автореферат диссертации по строительству, 05.23.02, диссертация на тему:Оптимизация проектных решений свайных фундаментов с учетом взаимного влияния свай и работы низкого ростверка на их несущую способность

604617136

На правах рукописи

Рузаев Андрей Михайлович

ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ СВАЙНЫХ ФУНДАМЕНТОВ С УЧЕТОМ ВЗАИМНОГО ВЛИЯНИЯ СВАЙ И РАБОТЫ НИЗКОГО РОСТВЕРКА НА ИХ НЕСУЩУЮ СПОСОБНОСТЬ

05.23.02 - Основания и фундаменты, подземные сооружения

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

- 9 ЛЕН ?0Ю

Москва-2010 г.

004617136

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования Московском государственном строительном университете

Научный руководитель:

доктор технических наук, профессор Знаменский Владимир Валерианович

Официальные оппоненты:

доктор технических наук, профессор Шейнин Владимир Исаакович

кандидат технических наук, доцент Хамов Арнольд Петрович

Ведущая организация:

Открытое акционерное общество «Фундаментпроект»

Защита состоится 23 декабря 2010 г. в 14 час.00 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.138.06 при ГОУ ВПО Московском государственном строительном университете по адресу: Москва, ул. Спартаковская, дом 2/1, аудитория 212.

Факс: 8-499-261-59-88.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО Московского государственного строительного университета.

Автореферат разослан ноября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, .

профессор, д.т.н. -* \ знаменский В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Проблема рационального проектирования свайных фундаментов является актуальной в области современного фун-даментостроения поскольку, как показывает практика, доля затрат на возведение конструкций подземных частей зданий и сооружений на свайных фундаментах может составлять до 20% от общего объема бетона и железобетона, применяемого при строительстве.

Одним из важнейших направлений повышения экономической эффективности свайных фундаментов является совершенствование методов их расчета и проектирования. Достижения отечественных и зарубежных ученых (П.А.Аббасов, М.Ю.Абелев, В.А.Барвашов, А.А.Бартоломей, Б.В.Бахолдин, В.Г.Березанцев, В.Н.Голубков, А.Л.Готман, А.А.Григорян, Б.М.Далматов, Н.М.Дорошкевич, К.Е.Егоров, Ю.К.Зарецкий, В.В.Знаменский, С.В.Курилло,

A.В.Пилягин, Д.Е.Разводовский, Е.А.Сорочан, С.Б.Ухов, А.Б.Фадеев,

B.Г.Федоровский, В.И.Шейнин, У.Н.СЬсп, Т.Б.Оау^, Б.СеГГеп, Я.К^гепЬасЬ, Н.-О.Кетр£еП, Н.К^Ыйа, Н.Ь.Ьш, О.МсусгЬоГ, Я.В.Реск, Н.О.Рои1о.ч, М.Р.Капёо1рЬ, О.Яеи1, З.М.Баеуа, А.БсЬпи«, АЛУ.ЗкстрЮп, М.^ТотИпвооп, W.F.Van 1шре, А.Б.Уезю, Н.'Л'Ийаксг и др.), изучавших различные аспекты работы свайных фундаментов, позволили проектировщикам и строителям успешно решать сложные задачи проектирования и возведения сооружений в сложнейших условиях, учитывая при этом необходимость сокращения сроков строительства и экономии средств. Решению поставленных задач способствовало и развитие численных методов расчета, широко используемых в современном проектировании. Нельзя не отметить и вклад проектировщиков и строителей, которые способствовали внедрению новых научных разработок и методов расчета, дали путевку в жизнь современным технологиям устройства свай, обеспечили проверку их на практике, способствовали развитию свайного направления в современном фундаментостроении.

Благодаря совместным усилиям ученых, проектировщиков и строителей был достигнут значительный прогресс как в этой области строительства, так и в строительстве в целом, что позволило вывести проектирование свайных фундаментов на современный уровень.

Наряду с научными достижениями, развитием новых технологий и технической базы строительства немаловажное значение для повышения экономической эффективности применения свай является и поиск их оптимального проектного решения. Так, одну и ту же несущую способность свайного фундамента можно обеспечить различным путем: увеличить размер поперечного сечения свай, но уменьшить их длину, не менять длину, но за счет увеличения сечения свай уменьшить их число в фундаменте и т.д., т.е. практически всегда существует возможность выбора оптимального решения, но оно далеко не всегда очевидно, что и поставило вопрос о разработке алгоритма его поиска, учитывающего не только взаимовлияние свай при их совместной работе в составе фундамента, но и участие в работе низкого ростверка. Однако, если взаимовлияние свай в фундаменте как экспериментально, так и в теоретическом плане в значительной мере изучено, что позволяет учесть его в расчетах в виде поправочных коэффициентов к несущей способности сваи, то влияние работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента изучено мало и учитывается, как правило, интегрально вне зависимости от влияющих на него факторов.

В вязи с этим в настоящей диссертационной работе была поставлена задача изучить закономерности влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента от различных факторов, что, на наш взгляд, необходимо для успешной разработки алгоритма принятия оптимальных проектных решений свайных фундаментов и, кроме того, для разработки практических рекомендаций по этому вопросу.

Возможность экономии средств уже на стадии проектирования позволяет считать актуальным исследование, направленное на разработку метода оптими-

зации параметров свайного фундамента, учитывающего взаимовлияние его составных элементов «ростверк - группа свай - грунт» и достижения на этой основе оптимального сочетания экономичности и надежности проектных решений.

Из вышеизложенного формулируется следующая цель диссертационной работы.

Цель диссертационной работы:

- исследовать влияние включения в работу низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента, разработать практические рекомендации по учету этого влияния;

- с учетом полученных результатов разработать алгоритм поиска оптимального проектного решения свайного фундамента, учитывающего зависимость его несущей способности от взаимного влияния свай и включения в работу низкого ростверка.

Под свайными фундаментами с низкими ростверками в диссертационной работе подразумеваются группы свай, содержащие до 50 свай с осевым расстоянием между ними не превышающим 1А, где - диаметр круглого или сторона квадратного сечения сваи, объединенные монолитной железобетонной плитой свайного ростверка, подошва которого имеет надежный контакт с грунтом.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие задачи:

- проанализированы имеющиеся экспериментальные данные об особенностях взаимодействия свай и низкого ростверка в вертикально нагруженных свайных фундаментах, выполнена их оценка, определено направление дальнейших исследований;

- выполнены численные расчеты и путем сравнения полученных результатов с имеющимися результатами натурных испытаний свайных фундаментов показана возможность использования программного комплекса Р1ах1з ЗБ Роип-

dation и упругопластической модели грунта, построенной на основе теории прочности Кулона-Мора, для изучения и анализа взаимодействия свайных фундаментов с грунтовым основанием;

- проведено численное исследование работы свайных фундаментов с низким ростверком как единой системы «ростверк - группа свай - грунт» с целью изучения влияния включения в работу низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента в более широком, чем проводилось раньше, диапазоне изменения влияющих на нее факторов;

- методами математического планирования экспериментов определены характеристики системы «ростверк - группа свай - грунт», оказывающие существенное влияние на его работу в свайном фундаменте в зависимости от различных факторов, установлена степень этого влияния;

- на основании обобщения результатов численных исследований разработаны рекомендации по оценке степени влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента в широком диапазоне изменения влияющих на нее факторов;

- разработана оптимизационная модель расчета параметров свайных фундаментов, сформулированы выражения для критерия оптимальности и системы ограничений;

- на основе методов теории оптимизации разработан алгоритм поиска оптимальных проектных решений свайных фундаментов с учетом взаимного влияния свай и работы низкого ростверка на их несущую способность.

Научная новизна исследований.

1. В результате проведенных численных исследований и расширенного факторного анализа установлены закономерности влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента на вертикальную нагрузку в зависимости от его параметров и грунтовых условий.

2. На основании проведенного статистического анализа и обобщения полученных результатов численных исследований разработаны предложения по

оценке несущей способности низкого свайного ростверка в зависимости от большего, чем это было возможно раньше, числа факторов.

3. Разработан алгоритм поиска оптимальных проектных решений свайных фундаментов при расчете их несущей способности на вертикальную нагрузку, учитывающий взаимное влияние свай в фундаменте и работу низкого ростверка.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные рекомендации по определению несущей способности низкого ростверка и алгоритм поиска оптимальных проектных решений при расчете несущей способности свайных фундаментов на вертикальную нагрузку повышают экономическую эффективность применения свай в строительстве.

Реализация работы.

Результаты выполненной работы могут быть использованы при расчете и проектировании свайных фундаментов, а также в научно-исследовательских работах, выполняемых в учебных, проектных и научно-исследовательских организациях.

На защиту выносятся:

1. Результаты численных исследований работы вертикально нагруженных свайных фундаментов как единой системы «ростверк - группа свай - грунт».

2. Установленные с помощью проведенного численного исследования закономерности влияния работы низкого ростверка на несущую способность вертикально нагруженного свайного фундамента.

3. Практические рекомендации по учету работы низкого ростверка при расчете несущей способности свайных фундаментов на вертикальную нагрузку.

