автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Оценка параметра авторегрессивной модели первого порядка при случайных пропусках измерений

Министерство науки, высшей школы и технической политики Р5 Томский государственный унигерситет им. В.В.КуЯбнвсва

На правах рукописи УДК Ы9.2

ЕАЛЕЕВ Тагир Ильясович

ОЦЕНКА ПАРАМЕТРА АНГ0РьГРВХ1ЮНШЛ МОДШ ПЕРВОГО ПОРЯДКА Ш СЛУЧАЙНЫХ ПРОПУСКАХ ИЗМЕРИШ

Специальность 06.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в , научных исследованиях

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой ставни кандидата технических наук

Томск - 1992

Работа Емполнена в Томском государственном университете имени-В.В.Куйбышева и я Сибирском Физико-Техническом институте имени В.Д.Кузнецова,

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор А.Ф.Терпугов Официальные оппоненты: доктор физикс-ыатеыатичееккх наук,

^едущая организация: Институт Технической Механики АН Украины (г. Днепропетровск)-

сов на заседании специализированного Совета Д.063.53.03 Томского государственного университета имени В. В. Куйбышева ( 634050,

С диссертацией могло ознакомиться в тучной библиотеке Томского государственного университета

профессор В.А.Топчий кандидат технических наук Г.М. Кошкин

Защита состоится "//" • 1993 г. в ча-

г. Томск-50, пр. Ленина, 26).

Ученый секретарь специализированного Совета, • кандидат физико-математических наук, доцент

Б.Е.Тривоженк:

- 3 -

0Б4АЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы ■ С проблемой аналнза временных ря-» приходится сталкиваться в целом ряде технических и научных 'уаций: в научных исследованиях - при обработке эксперимон-[ьных данных, в технике - в задачах контроля состояния и фун-юнирования динамичесикх систем.

Большая часть теории, посвященной анализу временных рядов, |работана для случая i когда измерения производятся через рав-! промежутки времени. Однако в последние годы все больший ;:н~-iec представляют задачи, когда измерения временного ряда про-юдятся через неравные, вообще говоря, случайные промежутки !мени. Это может быть вызвано тем, что: в ряде технических :теы измерения через случайные промежутки времени заложены в iy схему измерений; в некоторых случаях выгодно организовывать прения в случайные моменты времени, так как это устраняет соторые нежелательные эффекта, такие как свертывание спектра; 1Можны сбои в работе измерительной и регистрирующей апшц^ту-

Частным случаем измерений в случайные моменты времени яп~ ;тся случай, когда измерения производятся через равные промочен времени, но часть этих измерений случайным образом пропа-!Т. Такая ситуация возможна в тех же случаях, что и указанные

ie.

Все это приводит к необходимости расширения теории анали-временных рядов на случай, когда измерения производятся че-| случайные промежутки времени или на случай случайного про-,ания измерений. Это и определяет акт; иьность данной работы.

Целью работы явпялось:

1. Разработать математические модели пропусков измерений.

2. Разработать достаточно простые в вычислительном отнеше-

нии оценки параметра авторегрессионной модели первого порядка при пропусках измерений.

0. Исследовать свойства получоннмх оценок.

4. Создать прс раммное обеспечение для вычисления оценок по яксперименталыам да1!ккм и провести их ими/тацконное иоделир ванне.

тоды исследования_. При решении поставленных задач ис

пользовались методы математической статистики, теории случайных процессов, теории маркозеккх процессов, теории вероятностей. Дл проверки аналитических результатов использовалось имитационное моделирование на ЭШ.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации сос тоит в следующем:

1. Предложены некоторые математические модели для пропадания измерений, в частности,- модель с независимыми пропаданиями, модель с марковскими пропаданиями, модель с независимыми группами пропадающих измерений.

2. Предложена сценки параметра авторегрессионной модели первого порядка в двух случаях - информация о количестве пропу-щешшх измерений теряется и информация о количестве пропущенных измерений сохраняется.

3.-Исследованы асимптотические свойства полученных оценок, г частности, доказана их сходимость почти наверное, вычислена ¡к •чоимнтоткческал дисперсия, зффекгиЕНСсть, доказана их асимптотическая норгшльность.

