автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование, исследование и численное решение некоторых нелинейных задач диффузии

Т^ЛИССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. И. А. ДЖАВАХИШВИЛИ

/ б ИЮЛ 1998

На правах рукописи

ТЕМУР АМИРАНОВИЧ ДЖАНГВЕЛАДЗЕ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ, ИССЛЕДОВАНИЕ И ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ ДИФФУЗИИ

05.13.18 - теоретические основы математического моделирования, численные методы, комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации >„>пи'ьл.№ ученом степени доктора фи 1ико-математических наук

Тбилиси - 19^8

Работа выполнена б Тбилисском Государственном Университете им. И. А. Джавахишвили

Эксперт:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация: Консультант:

ВАШАКМАДЗЕТАМАЗ СЕРГЕЕВИЧ доктор физико-математических наук, профессор

ГВАЗАВА ДЖОНДО КОНСТАНТИНОВИЧ доктор физико-математических наук, профессор

ЗЕРАГИЯ ДЖУМБЕР ПОЛИКАРПОВИЧ доктор физико-математических наук, профессор

МАКАРОВ ВЛАДИМИР ЛЕОНИДОВИЧ доктор физико-математических наук,

профессор

МЕЛАДЗЕ ГАМЛЕТ ВАРЛАМОВИЧ доктор физико-математических наук, профессор

Грузинский Технический Университет

ГОРД ¿ЗИ АН И ДАВИД ГЕОРГИЕВИЧ доктор физико-математических наук, профессор

Защита диссертации состоится Ц&н'Ь... 1998 г. в "-¡к.. " часов на

заседании диссертационного совета РЬ.М 01.08 С №5 Тбилисского государственного• университета им. И. А. Джавахишвили.

Адрес: 380043. Тбилиси, ул. Университетская 2, Институт

прикладной математики им. И. Н. Векуа Тбилисского Государственного Университета.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ТГУ.

Автореферат разослан "Лй." «/Йв-Я.... 1998 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, доетор физико-математических наук, ^

профессор *Т- \ Т.Д. Тадумадзе

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АкгуаШ1й01ЬЛ£МЫ. Математическое моделирование, исследование и численное решение разнообразных прикладных задач является одним из актуальных проблем современной математики.

К таким задачам относятся, например, процессы диффузии электромагнитного поля в средах, теплофизические характеристики которых существенно зависят от температуры. Как известно, эти процессы сопровождаются тепловыделением, что, в свою очередь, изменяет проводящие свойства вещества и оказывает существенное влияние на характер диффузии. Таким образом, исследование согласованной задачи тепло-магнитной диффузии представляет несомненный прикладной интерес.

Такие процессы, как и другие многочисленные прикладные задачи, моделируются нелинейными дифференциальными и интегро-дифференциальными уравнениями с частными производными, а также системами таких уравнений. Характерная математическая особенность этих систем, помимо их нелинейности, обусловлена тем, что эти системы сильно связаны и состоят из уравнений разных порядков. Данное обстоятельство диктует необходимость разрабатывать для каждой конкретной системы соответствующую методику исследования, так как общая теория даже для таких линейных систем, развита еще недостаточно полно. Своеобр -ме отдельных моделей проявляется, а частности, при получении необходимых априорных оценок для соответствующих начально-краевых задач и для их дискретных аналогов.

Отметим, что некоторые нелинейные дифференциальные системы в частных производных можно привести к нелинейным интегро-дифференциальным уравнениям и их системам. Уравнения, которые наряду с частными производными разыскиваемой функции содержат интегралы от нее и ее производных, возникли практически одновременно с локальными уравнениями в частных производных. Однако, их математическое изучение началось относительно недавно. Ипнтегро-дифференциальные модели, изучаемые в диссертации впервые

предпожены в работах [4],[5]. Эти нелинейные интегро-дифференциальные уравнения возникают, с одной стороны как естветственное обобщение уравнений, описывающих прикладные задачи математической физики, а с другой стороны - нелинейных параболических задач, изученных в многочисленных научных работах, Характерная особенность этих уравнений связана с появлением в коэффициентах при старших производных нелинейных членов, зависящих от, интеграла по времени и пространственным переменным.

