автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оценка параметра авторегрессионной модели первого порядка при случайных пропусках измерений

Министерство науки, высшей школы и технической политики Р2 Томский государственный университет им, В.В.Куйбшева

На прарах рукописи УЛК 519.2

ЕАЛЕЕВ Тагир Ильясович

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА АВГОгеГРЕССИОННОЙ МОДЫИ ПЕРВОГО ПОРЯДКА ПРИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОПУСКАХ ИЗМЕРЕНИЯ

Специальность 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования н математических методов в научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой сте:.;ни кандидата технических наук

Томск - 1992

Работа выполнена в Томском государственном университете имени-В.В.Куйбилера и в Сибирском Физнко-Техиическоы институте имени В.Д.Кузнецова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А.Ф.Терпугов Официальное оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор В.А.Толчий кандидат технических наук Г.М.Кошкин

Е«дущая организация: Институт Технической Ыеханлки АН Украины (г. Днепропетровск)

ча-

Зацита состоится /^¿феГЛЖ 1993 г.

сов на заседании специализированного Совета Д.063.53.03 Томского

государственного университета кмени В.В.Куйбышева ( 634050,

1

V. Томск-50, пр. Ленина, 36). • .

С диссертацией могло ознакомиться в научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан "У? " 1992 г.

/

Ученый секретарь специализированного Совета, -кандидат физико-математических наук, ■ доцент

Б.Е.Тривоженк

- 3 -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы . С проблемой анализа временных рядов приходится сталкиваться в целом ряде технических и научных ситуаций: в научных исследованиях - при обработке экспериментальных дант«, в технике - в задачах контроля состояния и функционирования динаыичесикх систем.

Бо'льшая часть теории, посвященной анализу временных рядов, разработана для случая, когда измерения производятся через равные промежутки времени. Однако в последние годи все больший кн-' терес представляют задачи, когда измерения временного ряда производятся через неравные, вообще говоря, случайные промежутки времени. Это может быть вызвано тем, что: в ряде технических систем измерения через случайные промежутки времени заложены в саму схему измерений; в некоторых случаях выгодно организовывать измерения в случайные моменты времени, так как это устраняет некоторые нежелательные эффекты, такие как свертывание спектра; возможны сбои в работе измерительной и регистрирующем аппаратуры.

Частным случаем измерений в случайные моменты времени лю~ ляется случай, когда измерения производятся через равные промежутки времени, но часть этих измерений случайным образом пропадает. Такая ситуация возможна в тех же случаях, что и указанные вмпе.

Все это приводит к необходимости расширения теории анализа временных рядов ка случай, когда измерения производятся через случайные промежутки времени или на случай случайного пропадания измерений. Это и определяет акт: шьность данной работы.

Целью работы явпялось:

1. Разработать математические модели пропусков измерений.

2. Разработать достаточно простое в вычислительном отнетае-

нии оценки параметра авторегрессионной модели первого порядка при пропусках измерений.

3. Исследовать свойства полученных оценок.

4. Создать прсраммное обеспечение для вычисления оценок

по экспериментальным данным и провести их ими/тационное моделирование.

Методы исследования . При решении поставленных задач использовались методы математической статистики, теории случайных процессов, теории марковских процессов, теории вероятностей. Для. проверки аналитических результатов использовалось имитационное моделирование на ЭШ.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации состоит в следующем:

1. Предложены некоторые математические модели для пропадания измерений, в частности, модель с независимыми пропаданиями, модель с марковскими пропаданиями, модель с независимыми группами пропадающих измерений.

2. Предложены оценки параметра авторегрессионной модели первого порядка в двух случаях - инфррмация о количестве пропущенных измерений теряется и информация о количестве' пропущенных измерений сохраняется. '

3. Исследованы.асимптотические свойства полученных оценок,

в частности, доказана их сходимость почти наверное, вычислена их 'щимптотическал дисперсия, эффективность, доказана их асимптотическая нормальность.

Оснозтге защищаемые положения

1. Модели пропадания с независимыми группами пропадающих ипясрзний к их чэ.стние случаи.

