автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Об одной краевой задаче, встречающейся при изучении диффузии магнитного поля в проводящие среды

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ .... УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М. В.ЛОМОНОСОВА.........................-

■ Факультет вычислительной математики и кибернетики.

На правах рукописи ■ -

ЧЕРВЯКОВ Александр Викторович

УДК 533.24+517.9

03 ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧЕ, ВСТРЕЧАЮЩЕЙСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ДИФ5УЗИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В ПРОВОДЯЩИЕ СРЕДЫ

Специальности 05.13.16 -

Применение вьлислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях

•АВТОРЕФЕРАТ -

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва

1991

Работа выполнена ка кафедре высшей математики Московского института коммунального хозяйства и строительства (б.ВЗИСИ)

Научный руководитель: доктор физико-математических наук, •. , профессор Пономарев С.М.

Официальные "оппоненты: доктор фкзккс-математкческкх наук,

'• профессор Шксмарев И.А.

доктор ^кзико-математическкх наук, . профессор Данилов В.Г.

Ведущая организация: Иоскоесккй анзенеряо-фгаяческвк . " институт.

Защита диссертации состоится ао

часов на заседании Специализированного Совета К.053.05.87. факультета ЕМиК МГУ по адресу: 117234, Москва, Ленинские гош, МГУ, Факультет ЕМиК, ауд.»

1СI Г)? /ЙЙС I

Автореферат разослан / '

Ученый секретарь Специализированного Совета кандидат физико-математических наук

ГОВОРОВ В.

... - . . | ОБЩАЯ ХАРШЕРИСТИКАФАБОТЫ

'-.Лол |

уксзртаций I Актуальность те?.гы. Данная работа посвящена всестороннему изучению задачи диффузия магнитного поля в несжимаемый проводник плоской или цилиндрической геометрии. Рассмотрены нестационарное одномерные задачи. ' '

В связи с исследованиями по термоядерному синтезу в конце 50-х годоз Еозникла задача создания и удержания псоеодя-

стенками СЕерчсильних магнитных полей. Сверхсильные магнитные поля нгпди применение и в '-других областях науки и техники. Удесгкание магнитного поля пгоеоцяними стенками усложняется в силу пронинковения поля в проводник. При этом с оз ни к а:-;? по меньшей мере два нежелательных последствия: пязрузекие удер5::!взг,г;;:х стенок и-ослабление поля внутри заданного объема.

Целью настоящей работы является, во-первых, подробное изучение линейной диффузии, т.е. случая при котором электропроводность удерживающих стенок считается постоянной. В круг вопросов, связанных с линейной диффузией входит, в частности, изучение влияния тока смещения и времени, релаксации теплового потока на распределение полей внутри проводника. Значительно более сложной является задача, в которой электропроводность среды считается зависяцей от термодинамических характеристик этой среды и прежде всего от плотности Енут'йенней .энергии.Поэтому. ео-вторых,целью работы является изучение нелинейной диффузии, при которой электропроводность проводника является некоторой функцией прироста1 плотности, внутренней энергии' г.о отношению к начальному состоянию. Прежде всего необходимо изучить диффузию при тех

конкретных зависимости от плотности внутренней энергии проводника, которые наиболее часто используются в эксперимента*! ной практике.

- В ряде экспериментальных исследований для ослабления вред кого влияния диффузии магнитного поля проводилось предварительное охлаждение удерживающих стенок. При достаточном охлаждении стенок их электросопротивление падает до нуля. По-' этому, Е-третьнх, целью настоящей работы является у.-учение такой нелинейной диффузии магнитного псля в проводник, электропроводность которого в начале процесса была бы велика, т.е. удерживающие стенки находились бы в состоянии близком к сверхпроводящему. Для моделирования такой г.и$-сузин в данной работе предложена степенная зависимость электросопротивления проводника от прироста плотности внутренней энергии.

