автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Обратные задачи математического моделирования технологических процессов цементации и азотирования

На правах рукописи УДК 536.758; 539.201

Гласко Юрий Владленович

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЦЕМЕНТАЦИИ И АЗОТИРОВАНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 536.758; 539.201

Гласко Юрий Владленович

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ ЦЕМЕНТАЦИИ И АЗОТИРОВАНИЯ

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в лаборатории информационных систем Научно-исследовательского Вычислительного Центра Московского Государственного Университета им. М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, М.К. Трубецков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор А.Г. Ягола

доктор физико-математических наук, профессор В.Г. Филатов

Ведущая организация:

Институт Математического Моделирования Российской Академии Наук

Защита состоится ..й/т/л2004г. в на заседании

диссертационного совета К 501.001.11 НИВЦ МГУ по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, Научно-исследовательский Вычислительный Центр МГУ им. М.В. Ломоносова, большой конференцзал НИВЦ.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИВЦ МГУ.

Автореферат разослан

2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, к. ф.-м. н.

В.В. Суворов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертация посвящена вопросам математического моделирования технологических процессов цементации и азотирования металлов в высокотемпературных газовых средах, корректной постановке возникающих при этом обратных задач и разработке методов их решения на ЭВМ.

Актуальность. Математическое моделирование технологических процессов является широко распространенным методом корректировки существующих и разработки новых технологий. Его преимущество состоит, во-первых, в том, что в числовом отображении физический процесс может быть воспроизведен и изучен в экстремальных условиях, затрудняющих или исключающих использование измерительных приборов; во-вторых, оказывается возможным многократное повторение процесса при различных значениях управляющих параметров, что позволяет определять оптимальные значения последних. Технологические процессы упрочнения поверхностного слоя стальных деталей, а именно цементация и азотирование, характеризуются своей продолжительностью и ресурсоемкостью. Поэтому дорогостоящий физический экперимент по изучению этих процессов следует заменить расчетом с помощью ЭВМ в рамках некоторой физико-математической модели цементации либо азотирования.

В свою очередь, метод обратных задач может служить определению физических параметров процесса в тех случаях, когда они не доступны прямому экспериментальному изучению, что позволяет сформулировать адекватную процессу математическую модель. Именно таким методом мы определяем параметры математических моделей процессов цементации и азотирования.

Наконец, решение задач управления рассматриваемыми нами процессами поверхностного упрочнения металлов служит рекомендацией технологу, обеспечивающей нужный ему. результат процесса.

Целью работы является математически корректная постановка обратных задач об определении физических, числовых и феноменологических параметров технологических процессов цементации и азотирования, а также задач оптимального управления процессами. Для решения указанных обратных задач построены и программно реализованы регуляризирующие по А.Н.Тихонову алгоритмы. Данные задачи связа-

ны единым методологическим подходом и ориентированы на решение конкретных технологических вопросов, по каждому из которых получены практические рекомендации, имеющие целью повышение эффективности и качества производства. На основе математического эксперимента выносятся рекомендации об организации измерений для корректировки моделей цементации и азотирования на основе решения обратных задач, и рекомендации о выборе оптимальных параметров процессов.

Научная новизна. Для технологии цементации вопросы корректности постановки задачи управления с учетом состояния многокомпонентной атмосферы рассматриваются впервые. Получены новые номограммы для управления цементацией.

Предложена новая феноменологическая модель процесса азотирования. Для идентификации ее физических параметров впервые формулируются обратные задачи и проводится анализ единственности их решения. Дается численно-экспериментальная оценка точности расчета этих параметров. Впервые получены номограммы для управления азотированием.

Специфика рассматриваемых в диссертации задач приводит к новым специальным регуляризирующим алгоритмам, обладающим высокой эффективностью. При их построении мы опираемся на труды А.Н.Тихонова, где разработаны основы теории регуляризации, и работы А. А. Самарского по теории разностных схем.

Практическая ценность работы подтверждается тем, что она была связана с сотрудничеством МГУ и производственного объединения АВТО-ЗИЛ. Реализованные в ней алгоритмы по определению физических параметров процессов цементации и азотирования могут быть использованы в производственной практике. Так же практически полезны вынесенные количественные оценки зависимости погрешности результатов от погрешности входных данных.

Аналогичную значимость имеют рассчитанные и построенные в диссертации номограммы управления процессами цементации и азотирования, связывающие управляющие параметры с выходными параметрами.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены на научной конференции "Обратные и некорректно поставленные за-

дачи"(Факультет Вычислительной Математики и Кибернетики МГУ им. М.ВЛомоносова 14-15 июня, 1995 г.); на международной конференции, посвященной памяти академика Андрея Николаевича Тихонова в связи с 90-летием со дня рождения "Обратные и некорректно поставленные задачи"(Москва, 10-13 сентября, 1996г.), а также на научных семинарах НИВЦ МГУ: "Обратные задачи математической физики", "Математические модели и численный эксперимент", "Научно-методологический семинар"в 2003-2004 г.

Результаты диссертации отражены в публикациях [1-6].

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Во введении формулируется главная цель работы и дается краткое описание содержания. В первой главе, посвященной технологии газовой цементации, формулируются и анализируются на предмет корректности постановки обратные задачи об определении физических параметров стальной детали либо атмосферы газовой печи по косвенной информации. Здесь содержатся результаты численных экспериментов по оценке модуля непрерывности, полученые для различных задач на основе регуляризирующих по А.Н.Тихонову алгоритмов. Во второй главе рассматриваются различные математические постановки задачи управления процессом цементации. Анализируются вопросы их корректности. Для простейшего технологического режима управления на основе расчета диффузионного поля строятся номограммы, связывающие управляющие параметры с выходными. Третья глава посвящена технологии азотирования. Здесь формулируются обратные задачи по определению физических параметров процесса и оптимальных технологических параметров управления процессом азотирования. Изучаются вопросы корректности постановок и описываются результаты численных экспериментов по определению параметров посредством решения обратных задач, а также предлагаемые номограммы для управления азотированием. В четвертой главе рассматриваются вопросы математического обоснования и описываются детали алгоритмов, использованных для решения прямых и обратных задач в предшествующих главах. В заключении диссертации дается краткий перечень полученных в ней и выносимых на защиту результатов.

Диссертация изложена на 182 страницах, из которых 25 страниц составляют рисунки. Библиографический список содержит 108 наиме-

нований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

В главе 1 рассматриваются проблемы идентификации математической модели цементации по ряду физических параметров посредством решения обратных задач. Лежащий в основе технологии процесс насыщения приповерхностного слоя металла углеродом описывается уравнением диффузии, вообще говоря- квазилинейным, при смешанных граничных условиях:

Здесь и(х, £) -концентрация углерода в металле; Р{и)- коэффициент массообмена на поверхности металла; Ио(х)- начальная концентрация;

- углеродный потенциал атмосферы на границе с металлом, являющийся управляющей процессом функцией. Вводится понятие монотонности процесса насыщения металла углеродом, когда в любой момент времени поток насыщающего газа через поверхность внутрь металла положителен. Приемлема также модель диффузии на полуограниченной прямой:

Рассматриваемые нами задачи идентификации - это обратные задачи об определении неизвестных физических или технологических параметров для линейных и квазилинейных моделей цементации. Идентифицируемые параметры ищутся в виде констант и функций, по косвенным данным о диффузионных полях, порождаемых этими параметрами. Естественно, что доступные для прямого наблюдения данные относятся главным образом к поверхности металла.

Такие задачи допускают формулировку в виде операторного уравнения:

Аг = V, (4)

если г 6 Х- идентифицируемый параметр, а V 6 II— косвенная информация о нем, Z и и- метрические пространства И^Д^-йг] и

¿2[0,t] соответственно либо множества, вид которых будет уточняться ниже. Согласно концепции априорного существования решения по М.М.Лаврентьеву, естественно ввести подпространство U¿- множество отображений Z с помощью оператора А. Значения оператора А алгоритмически определены решениями задачи (1-3) при всевозможных Z.

Обоснованием предлагаемых постановок обратных задач служат доказываемые или привлекаемые нами теоремы единственности.

В разделе 1.1 первой главы рассматривается граничная обратная задача об определении параметра для двух различных моделей.

Для обычно используемой в технологической практике модели с постоянными параметрами D И ß в качестве минимальной для определения ß информации можно ограничится единственным числовым значением й = u(0,t). В этом случае уравнение (4) имеет вид:

Az = u(0,i,z) =и, (5)

где z = ß. Установлено, что для монотонного н а[й,£}о ц е с с а при I — +00 (М < +00) И Ü G иА существует ß* такое, что уравнение (5) имеет единственное решение на (0,/3*). Таким образом, доказательство теоремы единственности содержит алгоритм решения задачи. Этот алгоритм апробируется численным экспериментом.

При ß = ß[u) (п. 1.1.3) в качестве косвенной информации, для постановки обратной задачи можно принять

Для. модели (1-3) на полуограниченной прямой оказывается справедливой следующая Теорема: Пусть C(t) € C°[0,í]; tío(x) € С0[0, +оо), i]ünouo(з) = 0; ß{u) € C°[RUR2],

Ri - min u(z,t),R2 = maxu(x, t);D(u) = D = Const;vj(t) € C^O.t]

справедливо равенство: ß(uo)(tp(0) — C(0)) = Du0- и неравенство C(t) - <p(t) > 7 > 0,i € [0,i]. Тогда уравнение Az = «(0,í,r) = <p(t) может иметь только одно решение z = ß(u) .

