автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимизационные модели экономического развития с учётом влияния эффективности инвестиций

На правах рукописи

САЙФУТДИНОВА Наталья Анатольевна

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РАЗВИТИЯ С УЧЁТОМ ВЛИЯНИЯ ЭФФЕКТИВНОСТИ ИНВЕСТИЦИЙ

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование,

численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

2 3 ИЮН 2011

Ростов-на-Дону 2011

4850969

Работа выполнена на кафедре высшей математики в государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Ростовский государственный строительный университет» (РГСУ)

Научный руководитель

доктор физико-математических наук, профессор

Сумбатян Межлум Альбертович

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук, профессор

Угольницкий Геннадий Анатольевич,

кандидат физико-математических наук, доцент

Бондаренко Юлия Валентиновна

Ведущая организация

Томский государственный университет

Защита состоится 5 июля 2011 г. в 14-20 на заседании диссертационного совета Д 212.208.22 при Южном федеральном университете по адресу: 347928, г. Таганрог, ГСП-17А, пер. Некрасовский, 44, ауд. Д-406.

С диссертацией можно ознакомиться в зональной научной библиотеке ЮФУ по адресу: 344049, г.Ростов-на-Дону, ул. Пушкинская,148.

Автореферат разослан 'Ь июня 2011 г.

Учёный секретарь

диссертационного совета Д 212.208.22 доктор технических наук

Целых А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Настоящая диссертация посвящена моделированию процесса распределения инвестиций в некоторой экономической системе, теоретическому описанию условий неограниченного накопления капитала, построению вычислительных алгоритмов, имеющих своей целью максимизацию итогового выпуска этой системы. Эти алгоритмы легли в основу нового программного комплекса «Моделирование распределения инвестиций в экономической системе». Исследовательский характер данного программного комплекса связан с возможностью его использования для корректировки инвестиционной политики, при этом условия его функционирования могут быть изменены в зависимости от рассматриваемого экономического объекта.

В данном исследовании изучаются математические модели, основанные на дифференциальных уравнениях специального класса. Эти модели возникли в последние десятилетия из неоклассической теории экономического роста, основоположниками которой считают Д. Мида, Р. Солоу, Т. Свана и др. Отличие предложенных в работе моделей связано с новым подходом к учёту влияния эффективности инвестиций в виде изменяющегося коэффициента эластичности по фактору капитал, что позволяет моделировать научно-технический прогресс. Кроме этого, основные инструменты этих моделей используются при моделировании как экономических процессов (распределение инвестиций, максимизация прибыли, оптимизация нормы накопления и т.д.), так и в моделях экологических и биологических (например, модели загрязнения окружающей среды, модели биоценозов и т.д.) Поэтому решение задач оптимизации и задач оптимального управления в рамках моделей, изучаемых в диссертации, является актуальной темой научных изысканий. Рассматриваемые в работе модели представляют особый интерес, так как источник роста экономических показателей находится внутри рассматриваемой системы, что позволяет получать максимальный экономический эффект, не привлекая внешних инвестиций.

Объектами научного исследования в предлагаемой диссертации являются процессы и модели экономической и производственной деятельности.

Предмет исследования - динамические и статические оптимизационные модели.

Цели исследования - построить и исследовать оптимизационные модели, способствующие процессу принятия решений в экономических, производственных системах, в управлении инвестициями; развить качественные и приближённые аналитические методы их исследования; разработать, обосновать и протестировать эффективные численные методы с помощью ЭВМ; реализовать эти методы в виде комплекса проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного эксперимента.

Реализация указанных целей подразумевает решение следующих задач:

1) качественное и приближённое исследование математической модели Рамсея-Солоу и нахождение условий неограниченного роста решения соответствующего дифференциального уравнения;

2) разработка модифицированной модели Рамсея-Солоу для случая производственной функции Кобба-Дугласа с переменными показателями для моделирования в производственно-экономических, биологических и социальных системах;

3) построение динамической оптимизационной модели для системы с сосредоточенными параметрами, основанной на модифицированной модели Рамсея-Солоу, и исследование этой модели численными и аналитическими методами;

4) постановка задачи оптимального управления с дискретными оптимальными управлениями и терминальной целевой функцией в данной динамической модели и разработка численных алгоритмов её решения;

5) реализация полученных численных алгоритмов в виде комплекса проблемно-ориентированных программ и тестирование этого комплекса на данных по конкретной производственно-экономической системе;

6) аналитическое решение вспомогательной задачи распределения ресурсов в отдельной производственно-экономической системе, которая представляет собой задачу максимизации нелинейной функции многих переменных со сложной структурой области изменения параметров оптимизации;

7) исследование поведения решения задачи оптимального управления для системы дифференциальных уравнений на стационарных траекториях и получение аналога «золотого правила» накопления в трёхсекторной экономике;

8) разработка в рамках описанных моделей алгоритмов оптимизации инвестиционной деятельности в экономических системах, описываемых дифференциальными уравнениями.

Методологическая база исследования. Решение поставленных задач осуществлялось на основе системы математических знаний и представлений о природе экономических явлений с использованием общих принципов математического моделирования, методов математического анализа, методов оптимизации, численных методов, эконометрических методов.

Теоретической базой исследования послужили работы неоклассиков (П. Кобба, Ч. Дугласа, Р. Солоу, Дж.Фелпса), создателей экономико-математических моделей экономического развития (П. Ромера, Д. Лукаса, Узавы и др.). Информационно-методическую базу работы составили материалы, содержащиеся в научных работах отечественных авторов (Понтрягина JI.C., Ашманова С.А., Петрова A.A., Поспелова И.Г., Шананина A.B., Трифонова А.Г. и др.)

Научная новизна диссертационного исследования заключается в полученных автором результатах:

1) проведено асимптотическое исследование модели экономической динамики Солоу и показано, что увеличение коэффициента эластичности по фактору капитал до значений, близких к 1, приводит к неограниченному накоплению капитала; основываясь на этом предположении, разработаны динамические оптимизационные модели, в которых поставлена задача оптимального управления с закреплённым левым концом, которая решается в рамках этих моделей как задача управления динамической системой;

2) разработаны алгоритмы решения поставленной задачи оптимального управления, основанные на численных методах безусловной оптимизации, применение которых к решению поставленной задачи является новым;

3) создан программный комплекс, реализующий указанные алгоритмы численного решения поставленной задачи; математическая модель и программный комплекс апробированы на статистических данных об объёме выпуска продукции, объёме труда, объёме основного капитала и объёме инвестиций в научно-исследовательский сектор;

4) решена вспомогательная задача распределения ресурсов в некоторой системе, деятельность каждого элемента которой описывается с помощью производственной функции Кобба-Дугласа;

5) получен аналог «золотого правила» накопления для трёхсекторной экономики и в рамках полученного результата проведён анализ условий функционирования бюджетного сектора в зависимости от структуры основных фондов этого сектора.

Теоретическая значимость работы заключается в том, что разработаны оптимизационные модели распределения инвестиций, имеющие своей целью реализацию научно-технического потенциала современного общества.

Практическая значимость работы состоит в том, что, основываясь на предложенных моделях и используя соответствующие статистические данные, в рамках отдельного предприятия, отрасли промышленности или некоторой производственной системы, можно корректировать инвестирование в научно-исследовательский сектор так, чтобы получать максимальный экономический эффект. Предложенные модели могут быть использованы для моделирования разнообразных процессов в биологических, социальных и производственно-экономических системах.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1) модифицированная модель Рамсея-Солоу и задачи оптимизации, возникающие в связи с тем, что показатели производственной функции становятся возрастающими функциями времени;

2) Обобщение поставленной задачи на длительный период времени, состоящий из N промежутков, что приводит к задаче оптимального управления с закреплённым левым концом и терминальной целевой функцией;

3) Алгоритмы численного решения поставленной задачи с помощью локальных и глобальных методов безусловной оптимизации;

4) Решение вспомогательной задачи оптимизации нелинейной целевой функции с ограничениями в форме равенств и неравенств;

5) Исследование поведения решения системы дифференциальных уравнений специального вида на стационарных траекториях;

6) Программный комплекс «Моделирование распределения инвестиций в экономической системе», реализующий предложенные алгоритмы, предназначенный для оптимизации процесса распределения инвестиций в научно-исследовательский сектор.