4. Разработанная оптимизационная модель расчета параметров свайных фундаментов, сформулированные выражения для критерия оптимальности и системы ограничений.

5. Алгоритм определения оптимальных параметров свайных фундаментов с использованием методов теории оптимизации.

Апробация работы. Основные положения работы обсуждались: на XII-ой и ХШ-ой Международных межвузовских конференциях «Строительство -формирование среды жизнедеятельности» (Москва, 15-22 апреля 2009; 14-21 апреля 2010); на Международной конференции «Геотехнические проблемы мегаполисов» (Москва, 7-10 июня 2010).

Публикации по результатам исследований. Основные результаты диссертации отражены в 7-ми печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и основных выводов и содержит 147 страниц, в том числе 54 рисунка, 16 таблиц и список литературы из 190 наименований.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении изложена общая концепция работы, обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи диссертации, изложена научная новизна и практическая значимость работы, приведены данные о структуре и объеме диссертации.

В первой главе рассмотрены основные результаты экспериментальных и теоретических исследований совместной работы свай в свайных фундаментах и влияния ростверка на их несущую способность, проведенных как у нас в стране, так и за рубежом (А.А.Бартоломеем, Б.В.Бахолдиным, А.В.Васильченко, А.А.Григорян, Е.Э.Девальтовским, Н.М.Дорошкевич, В.В.Знаменским, А.В.Пилягиным, Д.Е.Разводовским, Б.А.Салышковым, З.Сирожиддиновым, А.Б.Фадеевым, О.К.Югаем, В.Д.Яблочковым, У.Н.СЬсп, У.Ва1акитаг, 8.Се1Теп 1.На1дас11, К.НопковЫ, У.КаЫагаБ^ Я.К^гепЬасЬ, Н.Ь.Ьш, Т.Ма15ито1о, О.Яеи1, А.Те^Упгап и др.).

Показано, что если вопрос взаимодействия свай в фундаменте достаточно хорошо изучен как в экспериментальном, так и в теоретическом плане, что нашло отражение в нормативных документах, то оценка установленного экспериментально влияния включения в работу низкого ростверка на несущую способ-

ность фундамента ведется интегрально, без дифференциации влияющих на нее факторов, что затрудняет возможность разработки алгоритма поиска оптимального проектного решения свайного фундамента как единой системы «ростверк -группа свай - грунт».

Дифференцировать влияние различных факторов на несущую способность ростверка, включая неоднородность основания по глубине, можно за счет их варьирования в численном эксперименте. Опыт научных исследований как в нашей стране, так и за рубежом подтверждает возможность использования численных экспериментов при изучении взаимодействия фундаментов, включая и свайные, с грунтами основания для получения качественных и количественных результатов, позволяющих установить необходимые для разработки новых и совершенствования существующих расчетных методов закономерностей.

Изложенное выше явилось причиной проведения дальнейших более детальных численных исследований совместной работы свайных фундаментов и грунтового основания с целью изучения возможного влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента в достаточно широком диапазоне изменения влияющих на нее факторов.

Вторая глава посвящена численному расчету системы «свайный фундамент - массив грунта». Изложены теоретические основы численного моделирования, приведены основные сведения о программном комплексе Plaxis 3D Foundation, обоснован выбор расчетной модели грунта для анализа результатов взаимодействия свайного фундамента с окружающим грунтовым массивом, поставлены и решены тестовые задачи.

При решении тестовой задачи с целью проверки программного комплекса Plaxis 3D Foundation для моделирования в упругопластической постановке взаимодействия свай с окружающим грунтом были использованы данные натурных испытаний снабженных тензометрическими датчиками свай на строительной площадке Братского алюминиевого завода. Испытывались как одиночные сваи, так и группы, состоящие из различного числа свай.

Результаты расчетов показали удовлетворительную сходимость с опытными данными (10...15% для одиночных свай и 12. ..17% для свай в составе фундамента), что позволило принять данный программный комплекс и модель грунта для проведения численного анализа влияния работы низкого ростверка на несущую способность вертикально нагруженного свайного фундамента.

В третьей главе рассмотрены результаты численных исследований и их анализ, выполненный методом математического планирования экспериментов. Рассматривалось взаимодействие свай в группах, содержащих от 9-ти до 36-ти свай различной длины и сечения, и низкого ростверка в различных грунтовых условиях.

Варьировались факторы, представленные в таблице 1.

Таблица 1

Вид свай Факторы параметров фундамента Факторы грунтовых условий Факторы деформаций

Ш а/с! а п Жесткость плиты низкого ростверка

Забивные Буронабивные Относительная длина свай Относительное расстояние между сваями Диаметр свай Число свай Конечная жесткость Абсолютная жесткость Однослойное основание Двухслойное основание Трехслойное основание Величина относительной осадки

Результаты численного моделирования и их математико-статистический анализ показали (рис. 1), что при оценке влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента необходимо учитывать все рассмотренные факторы, однако наиболее значимыми из них являются относительная длина свай (Ь/с1) и относительное осевое расстояние между сваями (а/а).

л пи | Однослойное основание | 0.08 Двухслойное основание 0.08 | Трехслойное основание |

0 07 Ь." -0.05078 0.07 ь,= -0.01828 0.07 Ь|=-0.04531 Ы=0 02531 Ь>=0.02031 Ь*=0.00844 Ь=0.03281

Ь.=0,06578 ь= 0.01734

0 06 Ь)= -0.01218 0.06 ь.= 0.00453 0.06

пот ш- Ь.=0.01734 Ь>=0.03141 0.05 ь,= ь.= -0.01265 0.00609 0.05

"УУ, У/У, Ьб=0.03516 ь.= 0.02172

1104 0.04 0.04

УуУ,

0 01 У/У, '/У/ 0.03 0.03

/ '/Л

по? /// 0.02 0.02 ///

0 01 0.01 У// 0.01 ж ;Ф

V/, :©; УУ, ,,,

'Ш "у ,,,, ,,, Ж:

от УУ/, 0.00 ■'УУ, & /7/ 0.00 //// ууу УУ, ///

X. Ха XI XI X. X. XI X, X. X! х< Х| X, х> х< X!

(ЬМ) (аЛ1) (п) Щ (Е) (5/11) (1Л1) (вЛ1) (и) (Т-Т-> <Е.Ъ) (¡/И) (ЬИ) (аЛ1) № (Е.Ъ) (.1)

Рис. 1. Относительная сила влияния различных факторов на работу низкого ростверка

Рекомендации по оценке несущей способности низкого свайного ростверка (значения коэффициента Кга/1) в зависимости от рассмотренных факторов, разработанные на основании проведенного анализа, представлены в таблице 2.

Таблица 2

Грунтовые условия Параметры фундамента Значение коэффициента

Вид свай Модуль деформации грунта, Е [МПа] аЛ1 Ш

под подошвой ростверка под нижними концами свай [%]

15...20 25

5 25...30 20

о 3 X Ей 35...40 15

О 3 15...20 40

X ¡я 5 ю > 15 15...60 6 25...30 30

03 СО О £ 35...40 20

15...20 50

7 25...30 35

35...40 25

В четвертой главе приводятся основные положения разработанного алгоритма поиска оптимальных параметров свайных фундаментов среди множества потенциально возможных в соответствии с некоторым критерием качества данной конструкции (критерием оптимальности), который получают на основе целевой функции (функционала).

При разработке проекта свайного фундамента, состоящего из буронабив-ных свай, в качестве заданных параметров проектирования выступают физико-механические характеристики грунтов площадки строительства, геометрические размеры фундаментной конструкции, действующие нагрузки и пр. К варьируемым (оптимизируемым) параметрам относятся - геометрические размеры свай ((1 - диаметр свай; 17<1 - относительная длина свай) и их расположение в плане, характеризуемое относительным осевым расстоянием между сваями а/с1.

Как правило, процесс оптимизации связан с отысканием минимального или максимального значения целевой функции в области определения параметров с наложенными на нее ограничениями (управлением на целевую функцию). Условие оптимальности выбранного решения можно представить в виде условия минимума функционала (целевой функции):

Ях)-+Ы, (1)

где варьируемыми параметрами являются переменные параметры проектирования - х = [х1,...,х11].

В качестве критерия оптимальности могут выступать как натуральные показатели (расход используемых материалов), так и стоимостные (стоимость материалов и работ).

Ограничения на целевую функцию могут быть выражены с использованием уравнений полиномиальной регрессии, описывающих математическую модель конструкции:

У = В„ + + £ ^вшх,хк + £ £ +... + В,В2...ВтХ,Х2...Хп, (2)

Примером иллюстрирующего процесс поиска оптимального решения являются графики некоторой целевой функции, изображенной в виде плоской кривой (рис. 2) и пространственной поверхности (рис. 3), с наложенными на нее ограничениями.