Нелинейные дифференциальные и интегро-дифференциальные уравнения и их системы, описывающие разнообразные процессы диффузии, были и остаются объектом исследованиий многих ученых. Изучение качественных и структурных свойств решений этих уравнений, построение и исследование численных алгоритмов решения начально-краевых задач для них, представляет собой актуальную и быстро развивающуюся область прикладной математики.

Объект и цзль исследования. Математическое моделирование задачи диффузии электромагнитного поли в вещество, коэффициент электропроводности которого зависит от температуры. Математическое моделирование ведется на основе известной системы Максвелла дифференциальных уравнений в частных производных. Исследование и численное решение соответствующих нелинейных систем дифференциальных и интёгро-диффененциальных уравнений. Построение и исследование дискретных аналогов для математической модели Митчисона, описывающей диффузионный процесс образования жил в листьях. высших растений.

Научная новизна и основные -результаты. 1. На основе системы дифференциальных уравнений в частных производных Максвелла получен новый класс нелинейных интегро-дифферэнциальных уравнений, моделирующий процесс диффузии электромагнитных полей в проводящую среду. Изучены математические особенности этой модели.

2. Доказаны теоремы существования и единственности решения

о

начально-краевой задачи для некоторых классов нелинейных интегро-дифференциальных диффузионных уравнений параболического типа. Исследования проведены путем получения необходимых априорных

аценак с использованием методов Галеркинз и компактности. Результаты получены и для некоторых математических обобщений интегро-дифференциальных уравнений, описывающих реальные физические процессы.

3. Построены и обоснованы схемы расщепления по физическим процессам и дискретные аналоги для задачи, описывающей проникновение электромагнитного поля в вещество, с учетом теплопроводности.

4. Изучено асимптотическое поведение решения начально-краевой задачи для некоторых нелинейных интегро-дифференциальных урзэнений. Установлена устойчивость стационарного решения одной нелинейной диффузионной задачи. Указана возможность появления бифуркации Гила Хопфа.

5. Для дифференциальной биологической мацегм Мигнясона и ее многомерного математического аналога построены и исследованы непрерывная модель суммарной аппроксимации и разностная схема переменных направлений.

6. Проводится математическое моделирование и численное решение некоторых нелинейных задач диффузии электромагнитного Поля,

Структура _ku6b!^LJWCCfipr2UkUl. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 15 параграфов и списка литературы. Работа содержит 213 страниц с< текста. Библиография содержит 146 наименований.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательских семинарах Института прикладной математики им. И. Н. Векуа Тбилисского государственного университета (1982 - 1997 гг.); на VII Всесоюзной школе по моделям механики сплошной среды (Кобулети, 1983 г.); на Международном конгрессе математиков (Варшава, 1983 г.); на IX Республиканской конференции математикса Грузии (Кутаиси, 1986 г.); на семинарах отдела дифференциальных уравнений в частных производных Математического института им. В. А. Стеклова (Москва, 1984, 1987 гг.); на семинарах МЭИ hq неликсйным дифференциальным уравнениям (Москва, 1984, 1987 гг.);

на Всесоюзном симпозиума "Современные проблемы математической физики ", посвященном 80-летию И.Н.Векуа (Тбилиси, 1987 г.); на Всесоюзной школе молодых ученых "Функциональные методы в прикладной математике и математической физике" (Ташкент, 1988 г.); на второй Всесоюзной конференции "Современные проблемы численного анализа" (Тбилиси, 1989 г.); на Республиканском семинаре "Неординарные паления природы и их математическое моделирование" (Кутаиси, 1990 г.); на Международном симпозиуме " Механика сплошной среды и смежные вопросы анализа", посвященном 100-летию Н.И.Мусхелишвили (Тбилиси, 1991 г.); на расширенных заседаниях семинара Института прикладной математики им. И.Н.Векуа Тбилисского государственного университета (1986, 1939, 1991, 1993, 1995, 1997 гг.); на семинарах кафедры информатики .и вычислительной математики Тбилисского государственного университета (1982-1997 гг.); на Международном симпозиуме по проблемам механики сплошной среды (Тбилиси, 1997г.); на Международном симпозиуме- "Дифференциальные уравнения и математическая физика" (Тбилиси, 1997 г.); на первом и втором съездах математиков Грузии (Тбилиси, 1294, 1937 гг.).

