автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Обобщение непрерывного аналога метода Ньютона и метод сплайнов для численного решения нелинейных задач теоретической физики

ЙЙГ1'Л И,,ГТТЛ

ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ЯДЕРНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

На правах рукописи 11-92-278

ЖАНЛАВ Тугалын

УДК 519.652+519.624+ 519.615+530.145

ОБОБЩЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОГО АНАЛОГА МЕТОДА НЬЮТОНА И МЕТОД СПЛАЙНОВ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Специальность: 05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Дубна 1992

Работа выполнена в Лаборатории вычислительной техники и автоматизации Объединенного института ядерных исследований.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических доктор физико-математических доктор физико-математических

наук с.и.виницкий

наук а.и.гребенников

наук и.д.родионов

Ведущее научно-исследовательское учреждение: Московский инженерно-физический институт

Автореферат разослан пЗС" ию>1-2_ 1992 г.

Защита диссертации состоится " ¿"¿¿САР1992 гола в " /О" часов на заседании Специализированного совета Д047.01.04 при Лаборатории вычислительной техники и автоматизации ОИЯИ, г.Дубна, Московская область.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке оияи.

Ученый секретарь Совета

кандидат физико-математических наук 1-, З.М.ИВАНЧЕНКО

Основной целью данной диссертации является разработка диного метода численного решения нелинейных краевых —_г"^(х,ос, г, г') =0 , а^х^в ,

7

' , х=а , (1)

1г(а,г,г')=0 , х=в , спектральных краевых задач

/1— +Р(х,а)—+0(х,а) -Л(а)В(х,а) 1у=0 , а<х<в ,

I- ах2 ах >

1, (а,^,У,У')=0 , х=а ,

(2)

12(а,*,У,У')=0 , х=в .

десь 1-единичная, а Р,0 и В-заданные матрицы размерности хп, Л-собственные значения, г(х) и у(х)-искомые ектор-функции размерности п, ^заданный вектор той же азмерности, 1 , 12 -векторы размерности п, компоненты эторых являются нелинейными функциями своих аргументов.

К общим характеристикам указанных задач можно отнести их элинейность, сингулярность (а=-а>, в=оо), многопараметричность я=(а ,а ,...,а )). Иногда возникает необходимость изучения

12 п

волюционной зависимости Л от параметра а. При этом возможна яфуркация точек спектра.

Актуальность ^работы Задачи типов (1) и (2) часто возникают в различных гзделах теоретической физики, таких как квантовая механика, эзоатомная физика, теория конденсированных сред.

В диссертации рассмотрены задача рассеяния, задача зух кулоновских центров, включая дискретный, непрерывный и 1скретно-непрерывный спектры, исследование устойчивости

солитонов в моделях нелинейной теории поля и физи конденсированного состояния. Математическая постановка эт задач приводит к уравнениям (1) и (2). Актуальность решения объясняется непрерывным расширением области приложения к проблемам современной физики и химии.

Как известно, задача на собственные значения (2) вмес с некоторым нормировочным функционалом собственного элемен рассматривается как нелинейное функциональное уравнен относительно неизвестной пары 2=(Л,у). Таким образом, зада (1) и (2) можно записать в виде

<р(г)= 0 . (

Численное решение задачи (3) состоит из двух этапо линеаризации и дискретизации. Среди методов линеаризац нелинейного функционального уравнения типа (3) одним распространенных является метод Ньютона-Канторович Обобщение данного метода предложено М.К.Гавуриным и нос название непрерывного аналога метода Ньютона (НАМИ). Мет получил дальнейшее развитие в работах Е.П.Жидков И.В.Пузынина и их учеников и хорошо зарекомендовал себя п решении различных нелинейных задач теоретической физики течение последних двадцати с лишним лет.

Отметим, что предложены также различные модификации НА с целью упрощения вычисления и расширения области сходимост Что касается дискретизации задачи (3), то существу множество различных методов, таких как метод конечн разностей, метод конечных элементов и другие.