Достоверность научных выводов, содержащихся в диссертации, обеспечивается математическими доказательствами, результатами

моделирования и обработки данных, а также актами внедрения диссертационных разработок.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих международных, всероссийских и региональных научных конференциях и семинарах:

1) I Международной научно-практической конференции «Занятость в XXI веке: тенденция изменения, закономерности и мера» (Ростов-на-Дону, 2001 г.);

2) II Международной научно-практической конференции «Занятость в XXI веке: тенденция изменения, закономерности и мера» (Ростов-на-Дону, 2002 г.);

3) V Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (весенняя сессия, Кисловодск, 2004 г.);

4) VIII Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия, Адлер, 2007 г.);

5) IX Всероссийском симпозиуме по прикладной и промышленной математике (осенняя сессия, Волжский, 2008 г.);

6) научных семинарах кафедры высшей математики РГСУ (Ростов-на-Дону, 2005 г., 2006 г, 2007 г., 2008 г., 2009 г, 2010 г.);

7) региональной научно-практической конференции профессорско-преподавательского состава «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания» (Ростов-на-Дону, РГЭУ, 2008 г.);

8) научном семинаре кафедры математического моделирования Южного федерального университета (Ростов-на-Дону, ЮФУ, октябрь 2010 г.);

9) научном семинаре кафедры теоретической и компьютерной гидроаэродинамики Южного федерального университета (Ростов-на-Дону, ЮФУ, апрель 2011 г.);

10) научном семинаре кафедры высшей математики Южного федерального университета (Таганрог, ЮФУ, Технологический институт, апрель 2011 г.)

Публикации. По теме диссертации опубликовано 14 печатных работ. Из них 4 работы опубликованы в изданиях из списка ВАК.

Объём и структура диссертации отражают логику рассмотрения материала и подчинены общим принципам и содержанию работы. Структура работы определяется спецификой данного исследования. Она состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемых источников (200 наименований), приложения, содержащего описание программного комплекса и коды программ. Материалы работы изложены на 149 страницах, включая 15 рисунков, 5 таблиц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность исследований, формулируются цель и задачи работы, показана научная новизна результатов и даётся краткое содержание диссертации по разделам.

В первой главе «Динамические математические модели экономического роста и научно-технического прогресса» приводится обзор классических подходов к моделированию экономического развития. В качестве основного фактора, обеспечивающего позитивные экономические изменения,

традиционно выступает научно-техническии прогресс, являющийся результатом как внутренних преобразований, так и внешних воздействий на экономическую систему. Приводится содержательный обзор математических моделей, в которых рассматриваются различные подходы к моделированию НТП и смены технологического уклада в экономической системе.

Во второй главе «Динамические математические модели, основанные на модели Солоу» анализируется хорошо известная модель Солоу в свете вопроса об ограниченности накопления капитала для произвольной неоклассической производственной функции.

В разделе 2.1. исследуется асимптотическое поведение основных параметров модели Солоу.

Пусть Г - объём выпуска, К - объём основных фондов или капитала, Ь -объём трудовых ресурсов (в некоторых денежных единицах). Если 5-я часть (О < 5 < 1) произведённого продукта постоянно инвестируется в производство,

т.е. идёт на накопление капитала, а ц-я часть (0 <ц< 1) постоянно изнашивается в силу амортизации основных фондов, то получаем следующее уравнение Рамсея-Солоу:

~ = *Р(К,1)-цК (1)

ш

Для производственной функции Кобба-Дугласа Р = АКа11>, а-коэффициент эластичности по фактору капитал, 0 < а < 1, /3 = 1-а, А>0, и следующего начального условия:

К(10) = К0, (2)

получаем задачу Коши (1),(2).

Тогда при получим следующее явное решение:

1

,Р = \-а. (3)

КМ^—^-еГ'^+К'е1*'- Л'

V А*

1

Ясно, что = — ] Таким образом, увеличивая коэффициент

ч Р )

эластичности по фактору капитал а до значений, близких к единице, получаем большую величину предельного накопления капитала.

Пусть теперь Ь(1) - монотонно-возрастающая гладкая функция, Р(К,Ь) = АКа(с)Ьр{1), А> 0, 0<а<1. Тогда решение уравнения (1) с

начальным условием кЦ = Кр (!а), имеет вид:

(

K\t) =

КЦ + s р Л ^e^" if (т)с1т

(4)

Доказана следующая теорема:

Теорема 2.1. Если L{t) -> +со при t -»со, то и K(t) -> +оо, t -»со. При этом существует такое С>0, что для достаточно больших t: K(t) < СL(t).

Для получения более точных оценок роста объёма капитала будем использовать понятие асимптотической шкалы.

Определение 2.1. Говорят, что последовательность функций {£„(/)} образует асимптотическую шкалу при / —»со, если

Получен следующий результат:

Теорема 2.2. Если = 0-произвольное число, причём

последовательность функций {£'"'(/)}, п = 0,1,..., образует асимптотическую шкалу при / —> то, то

т

( sA >

'U + A,

1(0, i-> (5)

Раздел 2.2. посвящён изучению условий возрастания фондовооружённости и темпов её роста. Если считать, что коэффициент эластичности по фактору капитал a =a(t)~монотонно возрастающая гладкая функция, a L(t) обладает свойствами, описанными в предыдущем разделе, то уравнение (1) примет вид:

at

Если ввести функцию фондовооружённости k(t) = K(t)/L(t), то данное уравнение сводится к следующему уравнению: dk

dt

i

sA-

ДО J .

(6)

Доказаны следующие результаты:

Теорема 2.3. (Необходимое условие неограниченного возрастания k{t)). Если k{t)~решение уравнения (6), k(t) —» +со и монотонно при / -»со, то

а(0->1,/-»°°

Теорема 2.4. Пусть как и в условии теоремы 2.2, L(t) = g(t)el'(X>0)), причём g'(t) = o(g(t)),t-^-со. Пусть P(t) = 1 ~a(t) = o(]/t) при t ->сс.Если при этом sA> ц+Х,то функция lc(t) при больших t экспоненциально возрастает и темп её роста равен s А - (^ + Я).

Таким образом, исследование решения уравнения Солоу приводит к выводу о том, что в качестве величины, являющейся количественной характеристикой научно-технического прогресса, может выступать коэффициент эластичности по

фактору капитал ак = ~. Более подробному изложению этой гипотезы

посвящён раздел 2.3.

Пусть F=F(K,L) - неоклассическая производственная функция, объём трудовых ресурсов постоянен во времени: L=L(t)=const, К = K(t) удовлетворяет уравнению Рамсея-Солоу (1). Кроме того, считаем, что в начальный момент времени:

K(Q = K0,F0=F{K0,L). (7)

Получаем классическую задачу Коши (1),(7). Доказан следующий вспомогательный результат.

Теорема 2.5. Пусть в начальный момент времени ?0 правая часть в уравнении (I) положительна, т.е. ,1) - ¡х К0 > 0. Тогда К(0 - монотонно-

возрастающая функция.

Опираясь на полученный результат, доказана следующая теорема: Теорема 2.6. (Достаточное условие неограниченного возрастания К(1)) Если ак ->1 при I -> оо, то К(1) -> со при I -> со.

Таким образом, считая коэффициент эластичности по фактору капитал возрастающей функцией, можно рассматривать модифицированную модель Солоу, в которой преодолена ограниченность предельного накопления капитала. Раздел 2.4. посвящен описанию моделей, основанных на этом утверждении. В Модели 1 рассматривается распределение общего объёма средств, выделенных для инвестирования (/д) между НИС и производством. Пусть /; -средства, инвестируемые в получение и развитие новых технологий, т.е. в предпроизводственную стадию, 12 - средства, вкладываемые во внедрение созданных технологий, т.е. в производственную стадию. Таким образом, 1о =//+ 12 . Будем рассматривать два промежутка времени: [0; с,] - это время предпроизводственной стадии, + /2] - время производственной стадии. Таким образом, в момент времени г = г, уже инвестирована часть оставшуюся часть средств инвестируем в производство, то есть в основные фонды, соответствующие новой технологии. Будем считать, что все средства пойдут только на закупку основных фондов, т.е. К(1/) = 12. Это равенство будет начальным условием для задачи Коши, решаемой на производственной части цикла, т.е. на отрезке [^'»'^'г]'-

Для простоты можно считать а монотонно возрастающей функцией от величины ¡1, и её можно аппроксимировать простейшими структурами алгебраического вида, например:

а=0,25( 1+5 /,'), где 8,у - некоторые параметры.

Будем считать, что 1о=1. В полученных предположениях меняем величину //, и при различных её значениях решаем задачу Коши на производственной части цикла. При этом получаем для каждого // своё значение капитала в момент времени ^ + ¿2, обозначим ЛГ(/, +/2) = КтЛ.

Таким образом, можно поставить следующую задачу оптимизации:

Данную задачу можно решить численно методом прямого перебора. Проиллюстрируем выше сказанное результатами численного эксперимента при следующих значениях входящих в уравнения параметров: 5 =0,25, А =1, Ь

Щ) = /2.

Щ) = 12, /,=/0-/2,

Л

=1, ц =0,2 , у = 0,33 ,5=2. (Программа для нахождения максимума представлена в блоке 1 программного комплекса «Моделирование распределения инвестиций в экономической системе»).

