автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Обобщенный метод наименьших квадратов в задачах планирования и анализа экспериментов при исследовании марковских случайных процессов

МОСКОВСКИЙ ЭНЕРГЕГИЧЕСШ ИНСТИТУТ

ОБОБЩЕННЫЙ МЕТОД НАИМЕНЬПИХ КВАДРАТОВ В ЗАДАЧАХ ПЛАНИРОВАНИЯ И АНАЛИЗА Э1ССПЕРДОЕНТ0В ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ МАРКОВСКИХ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ

05.13.16 - применение вычислительной техники.

математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора технических наук

На правах рукописи

БРИМШОВ Улан Нургазиевич

Москва - 1991

Работа выполнена на кафедре Автоматики Московского энергетического института

Официальные оппоненты: доктор технических наук, профессор Горский Владимир Григорьевич

доктор технических наук, профессор Лецкий Эдуард Константинович

доктор технических наук, профессор Чураков Евгений Павлович

Ведущая организация:. Институт проблем управления АН СССР

Защита состоится " 15 " января 1Э92 г. в 16 час. 16 мин. в МАЗе на заседании специализированного совета

Д353.16.09 при Московском энергетическом институте.

Отзыва в двух экземплярах, заверенные печать», просим направлять по адресу: 105835 ГСП, Москва Е-250, Красноказарменная. 14, Совет МЭИ.

С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке МЭИ. Автореферат разослан "У " ^¿жЗря 1991г.

Ученый секретарь специализированного соЕвта кандидат технических наук

доцент ^—Vй БОЧКОВ А.Ф.

ОБЛАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Автоматизация научных исследований, широкое использование математических методов и ЭВМ в задачах планирования и анализа экспериментов, моделирование на ЭЕМ являются важным средством повышения эффективности и качества экспериментальных исследований, ускоренного внедрения научных разработок в народное хозяйство. В плане этого важным является создание автоматизированных систем научных исследований (АСНИ).

Исключительно важное значение широкого внедрения АСНИ в исследовательскую практику привело к тому, что работы в этом направлении в течение X и XI пятилеток выделялись в отдельные комплексные научно-технические программа Государственного комитета по науке и технике.

В диссертации разрабатываются метода планирования и анализа экспериментов для задач оценивания характеристик случайных полей и процессов, в частности, задач фильтращи и идентификации случайных процессов по экспериментальным данным, что является одной из важнейших задач создания научно-методического обеспення АСНИ, образующего его теоретическою базу.

В настоящее время, многие вопросы, связанные с планированием и анализом экспериментов в задачах исследования случайных процессов, развиты достаточно хоросо. Еместе с тем, некоторые проблемы довольно общего характера остаются нерешенными. Это касается возможности и эффективности применения линейных несмещенных оценок (ЛЙО) и оценок обобщенного метода наименьпих квадратов (О.МНО для решения задач статистики случайных процессов, в частности, задач фильтрации и параметрической идентификации случайных процессов.

Tai: как реяение этой проблемы весьма важно с точки зрения повышения эффективности экспериментальных исследования случайных процессов и стохастических объектов, совершенствования и развития научно-методического обеспечения АСНИ, тематика днссертацш, посвященная этим вопросам является актуальной.

Работа проводилась в рамках межвузовской научно-технической программы "Автоматизация научных исследований" Госкомобразования СССР на 1986-90 гг., проводимой в рамках комплексной программы ГКНТ и АН СССР по созданию АСНИ в НИИ и ВУЗах страны на XI пятилетку. Она включена также в программу научно-технических работ

Госкомобразования СССР на 1990-95 гг.

Цель работы состоит в решении следующих задач:

1. Поиск, или выделение среда известных, классаСов) процессов, для которых:

- ковариационная матрица измерения (КМИ) имеет известную и достаточно простую структуру, позволявшую легко вычислять обратную матрицу, не прибегал к стандартным процедурам обращения матриц;

- И® полностью определяется небольшим числом ее элементов, расположенным в заданных позициях (т.е. для решения поставленных задач достаточно априорного знания не всех, а только небольшого количества элементов ковариационной матрицы, расположенных в известных позициях);

- число ненулевых элементов обратной КМИ меньше квадрата числа измерения, таким образом, что при большом числе наблюдений обратная матраща является разреженной.

2. Исследование возможностей и поиск способов аппроксимации КМИ произвольного случайного процесса ковариационной матрицей наблюдений найденного класса процессов таким образом, чтобы оценки ОМНК с аппроксимирующей весовой матрицей были близки к . оптимальным.

3. Разработка аффективных алгоритмов решения задач параметрической ОМНК-идэнтификации и фильтрации с одновременной идентификацией математического ожидания для найденного класса случайных процессов, а также процессов, КМИ которых можно аппроксимировать ОТ найденного класса процессов.

4. Исследование особенностей и разработка численных методов планирования эксперимента для задач фильтрации и экстраполяции найденного класса случайных процессов.

5. Применение разработанных алгоритмов и программ для решения практических задач и оценка их э$фективности.

Методы исследований:

- аналитические, с привлечением аппарата алгебры матриц, теории вероятностей и математической статистики, теории случайных процессов, теории построения оценок»

- численное моделирование на ЭВМ, с помощью которого осуществлялась проверка полученных теоретических результатов в модельных ситуациях, приближенных к реальным, а также делались вывода, важные для практических ситуаций

- практическая апробация полученных теоретических результатов, алгоритмов и программ в различных предметных областях.

Научная новизна. Теоретические исследования позволили получить следующие новые оригинальные результаты.

1. Дано определение нового класса случайных процессов - ковариационно марковских процессов Ш4-процессов), для которых условие марковости накладывается на вид ковариационной функции процесса. Как и обычные марковские процессы, КМ-лроцессы можно подразделить на простые С одномерные), многосвязные и векторные.

2. Найден класс матриц, обращение которых приводит к ленточным матрицам с заданной полушириной ленты и предложен простой рекуррентный алгоритм обращения таких матриц, более эффективный по сравнению со стандартными процедурами. Показано, что подмножество положительно определенных матриц этого класса представляет собой класс КМИ многосвязных КМ-процессов для измерений, упорядоченных в порядке возрастания (убывания) координат точек измерений.

3. Выяснена структура ковариационной матрицы неупорядоченных измерений одномерного КМ-процесса, которую можно получить путем умножения ковариационной матрицы упорядоченных измерении этого же процесса на соответствующую матрицу перестановки. При этом обратная матрица получается разреженной с числом ненулеЕлх элементов не превышающим зп-2, где п - порядок матрицы.

4. Предложен новый метод дискретной аппроксимации немарковских процессов го-связными КМ-процессами, который заключается в замене КМИ произвольного случайного процесса на КМИ многосвязного КМ-процесса, соответствующей связности.

5. Найдена структура КМИ векторного КМ-процесса, представленной в виде блочной матрицы:

а) каждый блок которой есть значение матричной ковариационной функции векторного процесса в заданных точках;

б) блоки ковариационной матрицы представляют собой ковариационные матрицы наблюдений составляющих векторного процесса.

В обоих случаях случаях матрица, обратная ковариационной имеет блочно-трехдиатональную структуру. Получены формулы вычисления подматриц (блоков) обратной матрицы через подматрицы, нанизанные на три центральные диагонали прямой блочной матрицы. Найден вид матрицы перестановки, с помощью которой ковариационную матрицу наблюдений векторного процесса, разбитую на блоки

одним из указанных способов, мохно привести к блочной матрице другого вида.

6. Предложены простые рекуррентные фор^лы вычисления ОМНК-оценок с ленточными весовыми матрицами, применимых для задач линейной фильтрации и идентификации КМ-процессов и произвольных процессов путем их аппроксимации КМ-процессами соответствующей связности.

7. Проанализированы особенности планирования эксперимента в задачах с КМ-процессами и предложен метод модификации известных численных процедур построения последовательных и точных планов, учитывающий особенности ковариационной матрицы наблюдений КМ-процесса. При этом вычислительная сложность процедур резко снижается относительно процедур для процессов общего вида. Есе сказанное касается и процессов, аппроксимируемых КМ-процессами.

Практическая ценность и реализация результатов работы. Полученные результаты имеют широкую область применения и могут быть использованы в тех задачах статистики случайных процессов на основе конечного множества дискретных наблюдений, в которых вероятностные свойства процесса полностью определяются заданием ковариационной матрица значений процесса в точках наблюдений (ковариационной матрицы наблюдений). К таким задачам статистики случайных процессов можно отнести задачи фильтрации и параметрической идентификации на основе дискретных наблюдений.

Полученные теоретические результаты были использованы для разработки алгоритмов и программ, позволяющих обрабатывать наблюдения случайных процессов путем их аппроксимации КМ-процессами. Внедрение результатов работы выполнено путем передачи разработанного программного обеспечения заинтересованным организациям и учебным заведениям, в которых они прошли всестороннюю проверку при решении ряда прикладных задач и в учебном процессе С НИИ "Автоматики" (г.Москва), институты кардиологии и физики АН Республики Кыргызстан, Московский энергетический институт. Рязанский радиотехнический институт. Львовский государственный университет, Еишкекский политехнический институт и другие). Наиболее в полном объеме они были использованы в ходе создания ПАРМ ЛДА, входящей в состав АСНИ Московского энергетического института.

Апробация работы. Основные результаты доложены и обсуждены на 17 Всесоюзных и республиканских конференциях и семинарах, в том

числе на Всесоюзных конференциях: "Перспективные методы анализа и планирования экспериментов при исследовании случайных полей и процессов" (1-я конференция - г.Нальчик, 1982 г.; 2-я - г.Севастополь, 1985 г.; 3-я - г.Гродно, 1988 г.; 4-я - г.Петрозаводск, 1991 г.), "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях" (5-я конференция, 1975 г.| 6-я - 1980 г.; 9-я -1989 г., все в г.Москве), "Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП" (2-я конференция - г.Москва. 1934 г.; 3-я - г.Тула, 1987 г.; 4-я - г.Тула, 1990 г.). "Современные проблемы энергетики и электротехники" (г.Москва, 1977 г.), "Хро-матографические процессы и автоматизация измерений" (г.Москва, 1979 г.), "Теория и техника пространственно-временной обработки сигналов" (2-я конференция. г.Свердловск, 1989 г.), "Океанотех-ника-78" (г. Ленинград. 1978 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано свыше 30 работ, в том числе 2 работы монографического характера и ряд статей в центральных журналах "Автоматика и телемеханика", "Заводская лаборатория", "Метереология и гидрология".

Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, 8 глав, заключения, списка литературы, насчитывающего 220 наименований. 9 приложений и содержит 300 страниц основного текста, 28 рисунков и 2 таблицы. Полный объем диссертации 420 страниц.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

В первой главе кратко излагаются основные положения и результаты корреляционной теории случайных процессов (полей) (все задачи в работе рассматривается в рамках корреляционной теории, когда случайный процесс полностью определяется его двумя первым;! моментными функциями, а вероятностные свойства процесса считаются полностью заданными, если известна ковариационная функция процесса). Кроме этого, в главе формулируются основные задачи статистики случайных процессов, сводящиеся к оцениванию тех или иных характеристик или значений случайного процесса.

Рассматриваются методы построения оценок с подробным изложением дискретного обобщенного метода наименьших квадратов (ОХНК) и возможностей его применения для решения задач статистики случайных процессов. В выражения для нахождения ОМНК-оценок входит весовая матрица И размером п«п, вид которой в сильной мере оп-

ределяет свойства оценок ОМНК (здесь п - число измерений процесса, по которым строится оценка). Обычно критерием выбора матрицы

является статистическая точность получаемых оценок. Если задача решается в рамках корреляционной теории, идентифицируемая модель линейна относительно оцениваемых параметров и в качестве \Нп используется матрица, обратная КМИ то оценки ОМНК с весовой матрицей К~' совпадают с наилучшими линейными несмещенными оценками СЕЯНО).

Но такой выбор весовой матрицы, обеспечивая оптимальность получаемых оценок, создает серьезные трудности с вычислительной точки зрения, т.к. хранение и обращение матрицы размером п»л общего вида при больших п является трудной задачей даже для современных ЭВМ. Здесь необходимо также отметить такие трудности как некорректность операции обращения матрицы и необходимость априорного знания всех элементов КМИ. Вследствие этих причин, оценки ОМНК с Еесовой матрицей 1С* находят ограниченное применение в практике инженерных исследований.

Одним из возможных подходов к построению более экономичных и простых процедур вычисления ОМНК-оценок является выбор весовой матрицы исходя из критерия простоты обработки результатов измерений. С зтой точки зрения очень удобными являются разреженные весовые матрицы, для которых вычислительная эффективность ОМНК-оценок возрастает с повышением степени разреженности матрицы Еще более эффективных процедур можно ожидать для разреженных весовых матриц с регулярной структурой, например, ленточных весовых матриц с небольшой полушириной ленты (т в общем случае мохет изменяться от о до п-1).

Но оценки ОМНК с такими весовыми матрицами могут оказаться неэффективными с точки зрения их точности, поэтому в работе ставится задача поиска классаСов) процессов, ковариационная структура (структура КМИ) которых позволяет упростить вычисление ОМНК-оценок без потери или с небольшой потерей точности получаемых оценок.

Рассматриваются вопросы линейной несмещенной и линейной оптимальной интерполяции, экстраполяции и фильтрации случайных процессов с параметрической 01Ж-идентификацией его математического ожидания. Так как все оценки рассматриваемые в работе (НЛНО, ЛНО) базируются на ОМНК-оценках математического ожидания, то для краткости они все называются ОМНК-оценками. При этом для всех

рассматриваемых в работе оценок актуальна задача поиска класса процессов, для которых их вычисление можно упростить без большой потери в их точности.

Задача оптимальной линейной фильтрации случайного процесса с одновременной параметрической ОХНК-идентификацией его математического ожидания выбрана в качестве примера, на котором иллюстрируются возможности применения полученных результатов для повышения эффективности решения задач оценивания случайных процессов. Частным случаем этой довольно общей задачи являются задачи интерполяции и экстраполяции случайного процесса, задачи параметрической идентификации и предсказания математического ожидания процесса, задачи регресионного анализа при коррелированных и некоррелированных наблюдениях.

Приводится постановка задачи планирования эксперимента, проводимого с целью оценивания статистических характеристик случайного процесса и подчеркивается сложность еэ решения как аналитическими, так и численными методами для процессов общего вида.

Во второй главе излагаются краткие сведения из теории марковских процессов. Приводятся классические определения марковских процессов в терминах условных функций (плотностей) распределения. условных математических ожиданий или систем стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) со случайными начальными условиями. Делается вывод, что эти способы задания марковских процессов не удобны для решения поставленных в диссертации задач.

Определяя марковский процесс классическими способами мы однозначно задаем все его характеристики, в частности вид математического ожидания процесса. В задачах же параметрической идентификации математического ожидания задаваясь вероятностными характеристиками процесса мы должны иметь известную свободу в выборе модели математического ожидания случайного процесса.

Таким образом, одной из основных целей второй главы является определение и исследование класса случайных процессов, марковское свойство которых выражено в терминах ковариационной функции процесса. Поэтому в главе вводится ряд новых определений, понятий и доказываются теоремы, определяющие новый класс марковских процессов в рамках корреляционной теории. Такой'класс процессов позволяет успешно решать задачи параметрической идентификации, так как не накладывает никаких ограничений на вид математического ожидания процесса.

Е настоящее время практически не встречаются работы, в которых изложена корреляционная теория марковских процессов, за исключением работы Дуба [Дуб Д*. Вероятностные процессы. М. Иностр. лит-ра. 1956], в которой введено понятие марковского в широком смысле процесса.

Определен!» 1 (Дуб), Процесс z<t>, независимо от того гаус-совский он или нет, называется марковским процессом в широком смысле, если E{z2<t>)< » при всех t и при любых tt< tt< ... с вероятностью 1 выполняется условие

E{Z(t >|7<t >,...,Z<t >}» Ê{Z<t >|Z<t >}, (1)

1 n 1 n-1 1 1 n n-»

где величина

Ê<*JX4.....«„-»Ь

называется линейным условным математическим ожиданием и представляет собой наилучшую аппроксимацию с помощью линейной

комбинации случайных величин х.....x„-i' ^ (i-l,n-l) -

постоянные величины).

В общем случае, наилучшая линейная аппроксимация не является настолько близкой к как условное математическое ожидание

Е <XJ\.....V,}. но гауссовых случайных величин с нулевым

средним понятия условное математическое ожидание и линейное условное математическое ожидание совпадают,т.е. Е{хпIх,.•••.xn.tl"

= .....Х„-»Ь

Пусть при любых s.te т, моментная функция второго порядка r(s,t) процесса z<t> удовлетворяет условиям r(«,'tx» и r<s,t>-= о, если r(t,t>= о.

Teopeua 1 (Дуб). Процесс z<t> является марковским процессом в широком смысле тогда и только тогда, когда моментная функция второго порядка пs,t> удовлетворяет условию

Г<B,T)r(T,t)

г<в'*>--777-Г>---(2)

где s<x<t.

Используя (1) и (2) можно ввести новый класс процессов (названных в работе ковариационно марковскими процессами (KJJ-процессами) , в которых условие марковости накладывается на вид ковариационной функции процесса.

Пусть z°<t> = z<t><t> - центрированная составляющая процесса z<t>, где -n <t) = Ez<t) - математическое ожидание z«t>.

- И -

Определение 2. Процесс z<t> называется КМ-процессом , если

Efz^t))2«» при всех t и при любых t < ... <tn_tstn выполняется условие

E{Z°<t >|Z°<t ).....2°(t )}- E{2°<t )|Z°(t )}. C3)

1 n 1 n-t 1 ' 1 ГЧ 1 n-l '

Лия марковских процессов С в узком, широком и ковариационном смыслах) справедливы следующие утверждения, доказательства которых тривиальны:

1) для процессов с нулевым средним понятия марковский процесс в широком смысле и КМ-процесс совпадают независимо от вида распределения процесса;

2) для нормальных (гауссовых) случайных процессов с нулевым средним совпадают все три понятия - марковский процесс в узком смысле, марковский процесс в широком смысле и КМ-процесс;

3) ковариационная функция нормального марковского процесса определяет соответствующий КМ-процесс.

Последнее утверждение весьма важно в том смысле, что позволяет найти примеры КМ-процессов путем анализа широко известных примеров нормальных марковских процессов.

Цусть ковариационная функция k<s,t> процесса z<t> удовлетворяет условиям: k(t,t)<m и k(s,t>=0, если k<t,t>~ о.

Теорема 2. Процесс zct> является КМ-процессом тогда и только тогда, когда ковариационная функция процесса k<s,t> удовлетворяет условию

k(5,r>k(r,t>

k(s,t> - -—-:- . (4)

' к<т,т> •

Где s<x<t.

По аналогии с определением простого КМ-процесса введено определение m-связного КМ-процесса.

Определение 3. Процесс z<t> называется т-связным КМ-процессом. если при любых t < t < ... с вероятностью 1 выполняется

E{Z°|Z° .....Z°}»E{Z°|Z° ,z° .....z° }, (5)

1 n ' n-« * ' t' 1 n1 n-i п-ж ' * n- m"

где z°- Ze«tn>- z(tj-E{z(tj).

Пусть к - fk. ,...,k ) - m-мерный вектор эначе-

I J * & 1 ^ V J ™ I j " 4 » I

ний k(3,t) в точках t. ,...,t, и точке t j матрица.

j — m ) "4 I w

размером mxm, обратная матрице значений k<e,t> в точках

t. ,t, .....t, | k,,» kit. ,t. ). j-m* * j-»* Ij t 1

Теореиа 3. Процесс z<t> является »-связным КМ-процессом тогда и только тогда, когда при любых t, <t, <t, < — <t, <t.

t.j-mj-m+1 j -1 j

ковариационная функция Ms,t> удовлетворяет условию

k(t ,t.>«K* , K_i Cj-nOC . ,. (6)

i j i. . t j - » 1 m I j - » I . j

Есе вышеизложенные определения и теоремы легко обобщаются на случай векторных процессов.

