автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Численное моделирование внутренних течений электропроводящей жидкости

На правах рукописи

Численное моделирование внутренних течений электропроводящей жидкости

05.13.18 - математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Томск-2004

Работа выполнена в Томском государственном университете

Научный руководитель:

Доктор физико-математических наук, профессор А.М.Бубенчиков

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор В.А. Якутенок кандидат физико-математических наук, доцент И. А. Иванова

Ведущая организация: Институт вычислительных технологий СО РАН (г. Новосибирск)

Защита состоится 30 декабря 2004 г. в 10:30 на заседании диссертационного совета Д 212.267.08 при Томском государственном университете (634050, г. Томск, пр. Ленина, 36)

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета.

Отзывы на автореферат, заверенные печатью, просьба высылать по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36, Томский государственный университет, ученому секретарю университета.

Автореферат разослан «с/р>> НОАКРЯ_2004 г.

Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 212.267.08

доктор технических наук, доцент

¿¿>¿>4 - V

ьгг

щбгяъ

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Магнитная гидродинамика развивалась параллельно со становлением теории электричества и магнетизма. Основополагающие исследования в магнитной гидродинамике выполнили в нашей стране следующие ученые: Л. Д. Ландау, Я. И. Френкель, А. Б. Ватажин, Г. А. Любимов, А. Г. Куликовский, С. А. Ре-гарер; за рубежом: Дж. Гартман, Р. Гарднер, Т. Каулинг, Дж. Шеклиф, Дж. Хант, 3. Блевис. Большой вклад в развитие теории МГД течений внесли Я. С. Уфлянд, Г. А. Остроумов, А. В. Тананаев, А. Е. Якубен-ко, Н. М. Тучин, О. А. Лиелаусис и многие другие.

Традиционно актуальными остаются исследования по разработке теоретических основ работы МГД-устройств различного назначения: генераторы электрического тока, электромагнитные насосы, индукционные расходомеры и т.д. Такие устройства находят широкое применение в космической технике, энергетике, металлургии. Особая актуальность развития теоретических разделов магнитной гидродинамики связана с расчетом систем охлаждения для устройств термоядерного синтеза. При этом еще на стадии проектирования необходимо оценить и, если возможно, снизить дополнительные потери давления в охлажденных трубах, обусловленные наложенным магнитным полем, которое необходимо в реакторе для удержания плазмы.

В настоящее время широко исследуются течения электропроводящих жидкостей под воздействием постоянных и переменных электромагнитных полей в различных технических устройствах, а также в биологических системах, в частности потому, что кровь является электропроводящей средой. Широко известно положительное влияние полей постоянных магнитов на кровь. В последние годы выявлено также положительное воздействие на сосуды человека от электромагнитов переменного тока. Новые данные по терапевтическому и профилактическому воздействию магнитных полей требуют углубленного изучения гидродинамики проводящих жидкостей в трубах и каналах, находящихся в электромагнитных полях.

Объектом исследования является фрагмент трубки, находящейся в магнитном поле, с текущей по нему электропроводящей жидкостью. Трубка моделирует участок артериального сосуда, основной элемент электрогенератора или элемент системы охлаждения реактора

Глобальная модель процесса - это модель механики сплошной среды или модель континуального поля. В рамках подхода Эйлера рассматривается МГД-состояние в объеме фиксированного по длине

РОС. НкМА ЖАЛЬНАЯ

БИЬ " 1ТТ- К А С.Ьетр^ург

гообРк

участка канала. При этом, распределения искомых МГД-величин в каждой точке рассматриваемого объема связаны дифференциальными условиями, выражающими собой баланс массы, теорему о количестве движения для электропроводящей жидкости, закон Ома, условие потенциальности электрического поля и условие отсутствия в пространстве распределенных зарядов. Априорное знание геометрических особенностей рассматриваемой системы, в нашем случае это протяженность канала, позволяет упростить математическую модель еще на предварительной стадии, т.е. на дифференциальном уровне, что и сделано в разделе 2.1. Некоторые упрощения дифференциальной постановки задачи могут быть выполнены апостериори, т.е. после ее решения, на основе анализа полученных данных о расчетных распределениях величин. Так были построены осесимметричные модели почти симметричных процессов, представленных в разделах 2.5. и 3.1.

Цель, преследуемая в работе, состоит в разработке эффективных численных моделей, пригодных для изучения воздействия магнитных полей на характер внутренних течений проводящей среды и достижения эффекта по снижению сопротивления. Теоретическая направленность данной работы предопределила круг рассматриваемых задач о ламинарных МГД-течениях в канале. Предпочтение отдано развивающимся и стабилизированным ламинарным движениям вязкой проводящей жидкости в круглых трубах.

Для достижения поставленной цели были поставлены следующие задачи:

1. Разработать математическую модель развивающегося неза-крученного течения электропроводящей жидкости во входном участке канала с непроводящими стенками.

2. Разработать математическую модель закрученного течения проводящей жидкости в трубе с непроводящими стенками.

3. Разработать математическую модель стабилизированного МГД-течения в канале с частично проводящими стенками.

Метод исследования состоит в использовании конечных разностей для дискретизации математической модели, представленной в дифференциальной форме, и разработке эффективных способов итерационного решения, получающихся в результате дискретизации систем алгебраических уравнений. Связанные задачи «скорость - давление» разделяются на уровне конечно-разностной схемы (полностью или частично) на две части: кинематическую и динамическую. Причем первая из этих частей, кинематическая, решается независимо от динамической. По данным решения первой части, опираясь на соответствующую структурную формулу, находится неизвестный акси-

альный градиент давления. В результате чего, в процессе вычислений, отпадает необходимость в использовании итераций, обеспечивающих согласование полей скорости и градиента давления.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Граничное условие, позволяющее вычислять значения искомых магнитогидродинамических величин на полярной оси при неосе-симметрических процессах.