2. Вид уравнений, определяющих оценку параметра авторегрессионной модели первого порядка.

3. Сходимость оценок почти наверное.

4. Формулы, 'определяющие асимптотическую дисперсию т» асимптотическую эффективность предложенных оценок.

0. Асимптотическая нормальность предложенных оценок.

Реализация результатов работы . Разработанные алгоритмы и

реализующие их программы могут быть использованы при обработке экспериментальных данных при наличии пропусков измерений. Предложенные статистические процедуры реализованы в виде программ, которые переданы в НПО "Полет" г. Омск, где предполагается их использование при создании системы математического обеспечения для ав- , тоыатизированных систем контроля и прогнозирования функционирования сложных технических систем.

Апробация работы . Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на:

1. Республиканской научно-технической школе-семинаре "Анализ" систем массового обслуживания и сетей ЭШ" (Одесса, 1990 ).

2. Республиканской научной конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Минск, 1990).

3. Всесоюзной научно-технической конференции "Иде»; чфика-ция, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (Новосибирск, 1991)*

4. Всесоюзной научно-технической конференции "Распределенные микропроцессорные управляющие системы и локальные вычислительные сети" (Томск, 1991).

5. Украинской школе-семинаре "Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей" (Черкассы, 1991).

Публикации. По результатам 'проводимых исследований опубликовано 6 печатных работ. Материалы диссертации вошли также в отчет по хоздоговорной теме "Еуляны" в 19ЭЭ - 90 г.г., выполнявшейся в Сибирском физико-техническом институте для НПО "Полет".

_ б -

Структура и объем работ« . Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы из ¿1 наименования. Объем диссертации - 141 страница машинописного текста. Работа содержит 22 . рисунка и I таблицу. Прилагается акт об использовании результатов работы.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы по рассматриваемой тематике, определены цели исследования и дана общая характеристика работы.

Первая глава диссертации посвящена задаче оценки параметра авторегрессионной модели первого порядка при независимых группах пропусков измерений и отсутствии информации о количестве пропущенных измерений..

Пусть имеется авторегрессионный процесс первого порядка -Т,, который описывается уравнением вида

+Ь* (1)

где I ~ ■ • , -I, О, I, ... , - коэффициент авторегрес-

сии, удовлетворяющий условию / • величины ?}{ есть не-

зависимые одинаково распределенные случайнне величины с характеристиками А/7'^ = 0, - ^ , М{?>!} % < «*>.

Наблюдаемый процесс ^ строится следующим образом. Пусть в некоторый момент '¿. наблюдалось значение процесса ^ . Обозначим его через . Затем после этого наблюдения Л/ значений процесса Х^ оказались пропущенными и следующее наблюденное значение соответствует моменту времени ; его мы обозначим через ^ . Затем следует снова ■ пропусков и т.д.

Таким образом, полная информация о результатах наблюдений

имеет вид , 0,1,... , где ^ - на-

блюденное значение процесса -х^ в некоторый момент времени, а количество пропущенных значений перед наблюдением

, В качестве модели, описывающей пропуски измерений, в работе исследовалась следующая модель: величины считались независимыми одинаково распределенными случайными величинами с распределением вероятностей Эту модель мы назвали мо-

делью с независимыми группами пропусков.Ее частные случаи,которые изучались более подробно, следующие:

1. Независимые пропуски, когда каждое значение процесса

может быть пропущено с вероятностью ^ и пропуски не зависят друг от друга. В этом случае

/) <2)

2. Марковская модель пропусков. Будем считать, что есть некоторый управляющий процесс '¿1 - /С // . Если , то

наблюдается, если « пропускается.

Процесс ¿1 считается марковским случайным процессом. Если ¿¿.'^ • то будем считать, ччЪ ~ / с вероятностью /--У и я с" с вероятностью о( ; если же

го ? с вероятностью , А и - О с вероятностью

А ■ • Таким образом, Ы. есть вероятность перехода

/ у

< .5 - вероятность перехода о-* .В этом случае

/- «< , если ~ С ,

= \ ,-г <3)

к ('/-/>,)" » если / .