Определение 4. Векторный процесс zct>= ( zt<t>,...,zm<t>)T называется m-мерным КМ-процессом, если при любых t2< ... < tn с вероятностью 1 выполняется

.....ю о

где z°(ti)= z«t >- ^«t^j i-i ,n.

Пусть k(s,t>- e{z°<6>(z°<t>)t} - матричная ковариационная функция процесса 2°<t>, совпадающая с матричной ковариационной Функцией z<t>.

Теорема 4. Еекторный процесс z<t>- ( z <t),...,z <t>)T является m-мерным КМ-процессом тогда и только тогда, когда матричная ковариационная функция K<s,t> удовлетворяет условию

K<B,t>- К(в,т)К~* CT,T>K<T,t>, (8)

где s<T<t.

В работе введены также понятия и доказаны соответствующие теоремы для m-связного и векторного марковского процессов в широком смысле, а также понятия марковски связанных процессов в широком смысле и ковариационно марковски связанных процессов.

Проведен анализ компонент векторного марковского процесса задаваемого системой стохастических дифференциальных уравнений. Показано, что в зависимости от характера отдельных компонент процесса (марковские или нет), связи между ними могут быть марковскими, полумарковскими и немарковскими.

В последнем разделе главы рассматриваются вопросы аппроксимации немарковских процессов марковскими и примеры реальных физических систем, сигналы на выходе которых можно считать одномерными. многомерным или компонентами многомерных (векторных) процессов.

В третьей главе рассматриваются примеры марковских процессов.

широко используемых в практике паучках и инженерных исследований в качестве моделей реальных (физических) процессов и сигналов С рассмотрено свыше 20 примеров), ййрано прямое описание этих процессов с помочью СДУ. Из изложенного видно, что большинство случайных процессов, использумах в приложениях, можно рассматривать как стационарные или нестационарные решения СДУ первого и второго порядков, т.е. как одно- и дзумерккз маг ко с с к;: о процессы или компоненты двумерных марковских процессов, ото позволяет пси их исследовании использовать аппарат марковских процессов. Важным частным случаем многих скалярных процессов являются «m-i> раз дифференцируемые процессы, которые в совокупности со своими производными представляют собой m-мерный марковский процесс.

Так как все рассматриваемые марковские процессы является нормальными (как порождаемые нормальным белым шумом), то ковариационные оункции таких процессов определяют соответствующие (Л-процессы. Но в отличие от исходных марковских процессов, КМ-процес-сы не накладывают никаких ограничений на вид закона распределения и математического ожидания процесса. Поэтому они определяют более широкий класс процессов, не ограниченных условием нормальности, и включаюпщх в себя как марковские, так и кекаркопские в обычном смысле процессы. Для многих задач статистик! случайных процессов аппарат КМ-процессов более удобен и прост, чем аппарат обычных марковских процессов.

Марковские процессы, рассматриваемые в первом разделе главы, являются решениями z(t> линейного СДУ первого порядка

ZCt) - а^ (t)2(t)+ ao(t)+ b<t)N(t), Z(to»= 2q, (9)

где N(t> - белый шум с дисперсией a0<t>, at ct> и b<t> -

непрерывно дифференцируете непрерывные функции времени; zq -случайная величина, независимая от N«t> при t>tQ.

Пример 1. Нормальный нестационарный случайный процесс wit> с нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией

k (s,t>- cr2min (s,t) , (10)

где о2- дисперсия (интенсивность) процесса при е- t-.is ино> = о, называется стандартным винеровскнм процессом и является решением (9) при Z(t>- w<t>, at <t>= aoct>= os b(t>= i (иногда стапарт-негм вннеровским процессом называют винеровсгагй процесс с агэ i).

Пример 2. Стационарный нормальный случайный процесс z<t> с

нулевым математическим ожиданием и ковариационной функцией

kts,t>« k(B-t>- огехр<-сп), • т» |e-t|, (Ц)

является стационарным решением (при t-* «о и нулевых начальных условиях) СДУ (9) при a0<t>- о, at<t>» -a, b«t)- у и называется стационарным марковским процессом.

Нормальный стационарный случайный процесс с ковариационной функцией (11) используется в качестве модели реальных случайных процессов практически во всех приложениях теории случайных процессов и полей. В частности, процесс с ковариационной функцией (11) имеет место на выходе интегрирующей резистивно-емкостной CRC) цепи с постоянной времени a- i/tRC>, возбуждаемой стационарным нормальным белым шумом N<t> единичной интенсивности.

Пример 3. Нестационарный нормальный марковский процесс z<t> с ковариационной функцией

k<s,t>» aaexp(-az) (l-exp (-2at' >) , т- |e-t|, tmin(s,t>, (12)

является нестационарным решением z<t> стохастического уравнения (9) при условиях примера 2.

Функцию (12) можно записать также в несколько другом виде:

kts,t> = аг (ехр(-а|т|)- exp(-a(t4+ta))) , т- e-t. (12*)

Процесс с ковариационной функцией (12) часто используют для описания процесса амплитудных флуктуация напряжения на выходе электронной схемы, представляющей собой Rc-цепь. на вход которой воздействует белый шум эффективности о*.

В главе рассмотрены также другие примеры случайных процессов, определяемых СДУ (9).

На практике достаточно часто используются модели на основе двумерных марковских процессов (марковских процессов 2-го порядка) ztt> = ( zt <t>,z2(t>)T, описываемых системой линейных СДУ с постоянными коэффициентами

Z <t> » a Z <t)+ a Z <t>+ Ь N <t> , Z <t »- Z, „

1 11 i 12 2 i( 1 * 1 O «O

Z tt) = a Z tt>+ a Z <t>+ Ь N <t), Z Ct )= 2

2 21 1 22 2 22 г 2 O JO,

(13)

где Nt tt) и ns et)- белые шумы с интенсивностями о'п и o*n¡ ito и z20- случайнее начальные условия, не зависящие от ^ <t> и мг <t>

при t>tQ. Чтобы система (13) задавала двумерный марковский процесс, коэсфициенты а .а , a a ь и ь должны

II 42 21 22 11 22

удовлетворять определенным условиям.

Наиболее часто в качестве моделей реальных случайных сигналов используются процессы, представляющие собой первую компоненту двумерного марковского процесса, т.е. решение первого уравнения системы (13) при ^ <t>= n^<t) = Nit), которое можно записать в виде линейного СДУ 2-го порядка

Z<t> + a Z<t> + a Z(t>- Ь N(t) + Ь N(t) , (14)

t о i а 1

ГЯ9 Z<tJ» Z (t)i а«-(а <-а ) j а =» а а -а а ¡Ь = Ь г

" 1 1 (1 2 2 О 1122 12 21 1 11

b b а — Ь а

О El 11 11 It

Процесс z(t>, определяемый (14) не является марковским в обычном смысле (т.е. одномерным марковским процессом), т.к. будущее процесса зависит не только от значения z<t> в данный момент времени, но и от значения z<t> в этот же момент времени, но его можно представить в виде первой компоненты двумерного марковского процесса, задаваемого системой из двух СДУ, получаемых из (14).

Пример 4. Стационарный случайный процесс Z(t> с ковариационной функцией

k<s,t>«k(T)-o2exp(-a|T|) (cospT+yaln(j|r|), T=ß-t, \y\i<x/(i, (15) можно интерпретировать как стационарное решение СДУ (14) при

" 2а! ао- а2+ 5 Ьо- а У ■г {а * Д2) (а+ у(3)} Ь4 = 0-/2(0- у/3),

где а, /Э, у и а - положительные числа.

При предельном значении параметра у, г~ а/р, случайный процесс г ю становится среднеквадратично дифференцируемым и имеет часто использующуюся в приложениях ковариационную Функцию

к<в,Ы- к (т)" в2ехр(-а|т |) |со*0т + (а/р)в1пр |т 1}, (16)

Пример 5. Стационарный недифференцируемый случайный процесс с другой часто встречающейся ковариационной функцией

к<т>- оаехр<-а|т |)со5/Эт, т» е-Г. (17)

можно интерпретировать как стационарное решение (14) при нулевых

начальных УСЛОВИЯХ И а "= 2а; а = а2* (3*1 Ь «= с (2 (с? *

Пример 6. Стационарный дифференцируемый случайный процесс с ковариационной функцией вида

k<s,t>= к<т>= о2ехр (-а|т |) (1+а|т|) , т= s-t, (18)

можно считать стационарным решением при нулевых начальных условиях СДУ (14) при р ■* о ( остальные исходные данные такие хе как и примере 4).

Пример 7. Стационарный нормальный дифференцируемый случайный процесс с приближенно независимы!® при /з>х» приращениями на неперекрывающихся интервалах с ковариационной функцией;

Ms,t>- Mt>- tf2 £ а ехр(-/3|т|) - р exp(-a|"i|)j, (19)

можно интерпретировать как стационарное решение при t ■» ю СДУ

Z <t> + aZ <t>- aZ (t), Z <0>- 2 . (20)

i i 2 t to

Однако здесь г2 <t> не белый иум, а нормальный марковский стационарный процесс с нулевым средам и ковариационной функцией

ka<e,t>- ка<т>= </2ехр(-/3|т|), т» s-t. (21)

При зтом о2- с2/(а<а2-/з2>). Такой процесс имеет место на выходе интегрирующей кс цепочки, если на ее вход воздействует стационарный белый шум.

Пример 8. Пусть векторный случайный процесс 2<t> описывается системой СДУ вида ( (t>= c^n. (t>) <i- где n. ct> - белые шумы единичной эффективности. Матричная ковариационная функция

K<s,t> процесса z<t) имеет вид K<e,t>= [ » » mni^ti]" .

Пример 9. Рассмотрим векторный случайный процесс zct), описываемый системой

■Г Z <t> - -a Z <t>* г N (t), 1- 1,пЛ, ^ I 'ii У

(22)

Элементы к 1 ,т> матричной ковариационной функции

процесса г«>, описываемого системой (22) при определяются формулой

У, Y, f«*P (-a. (t-s)-exp (-a. t-a, s) ПРИ s<t.