Рис. 1. Зависимость итогового накопления напитала от объёма инвестиций в НИС

/ Кеп!1 I, Ктс1 КепЛ

0,01 1,381 0,33 1,477 0,65 1,35

0,02 1,397 0,34 1,476 0,66 1,342

0,03 1,408 0,35 1,475 0,67 1,334

0,04 1,417 0,36 1,473 0,68 1,326

0,05 1,424 0,37 1,472 0,69 1,317

0,06 1,430 0,38 1,470 0,7 1,308

0,07 1,436 0,39 1,468 0,71 1,299

0,08 1,441 0,4 1,466 0,72 1,289

0,09 1,446 0,41 1,464 0,73 1,279

0,1 1,45 0,42 1,462 0,74 1,269

0,11 1,454 0,43 1,459 0,75 1,258

0,12 1,457 0,44 1,456 0,76 1,246

0,13 1,460 0,45 1,453 0,77 1,235

0,14 1,463 0,46 1,450 0,78 1,222

0,15 1,466 0,47 1,447 0,79 1,21

0,16 1,468 0,48 1,443 0,8 1,196

0,17 1,47 0,49 1,44 0,81 1,182

0,18 1,472 0,5 1,436 0,82 1,168

0,19 1,473 0,51 1,431 0,83 1,153

0,2 1,475 0,52 1,427 0,84 1,137

0,21 1,476 0,53 1,423 0,85 1,12

0,22 1,477 0,54 1,418 0,86 1,103

0,23 1,478 0,55 1,413 0,87 1,085

0,24 1,479 0,56 1,408 0,88 1,065

0,25 1,479 0,57 1,402 0,89 1,045

I Кепс! I, Кеп,1 I, Ке„и

0,26 1,4802 0,58 1,397 0,9 1,023

0,27 1,4801 0,59 11,391 0,91 1,000

0,28 1,480 0,6 1,385 0,92 0,975

0,29 1,479 0,61 1,378 0,93 0,948

0,3 1,479 0,62 1,372 0,94 0,919

0,31 1,479 0,63 1,365 0,95 0,886

0,32 1,478 0,64 1,358 0,96 0,849

0,33 1,477 0,65 1,350 0,97 0,806

Таблица 1. Результаты численного эксперимента для Модели 1.

Результаты численного эксперимента представлены в таблице 1, а на рисунке 1 представлена зависимость итогового значения капитала от объёма инвестиций /,. Таким образом, из таблицы и графика видно, что при указанных значениях модельных параметров максимальная величина накопления капитала по окончании производственной стадии достигается, если на инвестиции в предпроизводственную стадию идёт 27 % общего объёма инвестиций.

В Модели 2, которая носит описательный характер, происходит изменение нормы накопления капитала таким образом, чтобы часть средств, ранее инвестируемых в основные фонды, выделяется для финансирования научно-исследовательского сектора. Добавочное финансирование последнего отражается на производственной функции, описывающей производственный процесс, связанный с некоторой новой технологией. Формулируется несколько оптимизационных задач.

В третьей главе «Математическая модель экономического развития», в разделах 3.1 и 3.2 проводится моделирование инвестиционного процесса, основывающееся на идеях, изложенных в предыдущей главе. Этот процесс касается предприятия (отрасли промышленности, экономики в целом), деятельность которого связана с производством некоторого продукта, и основывается на некоторой технологии, уровень которой напрямую связан с функционированием научно-исследовательского сектора. В качестве управляющего параметра выступает доля выпуска я,-, инвестируемая в НИС на промежутке ',+)]> причём выделяемая из средств, ранее инвестируемых в основной капитал, / = 0,1,...,и-1. Тогда на последующем промежутке времени технология, связанная с рассматриваемым производством, изменится и приведёт к изменению качества основных фондов, что отразится на увеличении коэффициента эластичности по фактору капитал, поэтому можно считать, что а =- ак - возрастающая функция. Таким образом, возникает задача оптимального управления, максимизируемым параметром в которой выступает величина Кп = К(1„)- результат решения п задач Коши:

K(tl.)=K0 - начальное условие для решения задачи Коили на отрезке [/„] a, =L(t,),F, /=(),..,л-1,

K(tt) = K,,i = \,..,п-из решения

соответствующей задачи Коши: (8)

К"(?) А-,1""'"1 -МК(О, >е [iM, 4 / = 1,... ,п

at

s* < s", s*,s" е(0;1) шах К -?

Можно считать, что для решения этой задачи необходимыми исходными данными являются только значение капитала и выпуска в начальный момент времени, поэтому эта задача относится к классу задач оптимального управления с закреплённым левым концом. Данная задача может быть решена методами покоординатного и градиентного спуска, методом случайного поиска. Эти методы описаны в разделах 3.3 и 3.4.

В разделе 3.5 приведены алгоритмы численного решения поставленной задачи методами покоординатного и градиентного спуска.

Основные положения алгоритма решения задачи оптимального управления (8) методом покоординатного спуска:

1. На входе: количество лет п (или промежутков времени), рассматриваемых в задаче; данные об объёме основных фондов K,,i = 0,...,n-\, объёме трудовых ресурсов L,-, / = 0,...,п-1, объёме выпуска Ft, i =0,...,л-1, объёме инвестиций в НИС Vh / = 0,...,и-1, известные из статистических данных предельные величины s*j s", необходимые для выбора элементов искомой последовательности, а так же величина s- общий объём инвестиций в основные фонды и НИС.

2. Обращение к вспомогательному блоку программного комплекса для получения аппроксимирующих функций:

а) a=a(Vi) = a(siFl), A = A{t),t = г,,г = 0,..,и,;

б) по желанию пользователя можно получить L = L(t), что позволяет использовать полученный алгоритм для корректировки инвестиционного процесса для момента времени t>tn.

3. Применение процедуры покоординатного спуска:

а) сначала вычисляется начальное значение К,' =КП((s,)(•?,)"=,!=/, для этого используется отдельная подпрограмма-функция для вычисления итогового значения объёма основных фондов в зависимости от заданной последовательности (.v, ;

б) дальнейшие шаги алгоритма состоят в последовательном изменении элементов последовательности (s;)"Jo> так> чтобы выполнялось условие .s' < si < s" и так, чтобы новое значение К J и больше значения^,, посчитанного на предыдущем шаге.

4. После проведения этой процедуры получаем на выходе некоторую

последовательность (.$,)"=о > соответствующую оптимальному значению Кп.

Основные положения алгоритма решения задачи оптимального управления (8) методом градиентного спуска: Пункты 1 и 2 аналогичны пунктам из предыдущего алгоритма.

3. а) В качестве начального значения К0' рассмотрим значение, соответствующее ситуации, когда все ¡=0,...,п-1 фиксированы, т.е. а, =5*,/ =0,..., п-1.

б) Т.к. К„=К((„)- результат решения п задач Коши при указанных выше условиях, то вычисление градиента указанной функции в явном виде не представляется возможным. Опишем процедуру нахождения его численного значения. Величина частной производной К по ¡-той компоненте последовательности (я,в точке может быть приближённо вычислена по

следующей конечно-разностной формуле:

дК„ = *.($„.....+

дя, А

где Ь - некоторое малое число. Дальнейшие шаги алгоритма состоят в последовательном изменении элементов последовательности (•?,),"0' в направлении градиента, так чтобы выполнялось условие х* < 5,- < .

4. После проведения этой процедуры получаем на выходе некоторую последовательность (я,)"^1, соответствующую оптимальному значению Кп.

Описание алгоритма, реализующего глобальный метод случайного поиска, приводится в разделе 3.4.

Для реализации полученных эффективных алгоритмов создан исследовательский программный комплекс «Моделирование распределения инвестиций в экономической системе», описанный в приложении.

В разделе 3.6 приводятся результаты тестирования предложенных алгоритмов и созданного программного комплекса на данных по экономике нашей страны за 1961-1985 гг.

Были обработаны следующие данные: А1,-, г=0,...,п-1 - основные фонды за каждый год (в млрд. руб.), /,„ /=0,...,п-1 - объем трудовых ресурсов (пересчитанный через среднюю зарплату в млрд. руб.), /=0,...,п-1 - валовой продукт (в млрд. руб.), V], 1=0,...,п-1 - расходы на науку из госбюджета и других источников (в млрд. руб.), и=25. Из статистических данных дополнительно были получены следующие параметры: /л =0.05; 5* =0.015; /* =? = 0.165. Во вспомогательном блоке программного комплекса были получены следующие аппроксимирующие функции:

0.6-К+0.615

а, =---;

V/ + 6.95

¿(г)=61 + 5/ + 0.Ш2 — 0.0015 А(0 = 2.99-0.0363?.

Коэффициент

амортизационных

отчислений

Количество лет

25

Название файла входных данных

Название файла выходных данных

data2.txt

result2.txt

GL5P

Рис.2. Работа блока 2 основного вычислительного блока программного комплекса.

В таблице 2 приведены результаты работы вычислительного блока 2 (метод градиентного спуска).

