принципа максимума Понтрягина, ввиду большой сложности, трудно применимо к задачам большой размерности (больше 3) для нелинейных стохастических систем.

Все вышесказанное позволяет сделать вывод об актуальности развития методов оптимизации управления систем, описываемых стохастическими дифференциальными уравнениями с запаздыванием.

Цель работы. Целью данной работы является развитие существующих методов оптимизации стохастических систем с целью получения единой методики поиска оптимального управления систем, описываемых стохастическими дифференциально-разностными

уравнениями.

Предметом исследования является определение условий оптимальности управления стохастических систем с запаздыванием и численные методы их поиска.

Объектами исследования являются математические модели процессов и систем, текущее состояние которых зависит как от предыстории, так и от случайных составляющих.

Задачи работы.

Исследование условий оптимальности управления нелинейными стохастическими системами с запаздыванием;

разработка численных и приближенных методов решения задач оптимизации нелинейных стохастических систем с запаздыванием.

Методы исследования. В качестве методов исследования в работе применяются современный аппарат функционального анализа, общая теория экстремальных задач, теория оптимального управления, вариационное исчисление, математическое программирование, теория вероятностей и математическая статистика, теории случайных процессов, теории стохастических дифференциальных уравнений, методов вычислений, численных методов оптимизации и т.д.

Научная новизна. Формулирование необходимых условий оптимальности управления стохастических систем с запаздыванием. Создание алгоритмов и программного обеспечения для решения задач поиска оптимального управления стохастических систем с запаздыванием.

Положения, выносимые на защиту. В диссертации выносятся на защиту следующие основные положения:

Условия существования управления непрерывных стохастических систем с запаздыванием.

Необходимые условия слабого и сильного экстремума непрерывных стохастических систем с запаздыванием.

Численные и приближенные методы поиска оптимального управления непрерывных стохастических систем с запаздыванием.

Практическая ценность. Разработана единая методика для решения задач оптимизации управления стохастических систем с запаздыванием. Основное внимание в работе уделяется исследованию условий экстремума, позволяющих не только устанавливать необходимые условия оптимальности систем, но и строить на их основе численные методы поиска оптимального управления.

Апробация работы. Основные положения, выводы и результаты работы докладывались на международных и всероссийских конференциях: на всероссийском семинаре, посвященном 100-летию Кузьмина П.А. в г. Казань в 2008 году, международном семинаре IFAC в г. Самара в 2009 г, Российской школе-конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» с международным участием 14-18 декабря 2009 года.

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 5 научных работ, в том числе 2 статьи и 3 тезиса докладов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложений, списка литературы. Материал изложен на 102 страницах, список литературы состоит из 110 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор причин появления звеньев с запаздыванием при моделировании объектов и систем и научной литературы, посвященный данной проблеме, рассматриваются основные подходы к решению задач оптимизации стохастических систем с запаздыванием.

В первой главе в первом разделе дается общая постановка задачи оптимизации управления нелинейной стохастической системы с запаздыванием в виде:

/0 (») = \Ф0(х)р(гк, x)dx -» min а

dXt =yi{t,X{t),X{t-T),-4)dt + fjGij{t,X{t))d4J{t) (1)

/=[/0-т,/01

Второй раздел первой главы посвящен сведению исходной стохастической задачи к детерминированной. Известно, что процесс, описываемый уравнениями (1), в общем случае не является Марковским и к нему не применим аппарат уравнений Колмогорова-Фоккера-Планка (КФП - уравнений). Поэтому для сведения процесса (1) к Марковскому и применения к нему аппарата КФП - уравнений, в работе рассматривается стохастический аналог классического метода шагов к определению

управления U=ll{t), которое обеспечивает минимум функционалу (1). Для

этого рассматриваемый отрезок времени \tQ, tk ] покрывается счетной сеткой

с шагом равным величине запаздывания х и узлами

tq =t0 + qxT, q = 1,...,N, где q номер интервала [i ,,t J, N - количество

интервалов, tk —t0 + N x x.

Обозначая через Л'=[0,т] текущее время на интервале [lq_], tq\,

запаздывание исключается посредством расширения фазового пространства образующего цепочку стохастических дифференциальных уравнений по последовательно примыкающим интервалам 1Ц_Х,tq\ q = \,...,N .