Оеновшо овжящпе?.'уо полохеиия__•

I • Иоясди Гфопяддн'Дк с- кеговкекм&ш группам ироподаэфК п.-умср^шП и их частнкс случаи.

И. Вид урашсш:И, оиределло:д!1х оценку параметра агтсрсгрес-сионной модели первого порядка.

3. Сходимость оценок почти наверное.

4. Формулы, 'определяющие асимптотическую дисперсию ч асимптотическую эффективность предложенных оценок.

0. Асимптотическая нормальность предложенных оценок.

Реализация результатов работы . Разработанные алгоритмы и

реализующие их программы могут быть использованы при обработке экспериментальных данных при наличии пропусков измерений. Предложенные статистические процедуры реализованы в виде программ, которые переданы в НПО "Полет" г. Омск, где предполагается их использование при создании системы математического обеспечения для автоматизированных систем контроля и прогнозирования функционирования сложных технических систем.

Апробация работы . Основные положения диссертации и отдельные ее результаты докладывались и обсуждались на:

1. Республиканской научно-технической школе-семинаре "Анализ систем массового обслуживания и сетей ЭВ.Г (Одесса, 1990 ).

2. Республиканской научной конференции "Математическое и программное обеспечение анализа данных" (Минск, 1990).

3. Всесоюзной научно-технической нон$еронции "Иде-! чфика-ция, измерение характеристик и имитация случайных сигналов" (Новосибирск, 1991)*

4. Всесоюзной научш-технической конференции "Распределенные миЕфопроцессорные управляющие системы и локальные вычислительные сети" (Томск, 1991).

5. Украинской школе-семинаре "Вероятностные модели и обработка случайных сигналов и полей" (Черкассы, 1991).

Публикации. По результатам проводимых исследований опубликовано б печатных работ. Материалы диссертации вошли тякке в отчет по хоздоговорной теме "Жуляны" в 19Ш - 90 г.г., кьтолнян-пейся в Сибирском физико-техническом институте для НПО "Полет".

Структура и объем работы . Диссертация состоит из введения трех глав, списка литературы из ¿1 наименования. Объем диссертации - 141 страница машинописного текста. Работа содержит 22.. рисунка и I таблицу. Прилагается акт об использовании результате работы.

КРАТКОЕ ССДЕШНИЕ РАБОТЫ Во введении приведен краткий обзор литературы по рассматриваемой тематике, определены цели исследования и дана общая характеристика работы.

Первая глава диссертации посвящена задаче оценки параметра авторегрессионной модели первого порядка при независимых группах пропусков измерений и отсутствии информации о количестве пропущенных измерений..

Пусть имеется авторегрессионный процесс первого порядка который описывается уравнением вида

+ (I)

где /=■•■) -I, О, I, ... , ^ - коэффициент авторегрессии, удовлетворяющий условию / , величины ?){ есть независимые одинаково распределенные случайные величины с характеристиками /7-^ = о, = ^ . N{>1} - %<

Наблюдаемый процесс ^ строится следующим образом. Пусть в некоторый момент с. наблюдалось значение процесса . Обозначим его через . Затем после этого наблюдения Л.-значений процесса Х^ оказались пропущенными и следующее наблюденное значение соответствует моменту времени с — ^*/ его ыы обозначим через ^ . Затем следует снова пропус-

ков и т.д.

Таким образом, полная информация о результатах наблюдений

зет вид ' , ^ = О, I.....где - на-

оденноэ значение процесса в некоторый ыоыоит иременн,

- количество пропущенных значений перед наблюдением В качестве модели, описывающей пропуски измерений, в рабо-исследовалась следующая модель: величины ^ считались 1ш-висимыми одинаково распределенными случайными величинами с определением вероятностей р Эту модель мы назвали мо-яью с независимыми группами пропусков. Ее частные случаи, котов изучались более подробно, следующие:

I. Независимые пропуски, когда каждое значение процесса может быть пропущено с вероятностью р и пропуски не за-сят друг от друга. В эт.сн случае

2. Ыарковская модель пропусков. Будем считать, что есть не-торый упра вляющнй процесс ¿^ - / в • Если - ^ , то '¡. наблюдается, если ¿¿-с , то X^ пропекается.

