автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Оптимальное управление экономическими системами с возрастной структурой

: ОД

ДПР ¡933

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЦЕНТР

На правах рукописи

Романко АвдреЙ Васильевич

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ЭКОНОМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ С ВОЗРАСТНОЙ СТРУКТУРОЙ

0b.I3.IB - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и • комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

дссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1992

Работа выполнена в Вычислительном центре Российской Академии наук.

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

А.В.Федосеев

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

и.С.Никольский,

кандидат физико-математических наук А.А.Левиков.

Ведущее предприятие: Всероссийский научно-исследовательский

институт экономики минерального сырья, информатики и геологической разведки.

Защита диссертации состоится "" П») л■■: и Ч 1993 г. в К-Ъ часов на заседании специализированного совета Д002.32.05 по присуждению ученой степени доктора физико-математических наук при Вычислительном центре РАН (117967, Москва, ул.Вавилова, 40, конференцзал).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Вычислительного центра РАН.

о ¡~

Автореферат разослан " ■-■> " '¡.-пи и-- 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, кандидат физико-математических наук

д^т, } Бушенков В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Математическая теория оптимального управления стала интенсивно развиваться со второй половины пятидесятых годов, когда был сформулирован принцип максимума Л.С.Понтрягина. Математический аппарат, развитый Л.С.Ионтря-гиным и его учениками, нашел одно из своих приложений в экономике, в частности, при решении динамических задач оптимального планирования использования различных ресурсов. В этом направлении работали Ф.Рамсей, Е.Фелпс, В.Л.Макаров, К.У.Кларк, А.В.Федосеев и многие другие. Рассматривавшиеся математические модели характеризовались высокой степенью агрегирования. Однако в последнее время в свет выходят более подробные математические описания, не позволяющие напрямую применять принцип максимума и требущие дополнительных усилий математиков. Такие задачи, требующие привлечения теории оптимизации систем, управляемых дифференциальными уравнениями с частными производи ными, ухе давно стали предметом внимания исследователей в теоретической физике, в экономике же они появились сравнительно недавно. Математическую теорию управления системами с распределенными параметрами развивали К.А.Лурье, А.Г.Бутковский, Ж.Лионе и другие.

Настоящая диссертация также относится к данному направлению. В ней рассматриваются динамические экономические системы, в которых экономические объекты дифференцированы по моменту создания. В сущности в рассматриваемых задачах оптимизируется распределение капиталовложений в объекты, разновремен-

но вводимые в эксплуатацию. Вследствие того, что математические модели достаточно дезагрегированы, ограничения на ресурсы (капиталовложения) представляют собой интегральные ограничения

В диссертации построена математическая модель иерархической системы объектов, каждый уровень которой характеризуется соответствующим числом независимых временных переменных. Эта модель имеет множество конкретных приложений: в планировании добычи нефти или газа, в сельскохозяйственном производстве многолетних культур, в планировании рыбной ловли и т.д. Эти примеры подробно рассмотрены в диссертации. Цель работы. Целью диссертации было

- построить математическую модель иерархической системы экономических объектов, дифференцированных по моменту создания;

- исследовать задачу оптимального управления этой иерархической системой, т.е. найти наиболее простой метод получения необходимых условий оптимальности;

- применить найденный метод получения необходимых условий оптимальности к произвольным системам с распределенными параметрами и, в частности, к линейным системам;

- исследовать множество конкретных задач оптимального управления вплоть до получения оптимальных управлений;

- провести ряд численных экспериментов для конкретных моделей планирования;

- построить диалоговую систему оптимального планирования добычи нефти на компьютере типа 1В1а РС АТ.

Методы исследования. Было найдено три метода получения необходимых условий оптимальности: метод непосредственного получения принципа Лагранжа, предложенный автором, метод сведения к конечномерной экстремальной задаче, метод сведения задачи к гладко-выпуклой экстремальной задаче. Задачи оптимального управления решались двумя первыми методами. В качестве численного метода использовался метод последовательных приближений Крылова-Черноусько с улучшением сходимости. Вычислительные эксперименты проводились на персональных компьютерах типа 1ВМ РС АТ и на ЭВМ БЭМС-6. Программы налисаны на языках программирования Раъьь£ и Алгол.

Научная новизна. Построена иерархическая модель системы экономических объектов, не имеющая аналогов в литературе. Для исследования соответствующей задачи оптимального управления был применен новый метод - метод непосредственного получения принципа Лагранжа. Этот метод является наиболее простым из известных автору методов. Он был впервые применен для решения задачи оптимизации произвольных систем с распределенными параметрами и, в частности, линейных систем.

Реализация и ¿практическая ценность работы. В диссертации решен ряд конкретных задач оптимального управления, которые представляют самостоятельный теоретический и практический интерес и могут быть использованы в долгосрочном планировании. На основе задачи планирования добычи нефти на компьютере построена диалоговая система оптимального планирования добычи нефти, с которой может работать пользователь, не владеющий программированием. Аналогичные системы могут быть созданы и для ос-

тальных задач.