Состояние: гопрэса. Математическое моделирование г.соцез-сов диффузии магнитного поля в проводящие среды началось в конце 60-х годов.Следует отметить следующие работа помещенные в разное время в' куриале IliTö: Семченко В.В. и Степанов A.B. (1969, I), Биченков Е.И. и'Войтенко А.Е. (1969, К 3), Прут В.В. (1982, Ji I), Пономарев С.М. (1939, )Г' 5).. Обширный материал по линейной и нелинейной диффузии специального вида собран в монографии Г.Кнопфеля "Сверхсильные импульсные магнитные поля" Ы., Мир, 1972. Много работ по диффузии магнитного поля имеется у Р.Кидцера.

Наиболее изученной является линейная диффузия (постоянная электропроводность). Однако и в этом случае исследователи прибегали к дальнейшим' упрощениям (в модель не ебо-

дился ток смещения и время релаксации теплового потока). Введение тока смещения и времени релаксации теплового потока в математическую модель диффузии магнитного поля приводит к смене типа соответствующей системы уравнения с параболического на гиперболический.

Большинство работ по диффузии магнитного поля в проводник связано с изучением автомодельных решений системы уравнений . диффузии. В данной работе проведен групповой анализ системы дифференциальна уравнений диффузии магнитного поля и найдены все инвариантные решения.

Степенная зависимость сопротивления среды от плотности внутренней энергии встречается в работах Прута 15.В. и Пономарева С.М. Однако эти азторы ограничились автомодельными постановками соответствующих агдач. В настоящей работе проведена классификация процессов диффузии по скорости распространения граничного режима в начальный момент времени. Предложенные результаты являются новыми и впервые публикуются в данной работе.

Практическая ценность. Полученные результаты представляют в основном прикладной интерес. Выявлены управляошие параметры в задаче диффузии магнитного поля в проводник, изменение которых отвечает за величину скорости диффузии. В частности, показано как используя временную зависимость граничного режима и-зависимость проводимости от плотности внутренней энергии определить тип диффузии в соответствии с классификацией предложенной в работе. 1

Апробация работы. Результаты работы неоднократно докладывались на научных .семинарах кафедры общей математики факультета БМ'/К МГУ под руководством проф.Е.И.Моисеева, доц.В.В.Ти-

хомирова и под руководством проф.И.А.Шишмарева, а также на У научной конференции в г.Алма-Ате. .

Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1-з]. " /

Стсуктуоа диссертации. Диссертация состоит из введения и трех глав, содержит 103 страницы текста.Список цитируемой литературы включает 40 работ.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖА РАБОТЫ

Глаза I посещена постановке задачи и изучению линейкой .цнф'гузни б^-СснЬс > гДе - электропроводность среды.

В § I приведена основная краевая задача, записанная в декар-тоьых к цилиндрических координатах, вводятся безразмерные

пеоем

ГдЕ_ ОН^ ^ _ Ч0-Е (I)

оьс <ъ-ь

пх. = ^ ■ ь

т. ' - -у ■

(~{ Ь - компоненты магнитного и электрического поля; Оу - прирост плотности внутренней энергии по отношен;® к начальному состоянию; С[ - тепловой поток;

- теплопроводность;

Т/ - время релаксации теплового потока;

- декартовы координаты

т

1 - цилиндрические координаты.

В § 2 с помощью преобразования Лапласа решается основная краевая задача (I) в случае постоянной электропроводности <5^= СС\\\-{, НаГщено точное значение стационарной плотности внутренней энергии на границе проводника. Окончательный результат зависит от безразмерной Ееличн.ны — И ( М - магнитная проницаемость среды, - теплопсовод-

^ I

ность). В случае значение стационарной плотности

внутренней энергии на границе проводника, получено Пономаревым С.М. В данной работе приведены значения этой величины при > I. В случае ?. = з

частности, получается ~ 'Н

( Но ~ величина, удерживаемого магнитного поля). Значение этой формулы состоит в количественной оценке максимальной величины, удерживаемого магнитного поля..Например, увеличив электропроводность в 16 раз (т.е. достаточно охладив удерживающие стенки) максимальное магнитное поле можно увеличить ли'ль в 2 раза. Показано, что стационарные значения искомых величин не зависят от введения тока смещения и времени релаксации теплового потока в математическую модель диффузии магнитного поля.

