автореферат диссертации по радиотехнике и связи, 05.12.04, диссертация на тему:Оптимальные алгоритмы восстановления и вейвлет-анализа финитных во времени сигналов в радиотехнических устройствах

На правах рукописи

ООЗОБ8491

БАХУРИН Сергей Алексеевич

ОПТИМАЛЬНЫЕ АЛГОРИТМЫ ВОССТАНОВЛЕНИЯ И В ЕЙ ВЛЕТ-АНАЛИЗА ФИНИТНЫХ ВО ВРЕМЕНИ СИГНАЛОВ В РАДИОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВАХ

Специальность: 05.12.04 -«Радиотехника, в том числе системы и устройства телевидения»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Рязань, 2007

003068491

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет»

Научный руководитель - заслуженный работник ВШ РФ,

доктор технических наук, профессор Кириллов Сергей Николаевич

Официальные оппоненты

доктор технических наук, профессор Кузнецов Альберт Андреевич

кандидат технических наук Гусев Игорь Андреевич

Ведущая организация

ОАО «Корпорация Фазотрон-НИИР» ■ НИИ «Рассвет»

Защита состоится «16» мая 2007 г. в 13.00 часов на заседании диссертационного совета Д 212.211.04 в ГОУВПО «Рязанский государственный радиотехнический университет» по адресу 390005, г. Рязань, ул. Гагарина, д. 59/1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУВПО «РГР'ГУ».

Автореферат разослан « 0% ПирШ<Р 2007:

Ученый секретарь диссертационного совета

кандидат технических наук ' ' А.Г. Борисов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Алгоритмы цифровой обработки сигналов (ЦОС) позволяют получить потенциально-возможные характеристики устройств обработки сигналов в радиотехнических устройствах. Большой вклад в развитие теории ЦОС детерминированных сигналов и случайных процессов (СП) внесли отечественные и зарубежные ученые В.А. Котельников, А.Ж. Хинчин, B.C. Пугачев, А. Шустер, Г.У. Юл, Н. Винер, Р.Б. Блекман, Ж.В. Тьюки, Ж.П. Бург, Г. Дженкинс, Д. Вате, C.JI. Марпл-мл. и др. При этом теория ЦОС разрабатывалась на основе теоремы В.А. Котелышкова, в соответствии с которой однозначное восстановление исходного сигнала, бесконечного по времени, посредством дискретных отсчетов возможно только для сигналов с ограниченным спектром, при физически нереализуемом устройстве обработки. При практическом использовании теоремы В.А. Котельникова возникают ошибки усечения и наложения, связанные с финитностыо во времени реализаций СП и проанализированные в работах А. Дж. Джерри, Я.И. Хургина, В.П. Яковлева и др. Кроме того, потенциально-возможные характеристики устройств ЦОС, полученные применением сложных алгоритмов обработки сигналов, могут быть ослаблены на этапе цифроаналогового преобразования из-за ошибок восстановления сигнала. Для уменьшения влияния этих ошибок разработана теория восстановления сигналов на основе полиномиальной и сплайн-интерполяции, а также атомарных функций, изложенная в работах В.А. Василенко, В.Ф. Кравченко, В.А. Рвачева и др. В рамках этой теории недостаточно рассмотрены вопросы построения устройств восстановления сигналов в виде физически реализуемых фильтров нижних частот (ФНЧ), кроме того, предложенные методы восстановления разработаны без учета свойств этих сигналов.

При решении задачи интерполяции наиболее широкое распространение получил критерий минимума среднеквадратической ошибки (СКО), не учитывающий, что ошибки при восстановлении ограниченных во времени реализаций СП распределены неравномерно на интервале обработки, причем максимальные ошибки обычно сосредоточены в начале и конце интервала.

Наиболее часто используемыми при решении практических задач восстановления являются аналоговые ФНЧ высокого порядка, а также каскадное соединение нерекурсивного цифрового и аналогового ФНЧ. При этом не рассмотрены вопросы синтеза цифровых рекурсивных восстанавливающих ФНЧ, с учетом априорных сведений о восстанавливаемом сигнале.

В настоящее время при обработке нестационарных СП большое распространение получила теория вейвлет-анализа (ВА), разработанная в работах А. Хаара, С. Маллата, И. Мейера, И. Добеши, К. Чуй, а также в работах отечественных ученых В.И. Воробьева, В.Г. Грибунина, А.П. Петухова, JI.B. Новикова, В.П. Дьяконова и др. Основное достоинство алгоритмов ВА заключается в локализации базисных функций как по времени, так и по частоте. Благодаря этому алгоритмы ВА нашли широкое применение при решении задач сжатия речевой и видеоинформации, а также восстановления и интерполяции сигналов.

Известно большое количество классов вейвлет-функций, однако практические рекомендации по выбору базиса для обработки заданного типа сигналов содержатся в очень ограниченном объеме работ. В связи с этим наибольшее распространение при решении практических задач получили ортогональные вейвлеты Добеши, обеспечивающие минимальную длительность при фиксированном числе нулевых моментов и имеющие конечную область определения. На основе базисных систем

Добеши построены стандарты сжатия изображений JPEG-2000. а также стандарт сжатия видеоинформации MPEG4.

При разложении СП наиболее эффективным по критерию минимума СКО является разложение Карунена-Лоэва, рассмотренное в работах J1. Фрэнкса , Г. Ван Триса, В.И. Тихонова и др. Однако разложение Карунена-Лоэва не имеет быстрых алгоритмов, в отличие от алгоритмов вейвлет- и Фурье-анализа, поскольку синтез базисных систем производится на основе априорных сведений о корреляционных свойствах СП. На практике часто априорные сведения о корреляционной функции СП отсутствуют, а свойства сигнала меняются. Это затрудняет применение разложения Карунена-Лоэва в алгоритмах ЦОС ввиду необходимости синтеза базисных систем разложения в реальном режиме времени.

Основным блоком ряда радиотехнических устройств ЦОС, определяющим его быстродействие, является блок корреляционной обработки. Реализация блока корреляционной обработки возможна как во временной, так и в частотной области. В последнем случае это приводит к экономии вычислительных ресурсов. Основной вклад в теорию быстрых спектральных преобразований внесли Р. Блэйхут, Э. Оппенгейм, Г. Дженкинс, Д. Ватте, И.С. Гоноровский, A.M. Трахтман, В.А Трахтман и др. Обычно построение устройств корреляционной обработки осуществляется на основе алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), требующего использования операции комплексного умножения. Известно, что реализация вейвлет-преобразования в базисе Хаара требует только операций сложения, что существенно уменьшает вычислительные затраты. При этом неизвестны структуры устройств корреляционной обработки в базисе Хаара ввиду неинвариантности данного преобразования к временному сдвигу сигнала.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка оптимальных интерполирующих функций и вейвлет-базисов, обеспечивающих снижение ошибок восстановления финитных во времени реализаций непрерывных СП, а также эффективных по вычислительным затратам алгоритмов корреляционной обработки сложных сигналов.

Поставленная цель работы включает решение следующих задач.

1. Синтез интерполирующих функций с учетом ограничений на реализуемость устройств обработки, оптимальных для заданного класса непрерывных финитных сигналов, уменьшающих эффекты наложения и усечения.

2. Разработка структуры восстанавливающих фильтров на основе решения обратной задачи методом регуляризации А.П. Тихонова, обеспечивающих минимум ошибки восстановления сигнала.

3. Анализ реализации рекурсивных восстанавливающих фильтров, позволяющих уменьшить требования к аналоговому фильтру нижних частот без увеличения его порядка.

4. Разработка алгоритма синтеза вейвлет-базисов на основе синтезирующих функций с заданными характеристиками.

5. Синтез компактных вейвлет-базисов по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скейлинг-функции.

6. Разработка базисных систем на основе разложения Карунена-Лоэва, обеспечивающих минимальную ошибку восстановления СП при заданном коэффициенте сжатия. Разработка алгоритма вейвлет-пакетного разложения с адаптацией базиса на каждом уровне разложения для обеспечения минимальной ошибки восстановления СП.

7. Разработка алгоритмов корреляционной обработки сложных сигналов на основе одноуровневого, а также двухуровневого вейвлет-пакетного разложения (ВПР).

8. Обоснование алгоритма корреляционной обработки сложных дискретных сигналов на основе ВПР с потерями, обеспечивающего снижение требуемого быстродействия.

Методы проведения исследований. В работе использовались методы статистической радиотехники и математической статистики, вариационного и матричного исчисления, вычислительной математики, решения некорректных задач, а также новейшие достижения в области вейвлет-анализа речевых сигналов и цифровой обработки информации. Данные теоретические методы сочетались с экспериментальными исследованиями и результатами имитационного моделирования.

Научная новизна. В рамках диссертационной работы получены следующие новые научные результаты.

1. Разработаны синтезирующие функции позволяющие уменьшить ошибки восстановления непрерывных финитных во времени сигналов по сравнению с ранее известными, учитывающие априорные сведения о корреляционных свойствах исходного непрерывного финитного во времени сигнала.

2. Предложена аппроксимация весового множителя синтезирующей функции в дробно-рациональном виде, позволяющем оптимизировать коэффициенты при отсутствии априорных сведений о восстанавливаемом сигнале.