Годы Si, i=0,n-l, по стат. данным Основные фонды, (в млрд. руб.), по стат. данным si, i=0,...,n-l, полученные методом градиентного спуска Основные фонды, (в млрд. руб.), полученные методом градиентного спуска

1961 0,015 442 0,0373 475

1962 0,015 477 0,0348 513

1963 0,015 515 0,0337 555

1964 0,015 557 0,0329 602

1965 0,015 601 0,0323 652

1966 0,015 649 0,0315 706

1967 0,015 700 0,0309 764

1968 0,015 757 0,0303 827

1969 0,015 814 0,0297 894

1970 0,015 860 0,0290 966

1971 0,015 914 0,0254 1043

Годы s¡, i=0,n-l, по стат. данным Основные фонды, (в млрд. руб.), по стат. данным s¡, i=0,...,n-l, полученные методом градиентного спуска Основные фонды, (в млрд. руб.), полученные методом градиентного спуска

1972 0,015 972 0,0280 1124

1973 0,015 1082 0,0275 1210

1974 0,015 1150 0,0270 1301

1975 0,015 1256 0,0266 1396

1976 0,015 1345 0,0262 1496

1977 0,015 1437 0,0257 1600

1978 0,015 1537 0,0254 1709

1979 0,015 1638 0,0250 1822

1980 0,015 1742 0,0246 1939

1981 0,015 1851 0,0243 2060

1982 0,015 1968 0,0240 2184

1983 0,015 2092 0,0237 2312

1984 0,015 2234 0,0232 2443

1985 0,015 2333 0,0213 2619

Таблица 2. Изменение основного капитала в зависимости от инвестиционной политики.

Таким образом, управляя инвестиционным процессом, и, выделяя на научные исследования и разработки указанные доли валового продукта, можно получить значение итогового накопления капитала равное 2619 млрд. руб. что на 12,25% превышает реальное значение капитала в 1985 году, которое составило 2333 млрд. руб.

Созданный программный комплекс был апробирован на соответствующих статистических данных по регионам России. В разделе 3.6. приведены результаты работы вспомогательного блока программного комплекса для аппроксимации необходимых функций по экономике Ростовской области за период с 1995 по 2007 г. На конкретном статистическом материале получилась следующая зависимость:

ЬУ +с

а = —!-, Ь = 0.4459, с = 0.0811, й = 2.493.

При этом, величина коэффициента детерминации Я2 = 0.9927. Поэтому данная формула приближения для коэффициента эластичности по фактору капитал обладает очень высокой точностью.

В четвёртой главе «Распределение ресурсов между N экономическими агентами» проводится анализ распределения общего объёма трудовых ресурсов 10 и капитала К0 между N экономическими предприятиями, технологический

уровень которых характеризуется величиной коэффициента эластичности по фактору капитал.

В разделе 4.1. приводится постановка задачи и описание математической модели. Будем считать, что:

N N

2Х=л"о, = ¿о-/=1 (=1

N

При этом суммарный объём выпуска: Р = Принимая общий объём

(=1

распределяемого капитала К0 = 1, общий объём трудовых ресурсов Ь0 -1, а // =Ъ(К„Ц) получаем следующую задачу оптимизации:

шах _

{к,Л),", >•=!

/=1

=1,0 <■£,,<!,!• =

(9)

Для удобства в дальнейшем обозначим: К1=х,,Ь1=у1,1 = \,..,М. В разделе 4.1 рассматривается случай №=2. В данной ситуации поставленная задача оптимизации (9) сводится к следующей:

шах р= шах

'1 >У\ >У} 'кУ^'г^г

■ *1+х2=1, я+у2=1 (Ю)

0 < х, < 1, 0 < у, < 1, г = 1,2.

Приводится пример, в котором при а, = 0,25 и а2 = 0,5 находятся такие

Х\, У\ уХ2,у2, при которых значение целевой функции превосходит 1. В силу

специфики ограничений на переменные задача (10) может быть сведена к поиску точек экстремума функции двух переменных

А*1,у1) = хГ -у'"" +(1-*,Г (11)

при следующих ограничениях: 0 < х, < 1, 0 < у, < 1. (12)

В итоге удается доказать следующий общий результат: Теорема 4.1. Функция (11) на множестве (12) имеет экстремум и достигает в точке экстремума значение, вычисляемое по формуле:

/ = — °1я2 Д

Я|(1-а2) 1^(1-0=,).

а, - а. А"'

«2(1-«|)

(1 -А)

(13)

где А =

1-а.

Возникает следующий вопрос: можно ли, изменяя величины 011 и а2, добиться значений / , значительно больших 1? С этой целью были проведены несколько численных экспериментов, из которых стало ясно, что это возможно

для двух симметричных ситуаций: при о^ -* 1, а2 -> 0 или при а^ -> О, а2 -> 1. При этих условиях удаётся достичь значений / , близких к 2. Аналитически удалось доказать следующий результат: Теорема 4.2. Если а1 1, а2 -» 0, то функция / -> 2.. В разделе 4.3 рассматривается случай произвольного конечного N. Доказывается результат:

Теорема 4.3. Пусть = тах (х,"1 • у11~а> +... + хыа» ■ уы1~а"),

....."ы-Ун

при следующих ограничениях на переменные:

хх+х2+... + хы=\, У1 + у2 +... + уы =1, 0<1, / = 1,2,...,ЛЛ

Тогда для УД' максимальное значение шах(^ЛГ+1) = тах(^Лг) = 2.

Глава 5 «Математическое моделирование максимизации потребления»

посвящена изучению моделирования максимизации потребления. К классическим результатам относятся «золотое правило» накопления Фелпса, его аналог для двухсекторной экономики.

В разделах 5.1 и 5.2 эти результаты доказываются для случая производственной функции Кобба-Дугласа. Для этого решается задача оптимизации величины С = (1 - я)Р(К,Ь), где б - доля капитала, инвестируемая в основные фонды. Исследование проводится на стационарных траекториях. Для случая односекторной экономики:

тах(с) » тах[(1 - л) я тах[(1 - л)Ка ] к шах (1 -Исследование данной функции приводит к классическому результату:

5* =а.

Моделируя двухсекторную экономику, в разделе 5.2 приходим к системе двух дифференциальных уравнений относительно функций накопления капитала К,(1)иК2(0:

ш

, Р2 = А2К°'Ь2~°', 0<а„а2<1. При этом р = Ьх!Ь.

Здесь получен результат: я' = а,, р' = а2, А _ Р _ аЛ ^(дЪ/дК2)Кг

Ь2 1 -р (1-а>2 (ЗЪ/дЬХ '

В разделе 5.3 получен аналог этого результата для трёхсекторной экономики. Исследование проводится на стационарных траекториях следующей системы:

at

где Fl=AlK",L'"',,F2 = A2K2'"L2'-a\ F} =A}K"y'V~a\ 0<a„a2,a, <1. При этом: ¿j + L2 +L3 =L = const, p^-j-, p1=-j-,p1=l-Pi~рг. Тогда поставленная задача сводится к следующей: 'К,

max(F2)« max

Рг

где g{sus2,pup2) = s2sxщn-a'pip2{-aг|al, (0<Л1,52,р„р2 <1). Для случая трёхсекторной экономики, условие поддержания производства третьего, бюджетного сектора на некотором фиксированном уровне приводит к

/ \ Щ/ 1-а3/

следующему условию: (1—^ -¡2р1 ^~а^Р\Р2 =го

Получены следующие значения параметров оптимизации:

(а, -а2) г0°'_

jj =ау, pt = аг +

а^аГ'осГУ^-а^

Pi

1 -а.

= 1-

_С_ j' = "zQ-g.) Pi

V1 (1 - а3Й, (1 - а,)"'' 2 '"«2 р'

1 -а,

"з (1 -а,

Таким образом, «золотое правило» накопления верно и для случая трёхсекторной экономики, а именно: для максимизации выпуска продукции 2-ого сектора весь доход с капитала 1-ого сектора необходимо инвестировать в 1-ый сектор, причём этот вывод не зависит от уровня необходимых затрат на поддержание 3-его сектора.

Полученное при этом оптимальное значение целевой функции позволяет в разделе 5.4 провести анализ этой ситуации с учётом гипотезы о том, что количественной характеристикой научно-технического прогресса выступает коэффициент эластичности по фактору капитал.

В заключении приведены результаты проведённого исследования:

1. Созданы новые математические модели для оценки вклада НТП в обеспечение экономического роста и моделирования механизма воздействия НТП на изменение объёма валового продукта. Эти модели основаны на системах дифференциальных уравнений с некоторым параметром управления, в роли которого выступает коэффициент эластичности по фактору капитал, что позволяет получать оптимальную стратегию распределения объёма инвестиций, приводящую к максимальному значению терминального функционала. Предложенные модели служат основой для учёта объёма инвестиций в научно-исследовательский сектор.