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Диссертационная работа состоит из сведения и трех глав.

АО-ДВЗЛгшш обоснованы актуальность темы диссертации, дается обзор литературы, охарактеризованы предает и цель работы, приводится краткое описание основных результатов диссертации.

Р первой таре обсуздаются вопросы математического

моделирования диффузионных процессов. Основное внимание уделяется математическому описанию процессе проникновения электромагнитного поля в вещество коэффициент электропроводности которого зависит от температуры. На основе системы дифференциальных уравнений Максвелла о первых двух параграфах дается общая постановка диффузионной задачи. Изучаются некоторые математические

особенности этой задачи. Дается редукция задачи к интегро-дифференциальной форме. Надо отметить, что относительно системы Максвелла редукция впервые проделана в работе [4]. В результате получается новый класс нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, к которому постепенно растет научный интерес.

Поясним, как редуцируется дифференциальная система Максвелла к интегро-дифференциапьной модели. Рассмотрим задачу проникновения магнитного поля в проводящее вещество, коэффициент электропровод ности которого зависит от температуры. В квазистационарном приближении соответствующая система Максаелла имеет вид: сН

а

= -ш[уттН),

(1) (2)

магнитного поля

О

где Я =(//),//3) - напряженность

температура си и \>т характеризуют теплоемкость и электропроводность среды. Уравнения (1) определяют процесс диффузии магнитного поля в среду, а уравнение (2) - изменение темперагуры за счет джоулева нагрева без учета теплопроводности. В предположении, с„=с„(в) и Ут-Ут{в), уравнение для температуры

(2) интегрируется по времени и систему можно записать в следующей форме е

рН

а

- -го!

<

\\rotH\-\о

\

¿X

гот

(3)

где функциа ¿1(5) определена для 5 е[0,со).

Указанная интегро-дифференциальная модель сложна и поддается пока изучению только для частных случаев. В этом связы отметим [4],[5], а также работы Лаптева Г.И.

Рассмотрим плоское магнитное поле Н имеющее вид Н - (ОДС/), где и = С/(х,у,() - скалярная функция времени и двух

а

простран твенных переменных. Тогда гс'Н — )ду'сЦ/¿к, 0) и система (3) примет вид

' I

а

(4).

10

Изучение уравнений типа (3), (4) началось в работах [4], [5]. В этих работах, в частности, доказаны теоремы существования обобщенно!" решений первой краевой задачи для одномерного пространственного случая при й(.у) = 1 + л и единственность для более

общих случаев.

Одномерный вариант для случая а(з) = (1 + 5У, 0<р£1 изучен в [6]. В этой работе доказана теорема существования и единственности решения первой краевой задачи в пространстве Ь2р+г ^0, Т\ ^р+2 (ОД))

Исследования для многомерных пространственных случаев

впервые проведены в работах [711, [8], [9].

Модель Максвелла является весьма сложной для теоретического

исследования и практического применения при решении конкретных

диффузионных задач. Поэтому чаще используются ее упрощенные

варианты. В третьем параграфе изложен вывод одномерных аналогов

диффузионных процессов с двумя компонентами вектора магнитной проницаемости Н =*{Н9,Нг} в цилиндрических токоносителях. Ставятся

соответствующие одномерные диффузионные задачи. Сложность исследования соответствующей дифференциальной задачи помимо существенной нелинейности, обусловливается ещё и ее смешанностью. Внутри проводящей среды решается система нестационарных, а в граничащей с нею вакуумной области - стационапных уравнений. Исходная задача редуцируется к задаче о нахождении распределения магнитного поля и температуры только в проводнике. Одна из трех задач, поставленных в §3 имеет следующий окончательный вид:

= д(уд-нл т = 1 д(гт; а = дг\г дг / а г гкг а-

Hç(ra,t) = 0, H2{ra,()= Ha{t), ЯДгй,0= HM Hz{rb,t) = о, tf(r,0)=0, e(r,0)=eо."

где (r,() 6 ,rt)x(0,7),ra = const> 0,rb = const >0. Hа,Нь - заданные функции, £■„ и - известные положительные постоянные.