Так, на первом интервале ПРИ значении Ц = 1 вектор состояния

системы X1 (.?) = (х/ (/0 + я), + я),.......Х\ (/0 + Дописывается

уравнениями:

йХ\ = Ф|(г0 + + + и,Х%у,

м (2)

X)(¿0 ) = */о Ф,-(/0 - Т + I = 1.....и, л- = [о,т]

В уравнении (2) верхний индекс (и далее в уравнениях на последующих интервалах) указывает на номер интервала, а нижний на номер компоненты вектора состояний на этом интервале. На первом

интервале компоненты фазового вектора Х](.у) удовлетворяют системе дифференциальных уравнений с начальными условиями (2) без запаздывания.

На втором интервале /,,/2] при значении Ц = 1 вектор состояния

системы X2 (5) = (х2 (/, + 5-), X2 + 51),.......Х2п + Л')) описывается

уравнениями относительно расширенного вектора состояний:

йХ\ = Ф< (/0 + X1, и1 )йу + £ ст.. (/0 + X1 Ц;, йХ] = Ф,4 + 8,Х2,Х\и2)Л8 + ¿ст..(г, + *,Х2}1ч2-,

X,2 (/, + 0) = Х]{10 + т) I = 1,..., п, 8 = [о, г]

Далее, на последнем интервале [¿д^Дд;] для расширенного вектора

состояний = (х^^дг., + Л'), + .у),.......ХЦ(¿ЛМ + 5)), система

описьгеается стохастическими дифференциальными уравнениями:

dX)=qi{tQ+s,X\l^')ds + YJGlfcй + s,Xx}ir[),

йХ2 = ср^, + 8,Х2Х,и2^ + ¿стДг, + з,Х2)Лц)'

йх\ =ф.(г2 + 5,Х3,Х2,«3)/5+ +

}=1

j=i

■<>(*) = Ф,('о-т + л') X¡{t0 + x),

X?{t2 + 0)=X?{tl+ t)..„

jt/Vi + 0)=v2 + 4 = 1.....* = M

Таким образом, на любом интервале рассматриваемого

отрезка времени [í0, tk ], состояние системы определяется стохастическими

дифференциальными уравнениями, которые описывают диффузионный Марковский процесс вида:

dX™ = v{lm_, + s,X\Xm-\ilm)ds + ±av(tm_l + s,Xm)d^-

3=1

= *юМ = Ф,('о + + 0)=

Xo = 0, (/ = 1.....и), (т = \,...,q), (q = \,...,N),se [о,т]

где um(s) = u{tm_x + .у),TiJ(л-) = г).(/,„_! + .у),т = 1,JV.

Такой подход позволяет свести исходную задачу оптимизации (1) к детерминированной задаче с распределенными параметрами относительно плотности распределения вероятностей вектора состояний системы, удовлетворяющего уравнению Колмогорова-Фоккера-Планка.

А,(и) = \Ф0 ИxN )dxN min , (3)

£¡n

[0,t] (4)

ds

р{ъ,ху)=8(хх-ф)

p{o, xm ) = p{x, xm~x) (m = 1,... ,q- q = 2,..., N). (5)

Здесь ),..., zZ(.S'))

В третьем разделе первой главы формулируются и доказываются условия управляемости в форме леммы 1:

Лемма 1 (условия невырожденности). Задача (3) — (5) не вырожденная, если совокупность касательных вариаций {Ър, К к

множеству

др

0 = \р,и

в точке

—~Ь(5,х„,иы)р = О, р1=0=Р0^

{р, «у ) есть подпространство

дЪр

1

К = \ор,Ъиы дэ

[ - [Км (Л хм,иы )рриы = 0,5/з| х=0 = 5р0 j

Здесь (л1, хм, и м \) линейный оператор, определяемый

выражением:

^ " д 9=1 1 = 1

ди"

Вторая глава работы посвящена установлению необходимых условий существования оптимального управления. В первом разделе главы сформулированы необходимые условия оптимальности управляемой стохастической системы с запаздыванием в форме принципа минимума:

Теорема 1 (слабый принцип минимума). Пусть (/> ,иы) -оптимальное решение задачи (3) - (5). Тогда существует не равная тождественно нулю функция хы ) е С1,2 такая, что а) Ху ) удовлетворяет решению задачи Коши

= 0, ^ е [т,0], б) для почти всех .V е [0, т] и всех им

(6)

М

'дЯ^

\диЫ ,

(им-иИ)> 0.

Здесь Ь (.V, хЛ-, ггл. )(■) - линейный оператор, сопряженный к оператору

т=1 1=1

1 л; » д2{)

+ ->. >

2

Ш—1 /=

^(ехг)2

Следствие. Оптимальное управление удовлетворяет соотношению:

/

М

Кдиы у

Во втором разделе формулируются и доказываются необходимые условия существования сильного экстремума задач оптимизации (3)-(5).