В последное время в с с; больше внимание споциалигт привлекает метод кубических сплайнов, который по точности

сложности реализации сравним с конечно-разностным методом, но имеет и некоторые преимущества перед последним. Приближенное решение в нем ищется в конечномерном пространстве кубических сплайнов, в результате чего дифференциальный оператор от сплайна вычисляется точно. Оказывается, что в этом пространстве находится, в частности, квазиинтерполяционный сплайн, аппроксимирующий достаточно гладкое решение дифференциальной задачи. На основе метода коллокации удается найти сплайн, совпадающий по точности с квазиинтерполяционным. Таким образом, здесь имеется возможность строить приближенное решение, аппроксимирующее не только решение, но и его производные с высокой точностью, что требуют многие задачи физики, в том числе и перечисленные выше.

Следует отметить, что близким к методу сплайн-коллокации решения спектральных задач является метод стержневых сплайнов, в котором стержневая функция используется как средство внесения дополнительной информации о решении. Такая информация используется также в методе возмущения для решения задачи Коши.

Цели и задачи исследований Исходя из вышесказанных соображений, объектами

исследований в диссертации выбраны дальнейшее развитие НАМИ и четод сплайн-аппроксимации для численного решения задачи (3). Три этом нам пришлось:

- развить В-представление кубических сплайнов класса С2; установить свойства локально кубических сплайнов, тпроксимирующих гладкие функции, в частности, решения шфференциальных задач;

- построить сплайн-схемы повышенной точности для решения дифференциальных уравнений второго порядка;

разработать и обосновать модификацию НАМИ для численного решения нелинейных функциональных уравнений, позволяющую существенно упростить решение задачи для итерационной поправки на каждом шаге итераций;

теоретически обосновать метод выбора итерационного параметра в НАМИ.

Разработанные алгоритмы были применены к численному решению следующих задач:

задача рассеяния в одноканальной и многоканальной постановках; задача рассеяния с комплексным потенциалом; вычисление квазистационарных состояний сферически симметричных ядер; задача двух центров, вычисление термов и матричных элементов; исследование устойчивости солитонов нелинейного уравнения Шредингера с различными типами нелинейности.

Для численного решения указанных задач было необходимо:

- Решить задачу переноса граничных условий из бесконечности, учитывая асимптотическое поведение искомых решений.

- Создать комплекс программ, реализующих алгоритмы на

ЭВМ.

- Проверить работоспособность и эффективность алгоритмов проведением тестовых расчетов и сравнением с результатами, полученными другими методами в тех случаях, когда такие расчеты имелись.

Научная новизна и значимость работы

Следующие результаты являются;новыми:

- На основе в-представления сплайна введены локально

кубические сплайны, допускающие существенно более простую численную реализацию по сравнению с интерполяционными. Получены оценки погрешности аппроксимации такими сплайнами, часть из которых неулучшаемы.

- Предложены пятиточечные и трехточечные сплайн-схемы повышенной точности (порядок точности выше двух относительно шага разностной сетки) для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка и доказана сходимость приближенных решений.

Даны обоснования модификации НАМИ для нелинейных функциональных уравнений в банаховом пространстве с аддитивным представлением оператора в виде простого оператора и его возмущения и выбора оптимального итерационного параметра.

разработан алгоритм, основанный на методе сплайн-аппроксимации и модификации НАМИ, для численного эешения нелинейных краевых и спектральных краевых задач (1) и [2) .

- Дано обобщение нелинейной постановки граничных условий 1ля задач рассеяния. Предложена новая постановка граничных условий для задачи двух центров.

- С помощью разработанного алгоритма численно решены шречисленные выше задачи теоретической физики с высокой точностью. Получен ряд результатов, имеющих самостоятельный Физический интерес.

Результаты, составляющие теоретическую часть (главы 1-3) [иссертации, относятся к развитию метода сплайнов и [епрерывного аналога метода Ньютона, в силу широты класса 1ассматриваемых задач предлагаемые методы могут найти

применение в различных областях физики и техники.

Практическая полезность работы Разработанные в диссертации численные алгоритмы был реализованы в виде комплексов программ, которые могут быт использованы для численного решения задачи рассеяния, задач двух центров, для вычисления матричных элементов этой задач независимо от значения параметров в ней. Большая част программных модулей с небольшими изменениями может быт использована при решении других подобных задач.