2. К решению сформулированных задач оптимального управления в рамках данных моделей впервые применены численные методы типа покоординатного, градиентного спуска, а также случайного глобального поиска. Их сходимость исследована аналитически, а также методом практической сходимости.

3. По результатам исследования создан программный комплекс, состоящий из нескольких блоков, каждый из которых реализует разработанные численные алгоритмы для решения поставленных задач оптимального управления. Разработанный программный комплекс позволяет строить все необходимые аппроксимирующие функции, а так же легко адаптировать его работу под новый экономический объект.

4. Результаты работы комплекса, созданого в среде программирования Visual Studio 2008 с использованием языка программирования С++, сравнивались, во-первых, со стандартными методами в среде Maple, при этом точность построенного решения оказалась сопоставимой (относительная погрешность не выше 10~3), однако время вычисления в среде С++ в 5-10 раз быстрее, в зависимости от количества значащих цифр (от 4 до 6); во-вторых, с прямым методом полного перебора (при сопоставимой точности время счёта в предложенных алгоритмах так же сокращается на порядок).

Публикации по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК:

\.Сайфутдинова Н. А. Некоторые модели влияния уровня инвестиций на совокупный цикл «исследование-производство» // Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 11, выпуск 2. Москва.- 2004 г. - С . 397-398. 2.Сайфутдинова H.A. Оптимальное управление в модели эндогенного роста замкнутых экономических систем // Вестник ДГТУ, 2008, Т. 8, N 4(39) - С. 366375.

3 .Сайфутдинова Н. А. Оптимальное распределение инвестиций в замкнутой экономической системе// Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 15, выпуск 1. Москва,- 2008 г. - С. 168-169.

4. Сумбатян М. А., Сайфутдинова Н. А. Оптимальное распределение инвестиций и трудовых ресурсов в трёхсекторной экономике// Обозрение прикладной и промышленной математики, т. 15, выпуск 4. Москва,- 2008 г. - С. 674-676.

Публикации по теме диссертации в других изданиях:

5 .Бугаян И.Р., Сумбатян М.А., Сайфутдинова H.A. Математическая модель эффективности инвестиций в научно-исследовательский сектор и их влияние на производственные циклы// Материалы 3-их Межвузовских научных чтений «Математические и статистические методы в экономике и естествознании». Ростов н/Д, РГЭУ.-2001. - С. 34.

6.Бугаян И.Р., Сумбатян М.А., Сайфутдинова H.A. Определение оптимального уровня инвестиций в цикле «исследование-производство»// «Занятость в 21 веке: формы, тенденции изменения, закономерности и мера: Материалы 1-ой Международной научно-практической конференции/РГЭУ.- Ростов н/Д. - 2003. - С. 61-68.

I .Сайфутдинова Н. А. Задача оптимального управления в динамической оптимизационной модели экономического развития с учётом влияния эффективности инвестиций// «Строительство-2010»: Материалы Международной научно-практической конференции,- Ростов н/Д: Рост. гос. строит, ун-т, 2001,- стр. 119-120.

8.Сайфутдинова Н. А. Математическая модель распределения инвестиций между N экономическими агентами // «Строительство-2007»: Материалы Международной научно-практической конференции.- Ростов н/Д: Рост. гос. строит, ун-т, 2007,- стр. 92.

9.Сайфутдинова H.A. Определение оптимального уровня инвестиций в цикле «исследование-производство»// Научная конференция аспирантов и соискателей (тезисы докладов, весна 2000 г.) Ростов н/Д., РГУ- 2000 г. - С. 54.

10.Сумбатян М. А., Сайфутдинова Н. А. Математическая модель влияния уровня инвестиций на совокупный цикл «исследование-производство»// «Занятость в 21 веке: формы, тенденции изменения, закономерности и мера: Материалы 2-ой Международной научно-практической конференции/РГЭУ. Ростов н/Д., 2004г. - С. 72-75.

II .Сумбатян М. А., Сайфутдинова Н. А. Математическая модель эндогенного экономического роста. «Известия высших учебных заведений. СевероКавказский регион». Естественные науки. Приложение № 11(35). 2005 г.- С. 3747.

\2.Сумбатян М. А., Сайфутдинова Н. А. Моделирование экономических систем в рамках одной модели эндогенного экономического роста//«Строительство-2006»: Материалы Международной научно-практической конференции,- Ростов н/Д: Рост. гос. строит, ун-т, 2006,- С. 152-154.

13 .Сумбатян М. А., Сайфутдинова Н. А. Некоторые асимптотические оценки в модели экономического роста Солоу // XVII международная конференция «Математика. Экономика. Образование». VI международный симпозиум «Ряды Фурье и их приложения». Междисциплинарный семинар «Информационно-коммуникационные технологии». Труды. Ростов н/Д. Изд-во ЮФУ, 2010. - С. 101-103.

\ 4.Сумбатян М. А., Сайфутдинова Н. А. Об одной математической модели распределения инвестиций в замкнутой экономической системе // Материалы региональной научно-практической конференции профессорско-

го

преподавательского состава «Математические методы в современных и классических моделях экономики и естествознания». Ростов н/Д, РГЭУ. -2007. -С.71-72.

Вклад автора в совместных публикациях таков. В работе [4] соавтору принадлежит идея решения полученной системы на стационарных траекториях, а реализация этой идеи для трёхсекторной экономики принадлежит автору. В работах [5],[6],[10] соавторам принадлежат соответственно экономическая и математическая постановка задач, а автору - их разработка. В работе [И] соавтору принадлежат теоретические результаты и постановка задачи, а разработка соответствующей модели и алгоритмов численного решения поставленной задачи принадлежат автору. В работах [12], [13], [14] соавтору принадлежат некоторые теоретические оценки и результаты, а их дальнейшая разработка и создание соответствующих практических алгоритмов принадлежат автору.

Печать цифровая. Бумага офсетная. Гарнитура «Тайме». Формат 60x84/16. Объем 1,0 уч.-изд.-л. Заказ № 2237. Тираж 100 экз. Отпечатано в КМЦ «КОПДЦЕНТР» 344006, г. Ростов-на-Дону, ул. Суворова, 19, тел. 247-34-88

ВВЕДЕНИЕ.

1. ДИНАМИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ЭКОНОМИЧЕСКОГО РОСТА И НАУЧНО-ТЕХНИЧЕСКОГО ПРОГРЕССА.

1.1. Краткий обзор классических математических моделей экономического роста и научно-технического прогресса.

1.2. Модели обучения на практике и их связь со сменой технологического уклада . . . . :.

1.3. Модель Узавы-Лукаса.

1.4. Модель экономической интеграции и эндогенного роста . . 42 Основные выводы.

2. ДИНАМИЧЕСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ, ОСНОВАННЫЕ НА МОДЕЛИ СОЛОУ.

2.1. Асимптотическое поведение основных параметров модели

Солоу.

2.2.Условия возрастания фондовооружённости и темпы её роста

2.3. Взаимосвязь величины коэффициента эластичности по фактору капитал и научно-технического прогресса.

2.4. Моделирование инвестиционного процесса и его влияние на накопление капитала.

4. Результаты работы комплекса, созданого в среде программирования Visual Studio 2008 с использованием языка программирования» С++, сравнивались, во-первых, со-стандартными методами в среде Maple, при этом точность построенного решения оказалась сопоставимой« (относительная погрешность не выше Ю-3), однако время вычисления в среде С++ в 5-10 раз быстрее, в зависимости от количества значащих цифр (от 4 до 6); во-вторых, с прямым методом полного перебора (при сопоставимой точности время счёта в предложенных алгоритмах так же сокращается на порядок).

Заключение

1. Авакумов С.Н., Киселёв Ю.Н. Орлов М.В. Тарасьев A.M. Задача максимизации прибыли для производственных функций Кобба-Дугласа и CES // Нелинейная динамика и управление: Сб. статей. Вып.5. Ин. сист. анализа. РАН, МГУ. М.: Физматлит, 2007. - С. 309-350.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Физматлит, 2005.

3. Анатольев С.А. Курс лекций по эконометрике для подготовленных. //Препр. Российской экономической школы: М.: 2003, N Кп/2003/08. -С. 1-64.

4. Аттетков A.B., Галкин C.B., Зарубин B.C. Методы оптимизации. М.: Издательство МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001. 576 с.

5. Ашманов С.А. Введение в математическую экономику. М.: Наука, 1984. 285 с.

6. Баркалов Б.Н. Производственные функции в моделях экономического ростаМ.: Изд-во МГУ, 1981.

7. Бекларян Л.А., Борисова C.B. Однопродуктовая модель замещения производственных мощностей// Владикав. мат. журнал. 2002.- Т. 4. -N 1. - С. 22-23.

8. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965.

9. Богданов А.Ю. Дискретные динамические системы: проблемы устойчивости и управления. Ульяновск, УлГТУ, 2008.Ю.Болтянский В.Г. Оптимальное управление дискретными системами. -М.: Наука, 1973.