2. Способ разрешения координатной неопределенности, возникающей при вычислениях радиальной и окружной компонент скорости на оси трубы

3 Осесимметричное приближение для описания незакрученного МГД-течения в узких осесимметриЧных трубках.

4. Осесимметричное приближение для описания закрученного МГД-потока в трубках круглого поперечного сечения.

5. Эффект увеличения скорости за счет движения заряженных частиц поперек потока в каналах с частично проводящими стенками.

Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью математических постановок задач, тестированием разработанных алгоритмов расчета МГД-течений, а также сравнением результатов вычислений с известными аналитическими решениями и экспериментальными данными.

Научная новизна работы состоит:

1. Впервые предложены приближенные осеснмметричные математические модели МГД-течений для незакрученного и закрученного потоков в осесимметричных каналах.

2. Впервые получен эффективный алгоритм для численного решения неосесимметричных задач в цилиндрических координатах.

3. Обнаружен и объяснён эффект демпфирующего воздействия магнитного поля на тенденцию к образованию возвратных движений в закрученном потоке.

4. Найден и объяснён эффект снижения сопротивления за счет генерации среднего поперечного тока в проводящем канале.

Практическая значимость работы определяется возможностью использования предложенных приближений в инженерных расчетах по оценке влияния магнитных полей на характер течения вязкой проводящей жидкости в трубах и каналах, а также в использовании эффекта по снижению сопротивления в проектах по разработке системы охлаждения реактора.

Апробация работы. Основные результаты работы Докладывались:

1. На Ш Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (2-4 октября 2002 г., г. Томск).

2. На Международной конференции по математике и механике (16-18 сентября 2003 г., г. Томск).

3. На IV Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (5-7 октября 2004, г. Томск).

4. На семинаре кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования ТГУ под руководством профессора A.B. Старченко.

5. На семинарах кафедры теоретической механики ТГУ под руководством профессора А.М. Бубенчикова.

Вклад автора. Все результаты, представленные в данной работе. получены автором самостоятельно.

Объем и структура работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объем диссертации - 113 е., в том числе 108 с. основного текста с рисунками. Список литературы - 5 с. и содержит 60 названий.

Краткое содержание работы

Во введении приводятся сведения по актуальности исследований, и дается общая характеристика работы.

В первой главе приводится общая постановка задачи о стабилизированном течении проводящей жидкости в каналах произвольной формы поперечного сечения. Представлены так же классические результаты по автомодельным течениям в каналах и материалы по устойчивости МГД-потоков.

Во второй главе в рамках безындукционного приближения получены уравнения магнитной гидродинамики, определяющие не осе-симметричные процессы в осесимметричных каналах. Отличительной особенностью данного подхода является неучет аксиальной диффузии импульса и магнитного поля, что позволяет выделить маршевую переменную х и соответствующим образом выстроить технологию проведения вычислений. В работе показано, что для класса незакручен-ных движений в узких каналах приближенно можно принять

p(x,r,e,t)&p1(x,t)+ p2(x,r,d,t),

(1)

Эр, dp, 1 Эр, cb. , ч

причем —— «—- и величина pAx,t\ входит в уравне-

дг дх г дв дх

ние для аксиальной компоненты скорости U, a p2(r,0,t) в уравнение для V и W. В связи с этим процедура численного решения уравнения для U состояла в использовании подхода JI.M. Симуни, обобщенного в данной работе на случай неосесимметричного течения. Для разрешения системы уравнений движения жидкости относительно р2 через поправку давления автор использовал метод SIMPLE, предложенный в книге С.Патанкара. Уравнение неразрывности аппроксимировалось с помощью центральных разностей во внутренних точках. Для расчета

в граничных точках применялись трехточечные направленные

разности второго порядка. Поправку давления рассчитывали в области, расширенной по всему периметру фиктивными узлами. При этом в фиктивных узлах величина поправки давления предполагалась равной нулю. Для расчета поправки давления во внутренних узлах был использован разностный оператор, такой же, как в работе С. Патанкара, и по своему виду близкий к разностному оператору уравнения Пуассона. Для разрешения полученной схемы алгебраических уравнений применялся метод Гаусса-Зейделя. В заключении с использованием полученной поправки давления производилась коррекция распределений давления и компонент скоростей V и W по всей расчетной области. Итерационный процесс продолжали до удовлетворения уравнения неразрывности и уменьшения нормы разности между двумя последовательными распределениями расчетных величин до значений меньших наперед заданной величины е=10~4.

При использовании метода конечных разностей и цилиндрических координат {х,г,9} не обойтись без применений условий при г = О для рассчитываемых величин. В работе получено нелокальное граничное условие вида:

£/° Л^Шу, (2)

^ г

где U0 - значение продольной компоненты скорости на оси канала; у - элементарная окружность, содержащая осевую точку, а так же более точное условие:

1 Г, J'2

где yp72 - две смежные ближайшие к началу полярной системы отсчета окружности. Условия (2) и (3) использованы при проведении

всех расчетов настоящей диссертационной работы. Условие (3) при его правильной разностной интерпретации обеспечивает второй порядок аппроксимации относительно шага по радиальной координате, по крайней мере, в предельном случае осесимметричных движений. Это обстоятельство позволяет надеяться, что в случае несимметричных движений порядок точности простейшего разностного аналога (3) будет выше первого.

При интегрировании уравнений несимметричных развивающихся течений, записанных в цилиндрических или тороидальных координатах, необходимо рассчитывать все три компоненты сходимости {/, V, Ж. Причем очевидно, что значения V и Ж на оси канала являются неоднозначными. В действительности, для переменных V и Ж в каждой точки оси трубы имеем множества значений, мощность которых есть континуум. Эти множества легко воспроизводятся с помощью соотношений:

_, (4)

Жк = и°усове, - и°к8шв4, к = 1 ,М

где и°у, и°г - уже однозначные проекции скорости на оси декартовых

координат, введенных в плоскости нормальных к оси сечений канала. Естественно, что выполняя численный анализ, мы работаем с конечным числом значений V я Ж на оси канала. Их количество будет равно полному числу сеточных лучей в выделенном сечении канала.

