автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Операторные методы моделирования волновых процессов в низкоразмерных системах

Учреждение Российской Академии Наук Институт Физики Микроструктур РАН

005014860

и

Шерешевский Илья Аронович

ОПЕРАТОРНЫЕ МЕТОДЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ В НИЗКОРАЗМЕРНЫХ СИСТЕМАХ

Специальность 05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации па соискание ученой степени доктора физико-математических наук

1 2 М?" у

Нижний Новгород 2011

005014860

Работа выполнена в Институте физики микроструктур Российской Академии Наук, г. Нижний Новгород

Официальные оппоненты: член-корр. РАН

Кочаровский Владимир Владиленович, Институт Прикладной Физики РАН г.НижниЙ Новгород

доктор физико-математических наук, профессор

Рязанцева Ирина Прокофьевна, Нижегородский Государственный Технический Университет им. Р.Е.Алексеева

доктор физико-математических паук, профессор Киселев Алексей Прохорович, Санкт-Петербургское отделение Математического института РАН им. В.И.Стеклова

Ведущая организация Санкт-Петербургский Государственный

университет аэрокосмического приборостроения

Защита состоится CchfYLCt 2012 г. в на заседании

диссертационного совета Д 212.166.13 по защите диссертаций па соискание ученой степени доктора физико-математических наук в Нижегородском Государственном Университете им. Н.И.Лобачевского (603950, г. Нижний Новгород, пр. Гагарина, 23)

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Нижегородского Государственного Университета- им. Н.И.Лобачевского

Автореферат разослан '/6«а2012 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета

кандидат физико-математических наук

Савельев В.П.

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Компьютерное моделирование физических систем является важным современным инструментом теоретических и прикладных исследований, роль которого непрерывно возрастает с развитием вычислительной техники, математических и численных методов. В теоретических исследованиях роль компьютерного моделирования обусловлена растущей сложностью математических моделей, точное решение которых, как правило, невозможно, как и качественное аналитическое исследование без дополнительных упрощений модели, не всегда адекватных исследуемой проблеме. В этой ситуации компьютерное моделирование может предоставить важную информацию о свойствах и поведспии исследуемой системы в тех или иных конкретных условиях, которая затем может быть использована для конструирования приближенного математического описания решений. В экспериментальных исследованиях роль компьютерного моделирования, вероятно, еще более значительна. Во-первых, экспериментальные исследования современных физических проблем весьма дороги, и в этой связи предваряющее эксперимент моделирование исследуемой физической системы может существенно сузить область экспериментального поиска. Во-вторых, во многих случаях экспериментальные измерения носят косвенный характер, и для интерпретации результатов таких измерений информация, получаемая в результате моделирования, может оказаться очень важной. В-третьих, в некоторых случаях оказывается возможным применить численное моделирование для расчета параметров элементов систем (например, волноводов, антенн и т.п.), что опять-таки позволяет сократить расходы на проектирование и разработку таких систем, связанные с изготовлением многочисленных опытных образцов и измерением их параметров.

Следствием важной роли численного моделирования в физических исследованиях и инженерии стало создание большого числа программных систем для моделирования (таких, например, как коммерческие пакеты HFSS или MicroWave Office [1, 2] для моделирования широкого класса электродинамических и радиотехнических систем, или свободно распространяемый пакет OOMMF [3], разработанный одной из лабораторий Американского национального Института Стандартов (NIST) для моделирования микромагнитных систем). Разработан также целый ряд пакетов (типа MATLAB или MATCAD), предназначенных для пользователей, не являющихся профессионалами в численных методах и программировании,

I

но стремящихся самостоятельно заниматься численным моделированием. Кроме того, существует целый ряд коммерческих организаций (таких например, как АХБОГТ), предоставляющих услуги как по разработке программ для численного моделирования, так и непосредственно по проведению численных экспериментов в интересах заказчика.

Другим следствием роста важности численного моделирования является необходимость разработки новых численных методов для эффективного решения новых задач, а также математическое обоснование новых и существующих методов. Такое обоснование также приводит к повышению качества и надежности результатов моделирования. Математическое: исследование численных алгоритмов включает как анализ традиционных проблем, связанных с аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью, так и изучение свойств конечномерных моделей уравнений математической физики и сопоставление их со свойствами этих уравнений. Математические модели физических процессов как правило формулируются в терминах операторов в бесконечномерных пространствах, в то время как численное моделирование всегда имеет дело с конечномерными объектами. Даже математически корректное определение конечномерных аппроксимаций исходных бесконечномерных объектов требует серьезного математического аппарата [4, 5, 6]. Анализ аппроксимаций показывает, что, во-первых, их конструкция очень неоднозначна, и, во-вторых, даже с учетом сходимости конечномерные аппроксимации могут не обладать существенными свойствами исходной модели. Например, многоточечные аппроксимации оператора Штурма-Лиувилля, как правило, являются несамосопряженными конечномерными операторами. Еще одним важным примером является задача аппроксимации калибровочпо-инвариантных операторов, возникающих, в частности, при моделировании сверхпроводящих систем. В этом случае требуется, во-первых, определить, что такое калибровочное преобразование в конечномерной модели, и, во-вторых, построить аппроксимацию, обладающую этим свойством. Заметим, что и в этом случае ни порядок аппроксимации, ни ее сходимость не связаны непосредственно с калибровочной инвариантностью.

Актуальность представленной работы обусловлена, с одной стороны, важностью как для фундаментальных, так и для прикладных исследований методов и программ моделирования и расчета конкретных физических систем (электромагнитных, оптических и сверхпроводящих волноводов, магнитных наноструктур), а с другой стороны, новизной и перспективностью развитых методов численного моделирования волновых процессов в таких системах. Выбор конкретных физических систем, для моделирования которых развивались предлагаемые методы, продиктован за-

дачами, связанными с основными направлениями научной тематики Института физики микроструктур РАН.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы являлась разработка новых и адаптация существующих численных методов н алгоритмов для моделирования волновых процессов в различных низкоразмерных физических системах (электродинамических и квантовых кусочно-однородных волноводах, тонких сверхпроводящих пленках, квазиодномерных и двумерных распределенных джозефсоновских контактах, системах магнитных наночастиц, оптоволоконных световодах), математическое обоснование этих методов, необходимое для контроля достоверности результатов моделирования, а также применение разработанных методов в программах моделирования таких систем в условиях, приближенных к экспериментальным.

Основными задачами диссертационной работы являлись:

1. Разработка математически обоснованных численных методов расчета различных характеристик кусочно-однородных волноводных структур, в том числе маломодовых металлических кусочно-однородных электродинамических волноводов, используемых в системах связи, оптоволоконных световодов и квантовых систем - мезоскопических сверхпроводящих цилиндров, соединенных с нормальными металлическими проволоками.

2. Разработка и обоснование новых эффективных методов численного моделирования динамики вихревых конфигураций в низкоразмерных мезоскопических сверхпроводящих структурах - сверхпроводящих пленках сложной геометрии, квазиодномерных и двумерных джозефсоновских системах - с учетом влияния внешних электромагнитных полей.

3. Разработка численных методов и алгоритмов моделирования распределений намагниченности в микромагнитных системах и их магнито-силовых изображений, в том числе в решетках магнитных диполей и системах взаимодействующих магнитных наночастиц, находящихся во внешнем магнитном поле, с учетом влияния конечной температуры.

Научная новизна и практическая значимость

Представленные в диссертационной работе исследования выполнялись в рамках проектов РФФИ (в том числе, под руководством автора работы), программ Президиума РАН, грантов ИНТАС и международных контрактов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. В рамках абстрактной математической модели кусочно-однородных волноводов доказала сходимость конечномерных аппроксимаций трансфер-матриц. На основе этих аппроксимаций разработаны численные алгоритмы расчета полей в кусочно-однородных электродинамических волноводах н алгоритмы численного моделирования транспорта квазичастиц и мезоскопических сверхпроводящих цилиндрах в вихревом состоянии.

2. Предложен алгоритм численного решения краевых задач для дискретного уравнения Гельмгольца в двумерных областях сложной формы. Алгоритм использован для численного моделирования динамики параметра порядка в мезоскопических сверхпроводящих пленках.

3. Предложено понятие вихря в дискретной модели двумерной системы уравнений Гинзбурга-Ландау, на основе которого разработан численный алгоритм визуализации динамики вихревых конфигураций в мезоскопических сверхпроводящих пленках.

4. Предложено и исследовано понятие стохастической деформации динамических систем, с помощью которого найдены условия сохранения интегралов движения при наличии шума и существования гиббсовско-го равновесного распределения. Стохастические деформации уравнений Ландау-Лифщица-Гильберта использованы для численного моделирования динамики намагниченности в системах магнитных наночастиц при конечной температуре.

5. Предложена математическая модель волоконного световода со случайными кручениями осей анизотропии, на основе которой аналитически исследованы статистические характеристики немонохроматического света.

Практическая значимость результатов состоит в том, что:

1. На основе конечномерных аппроксимаций трансфер-матриц кусочно-однородных волноводов совместно с соавторами разработано Windows-приложение SEMA для расчета полей в ступенчатых электродинамических волноводах, позволяющее рассчитывать с высокой точностью используемые на практике волноводные структуры.

2. Совместно с соавторами разработано Windows-приложение GLDD для моделирования динамики параметра порядка и вихревых конфигураций в мезоскопических сверхпроводящих пленках во внешних полях,

позволяющее численно исследовать устройства на основе таких пленок и интерпретировать результаты экспериментов.

3. Разработанное совместно с соавторами \Утс1о\УЗ-приложение ЭШМАС для моделирования динамики намагниченности в системах магнитных на-ночастиц позволяет исследовать равновесные распределения намагниченности в таких системах и переходы между ними и интерпретировать в терминах этих распределений результаты, полученные при исследовании систем частиц с помощью магнитосилового микроскопа и другими методами.

Приложения СЬОО и ЬЧММАС зарегистрированы в Государственном Реестре программ для ЭВМ, свидетельства №2011612682 и №2011612679.

Личный вклад автора

Во всех совместных работах автору принадлежат математические методы и алгоритмы численного моделирования. Автор также принимал участие в построении математических моделей изучаемых физических процессов и проектировании программ, с помощью которых проводилось численное моделирование.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Абстрактная математическая модель, применимая для описания кусочно-однородных волноводов различной физической природы, позволяет развить и обосновать методы численного расчета электродинамических волноводных систем и квантовых цилиндрических волноводов с переходами сверхпроводник-нормальный металл.

2. Конечномерные модели дифференциальных операторов математической физики, представленные операторами в пространствах функций па графах, позволяют построить численные алгоритмы решения краевых задач для двумерного разностного уравнения Гельмгольца в двумерных областях сложной формы.

3. Конечномерная модель системы уравнений Гинзбурга-Ландау, основанная на аппроксимации операторов математической физики операторами на графах, сохраняет основные свойства исходной системы дифференциальных уравнений, такие, как калибровочная инвариантность и отсутствие электрического поля в стационарном состоянии, позволяет дать корректное математическое определение вихрей

в дискретной системе и предложить численный алгоритм детектирования вихрей в процессе численного моделирования динамики мс-зоскопических сверхпроводящих пленок.

4. Конечномерные аппроксимации операторов типа вше-Гордон позволяют построить численные алгоритмы моделирования динамики распределенных джозефсоновских систем. Результаты численного моделирования дают возможность исследовать структуру вихревых решеток в квазиодномерных многослойных джозефсоновских системах и интерпретировать результаты измерений вольт-амперных характеристик кольцевых джозефсоновских контактов.

5. Стохастические деформации динамических систем, в отличие от обычных стохастических возмущений, обладают важными с точки зрения физических приложений свойствами: сохраняют интегралы движения иевозмущенной системы и имеют гиббсовские равновесные состояния. Это позволяет применять такие деформации в численном моделировании динамики микромагнитных систем при конечной температуре.

6. Применение методов теории случайных групп для исследования статистических характеристик излучения в оптоволоконных световодах со случайными кручениями осей анизотропии позволяет получать аналитические результаты и строить эффективные алгоритмы моделирования различных оптоволоконных систем.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на семинарах ИФМ РАН и ИПФ РАН, в ННГУ, ПОМИ РАН, на заседаниях Нижегородского Математического общества и на 27 российских и международных конференциях:

CI. IV Bilateral Soviet-German Seminar on high temperature superconductivity, St.Petersburg, 6-13 october, 1991.

C2. V German-CIS Bilateral Seminar on high temperature superconductivity, Kloster Bakz, Germany, 5-9 october, 1992

C3. Ill International Conference ISFOC, 1993, S.Peterburg

C4. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1994.

С5. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1996.

Сб. X Trilateral Gcrraan-Russian-Ukrainian Seminar on High temperature Superconductivity, Nizhnii Novgorod, Russia, 11-15 Sept. 1997.

C7. International conference Mathematical Results iu Quantum Mechanics (QMath7), Prague, June 22-26, 1998.

C8. Moscow International Symposium on Magnetism MISM99. 20-24 июня 1999.

C9. Nanostructures: physics and technology. 7th International Symposium St.Peterburg, Russia, June 14-18, 1999, Ioffe Institute.

CIO. 22nd International Conference on Low Temperature Physics (LT22), 1999, Espoo-Helsinki, Finland.

СИ. 32-ое Всероссийское совещание по физике низких температур, Казань, 345 октября 2000.

С12. Interdisciplinary International Conference PELS-2000, Polarisation Effects in Lasers, Spectroscopy and Optoelectronics, Univ. of Southampton, 6-8 September, 2000.

C13. Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism", Ekaterinburg, Russia, Feb. 27-March 2, 2001.

C14. Advanced Research Workshop "Fundamentals of electronic nanosystems", St.-Petersburg, Russia (2005).

C15. Международный симпозиум "Нанофизика и нанофотоника 2005", Нижний Новгород, 2005.

С16. Moscow International Symposium on Magnetism, MISM-2005, 2005.

C17. X Симпозиум Нанофотоника и наноэлектроника, Н.Новгород, 2006.

С18. IEEE MTT-S 2006 International Microwave Symposium, 2005.

C19. International conference "Days on Diffraction'2007", St.Petersburg, May 29 - June 1, 2007.

C20. 10th Quantum Mathematics International Conference Moeciu, Romania, September 10-15, 2007

С21. XII Международный Симпозиум Нанофизика и наноэлектроника, Н.Ноп 2008.

С22. VI International Workshop "Multipactor, Corona, and Passive Intermodulation". Valencia, Spain, 24-26 September 2008.

C23. International conference "Days on Diffraction'2008", St.Petersburg, June 3-6, 2008.

C24. 3-я Международная конференция "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" (ФПС'08), Звенигород, 2008.

С25. 13-й Международный Симпозиум. Нанофизика и наноэлектроника, Н.Новгород, 2009.

С26. International Conference Days on Diffraction 2010, June 8-11, 2010 Saint Petersburg.

