автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Квазиэквивалентные преобразования оптимизационных моделей в задачах управления технологическими процессами

ЕВВДЕНИЕ . . . . * .•

I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ КВАЗИЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

1.1. Эквивалентные, квазиэквивалентные преобразования оптимизационных моделей, . . . Постановка задачи и основные понятия.jg

1.2. Методика квазиэквивалентных преобразований и мера , близости оптимизационных моделей

1.2.1. Условия эквивалентности оптимизационных . . моделей .••••••••••«•«•••«••••

1.2.2. Мера близости оптимизационных моделей • . • •

1.2.3. Выбор преобразованной оптимизационной . . . модели •••••••••••••••••• ••••

1.3. Требования устойчивости систем управления, синтезированных на основе квазиэквивалентных преобразований оптимизационных моделей . • . . •

1*4. Использование структурных особенностей оптимизационной модели при её эквивалентном преобразовании •••••••••••••

1.5, Эквивалентность и квазиэквивалентность непрерывной и дискретной оптимизационных моделей . ♦ ♦ . . . . ♦ . . « . . . . . . ••••

1.6. Выводы

2.СИНТЕЗ АЛГОРИТМОВ УПРАВЛЕНИЯ И ОБРАБОТКИ ИНФОРМАЦИИ

НА ОСНОВЕ КВАЗИЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ.

2.1« Управление детерминированными динамическими . . . объектами.

2.2. Декомпозиция задач управления динамическими объектами большой размерности с несепарабельным критерием качества.

2.3. Оценка параметров и состояния вероятностных процессов.

2.4. Выводы.ПО

3. ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДИКИ КВАЗИЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ ПРИ РАЗРАБОТКЕ ДИАЛОГОВОЙ ПОДСИСТЕМЫ СТАТИЧЕСКОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В АСУ ТП ОБЖИГА ЦЕМЕНТНОГО КЛИНКЕРА.

3.1. Задачи управления процессом обжига цементного клинкера.

3.2. Формирование и исследование косвенных показателей режима обжига цементного клинкера для целей оперативного уцравления.

3.3. Организация эксперимента и построение математических моделей для оперативного управления режимом обжига.

3.4. Разработка алгоритмов функционирования диалоговой подсистемы статической оптимизации режима обжига на Кантском цементно-шиферном комбинате.

3.5. Использование в АСУ ТП обжига дополнительной информации расплывчатого типа о состоянии процесса.

3.6. Выводы.

В директивах ХШ съезда КПСС по одиннадцатому пятилетнему плану развития народного хозяйства СССР на 1981-85 г.г. и на период до 1990 г., а также в Постановлении ЦК КПСС и Совета Министров СССР "О мерах по ускорению научно-технического прогресса в народном хозяйстве" (август 1983 г.) указывается на необходимость повышения эффективности цроизводства, интенсификации и совершенствования технологических процессов, улучшения качества продукции. Успешное решение поставленных задач, как отмечается в этих документах, возможно лишь на основе внедрения в народное хозяйство автоматизщюванных систем управления и электронно-вычислительной техники, комплексной автоматизации технологических процессов.

Это требование ставит перед теорией управления задачу создания эффективных алгоритмов, способных обеспечить поддержание высококачественных режимов работы технологических агрегатов, зачастую весьма сложных. Одним из возможных путей решения этой задачи является оптимизация процесса управления.

Несмотря на существенное продвижение в области развития теории управления, имеются трудности на пути последовательного применения методов теории оптимального управления цри автоматизации конкретных технологических объектов.

Одной из существенных причин такого положения является то, что существует известный разрыв между теорией и практикой оптимизации/110/. Это, в частнооти, связано с тем, что основным содержанием теории оптимального управления является установление необходимых и в некоторых случаях достаточных условий оптимальности, а разыскание оптимальных управлений остается в значительной мере делом искусства, интуиции разработчиков» Кроме того, известные аналитические методы синтеза алгоритмов управления позволяют получить оптимальное решение лишь для ограниченного класса задач, а применение известных формальных цроцедур синтеза приводит зачастую к неопреодолимым вычислительным трудностям. При использовании численных методов сложность вычислений существенно зависит от размерности задачи и не существует универсальных вычислительных процедур с гарантированной сходимостью. В тоже время структура моделей и критериев управляемых процессов зачастую такова, что их не удается "вписать" в рамки известной теории оптимизации, либо размеры задачи цревосходят возможности ЭВМ, имеющихся в составе АСУ.

Преодоление этих трудностей возможно либо путем использования различных методов преобразования исходной задачи оптимизации, либо путем разработки методов синтеза для конкретных моделей объектов.