Для класса развивающихся течений электропроводящей жидкости в трубах постоянного сечения находящихся в поперечных магнитных полях характерно, что аксиальное движение приближенно можно считать осесимметричным. При этом, радиальные и окружные перемещения весьма приглушены действием поля и не обладают симметрией относительно оси канала. Тем не менее, анализируя расчетные поля кинематических характеристик можно установить, что имеются две плоскости симметрии в распределениях V и Ш компонент скорости. Однако, вполне допустимым является приближенное описание динамики электропроводящих жидкостей, опирающуюся на систему (5) в которой все искомые распределения уже являются симметричными относительно осевой линии канала.

Расчеты выполненные по несимметричной модели, описанной во второй главе, показывают что по крайней мере до значений На = 5 кинематические и динамический характеристики потока жидкости могут быть представлены следующей системой уравнений:

„Ж ггди 1Гди. _ ф. 13 Г 811 \ „ 2/1 '

от сЬс ог ох г дг\ дг )

2тфЫг = С(/), о

<#у(К) = 0,

в которой распределения С/ и К уже не зависят от 8, а ^ = рДх,/). Здесь Ее, На - числа Рейнольдса и Гартмана, <7 - объемный расход жидкости.

Рис. 1. Эффект Гартмана для контуров тока. Распределения отвечают участку стабилизированного течения

04

08

1 6

1 2

0

0.8 0.8

Рис. 2. Поверхность скоростей для На=5; Х=30; Яе=400

В третьей главе рассмотрена численная модель закрученного потока электропроводящей жидкости в узких трубках при воздействии на них магнитного поля. Способом осреднения всех соотношений модели по окружной координате получены приближенные уравнения закрученного потока в осесимметричных каналах, которые имеют вид:

Здесь давление, как и компоненты скорости, являются функциями продольной и радиальной координат (х,г) и быть может времени t и не зависит от окружной координаты 0 ; G(t) - объемный расход жидкости через сечение трубки, имеющей форму окружности радиуса R. Уравнения (8) относятся к классу моделей безиндукционного приближения. Полученая система дифференциальных уравнений интегрировалась численно, по способу, и была использована для анализа как прямоточных так и закрученных течений вязкой электропроводящей жидкости в круглых трубах,

) дг г дг\ дг ) к '

+ vw) = id_( (8)

г ) гдг{ дг ) г2 2

помещенных в магнитное поле и без них. Ниже приведены некоторые результаты вычислений, выполненные по модели (8) включая результаты тестирования на данных опытов.

Как видим из рис. 3 даже в рамках модели осесимметричного приближения удается добиться хорошего согласования с экспериментальными данными.

Рис. 3. Коэффициент сопротивления для трубки с электропроводящей жидкостью, находящейся в поперечном магнитном поле. Сплошная линия - расчет по модели

Рис. 4. Распределение по длине канала относительной продольной скорости на оси симметрии в закрученном потоке Яе=80, Яо=2 при различных числах На: 1 - На=0; 2-2; 3-4; 4-6; 5-8; 6-10. Здесь Х = х/КеЯ - приведенная осевая координата

Некоторые результаты иллюстрирующие эффект совместного влияния магнитного поля и крутки потока на тенденцию к образованию возвратных движений представлены на рис. 4, 5.

Рис. 5. Распределение по длине канала относительной продольной скорости на оси симметрии в закрученном потоке Яе=100, На=6 при различных числах Яо: 1-Ко=0; 2-1,5; 3-2; 4-2,5; 5-3; 6-4. Здесь, II1 - скорость на оси канала; и - среднемассовая скорость потока

В четвертой главе рассмотрены автомодельные течения вязкой проводящей жидкости в каналах с частично проводящими стенками. В этом случае линии тока являются параллельными оси трубы, вектор скорости имеет вид V - (¡7,0,0), а градиент давления, входящий в осевую проекцию уравнения импульсов является постоянной величиной. В таких условиях все гидродинамические и физические величины могут зависеть лишь от полярных координат г и 9, введенных в плоскостях нормальных сечений трубы. Поэтому удается исключить нелинейные конвективные члены в уравнении движения, и оно становится не параболическим как ранее, когда были рассмотрены развивающиеся течения, а эллиптическим. Далее считаем, что стенки канала выполнены в виде рельсовой камеры причем два обращенных друг к другу рельса являются проницаемыми для электрического тока, а два других являются участками изоляции канала. Таким образом, электрические заряды могут заходить в поток и выходить из него че-

рез участки проводимости и, поэтому, во внешней электрической цепи мог возникать индуцированный движением жидкости электрический ток (рис. 8, 9). Канал с описанной конструкцией стенок, находящийся в магнитном поле воспроизводит простейшую схему МГД-генератора. Автор исследовал влияние поперечных токов на поля скоростей в канале. Это влияние иллюстрируется рис. 6,7.

Характер движения заряженных частиц иллюстрируется рисунками 8, 9.

1 4: 1 210 8: 06: 04: 0 2:

0-i 1

-из „i ■

Рис. 6. Поверхность скоростей в канале с частично проводящими стенками. На = 7, получено dP/dx = 0,088

Рис. 7. Поверхность скоростей в канале с частично проводящими стенками. На = 9, найдено ё/7сЬ:=0,135

Рис. 8. Линии движения заряженных частиц для случая, когда угловой размер окна проницаемости равен а = я/4

Если во внешней электрической цепи возникал ток, то при том же перепаде давления средняя скорость жидкости заметно увеличивалась в сравнении со случаем течения в канале с непроводящими стенками. Этот эффект составлял величину порядка 25%. Наряду с этим, в данной главе выполнены параметрические расчеты по влиянию чисел Гартмана и углового размера окон проводимости на распределения гидродинамических и электромагнитных величин.