§ 3 посвящен изучению влияния тока смещения £ <£, на значения электромагнитного поля в начале процесса диффузии. На примере степенного граничного режима :. строго показано, что при оС ^ 1/2 математическая модель

диффузии магнитного шля может быть упрощена пренебрежением тока смещения по сравнения с током проводимости а также временем релаксации теплового потока . Одна

ко при 0 ^ оС 4. 1/2 введение тока смещения ( )> 0) приводит к более адекватному физическому описанию процесса на начальной его стадии и не влияет на значения искомых Ее-личин при V Глава П гГосвящена изучению автомодель-

ных ресений задачи^диффузии магнитного поля в проводящие среды (I). "

В § 4.проведен общий групповой анализ точечных преобразо ваний уравнений диффузии магнитного поля в случае зависимости (р^ . Показано, что алгебра Ли инфи'нитезимальньгх операторов четырехмерна в случае учета тока смещения ( > 0) и пятимерна без его учета ( ^ - = 0). Для каждого из этих случаев найдены инвариантные ресения. В частности показано, что при учете тока смещения единственными инвариантными решениями являются решения типа бегущей волны со специальным граничным режимом.

г \ § 5 решена линейная задача ССО^) в автомо-

дельном случае (2) — ££ . ^^

^ Е р* = _ ¿н -

2.

(2)

--^Ц-ткЧ + Е * а'г — - 7.

Сле.цует отметить, что большинство работ по диффузии магнитного поля посвящено именно этой задаче. В § 5 автомодельная задача линейной диффузии (2) решена в самом общем

виде ( ^ > 0, Ч > 0). В случае цилиндрической геометрии рассмотрена задача с фазовым переходом. В работе Пономарева С.М. введено понятие о максимальном магнитном поле как о таком поле, при котором граница сагового перехода пар-металл имеет бесконечную скорость. Там же найдена эта величина, выраженная через экспериментально определяемые величины.

В § 6 предложен косвенный метод вычисления максимального магнитного поля з нелинейной задаче. Проведен расчет на примере задачи с зависимостью вида СГ У -тО^ В § 7 изучается автомодельная задача диффузии в охлажденный проводник 3 £ >о) .

В этой задаче рассмотрен степенной граничный режим

ни -ЕО:^

п1 _ 2.<а,-(з)

- 1 *

- =с- -Ь

=1 , = - о . •

Показано, что фронт возмущений имеет кокочнуз скорость распространения. Для линейных параболических задач, как известно, характерна бесконечная скорость распространения возмущений. Здесь же выясняется роль автомодельных резаний. Если V . то при ^ I автомодельные решения представляют главный член асимтоти-ки репения общей задачи при -¿^ л . Этот факт спра-

ведлнв. для линейкой задачи ^ <о~ - £Г0 - С.0п^ , а также д нелинейной задачи с зависимостью ~ • ^ случае дифф зии в холодные стенки (Я ^ при > I возн

кает специфическая особенность: автомодельное ресение приближает решение общей задачи при ~Ь. ~^ 0, а не при

Глава Ш занимает центральное место во всей диссертации". Прежде всего в § 8 методом продолжения по параметру устана ливаетзя локальная теорема существования и единственности основной краевой задачи диффузии магнитного поля (Г). Исходная краевая задача включается в однопараметрическое семейство уразнен'ий, причем параметр

+\

т

л~ Ъ

- ^^^ТбАЙ

г а

л

¿'О

~0

-т Л "

'л

2 Т

(4)

-О

Здесь введены Следующие обозначения:

- Н ,

и*

т

У

>

При значении ЗЬ = I получается исходная краевая задача, а при уЬ =0 получается краевая задача, решение которой по- . лучается точно. Показывается, что свойства искомого репения ( = I) не зависят от Д, (дифференциальные свойст-

ва, особенность на фронте), таким образом, точное реыение при

=0 содержит в себе все эти свойства характерные для всего однопараметрического семейства. Метод продолжения по параметру развит для задач с зависимостью = К0Т0Р°';

со при ~> О (например, 'СГ~ ^ ^ >0 ). Для зависимостей б- - при (3. О может быть построен сжимающий оператор в некотором банаховом пространстве и поэтому при доказательстве теоремы существования и единственности не возникает затруднений.