На практике отдают предпочтение методам упрощения исходной задачи до такой степени, чтобы она могла быть "вписана" в рамки известной теории оптимизации с приемлемой сложностью необходимых вычислений. При этом сложность оптимизационной модели, как было отмечено выше, должна быть согласована с разработанными методами теории оптимизации, чтобы особенности объекта управления не вносили непреодолимых трудностей в процедуру синтеза и техническую реализацию алгоритмов АСУ ТП. В то же время, значительное упрощение оптимизационной модели цриведет к существенной потере качества полученных решений.

Поэтому успешное решение задачи управления конкретным технологическим процессом связано с отысканием такой оптимизационной модели, которая, позволяя найти способ синтеза алгоритмов, обеспечила бы при использовании синтезированных алгоритмов приемлемое качество функционирования системы управления.

Несмотря на разнообразие известных способов преобразования задач оптимизации в практике синтеза алгоритмов управления, можно отметить, что почти все они опираются на немногие центральные идеи, в основе которых лежат следующие цриемы:

1. Сведение математической модели объекта управления в некоторой типовой структуре;

2. Снижение размерности математической модели;

3. Модификация функционала качества, позволяющая упростить вычислительные процедуры при синтезе алгоритмов;

4. Расширение исходной задачи оптимального управления с целью получения семейства новых задач и другие.

Используемые при этом математические методы и приемы разнообразны: методы теории аппроксимации функций/1,5^98/ теории возмущений /55,57,107/, метод малого параметра в теории дифференциальных уравнений /86/, метод инвариантного погружения /54/ и другие. Желаемым условием подобных цреобразований задач оптимального управления является инвариантность искомого решения относительно этих преобразований, либо возможность количественной оценки возникающих цри этом потерь качества управления, а также возможность и удобства анализа синтезированных квазиоптимальных систем автоматического управления.

Рассмотрим последовательно самые общие черты этих идей.

Наличие сходства математического описания процессов, происходящих в технологических аппаратах различного назначения и конструкции, позволяет ставить и решать задачи управления для целых классов математических моделей. Так, в теории изучены процедуры синтеза алгоритмов для линейных объектов с квадратичным критерием /79/, объектов с запаздыванием /39/ и т.д. Однако, зачастую, технологический процесс описывается столь сложной математической моделью, что известнее процедуры синтеза алгоритмов управления /?-, 79, 99, 114/ не могут быть использованы непосредственно. Поэтому для синтеза алгоритмов необходимо введение упрощающих допущений. Упрощения, позволяющие довести процедуру синтеза до получения закона управления, могут быть введены на разных этапах: на этапе решения некоторого сложного уравнения, оцределяю-щего оптимальный цроцесс /31, 104/, на этапе выбора критерия качества /6, 122/, наконец, на этапе составления математической модели /103/.

Очень часто уцрощения вводятся непосредственно цри синтезе алгоритмов управления, нацример, путем параметризации принятой структуры управляющего устройства /39, III/.

Программное обеспечение известных цримеров решения задач синтеза с использованием того или иного способа аппроксимации /39, 121/ представляет библиотеку алгоритмов, предлагаемую разработчику системы управления конкретным технологическим процессом /117/.

В ряде случаев конструктивно использование условий двойственности экстремальных задач /22/. В /23/ приведены теоретические и практические результаты, а также обширная библиография, посвященная применению идеи двойственности экстремальных задач при решении оптимизационных проблем. Идейное единство этих методов, позволяющих конструктивно решать весьма разнообразные задачи оптимизации, свидетельствует о их перспективности.

Важное место в арсенале способов преобразования задач оптимизации занимают методы снижения размерности математических моделей объектов управления. Проникновение математических методов теории оптимального управления при автоматизации сложных технологических процессов, детализация особенностей конкретного производства при его моделировании, приводит к существенному росту размерности математических моделей объектов управления /82, 95/.

При этом резко возрастает объем необходимых вычислений при синтезе алгоритмов /82/. Для уменьшения этого объема вычислений используют различные приемы снижения размерности математических моделей. Важное место среди них занимают приёмы, использующие проекционные методы преобразования моделей и последующего "усечения" части модели /103, 122/, разностные метода /88, 100/, методы декомпозиции /82, 115, 123/ и агрегирования /17, 94, 120/. Эти методы особенно бурно развиваются в последнее время в связи с тенденцией внедрения в производство микропроцессорной техники, имеющей ограниченный объём оперативной памяти /30, 49/.

В настоящее время большое число публикаций посвящено вопросам упрощения вычислений при синтезе алгоритмов управления за счёт модификации функционала качества /61/. Вид оптимальных управлений и их параметры в сильной мере зависят от принятого функционала качества. В то же время, формализация требований к синтезируемой системе управления в виде предлагаемых теорией оптимального управления структур функционалов качества, которые допускают регулярное решение задачи синтеза, является довольно сложной задачей /77/, а решение соответствующих краевых задач наталкивается на сложности вычислительного характера /6/. А.А.Красовским предложена идея упрощения вычислительных процедур при синтезе алгоритмов управления за счёт введения в критерий оптимальности модифицирующей добавки и обоснована процедура синтеза алгоритмов по,так называемому,критерию "обобщенной работы" /61/. Использование при синтезе недоопределенного соответствующим образом функционала качества позволяет при этом существенно упростить решение задачи. В то же время, такое упрощение связано с введением дополнительной неопределенности цели оптимизации и при этом ограничивается класс задач, для которых применима процедура синтеза, который определяется условиями разрешимости соответствующих уравнений Ляпунова /62/.