3. Проанализирована структура рекурсивного восстанавливающего фильтра, позволяющая уменьшить порядок аналогового фильтра при заданной точности восстановления сигнала.

4. Обоснован алгоритм синтеза вейвлет-базисов на основе восстанавливающей функции-прототипа с заданными характеристиками.

5. Произведен синтез максимально-компактных по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скейлинг и вейвлет-функций, обеспечивающих уменьшение ошибки восстановления при сжатии речевых сигналов.

6. Разработан алгоритм синтеза вейвлет-базисов на основе разложения Карунена-Лоэва с использованием априорных сведений о корреляционных свойствах обрабатываемого сигнала.

7. Предложен алгоритм ВПР с адаптацией базиса на каждом уровне разложения, позволяющий построить алгоритмы сжатия речевых сигналов для передачи на скорости менее 4 кбит/с.

8. Предложены алгоритмы корреляционной обработки с потерями на основе преобразования Хаара, позволяющие снизить требования к быстродействию устройства обработки до двух раз, по сравнению с алгоритмами Fia основе быстрого преобразования Фурье.

Достоверность. Достоверность результатов и выводов, полученных в диссертационной работе, обеспечивается качественным и количественным сопоставлением результатов численных экспериментов с известными положениями теории ЦОС.

Практическая ценность. Представленные в работе алгоритмы восстановления СП на основе предложенных синтезирующих функций, а также алгоритмы вейвлет-анализа с синтезированными базисами могут быть эффективно использованы в таких радиотехнических устройствах, как системы передачи и устройства хранения

информации, системы радиотелеметрии и т.п. Кроме того, в работе предложены методы построения устройств корреляционной обработки, которые могут быть использованы в устройствах обнаружения сигналов спутниковых систем передачи информации. Результаты диссертационной работы нашли применение в действующей аппаратуре ФГУП «Российский научно-исследовательский институт космического приборостроения» и ООО «Конструкторское бюро «КрасТяжМаш»», что подтверждено соответствующими актами.

Основные положения, выносимые на зашиту

1. Синтезирующие функции, оптимальные по критерию минимума СКО для одноканальных и двухканальных устройств обработки, позволяющие снизить ошибки восстановления финитных во времени сигналов в 2...3 раза по сравнению с ранее известными алгоритмами на основе функции 5шс(/), сплайн-интерполяции и

атомарных функций при частоте дискретизации, близкой к частоте В.А. Котельникова.

2. Алгоритм ВПР на основе интерполирующих функций-прототипов с адаптацией базиса на каждом уровне разложения с использованием представления Карунена-Лоэва, обеспечивающий требуемое качество восстановления речевых сигналов при скорости передачи менее 4 кбит/с.

3. Алгоритмы корреляционной обработки на основе преобразования Хаара, обеспечивающие снижение количества требуемых вычислительных операций в 2 раза по сравнению с алгоритмами на основе быстрого преобразования Фурье, с уменьшением вероятности правильного обнаружения менее чем на 1 % при отношении сигнал-шум более -20 дБ.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на следующих научно-технических конференциях (НТК), семинарах и сессиях.

1. Научная сессия МИФИ -2004 г., г. Москва

2. МНТК «Современная радиоэлектроника в ретроспективе идей В.А. Котельникова». 2003 г., г. Москва.

3. 10-я МНТК студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». 2004 г., г. Москва.

4. 8-я, 9-я всероссийская НТК студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и образовании». 2002, 2004 гг., г. Рязань.

5. 6-я, 7-я, 8-я международная конференция «Цифровая обработка сигналов и ее применение». 2004, 2005, 2006 гг., г. Москва.

6. МНТК «Информатизация и информационная безопасность правоохранительных органов». 2004, 2006 гг., г. Москва.

7. 11-я, 13-я, 14-я МНТК «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций». 2002, 2004, 2005 гг., г. Рязань.

8. Всероссийский научно-практический семинар «Сети и системы связи». 2005 г., г. Рязань.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 25 работ. Из них 4 статьи в центральной печати, 5 статей в научно-технических журналах и межвузовских сборниках трудов, 16 тезисов докладов на конференциях.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы из 149 наименований и 2-х приложений. Диссертация содержит 130 страниц основного текста и 50 рисунков.

(1 -a)-c2(<) + a.[fts(t)

dt>-> min , ( 1 )

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность выбранной темы, определены цели и задачи, решаемые в работе. Перечислены новые научные результаты, полученные в работе, показаны ее практическая ценность и апробация. Сформулированы основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе рассмотрены вопросы интерполяции непрерывных финитных во времени сигналов в устройствах ЦОС по комбинированному критерию минимума СКО:

loi

где M {•} - оператор математического ожидания, Т - интервал обработки сигнала,

а - постоянный параметр, изменяется в пределах от 0 до 1 при учете требований к практической реализации восстанавливающих фильтров в виде

A/||w(/)-c2(f)rfi| = co7iî/, (2)

где - весовая функция, учитывающая накладываемые ограничения. При

w(t) = k-t + p-t2 первое слагаемое вводит ограничение на «среднюю задержку», а

второе - «степень сосредоточения» восстановленного сигнала относительно исходного; к , р — коэффициенты, учитывают вес первого и второго слагаемых.

Решена задача интерполяции для одиоканальных устройств восстановления с использованием отсчетов сигнала, а также двухканальных устройств с дополнительным применением отсчетов первой производной при ограничении на реализуемость устройств обработки (2). Показано, что данная задача относится к классу изопериметрических задач вариационного исчисления и в результате се решения получены синтезирующие функции л(г) для однокаиального устройства

восстановления, а также синтезирующие функции >»(f) и для канала сигнала и производной двухканального устройства восстановления: д-М - sinc(0 sine2(0 ) t-sine2(О

где Л - множитель Лагранжа.

Показано, что расчет синтезирующих функций для финитных во времени реализаций СП возможен путем аппроксимации спектральной плотности мощности (СПМ) восстанавливаемого СП. Получены синтезирующие функции для восстановления финитных реализаций СП вида:

.v(/) = rG(/)-sinc(i), }'(t) = rc(f)-sinc2(/), z(t) = r0{t)-smc2(t)-t, (4)

где rc(f) - корреляционная функция СП g(t), которая является весовым

множителем синтезирующих функций для одно- и двухканальных устройств восстановления непрерывных финитных во времени сигналов.

Предложено в случае отсутствия априорных сведений о корреляционных свойствах восстанавливаемого сигнала вести расчет синтезирующих функций на основе аппроксимации весового множителя в виде дробно-рациональной функции:

ГЛ1) = РЛ(УРЛ')- (5)

где

= 1 + '{2'' = ' + ' Показано, что параметры

синтезирующей функции в этом случае можно выбирать путем оптимизации коэффициентов полиномов весового множителя. Вид синтезирующих функций д (7) одноканального устройства восстановления СП, а также АЧХ восстанавливающих фильтров \х{м)\ при различном порядке полиномов весового множителя представлены на рис. 1.

Как следует из анализа рис. 1, уровень боковых лепестков полученных синтезирующих

функции меньше на 3...4 дБ, чем у функции вида sine (/),

рекомендованных В.А. Котельникова одноканальных восстановления. Это

теоремой для устройств позволит в

случае использования разработанных синтезирующих функций снизить ошибки наложения и усечения при

|*(„)||-:-:-:—восстановлении финитных во

времени реализаций СП. При этом восстанавливающие фильтры могут быть реализованы на основе аналоговых фильтров относительно низкого порядка, в отличие от нереализуемого идеального ФНЧ.

Проведены экспериментальные исследования алгоритмов

интерполяции с помощью рассмотренных выше

синтезирующих функций в случае *>ис'' одноканального и двухканального

устройства восстановления. Исследования проводились для реализаций СП в виде

N

полигармонического исходного сигнала и(/) = ]Г/4( -соз(2- ж • + <р,), где А, -

амплитуды гармоник, равномерно распределены на интервале [0, 1]. / - частоты гармоник, равномерно распределены на интервале [0, 0.5] Ги, <р, - начальная фаза гармоники, равномерно распределена на интервале [0, 2я] рад, = 10 -

количество гармоник сигнала в эксперименте. Такая модель исходного сигнала является наиболее обшей, поскольку охватывает весь заданный диапазон частот и

—- Я=5, т~4. я-0, т=1. - я~0, т=0.

IK,

амплитуд спектральных составляющих сигнала. В качестве синтезирующих функций были выбраны: 1) синтезирующие функции, оптимальные для заданного класса сигналов; 2) квазиоптимальные функции, полученные в результате аппроксимации оптимального весового множителя дробно-рациональной функцией: 3) сплайн порядка 3 дефекта 2; 4) атомарная функция ир(г). Порядок полиномов аппроксимации весового множителя выбирался исходя из требуемой точности восстановления: п = 3 , т = 4 , при этом была произведена предварительная оптимизация коэффициентов а(, ;' = !...и и bp j = \...m при усреднении по

На рис. 2 показаны усредненные по ансамблю реализаций СП зависимости нормированной к энергии сигнала средне-квадратической ошибки восстановления i] и нормированной к макси-мальной по модулю ошибки (ММО) Л = Л„„/л/£ , Е - энергия сигнала, от нормированной частоты дискретизации финитного во времени сигнала сои = сод1сок , где а>6 - частота дискретизации. а>„ - Ico„ - частота В.А. Котель-

К в

никова. Предварительно для заданного класса сигналов методом регуляризации были получены оптимальные синтезирующие функции.