C27. International Conference Days on Diffraction 2011, May 30 - June 3, 2011, Saint Petersburg.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в оригинальных статьях в отечественных и зарубежных журналах, сборниках трудов и тезисах докладов на научных конференциях. Всего по материалам диссертации опубликовано 75 работ, из них 34 журнальные статьи. Полный список публикаций автора по теме диссертационной работы приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 250 страниц. Диссертация содержит 37 рисунков. Список литературы включает 164 наименования.

Содержание работы

Во Введении к диссертации обоснована актуальность темы исследований, изложены цели работы и методы решения поставленных задач, дана общая характеристика выполненных исследований, отражена научная новизна полученных результатов, сформулированы положения, выносимые на защиту и приведен обзор содержания работы.

В Главе 1 строится и исследуется абстрактная математическая модель кусочно-однородного волновода и оператора, описывающего трансформацию собственных волн в таких волноводах (трансфер-матрицы).

Задача трансформации мод в неоднородных волноводах различной природы (акустических, электродинамических, оптических, квантовых) имеет очень долгую историю, и за последние сто лет этой проблеме было посвящено огромное количество физических и математических публикаций. В настоящее время существует множество приближенных методов аналитического и численного решения таких задач и даже коммерческие программы для них (см., например, [1, 2]). Тем не менее, оказывается, что хорошо известные и широко используемые в волноводных задачах понятия "матрица рассеяния" и "трансфер-матрица" (см., например, [7]) не являются математически хорошо определенными понятиями, и, соответственно, математические свойства оператора рассеяния (в любом смысле) не достаточно хорошо изучены. Однако, такое изучение необходимо для понимания процессов в квантовых, электродинамических и акустических волноводах и, в частности, для разработки надежных численных алгоритмов для моделирования волноводов.

В разделе 1.1 рассматривается математическая модель кусочно-однородного волновода и демонстрируется, что исследование этой модели является по сути задачей теории самосопряженных расширений симметричных операторов в гильбертовых пространствах. При таком подходе оператор рассеяния, соответствующий интерфейсу двух однородных волноводов и определенный в разделе 1.2, появляется просто как параметр самосопряженных расширений некоторого симметричного оператора, и, следовательно, оператор рассеяния с самого начала является оператором в соответствующем гильбертовом пространстве, а именно в дефектном пространстве исходного симметричного оператора. Это позволяет нам исследовать свойства "матрицы рассеяния" методами теории операторов.

В разделе 1.3 исследуются некоторые важные свойства оператора рассеяния. Некоторые из них оказываются довольно неожиданными, как, например, тот факт, что этот оператор вообще говоря может быть не ограничен в гильбертовом пространстве "векторов амплитуд мод" со стандартным скалярным произведением. Показывается также, что (при некоторых

условиях) оператор рассеяния может быть аппроксимирован в правильно определенном смысле конечномерными операторами, которые являются операторами рассеяния для соответствующих "конечномерных волноводов". Эта аппроксимация сохраняет большинство важных свойств таких операторов, например, закон сохранения потока, и может быть использована для численного расчета матрицы рассеяния для различных типов волноводов.

В разделе 1.4 показывается, как, зная операторы рассеяния отдельных интерфейсов, построить оператор, описывающий трансформацию мод в кусочно-однородном волноводе с произвольным числом однородных участков.

Отметим, что построенный оператор рассеяния описывает преобразование не только "бегущих", но и так называемых "неоднородных" мод. Такой оператор в физической литературе обычно называют трансфер-матрицей, оставляя термин "матрица рассеяния" для описания преобразования только бегущих мод. В случае интерфейса двух однородных волноводов неоднородные моды не переносят энергии, а приходящие неоднородные моды не имеют физического смысла, если нет источников. Поэтому при рассмотрении таких систем физики ограничиваются частью трансфер-матрицы, соответствующей бегущим модам, которая и есть матрица рассеяния.

Формальное алгебраическое выражение для оператора рассеяния в терминах граничных условий на стыке волноводов более или менее известно, см., например, [8]. В конечномерном случае эти выражения могут быть использованы как для аналитического, так и для численного анализа трансформации мод, хотя, если размерность "поперечного пространства" достаточно велика, этот анализ может оказаться не слишком простым. Чтобы сделать это формальное выражение правомерным в бесконечномерном случае, необходимо, однако, довольно подробно исследовать аналитические свойства операторов, входящих в это выражение, что и проделано.

В Главе 2 абстрактная конструкция оператора рассеяния, описанная в Главе 1, применяется для разработки численного метода, алгоритма и программы расчета электромагнитных полей в кусочно- однородных цилиндрических электродинамических волноводах. Основываясь па результатах Главы 1 о сходимости метода трансфер-матриц, строятся конечномерные аппроксимации матриц рассеяния для интерфейса двух цилиндрических волноводов произвольного сечения. Показывается, что такие аппроксимации обладают рядом важных свойств, характерных для полных (бесконечномерных) операторов рассеяния. В частности, эти аппроксимации сохраняют поток мощности в волноводе. Кроме того, поля, рассчитанные на

основе этих приближений, хорошо описывают особенности полей в окрестности ребер и углов в местах сопряжения двух волноводов прямоугольного сечения, что контролировалось с помощью известных асимптотических формул для полей в окрестности особенностей границы [А1].

В разделе 2.2 приводятся выражения для полей в волноводе через скалярные потенциалы, что дает возможность свести исходную задачу к абстрактной форме, рассмотренной в Главе 1. Собственные моды однородных участков волновода с произвольным сечением определяются как собственные функции двух краевых задач для двумерного оператора Лапласа и приводятся выражения для полей в терминах этих мод. Затем выводятся выражения для амплитуд мод и их продольных производных через поперечные распределения электрического и магнитного полей, которые используются в следующем разделе для конструкции оператора рассеяния.

В разделе 2.3 описывается алгоритм вычисления оператора рассеяния через граничные условия на интерфейсе двух цилиндрических волноводов произвольного сечения. Показывается, что после подходящей конечномерной аппроксимации эти вычисления сводятся к одному обращению матрицы, размер которой равен наименьшему из чисел принятых в рассмотрение мод в двух однородных волноводах, и некоторой последовательности матричных умножений и сложений.

В разделе 2.4 приводится алгоритм вычисления амплитуд мод в ступенчатом волноводе, основанный на методе матричной прогонки. Этот алгоритм представляет собой реализацию в рассматриваемой конкретной ситуации абстрактной формулы из раздела 1.4.

В разделе 2.5 строго доказывается, что построенные конечномерные аппроксимации оператора рассеяния сохраняют поток мощности через поперечное сечение волновода независимо от размерности аппроксимации, то есть от числа учитываемых в каждом однородном участке мод. Это важное свойство рассматриваемого алгоритма позволяет, в частности, контролировать точность и корректность вычислений.

В разделе 2.6 приводится детальное описание алгоритма расчета матриц рассеяния и полей в специальном случае волновода с прямоугольным сечением. Этот случай важен с практической точки зрения, поскольку такие волноводы широко используются, в частности, в качестве элементов радиотехнических систем, например, частотных фильтров.

В заключительном разделе 2.7 этой главы приводится краткое описание Windows-приложения SEMA, предназначенного для расчета полей в ступенчатых электромагнитных волноводах. Это приложение было разработано в рамках выполнения нескольких грантов РФФИ и INTAS. В

рамках этих проектов результаты расчетов полей использовались для исследования вторично-эмиссионного и коронного разрядов в корругирован-ных волноводах. Приводятся иллюстрации графического интерфейса программы и результатов расчета полей. Следует отметитить, что програм-ный комплекс SEMA имеет гибкую модульную структуру, позволяющую легко модифицировать его для различных целей.

В Главе 3 метод трансфер-матриц применяется для конструирования алгоритма расчета транспорта квазичастиц в цилиндрическом мезоскопи-ческом NSN-волноводе, в котором сверхпроводящая секция ("слаб") находится в вихревом состоянии. В рассматриваемой модели предполагается, что ось вихря совпадает с осью цилиндра.

Квазичастичные состояния в таких системах описываются в рамках уравнений Боголюбова-де Жена ((9]), которые являются обобщением уравнения Шредингера на системы, содержащие два типа частиц: электроны и дырки. Эти уравнения во многом аналогичны уравнениям абстрактной теории волноводов, описанной в Главе 1. Существенным отличием является то, что в этом случае поперечный оператор оказывается не эрмитовым, так что напрямую результаты Главы 1 не применимы. Однако формальные конструкции матриц трансформации мод в терминах граничных условий остаются теми же самыми, и формальных препятствий для применения метода трансфер-матриц для расчета таких волноводов нет. Поскольку, однако, строгие результаты о сходимости конечномерных аппроксимаций в этом случае отсутствуют, результаты таких расчетов должны контролироваться другими способами, в частности, "физической" осмысленностью.

Как и в предыдущей главе, все этапы численного метода и алгоритма, примененного для решения указанной задачи, детально расписаны.

В разделе 3.2 приводятся уравнения Боголюбова-де Жена и производится разделение переменных в цилиндрических координатах. Поскольку рассматриваемый оператор матричный, процедура разделения переменных (которая в физической литературе называется "снятие фазы со щели") немного сложнее обычно используемой в скалярных задачах, а поскольку итоговые уравнения являются основой численного алгоритма, соответствующие вычисления проведены подробно.

В разделе 3.3 рассматриваются решения построенных уравнений в нормальном металлическом цилиндре. Строятся собственные моды цилиндра, поперечные распределения которых выражаются через функции Бесселя, а постоянные распространения - через нули этих функций. Определяются падающие и рассеянные решения (гп- и ouí-состояния), что необходимо для построения матриц рассеяния.

В разделе 3.4 строятся матрицы рассеяния цилиндрического ^М-волновода. Это построение несколько отличается от формальных конструкций Главы 1 из-за того, что, как уже указано выше, поперечный оператор рассматриваемой системы не эрмитов. Это приводит к серьезным вычислительным трудностям при определении матрицы рассеяния интерфейса, поскольку собственные моды сверхпроводящего цилиндра с вихрем, во-первых, не ортогональны, а во-вторых, могут быть найдены только численно. Поэтому вместо оператора рассеяния интерфейса строится оператор рассеяния на сверхпроводящем участке, зависящий от длины этого участка. Показывается, что эта операторная функция удовлетворяет алгебраическим соотношениям, позволяющим по операторам, отвечающим длинам ¡1 и ¿2 вычислить оператор для цилиндра длины 1\ + Ь-Кроме того, строятся краевые задачи для оператора Боголюбова-де Жена, через решения которых выражается оператор рассеяния.

В разделе 3.5 обсуждаются методы решения построенных в предыдущем разделе краевых задач. Решения этих задач стандартным образом сводятся к решению задач Коши для поперечного оператора и последующим алгебраическим операциям. Однако задача Коши для поперечного оператора является неустойчивой из-за присутствия в решении быстро растущих и убывающих экспонент, отвечающих неоднородным модам. Поэтому построить с достаточной точностью решение задачи Коши тем сложнее, чем больше длина сверхпроводящего цилиндра. Показывается, что приведенные в предыдущем разделе алгебраические соотношения для оператора рассеяния позволяют свести задачу вычисления этого оператора для длинного цилиндра к вычислению такого оператора для цилиндра малой длины и последующим алгебраическим операциям "удвоения длины". Такой алгоритм оказывается устойчивым и позволяет вычислять оператор рассеяния за время, логарифмически зависящее от длины сверхпроводящего цилиндра.

В разделе 3.6 обсуждаются методы конечномерной аппроксимации поперечного оператора и интегрирования задачи Коши для него. В качестве основного метода интегрирования используется неявная схему Крапка-Николсона. Эта схема требует одного обращения матрицы поперечного оператора на каждом шаге интегрирования. Трудоемкость такой операции зависит от способа конечномерной аппроксимации поперечного оператора. Рассматривается два таких способа: конечно-разностная аппроксимация и разложение по собственным функциям нормального цилиндра. В первом случае обращение поперечного оператора сводится к обращению трехдиагональной матрицы, которое выполняется методом прогонки. Во втором случае для вычисления матрицы поперечного оператора ис-

пользуется дискретный аналог функций Бесселя - собственные функции дискретного оператора Штурма-Лиувилля. Для нахождения этих функций и соответствующих собственных значений применяется разностный вариант известных в теории Штурма-Лиувилля осцилляционных теорем. Сравнение результатов вычислений, полученных разными методами, является хорошим критерием достоверности полученных результатов.

В разделе 3.7 приводятся соотношения симметрии, которым удовлетворяет матрица рассеяния. Эти соотношения позволяют понизить размерность конечномерных аппроксимаций и оптимизировать процесс вычисления.

В последнем разделе 3.8 этой главы приводятся некоторые результаты численного моделирования с помощью описанных алгоритмов [АЗ, А4, А18|. На рис.1 показана структура спектра поперечного оператора для сверхпроводящего мезоскопического цилиндра в вихревом состоянии для двух значений радиуса.

Рис. 1: Фрагменты спектра поперечного оператора для сверхпроводящих , цилиндров различного радиуса (R/Co = 3.5, (а) и Л/Со = 4, (Ь)).

Глава 4 посвящена разработке нового численного алгоритма вычисления резольвенты оператора Лапласа в двумерных областях сложной формы, возникающей в различных областях теоретической и прикладной физики. Как правило, такое вычисление требует применения численных методов. Для этого необходимо, во-первых, построить конечномерную an- i проксимацию исходной задачи и, во-вторых, обратить соответствующий конечномерный оператор. Если требуемая точность решения достаточно высока, размерность этого оператора может оказаться очень большой, так что известные прямые методы обращения матриц, такие например, как метод Гаусса или Q-R-разложение [10], требуют слишком больших вычис-

лительных ресурсов - памяти и производительности. Заметим, что конечномерные аппроксимации оператора Лапласа являются обычно сильно разреженными матрицами, а их резольвенты этим свойством не обладают. В таких случаях часто предпочтительнее применять итерационные схемы обращения. Однако большинство итерационных алгоритмов предполагают довольно ограничительные условия сходимости, которые могут не выполняться, в частности, при вычислении приближенного оператора Лапласа. Поэтому разработка численных методов, применимых в конкретных частных ситуациях, представляется важной и полезной.

В работе рассматривается некоторый специальный тин конечномерных операторов, так называемые операторы Лапласа на графах. Такие операторы возникают при построении конечномерых аппроксимаций "непрерывного" лапласиана, но сама аппроксимациониая процедура не рассматривается. Задача состоит в том, чтобы предложить высокоэффективный алгоритм вычисления резольвенты конечномерных лапласианов. Основная идея построения таких алгоритмов содержится работе [А12].

В разделе 4.2 определяется основной объект - оператор Лапласа на графе. Такие операторы, с одной стороны, являются дискретными аналогами дифференциальных операторов математической физики, и, с другой стороны, обобщают конструкцию дискретных моделей из [11]. Это понятие оказывается очень полезным при изучении конечномерных операторов, возникающих в задачах численного моделирования физических систем. Оно позволяет, в частности, определить понятие "разностной краевой задачи" внутренним образом, не обращаясь к дифференциальным уравнениям, при аппроксимации которых возникают такие операторы.