Широко распространенными методами преобразований оптимизационных моделей являются методы эквивалентного расширения исходной задачи оптимизации* Расширением задачи где W(' ) - выпуклая целевая функция, Cje Rn - вектор переменных, F(Cj)=0 " уравнение ограничений, называется задача

Уг = {Рг(£/)=0}, «.г) если выполняются условия /73/: а) Jt< ^ Д2 ; б) для любого элемента Cj£ И± значения критериев задач (ВЛ) и СВ.2) совпадает, причем расширенная задача всегда имеет значение критерия не больше, чем исходная

Если же "W^ расширенной задачи совпадает со значением исходной, то такое расширение называется эквивалентным. Примером расширения является переход к задаче Лагранжа /34/

Н(?,Л) = ЩЦ)+Л% (В.4) где Л т - транспонированный вектор неопределенных множителей Лагранжа.

Эта задача является расширением задачи (B.I). Неравенство (В.З) имеет вид

Н*(Л) s,Wf. св.6)

Если для некоторого Л — Я это неравенство обращается в равенство, то JJ имеет седловую точку, в которой

В этом случае расширение задачи (B.I) является эквивалентным. С операцией эквивалентного расширения оптимизационной модели связаны такие эффективные методы, синтеза оптимальных управлений, как методы В.Ф.Кротова /73/, А.И.Москаленко /25/, В.Н.Гурмана /26/, подтвержденные многими конкретными теоретическими и практическими результатами, а их идейное единство свидетельствует о перспективности данного направления.

Обзор работ по методам преобразования задач оптимизации в практике синтеза алгоритмов управления позволяет сделать следующие заключения.

1. Имеется существенное продвижение в области создания теории управления технологическими процессами. Однако класс описывающих процессы уравнений, для которых предлагаемые процедуры синтеза являются работоспособными, всё ещё остается узким. Попытки переноса техники синтеза на новые, более сложные разновидности математических моделей часто наталкиваются на затруднения принципиального характера. Поэтому в практике синтеза алгоритмов управления технологическими процессами важную роль приобретают методы преобразования задач оптимизации к виду, удобному для проведения необходимых вычислений или анализа.

2. Достигнуты значительные успехи в разработке методов и приёмов преобразования задач оптимизации, позволяющие осуществлять синтез приближенно-оптимальных алгоритмов управления. Однако их применение при синтезе алгоритмов обработки информации и управления реальными технологическими процессами всё ещё остаётся сложным и специализированным и, зачастую, не обеспечивает требуемого качества синтезированных алгоритмов,

3. Известные методы преобразования задач оптимизации используют приёмы, разработанные в теории аппроксимации математических моделей и, как правило, связаны либо с упрощением модели объекта (ограничений задачи), либо с преобразованием критерия (целевой функции). Так, в методах приближенного решения задач оптимального управления, основанных на аппроксимации исходной оптимизационной модели, основное внимание уделяется упрощению модели объекта, а преобразование критерия оптимальности является следствием применяемого при этом математического метода аппроксимации модели /103, 106, 112/•

4. Задача разработки инженерной методики преобразования оптимизационных моделей, пригодной для решения практических задач синтеза алгоритмов управления технологическими процессами ещё далека от своего окончательного решения, поэтому дальнейшее развитие работ по созданию новых методик преобразования оптимизационных моделей является актуальным.

В диссертационной работе выдвигаются, разрабатываются и исследуются следующие основные положения*

I. Яри постановке задачи преобразования оптимизационных моделей необходимо учитывать целевое назначение модели. Допущения, используемые как при описании объекта, так и при преобразовании его математической модели определяются многими факторами и в первую очередь должны определяться целью построения модели. Четко сформулированные цели и требования к алгоритмам или системе управления в целом являются той основой, которая должна быть обеспечена строящейся оптимизационной моделью. Так, требования к модели, используемой для синтеза алгоритмов управления или обработки информации в АСУ ТП могут отличаться от требований, предъявляемых, например, к гносеологической модели.