Возможны, конечно, и другие модели пропусков, но в работе юследовались только эти.

При построении и исследовании оценок параметра £ в данной главе предполагается, что в парах ( ) информация

о величинах теряется и имевшаяся экспериментальная.^нфор-

ыацил имеет вид < 'с , , ... , . В этом случае

процесс м0*н° представить в виде

. (4)

Показывается, что условная плотность вероятностей имеет вид

= •то есть #

ляется марковским процессом. Далее, де;;е для нормальных характеристическая функция плотности ^С^ 1 ) имеет вид

£(») = - (5) и даже в простейших случаях г явном виде не вычисляется. Поэто-

л

му для построения оценки ^ параметра ^ бил использован мод15[нцированшЯ метод наименьших квадратов. Обозначим- ,,

Так как /V/^ | — ^/¡^ е^ , то из условия

(6)

/V

И

ч

J=< \ """ $

оценка р параметра <? должна искаться из уравнения

" ■ I N '

/ ^— J

</ . оО „

Оь ->г',

'-{)Х p(S) монотонно возрастает

на интервале о ¿эк / , то уравнение (7) имеет единственный корень, удовлетворяющий условию /р/^ / , если

Nif и)

¿'' ¿ = 0 S = 0

(в)

О)

В частных случаях независимых и марковских пропаданий наблюдений уравнение (7) имеет соответственно вид

и V а

и ■ / л1

В последнем случае получена область значений • ПРИ кото-

рых уравнение (9) имеет единственный корень.

Теорема 2. Пусть с/р) в интервале [-1, I] непрерывна и строго монотонно возрастает с ростом (> . Тогда при о оценка £ сходится к истинному значению ' почти наверное.

Доказательство данной теоремы основывается на теореме Бирхго-фа для.марковских цепей.

Используя марковское свойство процесса V- и метод линеари-

« А

эации, находится асимптотическая дисперсия оценки £ :

?де

Г (И)

¡та формула, кроме . , зависит от эксцесса случайной компоненты

, входящего в параметр К. Предложена оценка К параметра К

С , л/

л

( N4 ¿тт<?<! I

показана ее сходимость почти наверное, что позволяет вычислить, по крайней мере, оценку дисперсии величины ^

В схеме с независимыми пропаданиями наблюдений

(12)

(О "" // /(^М Л Л '>*> - > <13)

в схеме с марковской моделью пропадания наблюдений

1 Л^...,

СНК

что позволяет производить вычисления асимптотической дисперсии оценки .

Эффективность построенной оценки была исследована только для случая, когда случайная компонента ^ процесса является нормальной случайной величиной. Так как распределение вероятностей величин ^ даже в этом случае явно получить не удается, то была получена лишь нижняя граница для эффективности оценки

/

0 .->

т)

А- АЦП

(15)

К-,!

Ч

_I т

(16)

. 1 г I ^ , *

т.. Ч '

'-Г'1 СмП1'

Входящие сюда суммы были конкретизированы для случаев независимых пропаданий и марковской схемы пропадания измерений. Пример графика зависимости от для независимых пропаданий измерений приведен на рис. I.

0.6 01

"•я? < /

/

/ / ° ——Г\

/ / / / 1

$ 1

-1 -Од -0 4 о ОН О.Ь )

Рис. 1

Теорема Э. При М-* величины

имеют предельное нормальное распределение со средним значением 0.

Теорема 4. При. величина имеет предельное

нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, даваемой формулой (10).

При доказательстве данной теоремы используется теорема 3. Она позволяет найти асимптотический доверительный интервал для параметра £ .

Вторая глава посвящена задаче оценки параметра авторегрессион-ноЯ модели первого порядка при независимых группах пропусков измерений и сохранении информации о количестве пропусков, то есть оценка строится по парам

С^сУ. ), 1 = С, ..., /V.

Здесь рассмотрены две оценки параметра ^ , первая из которых носит вспомогательный характер и используется в качестве первого приближения для второй, более точней оценки.