В разделе 1.2 обсуждаются различные постановки коэффициентной обратной задачи относительно .D(u) при конечном I, использующие как максимальную, так и минимальную информацию о поле концентраций.

Установлено в частности (п. 1.2.1- п. 1.2.2), что решению задачи (1 -3) известному всюду в Q, может соответствовать лишь одна функция D = D(u) из множества дифференциируемых.

Минимальной информацией для определения такой функции с помощью постановки обратной задачи может служить <p{t) = u(0,í), t € [0, ¿]. В этом случае обратная задача формулируется в виде операторного уравнения (4), где z: = D(u), Az = u(0,t,z). Введем множество К- функций вещественной переменной, аналитических на отрезке [Д^Дг]- Оказывается справедливой следующая Теорема: Пусть <p(t),C{t) е C'lO.í];^«) б С"[Й,,Д2]; <p'{t) > 0-,C(t) > y>(í); щ(х) = ид = Const. Тогда задача (4) при v = tp(t) может иметь только одно решение на множестве К.

В технологических работах используется коэффициент диффузии из множества линейных функций:

D(v) = а + Ъи, (6)

где а И 6 зависят только от абсолютной температуры Т металла. В этом случае (1.2.1-1.2.3) для однозначного определения D (т.е. пары методом обратных задач оказывается доста-

точно задания граничных значений концентрации и ее градиента

в два момента времени. Введем q = {<p(ti), ¥>(Í2)iX(^l)iX(*2)}) где

¿Jul . ^

X[t) = -г— HÍi,Í2 € [0",íl. Верна Теорема: Пусть дифференци-

nj I í

руемая на функция. такова, что процесс углеродного насыщения, определяемый условиями-(1-3), (6) является монотонным, и Тогда не может существовать более одного решения обратной задачи:

В разделе 1.2.4 приведен результат математического эксперимента по оценке в условиях единственности модуля непрерывности решения обратной задачи относительно

Для подавления неустойчивости задачи относительно параметра .D(tt) используется метод регуляризации А.Н.Тихонова, и z = D(u) определяется условиями:

za = arg inf Ma{z),Ma = plt[o${Az, <p) + aÜ{z),

где для монотонного процесса при алгоритми-

чески заданном операторе А и выборе а = a(í) по принципу невязки:

Для проведения математического эксперимента была выбрана модель (б) коэффициента диффузии; однако, возможная редукция задачи к определению пары чисел (а, Ь) не проводилась. Расчет в этом эксперименте функции искаженная входная информация, и е- относительная погрешность приближения Б (и) приводит, в частности, к заключению, что для получения е « 5% достаточно задать

В модели (1-3) в качестве управляющей процессом функции принят углеродный потенциал технологической атмосферы Однако, ре-

альным управляющим фактором является совокупность парциальных давлений газов составляющих атмосферу печи, и температура Г, по которым вычисляется значение С. В этой связи в разделе 1.3 рассматривается математическая модель равновесной углеродообразующей атмосферы, содержащей б газов: Нъ, НъО, СН4, СО, СО2, и описываемая при заданной Т парциальными давлениями р,- (г = 1,2,..., б). В число конечных уравнений, составляющих равновесную модель входит, в частности: ю

(7)

где - эмпирическая константа равновесия для реакции распада окиси углерода при соприкосновении с поверхностью железа

константа равновесия для реакции образования СО:

С#4 + СО2 г* 2СО + 2#г.

При заданных К*, К2 и парциальных давлениях рз ирх углеродный потенциал определяется трансцендентным уравнением:

Доказана единственность решения (8) при указанных условиях. Однако, константа равновесия К* находится (по различным источникам) с заметной неопределенностью: что приводит,

как выясняется, к погрешности при определении С до 30-40%. В этой связи в разделах (1.3.2-1.3.3) нами формулируется задача идентификации уточненной модели (1-3), (8) по этому параметру с использова-

нием в качестве косвенной информации поверхностной концентрации й в некоторый момент времени t. Пусть В[К*) == u(0, t, К*)- концентрация на поверхности, алгоритмически определенная условиями нелинейной краевой задачи (1-3) при потенциале С, определяемом из (8) при любом К* € Л. Тогда соответствующая обратная задача выражается уравнением:

Введем в рассмотрение D'(t)~ множество отображений А помощью оператора В при постоянных р, Т. Оказывается справедливой Теорема: Если 0 = Const > 0, u0(x) = u0 = Const, D(u) е С1^, Яг], = «о, Лг = Щ D{u) > 0, £>'(«) > 0, й G D*(t), то существует

t > 0, при котором уравнение (9) имеет и притом единственное решение К* 6 Д.

Задача (9) оказывается устойчивой, и для ее решения на ЭВМ использованы: (а) неявная консервативная разностная схема второго порядка точности, разрешаемая на каждой итерации методом прогопки, при вычислении оператора В (б) метод дихотомии для уравнений (8),

(9).

Проведенный численный эксперимент дает оценку модуля непрерывности решения (9). Оказывается, в частности, что обычной для практических задач погрешности результата: С» 5% соответствует погрешность входных данных также 5%. Описанию вычислительных алгоритмов и результатов математического эксперимента по определению К* посвящен раздел 1.3.4.

В разделе 1.3.5 описан предложенный нами способ предварительного расчета равновесных значений р по заданному начальному состоянию рд. С учетом закона сохранения масс для замкнутой атмосферы, парциальные давления газов подчиняются системе нелинейных алгебраических уравнений, зависящей от параметров:

<*о = Рг +Р4 + 2Ре, А> = 2pi + 2рг + 4рз,7о = рз +Р4 + Ръ

определенных значением ро* Эта система имеет близкий к нулю якобиан, что затрудняет реализацию классического метода Ньютона при произвольном рц. Предлагаемый метод основан на алгоритмическом исключении всех переменных, кроме одной (X = pi). Последняя подчиняется трансцендентному уравнению на интервале (0,®*), где X* опре-

делена алгоритмически по условию положительности давлений. Задача оказывается условно-корректной и решается на ЭВМ методом дихотомии.

В разделе 1.4, на основе известного способа учета легирования в коэффициентах модели (1-3) (D и С) через параметр легирования С, описана структура программы-датчика, позволяющей получать 6, непосредственно по кодово-цифровой технологической информации относительно марки стали.

Глава 2 посвящена математическим аспектам задач управления процессом цементации.

Рассматриваемые нами задачи управления- это обратные задачи об определении управляющих параметров по заранее заданному желаемому результату. Постановка таких задач в виде операторного уравнения

Az=ü, (10)

где управляющий параметр, а желаемый результат, как пра-

вило, некорректна, поскольку обычно и уравнение (10)

не имеет решения. Естественно поэтому принять в качестве первичной постановки вариационную:

z = ax$mi/?(Az,ü), (Ц)

где Z— множество допустимых (например, по технологическим условиям) параметров. В отличие от (10) проблема единственности решения уже не имеет принципиального значения, и постановку (11) можно заменить требованием: заданный допуск на уклонение. Вопрос об устойчивости сводится к построению алгоритма решения вариационной задачи на компакте.

В разделе 2.1 в качестве управляющего параметра принят переменный углеродный потенциал атмосферы: а результатом процесса является распределение концентрации в конечный момент: й S = u(x,t); поле концентраций: u(x,t,C) при любом С определяется условиями (1-3).

В 2.1.2 установлено, что в случае, если 1р{х) € Сд достаточными условиями существования решения задачи управления оказываются следующие:

/3(и) G C°[.ñj, Лг], где [fíi,^]- множество значений функции u(x,t) определенной на [О,/] X [0,í|; uo(x) = щ — Const; C(t) 6 C°[0,t] при

дополнительном условии С(0) = Щ.

При этом вариационная задача (11) ставится для /^(ЛС,«) = /(С),

где /(С) = J(u(x,t,C) - i>(x))2dx, при ф(х) 6 С°[0,/], и оператор А

рассматривается при условии: щ = 0; в свою очередь Z = Фс = при дополнительном условии С(0) = 0.

Доказано, что для модели диффузии (1-3) с постоянными коэффициентами, /(С)- непрерывный выпуклый функционал определенный на выпуклом компакте Ф&, и задача (11) имеет единственное решение.

В 2.1.3 сформулировано достатачное условие существования решения задачи (11) для нелинейного процесса (1-3).

Введем итерационную последовательность {vn(x,í)} (п = 0,1,...) при заданном начальном приближении Vo(x,t), так, что Vn+i(x,i), зависящая от функционального параметра C(t), определяется как решение задачи (1-3) при D = -D(vn) и Р = Тогда на Фс определена {/„(С)}. Если такой итерационный процесс сходится равномерно относительно C(í) и хотя бы для одного начального приближения, задачу назовем равномерно-итерируемой: Оказывается верной Теорема: Если при заданной ^(х) G С°[0, Í] задача (И) для нелинейного процесса (1-3) равномерно-итерируема, то она имеет по крайней мере одно решение C(t).