2. Если целью преобразования оптимизационной модели является упрощение вычислений при отыскании решения исходной оптимизационной задачи, то этого наилучшим образом можно достичь за счёт совместного преобразования как целевой функции, так и ограничений задачи. Это утверждение следует из того факта, что решение оптимизационной задачи зависит как от вида ограничений, так и от вида целевой функции. При этом улучшения качества преобразования можно достичь за счёт того, что погрешность, возникшая при аппроксимации ограничений экстремальной задачи компенсируется соответствующим изменением целевой функции, и наоборот. Это стремление продиктовано тем фактом, что одинаковое решение мохет иметь множество различных оптимизационных моделей. Например, экстремальные задачи jf+ZCj^mui, J)± : (Ji + Cfz-b^Q} <B,6) и

Щ> - [jl-^miri, Д : iSfr+fc-fcO, (В.7) имеющие разные целевые функции W^ , и ограничения J!± и имеют одинаковое решение Cjf=2 * 1 • Для этого простейшего примера предположим, что ограничение J^z задачи СВ.7). получены в результате аппроксимации ограничений задачи (В.6), а целевая функция W^ получена соответствующей коррекцией функции , учитывающей погрешность аппроксимации

А •

Если предположить, что при этом решение задачи (В.7) проще, чем решение задачи (В.6), то задача преобразования оптимизационной модели может быть сформулирована как задача разработки методики, позволяющей для исходной экстремальной задачи строить семейство задач с одинаковыми или" "близкими" решениями и выборе из этого семейства той задачи, которая проще для решения и при этом полученный результат удовлетворял бы пользователя* Практическое использование методики преобразования оптимизационных моделей выдвигает ряд требований, наиболее важными из которых представляются следующие: а) решение преобразованной задачи оптимизации должно бнть проще, чем решение исходной задачи; б) задача выбора преобразованной оптимизационной модели не должна бнть сложнее, чем решение исходной задачи оптимизации; в) методика преобразования оптимизационных моделей должна предоставить пользователю возможность выбора преобразованной задачи из класса "удобных" для пользователя или эффективно разрешимых задач оптимизации; г) для широко распространенных в практике АСУ ТП задач стабилизации синтезированные по преобразованной оптимизационной модели квазиоптимальные алгоритмы управления гарантировали бы устойчивость исходному объекту управления.

В данной работе разрабатывается и исследуется методика преобразования оптимизационных моделей для класса задач, имеющих широкое распространение в практике разработки алгоритмов управления и обработки информации для непрерывных технологических процессов, в основе которой лежат изложенная выше идея преобразования и перечисленные требования*

Различные задачи оптимизации, оптимального управления, обработки информации, встречающиеся в практике разработки АСУ технологическими процессами хотя и имеют свои специфические особенности, качественно формулируются как задачи отыскания экстремума некоторого функционала при наличии ограничений* Поэтому вопросы преобразования оптимизационных моделей являются методологической основой при решении широкого круга задач управления и обработки информации. В работе показано применение разработанной методики преобразования оптимизационных моделей при решении задач синтеза квазиоптимальных алгоритмов управления, декомпозиции задач управления большой размерности, оценки параметров и состояния вероятностных процессов.

Изложение иллюстрируется примером построения подсистемы статической оптимизации процесса обжига цементного клинкера. Эта работа выполнена в соответствии с народно-хозяйственным планом развития и внедрения новой техники по Минпромстройматериалов СССР.

Цементно-обжиговые печи характеризуются специфическими чертами, присущими многим технологическим процессам: низкой оснащенностью средствами контроля, недостаточной изученностью физико-химических закономерностей и сложностью математического описания процессов обжига сырьевой смеси* Определенные успехи в области математического моделирования процесса обжига цементного клинкера и создания реальных систем АСУ ТД достигнуты Институтом ВИАСМ, Институтом Гипроцемент, Институтом автоматики АН Киргизской ССР и другими организациями. Однако проблема получения высококачественной системы автоматизированного управления ещё далека от окончательного решения, поэтому дальнейшее развитие работ по созданию новых вариантов алгоритмического обеспечения систем управления обжигом цементного клинкера остается актуальным.

Таким образом, данная работа посвящена разработке методики преобразования оптимизационных моделей для одного класса оптимизационных проблем; на основе этой методики разрабатываются конкретные схемы приближенной оптимизации, декомпозиции, оценки параметров и состояния объектов управления; полученные результаты используются при решении конкретной практической задачи, возникающей при разработке АСУ ТЯ процессом обжига сырьевой смеси во вращающихся печах.

Основное содержание трёх глав работы состоит в следующем»

В первой главе изложена методика квазиэквивалентных преобразований оптимизационных моделей» Содержание второй главы составляют вопросы применения методики квазиэквивалентных преобразований оптимизационных моделей при решении модельных задач управления и обработки информации, встречающихся при разработке АСУ технологическими процессами.

Третья глава иллюстрирует возможности применения теоретических методов при разработке алгоритмов функционирования подсистемы статической оптимизации процессом обжига цементного клинкера* При разработке алгоритмов используются результаты, полученные в первой и второй главах.