Рис. 2. Геометрическая интерпретация поиска оптимального решения на плоскости

На рис. 2 целевая функция, изображенная в виде кривой линии, может иметь не одно, а несколько решений. Для нахождения наименьшего значения функции недостаточно сравнить все ее минимумы (хь х2, х3, ... , хп) внутри промежутка (а, Ь) и взять наименьшее, но необходимо также принять во внимание и граничные значения функции при х=а и х=Ь. Искомое решение будет оптимальным только в том случае, если оно является минимальным из всех возможных решений и при этом удовлетворяет требованиям системы ограничений, наложенным на функцию.

На рис. 3 целевая функция изображена в виде гиперболического параболоида (пространственной поверхности), а ограничения на целевую функцию - в виде некоторой секущей плоскости.

Как и в случае, рассмотренном выше, целевая функция допускает несколько решений. Отличие заключается в том, что для нахождения наименьшего значения 1 функции достаточно определить и сравнить только ее граничные значения (М1 и | М2). Это существенно упрощает процесс принятия решения по оптимизации конструкций свайных фундаментов и делает его более наглядным с точки зрения влияния поставленных ограничений на конечный результат.

Ограничениями на область варьируемых параметров в рассматриваемой задаче являются параметры конструктивного и технологического свойства -геометрические параметры конструкций фундамента (длина и диаметр свай, осевое расстояние между ними, высота ростверка и др.) и используемого бурового оборудования для устройства свай (диаметр шнека, максимальная глубина бурения скважины и т.п.).

Ограничения данного характера можно представить в виде неравенств: ¡;

<Г° <а'<а™х;

"ту» ~ ~ >

и др.

где Ьта*, Ьтт - минимальное и максимальное значение длины свай;

ашах, аШ1П - минимальное и максимальное значение осевого расстояния между сваями;

(1шах, с!™" - минимальное и максимальное значение диаметра свай;

Ги, Ьтах - минимальное и максимальное значение высоты ростверка.

Таким образом, математическая постановка задачи оптимизации параметров свайных фундаментов в общем виде формулируется следующим образом: определить минимум целевой функции (1) при выполнении ограничений на область варьируемых параметров в виде неравенств (3).

В общем виде задача, представленная выражениями (1) и (3), является задачей оптимального управления, которая сводится к решению экстремальной задачи методами математического анализа.

Поскольку стоимость буронабивных свай пропорциональна их расходу и составляет значительную долю в структуре затрат на устройство свайного фундамента, критерий оптимальности (1) можно сформулировать в натуральном выражении:

(4)

где V - общий объем буронабивных свай в рассматриваемом фундаменте; а, с/, Кгф - параметры проектирования (длина свай; осевое расстояние

между сваями; диаметр свай; коэффициент, учитывающий работу низкого ростверка).

В рамках принятой расчетной модели и выбранных интервалов изменения значений переменных параметров проектирования критерием оптимальности выступает объем и стоимость материалов буронабивных свай, а также стоимость работ по их устройству.

Для проектируемого фундамента квадратной или прямоугольной геометрической формы, целевая функция (4) преобразуется в выражение:

ysmg/e

V"'"'™ = -->inf, (4.1)

тг massive ' 4 '

foundatiun

где v- относительный объем свай, определяемый как отношение объема одной сваи V^f' к объему всего фундамента .

Объем свайного фундамента квадратной формы:

= (««)'£> (4.2)

где L - длина свай; а и п - осевое расстояние между сваями и их число в фундаменте.

Объем свайного фундамента прямоугольной формы:

(4-3)

где L - длина свай; ai и п^-оссвое расстояние между сваями и их число по длинной стороне фундамента; а2 и п2 - соответственно, по короткой стороне фундамента.

Получив выражения (4.2) и (4.3) согласно формуле (4.1) определяется относительный объем свай в фундаменте:

• квадратной формы:

„„,„„„ лЫ21 к d1 я /¿Л jnf (44)

4(ndyl 4п2 a2 4и2 U ■ прямоугольной формы:

„rdab* nd'L к d2

->inf (4.5)

4(и1о1)(п 2а2) £ 4пхп2 а,а2 В случае, если а=аг = а, выражение (4.5) перепишется в следующем виде:

-Mnf , (4.6)

где с1, а, пь п2 - то же, что и в формуле (4.3).

Ограничения конструктивного и технологического характера (6) на целевую функцию (4) определяются с использованием уравнения полиномиальной регрессии (2), предварительно преобразованного к виду:

= Во *,+•••+ ВА-Л^Хг*., (5)

где модель типа (5) характеризует зависимость величины Кпф (коэффициента, учитывающего несущую способность ростверка, в процентах от несущей способности фундамента) от значений независимых переменных проектирования х = [х!,...,хп].

Ограничения конструктивного и технологического характера: Г" <п< Г"

а™ < а' < а™ ' с!т° <а' КТЦ ^ К'< к™?,

(6)

Значения коэффициента Кт/, получены на основании анализа результатов численных расчетов и представлены в таблице 2.

Как уже указывалось выше, данная задача, представленная выражениями (4) и (6), является задачей оптимального управления, которая сводится к решению экстремальной задачи методами математического анализа. Чтобы решить эту задачу необходимо:

1. Сформулировать критерий оптимальности в натуральном выражении (4):

• для фундамента квадратной формы (4.4);

• для фундамента прямоугольной формы (4.5).

2. Методами математического планирования получить уравнение полиномиальной регрессии (2), предварительно преобразовав его к виду (5).

Введя новые обозначения, взамен Х1 ,Х2,... Хт, получаем:

кгф =Я0+Я,(л)+В2(а) + В3№ + г,2(£)(а) (7)

Уравнение (7) можно представить в виде:

Кгф= /(£, а, О) (8)

3. Аппроксимировать интересующий параметр проектирования из уравнения полиномиальной регрессии (8):

а = Р(К^Л,с!) (9)

Подставляя (9) в (4) получаем:

а, Кгф, = Ь, а), = Кга,„ зшш

4. Продифференцировать уравнение (10):

(10)

(И)

Затем, подставляя Г*""*"" в (9), имеем:

а = ^ (Кгф, Z,0'""'"",,, (¡), откуда находим о'

орЧтит

(12)

5. Проверить полученное решение на условие выполнения требований системы ограничений:

Глава заканчивается примером определения оптимальных параметров свайных фундаментов из буронабивных свай для грунтовых условий опытной площадки в г. Братске, сложенной однородными суглинками тугопластичной консистенции значительной мощности по глубине (ф=25°; Е=20...25 МПа; С=40 кПа).

В качестве исходных (постоянных) параметров проектирования приняты следующие данные: габариты фундамента - 30x30 м; внешняя нагрузка на фундамент-100 000 кН.

К переменным (варьируемым) параметрам проектирования относились -геометрические размеры свай ((1 - диаметр свай; Ь/с1 - относительная длина свай) и их расположение в плане, характеризуемое относительным осевым расстоянием между сваями а/<1. Диапазоны возможных изменений переменных параметров проектирования представлены в таблице 3.

(13)

Таблица 3

Диаметр свай, с!

Относительная длина свай, Ш

Относительное осевое расстояние между сваями, а/а

600; 650; 700; 750; 800; 900; 1000 мм

20...30

5...7

Найденное оптимальное проектное решение рассматриваемого фундамента и его технико-экономическая оценка приведены в таблице 4.

Таблица 4

Относительная длина свай, L/d Диаметр свай, d Длина свай, L Относительное осевое расстояние между сваями, a/d Число свай, п Объем материала свай, V Стоимость фундамента

24 750 мм 18м 6.0 49 шт. 390 м3 9,5 млн. руб.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Решение тестовых задач с использованием программного комплекса Plaxis 3D Foundation и упругопластической модели грунта Кулона-Мора подтвердили возможность его эффективного использования для выполнения численных исследований взаимодействия свайного фундамента с грунтом основания как единой системы «ростверк - группа свай - грунт» и, в частности, для изучения влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента при действии на него вертикальной нагрузки.

2. На основании выполненных численных исследований работы свайного фундамента как единой системы «ростверк - группа свай - грунт» установлены закономерности влияния низкого ростверка на несущую способность фундамента в зависимости от различных факторов, основными из которых по полученным данным являются относительная длина свай (L/d) и относительное осевое расстояние между сваями (a/d).

3. Показаны возможности применения расширенного факторного анализа для детальной оценки относительного влияния различных факторов на несущую способность низкого ростверка в составе свайного фундамента.

4. Математико-статистический анализ результатов численных исследований выполненный на основе теории планирования экспериментов позволил разработать рекомендации по оценке несущей способности низкого свайного

ростверка в более широком, чем проводилось раньше, диапазоне изменения влияющих на нее факторов.

5. Разработана оптимизационная модель расчета параметров свайного фундамента к которым относятся длина и диаметр свай, число свай в фундаменте и осевое расстояние между ними. Сформулированы выражения для критериев оптимальности, в качестве которых выступают объем и стоимость материалов свай, а также стоимость работ по их устройству, и системы ограничений применительно к оптимизации буронабивных свай

6. На основе методов теории оптимизации разработан алгоритм поиска оптимальных проектных решений свайных фундаментов, учитывающий закономерности взаимного влияния свай и работы низкого ростверка на несущую способность фундамента установленные в данной диссертационной работе.