Достаточным условием единственности решения задачи управления оказывается независимость от выбора начального приближения 1/0 (x,í).

В разделе 2.2 обсуждаются вопросы корректности постановки задачи управления и алгоритмики ее решения в рамках "технологических" моделей. Во-первых, C(í) параметризуется с помощью кусочно-линейной или кусочно-постоянной аппроксимации:

во-вторых, конечный результат процесса характеризуется значениями концентраций на заданных глубинах

В этом случае вари-

А

ационная постановка задачи управления имеет вид:

р* = argrnf |>(х{,4,р) -(12)

где Р С Еп определяется ограничениями типа неравенств на величины pj с использованием имеющейся технологической информации; u(xiit>P) = Ар определяется условиями (1-3) при указанной аппроксимации C(t). Поскольку Р- компакт в BP1-р* является квазирешением, и при достаточных условиях непрерывности А и единственности решения уравнения: задача (12) оказывается условно-

корректной.

В разделе 2.2.2 дано описание структуры и способа построения двух типов новых номограмм для связы-

вающих управляющие параметры с выходными (р = /(?)) (Рис. 1-2). При этом в число управляющих параметров, наряду с С, включены t, Т, u<j, а также параметр легирования е. Использование таких номограмм может служить альтернативой машинному поиску квазирешения (12) при автоматизированном подборе.

Рис. 2: Фрагмент номограммы цементации для Т = 1050°С; «о = 0,15%; i = 0;

Счмер ~ 1%

Для обычно используемого в технологических работах приближения коэффициента диффузии: D(ti)' = -А>(1 +

при fi — Const в разделах

(2.2.3-2.2.4) предложен метод расчета пары р =•{£,"С} по заданному набору q = {®i =0, Х% — ®гр, ttj = UnoB^u2 = ^гр} при фиксированных Тв£, основанный на ассимптотиче^комею^ведении поля концентрации. В безразмерных переменных автомодельного режима: -

X '

i = (27Щ'

«(Ы = уо(0++оф,

где.

ИуоУо)' + 2^о = 0, 0 < £ < +оо, уа(0) = (7,

Тогда р асимптотически определяется парой алгоритмически заданных уравнений:

(13)

Если при заданном ^ существует единственное решение уравнения /(С) = 0, то существует, и притом- единственный управляющий параметр р. Тем самым, вопрос о корректности задачи (13) решается построением устойчивого алгоритма поиска изолированного корня уравнения относительно С.

В заключение дается описание такого алгоритма с необходимым обоснованием. В его основе метод дихотомии для уравнения /(С) = О на полуинтервале [ипов)Скр)) при вычислен^^и^пользуется модификация баллистического метода решения краевой задачи для 3/о(£)> приводящая к значению

Предложенный алгоритм использован, в частности, для расчета вре-*

мени цементации 4 в зависимости от глубины упрочняемого слоя, а также для выяснения зависимости (£, С) от параметра легирования в диапазоне: В последнем случае для расчетаисполь-

зовалась также соответствующая программа-датчик (раздел 1.4).

В разделе 2.3 рассматривается задача о выборе параметров стационарного состояния технологической атмосферы, обеспечивающих заданный углеродный потенциал. Эта задача формулируется в виде операторного уравнения: Ар ~ С, где А оператор, определенный условиями (7-8) раздела (1.3). Обнаруживается (2.3.2), что она некорректна, и множество ее возможных решений зависит от двух параметров: П.

к тому же в левой полуокрестности точки (8) задача

„ Р1

неустойчива.

После изоляции С корректность постановки гарантирует следующая Теорема: При заданном р > 0 существует единственное А > О, такое, что для любого А € (О, А) и любом С € (О)С1) обратная задача имеет и притом единственное решение, удовлетворяющее условиям:

= Р» причем р, > 0.

(14)

Доказательство теоремы содержит устойчивый и экономичный алгоритм решения задачи. Основная зависимость: где

представлена в номографической форме. Номограмма обнаруживает, что при малых возможна практическая неустойчивость "прямой" задачи управления: малым вариациям соответствуют неприемлемые вариации потенциала С; рекомендован способ регуляризации управления.

В разделе 2.3.3 рассмотрена и другая возможная регуляризация постановки обратной задачи управления: - связанная с выбором начального состояния атмосферы. Такое состояние описывается системой трех нелинейных уравнений с 5-ю неизвестными. В качестве базисных параметров принята пара суммарное начальное давление углеродосодержащих газов. Оказывается, что при любом Д)

значение

у/1 + 4д@о ~ 1

Ч-

ас

опре-

Ад ' " К*К2'

деляется уравнением (8) при С < С. Предложен алгоритм выбора рх из (0,рГ*).

Методом численного эксперимента найден модуль непрерывности решения при различных значениях С. Указана область значений

АС

0 = при которых погрешность результата не превосходит 10%

О

независимо от величины С.

В разделе 2.4 в рамках модели цементации с постоянными коэффициентами рассмотрена задача об управлении состоянием поверхности металла, граничащей с атмосферой, с помощью углеродного потенциала атмосферы. Доказана теорема единственности определения потенциала из множества непрерывных кусочно-аналитических функций , наряду с постоянным коэффициентом мас-сообмена: <р(Ь) = и(0,*) =4> {/?,С(*)}.

В Главе 3 обсуждаются вопросы математического моделирования технологии азотирования, включая задачи идентификации предлагаемых моделей по физическим и феноменологическим параметрам и задачи управления технологическим процессом.

Основным элементом технологии азотирования, как и при цементации, является диффузионное насыщение приповерхностных слоев металла азотом, образующимся в атмосфере газовой печи. Однако, особенностью технологии является использование для упрочнения химических соединений, образующихся в диффузионной зоне и сопутствующей этому перестройки кристаллической решетки поверхностного слоя металла. Краткий обзор исследований по технологии азотирования дается во вводной части главы 3. В диссертации мы исходим из представления о монотонном режиме насыщения, когда со временем в приповерхностном слое последовательно сменяют друг друга 3 фазы: а (твердый раствор азота в аустените); 7*-фаза (раствор азота в соединении -фаза, где основой твердого раствора служит (азотистый феррит), ьая фаза может существовать только в области концентраций: и переход к новой фазе происходит скачком. Принимается, что источником поступающего в металл азота является реакция диссоциации аммиака:

,ЛГНз ^ N + г-Нг, а в качестве феноменологического управляющего

ы

процессом насыщения параметра принят азотный потенциал атмосферы: N = ВД.

В разделе 3.1.1 для процесса многофазной диффузии воспроизводится известная термодинамическая модель типа Стефана, отличающаяся от классической тем, что скачок на границе раздела фаз претерпевает не только поток, но и концентрация; с другой стороны проникновение азота в металл, через границу с технологической атмосферой описывается нелинейным краевым условием 3-го рода, зависящим от равновесного потенциала азота в приповерхностном слое металла точное значение которого в 7' и е фазах может быть неизвестно.

В предположении, что управление N(4) можно выбрать так, что на временном интервале фаза единственна в приповерхностном

слое, в (3.1.2) ставится следующая обратная задача об определении по заданной поверхностной концентрации

Введем класс К аналитических в области определения функций i>(u), и Ç [ЯьЯг]» гДе ДО51 монотонного процесса

N(t), v(t) € CT°£0,£J, N(0) =V(0) = «о; D(u) çCl[RMD(u) > 0; ß(u)~ аналогична на [.Ri.i^], ß{u) > 0. Тогда задача (15-18) не может

иметь в классе К более одного решения.

При постоянных положительных ß и D утверждение оказывается справедливым для любого щ(х) 6 С0[0,/], при условии: Uo(0) = ^(0).

Для монотонного режима насыщения на подмножестве К, задаваемом дробно-линейной функцией, приближающей в технологических работах ф[у)у для однозначного определения коэффициентов последней оказывается^ппи известных N, ß, D) достаточно задания значе-

V и хМ =

du дх

1=0

ри различных момента времени.

В разделе 3.1.3 обсуждается вопрос об идентификации модели (1518) по физическим параметрам материала ß(u) И -D(u). Для при-

В

ближенной технологической модели 1)(и) В 7'- фазе: И (а ^ оказывается справедливой следующая Теорема: Если функции

rhi

N(t), „(t), X(t) ü ~

i=0

непрерывны на

M; х(*) ф о

ни в од-

ной точке, а и Жи)~ непрерывны ^Лх^Л^}, о для любой пары различных значений <1, ¿2 6 [0,£] и соответствующих значений V*) Хк> Рку № {к — 2), удовлетворяющих неравенству:

(19)

существует только одна пара (В, С), определяющая технологическую модель !?(и).

Ввиду неустойчивости обратных задач идентификации, описывае-

мых в рассмотренных 3-х случаях операторным уравнением

где алгоритмически определенный интегральный оператор, представляют интерес результаты математических экспериментов по изучению модуля непрерывности для задач об определении и проведенных нами (3.1.5) с помощью вариационного регуляризирующего алгоритма А.Н.Тихонова. Оказывается, в частности, что для устойчивого восстановления /б(и) с погрешностью не более 15% следует задать значения <р(!) с погрешностью, не превышающей 1%.