При воспроизведении аудиозаписей с цифровых носителей применение цифрового нерекурсивного восстанавливающего фильтра перед аналоговым позволяет существенно снизить требования к аналоговой части устройства. При этом для увеличения коэффициента экспандирования частоты дискретизации предложена структурная схема рекурсивного цифрового восстанавливающего фильтра, представленная на рис. 3.

Получены зависимости значения порядка аналогового фильтра Р от коэффициента экспандирования цифрового рекурсивного фильтра Ке при

коэффициенте подавления в полосе заграждения 60 дБ и коэффициенте неравномерности в полосе пропускания 0.1 дБ (см. таблицу).

К. 1 2 4 8 16 32

р 27 4 ¡ 3 2 2 2

ансамблю из 50 ООО реализаций СП.

Рис.2

Рис. 3

Показано, что в случае отсутствия цифрового фильтра требуется аналоговый фильтр 27-го порядка, в то время как использование простейшего нерекурсивного цифрового фильтра при Ке = 2 позволяет уменьшить порядок аналогового фильтра до четырех, а использование рекурсивного цифрового фильтра при коэффициенте экспандирования Ке> 8 дает возможность максимального сокращения порядка

аналогового фильтра до двух.

Во второй главе рассмотрены вопросы синтеза ортогональных, компактных по времени и частоте вейвлет-базисов. Алгоритмы вейвлет-анализа более приспособлены для обработки нестационарных СП в радиотехнических устройствах, чем алгоритмы на основе Фурье-анализа, поскольку при вейвлет-разложении сохраняется информация как о временных, так и о частотных свойствах сигнала. При этом задача синтеза вейвлет-базисов остается актуальной при отсутствии практических рекомендаций по выбору базисной системы для решения задачи сжатия речевых сигналов в радиотехнических устройствах.

Предложен алгоритм расчета ортогональных вейвлет-базисов на основе синтезирующей функции прототипа с заданными характеристиками для устройств ЦОС. Произведен расчет коэффициентов фильтра Н - ветви разложения по формуле

я

/г° = |М0(«у)ехр(у<алДг)й?й>, пе! , (6)

-г

где Л/(>(й>) = ^Х6(2а>)/2 , Л'Дгу) - спектр синтезирующей функции прототипа -х(/), дискретизированной с шагом Лг = 0,5, /г", п е 7- - коэффициенты вейвлет-фильтра Н-ветви разложения, учитывающие сдвиги с шагом 0,5, из которых необходимо выделить коэффициенты соответствующие целочисленным сдвигам /гп = п е '¿. Рассчитаны базисные функции согласно масштабирующему уравнению для скейлинг-функции <р(/)

?(/) = >/2£^(2<-П) (7)

через их бесконечную свертку с коэффициентами вейвлет-фильтра Н-ветви разложения.

Предложено для синтеза максимально-компактных базисных систем использовать критерий минимума произведения эффективной длительности Т]ф на

эффективную полосу частот ох^ скейлинг-функции (p{t):

Г4 -»rain, Т;^{2я)г dt jlE . |ejJ-]5(fy)|2 dajtoE, (В)

19{(o) - Фурье-спектр скейлинг-функции <£>(/), Е - энергия cp[t).

На рис. 4 представлен вид максимально-компактной по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу часгот скейлин-функции q>(t), вейвлет-функции y{t), также их Фурье-спектров &(о>) и Ч'(й))

соответственно при эффективной длительности = 4 .

Проведенные экспери-

ментальные исследования показали, что использование разработанных максимально-компактных базисных систем для задач сжатия речевых сигналов позволило снизить ошибки восстановления при отбрасывании высокочастотной G-ветви разложения на 10... 15 % по сравнению с базисными системами Добеши той же длительности.

Широкое распространение получили алгоритмы сжатия сигналов на основе ВПР. При этом рекомендации по выбору базисной системы для реализации алгоритма сжатия часто отсутствуют. Для этой цели возможно использование разложения Карунена-Лоэва, которое обеспечивает минимум ошибки восстановления при заданном количестве коэффициентов разложения. На практике применение разложения Карунена-Лоэва затруднено ввиду отсутствия быстрых алгоритмов, а также необходимости использования априорных сведений о корреляционных свойствах СП. В связи с этим, предложено произвести синтез оптимальных алгоритмов ВПР по критерию минимума ошибки восстановления сигналов на основе разложения Карунена-Лоэва. Произведен расчет вейвлет-базиса на основе дискретизированной синтезирующей функции прототипа. Получено выражение для оптимальной синтезирующей функции прототипа, обеспечивающей минимум СКО восстановления при отбрасывании G-ветви ВПР на заданном уровне разложения:

,../Т\ ;......;..... л и 4-k.

í i \ i i

mi......i.......n.....

i ; ¡-V4 ; v; ; ;

-4 -з -2 - 0 1 2 3 4

......: 'i—'-......

TÍ = 4

■S -4 -3 -2 -! и 1 2 3 4 i

Хд(й) + 2тг) = 2

ехр

(9)

\и{<о)\ + /?■£(©)

где |[/(©)|~ - спектральная плотность мощности обрабатываемого СП и(1). 0{(->) -стабилизатор для исключения нулей в знаменателе, /? - коэффициент при стабилизаторе, Л - множитель Лагранжа при решении вариационной задачи. Как следует из выражения (9), для расчета синтезирующей функции прототипа необходимы априорные сведения о корреляционных свойствах исходного СП ¡<(/).

При отсутствии априорных сведений о корреляционных свойствах исходного СП предложено использовать в качестве синтезирующей функции прототипа функции вида (4) при аппроксимации весового множителя дробно-рациональной функцией (5). При этом подбор коэффициентов полиномов аппроксимации (5) предложено вести по минимуму энергии в-ветви разложения. На рис. 5 представлена структурная схема адаптивного устройства сжатия сигналов на основе ВПР.

В каждой ветви разложения по критерию минимума энергии на выходе О-ветви производится адаптация базисной системы. Адаптация заключается в оптимизации коэффициентов полиномов аппроксимации весового множителя синтезирующей функции прототипа, с последующим синтезом коэффициентов Н и С фильтров разложения. Такая процедура не требует априорных сведений о коре-ляционных свойствах СП и (г), но для восстановления сигнала требуется наличие коэффициентов, синтезированных в процессе адаптации фильтров разложения.

В третьей главе были рассмотрены вопросы снижения вычислительных затрат при корреляционной обработке сложных сигналов в устройствах ЦОС, а также вопросы кодирования речевых сигналов при адаптации базисных систем ВПР на каждом уровне разложения.

Разработаны структурные схемы оптимальных устройств корреляционной обработки сложных сигналов, а также устройств корреляционной обработки с потерями на основе ВПР в базисе Хаара, обеспечивающие снижение требуемого количества вычислительных операций в 2 раза по сравнению с алгоритмами на основе быстрого преобразования Фурье. Обоснована необходимость использования каналов четного и нечетного сдвигов в устройстве обработки. На рис. 6,а приведена

Рис.5

структурная схема устройства корреляционной обработки с потерями на основе суммарно-разностного выделения задержки принятого сигнала относительно опорного, а также результаты компьютерного моделирования его работы (рис. 6,6).

Принятый и опорный сигналы í(í) и ïon(f) подвергаются одноуровневому

ВПР в базисе Хаара, на выходе каждой ветви которого количество отсчетов сигнала уменьшается в 2 раза. После осуществляется свертка соответствующих ветвей разложения принятого и опорного сигналов на основе БПФ-алгоритма. Таким образом, получаются взаимные корреляционные функции Н- и G-ветвей разложения принятого и опорного сигналов, при этом их сумма составляет функцию четных сдвигов Kg (т) , а разность - функцию нечетных сдвигов R¡ (г) .

На рис. 6,6 показан вил взаимных коре-ляциониых функций четных и нечетных сдвигов при го = 200 и г0 = 201. Как следует из анализа рис. 6,6, при г0 = 200 в канале четных сдвигов проявляется пик при г = 100, такой же пик проявляется и в канале нечетных сдвигов при г0 = 201. Представленный алгоритм обладает потерями, обусловленными возрастанием уровня боковых

лепестков в канале нечетных сдвигов. Использование данного алгоритма позволяет снизить количество требуемых вычислительных операций на 25 % по сравнению с применением устройства корреляционной обработки на основе алгоритма БПФ за счет выполнения двух более коротких сверток вместо одной длинной. В работе также обоснованы структурные схемы устройств корреляционной обработки с потерями, обеспечивающие снижение требуемого количества вычислительных затрат в 2 раза по сравнению с алгоритмами на основе алгоритма БПФ для сложных фазоманипулированиых сигналов.