Процесс считается марковским случайным процессом,

ли - ^ , то будем считать, чтЬ' с вероятностью

и с вер°ятностью о1 ; если же

^ с вероятностью и - с вероятностью

-А • Таким образом, ' ©^ есть вероятность перехода ■/-*& .5 - вероятность перехода 0-> ■( . В этом случае

/- <1 , если ^ — С ,

К*) = \ , . 13)

. если >> { .

Зоэмсжны, конечно, и другие модели пропусков, но в работе :следовались только эти.

ра . ^/f i . '^/ч • В этом случае

При построении и исследовании оценок параметра Q в данной главе предполагается, что в парах ( ) информация

о величинах SL теряется и имеющаяся экспериментальная информация имеет вид

процесс можно представить в виде

(4)

, , О) (i) 5 (§■+<■)

Показывается, что условная плотность вероятностей имеет вид

I ~ » Т0 есть

ляется марковским процессом. Далее, де::;е для нормальных характеристическая функция плотности 1 ) имеет вид

w - (5)

и дажэ в простейших случаях г явном виде не вычисляется. Поэтова

му для построения оценки параметра был использован

модифицированный метод наименьших квадратов. Обозначим . „ .

■ Ко)

Так как - <у (?) , то из условия

N

d

оценка J? параметра £ должна искаться из уравнения

Теорема I. Если ряд / (-'-f)X b(S) монотонно возрастает

1Ш интервале , то уравнение (7) имеет единственный

корень, удовлетворяющий условию /р/^ / , если ы , н л

TlU-JTLtí > -

i'' S-0

- о -

В частных случаях независимых и марковское пропаданий наблюдения уравнение (7) имеет соответственно вид

■ (6)

(9)

л'-Л

и / ^ ^

В последней случае получена область значений • ПРИ кото-

рьос уравнение (9) имеет единственный корень.

Теорема 2. Пусть в интервале [-1, I] непрерывна и строго монотонно возрастает'с ростом £ . Тогда при /У->со оценка ^ сходится к истинному значении £ почти наверное.

Доказательство данной теоремы основывается на теореме Бирхго-фа для марковских цепей.

Используя марковское свойство процесса У- и метод линеаризации, находится асимптотическая дисперсия оценки £

УЯ-Ь-тЬ „о,

(Г (И)

!та формула, кроме . <? , зависит от эксцесса случайной компоненты -?")> , вхсд>пцего в параметр К. Препложена оценка Д" параметра К

¿с ■ . N

л Л-У*!' А - у—-*--у" 7 ?

показана ее сходшость почти наверное, что позволяет вычислить, по крайней мере, оценку дисперсии величины ^

В схеме с независим*1!.«! пропаданиями наблюдений

в схеме с марковской моделью пропадания наблюдений

что позволяет производить вычисления асимптотической дисперсии оценки

Эффективность построенной оценки была исследована только для случая, когда случайная компонента ^ процесса Х^ является нормальной случайной величиной. Так как распределение вероятностей величин ^ даже в этом случае явно получить не удается, то была получена лишь нижняя граница для эффективности оценки

/

Я) ■ >

?

, Л

с? .

лип

(15)

• 25 <-/

111

с

Яг*

(16)

•/"Г /-Г

Входящие сюда суммы были конкретизированы для случаев независимых пропаданий и марковской схемы пропадания измерений. Пример графика зависимости от для независимых пропаданий изменений приведен на рис. I.

-Ой -Оч о ом о.ь I

Рис. 1

Теорема 3. При Л^ «л величины

имеют предельное нормальное распределение со средним значением 0.

Теорема 4. При величина имеет предельное

нормальное распределение с нулевым математическим ожиданием и дис- . Персией, даваемой формулой (10).

При доказательстве данной теоремы используется теорема 3. Она позволяет найти асимптотический доверительный интервал для параметра ^ . . 1

Вторая глава посвящена задаче оценки параметра авторегрессионной модели первого порядка при независимых группах пропусков измерений и сохранении информации о количестве пропусков, то есть сцеш<а строится по парам

(X) , ^ - О ..., /А

Здесь рассмотрены две оценки параметра £ , первая из которых носит вспомогательной характер к используется в качестве первого приближения для' второй, более точной оценки.