В заключение диссертации приводятся основные выводы по работе:

1. Получено граничное условие, позволяющее вычислять значения искомых магнитогидродинамических величин на полярной оси при неосесимметричных процессах.

2. Разрешена координатная неопределенность, возникающая при вычислениях радиальной и окружной компонент скорости на оси трубы.

3. Построено осесимметричное приближение для описания не-закрученного МГД-течения в узких осесимметричных трубках.

4. Предложено также осесимметричное приближение для описания закрученного МГД-потока в трубках круглого поперечного сечения.

5. Выявлен эффект увеличения скорости за счет движения заряженных частиц поперек потока в каналах с частично проводящими стенками.

Основные публикации автора по теме диссертации.

1. Корнелик С.Е., Клевцова A.B., Павлова O.A. Движение эритроцита в аневризме кровеносного сосуда под действием магнитного поля // Вычислительная гидродинамика. - Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999, с. 68-74.

2. Бубенчиков А.М., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Приближение «узкого канала» для течения электропроводящей жидкости // Вестник ТГУ, 2001, №4, с. 53-64.

3. Бубенчиков А.М., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Течение электропроводящих жидкостей в тонких трубках в поперечном магнитном поле // Математическое моделирование, 2003, т. 15 №9, с. 76-87.

4. Бубенчиков А.М., Клевцова A.B., Харламов С.Н. Закрученный поток проводящей жидкости в узких трубах при наличии магнитного поля // Математическое моделирование, 2004, т. 16, №9, с. 109-122.

РНБ Русский фонд

2006-4 425

Тираж 100 экз. Отпечатано в КЦ «Позитив» 634050 г. Томск, пр. Ленина 34а

Введение.-

ГЛАВА 1. Течения электропроводящей жидкости в трубах и каналах.

1.1. Движение вязкой электропроводящей жидкости с прямолинейными линиями тока.

1.2. Некоторые аналитические результаты и данные опытов.

1.2.1. Течение Куэтта.

1.2.2. Течение Гартмана.

1.3. Течение в круглых трубах.

1.3.1. Труба с тонкими проводящими стенками.

1.3.2. Труба с непроводящими стенками.

1.4 Неустойчивость МГД-течений.

1.4.1. Условие неустойчивости Стюарта.

1.4.2. Условие неустойчивости Локка.

1.5. Резюме.

ГЛАВА 2. Общие положения вычислительной дииамики.электропроводящей жидкости в тонких трубках в поперечном.магнитном поле.

2.1. Определяющие дифференциальные уравнения движения.незакрученного МГД-потока.

2.2. Неявная разностная схема для уравнений движения незакрученного потока.- 47

2.3 Процедура численного решения уравнения (2.19) и разностных уравнений дляУ,¥иР2.- 49

2.4 Граничные условия.- 51

2.4.1. Входное сечение.- 51

2.4.2. Внутренняя поверхность канала.- 51

2.4.3. Ось канала.- 51

2.4.4. Вывод граничного условия на оси канала.- 52

2.4.5. Раскрытие координатной неопределенности для V и XV на оси.- 55

2.5 Пример расчета прямоточного МГД-потока.- 57

2.6. Выводы.- 61

Глава 3. Численная модель закрученного потока электропроводящей жидкости в узких трубках при воздействии на них магнитного поля.- 62

-33.1. Определяющие уравнения.

3.2. Осесимметричное приближение для закрученного потока электропроводящей жидкости в трубе с непроводящими стенками.

3.3. Численный метод.

3.3.1. Обобщение алгоритма Л.М. Симу ни на случай переменного по сечению канала давления.

3.3.2. Разностная аппроксимация уравнения (3.14).

3.3.3. Разностная аппроксимация уравнения неразрывности.

3.4. Результаты расчетов закрученного потока проводящей жидкости.

3.5. Выводы.

Глава 4. Автомодельные течения вязкой проводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками.

4.1. Математическая модель гидроэлектродинамики для каналов с частично проводящими стенками.

4.1.1. Численное решение уравнений (4.1), (4.3), (4.5).

4.1.2. Краевые условия.

4.2. Влияние напряженности магнитного поля на течение электропроводящей жидкости в канале с частично проводящими стенками.

4.3. Влияние углового размера окон проводимости на характер течения вязкой проводящей жидкости в рельсовой камере.

4.4. Выводы.

Магнитная гидродинамика развивалась параллельно со становлением теории электричества и магнетизма. Основополагающие исследования в магнитной гидродинамике выполнили в нашей стране Л.Д. Ландау, Я.И. Френкель, А.Б. Ватажин, Г.А. Любимов, А.Г. Куликовский, С.А. Регирер., за рубежом Дж. Гартман, Р. Гарднер, Т. Каулинг, Дж. Шеклиф, Дж. Хант, З.Блевис. Большой вклад в развитие теории МГД течений внесли Я.С. Уфлянд, Г.А. Остроумов, A.B. Тананаев, А.Е. Якубенко, Н.М. Тучин, O.A. Лиелаусис и многие другие. В настоящей работе будет рассмотрен класс так называемых внутренних течений, т.е. течений в трубах и каналах. Движения в трубах, по-видимому, являются наиболее распространенным классом движений проводящих жидкостей, наблюдаемых в проточных трактах МГД-устройств. Важное прикладное значение, а также возможность получения точных и приближенных аналитических решений объясняют тот факт, что течения в трубах в теоретическом плане изучаются уже продолжительное время и такие исследования уже можно назвать классическими.