Вводится и обсуждается понятие краевых задач для таких операторов. Основываясь на конструкции оператора Лапласа на графе, предлагается и изучается алгебраическое соотношение, возникающее при сравнении двух различных краевых задач для одного оператора на графе. Показано, что это соотношение позволяет в ряде случаев построить чрезвычайно эффективные прямые алгоритмы решения краевых задач, а также конструировать алгоритмы, подобные методу операторной экспоненты для эволюционных задач [А7-А11]. Описанные методы могут быть охарактеризованы как "методы теории возмущений по размерности". В простейшем одномерном случае основное соотношение этой главы было известно ранее как формула Шермана-Моррисона [12]. Более внимательный анализ показывает, что это соотношение является конечномерным аналогом известной в теории операторов формулы Крейна-Наймарка [13], связывающей резольвенты различных самосопряженных расширений симметрического оператора в гильбертовом пространстве.

В разделе 4.3 детально рассматривается основанный на предложенной в предыдущем разделе формуле, алгоритм вычисления резольвенты двумерного дискретного оператора Лапласа на прямоугольной сетке в областях сложной формы. Показывается, как дискретная формула Шер-мана-Моррисона-Крейна позволяет свести решение этой задачи к решению задачи в прямоугольнике с периодическими граничными условиями, для которой существует эффективный алгоритм, основанный на использовании дискретного преобразования Фурье. Демонстрируются примеры работы описанного алгоритма и приводится его сравнение с известными итерационными методами. Это сравнение показывает, что предложенный алгоритм может в ряде случаев быть в десятки раз быстрее классических методов, например, метода сопряженных градиентов [14].

В заключительном разделе 4.4 этой главы рассматриваются возможные обобщения и приложения описанного метода.

Глава 5 посвящена описанию методов, алгоритмов и программ моделирования динамики параметра порядка в сверхпроводящих пленках в рамках уравнения Гинзбурга-Ландау. Этой задаче посвящена весьма обширная литература (см., например, библиографию в [А18]). Использованный в диссертации подход отличается последовательным применением калибровочно-инвариантных конечномерных аппроксимаций системы Гинзбурга-Ландау, основанных на абстрактных конструкциях Главы 2, и эффективными алгоритмами разрешения связей, в роли которых в рассматриваемой модели выступает уравнение Пуассона для электростатического потенциала. Разработанное на основе этих методов и алгоритмов Windows-приложение GLDD, обладающее развитым графическим пользовательским интерфейсом и гибкой модульной структурой, позволяет моделировать различные процессы в сверхпроводящих пленках в присутствии внешних электромагнитных полей, и в том числе качественно анализировать и интерпретировать результаты экспериментов.

В параграфе 5.2 обсуждается функционал и уравнение Гинзбурга-Ландау и ряд физических задач, эффективным методом решения которых оказывается численное моделирование.

Затем в параграфе 5.3 рассматривается дискретная аппроксимация (дискретная модель) уравнений Гинзбурга-Ландау, используемая для исследования мезоскопических сверхпроводящих пленок. Эта модель строится в духе конструкции операторов на графах, описанной в Главе 4. Показывается, что построенная таким образом модель обладает рядом существенных свойств "непрерывных" уравнений Гинзбурга-Ландау, в частности, калибровочной инвариантностью. Приводится также доказательство теоремы о нулевом поле в ее непрерывном и дискретном варианте. Это

утверждение о том, что в сверхпроводящей пленке в отсутствии внешнего тока в равновесном состоянии отсутствует электрическое поле, оказывается чрезвычайно полезной в численном моделировании, давая, в частности, возможность контролировать стационарность достигнутого состояния.

Обсуждаются также некоторые математические аспекты, связанные с понятием вихря как в непрерывных уравнениях, так и в дискретной модели. Предложенное простое геометрическое определение дискретного вихря вводит объект, обладающий многими существенными свойствами своего "непрерывного" аналога. Это определение дает возможность построить эффективный численный алгоритм детектирования вихрей и, как следствие, позволяет изучать динамику и стационарные конфигурации вихрей при численном моделировании.

В заключительном параграфе 5.4 описываются особенности и возможности разработанного нами \¥тс!ошз-приложения вЫЗО, предназначенного для моделирования процессов в мезоскопических сверхпроводящих пленках. Отметим, что при разработке численного алгоритма оказалось, что наиболее трудоемкой его частью является решение уравнения Пуассона для электростатического потенциала, которое необходимо на каждом шаге временной эволюции. Для преодоления этой трудности были применены конструкции и алгоритмы, представленные в Главе 4, что позволило существенно повысить эффективность программы и применить ее для моделирования ряда приближенных к экспериментальным задач. Для иллюстрации работы программы приводится вид диалоговых окон, возникающих на этапе запуска программы, и некоторые результаты моделирования. На рис.2 показаны результаты моделирования структуры параметра порядка и траекторий вихрей в мезоскопической прямоугольной сверхпроводящей пленке во внешнем однородном магнитном поле, полученные с помощью программы С1ЛЗО.

Отметим, что приложение СЬ1)0 зарегистрировано в Государственном Реестре программ для ЭВМ, Свидетельство № 2011612682 от 1 апреля 2011 г.

В Главе 6 рассматриваются две .задачи численного моделирования распределенных джозефсоновских систем. В первой из них исследуется кольцевой распределенный джозефсоновский контакт во внешнем магнитном поле в присутствии внешнего электрического тока, во второй - система связанных квазиодномерных джозефсоновских контактов с учетом некоторых неравновесных эффектов. С точки зрения численного моделирования эти задачи объединяет общий подход к аппроксимации волнового оператора подходящими дискретными операторами на графах и построению на основе операторных представлений дискретных моделей урав-

Рис. 2: Траектории вихрей в мезоскопической сверхпроводящей пленке во внешнем магнитном поле в присутствии внешнего тока.

нения типа sine-Gordon полунеявных разностных схем, обеспечивающих эффективное численное решение этих уравнений.

В разделах 6.2 и 6.3 рассматривается численный алгоритм моделирования динамики джозефсоновского вихря в двумерном распределенном кольцевом джозефсоновском контакте. Для построения алгоритма моделирования такой системы, описываемой уравнением типа sine-Gordon с периодическими по угловой переменной условиями, рассматриватся дискретная аппроксимация этого уравнения. Снова используется эволюционное операторное представление волнового уравнения, которое позволяет построить эффективный полунеявный алгоритм численного решения дискретной системы. Этот алгоритм дал возможность рассчитать вольт-амперные характеристики контакта при различных геометрических и материальных параметрах и провести сравнение результатов расчета и эксперимента, см. рис.3,4 и структуру вращающегося вихря в кольцевом контакте (рис.5).

Работа алгоритма и программы проиллюстрирована рисунком, на котором представлен мгновенный снимок вращающегося джозефсоновского вихря, см. рис.5

В разделе 6.4 детально рассматривается численный алгоритм моделирования системы связанных одномерных джозефсоновских контактов. Для системы уравнений, полученных на основе обобщенной нестационарной теории Гинзбурга-Ландау, приводится конечномерная аппроксимация. Эти уравнения могут быть представлены в виде системы, состоящей из эволюционного уравнения и связи, аналогичной уравнению Пуассона для электрического потенциала в системе Гинзбурга-Ландау, рассмотренной в предыдущей главе. Такое представление позволяет использовать для раз-

Рис. 3: Рассчитанные вольт-амперные характеристики джо-зефсоновских кольцевых контактов различной ширины

Рис. 4: Экспериментальные вольт-амперные характеристики джо-зефсоновских кольцевых контактов различной ширины

решения связей стандартный метод прогонки и сконструировать полунеявную схему решения эволюционного уравнения, в которой для построения необходимого обратного оператора оказывается достаточным снова использовать одномерную прогонку. Благодаря высокой эффективности такого численного алгоритма оказывается возможным провести довольно большой объем численных экспериментов. Некоторые результаты этих экспериментов, демонстрирующие различные возможные структуры решетки джозефсоновских вихрей в рассматриваемой системе иллюстрируются приведенными в разделе графиками. На рис.6 показана структура вихревой решетки в системе связанных одномерных джозефсоновских контактов при различных значениях внешнего тока.

В Главе 7 описываются алгоритмы и программа моделирования динамики намагниченности систем магнитных наночастиц во внешнем магнитном поле. Математической моделью таких систем является уравнение Ландау-Лифшица-Гильберта (ЛЛГ) [15], в котором магнитное поле представляет собой сумму собственного магнитного поля системы и внешнего поля. В свою очередь, собственное поле системы включает несколько компонент различной физической природы - магнитостатическое поле, обменное поле, поле анизотропии. Каждое из этих полей является вариационной производной соответствующего слагаемого в функционале свободной энергии системы, зависящей от распределения магнитного момента. Таким образом, уравнения ЛЛГ представляют собой сложную нелинейную бес-

Рис. 5: Мгновенный снимок вращающегося джозефсоновоского вихря

конечномерную динамическую систему. Для численного моделирования таких систем используются различные конечномерные модели, основанные на конечномерных аппроксимациях функционала свободной энергии. В этой главе описываются два наиболее распространенных типа таких аппроксимаций, один из которых основан на методе конечных элементов, а другой - на аппроксимации Фурье-представления магнитостатической энергии. Отметим, что в этой главе рассматриваются системы квазидвумерных частиц, которым в последнее время уделяется большое внимание в связи с их возможными техническими приложениями.

Внешнее магнитное поле, управляющее динамикой систем частиц, может включать в себя "случайную" компоненту, моделирующую поведение системы при конечной температуре. Корректное с математической точки зрения включение "шумового" поля в уравнения ЛЛГ требует перехода к стохастическим дифференциальным уравнениям. Общие математические вопросы, связанные со стохастическими возмущениями нелинейных динамических систем рассматриваются в первом разделе этой главы. Показывается, как включить шум в таких системах, не разрушая их существенные свойства - сохранение "жестких связей" и гиббсовской формы равновесных распределений.

В разделе 7.2 вводится и изучается понятие стохастических деформаций динамических систем. В отличие от обычных стохастических возмущений, стохастические деформации обладают двумя важными свойствами: они сохраняют интегралы движения, имеющиеся у невозмущенной системы, и обеспечивают гиббсовскую форму равновесных, или предельных, распределений состояний системы. Эти свойства стохастических деформа-

ций представляются важными при использовании стохастических уравнений для описания шумовых воздействий на физические системы. В частном случае микромагнитных систем, рассматриваемых в этой главе, такое воздействие моделируется включением шумового магнитного поля в уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта, описывающего динамику магнитного момента во внешнем поле. Динамические уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта имеют интеграл движения - модуль магнитного момента, и предположение о том, что этот интеграл должен сохраняться и при шумовом воздействии, представляется физически обоснованным. Предположение о гиббсовской структуре равновесного распределения позволяет в этом случае получить связь между температурой системы и интенсивностью шумового поля.

В разделе 7.3 описываются алгоритмы моделирования систем взаимодействующих магнитных наноча-стиц. Когда латеральные размеры отдельной частицы достигают нескольких десятков или сотен нанометров. равновесное распределение намагниченности в ней перестает быть квазиоднородным, и возникают более сложные, в частности, вихревые, состояния. Это принципиально отличает системы таких частиц от систем магнитных диполей. Магнитное поле в системах частиц по-преж- рис 6; Структура вихревой решетки в системе свя-нему описывается ва- занных одномерных джозефсновских контактов, риационной производной функционала свободной энергии. Однако в этом случае для численного моделирования необходимо использовать дискретную аппроксимацию

¡=0.4

АЛАААА

У\У\У\У\У\7\

ЖУХ>7X5.

7X7

Ш

У У ЧУ УГ

КХХХХТх

1\У\ААААА1 5

°1УУУЛ?УУ,

уул,........,

Л А А АЛ А7

этого функционала. Рассматриваются два подхода к построению такой аппроксимации. В первом из них, представляющем собой по сути вариант метода конечных элементов, частица разбивается на ячейки, имеющие форму одинаковых параллелепипедов. Если размеры этих параллелепипедов достаточно малы (порядка единиц нанометров), распределение намагниченности в каждом из них можно считать однородным, в результате чего выражение для функционала свободной энергии приводится к виду, аналогичному функционалу решетки диполей, с той разницей, что матрица диполь-дипольного взаимодействия и коэффициенты обменного взаимодействия представляются интегралами, зависящими от формы и взаимного расположения ячеек. Важной особенностью этого метода дискретизации является то, что магнитное поле однородно намагниченного параллелепипеда может быть вычислено аналитически.

Другой подход основан на трансляционной инвариантности функционала магнитостатической энергии, что дает возможность использовать для вычисления магнитного поля дипольного взаимодействия преобразование Фурье. Следует отметить, что такое вычисление, необходимое на каждом временном шаге решения эволюционной задачи, является наиболее трудоемким этапом процесса моделирования, поскольку затраты времени и памяти на этом этапе пропорциональны квадрату числа ячеек сетки при моделировании систем наночастиц. Это обстоятельство существенно ограничивает класс систем, доступных для моделирования. В частности, параметры таких систем (размеры и число частиц) оказываются весьма далекими от параметров экспериментально исследуемых образцов. Использование Фурье-алгоритма вычисления дипольного поля позволяет довольно существенно ослабить эти ограничения. Однако практическое применение Фурье метода сталкивается с рядом проблем. Главная из них состоит в том, что вместо правильного поля конечной системы частиц фактически вычисляется поле бесконечного периодического продолжения этой системы. Чтобы такая замена не вносила существенных ошибок в поле, а, следовательно, и в динамику системы, период должен быть велик по сравнению с размером частиц, что опять таки ограничивает возможные размеры системы.

В последнем разделе 7.4 этой главы описывается структура и возможности разработанного в ИФМ РАН \Утс1отсБ-приложения БШМАС для моделирования систем магнитных наночастиц. Эта программа во многом аналогична существующим системам, таким например, как широко распространенная программа ООММР [3], однако имеет и существенные отличия, благодаря которым широко используется для интерпретации результатов ведущихся в ИФМ РАН экспериментальных исследований си-

стем магнитных наночастиц. Для иллюстрации приводится вид некоторых диалоговых окон, предоставляемых пользователю на этапе запуска процесса моделирования конкретной системы, а также некоторые результаты работы программы и их сравнение с экспериментальными данными. На рис.7 показано рассчитанное с помощью программы ЭММАв стационарное распределение намагниченности в прямоугольной наночастице в вихревом состоянии, а на рис.8 - рассчитанное и экспериментальное изображение такой частицы, получаемое с помощью магнито-силового микроскопа.

яшшшшш

* * * * ** * ? ? * I

^ ' ^ я я я $ $ $ ^ \ \ \ \ ' ^ \ \ ^ \ \ \ я * * I Ь Ь

Рис. 7: Распределение намагниченности в прямоугольной магнитной наночастице в вихревом состоянии

Рис. 8: Рассчитанное (а) и экспериментальное (б) магнитосиловое изображение эллиптической магнитной частицы в вихревом состоянии

Приложение ЭШМАС зарегистрировано в Государственном Реестре программ для ЭВМ, Свидетельство № 2011612679 от 1 апреля 2011 г.