Отметим, что исследование уравнений типа (4) в криволинейных координатах посвящена также работа Лонга Н.Т. и Дина А.П. (Long N.T., Dinh A.P.N. Periodic solutions of a nonlinear parabolic equation associated with the penetration of a magnetic field into a substance. Comput. Math. Appl., 1995.V.30, N 1, p. 63-78). В этой работе изучается задача:

где {г,/) € (0,1) х (0,Т), а и, / и И - заданные функции своих аргументов.

В четвертом параграфе приводятся некоторые математические

особенности рассмастриваемых в диссертационной работе уравнений.

и

Дается обсуждение вопроса существования глобальных решений соответствующих начально-краевых задач. В частности, строятся примеры нелинейных систем и их аналитических решений, показывающих, что изучаемые системы в общем случае не имеют глобальных решении.

В этом параграфе исследование ведется на примере следующей

системы:

(6)

гда в и^- заданные функции своих аргументов.

Разнообразные прикладные проблемы физики, биологии, химии и многих других областей науки и техники моделируются системами нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными вида (В), (7).

3 частности, если

0 <£0*^)^0, где ga » С, - постоянные, а g- заданная гладкая функция, система (6Н8) представляет собой одномерный пространственный аналог модели, предложенный Митчисоном для описания процесса образования жил в высших, растениях. .

Если

(9)

где Ъ и с— заданные функции своих аргументов, то (6), (7), (9) является некоторым одномерным вариантом системы Максвелла, описывающей проникновение магнитного поля в вещество, коэффициент алектропро водности которого зависит от температуры.

Система (в), (7), (9) возникает также при исследовании течений несжимаемых жидкостей с вязкостью, зависящей от температуры.

Если вместо (7) к уравнению |6) при соединить уравнение

(10)

где «/-также заданная Функция, то системой (6), (10) опять моделируется процесс проникновения магнитного поля в вещество. В уравнении (10) второе слагаемое отвечает джоулеву нагреву, а третье слагаемое—эффекту теплопроводности. В диссертационной работе значительное место уделяется изучению некоторых свойств системы (6), (10\

В §4 изучается асимптотическое поведение решений при неограниченном возрастании времени модельной диффузионной задачи. Устанавливается возможность появления бифуркации типа Хопфа. Указанная задача имеет вид:

а ск\ дх) а \ас)

пи

и(о,/)=о, v

ас

X— 1

U(x,Q) = [f0(x), F(x,0) = Vo(x), где a Ф 0,2a + 0-у Ф 0, у = const. Доказано следующей утверждение.

Теорема 1. Если 2а + /3 — у >0, то стационарное решение

у^-'х, J

задачи (11) линейно устойчиво тогда и только тогда, когда выполнено условие

2(//-а-1)

<Л"2/4. П2)

Из (12) видно, что если у — р < 0, то стационарное решанме задачи (12) всегда линейно устойчиво. Если

у-/3>0,/3-а~\ф0 , ц/е =

(у-вУу

1а* 0-у

К

то при 0 <[{/< у/с стационарное решение задачи (11) линейнс устойчиво, а при Ц/>у/с оно становится неустойчивым. Собственные значения для соответствующей линеаризованной задачи ПРИ ^ = \ус

удовле гворяют условиям ) = 0, !га(Я^) * 0 и К.е(я*) < 0 для любого п 6 N. Таким образом, вознихаю? условия бифуркации типа Хопфа. Малые возмущения переводят стационарное решение в периодическое по времени автоколебания.

В этом же параграфа для одного частного случая задачи (1.1) доказана

Теорема 2. Если а = /5=1, у = 0, то стационарное решение задачи (11) глобально и монотонно устойчиво в

уггх, у/3

Ш)

В пятом параграфе этой главы приводится система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, возникающая при математическом моделировании диффузионного процесса образования жил в высших растениях (Mitchison G.J. A model for vein formation in higher plants. Proc. R. Soc. Loud. В., 1980, V.207, N 1166, p. 79-109).