Зависимости вероятности правильного обнаружения сигналов PD от отношения сигнал-шум q при фиксированной вероятности ложной тревоги, равной 0,001, сигналов командно-измерительной системы группировки космических

БПФ -

БПФ -коррелятор Л т,

я,«

600 о

500

«¿(•о

5Ш 0

: ; lt,= 200j

0 50 100 150 1 0 50 100 150 X

201 ¡

«.M

500

i MoTI

0 50 100 150 X 0 50 100 150 X

б

Рис. 6

спутников и комплекса управления космическими аппаратами «Kazsat» представлены на рис. 7. Как следует из анализа рис. 7, использование одноуровневого ВИР приводит к проигрышу по вероятности правильного обнаружения менее 0,5 %, а использование двухуровневого ВПР приводит к проигрышу менее 1 % при

fía основе ВПР с адаптацией базиса на разных уровнях разложения, разработан алгоритм сжатия речевых сигналов, обеспечивающий качество восстановления не ниже, чем в системах IP-телефонии при скорости передачи равной, 3,78 кбит/с.

Структурная схема устройства сжатия речевых сигналов для передачи в системах 1Р-телефонии представлена на рис. 8. Отсчеты входного сигнала подаются на блок ВПР с адаптацией базиса в каждой ветви разложения, представленной на рис. 5.

Параметры базисных функций

Рис.8

При заданном коэффициенте сжатия обнуляются коэффициенты разложения в ветвях с меньшей энергией сигнала. Оставшиеся отсчеты, отличные от нуля, подвергаются компандированию и кодированию по Хаффману. Если требуется передать информацию с заданной точностью, то обнуляются только ветви разложения, обеспечивающие ошибку восстановления не более заданной величины. При этом вторичному кодированию по Хаффману подвергаются дополнительно параметры базисных функций, полученные в результате адаптации в каждой ветви разложения. Блок восстановления необходим для расчета ошибки после обнуления коэффициентов разложения в заданных ветвях.

отношении сигнал-шум более -20 дБ.

Рис.7

В заключении приведены основные научные и практические результаты диссертационной работы.

1. В результате решения задачи интерполяции получены синтезирующие функции, оптимальные по критерию минимума СКО. для одноканальной и двухканалыюй систем восстановления при ограничении на реализуемость устройств обработки, позволяющие снизить ошибки восстановления финитных во времени сигналов в 2...3 раза по сравнению с ранее известными алгоритмами на основе функции , сплайн-интерполяции и атомарных функций при частоте

дискретизации, близкой к частоте В. А. Котельникова.

2. При использовании метода регуляризации А.Н. Тихонова получены оптимальные синтезирующие функции, обеспечивающие в среднем на порядок меньшие ошибки восстановления, чем ранее известные синтезирующие функции, при изменении спектрального состава сигнала.

3. Предложены квазиоптимальные синтезирующие функции в виде дробно-рациональной функции. Показано, что использование порядков полиномов квазиоптимальных синтезирующих функций п > 3, т > 4 обеспечивает проигрыш по сравнению с оптимальной синтезирующей функцией при восстановлении сигнала менее чем на 0.5 % по СКО и менее чем на 0.4 % по ММО. Использование квазиоптимальных синтезирующих функций при аппроксимации весового множителя оптимальной синтезирующей функции позволило производить параметрическую адаптацию восстанавливающих фильтров при отсутствии априорных сведений о корреляционных свойствах сигнала путем оптимизации коэффициентов полиномов весового множителя.

4. Произведен анализ реализации восстанавливающих фильтров на основе цифровых рекурсивных фильтров, позволяющих снизить порядок аналогового восстанавливающего фильтра с 29 до 2 без ухудшения качества восстановления сигнала, а также снизить порядок рекурсивного восстанавливающего фильтра по сравнению с нерекурсивным с 208 до 13 при той же точности восстановления.

5. Показано, что применение предложенных компактных базисных функций позволяет снизить СКО восстановления на 10... 15 % по сравнению с базисами Добеши.

6. Произведен синтез базисных систем ВПР на основе представления Карунена-Лоэва, адаптированных для обработки заданного типа СП, позволяющих получить минимально-возможную ошибку восстановления.

7. Разработан алгоритм ВПР с адаптацией базиса на каждом уровне на основе разложения Карунена-Лоэва, обеспечивающий минимально возможную СКО восстановления.

8. Разработан алгоритм корреляционной обработки с потерями на основе одноуровневого ВПР в базисе Хаара в Н-ветви разложения, позволяющий снизить количество требуемых вычислительных операций в 2 раза по сравнению с использованием БПФ-алгоритма. При этом проигрыш по вероятности правильного обнаружения составляет менее 1 % для узкополосных сигналов КИС ГПКС и комплекса управления НКУ КА «Каг5аЬ> и менее 2 % для иС^РБК сигналов системы «Клен-Р» при одном и том же отношении сигнал-шум.

9. Разработан алгоритм корреляционной обработки с потерями на основе двухуровневого ВПР в базисе Хаара в Н-ветви разложения, позволяющий дополнительно снизить количество требуемых вычислительных операций на 10 % по сравнению с алгоритмом корреляционной обработки с потерями на основе

одноуровневого ВПР. При этом проигрыш по вероятности правильного обнаружения составляет менее 2 % для сигналов КИС ГПКС и комплекса управления НКУ КА «Кама!» и менее 4 % для Ь^Р5К сигналов системы «Клен-Р» при одном и том же отношении сигнал-шум.

10. Разработан алгоритм сжатия речевых сигналов на основе ВПР с адаптацией базиса на разных уровнях разложения, обеспечивающий качество восстановления не хуже чем в системах 1Р-телефонии при скорости передачи, равной 3,78 кбит/с.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кириллов С.Н, Бузыканов С.Н., Бахурин С.А. Алгоритм снижения динамического диапазона ошибки интерполяции при восстановлении сигналов по дискретным выборкам в системах многоканальной связи // 11-я международная научно-техническая конференция «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций». Рязань: РГРТА, 2002. С. 24.

2. Бахурин С.А. Восстановление финитных сигналов с использованием ограничений на синтезирующую функцию И 8-я всероссийская научно-техническая конференция студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании». Рязань: РГРТА, 2002. С. 5658.

3. Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Интерполяция сигналов с учетом реализуемости восстанавливающих фильтров // Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнических системах. Рязань: РГРТА, 2003. С. 19-22.

4. Кириллов С.Н., Бузыканов С.Н., Дмитриев В.Т., Бахурин С.А. Практические аспекты реализации алгоритмов обработки при дискретизации с использованием отсчетов функции и ее производной // Международная научно-техническая конференция «Современная радиоэлектроника в ретроспективе идей

B.А. Котельникова». М.: МЭИ, 2003. С. 24-25.

5. Дмитриев В.Т., Бахурин С.А. Исследование точности алгоритмов оценки отсчетов производной в радиотехнических устройствах // Вестник РГРТА. Выпуск 13, 2003. С. 32-35.

6. Бахурин С.А. Алгоритмы восстановления финитных во времени сигналов в телекоммуникациях // IX всероссийская научно-техническая конференция студентов молодых ученых и специалистов НИТ-2004. Рязань: РГРТА, 2004. С.65.

7. Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Уменьшение ошибок усечения при интерполяции функций в пространстве Соболева // Научная сессия МИФИ - 2004. Сборник научных трудов. Т. 12. С. 143.

8. Бахурин С.А. Использование распараллеливания вычислительных операций в цифровых радиотехнических устройствах на основе программируемых логических интегральных схем // Тезисы докладов международной научно-технической конференции «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций». Рязань: РГРТА. 2004. С.29-31.

9. Бахурин С.А. Восстановление функций на основе алгоритмов в пространстве

C.Л. Соболева // Тезисы докладов 10-й международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М.: МЭИ, 2004. Т.1. С.89.

Ю.Дмитриев В.Т., Бахурин С.А. Точность формирования производной при восстановлении сигнала на основе алгоритма Хургина-Яковлева// Тезисы докладов

10-й международной научно-технической конференции студентов и аспирантов «Радиоэлектроника, электротехника и энергетика». М.: МЭИ. 2004. Т.1. С. 18-19.

П.Кириллов С.Н.. Зорин C.B., Бахурин С.А. Синтез оптимальных скейлинг и интерполирующих функций при ограничении на реализуемость устройств обработки // Доклады 6-й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Москва, 2004. Т.1. С. 30-32.

12.Кириллов С.Н., Дмитриев В.Т., Бахурин С.А. Применение алгоритма Хургина-Яковлева в системах речевой подписи, скремблирования и реставрации фонограмм // Сборник трудов 8-й международной научной конференции «Информатизация и информационная безопасность правоохранительных органов». Москва, 2004. С.387-390.

1 З.Кириллов С.Н., Бахурин С.А., Слесарев A.C. Быстрые алгоритмы поиска и слежения за спутниковыми навигационными радиосигналами в программно реализованном приемнике // Доклады 7-й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение». Москва, 2005. Т. 1. С. 271-274.

14.Бахурин С.А. Анализ практической реализации интерполирующих функций при восстановлении финитных во времени сигналов // Методы и устройства формирования и обработки сигналов в радиотехнических системах. Рязань, 2004 г. С. 19-22.

15.Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Алгоритм синтеза вейвлет-базисов заданной длительности на основе интерполирующей функции // Доклады 7-й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» Москва, 2005. Т.1. С. 98-101.

16.Круглов A.B., Кириллов С.Н., Бахурин С. А. Алгоритм управления космическим аппаратом на основе комбинированного критерия минимума среднего квадрата ошибки в условиях действия нестационарных помех // Вопросы радиоэлектроники. Серия общетехническая. Вып.1. 2005. С. 69-78.