Построение первой оценки основало на том, что процессом наблюдений управляет некоторый процесс ^ ■= [С, // , так что наблюдаемый процесс представляется в виде ^ = . Сам процесс

предполагается марковским стационарным с характеристиками, которые для частных случаев независимых и марковских моделей пропадания измерений выписаны в явном виде. Получены также расчетные формулы для этих характеристик в общеД схеме групповых пропаданий с независимыми группами пропусков.

Предлагаемая оценка имеет вид

Доказано, что при //->«? эта оценка сходится к истинному значению параметра g почти наверное. Вычислена асимптотическая дисперсия и асимптотическая эффективность оценки. Доказана т.§гаке асимптотическая норма..ьность этой сценки.

•л

Другая оценка £ находится из условия

и имеет вид

"Р - ■¡rtwri,ш>

l-< L=<

Для получения этой оценки необходимо решить трансцендентное уравпе-гае (18) относительно £

Теорема 4. При /V"»00 уравнение (18) имеет с вероятностью I корень в окрестности истинного значения £ и этот корень сходится к g почти наверное.

Так как при почти наверное отрицательна, то

для нахождения корня можно применить любой пошаговый алгоритм, используя в качестве начального приближения предыдущую оценку. Асимптотическая дисперсия оценки из (18) имеет вид

^¿г^- /"^/^//е¿г^ - (19)

которая в диссертации выписана в явном виде для независимых и марковской схемы пропадания измерений. Теорема 5. При /Vвеличина

№ П) - фг V

сходится по распределению к нормальной случайной величине с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

д к / Л''*-,

S—o '

На основании этой теоремы доказывается теорема об асимптотической "нормальности величины \ДГ.

Теорема б. При /У~>со величина сходится по, рас-

пределению к нормальной случайной величине с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, определяемой формулой (19).

Вычислена также асимптотическая эффективность оценки из (18). Пример зависимости ее эффективности от £ для независимых пропаданий измерений приведен на рис. 2.

Рис. 2

В третьей главе дается описание программ, реализующих численные алгоритмы реализации разработанных оценок. Первая подпрограмма позволяет находить оценку ^ . параметра ^ в случае, когда информация о числе пропусков теряется. Вторая подпрограмма позволяет находить оценку £ для случая, когда информация о числе пропусков сохраняется. Обе подпрограммы написаны для марковской схемы пропадания наблюдений и для независимых пропаданий наблюдений. Также разработана программа для расчета эффективности оце нок.

Все эти программы написаны на языке ФОРТРАН. Для их конкретного использования были составлены головные управляющие интера.ктив-

ныв программы! позволяющие работать с приведенными подпрограммами в диалоговом режиме.

В работе было также проведено имитационное моделирование полученных оценок. При атом ставились следующие задачи:

■ I. Так как нормальность полученных оценок была доказана лишь в асимптотическом случае > то первая цель заключа-

лась в том, чтобы определить, при каких объемах выборки оценки можно считать нормальными.

2. Второй целью была проверка работоспособности составленных программ.

Моделирование подтвердила работоспособность разработанных программ и их достаточно оюльтое быстродействие (секунды при объемах выборки порядка 100).

Проверка нормальности полученных оценок осуществлялась 400 -кратным повторением моделирования при одном и том же значении и параметров схемы пропусков измерений. Результаты моделирования оценки ^ преобразовывались в гистограмму. Проверка гипотезы о нормальности осуществлялась по критерию Колмогорова. Примеры полученных при г -ом гистограмм с наложенными на них гипотетическими

Первая из них соответствует случав, когда информация о количестве пропущенных измерений отсутствует, вторая - когда информация о количестве пропусков сохраняется, то есть пропущенные измерения заменяются нулями.