В настоящее время комплекс программ успешно используете в ОИЯИ, на математическом и физическом факультета Монгольского Государственного Университета.

Апробация работы и публикации Результаты , вошедшие в диссертацию, докладывались обсуждались на Международном симпозиуме по численному анализ (Прага, 1987), на Международных совещаниях по нелинейным турбулентным процессам в физике (Киев, 1989), по теорр солитонов . и их приложениям (Дубна, 1988), Всесоюзнс конференции "Математическое. моделирование: нелинейнь проблемы и вычислительная математика" (Звенигород, 1988), i семинарах лвта оияи, им со ан ссср.

Работа выполнена в соответствии с проблемно-тематическ} планом научно-исследовательских работ ОИЯИ.

Основное содержание диссертации отражено в 25 публике циях в виде статей в журналах ЖВМ и МФ, ЯФ, Phys. Lett. , сборниках "Вычислительные системы", в трудах ИМ АН МНР, ученых записках МонГУ, докладах, опубликованных в трудг международных совещаний по нелинейным и турбулентш.

процессам в физике и по теории солитонов и их приложениям, в препринтах и сообщениях ОИЯИ.

Личный вклад автора По теме диссертации автор имеет 7 самостоятельных публикаций. Кроме того, автор диссертации, работая в коллективе соавторов, был инициатором данных исследований. Им самостоятельно разработаны все принципиальные вопросы, относящиеся к теоретической части диссертации. Автор лично проводил реализацию на ЭВМ разработанных алгоритмов, поставил вычислительные эксперименты по решению упомянутых выше задач.

Структура диссертации Реферируемая диссертация состоит из введения и шести глав, в первой части (главы 1-3) рассмотрены теоретические вопросы, касающиеся аппроксимации функций локальными сплайнами, построения сплайн-схем повышенной точности, обоснования модификации НАМИ и выбора итерационного параметра для численного решения функциональных уравнений. Применению построенных в главах 2-3 алгоритмов для численного решения некоторых задач теоретической физики посвящена вторая часть диссертации (главы 4-6). Полный объем диссертации 254 страница.Диссертация содержит 37 таблиц, 2 рисунка и список литературы из 157 наименований:

краткое содержание диссертации Во введении к реферируемой диссертации выделяется класс задач, для которых необходимо разработать единый метод численного решения. Обосновывается выбор методов линеаризации и дискретизации. Лается краткое описание диссертации по

главам и перечень основных результатов.

В главе 1 рассматриваются аппроксимационные свойства интерполяционных и близких к ним сплайнов. При этом всюду, за исключением §2, используется В-представление кубических сплайнов класса с2.

N♦1

а В (х) , (4)

которое является удобным средством для приложений. Оно позволяет ввести в рассмотрение некоторые локальные сплайны.

В §1 сформулированы два типа краевых условий для интерполяционных кубических сплайнов в терминах коэффициентов разложения (4). Показана эквивалентность одного из них краевым условиям типа 4. Другой тип на равномерной сетке эквивалентен оптимальным краевым условиям. Установлены свойства коэффициентов разложения (4) для интерполяционного сплайна, представляющие интерес с точки зрения аппроксимации функций. В §2 рассмотрены два типа локальных кубических сплайнов класса С и показана неулучшаемость полученных для них оценок точности аппроксимации.

В §3 введены так называемые квазиинтерполяционные и локально- аппроксимационные сплайны, коэффициенты разложения которых определяются по явным формулам. Для них установлень оценки погрешностей на любой неравномерной сетке (теоремь 1.3, 1.4). Найдены точки суперсходимости этих сплайнов пp^ некоторых ограничениях на соседние шаги сетки.