Последняя 8-ая глава диссертации посвящена применению теории случайных групп для анализа характеристик излучения в оптических волокнах со случайным кручением осей анизотропии.

Статистические параметры света, распространяющегося в одномодо-вом волоконном световоде (ОВС) со случайными неоднородностями иг-

рают важную роль в связи с широким применением ОВС в различных современных и перспективных областях техники, таких как оптическая связь [16,17] и производство и оптимизация параметров датчиков различных физических величин [18, 19, 20, 21, 22].

Существование случайных иеоднородностей в реальных оптических волокнах приводит к возникновению связи ортогональных поляризационных мод, которая вызывает обмен энергией между ними. В свою очередь, связь мод приводит к случайным вариациям степени поляризации излучения в волокне и, как следствие, к нежелательным явлениям в устройствах и линиях связи на основе ОВС [23, 24, 25, 26]. Для достаточно длинных волокон даже малые случайные неоднородности сильно влияют на характеристики излучения и делают их теоретический анализ важной (и не простой) задачей.

Разработанная математическая модель случайных кручений оптического волокна успешно применялась для численного моделирования оптоволоконных устройств, см. [27].

Заметим, что методы теории случайных групп успешно применялись автором и в других задачах [А34].

В разделе 8.2 строится случайный процесс на компактной группе, который используется в следующем разделе для моделирования и анализа влияния случайных кручений оптического волокна на степень поляризации света в нем. Этот процесс представляет собой последовательность независимых одинаково распределенных интервалов, в каждом из которых значение случайного элемента группы постоянно. Предполагается, что в различных интервалах эти элементы независимы и одинаково распределены.

Затем формулируются основные результаты главы, детально описывающие статистические характеристики света в волокне. Одним из важных инструментов исследования оказывается известная предельная теорема для распределения произведения случайных матриц, называемая теоремой о тасовке карт, которая утверждает, что соответствующая мера на группе есть (единственная) нормированная инвариантная мера (мера Хаара). Приводятся математические формулировки утверждений, касающихся предельных средних значений таких физических величин, как матрица когерентности и степень поляризации, а также формулируются результаты об асимптотическом поведении этих величин при стремлении длины волокна к бесконечности. Одним из наиболее интересных результатов является утверждение о нулевой предельной степени поляризации. Также сравниваются асимптотики диагональных элементов матрицы когерентности, вычисленные в рамках теории возмущений и в предложенном

"строгом" подходе, и показывается, что они близки при достаточно малых кручениях волокна. Важно отмстить, что сформулированные утверждения носят весьма общий характер и, в частности, не зависят от конкретного вида распределений длин однородных участков волокна и скоростей вращения осей анизотропии в них.

В разделе 8.3 приводятся строгие и подробные математические доказательства утверждений предыдущего раздела.

В разделе 8.4 рассматривается другая - "шумовая" - модель случайных кручений, ранее использовавшаяся во многих физических работах. Показывается, что в рамках этой модели распространение света в волокне следует описывать стохастической деформацией системы уравнений для комплексных амплитуд электрического поля в однородном волокне, поскольку эта система имеет интеграл движения, который должен сохраняться и в волокне со случайными кручениями (понятие стохастической деформации определено в разделе 7.2 диссертации). Анализ построенных стохастических уравнений показывает, что, во-первых, эти уравнения удовлетворяют условиям существования гиббсовского предельного распределения, и во-вторых, это предельное распределение вектора комплексных амплитуд электрического поля является в данном случае инвариантной мерой на трехмерной сфере, поскольку, согласно результатам раздела 5.1, оно является обобщенным распределением Гиббса на поверхности уровня интегралов. Из этих результатов следует, что и в шумовой модели случайных кручений предельная степень поляризации света равна нулю.

В Заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты работы

1. Предложено операторное определение понятия трансфер-матрицы кусочно однородного волновода, основанное на теории самосопряженных расширений симметрических операторов в гильбертовых пространствах. Применение этого определения позволило доказать сходимость конечномерных аппроксимаций трансфер-матриц. На основе этих аппроксимаций разработаны алгоритмы и программы расчета электромагнитных полей в волноводах с кусочно-постоянным поперечным сечением.

2. Показано, что метод трансфер-матриц можно применять для расчета волноводов и в случае неэрмитова поперечного оператора. Применение этого метода для численного моделирования транспорта квазичастиц в мезоскопических сверхпроводящих цилиндрах в вихревом состоянии

позволило обнаружить и затем теоретически обосновать существование распространяющихся квазичастичных мод с энергией Ферми в цилиндрах с радиусом порядка нескольких длин когерентости.

3. Предложена конструкция конечномерных операторов, являющихся аналогами дифференциальных операторов краевых задач математической физики. Показано, как эти операторы аппроксимируют соответствующие непрерывные задачи. На основе этой конструкции разработан новый численный алгоритм решения краевых задач для уравнения Гельм-гольца в двумерных областях сложной структуры.

4. Исследованы свойства дискретной двумерной калибровочно-инвариапт-ной модели уравнений Гинзбурга-Ландау. На основе формального определения вихрей в дискретной системе предложен алгоритм вычисления координат вихрей, основанный на дискретном аналоге интеграла Коши. Этот алгоритм позволяет следить за динамикой вихревых конфигураций в сверхпроводящих пленках в процессе моделирования.

5. Разработаны численные методы и алгоритмы моделирования динамики вихревых состояний в сверхпроводящих пленках в рамках уравнений Гинзбурга-Ландау. Эти алгоритмы используют методы решения двумерного разностного уравнения Пуассона, развитые в диссертации, что позволяло моделировать динамику параметра порядка в пленках сложной геометрии. На базе этих методов и алгоритмов создан программный комплекс с графическим пользовательским интерфейсом, позволяющий моделировать системы различной геометрии в присутствии внешних электромагнитных полей, визуализировать динамику вихрей, параметра порядка и внешних полей, а также вычислять различные характеристики состояния сверхпроводника, в частности, допускающие измерение в эксперименте.

6. Предложена дискретная модель уравнения типа Бте-СоЫоп, описывающего динамику фазы параметра порядка в кольцевом распределенном джозефсоновском контакте. Разработан устойчивый неявный численный метод решения этих дискретных уравнений и алгоритм детектирования движущихся джозефсоновских вихрей. В результате численного моделирования обнаружена генерация мод шепчущей галереи вращающимися джозефсоновскими вихрями в кольцевом контакте.

7. Разработаны численные методы, алгоритмы и программы моделирования систем связанных распределенных одномерных джозефсоновских систем, изучена динамика вихревых решеток в таких системах.

8. Введено и изучено понятие стохастической деформации динамических систем. Построены стохастические деформации, сохраняющие интегралы движения невозмущенной системы и обладающие гиббсовским стационарным распределением. Показано, что динамика системы взаимодействующих магнитных диполей в присутствии шумового магнитного поля описывается стохастической деформацией уравнения Ландау-Лифшица-Гильберта. Такое описание обеспечивает сохранение модулей отдельных дипольных моментов и существование гиббсовского равновесного распределения системы, определяемого свободной энергией невозмущенной системы, включающей энергию магнитостатического взаимодействия, обменную энергию и энергию взаимодействия с внешним магнитным полем.

9. Разработан программный комплекс с графическим пользовательским интерфейсом для моделирования динамики намагниченности в системах квазидвумерных магнитных наночастиц. Приложение обладает широким спектром возможностей визуализации, в частности, позволяет моделировать получаемые с помощью магнитосилового микроскопа изображения распределений намагниченности в частицах. Численные методы и алгоритмы, положенные в основу разработанного программного комплекса, используют стохастические деформации уравнений Ландау-Лифшица-Гильберта и дискретные аппроксимации функционала свободной энергии системы.

10. Для анализа влияния случайных кручений оптического волокна на степень поляризации узкополосного излучения предложена статистическая модель случайных кручений. В рамках этой модели показано, что эволюция амплитуд поляризационных мод в волокне описывается произведением большого количества одинаково распределенных унитарных матриц. Строгий математический анализ на основе теории случайных групп показывает, что в пределе бесконечно длинного волокна степень поляризации равна нулю. В рамках этого подхода получены также оценки длины деполяризации излучения. На основе стохастических деформаций уравнения эволюции мод показано также, что утверждение о нулевой предельной степени поляризации остается справедливым и в случае нулевой длины корреляции случайных кручений.

Список литературы

[1] http://www.ansoft.com/products/hf/№ss/

[2] http://web.awrcorp.com/Usa/Products/Microwave-Office

[3] http://math.nist.gov/oommf/

[4] Треногин B.A. Функциональный анализ. - M.: Физматлит, 2002. -488 с.

[5] Gordon E.I. Nonstandard Methods in Commutative Harmonic Analysis.

- AMS, 2001.

[6] Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. -М.: Мир, 1969.-448 с.

[7] Londergan J.T. Binding and scattering in two-dimensional systems: applications to quantum wires, waveguides and photonic crystals. / J.T. Londergan, J.P. Carini, D.P. Murdock - New York: Springer, 2000.

- 232 pp.

[8] Митра P. Аналитические методы терии волноводов. / Р. Митра, С. Ли. - М.: Мир, 1974. - 323 с.

[9] Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. - М.: Мир, 1968.

- 280 с.

[10] Уоткинс Д.С. Основы матричных вычислений. - М.: Бином. Лаборатория знаний, 2009 - 664 с.

[И] Дезин А. Многомерный анализ и дискретные модели. - М.: Наука, 1990. - 240 с.

[12] Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение. / Д. Ка-ханер, К. Моулер, С. Нэш - М.: Мир, 2001. - 575 с.

[13] Ахиезер Н.И. Теория линейных опреторов в Гильбертовом пространстве. / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман - М.: Наука, 1966. - 544 с.

[14] Бахвалов Н.С. Численные методы. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков - М.: Бином, 2008. - 636 с.

[15] Hubert A. Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. / A. Hubert, R. Shiifer - Springer, 1998. - 696 p.

[16] Okoshi Т. Coherent optical fiber communications / T. Okoshi K. Kikuchi

- Springer, 1988. - 296 pp.

[17] Дианов E.M. На пороге Тера-эры. // Квантовая эл-ка. - 2000. - Т. 30. - N 8. - С. 659-663.

[18] Vali V. Fiber Ring Interferometer / V. Vali, R.W. Shorthill // Appl. Opt. - 1976. - Vol. 15. - N 5. - P. 1099-1100.

[19] Lefevre H. Fiber-optic gyroscopes. - Artech House, 1993. - 313 pp.

[20] Гурьянов A.H. Высокочувствительный волоконно-оптический датчик вращения / A.H. Гурьянов, Д.Д. Гусовский, Г.Г. Девятых , Е.М. Дианов, А.Я. Карасик, В.А. Козлов, A.M. Прохоров, А.К. Сенаторов // ДАН СССР. - 1983. - Т. 269. - № 2. - С. 334-336.

[21] Гурьянов А.Н. Датчик вращения на основе деполяризующего одно-модового световода / А.Н. Гурьянов, Д.Д. Гусовский, Г.Г. Девятых , Е.М. Дианов, А.Я. Карасик, В.А. Козлов, A.M. Прохоров, А.К. Сенаторов // Письма в ЖТФ. - 1985. - Т. И. - Вып. 6. - С. 321-325.

[22] Дианов Е.М. Волоконно-оптический датчик вращения / Е.М. Дианов, А.Я. Карасик, В.А. Козлов, А.К. Сенаторов // Труды ИОФ АН.

- 1988. - Т. 15. - С.140-164.

[23] Rashleigh S.C. Origins and control of polarization effects in single-mode fibers // J. Lightwave Techn. - 1983. - Vol. LT-1. - N 2. - P. 312-331.

[24] Noda J. Polarization-maintaining fibers and their applications / J. Noda, K. Okamoto, Y. Sasaki // J. Lightwave Techn. - 1986. - Vol. LT-4. - N 8.

- P. 1071-1089.

[25] Poole C.D. Statistical treatment of polarization dispersion in single-mode fiber // Opt. Lett. - 1988. - Vol. 13. - N 8. - P. 687-689.

[26] Gisin N. Polarization mode dispersion of short and long single-mode fibers / N. Gisin, J.P. Von der Wied, J.P. Pellaux // J. Lightwave Tech.

- 1991. - Vol. 9. - N 9. - P. 821-827.

[27] Малыкин Г.Б. Поляризационные эффекты в кольцевых интерферометрах. / Г.Б. Малыкин, В.И. Позднякова - Н.Новгород: ИПФ РАН, 2008. 208 с.

Список журнальных публикаций автора по теме

диссертации

Al. Semenov V.E. Simulation of multipactor thresholds in shielded microstrip lines / V.E. Semenov, E.I. Rakova, A.G. Sazontov, I.M. Nefedov, V.I. Pozdnjkova, I.A. Shereshevskii, D. Anderson, M. Lisak, J. Puesh // J. Phys. D: Appl. Phys. - 2009. - Vol. 42. - P. 205204(l)-205204(7).

A2. Jordan U. Microwave corona breakdown around metal corners and wedges / U. Jordan, D.S. Dorozhkina, V.E. Semenov, T. Olsson, D. Andersen, M. Lisak, J. Puech, I.M. Nefedov, I.A. Shereshevskii // IEEE Trans, on Plasma Physics. - 2007. - Vol. 35. - №3. - P. 542-550.

A3. Kopnin N.B. Enhanced vortex heat conductance in mesoscopic superconductors / N.B. Kopnin, A.S. Mel'nikov, V.I. Pozdnjakova, D.A. Ryzhov, I.A. Shereshevskii, V.M. Vinokur // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 75. - P. 024514.

A4. Kopnin N.B. Giant oscillations of energy levels in mesoscopic superconductors / N.B. Kopnin, A.S. Mel'nikov, V.I. Pozdnyakova, D.A. Ryzhov, I.A. Shereshevskii, V.M. Vinokur // Phys. Rev. Lett. - 2005. - Vol. 95. -P. 197002.

A5. Окомелькова И.А. Быстрый метод вычисления резольвент разностных краевых задач / И.А. Окомелькова, И.А. Шерешевский // Ма-тем. моделирование. - 1995. - Т. 7. - № 5. - С. 89.

А6. Нефедов И.М. О вычислении экспонент от разностных операторов / И.М. Нефедов, И.А. Шерешевский // Матем. моделирование. - 1995. - Т. 7. - № 5. - С. 88.

А7. Мельников А.С. О нелинейной стадии спинодального распада в многослойных структурах / А.С. Мельников, И.М. Нефедов, А.А. Фра-ерман, И.А. Шерешевский // ЖЭТФ. - 1996. - Т. 109. - № 2. - С. 683-688.

А8. Мельников А.С. Динамика одномерного зародыша в распадающихся твердых растворах / А.С. Мельников, А.А. Фраерман, И.А. Шерешевский // ЖЭТФ. - 1996. - Т. 110. - № 3. - С. 1095-1104.