Актуальность работы

Магнитная гидродинамика это обычная гидродинамика, дополненная объемными силами электромагнитной природы, позволяющими управлять потоком, а также извлекать из него или вводить в него энергию. Такая возможность, имеющая принципиальный характер, сразу же формирует основу для конструирования МГД-генераторов различного назначения, а также других устройств, например, электромагнитных насосов, индукционных электрорасходомеров и т.д. Исследования по динамике вязких проводящих жидкостей оставались бы актуальными, даже если бы имелась лишь гипотетическая возможность создания устройства термоядерного синтеза. Необходимым элементом такого устройства является система охлаждения реактора. Для указанной системы существует проблема, состоящая в том, как оценить и, если возможно, снизить потери давления в охлаждающих трубах, обусловленные наложенным магнитным полем, которое необходимо в реакторе для удержания плазмы. Найденный в четвертой главе работы эффект снижения сопротивления отвечает сформулированной парадигме.

Состояние проблемы

Обобщению теоретических исследований ламинарных течений проводящих сред в каналах посвящен труд [33]. Теоретическому и экспериментальному изучению установившихся ламинарных течений в круглых трубах посвящены многие работы. Аналитические решения задач о распределении скорости и индуцированного магнитного поля представляются в виде тригонометрических рядов [33], которые довольно громоздки и иногда плохо сходятся даже при больших числах Гартмана [17, 42]. Имеются также теоретические работы, базирующиеся на приближенном подходе, основанном на выделении в потоке характерных областей, для каждой из которых выписываются свои приближенные уравнения. Такой метод впервые был применен Шерклифом для трубы с непроводящими стенками [41] и затем обобщен на случай проводящих стенок [59]. Этот метод в последствии был развит и усовершенствован А.Г. Куликовским [14]. Следует заметить, что метод Фурье не является единственным методом, позволяющим интегрировать точные, т.е. не упрощенные уравнения магнитной гидродинамики. В работах Г.А. Гринберга [9] путем применения метода функций Грина выводятся интегральные уравнения, численные решения которых могут проводиться при помощи метода последовательных приближений. Однако вопрос о преимуществах этого подхода в сравнении с методом Фурье остается пока еще открытым.

В настоящее время широко исследуются течения электропроводящих жидкостей под воздействием постоянных и переменных электромагнитных полей в различных технических устройствах, а также в биологических системах, в частности потому, что кровь является электропроводящей средой. Широко известно положительное влияние полей постоянных магнитов на кровь [18]. Лечебное воздействие магнитным полем на сосуды человека осуществляется полями малой интенсивности. Несмотря на то, что первые опыты такого воздействия относятся к 1780 году, этот вопрос недостаточно изучен. Целью настоящей работы является получение более подробной информации о движении электропроводящих жидкостей под воздействием слабых электромагнитных полей и построение быстрых и эффективных численных моделей для расчета внутренних МГД течений.

Кажется естественным, что воздействие поперечного магнитного поля изменяет поперечный градиент давления в каналах с движущейся электропроводящей жидкостью. Однако, установленный в 1969 году Хантом [51] факт существования режима МГД течения с параллельными оси канала линиями тока (автомодельного течения) дает основания надеяться на наличие целого класса МГД движений в прямых каналах постоянного либо слабо меняющегося сечения, либо имеющих небольшую кривизну осевой линии, для которых продольный градиент давления приближенно является функцией лишь аксиальной координаты ,и быть может, времени. При этом продольная диффузия импульса является несущественной. В этом случае аксиальная координата оказывается маршевой. Возможность выделения такой координаты позволяет существенно упростить технологию построения численного решения, поскольку в таких условиях решение пространственной задачи сводится к последовательности одномерных (при наличии осевой либо плоской симметрии течения) или двумерных (в отсутствии симметрии) задач. Модели такого типа носят название приближения узкого канала. Их использование оказывается весьма полезным при численном исследовании течений, осложненных химическими реакциями, наличием частиц и т.д. [2,31].

Цель работы

Целью данной работы является разработка приближенных математических моделей магнитно-гидродинамических течений в каналах и эффективных методов их численной реализации.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

О развивающемся незакрученном течении электропроводящей жидкости во входном участке канала с непроводящими стенками.

О закрученном течении проводящей жидкости в трубе с непроводящими стенками.

О стабилизированном МГД-течении в канале с частично проводящими стенками.

Краткое содержание работы

Теоретическая направленность данной работы предопределила круг рассматриваемых задач о ламинарных МГД-течениях в канале. Предпочтение отдано развивающимся и стабилизированным движениям вязкой проводящей жидкости в круглых трубах. Основная цель, преследуемая здесь и далее, состоит, большей частью в рассмотрении математических аспектов проблемы, связанных с построением алгоритмов численной реализации поставленных задач, а также с разработкой тех или иных приближений, упрощающих рассмотрение физических явлений.

Материал, представленной диссертационной работы структурирован по главам. Всего в работе четыре главы.

В первой главе, которая является вводной, приводится общая постановка задачи о стабилизированном течении проводящей жидкости в каналах произвольной формы поперечного сечения. Представлены так же классические результаты по автомодельным течениям в каналах, а так де сведения по устойчивости МГД-потоков.

Во второй главе в рамках безындукционного приближения получены уравнения магнитной гидродинамики, определяющие не осесимметричные процессы в осесимметричных каналах. Отличительной особенностью данного подхода является неучет аксиальной диффузии импульса и магнитного поля, что позволяет выделить маршевую переменную л: и соответствующим образом выстроить технологию проведения вычислений. Процедура численного решения уравнения для U состояла в использовании подхода JI.M. Симуни, обобщенного в данной работе на случай неосесимметричного течения. Для разрешения системы уравнений движения жидкости относительно р2 через поправку давления мы использовали широко известную процедуру SIMPLE. При этом, уравнение неразрывности аппроксимировались с помощью центральных разностей во внутренних точках. Для расчета в граничных точках мы применяли трехточечные направленные разности второго порядка. Поправку давления рассчитывали в области расширенной по всему периметру фиктивными узлами. Причем в фиктивных узлах величина поправки давления предполагалась равной нулю. Для расчета поправки давления во внутренних узлах мы использовали разностный оператор такой же, как в работе С. Патанкара и по своему виду близкий к разностному оператору уравнения Пуассона. Для разрешения полученной схемы алгебраических уравнений применялся метод Гаусса-Зейделя. В заключении с использованием полученной поправки давления мы производили коррекцию распределений давления и плоского поля скоростей с V и Ж-компонентами по всей расчетной области. Итерационный процесс продолжали до удовлетворения уравнения неразрывности и уменьшения нормы разности между двумя последовательными распределениями расчетных величин до значений меньших наперед заданной величины 8 = 10"4.