17.Бахурин С.А., Слесарев А.С.Быстрые алгоритмы корреляционной обработки сигналов спутниковых систем передачи информации // Тезисы докладов всероссийского научно-практического семинара «Сети и системы связи». Рязань, 2005. С. 278-279.

18.Бахурин С.А. Алгоритм синтеза вейвлет-базисов заданной длительности на основе интерполирующих функций // Вестник РГРТА. Вып. 15, 2005. С. 117-120.

19.Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Исследование каскадного соединения цифрового и аналогового восстанавливающих фильтров при интерполяции непрерывных сигналов // Тезисы докладов 14-й международной научно-технической конференции «Проблемы передачи и обработки информации в сетях и системах телекоммуникаций». Рязань, 2005 . С.60-61.

20.Круглов A.B., Кириллов С.Н., Бахурин С.А., Слесарев A.C., Ватутин В.М. Быстрые алгоритмы обработки фазоманипулированных сигналов в системах передачи информации радиолиний управления и телеметрии космических аппаратов // Электромагнитные волны и электронные системы. № 10. 2005. С.57-65.

21.Круглов A.B., Кириллов С.Н., Бахурин С.А., Дмитриев A.C., Ватутин В.М. Эффективная обработка сигналов радиолиний управления и телеметрии на основе алгоритма Хургина-Яковлева // Электромагнитные волны и электронные системы. №

11-12. 2005. С.83-89.

22.Бахурин С.А., Цыплаков A.A. Синтез кодовых последовательностей с минимальным уровнем боковых лепестков на основе вейвлет-пакетного разложения //

Материалы 31-й Межвузовской научно-практической конференции. Рязань. 2006 г.

23.Леонов М.С.. Круглов A.B., Кириллов С.Н., Бахурин С.А., Слесарев A.C., Ватутин В.М., Смирнов C.B. Быстрые алгоритмы корреляционной обработки сигналов радиолиний передачи информационно-управляющих потоков // Тезисы докладов научно-технической конференции ФГУП «РНИИ КП», посвященной 60-летию предприятия. С. 158.

24.Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Интерполяция финитных во времени сигналов с учетом реализуемости восстанавливающих фильтров // Автометрия. №6, 2006. С. 3-

25.Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Алгоритм интерполяции финитных во времени сигналов на основе регуляризованных по А.Н. Тихонову восстанавливающих функций // Вестник РГРТА. Выпуск 17, 2006. С. 3-7.

С.155.

13.

Соискатель

/ С.А. Бахурин /

Бахурин Сергей Алексеевич

Оптимальные алгоритмы восстановления и вей »лет-анализа финитных во времени ситналов в радиотехнических устройствах

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Отпечатано с ГНУ ВНИМС, Рязань, Щорса 38/1 Формат бумаги 60*84 1/16. Печатных листов 1. Заказ ¿к_. Тираж 100 экз.

^оартс} 2007 г.

введение.

1 синтез интерполирующих фильтров с заданными характеристиками в радиотехнических устройствах цифровой обработки сигналов.\

1.1 Вводные замечания

1.2 злдлчл инте 14 юляции при огра11иче11ии11л реализуемость устройств восстановления сигнала

1.2.1 Постановка задачи интерполяции при ограничении на реапзуемость устройств восстановления сигнала.

1.2.2 Решение задачи интерполяции при ограничении на реализуемость устройств восстановления сигналов.

1.3 синткз интерполирующих фильтров методом регуляризации а.н. тих01юва

1.4 квази011тималы1ые си11тезирующие фу11кции при а1ii1роксима1 [ии весового множителя

1.5 экспериментальные исследования алгоритмов интерполяции финитных случайных процессов

1.6 анализ реализации алгоритмов интерполяции па основе цифровых рекурсивных фильтров

1.7 Выводы

2 синтез вей влет-базисов на основе интерполирующих функций с заданными характеристиками.

2.1 Вводные замечания

2.2 си11тез вейвлет-вазисов на основе интерполирующих фильтров с заданными характеристиками

2.2.1 Постановка задачи.

2.2.2 Решение задачи.

2.3 синтез максимально компактных вейвлет-вазисов по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот скейлипг-функции

2.3.1 Постановка задачи.

2.3.2 Решение задачи.

2.4 Синтез оптимальных вейвлет-базисов по критерию минимума средпеквадратической ошибки восстановления сигналов на основе представления

Карунена-Лоэва

2.4.1 Постановка задачи.

2.4.2 Решение задачи.

2.5 Разработка алгоритмов вейвлег-пакетного разложения с адаптацией базиса на каждом уровне разложения

2.6 выводы

3 практические аспекты проектирования быстрых алгоритмов обработки сигналов в радиотехнических устройствах на основе вейвлет-пакетного разложения.

3.1 Вводные замечания

3.2 Построение быстрых алгоритмов корреляционной обработки 11А основе ВНР

3.2.1 Обоснование быстрых процедур обработки сигналов на основе распараллеливания вычислительных операций.Кб

3.2.2 Разработка быстрого алгоритма корреляционной обработки сигнаюв па основе одноуровневого ВПР.

3.2.3 Разработка быстрых алгоритмов корреляционной обработки с потерями на основе одноуровневого ВПР.

3.2.4 Синтез быстрых алгоритмов на основе двухуровневого ВПР Оптимальная схема обнаружителя.

3.2.5 Исследование быстрых ачгоритмов корреляционной обработки на основе ВПР для обнаружения сложных фазоманипулированных сигнаюв.

3.3 Разработка сис тем сжатия и кодирования речевых сигналов i [а оа юве ВПР в синтезированных базисах

3.4 практическая реализация рекурсивного восстанавливающего фильтра

3.4.1 Разработка структурной схемы и выбор элементной базы.

3.4.2 Разработка принципиальной схемы устройства восстановления речевого сигнала.

3.5 Выводы

Актуальность темы. Алгоритмы цифровой обработки сигналов (ЦОС), используемые в современных радиотехнических устройствах, основываются на представлении сигнала в виде дискретных отсчетов, взятых в заданные моменты времени [1.4]. Большой вклад в развитие теории ЦОС детерминированных сигналов и случайных процессов (СП) внесли отечественные и зарубежные ученые В.А. Котельников, А.Ж. Хинчин, B.C. Пугачев, А. Шустер, Г.У. Юл, Н. Винер, Р.Б. Блекман, Ж.В. Тьюки, Ж.П. Бург, Г. Джекинс, Д. Вате, C.J1. Марпл.-мл., В.В.Витязев и др. [1.21]. Фундаментальное значение в теории ЦОС играет теорема В.А. Котельникова [1-4], в соответствии с которой однозначное восстановление исходного сигнала бесконечного по времени посредством дискретных отсчетов возможно только для сигналов с ограниченным спектром, при физически нереализуемом устройстве обработки [5]. Ошибки, возникающие в устройстве восстановления сигнала в случае использования теоремы В.А. Котельникова при дискретизации ограниченных во времени СП проанализированы в работах А. Дж. Джерри [5] Я.И. Хургина и В.П. Яковлева [6,7] и др. При этом, потенциально-достижимые характеристики устройств ЦОС, полученные применением сложных алгоритмов обработки сигналов, могут быть ослаблены на этапе цифро-аналогового преобразования из-за ошибок восстановления сигнала. Для уменьшения влияния этих ошибок разработана теория восстановления сигналов на основе полиномиальной, сплайн-интерполяции [11,22-25], а также атомарных функций, изложенная в работах В.А. Василенко [11,22,24], В.Ф. Кравченко, В.А. Рвачева [8,9] и др. Одной из проблем в этом случае является вопрос построения устройства восстановления сигнала в виде физически реализуемого фильтра нижних частот (ФНЧ), с учетом свойств финитных сигналов.

При решении задачи интерполяции наиболее широкое распространение получил критерий минимума среднеквадратической ошибки (СКО) [10, 26-30], не учитывающий, что ошибки при восстановлении ограниченных во времени реализаций СП распределены неравномерно на интервале обработки, причем максимальные ошибки обычно сосредоточены в начале и конце интервала.

Наиболее часто используемыми при решении практических задач восстановления являются аналоговые ФНЧ высокого порядка, а также каскадное соединение нерекурсивного цифрового и аналогового ФНЧ [32]. При этом не рассмотрены вопросы синтеза цифровых рекурсивных восстанавливающих ФНЧ, с учетом априорных сведений о восстанавливаемом сигнале.

В настоящее время при обработке нестационарных СП большое распространение получила теория вейвлет-анализа (ВА), разработанная в работах А. Хаара, С. Маллата, И. Мейера, И. Добеши, К. Чуй, а также в работах отечественных ученых В.И. Воробьёва, В.Г. Грибунина, А.П. Петухова, Л.В. Новикова, В.П. Дьяконова, и др. [33-59]. Основное достоинство ВА заключается в локализации базисных функций как по времени, так и по частоте. Благодаря этому алгоритмы ВА нашли широкое применение при решении задач сжатия речевой и видео информации, а также восстановления и интерполяции сигналов.