В разделе 3.2 предлагается постановка и анализ обратной задачи с феноменологическим описанием внедиффузионного источника ком-плексирования элементов азота и железа при переходе материала из одного термодинамически равновесного состояния в другое (в переходной зоне: С^ < 11 ^ ^т«л)> возникающего, как следствие активизации сил межатомного взаимодействия при достаточно высокой концентрации азота в кристаллической решетке (»' —1)- ой фазы. Влияние такого источника, косвенно подтверждается полученной нами (3.2.2) оценкой концентрации азота, соответствующей заполнению его ионами всех вакансий в кристаллической решетке фазы

100^

С». _ ,

гшп ""

-,» = 1,2

(21)

«Те + Рн

где — атомный вес азота, железа.

Оценочная формула (21) дает значения С}„{п близкие к экспериментальным, а они ограничивают снизу регулярную диффузионную зону в новой фазе (после исчезновения внедиффузионного источника).

В предположении, что в момент Ь = 0 » — 1- ая зона является единственной, а процесс насыщения- монотонным, формулируется (3.2.33.2.4) феноменологическая модель процесса в переходной зоне, где источник описывается функцией к{и):

Здесь <3 = {(ж, : 0<х</,0<*< если «(О, Г) =

где константа обеспечивает непрерывность равно-весиого азотного потенциала при переходе между соседними фазами: ^¿-^С^-О) = ф = ^»(С^п+О); ¿(и), Р{и)~ непрерывные аппроксимации соответствующих физических параметров материала, вводимые на основе гипотезы о линейном росте в переходной зоне объема очередной фазы за счет предшествующей; = к(С^,(п) = О, И к(и) > О в других точках области определения.

В разделах 3.2.5-3.2.6 рассматриваются различные варианты обратной задачи об источнике, причем в качестве входной информации принята поверхностная концентрация в соответствующем временном диапазоне. В общем варианте (3.2.5) обратная задача формулируется в виде операторного уравнения:

Лк = ъ (25)

где Ак = и(0,£, к)- алгоритмически при каждом к определяется уравнениями краевой задачи (22-24).

Для ¡-ой переходной зоны введем класс К функций, характеризующих источник следующим образом: существует и* £ ,„) такая, что : во-первых аналитична на и во-вторых строго монотонна. Обозначим Фд- множество отображений к(и) 6 К с помощью оператора А. В этом случае представление об однозначной определенности задачи идентификации (25) дает следующая Теорема: Пусть Д(«) е Д- 6 С1^,«']; щ = N(1) Е С°[0,{*]; ЛГ(г) > С£х; и(0, V) = и*; и(х,г)- монотонно возрастающая функция Ь при каждом х € [0,2]; <р(р) € Фл- Тогда на

множестве К существует единственное решение обратной задачи (25).

Для модели (22-24) на полуограниченной прямой и при постоянных коэффициентах (3.2.6) показано, что класс К, на котором достигается единственность, не пуст.

Для поиска в рамках общей- постановки (22-24), (25)

при наличии соответствующей косвенной информации апробирован (3.2.7) метод квазирешений с аппроксимацией «(и) многочленом Лагранжа с нулевыми значениями в граничных точках: к{и) и к(и) = Ьп(и), Ьп(С£х) = Ьп(С'тЫ) = 0. При этом предметом поиска оказывается вектор где узловые

точки щ € а минимизируемый функционал имеет вид:

^(к) = Р%2(о УМ) " гДе А*1 — и(0, ^(и)]) алгоритмически опре-

деляется условиями (22-24), а £ - условием: <р(£) = Численный

эксперимент, проведенный для двух различных моделей в первой переходной зоне (1=1) свидетельствует о принципиальной возможности определения методом обратных задач феноменологического параметра модели азотного насыщения металла с относительной погрешностью б < 14% при погрешности входных данных 5 < 1%.

В разделе 3.3 рассматриваются некоторые постановки задачи управления процессом азотирования, вопросы их корректности и реализации.

Задача об определении управляющей функции по задан-

ному конечному распределению концентрации в приповерхностном слое металла <р(х) (3.3.1-3.3.2) выражается операторным уравнением: где алгоритмически определяется услови-

ями (22-24) всюду в области диффузии при уже известных финитных источниках, отличных от нуля в переходных зонах.

Ввиду очевидной некорректности постановки, хотя бы из-за априорного задания не обязательно согласованного с возможными значениями оператора Л, задача редуцируется к вариационной:

N = агдт!/(ЛГ), ЛЮ = /{«(*,«, ЛГ) - ф}гйх,

К л

(26)

где £>(щ)

к

йщ (Ь

2=0

при дополнительном условии:

Установлено, что при условиях однозначной разрешимости краевой задачи относительно достаточным для существования хотя бы одного решения задачи управления (26) оказывается требование:

Рассмотрена конечномерная редукция задачи (26) на основе параметризации N(1) и ф(х).

В разделе (3.3.3) обсуждается вопрос единственности решения задачи управления (26). Там же предложены конструкции регуляризи-рующих алгоритмов.

В разделах (3.4.1-3.4.4) задача управления рассматривается в рам-

8

S 3 1

б 1 2 3 мм

Рис. 3: Фрагмент номограммы азотирования для У-фазы (Г = 560°С)

ках простейшей параметрической модели, подобной представленной в главе 2.

В качестве управляющих параметров приняты N = Const- уровень азотного потенциала; температура Г; временные интервалы, необходимые для достижения той или иной фазы. Предлагаются номограммы управления азотированием двух типов (для двух фаз процесса), связывающие управляющие параметры с выходными (Рис.3).

Решаются вопросы: 1) выбора выходных параметров и их роли для представления неявных связей между ними и управляющими параметрами (к числу которых отнесено и время i); 2) алгоритмики вычисления выходных параметров на основе обработки поля концентраций в рамках принятой нелинейной модели процесса; 3) построения номограмм и их использования при решении различных задач управления.

Фрагменты номограмм обоих типов представлены в табличной и графической форме, а их анализ позволяет сделать, в частности, следующие заключения. 1) Время появления новой фазы не зависит от

температуры Т и существенно от величины N; 2) толщина прилегающего к поверхности азотированного слоя возрастает со временем t (для 7'- фазы линейно) и слабо зависит от других управляющих параметров; после образования двухслойной приповерхностной структуры (е — 7') толщина 7'- слоя со временем не меняется; 3) в рассматриваемом режиме управления (N — Const < Cj^) рост величины граничной концентрации азота после возникновения с- фазы со временем асимптотически замедляется;

В Главе 4 описываются численные алгоритмы решения задач связанных с процессами цементации и азотирования.

В разделе 4.1 рассматриваются использованные нами численные алгоритмы решения краевых задач для дифференциальных уравнений, моделирующих диффузионные процессы при цементации и азотировании. Они решаются с помощью метода конечных разностей, и в разделах 4.1.1- 4.1.2 содержится описание конечно-разностной процедуры расчета диффузионных полей. В ее основе неявная консервативная разностная схема порядка (как в уравнениях, так и в краевых условиях), разрешаемая на каждой итерации методом прогонки. В разделе 4.1.3 получены достаточные условия сходимости итерационного процесса, на основе принципа сжимающих отображений (||Ф(«)|| < 9 < 1-для уравнения Ф(«) = 0). В данном случае

если разностная схема представлена в виде: Получение условия отвечают априорному качественному представлению: нелинейность задачи должна быть слабой.

В разделе 4.2 обсуждаются вопросы реализации общего регуляризи-рующего алгоритма А.Н.Тихонова, многократно использованного нами при проведении математических экспериментов. Поскольку в разных задачах в качестве стабилизаторов использованы различные функционалы, в разделе 4.2.2 анализируется их соответствие условиям фундаментальных теорем.

Общим элементом постановки рассмотренных обратных задач является задача о минимизации функционала. В разделе 4.3 описан использованный нами алгоритм ее решения: безградиентный метод Ро-зенброка.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Разработаны и реализованы в виде программ для ЭВМ методы расчета диффузионных полей для двух различных технологий (цементации и азотирования) газового насыщения стальных деталей.

2. Сформулированы обратные задачи по определению числовых, физических и управляющих параметров для модели насыщения металла углеродом, модели равновесного состояния насыщающей атмосферы, модели азотирования. Доказаны теоремы существования и единственности решения соответствующих обратных задач. Предложены и апробированы регуляризирующие алгоритмы их решения.

3. Для технологии азотирования предложена феноменологическая модель, в которой смена фаз происходит в переходной зоне, где действует внедиффузионный источник азота. Сформулирована обратная задача о плотности внедиффузионного источника и доказана теорема единственности ее решения. Предложен и апробирован соответствующий регуляризирующий алгоритм решения данной обратной задачи.

4. Для решения задач управления процессом цементации разработан экономичный алгоритм, использующий асимптотическое представление диффузионного поля.

5. С помощью математического эксперимента при использовании ре-гуляризирующих по А.Н.Тихонову алгоритмов, даны оценки достаточной для практических целей точности измерения экспериментальных данных. На основе математического моделирования процессов даны количественные оценки распределения диффундирующих веществ или кристаллических фаз в металле. Разработаны номограммы, позволяющие технологу оптимизировать процессы цементации и азотирования непосредственно в ходе производства.

Результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Гласко Ю.В. Три задачи автоматизации процесса цементации стали // Имитационное моделирование и автоматизированное проектирование в промышленных системах: Сборник научн. тр./ Отв. ред. Н.В. Макаров-Землянский. - М.: МГУ, 1997.- С. 80-92.

2. Гласко Ю.В. Метод обратных задач при моделировании азотного насыщения металла. // Деп. в ВИНИТИ 21.01.1999, № 56-В99. - 16 с.

3. Гласко В.Б., Гласко Ю.В.", Клюев К.В., Осипенко М.А. Об автоматизации управления цементацией легированных материалов // ЖВМ и МФ. - 1994. Т. 34. № 1. - С. 155-160.

4. Гласко В. Б., Гласко Ю.В., Осипенко М.А. О диагностике и управлении состоянием газовой среды в технологии цементации // Вестник Московского Университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. - 1995. Т. 36. № 2. - С. 21-27.

5. Гласко В.Б., Гласко Ю.В. Об одной математической модели управления цементацией сталей // Инженерно-физический журнал. - 1996. Т. 69. № 5. - С. 794-799.

6. Гласко В.Б., Гласко Ю.В. О некоторых обратных задачах технологии цементации // Вестник Московского Университета. Сер. 3. Физика. Астрономия. - 1996. № 6. - С. 51-56.

Подписано в печать 24.05.2004 г. Формат 60 х 84/16. Объем 1,5 п.л. Тираж 70 экз. Заказ № 9.

Участок оперативной печати НИВЦ МГУ. 119992, ГСП-2, Москва, НИВЦ МГУ им. М.В. Ломоносова.

• 160 40

Введение.

Математические модели технологии цементации и их идентификация методом обратных задач.

1.1 Задача об определении коэффициента массообмена (3 на границе металла с атмосферой по измерениям на поверхности.

1.1.1 Постановка задачи об определении ¡3 для линейной модели.

1.1.2 Теорема единственности решения обратной задачи.

1.1.3 Постановка задачи об определении зависимости (3 от концентрации для линейной модели диффузии в металле. Теорема единственности.

1.2 Задача об определении коэффициента диффузии Б (и) для квазилинейного процесса цементации.

1.2.1 Постановка задач для различных моделей зависимости Б от концентрации.

1.2.2 Вопрос о единственности решения при использовании полной информации о поле концентрации.

1.2.3 Теоремы о единственности при определении Б (и) по минимальной дополнительной информации.

1.2.4 Постановка апробирующего математического эксперимента.

1.3 Математическая модель состояния науглероживающей атмосферы и ее коррекция по некоторым параметрам. 38 1.3.1 Равновесная модель состояния газовой атмосферы.

1.3.2 Возможная неопределенность модели и постановка задачи ее коррекции относительно константы равновесия.

1.3.3 Математическая постановка обратной задачи и вопросы ее корректности.

1.3.4 Результаты математического эксперимента.

1.3.5 О способе расчета равновесного состояния газовой атмосферы печи по начальным данным.

1.4 Коррекция модели процесса цементации с учетом легирования и ее автоматизация.

1.4.1 Постановка задач.

1.4.2 Программа автоматизации вычисления параметра легирования е.

1.4.3 О прогнозировании диффузионного поля с поправкой на легирование.

2 Задачи управления технологическим процессом цементации.

2.1 Задача управления процессом диффузии в технологии

• цементации.

2.1.1 Постановка обратной задачи управления.

2.1.2 О существовании решения задачи.

2.1.3 О существовании и единственности решения задачи управления для нелинейной модели диффузии.

2.1.4 О неустойчивости решения задачи управления и ее регуляризации.

2.2 Феноменологическая модель управления диффузией с помощью выбора параметра в граничном условии и методы автоматизированного подбора решения.

2.2.1 Технологические модели и вопросы корректности постановки задачи управления диффузией.

2.2.2 Номограммы для подбора управляющих параметров.

2.2.3 Использование асимптотического анализа в целях экономизации алгоритма решения задачи

2.2.4 Об алгоритме решения задачи программного управления.

2.3 Задача управления цементацией посредством выбора параметров газовой атмосферы.

2.3.1 Постановка вопроса.

2.3.2 Задачи управления стационарным состоянием газовой атмосферы по заданному углеродному потенциалу.

2.3.3 Об управлении параметрами начального состояния атмосферы при заданном углеродном потенциале.

2.4 Задача об управлении состоянием поверхности металла в условиях частичной неопределенности модели.

3 Некоторые обратные задачи технологии азотирования. т 3.1 Математическая модель многофазной диффузии и задачи ее идентификации.

3.1.1 Термодинамическая модель процесса.

3.1.2 Задачи об определении равновесного азотного потенциала в У и е-фазе. Теоремы единственности.

3.1.3 Об идентификации модели по физическим параметрам (3 и И.

3.1.4 Об алгоритмах решения обратных задач идентификации.

3.1.5 О результатах математического эксперимента. 98 3.2 Математическая модель переходной зоны и вопросы ее идентификации.

3.2.1 Постановка вопроса.

3.2.2 Физико-химическая трактовка границ существования фаз при азотировании и формулы предельных концентраций.

3.2.3 О кинетике процессов в переходной зоне и модели локального источника концентрации азота.

3.2.4 Аппроксимация физических параметров материала в переходной зоне.

3.2.5 Задача об идентификации источника по наблюдениям на поверхности для нелинейной модели.

3.2.6 Идентификация источника для линейной модели без количественных ограничений на физические параметры.

3.2.7 Методика и результаты математического эксперимента по определению плотности источника в переходной зоне.

3.3 Задача управления процессом азотирования.

3.3.1 Постановка задачи.

3.3.2 Математические модели управления и вопросы существования решения.

3.3.3 О единственности и устойчивости решения обратной задачи управления.

3.4 Номограммы для управления процессом азотирования.

3.4.1 Постановка задачи.

3.4.2 Параметры номограмм.

3.4.3 О предварительной обработке поля концентраций для получения параметров номограмм.

3.4.4 Построение номограмм и их использование.

О реализованных численных алгоритмах решения краевых и вариационных задач.

4.1 Итарационно-разностные методы решения рассмотренных краевых задач азотирования и цементации.

4.1.1 Общая конструкция метода.

4.1.2 Разностная схема и ее обращение.

4.1.3 О сходимости итерационного процесса.

4.2 О реализации общего регуляризирующего оператора А.Н.Тихонова.

4.2.1 Анализ реализованных нами стабилизаторов.

4.2.2 Оценка непрерывности оператора прямого отображения Къ в рассмотренных задачах.

4.3 О минимизирующих алгоритмах.

4.3.1 Метод Розенброка.

1.Современное представление о математическом моделировании, как одном из наиболее эффективных средств изучения реальных процессов и явлений, применяемом в нашей стране в широком круге научных исследований, восходит к работам академика А.А.Самарского [77], [78], который еще в 1984г. охарактеризовал достигнутое состояние следующим образом : "Можно утверждать, что. математическое моделирование и вычислительный эксперимент представляют собой универсальную научную методологию, реализующую цепочку: объект - модель - вычислительный алгоритм - программа для ЭВМ - расчет на ЭВМ - анализ результатов расчета - управление объектом."

Экстенсивное развитие этой методологии в настоящее время сопряжено, в частности, с расширением технических возможностей вычислительной техники (персональные компьютеры, сети ЭВМ и т.д.).

Задачи управления реальными объектами успешно и в достаточно широком круге работ [2], [5], [б], [13], [18], [34], [85], [88], [100] и др. систематически решаются на множестве различных технологических процессов. В этом случае элементарные естественные законы, определяющие процесс предполагаются хорошо изученными, а математические модели часто представляют собой краевые задачи для систем дифференциальных уравнений в частных производных, зависящих от числовых или функциональных параметров -физических характеристик управляющего режима или материала-носителя процесса.

Ввиду достаточной сложности математических моделей, важное значение имеет разработка экономичных алгоритмов для расчета эффектов управления. Однако, еще большего внимания требует анализ вопросов корректности для возникающих при этом обратных задач. Отметим в этой связи, что согласно классификации из [88] сама задача управления (как и задача синтеза) в ее точной постановке относится к классу обратных, поскольку ее содержанием является определение управляющих функциональных параметров, приводящих к заранее заданному, требуемому, результату (обратная задача "типа управления"). Поскольку обратные задачи относятся, как правило к числу некорректных, (в частности - неустойчивых) место вопросов корректности при решении таких задач очевидно. С другой стороны, реализация модели процесса предполагает известными ее числовые и функциональные параметры. Однако, они далеко не всегде известны и часто не могут быть предметом прямого физического эксперимента по их определению [б]. В этом случае может оказаться полезным косвенный эксперимент, когда значения неизвестных параметров определяются по данным наблюдения над возникающими при этих значениях физическими полями. Это означает дополнение косвенных экспериментальных данных решением некоторой обратной задачи (задачи типа интерпретации данных физического эксперимента [91]), и постановка такой задачи также требует изучения вопросов ее корректности. Постановка обратных задач обеих типов и изучение вопросов их корректности, а также разработка и реализация методов их решения применительно к конкретным технологическим процессам является главной целью настоящей диссертации. Отметим, что замена феноменологических параметров модели ее более глубокими микроскопическими параметрами (например, коэффициента теплопроводности - его выражением на основе молекулярной теории) не снимает, вообще говоря проблемы: микроскопическая модель также зависит от некоторых параметров, которые не всегда известны.