7. Применение предложенного оптимизационного подхода к проектированию свайных фундаментов позволяет варьируя переменными параметрами проектирования фундамента определить такое их сочетание, при котором обеспечивается его надежная работа по условиям I и II групп предельных состояний при одновременном достижении наилучших технико-экономических показателей проекта.

8. Использование разработанного алгоритма оптимизации позволяет осуществить поиск оптимальных проектных решений свайных фундаментов без непосредственной проверки и сравнения всех потенциально возможных вариантов, что существенно облегчает и ускоряет процесс проектирования.

Список опубликованных работ:

1. Знаменский В.В., Рузаев A.M. Сравнение результатов натурных экспериментов с расчетами, выполненными при помощи конечно-элементной программы PLAXIS 3D Foundation для забивных свай в глинистых грунтах. Вестник МГСУ. Москва, 2008. №2. -с. 18-23.

2. Знаменский В.В., Рузаев А.М.Взаимодействие низкого ростверка со сваями. Вестник МГСУ. Москва, 2008. №2. - с.48-50.

3. Знаменский В.В., Рузаев A.M. Факторный анализ результатов исследования взаимодействия групп свай с грунтовым основанием. Вестник МГСУ. Специальный выпуск. Москва, 2009. №1. —с.511-513.

4. Знаменский В.В., Рузаев A.M. Влияние параметров свайного фундамента на работу низкого ростверка. Труды международной конференции по геотехнике «Геотехнические проблемы мегаполисов». Москва, 2010. Том 4. -с.1250-1251.

5. Знаменский В.В., Рузаев A.M. К вопросу об оптимизации проектирования свайных фундаментов. Сборник научных трудов ХШ-ой Межвузовской конференции «Строительство-формирование среды жизнедеятельности». Москва, 2010. -с.639-641.

6. Знаменская Е.П., Рузаев A.M. Геометрическая интерпретация результатов поиска оптимальных решений строительных конструкций. Вестник МГСУ. Москва, 2010. №4. -с.121-124

7. Рузаев A.M. Оптимизация параметров свайных фундаментов. Вестник МГСУ. Москва, 2010. №3. -с.94-105.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ И ТЕОРЕТИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЙ СОВМЕСТНОЙ РАБОТЫ СВАЙ В СВАЙНЫХ ФУНДАМЕНТАХ.

1.1. Экспериментальные исследования совместной работы свай в фундаменте.

1.2. Экспериментальные исследования по изучению влияния низкого ростверка на работу и несущую способность свайных фундаментов.

1.3. Учет работы низкого ростверка при расчете свайно-плитных фундаментов.

Выводы по главе.

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ РАБОТЫ

СВАЙНЫХ ФУНДАМЕНТОВ.

2.1. Основные положения метода конечных элементов.

2.2. Основные уравнения для описания деформаций грунта на основе упругопластической модели.

2.3. Сравнение результатов натурных экспериментов с расчетами выполненными методом конечных элементов.

2.3.1. Геологические условия экспериментальных площадок, краткое описание опытных фундаментов.

2.3.2. Численные расчеты системы «свайный фундамент - массив грунта».

2.3.3. Результаты численных расчетов и их сопоставление с результатами натурных испытаний.

2.3.4. Сопоставление результатов расчетов одиночных свай, выполненных по различным методикам, с данными натурных испытаний.

Выводы по главе.

ГЛАВА 3. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ПАРАМЕТРОВ СВАЙНОГО

ФУНДАМЕНТА НА РАБОТУ НИЗКОГО РОСТВЕРКА.

3.1. Состав численного эксперимента, исходные данные.

3.2. Основные положения теории планирования эксперимента.

3.3. Математическая модель эксперимента.

3.4. Оценка параметров модели.

3.4.1. Расчет дисперсии опытов.

3.4.2. Расчет коэффициентов регрессии.

3.4.3. Проверка адекватности модели.

3.5. Анализ модели.

3.6. Результаты численных исследований и их анализ.

Выводы по главе.

ГЛАВА 4. ОПТИМИЗАЦИЯ ПРОЕКТНЫХ РЕШЕНИЙ ПАРАМЕТРОВ

СВАЙНЫХ ФУНДАМЕНТОВ.

4.1. Методы решения задач оптимизации.

4.2. Методы оптимального проектирования строительных конструкций.

4.3. Постановка задачи оптимизации и метод ее решения.

4.4. Общий вид задачи оптимизации.

4.5. Алгоритм оптимального проектирования.

4.6. Пример определения оптимальных параметров свайного фундамента по предложенному алгоритму.

Выводы по главе.

Актуальность темы диссертации. Проблема рационального проектирования свайных фундаментов является актуальной в области современного фун-даментостроения. Особенно остро эта проблема стоит при строительстве в сложных инженерно-геологических и гидрогеологических условиях, в которых во многих случаях целесообразным, а иногда и единственно возможным и приемлемым решением, является применение свайных фундаментов. Как показывает практика, доля затрат на возведение конструкций подземных частей зданий и сооружений на свайных фундаментах составляет до 20% от общего объема бетона и железобетона, применяемого при строительстве.

Одним из важнейших направлений повышения экономической эффективности и надежности свайных фундаментов является совершенствование методов их расчета и проектирования. Основой для совершенствования методов расчета свай послужили работы в области механики грунтов ведущих специалистов нашей страны, таких как М.Ю.Абелев, Ю.М.Абелев, В.Г.Березанцев, С.С.Вялов, А.Л.Гольдин, М.Н.Гольдштейн, М.И.Горбунов-Посадов, Б.И.Далматов, Б.И.Дидух, К.Е.Егоров, Ю.К.Зарецкий, П.Л.Иванов, В.А.Ильичев, П.А.Коновалов,

A.Л.Крыжановский, М.В.Малышев, В.В.Соколовский, Е.А.Сорочан, С.Н.Сотников, З.Г.Тер-Мартиросян, С.Б.Ухов, В.А.Флорин, В.И.Шейнин, Р.С.Шеляпин, Н.А.Цытович и многих других.

Большая заслуга в деле систематизации результатов исследований и совершенствования методов расчета и проектирования свайных фундаментов принадлежит В.А.Барвашову, А.А.Бартоломею, Б.В.Бахолдину, А.С.Буслову, Г.И.Глушкову, В.Н.Голубкову, Н.З.Готман, А.А.Григорян, Х.А.Джантимирову, Н.М.Дорошкевич, Н.Т.Жадрасинову, В.В.Знаменскому, Г.К.Клейну, Ю.М.Колесникову, Э.В.Костерину, С.В.Курилло, С.Н.Левачеву, Г.М.Лешину,

B.В.Леденеву, А.А.Луге, А.А.Ободовскому, А.В.Паталееву, А.В.Пилягину, Б.А.Сальникову, К.С.Силину, З.Сирожиддинову, Н.К.Снитко, А.С.Строганову,

Ю.Г.Трофименкову, А.Б.Фадееву, В.Г.Федоровскому, А.П.Хамову, Р.Е.Ханину, В.Б.Шахиреву, У.Н.СЬеп, ТЛШау1з, Я.Ка12епЬасЬ, Н.-С.Кетр£ег1:, Н.К1зЫс1а, Н.Ь.Ш, О.МеуегЬо^ Ы.В.Реск, ЬШ.Рои1оз, М.Р.ЯапскЯрЬ, О.Яеи1, З.М.Эаеус!, А-БсИтшИ, АЖ8кетр1:оп, МЛ.ТотНшооп, W.F.Van 1тре, А.Б.Уезю, Н.Шпгакег и др.

Достижения отечественных и зарубежных ученых, изучавших различные аспекты работы свайных фундаментов, позволили проектировщикам и строителям успешно решать сложные задачи проектирования и возведения сооружений в сложнейших условиях, учитывая при этом необходимость сокращения сроков строительства и экономии средств. Решению поставленных задач способствовало и развитие численных методов расчета, широко используемых в современном проектировании. Нельзя не отметить и вклад проектировщиков и строителей, которые способствовали внедрению новых научных разработок и методов расчета, дали путевку в жизнь современным технологиям устройства свай, обеспечили проверку их на практике, способствовали развитию свайного направления в современном фундаментостроении.

Благодаря совместным усилиям ученых, проектировщиков и строителей был достигнут значительный прогресс как в этой области строительства, так и в строительстве в целом, что позволило вывести проектирование свайных фундаментов на современный уровень.

Наряду с научными достижениями, развитием новых технологий и технической базы строительства немаловажное значение для повышения экономической эффективности применения свай является и поиск их оптимального проектного решения. Так, одну и ту же несущую способность свайного фундамента можно обеспечить различным путем: увеличить размер поперечного сечения свай, но уменьшить их длину, не менять длину, но за счет увеличения сечения свай уменьшить их число в фундаменте и т.д., т.е. практически всегда существует возможность выбора оптимального решения, но оно далеко не всегда очевидно, что и поставило вопрос о разработке алгоритма его поиска, учитывающего не только взаимовлияние свай при их совместной работе в составе фундамента, но и участие в работе низкого ростверка. Однако, если взаимовлияние свай в фундаменте как экспериментально, так и в теоретическом плане в значительной мере изучено, что позволяет учесть его в расчетах в виде поправочных коэффициентов к несущей способности сваи, то влияние работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента изучено мало и учитывается, как правило, интегрально вне зависимости от влияющих на него факторов.