Известно большое количество классов вейвлет-функций [34], однако практические рекомендации по выбору базиса для обработки заданного типа сигналов содержатся в очень ограниченном объеме работ [35-36]. В связи с этим наибольшее распространение при решении практических задач получили ортогональные вейвлеты Добеши [33], обеспечивающие минимальную длительность при фиксированном числе нулевых моментов и имеющие конечную область определения. На основе базисных систем Добеши построены стандарты сжатия изображений ДРЕО-2000, а также стандарт сжатия видеоинформации МРЕС4.

При разложении СП наиболее эффективным по критерию минимума СКО является разложение Карунена-Лоэва, рассмотренное в работах Л. Фрэнкса, Г. Ван Триса, В.И. Тихонова и др [26-30]. Однако разложение Карунена-Лоэва не имеет быстрых алгоритмов, в отличии от алгоритмов вейвлет- и Фурье-анализа, поскольку синтез базисных систем производится на основе априорных сведений о корреляционных свойствах СП. На практике часто априорные сведения о корреляционной функции СП отсутсвуют, свойства сигнала меняются. Это затрудняет применение разложение Карунена-Лоэва в алгоритмах ЦОС, в виду необходимости синтеза базисных систем разложения в реальном режиме времени.

Основным блоком ряда радиотехнических устройств ЦОС, определяющим их быстродействие является блок корреляционной обработки. Реализация блока корреляционной обработки возможно как во временной, так и в частотной области, в последнем случае это приводит к экономии вычислительных ресурсов. Основной вклад в теорию быстрых спектральных преобразований внесли Р. Блэй-хут, Э. Оппенгейм, Г. Дженкинс, Д. Ватте, И.С. Гоноровский, A.M. Трахтман, В.А Трахтман, С. Марпл Мл. [13-18, 60-66]. Обычно построение устройств корреляционной обработки осуществляется на основе алгоритмов быстрого преобразования Фурье (БПФ), требующих использования операции комплексного умножения. Известно [37], что реализация вейвлет-преобразования в базисе Хаара требует только операций сложения, что существенно уменьшает вычислительные затраты. При этом не известны структуры устройств корреляционной обработки в базисе Хаара, ввиду неинвариантности данного преобразования к временному сдвигу сигнала.

Цель работы. Основной целью диссертационной работы является разработка оптимальных интерполирующих функций и вейвлет-базисов, обеспечивающих снижение ошибок восстановления финитных во времени реализаций непрерывных СП, а также эффективных по вычислительным затратам алгоритмов корреляционной обработки сложных сигналов.

Поставленная цель работы включает решение следующих задач:

Основные результаты диссертации можно сформулировать в следующем виде:

1. В результате решения задачи интерполяции получены синтезирующие функции оптимальные по критерию минимума СКО для одноканальной и двухканальной систем восстановления при ограничении на реализуемость устройств обработки, позволяющие снизить ошибки восстановления финитных во времени сигналов в 2.3 раза по сравнению с ранее известными алгоритмами на основе функции бшс^), сплайн-интерполяции и атомарных функций при частоте дискретизации близкой к частоте В.А. Котель-никова.

2. При использовании метода регуляризации А.Н. Тихонова получены оптимальные синтезирующие функции, обеспечивающие в среднем на порядок меньшие ошибки восстановления, чем ранее известные синтезирующие функции, при изменении спектрального состава сигнала.

3. Предложены квазиоптимальные синтезирующие функции в виде дробно-рациональной функции. Показано, что использование порядков полиномов квазиоптимальных синтезирующих функций п > 3, т > 4 обеспечивает проигрыш по сравнению с оптимальной синтезирующей функцией при восстановлении сигнала менее чем на 0.5% по СКО и менее чем на 0.4% по ММО. Использование квазиоптимальных синтезирующих функций при аппроксимации весового множителя оптимальной синтезирующей функции, позволило производить параметрическую адаптацию восстанавливающих фильтров при отсутствии априорных сведений о корреляционных свойствах сигнала путем оптимизации коэффициентов полиномов весового множителя.

4. Произведен анализ реализации восстанавливающих фильтров на основе цифровых рекурсивных фильтров, позволяющих снизить порядок аналогового восстанавливающего фильтра с 29 до 2 без ухудшения качества восстановления сигнала, а также снизить порядок рекурсивного восстанавливающего фильтра по сравнению с нерекурсивным с 208 до 13 при той же точности восстановления.

5. Показано, что применение предложенных компактных базисных функций позволяет снизить СКО восстановления на 10.15% по сравнению с базисами Добеши.

6. Произведен синтез базисных систем ВПР на основе представления Кару-нена-Лоэва, адаптированных для обработки заданного типа СП, позволяющих получить минимально-возможную ошибку восстановления.

7. Разработан алгоритм ВПР с адаптацией базиса на каждом уровне на основе разложения Карунена-Лоэва обеспечивающий минимально-возможную СКО восстановления.

8. Разработан алгоритм корреляционной обработки с потерями на основе одноуровневого ВПР в базисе Хаара в Н -ветви разложения, позволяющий снизить количество требуемых вычислительных операций в 2 раза по сравнению с использованием БПФ-алгоритма. При этом проигрыш по вероятности правильного обнаружения составляет менее 1% для узкополосных сигналов КИС ГПКС и комплекса управления НКУ КА «Кагзай» и менее 2% для иС^РБК сигналов системы «Клен-Р», при одном и том же отношении сигнал-шум.

9. Разработан алгоритм корреляционной обработки с потерями на основе двухуровневого ВПР в базисе Хаара в Н -ветви разложения, позволяющий дополнительно снизить количество требуемых вычислительных операций на 10% по сравнению с алгоритмом корреляционной обработки с поетрями на основе одноуровневого ВПР. При этом проигрыш по вероятности правильного обнаружения составляет менее 2% для узкополосных сигналов КИС ГПКС и комплекса управления НКУ КА «КагБаЪ) и менее 4% для иС^РБК сигналов системы «Клен-Р», при одном и том же отношении сигнал-шум.

10.Разработан алгоритм сжатия речевых сигналов на основе ВПР с адаптацией базиса на разных уровнях разложения, обеспечивающий качество восстановления не хуже чем в системах 1Р-телефонии при скорости передачи равной 3,78 кбит/с.

Таким образом, полученные по комбинированному критерию минимума СКО синтезирующие функции позволили учесть априорные сведения о корреляционных свойствах СП а также снизить требования к реализуемости радиотехнических устройств обработки сигналов. Полученные на основе синтезирующей функции-прототипа и разложения Карунена-Лоэва компактные вейвлет-базисы и алгоритмы сжатия сигналов при адаптации базиса на каждом уровне ВПР позволили повысить показатели качества функционирования радиотехнических устройств обработки сигналов при ограничении на скорость передачи и вычислительные затраты. Разработанные алгоритмы корреляционной обработки сложных ФМн- и ЧМн- сигналов в базисе Хаара позволят снизить требования к быстродействию устройств обработки в системах передачи и информации, а также в широком диапазоне радиотехнических приложений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработаны синтезирующие функции, использование которых в однока-нальных и двухканальных радиотехнических устройствах восстановления непрерывных финитных во времени сигналов приводит к существенному снижению ошибок, возникающих в результате эффектов наложения и усечения. Предложены алгоритмы сжатия с адаптацией базиса на каждом уровне ВПР позволяющие увеличить коэффициент сжатия, а также снизить скорость передачи речевых сигналов в радиотехнических устройствах. Обоснованы структурные схемы устройств корреляционной обработки сложных сигналов на основе ВПР в базисе Хаара. Разработанные алгоритмы позволили снизить требования к быстродействию радиотехнических устройств корреляционной обработки сложных сигналов.

Произведена разработка синтезирующих функций для одно- и двухканаль-ной систем восстановления сигнала по комбинированному критерию минимума СКО. Показано, что задача синтеза восстанавливающего фильтра относится к классу некорректно-поставленных, и для ее решения применен метод регуляризации А.Н. Тихонова.

Разработан алгоритм синтеза вейвлет-базисов на основе восстанавливающей функции-прототипа с заданными характеристиками. Произведен синтез максимально-компактного базиса по критерию минимума произведения эффективной длительности на эффективную полосу частот. Предложен алгоритм синтеза вейвлет-базисов на основе разложения Карунена-Лоэва при известной корреляционной функции обрабатываемого сигнала.

Проанализированы практические аспекты использования предложенных алгоритмов восстановления и сжатия сигналов в радиотехнических устройствах. Дополнительно произведен анализ и разработка алгоритмов корреляционной обработки сложных ФМн- и ЧМн- сигналов в радиотехнических устройствах. Разработана структурная схема устройства сжатия речевого сигнала на основе ВПР с адаптацией базиса на основе разложения Карунена-Лоэва. Рассмотрены вопросы программно-аппаратной реализации рекурсивного восстанавливающего фильтра на базе микропроцессоров фирмы АТМЕЬ.

1. Котельников В.А. О пропускной способности "эфира" и проволоки в электросвязи // Радиотехника. 1995. №4-5. С. 42-55.

2. Котельников В.А. Теория потенциальной помехоустойчивости. М.: Гос-энергоиздат, 1956.- 152 с.

3. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике. -М.: Издательство иностранной литературы, 1963. 832 с.

4. Шеннон К.Э. Связь при наличии шума // ТИИЭР, 1984. Т.72, №9. С.94-105.

5. Джерри А. Дж. Теорема отсчетов Шеннона, ее различные обобщения и приложения. Обзор // ТИИЭР. 1977. Т. 65. №11. С. 53-89.

6. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 220с.

7. Хургин Я.И., Яковлев В.П. Финитные функции в физике и технике. М.: Наука. 1971.-408 с.

8. Басараб М.А., Зелкин Е.Г., Кравченко В.Ф., Яковлев В.П. Аппроксимация финитными функциями и теорема Уиттекера-Котельникова-Шеннона в цифровой обработке сигналов // Успехи современной радиоэлектроники. 2003. №9. С. 3-36.

9. Кравченко В.Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторые их приложения. М.: Радиотехника, 2003. - 560 с.

10. Ю.Френкс Л. Теория сигналов. М.: Советское радио, 1974, - 344с.

11. Василенко В.А Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. Новосибирск: Наука. Сибирское отделение, 1983. - 214 с.

12. Мановцев А.П. Основы теории радиотелеметрии. М.: Энергия, 1973. — 592 с.

13. БлейхутР. Быстрые алгоритмы цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1989.448 с.

14. Трахтман A.M. Введение в обобщенную спектральную теорию сигналов. М.: Сов. радио, 1972. 208 с.

15. Дженкинс Г., Ватте Д. Спектральный анализ и его приложения. Т. 1,2. -М.: Мир, 1971.-612 с.

16. Гольденберг J1.M., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. Цифровая обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1990. - 256с.

17. Рабинер JL, Гоулд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов / Перевод с англ. под ред. Ю.Н. Александрова. М.: Мир. 1978. 847 с.

18. Применение цифровой обработки сигналов / Под ред. Э. Оппенгейма. -М.: Мир. 1980. 552 с.

19. Трахтман A.M., ТрахтманВ.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Сов. радио, 1975. - 208 с.

20. Победоносцев В.А. Теорема о неравноотстоящих отсчетах // Зарубежная радиоэлектроника. 1996, №8. С.

21. Марпл-мл. C.J1. Цифровой спектральный анализ и его приложения. М.: Мир, 1990.-584 с.22.0сипов J1.A. Коррекция дискретного спектра для восстановления образующего его сигнала // Радиотехника. 1999. №12. С.39-43.

22. Василенко Г.И. Теория восстановления сигналов: О редукции к идеальному прибору в физике и технике. М.: Сов.радио, 1979. - 272 с.

23. Василенко Г.И., Тараторин A.M. Восстановление изображений. М.: Радио и связь, 1986. - 304 с.25.де Бор К. Практическое руководство по сплайнам. М.: Радио и связь, 1985 -303с.

24. Гоноровский И.С. Радиотехнические цепи и сигналы. М.: Радио и связь, 1986.-512 с.

25. Ван Трис Г. Теория обнаружения, оценок и модуляции. Том 1. Теория обнаружения, оценок и линейной модуляции. М.: Советское радио, 1972. -744 с.

26. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982. -624 с.

27. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989. - 656 с.

28. Тихонов А.Н. О методе регуляризации обратных задач // Кибернетика и вычислительная техника. 1985. Вып. 1. С. 87-99.

29. ЗЬШахтарин Б.И. Случайные процессы в радиотехнике. M.: Радио и связь, 2000. - 584 с.

30. Рабинер Л.Р., Шафер Р.В. Цифровая обработка речевых сигналов. М.: Радио и связь, 1981.495 с.

31. Добеши И. Десять лекций по вейвлетам. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2001. - 464 с.

32. Чуи К. Введение в вейвлеты. -М.: Мир, 2001.-412 с.

33. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Применение алгоритмов вейвлет-анализа для сжатия речевых сигналов в IP-телефонии. // Электросвязь. 2001. № 4. С 40-42.

34. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Синтез оптимальных порождающих фильтров для вейвлетных разложений. // 4-я Международная конференция "Цифровая обработка сигналов и ее применение". М., 2002. Т.1. С. 74-76.

35. Петухов А.П. Введение в теорию базисов всплесков. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1999.- 132 с.

36. Вайдьянатхан П.П. Цифровые фильтры, блоки фильтров и полифазные цепи с многочастотной дискретизацией: Методический обзор. // ТИИЭР, 1990. Т.78. №3. С. 77-120.

37. Крот A.M., Кудрявцев В.О. Теория анализа и синтеза бэнк-фильтров и их применение.// Успехи современной радиоэлектроники. 1999. №2. - С. 3 -17.

38. Воробьев В.И., Грибунин В.Г. Теория и практика вейвлет-преобразования. СПб.: Изд-то ВУС, 1999. 204 с.

39. Новиков Л.В. Основы вейвлет-анализа сигналов. Учебное пособие. СПб.: Изд-во ООО «МОДУС+», 1999. 152 с.

40. Дьяконов В.П. Вейвлеты. От теории к практике. М.: Солон-Р, 2002. 448 с.

41. Астафьева Н.М. Вейвлет-преобразования. Основные свойства и примеры применения. М.: ИКИ РАН, 1994. №1891. 56 с.

42. Берколайко М.З., Новиков И.Я. Базисы всплесков в пространствах дифференцируемых функций анизотропной гладкости. М.: Докл. РАН, 1992, Т. 323, №4, С. 615-618.

43. Желудев В.А. О вейвлетах на базе периодических сплайнов. M.: Докл. РАН, 1994, №1, с. 9-13.

44. Переберин A.B. О систематизации вейвлет-преобразований // Вычислительные методы и программирование. 2001. Т. 2. С.15-40.

45. Столниц Э., ДеРоуз Т., Салезин Д. Вейвлеты в компьютерной графике: Пер. с англ. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика". 2002. 272 с.

46. Новиков И.Я. Онделеты И. Мейера оптимальный базис в С(0,1). // Ма-тем. Заметки. М., 1992, т.52, №5, С. 88-92.51 .Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основные конструкции всплесков. // Фундаментальная и прикладная математика, 1997, т.З, №4, с. 999-1028.

47. Витязев В.В. Вейвлет-анализ временных рядов: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 58 с.

48. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Реализация алгоритмов вейвлет-анализа на основе рекурсивных фильтров. Радиотехника. 2002. № 3 С. 33-37.

49. Астафьева Н.М. Вейвлет-анализ: основы теории и примеры применения. // Успехи физических наук. 1998. Т. 166. №11. С. 1145-1170.134

50. Дремин И.М., Иванов О.В., Нечитайло В.А. Вейвлеты и их использование. // Успехи физических наук. 2001. т. 171. №5. С. 465-501.

51. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Алгоритмы биортогонального вейвлет-анализа на основе рекурсивных фильтров. // Цифровая обработка сигналов, 2001. №3 с. 9-12.

52. Кириллов С.Н., Зорин C.B. Оптимальные по минимуму среднеквадратиче-ской ошибки вейвлетные представления случайных процессов. // Цифровая обработка сигналов, 2002. № 2. С. 32-35

53. Кравченко В.Ф., Рвачев В.А. «Вейвлет»-системы и их применение в обработке сигналов. // Зарубежная радиоэлектроника, 1996, №4, С. 3-20

54. Новиков И.Я., Стечкин С.Б. Основы теории всплесков. //Успехи математических наук, 1998. т. 53, №6(324), С. 53-128.

55. Ширман Я.Д., Манжос В.Н. Теория и техника обработки радиолокационной информации на фоне помех. М.: Радио и связь, 1981. 416 с.61 .Хинчин А .Я. Теория корреляции стационарных стохастических процессов. // Усп. мат. наук, 1938. Вып.5. С.42-51.

56. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989.-440 с.

57. Каппелини В., и др. Цифровые фильтры и их применение. М.: Энерго-атомиздат, 1983.360 с.

58. ГолдБ. , Рейдер Ч. Цифровая обработка сигналов. М. : Сов. радио, 1973. 368 с.

59. Рабинер JL, Голд Б. Теория и применение цифровой обработки сигналов. М.: Мир, 1978. 848 с.

60. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. 248 с.

61. Шафер Р.У., Мерсеро P.M., Ричарде М.А. Итерационные алгоритмы восстановления сигналов при наличии ограничений // ТИИЭР. 1981. Т69. №3. С. 34-55.

62. Светковский P. JI. Метод восстановления сигналов по модулю спектра. // Радиотехника и электроника. 1995. Т40. Вып.1. С. 75-79.

63. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем -М.: Наука главная редакция физико-математической литературы, 1966. -624 с.

64. Бахурин С.А., Дмитриев В.Т. Исследование точности алгоритмов оценки отсчетов производной в радиотехнических устройствах // Вестник РГРТА выпуск 13,2003 г. С. 32-35.

65. Кириллов С.Н., Степанов М.В. Комбинированный критерий оптимальности нерекурсивных фильтров оценивания // Проблемы математического моделирования и обработки информации: Межвуз. сб. науч. тр. / Рязань: РГРТА, 1996. С. 40-43.

66. Кириллов С.Н., Степанов М.В. Комбинированный критерий оптимальности калмановского фильтра // Вестник РГРТА. Вып. 4. 1998. С. 120-122.

67. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

68. Краснов М.Л., Макаренко Г.И., Киселев А.И. Вариационное исчисление: задачи и примеры с подробными решениями. М.: Едиториал УРСС, 2002.- 166 с.

69. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.-356 с.