10. Босс В. Лекции по математике. Т.7: Оптимизация. М.: КомКнига, 2007. 216 с.

11. Борисов К.Ю. Неопределённые равновесия в модели эндогенного роста//Экономика и мат. методы.-2005. Т. 41. - N3.- С.100-107.

12. Бочков А.П. Прогнозирование в эконометрических исследованиях. //Труды СПб ГПУ 2002. -N 485. - С. 17-24.

13. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления: оптимизация, оценка, управление. М.: Мир, 1972.

14. Браун М. Теория и измерение технического прогресса. М.: Статистика. -1971.

15. Бугаян И.Р., Сумбатян М.А. Модель влияния научно-технического прогресса на темпы накопления и экономического роста // Экономика и математические методы. 2002. - Т. 38. -N 4. - С. 104-109.

16. Бурков В.Н. и др. Модели и механизмы распределения затрат и доходов в рыночной экономике // Препринт ИПУ РАН. 1996. - С. 1 -61.

17. Буркова И.В., Джавахадзе Г.С.,' Горгидзе И.А., Бурсов В.К. Задачи управления в социальных и экономических системах. РАН, ин. проблем управления им. В.А. Трапезникова. М.: СИНТЕГ, 2005.

18. Варфоломеев В.И., Назаров С.К. Алгоритмическое моделирование элементов экономических систем: Практикум. М.: Финансы и статистика, 2004.

19. Васильев Ф.П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс, 2002.

20. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

21. Веселова С.А. Научно-технический прогресс как фактор экономического роста: механизм воздействия и социально-экономические противоречия // Автореф. на соискание степени канд. экон. наук // СПбГУЭиФ, 2002.

22. Виллисов В .Я. Методы выбора экономических решений. Адаптивные модели. М.: Финансы и статистка, 2006.

23. Галлеев Э.М. Оптимизация. Теория, примеры, задачи. М.: КомКнига, 2006. - 336 с.

24. Гомулка С., Килози А. Классификация типов технического прогресса и асимптотическое поведение траекторий экономического роста. //Экономика и математические методы. 1969:- Т.5. № 6.

25. Гранберг A.F. Моделирование социалистической экономики. М.: Экономика, 1988. 487 с.

26. Грешилов A.A. Прикладные задачи математического программирования.- М.: Логос, 2006. 421 с.

27. Григорьев И:С. Методическое пособие по численным методам решения краевых задач принципа максимума в задачах оптимального управления.

28. Гусева Е.К. Экономико-математическое моделирование. М.: Флинта, Моск. психолого-социальный, университет. - 2008.

29. Демин Н.С., Кулешова Е.В. Максимизация потребления работодателей в случае производственной функции общего вида//Обозрение прикладной и промышленной математики. Т. 11. -Вып. 2.-2004.-С. 397-398.

30. Динамические модели и оптимальные алгоритмы.//Сб. статей МГУ им. Ломоносова, научное изд-во ВЦ: Под ред Сухарева М.: Изд-во МГУ, 1999>

31. Дыхта В.А., Деренко Н.В. Численные методы решения задач оптимального импульсного управления; основанные на вариационном принципе максимума.//Известия высших учебных заведений. Математика.- 2001.- № 12. С. 32-40.

32. Дыхта В.А. Вариационный принцип* максимума и квадратичные условия оптимальности импульсных и особых процессов. //Сиб. матем. журнал. Т. 35(1).-1994. - С. 70-82.

33. Дыхта В.А, Самсонюк О.Н. Оптимальное импульсное управление с приложениями.- М.: Физматлит, 2000.

34. Евтушенко Ю.Г. Численные методы решения задач нелинейного программирования. //Журнал выч. математики и мат. физики. Т. 16. -N2.- 1976. - С. 307-324.

35. Жиглявский A.A. Математическая теория глобального случайного поиска. Л.: Изд-во ЛГУ, 1985.

36. Завалищин С.Т., Сесекин А.Н. Импульсные процессы: модели и приложения. М.: Наука, 1991.

37. Замков О.О. Эконометрические методы в макроэкономическом анализе. М.: ГУ ВШЭ, 2001.

38. Калажохов Х.Х., Ашабоков Б.А. К теории конструирования производственных функций // Известия Кабардино-Балкарского научного центра Рос. Акад. Наук. 1998. -N 1. - С. 114-128.

39. Калихман И.Л., Войтенко М.А. Динамическое программирование в примерах и задачах. М.: Высшая школа, 1979.

40. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. М.: Наука,1977.-742 с.

41. Канторович Л. В., Макаров В. А. Модели роста и их использование в долгосрочном планировании и прогнозировании.//В сб. Долгосрочное планирование и прогнозирование. М.: Прогресс. -1975.

42. Клейнер Г.Б. Производственные функции: теория, методы, применение. — М.: Финансы и статистика, 1986.

43. Клейнер Г.Б., Смоляк С.А. Эконометрические зависимости. Принципы и методы построения. — М.: Финстатинформ, 2000.

44. Кобелев Н.Б. Практика применения экономико-математических методов и моделей.

45. Колемаев В.А. Математическая экономика. М. 2002.

46. Константинова Л.А. Математическое моделирование налогообложения // Автореф. дис. на соиск. уч. степ. канд. экон. наук. // Гос. ун. управлении. М. - 2000. - 22 с.

47. Коркина Е.И., Хованский А.Г. «Золотое правило» для модели двухсекторной экономики // Методы исследования сложных систем,-М.-ВНИИСИ, 1981.-С. 11-18.

48. Корнеенко В.П. Методы оптимизации. М.: Высшая школа, 2007. -664 с.

49. Королёв А.В., Матвеенко В.Д. -О структуре равновесных нестационарных траекторий в модели эндогенного роста Лукаса.// Автоматика и телемеханика. 2006. - N 4. - С. 126-136.

50. Крянев А.В., Чёрный А.И. Численные решения оптимизационных задач математической теории инвестиций.//Препр. Моск. инж.-физ. институт. М., 1995; - N 022-95. - С. 1-14:

51. Лялысина Г.Б., Нюнькина G.A., Нгонысин С.А. Модель экономического роста // Вестник ПТТУ. Мат. и прикл. мат. 2001. -С. 33-39.

52. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений: М.: Высшая школа, 1967.

53. Миллер Б.М. Метод разрывной замены времени в задачах оптимального управления импульсными и дискретно-непрерывными системами

54. Моисеев Н:Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

55. Моделирование экономической динамики: риск, оптимизация, прогнозирование. //Сборник Моск. гос. ун-та им. Ломоносова: М:: Диалог. МГУ, 1997.

56. Мустафин А.Г. Математическое моделирование технического, прогресса: эволюционный подход // Автореф. дис. на соиск. уч. степ.док. техн. наук // Институт мат. Министерства образования и науки Респ. Казахстан. Алмааты. - 2001. - 37 с.

57. Натан A.A. Стохастические модели в микроэкономике. М.: МФТИ, 2001.

58. Неймарк Ю'. И., Коган Н. Я., Савельев В. П. Динамические модели теории управления.- М.: Наука, 1985. 324 с.

59. Орлов Ю.В. Теория оптимальных систем с обобщёнными управлениями. М.:Наука, 1988.

60. Оппенлендер К.Х. Технический прогресс: воздействие, цели, результаты. М. : Экономика, 1981. - 175 с.

61. Петров A.A. Математическое моделирование экономического развития. М.: Знание, 1984. - 64 с.

62. Петров A.A., Бузин А.Ю. Многосекторные модели функционирования плановой экономики // Сообщен, по прикл. мат. // ВЦ АН СССР.-1991.

63. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин A.B. Концепция математического обеспечения оценки последствий крупных экономических проектов. -М : ВЦ АН СССР, 1990. -43с.

64. Петров A.A., Поспелов И.Г., Шананин А.В.Опыт математического, моделирования экономики.- М.:Энергоатомиздат, 1996. 544 с.

65. Полтерович В.М. Присвоение ренты, налоговая политика и экономический рост // Препринт/2001. 025 - М.: Рос. экономическая школа, 2001. -43 с.

66. Полтерович В.М., Хенкин Г.М. Эволюционная модель взаимодействия процессов создания и заимствования технологий. // Экономика и математические методы. 1988. - Т. 24. - Вып. 6.

67. Полтерович В.М., Хенкин Г.М. Эволюционная модель экономического роста. // Экономика и математические методы. -1989.-Т. 25.-Вып. 3.

68. Поляк Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: 1974. http/üb/mexmat/ru/books/47423/html

69. Понрягин JI.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е. Ф. Математическаятеория оптимальных процессов. М.: Наука, 1961.

70. Попов В.Е. Капитал в экономике Дальнего Востока // Пространственная экономика, 2007. №4.