А9. Fraerman А.А. Nonlinear relaxation dynamics in decomposing alloys: One-dimensional Cahn-Hilliard model / A.A. Fraerman, A.S. Melnikov, I.M. Nefedov, I.A. Shereshevskii et al. // Phys. Rev. B. - 1997. - Vol. 55(10). - P. 63166323.

AlO. Нефедов И.М. О решении разностных начально-краевых задач методом операторной экспоненты / И.М. Нефедов, И.А. Шерешевский // Матем. моделирование. - 1997. - Т. 9. - № 5. - С. 97-107.

All. Nefedov I.M. Operator exponential method for initial-boundary value problems / I.M. Nefedov, LA. Shereshevskii // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2001. - V. 8. - N. 3. - P. 313-324.

A12. Shereshevskii I. A. A Finite Dimension Analog of the Krein Formula // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2001. - V. 8. - N. 4. - P. 446-457.

A13. Andronov A. A. Cinematic vortices and phase slip lines in the dynamics of the resistive state of narrow superconductive thin film channels / A. A. Andronov, I. Gordion, V.V. Kurin, I.M. Nefedov, I.A. Shereshevskii // Physica C. - 1993. - Vol. 213. - P. 193-199.

A14. Андронов A.A. Моделирование резистивного состояния сверхпроводящих пленок в магнитном поле на основе нестационарного уравнения Гинзбурга-Ландау / А.А. Андронов, П.П. Вышеславцев, В.В. Курин, И.М. Нефедов, И.А. Шерешевский // Изв. ВУЗов, Радиофизика. -1997. - Т. XL(12). - С. 213-231.

А15. Mel'nikov A.S. Nonsingular vortices in (d+s)-wave superconductors / A.S. Mel'nikov, D.A. Ryzhov, I.M. Nefedov, I.A. Shereshevskii, P.P. Vy-sheslavtsev // Phys. Rev. B. - 2000. - Vol. 62(17) - P. 11820-11825.

A16. Mel'nikov A.S. Vortex states and magnetization curve of square meso-scopic superconductors / A.S. Mel'nikov, I.M. Nefedov, D.A. Ryzhov, I.A. Shereshevskii, V.M. Vinokur, P.P. Vysheslavtsev // Phys. Rev. B.

- 2002. - Vol. 65. - P. 140503.

A17. Bystrov A.S. Singular and non-singular vortices in high-temperature superconductors / A.S. Bystrov, A.S. Melnikov, I.M. Nefedov, D.A. Ryzhov, I.A. Shereshevskii, P.P. Vysheslavtsev // Physica C. - 2003. - Vol. 388-389

- P. 657-658.

A18. Мельников А.С. Математическое моделирование вихревых состояний в мезоскопических сверхпроводниках / А.С. Мельников, Д.А. Рыжов, М.А. Силаев, И.А. Шерешевский // Наноструктуры: Матфизика и моделирование. - 2010. - Т. 2. - № 2. - С. 57-117.

А19. Kurin V.V. Cherenkov radiation of vortices in a twodimensional annular Josephson junction / V.V. Kurin, A.V. Yulin, I.A. Shereshevskii, N.K. Vdo-vicheva // Phys. Rev. Lett. - 1998. - Vol. 80. - N 15. - P. 3372-3375.

A20. Wallraff A. Whispering vortices / A. Wallraff, A.V. Ustinov, V.V. Kurin, I.A. Shereshevsky, N.K. Vdovicheva // Phys. Rev. Lett. - 2000. - Vol.84. -NI.- P.151-154.

A21. Ryndyk D.A. Dynamics and transformations of the Josephson vortex lattice in layered superconductors / D.A. Ryndyk, V.I. Pozdnjakova, // I.A. Shereshevskii, N.K. Vdovicheva // Phys. Rev. B. - 2001. - Vol. 64. -P. 052508.

A22. Fraerman A.A. Magnetization curves for two-dimensional rectangular lattices of permaloy nanoparticles: experimental investigation and numerical simulation / A.A. Fraerman, S.A. Gusev, I.M. Nefedov, Yu.N. Nozdrin, I.R. Karetnikova, L.A. Mazo, M.V. Sapozhnikov, I.A. Shereshevsky, L.A. Sukhodoev // J.Phys.: Condensed Matter. -2001. - Vol. 13. - P. 683689.

A23. Каретникова И.Р. Неоднородные состояния и механизм перемагничи-вания цепочки классических диполей / И.Р. Каретникова, И.М. Нефёдов, М.В. Сапожников, А.А. Фраерман, И.А. Шерешевский // ФТТ. - 2001. - Т. 43. - Вып. 11. - С. 2030-2034.

А24. Fraerman A.A. The collective behavior of circular nanomagnets / A.A. Fraerman, S.A. Gusev, L.A. Mazo, I.M. Nefedov, Yu.N. Nozdrin, I.R. Karetnikova, M.V. Sapozhnikov, I.A. Shereshevskii // The Physics of Metal and Metallography. - 2001. - Vol. 91. - Suppl. 1. - P. S121-S124.

A25. Fraerman A.A. Numerical simulation of the dipole interaction effects in the lattices of ferromagnetic particles / A.A. Fraerman, I.R. Karetikova, I.M. Nefedov, M.V. Sapozhnikov, I.A. Shereshevskii // The Physics of Metal and Metallography. - 2001. - Vol. 92. - Suppl. 1. - P. S226-S230.

A26. Fraerman A.A. Rectangular lattices of permalloy nanoparticles: Interplay of single-particle magnetization distribution and interparticle interaction / A.A. Fraerman, S.A. Gusev, L.A. Mazo, I.M. Nefedov, Yu.N. Nozdrin, I.R. Karetnikova, M.V. Sapozhnikov, I.A. Shereshevskii, L.V. Sukhodoev // Phys. Rev. B. - 2002. - Vol. 65. - P. 064424(l)-064424(5).

А27. Fraerman A.A. Magnetization reversal of a nanoscale ferromagnetic disk placed above superconductor / A.A. Fraerman, I.R. Karetnikova, I.M. Ne-fedov, M.A. Silaev, I.A. Shereshevskii // Phys. Rev. B. - 2005. - Vol. 71.

- P. 094416(1)-094416(7).

A28. Миронов B.JI. Переходы между однородным и вихревым состояниями намагниченности ферромагнитных наночастиц в неоднородном магнитном поле / В.Л. Миронов, Б.А. Грибков, А.А. Фраерман, И.Р. Каретникова, С.Н. Вдовичев, С.А. Гусев, И.М. Нефедов, И.А. Шере-шевский // Известия РАН, серия физическая. - 2007. - Т. 71. - № 1. -С. 53-56.

А29. Mironov V.L. MFM probe control of magnetic vortex chirality in elliptical Co nanoparticlcs / V.L. Mironov, B.A. Gribkov, A.A. Fraerman, S.A. Gu-sev, S.N. Vdovichev, I.R. Karetnikova, I.M. Nefedov, I.A. Shereshevsky // JMMM. - 2007. - Vol. 312,- N 1. - P. 153-157.

A30. Shereshevskii I.A. On stochastic deformations of dynamical systems // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2010. - Vol. 17. - Supp. N01. - P. 71-85.

A31. Mironov V.L. Control of the magnetic state of arrays of ferromagnetic nanoparticles with the aid of the inhomogeneous field of a magnetic-forcc-microscope probe / V.L. Mironov, A.A. Fraerman, B.A. Gribkov, O.L. Ermolaeva, A.Yu. Klimov, S.A. Gusev, I.M. Nefedov, I.A. Shereshevskii // The Physics of Metals and Metallography. - 2010. - Vol. 110.

- N. 7. - P. 708-734.

A32. Малыкин Г.Б. Теоретические оценки дрейфа нуля в волоконном гироскопе / Г.Б. Малыкин, И.М. Нефедов, И.А. Шерешевский // Гиро-скопия и навигация. - 1994. - № 2(5). - С. 88-89.

АЗЗ. Malykin G.B. Random Groups in the Optical Waveguides Theory / G.B. Malykin, V.I. Pozdnyakova, I.A. Shereshevskii // Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2001. - Vol. 8. - N 4. - P. 491-517.

A34. Khaymovich I.M. Andreev transport in two-dimensional normal-superconducting systems in strong magnetic fields / I.M. Khaymovich, N.M. Chtchelkatchev, I.A. Shereshevskii, A.S. Mel'nikov// Euro Physical Letters. - 2010. - Vol. 91. - P. 17005.

Содержание диссертации

Введение

Глава 1. Самосопряженные операторы в теории волноводов и сходимость метода трансфер-матриц

1.1. Математическая модель ступенчатого волновода

1.1.1. Абстрактный однородный волновод

1.1.2. Абстрактный ступенчатый волновод

1.2. Оператор рассеяния

1.2.1. Самосопряженные расширения оператора о

1.2.2. Самосопряженные расширения и "граничные условия"

1.2.3. Резольвента оператора 'Жу и оператор рассеяния

1.3. Общие свойства оператора рассеяния

1.3.1. О конечномерной аппроксимации операторов в гильбертовом пространстве

1.3.2. Аппроксимация оператора рассеяния

1.3.3. Неограниченность оператора рассеяния. Пример

1.4. Многоступенчатые волноводы и оператор рассеяния

Глава 2. Применения метода трансфер-матриц: расчет электромагнитных полей в корругированных электродинамических волноводах

2.1. Введение

2.2. Собственные моды цилиндрического волновода с произвольным сечением

2.3. Матрица рассеяния интерфейса двух однородных волноводов с разным поперечным сечением

2.4. Вычисление амплитуд мод в кусочно-однородном волноводе: метод матричной прогонки

2.5. Сохранение потока мощности

2.6. Волновод с прямоугольным сечением

2.7. О программе SEMA

Глава 3. Применение метода трансфер-матриц: квазичастичный транспорт в цилиндрических NSN-волноводах

3.1. Введение

3.2. Уравнения Боголюбова-де Жена

3.3. Решения уравнений в нормальном металле in- и ouí-состояния

3.4. Матрицы рассеяния. Определение и основные свойства

3.5. О решении краевых задач (3.23) и (3.24)

3.6. Конечномерные аппроксимации и численное решение задачи Коши

3.6.1. Метод Кранка-Николсопа для уравнения (3.38)

3.6.2. Копечно-разпостпая аппроксимация

3.6.3. Разложение по собственным функциям

3.7. Соотношения симметрии

3.8. Некоторые результаты численных экспериментов

Глава 4. Разностные краевые задачи и формула Шермана-Моррисоиа Крейна

4.1. Введение

4.2. Операторы Лапласа на графах

4.3. Вычисление резольвенты лапласиана на подмножестве прямоугольной сетки

4.3.1. Лапласиан в прямоугольнике и дискретное преобразование Фурье

4.3.2. "Дырки" и граничный оператор

4.3.3. Примеры

4.4. Заключение

Глава 5. Динамика вихревых конфигураций в мезоскопической сверхпроводящей пленке

5.1. Введение

5.2. Уравнение Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящего параметра порядка

5.2.1. Стационарная теория Гинзбурга-Ландау

5.2.2. Нестационарная теория Гинзбурга-Ландау

5.2.3. Вихри в массивном сверхпроводнике

5.2.4. Вихри в мезоскопическом сверхпроводнике

5.3. Конечномерные аппроксимации функционала и уравнений Гинзбурга-Ландау

5.4. О программном комплексе вЬОО

Глава 6. Динамика низкоразмерных джозефсоновских систем

6.1. Введение

6.2. Вихри в кольцевом джозефсоновском контакте

6.3. Алгоритм численного моделирования джозефсоновского кольца

6.4. Перестройка вихревых решеток в слоистом сверхпроводнике с учетом неравновесных эффектов

Глава 7. Стохастические уравнения и моделирование микромагнитных систем

7.1. Введение

7.2. Стохастические деформации динамических систем

7.2.1. Динамические системы с шумом и теорема Воига-Закаи

7.2.2. Распределение Гиббса как устойчивое состояние динамических систем с шумом

7.2.3. Интегралы движения стохастического дифференциального уравнения

7.2.4. Пример: магнитный диполь в шумовом магнитном поле

7.3. Численное моделирование динамики взаимодействующих магнитных наночастиц

7.3.1. Свободная энергия микромагнитной системы и собственное магнитное поле

7.3.2. Приближения для магнитостатической энергии и поля: метод конечных элементов

7.3.3. Приближения для магнитостатической энергии и поля: Фурье-алгоритм

7.3.4. О вычислении обменного поля и поля анизотропии

7.3.5. Динамика намагниченности: уравнения ЛЛГ

7.4. О программном комплексе 31ММАС

Глава 8. Применения теории случайных групп для исследования

характеристик волоконных световодов

8.1. Введение

8.2. Основные определения, уравнения и результаты

8.3. Доказательства основных утверждений

8.3.1. Предельные распределения случайных матриц. Доказательство теоремы 8.2.2

8.3.2. Предельное распределение электрического поля. Доказательство следствия 8.2.1

8.3.3. Асимптотическая независимость полей при разных частотах. Доказательство следствия 8.2.2

8.3.4. Предельные значения матрицы когерентности и степени поляризации. Доказательство следствий 8.2.3 и 8.2.4

8.3.5. /г-параметр в волокне с нулевым средним кручением. Доказательство предложения 8.2.1

8.3.6. /г-параметр в рамках теории возмущений. Доказательство предложения 8.2.2

8.3.7. Асимптотика степени поляризации. Доказательство предложения 8.2.3

8.4. Приближение нулевой длины корреляции случайных кручений

Заключение

Список литературы

Подписано к печати 23. 12. 2011 г. Тираж 100 экз.

Отпечатано на ризографе в Институте физики микроструктур РАН, 607680, Нижегородская область, Кстовский район, д. Афоинно, ул. Академическая, д.7

Введение

Глава 1 Самосопряженные операторы в теории волноводов и сходимость метода трансфер-матриц.

1.1 Математическая модель ступенчатого волновода.

1.1.1 Абстрактный однородный волновод.

1.1.2 Абстрактный ступенчатый волновод.

1.2 Оператор рассеяния.

1.2.1 Самосопряженные расширения оператора Wq.

1.2.2 Самосопряженные расширения и "граничные условия"

1.2.3 Резольвента оператора Wy и оператор рассеяния

1.3 Общие свойства оператора рассеяния.

1.3.1 О конечномерной аппроксимации операторов в гильбертовом пространстве

1.3.2 Аппроксимация оператора рассеяния.

1.3.3 Неограниченность оператора рассеяния. Пример.

1.4 Многоступенчатые волноводы и оператор рассеяния.

Глава 2 Применения метода трансфер-матриц: расчет электромагнитных полей в корругированных электродинамических волноводах

2.1 Введение.

2.2 Собственные моды однородного цилиндрического волновода с произвольным сечением.

2.3 Матрица рассеяния интерфейса двух однородных волноводов с разным поперечным сечением.

2.4 Вычисление амплитуд мод в кусочно-однородном волноводе: метод матричной прогонки

2.5 Сохранение потока мощности.

2.6 Волновод с прямоугольным сечением.