».. <».*> - ^Ц- {, - ' 1 J : (гз)

l j * a.

exp (-Oj <я—t)-exp (-o^ t-a^ s) при =>t.

Элементы к<«,t> при hj можно найти из соотношения к.. <s,t>=

- к <t,s).

Элементы ковариационной матрицы K(e,t>, соответствующие стационарному решению (22) можно получить из (23) при t*» .

Достаточно часто скалярные немарковские процессы можно представить в виде первой компоненты нескольких различных векторных марковских процессов. При этом для аппроксимации такого скалярного немарковского процесса может быть выбран любой из векторных процессов. Обычно критерием такого выбора является простота решения задачи. В работе приведены примеры таких процессов.

Четвертая глава работы посвящена особенностям вычисления сценок ОМЦК в задачах анализа одномерных КМ-процессов. Ставится задача поиска класса процессов, для которых матрица 1С1, обратная КМИ Кп является трехдиагональной или разреженной с числом ненулевых элементов, не превышающим зп-г. Для такого класса процессов, оценки ОМНК с весовой матрицей Wn= Г1 для линейных задач совпадают с HJIHO и в то же время легко вычисляются.

Как уже отмечалось, в качестве иллюстрации возможности применения полученных результатов для повышения эффективности решения задач оценивания случайных процессов рассматривается задача оптимальной линейной фильтрации случайного процесса с одновременной параметрической ОМНК-идентификацией его математического ожидания. Рассмотрим постановку и решение этой задачи.

Пусть наблюдается случайный процесс

z(t>» y(t)+ v<t>- rjtt)+ Ç<t>+ v<t), tel, (24)

представляющий собой сумму полезного у <t> и шумового v<t> процессов, удовлетворяющих предположениям:

Ey<t>- T}Ct>- rj(t,B> - ETi(t)j E?<t> = Oj Eu<t>» O; teT, (25) где f(t>- (ft(t),...,fm<t>)T- вектор известных линейно-независимых функций! в- <flt,....0m>T- вектор неизвестных параметров;

е- оператор математического ожидания» т- область действия (24) и (25).

Предположим, что поставлена задача на основе эксперимента.

представляющего собой дискретные измерений в интервале т <= т одной реализации процесса *<«:> найти оценки значений процесса

и (или) его составляющих ^}<t>. О** в заданной области тос т. Промежуточным этапом поиска оценок y<t> или п<«:> является нахождение оценок параметров в. (Здесь и ниже случайные процессы и их реализации обозначаются одинаковыми буквами.)

При проведении эксперимента могут использоваться различные дискретные схемы измерений, которые названы п-точечными планами эксперимента:

1) общего вида .. .■ь^| ^^ » ».л-Т7п ) >

2) возрастающими (упорядоченными) {^,...,1: | ..«г.^}»

3) равномерными «Ц» ^ | х,.1«1,п-1},

где д - интервал между точками измерений. Для всех планов ^е т^ст.

При решении поставленной задачи считаются известными ковариационные функции к_<в,1)- е(г (в»-Ё1 <»>Х* (^)-Ег «О) И

ЕСг<б>-Ег<а>Ху«:>-Еу«:>). иди ковариационная матрица измерений процесса * <*> в точках плана и п-мерный вектор Ск^«^ представляющий собой

гектор ковариаций измерений * «о в точках и измерения процесса у<-> в точке

Оптимальная ОМНК-оценка (ШИО) процесса у <*> по измерениям г т в точках плана определяется следующим образом:

у и> = < (Ы+я «:>, (26)

п в я

где „

г <«:>- кт <с ,к)к-1<2 - ) (27)

п я у п п и п и

- НЛКО центрированного процесса <и>|

п <*;>■» ^«оё (28)

г» п

- ОМНК-оценка детермиюфованного процесса »<»

в - 1> р . (29)

П Л п п п

- ОМНК-оценки параметров в. В (26)-(29) гп= (г^),..,,!!^»1 -

- Еектор изменений в точках * ; ? - >,.--.*«■>] - мат-

п п 1 п

рииа значений вектора (шв точках еп | 1>п= кова-

риационнал матрица ОИНК-оценок ^ параметров ш.

В выражения С 26)-С29) входит весовая матрица к"1, вычисление и хранение которой требует больших затрат машинного времени и памяти ЗЕМ. Таким образом, здесь Еесьма актуальной является задача выделения класса наблюдаемых случайных процессов * <*>. для которых удается избежать этих трудностей путем учета особенностей ККИ к^ исследуемого процесса.

Рассмотрим процесс для которого матрица к~* для изме-

рений г»" в точках плана с' имеет вид

к''- К?С<)=

П < П

« г

с

ж к

(30)

т.е. с - о при |1-л|>1! •

Для весовой матрицы вида (30) становится реальным использование оценок (26)-(29) для обработки результатов экспериментов с большим числом измерений, используя алгебру разреженных матриц. При этом резко снижаются требования к скорости и объему памяти ЭВМ и упрощается сама процедура оценивания.

Обозначим класс случайных процессов для которых мат-

рица к"1 имеет трехдаагональкый вид, Через ^ . Тогда поставленную задачу можно конкретизировать следующим образом: найти (выделить) среди известных классов случайных процессов класс (классы) процессов, принадлежащих т.е. найти {г^>}е г^.

В главе приведены некоторые предварительные результаты в области матричной алгебры, на которые опираются основные результаты работы. Обозначим через * - класс квадратных матриц, для которых обратные матрицы являются трехдиагенальными, а матрицы порядка п, принадлежащие этому классу - через а*.

Пусть матрица а (размера п*п) имеет вид:

а 11 Л44а44 Л а 4 2 4 1 . . А 1, а П-1 11

Г4 4а4 1 а22 Л а 22 21 " * Л2. а П-1 22

Г а 24 4 4 Г а 22 22 а " эз. *

* . а А а

. ■ . П— 1 , п— 1 П-1.П-4

аГ а...Г а а

П - 1 , 1 41 П-1.Я К! П-4.П-4 П-4.П-4 ПГ.

где

г, - п г. < > и л.. - п < > «,.1-1,п-1>, ' 1=1 1

а^ <1=1,п>, ,хь (1-1 ,п-1> - произвольные вещественные числа. Для матриц вида (31) справедлива

ТЕОРЕМА 5. 1. Матрица а"1, обратная к (31) имеет трехдаатональный вид. т.е. А - 4

Л Л 4

2. Элементы матрицы а^1 следующим образом определяются через элемента а*i

а

П-1 Г»

у...

(32)

1

а

где а, - а. . - У, X.. а. <1«2,п> , а " •„. <

* I 11 "1-11-1 1-1.1-1 ' 1 41

и. - а. — у, у. А.. X. а. , <1»2,п-1>, 11 « а .

¡.♦1,1*1 '1-1*1 1-1 I 1-1.1-1' ' 1 «2

3. Определитель любой угловой подматрицы а**, включая и определитель полной матрицы а*, можно найти с помощью выражения

I _

с1е£ А

П V 1=1

(1-1,п)

(33)

Замечание 1. Матрицу (31) можно записать также в виде

а 11 11 Х2в12 • * • ХЛ-»*1.т,-1

а 11 а X а 22 2 22 • * • \i-iV«-»

А1 « п а 21 '2 *22 ' . ' • • а X а ,

а 1 п-1. у а • • • 1 г>-1 П-1.2 у а а * п-1 г«-4, п-й г>п

о

Замечание 2. Матрицу л* можно считать полностью заданной, если известны зп-2 ее элементов. При этом ненулевые элементы а~* зависят только от элементов, входящих з три центральные диагонали а*. Остальные элементы а* взаимно уничтожаются при обращении.

Показано, что если переставить (переупорядочить) часть строк и (или) столбцов матрицы а^, то обратная к ней матрица будет разреженной с числом ненулевых элементов, не превышающим зп-2.

Возвратимся теперь к основной цели данной главы. Пусть *<»:> есть КМ-процесс. Определим величины у1 <1=1,2,...) следующим образом:

у - к /к

с I , I. ♦ 1 С».1

(34)

где к^«^,«: > - значения ковариационной функции *<<:> з точках ^ и tJ, t ж.. Таким образом, у. есть коэффициента ксзариа-ций процесса в соседних точках, приведенные к величинам дисперсий в точках с меньшим значением координаты. Для стационарных случайных процессов у1 представляют собой коэффициенты корреля-шм между соседними измерениями (значениями процесса).

Теорема 6. 1. Ковариационная матрица измерений КМ-процесса в точках упорядоченного плана ** представляет собой частный случай (31) и может быть представлена в виде

Г к

11

Г к >1 <1

Г к 11 11

Г к 22 22

Г к 12 11

Г к 22 22

Г к 1,п-1 11

Г к

2, п-1 22

Г к Г к ... Г к к

п-1, 1 11 п-1, Ж же п-1.п-1 П-1, п-1 пп

,(35)

где г^« п ^ , Г ) «»*.!>, 1.1-п, - определены

в (34); к1ь и» «Т"» — дисперсии * «с» в точках измерений.

I 2. Ковариационная матрица к* положительно определена, исключая I вырожденный случая к*- [О].

3. Любая положительно определенная матрица вида к* является КМЙ в точках КМ-процесса.

Задачанга 3. Матрица к^ полностью определяется элементам;!

к

к

г

к

п-1

дзух ее диагоналей С глазной к параллельной ей диагонали сверху или глазной и параллельной ей диагонали снизу). Другими словами, матрица к' зависит только от о значений дисперсий процесса в точках измерений к <п-1> коэффициентов ковариаций между точками измерений.

Из теоремы б вытекают следствия, являющиеся решением поставленной задачи: 1) класс КМ-процессов принадлежит , 2) если мат рада к"1, обратная ЮМ в точках процесса *«:> является трехдиагональной, то процесс * с > является КМ-процессом» 2) множества (классы) # и совпадают, т.е. = {гм<о).

Для измерений в точках плана общего вида в котором точки измерения могут следовать в любой последовательности справедива

Георема 7. 1. Ковариационная матрица к^1 измерений КМ-процес-са в течках плана с^ совпадает с матрицей к* для плана в которой строга и столбцы переставлены в соответствии с порядком следования точек с* в плане с .