В §4 рассмотрен вопрос аппроксимации функций локально-интерполяционными кубическими сплайнами. получены оценк1 приближения функции и ее производных. Для равномерной сетк1

оценки являются точными (теорема 1.7). Для более гладкой функции получены асимптотические оценки приближения (теорема 1.9) Глава 2 посвящена построению сплайн-схем повышенной точности для решения краевой задачи

1л1=и" (х)+р(х)и' (х)н^(х)и(х)=г(х) , хе[а,в],

(а)=-гг1 , (5)

12и=а2и(в)+Э2и' (в)=э-2 . в §1 рассматривается метод сплайн-коллокации. Показано, что в :лучае равномерной сетки с помощью производных коллокацион-юго сплайна можно аппроксимировать третью и четвертую фоизводные решения задачи (5) (лемма 2.1). В §2 получено изложение коэффициентов коллокационного сплайна по степеням 1ага равномерной сетки и обоснована процедура Ричардсона точнения решения на последовательности сеток.

В §3 на основе аппроксимационных свойств квазиитерполя-[ионного сплайна построена пятиточечная сплайн-схема овышенной точности на равномерной сетке и предложен метод ее ешения. Доказана теорема о сходимости приближенного решения его производных. Схема легко распространяется на систему ифференциальных уравнений второго порядка.

В §4 построена трехточечная сплайн-схема повышенной очности на регулярной сетке. Доказана сходимость риближенного решения на неравномерной и равномерной сетках теоремы 2.2 и 2.3). Все теоретические выводы относительно орядка сходимости приближенного решения подтверждаются исленными расчетами.

Сходимость двух эволюционных процессов решения элинейного уравнения (3) изучается в главе 3. Как известно,

НАМИ для уравнения (3) приводит к итерационному процессу

Ч>' =-<р(г ) ,

п п (6)

г =г +г V , 0<т <1 , п=0,1....

п+1 п п п п

В итерации (6) существенную роль играет параметр т^. настоящее время часто используются "оптимальный" шаг

предложенный В.В.Ермаковым и Н.Н.Калиткиным, и шаг вычисляемый по формуле

1Мгп_1) И

Т = а -—- Г , п=1,2. . . , (7)

1И*П>11

которая была предложена И.в.Пузыниным, но не обоснована. В { этой главы показано, что выбор шага по формуле (7) с а= позволяет уменьшать невязку уравнения (3) от итерации итерации. При некоторых ограничениях относительно то получеь оценка (теорема 3.1) скорости сходимости итерационног процесса (б), которая в пределе совпадает со скорост! сходимости метода Ньютона.

Возможность применения метода установления для решен! нелинейных дифференциальных задач (1) рассматривается в §< При ограничениях на функцию £ имеет место монотоннг сходимость итераций, основанных на комбинации мето; установления и НАМИ (теоремы 3.5 и 3.6). Установлен! монотонной сходимости приближенного решения позволяет сдела" качественный вывод (теорема 3.7) о неотрицательное (неположительности) решения дифференциальной задачи (1).

§3 посвящен обоснованию обобщения (модификации) НАМИ д. уравнения (3), в котором оператор (р представляется в ви, суммы двух операторов: Iр=<ро+ц>^. Вводя непрерывный параметр (0£'Ь<оо) и функцию включения д(1:)=1-ехр(-1:) в нелинойш

оператор

i>(t, z (t) )= v0(z(t) J+gftJ^Czft))

рассматривается абстрактная задача Коши

V(t,z(t))=-i>(t,z(t)) ,

dt

z(0)=zo .

Доказываются существование решения задачи (8) при некоторых ограничениях относительно производных операторов <ро, <pi и справедливость соотношения

*

lim z(t)= z ,

t —+CO v ' '

*

где z -корень уравнения (3).

Дискретизация уравнения (8) по переменной t осуществляется, как обычно, по методу Эйлера и доказывается сходимость соответствующего итерационного процесса (теорема 3.10). Предлагается модификация этого итерационного процесса, приводящая к упрощению вычислений:

z = z + г V , n=0,1,.... (9Ь)

п+1 п п п

Важным является то, что эволюционный ньютоновский процесс (8) обладает свойством регуляризации.

В §4 предлагается численный алгоритм решения спектральных краевых задач, он построен с помощью обобщения НАМИ и сплайн-схемы повышенной точности. Аналогичный вопрос для краевых задач изучается в §5.