Указанная система имеет вид:

dU_ Dt '

-H« "S

(13)

/=1,2,

где /] и /2 удовлетворяют таким же условиям, что и Р в (8). В системэ (13) и =и\х1,х2,() характеризует концентрацию сигнала, V| и ^—коэффициенты диффузии по направлениям осей О;с, и Ох2, соответственно. Дается некоторый сравнительный анализ асимптотического поведения решениа одной начально-краевой задачи системы (6), (9) и одномерного аналога (6), (7), (8) системы (13). Отмечена важность исследования многомерной системы (13). 0

Вй_В1£!рлй_саа£е исследуется первзя краевая задача для следующих нелинейных интегро-диференциальных уравнений параболического типа

81 '

ГI

■1а

/=1

Л

чо

= ЯхЛ

(14)

и

ди_ 81 '

■а

\ |Щ' Д Н'"2 о,и )= ДхЛ {15)

\по ум

Эти уравнения являются некоторыми обобщениями уравнений, возникающих при математическом моделировании процесса проникновения электромагнитного поля в вещество, коэффициент электропроводное™ которого зависит от температуры.

В связи с изучением уравнений типа (3),(4).(14) и (15) отметим работы Лаптева Г. И, В этих работах исследования проведены по схеме условно слабо замкнутых оператооов, принадлежащей Лаптеву Г. И.

При некоторых ограничениях на входные данные для уравнений (14),(15) в данной главе устанавливается существование и единственность решения первой краевой задачи. Исследования проводятся о помощью методов Галеркина и компактности.

Значительное внимание уделяется асимптотическому поведению решений при неограниченном возрастании времени.

Опишем более подробно содержание главы 2. В первом параграфе приводятся обозначения, предварительные замечания и вспомогательные утверждения.

Во втором параграфе, в цилиндре (? = Г2х(0,Г),- где П-ограниченная область в Я", а Т-положительное конечное число, ставится первая краевая задача для уравнения (14) с одородными граничными и начальными условиями и дается ее обобщенная постановка.

Это решенио удовлетворяет соотношению

+ ^ = \/УсЬсЖ,

11

где V- произвольная функция из пространства ¡^ +„(0, (О.)), а

Р9*9У

я Г ('г ■

= а \\ъи\ч<1т

'=■ !_ 40 ;

Основная характерная особенность уравнений типа (14) связана с появлением в операторе! А нелинейного коэффициента, зависящего от интеграла по времени. Указанное обстоятельство для исследования уравнения (14) требует несколько других рассуждений, чем это обычно требуется для решения локальных дифференциальных задач.

В третьем параграфе устанавливается основная

Теорема 3. Если

а(*) = (1 + лУЧ 0<р£1, д>2,

%> У(х,о)= 0.

5/ ох.

то существует единственное решение первой краевой задачи для уравнения (14), удовлетворяющее тождество (16) и обладающее следующими свойстьами:

8х,

Ч-1

Щ 2 зи_

дх, дх,

ы

/ ч-2 \

ди 2 НЕ

дх, дх,

V У

£¿2(0,

г

Для доказательства разрешимости теоремы 3 применяется модифицированный вариант метода Галеркина. Суть этой модификации

состоит в построении полной системы (л,/)}" диффернциального onepd?bpa

помощью

Ы

(Г-*)—l-vrAw+Af, Sf J

где yreC°°(Si), причем \jj(x)>0 при дгеП и f= — =0 на 5Q; v-

3v •

внешняя нормаль к дО, Я = const > 0 (Вишик М. И. • О разрешимости краевых задач для квазилинейных параболических уравнений высших порядков. Математический сборник, 1962, т. 59 (101), доп., с. 289-325).

Галеркинские приближения

UJx,t) = £CmtWi(x,f)

к=1

определяются из решения соответствующей системы нелинейных алгебраических уравнений. Разрешимость этих систем доказывается на основе применения леммы Брауэра о неподвижной точке. В конце §3 указаны на разные обобщения теоремы 3. В §4 при ч=2 обсуждается асимптотическое поведение решения при I -> оо первой краевой задачи для уравнения (14) и доказывается теорема стабилизации решения в норме пространства И^ (П).

В пятом параграфе изучается асимптотическое поведение решения при / --» со следующей одномерной задачи:

dt дх

itoiV

яг

1 ы

dU_ ас

u(o,t)= 0,i/(l,/)=l,

U(x,0)=Uo(x).

(17)

(18)

Имеет место Теорема 4. Если

4*) = 0-1/2 < /7 < О, и0{х)е Ж22(0,1), С/0(0) = 0, £/о0)=1,

то для решения задачи (17),(18) имеют место асимптотические оценки:

А конце §5 указаны на возможность распространения результата теоремы 4 для других случаев функции а.