Построение первой оценки основало на том, что процессом наблюдений управляет некоторый процесс ^-/С''/-» так что наблюдаемый процесс представляется в виде ¡/^ = • Сам процесс

предполагается марковским стационарным с характеристиками, которые для частных случаев независимых и марковских моделей пропадания измерений выписаны в явном виде. Получены также расчетные формулы для этих характеристик в общеЦ схеме групповых пропаданий с независимыми группами пропусков.

Предлагаемая оценка имеет вид

р - Л'А/ , а ,

>-С V У ,

^ (17)

Доказано, что при Л7^"^ эта оценка сходится к истинному значения параметра £ почти наверное. Вычислена асимптотическая дисперсия и аснмптотичесхая эффективность оценки. Доказана также асимптотическая норма..ьность этой сиенки.

л

Другая оценка £ находится из условия

н

.¿-/ ^ f

1П

-Г

и имеет вид

Длл получения этой оценки необходимо решить трансцендентное уравие-те (18) относительно £

Теорема 4. При Д'-»оо уравнение (18) имеет с вероятность» I корень в окрестности истинного значения ^ и этот корень сходится к ^ почти наверное.

Так как при Упочти наверное отрицательна, то

длл нахождения корня можно применить любой пошаговый алгоритм, используя в качество начального приближения предыдущую оценку. Асимптотическая дисперсия оценки из (18) имеет вид

' ^ с-

которая в диссертации выписана в явном виде для независимых и Маркове кой схемы пропадания изменений. Теорема 5. При величина

^ ш- ^ г^/г^- - V

сходится по распределению к нормальной случайной величине с нулевым математическим ожиданием и дисперсией

мШ^с^СО'ПМ-

£-0 '

На основании этой теоремы доказывается теорема об асимптотической нормальности величины

Теорема 6. При /У-^ос величина \ОГ сходится по, рас-

пределению к нормальной случайной величине с нулевым математическим ожиданием и дисперсией, определяемой формулой (19).

Вычислена также асимптотическая эффективность оценки из (18). Пример зависимости ее эффективности от £ для независимых пропаданий измерений приведен на рис. 2.

Рис. 2

В третьей главе дается описание программ, реализующих численные алгоритмы реализации разработанных оценок. Первая подпрограм-ла позволяет находить оценку ^ . параметра ^ в случае, когда'информация о числе пропусков теряется. Вторая подпрограмма позволяет находить оценку £ для случая, когда информация о 1исле пропусков сохраняется. Обе подпрограммы написаны для марковской схемы пропадания наблюдений и для независимых пропаданий на-5людений. Также разработана программа для расчета эффективности оцет «к.

Все эти программы написаны на яэыко ФОРТРАН. Для их конкретного использования были составлены головные управляющие интерактив-

ные программы, позволяющие работать с приведенными подпрограммами в диалоговом режиые.

В работе было таете проведено имитационное моделирование полученных оценок. При этом ставились следующие задачи:

1. Так как нормальность полученных оценок была доказана лишь в асимптотическом случае /У-** ^ » 1° первая цель заключалась в том, чтобы определить, при каких объемах выборки оценки можно считать нормальными.

2. Второй целью была проверка работоспособности составленных программ.

Моделирование подтвердила работоспособность разработанных программ и их достаточно большое быстродействие (секунды при объемах выборки порядка 100).

Проверка нормальности полученных оценок осуществлялась 400 -кратным повторением моделирования при одном и том же значении <? и параметров схемы пропусков измерений. Результаты моделирования оценки $ преобразовывались в гистограмму. Проверка гипотезы о нормальности осуществлялась по критерию Колмогорова. Примеры полученных при г-ом гистограмм с наложенными на них гипотетическими

Первая из них соответствует случаю, когда информация о количестве пропущенных измерений отсутствует, вторая - когда информация о количестве пропусков сохраняется, то есть пропущенные измерения заменяются нулями.

На основании результатов имитационного моделирования можно сделать следующие еыводн. При /у/--£ нормальность оценок с достигается уже при объеме выборок порядка 100. При возрастании

/ растет объем выборки, при котором достигается нормальность оценок. Когда с. i это происходят при /У- >'СО , при f - порядка 250. .