2.7 О программе SEMA.

Глава 3 Применения метода трансфер-матриц: квазичастичный транспорт в цилиндрических NSN-волноводах.

3.1 Введение.

3.2 Уравнения Боголюбова-де Жена.

3.3 Решение уравнений в нормальном металле, гп- и ои£состояния.

3.4 Матрицы рассеяния. Определение и основные свойства.

3.5 О решении краевых задач (3.23), (3.24)

3.6 Конечномерные аппроксимации и численное интегрирование задачи Коши.

3.6.1 Метод Кранка-Николсона для уравнения (3.38).

3.6.2 Конечно-разностная аппроксимация

3.6.3 Разложение по собственным функциям.

3.7 Соотношения симметрии.

3.8 Некоторые результаты численных экспериментов.

Глава 4 Разностные краевые задачи и формула Шермана-Моррисона—Крейна.

4.1 Введение.

4.2 Операторы Лапласа на графах.

4.3 Вычисление резольвенты лапласиана на подмножестве прямоугольной сетки.

4.3.1 Лапласиан в прямоугольнике и дискретное преобразование Фурье.

4.3.2 "Дырки" и граничный оператор.

4.3.3 Примеры.

5.2 Уравнение Гинзбурга-Ландау для сверхпроводящего параметра порядка 105

5.2.1 Стационарная теория Гинзбурга-Ландау.105

5.2.2 Нестационарная теория Гинзбурга-Ландау.107

5.2.3 Вихри в массивном сверхпроводнике.109

5.2.4 Вихри в мезоскопическом сверхпроводнике .113

5.3 Конечномерные аппроксимации для уравнений и функционала Гинзбурга-Ландау.119

5.4 О программном комплексе GLDD.128

Глава 6 Динамика низкоразмерных джозефсоновских систем.133

6.1 Введение.133

6.2 Вихри в кольцевом джозефсоновском контакте .134

6.3 Алгоритм численного моделирования динамики джозефсоновского кольца . .141

6.4 Перестройка вихревых решеток в слоистом сверхпроводнике с учетом неравновесных эффектов.146

Глава 7 Стохастические уравнения и моделирование микромагнитных систем.157

7.1 Введение.157

7.2 Стохастические деформации динамических систем .158

7.2.1 Динамические системы с шумом и теорема Вонга-Закаи.161

7.2.2 Распределение Гиббса как устойчивое состояние динамических систем с шумом.163

7.2.3 Интегралы движения стохастического дифференциального уравнения .169

7.2.4 Пример: магнитный диполь в случайном магнитном поле.172

7.3 Численное моделирование динамики взаимодействующих магнитных наночастиц.174

7.3.1 Свободная энергия микромагнитной системы и собственное магнитное поле.174

7.3.2 Приближения для магнитостатической энергии и поля. Конечные элементы.177

7.3.3 Приближения для магнитостатической энергии и поля. Фурье-алгоритм.183

7.3.4 О вычислении обменного поля и поля анизотропии.187

7.3.5 Динамика намагниченности. Уравнения ЛЛГ.188

7.4 О программном комплексе SIMMAG.191

Глава 8 Применения теории случайных групп для исследования характеристик волоконных световодов.196

8.1 Введение. .196

8.2 Основные определения, уравнения и результаты.198

8.3 Доказательства основных утверждений .205

8.3.1 Предельные средние случайных матриц. Доказательство теоремы

8.2. 2.205

8.3.2 Предельное распределение электрического поля. Доказательство Следствия 8.2.1 .209

8.3.3 Асимптотическая независимость полей при разных частотах. Доказательство Следствия 8.2.2.209

8.3.4 Предельные значения матрицы когерентности и степени поляризации. Доказательство Следствий 8.2.3 и 8.2.4.214

8.3.5 /г-параметр в волокне с нулевым среднем кручением. Доказательство Предложения 8.2.1.216

8.3.6 Л-параметр в рамках теории возмущений. Доказательство Предложения 8.2.2.217

8.3.7 Асимптотика степени поляризации. Доказательство Предложения

8.2. 3.218

8.4 Приближение нулевой длины корреляции случайных кручений.224

Заключение.227

Литература.240

Введение

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Компьютерное моделирование физических систем является важным современным инструментом теоретических и прикладных исследований, роль которого непрерывно возрастает с развитием вычислительной техники, математических и численных методов. В теоретических исследованиях роль компьютерного моделирования обусловлена растущей сложностью математических моделей, точное решение которых, как правило, невозможно, как и качественное аналитическое исследование без дополнительных упрощений модели, не всегда адекватных исследуемой проблеме. В этой ситуации компьютерное моделирование может предоставить важную информацию о свойствах и поведении исследуемой системы в тех или иных конкретных условиях, которая затем может быть использована для конструирования приближенного математического описания решений. В экспериментальных исследованиях роль компьютерного моделирования, вероятно, еще более значительна. Во-первых, экспериментальные исследования современных физических проблем весьма дороги, и в этой связи предваряющее эксперимент моделирование исследуемой физической системы может существенно сузить область экспериментального поиска. Во-вторых, во многих случаях экспериментальные измерения носят косвенный характер, и для интерпретации результатов таких измерений информация, получаемая в результате моделирования, может оказаться очень важной. В-третьих, в некоторых случаях оказывается возможным применить численное моделирование для расчета параметров элементов систем (например, волноводов, антенн и т.п.), что опять-таки позволяет сократить расходы на проектирование и разработку таких систем, связанные с изготовлением многочисленных опытных образцов и измерением их параметров.

Следствием важной роли численного моделирования в физических исследованиях и инженерии стало создание большого числа программных систем для моделирования (таких например, как коммерческие пакеты HFSS или MicroWave Studio для моделирования широкого класса электродинамических и радиотехнических систем, или свободно распространяемый пакет OOMMF, разработанный одной из лабораторий Американского национального Института Стандартов (NIST) для моделирования микромагнитных систем). Разработан также целый ряд пакетов (типа МАТЬАВ или МАТСА1)), предназначенных для пользователей, не являющихся профессионалами в численных методах и программировании, но стремящихся самостоятельно заниматься численным моделированием. Кроме того, существует целый ряд коммерческих организаций (таких например, как АШОРТ), предоставляющих услуги как по разработке программ для численного моделирования, так и непосредственно по проведению численных экспериментов в интересах заказчика.

Другим следствием роста важности численного моделирования является необходимость разработки новых численных методов для эффективного решения новых задач, а также математическое обоснование новых и существующих методов. Такое обоснование также приводит к повышению качества и надежности результатов моделирования. Математическое исследование численных алгоритмов включает как анализ традиционных проблем, связанных с аппроксимацией, устойчивостью и сходимостью, так и изучение свойств конечномерных моделей уравнений математической физики и сопоставление их со свойствами этих уравнений. Математические модели физических процессов как правило формулируются в терминах операторов в бесконечномерных пространствах, в то время как численное моделирование всегда имеет дело с конечномерными объектами. Даже математически корректное определение конечномерных аппроксимаций исходных бесконечномерных объектов требует серьезного математического аппарата [1-3]. Анализ аппроксимаций показывает, что, во-первых, их конструкция очень неоднозначна, и, во-вторых, даже с учетом сходимости конечномерные аппроксимации могут не обладать существенными свойствами исходной модели. Например, многоточечные аппроксимации оператора Штурма-Лиувилля, как правило, являются несамоспряженны-ми конечномерными операторами. Еще одним важным примером является задача аппроксимации калибровочно-инвариантных операторов, возникающих, в частности, при моделировании сверхпроводящих систем. В этом случае требуется, во-первых, определить, что такое калибровочное преобразование в конечномерной модели, и, во-вторых, построить аппроксимацию, обладающую этим свойством. Заметим, что и в этом случае ни порядок аппроксимации, ни ее сходимость не связаны непосредственно с калибровочной инвариантностью.

Актуальность представленной работы обусловлена, с одной стороны, важностью как для фундаментальных, так и для прикладных исследований методов и программ моделирования и расчета конкретных физических систем (электромагнитных, оптических и сверхпроводящих волноводов, магнитных наноструктур), а с другой стороны, новизной и перспективностью развитых методов численного моделирования волновых процессов в таких системах. Выбор конкретных физических систем, для моделирования которых развивались предлагаемые методы, продиктован задачами, связанными с основными направлениями научной тематики Института физики микроструктур РАН.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы являлась разработка новых и адаптация существующих численных методов и алгоритмов для моделирования волновых процессов в различных областях физики (электродинамике сверхпроводимости, микромагнетизме, волоконной оптике), математическое обоснование этих методов, необходимое для контроля достоверности результатов моделирования, а также применение разработанных методов в программах моделирования физических систем в условиях, приближенных к экспериментальным.

Основными задачами диссертационной работы являлись:

1. Разработка математически обоснованных численных методов расчета различных характеристик кусочно-однородных волноводных структур, в том числе маломо-довых металлических кусочно-однородных электродинамических волноводов, используемых в системах связи, оптоволоконных световодов и квантовых систем — мезоскопических сверхпроводящих цилиндров, соединенных с нормальными металлическими проволоками.

2. Разработка и обоснование новых эффективных методов численного моделирования динамики вихревых конфигураций в низкоразмерных мезоскопических сверх-провдящих структурах — сверхпроводящих пленках сложной геометрии, квазиод-померных и двумерных джозефсоновских системах — с учетом влияния внешних электромагнитных полей.

3. Разработка численных методов и алгоритмов моделирования распределений намагниченности в микромагнитных системах и их магнитосиловых изображений, в том числе в решетках магнитных диполей и системах взаимодействующих магнитных наночастиц, находящихся во внешнем магнитном поле, с учетом влияния конечной температуры.

Научная и практическая значимость

Представленные в диссертационной работе исследования выполнялись в рамках проектов РФФИ (в том числе, под руководством автора работы), программ Президиума РАН, грантов ИНТАС и международных контрактов.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. В рамках абстрактной математической модели кусочно-однородных волноводов доказана сходимость конечномерных аппроксимаций трансфер-матриц. На основе этих аппроксимаций разработаны численные алгоритмы расчета полей в кусочно-однородных электродинамических волноводах и алгоритмы численного моделирования транспорта квазичастиц в мезоскопических сверхпроводящих цилиндрах в вихревом состоянии.

2. Предложен алгоритм численного решения краевых задач для дискретного уравнения Гельмгольца в двумерных областях сложной формы. Алгоритм использован для численного моделирования динамики параметра порядка в мезоскопических сверхпроводящих пленках.

3. Предложено понятие вихря в дискретной модели двумерной системы уравнений Гинзбурга-Ландау, на основе которого разработай численный алгоритм визуализации динамики вихревых конфигураций в мезоскопических сверхпроводящих пленках.

4. Предложено и исследовано понятие стохастической деформации динамических систем, с помощью которого найдены условия сохранения интегралов движения при наличии шума и существования гиббсовского равновесного распределения. Стохастические деформации уравнений Ландау-Лифщица-Гильберта использованы для численного моделирования динамики намагниченности в системах магнитных наночастиц при конечной температуре.

5. Предложена математическая модель волоконного световода со случайными кручениями осей анизотропии, на основе которой аналитически исследованы статистические характеристики немонохроматического света.

Практическая значимость результатов состоит в том, что:

1. На основе конечномерных аппроксимаций трансфер-матриц кусочно-однородных волноводов совместно с соавторами разработано Wiiidows-приложение SEMA для расчета полей в ступенчатых электродинамических волноводах, позволяющее рассчитывать с высокой точностью используемые на практике волноводные структуры.

2. Совместно с соавторами разработано Windows-приложение GLDD для моделирования динамики параметра порядка и вихревых конфигураций в мезоскопических сверхпроводящих пленках во внешних полях, позволяющее численно исследовать устройства на основе таких пленок и интерпретировать результаты экспериментов.

3. Разработанное совместно с соавторами \¥тс1о-№8-приложение БШМАС для моделирования динамики намагниченности в системах магнитных наночастиц позволяет исследовать равновесные распределения намагниченности в таких системах и переходы между ними и интерпретировать в терминах этих распределений результаты, полученные при исследовании систем частиц с помощью магнитосилового микроскопа и другими методами.

Приложения СЬБО и ЭШМАС зарегистрированы в Государственном Реестре программ для ЭВМ, свидетельства №2011612682 и №2011612679.

Личный вклад автора

Во всех совместных работах автору принадлежат математические методы и алгоритмы численного моделирования. Автор также принимал участие в построении математических моделей изучаемых физических процессов и проектировании программ, с помощью которых проводилось численное моделирование.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Абстрактная математическая модель, применимая для описания кусочно-однородных волноводов различной физической природы, позволяет развить и обосновать методы численного расчета электродинамических волноводных систем и квантовых цилиндрических волноводов с переходами сверхпроводник-нормальный металл.

2. Конечномерные модели дифференциальных операторов математической физики, представленные операторами в пространствах функций на графах, позволяют построить численные алгоритмы решения краевых задач для двумерного разностного уравнения Гельмгольца в двумерных областях сложной формы.

3. Конечномерная модель системы уравнений Гинзбурга-Ландау, основанная на аппроксимации операторов математической физики операторами на графах, сохраняет основные свойства исходной системы дифференциальных уравнений, такие, как калибровочная инвариантность и отсутствие электрического поля в стационарном состоянии, позволяет дать корректное математическое определение вихрей в дискретной системе и предложить численный алгоритм детектирования вихрей в процессе численного моделирования динамики мезоскопических сверхпроводящих пленок.

4. Конечномерные аппроксимации операторов типа sine-Gordon позволяют построить численные алгоритмы моделирования динамики распределенных джозефсо-новских систем. Результаты численного моделирования дают возможность исследовать структуру вихревых решеток в квазиодномерных многослойных джозеф-соновских системах и интерпретировать результаты измерений вольт-амперных характеристик кольцевых джозефсоновских контактов.

5. Стохастические деформации динамических систем, в отличие от обычных стохастических возмущений, обладают важными с точки зрения физических приложений свойствами: сохраняют интегралы движения невозмущенной системы и имеют гиббсовские равновесные состояния. Это позволяет применять такие деформации в численном моделировании динамики микромагнитных систем при конечной температуре.

С. Применение методов теории случайных групп для исследования статистических характеристик излучения в оптоволоконных световодах со случайными кручениями осей анизотропии позволяет получать аналитические результаты и строить эффективные алгоритмы моделирования различных оптоволоконных систем.

Апробация результатов

Результаты диссертации докладывались на семинарах ИФМ РАН, ИПФ РАН, НН-ГУ им. Н.И.Лобачевского, ПОМИ РАН, заседаниях Нижегородского Математического общества и на 27 российских и международных конференциях:

CI. IV Bilateral Soviet-German Seminar on high temperature superconductivity, St.Petersburg, 6-13 october, 1991.

C2. V German-CIS Bilateral Seminar on high temperature superconductivity, Kloster Bakz, Germany, 5-9 october, 1992

СЗ. Ill International Conference ISFOC, 1993, S.Peterburg

C4. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1994.

С5. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения", Саранск, 1996.