71. Сайфутдинова Н. А. Некоторые модели влияния уровня инвестиций на совокупный цикл «исследование-производство»// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2004. - Т. 11. - Вып. 2. -С. 397-398.

72. Сайфутдинова Н. А. Математическая модель распределения инвестиций между N экономическими агентами//Строительство-2007: Материалы Международной научно-практической конференции. -Ростов н/Д: Рост. гос. строит, ун-т, 2007.- С. 92.

73. Сайфутдинова H.A. Определение оптимального уровня инвестиций в цикле «исследование-производство»// Научная конференция аспирантов и соискателей (тезисы докладов, весна 2000 г.). Ростов н/Д., РГУ- 2000. - С. 54.

74. Сайфутдинова H.A. Оптимальное управление в модели эндогенного роста замкнутых экономических систем // Вестник ДГТУ. 2008. - Т. 8.- N4(39).-С. 366-375.

75. Сайфутдинова Н. А. Оптимальное распределение инвестиций в замкнутой экономической системе// Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. - Т. 15. -Вып. 1. - С. 168-169.

76. Срочко В.А. Итерационные методы решения задач оптимального управления. М.: Физматлит, 2000.

77. СумбатяшМ. А., Сайфутдинова Н. А. Математическая модель эндогенного экономического роста.У/Известия высших учебных заведений. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.* Приложение № 1(35). -2005. С. 37-47.

78. Сумбатян М. А., Сайфутдинова Н. А. Оптимальное распределение инвестиций и трудовых ресурсов в трёхсекторной экономике//Обозрение прикладной и промышленной математики. 2008. - Т. 15. - Вып. 4. - С. 674-676.

79. Тарасов А.И. Эндогенный рост, образование и защита прав на интеллектуальную собственность // Препринт В8Р/2003/068Ы М.: Рос. экон. школа, 2003. - 20 с.

80. Трифонов А.Г. Постановка задачи оптимизации и численные методы её решения. 11йр/та11аЬ.ехропе^а.ги/ор^пп2/Ьоок2/1.р11р

81. Трофимов В. В. Математические модели экономики. М.: МГУ, 2000.-72 с.

82. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления (в 3-х томах). М.: Физматлит, 2001.

83. Фридман В.М. О сходимости методов типа наискорейшего спуска // Успехи мат. наук. 1962. Т. 17. - Вып. 3. - С. 201-204.

84. Хофер Э., Лундерштедт Р. Численные методы оптимизации. М.: Машиностроение, 1981.

85. Чекарёв Д.А. Численные методы решения задач оптимального управления с использованием дискретной аппроксимации: дис. канд. физ.-мат. наук по спец. 05.13.18. М., 2005. - ЬИр:Лу\у\у.Ш>.иа-ги-пе^Швз/соп^З 17324.html

86. Честнов В.Н. Подход* к задаче синтеза допусков на параметры линейных многомерных систем // Известия АН. Теория и системы управления. 1995. - № 2. - С. 72-79.

87. Шараев Ю.В. Теория экономического роста. М., Издательский дом ГУ ВШЭ. - 2006.

88. Шебалдин В.Р. Численное решение задачи оптимального управления с ограничениями на управление и недифференцируемым критерием качества. Саратов. Сар. гос. ун-т, 2002.

89. Шимко П.Д. Оптимальное управление экономическими системами. -СПб.- Бизнес-пресса, 2004.

90. Ширяев В.И. Исследование операций и численные методы оптимизации. М.: Наука, 2002.

91. Шумпетер И. Теория экономического развития. М.: Прогресс, 1982.

92. Юсупов И.Ю. Эластичность и её применение в экономике // Мат. модели и их приложения. Чуваш, гос. ун-т. 1999. - С. 123-129.

93. Aghion P. Growth and institution./ZEmpirica. 2005. - Vol. 32. - N 1. - P. 3-18.

94. Aghiton P., Howitt P. A model of growth through creative destruction. //NBER Working Paper. N 3223. - Cambridge. Mass., 1990.

95. Andersen K.P. Optimal growth, when the stock of resources is finite and depletable.//J. of Economic Theory. Vol.4. - N 2. - 1972.

96. Arrow K. J. The economic Implication of learning by Doing.//Rev. Econ. Stud. Vol.29 - 1962.

97. Arrow K. J. Economic Welfare and the Allocation of Resources for Invention. The role and direction of inventive activity: economic and social factors. If.Ed. R. Nelson. Princepton: Princepton Univ. - Press, 1962.

98. Audretsch D.B. The dynamic role of small firms: Evidence from the U.S. // World Bank Report, 2001. P. 1-31.

99. Axtell R.L. Zipf distribution of U.S. firm sizes // Science, 2001. Vol. 293. -P. 1818-1820.

100. Bair J., Sart F. Propriétés mathématiques de la function de Cobb-Douglas et leur interpretations economiques.//Math et ped. 1995. - N 104 - P. 4758.

101. Barro R.J., Sala-i-Martin X., Eeconomic growth, New York: McGraw-Hill, 1995.

102. Becker G. S., Murphy K. M., Tamura R. Human capital, fertility, and economics growth. // J. Polit. Econ. Vol. 98. -1990. - N 5.

103. Berndt E.R. Reconciling alternative estimates of elasticity of substitution.// Rewiev of Economics and statistics. Vol.58. N 1. - 1976.

104. Bertsekas D. Dynamic programming and optimal control. -Vol. I, II. Athena Scientific, Belmont, Massachusetts. 1995:

105. Bi Zhiwei, Hu Shigeng, Mei Zhengyang. Dynamical analysis on the model for economic growth with delay // Huarhong keji daxue xuebao//J. HuazhongUniv.'Sei. and Technol.-2001.- Vol.29.-N9.-P. 109-111.

106. Brubaker E. R. Embodied Technology, the asymptotic behavior of capital age, and Soviet growth./ZReview Economics and statistics. Vol. 50. -N4.

107. Cai Donghan. A two sector economic growth model with optimal labor and capital allocation.//Appl. Math. And Comput. 2006. - Vol. 183. -N 2. - P.1359-1377.

108. Cai Donghan, Rao Xiao-xin. Endogenius labor transfer and business cycles in an economic growth model.//Wuxan daxue xuebao. Lixue bau// J. Wuhan Univ. Natur. Sei. Ed. -2004. Vol. 50. - N 3. - P. 291-294.

109. Cai Donghan, Ma Su-yan. The dynamics of the Uzawa-Lucas model with unskilled labor.// J. Wuhan Univ. Natur. Sei. 2004. - Vol. 9. - N 3. - P. 278-282.

110. Cai Donghan, Zhou Ming-chun. A two-sector economic growth model with labor force transfer.//! Wuhan Univ. Natur. Sei. 2003. - Vol.8. -N3. P. 769-774.

111. Cass D. Optimal growth in an aggregative model of capital accumulation. //Rewiev of Economic Studies. 1965. - Vol.32. - N 91.

112. Cartigny P., Venditti A. Endogenous cycles in discrete symmetric multisector optimal growth models. //J. Theory and Appl. Vol.86. - N 1. - 1995. P. 17-36.

113. Cefis E., Marsili O., Schenk H. The effects of mergers and acquisitions on the firm size distribution // J. Evol. Econ. 2009. - Vol. 19. - P. 1-20.

114. Cheevapra Watdomrong Torpong, Swith Robert L. A paradox in equipment replacement under technological improvement.//Oper. res. left. -2003. Vol. 31. - N 1. - P. 77-82.

115. Chukwu E. N. International economic models as surveillance for the optimal control of the growth of wealth of nation.//Nonlinear Anal.: Real World Appl. 2002. - Vol. 3. - N 1. - P. 75-84.

116. Cobb C. W., Duglas P:H. A Theory of production.//American Economic Review. 1928.- Vol. 18. - N 1.

117. Denison E. Sources of economic growth in the United States and the Alternatives Befor us. Supplementary/ZPaper N. 13. N.Y.: Committee for economic development, 1962.

118. Dietz M.D. Capital income taxation, new firm creation, and the size distribution of firms // IFF-HSG Paper. 2005. - January. - P. 1-37.

119. Dhaene J. et al. Optimal capital allocation principles // 9th Int. Congress Insurance: Math. & Econ. -2001 . Laval, Quebec, Canada. - P. 1-24.

120. Domar E. Capital expansion, rate of growth, and employment // Econometrica. 1946. - Vol. 14. - Pp. 137-147.

121. Dyer P., McReynolds S. The computation and theory of optimal control. //Academac Press New-York and London. 1970.

122. Eisner R. Extended)accounts for national' income and product // Journal of Economic Literature, 1988, V. 26, P. 1611-1684.

123. Ellerman, D. P. Economics, accounting and property theory, Lexington, MA: D.C. Heath., 1983.

124. Fleming W., Rishel. R. Deterministic and' stochastic optimal control.//Springer-Verlag, New-York. 1975.

125. Fujiwara Fumiyo, Mimura Fumitake, Nono Takayuki. New derivation of conservation laws in one and two sector gromth models. Tensor. - 2000. -Vol. 62.- N3.C. 258-274.

