автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.01, диссертация на тему:Оптимальное по быстродействию управление электромеханическими системами

На правах рукописи

КРЮЧКОВ ВЛАДИМИР ВЯЧЕСЛАВОВИЧ

Оптимальное по быстродействию управление электромеханическим!! системами

(ш

Специальность 05.13.01 - Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)

АВТОРЕФЕРАТ на соискание ученой степени кандидата технических наук

1041428

Тула 2011

2 4 ШР 2011

4841428

Работа выполнена в «ГОУ ВПО Тульский государственный университет» Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

СУРКОВ Виктор Васильевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор

КАРПОВ Вячеслав Сергеевич

кандидат технических наук, доцент СУКМАНОВ Сергей Александрович

Ведущая организация: ФГУП «Конструкторское бюро

машиностроения» Тульский филиал

Защита состоится «р^>> 2011 г. в 14:00 часов на заседании

Диссертационного Совета Д 212.271.05 при «ГОУ ВПО Тульский государственный университет» по адресу, 3000012. г. Тула, прс-т Ленина. 92, 9101.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «ГОУ ВПО Тульский государственный университет».

Автореферат разослан «

1 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

В.М. Панарин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА.

Актуальность. В настоящее время существуют задачи повышения производительности различного рода технологических процессов при заданных ресурсах. Причем технический прогресс в развитии промышленности, вычислительной техники, микроэлектроники поставил задачу создания все более совершенных систем и устройств.

Повышение быстродействия в комплексе с другими показателями увеличивает производительность технических процессов при ограниченных ресурсах. Эти ограничения связанны с конечной мощностью источников энергии, условиями работы, физическими и другими естественными ограничениями. К тому же большинство элементов систем обладают изменениями физических свойств, которые могут меняться под воздействием окружающей среды, естественного старения, износа и других причин. Поэтому к системам управления предъявляются дополнительные требования - требования самоподстройки или адаптации к этим изменениям.

При создании следящих систем, приводов различных манипуляторов, приводов прокатных станков, автоматических и технологических процессов, а также ряда других технических устройств и энергетических установок возникают задачи создания оптимальных по быстродействию регуляторов.

Работы по созданию оптимальных по быстродействию систем рассматриваются уже большой период времени, начинающий свой отсчет с основополагающих трудов A.A. Фельдбаума, который в пятидесятых годах прошлого века ввел понятие оптимальных по быстродействию процессов, Л. С. Понтрягина и других выдающихся ученых: P.E. Калмана, H.H. Красовского, A.A. Красовского, A.M. Летова и т.д.

В работах этих и других ученых были сформированы основные принципы построения оптимальных систем, в том числе и быстродействующих. Но в основном рассматривались вопросы, касающиеся синтеза систем первого и второго порядков. В последующих работах A.A. Павлова, М.В. Меерова внимание уделялось построению оптимальных систем более высокого порядка.

Существующие подходы и методы построения быстродействующих систем обладают следующими недостатками: сложностью практической реализации алгоритмов управления, необходимостью серьезных упрощений промежуточных или конечных уравнений с соответствующей потерей точности вычислений, узкой областью сходимости при использовании степенных рядов, ограниченностью применения и т.д.

Целью работы является разработка численного метода синтеза оптимальных быстродействующих регуляторов, который упрощает техническую реализуемость управляющих устройств.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие

задачи:

- разработать метод синтеза оптимальных по быстродействию регуляторов на основе анализа пересечения траектории движения и проекции

изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве и поверхности переключения;

- разработать метод представления фазовых траекторий описывающих движение изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве с применением в основе аппроксимирующего устройства нейронных сетей;

- продемонстрировать практическую применимость разработанного метода на примере системы привода постоянного тока.

Методы исследования. Теоретические исследования проводились с использованием методов теории автоматического управления, принципов нечеткой логики и нейронных сетей. Моделирования проводилось с использованием математического программного пакета Maple, математического программного пакета Matlab с приложением Simulink.

Научная новизна работы состоит в разработке нового метода синтеза (метод проекций) оптимальных быстродействующих регуляторов, который позволяет упростить их практическую реализацию.

Предложен метод конструирования оптимальных быстродействующих регуляторов на основе анализа пересечения траектории движения и проекции изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве и поверхности переключения. Метод обеспечивает программно-аналитический подход, при котором отсутствует необходимость определения промежуточных и конечных аналитических уравнений для функции управления.

Предложен метод применения нейронных сетей в структуре регулятора как универсального аппроксимирующего устройства, что позволяет использовать единую структурную схему для различных объектов управления, производить настройку на одном блоке управления без изменения его конструкции.

Решена задача структурной реализации оптимальных по быстродействию релейных законов управления для электромеханических систем в рамках предложенного метода, обеспечивающая техническую реализуемость управляющих устройств на современной аппаратной и программной базе компонентов.

Основные положения, выносимые на защиту:

- метод синтеза оптимальных по быстродействию регуляторов на основе анализа пересечения траектории движения и проекции изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве и поверхности переключения;

- синтез оптимального по быстродействию привода постоянного тока предложенным методом;

- результаты исследований по синтезу оптимальных быстродействующих регуляторов.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложен единый подход к синтезу оптимальных по быстродействию регуляторов, в том числе и с учетом ограничения фазовых координат.

Практическая значимость работы состоит в прикладной направленности разработанного метода. Для получения законов оптимального по быстродействию управления требуются небольшие затраты времени и объем аналитических выкладок.

Метод позволяет существенно упростить процедуру определения оптимальных быстродействий при достаточно скромной мощности вычислительной техники, и относительно невысокой стоимости элементной базы при построении оптимальных регуляторов.

Предложенная методика совместного применения программ для математических расчетов Maple и Matlab, включая использование редактора структурного моделирования MatLab Simulink, позволяет проводить моделирование оптимальных быстродействующих управлений в рамках предлагаемого метода.

Реализация результатов работы. Предложенные в диссертации методы моделирования, синтеза, схемотехническая, программная и аппаратная реализации оптимальных регуляторов используются в ряде технических систем и учебном процессе.

Апробация работы. Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и опубликованы в сборниках трудов четвертой Всероссийской научно-практической конференции «Системы управления электротехническими объектами» в Туле, Международной научной конференция "Математические методы в технике и технологиях, ММТТ-14 - 23" в Саратове.