Сб. X Trilateral German-Russian-Ukrainian Seminar on High temperature Superconductivity, Nizhnii Novgorod, Russia, 11-15 Sept. 1997.

C7. International conference Mathematical Results in Quantum Mechanics (QMath7), Prague, June 22-26, 1998.

C8. Moscow International Symposium on Magnetism MISM99. 20-24 июня 1999.

C9. Nanostructures: physics and technology. 7th International Symposium St.Peterburg, Russia, June 14-18, 1999, Ioffe Institute.

CIO. 22nd International Conference on Low Temperature Physics (LT22), 1999, Espoo-Helsinki, Finland.

СИ. 32-ое Всероссийское совещание по физике низких температур, Казань, 3-6 октября 2000.

С12. Interdisciplinary International Conference PELS-2000, Polarisation Effects in Lasers, Spectroscopy and Optoelectronics, Univ. of Southampton, 6-8 September, 2000.

C13. Euro-Asian Symposium "Trends in Magnetism", Ekaterinburg, Russia, Feb. 27-March 2, 2001.

C14. Advanced Research Workshop "Fundamentals of electronic nanosystems", St.Petersburg, Russia (2005).

C15. Международный симпозиум "Нанофизика и нанофотоника 2005", Нижний Новгород, 2005.

С16. Moscow International Symposium on Magnetism, MISM-2005, 2005.

C17. X Симпозиум Нанофотоника и наноэлектроника, Н.Новгород, 2006.

С18. IEEE MTT-S 2006 International Microwave Symposium, 2005.

С19. International conference "Days on Diffraction'2007", St.Petersburg, May 29 - June 1,

2007.

C20. 10th Quantum Mathematics International Conference Moeciu, Romania, September 10-15, 2007

C21. XII Международный Симпозиум Нанофизика и наноэлектроника, Н.Новгород,

2008.

С22. VI International Workshop "Multipactor, Corona, and Passive Intermodulation". Valencia, Spain, 24-26 September 2008.

C23. International conference "Days on Diffraction'2008", St.Petersburg, June 3-6, 2008.

C24. 3-я Международная конференция "Фундаментальные проблемы высокотемпературной сверхпроводимости" (ФПС'08), Звенигород, 2008.

С25. 13-й Международный Симпозиум. Нанофизика и наноэлектроника, Н.Новгород, 2009.

С26. International Conference Days on Diffraction 2010, June 8-11, 2010 Saint Petersburg.

C27. International Conference Days on Diffraction 2011, May 30 - June 3, 2011, Saint Petersburg.

Публикации

Результаты диссертации опубликованы в оригинальных статьях в отечественных и зарубежных журналах, сборниках трудов и тезисах докладов на научных конференциях. Всего по материалам диссертации опубликовано 75 работ, из них 34 журнальных статьи. Полный список публикаций автора по теме диссертационной работы приведен в конце диссертации.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, 8 глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 250 страниц. Диссертация содержит 37 рисунков. Список литературы включает 164 наименования.

Заключение

1. Треногин В.А. Функциональный анализ. - М.: Физматлит, 2002. - 488 с.

2. Gordon E.I. Nonstandard Methods in Commutative Harmonic Analysis. AMS, 2001.

3. Коллатц Jl. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969. - 448 с.4. http://www.ansoft.com/products/hf/hfss/5. http://web.awrcorp.com/Usa/Products/Microwave-Off ice

4. Londergan J.T. Binding and scattering in two-dimensional systems: applications to quantum wires, waveguides and photonic crystals. / J.T. Londergan, J.P. Carini, D.P. Murdock New York: Springer, 2000. - 232 pp.

5. Никольский В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики.- М.: Наука, 1967. 460 с.

6. Watkins D.S. Fundamentals of Matrix Computations. John Wjley & Sons. Inc., New York, 2002. - 618 pp.

7. Дезин А. Многомерный анализ и дискретные модели. М.: Наука, 1990. - 240 с.

8. Каханер Д. Численные методы и программное обеспечение. / Д. Каханер, К. Мо-улер, С. Нэш М.: Мир, 2001. - 575 с.

9. Бахвалов Н.С. Численные методы. / Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков- М.: Бином, 2008. 636 с.

10. Hubert A. Magnetic domains: the analysis of magnetic microstructures. / A. Hubert, R. Shafer Springer, 1998. - 696 p.13. http://math.nist.gov/oommf/

11. Okoshi T. Coherent optical fiber communications / T. Okoshi K. Kikuchi Springer, 1988. - 296 pp.

12. Диаиов E.M. На пороге Тера-эры. // Квантовая эл-ка. 2000. - Т. 30. - N 8. - С. 659-663.

13. Vali V. Fiber Ring Interferometer / V. Vali, R.W. Shorthill // Appl. Opt. 1976. -Vol. 15. - N 5. - P. 1099-1100.

14. Vali V. Ring Interferometer 950 m Long /V. Vali, R.W. Shorthill // Appl. Opt. 1977.- Vol. 16. N 2. - P. 290-291.

15. Lefevre H. Fiber-optic gyroscopes. Artech House, 1993. - 313 pp.

16. Гурьянов A.H. Высокочувствительный волоконно-оптический датчик вращения /A.Н. Гурьянов, Д.Д. Гусовский, Г.Г. Девятых , Е.М. Дианов, А.Я. Карасик,B.А. Козлов, A.M. Прохоров, А.К. Сенаторов // ДАН СССР. 1983. - Т. 269. -№ 2. - С. 334-336.

17. Гурьянов А.Н. Датчик вращения на основе деполяризующего одномодового световода / А.Н. Гурьянов, Д.Д. Гусовский, Г.Г. Девятых , Е.М. Дианов, А.Я. Карасик, В.А. Козлов, A.M. Прохоров, А.К. Сенаторов // Письма в ЖТФ. 1985. - Т. 11. -Вып. 6. - С. 321-325.

18. Дианов Е.М. Волокопно-оптический датчик вращения / Е.М. Дианов, А.Я. Карасик, В.А. Козлов, А.К. Сенаторов // Труды ИОФ АН. 1988. - Т. 15. - С.140-164.

19. Rashleigh S.C. Origins and control of polarization effects in single-mode fibers //J. Lightwave Techn. 1983. - Vol. LT-1. - N 2. - P. 312-331.

20. Noda J. Polarization-maintaining fibers and their applications / J. Noda, K. Okamoto, Y. Sasaki //J. Lightwave Techn. 1986. - Vol. LT-4. - N 8. - P. 1071-1089.

21. Poole C.D. Statistical treatment of polarization dispersion in single-mode fiber // Opt. Lett. 1988. - Vol. 13. - N 8. - P. 687-689.

22. Gisin N. Polarization mode dispersion of short and long single-mode fibers / N. Gisin, J.P. Von der Wied, J.P. Pellaux // J. Lightwave Tech. 1991. - Vol. 9. - N 9. - P. 821-827.

23. Малыкин Г.Б. Поляризационные эффекты в кольцевых интерферометрах. / Г.Б. Малыкин, В.И. Позднякова Н. Новгород: ИПФ РАН, 2008. - 208 с.

24. Ландау Л.Д. Теоретическая физика, том И. Теория поля. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лиф-шиц М.: Физматлит, 2006. - 534 с.

25. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981. - 512 с.

26. Ахиезер Н.И. Теория линейных операторов в гильбертовом простанстве. / Н.И. Ахиезер, И.М. Глазман М.: Наука, 1966. - 544 с.

27. Лебедев А.В. Оператор рассеяния в ступенчатых волноводах и его кончномерные аппроксимации: Дипломная работа на степень баклавра. Нижегородский Государственный университет, факультет "Высшая школа общей и прикладной физики", Нижний Новгород, 2005.

28. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамович, И. Стиган. -М.: Наука, 1979. 832 с.

29. Джексон Дж. Классическая электродинамика. М.: Мир, 1965. - 700 с.

30. Андреев А. Ф. Теплопроводность промежуточных состояний сверхпроводников // ЖЭТФ. 1964. - Т. 46. - С. 1823-1828.

31. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. - 540 с.

32. Аткинсон Ф. Дискретные и непрерывные граничные задачи. / Пер. с англ. под ред. и с дополн. И. С. Каца и М. Г. Крейна М.: Мир, 1968. - 750 с.

33. Caroli С. Bound Fermion states on a vortex line in a type II superconductor / C. Caroli, P.G. de Genncs, J. Matricon // Phys. Lett. 1964. - Vol. 9(4). - P. 307-309.

34. Kahaner D. Numerical Methds and Software. / D. Kahaner, C. Moler, S. Nash PH Inc., 1989. - 504 pp.38. http://www.fftw.org

35. Абрикосов А. А. О магнитных свойствах сверхпроводников второй группы // ЖЭТФ. 1957. - Т. 32. - Вып. 6. - С. 1442-1452.

36. Boato G. Direct evidence for quantized flux threads in type II superconductors / G. Boato, G. Gallinaro, C. Rizutto // Solid State Commun. - 1965. Vol 3(8). -P. 173-176.

37. Fink H.J. Magnetic irreversible solution of the Ginzburg-Landau equations / H.J. Fink, A.G. Presson // Phys. Rev. 1966. - Vol. 151. - P. 219-228.

38. Barnes L.J. Contribution of surface currents to magnetic hysteresis in the mixed state of a type II superconductor / L.J. Barnes, H.J. Fink // Physics Letters. 1966. -Vol. 20(6). - P. 583-584.

39. Fink H.J. Superheating of the meissner state and the giant vortex state of a cylinder of finite extent / H.J. Fink, A.G. Presson // Phys. Rev. 1968. Vol. 168. P. 399-402.

40. McLachlan D. S. I quantum oscillations and the order of the phase charge in a low type II superconducting microcylinder // Solid State Commun. 1970. - Vol. 8(20). -P. 1589-1593.

41. Sandier E. Vortices in the Magnetic Ginzburg-Landau Model / E. Sandier, S. Serfaty // Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. Birkhauser, 2007. - Vol. 70. - 322 p.

42. Гинзбург В.Л. / В.Л. Гинзбург, Л.Д. Ландау // ЖЭТФ. 1950. - Т. 20. - С. 1064.

43. Шмидт В.В. Введение в физику сверхпроводников. М.: МЦНМО, 2000. - 402 с.

44. Абрикосов А.А. Основы теории металлов. М.: Физматлит, 2009. - 598 с.

45. Тинкхам М. Введение в сверхпроводимость. М.: Атомиздат, 1980. - 310 с.

46. Ландау Л.Д. Теоретическая физика, том V. Статистическая физика. Часть 1. / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц М.: Физматлит, 2001. - 616 с.

47. Де Жен П. Сверхпроводимость металлов и сплавов. М.: Мир, 1968. - 280 с.

48. Schmid A. A time-dependent Ginzburg-Landau equation and its application to the problem of resistivity in the mixed state // Phys. Kond. Materie. 1966. - Vol. 5. -P. 302-317.

49. Abrahams E. Time variation of the Ginzburg-Landau order parameter / E. Abrahams, T. Tsuneto // Phys. Rev. 1966. - Vol. 152. - N 1. - P. 416-432.

50. Горьков Л.П. Обобщение уравнений теории Гинзбурга-Ландау для нестационарных задач в случае сплавов с парамагнитными примесями / Л.П. Горьков, Г.М. Элиашберг // ЖЭТФ. 1968. - Т. 54. - С. 612-626.

51. Горьков Л.П. Движение вихрей и электросопротивление сверхпроводников второго рода в магнтном поле / Л.П. Горьков, Н.Б. Копнин // УФН. 1975. - Т. 116. - Вып. 7. - С. 413-448.

52. Watts-Tobin R.J. Nonequilibrium theory of dirty, current-carrying superconductors: phase-slip oscillators in narrow filaments near Tc / R.J. Watts-Tobin, Y. Krahenbuhl, L. Kramer // J. Low. Temp. Phys. 1981. - Vol. 42. - P. 459-501.

53. Kopnin N.B. Theory of noneqilibrium superconductivity. Oxford: Clarendon Press, 2001. - 328 pp.

54. Clem J. R. Simple Model for the vortex core in a type II superconductor //J. Low Temp. Phys. 1975. - Vol. 18. - P. 427-434.

55. Gustafson S. The Stability of Magnetic Vortices / S.Gustafson, I.M. Sigal // Commun. Math. Phys. 2000. - Vol. 212. - P. 257-275.

56. Gustafson S. Dynamic stability of magnetic vortices // Nonlinearity. 2002. - Vol. 15.- N 5. P. 1717-1728.

57. Romaguera A.R. de C. Tilted vortices in a superconducting mesoscopic cylinder /A.R. de C. Romaguera, M.M. Doria, F.M. Peeters // Phys. Rev. B. 2007. Vol. 75. -P. 184525(1)-184525(12).

58. Romaguera A.R. de C. Transverse magnetization and torque in asymmetrical mesoscopic superconductors / A.R. de C. Romaguera, M.M. Doria, F.M. Peeters // Phys. Rev.B. 2007. - Vol. 76. - P. 020505(l)-020505(4).

59. Chen Y. Vortices in a mesoscopic cone: A superconducting tip in the presence of an applied field / Y. Chen, M.M. Doria, F.M. Peeters // Phys. Rev. B. 2008. - Vol. 77.- P. 054511(1)-054511(13).

60. Buzdin A.I. Vortex structures in small superconducting disks / A.I. Buzdin, J.P. Bri-son // Phys. Lett. A. 1994. - Vol. 196. - P. 267-271.

61. Akkermans E. Mesoscopic superconductors in the London limit: Equilibrium properties and metastability / E. Akkermans, D.M. Gangardt, K. Mallick // Phys. Rev. B. 2001.- Vol. 63. P. 064523(1)-064523(15).

62. Serfaty S. Vortices in the Ginzburg-Landau model of superconductivity // Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Madrid, Spain, 2006.

63. Baelus B.J. Saddle-point and energy barriers for vortex entrance and exit in superconducting disks and rings / B.J. Baelus, F.M. Peeters, V.A. Schweigert // Phys. Rev. B.- 2001. Vol. 63. - P. 144517(1)-144517(12).

64. Baelus B.J. Dependence of the vortex configuration on the geometry of mesoscopic flat samples / B.J. Baelus, F.M. Peeters // Phys. Rev. B. 2002. - Vol. 65. -P. 104515(1)-104515(12).

65. Chibotaru L.F. Symmetry-induced formation of antivortices in mesoscopic superconductors / L.F. Chibotaru, A. Ceulemans, A.V. Bruyndoncx, V.V. Moshchalkov // Nature. 2000. - Vol. 408. - P. 833-835.

66. Singha Deo P. Magnetization of mesoscopic superconducting disks / P. Singha Deo, V.A. Schweigert, F.M. Peeters, A.K. Geim // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79. -P. 4653-4656.

67. Schweigert V.A. Vortex phase diagram for mesoscopic superconducting disks / V.A. Schweigert, F.M. Peeters, P. Singha Deo // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 81. -P. 2783-2786.