На основании результатов имитационного моделирования можно сделать следующие выводы. При Л'/--¿ нормальность оценок С

-1 -л

достигается уже при объеме выборок порядка 100. Яри возрастании /_р/ растет объем выборки, при котором достигается нормальность щенок. Когда С & это происходит при //-/.;"С , при г -С-

1

- порядка 250.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные- результаты диссертационной работы сводятся к следу-1еыу:

1. Для случая, когда информация о числе пропущенных измерений

А

фяется, получено уравнение, определяющее оценку параметра ^ I методу наименьших квадратов. Это уравнение конкретизировано для [учая независимых пропусков и маркс&кой модели пропусков измере-й.

2. Доказана сходимость построенной оценки к истинному значению раметра почти наверное. '

о . .

3. Методом линеаризации найдена асимптотическая (при Д^ , е /V - объем выборки) дисперсия оценки, которая убывает как -

'/ N . Найде.. главный член разложения по степеням (¡Ы . Еыра-ние для дисперсии конкретизировано для независимых и марковских опусков измерений.

4. Найдена нижняя граница для миню. льной дисперсии оценки я случая, когда авторегрессионный процесс является нормальным, а граница конкретизирована для случая независимых и марковских, зм пропусков и построены графики, определяющие эффективность по-

строенной оценки.

5. Доказана асимптотическая (при /V"4, 00 ) нормальность пост-роеншх сценок.

6. Б случае, когда информация о количестве пропущенных значений сохраняется, в качестве вспомогательного рассмотрен случай, м гда пропущенные значения заменяются нулями. Это позволило построить достаточно простую оценку £ параметра £ , которая может быть использована в качестве начального приближения для более точных оценок.

7. По методу наименьших квадратоьполучено уравнение, определяющее оценку £ в случае, когда инфор/ация о количестве пропусков известна. Показано, что при /V-* ^ с вероятностью I у этого уравнения есть корень, лежащий в окрестности истинного значена параметра

8. Получены формулы, определяющие асимптотическую дисперсию оценки, которые конкретизированы для независимых и марковских схе» пропусков. Построены грйфики, определяющие эффективность оценки. Доказана асимптотическая (при //-* ос ) нормальность построенной оценки.

9. На языке ФОРТРАН разработаны программы для оценки параметра £ для обоих рассмотренных случаев.

- 17 -

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Валеев Т.И. Оценка параметра авторегрессии первого порядка с пропущенными наблюдениями по схеме Бернулли. // Республиканская научно-техническая школа-семинар "Анализ и синтез систем массового обслуживания и сетей ЭШ". Тез докл., ч. II - Одесса, 1990, с. 14 - 20..

2. Терпугов А.Ф., Валеев Т.И. Статистический анализ авторегрессионной модели первого порядка при независимых пропусках измерений. // Техника средств связи. Сер. СС - 1990. - Вып. 7. - С. 5662.

3. Балеев Т.И., Терпугов А.Ф. Оценка параметров авторегрессионной модели первого порядка при марковской схеме пропадания измерений. - Томск. Изд-во Том. ун-та. Препринт № 10 - 1991. 32с.

4. Валеев Т.И. Эффективность МНК - оценки авторегрессионного параметра при групповых пропаданиях измерений. // Распределенные микропроцессорные управляющие системы и локальные вычислительные сети. Материалы Всесоюзной научно-технической конференции. - Томск. Изд-во Том. ун-та, 1991. - С. 50-52.

5. Валеев Т.И. Оценка параметра авторегрессии первого порядка при групповых пропаданиях измерений. /Дкраинская школо-семинар "Вероятностные"модели и обработка случайттх сигналов и полей". Тез. дом. - Черкассы, 1991. .

6. Валеев Т.И., Терпугов А.Ф. Статистический анализ авюрег-ресспснной модели первого порядка щ.н случайных пропусках измерений. // Радиотехника, 1992, № , с.

7. БалоевТ.И., Терпугоз А.Ф. Опенка коэффициента автор^г^ес-сия первого порядка при случайных пропусках наблюдений. // « Научная конференция "Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях". Ц.:, 1992 г., с.17.

/? /

/

Подписано к печати ;■■■■

Бумага типографская # ?. , Формат 60x84 1/16

П.л. I, уч. изд. л. 0,9. Заказ . : / . Тирах 100

УОП ТГУ, Томск, 29, Никитина, 4