Апробация работы. Содержание различных разделов диссертации докладывалось на семинаре отдела катематического моделирования экономических систем ВЦ РАН (Москва, 1987 и 1992 гх на семинаре кафедры Оптимального управления ВМК МГУ (Москва,. 1990 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 3 работы, и 2 работы - в печати, из них 3 работы - в соавторстве.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 30 наименований, Объем диссертации составляет 116 страниц машинописного текста, включая 25 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении отмечается актуальность проделанной работы. Приводится словесное описание модели иерархической системы с возрастной структурой. Обсуждается специфика поставленных задач - задач управления системами с распределенными параметрами и необходимость решения этих задач относительно простыми методами. Здесь же дается краткая аннотация всех пяти глав диссертации.

Глава I "Постановка задачи Понтрягина для экономических систем и некоторые подходы к ее решению" состоит из четырех параграфов и посвящена рассмотрению трех различных подходов к решению задачи Понтрягина с интегральными ограничениями.

В § 1.1 показана взаимосвязь трех традиционных экономических критериев управления: критерия максимизации выпуска продукции, критерия максимизации прибыли и критерия минимизации затрат при условии выполнения плана.

В § 1.2 задача Понтрягина решается предложенным автором методом непосредственного получения принципа Лагранжа.

В § 1.3 к задаче Понтрягина применяется метод сведения к конечномерной экстремальной задаче.

В § 1.4 к задаче Понтрягина применяется метод сведения к гладко-выпуклой экстремальной задаче.

Глава П "Оптимальное управление системами с распределенными параметрами" состоит из четырех параграфов и посвящена применению метода непосредственного получения принципа лагран-жа к произвольным и, в частности, линейным задачам управления системами с распределенными параметрами.

3 § 2.1 методом непосредственного получения принципа ¿агранжа получены необходимые условия оптимальности для произвольных систем с распределенными параметрами, записанных в специальной форме системы Щаффа:

г

где так называемое объемное управление определено и

кусочно-непрерывно в области & , граничное управление определено и кусочно-недрерывно на части Г границы облас-' ти С , а ^ - параметрическая переменная.

При некоторых условиях гладкости задачи доказано утверждение о существовании таких нетривиальных множителей Лагранжа Л С - О, г*7 , «то выполнены

а) сопряженные уравнения для функций

где ^Х ^-ур-А^- >

б) условия трансверсальности

в) условие

л

дН

-о

г^ пришипы максимума по и. и Тг

НС (Ч (х,у)) - Упах т^ц) /

1(^(0) - ^ ¿С- ,Тг) , ъеЛГ

В § 2.2 тем же методом получены необходимые условия оптимальности для задач с системами линейных уравнений с частными производными первого порядка

Сг _

6

м(х,%)6 V

где.

При некоторых условиях гладкости доказано утверждение о существовании таких нетривиальных множителей Лагранжа ^¿-^О }

ОI Гп и функиий , что выполнены

а) сопряженное уравнение *

ОН

где '

б) условия трансверсальности

в) принцип максимума ^

И (•, <«V*i ч)) = rnasx к (■ , f ) •

В § 2.3 проведено сравнение результатов двух предыдущих параграфов. Выяснено, что использование различных форм записи систем линейных уравнений приводит к одинаковому результату.

В § 2.4 результат § 2.2 используется для решения конкретной задачи - известной задачи планирования вырубки леса.

Глава Iii "Необходимые условия оптимальности для задач планирования в пространстве и на плоскости" состоит из трех параграфов и посвящена исследованию задачи управления иерархической системой экономических объектов, дифференцированных по моменту создания.

В § 3.1 приведено описание модели иерархической системы, для которой ставится общая задача планирования в пространстве

1 в. } __

Х< (Ь, , , = , , К; , - Л) >

г® &4 = {сч-.Л-)|от\-

В § 3.2 методом непосредственного получения принципа Лагранка получены необходимые условия оптимальности для этой задачи.

При некоторых условиях гладкости доказано утверждение о существовании таких нетривиальных множителей Лагранжа Х^-0 ,

и функций р^> ( , <]( (Х^... , что вы-

полнены

а) сопряженные уравнения

'Ыс ' т г

РДв + 5 >

К- ^ - Л И- * - ^ Л ^ '

о -х0 ^ О й) условия трансверсальности

«А,- А, /г) = ° , - = /*• << >)

р1(т)=? о7 %(о)-р/о),

в) принципы максимума по ^ _

с е С£

В § 3.3 общая задача планирования решается методом сведения к конечномерной экстремальной задаче. Результаты решения задачи разнышгпо сути совпадают.

Глава 1У "Конкретные задачи планирования на плоскости"

о

состоит из веста параграфов и посвящена исследованию прикладных задач планирования.

В § 4.1 рассматривается двухуровневая задача планирования добычи нефти или газа: _ Л

Т * 7 ¿т

^Ь^ъ^-с-^Ъе с/г -г и.сх

о^ о ± т °

$сЫт>)ьъ<1х: -+$<!{ггСг))ъ<!-г £ к ,

о о _ о _

0 ь ^ « , О ~ Ъ-Аг) ^ "2- ,

с/"Г

■"д ±

При некоторых условиях гладкости из результатов § 3.3 следует утверждение о существовании таких нетривиальных множителей Лагранжа Л©-^0 ; Л и функций г). Рг(+,т) • • . что выполнены сЛ солр яренные. урл&мЕ-Иия *

где -г

- II -

б) условия трансверсальности

в) условий дополняющей нехесткости

о О о

г) принцип максимума по и и

А ^ / \

С в,т))= И ( ,и) ,

<5 й о £ ¿Г

Уравнения, удовлетворяющие приведенным принципам максимума, таковы ^ и П.г) гт й^н Л с^К е - Д ^^ * Л } •

В § 4.2 описаны результаты численных экспериментов по построению оптимального управления для задачи из § 4.1.

В § 4.3 рассматривается двухуровневая задача планирования производства многолетних сельскохозяйственных культур:

- (сг а-т)^*)) £ Х- -

_ 6- _

о ^ И , о $ М -й £

- 12 -

При некоторых условиях гладкости из результатов § 3.3 следует утверждение о существовании таких нетривиальных множителей Лаграяжа Л^О , ^ > О и функций . что вНполнены

а) сопряженное уравнение

ж- - ,

ъТ ~ ТаГ ' ^

где

б) условия трансверсальности

> ОС*) ,

в) условия дополняющей нежесткости

Л- К) = 0 ,

&

г) принципы максимума по ^ и ^

Н(- у >7 = // '

где = j ^ ^

-е-

-/с-

+ в«* ■

Искомые управления таковы ^

.¿у х* г) ¿е _ 7

л

В предположении, что функция ■£(*■) задана, при известном решении задачи при каждом фиксированном строится искомое управление. Область Сг при атом распадается на две части: и Сг^ . В области управление больше нуля, а в области оно равно нули.

В § 4.4 рассматривается задача планирования добычи нефти или газа с одним управлением т 1

си)е с/г —* Мях

т ° * 0

^л^сцЛг ^ К

° о С < < и (г)

= - ; ^г(т,т) = <(т) .

Согласно результатах главы Ш, при некоторых условиях гладкости имеет место утверждение о существовании таких нетривиальных множителей Лагранжа И и функций рг.^*) . . выполнены

а) сопряженные уравнения

-Л"

где Н ОМ.^Ч2»" V*" * V* + ? **'

б) условия трансверсальности

- 14 -

в) условие дополняющей нежвсткости

А-(]4Ь$ си с/г -к)=о, о о

г) принцип максимума „

у = Мах И (-,и) ,

О < и и М

При известном решении задачи для каждого фиксированного т строится искомое управление. При этом уобдасть Сг распадается на две части: в области управление равно максимальному, а в области ^ оно равно нуле. Приведена экономическая интерпретация множителя Лагранжа как цены финансовых средств.

В § 4.5 рассматривается задача планирования разработки газоконденсатных месторождений.

В § 4.6. рассматривается задача планирования рыболовства: _ ^

О о

С — ь - ^ Ст), т ±

^ К,

Учитывая результаты главы Ш, получено утверждение о существовании таких нетривиальных множителей Лагранжа Л>0 и функций р^,'*) , у {г) , что выполнены а) сопряженное уравнение л

- 15 - _с/Ч

где -Ас.«-^^/3-**!'

б) условия трансверсальности

рСтгх?) - О , =

в) условия дополняющей нежесткости

о °

г) принцип максимума Л

тс* нг,ч)

с ^ и (т)

Показано, что область независимых переменных распадается на две части: в области (т^ управление максимально, а в области оно равно нулю.

В главе У приведена одна из модификаций метода последовательных приближений, с помощью которого построено численное решение задачи из § 4.4 с использованием тестовых данных. Расчеты проводились как на ЭВМ БЭСМ-6, так и на персональном компьютере типа 1ВМ РС АТ. На последнем создан комплекс программ для оптимального управления добычей нефти, в которой управление расчетами осуществляется с помощью несложного меню, а также посредством задания параметров задачи.

В результате сравнения экспертного варианта управления с вариантом, полученным в результате решения оптимизационной задачи, выигрыш последнего составил 1,3$ от прибыли, или 160 млн.рублей в старых ценах за 30 лет.

Основное содержание диссертации отражено в работах:

1. Романко A.B. Об одной задаче оптимального управления в планировании добыта нефти или газа // Математическое моделирование и дискретная оптимизация.- М.: ВЦ АН СССР, 1989.

С.61-71.

2. Романко A.B., Федосеев A.B. Выбор рациональной длительности периода планирования. 11.: ВЦ АН СССР, 1989. 29 с.

3. Федосеев A.B., Романко A.B. Задачи управления системами с возрастной структурой // Тезисы докладов межгосударственной научной конференции "Экстремальные задачи и их приложения", Нижний Новгород, 1992. С.116.

A.B.Романко

Оптимальное управление экономическими

системами с возрастной структурой

Подписано в печать 08.02.93. Формат бумаги 60x84 I/I6 Тираж 100 акз. Заказ 6. Бесплатно.

Отпечатано на ротапринтах в ВЦ РАН II7967, Москва, ул.Вавилова, 40.