автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование и управление процессом роста и развития морских гидробионтов

11-1 1131

ШИЛОВА НАТАЛЬЯ АЛЕКСАНДРОВНА

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И УПРАВЛЕНИЕ ПРОЦЕССОМ РОСТА И РАЗВИТИЯ МОРСКИХ ГИДРОБИОНТОВ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 519.85 + 519.6 : 574.5

А

Тверь-2010

Работа выполнена на кафедре компьютерной безопасности и математических методов управления Тверского государственного университета

Научный руководитель доктор физико-математических наук,

профессор

Официальные оппоненты:

Андреева Елена Аркадьевна

доктор технических наук, профессор Воробьёв Владимир Анатольевич

доктор физико-математических наук, доцент

Малевинский Михаил Фёдорович

Ведущая организация - Вычислительный Центр им. АЛ. Дородницына Российской Академии Наук

Защита состоится в /7 часов на заседании

оо

Ш Ц.

диссертационного совета Д 212.263.04 в Тверском государственном университете по адресу: 170000, Тверь, Садовый переулок, 35.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Тверского государственного университета по адресу 170000, Тверь, ул. Володарского, 44а.

Текст автореферата и объявление о защите диссертации размещены на сайте Тверского государственного университета http://imiversity.tversu.ru/aspirants/abstracts/

Автореферат разослан <Д^>> деХО^Л 20 Ю г.

Учёный секретарь диссертационного совета доктор физико-математических наук, доцент С.М. Дудаков

С.М.,

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность исследования

В настоящее время в связи с бурным развитием науки, техники и экономики большое внимание уделяется развитию математической теории оптимального управления, так как она сочетает в себе фундаментальные математические разработки с актуальными прикладными задачами. Одной из таких актуальных задач является сохранение и восстановление водных биологических ресурсов, к которым относятся морские водоросли -макрофиты. Широкое использование продукции из водорослей в различных отраслях промышленности повлекло за собой значительное увеличение промысловой нагрузки на существующие запасы. Математические модели сохранения и использования природных ресурсов описаны в ряде работ российских и зарубежных авторов. В диссертационной работе рассматривается модель управления процессом роста и развития морских водорослей - макрофитов. Модель учитывает широкий спектр абиотических и биотических факторов, факторы естественной смертности и рождаемости, различные виды трофических взаимосвязей и другие параметры. Управление процессом роста и развития биомассы водорослей осуществляется при помощи уровня освещённости и допустимого объема добычи. Целью управления является получение максимальной прибыли, а так же сохранение популяции в конечный момент времени. В диссертации рассмотрена непрерывная и дискретная модель, учитывающая весовые характеристики исследуемого объекта, вследствие чего вся популяция водорослей разбивается на п возрастных классов, отличающихся друг от друга весом или размером. В построенных ранее моделях, предложенных Н.С. Абросовым1, А.Я. Болсуновским2, Ю.А. Домбровским3, в основном рассматривались популяции микроводорослей, без учёта комплексного воздействия экологических факторов и различных видов функции трофности. Также следует отметить, что авторы приведённых выше моделей не предлагали методик для определения коэффициентов моделей. Не проводились исследования условий устойчивости системы, допустимых значений параметров, характерных режимов системы, наличия особых состояний, не были учтены возрастные особенности.

В диссертации впервые исследуется управляемая модель ростом биомассы водорослей, также впервые рассматривается вопрос, связанный с экономической эффективностью марикультуры водорослей.

1 Абросов Н.С., Боголюбов A.A. Экологические и генетические закономерности сосуществования и коэволюции видов. Новосибирск: Наука, 1988-327 с.

2 Болсуновский А.Я. Эколого-биофизические механизмы доминирования микроводорослей в культуре и водоёме. Автореферат диссертации на соискание учёной степени доктора биологических наук. Красноярск, 1999-48 с.

3 Домбровский Ю.А., Ильичёв В.Г., Селютин В.В., Сурков Ф.А. Теоретические и прикладные аспекты моделирования первичной продукции водоёмов. Ростов на Дону: Изд-во Ростовского ун-та, 1990 - 176 с.

Модель управления процессом роста и развития биомассы водорослей позволяет максимизировать прибыль от продажи сырья из водорослей и сохранить для дальнейшего развития уровень популяции. Поэтому, полученные результаты диссертационной работы могут быть использованы водорослевыми комбинатами и индивидуальными предпринимателям на конкретных промысловых площадках и в качестве экспертной оценки с учётом прогнозирования допустимых объёмов добычи в исследовательских институтах.

Целью работы является разработка и анализ непрерывной и дискретной модели управления процессом роста и развития биомассы водорослей с учётом экологических факторов, конкуренции и естественной смертности.

Для достижения этой цели в работе решаются актуальные научные задачи, состоящие в анализе построенной модели методами математической теории оптимального управления, разрабатываются численные методы построения оптимального решения.

Методы исследования. В работе при решении поставленных задач применялись необходимые условия оптимальности, численные и аналитические методы решения системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих динамику изменения биомассы водорослей, для расчёта параметров модели использовались методы экономико-математического анализа.

При разработке программного комплекса, проведении вычислительных экспериментов и расчёта параметров модели использовались следующие программные продукты: MS Excel, Borland Delphi Enterprise 7.0.

Положения, выносимые на защиту:

1. Разработка математической модели, описывающей процесс роста и развития биомассы водорослей в однородном сообществе, состоящем из п возрастных групп, с учётом влияния экологических факторов и внутривидовой конкуренции за свет и территорию.

2. Разработка методики оценки параметров модели.

3. Разработка вычислительных алгоритмов и численных методов решения задачи оптимального управления ростом биомассы водорослей, построенных на основе применения необходимых принципов оптимальности.

4. Обоснование целесообразности применения теории оптимального управления к задаче оптимального управления процесса роста и развития морских гидробионтов с помощью уровня освещённости и общим допустимым объёмом изъятия с целью получения максимальной прибыли от продажи добытого водорослевого сырья и сохранения популяции.

5.Разработка автоматизированной системы управления, хранения и обработки данных, полученных при мониторинге естественных зарослей макрофитов, включающей в себя модуль для расчёта основных параметров модели и анализа экологических факторов, а также расчётный блок,

обеспечивающий поддержку принятия решений по управлению процессами роста и развития ламинариевых водорослей.

Научная новизна и теоретическая значимость

В диссертационной работе впервые разработана общая «-мерная модель роста биомассы водорослей, на её основе построены различные управляемые модели (управление путём изменения уровня освещённости, общего допустимого объёма добычи, допустимого объёма добычи водорослей у'-ой возрастной группы, доли допустимого объёма добычи водорослей у'-ой возрастной группы и комплексное управление путём изменения освещённости и допустимого объёма добычи водорослей у'-ой возрастной группы). Для динамической модели определено положение устойчивого равновесия. Предложена методика нахождения коэффициентов и параметров модели роста биомассы водорослей. Построены численные схемы решения ■задачи оптимального управления ростом биомассы водорослей различными методами.

Практическая значимость

Практическая значимость разработанной модели и полученных в диссертации результатов моделирования заключается в том, что данная модель позволяет проводить исследования как неуправляемых, так и управляемых моделей, описывающих процесс роста биомассы водорослей. Разработанная модель может быть использована также для решения конкретных практических задач: прогнозирование роста биомассы водорослей при определённых экологических факторах, определение рекомендуемого допустимого объёма добычи водорослей, рассмотрение вопросов по целесообразности внедрения осветительной установки в марикультуре водорослей, прогнозирование денежных затрат, связанных с использованием осветительных установок и добычей водорослей. Полученные в работе схемы численных методов могут быть использованы в учебных заведениях как методическое пособие для решения задач оптимального управления, статистической обработки данных, расчёту параметров модели с целью её дальнейшего совершенствования.

Достоверность и обоснованность

Достоверность и обоснованность полученных результатов базируется на использовании апробированных численных и аналитических методов исследования; применении физически обоснованных исходных данных, сравнении результатов с экспериментальными данными и сравнении результатов численных расчётов с известными в частных случаях точными решениями.

Апробация работы

Основные результаты диссертации и отдельные её положения были представлены на научных семинарах кафедры компьютерной безопасности и математических методов управления ТвГУ (2006-2010 гг.), на научных семинарах кафедры прикладной математики ПГУ им. М.В. Ломоносова

(2006-2010 гг.), на Всероссийской научной конференции, посвященной Международному Полярному году «Исследование Российской Арктики: прошлое, настоящее, будущее» (Архангельский центр Русского Географического общества РАН, АОНБ им. H.A. Добролюбова, АОКМ, 1617 декабря 2008 г.), на IV Всероссийской научной конференции «Проблемы мониторинга природной среды Соловецкого Архипелага» (ИЭПС УрО РАН, ПГУ им. М.В. Ломоносова, Северный филиал ПИНРО, НУЧ «Природные ресурсы Севера», 8-11 декабря 2009 г.), на международной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика» (ПГУ им. М.В.Ломоносова, Архангельск, 1-5 февраля 2010 г.).

Публикации автора по теме диссертации

По материалам диссертации опубликовано 6 работ, среди них 1 - в изданиях, рекомендованных ВАК Минобрнауки России.

Структура и объём работы

Диссертация состоит из введения, четырёх глав основного текста, содержащих 17 параграфов, заключения, списка использованной литературы и изложена на 130 страницах. Имеются 4 приложения. В диссертации 20 рисунков, отражающих результаты численного моделирования. Список литературы включает 100 наименований, из них 95 отечественных, 5 зарубежных.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении представлена актуальность и общая характеристика работы, поставлены цели и задачи показана научная новизна и практическая значимость проведённых исследований. Представлен обзор основных моделей, описывающих процесс роста и развития морских гидробионтов, указаны их достоинства и недостатки.

В первой главе рассматривается непрерывная «-мерная модель роста биомассы морских водорослей, приводится её обоснование, описывается физический смысл коэффициентов и методика их вычисления. Также был проведён анализ полученных решений неуправляемой модели, исследована их устойчивость, выявлено влияние параметров модели на поведение динамических переменных.

В качестве базовой модели, в диссертационной работе рассматривалась обобщённая модель типа «хищник-жертва» с учётом внутривидовой конкуренции и возрастной структуры, которая имеет вид:

. Ш V >=о ) (1)

JD

— = R{eüa0F(B0) +... + ena„F(Bn)~ м)

где В) - численность жертвы г-го класса; Я - численность хищников; Р{В1) -трофическая функция, которая отражает количество жертв /-го класса, потребляемых хищником за единицу времени; ц - коэффициент естественной смертности хищника; е1 - коэффициент преобразования, с которым энергия жертвы /-го класса переходит в энергию хищника; Т1 - длина ¿-го класса популяции жертвы; а, - норма потребления жертвы /-го класса хищником, О < а1 < 1; Д, - коэффициент конкуренции между /-ым и у -ым возрастными классами жертвы.

На основе модели (1), нами была построена модель развития популяции водорослей, состоящей из п возрастных групп, с учётом внутривидовой конкуренции и комплексного влияния экологических факторов. Модель развития популяции водорослей строилась исходя из следующих допущений:

1) Группа водорослей развивается в стационарной, ограниченной водной системе, имеющей одинаковые гидрологические и гидрохимические условия.

2) Рассматриваемая популяция состоит из различных возрастных групп и равномерно распределена по занимаемой площади.

3) Количество водорослей в каждой возрастной группе зависит только от времени.

4) Появление молодых растений обусловлено количеством генеративных растений старшего возраста.

5) По мере взросления водоросли из одной возрастной группы переходят в следующую, более старшую возрастную группу с учётом естественной смертности.

6) Способность молодых растений к развитию зависит от плотности популяции старших возрастных групп.

7) Рост водорослей лимитирован вместимостью среды.

В диссертационной работе рассматривается однородное сообщество, состоящее из п возрастных групп. Обозначим через ху(/) - биомассу водорослей у'-ой возрастной группы в момент времени через ¿(0 -концентрацию биогенных веществ в среде, лимитирующих рост макрофитов в момент времени и м(0 = Го -¿"соб^я-г/365)4 - максимальная удельная скорость роста биомассы водорослей, у0,в - параметры среды, отвечающие за изменение максимальной удельной скорости роста в зависимости от температурных показателей, коэффициент |лj - естественная смертность водорослей, О - коэффициент, отражающий гидродинамический режим рассматриваемой водной системы, коэффициент $п - первоначальная концентрация биогенных веществ в среде, до начала в ней биологических

4 Steffen E, Malchow H and Medvinsky A.B., 1997 Effect of seasonal perturbations on a model plankton community; Environ. Model. Assess. 2 43 - 48

процессов, связанных с жизнедеятельностью водорослей, коэффициент t]j отражает прирост биомассы водорослей j-го возрастного класса на единицу потреблённых биогенных веществ и является важнейшей характеристикой ростовых процессов. Положительные коэффициенты а„ ам, ... а„ отражают различную степень влияния старших возрастных групп, начиная с возраста /, на рост и развитие первой возрастной группы, и - уровень освещённости. Функция <p(s{t)) - функция трофности, зависящая от характеристик экологической системы по её биологической продуктивности, обусловленная концентрацией лимитирующих биогенных веществ. Функция Т (s(t)) - интенсивность перехода j-oй возрастной группы в (/+1)-ю. Данная функция характеризует интенсивность перехода водорослей из младшей возрастной группы в старшую.

Принимая во внимание выдвинутые гипотезы и обозначения, нами разработана модель одновидового сообщества с учётом возрастных особенностей популяции, которая имеет следующий вид:

л, (/) - (0^1 - Z акхк {t)!xm - (/) - тх Шх{ (0

_ (/) = тн Шхн (/) - MjXj (0 - Tj {s(t))Xj ((), j = (2)

A„(/) = r„4(i(/)).Vl( t)-fi„x,(t)

i(0 = D(s„ - s(0) - М0<рШЁ xt {t)hk

4=1

где = y0 - 0cos(2;r • t/365),<p(s{t))~ функция трофности ' (3)

начальные условия: хДО) = х°, i(0) = j°, j = l,n, (4)

Построенная модель динамики развития популяции ламинарии сахаристой позволила рассмотреть структуру решений модели в зависимости от возрастного состава популяции и начальных данных. Изучено влияние параметров модели на поведение динамических переменных (рис. 1).

естественной смертности первой возрастной группы а) ^ = о,05, б) ^ = 0,0001.

Приведена методика расчётов параметров модели с применением прикладных программ MS Excel на основе статистического анализа многолетних гидрологических и биологических (1983 - 2009 гг.) данных, определены допустимые диапазоны изменения каждого параметра модели. Для оперативного доступа к данным и проведения статистических расчётов разработана автоматизированная система обработки и анализа имеющейся информации, которая обеспечивает повышение эффективности производимой работы, сокращение временных и физических затрат на обработку и анализ статистических данных. Информационная система (рис. 2) включает в себя следующие функциональные подсистемы:

1)функциональную подсистему лаборатории прибрежных исследований, где в качестве объекта изучения выступают промысловые виды водорослей;

2) функциональную подсистему лаборатории промысловой океанографии сектора гидрологии;

3) функциональную подсистему лаборатории промысловой океанографии сектора гидрохимии.

Каждый уровень предусматривает свой вариант сбора необходимых данных и отображение данных в табличной, графической и других форматах. Для информационного обмена между компонентами системы используются локальные вычислительные системы. Компоненты информационной системы интегрированы с действующим программным обеспечением (Microsoft Office) для предоставления отчетности, так же предусмотрено разграничение прав доступа к данным (администратор баз данных, пользователи).

я7' oi пг-гтттт.

f $. ;■•'-• V :

Рис.2 Автоматизированная система управления данными «БиоГИД»

Исследована устойчивость решений неуправляемой модели для динамической системы в случае п = \,п = 4. Для одномерного случая (л = 1) положение равновесия определено аналитически х' = хт г/кв.м.,

= 0,5(^(х,пм/п£> + к5 -¿„У --к3 + ) мг/куб.м. и является

асимптотически устойчивым (рис. 3), причём х' я 3000 г/кв.м., «0,0017 г/куб.м., где к3 - константа полунасыщения по биогенному элементу, ¡1 - коэффициент смертности, ц - прирост биомассы водорослей на единицу потреблённого биогенного элемента.

х(1)=2992 *(1)=ЭООВ «М=3010

ш/куб.ы

5»

Э.0Е-0Э 2.5Е-0Э 2.0Е-0Э 1.5Е-0Э 1.0Е03 5.0Е-04

0 30 60 90 120 150 180 210 270 300 330 360 -s(t)

-8(0)-т.равк-я -s(l)=0 002E

-s(t) -s(t)=D.0011 .......в(1)=0.0014

-sJO-т.равк-я .......s(t)=0.0020 ......--s(1)=0.0023

b)

Рис.3 Зависимость решений одномерной модели от начальных данных (a) x(t), b) s(t))

Положение равновесия (x^xjjxjjx^s'), для четырехмерной модели (л = 4) также является асимптотически устойчивым по Ляпунову и имеет следующий вид:

= Я"1 (l - а ■ (ks + s* )/s') х2 = л2л~] (i-A-(ks+ s' )/s' } x'3 = /ЦГ1 (l - а ■ (ks + s' )/s');

x; = A, A"1(i~a-(ks+s')/s'} s'= 0,5^(c + ks-l)2+4lks ~(c + ks~Z)]j

где кs - константа полунасыщения, л2 = tj(^2 +т2), л3 = tj2j{^2 + т2\цг +Г3), К = т\тгтг!и* {MI+TIXMI +ТЪ)> Я = *;'[а2А2+а3Я3+а4А4], А = +Г,)//ж, в = 77Г1 + kv'j + А3773-1 + А^;1, С = ^в/ли, l = а- с + sn.

Стационарные точки, рассчитанные в программе MS Excel и соответствующие следующим параметрам модели

/4=0,002 Т{ =0,001 /7, =12000 а2=\ £,.=0,018 и = 2 ц2 = 0,001 Т2= 0,001 = 17000 а3=1 £> = 0,08 Хт = 6000 /^3 = 0,00001 Г3= 0,001 Т7з=17000 а4 = 1 /¿„,= 0,055 J„ =0,150 М4 = 0,00001 т/4 =18000

имеют координаты:

х; =5,4505; Х; =4,9550; х; =4,9500; xj =4950,0612 s' =0,3056. В работе показана асимптотическая устойчивость найденного положения равновесия.

Во второй главе рассматривается управляемая модель процессом роста биомассы водорослей в однородном сообществе на заданном временном интервале [О,Г]. В описанную детерминированную систему (2),(3)-(4) введены параметры управления. В качестве управления рассматриваются функция, характеризующая изменение уровня освещённости u(t) и функции, характеризующие допустимый объём добычи vy(/), j = l,n, которое соответствует выборочному отбору водорослей с плантаций. При данных условиях, динамические уравнения, описывающие скорость изменения биомассы водорослей имеют следующий вид:

¿, (0 = M(.t)<p{s(t)h (oj^l - ¿а* • ** (0/*и jM(0 - Mi*i (0 - Tt {sioh(/)

Xj(0 = тн Шхн (/) - MjXj(/) - т,(s(t))Xj (0, j = TjT\

• ■ (0 = г,., ^(OK-, (0 - ^(0 - ^ (j(0K (0 - vy(0, у = (/)=г,., kok-, (/) - мл (Г) - v„ (/)

i(0 = D(S„ - S{t)) - (0/»7,

где u(t) - функция управления, характеризующая изменение уровня освещённости; v;(0 - допустимый объём добычи водорослей j-oü возрастной группы в момент времени /; ¿r(/) = у0 -0cos(2;r-r/365) - удельная скорость роста в момент времени t; <p(s(r)) - функция трофности.

Начальные условия: (0) = х), ¿-(0) = 5°, j = 1, п, (6)

Ограничение на управление: 0 < u(t) < Um, 0 < v, (г) < Vf, j = l,n, (7) где Um - максимально возможный уровень освещённости; V" - максимально возможный допустимый объём добычи водорослей j - ой возрастной группы в момент времени t.

Целью управления является максимизация прибыли от продажи сырья из водорослей и сохранение ресурса в конечный момент времени. Целевой функционал выбирается в виде:

jm=| ¿^(оКм - +¿wn suP, (8)

о \j-i И ) j-1

где pj(xj(t)\j = l,n - функция стоимости продаваемого сырья из водорослей,

ßj(vj(t)\j = lzn - стоимость технологии добычи водорослей, y(u(t)) -

стоимость затрат на освещение, kj,j = \,n - стоимость сырья из водорослей в

конечный момент времени Т.

В работе также рассмотрены другие типы управления:

• x/OVjiO - Доля допустимого объёма добычи водорослей у - ой возрастной группы, j = C,n, которая соответствует добыче водорослей на искусственных плантациях;

• Л/(/), j = T7n - общий допустимый объём добычи водорослей, который соответствует добыче водорослей на естественных промысловых полигонах.

Теорема: Пусть (ЗсД0>?(0,"(0>^(0)» t локально-оптимальный

прогресс в задаче (8),(5)-(7), тогда:

1) Оптимальное управление удовлетворяет принципу максимума Понтрягина:

-Я0И"(')) + р, иЫ'ЫП0)-v, (0(1 -akxk (t)/xm )й(0 = max [- Лау(и)+ р, (t)p(t)<p{s(t)X (0(l -akxk (t)jxm И

ninSfy"

max ЫрДЭДК-/?^,))-^,) У = £"-

Oiv

2) сопряжённые функции p{t), pt(t), j - i,n, являются решением системы уравнений:

Р\(0 = ~Р\-Zак -хк{>)!хт\(j(/))j-Р2т(*('))+p{tWp{t)<p{s{t)\ />,(/) = Р,(!)(и, + T,(s(t)))-PjJt)T,(s(t))+ рОп'/мСШО), у = 27ГТ,

Pi (0 = ('))+— М/)4К0)«(0Л (0-V, (0 + Р, it)(p] + Tj (*(/))) - pJ+l (t)T Ш + ^ р{1)<рШ,

oxj xm i

j = e,n-\,

рло=-^ko)+—(/)*, (/)+pn(t)p„+—

OXn xm 7]n

Pi') = -P,(t)

dT, ds

дТ, , ^

- Pn (0 (i(/)K-. (') + Dp«) + P(')M(t)<P, £ <Ps (i(0) = ? (j(/))

ds rjj ds

3) условия трансверсальности: p(T) = 0, р} (/) = к , j = \ji.

Во второй главе работе для поставленной задачи также сформулирован принцип максимума в интегральной форме для задачи с фиксированным моментом времени, принцип максимума для задачи с нефиксированным моментом времени, принцип максимума для задачи с фазовыми ограничениями.

В работе доказано существование особых режимов управления. В частности для задачи, в случае если

п = 1, Pj(xj(t))= р = const, y{u(tj)=yu, у-const, к( = к, тогда условие Келли имеет вид:

где £(*(/))= x(r)(l -x(t)jxm), sMt))=~{m\

ох os

A (O = -P-Pi (tMO<p{s(t))Zx {x(t))u(t) + Tj-lp2 {t)M(t)<p{s(t)l Рг (O = -Pi (t)M(.t)<Ps (*(0Ж*(0)и(0 + Рг (t)(D + (xiO/vHOPs Ш)-

В третьей главе решается дискретная задача оптимального управления ростом биомассы водорослей с помощью изменения освещённости и' и допустимого объёма добычи v'j водорослей у'-ой возрастной группы. В качестве функции управления добычей будем рассматривать следующие функции:

1) x'jv'j - доля допустимого объёма добычи водорослей у- ой возрастной группы в / - ый момент времени;

2) v'j - допустимый объём добычи водорослей j - ой возрастной группы •в i - ый момент времени;

3) Я/ - общий допустимый объём добычи водорослей в i - ый момент времени.

Обозначим через x'j - биомассу водорослей у'-ой возрастной группы на /ом шаге, через s' - концентрацию биогенных веществ в среде, лимитирующих рост макрофитов на /-ом шаге, х'*\ - на z+7-ом шаге. Функция максимальной удельной скорости роста биомассы водорослей имеет вид // =у0 функция Tj(s') - функция интенсивности перехода

у'-ой возрастной группы в (/+1)-ю на /-ом шаге. В качестве функции трофности рассматривались следующие зависимости: зависимость Моно <p(s')=s'/(ks + .$'), сигмоидальная зависимость (У)2/[а:2+(j')2] и

зависимость Гаусса <p{s')=-JV/\jV + где Ks - константа полунасыщения по биогенному элементу. Остальные обозначения параметров модели те же, что и для непрерывной модели.

В общем виде, дискретная задача, аппроксимирующая непрерывную задачу оптимального управления, будет иметь вид:

ХТ =x'i + -Mjx'j-Tjis^'j^, j = 2.Í-1_

x;+1 -х'п +(t„-1{s')x'i,_¡ -/лпх'п - v'n)aí sm =s'-

Начальные условия: x), 5o, j-\,n. (10)

Ограничение на управление: 0 < и' < Um, 0 < v^ < V", j = 1, n, i = 0,q-\, (11)

где ит - максимально возможный уровень освещённости, V" максимальный допустимый объём добычи водорослей у - ой возрастной группы.

Цель управления состоит в получении максимальной прибыли от продажи сырья из водорослей и сохранении ресурса:

'=0 \ 1=1 ./=/ ) 1=\ где - относительная стоимость сырья из водорослей у-он возрастной

группы, Р^)) - стоимость технологии добычи водорослей, у(и') - стоимость затрат на освещение, - относительная стоимость водорослей в конечный момент времени Т, у = /,л. Заметим что множества достижимости в задаче (12), (9)-(11) являются выпуклыми, поэтому справедлива теорема.

Теорема: Пусть (х), я', й', ^), / = 0,<7-1 локально-оптимальный процесс в задаче (12), (9)-(11), Тогда оптимальное управление удовлетворяет следующим условиям:

4 i р,Ш -i К -Т р??,* =

2) векторы р', рУ, у = 1, п, / = 0, д -1 являются решением системы:

А = А + РI

Р^К'РТ

Р) =+ РТ - к -РТк + Т>)+V)к' + -Рм»'<Р{*'к'Л'.

р'п =-р:+1м'<р(4х\а„хУА( + р'*1 - р1+1(м„ +у'п)а1- ры

Эг' ¡-\ Л,

Д/ +

А , / Ъ ^.(г') , м дТ .(1') , + р ц' -^-^х 1-Уа. -х' хт г<--^х Дг + р'+] 'х' ,Д/

3) выполняются граничные условия'. рч = 0 , у = 1,и.

Если функции ^(м'), рД*}), являются линейными функциями по

управлению и', к = 1,п, то оптимальное управление удовлетворяет следующей системе:

О, если y/'j < О

Vjm, если y/'j > О

w^ е [о, ] если у) = 0

где

О, если < О Um, если >0 ae[o,Um\ если = О

где функции

выражениями:

ц/), j = t,n, i = 0,q-\ определяются следующими

= dJsP"At~ К' i1" £ ' Ат ]А/'

/ = 0,^-1, j = 1,п,

а функции

р', p'j, j = \,п, i = Q,q- \ удовлетворяют системе сопряжённых уравнений.

В работе решены следующие задач оптимального управления ростом биомассы водорослей с помощью: изменения уровня освещённости; изменения допустимого объёма добычи водорослей; комплексного воздействия освещённостью и допустимым объёмом добычи водорослей. Решение поставленных задач реализовано в среде Borland Delphi 7.0. Кроме того, решены следующие сопутствующие задачи оптимального управления ростом биомассы водорослей путём изменения допустимого объёма добычи водорослей, где в качестве управления выступает: общий допустимый объём добычи водорослей j-го возрастного класса и доля допустимого объёма добычи водорослей j-ro возрастного класса. Приведено исследование влияния параметров модели и различных способов управления на решение задачи оптимального управления ростом биомассы водорослей, что представлено в таблице 1 и на рисунках 4,5.

Таблица 1.

Общая биомасса добытых водорослей в зависимости от стоимости технологии добычи

Стоимость технологии добычи /?(усл.ед.) 0.8 2,0 5,0 8,0

Период управления (мес.) и 2-11,4 2-11,4 2-11,4 2-11,4

vi 10,0 9,1 7,6 6,4

V3 10,8 9,8 8,4 7,2

V4 11,7 11,3 9,9 8,4

Общая добыча, кг/м2 2,48 2,25 1,88 1,58

X2 2,67 2,45 2,09 1.79

2,92 2,81 2,46 2,09

Прибыль (усл. ед.) 129582,2344 125853,2188 117148,8984 109599,19

Общая биомасса, кг/м2 8,07 7,50 6,44 5,46

Рис. 4 Управление допустимым объёмом добычи водорослей во II (а), III (б), IV (в) возрастных группах и освещением (г) в зависимости от стоимости технологии добычи при комплексном управлении.

Анализы полученных результатов позволяют сделать выводы о динамике биомассы водорослей в зависимости от изменения экологических факторов, оценить объёмы допустимой добычи и принять решение при различных значениях экономических составляющих.

Рис. 5 Динамика биомассы водорослей в 1,11,III,IV возрастных группах (а) и биогенных элементов в среде (б) в зависимости от стоимости технологии добычи при комплексном управлении.

В четвёртой главе рассматривается решение задачи (12), (9)-(11) оптимального управления ростом биомассы водорослей с помощью уровня освещённости, только допустимого объёма добычи водорослей у'-го возрастного класса и комплексным управлением освещённостью и допустимым объёмом добычи водорослей у'-го возрастного класса методом синтеза. Уравнения Беллмана для данной задачи имеют вид:

Вч(х,з) = ^к,х), х(бС,, (С, =5'),

i (р, (*;) - Р1 (V;, х) ))а< - у{ик )икы+вкн (х\, * )

Bk(x,s)= sup ^(pl(xt,)-Pl{vtl!xk,)}At-r(uk)uk^ + Bk+l(xk;,!s^) ,k=q-1,0.

V€Dk U) I ,seCt(i)

где

C/*(*,J) = t"]r' :M' e£/';x'+l = F^x1 S,+\i = k^]}.

Df(x,s) = {и* e U" | Вuk+l g ГЛ1,...,^"1 e £/«"' :[«*,и*+|,...,и*-']е C/4(jc,i)}. Переменные хк/\$ы определяются из системы уравнений (9).

Проведено сравнение решений рассматриваемых задач, полученных различными методами (рис. 6,7). Показано, что графики динамических переменных x(t) и s(t) при использовании различных методов получаются практически идентичными, что говорит о точности метода. Но, сравнение графиков функции управления и полученных значений целевой функции, позволяет констатировать незначимое отличие, которое составляет 0,25 %.

*W

- г - - - г градиентный метод

0 50 100 150 200 250 300 350

•ГО

градиентный метод

50 100 150 200 250 300 350

X(t|

2500 2000 1500 1000 500

; : : ;

/

: : : :

■ 11!

/ методБеллмана ;

/ : : : :

0 50 100 150 200 250 300 350

метод Беллмана

S0 10« ISO 200 250 300 3S0

Рис. 6 Динамика биомассы водорослей x(t) и биогенов в среде,s(t) в зависимости от метода решения.

U(t) U(t)

5Т : : : ; { [ [ [

4- : : : : : { i i. I

I3' : : ; : Г §2 1- : i i i

5 2 градиентный метод мв]год Беллм^на j

1 : : : : : : : : :

о 50 100 1S0 200 250 300 350 0 50 100 15» 2М 2» 3d) 350

Рис. 7 Оптимальное управление в зависимости от метода решения.

Выводы

1) Разработана общая непрерывная «-мерная математическая модель, описывающая неуправляемый и управляемый процессы роста биомассы водорослей. Управление осуществляется с целью максимизации прибыли, полученной от продажи добытого сырья из водорослей при имеющихся ограничениях на управление и начальных условиях, а также с целью сохранения ресурса биомассы в конечный момент времени.

2) Разработаны качественные и приближённые аналитические методы исследования модели, с помощью которых определено положение устойчивого равновесия системы, исследовано поведение модели при различном задании функциональных зависимостей. Изучено влияние на оптимальное решение задачи параметров модели, таких как коэффициент смертности , коэффициент интенсивности перехода Гу, коэффициент влияния ар стоимость освещённости и добычи водорослей, продолжительность рассматриваемого временного интервала, величина шага At в численных методах и т.д.

3) Разработана, обоснована и протестирована методика оценки параметров модели с применением прикладных программ MS Excel: "Пакет анализа", "Поиск решения" и дополнительных встроенных функций.

4) Реализованы эффективные численные схемы для построения оптимального решения при различных способах управления ростом биомассы водорослей, реализованные в объектно-ориентированной среде программирования Borland Delphi Enterprise 7.0.

5) Проведено комплексное исследование решения задачи оптимального управления с помощью изменения уровня освещённости, допустимого объёма добычи водорослей j-ой возрастной группы, доли допустимого объёма добычи водорослей j-ой возрастной группы, общего допустимого объёма добычи и с помощью комплексного воздействия путём изменения уровня освещённости и допустимого объёма добычи водорослей у-ой возрастной группы.

6) Проведена проверка адекватности математической модели, выявлено, что полученные результаты совпадают с результатами многолетних наблюдений. Был определён способ оптимального прогрева воды и соотношения биогенных элементов для увеличения темпов роста биомассы водорослей. Результаты эксперимента не противоречат эмпирическим данным.

7) Выявлен наиболее эффективный и прибыльный способ управления при выращивании водорослей в искусственных условиях: комплексное воздействие на процессы роста с целью увеличения темпов прироста биомассы. Показано, что данную задачу можно рассматривать как задачу прогнозирования допустимого объёма добычи и расчёта запаса по районам добычи в зависимости от экологических факторов.

8) Разработана автоматизированная система обработки, хранения и анализа многолетних гидробиологических данных и комплекс программ, для проведения компьютерного и имитационного моделирования.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕММЕ ДИССЕРТАЦИИ:

1. Шилова H.A., Алгоритм для оптимального управления ростом биомассы водорослей// Программные продукты и системы. Тверь, №3,2010 - с. 139 -141.

2. Шилова H.A. Использование вероятностно - статистических методов для обработки биологических данных морских гидробионтов//Исследования Российской Арктики: прошлое, настоящее, будущее: Материалы Всероссийской научной конференции, посвящённой Международному Полярному году (16-17 дек, 2008 г.), Архангельск: Арханг. центр РГО, 2008. -с.217-224.

3. Шилова H.A. Методы выполнения статистического анализа // Методические рекомендации по организации сбора первичной биологической информации, оценке запаса и ОДУ промысловых водорослей Белого моря. Мурманск: ПИНРО, 2008. - с.52 - 63.

4. Шилова H.A. Математическое моделирование роста фитомассы водорослей Соловецких островов // Проблемы мониторинга природной среды Соловецкого Архипелага: Материалы IV Всерос. научн. конф. (8-11 дек. 2009 г.). Архангельск, 2009. - с.83 - 85.

5. Шилова H.A., Андреева Б.А., Имитационная модель роста биомассы водорослей, оптимальное управление процессом роста// Математические методы управления, Тверь: ТвГУ, 2009. - с.10 - 20.

6. Шилова H.A., Модель управления ростом биомассы водорослей: Материалы международной научно-практической конференции «Современные достижения в науке и образовании: математика и информатика». Архангельск, ПГУ, 2010 г. - с.305 - 312.

Подписано в печать 15.12.2010. Формат 70x84/16. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 247.

Отпечатано в полном соответствии с качеством предоставленного оригинал-макета в издательстве ФГАОУ ВПО «Северного (Арктического) федерального университета»

163002, г. Архангельск, наб. Северной Двины, 17

■ ^J

2010183558