Теорема 2 (сильный локальный минимум). Пусть , иИ) -оптимальное решение задачи (3)-(5), тогда существует не равная тождественно нулю функция Х^.Хд,) такая, что

Х^.Хдг) удовлетворяет решению краевой задачи (6); при почти всех .у 5 [0, т] оптимальному управлению иы соответствует минимум М^ц.х^.н^Д)] по переменной иы, где

Я =

Третий раздел второй главы посвящен установлению необходимых

условий оптимальности управления с обратной связью. Здесь оптимальное * * / \

управление им = им[з,х1{) определяется как локальное управление, связанное в каждый момент времени 51 и соответствующим ему состоянием хЛ, = Х.Д.у) с программным управлением г/Л-(/)= г/л,(.у, хл-,/), ? Е [.V,т] относительно фиксированной начальной точки (л'.х^) соотношением: «;(/)=«;(.у, Лдг, / ) (=,=. ■) •

В качестве оценки эффективности управления рассматривается критерий

10{х,х„) = ттМ^(ф0\хм{ т)Л, (7)

х = X

представляющий собой функцию точки м ' фазового пространства

системы в момент времени 5 , который характеризует эффективность управления (/) на отрезке времени .у,т], при условии, что в момент

времени S изображающая точка в фазовом пространстве находилась в состоянии XN (s) = xv. Функционал (7) относительно точки (5, х v) и

плотности вероятности перехода p{t,yN s,xN) рассматривается при этом как условное математическое ожидание в момент времени Т при условии, что в момент времени S система находилась в состоянии XN (я) = xN.

Необходимые условия оптимальности управления tiN(s) = uN(s,xN) устанавливает теорема 3.

Теорема 3. Пусть uN(s}= - оптимальное управление,

доставляющее при каждом (я, X"v) минимум критерию (7). Тогда существует такая, не равная тождественно нулю функция /Ця, хЛ-

)= С1'2,

что

функция Хдг) удовлетворяет уравнению Беллмана 5А(sxN) + minJ.^ ^^^^) = О, л' Е [0,т]

OS "N'-V

Х(х,хы)=Ф0{хы)

оптимальное управление uN(s)= uN(s,xN) при всех .v е [О, т] удовлетворяет условию

L* (.у, xN, uN xv)= mini* (л, xv , uN )a(.v, xn ).

uN

Четвертый раздел второй главы посвящен синтезу оптимального управления линейных стохастических систем с запаздыванием вида:

= )+ - *)+ *(')+ э('М0+ °(0п(0 (8)

X(t)=^{t),t=[t0-T,t0]

В качестве критерия оптимальности управления системы (8) рассматривается минимум квадратичного функционала вида:

h ]

l{u)= М\ |ixT(¿)G(0X(Z)+ г/(/)я(/),(/)}// + х7[tk)Ox{tk)\ (9)

U J

Используя подход, рассмотренный в первой главе, исходная задача поиска оптимального управления сводится к задаче в расширенном фазовом пространстве, описывающей марковский процесс. Для поиска оптимального управления используются результаты теоремы 3.

Оптимальное управление определяется из уравнения Беллмана и имеет вид:

= (Ю)

В выражении (10) матрицы #т(.у)= |Я,у 4- и

9т(5)= ||9,у(/тЧ » где = 'о + 9Т> ^ = 1,. А,^,^) представляет

собой квадратичную форму по фазовым переменным вида:

г,у=1 ¿=1

где - некоторая симметричная матрица порядка их п, У^1 (л) -

вектор-столбец «-го порядка, - некоторая функция времени, которые

удовлетворяют следующим дифференциальным уравнениям:

\rn-I / /

\ 1 У Чт=1 у

э-мы,)]-

»1=1

т=1 ш—1

граничные условия для которых имеют вид: Г/(т)=0;Г|1(т)=0;Г°(г)=0;

Третья глава работы посвящена рассмотрению численного метода решения задач оптимизации управления стохастических систем с запаздыванием. Который представляет собой естественное обобщение градиентного метода.

Суть вычислительного алгоритма заключается в варьировании управления им в направлении подходящих вариаций Ьии, обеспечивающих убывание целевого функционала задачи (3):

аы

на невырожденном конусе касательных вариаций, определенного соотношением:

^ - ф, хы, иы У>р - (ьии х^, иы)рУ>иы = 0; Ър0 = 0.

Алгоритм численного решения задачи (3)-(5) представляет собой следующую последовательность операций:

С исходным приближением управления и",, п -1,2,... решается задачи Коши для уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка (4) и определяется исходное приближение хл,) и значение целевого

функционала У0 (р, иИ ).