Последний шестой параграф посвящен усредненному уравнению (15). Обсуждаются некоторые особенности уравнения (15). Приводятся необходимые априорные оценки для Галеркинских приближений. Дается краткое описание асимптотического поведения решения первой краевой задачи (18) для одномерного уравнения (15) при я=2. В частности, установлены оценки: '

В -третьей главе исследуются вопросы построения приближенных моделей диффузионных задач. В первом параграфе строятся и исследуются приближенные аналоги для одномерных задач диффузии электромагнитного поля с учетом джоулева нагрева. Доказана теорема

теплопроводности, на основе метода суммарной аппроксимации рассматривается расщепленная полудискретная модель. Расщепление исходной дифференциальной системы уравнений осуществляется на две группы. Первая группа описывает процесс диффузии с учетом только

л. \ ' 4 '

сходимости соответст вующей разностной схемы. В §2 для системы (6),(10), описывающей диффузию магнитного поля с учетом

джоулева нагрева и имеет вид

диЛ

81 дх\Хдх,

дх У

а вторая - используется для описания процесса теплопроводности. Указанное расщепление исходной задачи, носящее название расщепления по физическим процессам, позволяет с одной стороны, полностью перенести результаты, имеющиеся для системы (19), а с другой стороны, для соответствующего уравнения теплопереноса при отсутствии нелинейного члена с джоулевым нагревом, применить хорошо развитые численные методы. Доказана теорема сходимости решения расщеплонной задачи к решению исходной задачи.

В этой же главе (§3) доказаны теоремы сходимости усредненной аддитивной модели и разностной схемы типа переменных направлении для математической модели (13), описывающей процесс образования жил в растениях.. Рассуждения проведены для многомерного аналога системы (13).

Четвертый параграф посвящен вопросам численного решения построенных нелинейных схем. Использование одной модификации метода Ньютона позволяет свести разностную задачу, соответствующей задаче (5), к решению линейной системы трехточечных уравнений, с применением матричной прогонки.

В этом же параграфа выписаны некоторые частные решения диффузионой задачи а декартовой системе координат. Соответствующие им тестовые, расчеты убеждают в эффективности построенной численной методики.

Численные эксперименты по изучению нелинейного процесса диффузии магнитного поля в металлическом токоносителе пдоведены для различных граничных режимов и показателя в соотношении Ут - Уо0а. Анализ результатов показывает, что в начальной стадии процесс проникновения поля происходит волнообразно и профили изменяются автомодельным образом. При увеличении показателя а диффузионный процесс отличается по характеру от линейного случая, хотя и обладает аналогичной асимптотикой при больших значениях времени. В начале значительная часть энергии магнитного поля выделяется в виде тепла в приграничной зоне; в дальнейшем структура, проводимости приводит к выравниванию температуры. При показателях близких единице

проникновение поля в среду (для холодного металла) происходит медленее и может быть нарушено допущение о малости эффекта теплопроводности.

Многочисленные эксперименты проведены для цилиндрических проводников. Диффузионный процесс в этом случае в целом сохраняет те же особенности, которые присущи для задач в декартовой системе координат.

Отметим, что многочисленные вычислительные эксперименты проведены и для модельной диффузионной задачи (11), исследуемой в §4 главы 1. Беря за начальное распределение стационарное решение с различными значенями параметров, проведенные численные эксперименты подтверждают возможность возникновения автоколебательных режимов для магнитно-тепловых задач, т.е. подтверждают теоретические исследования о возожности возникновения бифуркационного явления Хопфа.

Численные расчеты проведены и для задачи диффузии электромагнитного поля в вещество с учетом теплопроводности. Вычислительные алгоритмы для решения предложенных в §2 схем включают в себя решение нелинейных систем алгебраических уравнений и , опять основаны на- модифицированном методе Ньютона. При этом для усредненной аддитивной модели требуется лишь добавление блока решения нелинейного уравнения теплопроводности к уже имеющемуся алгоритму. В конечном счете, при реализации усредненной схемы требует.-.я параллельно решать две системы трехточечных уравнений методом прогонки, а для обычной разностной схемы - систему матричных (с размерностью 2*2) трехточечных уравнений.