^ и ^ п

2. Матрица к~1, обратная к^1, имеет не более Зп-2 ненулевых элокакта. расположение и величину которых можно найти из (31) и (32), зная порядок следования точек плана в с*.

3. Любая положительно определенная матрица вила к^ есть №1 КМ-процесса & точках плана сп.

Обобщая изложенное можно отметить, что КМИ КМ-процесса к* имеет весьма удобную с точки зрения различных приложений структуру. При зтом. если измерения были выполнены в точках упорядоченного плана , то матрица к^1 является трехдиагональной. а в случае измерений КМ-процесса в точках плана (неупорядоченного плана), к"* становится разреженной с числом ненулевых элементов не превышающим зп-2.

КМИ КМ-процесса полностью определяется небольшим (2п-1) числом ее элементов. Поэтому для эффективного решения задач статистики КМ-процессов достаточно априорного знания только этих элементов ковариационной матрицы. Другими словами, задаваясь классом исследуемых случайных процессов, т.е. априорной информацией качественного характера, мы уменьшаем количество необходимой количественной информации для эффективного решения задачи.

Одним из подходов, позволяющим избежать прдюге обра.-,;;тя матриц большой размерности и упростить нахождение оценок. '"6)-(29), является построение рекуррентных процедур ОМИХ.

Можно получить следующие рекуррентные формулы вычислили

ОМНК-оценок ? <t>,r> <t> и у <t> ci=.m,n-i> t

1. * 1 t * 1 v ♦ 1

(. <t>- ?. Ct>+ k* (t ,t)fz* -CBT i* l+qT(t)|a.-3 1; (25) ^1*1 ^ l ly I ♦ 1 ^ 1*1 I ti j 4 1_ I l*1J

<t>~ 77 <t>- iT<t>|S - S 1 , (37)

* 1 4 i. * 1 J

С <t>=?, (t), (23)

1*1 1*1 4 *l '

где k* <t. ,t)= ( k (t ,t>- KT u. ,t)(U, ) o.'l/2 ;

" jy i*l 2У l*l' sy i 1*1 l»l

x" - <z -ZV >a~t"'2; f* = <f - F Ш XT1'2;

1*4 1*1 V b+1 Ifl 1*4 i. * 1 t L * 1 i*»

*. = *<t >j V = K"4K J a. =1 k - Xх 0/ ;

».♦I L*4 L tl L i*4 L*4 Ul, L'i 1*1 l«l

K, - < k . .... ,k. . )T; k . =» k <t. ,t >;

I»» i.i-n Ij z i j

q. <t>= F, К-4 К ,t)= q. <t)+ -f* k' (t. ,t).

i*l t*l i»l zy 1*1 l i*i zy 1*1

Рекуррентные формулы вычисления через ^ к v t через i>L

широко известна. Использование фор;-с/л С 35)-С 28) дает возможность несколько упростить С\Зр£100ТКУ результатов ОгЮПврЛМ^аТ'З, T*r¡^ пв менее процедуры остаются достаточно громоздкими и, самое глазное, не устраняется необходимость хранения з памяти 3E.V. матриц к~*, f. и вектора zt < i - ГГп >.

Вмисление оценок по формулам С35)-С33) превращается в тривиальную задачу, если процесс *<*> марковский и измерения проводятся в точках планов с* или В этом случае матрица к"1 будет трехдиагональной и выражения длл вычисления к*у >4>»

x*tt и принимают простой еид:

J> а. * к -у к ."к -к1 . /к. . ;

1*1 1*1.1*1 I L * 1 , L I * 1 , L * 1 1*1. V IV

2) к* <t ,t)= (к <t ,t)- v к <t. ,tО/ a'2 J

«У 1*1 ly Ul' ' i 2 у V V.*l

3) 2* - С», - r z )/ й1'2!

1*1 1*1 'il L * 1

! 4) t* - с*. ~ Г О/ ■

1*1 1*1 ' l I I. * 1

Из (39) видно, что при обработке результатов измерений КМ-процессов з формулах (36)-(38) исчезают матрицы к"1, f. , а векторы к <rt ,t>, 2. , ocUt вырождаются в скалярные величины. Соответственно, упрощается вычисление векторов и матриц q. <t>.

(39)

Пример 10. Рассмотрим винеровский процесс с ковариационной функцией к<в,<:>>=■ о^т^псв,!), где 2о2- интенсивность энергетического спектра винеровского процесса.

ККИ винеровского процесса в точках плана с* представляет собой частный случай (35) при ггт гжт"'т гп_1т 1 и кц~ <0'**1-

Следовательно, матрицу к"4 можно найти с помощью выражения (32):

t - t 3 i

• t -t

1 a

(40)

где а, - при 1-2,п И « • ^ О).

Е случае плана ^ с и матрица к"4 принимает вид:

-1 2 -1

О

" 2

-1

(41)

При отом в (39) при всех 1-1,п о* + В случае

плана с1 величина а,

i«t

const.

Пример 11. Рассмотрим стационарный случайлый процесс с ковариационной функцией к(«,1>- к(в-Ъ>» 0г2вхр(-ь|в^|>, ГДб а2 -дисперсия процесса». ь - параметр, определяющий степень затуханий экспоненты.

Из (34) >> и^м^ь Тогда Ш& ь точках

рассматриваемого процесса будет представлять '-"бой чиста'-) случай (35) при к1а- ••■ кпп» о*. При этом матрица к;4 полностью определяется выражением (32) при < 1 _ 1 > ч «::,«>

к

a

И ¿Jt- a2 > <i=2,n-l>, at= с-2.

Особенно простые выражения для к^ и к~* получатся при измерениях в точках равномерного плана . При этом у = exp<-b<t -tt>>" ехр(-ьд)» const» у. Матрица к„ пр:ю!;.:ает вид:

1 У 2 У • • . Л

У 1 У • ■

2 У У 1 У

л- 1 У п- к У У 1

Для матрицы (42) ot= сг2Ч-у2) <i=2,n); jj =■ о-2 < l-y* > li"2,n-l>( и=а=а2. Отсюда

а (1 -у 1

1 - у

, . 1

-у 1+У -у

1+У ~У -У 1

(43)

Отметим, что элементы матрицы (43) загиеят от единственного параметра у.

Пример 12. Рассмотрим нестационарный процесс с ковариационно;: функцией k<s,t>= cr2exp(-b|T|)(l-Pxp<-2bt-)), ГД9 T = s-tj t' =

= min(Sit); а2- дисперсия процесса в ус?ако2ПЕше!.йя рзжп:;э (при

t ■» со).

Матрица имеет общий вид (35), где yi = пхр<-ь <tL ^ -t^ > > т

которое совпадает со значением yL для примера И, а \ <у2о-

- вхр <х-2bt^ >). Соответственно, матрица к~* имеет сбщ;:й гид 2/. ..2 , ,. ^-, _ 2,, 2 .2,

(32), где a » сг <1- > (i =2, г»); ц^ = о" (1 -у* ^у* > <i=2,n-l>,

а2 (1- exp(-2btt>), р - и2(1- exp<-2bt2>>.

1 В данном случае, как и для примера 11, простые выражения могут быть получены для планов с*. При этом у •• ехр<-од>= const

- у при всех i-»7n. Матрица к^ при этом принимает еид

к 11 У к 11 у2 к ' 11 . . . Л Г ''к 1 11

у К 4 1 к 22 У к ' 22 ■ ' ■ п Г "2к 22

К -п Г •< ' 22 . к за . ' к п-1. Г»-1 ук ' п-1 , п-1 , (44)

уп"Ч 11 п-2. У к ' 22 ... ук П-1. п-1 к пп

<1=1 ,п> определены ранее. Для (44) а * 1 а- о* (1 -у* > и

= ¡л = о^(1-у'4) при всех »= 1,п..

Обратная к (44) матрица к~* имеет вид

а <1-у >

1 *у - у —у 1 +у2 -у

-у

«+У -У

-у 1

(45)

и также зависит только от одного параметра у.

Есе рассмотренные примеры случайных процессов являются КМ-процессами и подтверждают полученные результаты. Интересным здгсь является то, что в случае измерений КМ-процессов в точках равномерного плана срп матрица к~4 зависит только от одного параметра у. При этом для вычисления СМНК-оценок по формулам (26)-(29) или (25)-(33) ке надо знать всех элементов ковариационной матрицы кп- достаточно знания приведенного коэффициента коррелята: мез:ду соседними измерениями у.

Е заключение главы рассмотрена связь полученных и известных результатов в области оценивания марковских процессов.

В главе 5 результаты четвертой главы обобщаются на ш-связныо скалярные КМ-процессы. В качестве предварительных результатов, найден класс квадратных несимметричных матриц, обращение которых приводит к ленточным матрицам с заданной полушириной ленты т. Предложен простой алгоритм рекуррентного обращения к вычисления определителя таких матриц, позволяющий исключить заведомо ненужные операции. Находятся условия, которым должны удовлетворять ковариационные функции 2-ч и 3-х связных КМ-процессов. Получен общий вид КМИ т-связного КМ-процесса. Рассмотрим это подробнее.

Пусть есть т-связный КМ-прсцесс и ковариационная функция удовлетворяет (6). Пусть к *= к а. >; т - произзольно*

положительное число и символ [*] означает, что индта 1 кладется ОТ 1-т+1 ДО 1 ПРИ и ОТ 1 ДО > "" ><». Тогда, ПРИ

......к )т - ш-меркыи вектор значений

и V, а при к с^

К, . , . - (к,

I - т* <. ^

в точках Ь

есть 1-мерный вектор значении >< г точках ^ ,..., ^ Пусть при к [л есть ковариационная матрица |»<»|, зле.

которой представляют козф&шкенты конаркацкй 1, л;

а при »<т ктС Я = К[ Л {к. ^ у (х,1=Г77) -матрица <*х>>.

Пусть векторы гг. ч=1,п-1> определены следующим образе;::

я = К"1« . . (43)

т [ I 1 . I+1 *

Таким образом, векторы г^ н:«ют длину ™ при > ^ и длину 1 при ><<*.