Решается задача Коши для уравнения (6) с целью определения Я и

ад

градиента

дик

Вычисляется направление Ъиы = М

Вычисляются значения нового приближения к оптимальному

управлению: = и",

Осуществляется проверка приближения к оптимальному управлению.

Если |5<|<В, то решение задачи (3)-(5) с точностью £ > 0

прекращается. В противном случае решение продолжается исходя из нового приближения.

Для численного метода оптимизации, приведенного выше, в рамках второго раздела третьей главы сформулирована и доказана теорема сходимости и показано, что полученное управление удовлетворяет необходимым условиям оптимальности, сформулированным во второй главе.

Теорема 4. Если целевой функционал (1.11) ограничен снизу по иы и его производная 1'о[р,иы} удовлетворяет условию Липшица по м^ на всяком ограниченном по множестве, т.е.

линейно ограничен

2м

0<е,<Ь" <-,

М0 + 2е2

то для последовательности 7/"т1 = - и"5и", справедливы утверждения: = 0

/7—>00 I

/ш|б

п—>00 I

< =0

В четвертой главе рассмотрен приближенный метод решения задач оптимизации управления нелинейных стохастических систем с запаздыванием, базирующегося на разложении плотности вероятности р(ь\ хм) в функциональный ряд по семиинвариантам случайного процесса

на основании гауссова распределения с точностью до совпадения плотности вероятности компонент вектора состояний смешанных центральных моментов до второго порядка и семиинвариантов компонент вектора состояний выше второго порядка. Это обусловлено необходимостью решения уравнения Колмогорова-Фоккера-Фоккера-Планка и сопряженного с ним параболического уравнения Беллмана при рассмотрении условий оптимальности и использовании численных методов оптимизации.

Определение плотности вероятности /;(.у, хч) сводится, таким

образом, к нахождению семиинвариантов, которые определяются решением укороченной системы бесконечной цепочки обыкновенных дифференциальных уравнений относительно семиинвариантов, полученных из уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка для логарифма характеристической функции и имеют вид

= 4* - хГ ]а;{)+(х; -хГ )Д*О] у к * т и 7 * 7

хМ

■к т к т

Здесь , ^ , 1'и] ,... - семиинварианты (верхние индексы указывают номера компонент вектора состояний, а нижние - порядок семиинвариантов), А^ (•), А™ (•) - коэффициенты сноса,

40 -

коэффициенты диффузии; С^ - число сочетаний из Ni по .

При представлении плотности распределения р(л', хл,) вектора состояний хм через семиинварианты, исходная задача оптимизации (3)-(5) с точностью до определения плотности распределения /}(л,Ху) сводится к задаче

г;=мщ

хИг = м[х* - / ]а;(:)+(х; - ХГ к()] у* * ш«7

Жи=2М

хМ

(г = 1,___, п; ] = \,...,п;к = \,..М;тп = \,...^)

> -Кш, (/ = 1 ,...,Л/Аг = 1,. ..¿V; ТУ,- = 2,3,...)

/

с дифференциальными связями для обыкновенных

дифференциальных уравнений порядка 2г + -

— 1 относительно

семиинвариантов случайного процесса XN. Здесь z = пх N, a Z - 2 -количество семиинвариантов выше второго порядка.

Данная задача представляет собой задачу теории оптимальных процессов со смешанными ограничениями типа неравенств. Для ее решения можно использовать сочетание численных методов проекций градиента и обобщенного дифференциально-градиентного метода Эрроу-Гурвица.

Четвертый раздел четвертой главы содержит решение задачи оптимального управления рулем высоты самолета с целью минимизации отклонения от заданной высоты при выполнении «коробочки» при заходе на посадку с характеристиками самолета ИЛ-96-300 при допущении о быстром гашении собственных колебаний относительно поперечной оси. Самолет в исходном положении сбалансирован по моментам, т.е. т, =0. На

движение самолета оказывает влияние турбулентности атмосферы («болтанки»).

Учет влияния ветровых возмущений на динамику летательного аппарата (ЛА) осуществляется путем введения дополнительных ветровых составляющих в воздушную скорость AV6=AV+ WX и угол атаки Аае - Аа + aw. Уравнения движения в безразмерной форме при стабилизации рулем высоты имеет вид:

l(Aa)=M~X6]->min

dAQ dt

dAV dt

dAH dt

Щ*- = -0,006Ж + 0,01СТ[Г N{t), dt x

—7—= -0,89a,,, + 0,69a№ N{t\ dt y

mazu{t)+m5z'8e = 0.