Исходя из соотношений на фронте, выводится диффоз;-нпиаль-ное уравнение для нахождения кривой > описывающей

фронт возмущений при "С 0. Например, при ^Г^ Р 1 Н(о ¿К т при 2 с^р- I имеем , т.е. фронт касается

электромагнитной характеристики основной системы уравнений (I) СС~Ь/(1 ; при 2 ^ >1, фф ~ -Щ, ,т.е. фронт касается тепловой характеристики (заме-

тим, что в данной работе из физических соображений всюду считается выполненным неравенство^¡Г^ Если же 2 оч ^ = I, то имеем промежуточное значение

1

* ч

Методами, развитыми в этом параграфе удается получить точное уравнение фронта в автомодельном случае

ос. =

т

Т^^У* (5)

В § 9 проводится классификация процессов диффузии магнитного 'поля. в зависимости от значения ^(0), при этом рассматриваются общие зависимости ^ }

где 0.^0 . Существенную роль в этом исследовании

играют точные решения системы уравнении (4), при = 0.

Ь у- + ^ .

(б)

Показано, что если ^ГСО.1) такова, что интеграл ^

о ^сг^)

сходится, то фронт возмущений лежит вкзге характеристики

Например, при (Г ~ (5. >0^ указанный интеграл сходится, следовательно, в этом случае фронт распространения не совпадает с соответствующей характеристикой. Вводится понятие быстрой диффузии, как.таковой диффузии при кото-

рой (^(о) ~ Устанавливается, что для возни?

быстрой диффузии достаточно выполнения одного из условий:

г ^ I

" ^ гЩ

Соответственно вводятся промежуточная диффузияМ—< г. медленная / ¡у(о) !• Устанавливается, что при быпол-

нении условия -^реализуется проме;ху

точная диффузия, а при выполнении условия О^

диффузия будет медленной (фронт возмущений касается тепловой характеристики)В случае бистрой диффузии выясняется роль решений системы (б): при -¿г 0 репение (4), при ( ¿{у = I) асимптотически совпадает с решением (6). ■ Например, при -/-Ю решение основной задачи

(I) хосоеэ описывается ¿ормулой ■ ^ /

ff »■

Кз (7) легко определяется ссонт ' л

1 1-г&

-ь - Их +

.(8)

и ^

Отсюда в/дно, при 2 сД^р < I реализуется быстрая диффузия [Гх > ПРИ ^ ^ =1 дисМузия будет промежуточной

наконец медленная диффузия наблюдается при _ 2 )> I, в этом случае. . 1 -г &

;. .^Ч^ГМ1 :

' В'§ 10 "главы Ш рассмотрены вопросы, связанные с численным ' решением задачи диффузии. Показана устойчивость безитерацион-ной неявной схемы сквозного счета, предложенной Пономаревым С.М.

Основными новыми результатами, полученными в диссертации являются следующие.

1. Изучено влияние введение тока смещения и времени релаксации теплового потока в математическую модель диффузии' магнитного поля.

2.-Проведен групповой анализ системы уравнений диффузии при степенной зависимости электросопротивления от прироста плотности внутренней энергии. Найдены все инвариантные решения.

3. Найдены решения с конечной скоростью распространения возмущений для параболической диффузии.

4. Для нелинейной диффузии со степеной зависимостью электропроводимости от0 ^енффугпд в отслоенные стенки) (-¡.айдены управляющие параметры, отЕечазцие за Еелячину скорости диффузии. Проведена классификация псэи-эссоз диффузии в холод-.'л н:-:е стен:-::; (проводник близок к сверхпроводящему состоянию). Основные результаты диссертации опубликованы б следузщкх работах:

1. Чгрзяков A.B. Аналитическое исследование задачи о диффузии квазистационарнэго магнитного поля в проводящую среду. Деп.'в ВИНИТИ. № 5845-В90.

2. Червяков A.B. Об одной модели нелинейной диффузии магнитного полк в проводник. Деп. в ВИНИТИ. }) 3S59-B90.

3..Червяков A.B. Автомодельные решения задачи о диффузии магнитного поля в проводник. Деп. в ВИНИТИ. }> 60I-B9I.