В главе 4 изучена устойчивость солитонов нелинейного уравнения Шредпнгера с различными типами нелинейности, встречавшихся в ряде теоретических моделей физики, включая ядерную гидродинамику, нелинейную оптику, плазму, теорию

конденсированного состояния вещества и джозефсоновские контакты. Как известно, вопрос об устойчивости солитонов относительно возмущения специального вида в линейном приближении обычно сводится к изучению спектра собственных значений линеаризованного уравнения в зависимости от значения внешнего параметра задачи. В §1-2 исследуется устойчивость солитонов уравнений Шредингера

1Ф1+ФХХ-(1+2А)Ф+2(А+2)Ф|Ф|2-ЗФ|Ф|4= 0 , (10)

0<А<1

И

1Ф1+ФХХ+2Ф|Ф|2=- Ке1П'. (11)

Вопрос об устойчивости солитонов уравнений (10) и (11) сводится к изучению зависимости от параметра собственных значений задач

Н (V) у-А (V) Зу = о, у=0 при | X | -»со

и

(Ь(а)-(А1(а)01+А2(а)02))у = О,

у= 0 при | X (-»оо

(12)

(13)

соответственно. Здесь

Н(у)= - — I + V — 3 + и(х) , ^о/Т^А,

,2 (Зх

ах

Ь(а) =

Ь (а) О о1 '

Ь(а)

О Ь (а) о1 '

О О О

О Ь (а)

О = 1

% %

% % )

0 1 0 0

-1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 - ■1 0

о = 2

0 0 0 -1

0 0 1 О

0 1 0 0

-1 0 0 О

с!2 2

ь (а)= - — - (2Ч-сЬЬ а),

с!хг

Ъ (се) = - 2— - (бУ-1), ае(0,оо),

ах2

[( и V - выражения, содержащие действительную и мнимую части олитонов уравнений (10) и (11).

помощью разработанного в главах 2,3 алгоритма численно ешена серия задач на собственные значения (12), (13). айдены критические значения параметров (а,у), являющиеся орогами устойчивости солитонов. В нелинейном приближении с омощью прямых численных расчетов исследована временная волюция решения эволюционного уравнения (11) в §3.

В главе 5 развивается один подход, сводящий задачу ассеяния к решению нелинейной краевой задачи, явно не □держащей фазы рассеяния 5. В §1 рассматривается одноканаль-ая задача рассеяния

и"+(к2- 1(1+1) - и(г))и - о, (14)

2

г

и(0) = О, (15)

и(г) й зз.п(кг-1тг/2+5) , Г->оо , (16)

1е потенциал и(г) имеет асимптотику при г-><»

с с

и(г) = — + — +________(16')

2 3

г г

! исключено, что он имеет сингулярность в точке г=0. Задача ¡стоит в нахождении фазы рассеяния 5 при заданных значениях ергии к2 и орбитального момента 1.

целью более точной постановки граничного условия при льших г учтены следующие члены в асимптотике решения (16):

u(r) = f (r) sina(r)+g (r)cosa(r), (17)

Ora Om

a (r) =kr-l7r/2+5,

где

m in

f (r) = Га/г1, g (r) = Y b/rl. 1=0 1=1

Асимптотика (17) позволяет поставить приближенное граничное условие в точке r=R, более близкой к точке г=0, чем границг интервала с тривиальным краевым условием (16) (ug -g u')2+(f u-f u')2-(f g -f g )2 = 0, r=R, (18)

x lm om 4 lm Om ' 4 Om^lm lm^Om'

где

f =f' -kg , g =g' +kf .

lm Om J0m lm om Om

Таким образом, задача рассеяния сформулирована как нелинейна;

краевая задача (14), (15), (18). Прием построения нелинейноп

граничного условия, не содержащего фазы рассеяния, распрост

ранен в следующих параграфах (§2-§3) на задачу рассеяния >

комплексным потенциалом и многоканальную задачу рассеяния

Идея исключения неизвестных параметров рассеяния из краевог

условия, развитая в предыдущих параграфах, использована в §

для вычисления коэффициентов прохождения и отражения

одномерной задаче рассеяния: ,2

-— i//(x,k) + (k2-V(x) )t/»(x,k) = о, k€R ,

j 2 dx

i/i (x,k) -» d(k)elkx, x -> +oo, V>(x,k) -» elkx+T(k) e"lkx, x -oo , где V -вещественнозначная, кусочно-непрерывная на R функция достаточно быстро стремящаяся к нулю при |х| -> со, так чт выполняется условие

со

XIv(x) |dx < со.