Основное содержание работы представлено в публикациях /8 , 42, 43 , 50 , 51, 64-72/ и в докладах на УШ Всесоюзном совещании по проблемам управления, Таллин, 1980 ; на Всесоюзной конференции "Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП", Смоленск, 1982 ; на Всесоюзной межвузовской научно-технической конференции "Математическое, алгоритмическое и техническое обеспечение АСУ ТП", Ташкент, 1980 ; на Всесоюзной научно-технической конференции "Синтез и проектирование многоуровневых систем управления производством", Барнаул, 1980 ; на Всесоюзном научно-техническом семинаре "Модели выбора альтернатив в нечеткой среде", Рига, 1980 ; на XI Всесоюзном семинаре по адаптивным системам, Фрунзе, 1982; на I республиканской научно-технической конференции молодых ученых Киргизии, Фрунзе, 1981 ; на республиканском совещании "Эффективность использования вычислительной техники и автоматизированных систем управления в народном хозяйстве республики", Фрунзе, 1978 ; на Юбилейной конференции молодых ученых АН Киргизской ССР, Фрунзе, 1977 ; на Юбилейной конференции молодых ученых Института автоматики АН Киргизской ССР,

Фрунзе, 1983. Результаты работы докладывались на семинарах "Актуальные вопросы теории оптимального управления", проводимых под руководством Т.Абдикеримова, а также на семинарах отдела ИСУ Института автоматики АН Киргизской ССР.

Разработка подсистемы статической оптимизации в АСУ ТД обжига цементного клинкера на Кантском цементно-пш£ерном комбинате отмечена Бронзовой медалью ВДОХ СССР.

Автор выражает искреннюю признательность Валерию Петровичу Живоглядову, Борису Михайловичу Распошву, а также 1Пермухамедову Н.А. и всему коллективу лаборатории ММО АСУТП Института автоматики за ряд ценных советов и постоянную помощь при выполнении работы.

I. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И РАЗРАБОТКА МЕТОДИКИ КВАЗИЭКВИВАЛЕНТНЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ ОПТИМИЗАЦИОННЫХ МОДЕЛЕЙ

Преобразования математических моделей широко используются при решении самых разнообразных задач оптимизации. Многие методы синтеза алгоритмов управления и обработки информации связаны с процедурой предварительного преобразования исходной задачи к виду, удобному для проведения расчётов или анализа. Например, большое число методов синтеза приближенно-оптимального управления связаны с преобразованием исходной задачи оптимизации, так как получить оптимальное решение в аналитической замкнутой форме удаётся лишь для ограниченного класса задач, а численное решение исходной задачи может оказаться слишком трудоёмким. Аналитические и вычислительные сложности, возникающие при решении подобных задач оптимизации вынуждают разработчиков обращаться к различным методам преобразования исходной задачи» При этом исходную задачу заменяют некоторой другой, которую, естественно, следует пытаться выбрать из класса более простых задач, чем исходная и которая вписывается в рамки известной теории оптимизации. Это положение характерно как при решении задач синтеза алгоритмов на этапе проектирования систем управления или обработки информации, так и задач адаптации в условиях неопределенности, когда информация об объекте или цели уточняется в процессе функционирования, т.е. изменяется оптимизационная модель.

Наиболее естественным и желаемым условием подобных преобразований является их инвариантность относительно искомого решения.

В данной главе излагается методика, приводятся соотношения,. позволяющие для некоторого класса оптимизационных моделей производить, инвариантные относительно искомого решения преобразования исходной задачи оптимизации - эквивалентные преобразования оптимизационных моделей с целью получения семейства "более простых" задач оптимизации, а также методика приближенно-эквивалентных преобразований и вопросы близости оптимизационных моделей и анализа качества квазиоптимальных решений*

I.I. Эквивалентные, квазиэквивалентные преобразования оптимизационных моделей. Постановка задачи и основные понятия

Методы преобразований математических моделей можно условно разбить на два класса: преобразования, приводящие модель к новому виду без потерь информации о решении и преобразования, при которых часть информации о решении теряется. Преобразования математических моделей без потерь информации, как известно, называются эквивалентными /125/. В этом случае возможно восстановление исходного представления модели посредством обратного преобразования, т.е. между образом исходной моделью и прообразом - преобразованной моделью существует изоморфизм /2/. К этому классу относятся, в частности, интегральные преобразования Фурье, Лапласа и им подобные. При приближенных исследованиях используются преобразования математических моделей, допускающие потери информации и приводящие к упрощенным, аппроксимирующим моделям. В этом случае между исходной и преобразованной моделями существует эпиморфизм / 2 /, т.е. восстановление исходной модели посредством обратного преобразования преобразованной невозможно. Преобразования подобного типа называются квазиэквивалентными /117/. Квазиэквивалентные преобразования можно конструировать посредством "усечения" эквивалентных, что является основной идеей проекционных методов /112/.