Теорема 8. 1. Ковариационная матрада к^ т-сг.яопогс

КМ-процесса в точках положительно определена Сиокл.очал денныя случая к - [О]) и монет быть представлена в в;:де .матрон

(47)

4 . СИ*

ут к a^ 111.1

» К

2 С 21 , <

п- я | п-11 ,

1,121 2

Кт * 2. [ 21 с2

X К к

2 121.2 за

гг К

п-1 (п-1].е

• к

Г\- 1 , П- 1

» К

г\ - 1 I п.- 1 ] ,

к а

1. ( п-и

К 2

г. I п-11 »

< у

п - 1 , С г,-11 гл — 1

2. Матрица 0<™)~4 имеет ленточный вид с полуденной ленты <п, причем ненулевые элементы к"™ определяется только олзкаят-шк к™ , лежашюа внутри ленты с полусирикоя

{ 3. Определитель ясбоя угловой подматрицы к и=1 ,п> мдтрк:-1 к™ может быть найден с помощью выражения

к, » Г' а. (1 = 1 ,п> С 43)

I I =1 V. '

22

ГZS а = к . - V т К [ 1-1] х (1=2,п) , а = к .

I и «и °1-1 '1 11

4. Лобая положительно определенная матрица вида к™ является Ш! в точках упорядоченного плана ^ ^-связного КМ-процееса.

Згшочшпх? 4. Ненулевые элементы к~т можно найти с помошью ,1рсс7с1х рекуррентных соотношений, которые здесь не приводятся«

Из тесре!.а 8 вытекают следствия, обобщающие аналогичные следствия теоремы 6 (см. вше) ка ^-связные КМ-процессы.

Используя результаты теоремы 8 мсхно упростить вычисление ОККК-оценки с к~™, кспольгуя алгебру разреженных матриц. Особенно сильно упрощаются и становятся пригодными для использования в режиме реального времени рекуррентные процедуры. Это можно наблюдать на примере обобщения формул рекуррентной линейная сильтрации простого КМ-прсцесса (36) -(39). полученных в гласе 4, на «-связные КМ-процессы. Для "»-связных КМ-процессов формулы (32) принимают вид:

2) к* (1 ,Ы = Гк .О- Кт <1 ,«:)« ]

Ку I | «у I.» Я у С V 1 I I 1*1

(49)

4) ..Г, - Р 9

V + 1 I. ь * 4 I V 1 J I. * 4 '

где при 2(. ] и к ,ы- т-мерные векторы, представляющий

собой последние злементос векторов 2. и кгу<с|. >и ~> и - подматрица размером р<®, представляющая собой последние « столбцов матрицы р.. При к® Еекторы и кгу<с, имеит переменную длину, -равную », а матрица я ь) - переманное число столбцов, равное 1, с номерами столбцов от 1 до 1.

Таким образом, для измерении т-связных КМ-процессоз в точках упорядоченных планов использование формул (49) позволяет замо-кнть возрастайте в размерах матрицы к"4, р. на их подматрицы кт[>] и р , имеющие постоянные в процессе итераций рсз'-?ры «зкп -и рхт, соответственно, а векторы к о, г , к заносить г л

' * «у1 I 1*1

их С под) векторы .¿>. и , к и 1 ^ , имеющие незгжекко

от номера итерации постоянную длину, равную

Предлагается новый способ дискретной глпгоксимашга нс-гою»-ских процессов ^-связными КМ-процессами, кс'/срай зокла'га-' -.-я ь

определенным образом выполненной замене KJSI кемарковского процесса hSül КМ-процесса заданной сеязности. При это.»! точность аппроксимации повышается с увеличением связности г> аппроксимирующего КМ-процесса к становится точней пси *>= п-i. па основе большого числа экспериментов с типовым! ковариационны:;! сункцня:с: немарковских процессов, полиномиальны:::! и гауссовы;si модели::: математического ожидания процесса показана ос^ектиз.чость нения такой аппроксимации для уменьшения трудое.'.о-.ости счисления ОМНК-оценок в задаче параметрической идентификации ^тематического ожидания случайного процесса.

В пестой главе рассматриваются вопросы применения O.'Z-iS г. задачах исследования векторных КМ-процегсов и скалярных немар-коеских процессов, которые можно считать с дно к из век-

торного КМ-процесса. Основная задача состоит в поиске oiirero вида КМИ векторного КМ-лрсцесса для различных способов се ±орми-рования, а также синтез рекуррентных алгоритмов для задач линеп-.ной фильтрации Еектсрного КМ-процесса. Солее простых с вычислительной точки зрения, относительно процедур ссщс-го гида.

Многие результаты, полученные для скалярных случайных процессов можно легко перенести на случал векторных случайных процессов, если в вычислительных процедурах для векторны;-; процессов использовать блочное представление векторов и матриц. При зте;-: разбиение векторов и матриц ка блоки можно выполнить различным образом, исходя из различных критериев, например, кр-птерпгз простоты обработки, наглядности представления результатов и т.д. В диссертации рассмотрены две схемы разбиения ковариационной матрицы и вектора измерении, а таете других векторов и матриц, на блоки, соответствующие двум наиболее распространенным схемам вычисления ОМНК-оценок для задач фильтрации вектор;щх случайных процессов.

Пусть Z(t> - m-мерный случайный процесс, заданный с помощью матричной ковариационной йункцик K<=,t>= [k <s,t>] сп - п-точечный план измерении.

Ковариационную матрицу К <N=mxn> измерений 2<t> 3 точках можно построить двумя способами:

1) Кы- [к^] if2,v- , где подматрицы kwv= [^«t. ,t. >], (t. , v « r^) размера (n*n> есть ковариационные и взаимоксвариа-ционные матрицы измерений составляющих ^<t> в точках ^ Kn" <>•■>- где подматрицы ки» [Kit.

размера '^^т) представляют собой значение(я) к<5,«:> в точках ^

¡1« . [1.,1 Е£ ).

Второй способ представления Км позволяет прямо перенести все результаты, полученные для ГиФ! '"¿ш скалярных процессов на матрицы к^ и^ш _ ¿ели считать, что элементы к представляют собой т*т подматрицы (блоки) К <1 , ,п>. Это позволяет обоб-сить результаты, полученные для скалярных КМ-процессов на векторные КМ-процессы. В работе подробно описываются две схемы вычисления оптимальных ОМКК-оцекок (КЛНО) для задачи линейной оптимальной фильтрации случайного процесса с одновременной параметрической ОМКК-пденткйпкациеЯ его математического ожидания для двух указанных схем формирования КМИ векторного процесса. Анализируется влияние свойств отдельных компонент и связей между ними ка структуру КМИ векторного КМ-прсцесса вида

Пусть < < и подматрицы г. и определя-

ются следукЕим образом: г^- (С[к. 1+4 , в - г\г1+4*»т при л**

Теорема 9. Ковариационная матрица к^ измерений в точках •»-мерного КМ-процесса положительно определена и может быть представлена в виде матрицы

(50)

к • 11 к ъ к а 1111 1112 . . . К Ф 11 1. Г.-1

к 11 11 К к в 22 22 22 . . . К 4 22 2,П-1

к 21 11 ф К К 22 22 аз. к п-1,П-1 К » П-1. П-1 П-1, п-1

к -1,1 11 4 К ... « П-1,Я Ж* П К к

элементы которой загисят только от (гп-о»1 величин, входящих в подматрицы к. и-1йп> и к4 <1-»,п-»> исходной матрицы

2. Определитель любой угловой подматрицы н-Г7п> матрицы к" МОЖНО ВЫЧИСЛИТЬ с ПОМОЩЬЮ формулы - •

3. Матрица к""1- (к™)"1, разбитая на о2 подматриц размера <"*«. имеет блочно-трехдиагональныя вид

к

А М А 2 >1

Г1*2

А М А 3 2 2

-Р А 2 2

- 1 т - к - I

-А Г А М А

ЭХ 4 3 3

0

А"* М А"1 -Г А"1

г. „-1 П-1 п- 1 г»

-А-*ГТ А'1

|| Г, Л-1 п

где А^ " к.

М, - К.

Г к .г.

1-4 1-4. 1.-1 1-1

гтгт к г

4 1-1 4-1.1-1 4

11=2,п> , А^ « I

г. < 1 »2,п-1) .

11 '

И = К

Замечание 4. Матрицы и х^" легко преобразуются друг в друга с помощью соответствующей матрицы перестановки (вид которой приведен в диссертации). При этом, если разбить гс'"1 на т1 блоков размером п*п, то каждый блок будет представлять собой трехдиагокальную матрицу со скалярными элементами вида

С 52)

2

т з

4 2 э п о 1 2 п

с" 1 1 с41 1 2 1 1 ! .т С ! ч с"" 1 2

4 4 С21 с14 22 =Гз о ! 1 ) !с"п 1 21 с'т 22 4 М <0

1 А с 32 О 11 с 33 •С«4 |' • гч - 4.. п ; } * * 4 ' с - 1 П - 4 Г> п 1 1 32 О 1 т С 33 • П- 1 , Г» с4пГ с4п,

; 1

С»1 11 С»1 1 2 1 » ! гпгл 1 с . Ч тт с 2

С™ 24 С™ 22 ст1 23 О 1 ( ! ,стт ! 24 мт 22 тт С 2 а О

с"1 32 О тг С зэ 1. ■с- 1 • Г>-4 , Г» | . • . 1 ! 1 1 1 1 1 стт 32 О стт 33 • Г.11Я С • П- 4 , П

Замечание 5. Если к™ - ковариационная матрица измерений гш в

■ч.

точках плана cicero вила с^, то будет блочно-разреженной матрицей с зп-2.ненулевыми блокам! (подматрицами), расположение которых определяется порядком следования точек плана сп в плаке с*.