В связи с этим в настоящей диссертационной работе была поставлена задача изучить закономерности влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента от различных факторов, что, на наш взгляд, необходимо для успешной разработки алгоритма принятия оптимальных проектных решений свайных фундаментов и, кроме того, для разработки практических рекомендаций по этому вопросу.

Возможность экономии средств уже на стадии проектирования позволяет считать актуальным исследование, направленное на разработку метода оптимизации параметров свайного фундамента, учитывающего взаимовлияние его составных элементов «ростверк - группа свай - грунт» и достижения на этой основе оптимального сочетания экономичности и надежности проектных решений.

Из вышеизложенного формулируется следующая цель диссертационной работы.

Цель диссертационной работы:

- исследовать влияние включения в работу низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента, разработать практические рекомендации по учету этого влияния;

- с учетом полученных результатов разработать алгоритм поиска оптимального проектного решения свайного фундамента, учитывающего зависимость его несущей способности от взаимного влияния свай и включения в работу низкого ростверка.

Под свайными фундаментами с низкими ростверками в диссертационной работе подразумеваются группы свай, содержащие до 50 свай с осевым расстоянием между ними не превышающим 7d, где d - диаметр круглого или сторона квадратного сечения сваи, объединенные монолитной железобетонной плитой свайного ростверка, подошва которого имеет надежный контакт с грунтом.

Для достижения указанных целей были поставлены и решены следующие задачи:

- проанализированы имеющиеся экспериментальные данные об особенностях взаимодействия свай и низкого ростверка в вертикально нагруженных свайных фундаментах, выполнена их оценка, определено направление дальнейших исследований;

- выполнены численные расчеты и путем сравнения полученных результатов с имеющимися результатами натурных испытаний свайных фундаментов показана возможность использования программного комплекса Plaxis 3D Foundation и упругопластической модели грунта, построенной на основе теории прочности Кулона-Мора, для изучения и анализа взаимодействия свайных фундаментов с грунтовым основанием;

- проведено численное исследование работы свайных фундаментов с низким ростверком как единой системы «ростверк - группа свай - грунт» с целью изучения влияния включения в работу низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента в более широком, чем проводилось раньше, диапазоне изменения влияющих на нее факторов;

- методами математического планирования экспериментов определены характеристики системы «ростверк - группа свай - грунт», оказывающие существенное влияние на его работу в свайном фундаменте в зависимости от различных факторов, установлена степень этого влияния;

- на основании обобщения результатов численных исследований разработаны рекомендации по оценке степени влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента в широком диапазоне изменения влияющих на нее факторов;

- разработана оптимизационная модель расчета параметров свайных фундаментов, сформулированы выражения для критерия оптимальности и системы ограничений;

- на основе методов теории оптимизации разработан алгоритм поиска оптимальных проектных решений свайных фундаментов с учетом взаимного влияния свай и работы низкого ростверка на их несущую способность.

Научная новизна исследований.

1. В результате проведенных численных исследований и расширенного факторного анализа установлены закономерности влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента на вертикальную нагрузку в зависимости от его параметров и грунтовых условий.

2. На основании проведенного статистического анализа и обобщения полученных результатов численных исследований разработаны предложения по оценке несущей способности низкого свайного ростверка в зависимости от большего, чем это было возможно раньше, числа факторов.

3. Разработан алгоритм поиска оптимальных проектных решений свайных фундаментов при расчете их несущей способности на вертикальную нагрузку, учитывающий взаимное влияние свай в фундаменте и работу низкого ростверка.

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные рекомендации по определению несущей способности низкого ростверка и алгоритм поиска оптимальных проектных решений при расчете несущей способности свайных фундаментов на вертикальную нагрузку повышают экономическую эффективность применения свай в строительстве.

Реализация работы.

Результаты выполненной работы могут быть использованы при расчете и проектировании свайных фундаментов, а также в научно-исследовательских работах, выполняемых в учебных, проектных и научно-исследовательских организациях.

На защиту выносятся:

1. Результаты численных исследований работы вертикально нагруженных свайных фундаментов как единой системы «ростверк - группа свай - грунт».

2. Установленные с помощью проведенного численного исследования закономерности влияния работы низкого ростверка на несущую способность вертикально нагруженного свайного фундамента.

3. Практические рекомендации по учету работы низкого ростверка при расчете несущей способности свайных фундаментов на вертикальную нагрузку.

4. Разработанная оптимизационная модель расчета параметров свайных фундаментов, сформулированные выражения для критерия оптимальности и системы ограничений.

5. Алгоритм определения оптимальных параметров свайных фундаментов с использованием методов теории оптимизации.

Апробация работы. Основные положения работы обсуждались: на XII-ой и ХШ-ой Международных межвузовских конференциях «Строительство -формирование среды жизнедеятельности» (Москва, 15-22 апреля 2009; 14-21 апреля 2010); на Международной конференции «Геотехнические проблемы мегаполисов» (Москва, 7-10 июня 2010).

Публикации по результатам исследований. Основные результаты диссертации отражены в 7-ми печатных работах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и основных выводов и содержит 147 страниц, в том числе 54 рисунка, 16 таблиц и список литературы из 190 наименований.

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ

1. Решение тестовых задач с использованием программного комплекса Plaxis 3D Foundation и упругопластической модели грунта Кулона-Мора подтвердили возможность его эффективного использования для выполнения численных исследований взаимодействия свайного фундамента с грунтом основания как единой системы «ростверк - группа свай - грунт» и, в частности, для изучения влияния работы низкого ростверка на несущую способность свайного фундамента при действии на него вертикальной нагрузки.

2. На основании выполненных численных исследований работы свайного фундамента как единой системы «ростверк - группа свай - грунт» установлены закономерности влияния низкого ростверка на несущую способность фундамента в зависимости от различных факторов, основными из которых по полученным данным являются относительная длина свай (L/d) и относительное осевое расстояние между сваями (a/d).

3. Показаны возможности применения расширенного факторного анализа для детальной оценки относительного влияния различных факторов на несущую способность низкого ростверка в составе свайного фундамента.

4. Математико-статистический анализ результатов численных исследований выполненный на основе теории планирования экспериментов позволил разработать рекомендации по оценке несущей способности низкого свайного ростверка в более широком, чем проводилось раньше, диапазоне изменения влияющих на нее факторов.

5. Разработана оптимизационная модель расчета параметров свайного фундамента к которым относятся длина и диаметр свай, число свай в фундаменте и осевое расстояние между ними. Сформулированы выражения для критериев оптимальности, в качестве которых выступают объем и стоимость материалов свай, а также стоимость работ по их устройству, и системы ограничений применительно к оптимизации буронабивных свай.

6. На основе методов теории оптимизации разработан алгоритм поиска оптимальных проектных решений свайных фундаментов, учитывающий закономерности взаимного влияния свай и работы низкого ростверка на несущую способность фундамента установленные в данной диссертационной работе.

7. Применение предложенного оптимизационного подхода к проектированию свайных фундаментов позволяет варьируя переменными параметрами проектирования фундамента определить такое их сочетание, при котором обеспечивается его надежная работа по условиям I и II групп предельных состояний при одновременном достижении наилучших технико-экономических показателей проекта.

8. Использование разработанного алгоритма оптимизации позволяет осуществить поиск оптимальных проектных решений свайных фундаментов без непосредственной проверки и сравнения всех потенциально возможных вариантов, что существенно облегчает и ускоряет процесс проектирования.

1. Абрамов В.И. Теоретические основы устройства свайных фундаментов на неоднородном грунтовом основании: Дис. .д-ра техн. наук. Владивосток, 1998.

2. Адлер Ю.П., Маркова Е.В., Грановский Ю.В. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. Москва: Наука, 1976. -279с.

3. Александрович В.Ф., Курилло C.B., Федоровский В.Г. К вопросу о взаимном влиянии свай и плиты в основании свайно-плитного фундамента. Труды международной конференции по геотехнике. СПб, 2005. Том 2. -с.279-286.

4. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. Москва: Наука, 1979. -432с.

5. Андерсон М.С., Арман Ж.Л., Apopa Дж. С. Новые направления оптимизации в строительном проектировании. Москва: Стройиздат, 1989. 587с.

6. Асатурян В.И. Теория планирования эксперимента. Москва: Радио и связь, 1983. -248с.

7. Бадеев А.Н. Учет сжимаемости ствола сваи и слоистости основания при проектировании свайных фундаментов большой длины: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1982.

8. Банди Б. Методы оптимизации. Москва: Радио и связь, 1988.

9. Барвашов В.А. Метод расчета жесткого ростверка с учетом взаимного влияния свай. Основания, фундаменты и механика грунтов. 1977. №4. -с. 17-20.