-со

В отличие от предыдущих случаев, здесь получена линейнг

краевая задача для волновой функции ф(х,К).

Задача вычисления комплексных энергий (k=kt+ik2, k2<0) уравнения Шредингера (14) сформулирована в §5 как спектральная краевая задача, для чего была использована идея привлечения последующих членов в асимптотике решения. Особенность задачи вычисления резонансных состояний состоит в том, что волновая функция не интегрируема с квадратом. Поэтому вместо обычного условия нормировки применяется условие

(u,u)a = 1, (19)

где

ОО 2

(u, v) = lim Г e"ar u (г) v (г) dr. v 'а а->о*о J v / v /

о

Получаемые в главе 5 нелинейные краевые и спектральные краевые задачи решены с помощью итерационного процесса (9), основанного на методе сплайн-апроксимации и модификации НАМИ. В процессе итераций требуется значительное время для вычисления коэффициентов и правой части системы линейных алгебраических уравнений (9а), и это становится особенно ощутимым, когда число итераций велико. В случае задачи рассеяния, в силу линейности уравнения (14), все коэффициенты системы (9а), за исключением только последнего уравнения, соответствующего краевому условию (18) в точке r=R, не зависят от номера итерации п. Это обстоятельство приводит к значительному сокращению счетного времени на ЭВМ. С помощью разработанного алгоритма вычислены фазы рассеяния для широкого набора действительных и комплексных потенциалов. Вычислены резонансные энергии уравнения Шредингера со сферическим потенциалом Вулса-Саксона. Отметим, что предлагаемый алгоритм вычисления резонансных энергий применим

также в случае дискретнного спектра с незначительным изменением краевого условия при г-«». В этом случае условие нормировки (19) с а=0 превращается в обычное условие нормировки. Эффективность и точность предложенных алгоритмов во всех рассматриваемых задачах продемонстрированы численными расчетами.

В главе 6 рассматривается задача двух кулоновских центров и метод ее решения. С помощью подходящего преобразования в §1 сформулированы краевые условия для волновых функций. В результате в случае дискретного спектра (Е<0) поставлена спектральная краевая задача:

2

1-7,2

1 < 7) < 1,

(19)

1-Т)

1 ф= ф'+ ^-ь-т(ш+1)

1

Ф = О

2(т+1)

1 ф= ф'- *+ь-т(т+1) ф 2 2(т+1)

П=-1 ,

т)= 1 ,

(20)

+ + * + = 0, (21)

1 < £ < 00 , ,

i £= г/+ а-л+т(т+1) £ = 0 > 1 2(т+1)

1 ^ 1:'+(р+ + = 0 ,

(22)

: 2рГ

а=а/2р, р=-еи2/2, а=(г +г )1г, ь=(г -г )!*, о<1*<оо. Уравнения (19) и (21) связаны между собой через искомые величины Е и Л (константа разделения).

В случае непрерывного спектра (Е>0) вместо радиального уравнения (21) рассматривается уравнение

+ + - (П.+2) (т+Ч)? = ^ (23)

с— КВ./2, 1 < ^ < оз . раничные условия для функции г имеют вид

I а-Л-(п,+ 1) (тп+2) р = 0 ( €=1 1

1 2(т+1)

з:.п(с£+ — 1п2с£- — + Д) , ? оо 2с 2

(24)

этом случае параметр Л в радиальном уравнении (23) ерестает быть произвольным и должен выбираться как обственное значение задачи (19), (20).