Как известно, [7], [91], к числу вопросов корректности постановки задачи относятся следующие: (а) существование решения задачи; (б) единственность решения; (в) устойчивость по отношению к малому возмущению входных данных.

Основы теории решения некорректно поставленных задач (теории регуляризации) заложены в работах отечественных ученых [87], [89], [35], [56], и их учеников. В настоящей работе автор опирается на соответствующие фундаментальные результаты, касающиеся как корректной постановки обратных задач, так и методов построения регуляризирующих алгоритмов для их решения.

В части реализации алгоритмов решения задач управления мы опираемся также на теорию конечно-разностных схем, основы которой заложены в работах академика А.А.Самарского и его учеников [79], [81], [82].

2. Технологические процессы, моделированию которых посвящена настоящая диссертация предназначены для поверхностного упрочнения стальных деталей машин и механизмов с помощью химико-термической обработки поверхностей. Результатом ХТО является преобразование микроструктуры приповерхностных слоев, и соответствующее этому приобретение деталями физико-механических свойств, обеспечивающих надежность их в эксплуатации [10], [60], [61]. Изучению математических моделей упрочняющих технологий различных типов посвящена монография [88]. В работах [5], [100] анализируются модели высокочастотной закалки; в обзорной работе [68] обсуждаются рекомендованные технологами математические модели газового насыщения металлов; работа [85] посвящена проблеме моделирования нитроцементации (совместного насыщения стали углеродом и азотом при достаточно высоких температурах ~ 700°С).

В настоящей диссертации решаются задачи, связанные с двумя различными технологиями упрочнения материала: это цементация - насыщение стали углеродом при температурах 850 — 1050°С, и азотирование - процесс, осуществляемый при температурах 550 — 750°С. Обе эти технологии реализуются обычно с помощью специальной газовой печи куда [53], [86] загружаются детали, и атмосфера которой содержит необходимые для насыщения компоненты.

Основным элементом математической модели каждого из названных процессов является квазилинейное уравнение параболического типа, описывающее диффузию образующегося в атмосфере печи газа в металл. Краевым задачам для таких уравнений в самой общей постановке посвящена обширная литература [57], [58], [96]; проблемы корректности постановки соответствующих "прямых" задач, по крайней мере в интересующих нас пределах можно считать решенными, и мы опираемся на эти результаты. Так для краевой задачи:

6 Q = {(x,í) :0<x <7,0 <f<í} (0.1) ni \ du №)№)-«)U (0-2) x=0 du

77- =0,ti|t=o = tio(®), (0.3) ox x-i единственное классическое решение существует при достаточных условиях: D(u) G Cl[R\,R2], (3(и) G C°[i?i,i?2], где fíi = m]nu(x,¿), R2 = maxu(x,t); C(t) € C°[0,¿); «0(a?) e C°[0,/]; Q Q u° = /5(uo) (C(0) - wo)L=o [58]. Ради краткости, мы x=0

D{u0) йх будем именовать во введении подобные совокупности условий условиями однозначной разрешимости краевой задачи. Нас будут интересовать вопросы корректности соответствующих обратных задач, предлагаемые постановки которых вытекают из проведенного нами анализа существующей экспериментальной информации о физических параметрах материала [25], [26]. В плане корректности постановки мы будем рассматривать также задачи управления названными процессами. Сходные в основных элементах модели, эти процессы оказываются существенно различными по своей физической структуре. Процесс азотирования оказывается в отличие от цементации многофазным и протекающим с образованием полезных химических соединений насыщающего газа с металлом. Соответственно, различными (например, в краевых условиях, описании источников насыщающего вещества) оказываются математические модели в целом. Обнаруживается и различие в разрешающих алгоритмах. Эти обстоятельства определили структуру предлагаемой диссертации.

Первая и вторая главы посвящены математическим проблемам, связанным с технологией цементации; в третьей рассматриваются математические проблемы, связанные с технологией азотирования. Некоторые вопросы реализации алгоритмики решения математических задач, используемой в предшествующих главах рассматриваются в четвертой главе. В заключении предлагается краткий перечень результатов, полученных в настоящей диссертации. Имеется библиографический список, содержащий 108 ссылок на отечественную и зарубежную литературу. Результаты иллюстрируются рисунками и таблицами в конце текста.

3. Задачи идентификации моделей по некоторым параметрам допускают формулировку в виде операторного уравнения [89] :

Az = и, (0.4) если z £ Z идентифицируемый параметр, и 6 U - косвенная о нем информация, Z и U соответствующие метрические пространства.

В таких задачах проблемму существования решения мы будем понимать в смысле Тихонова-Лаврентьева [79], [88], [56]. Предположение о том, что решение существует, означает в этом случае, что и £ С/д, где Ua — множество отображений Z с помощью оператора А.

Проблема единственности операторного уравнения, рассматривается в рамках точной модели и понимается в классическом смысле: если Z\,Z2 - решения (0.4): z\ ф Z2, то Az\ ф Az<¿.

Проблема устойчивости (для априори неустойчивой по входным параметрам модели) решается в смысле А.Н.Тихонова - как задача построения регуляризирующего оператора. Ее решение дополняется математическим экспериментом, апробирующим алгоритм и дающим оценку модулю непрерывности [56].

Ниже дается более детальное описание структуры работы с краткой формулировкой ее основных результатов.

4. В первой главе обсуждаются проблемы идентификации математических моделей цементации по ряду физических параметров. Для этой цели используется "метод обратных задач" [84], [88]. В разделе 1.1 формулируются граничные обратные задачи об определении по минимальной дополнительной информации коэффициента массо-обмена /3 на границе металла с атмосферой.

Вводится понятие монотонности процесса, когда в любой момент поток вещества через границу атмосферы внутрь металла положителен.

Для математической модели (0.1-0.3), где C(t) - управляющий процессом "углеродный потенциал" атмосферы, a D(u) = Dq = Const у оказываются справедливы нижеследующие утверждения. При ß = Const операторное уравнение (0.4) зададим в виде: = u(0, t,ß)-ü = 0, (0.5) при этом Uа - множество значений «(0, ¿), соответствующих различным ß Е (0, /?*), при некотором ß*,ü- заданная на поверхности концентрация. Теорема 1: Для монотонного на [0,¿] процесса и для ü G Ua существует ß* такое, что уравнение (0.5) имеет единственное решение на (0,/?*). Предложенная постановка задачи апробируется численным экспериментом.

При ß = ß(u) в качестве минимальной дополнительной информации можно принять w(0, t) = <p(t), t € [0, í]. Тогда для модели (0.1-0.3), определенной на полуограниченной прямой: х G (0, со), |w(:r,í)| < +оо, оказывается верной Теорема 2: Пусть C{t) е C°[0,¿]; uoW € С°[0,+оо), и lim щ(х) = 0;

X 1 > i 00 u) G C°[fíi,i?2]; <p(t) € C^Ojí):- справедливы равенство: ß(<p(0) - C(0)) = Г>п'0(0) - и неравенство: C(t) -4>{t) ^ 7 > 0 ПРИ í G [0,f]. Тогда уравнение (0.4) может иметь только одно решение.

В разделе 1.2 анализ единственности проводится для задач об определении по различным входным данным коэффициента диффузии углерода в металл.

Представляет интерес следующее утверждение, относящееся к использованию максимальной информации о поле концентраций. Теорема 3. Бели задача (0.1—0.3) однозначно разрешима ди при краевом условии —D— = g(í), где q(t) — заданная

ОХ х=0 функция, то решению этой задачи, известному всюду в Q может соответствовать лишь одна функция D(u) из множества дифференцируемых в области определения. В технологических работах [68] рассматривается модель коэффициента диффузии вида: D(u)=a+bu.

Оказывается однако, что даже полная информация о поле концентраций для такой модели не гарантирует, вообще говоря, однозначности решения обратной задачи относительно D(u).

Введем определение: Поле концентраций u(x,t) для "технологической" модели назовем вырожденным, если существует Л = Const и функции A(t) и B(t) такие, что либо u(x,t) = А ± y/A(t)x + B(t) + Л2, либо u(x,t) = A(t)x + B{t).

Теорема 4. Бели поле концентраций не вырождено то по полной информации о нем в любой (сколь угодно малой) окрестности им0 любой Mq £ Q коэффициент диффузии однозначно определяется на множестве моделей: D(u)=a+bu (при постоянных а и Ь).

Известно [70], что если D(u) является аналитической функцией в области определения, как например в вышеприведенной модели коэффициента диффузии, то для ее однозначного определения достаточно знать <p(t) = u(0,t),t 6 [0, ¿]. Оказывается, при D(u)=a+bu можно ограничиться и меньшей информацией. Обозначим р = {а, 6}, и пусть q = {y?i = (p(ti),(p2 = ^(^2)}, если ti,t2 G [0,í],(íi -ф ti). Теорема 6: Бели процесс монотонный, и (pi ф ср2 то не может существовать более одного решения обратной задачи: q р.