10. Ю.Барвашов В.А., Болдырев Г.Г. Экспериментально-теоретические исследования свайно-плитных фундаментов. Труды международной конференции по геотехнике «Геотехнические проблемы мегаполисов». Москва, 2010. Том 4. -с.1209-1212.

11. П.Бартоломей A.A. Экспериментальные и теоретические основы прогноза осадок ленточных свайных фундаментов и их практическое приложение: Дис. .д-ратехн. наук. Москва, 1976.

12. Бартоломей A.A. Основы расчета ленточных свайных фундаментов по предельно допустимым осадкам. Москва: Стройиздат, 1982. -223с.

13. Бартоломей A.A., Омельчак И.М., Юшков Б.С. Прогноз осадок свайных фундаментов. Москва: Стройиздат, 1994. -384с.

14. М.Бахолдин Б.В. Экспериментальные и теоретические исследования процесса взаимодействия грунта с забивными сваями и создание на основе практических методов расчета свай: Дис. .д-ра техн. наук. Москва, 1987.

15. Бахолдин Б.В., Разводовский Д.Е. О методике расчета свайных кустов. Труды III Международной конференции «Проблемы свайного фундамен-тостроения». Пермь, 1992. Часть 1. -с. 105-108.

16. Бахолдин Б.В., Джантимиров Х.А., Разводовский Д.Е. Несущая способность свай в кусте. Сборник «Свайные фундаменты». Москва: Стройиздат, 1991. -с.41-44.

17. Безволев С.Г. Податливость свай и грунта в плитно-свайном фундаменте. Труды международной конференции по геотехнике. Санкт-Петербург, 2005. Том 2. -с.57-62.

18. Безволев С.Г. Расчетный анализ сопротивления свай и грунта вдавливанию плитного ростверка. Труды международной конференции по проблемам механики грунтов и фундаментостроения в сложных грунтовых условиях. Уфа, 2006. Том 1. с.35-42.

19. Березанцев В.Г. Расчет оснований сооружений. Издательство литературы по строительству. Ленинград, 1970. -205с.

20. Бобырь Г.А., Богданова М.Б., Бикинеев М.Г. Оптимизационный подход при проектировании внутренней обделки тоннелей. Механика грунтов и фундаментостроение: Труды российской конференции. Санкт-Петербург. 1995. Том 1 с. 130

21. Бобырь Г.А. Оптимизация параметров упрочненных массивов в основаниях, сложенных структурно-неустойчивыми грунтами: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 2002.

22. Васильченко A.B. Исследование работы низкого ростверка на моделях свайных кустов. Сборник научных трудов «Проблемы освоения природных ресурсов Европейского севера». Ухта, 1996. -с.205-207.

23. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Москва: Мир, 1984. -428с.

24. Голубков В.Н., Догадайло А.И. Некоторые особенности совместной работы свай, свайных фундаментов и их оснований. Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж. Издательство ВГУ, 1988. -с.55-63.

25. Горбунов-Посадов М.И., Маликова Т.А., Соломин В.И. Расчет конструкции на упругом основании. Москва: Стройиздат, 1984.

26. ГОСТ 5686-94. Методы полевых испытаний сваями. Москва, 1996.

27. Готман A.JI. Безростверковые свайные фундаменты промышленных зданий и сооружений и общая методология их расчета: Дис. .д-ра техн. наук. Уфа, 1995.

28. Готман Н.З. К расчету фундаментов в виде сплошных свайных полей с монолитными плитами. Труды VI Международной конференции по проблемам свайного фундаментостроения. Москва, 1998. Том 1. с.32-36.

29. Готман Н.З., Шапиро Д.М. Математическое моделирование взаимодействия свай с грунтом в сплошном свайном поле. Труды международного семинара по механике грунтов, фундаментостроению и транспортным сооружениям. Москва, 2000. — с. 171-174.

30. Готман Н.З., Макарьев М.И. Параметрические исследования перераспределения нагрузок в свайно-плитном фундаменте. Труды международногосеминара по механике грунтов, фундаментостроению и транспортным сооружениям. Москва, 2000. — с.174-178.

31. Готман Н.З. Определение параметров свайного поля свайно-плитного фундамента. Основания, фундаменты и механика грунтов. 2003. №3. -с.2-6.

32. Готман Н.З. Расчет свайно-плитных фундаментов из забивных свай с учетом образования карстового провала: Дис. .д-ра техн. наук. Уфа, 2004.

33. Глушков И.В. Прогноз осадок комбинированных свайных фундаментов: Автореферат дис. .канд. техн. наук. Пермь, 2007.

34. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. Москва: Высшее образование, 2007. -404с.

35. ГПИ Гипроалюминий. Отчет об инженерно-геологических работах на площадках строительства Братского алюминиевого завода. Архив Братского алюминиевого завода, 1968.

36. Григорян A.A. Несущая способность свай в просадочных грунтах: Дис. .д-ратехн. наук. Москва, 1973.

37. Григорян A.A. Свайные фундаменты зданий и сооружений на просадочных грунтах. Москва: Стройиздат, 1984. -161с.

38. Григорян A.A. Расчет несущей способности оснований свай. Труды VI Международной конференции по проблемам свайного фундаментострое-ния. Москва, 1998. Том 1. -с.37-42.

39. Далматов Б.И., Лапшин Ф.К., Россихин Ю.В. Проектирование свайных фундаментов в условиях слабых грунтов. Ленинград: Стройиздат, 1975.

40. Девальтовский Е.Э. Исследование работы свайных фундаментов с учетом их взаимодействия с межсвайным грунтом: Дис. .канд. техн. наук. Ленинград, 1982.

41. Девальтовский Е.Э. Влияние пригрузки на взаимодействие свай с грунтом. Труды VI Международной конференции по проблемам свайного фундаментостроения. Москва, 1998. Том 1. -с.43-46.

42. Денисов O.JI. Экспериментально-теоретическое исследование и разработка методов расчета групповых свайных фундаментов: Дис. .д-ра техн. наук. Уфа, 1996.

43. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование эксперимента в технике и науке. Москва, 1980.

44. Дидух Б.И. Упругопластическое деформирование грунтов. Монография. Москва: Издательство УДН, 1987.

45. Дорман Я.А. Искусственное замораживание грунтов при строительстве метрополитенов. Москва: Транспорт, 1971.

46. Дорошкевич Н.М. Исследование напряжений в грунте при свайных фундаментах: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1959.

47. Дорошкевич Н.М., Знаменский В.В., Кудинов В.И. Особенности работы свайных фундаментов с учетом взаимодействия свай на центральную, моментную и горизонтальные нагрузки. Труды XVII Конференции Чехословацкого НТО. Брно, 1989.

48. Дорошкевич Н.М., Знаменский В.В., Кудинов В.И. Инженерные методы расчета свайных фундаментов при различных схемах их нагружения. Вестник МГСУ. Москва, 2006. №1, -с.119-132.

49. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. Москва: Мир, 1975. -189с.

50. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация. Москва: Мир, 1986. -318с.

51. Знаменский В.В. Работа свайного фундамента в глинистых грунтах и расчет их по деформациям: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1971.

52. Знаменский В.В., Кудинов В.И. Экспериментальные исследования работы кустов свай в глинистых грунтах. Современные проблемы свайного фун-даментостроения в СССР. Тезисы докладов II Всесоюзного совещания. Одесса, 1990. -с.2.

53. Знаменский В.В., Рузаев A.M. К вопросу об оптимизации проектирования свайных фундаментов. Сборник научных трудов ХШ-ой Межвузовской конференции «Строительство формирование среды жизнедеятельности». Москва, 2010. -с.639-641.

54. Знаменский В.В., Рузаев A.M. Влияние параметров свайного фундамента на работу низкого ростверка. Труды международной конференции по геотехнике «Геотехнические проблемы мегаполисов». Москва, 2010. Том 4. -с.1250-1251.

55. Знаменская Е.П., Рузаев A.M. Геометрическая интерпретация результатов поиска оптимальных решений строительных конструкций. Вестник МГСУ. Москва, 2010. №4. Том 1. -с. 113-117.

56. Колесниченко A.JI. Применение метода динамического программирования к решению некоторых задач механики грунтов и теории оснований сооружений: Дис. .канд. техн. наук. Днепропетровск, 1973.

57. Корольков В.Н., Пекшев В.Г. К вопросу об оптимизации проектирования стен в грунте. Труды НИИОСП. Москва 1983, № 79.

58. Коршунов Ю.М. Математические основы кибернетики. Москва: Энергия, 1980.-423с.

59. Крупицына В.А. Исследование некоторых вопросов оптимизации закрепления оснований: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1970.

60. Кульчицкий Г.Б. Экспериментально-теоретическое развитие методов оптимального проектирования свайных фундаментов с учетом их надежности: Дис. .д-ра техн. наук в форме науч. докл. Пермь, 1994.

61. Кунц Ш., Хюммелер JI., Леманн А. Новый путь оптимизации и испытания оснований из буронабивных свай: технология Lift Cell. Труды международной конференции по геотехнике «Геотехнические проблемы мегаполисов». Москва, 2010. Том 4. -с. 1275-1280.