70. Бейтс Р., Мак-Донелл М. Восстановление и реконструкция изображений. -М.: Мир.,1989.-336 с.

71. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика -М.: Физматлит, 2000. 295 с.

72. Кириллов С.Н., Дмитриев В.Т. Реализационные возможности и помехоустойчивость процедуры восстановления сигналов на основе алгоритма Хургина-Яковлева//Радиотехника. 2003. №1. С. 73-75.

73. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. -М.: Наука главная редакция физико-математической литературы, 1971. -328 с.

74. Данилина Н.И., Дубровская Н.С., Кваша О.П., Смирнов Г.А. Вычислительная математика. М.: Высшая школа, 1985. - 472 с.

75. Сейдж Э., Меле Дж. Теория оценивания и ее применение в связи и управлении М.: Связь, 1976.

76. Бьемон Ж., Лагендейк Л., Мерсеро P.M. Итерационные методы улучшения изображений//ТИИЭР 1990. - Т78. №5. - С. 27-33.

77. Солодовников А.И., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации. Л.: Ленинград, 1986. - 272 с.

78. Бакалов В.П. , Киреенко О.В., Мартюшев Ю.Ю. , Матвеева О.П. Восстановление многомерных сигналов по амплитудному спектру. // Зарубежная радиоэлектроника. 1987. - №2. - С. 31-38.

79. Свентковский P.A. Метод восстановления сигнала по фазовому спектру с повышенной точностью и быстродействием. \\ Радиотехника и электроника. 1993. - Т38. - №5. - С. 866-870.

80. Джайн А.К. Успехи в области математических моделей для обработки изображений // ТИИЭР Т69. №5. - С.9-39.

81. Попков Ю.С. Вариационный принцип восстановления изображений по проекциям. // Автоматика и телемеханика. 1997. №5. - С. 131-139.93.0мельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. -Харьков: Вища школа, 1983. 156 с.

82. Ахмед Н., Pao K.P. Ортогональные преобразования при обработке цифровых сигналов. М.: Связь, 1980. 248 с.

83. Пугачев B.C. Теория случайных функций и ее применение к задачам автоматического управления. М.: Физматгиз., 1962. 884 с.

84. Пойда В.Н. Спектральный анализ в дискретных ортогональных базисах. Минск: Наука и техника, 1978. 136 с.

85. Малоземов В.П., Машарский С.М. Сравнительное изучение двух вейвлет-ных базисов. // Проблемы передачи информации, 2000, т.36, вып. 2, с. 2737

86. Малоземов В.Н., Машарский С.М. Хааровские спектры дискретных сверток. // Ж. вычисл. мат. и матем. физ., 2000, т.40, №6, с.954-960

87. Ковалев Э.И., Кучерявенко С.В., Федосов В.П. Вейвлет-анализ для обработки радиотехнических сигналов. Учебное пособие. Таганрог: ТРТУ, 2004. 60 с.

88. Омельченко В.А. Основы спектральной теории распознавания сигналов. Харьков: Вища школа, 1983.159 с.

89. Кашкин В.Б. Функциональные полиномы в задачах статистической радиотехники. Новосибирск: Наука. 1981. 145 с.

90. Крылов В.В., Херманис Э.Х. Модели систем обработки сигналов. Рига: Зинатне. 1981. 212 с.

91. Антонью А. Цифровые фильтры: анализ и проектирование М.: Радио и связь, 1983.-320 с.

92. ПеровА.И. Статистическая теория радиотехнических систем М.: Радиотехника, 2003. - 400 с.

93. Васильев Ф.П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1981. 100 с.

94. Уайз Г.Л. Замечания к вопросу о свойствах корреляционной функции процесса на выходе нелинейной системы // ТИИЭР. Т. 65. №9. 1977. С. 204-205.

95. СуетинП.К. Классические ортогональные многочлены. М.: Наука. 1976. 328 с.

96. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров) М.: Наука. 1973. 832 с.

97. Вайнштейн Л.А. Зубаков В.Д. Выделение сигналов на фоне случайных помех. М.: Сов. радио, 1960. 445с.

98. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. 334 с.

99. Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи. Т. 1,2. М.: Советское радио, 1962.

100. Давенпорт В.Б., Рут В.Л. Введение в теорию случайных сигналов и шумов. М.: Издательство иностранной литературы, 1960. 468 с.

101. Грибанов Ю.И., Мальков В.Л. Погрешности и параметры цифрового спектрально-корреляционного анализа. М.: Радио и связь, 1984. 160с.

102. Грибанов Ю.И., Мальков B.J1. Спектральный анализ случайных процессов. М.: Энергия, 1974. 240с.

103. Грибанов Ю.И., Мальков B.JL Выборочные оценки спектральных характеристик стационарных случайных процессов. М.: Энергия, 1978. 150с.

104. Уидроу Б., Стирнз С. Адаптивная обработка сигналов. М.: Радио и связь, 1989.440 с.

105. Березанский Ю.М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965. 800с.

106. Качмаж С., Штейнгауз Г. Теория ортогональных рядов. М.: ГИФМД, 1958. 507 с.

107. Колмогоров А.Н. , Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544с.

108. Хэррис Ф.Дж. Использование окон при гармоническом анализе методом дискретного преобразования Фурье // ТИИЭР, 1978. Т.66, №1. С.60-96.

109. Прудников А.П. и др. Интегралы и ряды. М.: Наука, 1981. 800 с.

110. Солодовников А.И., Спиваковский A.M. Основы теории и методы спектральной обработки информации. JL: 1986. 272 с.

111. Заездный A.M. Основы расчетов по статистической радиотехнике. М.: Связь, 1969. 448с.

112. Крошье Р., Рабинер JI. Интерполяция и децимация цифровых сигналов: методический обзор // ТИИЭР. 1981. Т69. №3. С.

113. Акимов П.С., и др. Сигналы и их обработка в информационных системах. М.: Радио и связь, 1994. 256 с.

114. Борисов Ю.П., Пенин П.И. Основы многоканальной передачи информации. М.: Связь, 1967. 436 с.

115. Макаров С.Б., Цикин И.А. Передача дискретных сообщений по радиоканалам с ограниченной полосой пропускания. М.: Радио и связь, 1988.304 с.

116. Денисенко А.Н., Стеценко O.A. Теоретическая радиотехника. 4.1. Детерминированные сигналы. М.: Издательство стандартов, 1993. 215 с.

117. Брюханов Ю.А., Кренев А.Н. Спектральная теория сигналов. Ярославль: ЯГУ, 1990. 103 с.

118. Даугавет И.К., Ланнэ A.A. Потенциальные оценки точности алгоритмов цифровой обработки сигналов в условиях внешних помех // Радиоэлектроника. 1991. №12. С.4-12.

119. Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Интерполяция сигналов с учетом реализуемости восстанавливающих фильтров // Методы и устройства обработки сигналов в радиотехнических системах. Рязань РГРТА, 2003 г. С. 1922

120. Бахурин С.А. Алгоритмы восстановления финитных во времени сигналов в телекоммуникациях // IX всероссийской научно-технической конференции студентов молодых ученных и специалистов НИТ-2004. Рязань: РГРТА, 2004. С.65

121. Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Уменьшение ошибок усечения при интерполяции функций в пространстве Соболева // Научная сессия МИФИ -2004. Сборник научных трудов, т. 12. С Л 43.

122. Бахурин С.А. Анализ практической реализации интерполирующих функций при восстановлении финитных во времени сигналов // Методы и устройства формирования и обработки сигналов в радиотехнических системах. Рязань 2004 г. С. 19-22.

123. Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Алгоритм синтеза вейвлет-базисов заданной длительности на основе интерполирующей функции // Доклады 7142й международной конференции «Цифровая обработка сигналов и ее применение» Москва, 2005. Т. 1. С. 98-101.

124. Бахурин С.А., Слесарев A.C. Быстрые алгоритмы корреляционной обработки сигналов спутниковых систем передачи информации // Тезисы доклада всероссийского научно-практического семинара «Сети и системы связи», Рязань, 2005. С. 278-279.

125. Бахурин С.А. Алгоритм синтеза вейвлет-базисов заданной длительности на основе интерполирующих функций // Вестник РГРТА выпуск 15 2005 г. С. 117-120.

126. Круглов A.B., Кириллов С.Н., Бахурин С.А. Слесарев A.C., Ватутин

127. B.А.Быстрые алгоритмы обработки фазоманипулированных сигналов системах передачи информации радиолиний управления и телеметрии космических аппаратов // Электромагнитные волны и электронные системы. № 10, 2005. С.57-65.

128. Круглов A.B., Кириллов С.Н., Дмитриев A.C., Ватутин В.А. Бахурин

129. C.А. Эффективная обработка сигналов радиолиний вправления и телеметрии на основе алгоритма Хургина-Яковлева // Электромагнитные волны и электронные системы. № 11-12, 2005. С.83-89.

130. Бахурин С.А., Цыплаков A.A. Синтез кодовых последовательностей с минимальным уровнем боковых лепестков на основе вейвлет-пакетного разложения // Материалы 31-й Межвузовской научно-практической конференции. Рязань, 2006. С. 155.

131. ГОСТ Р 50840-95 «Передача речи по трактам связи. Методы оценки качества, разборчивости, узнаваемости». М.: ГОСТ стандарт России.