Предлагаемый для практических целей регуляризирующий по А.Н.Тихонову алгоритм апробируется в математическом эксперименте для технологической модели D(u) и дается апостериорная оценка модуля непрерывности. Для совместной модели диффузии и стационарного состояния науглероживающей атмосферы необходимо знать, в частности, константу равновесия К для реакции распада, с выделением атомарного углерода, какой либо углеродосодержащей компоненты газовой атмосферы на поверхности металла. Поскольку, по экспериментальным данным эта величина дается с большой неопределенностью: К € [Ki, К2] = А - в разделе 1.3 предлагается обратная задача об ее определении по косвенным данным о поле концентраций. Для однозначного решения такой задачи оказывается достаточно значения ü = w(0, t). Известно, что искомая величина К может быть связана при равновесном состоянии атмосферы с ее постоянным углеродным потенциалом Со трансцендентным уравнением вида Ф(К,Со) = 0, определяющим функциональную зависимость Со = Bi(K); пусть ^(Со) = u(0, t) определяется решением краевой задачи (0.1-0.3). Если В(f) = Bi(£)B2(Cq), то искомая величина £ = .К" определяется уравнением вида:

К) = Щ) - й = 0, (0.6) с алгоритмически заданной левой частью. Пусть Ai - отображение Д с помощью оператора В, тогда верна Теорема 8: При щ(х) = щ = Const; D(u) £ Cl(RuRi), R\ = Я2 = щ

D(u) > 0, Щи) > 0; ß £ С°[ЯьД2]; й £ Д1 - существует значение i > 0, при котором уравнение (0.6) имеет и притом единственное решение f £ Д. Методом математического эксперимента дается оценка модуля непрерывности при определении К для реакции: 2СО ^ С + С02.

Заключение

Кратко сформулируем основные научные результаты выносимые на защиту.

1. Разработаны и реализованы в виде программ для ЭВМ методы расчета диффузионных полей для двух различных технологий (цементации и азотирования) газового насыщения стальных деталей.

2. Сформулированы обратные задачи по определению числовых, физических и управляющих параметров для модели насыщения металла углеродом, модели равновесного состояния насыщающей атмосферы, модели азотирования. Доказаны теоремы существования и единственности решения соответствующих обратных задач. Предложены и апробированы регуляризирующие алгоритмы их решения.

3. Для технологии азотирования предложена феноменологическая модель, в которой смена фаз происходит в переходной зоне, где действует внедиффузионный источник азота. Сформулирована обратная задача о плотности внедиффузионного источника и доказана теорема единственности ее решения. Предложен и апробирован соответствующий регуляризирующий алгоритм решения данной обратной задачи.

4. Для решения задач управления процессом цементации разработан экономичный алгоритм, использующий асимптотическое представление диффузионного поля.

5. С помощью математического эксперимента при использовании регуляризирующих по А.Н.Тихонову алгоритмов, даны оценки достаточной для практических целей точности измерения экспериментальных данных. На основе математического моделирования процессов даны количественные оценки распределения диффундирующих веществ или кристаллических фаз в металле. Разработаны номограммы, позволяющие технологу оптимизировать процессы цементации и азотирования непосредственно в ходе производства.

1. Алифанов О.М. Идентификация процессов тепло- и массообмена по методу обратных задач. Материалы международной школы-семинара. Часть 2 Минск: ИТМО им. А.В. Лыкова АН БССР, 1981г.

2. Алифанов О.М. Идентификация процессов теплообмена летательных аппаратов. М: Машиностроение, 1979г.

3. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экспериментальные методы решения некорректных задач.- М: Наука, 1988г.4^ Альберг Дж., Нильсон Э., Уолшг Дж. Теория сплайнов^ и ее приложения М: Мир, 1972г.

4. Андреев Ю.Н., Федоренко Р.П., Черняховский Е.З. Опыт применения приближенных решений задач оптимального управления в инженерно-конструкторских разработках // Автоматика и телемеханника. 1980, N 9, с. 5-12.

5. Аншценко Л.М., Лавренюк С.Ю. Математические основы проектирования высокотемпературных технологических процессов. М.: Наука, 1980г.

6. Hadamar «ЦАдамар Ж.) Le probleme de Cauchy et les equations auxderivees partielles lineaires hyperboliques. París: Hermann Р., 1932.

7. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М: Наука, 1972г.

8. Binder A., Engel H.W., Vesella S. Soe inverse problems for a nonlinear papabolic equation, connected with continuos casting of stell:stability estimates an regularization. // Numer. Funct. Annal and Optimiz 1990. - v. 11. - N 7-8. - p.643-671.

9. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, т.1 М.: Наука, 1966г.

10. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. т.И М.: Наука, 1960г.

11. Блантер М.Е. Теория термической обработки. М.: Металлургия, 1984г.

12. Богомолова И.А., Кальнер В.Д., Кулик Н.И. и др. О некоторых обратных задачах, связанных с управлением диффузионными и тепловыми процессами. // ИФЖ 1987г., т.53, N 5, с.835-843.

13. Борисов В.Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987г.

14. Будак Б.М., Васильев Ф.П., Успенский А.Б. Разностные методы решения некоторых краевых задач типа Стефана. Сб. научн. тр. Численные методы в газовой динамике. / BIT МГУ / Изд— во МГУ, 1965г., т.4.

15. Булгач A.A., Солодкин Г.А. Моделирование на ЭВМ кинетики роста нитридов в азотированном слое. // Металловедение и термическая обработка. 1984г., N 1.

16. Булгач A.A. Исследование и разработка расчетной модели технологических режимов регулируемых процессов газового азотирования: Дисс. на соискание ученой степени кандидата технических наук МАДИ, 1979г.

17. Бутковский А.Г., Малый C.A., Андреев Ю.Н. Оптимальное управление нагревом металла. М.: Металлургия, 1972г.

18. Бухгейм A.JI. Карлемановские оценки для операторов Вольтерра и единственность обратных задач. В книге "Неклассические проблемы математической физики". -Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1981г.

19. Варгафтик Н.Б. Теплофизические свойства веществ M.-JL: Госэнергоиздат, 1956г.

20. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973г.

21. Васильев Ф.П., Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981г.

22. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: "Наука", 1980г.

23. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике. М.: Наука, 1976г.

24. Гласко Ю.В. Три задачи автоматизации процесса цементации стали. В сб. научн. тр. Имитационное моделирование и автоматизированное проектирование в промышленных системах / НИВЦ МГУ/ Отв. ред. Н.В. Макаров-Землянский. М.: МГУ, 1997.- С. 80-92.

25. Гласко Ю.В. Метод обратных задач при моделировании азотного насыщения металла // Рукопись деп. в ВИНИТИ 21.01.1999, N 56-В99. 16 с.

26. Гольдман H.JI. Обратные задачи Стефана // ИФЖ 1993г., т.65, N 6, с. 684-689.

27. Гуляев А.П. Металловедение. М.: Металлургия, 1977г.

28. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. М.: Физматгиз, 1963г.

29. Денисов A.M. Введение в теорию обратных задач.- М.: Издательство МГУ,1994г.

30. Дмитриев В.И., Руднева Т.П. О решении обратной задачи магнито-теллургического зондирования: Ротопринт ВЦ МГУ, вып.13, Москва, 1971г.

31. Дульнев Г.Н., Заричняк Ю.П. Теплопроводность смесей и композиционных материалов. Справочная книга. JL: Энергия, 1971г.

32. Захаров JI.H., Иванников А.Н., Исаев В.В., Нюнин Б.Н. Поток акустической мощности как критерий качества конструкции легкового автомобиля: Тез. докл. Третья Всесоюзная конференция по борьбе с шумом и вибрацией Челябинск, 1980г.- с.39-41.

33. Зойтандейк Г. Методы возможных направлений. М.: ИЛ, 1963г.

34. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах. // Матем. сб. 1963г., т.61, N 2, с.211-223.

35. Ивасишин С.Д., Эйдельман С.Д. Оценка матрицы Грина однородной параболической граничной задачи. // ДАН СССР.- 1967г., т.172, N 6.37J Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. ч.2- М.: Наука, 1980г.

36. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Вып.1 М.: Наука, 1965г.

37. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978г.

38. Калиткин H.H., Кузьмина JI.B. Сходимость параболических интерполяционных сплайнов. // Математическое моделирование 1995г, т.7, N 11, с.78-94.

39. Кальнер В.Д., Кулик Н.И., Степанова И.Э., Юрасов С.А., Евсеев Ю.К. Номограммы нелинейного процесса нитроцементации. // МиТОМ 1992г, N 12.

40. Кальнер В.Д., Юрасов С.А., Кулик Н.И., Евсеев Ю.К. Об управлении цементацией с помощью непрерывного изменения углеродного потенциала газовой печи. // ИФЖ 1990г, т.58, N 2, с.271-278.

41. Кальнер В.Д., Юрасов С.А., Кулик Н.И., Евсеев Ю.К. Номограммы нелинейного процесса цементации металлических деталей. // МиТОМ 1986г., N 1, с. 7-11.