Задача (23), (24), по сути, является задачей рассеяния, поэтому при -> со для нее справедливо нелинейное граничное словие типа (18). Как и в главах 4, 5, для численного эшения полученных задач на собственные значения и нелинейных раничных задач применяется разработанный алгоритм, снованный на модификации НАМИ и методе сплайн-аппроксимации, числены дискретные и непрерывные спектры для различных зстояний и зарядов. В §2 строится алгоритм для вычисления 1тричных элементов. Сравнение численных результатов с веющимися данными, полученными другими методами, показывает юокую точность и универсальность данного алгоритма.

Основные результаты и выводы

1. Развито В-представление кубических сплайнов класса С2 на его основе проведены все исследования по аппроксимации нкций и по построению сплайн-схем повышенной точности.

2. Получены оценки погрешностей аппроксимации функций с мощью локальных кубических сплайнов и показана

неулучшаемость некоторых из них. Эти результаты являютс? новыми в теории приближения сплайнами.

3. Разработаны и обоснованы трех- и пятиточечные сплайн-схемы повышенной точности для решения краевых задач дл$ обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Этс позволяет получить приближенное решение, не отличающееся пс порядку точности от интерполяционного сплайна. В-представ-ление сплайнов позволило развить с единой точки зрения дв; известных приема уточнения приближенного решения дл) предлагаемых сплайн-схем.

4. Обоснован выбор итерационного параметра и установлен; скорость сходимости итераций на основе НАМИ для нелинейны: задач, заданных в банаховом пространстве. Доказана монотонна: сходимость метода установления для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка при ограничениях на функцию 1:.

5. Обосновано обобщение НАМИ для нелинейных операторны: уравнений.

6. На основе обобщения нами в сочетании с методо: сплайн-аппроксимации разработан единый алгоритм решени краевых и спектральных краевых задач для системы нелинейны дифференциальных уравнений второго порядка с высоко точностью.

7. Развита постановка нелинейных граничных условий дл задачи рассеяния и задачи двух центров, которая обеспечивае сокращение эффективной длины отрезка интегрирования Разработаны алгоритмы вычисления дискретного и непрерывног спектров задачи рассеяния и задачи двух центров, а такж матричных элементов этой задачи.

8. В качестве приложения разработанных алгоритмов численно решены задачи рассеяния для широкого набора потенциалов (потенциалы Юкавы и Морзе, статический потенциал атома водорода, сферически симметричный потенциал, комплексный потенциал, встречающийся в рассеянии заряженных частиц на нейтральные атомы, и другие). Вычислены резонансные энергии сферически симметричного ядра свинца (20ВРЬ). В задаче двух центров проведены расчеты термов и матричных элементов для различных состояний и зарядов [2^=2 ; г2=-г =1; 2^=36, г2=41) . Найдены критические значения параметров, управляющих устойчивостью солитонов. Полученные результаты представляют физический интерес.

9. создан комплекс программ, реализующих разработанные 1лгоритмы.

10. Все разработанные в диссертации численные методы шеют самостоятельный теоретический и прикладной интерес.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Жанлав Т. О представлении интерполяционных кубических сплайнов через В-сплайны. В кн. Методы сплайн-функций. (Вычислительные системы, вып. 85) Новосибирск, 1981, 3.

2. Жанлав т. о краевых условиях для интерполяционных кубических сплайнов. В кн. Приближение сплайнами. (Вычислительные системы, вып. 106) Новосибирск, 1984, 25.

3. Жанлав т. об интерполяционном локально-кубическом сплайне класса с. Ученые записки МонГУ. 1984, 1, 89.

4. Жанлав Т. о точках суперсходямости локальных кубических сплайнов, в сб. научных трудов ИМ АН МНР, 1983, 2, 40.

5. жанлав т . Уточнение оценок для локально-кубических сплайнов. В сб. научных трудов ИМ АН МНР, 1990, 8, 25.

6. Жанлав Т. , Мирошниченко В.Л. Аппроксимация функций локально-интерполяционными кубическими сплайнами, в кн. Приближение сплайнами (Вычислительные системы, вып.137) Новосибирск, 1990, з.

7. жанлав т., Жидков Е.п. Применение экстраполяции по Ричардсону к кубическим сплайнам. Препринт ОИЯИ, Р11-86-415, Дубна, 1986.