Учитывая разрешенную структуру к~™ можно упростить решение многих задач статистики векторных КМ-процессов. Например, существенно упрсшается решение задач линейной оптимальной фильтрации и параметрической идентификации таких процессов. Особенно ото касается рекуррентных процедур. Эти вопросы подробно рассмотрены в

,£iCCftpT r.luí^í«

Исследуются вопросы эффективности использования ОМНК-оценок в задачах с КМ-процессами. В последнем разделе главы рассматриваются гдеюры двумерных КМ-процессов, для.которых вычисляются элементы ковариационных и обратных к ним матриц.

Седьмая глава посвясена вопросам планирования эксперимента в задачах оценивания КМ-процессов. Подчеркивается, что наряду с задачами оценивания, важное значение при исследовании случайных процессов имеют задачи планирования эксперимента (ПЭ). Анализируются известные численные процедуры построения последовательных и точных оптимальных планов для задач фильтрации и параметрической идентификации случайных процессов. Показывается, как надо изменить эти процедуры, чтобы они учитывали специфику КМ-процес-ссв. С этой целью находятся рекуррентные алгоритмы ОМНК-оценива-кня для измерений КМ-процесса в точках плана общего вида. Модифицированные таким образом процедуры планирования пригодны для численного построения планов с большим числом точек. Предложенный подход позволяет легко адаптировать различные численные процедуры построения планов к задачам с КМ-процессами. Рассмотрим его на примере задачи параметрической идентификации математического ожидания процесса.

Пусть наблюдается случайный процесс, описываемый моделью

z(t>= ET*<t> + {<t>, t« т, (53)

где б и f<t> - р-мерные векторы неизвестных параметров и известных линейно-независимых детерминированных функций; <<t>- шумовой .(мешающий) процесс, удовлетворяющий предположешым. Ef¿t>-(t>= k(s,t); T - Область действия (53).

Предположим, что поставлена задача на основа дискретны:: измерений в интервале т^с т одной реализации *<t> найти оптима^-ыи üKrlK-сценки параметров в. Обозначим через Г>р кножество всех п-точечных планов вида с .

Ковариационная (дисперсионная) матрица оптимальных О.'Ка-сце-ж (НЛНО) параметров в для но дел:: (53) определяется выражением П = [р к~1 ftj"1 (54)

п п п п *

де рп - «ркп> матрица значен:« * <t> в точках cj к"1 - матрица, Зратная ковариационной матрице к^ измерений ^ <t> з точках

Из (54) видно, что элементы характеризуете статистичес-уи точность ОКНК-оценок параметров s, зависят от плана -£л и не ависят от результатов измерений. Таким образом, если известна ункция k(s,t>, то здесь можно поставить задачу ПЗ. Пусть ч<- вы--уклый функционал от матрица »„, позволяющий сравнивать между обой матрица для различных плакоз с^. Тогда задачу ПЗ для ассматриваемой задачи можно Сформулировать следующим образок анти план , для которого

V [DCi*3] = <55)

п п

■де - матрица т>п, соответствующая плану

На практике для поиска точек планов с' обычно используются исленные алгоритмы. Эффективность численных процедур бистро вдает с увеличением размерности задачи. Особенно это касается :исленных процедур, в основе которых лежит СММК. Таким образом, ¡есьма актуальной является задача пострсення эффективных проце-¡ур поиска оптимальных планов, учитывающих класс исследуема :луча.иак процессов и позволяющих строить планы с осльи:пм числом •очек.

Численные процедура построения Ч'-оптимальных планоз являлся итерационны}.;;: и опираются на рекуррентные формулы сычисла-тя дисперсионной матрицы Пусть известна матр:иа ». для плаза ct, тогда в для плана можно напти следующим 5бразом

О. -D.-D.-t* (t* )TD. / (\* <-f* >TD. f* (56)

где ** - (f. - F.V. W1'*.- a = k - DCT O. ;

" 1*1 l Ul' V * 1 t»t l»l,U-l IH L+i

= K-1^ i-мерный вектор ковариаций измерений *<t>

i точках с. с изменением *<t> в точке t i t =t<t. ). Из (56) видно, что в процесса построения плана на каждой итерации надо аычислять i-мерные векторы к ш и корректировать а*п матрицу к"1.

Ранее было показано,что для КМ-прецесеоз матрица к"1 имеет

разрешенный вид с числом ненулевых элементов ¿31-2, вектор ^ ^ при зтс:-; имеет кг более двух некулевых элементах в позициях г 1 1 <г, 1=777). Здесь г - порядковый номер в плане точки с максимальны;.! значением координаты среди точек, координаты которых меньше „4. а 1 - порядковый номер в ^ точки с минимальнс координатой. среди точек, координаты которых больше При отом вычисление в С 4) принимает простой вид

** =• [*, - С*. ч + * * . (5*,

1*1 I I г »

кр , /V , > У■ • = к ; ^ к. - к2 . /к. . <1. ><:. > .

I +1. I' *г I 414 14 11. *Ч ,1 ,1,1 ь ' II. 4 1

Из йормулы (57) видно, что для КМ-процесса нет необходимости на каждом ¡-м шаге вычислять все элементы векторак.^, достаточно вычислить элементы .+4 и к1+1 1. Кроме этого в (57), отличие от (55), не надо вычислять матрицу к~*4 и вектор

Это дает возможность для КМ-прсцессоз легко синтезировать планы с большим числом точек. Такие же простые формулы можно получить дая процедур поиска оптимальных планов в задачах фильтращш. Результаты легко обобщаются на многосвязные и векторные КМ-процессы.

Восьмая, заключительная глава работы, посвящена вопросам практического применения теоретических результатов при создают ряда подсистем АСНИ. Подробно рассматривается проблема создания и структура программно-технического обеспечения персонального автоматизированного рабочего места лазерной доплеровской анемометрии (ПАРМ ЛДА). Показывается, что сигнал ДЦА является сложны нестационарным случайным процессом и корректный его анализ може' быть выполнен только статистическими методами. Соответствующим должно быть и методически-программное обеспечение ПАРМ ДЦА.

"а основе анализа литературы по ДЦА выявлены характерные модели полезного сигнала, ковариационной функции сигнала и шумов ДЦА. На примере выборочной ковариационной функции шумов измерительного тракта ДЦА, полученной в режиме калибровки, показывается, что выходной сигнал ДЦА можно аппроксимировать КМ-процессом с небольшой величиной связности.

Рассматривается задача создания АСНИ голографических акспери-ментов (ГЗ) в Еишкекском (Фрунзенском) политехническом институте Анализируются частные задачи, решаемые с помощью АСНИ ГЭ и выяв-

яются задачи, при решении которых моано использовать полученные 1езультаты для повышения эффективности экспериментальных ссле-;ований. В конце главы исследуются возможности применения КМ-ап-¡роксимащш при исследовании сигналов на выходе хроматографов.

В заключении приводятся общие выводы по работе, подчеркивается начимость полученных результатов для развития таких перспективных азделов математической статистики и теории случайных процессов, ак теория оценивания и теория марковских процсс^с&.

В приложении 1 приведены краткие сведения из матричной алгебры, :а которые опираются результаты работы.

В приложении 2 приведена сводка одномерных,-двумерных и трекерных КМ-процессов.

В приложение 3 вынесены доказательства теорем и утверждении.

В приложении 4 находятся формулы рекуррентного обращения матриц ' и«', найденных в главе 4. Приводится пример.

В приложении 5 рассматриваются некоторые полезные свойства и ювые результаты, связанные с ленточным;! матрицами с™ (п - порядок йтрицы, m - ширина полуленты) и обратным! к ним матрицами а™. [риводятся численные примеры, иллюстрирующие справедливость Полуниных результатов.

В приложении 6 находятся формулы рекуррентного обращения •рехдиагональных матриц с ненулевыми угловым;: ;с:нора:а;.

5 приложении 7 лрИосДзкы формулы оорс^ЦегтЯ КОS¿чр^* С'^ЮНЬСЙ I^^IT >ицы двумерного случайного процесса путем разбиения ее па 4 под-итрицы. Рассмотрены случаи рекуррентного и нерекуррентного обра-[ения для двумерных процессов общего вида и КМ-процессов.

В приложение 8 приведены результаты численных экспериментов ю оцениванию точности КМ-аппрсксихации в задаче параметрической гдентификации математического ожидания случайного процесса.

Приложение 9 включает в себя материалы с внедрении результатов >аботы (акты, справки и т.п.).

ЗАПЕЧЕШЕ

Главным итогом данной диссертации является исследование особенностей и разработка методов применения обобщенного метода заименьших квадратов (UMHK) и линейных несмещенных оценок для ;адач анализа марковских случайных процессов по данным дискрет-шх измерений. Эта проблема актуальна с точки зрения создания

научно-методического обеспечения АСНИ. Теоретические результаты доведены до кснхретных алгоритмов и программ, позволивши включить их в программное обеспечение ряда подсистем АСНИ, а также внедрены в учебный процесс.

Ниже формулируются основные результаты работы.

1. Дано определение нового класса случайных процессов - ковариационно марковских процессов (КМ-процессов), в которых условие марковости накладывается на вид ковариационной функции процесса. Класс КМ-процессов в обдем случае не совпадает с классом обычных марковских процессов и марковских процессов в широком смысле. Но для нормальных процессов с нулевым средним понятия марковский процесс, марковский процесс в широком смысле и КМ-процесс совпадают. Понятия КМ-процесс и марковский процесс в широком смысле совпадают для процессоз с нулевым средним, независимо от вида распределения.

2. Описан и классп&гцирован ряд одномерных, двумерных и многомерных марковских и ковариационно марковских процессов, широко использумых в практике инженерных исследований в качестве моделей реальных случайных процессов.

3. Найден класс квадратных матриц, обращение которых приводит к трехдиагональным матрицам. Получены простые формулы вычисления элементов обратной матр:гцы через элементы трех центральных диагоналей прямой матрицы. Показано, что подмножество положительно определенных матр:щ этого класса, представляет собой класс ковариационных матриц измерений (КМИ) одномерных КМ-процессов для наблюдении, упорядоченных в порядке возрастания (убывания) координат точек измерений. Таким образом, для КМ-процессов достаточно просто решаются задачи фильтрации и идентификации с использованием ОМНК.