ЗАКЛЮЧЕНИЕ Основные- результаты диссертационной работы сводятся к следующему:

1. Для случая, когда информация о числе пропущенных измерений

Л

теряется, получено уравнение, определяющее оценку Г параметра по методу наименьших квадратов. Это уравнение конкретизировано для

п

случая независимых прс/.усков н марксской модели пропусков измерений.

2. Доказана сходимость построенной оценки к истинному значению параметра С печти наверное.

3. Методом "линеаризации найдена асимптотическая (при Л'-* , " где /V - сбъем выборки) дисперсия оценки, которая убывает как

{/N . Найде.. глаьныЯ член разложения по степеням 1/N . Выражение для дисперсии конкретизировано для независимых и марковских лропусксв измерений.

•}. Найдена нижняя граница для мин;«, льной дисперсии оценки 1,ля случая, когда авторегрессионный процесс является нормальным. )та граница конкретизирована для случая независимых и марковских ^хем пропусков и построены графики, определяющие эффективность по-

строенной оценки.

6. Доказана асимптотическая (при Д^ оо ) нормальность построенных сценок.

6. Б случае, ког;;э информация о количестве пропущенных значений сохраняется, в качестве вспомогательного рассмотрен случай, ко гда пропущенные значения заменяются нулями. Это позволило псстро-

л

ить достаточно простую оценку £ параметра £ , которая может быть использована в качестве начального приближения для более точных оценок.

7. По методу наименьших квадратов получено уравнение, определяющее оценку ^ в случае, когда инфор/ация о количестве пропусков известна.-Показано, что при /V-* ^ с вероятностью I у этого уравнения есть корень, лежащий в окрестности истинного значения параметра

8. Получены формулы, определяющие асимптотическую дисперсию оценки, которые конкретизированы для независимых и марковских схем пропусков. Построены графики, определяющие эффективность оценки. Доказана асимптотическая (при ) нормальность построенной оценки. .

9. На языке ФОРТРАН разработаны программы для оценки параметра £ для обоих рассмотренных случаев.

- 17 -

ПУБЛИКАЦИИ ГО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Валеев Т.И. Оценка параметра авторегресеии первого порядка с пропущенными наблюдениями по схеме Еернулли. // Республиканская научно-техническая школа-семинар "Анализ и синтез систем массового обслуживания и сетей ЭШ". Тез докл., ч. II - Одесса, 1990,

, с. 14 - 20.

2. Терпугов А.Ф., Валеев Т.Н. Статистический анализ авторег-рессиснной модели первого порядка при независимых пропусках измерений. // Техника средств связи. Сер. СС - 1990. - Вып. 7. - С. 5662.

3. Валеев Т.Н., Терпугов А.Ф. Оценка параметров авторегрессионной модели первого порядка при марковской схеме пропадания иэме- ' рений. - Томск. Изд-во Том. ун-та. Препринт К 10 - 1991. 32 с.

4. Валеев Т.И. Эффективность МНК - сценки авторегрессионного параметра при групповых пропаданиях измерений. // Распределенные микропроцессорные управляющие системы и локальные вычислительные сети. Материалы Всесоюзной научно-техническойконференции. - Томск. Изд-во Том. ун-та, 1991. - С. 50-52.

5. Валеев Т.Н. Оценка параметра автсрегрессии первого поряд-- ка при групповых гтрс::одаш'.ж измерений. //Украинская школз-сеыиипр

"Вероятностные модели и обработка случаШагс сигналов и полей". Тез. докл. - Черкассы, 1991.

С. Валеев Т.Н., Терпугов Л. Ф. -Статистический ашлис ягло.оег-рзсспснной модели первого порядка при случайных ррстусках наморен;:'!. // Радиотехника, 1992, К , с.

7. Езлосз Т.И., Терпугов А.Ф. Опенка коэффициента амор*.гре<;-пгп первого порядка при случайтзс пропусках наблюдений. 7/ « Научная конференция ''Планирование и автоматизация эксперимента в научных исследованиях". !,!.:, 199£ г., с.17.

,-т"' /