При использовании метода конечных разностей и цилиндрических координат {д:,г,в) не обойтись без применений условий при г = 0 для рассчитываемых величин. В работе получено нелокальное граничное условие вида: и0=-С$Шу, У г где и0 - значение продольной компоненты скорости на оси канала; у — элементарная окружность, содержащая осевую точку.

По результатам расчетов по несимметричной модели во второй главе предложено осесимметричное приближение магнитогидродинамических процессов в тонких трубках.

В третьей главе рассмотрена численная модель закрученного потока электропроводящей жидкости в узких трубках при воздействии на них магнитного поля. Приводится приближенное доказательство равенства нулю среднего по сечению канала индуцированного тока в случае развивающегося течения и при наличии крутки. Способом осреднения всех соотношений модели по окружной координате получены приближенные уравнения закрученного потока в осесимметричных каналах. Исследован эффект совместного влияния напряженности магнитного поля и крутки потока на тенденцию к образованию возвратных движений. Выявлен эффект демпфирующего воздействия магнитного поля на интенсивность малых движений, реализующихся в сечении трубы.

В четвертой главе рассмотрены автомодельные течения вязкой проводящей жидкости в каналах с частично проводящими стенками. В этом случае линии тока являются параллельными оси трубы, вектор скорости имеет вид V = (£/,0,0), а градиент давления, входящий в осевую проекцию уравнения импульсов является постоянной величиной. В таких условиях все гидродинамические и физические величины могут зависеть лишь от полярных координат г и в, введенных в плоскостях нормальных сечений трубы. Поэтому удается исключить нелинейные конвективные члены в уравнении движения, и оно становится не параболическим как ранее, когда мы рассматривали развивающиеся течения, а эллиптическим. Далее предполагается, что стенки канала выполнены в виде рельсовой камеры, причем два обращенных друг к другу рельса являются проницаемыми для электрического тока, а два других являются участками изоляции канала. Таким образом, электрические заряды могут заходить в поток и выходить из него через участки проводимости и, поэтому, во внешней электрической цепи может возникать индуцированный движением жидкости электрический ток. Было исследовано влияние поперечных токов на поля скоростей в канале. Если во внешней электрической цепи возникал ток, то при том же перепаде давления средняя скорость жидкости заметно увеличивалась в сравнении со случаем течения в канале с непроводящими стенками. Этот эффект составлял величину порядка 25%. В данной главе выполнены также параметрические расчеты по влиянию чисел Гартмана и углового размера окон проводимости на распределения гидродинамических и электромагнитных величин.

Основные научные результаты

1. Получено граничное условие, позволяющее вычислять значения искомых магнитогидродинамических величин на полярной оси при неосесимметри-ческих процессах.

2. Разрешена координатная неопределенность, возникающая при вычислениях радиальной и окружной компонент скорости на оси трубы.

3. Построено осесимметричное приближение для описания незакрученно-го МГД-течения в узких осесимметричных трубках.

4. Предложено также осесимметричное приближение для описания закрученного МГД-потока в трубках круглого поперечного сечения.

5. Выявлен эффект увеличения скорости за счет движения заряженных частиц поперек потока в каналах с частично проводящими стенками.

Методика исследований

Решение поставленных задач осуществлялось с использованием численных методов, в том числе метода конечных разностей, методов моделирования на ЭВМ и методов матричной и векторной алгебры.

Теоретическое значение работы состоит в том, что в ней представлены оригинальные математические модели и методы их численной реализации, позволяющие существенно расширить круг решаемых задач магнитной гидродинамики.

Практическое значение работы определяется возможностью использования предложенных приближений в инженерных расчетах по оценке влияния магнитных полей на характер течения вязкой проводящей жидкости в трубах и каналах. Результаты работы использовались при выполнении курсовых и дипломных работ студентами ММФ ТГУ.

Публикации по работе

1. Корнелик С.Е., Клевцова А.В,.Павлова O.A. Движение эритроцита в аневризме кровеносного сосуда под действием магнитного поля. // Вычислительная гидродинамика, г. Томск. Изд-во Томского университета. 1999г, с. 68-74,

2. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Приближение «узкого канала» для течения электропроводящей жидкости. // Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации. 2001. №4, с. 53-64.

3. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Течение электропроводящих жидкостей в тонких трубках в поперечном магнитном поле //Математическое моделирование. 2003. Т. 15 №9, с. 76-87.

4. Бубенчиков A.M., Клевцова А.В, Харламов С.Н. Закрученный поток проводящей жидкости в узких трубах при наличии магнитного поля. //Математическое моделирование. 2004. Т. 16, №9, с. 109-122

Апробация работы

Основные результаты работы докладывались:

1. На III Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (2—4 октября 2002 г., г. Томск).

2. На Международной конференции по математике и механике (16-18 сентября 2003 г., г. Томск).

3. На IV Всероссийской конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» (5-7 октября 2004, г. Томск).

4. На семинаре кафедры вычислительной математики и компьютерного моделирования ТГУ под руководством профессора A.B. Старченко.

- 125. На семинарах кафедры теоретической механики ТГУ под руководством профессора A.M. Бубенчикова.

- 1064.4. Выводы

1. Предложен алгоритм для решения автомодельных задач магнитной гидродинамики, состоящий в использовании полярных координат, специального условия в начале координат, симметричных разностей и метода Гаусса-Зейделя.