Здесь A6 - изменение угла наклона траектории, AV, АН -безразмерные изменения воздушной скорости и высоты самолета соответственно, AWx,aw - случайные воздействия, обусловленные порывами ветра.

= -О,43Д0(Г- 1,36)+ 6,94(ДК + Wx)+ 0,107б(Аа +aw\ = -1,31А в {I -1,3 6) ■- 0,867 (A V + Wx)- 0,0248 (А а + a w ) = до (Г -1,36)

В результате были получены следующие результаты решения задачи оптимального управления горизонтальным полетом самолета, соответствующие оптимальному управлению рулем высоты, с целью минимизации отклонения высоты полета самолета от заданных 250 метров.

На рисунке 1 приведен график математического ожидания высоты полета. На рисунке 2 приведены графики среднеквадратического отклонения изменения высоты полета при малых

(о> = Q.lW,aw =0.4V), средних {aw =1.55м/ а =0.78-V) и

* / У /с / и У /С

сильных (а,у =2.6a*/,<7jv =1.3) значениях интенсивности

турбулентности атмосферы. Анализ графиков среднеквадратических отклонений показывает, что для уменьшения роста среднеквадратического отклонения изменения высоты полета необходимо вводить ограничения на изменение среднеквадратического отклонения (дисперсии) изменения высоты.

На рисунке 3 приведен график оптимального управления положением руля высоты.__

м

254

252

250

248

Высота

24G ---:---!---,-'-1-W '

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 5,0

Рисунок 1. Математическое ожидание изменения высоты полета самолета

Рисунок 2. Среднеквадратическое отклонение безразмерного изменения высоты полета самолета.

градусы РУЛЬ ВЫСОТЫ

Рисунок 3. Оптимальное управление рулем высоты

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сформулирована задача оптимального управления непрерывных стохастических систем с постоянным запаздыванием относительно компонент вектора состояний.

2. Показано, что решение данной задачи может быть получено на основе теории диффузионных марковских процессов, позволяющей свести решение исходной стохастической задачи оптимизации с запаздыванием к детерминированной задаче с распределенными параметрами относительно уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка. Исследованы условия существования управления непрерывных стохастических систем с запаздыванием.

3. На основе общей теории экстремальных задач Дубовицкого-Милютина получены необходимые условия слабого и сильного экстремума непрерывных стохастических систем с запаздыванием.

4. Для случая полного и точного наблюдения вектора состояний системы сформулированы необходимые условия оптимальности стохастических систем с запаздыванием для управления с обратной связью.

5. Описана процедура синтеза управления линейной стохастической системы с запаздыванием в смысле минимума квадратичного функционала качества.

6. Предложены численные методы поиска оптимального управления стохастических систем с запаздыванием.

7. Разработаны приближенные методы решения задач оптимизации управления нелинейных стохастических систем с запаздыванием с точностью до аппроксимации плотности распределения компонент вектора состояний.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Публикации в изданиях, рекомендованных ВАК России:

1. Аюкасов P.A. «Синтез алгоритма оптимального управления стохастическими динамическими системами с запаздыванием. // Мехатроника, автоматизация, управление. 2009. № 5, С. 8-11.

2. Роднищев Н.Е., Аюкасов P.A. Условия оптимальности управления нелинейных стохастических систем с запаздыванием. // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева, 2010. №1, С. 87-93.

В других журналах и материалах научных конференций:

1. Аюкасов Р.А Использование уравнения Колмогорова-Фоккера-Планка в решении задач оптимизации управления стохастических систем с запаздыванием. Тезисы докладов всероссийского

семинара, посвященного 100-летию П.А. Кузьмина. Казань. КГТУ им. А.Н. Туполева, 2008 г., С. 18-19

2. R.A. Aukasov, N.E. Rodnishev, N.S. Chernov, "Optimizing Control of Nonlinear Stochastic Systems with Delay: Application for Flying Vehicle," Proc. IFAC Workshop AEROSPACE GUIDANCE, NAVIGATION AND FLIGHT CONTROL SYSTEMS June 30 - July 2, 2009, Samara, RUSSIA \\ available from IP ACS Electronic Library at http://lib.physcon.ru/ (item 1861).

3. Аюкасов P.A., Роднищев H.E., Чернов H.C. К необходимым условиям оптимальности управления нелинейных стохастических систем с запаздыванием. Тезисы докладов Российской школы конференции «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании». -М: РУДН, 2009 г., С. 133-136.

Формат 60 х 84 1/16. Бумага офсетная. Печать офсетная. Печ. л. 1,25. Усл. печ. л. 1,16. Уч. изд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ Н 186.

Типография "Прованс" Оренбургский тракт, 23 г. Казань