42. Carleman T. Sur un problém d'unicité pour les systèmes d'équations aux dérivées partielles a' deux variables indépendantes. // Arkiv for Matimatik Astronomin och Fysik. 1939. - v. 2613. - N 17. - s. 1-9.

43. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Наука, 1984г.

44. Клибанов М.В. Обратные задачи в "целом" и карлемановские оценки // Дифференциальные уравнения 1984г., т.20, N 6, с. 1035-1041.

45. Коган Я.Д., Булгач A.A. Моделирование на ЭВМ кинетики диффузионного насыщения // Металловедение и термическая обработка металлов. 1984г., N 1, с.10-20.

46. Коган Я.Д., Солодкин Г.А. Термодинамические основы регулируемых процессов азотирования // Металловедение и термическая обработка металлов. 1985г., N 1, с.23-30.

47. Коллатц Л. Численные методы решения дифференциальных уравнений. М.: Изд-во ин. лит., 1953г.

48. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Мир, 1969г.

49. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1968г.

50. Контроль качества термической обработки стальных полуфабрикатов и деталей. Справочник. Под общей редакцией В.Д.Кальнера. М.: Машиностроение, 1984г.

51. Котов O.K. Поверхностное упрочнение деталей машины химико-термической обработкой. — М.: Машиностроение, 1969г.

52. Кулик Н.И. О математическом моделировании процесса индукционной закалки стальных цилиндрических образцов: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ. мат. наук М., МГУ, 1980г.

53. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.: Физматгиз, 1959г.

54. Лавреньтьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980г.

55. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967г.

56. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. -М.: Наука, 1973г.

57. Ландис Е.М. О единственности решения задачи Коши для параболического уравнения. // ДАН СССР. 1952г., т.83, N 3, с.345-348.

58. Лахтин Ю.М. Физические основы процесса азотирования. М.: Машгиз, 1948г.

59. Лахтин Ю.М., Арзамасцев Б.Н. Химико-термическая обработка металлов. М.: Металлургия, 1985г.

60. Лахтин Ю.М., Булгач A.A. Теория химико-термической обработки стали. М.: Машиностроение, 1982г.

61. Леонидова М.Н., Шварцман Л.А., Шульц Л.А. Физико-химические основы взаимодействия металлов с контроллируемыми атмосферами. М.: Металлургия, 1980г.

62. Любимова Е.А., Никитина В.Н., Томара Т.А. Тепловые поля внутренних и окраинных морей СССР. М: Наука, 1976г.1.wis C.F. А practica way to determine carburizing time and tem-pereture // Metall. Progress. 1969. - v. 96. - N 3. - p.90-93.

63. Марчук Г.И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1980г.

64. Могутнов Б.М., Томилин И.А., Шварцман JI.A. Термодинамика железо-углеродистых сплавов. М.: Металлургия, 1972г.

65. Моделирование и автоматизация на базе ЭВМ процессов химико-термической обработки автомобильных деталей. Обзорная информация под ред. Зинченко В.М., Кузнецова В.В., Арзамасцевой Э.А. М.: Изд-во ЦНИИТЭИАВТОПРОМ, 1987г., cep.XI, с. 3-79.

66. Морозов В.А. О принципе невязки при решении операторных уравнений методом регуляризации // ЖВМ и МФ 1968, т.8, N 2, с. 295-309.

67. Музылев Н.В. Теоремы единственности для некоторых обратных задач теплопроводности // ЖВМ и МФ 1980г., т.20, N 2, с. 388-400.

68. Нефедов H.H. Контрастные структуры и их приложения в задачах о межфазных переходах. Математические модели и методы в социальных науках. Труды вторых математических чтений МГСУ (26 января 2 февраля 1994г.) - М.: МГСУ, 1994г., с.ЗО-31.

69. Олейник O.A. Об одном методе решения общей задачи Стефана // ДАН СССР 1960г, т. 135, N 5.

70. Понтрягин JI.C., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961г.

71. Пригожин Л.Б., Булгач A.A. Численное решение одномерных задач Стефана в теплопроводности и диффузии. В кн.

72. Численные методы сплошной среды", Новосибирск: М.: Ин-т теор. прикл. механики АН СССР, 1981г., т.12, N 2, с.71-83.

73. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. Рига: Звайгене, 1967г.

74. Самарский A.A. Проблемы применения вычислительной техники // Вестник АН СССР 1984г., N 11, с.17-29.

75. Самарский A.A. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР 1979г., N 5, с.38-49.

76. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977г.

77. Самарский A.A., Моисеенко Б.Д. Экономичная схема сквозного счета для многомерной задачи Стефана // ЖВМ и МФ 1965г., т.5, N 5, с. 815-827.

78. Самарский A.A., Гулин A.B. Устойчивость разностных схем. -М.: Наука, 1973г.

79. Самарский А.Н., Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978г.

80. Свешников А.Г. Прямые и обратные задачи электродинамики. В кн. Проблемы математической физики и вычислительной математики. М.: Наука, 1977г., с.287-298.

81. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. М.: Изд -во МГУ, 1993г.

82. Степанова И.Э. Некоторые математические задачи высокотемпературной цементации: Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Москва, физ. ф-т МГУ, 1992.

83. Термическая обработка в машиностроении. Справочник под ред. Ю.М.Лахтина, А.Г.Рахштадта. М.: Машиностроение, 1990г.

84. Тихонов А.Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // Докл. АН СССР 1963г., т.153, N 1, с. 49-52.

85. Тихонов А.Н. и др. Математическое моделирование технологических процессов и метод обратных задач в машиностроении. -М.: Машиностроение, 1990г.

86. Тихонов А.Н. Об устойчивости обратных задач. // Докл. АН СССР 1943г., т.39, N 5, с. 195-198.

87. Тихонов А.Н. К математическому обоснованию электромагнитных зондирований // ЖВМ и МФ 1965г., т.5, N 3, с. 545-548.

88. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979г.

89. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985г.

90. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, Физматлит, 1995г.

91. Тихонов А.Н., Дмитриев В.И. О методах решения обратной задачи теории антенн. В сб. "Вычислительная математика и программирование", XIII, Изд. МГУ, 1969г.

92. Тихонов А.Н., Кулик Н.И., Шкляров И.Н. О результатах математического моделирования одного процесса теплопроводности // ИФЖ 1980г., т.XXXIX, N 1, с. 5-10.

93. Тихонов А.Н., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972г.

94. Тихонов А.Н., Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1970г.

95. Фролов В.В. Теоремы единственности решения обратной задачи теплопроводности // Инж. Физ. Журн. 1975г., т.29, N 1, с. 808.

96. Фудзита, Йосида. Влияние глубины цементованного слоя на долговечность при контактной усталости цементованного ролика из хром-молибденового сплава // Конструирование и технология машиностроения. 1981г., т.103, N 2.

97. Трубецков М.К., Кулагин И.Д., Матыцын А.П. О решении одной задачи управления, связанной с восстановлением железорудных окатышей // ИФЖ 1984г., т.47, N б, с. 971977.

98. Треногин В.А. Развитие и приложения асимтотического метода Люстерника-Вишика // УМН 1970г., т.25, N 4, с. 121-156.

99. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975г.

100. Хованский Г.С. Номография сегодня. М.: Знание, сер. математика и кибернетика, 1987г.

101. Авдулов В.В. Интерпретация гравитационных аномалий. М.: Изд-во РАН, 1993г.

102. Xia Lifang, Yan Mufu. Computer simulation and mathiematicals models of nitrogen concentration distribution in ion -nitrided layers: Preprint Department of metals and Technology of Harbin inst. of Technology, Harbin, P.R. China, 1990.

103. Ильин M.E. Математические задачи управления физическими процессами при термической обработке деталей: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физ.-мат. наук. Москва, МГУ, физ. ф-т, 1983г.

104. Diesburg D.E., Elids G.T. Fracture Resistance of Varions Carbur-ized Steels // Met. Trans. -1978 v. 9A - November - p.1561-1570.

105. Maloney A., Cullen E., Carburizing Truck Components in a Zone -Atmosphere Furnace // Met. Progr. 1967 - November - p. 74-76.8,%

106. Рис. 1: Модуль непрерывности для задачи об определении D(u)е,%б)

107. Рис. 2: Решения обратной задачи относительно К*(Т) и модуль непрерывности 6 = е(£)

108. Рис. 3: Иллюстрация единственности решения задачи прогнозирования состояния атмосферы печи в заданном температурном диапазоне8,%

109. Рис. 4: Погрешность определения углеродного потенциала в зависимости от погрешности задания давлений при цементации для различных значений С (Г = 1203°^, р = 105Па): 1- С = 4%; 2- С = 3%; 3- С = 2%; 4- С = 1%; 5-С = 0,5%е

110. Рис. 5: Фрагмент номограммы первого типа для Т = 930°С, щ = 0,15%, Сокр = 1%, иг р = 0,7%повповб)

111. Рис. б: Фрагмент номограммы второго типа для Т = 1050°С; щ = 0,15%; ё = 0; Сокр = 1%1. Сокр = 1%;(г) Сокр = 1,5%