62. Курилло C.B. Расчет свайных групп в основании морских нефтегазопро-мысловых сооружений: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1984.

63. Курилло C.B., Федоровский В.Г. Пространственный расчет свайных фундаментов с гибким ростверком на комбинированные нагрузки. Сборник научных трудов «НИИОСП им. Н.М.Герсеванова 70 лет». Москва, 2001.

64. Курилло C.B., Скороходов А.Г., Федоровский В.Г. К расчету осадок свайных и свайно-плитных фундаментов. Труды международной конференции по геотехнике. СПб, 2005. Том 2.-е. 117-122.

65. Кутвицкая Н.Б. Фундаменты из упрочненного мерзлого грунта. Проблемы механики грунтов и инженерного мерзлотоведения. Москва: Стройиз-дат, 1990. -с. 149.

66. Лешин Г.М., Ханин P.E., Трофименков Ю.Г. Причины значительных деформаций некоторых зданий и сооружений на свайных фундаментах. Балтийская конференция, 1988. Том 2. -с.205-208.

67. Макарьев М.И. Исследование работы сваи в сплошном свайном поле: Дис. .канд. техн. наук. Уфа, 2005.

68. Маркова Е.В., Лисенков. А.Н. Комбинаторные планы в задачах многофакторного эксперимента. Москва: Наука, 1979. -346с.

69. МГСН 2.07-01. Основания, фундаменты и подземные сооружения. Москва, 2004.

70. Миндлин Р. Сосредоточенная сила в упругом полупространстве. Сб. сокращенных переводов иностранной периодической литературы. Механика, выпуск 4/14, 1952.

71. Монтгомери Д.К. Планирование эксперимента и анализ данных. Ленинград. 1980.

72. Основания, фундаменты и подземные сооружения. Справочник проектировщика. Москва: Стройиздат, 1985.

73. Петренко Г.М., Козачок Л.Д. К расчету осадки куста буровых свай. Республиканский межведомственный научно технический сборник «Основания и фундаменты». Киев: Издательство «Буд1вельник», 1975. Вып. 8. -с.83-87.

74. Петрухин В.П., Шулятьев O.A., Ибраев P.P. Экспериментальные исследования осадок свайных фундаментов. Сборник научных трудов «НИИОСП им. Н.М.Герсеванова 75 лет». Москва, 2006. -с. 126-134.

75. Петрухин В.П., Безволев С.Г., Шулятьев O.A., Харичкин А.И. Эффект краевой сваи и его учет при проектировании плитного ростверка. Реконструкция городов и геотехническое строительство. Москва, 2006. №11.

76. Пилягин A.B. Исследование осадок свайных кустов: Дис. .канд. техн. наук. Ленинград, 1969.

77. Почтман Ю.М., Колесниченко А.Л. Методы математической оптимизации в механике грунтов. Киев-Донецк: Высшая школа, 1977. 102с.

78. Разводовский Д.Е. Взаимодействие свай и грунта в составе большераз-мерных кустов свай и свайных полей: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1999.

79. Рассказов JI.H., Орехова И.Л. Оптимизация конструкций грунтовых плотин. Гидротехническое строительство. Москва, 1985. №7, -с. 32

80. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел. Москва: Издательство Наука, 1976. 266с.

81. Розин Л.А. Метод конечных элементов. Соросовский образовательный журнал. СПб, 2000. Том 6, №4, -с. 120-127.

82. Рузаев A.M. Оптимизация параметров свайных фундаментов. Вестник МГСУ. Москва, 2010. №3. -с.94-105.

83. Румшинский Л.З. Математическая обработка результатов эксперимента. Москва: Издательство Наука, 1971.

84. Рыжков И.Б. Общая методология и практические методы применения статического зондирования грунта для проектирования свайных фундаментов: Дис. .д-ратехн. наук. Уфа, 1992.

85. Савин A.B. Применение свай, погружаемых вдавливанием, при реконструкции исторической застройки городов: Автореферат дис. .д-ра техн. наук. Волгоград, 2008.

86. Сальников Б.А. Исследование несущей способности свайных фундаментов в слабых глинистых грунтах: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1969.

87. Сирожиддинов 3. Несущая способность кустов свай в слабых водо-насыщенных грунтах при внецентренной нагрузке: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1978.

88. Cea Ж. Оптимизация. Теория и алгоритмы. Москва: Издательство Мир, 1973.-244с.

89. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. Москва: Издательство Мир, 1979. -195с.

90. Слюсаренко С.А., Акимов С.Д. Определение оптимальных параметров свайных фундаментов под стены зданий. Основания и фундаменты. Сборник научных трудов, 1978. №11, с 46.

91. Скибин Г.М. Исследование взаимодействия грунтового основания и ленточных фундаментов и оптимизация проектных решений: Дис. .канд. техн. наук. Новочеркасск, 1998.

92. СНиП 2.02.01-83*. Основания здания и сооружений. Москва, 1996.

93. СНиП 2.02.03-85. Свайные фундаменты. Москва, 1986.

94. Соколов Г.А. Экспериментальное исследование несущей способности фундаментов в виде кустов из полых свай с грунтовым ядром: Дис. .канд. техн. наук. Уфа, 1997.

95. Соломин В.И., Шматков С.Б. Методы расчета и оптимальное проектирование железобетонных фундаментных конструкций. Москва: Строй-издат, 1986.

96. Сорочан Е.А. Фундаменты промышленных зданий. Москва, 1986. -303с.

97. СП 50-102-2003. Проектирование и устройство свайных фундаментов. Москва, 2004.

98. СП 50-101-2004. Проектирование и устройство оснований и фундаментов зданий и сооружений. Москва, 2005.

99. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. Москва: Издательство Мир, 1977. -349с.

100. Сурков Е.И., Коноваленко Л.Г. Решение задачи по определению и проектированию оптимальных ленточных фундаментов. Основания и фундаменты. Сборник научных трудов. Минск, №16, 1977.

101. Тер-Мартиросян З.Г. Механика грунтов. Москва: Издательство АСВ, 2005.-488с.

102. Тер-Мартиросян З.Г. Напряженно деформированное состояние в грунтовом массиве при его взаимодействии со сваей и фундаментом глубокого заложения. Вестник МОГСУ. Москва, 2006. №1. — с.38-49.

103. Тихомиров В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. Москва: Издательство Наука, 1986. 192с.

104. Тозик JI.В. Взаимодействие сваи с основанием, нагруженной осевой статической нагрузкой: Дис. .канд. техн. наук. СПб, 2002.

105. Трофименков Ю.Г., Лешин Г.М. Совершенствование нормативных методов расчета фундаментов из свайных полей. Труды II Всесоюзной конференции «Современные проблемы свайного фундаментостроения в СССР». Одесса, 1990. с.34-35.

106. Урманшина Н.Э. Исследование работы комбинированных свайных фундаментов на горизонтальную нагрузку в глинистых грунтах: Дис. . .канд. техн. наук. Уфа, 2001.

107. Ухов С.Б. Расчет сооружений и оснований методом конечных элементов. Москва, 1973. -158с.

108. Ухов С.Б., Семенов В.В., Знаменский В.В., Тер-Мартиросян З.Г., Чернышов С.Н. Механика грунтов, основания и фундаменты. Москва: Издательство АСВ, 2004. -566с.

109. Фадеев А.Б. Метод конечных элементов в геомеханике. Москва: Издательство Недра, 1987. -221с.

110. Фадеев А.Б. Девальтовский Е.Э. Кустовой эффект при работе свайных фундаментов на вертикальную нагрузку. Сборник «Ускорение научно технического прогресса в фундаментостроении». Москва: Стройиз-дат, 1987.

111. Фадеев А.Б., Девальтовский Е.Э. Исследование работы группы свай. Исследования свайных фундаментов. Межвузовский сборник научных трудов. Воронеж. Издательство ВГУ, 1988. -с.167-172.

112. Фадеев А.Б. Девальтовский Е.Э. Особенности работы свай при групповом их расположении. Труды II Всесоюзной конференции «Современные проблемы свайного фундаментостроения в СССР». Одесса, 1990. с.4-5.

113. Фадеев А.Б., Девальтовский Е.Э., Васильченко A.B. Работа свай при наличии низкого ростверка. Труды VI Международной конференции по проблемам свайного фундаментостроения. Москва, 1998. Том 2. -с. 169174.

114. Федоровский В.Г. Расчет осадок свай в однородных и многослойных основаниях: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1974.

115. Федоровский В.Г., Безволев С.Г. Метод расчета свайных полей и других вертикально армированных грунтовых массивов. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1994. №3. -с. 11-15.

116. Федоровский В.Г., Левачев С.Н., Курилло C.B. Колесников Ю.М. Сваи в гидротехническом строительстве. Москва: Издательство АСВ, 2003.-240с.

117. Хамов А.П. Исследование осадки и несущей способности группы свай с учетом фактора времени. Дис. .канд. технических наук. Москва, 1967.

118. Хамов А.П. К расчету влияния кустового эффекта на несущую способность свайного фундамента. Основания, фундаменты и механика грунтов: Материалы Всесоюзного совещания. Киев, 1971. с.308-312.