2. Расчетами выявлено, что движение проводящей среды в рельсовой камере, находящейся в поперечном магнитном поле, индуцирует электрические токи во внешней электрической цепи.

3. Эти токи становятся причиной снижения сопротивления в сравнении со случаем течения проводящей жидкости в канале с изолированными стенками.

- 107-Заключсние

Таким образом, в работе:

1. Получено граничное условие, позволяющее вычислять значения искомых магнитогидродинамических величин на полярной оси при неосесимметри-ческих процессах.

2. Разрешена координатная неопределенность, возникающая при вычислениях радиальной и окружной компонент скорости на оси трубы.

3. Построено осесимметричное приближение для описания незакрученно-го МГД-течения в узких осесимметричных трубках.

4. Предложено также осесимметричное приближение для описания закрученного МГД-потока в трубках круглого поперечного сечения.

5. Выявлен эффект увеличения скорости за счет движения заряженных частиц поперек потока в каналах с частично проводящими стенками.

Достоверность полученных результатов обеспечивается проведением тестовых расчетов, сравнением с аналитическим решением. А так же сравнением с экспериментальными данными по профилям скорости коэффициенту сопротивления.

Научная новизна работы состоит в разработке простых осесимметричных приближений МГД-течений для незакрученного и закрученного потоков, а также в разработке эффективного алгоритма для численного решения неосе-симметричных задач в цилиндрических координатах.

В настоящей работе использовано допущение 11ет «1, которое гарантирует слабый уровень индуцированных магнитных полей. В результате чего магнитное поле не может быть причиной изменяющей поперечный градиент давления. Поэтому, модель приближения «узкого канала», распространенная в обычной динамике вязкой жидкости нашла здесь широкое применение в МГД постановках задач. Однако, известно, что модель безындукционного приближения в случае стабилизированного (автомодельного) движения совпадает с точной постановкой задачи. Поэтому все решения, представленные в диссертации и относящиеся к этому случаю следует рассматривать как результат использования строгой постановки задачи. Нельзя не отметить, что вычислительная технология, примененная нами для решения задач о развивающихся течениях неотъемлемой частью которой является SIMPLE процедура, примененная для разрешения движений малой интенсивности в плоскостях нормальных сечений канала все-таки является достаточно сложной. По-видимому, здесь могут быть предложены более простые решения, опирающиеся на дальнейшее упрощение исходных уравнений.

1. Адамчевский И. Электрическая проводимость жидких диэлектриков. — JL: Энергия, 1972. Френкель Я. И. Собрание избранных трудов

2. Бубенчиков A.M., Харламов С.Н. Модель расчета турбулентного течения равновесного диссоциирующего газа в канале//Мат. моделирование. 1992, Т.4. №3. с. 3-10.

3. Бубенчиков A.M., Ливаев Р.З. Некоторые автомодельные задачи магнитной гидродинамики// Вестник ТГУ. Бюллетень оперативной научной информации 2001, №4. с. 32-35.

4. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Течение электропроводящих жидкостей в тонких трубках в поперечном магнитном поле //Математическое моделирование. Т.15 №9, 2003 г.

5. Бубенчиков А.М, Харламов С.Н. Математические модели неоднородной анизотропной турбулентности во внутренних течениях. Томск. Издательство Томского государственного университета, 2001. — 448 с.

6. Бубенчиков A.M., Клевцова A.B., Фирсов Д.К. Приближение «узкого канала» для течения электропроводящей жидкости. // Вестник ТГУ, бюллетень оперативной научной информации, численные модели в динамики вязкой жидкости, №4, стр. 53-64, август 2001г.

7. Бубенчиков A.M., Клевцова А.В, Харламов С.Н. Закрученный поток проводящей жидкости в узких трубах при наличии магнитного поля. //Математическое моделирование. .Т. 16, №9, стр. 109-122, 2004г.

8. Ватажин А. Б., Любимов Г. А., Регирер С. А. Магнитогидродинамиче-ские течения в каналах. М.: Наука, 1970.

9. Гринберг Г.А. Об установившемся течении проводящей жидкости в прямолинейной трубе с двумя непроводящими стенками и двумя про- Поводящими, параллельными внешнему магнитному полю // Прикладнаяматематика и механика т.ХХУ, 1961, с.1024-1034.

10. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика. М. Изд-во Иностранной литературы, 1959.- 132 с.

11. Кирко И. М. Жидкий металл в электромагнитном полею М. JL «Энергия», 1964.

12. Корнелик С.Е., Клевцова A.B., Павлова O.A. Движение эритроцита в аневризме кровеносного сосуда под действием магнитного поля. // Вычислительная гидродинамика, изд Томского университета, стр. 6874, 1999г.

13. Кочин Н. В., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. — М.: Физматгиз., 1963, ч. I.

14. Куликовский А. Г. О медленных стационарных течениях проводящей жидкости при больших числах Гартмана. «Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа», 1968, №2, с.3-10.

15. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. М.: Физматгиз, 1959.

16. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. М.: Гостех-издат, 1959.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука 1986. 736с.

18. Левицкий Е. Ф., Кузьменко А.И., Лаптев Б.И. Комплексное применение природных лечебных факторов и поля постоянных магнитов в эксперименте и клинике. Томск. Изд-во Томского госуниверситета 2001 154с.

19. Лиелаусис О. А. Гидродинамика жидкометаллических МГД-устройств. Рига, «Зинатне», 1967.

20. Остроумов Г. А. К вопросу о гидродинамике электрических разрядов. -ЖТФ, 1954. Т. 24, №Ю, с. 1915.

21. Остроумов Г. А. Наблюдение электрокондуктивной конвекции в электролитах. ЖЭТФ, 1955. Т. 29, №4 (10), с. 529.