Эти методы лежат в основе различных способов преобразования задач оптимизации /4, 13, 103, 104, 112/. Однако математические модели задач оптимизации имеют и свои специфические особенности, которые порождают некоторые дополнительные возможности при их преобразованиях. Данный раздел посвящён рассмотрению некоторых особенностей задач оптимизации, постановке соответствующих задач их преобразования и изложению основных определений и понятий, используемых в работе.

Пусть в функциональном пространстве определено некоторое множество Т7 с элементами { tzj и определены функционалы от Н:

1о(и), 1х(и),. , 1п (и) .

Задача состоит в определении и из условий

I0(u*)= min 1в (и), (1ЛЛ)

IiM^O, i=l,z,.,n, ue U. (I.I.2)

Это достаточно общая постановка задачи математического программирования, частным случаем которой является и задача оптимального управления /112/. Для последней характерно следующее усложнение. Функционалы I; (iz) задаются явными формулами, содержащими, кроме

Н , ещё и аргументы (J г t » являющиеся точками других функциональных пространств, причём ZZ , (j, t связаны операторным уравнением

F(ti,q,t) = 0.

Оно предполагается разрешимым относительно (j при заданном ТХ, t /Н2/. Таким образом, для I^(l^) в задаче оптимального управления имеем I;(ll)= £"(ut(j9i), причем зависимости F^lIjCjji) считаются явно заданными, в то время как I^(lZ) лишь абстрактное обозначение, выражающее. принципиальную возможность вычислить F , зная TZ . Условия (1.1.2) определяют два типа рассматриваемых в работе ограничений: типа равенств и типа включений. Ограничения типа равенств во многих задачах автоматизации технологических процессов описывают объект управления, уравнение каналов передачи информации, а ограничения типа включений - ресурсы управления и ограничения на состояния, .

Определение I. Следуя /40/, назовём оптимизационной моделью математическую модель, включающую уравнения объекта, уравнения каналов передачи информации, ограничений и целевую функцию-критерий оптимальности. Таким образом, оптимизационной моделью будем называть пару {I, J)} , где: 1=1 [W(Cjy IZ, tj] - функционал качества управления,

W(m) - Функция потерь; F (') - оператор объекта; ^ - функция состояния; 1Z - управление; t - время;

Л ( Cj) - уравнение канала передачи информации; Л - множество допустимых значений Cj, II, t • Рассмотрим задачи rata 9 CI.I.3) fu,t)l-*> min. . (1.1.4) где: ъ(ч>и>*)=° > i>u>te л*}>

Назовём задачу (I.I.3) исходной задачей оптимального управления, а задачу (I.I.4) - преобразованной.

В самом общем виде проблема эквивалентных преобразований оптимизационной модели заключается в замене исходной задачи ,(1.1.3) задачей (I.I.4), между решениями которых выполняются определённые соотношения, т.е., заключается в получении процедуры, порождающей соответствующие отношения эквивалентности и позволяющей использовать более эффективные и удобные способы проведения расчётов. Основная идея, развиваемая при этом, состоит в следующем: формулируя математическую задачу оптимизации, следует учитывать имеющиеся способы её решения и вычислительные средства, так как, возможно, существуют иные эквивалентные формулировки задачи, которые в вычислительном отношении выгодно отличаются от начальной. В соответствии с требованиями к соотношениям между решениями исходной задачи (I.I.3) и преобразованной (I.I.4) возможны различные постановки задач эквивалентных преобразований оптимизационных моделей и, соответственно, различными будут условия эквивалентности.

РУ (Cj(i),ll(i$) будем сокращенно обозначать через СО . Элемент co^fyftj^tye- SI будем называть допустимым управляемым процессом в задаче (I.I.3), если -jt ^Uo »til выполняется условие {-^(QjlZ, t)= О .

Допустимый процесс СО =((j, IT) оптимален, если найдется такое р > 0 , что для всякого допустимого управляемого процесса

CO = (q(t),lZ(t)) , такого, что I (j(t)-q*(t)l<p ,ite[te,ijJ выполняется неравенство

1±(ш*) /г/.

Наиболее часто встречающимися на практике требованиями к соотношениям между решениями исходной и преобразованной задач при их эквивалентных преобразованиях являются следующие:

G0t=C0* ,т = Cjl( t) , (1.1.5) где: IZ*у - оптимальные функции управления;.

Cj*j Cj* - оптимальные траектории задач (I.I.3), (I.I.4) соответственно; или

Ui= £4 > Uf; , £4; ci.i.6)

Требование (I.I.5) является более жестким, чем (1.1*6) • Действительно, условие (1*1*6) выполняется всегда, если выполняется требование (1*1.5) , но.может выполняться и в том случае, если (1*1.5) не выполняется. Этот факт позволяет сформулировать подход к решению задачи эквивалентных преобразований оптимизационных моделей и получить соответствующие условия эквивалентности, отличные от традиционных. Разработчиков АСУ ТП очень часто интересует решение задачи (1*1*3) в виде (1*1*6)* Это обусловлено тем, ' что в большинстве технических задач управление реализуется в схеме с обратной связью. Алгоритм (1*1*6) является оператором, перерабатывающим информацию о критерии оптимальности I, модели объекта F~ , условиях наблюдаемости y=-H(Cj) , ресурсах в управление, т.е.