4. Показано, что ковариационную матрицу неупорядоченных наблюдений одномерного КМ-процесса можно получить путем умножения ковариационной матрицы упорядоченных наблюдений этого" же процесса на соответствующую матрицу перестановки. При атом обратная матрица получается разреженной с числом ненулевых элементов не превышающим зп-2, где п - порядок матрицы (число наблюдений).

5. КМИ КМ-процесса полностью определяется небольшим числом «2п-1> ее элементов. Поэтому для решения многих задач статистики случайных процессов достаточно знания только этих элементов КМИ. Другими словами, задаваясь классом исследуемых случайных процес-

:ов, т.е. априорной информацией качественного характера, мы 'меншаем количество численной информации, необходимой для |ффективного решения задачи.

6. Найден класс квадратных матриц, обращение которых приводит ; ленточным матрицам с полушириной ленты т и предложен простой екуррентный алгоритм обращения такого класса матриц, более оф-»ективный по сравнению со стандартными методами обращения мат-ад. Такие матрицы полностью определяются п диагональными и :тп-т<ли-1> внедиагональными элементами. Показано, подмножество юложительно определенных матриц этого класса можно считать лассом ковариационных матриц упорядоченных наблюдений много-вязных КМ-процессоз.

7. Предложен новый метод аппроксимации дискретных немарков-:ких процессов т-связными Кп

¡амене КМИ такого процесса ККИ <» -связного КМ-процесса. При связ-юсти аппроксимирующего процесса, равной нулю, такая аппрокси-¡ация эквивалентна замене наблюдаемого процесса белым шумом с сисперсией, равной дисперсии заменяемого процесса. При связности И-процесса, равной п-1, КМИ аппрокси;¡ирующего КМ-процесса сов-1адает с КМИ наблюдаемого процесса. Таким образом, точность ап-1роксимащш повышается с увеличением связности аппроксимирующего М-процесса и при т, равной п-1, становится абсолютно точной. !ногочисленные эксперименты подтвердили эффективность применения 'акой аппроксимации для задач параметрической идентификации слу-1айных процессов с использованием ОМНК-оценок. На практике всег-

можно найти такое значение связности аппроксимирующего М-процесса. при котором достигается заданный компромисс между 'очностью получаемых оценок и трудоемкостью их вычисления.

8. Показано, что если ковариационную матрицу векторного М-процесса представить в виде блочной матрицы, каждый блок ко-■орой есть значение матричной ковариационной функции векторного ¡роцесса в заданных точках, то обратная к ней матрица имеет >лочно-трхдиагональную структуру. Получены формулы вычисления юдматриц (блоков) обратной матрицы через подматрицы, нанизанные 1а три центральные диагонали прямой блочной матрицы. Найден бид (атрицы перестановки, с помощью которой ковариационную матрицу 1аблюдений векторного процесса, разбитую на блоки указанным спо-:сбом, можно привести к блочной матрице, блоки которой соответ-:твуют ковариационным матрицам наблюдений составляющих вектор-

ного процесса.

9. Получена простые рекуррентные формулы вычисления ОМНК-оце-нок с ленточными весовыми матрицами. применимые для задач фильтраты и идентификации КМ-процессов С для которых они являются оптимальными) 1: произвольных процессов путем их аппроксимации КМ-прсцессами соответствующей связности (при этом получаемые оценки будут квасиоптимальныш).

10. Проанализированы особенности планирования эксперимента в задачах с КМ-процессаш и предложен метод модификации известных численных процедур построения последовательных и точных планов, учитывающий особенности ковариационной матрицы наблюдений КМ-процесса. При атом вычислительная сложность процедур резко снижается (относительно процедур для процессов общего вида). Это делает возможным синтез планов с большим числом точек и численное построение оптимальных плотностей расположения точек измерений в заданной области. Все сказанное касается и процессов, аппроксимируемых КМ-процессаки.

11. Результаты работы могут быть использованы для повышения эффективности резения не только линейных, но и ряда нелинейных задач статистики случайных процессов, при решении которых приходиться оперировать с ковариационной матрицей измерений процесса или обратной к ней матрицей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах

1. Бримкулов У.Н. Особенности использования обобщенного метода наименьших квадратов в задачах идентификации марковских случайных процессов // Автоматика и телемеханика. 1991. К 1. С.69-78.

2. Бримкулов У. Н., Круг Г. К., Саванов В. Д. Планирование регрессионных э;сспериментов при исследовании случайных полей. Препринт. М.: Научный совет по проблеме "Кибернетика" АН СССР. 1978.

3. Бримкулов У.Н., Круг Г.К., Саванов В.Д. Планирование? экспериментов при исследовании случайных полей и процессов. М.: Наукэ; 1986.

4. Бримкулов У.Н., Круг Г.К., Саванов В.Д. Рационализг'шя измерительной сети по критерию точности математического описания поля норм // Метеорология и гидрология. 1978. № 7. С.25-34.

5. Бримкулов У.Н., Круг Г.К.. Саванов В.Д. Численное роетрое-

кие точных планов эксперимента при коррелированных измерениях// Заводская лаборатория. 19ь0. if 5. С.435-43Э.

6. Круг Г.К.. Бримкулов У.К. К вопросу о выборе весовой матрицы обобщенного МНК в задачах фильтрации и параметрической идентификации случайных процессов //Тез. дорл. IV Зсесоюзн. конф. "Перспективы и опыт внедрения статистических методов в АСУ ТП". М., 1990. 4.1. С. 43-44.

7. Бримкулов У.Н. Особенности применения обобщенного МНК з ЗаДаЧ ал 1'ССЛ8Д0&Зл2?Я НЦл'СТ31310 Н*1рНЫХ СЛуЧОПгШл ПрО~~ цессов с дробно-рациональной спектральной плотностью СЛРСП)// Тез. докл. IV Всвссюзн* ]сснф» П-зрсЯсКтиЕН и опыт зиздрол/'л от¿тлетл— ческих методов в АСУ ТП". М.. 19S0.4.1. С. 5-58. Бримкулов У.Н. Ковариационная ма?р;ща измерений многосвязного марковского процесса и ее применение в задачах оценивания случайных процессов // Тез. докл. IV Есесскзн. кона. "Перспективные метода планирования и анализа экспериментов пси исследовании случайных полей и процессов". М., 1991. С. 64-65.

9. Бримкулов У.Н. Структура ковариационной матрицы измерений

Зв/СТОрНОГО мзрко ес ко го процеоо'л млл различных с по с 0003 go wc р.'с'ро —

зания // Тез. докл. IV Всесоизн. конф. "Перспективные методы планирования и анализа экспериментов при исследовании случщз-зх полей и процессов". М., 1991. С.56-67.

10. Бримкулов У.Н., Войцеховски Д. Численные метода планирования эксперимента в задачах оценивания ковариационно марковских процессов CKM-npoueccoBj // Тез. докл. IV ¿сессюсп. конф. Перспективные метода планирования и анализа экспериментов при исследовании случайных пслей и процессов". М., 1991. С.23-39.

11. Бримкулов У.Н. Особенности использования обобщенного МНК для оценивания параметров линейной регрессионной модели одного класса случайных процессов // Тез. докл. IX Всесоизн. конф. "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях". М., 1989. 4.1. С. 15-17.

12. Бримкулов У. Н.. Круг Г.К. Использование методов экспериментальной параметрической идентификации случайных полей при ана-|лизе сигналов ЛДА // Тез. докл. IX Всесоюзн. конф. "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях". М., 19S9. !Ч.1. С.96-97.

13. Бримкулов У.Н. Некоторые численные похода к рационализации измерительной сети при исследовании случайных полей и процессов //

Тез. докл. j.cecc'«csk. конф. ¿¿ерспективкые метода ■ плакирования и

анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов". М., 1982. 4.1. С. 181-183.

14. Ерижулов У.Н. Вопросы оптимизации голографического эксперимента по оптимизации схемы записи-восстановления голограмм // Тез. докл. Ш Всесеюзн. конф. "Перспективные методы планирования

И 0*ССГТвр#1М5К70Е ПрЛ ЯСС ЛЭДОВ&Нлт СЛУч&ЛКЫХ ПОЛОЙ И

процессов". М., 1988. Ч.П. С. 176-177.

исследования векторных случайных процессов // Тез. докл. П Всессюзн. конф. "Перспективные методы плакирования и.анализа экспериментов при исследовании случайных полей и процессов". М., 1985. Ч.П. С.8-10.

16. Еримкулов У.Н., Круг Г.К., Саванов B.JL Применение параметрических методов идентификации случайных полей в задачах анализа сигналов лазерных доплеровских анемометров (ЛДА) //Тез. докл. Всесоюзн. научно-технич. конф. "Теория и техника пространственно-временной обработки сигналов". Свердловск. 1989. С.109-110.

17. Принципы построения программного обеспечения ПАРМ ДЦА. Бацюро И.Г., Бримкулов У.Н.. Кисенкова Н.А. и др. // Сб. научн. трудов "Программные и технические средства автоматизации научных исследовании"/ Моск. энерг.ин-т. 1989. № 211. С. 38-43.

18. Бримкулов У.Н. Программа плакирования последовательных экспериментов при'коррелированных измерениях, per. W ГГО3157 // Алгоритмы и программы. М.: ШГИЦентр. 1978. № 6. С. 17.

19. Бримкулов У.Н., Ярыгина Т. А. Программа построения точных Д-оптимальных планов при коррелированных измерениях // Алгоритма и программы. М.: ВНГИЦентр. 1978. ff 3(29). С. 55.

20. Бримкулов У.Н. Влияние коррелированности измерений на вид - точных планов // Тез. докл. VI Всесоюзн. конф. "Планирование и

автоматизация эксперимента в научных исследованиях". М., 1980. Ч.П. С. 73-76.

21. Круг Г.К., Бримкулов У.Н.. Саванов В.Л. Численная процедура построения точных оптимальных планов при исследовании случайных полей // Тр. Моск. энерг. ин-та. 1978. Bin 359. С,24-?^К

Подписано к печати

"l-JL^A^L__Тира*; /¿/р 3.1КЛ, Г ■<!*.<

Тчлогрй^к К^"., Г., „ем..;',, !3