68. Schwcigert V.A. Phase transitions in thin mesoscopic superconducting disks / V.A. Schweigert, F.M. Peeters // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 57. - P. 13817-13832.

69. Palacios J.J. Vortex matter in superconducting mesoscopic disks: Structure, magnetization, and phase transitions // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 58. - P. R5948-R5951.

70. Geim A.K. Fine Structure in Magnetization of Individual Fluxoid States / A.K. Geim, S.V. Dubonos, J.J. Palacios, I.V. Grigorieva, M. Henini, J.J. Schermer // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 85. - P. 1528-1531.

71. Palacios J.J. Metastability and paramagnetism in superconducting mesoscopic disks // Phys. Rev. Lett. 2000. - Vol. 84. - P. 1796-1799.

72. Palacios J.J. Effective lowest Landau level treatment of demagnetization in superconducting mesoscopic disks/ J.J. Palacios, F.M. Peeters, B.J. Baelus // Phys. Rev. B. -2001. Vol. 64. - P. 134514(1)-134514(6).

73. Little W.A. Observation of quantum periodicity in the transition temperature of a superconducting cylinder / W.A. Little, R.D. Parks // Phys. Rev. Lett. 1962. -Vol. 9. - P. 9-12.

74. Saint-James D. Onset of superconductivity in decreasing fields / D. Saint-James, P.G. Gennes // Phys. Lett. 1963. - Vol. 7. - P. 306-308.

75. Saint-James D. Etude du champ critique H& dans une geometrie cylindrique // Phys. Lett. 1965. - Vol. 15. - P. 13-15.

76. Bruyndoncx V. Giant vortex state in perforated aluminum microsquares / V. Bruyndoncx, J.G. Rodrigo, T. Puig, L. Van Look, V.V. Moshchalkov, R. Jonckheere // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 60. - P. 4285-4292.

77. Jadallah H.T. Phase transition curves for mesoscopic superconducting samples / H.T. Jadallah, J. Rubinstein, P. Sternberg // Phys. Rev. Lett. 1999. - Vol. 82. -N 14 - P. 2935-2938.

78. Morelle M. Critical temperature oscillations in magnetically coupled superconducting mesoscopic loops / M. Morelle, V. Bruyndoncx, R. Jonckheere, V.V. Moshchalkov // Phys. Rev. B 2001. - Vol. 64. - P. 064516(1)-064516(7).

79. Moshchalkov V.V. Effect of sample topology on the critical fields of mesoscopic superconductors / V.V. Moshchalkov, L. Gielen, C. Strunk, R. Jonckheere, X. Qiu, C. van Haesendonck, Y. Bruynseraede // Nature. 1995. - Vol. 373. - R 319-321.

80. Geim A.K. Phase transitions in individual sub-micrometre superconductors /A.K. Geim, S.V. Dubonos, I.V. Grigorieva, K.S. Novoselov, F.M. Peeters, V.A. Schweigert // Nature. 1997. - Vol. 390. - P. 259-262.

81. Yampolskii S.V. Vortex structure of thin mesoscopic disks with enhanced surface superconductivity / S.V. Yampolskii, F.M. Peeters // Phys. Rev. B 2000. - Vol. 62.- P. 9663-9674.

82. Hakim V. Giant vortices in the Ginzburg-Landau description of superconductivity / V. Hakim, A. Lemaitre, K. Mallick // Phys. Rev. B. 2001. - Vol. 64. -P. 134512(1)-134512(15).

83. Bonca J. Phase transitions in the mesoscopic superconducting square / J. Bonca, V.V. Kabanov // Phys. Rev. B 2002. - Vol. 65. - P. 012509(1)-012509(4).

84. Chibotaru L.F. Vortex entry and nucleation of antivortices in a mesoscopic superconducting triangle / L.F. Chibotaru, A. Ceulemans, V. Bruyndoncx, V.V. Moshchalkov // Phys. Rev. Lett. 2001. - Vol. 86. - P. 1323-1326.

85. Du Q. Solving the Ginzburg-Landau equations by finite-element methods / Q. Du, M.D. Gunzburger, J.S. Peterson // Phys. Rev. B. -1992. Vol. 46. - P. 9027(l)-9027(8).

86. Wang Z.D. Vortex states and dynamics of d-wave superconductor: Finite-eltmtnt analysis / Z.D. Wang, Q.-H. Wang // Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 55. - P. 11756(1)-11756(10).

87. Kato R. Effects of the surface boundary on the magnetization process in type-II superconductors / R. Kato, Y. Enomoto, S. Mackawa // Phys. Rev. B. 1993 -Vol. 47(17). - P. 11391-11397.

88. Ustinov A.V. Solitons in Josephson junctions // Physica D. 1998. - Vol. 123. -P. 315-329.

89. Rayleigh J.W.S. Further applications of Bessel's functions of high order to the whispering gallery and allied problems // Philos. Mag. 1914. - Vol. 27. - P. 100-109.

90. McCall S.L. Whispering gallery mode microdisk lasers / S.L. McCall, A.F.J. Levi, R.E. Slusher, S.J. Pearton, R.A. Logan // Appl. Phys. Lett. 1991. - Vol. 60. -P. 289-291.

91. Davidson A. Experimental investigation of trapped sine-Gordon solitons / A. Davidson,B. Dueholm, B. Kryger, N. Pedersen // Phys. Rev. Lett. 1985. Vol. 55(19). -P. 2059-2062.

92. Martucciello N. Fluxon dynamics in long annular Josephson tunnel junctions / N. Martucciello, J. Mygind, V.P. Koshelets, A.V. Shchukin, L.V. Filippenko, R. Monaco // Phys. Rev. B. 1998. - Vol. 57(9). - P. 5444-5449.

93. Martucciello N. Annular Josephson tunnel junctions in an external magnetic field: The statics / N. Martucciello, R. Monaco // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 53. - P. 3471-3481.

94. Vernik I.V. Fluxon pinning in annular Josephson junctions by an external magnetic eld / I.V. Vernik, S. Keil, N. Thyssen, A.V. Ustinov, H. Kohlstedt, R.P. Huebener // J. Appl. Phys. 1997. - Vol. 81. - P. 1335-1340.

95. Lee J.U. Josephson vortex flow in superconducting single-crystal Bi2Sr2CaCu2Ox / J.U. Lee, J. Nordman, G. Hohenwarter // Appl. Phys. Lett. 1995. - Vol. 67(10). - P. 1471-1473.

96. Lee J.U. Observation of coherent modes of Josephson vortices in Bi2Sr2CaCu2Ox / J.U. Lee, P. Guptasarma, D. Hornbaker, A. El-Kortas, D. Hinks, K.E. Gray // Appl. Phys. Lett. 1997. - Vol. 71. - P. 1412-1414.

97. Irie A. Fiske and flux-flow modes of the intrinsic Josephson junctions in Bi2Sr2CaCu2Oy mesas / A. Irie, Y. Hirai, and G. Oya // Appl. Phys. Lett. 1998. -Vol. 72. - P. 2159-2161.

98. Krasnov V. Fiske steps in intrinsic Bi2Sr2CaCu208+ d stacked Josephson junctions / V. Krasnov, N. Mros, A. Yurgens, D. Winkler // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 59. P. 8463-8466.

99. Hechtfischer G. Collective motion of Josephson vortices in intrinsic Josephson junctions in Bi2Sr2CaCu20s+y / G. Hechtfischer, R. Kleiner, K. Schlenga, W. Walkenhorst, P. Miiller, H.L. Johnson , Phys. Rev. B. 1997. - Vol. 55(21). - P. 14638-14644.

100. Hechtfischer G. Non-Josephson emission from intrinsic Junctions in Bi2Sr2CaCu2Os,+y: Cherenkov radiation by Josephson vortices / G. Hechtfischer, R. Kleiner, A. Ustinov, P. Muller // Phys. Rev. Lett. 1997. - Vol. 79(7). - P. 1365-1368.

101. Sakai S. Fluxons in thin-film superconductor-insulator superlattices / S. Sakai, P. Bo-din, N. Pedersen //J. Appl. Phys. 1993. - Vol. 73. - P. 2411-2418.

102. Bulaevskii L. Time-dependent equations for phase differences and a collective mode in Josephson-coupled layered superconductors / L.N. Bulaevskii, M. Zamora, D. Ba-eriswyl, H. Beck, J.R. Clem // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 50(17). P. 12831-12834.

103. Kleiner R. Dynamic behavior of Josephson-coupled layered structures / R. Kleiner, P. Muller, H. Kohlstedt, N.F. Pedersen, S. Sakai // Phys. Rev. B 1994. - Vol. 50(6).- P. 3942-3954.

104. Kleiner R. Two-dimensional resonant modes in stacked Josephson junctions // Phys. Rev. B. 1994. - Vol. 50(10). - P. 6919-6923.

105. Ustinov A. Interlayer fluxon interaction in Josephson stacks / A. Ustinov, H. Kohlstedt // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54(9). - P. 6111-6114.

106. Artemenko S.N. Excitation of plasma oscillations during the motion of Josephson vortices in layered superconductors / S.N. Artemenko, S.V. Remizov // JETP Letters.- 1997. Vol. 66(12). - P. 853-859.

107. Ustinov A.V. Submillimeter-band high-power generation using multilayered Josephson junctions / A.V. Ustinov, S. Sakai // Appl. Phys. Lett. 1998. - Vol. 73. - P. 686-688.

108. Volkov A.F. Dynamics of fluxon lattice in two coupled Josephson junctions / A.F. Vol-kov, V.A. Glen // J. of Phys.: Cond. Matt. 1998. - Vol. 10. - P. L563.

109. Machida M. Collective dynamics of Josephson vortices in intrinsic Josephson junctions: exploration of in-phase locked superradiant vortex flow states / M. Machida, T. Koya-ma, A. Tanaka, and M. Tachiki // Physica C. 2000. - Vol. 330. - P. 85-93.

110. Koshelev A.E. Resonances, instabilities, and structure selection of driven Josephson lattice in layered superconductors / A.E. Koshelev, I.S. Aranson // Phys. Rev. Lett. -2000. Vol. 85. - P. 3938-3941.

111. Kleiner R. Stacked long Josephson junctions in zero magnetic field: A numerical study of coupled one-dimensional sine-Gordon equations / R. Kleiner, T. Gaber, G. Hechtfischer // Phys. Rev. B. 2000. - Vol. 62(6). - P. 4086-4095.

112. Bulaevskii L.N. Linewidth of c-axis plasma resonance in Josephson-coupled superconductors / L.N. Bulaevskii, D. Dominguez, M.P. Maley, A.R. Bishop, O.K.C. Tsui, N.P. Ong // Phys. Rev. B. 1996. - Vol. 54. - P. 7521-7535.

113. Koyama T. I-V characteristics of Josephson-coupled layered superconductors with longitudinal plasma excitations / T. Koyama, M. Tachiki // Phys. Rev. B. 1996.- Vol. 54. P. 16183-16191.

114. Artemenko S.N. Intrinsic Josephson effect and violation of the Josephson relation in layered superconductors / S.N. Artemenko, A.G. Kobelkov // Phys. Rev. Lett. 1997.- Vol. 78(18). P. 3551-3554.

115. Ryndyk D.A. Collective dynamics of intrinsic Josephson junctions in high-Tc superconductors // Phys. Rev. Lett. 1998. - Vol. 80(15). - P. 3376-3379.

116. Рындык Д.А. Неравновесный эффект Джозефсона в системах тунельных сверхпроводниковых контактов и в слоистых сверхпроводниках // ЖЭТФ. 1999. - Т. 116. - С. 1798-1816.

117. Mel'nikov A.S. Inertial mass and viscosity of tilted vortex lines in layered superconductors // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 77. - P. 2786-2789.

118. Вентцсль А.Д. Флуктуации в динамических системах под действием малых случайных возмущений. / А.Д. Вентцель, М.И. Фрейдлин М.: Наука, 1979. - 424 с.

119. Вентцель А. Д. Курс теории случайных процессов. М.: Наука. Физматлит, 1996.- 400 с.

120. Чжун К. Введение в стохастическое интегрирование. / К. Чжун, Р. Уильяме М.: Мир, 1987. - 152 с.

121. Стратонович P. JI. Новая форма записи стохастических интегралов и уравнений // Вестник Московского ун-та. 1964. - Т. 1. - С. 3-12.

122. Wong E. On the convergence of ordinary integrals to stochatic integrals / E. Wong, M. Zakai // The Annals of Mathematical Statistics. 1965. - Vol.36. - N 5. -P. 1560-1564.

123. Guillermo F. Wong-Zakai-type theorem for certain discontinuouse semimartingals // Journal of theoretical probability. 1989. - Vol. 2. - N 3. - P. 313-323.

124. Wyatt J.L. Nonlinear device noise models: satisfying the thermodynamic requirements / J.L. Wyatt, G.J. Coram // IEEE Transaction On Electron Devices. 1999. - Vol. 46.- N 1. P. 184-193.

125. Ao P. Emerging of stochastic dynamical equalities and steady state thermodynamics from Darwinian dynamics // Commun. Theor. Phys (Beijing, China). 2008. - Vol. 49.- P. 1073-1090.

126. Ao P. Potential in stochastic differential equations: novel construction //J. Phys. A: Math. Gen. 2004. - Vol. 37. - P.L25-L30

127. Лифшиц E.M. Теоретическая физика, том IX. Статистическая физика. Часть 2. Теория конденсированного состояния. / Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский М.: Физматлит, 2004. - 496 с.

128. Gliklikh Yu.E. Ordinary and stochastic differential geometry as a tool for mathematical physics. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, 1996. - 205 p.

129. Стратонович P. Л. Условные Марковские процессы и их применение к теории оптимального управления. М: МГУ, 1965. - 319 с.

130. Кузнецов Д.Ф. Численное моделирование стохастических дифференциальных уравнений и стохастических интегралов. М.: Мир, 1989. - 463 с.

131. Evans L.C. An Introduction to Stochastic differential equations. UC Berkeley, 2006.- 139 p.

132. Newell A.J. A generalization of the demagnetizing tensor for nonuniform magnetization / A.J. Newell, W. Williams, D.J. Dunlop // Journal of Geophysical Research. -1993. Vol. 98. - N 86. - P. 9551-9555.

133. Залогин A.H. Распространение немонохроматического излучения в анизотропных одномодовых волоконных световодах / А.Н. Залогин, С.М. Козел, В.Н. Листвин // Изв. вузов. Радиофизика. 1986. - Т. 29. - № 2. - С. 243-245.

134. Малыкин Г.Б. Распространение немонохроматического излучения в изотропных одномодовых световодах со слабым наведенным двулучепреломлением // Изв. вузов. Радиофизика. 1992. - Т. 35. № 11-12. - С. 993-997.

135. Кочаровский В.В. Поляризация света и линейное взаимодействие винтовых мод в скрученных волокнах со случайными неоднородностями / В.В. Кочаровский, Вл.В. Кочаровский, Ю.М. Миронов, В.Ю. Зайцев // Изв. РАН. сер. физ. 1998. -Т. 62. - № 2. - С. 362-371.