8. Жанлав Т. О методе сплайн-аппроксимации решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Препринт ОИЯИ, Р5-92-111, Дубна, 1992.

9. Жанлав Т . О трехточечной сплайн-схеме повышенной точности. ЖВМ и МФ, 1991, 31, 1, 40.

10. Жанлав Т. , Пузынин и.В. О модификации непрерывного аналога метода Ньютона. Препринт ОИЯИ, Р11-91-100, Дубна, 1991, К0М и МФ, 1992, 32, 1, 3.

11. Жанлав Т., Пузынин И. В. Итерационная схема для нелинейных задач, основанная на методе установления. Препринт ОИЯИ, Р11-91-259, Дубна, 1991.

12. Жанлав Т., Пузынин И. в. Сходимость итерационной ньютоновской схемы. Препринт ОИЯИ, Р5-91-559, Дубна, 1991, ЖВМ И МФ, 1992, 32, 6, 846.

13. Жанлав Т., Пузынин И. В., Смирнов Ю.С. Алгоритм и программа решения задачи Штурма-Лиувилля с использованием сплайн-схемы повышенной точности. Препринт ОИЯИ, Р11-90-501, Дубна, 1990.

14. Бояджиев Т.П., Жанлав Т., Пузынин И. в. Численное

исследование одной задачи на собственные значения, возникающей в теории устойчивости солитонов. Препринт ОИЯИ, Р5-89-423, Дубна, 1989.

L5. Barashenkov I.V., Puzynin I.V., Zhanlav Т. and Boyadjiev T.L. Stability of the moving bubbles in the Bose condensate. In Proceed. 4 international workshop "Solitons and applications" 1989, Dubna, world Sci. Singapore, 281.

.6. Barashenkov I.V., Boyadjiev T.L., Puzynin I.V. and Zhanlav T. Stability of the moving bubbles in the system of interacting bosons.Phys. Lett, 1989, A135, 6, 125.

7. Жа h лав Т., Пузынин И. В. Численное решение задачи на собственные значения, возникающей при исследовании нелинейного уравнения Шредингера с накачкой. Препринт ОИЯИ, Р11-90-213, Дубна, 1990.

8. Barashenkov I.V., Bogdan M.M., Zhanlav T. Instabilities and soliton structures in the driven nonlinear Schrodinger equation. Preprint JINR E5-89-817, Dubna, 1989. In Proceed. 4 international workshop on nonlinear and turbulent processes in physics. Nonlinear world V.l Kiev USSR, 1989, world Sci. Singapore, 3.

э. Жанлав Т., Пузынин И. В. Численное решение одномерных нелинейных эволюционных задач методом сплайн-коллокации. Препринт ОИЯИ, Р11-89-34, Дубна, 1989.

). Жанлав Т., Пузынин И.В., Ракитский А. в. Схема сплайн-коллокации для численного решения одноканальной задачи рассеяния. Препринт ОИЯИ, Р11-88-823, Дубна, 1988.

Жанлав Т., Пузынин и.в. Численное решение задачи

рассеяния с комплексным потенциалом. Препринт ОИЯИ, Р11-89-643, Дубна, 1989.

22. Яанлав Т., Пузынин И.В. Многоканальная задача рассеяния в постановке нелинейной граничной задачи. Препринт ОИЯИ, Р11-90-382, Дубна, 1990.

23. Жанлав Т., Пузынин И. в. о вычислении коэффициентов прозрачности и отражения в одномерной задаче рассеяния. Препринт ОИЯИ, Р11-90-381, Дубна, 1990.

24. Жанлав т. Пузынин И. в. Вычисление комплексных энергии резонансных состояний. Препринт ОИЯИ, Р11-91-351, Дубна, 1991, ЯФ, 1992, 55, 3, 630.

25. Жанлав Т., Павлов Д. В., Пузынин И. в. численное решение задачи двух центров. Препринт ОИЯИ, Р11-91-138, Дубна, 1991.

Рукопись поступила в издательский отдел 30 июня 1992 года.