U*= U(I, F,H,Sl)= u(I,V). С1-1-7)

В связи с тем, что оптимальное управление (1*1.7) является функцией как модели объекта F , так и критерия оптимальности I, то правомерны следующие постановки задач: найти множество моделей Р и критериев I для которых: а) вид функций (I.I.6), связывающих управление с состоянием объекта одинаков; б) функции (1.1*6) "близки" по некоторой мере.

Следует отметить, что во многих случаях удается или по каким-либо причинам целесообразно провести лишь приближенно-эквивалентное преобразование оптимизационной задачи. Наиболее естественной мерой подобных преобразований является величина . .

1*1*8)

1<(Щ*)> характеризующая потери качества при замене задачи ,(1.1.3) задачей (I.I.4),. Однако даже оценка этой величины представляет в общем случае достаточно сложную математическую" задачу /103/, поэтому вопрос выбора меры близости решений исходной задачи (I.I.3) и преобразованной (I.I.4) является важной проблемой. Преобразования оптимизационных моделей, приводящие к реализации условия "а" - назовём эквивалентными, а приводящие к реализации условия "б" - квазиэквивалентными преобразованиями оптимизационных моделей.

Соотношения эквивалентности или квазиэквивалентности, полученные при решении этих задач, позволяли бы пользователю преобразовать исходную задачу к виду, удобному для исследований или расчётов без потерь или с минимальными потерями информации о

В диссертационной работе сформулирована и разработана ме тодика квазиэквивалентных преобразований оптимизационных моде лей, на основе этой методики разработаны алгоритмы приближенно го управления динамическими объектами, децентрализованного уп равления объектами больюй размерности, оценки параметров и сос тояния вероятностных процессов. Полученные теоретические резуль таты использованы при разработке диалоговой подсистемы оптимиза ции режимов обжига цементного клинкера во вращающихся печах на Кантском цементно-Ш1ферном комбинате.Основные результаты диссертационной работы заключаются в следующем: I* Сформулирована задача эквивалентных и квазиэквивалентных преобразований оптимизационных моделей. Получены условия эквива лентности и квазиэквивалентности и предложена мера близости оп тимизационных моделей. Получены условия сходимости квазиопти мальных управлений к оптимальным значениям»

2, Сформулирована задача анализа устойчивости систем управ ления, синтезированных на основе квазиэквивалентных преобразова ний оптимизационных моделей. Получены условия устойчивости сис тем квазиоптимального управления, определяющие значения парамет ров преобразованных оптимизационных моделей при которых синтези рованное управление гарантирует устойчивость исходному объекту.3, Рассмотрены эквивалентные преобразования оптимизационной модели с агрегируемой структурой, позволяющие упростить вычисле ния при синтезе оптимального управления, а также преобразования непрерывной по времени оптимизационной модели в эквивалентные и квазиэквивалентные дискретные оптимизационные модели*

4. Разработана методжа синтеза квазиоптимапьных управлений динамическими детерминированными объектами, основанная на квази эквивалентном преобразовании исходной сложной задачи к задаче с "простой" структурой и последующем синтезе управления для преоб разованной оптимизационной модели.5. Предложен способ декомпозиции задач управления динамически ми объектами большой размерности с несепарабелышм критерием ка чества. Процедура решения задачи управления сводится к независи мому решению в рамках децентрализованной вычислительной структуры ряда автономных задач управления меньшей размерности и задаче определения параметров критериев качества локальных задач из ус ловия квазиэквивалектности исходной задачи и совокупности локаль ных задач. Найдены условия, налагаемые на величины взаимосвязей и параметры исходной и локальных задач, при выполнении которых локалыЬ-оптимальные управления гарантируют устойчивость исходно му объекту большой размерности.6. Предложена методика синтеза квазиоптимальных алгоритмов оценивания в задаче фильтрации динейных вероятностных процессов, заключающаяся в квазиэквивалентном преобразовании задачи управле ния, двойственной задаче фильтрации к задаче управления, структу ра которой допускает эффективное решение* Параметры квазиоптималь ного фильтра определяются в результате синтеза управления для преобразованной задачи. Получена формула оценки качества квазиоп тимальной фильЕра^^ии,

7. Предложена методика синтеза алгоритмов квазиоптимального оценивания параметров статического объекта большой размерности, которая заключается в квазиэквивалентном преобразовании двойствен ной задачи оптимизации к задаче оптимизации с декомпозируемой структурой. Оценки парамешров объекта определяются в результате решения локальных задач оптимизации и задачи выбора параметров локальных задач,