В целом, результаты численных экспериментов позволяют описать качественную картину проникновения электромагнитного поля в вещество, электропроводность которого характеризуется нелинейностью специального типа.

Многочисленные тестовые численные расчеты проведены и для изучаемой биологической задачи. Эти расчеты подверждаю! эффектность схем, предложенных в третьем параграфе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах.

I. Абуладзе И.О., Гордезиани Д.Г., Джангвеладзе Т.А., Коршия Т.К. Дискретные шдели для нелинейной задачи диффузии магнитного поля с учетом теплопроводности. Дифференц. уравнения, 19S6, т. 22, N7, с. 1119-1129 .

2 Абуладзе И.О., Гордезиани Д.Г., Джангвеладзе Т.А., Коршия , Т.К. О численном моделировании одной нелинейной задачи

. диффузии магнитного поля с учетом теплопроводности. Труды ИПМ им. И. Н. Векуа ТГУ, 1986, т. 18, с. 48-67.

3. Гордезиани Д.Г., Джангвеладзе Т.А., Коршия Т.К. Об одном классе нелинейных уравнений диффузии. Warsaw. Sec. II: Part, diff. eq. IX. 1982, 1983, p. 17.

t Гордезиани Д.Г., Джангвеладзе Т.Д., Коршия Т.К. О существовании и единственности решения одного класса нелинейных параболических задач.Дифференц. уравнения, 1983, т. 19, N7, с. 1197-1207.

5 Гордезиани Д.Г., Джангвеладзе Т.А., Коршия Т.К. Об одном классе нелинейных параболических уравнений, возникающих в задачах диффузии электромагнитного поля. Труды ИПМ им. И.Н. Векуа ТГУ, 1983, т. 13, с. 7-35.

6. Джангвеладзе Т.А. Первая краевая задача для одного нелинейного уравнения параболического типа. Докл. АН СССР, 1983, т. 269, N4, с. 839-842.

7. Джангвеладзе Т.А. Исследование первой краевой задачи для некоторых нелинейных интегро-дифференциальных уравнений параболического типа. Тбилиси: Изд-во Тбилисского ун-та, 1983, 58 с.

0. Джангвеладзе Т.А. О разрешимости первой краевой задачи для одного нелинейного интегро-диффереяшального уравнения

параболического типа. Сообщ; АН ГССР, 1984, т. 114, N2, с. .261264.

9. Джангвеладзе .- Т.А. Об одном, нелинейном интегро-дифференциапьном уравнений параболического типа. Дифференц. уравнения, 1985, т. 21, N1, с. 41-46.

10. Джангвеладзе Т.А. Разностная схема для одной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Доклады расш. заседаний сем. ИПМ им, И.Н. Векуа ТГУ, 1986, т. 2, N3, с. 40-43.

11. Джангвеладзе Т.А. О сходимости разностной схемы для одной системы нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Сообщ. АН ГССР, 1987, т. 126, N2, с. 257-260.

12. Джангвеладзе Т.А. Устойчивость стационарного решения одной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Современные проблемы математической физики. Труды Всесоюзного симпозиума. Тбилиси. 22-25 апреля 1987 г, т. 1. , с. 214-221.

П.Джангвеладзе Т.А. Начально-краевая задача для одной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Всесоюзная школа молодых ученых "Функциональные методы в прикладной математике и математической физике". Тезисы докладов. I часть, Ташкент, 1988, с.22-23.

14. Джангвеладзе Т.А. Об одной системе нелинейных дифференциальных уравнений в шстных производных. Доклады расш. заседаний сем. ИПМ им. И.Н. Векуа ТГУ, 1989, т. 4, N1, с. 38-41.

15.Джангвеладзе Т.Д. Усредненная модель суммарной о

аппроксимации для одной системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных. Труды ИПМ им. И.Н. Векуа ТГУ, 1990, т. 40, с 77-83. 1ъ.Джангвеладзе Т.А., Любимов Б.Я., Корщия Т.К. О численном решении одного класса неизотермических задач диффузии электромагнитного поля. Труды ИПМ им. И.Н.Векуа ТГУ, 1986, т. 18, с.5-47.

17Джангвеладзе Т.Д., Тагварелия Т.Г. Сходимость разностной схемы дл" одной системы нелинейных уравнений в частных производных, встречающиеся в биологии. Труды ИПМ им. И.М. Векуа ТГУ, 1990, т.40, с.77-83.