126. Goldar B. Optimal programms of capital accumulation under exogeneous technical progress.//J. of Economic Theory. 1974. - Vol.7. - N 2.

127. Goldman S. M. Optimal growth and continual revision of plan.//Rewiev of Economics and statistics. 1968. - Vol.35. - N 102.

128. Gong Liutang, Peng Xianze. The existence theorem of optimal growth model.//Act. math. sci. 2005. - Vol. 25. - N 1. - P. 30-40.

129. Griliches Z. Productivity puzzles and R&D: anoter explanation // J. of Economic Perspectives. 1988.

130. Griliches Z., Jorgenson D. The explanation of productivity change // Review of Economic Studies. July, 1967.

131. Grossman G., Helpman H. Quality ladders in the theory of growth.//Rev. econ. stud. 1992. - Vol. 59. -N 1.

132. Growiec J. et al. On the size distribution of business firms // Econ. Letters, 2008. Vol. 98. - P. 207-212.

133. Harrod R. An essay in dynamic theory // Economic Journal. 1939: -Vol. 49.-P. 14-33.

134. Haupt R.L., Haupt S.E. Practical genetic algorithms.//John Wiley: New Jersey. 2004. - P. 253.

135. Hou Rong-hua. On the method of determining parameters of the Solow model // Shanghai daxue xuebao. Zizan kexue ban // J. Shanghai Univ. Natur. Sci.-2006.-Vol.6.-N2.-P. 183-185.

136. Howitt P. Steady endogenous growth with, population and R&D inputs growing // J. Political Economy. 1999. - Vol. 107. - N 4. - P. 715-721.

137. Intrilligator M., Oshinomi C. Experimental estimation of supply of labor and the effects of welfare subsidies of labor supply // J. of Interdisciplinary Modelling and Simulation. 1989. - Vol. 2. - N1.

138. Jalilian H., O. Odedokun M. Equipment and non-equipment private inve-stiment: a generalized Solow model // Applied Economics. 2000. -Vol.32.-P. 289-296.

139. Johansen L. Substitution versus fixed production coefficients in the theory of economic growth.//Econometrica. 1972. - Vol.27. - N 2.

140. Jovanovich B., R. Solow. Machine prices and development.//New York University, 1997.

141. Leung D., Meh C., Terajima Y, Productivity in Canada: Does firm size matter? // Bank of Canada Review. 2008. - Autumn. - P. 5-14.

142. Liu Jinshan, Li Chulin, Hu Shigeng. The optimal allocation about capital and labor in the economic growth with an endogenous technical progress model.//Acta math. Sci. 2002. - Vol. 22. - N 4. - P. 511-516.

143. Lotti F., Santarelli E. Industry dynamics and the distribution of firm sizes: A non-parametric approach // LEM Working Paper Series. 2001. - N 14.- P. 1-24.

144. Lucas R. E. On one mechanics of economic development.//.!. Monetary Econ. 1988. - Vol.22. - N7.

145. Nordhouse W. Invention, growth and welfare a theoretical treatment of technological change.Cambridge.//Mass.: MIT press. 1967.

146. Ma Su-yan, Cai Dong-han. The dynamics of Uzawa-Lucas model with unskilled labor // Wuhan Univ. J. Natur. Sci. 2004.- Vol. 9 - N 3. - P. 278-282.

147. Mateos-Planas X. Technology adoption, learning by doing, and the value of education // University of Southampton, 1997.

148. Muet P.A. Les modeles neoclassique at l'impact du taux d'interet sur l'investisement: un essai de syntese.//Revue Economique. Vol. 30. - N. 2.- 1979.

149. Mulligan C. B., Sala-i-Martin X., Transitional dynamics in two-sector models of endogenous growth // Quarterly Journal of Economics, 1993, V. 108, P. 737-73.

150. O'Connell J. Savings in the Uzawa-Lucas model of economic growth// Journal of Macroeconomics, 1998, V. 20, No. 2, P. 413-422.

151. Parente S. Learning-by-using and the switch to better machines // Review of Economic Dynamics, 2000, V.3, P. 675-703.

152. Phelps E.S. Golden rules of economic growth. New-York: Norton, 1966.

153. Phelps E.S. The golden rules of accumulation: A table for growth men// Amer. Econ. Rewiew. 1961.- Vol.51. - P. 638.

154. Phelps E.S. Second essay on the golden rules of accumulation // American Economics Review. 1965. - Vol. 99. - N 4. - P. 793-814.

155. Pytlak R Numerical methods for optimal control problems with state constraints.//Springer-Verlag, Heidelberg, 1999.

156. Qu Chaochun, Wang Ping. Mathematical model and optimization in global producton problem.//Appl. Math. And Comput. 203.145. N 1. - P. 8589.

157. Ramsey F.P. A mathematical theory of saving// Economic Journal. 1928. -Vol. 38.-P. 543-559.

158. Rebelo S. Long-run policy analysis and long-run growth // J. of Political Economy. 1991. Vol. 99. N. 3. Pp. 500-521.

159. Rivera-Batiz L.A., Romer P.M. Economic integration and endogenous growth // Quarterly Journal of Economics, 1991, P.531-555.

160. Rodriguez-Clare A. The role of trade in technology diffusion // Federal Reserve Bank of Minneapolis, 114 working paper, 1996.

161. Romer P. M. Endogenous technical change. //J. Polit. Econ. 1990. - V. 98.-N5.

162. Romer P. M. Increasing returns and long-run growth.//J. Polit. Econ. -1986.-V. 94.-N 5.

163. Romer P. M. Capital accumulation in the theory of long-run growth.// Modern Macroeconomics. Cambridge. Mass.: Harvard Univ. Press. -1989.

164. Rossi-Hansberg E., Wright M.L.J. Firm size dynamics in the aggregate economy//Usc Fbe macroeconomics and international finance workshop. -2004. P. 1-55.

165. Sato R. Beclcmann M.J. Neutral investment and production function.// Rewiev of Economic Studies. 1968. - V.32. - N 2.

166. Sethi S., Tompson G. Optimal control theory: application to management science and economics.//Springer Sciens+Business Media, Inc.

167. Stanley M; H. R. etal; Scaling behavior in the growth of companies // Nature, 1996,.V. 379, P. 804-806. . .184: Stern N. The determinant of growth.//Econ. J: 1991. - V. 101 - N I .

168. Sato R. Beckmann M.J. Aggregative production: function and types of technical progress: a statistical analysis.//American Economic Rewiev. -1969. -V.59. N 1.

169. Sato R., Devis E.C. Optimal saving policy, when labor grows endogeneous.//Econometrica. 1971 - V. 29. - N 6.

170. Sheshinski E. Optimal! accumulation with learning by doing. Essays on the theory of optimal1 growth;//Gambridge. Mass.: MIT Press. - 1967.

171. Shell K. Essays on the Theory of optimal Economic Growth. Cambridge. Mass.: MIT Press. 1967.189i Solow R.M. A Contribution to the theory of economic growth.//Quartely J. of Economics. V. 70. - N 1. - 1956.

172. Solow R.M. Technological change in the aggregative production function.//Rewiev of Economics and statistics. 1957. - V. 32. - P: 312320.

173. Solow R.M. Investment and technological progress.//Mathematical Methods in a Social Science. Stanford(Ca.). - 1960.192: Stanley M. H. R. et al. Scaling, behavior in the growth of companies // Nature. 1996. - V. 379. - P. 804-806.

174. Swan T. Economic growth, and capital accumulation.//Economic Record. 1956.-V.32.-P. 334-361,

175. Tang Binbing. Solow model with variable population // Shuxue lilun yu yingyong // Math. Theor. and Appl. 2002. - Vol 22. - N 1. - P. 113-11

176. Uzawa H. Optimal technical change in an aggregative model of economic growth.//Tnt. Econ. Rev. 1965. - V. 6. -N 1.

177. Uzawa H. On a two-sector model of economic growth // Review of Economic Studies. 1961. - Vol 29. - P.40-47.

178. Weber R. Optimization and control. Lent. - 2002.

179. Wu Fu-ke, Hu Shi-geng, Lei Dong-xia. A general two-sector growth model.//Shuxue zaxni//J. Math. 2004. - Vol. 24. - N 3. - P. 307-312.

180. Zhou Shao-bo, Hu Shi-geng. Dynamics analyses to natural resourses and economics growth model.//Wuxan daxue xuebao. Lixue bau//J. Wuhan Univ. Natur. Sei. Ed. 2003. - Vol. 49. - N 5. P. 585-588.

181. Zhou Shao-bo, Wu Fu-ke. R&D model of economic growth with public services.//Shuxue Zazhi// J. Math. 2004. - Vol. 24. - N 2. - P. 210-216.