8, Рассмотрены задачи управления процессом обжига цементного клинкера во вращающихся печах и сформулирована задача статичес кой оптимизации режимов обжига группой параллельно работающих печей,

9, Для целей оперативного управления режимами обжига клинке ра разработан комплекс косвенных показателей, характеризующих тепловой режим печи и тесно коррелирующих с 28-сзгточной актив ностью клинкера,

10, Предложена и реализована методика эксперимента для пост роения математических моделей, описьшающих влияние теплового ре жима печи на формирование 28-суточной активности клинкера, Предложена методика построения зависимости "цены" полуфабриката клинкера от его 28-суточной активности для целей оперативного управления. Разработаны математические модели, описывающие влия ние изменения теплового режима печи на изменение 28-суточной активности клинкера и зависимость "цены" клинкера от изменения его 28-суточной активности,

11, Обоснована необходимость декомпозиции и участия ЛПР при решении задачи выбора режимов обжига клинкера. На основе полученных в диссертационной работе результатов проведена деком позиция задачи на совокупность задач выбора режимов обжлша отдель ными печами и осуществлен синтез алгоритмов функционирования подсистемы в режиме диалога ЭВМ и ЛПР,

12, Рассмотрены вопросы использования в АС7 ТП обжига клин кера информации расплывчатого типа, поставляемой машинистами печей о ходе процесса обжига,

13, Результаты работы переданы для внедрения на Кантском цеменвно-шнферном комбинате. Экономический эффект от внедрения подсистемы статической оптимизации на К Щ К оценивается в сумме 90 тыс.руб, в год,

1. Абуталиев Ф.Б. /и др./ Эффективные приближенно-аналитические методы для решения задач теории фильтрации. Ташкент, 1978.

2. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С В Оптимальное управление М.: Наука, 1979.

3. Алишеров С Живоглядов В.П., Кривенко В.А. и др. Цифровые системы управления Фрунзе: Илим, I98I.

4. Альбрехт Э.Г. Об оптимальной стабилизации нелинейных систем ЦМиМ, вып.5, I96I.

5. Ахиезер Н.И. Лекции по теории аппроксимаций М.: Наука, 1965.

6. Беллман Р., Калаба Р. Квазилинеаризация и нелинейные краевые задачи М.: Мир, 1968.

7. Борзенко И.М., Перов А.Г. Математические методы для решения задач контроля и уцравления. М.: Машингстроение, 1973.

8. Бочкарев С И Кривенко В.А., Распопов Б.М. О компенсации возмущений в системах управления распределенными объектами с применением проекционных методов. В кн.: Обработка информации и адаптация в АСУ технологическими процессами Фрунзе: Илим, 1979..

9. Брайсон А., Хо Ю-Ши Прикладная теория оптимального управления М.: Мир, 1972.

10. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике М.: Наука, 1967. II. Брусиловский Р.Д. Некоторые алгоритмы управления стохастическими расцределенными процессами теплообмена. Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук Фрунзе: 1975.

11. Гусев Л,А,, Смирнова И.М, Развитие теории размытых множеств, ШСА, вып,3 (15), 1978,

12. Данюшевский С И Дмитриева Г,Г,, Чернышко]ва М,С, О необходимой и достаточной степени обжига клинкера, "Цемент", 5, I97I.

13. Демьянов В.Ф,, Рубинов АМ, Приближенные методы решения экстремальных задач Л,: Изд-во ЛГУ, 1968,

14. Деменков Ю.А*, Непомнящий С Б Смирнов В,В, Применение микропроцессорной техники для управления технологическими процессами М,: Наука, 1980,

15. Дзегененок Н.Н, Принцип дискретной оптимизации с вариацией уровня нелокального поиска. Труды Ш И вып,216, 1975,

16. Дорофеюк А,А, Алгоритмы обучения машины распознаванию образов без учителя, основанное на методе потенциальных функций, Автоматика и телемеханика, J 10, 1966,

17. Дрейнер Н,, Смит Г, Прикладной регрессионный анализ, М,: Статистика, 1973,

18. Дукельский С,А,, Цирлин Б С Условия нестационарности оптимального неустановившегося режима управляемого объекта, Автоматика и телемеханика, J 9, 1977,

19. Евтушенко Ю,Г, Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации, М,; Наука, 1982,

20. Егоров Г.Б, и др. Математическое моделирование активности клинкера Цемент, J& 3, 1975,

21. Егоров Г.Б,, Ермаков Г.Ф, Роль фактора управления в формиро мировании активности клинкера Цемент, 8, 1975,

22. Егоров 1,Б, и др. Новое в системе технологического контроля производства на заводе "Цунане Кунда" Обзор ВНИИЭСМ,-М,: