автореферат диссертации по энергетике, 05.14.03, диссертация на тему:Новые алгоритмы метода Монте-Карло для решения нейтронно-физических задач и верификации инженерных программ расчета реакторов

1 АЛГОРИТМ АЛИГР. ПРАКТИЧЕСКОЕ ПРИМЕНЕНИЕ.

1.1 Алгоритм АЛИГР.

1.2 Применение алгоритма АЛИГР для моделирования реактора ИГР.

1.3 Применение алгоритма АЛИГР для моделирования реактора СМ.

1.4 Применение алгоритма АЛИГР для моделирования реактора ПУГР.

2 РАСЧЕТ НФХ В РЕАКТОРЕ ПУГР.

2.1 Алгоритм расчета выгорания в реакторах ПУГР.

2.2 Верификация алгоритма расчета выгорания в реакторах ПУГР.

2.3 Расчет выгорания в реакторах ПУГР.

3 ВЕРИФИКАЦИЯ ПРЕЦИЗИОННЫХ ПРОГРАММ.

3.1 Общие положения.

3.2 Методика верификации прецизионных программ.

3.3 Численные тестовые задачи расчета стационарных состояний.

3.4 Эксперименты на критическом стенде ГРОГ.

3.5 Численные тестовые задачи расчета выгорания.

4 ВЕРИФИКАЦИЯ ИНЖЕНЕРНЫХ ПРОГРАММ.

4.1 Верификация программ расчета реакторов ВВЭР с урановым топливом.*.

4.2 Верификация программ расчета реакторов ВВЭР с МОХ топливом.

4.3 Верификация инженерных программ расчета реактора ПУГР.

Актуальность темы, цель, научная новизна, практическая ценность работы

В современной ядерной энергетике и реакторостроении все более широкое применение получают программы нейтронно-физического расчета, реализующие для решения уравнения переноса нейтронов метод Монте-Карло и базирующиеся на оцененных ядерных данных. Это обусловлено следующими основными факторами:

- жесткими требованиями к безопасности существующих, модернизируемых и проектируемых ядерных энергетических, промышленных, транспортных и исследовательских реакторов;

- жесткими требованиями к точности инженерных программ расчета реакторов, используемых для решения задач, связанных с ядерной безопасностью, с учетом того, что верификация инженерных программ в значительной степени основывается на сравнении с прецизионными программами метода Монте-Карло;

- наблюдающимся в 90-х годах лавинообразным ростом производительности ЭВМ (по некоторым оценкам производительность процессоров персональных компьютеров растет на 100% в год) с одновременным снижением их стоимости, что дает возможность применять времяемкие методы расчета реакторов, не нашедшие широкого применения в 70-х, 80-х годах из-за слабости и дороговизны вычислительной техники того времени;

- новым подходом к оценке benchmark экспериментов, которая, как правило, проводится с использованием прецизионных программ метода Монте-Карло, для проверки точности описания математических моделей этих экспериментов.

Отсюда следует актуальность проблемы совершенствования программ, основанных на методе Монте-Карло и используемых для исследований реакторных систем. Решение этой проблемы способствует не только повышению безопасности и эффективности эксплуатации реакторов и проводимых на них 4 различных исследований, но и существенно ускоряет поиски наиболее оптимальных вариантов конструкции реакторов, одновременно сокращая материальные затраты на их экспериментальное обоснование.

Другим важным фактором является то, что в научных разработках, касающихся нейтронно-физических расчетов реакторов, очень часто встречаются задачи, где необходимо принимать во внимание такие особенности, как существенные геометрические неоднородности в структуре рассчитываемой системы и вызванные ими значительные градиенты нейтронного потока. Это требует детального учета энергетической и угловой зависимости сечений взаимодействия нейтронов с веществом, детального описания геометрии активной зоны и составляющих ее элементов.

Многие подобные задачи наиболее точно могут быть решены с помощью использования метода Монте-Карло. Поэтому программы, реализующие этот метод, являются общепризнанным инструментом для проведения прецизионных расчетов, точность которых лимитируется только погрешностями в оцененных ядерных данных, что позволяет, в частности, значительно увеличить ценность информации, получаемой в "вычислительных экспериментах".

Наряду с потребностью обеспечения высокой точности расчетов постоянно растет стремление к повышению их оперативности путем использования инженерных программ. Использование прецизионных средств моделирования переноса нейтронов для верификации таких программ позволяет существенно повысить точность расчетов соответствующих реакторных параметров.

В настоящее время существует целый ряд прецизионных программ, реализующих для расчета переноса излучения метод Монте-Карло, которые постоянно развиваются в рамках конкурирующих долговременных проектов во многих странах мира. Примерами таких программ являются:

• Программа MCNP [1] (США, более 500 человеко-лет);

• Программа KENO (США), входящая в систему SCALE [2 ];

• Программа MONK [3] (Великобритания) является аттестованной официальными органами Великобритании программой (имеет знак качества:

Quality Assurance);

• Программа MVP [4] (Япония);

• Программа MCU-RFFI/A [5] (Россия, более 200 человеко-лет) является аттестованной в Г АН РФ.

Основные требования к прецизионным программам таковы:

• они должны позволять моделировать системы со сколь угодно сложной геометрией без каких-либо аппроксимаций в их описании;

• моделирование должно проводиться с точностью, определяемой только точностью фундаментальных ядерных данных, определяемых на основе микроэкспериментов по измерению сечений и содержащихся в международных файлах оцененных ядерных данных;

• используемые ядерные данные должны быть универсальными, не зависящими ни от типа рассматриваемых систем, ни от их геометрии;

• точность моделирования должна быть не ниже, чем достигаемая в лучших бенчмарк экспериментах, так как одним из важных применений программ V является проверка качества критических экспериментов;

• программы должны позволять оценивать целесообразность проведения новых критических экспериментов с точки зрения их информативности для уточнения библиотек ядерных констант;

Целью диссертационной работы является разработка и верификация новых алгоритмов и программ метода Монте-Карло, предназначенных для решения различных нейтронно-физических задач и верификации инженерных программ расчета ядерных реакторов.

Научная новизна работы заключается в том, что:

• разработан новый неаналоговый алгоритм АЛИГР моделирования переноса нейтронов в реакторе, предназначенный для расчета функционалов потока в малых образцах, помещенных в большой реактор;

• разработан и реализован в программе MCU-RFFI/A, основанной на методе Монте-Карло, модифицированный вариант алгоритма АЛИГР для решения задач выгорания топлива;

• создан новый оригинальный алгоритм моделирования переноса нейтронов в реакторе, учитывающий различные скорости выгорания в сложных сильно гетерогенных системах и позволивший на порядок сократить время расчета;

• создана методика верификации прецизионных программ расчета реакторов, основанная на сравнении с другими программами прецизионного класса;

• создана методика верификации инженерных программ, основанная на широком использовании прецизионных программам семейства МСИ. Практическая ценность работы определяется следующими положениями:

1. На основе использования алгоритма АЛИГР создана программа МСи-ИГЛ/ГСЯ, с помощью которой проведен расчетный анализ результатов испытаний твэлов типа ВВЭР-1000 на импульсном графитовом реакторе (далее ИГР).

2. На основе использования модифицированного алгоритма АЛИГР проведен расчетный анализ экспериментов по исследованию полей излучения в высокопоточном реакторе СМ. Алгоритм АЛИГР включен в программу МСШ/БМ, предназначенную для расчета нейтронно-физических характеристик (атласа) экспериментальных каналов реактора СМ.

3.Создана, верифицирована и внедрена для проектных расчетов программа МСи-РЯ, показавшая высокую эффективность алгоритма АЛИГР. Программа МСИ-РЯ использовалась для подбора характеристик конверсионной активной зоны промышленного уран-графитового реактора (далее ПУГР). Каналы реактора, имея сильную гетерогенность по высоте, содержат выгорающий поглотитель из гадолиния, точный расчет выгорания которого оказался возможным только с использованием алгоритма АЛИГР. По созданной программе проведены и проводятся успешные проектные расчеты. Данный проект выполняется в рамках Российско-Американского соглашения от 22 сентября 1997 года.

4. С целью верификации инженерных программ расчета реакторов был создан специальный программный модуль USER, входящий в состав программ MCU-RFFI/A, MCU-PR. Модуль USER предназначен для:

• регистрации дополнительных нейтронно-физических характеристик (далее - НФХ), для сопоставления с результатами расчетов по инженерным программам;

• удобного представления некоторых нейтронно-физических характеристик, полученных по программам MCU-RFFI/A, MCU-PR, таких, как потвэльное поле энерговыделения в кассетах реактора ВВЭР, распределение скорости реакции поглощения и концентрации изотопов гадолиния по объему гадо-линиевого поглотителя.

5. Проведена большая работа по верификации ряда инженерных программ расчета реакторов:

• КАССЕТА-ТВЭГ, ТВС-М - программы расчета кассет реакторов ВВЭР с урановым и МОХ топливом, содержащих выгорающие поглотители: тепловыделяющими элементами с гадолинием (далее твэг);

• САСНЗР, BARS - программы расчета реакторов ГГУГР.

Постановка задачи моделирования процесса переноса нейтронов методом Монте-Карло применительно к семейству программ MCU

Общие сведения

Решение задач о критичности различных размножающих нейтроны систем методом Монте-Карло, математически означает, что для рассматриваемой системы решается однородное кинетическое уравнение с заданными граничными условиями, описывающее распределение в ней потока нейтронов. При этом вычисляются эффективный коэффициент размножения Кеf системы, различные скорости реакций и другие функционалы нейтронного потока.

Системой называется любая конечная область V пространства с заданными физическими свойствами.

Система состоит из геометрических зон, ограниченных поверхностями второго порядка, параметры которых задаются в исходных данных. Каждая зона 8 заполнена однородным материалом. Предполагается, что система состоит из конечного числа геометрических зон и материалов. Каждый материал определяется:

• температурой;

• списком нуклидов, содержащихся в нем;

• ядерной концентрацией нуклидов.

Грани чн ые условия

Все граничные условия можно разделить на два класса:

• условия, отображающие симметрии системы;

• условия, отображающие физические свойства системы.

Симметрия - это движения трехмерного пространства, по отношению к которым описание системы инвариантно. В программе МСИ можно задать следующие симметрии:

• зеркальная симметрия;

• поворотная симметрия;

• сдвиговая (трансляционная) симметрия.

Можно использовать следующие физические граничные условия:

• черная поглощающая поверхность;

• зеркальное отражение;

• белое отражение;

• граничные условия, соответствующие задаче с утечкой, заданной бак-лингом.

Кроме условий утечки и отражения допускается их комбинация, когда на внешней поверхности системы задается некоторое положительное альбедо а<1. При пересечении траекторией нейтрона поверхности с вероятностью а происходит отражение, а с вероятностью (1-а) - поглощение.

Описание геометрии

Программа МСи позволяет моделировать системы, состоящие из объемных элементов практически произвольной формы. Она позволяет моделировать трехмерные системы с произвольной геометрией, используя комбинаторный подход, основанный на описании сложных пространственных форм комбинациями простых тел или поверхностей с помощью теоретико-множественных операций пересечения, дополнения и объединения.

Имеется некоторый набор типов тел-примитивов. Для каждого типа тела имеется система параметров, полностью описывающая форму конкретного тела и его положение в пространстве. Каждому типу тела соответствует программа, определяющая точки пересечения любой прямой с любым конкретным телом этого типа. Для обеспечения эффективности счета все тела ограничены плоскостями или поверхностями второго порядка.

Возможно задание решеток, получаемых размножением некоторых исходных элементов, заданных с помощью комбинаторики.

Моделирование взаимодействий нейтронов с веществом

Константное обеспечение программы MCU составляет библиотека DLC/MCUDAT, которая состоит из следующих разделов:

АСЕ - библиотека сечений взаимодействия нейтронов с ядрами в эпитепло-вой области энергий в поточечном представлении, полученная из файлов ENDF/B-VI и других источников;

БНАБ/MCU - расширенная и модифицированная версия 26-групповой системы констант БНАБ-78;

LIPAR - резонансные параметры нуклидов в области разрешенных резо-нансов;

ТЕПКОН - 40-групповые сечения для области термализации с границей 1 эВ;

ВЕСТА - библиотека для моделирования столкновений нейтронов с ядрами с учетом непрерывного изменения энергии нейтронов в области термализации, подготовленная в форме вероятностных таблиц, полученных из законов рассеяния S(a,p).

DLC/MCUDAT-1.3 содержит информацию для 282 изотопа.

Моделирование столкновений

Физический модуль программы МС11 позволяет проводить моделирование столкновений нейтронов с веществом на базе перечисленных систем констант, при этом допускается использование различных моделей взаимодействия. В частности, допускается моделирование:

- с непрерывным слежением по энергии при минимальном искажении информации о взаимодействии нейтрона с веществом, содержащейся в файлах оцененных нейтронных данных, в быстрой энергетической области (выше 0.1 МэВ);

- в многогрупповом приближении с использованием данных библиотек БНАБ/МСи и ТЕПКОН. Библиотека ТЕНКОН позволяет учитывать эффекты термализации;

- с дополнительными возможностями учета детальной структуры сечений в области разрешенных резонансов, подгруппового описания неразрешенных резонансов и моделирования непрерывного изменения энергии нейтронов в области энергий ниже 0.1 МэВ;

- с непрерывным слежением по энергии с учетом корреляции между изменением энергии и направления полета нейтрона, принимая во внимание когерентные эффекты, в области термализации.

Для нейтронов учитываются особенности взаимодействия в разных энергетических областях путем использования набора физических подмодулей. Модуль СОФИЗМ включает в себя набор физических подмодулей, которые используют различные библиотеки констант и реализуют различные модели описания взаимодействия нейтронов с веществом. Составной физический модуль позволяет объединить различные частные модели для разных областей энергий в одну, описывающую взаимодействие нейтронов с веществом во всей области энергий.

В стандартную компоновку программы МСи входят следующие подмодули:

РАЛЮГЧ, работающий в области быстрых нейтронов (энергия нейтрона от

20 МэВ до 100 КэВ);

ФИМБРОЭН, предназначенный для моделирования взаимодействия нейтронов с веществом в эпитепловой области;

МОФИТТГ - для области термализации нейтронов (многогрупповое транспортное приближение);

ФИМТОЭН - альтернативный МОФИТТГ подмодуль для области термализации нейтронов, в котором реализовано непрерывное слежение за энергией нейтрона с использованием поточечного представления сечений.

Для каждого из подмодулей определяются свои наиболее характерные понятия, позволяющие на языке ввода исходных данных задать модели взаимодействия нейтронов с ядрами среды, используемые приближения и другую информацию.

В ФИМБРОЭН вводятся понятия резонансного, подгруппового и группового нуклидов.

Резонансный - это такой нуклид, для которого сечения захвата, деления и упругого рассеяния в области разрешенных резонансов в каждой энергетической точке рассчитываются всякий раз, когда эти сечения требуются. Расчет производиться по резонансным параметрам из библиотеки LIPAR. В области неразрешенных резонансов сечения такого нуклида вычисляются по под-групповым параметрам, а в случае их отсутствия в библиотеке БНАБ/MCU, с учетом f-факторов.

Подгрупповой - это такой нуклид, для описания резонансной структуры сечений которого используется метод подгрупп во всей области резонансных энергий.

Групповой - это такой нуклид, у которого резонансная самоэкранировка сечений либо не учитывается, либо учитывается при помощи f-факторов.

Точность расчетов резонансных эффектов увеличивается при переходе от f-факторов к подгрупповому представлению сечений и далее к поточечному. При этом соответственно увеличивается время счета. Это обстоятельство следует иметь в виду при выборе способа учета резонансной структуры сечений каждого изотопа в каждом конкретном варианте.

Для тепловых подмодулей МОФИТТГ и ФИМТОЭН в исходных данных необходимо указать модель, по которой будет происходить розыгрыш рассеяния нейтронов. Под словом модель здесь имеется ввиду не только учет или неучет химических связей атомов, но и выбранную оценку спектра собственных частот атома при учете химических связей, а также учет или неучет когерентных эффектов.

Моделирование траекторий

Используемый в программе метод Монте-Карло позволяет статистически моделировать истории нейтронов в веществе, а именно:

• рождение нейтронов;

• определение прямолинейных участков траекторий нейтронов от точки рождения до точки столкновения, между двумя последовательными точками столкновения, от последней точки столкновения до поглощения или вылета нейтрона из системы;

• взаимодействие нейтрона с веществом, в частности, акты столкновения нейтронов с ядрами;

• рождение новых нейтронов при делении ядер и других процессах. Моделирование проводится на основе точного описания геометрической структуры и материального состава исследуемых систем и использования статистических законов взаимодействия нейтронов с веществом, параметры которых содержатся в библиотеках нейтронно-физических констант.

Важным для моделирования является понятие веса Ж, моделируемых частиц. При аналоговом моделировании траекторий нейтронов методом Монте-Карло достаточно моделировать траектории отдельных нейтронов. Однако, это часто бывает неудобно, т.к. ухудшается эффективность счета, становится невозможным решение некоторых задач, например, задачи о системе с утечкой, заданной баклингом, когда граничное условие описывается комплексной функцией. Поэтому традиционно в программах Монте-Карло используются неаналоговые методы, когда одновременно моделируется не одна, а сразу IV

13 частиц, которые перемещаются по одной траектории и рассматриваются как одна макрочастица. Число W нейтронов в одной макрочастице называется ее весом. Моделирование столкновения такой макрочастицы с ядром, поглощающим нейтроны с вероятностью Р может проводиться двумя альтернативными способами:

• с вероятностью Р макрочастица исчезает (другими словами ее вес становится равным нулю),

• вес макрочастицы изменяется в Р раз и становится равным WP. Очевидно, что оба способа моделирования эквивалентны и приведенный выше пример пригоден для описания любого акта взаимодействия нейтронов с веществом. Например, при п-2п реакции не обязательно моделировать рождение двух нейтронов, достаточно удвоить вес одного появившегося нейтрона.

Моделирование траекторий нейтронов при решение задачи о критичности

Решение задач на критичность проводится методом поколений. В каждом поколении моделируются траектории одного и того же числа нейтронов NTOT, задаваемого в исходных данных. Моделирование траекторий проводится стандартным образом от точки рождения нейтрона до точки поглощения. В первом поколении начальные координаты нейтронов разыгрываются в соответствии с функцией распределения изотропного точечного источника с заданным энергетическим спектром. Для последующих поколений новые нейтроны рождаются в точках поглощения нейтронов предыдущего поколения. В точке поглощения разыгрывается сорт ядра, на котором произошло поглощение. Считается, что поглотившее нейтрон ядро рождает в реvZf зультате деления новый нейтрон с весом —-, и с энергией, разыгрываемой

Е а по спектру деления поглотившего нейтрон ядра. После того как промоделированы все нейтроны одного поколения, веса нейтронов нового поколения умножаются на постоянный множитель, выбираемый так, чтобы суммарный вес новых нейтронов был бы вновь равен числу NTOT.

Процесс моделирования по поколениям эквивалентен итерационному решению задачи об условно критической системе, когда реальное число вторичных нейтронов деления нормируется с помощью множителя так, чтобы система была критичной. Известно, что хотя все подобные методы являются приближенными, они асимптотически точны при корректном выборе специальных параметров, регулирующих моделирование. Эти параметры зависят от конкретного алгоритма моделирования. В MCU используется алгоритм, в котором сохранение веса в каждом поколении обеспечивается сохранением в нем одного и того же числа NTOT нейтронов деления с единичным весом. В этом случае систематическая ошибка стремится к нулю обратно пропорционально числу NTOT.

Расчет статистических ошибок проводится в приближении, в котором каждые последовательные NBATCH поколений частиц, называемых сериями, считаются независимыми. Точность этого приближения увеличивается с увеличением значения NBATCH, которое задается в исходных данных.

Вычисление функционалов потока

В процессе моделирования поколений нейтронов вычисляется стандартный набор линейных и дробно-линейных функционалов нейтронного потока и их статистические ошибки.

Линейные функционалы выражаются интегралами вида: = J Jr |di2 |dE <р(г,0,Е)Ф(г,0,Е)

Я' SO SE где drdOdE - область интегрирования в фазовом пространстве, в котором координаты частицы определяются радиусом-вектором г, направлением скорости Q и значением энергии частицы Е\ f(r,f2,E) - весовая функция, определяющая конкретный вид функционала;

Ф{г, Q.E) - функция распределения потока нейтронов.

Все функционалы нормированы на поток от единичной первичной частицы.

В частности, это означает, что сумма скоростей реакций поглощения и утечки равна единице, а поток в геометрической зоне имеет размерность см"1.

Эффективный коэффициент размножения при такой нормировке определяется интегралом: keff=\dr \dQ \dE vZf(r,n,E)0(r,n,E)

V 4 it 0< ¿T<oo

Дробно-линейные функционалы (например, средние сечения) являются частными от деления двух линейных функционалов.

Статистическая ошибка расчета линейных функционалов (статистическая погрешность) определяется как среднеквадратичное отклонение = D05 где D - выборочное значение дисперсии случайной величины, используемой для оценки функционала.

Дисперсии дробно линейных функционалов вида z=x/y вычисляются по формуле:

Dz = У

Рх 2М(х-х)(у-у) Ру

2 \ X ■ ху

2 У J где х и у - выборочные значения математических ожиданий случайных величин х и у, Э и М - соответственно символы дисперсии и математического ожидания.

Стандартные области интегрирования.

При вычислении функционалов используются следующие стандартные области интегрирования:

• полный объем V, занятый системой в фазовом пространстве;

• регистрационные зоны - объединения нескольких геометрических зон, состоящих из одинаковых материалов (в простейшем случае регистрационная зона может совпадать с геометрической);

• регистрационные объекты - альтернативные объединения нескольких геометрических зон, которые могут состоять из различных материалов (например, многозонная ячейка реактора);

• регистрационные энергетические группы, определяемые как энергетические интервалы, заданные своими верхними и нижними границами.

Для регистрационных зон и объектов вычисляются различные стандартные наборы функционалов.

Определение регистрационных зон и объектов, т.е. установление взаимно однозначного соответствия между этими зонами и геометрическими зонами, производится при задании исходных данных к геометрическому модулю. При этом каждому объекту и каждой регистрационной зоне присваивается свой индивидуальный номер.

Классификация функционалов

В зависимости от выбора фазовых областей, по которым проводится интегрирование, в модуле регистрации используется следующая классификация функционалов:

• глобальные функционалы - интегралы по всей области фазового пространства, в которой определена рассчитываемая система;

• функционалы для объектов - интегралы по объему, занимаемому объектом;

• функционалы для регистрационных зон - интегралы по объему, занимаемому регистрационной зоной.

Все перечисленные классы функционалов могут регистрироваться для любого набора энергетических групп.

Функционалы вычисляются с помощью стандартных оценок, используемых в методах Монте-Карло.

Используются следующие оценки, вносящие вклад в оцениваемые функционалы на каждой траектории: по точкам столкновений, т= 1 tot \ ~т I где Wm - вес в точке столкновения, am- номер точки столкновения; по длине пробега, м

II'

1 = Ц(Р (ги )/„, m-lW, т = 1 где 1Ут - вес в точке регистрации, ш - номер точки пересечения траектории нейтрона с границей геометрической зоны, /„, тЧ - длина траектории в зоне; по точкам поглощения, где Р¥а - вес в точке поглощения.

Выборочные значения математических ожиданий и дисперсий оцениваются по стандартным формулам (последние для независимых величин).

Обзор аналоговых и неаналоговых методов, применяемых в программах метода Монте-Карло

В компьютерных кодах метода Монте-Карло обычно используются четыре основные класса алгоритмов снижения дисперсии от самых простых до экзотически сложных.

Методы «отбрасывания» (Truncation) - являются самыми простыми из методов снижения дисперсии. Они ускоряют расчеты посредством «отбрасывания» частей фазового пространства, которые не вносят значительного вклада в решение. Простейший пример - геометрическое «отбрасывание», в котором неважные части геометрии просто не моделируются. Пример специального метода - «отбрасывание» по энергии.

Методы контроля поколений - используют расщепление частиц и Русскую рулетку для управления количеством событий, происходящих в различных областях фазового пространства. В важных областях моделируется большое количество траекторий частиц с малыми весами, в то время, как в неважных областях моделирование производится для малого количества частиц с большими весами. Вес регулируется так, чтобы решение задачи оставалось несмещенным.

К методам контроля поколений относятся: геометрическое расщепление и русская рулетка, расщепление/рулетка по энергии, весовое «отбрасывание», и весовые окна.

Модифицированные методы моделирования - изменяют статистическое моделирование задачи для увеличения количества регистраций на частицу. Для любого монтекарловского события возможно моделирование любого произвольного распределения, а не физической вероятности, с последующей регулировкой веса для компенсации изменений. Таким образом, с помощью модифицированных методов моделирования, происходит розыгрыш распределений, который посылает частицы в нужные направления или в другие области фазового пространства, такие как энергия, или изменяют место или тип столкновения. К этим методам относятся: экспоненциальное преобразование, неаналоговое (implicit) поглощение, принудительное преобразование (forced) столкновения, смещение источника.

Частично-детерминистские методы - относятся к наиболее сложному классу методов снижения дисперсии. Они модифицируют (изменяют) нормальный процесс случайного блуждания посредством использования алгоритмов детерминистского типа, таких как ВПС (next event estimadors), или посредством управления последовательностью случайных чисел. К таким методам относятся: точечные детекторы, DXTRAN.

7. «Отбрасывание» по энергии

Задается значение энергии отбрасывания. Траектория частицы обрывается, когда ее энергия оказывается ниже Ес , и таким образом, уменьшается время на историю. Метод может применяться только, когда известно, что частицы с низкими энергиями имеют нулевую или почти нулевую значимость.

Замечание

Необходимо помнить, что частицы с малой энергией могут производить высокоэнергетические частицы (например, при делении на тепловых нейтронах). Таким образом, даже если детектор нечувствителен непосредственно к тепловым нейтронам, тепловые нейтроны могут быть важными при регистрации, если рядом с детектором располагается размножающий нейтроны материал.

2. Геометрическое расщепление и Русская рулетка

Геометрическое расщепление (Русская рулетка)- один из старейших и наиболее широко используемых методов снижения дисперсии в компьютерных кодах ММК. При умелом использовании этот метод дает значительный выигрыш в компьютерном времени, затрачиваемом на расчет.

Смысл его заключается в следующем. Если частица движется в «важном» направлении, она расщепляется на несколько частиц для обеспечения более подробного моделирования, но если она движется в «неважном» направлении, она отбрасывается несмещенным способом, чтобы избежать ненужной потери времени.

Для использования этого метода в системе выделяются области пространства с назначенными «важностями» I для каждой области. Важность I должна быть пропорциональна числу - во сколько раз необходимо улучшить моделирование в данной области, по сравнению с соседними областями. Когда частица с весом W попадает из области важностью I в область с большей важностью Г, она расщепляется на несколько одинаковых частиц с меньшим весом согласно следующей процедуре. Если I /Г=п - целое число (п>2), частица расщепляется на п одинаковых частиц с весами W/N Суммарный вес, таким образом, остается неизменным. Если I/ Г - не целое число, но все еще больше 1, расщепление производится вероятностным образом: п берется, как п=[ Г/1] - наибольшее ближайшее целое, р= Г/1 - п.

Затем с вероятностью р используется п+1 частица, и с вероятностью 1-р, используется п частиц, при этом каждой новой частице приписывается вес W*I/I\

С другой стороны, если частица с весом W попадает из области с важностью I в область с меньшей важностью Г, так что Г/1 < 1, разыгрывается Русская рулетка: с вероятностью 1 - (I'/I) частица отбрасывается, с вероятностью

20

Г/1) сохраняется, но с весом W*(I7I)

Обычно важности I назначаются таким образом, чтобы (Г/1<2), а области пространства с различными I выбираются так, чтобы их толщина в направлении преимущественного движения частиц не превышала бы двух длин свободного пробега.

3. Расщепление/рулетка по энергии

Расщепление и рулетка по энергии обычно используются вместе, но могут использоваться и отдельно. а) Расщепление. В некоторых задачах частицы в каких-то энергетических областях имеют большую важность, чем в других. Например, бывает трудно рассчитать количество делений U , т.к. тепловые нейтроны могут быть подвержены сильному захвату, и, следовательно, тепловых нейтронов не хватает для подробного моделирования. В этом случае, если нейтрон замедляется ниже определенного энергетического уровня, он может быть расщеплен на несколько нейтронов с соответствующей корректировкой веса. б) Русская рулетка

Во многих случаях количество траекторий увеличивается с уменьшением энергии, особенно для нейтронов в тепловой области энергии. Эти траектории могут иметь большое количество столкновений, требующих соответственно, значительных затрат компьютерного времени. Они могут быть важны в данной задаче и не могут быть полностью отброшены («отбрасывание» по энергии), но их количество может быть уменьшено посредством розыгрыша русской Рулетки. Таким образом, можно снизить затраты машинного времени. Делается это следующим образом.

Если частица пересекает заданный энергетический уровень, разыгрывается рулетка, основанная на заданной вероятности выживания р.

В случае «выигрыша», траектория частицы продолжается, и ей приписывается увеличенный вес W/p .

4. Отбрасывание по весу (весовая рулетка) / weight cutoff roulette

В этом методе разыгрывается Русская рулетка, когда вес частицы снижается ниже заданного минимального веса W min.

Частица либо "убивается", либо ее вес увеличивается до заданного веса Wnew. В случае применения этого метода совместно с геометрическим расщеплением / русской рулеткой, отбрасывание по весу происходит, когда вес частицы оказывается меньшим Rj * W min, где Rj - отношение важности Г области, откуда прилетела частица, к важности I области куда частица попала. С вероятностью W / (W new -Rj) частица остается с новым весом W new R.T, в противном случае частица "убивается".

5. Весовое окно

Весовое окно - это алгоритм расщепления и Русской рулетки, зависящий от координаты и энергии частицы. Для каждой области фазового пространства ( г ,Е), определяется нижняя весовая граница Wl , вес выживания для частицы при розыгрыше рулетки Ws и верхнюю весовую границу Wu (Рис. В- 1).

Здесь-расшепление

-з;- Wu

Внутри окна - ничего не происходит

--Ws -г—

-- Wl

Розыгрыш рулетки: частица «убивается». либо ее вес увеличивается до Ws ;

Рис. В- 1. Весовое окно

Если частица находится ниже, чем Wl, разыгрывается Русская рулетка, и либо вес частицы оказываются внутри окна, либо частица убивается.

Если частица находится выше, чем Wu, она расщепляется так, чтобы все расщепленные частицы находились внутри окна.

Если частица находится внутри окна - ничего не происходит, и траектория продолжается.

6. Экспоненциальное преобразование

Экспоненциальное преобразование моделирует расстояние до точки столкновения из неаналоговой функции плотности вероятности. Необходимо отметить, что хорошие результаты, полученные с помощью этого метода, относятся к одномерной геометрии и очень часто к задачам, независящим от энергии.

Экспоненциальное преобразование заставляет частицу двигаться в предпочтительном направлении посредством искусственного снижения макроскопического сечения в выбранном направлении и увеличением сечения в противоположном направлении в соответствии с соотношением:

1Г = 1ч (1 - р(х), где - фиктивное измененное сечение;

- реальное полное сечение р - параметр экспоненциального преобразования, используемый для изменения степени смещения, |р| < 1. Может быть константой или р= 1а /Iь при этом ц - косинус угла между предпочтительным направлением и скоростью частицы, ц|<1.

При столкновении вес частицы умножается на множитель \УС, так, чтобы ожидаемый вес столкновения в любой точке сохранялся. Вес частицы подправляется так, чтобы вес, умноженный на вероятность частице пролететь путь Б без столкновения и испытать столкновение на отрезке Б ч- Б + ёБ, оставался постоянным.

Вероятность столкновения на отрезке с!8

Е ехр(-Ез) где I есть либо Еь либо так, что сохранение ожидаемого веса столкновения требует:

I exp(-Is) ds = Wc It* exp(-It* s) ds, или w = ехр(-1,л) ехр(-р£,/л) -*exp(-Z» 1 -рц

Если частица достигла границы геометрической зоны до столкновения, вес частицы подправляется так, чтобы вес, умноженный на вероятность частице пролететь до поверхности, оставался постоянным. Вероятность пролететь расстояние s без столкновения есть: exp(-Is), так что сохранение ожидаемого веса требует: exp(-Es) = Ws exp(-Zt* s) или exp(-E,s)

Для одномерной задачи глубокого прохождения через сильно поглощающую среду погрешность будет уменьшаться при 0 < р < р' , и затем увеличиваться при р' < р < 1 . Выбор р' - задача, требующая опыта и интуиции. Как показывает практика, для задач прохождения нейтронов через бетон или землю р=0.7 есть оптимальное значение.

7. Неаналоговое поглощение (implicit capture)

Неаналоговое поглощение - является «поглощением путем снижения веса». Этот метод снижения дисперсии применяется после того, как выбран нуклид, на котором произойдет столкновение. Пусть: crti - полное микроскопическое сечение, для нуклида i; сга1 - микроскопическое сечение поглощение, для нуклида i.

Когда вместо обычного моделирования поглощения с вероятностью crai/ati , используется неаналоговое поглощение, частица всегда выживает после столкновения и ее траектория прослеживается дальше с новым весом:

W*(l - CTai/CTti) .

Неаналоговое поглощение - является процессом расщепления, в котором частица расщепляется на две: с весом поглощения (ее можно дальше не рассматривать) , и с весом выживания.

Преимуществом неаналогового поглощения является то, что:

1. Частица, достигшая регистрационной зоны, не поглощается, пока не будет сделана регистрация.

2. Дисперсия истории, обычно, уменьшается, т.к. вес частицы не разыгрывается (0 или W), а вместо этого используется ожидаемый вес выживания.

К недостаткам можно отнести то, что вносится флуктуация в вес частицы,, увеличивается время на историю.

8. Принудительное столкновение (Forced collisions)

Метод принудительного столкновения - это алгоритм снижения дисперсии, который увеличивает количество моделируемых столкновений в выбранных геометрических зонах (далее - зонах). Из-за того, что вклады в детектор и «частицы DXTRAN» возникают только от столкновений и от источника, часто является полезным увеличить количество столкновений в определенной зоне, для увеличения вклада в детектор, или для увеличения веса «частиц DXTRAN» .

Иногда необходимо промоделировать столкновения в сравнительно-тонкой зоне (доля длины свободного пробега), для улучшения оценок некоторых функционалов, таких как скорость реакции или энерговыделение.

В методе принудительного столкновения все частицы расщепляются на две части:

- частицы, которые претерпевают столкновение;

- частицы, непретерпевающие столкновение.

Первая часть частиц «принуждается» к столкновению внутри текущей зоны.

Вторая часть покидает текущую зону без столкновения и помещается в банк до тех пор, пока их траектории не достигнут границы зоны. Их вес есть:

W=Wo exp(-It d), где Wo - текущий вес частицы до принудительного столкновения; d - расстояние до границы зоны;

2t - макроскопическое полное сечение материала зоны.

Таким образом, та часть частиц, которая не претерпевает столкновения, имеет вес, равный текущему весу частицы, умноженному на вероятность покинуть зону без столкновения.

В свою очередь вес частиц, претерпевающих столкновение равен текущему весу частицы, умноженному на вероятность столкновению произойти внутри зоны:

W=W0 (1 - exp(-It d)).

Расстояние до столкновения моделируется следующим образом. Если р(х) -вероятность столкновения на отрезке х, p(x)/p(d) - условная вероятность столкновения на отрезке х, если известно, что столкновение произойдет на отрезке d. Т.о. расстояние х до столкновения должно разыгрываться на интервале : 0 < х < d внутри ячейки, при условии, что £,=p(x)/p(d) , где р(х) =1- ехр(-xSt) и 4 - случайное число. Решая относительно х получаем : х = (- 1/It ) *ln(l -1 ( 1 - exp(-Zt d))).

Т.к. принудительное столкновение обычно приводит к тому, что частицы, претерпевающие столкновение имеют относительно малый вес, необходимо проявлять осторожность при совместном использовании с этим методом других методов снижения дисперсии, таких как отбрасывание по весу, весовое окно.

9. Смещение переменной источника (Source Variable Biasing)

При задании распределенного источника используются переменные фазового пространства (координата, энергия), которые, при необходимости, могут подвергаться смещению. Такое смещение позволяет производить («рождать») больше частиц источника с соответственно меньшим весом в наиболее важных областях каждой переменной. Например, в защитных задачах, можно начинать некоторые траектории при высоких энергиях и в «стратегических» направлениях, одновременно корректируя распределение путем изменения веса данных траекторий. При этом можно получить значительное снижение дисперсии. Смещение переменных источника моделируется с помощью неаналоговой плотности вероятности.

10. Точечный детектор (Point Detector Tally)

Точечный детектор, не смещая случайное моделирование траекторий, регистрирует поток в точке.

Хотя поток является точечной величиной, поток в точке не может быть оценен ни регистрацией по пробегам, ни регистрацией поверхностного потока, т.к. вероятность попасть в объем или пересечь поверхность точки равна нулю. Для очень маленьких объемов, где невозможны другие способы регистрации, точечный детектор может обеспечить хорошую оценку потока.

Вообще говоря, точечный детектор является детерминистской оценкой потока в заданной точке пространства. Вклады в регистрацию потока в точечном детекторе производятся при рождении нейтрона от внешнего источника и при столкновении в процессе моделирования траектории.

Пусть р(|л,ф)сЮ - вероятность частице рассеяться или родиться в пределах телесного угла (Ю около направления (jj.,cp) , где ф - азимутальный угол иц-косинус утла между первоначальным направлением полета частицы и направлением от точки столкновения к детектору. Если R - расстояние до детектора от точки столкновения или рождения, то формула я p(ju, <р) dD. * ехр(-JI, (5) ds) о дает вероятность частице рассеяться в угол dQ около направления (|1,ф) и достигнуть точки детектора без столкновений.

Ослабление пучка моноэнергетических частиц, проходящего через непусR тую среду дается формулой: exp(-Js, (л) ds) , где s - отрезок прямой, соеди0 няющей точку столкновения или рождения и точечный детектор, и I,(.v) -макроскопическое полное сечение среды в точке s. Если dA - элемент площади поверхности нормально расположенной к направлению на детектор, df2 = dA/R2 и следовательно вероятность частице рассеяться точно в направлении детектора и пересечь элемент площади поверхности dA запишется в виде: dA г

Р)-¿г* ехрН 2, ds) .

R~ о

Т.к. поток нейтронов - это, по определению, число частиц, пересекающих единицу площади, нормально расположенную к направлению полета, общее выражение для вклада в поток дается формулой: i^.expi-jM^) •

К О

Если рассеяние азимутально симметрично, то

2 я

Р(и)= \р{и,<р)(1<р , О и угол ф равномерно распределен на отрезке [0,2п]. Т.о. р{р <р) - pip) / 2л-, и мы получаем окончательное выражение для потока в точке:

Ф(г,Е,(,М) = тм)Гл/(2л-Я2) где W = вес частицы; R

Л - Jz, (s)ds; о

R = расстояние от точки столкновения или рождения до детектора; р(/л) -- функция плотности вероятности ¡л , где /л - косинус угла между траекторией частицы и направлением на детектор. Метод точечного детектора иногда называют методом ВПС («next event estimator»), т.к. он регистрирует поток в точке, если следующее событие будет пролет частицы без столкновений прямо до точечного детектора.

77. ТШУМУУ

Метод ОХТЯАЫ обычно используют, когда необходимо зарегистрировать какие либо функционалы потока в относительно малом объеме, и аналоговое моделирование невозможно из за очень маленькой вероятности частицам рассеяться в этот объем.

В этом случае интересующая область пространства окружается так называемой сферой ОХТКАИ (Рис. В- 2)

Рис. В- 2 Сфера ОХТЫА^

При столкновении (или рождении) частицы вне сферы в точке Р[ , генерируется специальная «частица ОХТЯАК», которая детерминистским способом рассеивается прямо на поверхность сферы (без столкновений, регистрации и т.д.), и точка входа частицы в сферу (координаты, направление полета, вес) записываются в банк, откуда затем извлекаются, и моделируется обычное рассеяние с использованием, быть может, расщепления и Русской рулетки, с целью улучшения статистики. При этом вес «частицы ОХТЯАЫ» подправляется так, чтобы не внести смещение в траектории частиц.

Метод ОХТКАЫ напоминает точечный детектор, с той разницей, что последний дает поток в точке, а ОХТКАИ дает любой функционал потока в интересующей области пространства.