Публикации. Основное содержание работы опубликовано в десяти печатных трудах, из них 5 опубликованы в. журналах и изданиях рекомендованных ВАК.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения. Ее содержание изложено на 124 страницах машинописного текста, включает 67 рис., 2 табл. и 80 источников литературы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, сформулирована цель и поставлены задачи исследования, рассмотрены вопросы научной новизны и практической ценности проведенных исследований, изложены основные положения, выносимые на защиту.

В первой главе диссертации проводится обзор методов синтеза систем оптимальных по быстродействию, рассматриваются методы и алгоритмы построения поверхности переключения.

Общую задачу оптимального по быстродействию управления можно сформулировать следующим образом.

Для системы определяющейся математической моделью:

X^f(XM),

необходимо найти такое управляющее воздействие

\и\ < 1,

которое переведет нашу систему из произвольной начальной точки в начало координат за минимальное время. Интегральный показатель качества в случае быстродействия можно представить в следующей форме записи:

Наиболее широко распространены методы решения задачи синтеза оптимальных по быстродействию регуляторов использующие анализ фазовых траекторий в дополнение к принципу максимума, которые используют для нелинейных объектов высокого порядка в сочетании с вычислительными машинами, и методами математического программирования.

Куропаткин П.В., Александров А.Г. и др. в своих работах подробно рассмотрели синтез, оптимальных по быстродействию систем, второго порядка. В этих работах приведены приемы и методики построения таких систем, однако для систем высокого порядка рекомендовано ограничиться частными решениями или синтезировать управление, близкое к оптимальному управлению.

Позднее появились работы по построению оптимальных систем высокого порядка. Предпринимались попытки найти точное решение оптимального управления. Было установлено, что для систем выше третьего порядка оптимальное управление может быть найдено лишь с помощью численного решения. При этом процедура синтеза остается той же самой, что и в ранее рассмотренных примерах.

Изложенные в работах Павлова A.A. методики синтеза оптимальных систем высокого порядка предусматривают возможность получения явных функций, что обычно сделать не удается. Таким образом, математические трудности обрекают на неудачу принципиально разрешимую задачу синтеза оптимальных систем высокого порядка. В какой-то мере эти трудности могут быть обойдены с помощью разработки приемлемых приближенных методов решения уравнений и применения вычислительных машин.

При решении задач синтеза оптимальных по быстродействию систем и их реализации, как правило, производят ряд упрощений и идеализируют характеристики реальных элементов. Полученная при этом система отличается от оптимальной и имеет законы управления, близкие к оптимальным.

При использовании метода фазового пространства («обратного времени») для объектов высокого порядка в процессе реализации поверхности переключения требуется применение большого количества сложных нелинейных преобразователей.

В некоторых работах рассматриваются наборы комбинаций точек характеризующих моменты переключения реле, комбинируя которые и интерполируя, ищется приближенное решение - у/.

о

Таким образом, в первой главе показано, что в настоящее время не существует методики синтеза оптимальных по быстродействию систем высокого порядка, позволяющей получить высокое качество результатов проектирования системы. Определение аналитических зависимостей поверхностей переключения и управления соответственно для систем высоких порядков третьего и выше для большинства систем не представляется возможным. Известные методики обладают существенными недостатками, такими как сложность реализации алгоритмов, сравнительно большой объем вычислений, узкая область применения, невысокая точность получаемых результатов.

Во второй главе рассматривается метод синтеза оптимальных быстродействующих регуляторов, устанавливаются основные особенности метода, разрабатываются структурные схемы.

Основные физические свойства объекта управления часто описываются с помощью систем дифференциальных уравнений (математической моделью), которые можно представить в форме:

4Ш = Л.Х{{) + В-иЮ (1)

ш

где X е II"- вектор фазовых координат; А - квадратная матрица коэффициентов

т

объекта, имеющая размерность лхя; В = {Ь\,Ь2,---,Ь,1) - вектор столбец с элементами 6, =0, / = 1...и-1, Ьп =1;

Оптимальное по быстродействию управление для приведенной системы (1) при \и\ < 1 определяется знаком от функции у/, причем 1//-0 называют поверхностью переключения:

и = (2)

Для наглядности, не влияющей на сущность предлагаемого метода, рассмотрим положение изображающей точки в фазовом пространстве размерности п = 3 рис. 1.

Если из положения изображающей точки провести прямую параллельную оси ОХъ то точка пересечения этой прямой с поверхностью переключения ~ф определит точку /3, такую точку назовем точкой «проекции» изображающей точки на поверхность переключения. При последующем движении к началу координат эти проекционные точки сформируют еще одну траекторию - траекторию точки проекции, которая будет состоять не менее чем из п криволинейных участков, согласно теореме об п-интервалах.

Рис. 1 Движение объекта в фазовом пространстве

Под воздействием оптимального по быстродействию управления изображающая точка будет стремиться к поверхности, т.е. значение ¿' в конечном состоянии должно измениться до нуля.

Величина S определяется вдоль оси 0хъ как разность соответствующих координат (в некоторый момент времени t„ где t( G (О, Г)).

S = x,-xi (3)

Для выполнения условия б —> 0 управление должно иметь вид:

и = -sign(б) = -sign(х, -) (4)

Знак S характеризует положение точки в пространстве относительно поверхности. Если 5 < 0 - под поверхностью, S > 0 - над поверхностью, и S = О - на поверхности. В «реальной» системе точка никогда не будет находиться на поверхности из-за неидеальности реле. На первом интервале значение 6 будет уменьшаться по модулю, а на последующих интервалах движения это значение будет S ^ 0.

Рассмотрим поведение объекта на втором и последующих интервалах управления. При попадании изображающей точки на поверхность происходит «сжатие» фазового пространства, т.е. согласно теореме об п-интервалах останется на один интервал меньше. Такое сжатие происходит до последнего интервала, когда система получит размерность п = 1 и устремится в начало

координат при эквивалентном управлении и = -sign(x'"J, где фазовая

координата х*" соответствует положению изображающей точки на последнем ***

интервале и хп е у/п.

Для определения точки проекции на поверхность переключения Рв рассматриваемом случае, необходимо найти такую траекторию Р^Р' Р0

(рис.1, рис.2), по которой эта точка переместится в начало координат при быстродействующем управлении. Т.е. зная уравнение этой траектории можно

Учитывая, что в процессе работы регулятора на объект будут действовать внешние силы, необходимо определять знак управления в каждый момент времени формирования управляющего воздействия для компенсации этих возмущений.

В предлагаемом методе выделим несколько основных подзадач, которые встречаются в процессе определения знака результирующего управления:

1. Определение точки проекции г," на поверхность переключения фi на /м интервале, где ^ - соответствует «эквивалентной» системе в результате сжатия фазового пространства (системе порядка /). И определение знака

управления для /-го интервала как и, = -sign[x¿ - х*^.

2. Определение значения временного интервала достижения поверхности переключения tí. Этот параметр определяется из условия пересечения кривой траектории движения изображающей точки из положения Р* с поверхностью переключения /-го порядка -

Определение точки проекции х" на поверхность переключения ^ на ¿-м интервале.

Положение изображающей точки объекта порядка п на произвольном интервале в фазовом пространстве при оптимальном по быстродействию управлении задается следующей системой:

где Г. = 0..7}; — ±1); / — номер интервала, х1С,,...,хг0 - координаты определяющие начало интервала.

Полная траектория движения точки проекции в начало координат будет состоять не более чем из (?г — 1) таких участков:

определить значение />3*.

(5)

где неизвестными являются параметры и промежуточные положения

фазовых координат (л^бо).....^«(п-з)) соответствующих концам участков

соответствующих интервалов. Знак управления для последнего интервала или последнего уравнения системы (5) выражается как = — т.к.

система находится на последнем интервале. Знаки управления для остальных интервалов определяются чередованием, т.к. на соседних интервалах должны быть противоположные знаки: иа_1 = —и„_2 = ип-з =•■ =

В случае линейной математической модели системы, когда можно определить уравнение траектории объекта в фазовом пространстве в аналитической форме, поиск искомой точки проекции эквивалентен решению системы из п—1 уравнений (5). Эта система сформирована участками траектории движения точки проекции при оптимальном по быстродействию управлении из положения Р* в начало координат.

Для ситуации, показанной на рис.1 при оптимальном по быстродействию

управлении, эту траекторию можно представить как набор уравнений

*

характеризующих процесс перемещения точки Р3 в начало координат и определяющих участки Р3* Р1,Р2"Ро рис.2.

Решение системы (5) - сложная многопараметрическая задача, в которой определение аналитической зависимости функции от х[ в общем случае не представляется возможным. В соответствие с уравнениями системы (5) при решении поставленной подзадачи восстанавливаются значения точек находящихся на концах участка, в зависимости от рассматриваемого интервала. Определение времени достижения поверхности переключения Подзадача определения временного интервала (для ¡-го интервала) эквивалентна задаче определения точки пересечения траектории движения с поверхностью переключения Данный параметр определяет время

достижения поверхности переключения изображающей точкой при оптимальном быстродействующем управлении из начального положения.

Рассмотрим задачу определения временного интервала, характеризующего перемещение точки проекции Р3* в точку Р£ в проекции на плоскость Ох2хг ситуации показанной на рис.1. На рис. 2 отображено это преобразование. Точка Р3' является точкой пересечения проекции траектории движения с поверхностью переключения гр".

Первоначально определим участок двумерной кривой, который пересекает поверхность переключения. Вычисляется точка Рв" так, чтобы она находилась с противоположной стороны поверхности т.е. знак управления, который необходимо приложить для перевода ее в начало координат, был противоположен знаку и(Р£), т.е. и(Р6')и(Р3') = — 1. Знак управления определяется в соответствии с (4), где 6 определяется как разность координат

и = -51дп(х2 (6)

Обозначим за Г значение временного интервала, через который точка переместится из состояния Р{ в Определение значения этой величины можно найти в соответствии с принципами метода половинного деления.

Вычисляется точка характеризующаяся параметром

= где Г5 - соответствует началу отрезка, а (е его концу.

Значение ¿е, характеризует длину участка кривой Р3"Ре". И его значение подбирается практически, рекомендации приведены в диссертации. Далее определяется положение найденной точки относительно рассматриваемой поверхности переключения (хр") и производится сужение интервала. На следующем шаге определяется новая точка в «середине» нового криволинейного интервала и т.д. Эту последовательность действий (процедуру) повторяем, до такого заданного значения ошибки £ - пока не выполнится условие е > (гб — Ге). В качестве £ можно принять значение времени дискретизации. В результате вычислений t принимается равным tvar.

Уточнение корней системы нелинейных уравнений (5) можно проводить с помощью метода итераций (метод простых итераций и метод Зейделя) или методом Ньютона, что увеличит скорость процесса решения этой системы.

На рис.3 представлена структурная схема регулятора в соответствии с предлагаемым методом. Обратная связь в форме значений фазовых координат объекта управления заводится в блок формирования знака управления. Этот блок взаимодействует с блоком определения точки проекции, которому для вычислений требуются значения точек проекций на поверхности пересечения младших порядков. Всего таких блоков будет {тп — 1).

В соответствии с рассматриваемым подходом проводилось моделирование быстродействующего регулятора для четырех и пяти последовательно соединенных интеграторов. Результаты моделирования приведены на рис.4.

р'

Рис. 2 Проекция траектории движения точки Р^ на плоскость Охгхг

Сравнение результатов моделирования (значений временных интервалов) проводилось в соответствии с формулой определения моментов времени переключения для п - параллельно соединенных интеграторов (Павлов A.A.):

где Х10 - отклонение выходной координаты от нулевого значения (начальное значение, все остальные х<1} = 0, п - количество последовательно включенных интегрирующих звеньев и одновременно число моментов переключения, причем время переходного процесса ttm = t„. Сравнение результатов моделирования показало высокие динамические и точностные характеристики предлагаемого метода. При увеличении числа операций промежуточных вычислений, отклонение результатов уменьшается до постоянной погрешности шага интегрирования процесса моделирования, т.е. результаты становятся сопоставимыми.

Рис. 3 Структурная схема регулятора

Рис.4 Результаты моделирования отработки рассогласования по координате = 3 для систем а) 4-го и б) 5-го порядка

Вычислительные возможности алгоритма при самом «тяжелом» варианте расчета (не оптимизированном) можно определить в соответствии со следующей формулой:

* р -У"Р / .чЛ'

(п -1) Л'„

(8)

где N - глубина вычислительных итераций, характеризует точность вычисления времени достижения поверхности переключения, / щ - тактовая частота

процессора, Nпшкт - усредненное число процессорных операции на один такт управления, / - частота изменения выходного управления (для двигателей

обычно принимается в диапазоне 1-10 кГц), п -порядок системы.

В табл.1 приведены значения /упр для быстродействующего регулятора в соответствии с (8); при составлении этой таблицы принималось, что тактовая частота процессора составляет 1 Ггц, /такт ~ 300 операций на программный цикл алгоритма.

Таб. 1 Определение /упр (Гц) программного быстродействующего регулятора в зависимости от порядка системы и точности вычисления времени

2 3 4 5 6

10 3333333,3 333333,3 33333,3 3333,3 333,3

15 2500000,0 148148,1 9876,5 658,4 43,9

20 1666666,6 83333,3 4166,5 10 -

Обычно на практике используются модели систем 2 и 3 порядка, а как следует из таб.1 число вычислительных циклов пересчета сигнала управления обладает большим вычислительным запасом, позволяющем создавать для подобных систем регуляторы с рассматриваемой структурой.

Таким образом, предлагаемый подход обладает простой блочной структурой, что позволяет исключить необходимость проведения сложных вычислений и преобразований в процессе определения управляющего воздействия, решить задачу синтеза оптимального быстродействующего регулятора в каждый момент времени. Вычислительный запас мощности позволяет создавать высокоточные регуляторы на современной аппаратной базе и программном обеспечении.

В третьей главе рассмотрены особенности применения нейронных сетей. Применение нейронных блоков позволяет проводить аппроксимацию фазовых траекторий кривых, получать приближенные значения корней уравнений, идентификацию математической модели объекта на основе экспериментальных данных.

Одним из свойств оптимальных быстродействующих регуляторов является наличие релейных режимов управления. Такое управление, при котором к объекту управления прикладываются управляющие воздействия +и или -и. Соответственно чтобы представить поведение системы на различных интервалах управления, необходимо и достаточно знать две характеристические траектории движения изображающей точки объекта в фазовом пространстве при +и или -и. Получить набор данных для реконструкции фазовой траектории можно из серии проведенных экспериментов, либо на основе математической модели объекта.

В диссертации показано, что для линейной системы, уравнение фазовой траектории движения объекта управления можно получить в форме:

= или

(0=/»('К+МОхщ+-+/»I (О**..).

(9)

(0=Л ('К+Л. (О*,(о)+-+(')->)•

где fi - сложные нелинейные функции от параметров времени, и0 - знак управления. Функции /( в общем случае можно представить в форме одномерной таблицы (массив данных, состоящий из набора точек - значения координаты и соответствующего момента времени).

С использованием нейронных сетей формируется блок, определяющий характеристические траектории движения изображающей точки объекта в фазовом пространстве при +и или -и, обладая информацией о размерности системы и общем представлении этой траектории (9). Таким образом, проводится аппроксимация фазовой траектории нейронными сетями, что позволяет оптимально описать объект управления в рамках метода пересечения (проекций). Структурная схема регулятора с использованием нейроконтроллера показано на рис.6. Представленная схема включает в свой состав нейроконтроллер, который параллельно соединен с каждым из блоков вычисления точки проекции. Алгоритм функционирования системы идентичен алгоритму рассмотренному ранее.

Одним из важных этапов работы с нейронными сетями является процесс обучения. Этот процесс представим следующей структурной моделью рис.5.

Рис. 5 Обучение нейронных сетей

Настройку нейронных сетей или обучение необходимо завершить, когда отклонение выходной величины от эталона будет меньше максимальной ошибки. Для оценки качества результата обучения используется МНК (метод наименьших квадратов). В качестве эталона принимаем математическую модель объекта. Так же можно принять сам объект управления - настройка в реальном режиме времени, либо упорядоченный по времени набор входных данных характеризующих все необходимые фазовые координаты объекта управления на основе результатов экспериментов.

Возможность самообучения нейронных сетей является одной из их важных черт. Блок с нейронными сетями позволяет в «автоматическом» режиме проводить корректировку или дополнительную подстройку на объект управления. Проводить эти действия можно с отдельными коэффициентами, фазовыми координатами и т.д.

Применение нейронных сетей позволяет вычислять приближенное значение параметров определяющих время достижения поверхности на соответствующем рассматриваемом интервале. Данная возможность позволяет уменьшить вычислительную нагрузку на цифровой блок и соответственно позволяет многократно увеличить точность проводимых вычислений при одинаковой аппаратной базе компонентов. Полученное значение корня впоследствии уточняется. В результате количество итераций необходимых для определения корня уменьшается в разы.

Рис.6 Структурная схема регулятора с нейросетевым блоком

Моделирование быстродействующего управления «интеллектуального регулятора» с возможностью автоматической идентификацией модели объекта

рассматривалось на примере привода постоянного тока, испытательного стенда. Математическая модель, которого при пренебрежении электромагнитной постоянной времени цепи якоря имеет вид:

Xi —

(10)

х2 = а2и + агх2.

Аппроксимация функции траектории системы второго порядка осуществлялась согласно следующей аппроксимационной формуле:

|.т, 0)= f0(t)u0 +fu (t)xi{:>) + Л, (>Ц0)>

\*2 (0 '= fl (0ИО + (0*1(0) + Л2 (0*2(0)"

Функции fi определялись на основе наборов данных полученных экспериментальным путем. Временной шаг дискретизации моделирования взят равным шагу съема данных системы.

Рис.8 Результаты моделирования отработки рассогласования по старшей координате % = 100

Полученные и обработанные графики функций f,: уравнения (11) аппроксимации фазовой траектории приведены на рис.7.

Полученная «модель» привода на основе экспериментальных данных соответствует математической модели (10). Моделирование управления проводилось согласно предлагаемому подходу пересечений (проекций), результаты приведены на рис.8. Как видно из графиков, полученные результаты обладают высокими точностными и быстродействующими характеристиками.

Таким образом, использование нейронных сетей позволяет оптимально в рамках рассматриваемого подхода решить задачу аппроксимации фазовых траекторий. Использование нейронных сетей позволяет формировать фазовые траектории но результатам экспериментов для объектов, описываемых линейными математическими моделями. Рассматриваемый «интеллектуальный» регулятор обладает высокими точностными и быстродействующими характеристиками.

Четвертая глава посвящена проектированию привода постоянного тока оптимального по быстродействию.

Рассматриваемый привод постоянного тока, описывается дифференциальной системой третьего порядка.

i, =02л,, л, = -а3.тг, -а4х} +а5и(>),

Значения коэффициентов для рассматриваемой системы (12): а, = 1 ;а2 = 2788; а3 =2,24; а4 = 125; а, = 1163.

В соответствии с предлагаемым методом был синтезирован программный оптимальный быстродействующий регулятор. Структурная схема регулятора аналогична схеме приведенной на рис.6, за исключением количества блоков определения точек проекции, их будет 2.

Аппроксимация фазовых траекторий проводилась с использованием нейронных сетей с радиальной активационной функцией. В качестве наборов входных данных для обучения нейронных сетей использовались данные полученные на основе математической модели (12), что позволяет провести наиболее точное сравнение полученных результатов моделирования с результатами полученными методом фазового пространства («обратного времени» A.A. Фельдбаума). Полученные значения времен интервалов переключений программным регулятором совпали до ста тысячного знака после запятой (0,00001), что сопоставимо со знаком точности проводимых вычислений.

Моделирование переходных процессов проводилось в математических пакетах Matlab и Maple. На рис. 9 приведены графики переходного процесса при отработке рассогласования по углу (хг = 3.14 рад.).

Таким образом, разработанный регулятор обладает высокими быстродействующими характеристиками, простой структурой, использует

нейронные сети. При увеличении количества вычислений управляющих воздействий в единицу времени процесс управления максимально приближается

Рис. 9 Графики переходных процессов при х10 = 3,1-1;л'20 = х30 = О

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Получены следующие основные результаты работы:

- разработан метод на основе анализа пересечения траектории движения и проекции изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве и поверхности переключения;

- разработан метод представления фазовых траекторий описывающих движение изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве с применением в основе аппроксимирующего устройства нейронных сетей;

- применение в диссертации нейронных сетей позволяет упростить сложности связанные с аппроксимацией функций, экстраполяции (предсказания поведения объекта) положения изображающей точки объекта в фазовом пространстве в процессе управления;

- предложенный метод конструирования оптимальных быстродействующих регуляторов на основе анализа пересечения траектории движения и

проекции изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве и поверхности переключения обеспечивает оптимальное быстродействие, используя программно-аналитический подход, без определения промежуточных и конечных аналитических уравнений для функции управления;

— продемонстрирована практическая применимость разработанного метода на примере системы привода постоянного тока. Для двигателя постоянного тока синтезирован оптимальный быстродействующий регулятор, который показывает высокие качества процесса управления при относительно простой конструкции, явно не зависящей от модели объекта;

— для предложенного метода синтеза регулятора электромеханической системы была разработана программа на структурном Си подобном языке программирования в математическом пакете Maple. А также блок схемы регулятора с использованием нейронных сетей в математическом пакете Matlab. Моделирование программного регулятора показало корректность реализации и достаточные для применения на практике оптимальных быстродействующих регуляторов качества процесса управления;

— предлагаемый метод прост в реализации и позволяет сформировать высококачественные оптимальные регуляторы на базе широкого спектра современных аппаратных средств.

Основные положения диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Крючков В. В., Сурков В.В.. Подход к технологии управления. Скользящие режимы // Электромеханические системы управления №3. Тула: ТулГУ, 2006. С. 24-28

2. Крючков В.В., Дубовик Р.В., Струков К.В.. Вопросы разработки цифрового датчика угла наведения пакета направляющих РСЗО // Электромеханические системы управления №3. Тула: ТулГУ, 2006. С. 49-53

3. Крючков В. В., Сурков В. В. Решение задачи оптимального быстродействия при использовании "обратного времени" // Системы управления электротехническими объектами. Вып. 4. Сб. научных трудов четвертой Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТулГУ, 2007. С. 112114.

4. Крючков В.В., Козлов Д.В., Сурков В.В.. Подход к решению задачи оптимальных по быстродействию управлений // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы управления электротехническими объектами. Вып. 3. Тула : ТулГУ, 2005. С. 14-16.

5. Крючков В.В., Козлов Д.В., Сурков В.В.. Оптимальное по быстродействию управление для системы из трех интеграторов // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы управления электротехническими объектами. Вып. 3. Тула : ТулГУ, 2005. С. 12-14.

6. Крючков В.В.. Нечеткий оптимальный регулятор Н Системы управления электротехническими объектами. Вып. 4. Сб. научных трудов четвертой Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТулГУ, 2007. С. 114-116.

7. Крючков В.В., Козлов Д.В., Шопнн A.C.. Аппроксимация поверхности переключения релейного регулятора с использованием уравнения в частных производных и ненросетен // Изв. ТулГУ. Технические науки. Вып. I. Тула : ТулГУ, 2010. С. 198-205.

8. Крючков В.В., Козлов Д.В., Шопнн A.C.. Построение модели объекта с помощью радиально-базнсных нейронных сетей // Изв. ТулГУ. Технические наукн. Вып. 1. Тула: ТулГУ, 2010. С. 165-170.

9. Крючков В.В., Козлов Д.В. Решение задачи оптимального быстродействия методом проекций // Изв. ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула : ТулГУ, 2010. С. 175-181.

10. Крючков В.В., Козлов В.В. Метод проекций в задаче оптимального по быстродействию управления // XXIII Международ, науч. конф. "Математ. методы в технике и технологиях" (ММТТ-23): Сб. трудов в 12 т., том 2. Секция 2- Саратов: Сарат. гос. техн. ун-т, 2010. - С. 86 - 89.

Крючков Владимир Вячеславович Оптимальное по быстродействию управление электромеханическими системами

Автореферат

Подписано к печати_

Формат 60x84/16 Бумага писчая. Печ.л.1.1 Тираж 100 экз. Заказ № 00*/

Введение.

1 Методы синтеза оптимальных быстродействующих регуляторов.

1.1 Известные методы синтеза оптимальных быстродействующих регуляторов.

1.2 Синтез оптимальных быстродействующих регуляторов с использованием поверхности переключения.

1.2.1 Структура поверхности переключения.

1.2.2 Метод«обратного времени*.

1.2.3 Метод на основе характеристических уравнений.

1.2.4 Использование нейронных сетей.

2 Метод проекций.

2.1 Постановка задачи метода.

2.2 Алгоритм метода и структурная схема регулятора.

2.3 Оценка параметра регулятора времени достижения поверхности переключения.

2.4 Учет наличия ограничений накладываемых на фазовые координаты.

2.5 Сравнительный анализ результатов моделирования метода и точного решения на примере системы третьего порядка.

2.6 Распространение метода на колебательные и нелинейные системы.

3. Модификация метода проекций.

3.1 Представление фазовой траектории в численной форме.

3.2 Использование нейронных сетей для аппроксимации фазовых траекторий.

3.3 Настройка нейронных сетей по результатам данных серии экспериментов.

3.4 Конструкция регулятора с блоком на основе нейронных сетей.

3.5. Уточнение корней решения итерационными методами для системы нелинейных уравнений.

4 Синтез оптимального быстродействующего регулятора привода постоянного тока.

4.1 Постановка задачи.

4.2 Определение фазовых траекторий.

4.3 Применение нейронных сетей для аппроксимации фазовой траектории

4.4 Синтез регулятора и моделирование переходных процессов.

4.5 Получение аналитического уравнения поверхности переключения для эквивалентной системы второго порядка, сравнение результатов моделирования с результатами метода проекций.

4.6 Сравнение результатов моделирования метода проекций системы третьего порядка с численными решениями на основе метода«обратного времени).

4.7 Усовершенствование регулятора с использованием аналитической функции поверхности переключения второго порядка.

В настоящее время существуют задачи повышения производительности различного рода технологических процессов при заданных ресурсах. Причем технический прогресс в развитии промышленности, вычислительной техники, микроэлектроники поставил задачу создания все более совершенных систем и устройств.

К одним из основных задач повышения качества в существующих системах относятся повышение точности и увеличение быстродействия. Повышение быстродействия в комплексе с другими показателями увеличивает производительность технических процессов при ограниченных ресурсах. Эти ограничения связанны с конечной мощностью источников энергии, условиями работы, физическими и другими естественными ограничениями. К тому же большинство элементов систем обладают изменениями физических свойств, которые могут меняться под воздействием окружающей среды, естественного старения, износа и других причин. Поэтому к системам управления предъявляются дополнительные требования - требования самоподстройки или адаптации к этим изменениям.

При создании следящих систем, приводов различных манипуляторов, приводов прокатных станков, автоматических и технологических процессов, а также ряда других технических устройств и энергетических установок возникают задачи создания оптимальных по быстродействию регуляторов.

Работы по созданию оптимальных по быстродействию систем рассматриваются уже большой период времени, начинающий свой отсчет с основополагающих трудов A.A. Фельдбаума, который в пятидесятых годах прошлого века ввел понятие оптимальных по быстродействию процессов, Л. С. Понтрягина, который сформулировал принцип максимума и других выдающихся ученых: P.E. Калмана, H.H. Красовского, A.A. Красовского, A.M. Летова и т.д.

В работах этих и других ученых были сформированы основные принципы построения оптимальных систем, в том числе и быстродействующих. Но в основном рассматривались вопросы, касающиеся синтеза систем первого и второго порядков. В последующих работах A.A. Павлова, М.В. Меерова внимание уделялось построению оптимальных систем высокого порядка.

Существующие подходы и методы построения быстродействующих систем обладают следующими недостатками: сложностью практической реализации алгоритмов управления, необходимостью серьезных упрощений промежуточных или конечных уравнений с соответствующей потерей точности вычислений, узкой областью сходимости при использовании степенных рядов, ограниченностью применения и т.д.

Целью работы является разработка численного метода синтеза оптимальных быстродействующих регуляторов, который упрощает техническую реализуемость управляющих устройств.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

-разработать метод на основе анализа пересечения траектории движения и проекции изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве и поверхности переключения;

-разработать метод представления фазовых траекторий описывающих движение изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве с применением в основе аппроксимирующего устройства нейронных сетей; продемонстрировать практическую применимость разработанного метода на примере системы привода постоянного тока.

Методы исследования. Теоретические исследования проводились с использованием методов теории автоматического управления, принципов нечеткой логики и нейронных сетей. Результаты теоретических исследований получены с помощью компьютерного моделирования с использованием математического программного пакета Мар1е, математического программного пакета Ма11аЬ с приложением ЭтиНпк.

Научная новизна работы состоит в разработке метода синтеза оптимальных быстродействующих регуляторов, который позволяет упростить их практическую реализацию.

Предложенный метод конструирования - оптимальных быстродействующих регуляторов на основе анализа пересечения траектории движения и проекции изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве и поверхности переключения, отличается от ранее существующих методов управления тем, что обеспечивает оптимальное быстродействие, используя программно-аналитический подход, без определения промежуточных и конечных аналитических уравнений для функции управления.

Предложенный метод использования нейронных сетей в качестве универсального аппроксимирующего устройства позволяет реализовать задачу представления математической модели объекта управления в нечеткой форме, а также соответственно оптимального быстродействующего регулятора, что обеспечивает представление произвольных моделей объектов на одном блоке без изменения его конструкции.

Решена задача структурной реализации оптимальных по быстродействию релейных законов управления для электромеханических систем, обеспечивающая техническую реализуемость управляющих устройств на современной аппаратной и программной базе компонентов.

Основные положения, выносимые на защиту: предлагаемый метод позволяет синтезировать оптимальные по быстродействию регуляторы на основе анализа пересечения траектории движения и проекции изображающей точки объекта управления в фазовом пространстве и поверхности переключения;

- предложенный метод конструкции регуляторов упрощает практическую реализацию быстродействующих регуляторов;

- результаты исследований по синтезу оптимальных быстродействующих регуляторов имеют теоретическую и практическую ценность и позволяют решить основные проблемы, возникающие при проектировании данных систем.

Практическая ценность работы состоит в том, что предложен единый подход к синтезу оптимальных по быстродействию регуляторов, в том числе и с учетом ограничения фазовых координат.

Практическая значимость работы состоит в прикладной направленности разработанного метода. Для получения законов оптимального по быстродействию управления требуются небольшие затраты времени и объем аналитических выкладок.

Метод позволяет существенно упростить процедуру определения оптимальных быстродействий при достаточно скромной мощности вычислительной техники, и относительно невысокой стоимости элементной базы при построении оптимальных регуляторов.

Использование предложенного подхода позволяет обойти сложности и проблемы связанные с решением промежуточных или конечных уравнений на различных этапах решения поставленной задачи. Процесс вычисления оптимального по быстродействию управления сводится к простому многократному использованию рекурсивной процедуры определения необходимых численных значений комбинаций положений объекта управления в фазовом пространстве в процессе устранения рассогласований, координат текущего положения и требуемого.

Предложенная методика совместного применения программ для математических расчетов Maple и Matlab, включая использование редактора структурного моделирования MatLabSimulink, позволяет проводить моделирование оптимальных быстродействующих управлений в рамках предлагаемого метода.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе рассмотрены и решены задачи синтеза быстродействующих регуляторов на основе предлагаемого метода.

Получены следующие основные результаты работы:

- разработан оригинальный метод синтеза (метод проекций) оптимальных быстродействующих регуляторов, который позволяет упростить их практическую реализацию;

- метод проекций траектории и поверхности переключения обладает простой структурой, при его использовании нет необходимости проведения сложных вычислений и преобразований для вычисления промежуточных уравнений;

- применение в диссертации нейронных сетей позволяет упростить сложности связанные с аппроксимацией функции, экстраполяции (предсказания поведения объекта) положения изображающей точки объекта в фазовом пространстве в процессе управления;

-предложен метод оптимизации программного алгоритма быстродействующего регулятора с применением нейронных сетей, который позволяет многократно увеличить его производительность;

- предлагаемый алгоритм синтеза регуляторов основан на общих критериях задачи конструирования оптимальных регуляторах и свойствах объекта управления: критериях - оптимальности по быстродействию, теореме об п-интервалах, траектории движения и т.д.; что позволяет говорить о возможности создания интеллектуальных систем управления на основе формализации основных критериев в теории оптимального управления и априорной информации от объекта управления;

- для двигателя постоянного тока синтезирован регулятор, который показывает высокие качества процесса управления при относительно простой конструкции, явно не зависящей от модели объекта;

- для предложенного алгоритма управления электромеханической системой на основе метода пересечения поверхности переключения и траектории движения была разработана программа на структурном Си подобном языке программирования в математическом пакете Maple. А также блок схемы регулятора с использованием нейронных сетей в математическом пакете Matlab. Моделирование программного регулятора показало корректность реализации и достаточные для применения на практике оптимальных быстродействующих регуляторов качества процесса управления;

- предлагаемый метод прост в реализации и позволяет сформировать высококачественные оптимальные регуляторы на базе широкого спектра современных аппаратных средств; получены результаты исследований по синтезу оптимальных быстродействующих регуляторов предложенным методом.

1. Александров Е.Е., Бех М.В. Автоматизированное проектирование динамических систем с помощью функций Ляпунова. Харьков: Основа, 1933.- 112 с.

2. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976, 424 с.

3. Барабшин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967.-223 с.

4. Башарин A.B., Новиков В.А. Соколовский Г.Г. Управление электроприводами. JL: Энергия, 1982. -392 с.

5. БезручкоБ.П., СмирновД.А. Реконструкция обыкновенных дифференциальных уравнений по временным рядам. Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2000. 46с.

6. Бербюк В.Е. Динамика и оптимизация робототехнических синтеза оптимальных систем управления. Киев: Наукова думка, 1989. -188 с.

7. Бугров Я. С., Никольский В.М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функция комплексного переменного . — М.: Наука, 1989. 464 с.

8. Бутковский А.Г. Фазовые портреты управляемых динамических систем. M.: Наука, 1985. - 136 с.

9. Волков Е.А. Численные методы.-М.: Наука, 1987.-248 с.

10. Громов Ю.Ю., Земский H.A., Лагутин A.B., Иванова О.Г., Тютюнник В.М.Системы автоматического управления с запаздыванием: учеб. Пособие-Тамбов: Изд-во Тамб. Гос. Техн. Ун-та, 2007.-76 с.

11. Густав Дёч. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа и Z-преобразования с приложением таблиц, составленных Р.Гершелем.-М., 1971,-288 стр.

12. Емельянов C.B. Системы автоматического управления с переменной структурой.-М.: Изд-во Нука, 1967, 336 с.

13. Зайцев В.Ф. Справочник. Дифференциальные уравнения с частными производными первого порядка. -М.: Физматлит, 2003.

14. Зайцев Г.Ф. Теория автоматического управления и регулирования. К.: Высш. шк., 1989. - 431 с.

15. Зеликин М.И., Манита Л. А. Накопление переключений управления в задачах с распределенными параметрами. Современная математика. Фундаментальные направления. Том 19 (2006). С. 78-113.

16. Иванов В.А., Фалдин Н.В. Теория оптимальных систем автоматического управления. М.: Наука, 1981. - 300 с.

17. Иванов В.И. Введение в теорию приближений: Учебное пособие Тула: ТулГУ, 1999.-116 с.

18. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: 260 с.

19. Клюев A.C., Колесников A.A. Оптимизация автоматических систем управления по быстродействию. М.: Энергоиздат, 1982.-240 с.

20. КозякинВ.С. Структура экстремальных траекторий дискретных линейных систем и гипотеза Лагариаса-Ванга о конечности // Информационные процессы. Том 6, №4, 2006. С.327-363.

21. Колесников A.A. Последовательная оптимизация нелинейных агрегированных систем управления. М.: Энергоатомиздат, 1987.-160 с.

22. Колесников A.A. Синергетическая теория управления. М.: Энергоатомиздат, 1994.- 344 с.

23. Колесов Ю.Б. Объектно-ориентированное моделирование сложных динамических систем.-С.П.: Изд. СПбГПУ, 2004, 240 с.

24. Колмогоров А.Н. О представлении непрерывных функций tнескольких переменных в виде суперпозиции непрерывных функцийодного переменного и сложения. — ДАН СССР, 1957. — Т. 114. — № 5. — С. 953—956.

25. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функции. М.: Наука, 1989.-621 с.

26. Красовский A.A. Фазовое пространство и статистическая теория динамических систем. М.: Наука, 1974. - 232 с.

27. Красовский A.A., Буков В.И., Шендрик B.C. Универсальные алгоритмы оптимального управления неприрывными объектами. М.: Наука, 1977.-272 с.

28. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука, 1967. 380 с.

29. Крючков В.В., Сурков В.В. Подход к технологии управления. Скользящие режимы // Электромеханические системы управления №3. Тула: ТулГУ, 2006. С. 24-28

30. Крючков В.В., Дубовик Р.В., Струков К.В. Вопросы разработки цифрового датчика угла наведения пакета направляющих РСЗО // Электромеханические системы управления №3. Тула: ТулГУ, 2006. С. 4953

31. Крючков В.В., Козлов Д.В. Решение задачи оптимального быстродействия методом проекций // Изв. ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула: ТулГУ, 2010. С. 175-181.

32. Крючков В.В., Козлов Д.В., Сурков В.В. Оптимальное по быстродействию управление для системы из трех интеграторов // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы управления электротехническими объектами. Вып. 3. Тула: ТулГУ, 2005. С. 12-14.

33. Крючков В.В., Козлов Д.В., Сурков В.В. Подход к решению задачи оптимальных по быстродействию управлений // Изв. ТулГУ. Сер. Проблемы управления электротехническими объектами. Вып. 3. Тула: ТулГУ, 2005. С. 14-16.

34. Крючков В.В., Козлов Д.В., Шопин A.C. Аппроксимация поверхности переключения релейного регулятора с использованием уравнения в частных производных и нейросетей // Изв. ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула: ТулГУ, 2010. С. 198-205.

35. Крючков В.В., Козлов Д.В., Шопин A.C. Построение модели объекта с помощью радиально-базисных нейронных сетей // Изв. ТулГУ. Технические науки. Вып. 1. Тула: ТулГУ, 2010. С. 165-170.

36. Крючков В.В. Нечеткий оптимальный регулятор // Системы управления электротехническими объектами. Вып. 4. Сб. научных трудов четвертой Всероссийской научно-практической конференции. Тула: ТулГУ, 2007. С. 114-116.

37. Лионе Ж.-Д. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными.-М.: Мир, 1972,-414 с.

38. Ловчаков В.И., Сурков В.В., Сухинин Б.В. Оптимальное управление электротехническими объектами. -Т.: 2003. — 145 с.

39. ЛьюнгЛ. Идентификация систем. М.: Наука, 1991. 432с.

40. Манжиров A.B., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений. Справочник. -М.: Факториал, 1999.-272 с.

41. Медведев В. С., Потемкин В. Г. Нейронные сети. Matlab 6 М: "Диалог-МИФИ", 2002 г, 496 с.

42. Москинова Г.И. Дискретная математика. Математика для менеджера в примерах и упражнениях: Учебное пособие.-М.: Логос, 2000,240 с.

43. Павлов A.A. Об оптимальном законе управления для одной релейной системы третьего порядка. Известия академии наук СССР, ОТН. Энергетика и автоматика №4, 1960, с 102-108.

44. Пантелеев A.B., Якимова A.C., Босов A.B. Обыкновенные дифференциальные уравнения в примерах и задачах: Учебное пособие. -М.: Изд-во МАИ, 2000.-380 с.

45. Панько М.А., Аракелян Э.К. Особенности нечетких алгоритмов регулирования в сравнении с классическими«Теплоэнергетика>№10, 2001

46. Петровский И.Г. Системы уравнений с частными производными. Алгебраическая геометрия. -М.: 433 с.

47. Пирумов У.Г. Численные методы: Учеб. Пособие для студ. втузов. -М.: Дрофа, 2004. 224с.

48. Поспелов В.В. О приближении функций нескольких переменных произведениями функций одного переменного. — М.: Институт прикладной математики АН СССР, препринт № 32, 1978. — 72 с.

49. Риекстыныш Э.Я. Асимптотические разложения интегралов. Том 1.-М.: Энергоатомиздат, 1974.-390 с.

50. Ротач В.Я. О фази-ПИД регуляторах // «Теплоэнергетика) №8, 1999.

51. Солодовников В.В., Коньков В.Г., Суханов В.А., Шевяков О.В. Микропроцессорные автоматические системы регулирования. Основы теории и элементы: Учеб. пособие -М.: Высш. шк., 1991. 255 с. ил.

52. Сурков A.B., Сухинин Б.В., Сурков В.В. Количество интервалов управления оптимальных по быстродействию систем // Изв. ТулГУ. Сер. Технические науки. Вып. 1. Тула: ТулГУ, 2010. С. 138-148.

53. Терехов В.А., Ефимов Д.В., Тюкин И.Ю. и др. Нейросетевые системы управления. СПбГУ, 1999. — 263 с.

54. Терехов В.М. Фаззи-логика в электротехнике «Электричество) №11,2000

55. Туманов М.П. Теория импульсных, дискретных и нелинейных САУ: Учебное пособие .-М.: МГИЭМ , 2005,-63 с.

56. Уонем У.М. Линейные многомерные системы управления. М.: Мир, 1980. -387 с.

57. Уткин В.И. Скользящие режимы в задачах оптимиации и управления. М.: Наука, 1981.-421 с.

58. Фалдин Н.В. Синтез оптимальных по быстродействию замкнутых систем управления . Тула: Тип. ТулГУ, 1990. 100 с.

59. Федоенко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления //-М.: Наука, 1987.-486 с.

60. Фельдбаум A.A. Основы теории оптимальных автоматических систем//-М.: Физматгиз, 1966.

61. Цзянь С. Синтез оптимальной системы управления на основании поля изохрон // Известия академии наук СССР, ОТН. Энергетика и автоматика №5, 1960, с 96-103.

62. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974. 576 с.

63. Цыпкин Я.З. Теория релейных систем автоматического регулирования. М.: Гостехиздат, 1955. -456 с.

64. Шестопал А.Ф. Геометрия оператора Лапласа. К. Высшая шк., 1991.-159 с.

65. Шура-Бура М.Р. Аппроксимация функций многих переменных функциями, каждая из которых зависит от одного переменного // Вычислительная математика. — 1957. —Вып. 27. — С. 3—19.

66. Янушевский Р.Т. Теория линейных оптимальных многосвязанных систем управления. М.: Наука, 1973. 464 с.

67. Christopher Edwards and Sarah К. Sliding Mode Control. Theory and Application Spurgeon, 1998, Изд. Taylor and Francis, 240 c.

68. Discrete-Time Sliding-Mode Control Based on Neural Networks, Издатель: Springer Berlin / Heidelberg, 2006, 961 c.

69. Jameson A. and O' Malley R.E. Jr Cheap Control of the Timeinvariant Regulator. -Appl. Math. Opt., 1975, vol. 1, №4, P. 337-354.

70. Johnson C.D. Singular solutions in problems at optimal control. Advances in control systems. Theory and applications, v.2, Acad. Press, 1965.

71. SongF., SmithS.M. Design of sliding mode fuzzy controller for an autonomous underwater vehicle without system model OCEANS'2000 MTS/IEEE 2000:2:835, 40p.

72. Zhang Y., Gao J. Optimal regulation of non-linear systems // Int. J. Contr. 1989. 50. №3. P. 933-1000

73. М.А. С олодовников А.Н. Домниниспользованы в Тульском филиале ФГУП «КБ выполнении НИР «Блокировка».1.Начальник НТН, к.т.н.1. Начал ьник лаборатории1. УТВЕРЖДАЮ

74. Начальник управления УНИР докт. техн. наук, профессор

75. Зав. кафедрой ЭиЭО докт. техн. наук, профессор1. А.А.Маликов1. Б.В. С\хинин