119. Харичкин А.И., Безволев С.Г., Шулятьев O.A. Практическое исследование эффекта краевой сваи. Сборник научных трудов «НИИОСП им. Н.М.Герсеванова 75 лет». Москва, 2006. -с.202-211.

120. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. Москва: Мир, 1975.

121. Цытович H.A. Инженерный метод прогноза осадок фундаментов. Москва: Стройиздат, 1988.

122. Чунюк Д.Ю. Расчет комбинированных свайно-плитных фундаментов: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 2002.

123. Шмит А., Катценбах Р., Рамм X. Основные принципы проектирования и мониторинга высотных зданий Франкфурта-на-Майне. Случаи из практики. Реконструкция городов и геотехническое строительство. №9, 2005. -с.80-99.

124. Югай O.K. Особенности работы фундаментов из свай большой длины при действии центральной нагрузки: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1982.

125. Яблочков В.Д., Бартоломей А.А., Пеньковский Е.М., Гордон Е.В. Учет работы низкого ростверка резерв повышения экономичности свайных фундаментов. Трест Оргтехстрой. Пермь, 1964.

126. Яблочков В.Д. Исследование роли низкого ростверка в несущей способности однорядных свайных фундаментов: Дис. .канд. техн. наук. Москва, 1965.

127. Ahner С., Konig G., Soukhov D. Reliability aspects of design of combined piled-raft foundation. Proceeding 2nd International PhD Symposium. Budapest, 1998.

128. Balakumar V., Ilamparuthi K. Laboratory study on the behavior of the piled raft on the granular soils. Proceeding of the 15lh SEAGC-Bangkok, Thailand, 2004, pp. 293-298.

129. Balakumar V., Kalaiarasi V., Ilamparuthi K. Experimental and analytical on the behavior of circular piled on sand. Proceeding XVIth ICSMFE. Osaka, Vol. 1.2005, pp. 1943-1946.

130. Brown P.Т., Poulos H.G., Wiesner T.J. Piled raft foundation design. Proceeding Symposium on raft foundation. Perth, CSIRO, 1975, pp. 13-21.

131. Chen Y.H., Gao Y.F., Liu H.L. Analyses of pile groups driven cast-in-place concrete subjected horizontal and vertical loads. Proceeding XVIth ICSMFE. Osaka, Vol. 2. 2005, pp. 2369-2376.

132. Clancy P. Numerical analysis of piled raft foundations. University of Western Australia. 1993.

133. Clancy P., Randolph M.F. Simple design tools for piled raft foundations. Geotechnique, Vol. 46, No. 2, 1996, pp. 313-328.

134. Comodromos E. Response evaluation of axially loaded fixed-head pile groups using 3D nonlinear analysis. Soils & Foundations, Vol. 44, No. 2. 2004, pp. 31-39.

135. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bulletin of the American Mathematical Society. Vol.49, 1943, pp. 1-23.

136. El-Mossallamy Y. Foundation of high rise buildings on compressible subground. Proceedings of the international geotechnical conference. Saint Petersburg, Vol.1, 2008, pp. 209-226.

137. Eurocode 7. Geotechnical design. Part 1. General Rules. 1997.

138. Fleming W.G., Welman A.J., Randolph M.F., Elson W.K. Piling Engineering. Surrey University Press, 1985.

139. Geffen S., Birnbaum I. Raft and piles foundation of a silo. Proceeding XVIth ICSMFE. Osaka, Vol. 1. 2005, pp. 1979-1982.

140. Horikoshi K. and Randolph M.F. A contribution to optimal design of piled rafts. Geotechnique, Vol. 48, No. 3, 1998, pp. 307-317.

141. Horikoshi K. and Randolph M. F. Estimation of overall settlement of piled raft. Soils and foundations, Vol. 39, No 2. 1999, pp. 59-68.

142. Horikoshi K., Matsumoto T. Analyses of vertical and horizontal load tests on piled raft models in dry sand. Proceeding XVIth ICSMFE. Osaka, Vol. 2. 2005, pp. 2005-2008.

143. Katzenbach R. Zur technich wirtschaftlichen Bedeutung der Kombinierten Pfahl - Platenngrundung, dargestellt am Beispiel schwerer Hochhauser. Bautechnik 70, Helt3, 1993, 161-170.

144. Katzenbach R., Reul O. Design and performance of piled rafts. Proceeding XlVth ICSMFE. Hamburg, Balkema, Rotterdam, Vol. 4. 1997, pp. 22532256.

145. Katzenbach R., Arslan U., Moorman C., Reul O. Piled raft foundation -Interaction between piles and raft. International Conference on Soil-Structure Interaction in Civil Engineering. Darmstadt Geotechnics, No. 4, Vol. 2, 1998, pp. 279-296.

146. Katzenbach R., Moorman C. Recommendations for the design and construction of piled rafts. Proceeding XVth ICSMFE. Istambul, Balkema, Rotterdam, Vol. 2. 2001, pp. 927-930.

147. Katzenbach R., Hanisch J., Konig G. Kombinierte Pfahl Plattengrundungen. Ernst & Sohn. Berlin, 2002, 222s.

148. Katzenbach R., Shmitt A., Turek J. Assessing settlement high-rise structures by 3D simulations. Journal of computer-aided civil and infrastructure engineering, 2003.

149. Katzenbach R. and Turek J. Small scale model tests with combined pile raft foundations. Proceeding of the 4th International Geotechnical Seminar on «Deep foundation on bored piles». Ghent, Belgium, 2003, pp. 409 413.

150. Kempfert H.-G., Rudolf M. Effects of actions due to group effect on the superstructure on pile groups. Proceeding XVIth ICSMFE. Osaka, Vol. 2. 2005, pp. 2133-2136.

151. Kuwabara F. An elastic analysis for piled raft foundations in a homogeneous soil. Soils and Foundations 29, No. 1, 1989, pp. 82-92.

152. PLAXIS 3D Foundation v. 1.5 / Eds R.B.J. Brinkgreve & W. Broere. Abingdon e.a.: Balkema, 2006, 634p.

153. Poulos H.G. and Davis E.H. Pile foundation analysis and design. John Wiley & Sons Ltd. New York, 1980, 397p.

154. Poulos H.G. Pile behavior theory and application. Geotechnique, Vol. 39, No. 3, 1989, pp. 365-415.

155. Poulos H.G. An approximate numerical analysis of pile-raft interaction. University of Sydney, Australia, 1994.

156. Poulos H.G., Small J.C., Ta L.D., Chen L. Comparison of some methods for analysis of piled rafts. Proceedings XlVth ICSMFE. Hamburg, Balkema, Rotterdam, Vol. 2, 1997, pp. 1119-1124.

157. Poulos H.G. Piled-raft foundation: design and applications. Geotechni-que, Vol. 51, No. 2, 2001, pp. 95-113.

158. Poulos H.G. Effects of urban construction on existing pile foundations. Proceedings XHIth ICSMGE. Czech Republic, Prague, Vol. 3, 2003, pp. 401424.

159. Randolph M.F., Wroth C.P. An analysis of the vertical deformation of pile groups. Geotechnique, Vol. 29, 1979, pp. 423-439.

160. Randolph M.F. Settlement considerations in the design of axially loaded piles. Ground Engineering, Vol. 16, No. 4, 1983, pp. 28-32.

161. Randolph M.F., Clancy P. Efficient design of piled rafts. Proceedings of Deep Foundations on bored and auger piles. Brugge, 1993, pp. 119-131.

162. Randolph M.F. and Horikoshi K. Centrifuge modeling of piled raft foundation on clay. Geotechnique, Vol. 46. 1996, pp. 741- 752.

163. Randolph M.F. Design methods for pile groups piled rafts. Xllth ICSMFE. New Delphi, India, Rotterdam, Balkema, Vol. 4. 1994, pp. 61-82.

164. Reul O. Piled rafts in overconsolidated clay: comparison of in situ measurements and numerical analyses. Geotechnique, Vol. 53, 2003, pp. 301-315.

165. Schmitt A., Katzenbach R. Bored and screwed piles. Proceeding XVIth ICSMFE. Osaka, Vol. 1. 2005, pp. 2129-2132.

166. Russo G. and Viggiani C. Factors controlling soil-structure interaction for piled rafts. International conference on soil-structure interaction in urban3 civil engineering. Darmstadt, 1998. Paper No. 4. pp. 725-748.

167. Tejchman A., Gwizdala A. Investigation of settlement of piled raft founth •dation. Proceedings 5 International conference on case histories in geotech-nical engineering. New York, 2004. Paper No. 1.51. pp. 1-7.

168. Tomlinsoon M.J. Foundation design and construction. Longman Scientiflcand Technical. Harlow, 1986.th

169. Tomlinsoon M.J. Pile design and construction practice, 4 edition, E&

170. FN Spon. London, 1994, 41 lp.

171. Van Impe W.F. Ein Interaktionmodell fur Pfahl Plattengrundungen. Geoteknik 17, 1994, pp. 61-73.

172. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. 5th edition. Volume 2. Butterworth-Heinemann, 2000.