18.Jangveladze Т.A. On one model of plants evolution process. Kutaisi-Tbilisi, 1990, p. 19-20. (Georgian).

19.JangveIadze T.A. The convergence of the avereged model of sum approximation for one system of nonlinear partial differential equations. Abstracts. Continuum Mechanics and Related Problems of Analysis. Symposium Dedicated to the Centery of Academitian N. Muschelishvili. "Metsniereba" Publishing House. Tbilisi, 1991, p. 74.

20.Jangveladze T.A. Investigation and numerical solution of some systems of nonlinear partial differential equations. Reports of Enlarged Session of the Seminarof I.Vekua Institute of Applied Mathematics, 1991, V. 6, N 1, p. •25-28.

21.Jangveladze T.A. The difference scheme of the type of variable directions for one system of nonlinear partial differential equations. Proceedings of I.Vekua Institute of Applied Mathematics, 1992, V. 42, p. 45-66.

22 Jangvelad^e T.A. Apriori estimations for one nonlinear integro-differential parabolic problem. Reports of Enlarged Session of the Seminar of i.Vekua Institute of Applied Mathematics, 1993, V. 8, N.l, p. 35-37.

23.Jangvelad2e T.A. On one nonlinear system of partial differential equations. International Symposium of Problems of Continuum Mechanics Abstracts, Tbilisi, 1997, p.127-128 ( Georgian ).

24.Jangveladze T.A. On investigation and numerical solution of some classes of nonlinear partial differential equations. International Symposium Dedicated to the 90-th Birthday Aniversary of Academician [. Vekua. Differential Equations and Mathematical Physics. Abstracts, Tbilisi, 1997, p. 72.

25.Jangvcladze T.A, On the asymptotic behavior as t-»» of solutions for one nonlinear integro-differential parabolic equation. Report of Enlarged Session of the Seminar of I.Vekua Institute of Applied Mathematics, 1997, V. 12, Nl,p.<Ml.

26.Jangveladze T.A. On one class of nonlinear integro-differential .parabolic equations. Reports of the beminar of I.Vekua Institute of Applied Mathematics, 1997, V. 23, p.25-65.

27.Jangveladze T.A., Kiguradze Z.V. The asymphotic behaviour of the solution of one nonlinear integro-differential parabolic equation Reports of Enlarged Session ot the Seminar of I.Vekua Institute of Applied Mathematics, 1995, V. 10, N1, p. 34-36.

28 Jangveladze T.A., Tagvarelia T.G. The difference scheme of the type of

variable directions for one system of nonlinear partial differential i

equations, arising in biology. Reports of Enlarged Session of the Seminar of I.Vekua Institute of Applied Mathematics, 1993, V. 8, N 3, p. 74-75.

Temur Jangveladze

Mathematical modelling, investigation and numerical solution of some nonlinear diffusion problem

Dissertation Bulletin Submittance for a doctor's degree

Scientific novelty and principal results:

1. On the basis of Maxwell's system of partial differential equations ;» new class of nonlinear integro-differential equations modelling the process of diffusion of electromagnetic fields in conducting medium is received. Some mathematical peculiarities of this model are studied.

2. Theorems of existence and uniqueness of solution for initial-boundary value problems for some classes of nonlinear integro-differential equations of parabolic type are proved. Investigations are carried out by the way of getting necessary apriori estimations applying of Galerkin's method and method of compactness. The results are received also for some mathematical generalizations of integro-differential equations describing real physical process.

3. Schemes of splitting according to physical process and discrete analogues for the problem describing penetration of electromagnetic fields in the material, taking into account heat conductivity, are constructed and investigated.

4. Asymptotic behaviour of the solutions of initial-boundary value problems for some nonlinear integro-differential equations is studied. The stability analysis of stationary solution for one nonlinear diffusion problem is carried out. The possibility of appearing of Hopf type bifurcation is pointed out.

5. Continuous model of additive approximation and difference scheme of the type of variable directions for Mitchison's biological model and its multidimensional mathematical analogue are constructed and investigated.

6. Mathematical modelling and numerical solution of some nonlinear diffusion problems for electromagnetic fields are carried out.