22. Остроумов Г. А. О результатах измерения электропроводности изолирующих жидкостей. ЖЭТФ, 1961. Т. 41, №2 (8), с.441-444.

23. Остроумов Г. А. Электрическая конвекция (обзор) ИФЖ, 1966. Т. 10, №5, с. 683.

24. Остроумов Г. А. Об «инжекции зарядов» в изолирующей жидкости при электроакустических явлениях. Электронная обработка материалов. Кишинев, 1975, №1 (61), с. 35-37.

25. Остроумов Г. А. Взаимодействие электрических и гидродинамических полей. М.: Наука, 1979. 316 с.

26. Памфилов А. В. , Долгая О. М. Журнал физической химии, 1963, Т. 37, №8, с. 1800-1804.

27. Патанкар С. Методы решения задач теплообмена и динамики жидкости. Москва. Энергоатомиздат. 1984.-152с.

28. Рубашов И. Б., Бортников Ю. С. Электрогазодинамика. — М.: Атомиз-дат, 1971.

29. Симуни Л.М. Численное решение задач о теплообмене при изотермическом движении вязкой жидкости в плоской трубе// ИФЖ. 1966 Т.10 №1. с.86-91.

30. Сканави Г. И. Физика диэлектриков (область слабых полей). М. — JL: Гостехиздат, 1949.

31. Старченко A.B., Бубенчиков A.M., Бурлуцкий Е.С. Математическая модель неизотермического турбулентоного течения газовзвеси в трубе на основе смешанного эйлерово-лагранжевого представления // ТВТ -2002. Т.4, №3. С. 449-459.

32. Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М. JL: Гостехиздат, 1948.

33. Сухотин А. М. Вопросы теории растворов электролитов в средах с низкой диэлектрической проводимостью. — М.: Госхимиздат, 1959.

34. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1966.

35. Тананаев А. В. Течения в каналах МГД-устройств. М.: Атомиздат,1979.-368 с.

36. Тучин H. M. Влияние проводимости стенки на сопротивление движению жидкого металла в круглой трубе в магнитном поле. — «Теплофизика высоких температур», 1963, т. 1, №1, с. 118-120.

37. Уфлянд Я. С. Установившееся течение электропроводящей жидкости в прямоугольном канале при наличии поперечного магнитного поля. -«Журнал тех. физики», 1960, т. 30, №10, с. 1256-1258.

38. Френкель Я. И. К теории электрического пробоя в диэлектриках и электронных полупроводниках. — ЖЭТФ, 1938. Т. 8, №12, с. 12921302.

39. Френкель Я. И. Собрание избранных трудов. M. - JL: Изд-во АН СССР, 1968, т. 2.

40. Хожаинов А. И. Турбулентное течение жидкого металла в магнито-гидродинамических каналах круглого сечения. «Журнал тех. физики», 1966. т. 36, №1, с. 147-150.

41. Шерклиф Дж. Теория электромагнитного измерения расхода. М. «Мир», 1965.

42. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712с.

43. Якубенко А. Е. Стационарное течение вязкой несжимаемой проводящей по трубам в однородном и неоднородном магнитном поле. -«Изв. АН СССР. Отд. тех. наук», 1961, №1, с. 90-95.

44. Bleviss Z. О. Magnetogasdynamics of hypersonic Couette flow. "J Aerospace Sei." 1958, v. 25, №10, p. 601-615.

45. Chang C. C., Lundgren T. S. Duct flow in magnetohydrodynamics. -"ZangewMath. andPhys.", 1961, Bd 12H. 2, S. 100-144.

46. Gardner R.A., Liroudis P.S. Magneto-fluid-mechanics pipe flow in a bran-swse magnetic field. Part 2//Jeurnal of Fluid Mechanics, 1971. Vol. 43, pt. l,p. 129-141.

47. Gold R. R. Magnetohydrodynamic pipe flow. Part 1. "J. Fluid Mech.", 1962, v. 13, part 4, p.505-512.- 11348. Hartmann J. Hg-Dynamics. I. Det. Kgl. Danske Videnskab Selskab.

48. Math.-fys. Medd.", 1937, Bd 15, №6.

49. Hartman J., Lasarus F. Hg.-Dynamics. II Det. Kgl. Danske Videnskab. Selskab. "Math.-fys. Medd.", 1937, Bd 15, №7.

50. Hunt J.C.R. Magneto hydrodynamic flow in rectangular ducts. «J.Fluid Mech.», 1965. V.21, part 4, p. 577-590.

51. Hunt J. C. R. Aunigucness theorem for magnetohydrodynamic duct flows. "Proc. Cambridge. Philos. Soc.", 1969. v. 65, №2, p.319.

52. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields. -"Bull. Sci. and Engng Res. Lab. Waseda Univ.", 1963, v. 22, p. 1-9.

53. Ihara S., Tajima K., Matsushima A. The flow of conducting fluids in circular pipes with finite conductivity under uniform traverse magnetic fields. -"Trans. ASME", v. 89, №1, p.29-36.

54. Kohlrausch F. Praktische Physik. -Lpz.rTeubner, 1955. B. 2.

55. LockR. C., Proc. Roy. Soc., 233A, 105,1955.

56. Maciulaitis A., Loeffler A. L., Calcanes J. I. Experimental investigation of MHD-flows through circular numbers. In: Intern. Symp. on magnetohydrodynamic power generation. Solzburg, 1966, SM 74/195.

57. Murgatroyd W. Phil. Mag., 44, 1348 (1955).

58. Shercliff J. A. Steady motion of conducting fluids in pipes under traverse magnetic fields. "Proc. Cambridge. Philos. Soc.", 1953, v. 49, №1, p. 136144.

59. Shercliff J. A. The flow of conducting fluids in circular pipes under traverse magnetic fields. "J. Fluid Mech.", 1956, v. 1, part 6, p.644-666.

60. Stnart J. T., Proc. Roy. Soc., 221A, 189, 1954.