Результаты исследований, апробация работы, публикации, структура и объем диссертации

На защиту выносятся следующие положения

- Разработанные для решения практических задач физики реакторов различные модификации метода АЛИГР, которые используются для расчета функционалов потока в малых образцах, помещенных в большой реактор, а также для решения задач выгорания активных зон реакторов, содержащих выгорающий поглотитель;

- Разработаны и верифицированы версии программы MCU с алгоритмом неаналогового моделирования АЛ ИГР: MCU-RFFI/IGR, MCU4/SM, MCU-PR, предназначенные для расчета НФХ реакторов различных типов;

- Проведено расчетное моделирование реакторов ИГР, СМ, ПУГР, ВВЭР;

- Проведена верификация прецизионной программы MCU-PR;

- Проведена верификация ряда инженерных программ. Апробация работы

Основные результаты работы были доложены и обсуждены на следующих международных и отраслевых конференциях и семинарах:

- международная конференция по защите, No. Falmouth, Massachusetts, США 21-25 апреля 1996 г.;

- международный симпозиум по реакторной дозиметрии, Прага Чехия 2-6 сентября 1996 г.;

- X Международный семинар по проблемам физики реакторов «Волга-97», Москва 2-6 сентября 1997 г.;

- 7-й симпозиум AER, Германия 23-29 сентября 1997 г.;

- 4-я российско-американская рабочая встреча в рамках программы по утилизации делящихся материалов (FMDP - Fissile Materials Disposition Program), Санкт Петербург Россия 17-19 июня 1998 г.;

- 5-я российско-американская рабочая встреча в рамках программы по утилизации делящихся материалов (FMDP - Fissile Materials Disposition Program), Oak Ridge TN USA 11-13 ноября 1998 г.;

- 9-й семинар "Алгоритмы и программы для нейтронно-физических расчетов ядерных реакторов" (Нейтроника-98), Обнинск, 27-29 октября 1998 г.;

- международная конференция Американского ядерного общества, Вашингтон США, 15-19 ноября 1998 г.;

- заседание Научного совета ИЯР РНЦ "Курчатовский институт".

Автор в 1997 году за разработку алгоритма АЛИГР награжден поощрительной премией им. И.В. Курчатова. В 1998 году за разработку алгоритма АЛИГР для решения задач с выгоранием автор награжден премией им. И.В. Курчатова в рамках конкурса среди молодых научных сотрудников и инженеров-исследователей. Публикации

По теме диссертации опубликовано пятнадцать печатных работ (см. список публикаций).

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы и приложения, содержащего список публикаций по теме диссертации. Работа изложена на 158 страницах и включает 43 рисунка и 45 таблиц, список литературы из 42 наименований.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные результаты работы:

1. Разработан новый алгоритм АЛИГР моделирования процесса переноса нейтронов в размножающих системах.

На основе алгоритма АЛИГР создана программа МСи-КРР1/ЮК, с помощью которой проведен расчетный анализ результатов испытаний твэлов типа ВВЭР-1000 на импульсном графитовом реакторе ИГР. Составной частью этой работы были две процедуры:

- проводимый при обработке экспериментальных данных, для всех испытаний, расчет нормировочных соотношений между числами делений для всех ураносодержащих объектов, размещенных в центральной полости реактора ИГР;

- определение аксиального и радиального распределений плотности делений в испытанных твэлах.

2. На основе использования модифицированного алгоритма АЛИГР разра ботана программа МСШ/БМ, предназначенная для расчета нейтронно-физических характеристик (атласа) экспериментальных каналов реактора СМ. По программе МСШ/БМ проведен расчетный анализ экспериментов по исследованию полей излучения в редакторе СМ. Составной частью этой работы являлось :

- определение функционалов потока в опорных каналах реактора СМ;

- расчет показаний активационных мониторов находящихся в опорных каналах реактора СМ.

3. Создана, верифицирована и внедрена для расчетов программа МСИ-РК, показавшая высокую эффективность алгоритма АЛИГР, который использовался для подбора характеристик конверсионной активной зоны реактора ПУГР, каналы которого, имея сильную гетерогенность по высоте, содержат выгорающий поглотитель (гадолиний), корректный расчет выгорания которого оказался возможным только с использованием алгоритма АЛИГР. По созданной программе проведены и проводятся успешные проектные расчеты конверсионного реактора ПУГР. Данный проект выполняется в рамках Российско-Американского соглашения от 22 сентября 1997 года.

4. Проведена работа по верификации прецизионной программы MCU-PR. Использовалось сравнение, как с экспериментом, так и с результатами расчетов, полученных по другим прецизионным программам, таким как американская программа MCNP и японская программа MVP. Обе эти программы реализуют метод Монте-Карло для моделирования процесса переноса нейтронов в реакторе. Расчеты по программе MCNP выполнены непосредственно автором диссертации.

5. С целью верификации инженерных программ расчета реакторов был создан специальный программный модуль USER, входящий в состав программ MCU-RFFI/A, MCU-PR. Модуль USER предназначен для:

• регистрации дополнительных НФХ, для сопоставления с результатами расчетов по инженерным программам;

• удобного представления некоторых НФХ, полученных по программам MCU-RFFI/A, MCU-PR, таких, как потвэльное поле энерговыделейия в кассетах реактора ВВЭР, распределение скоростей реакций поглощения и концентраций изотопов гадолиния по объему гадолйниевого поглотителя. С использованием модуля USER проведена большая работа по верификации ряда инженерных программ расчета реакторов различных типов:

• КАССЕТА-ТВЭГ, ТВС-М - программы расчета реакторов ВВЭР;

• САСНЗР, BARS - расчета реакторов ПУГР.

С использованием результатов этой работы авторами инженерных программ ТВС-М, САСНЗР, BARS выпущены верификационные отчеты. Программа ТВС-М прошла процедуру аттестации в Г АН РФ. Программы САСНЗР, BARS проходят эту процедуру в настоящее время.

В заключение автор выражает благодарность Майорову Льву Васильевичу за постановку задач и руководство работой.

Автор выражает также благодарность Дегтяреву Алексею Михайловичу, Бычкову Сергею Алексеевечу и Лазоренко Александру Петровичу за помощь в проведении расчетов, обсуждении и интерпретации результатов.

1. J.F. Briesmeister, Ed., "MCNP A General Monte Carlo N-Particle Transport Code, Version 4B" Los Alamos National Laboratory report, LA-12625-М (1997)

2. SCALE 4.3, Modular Code System for Performing Standardized Computer Analysis for Licensing Evaluation. NUREG/CR-0200, Rev. 5 (ORNL/NUREG/CSD-2/R5), RSIC code package CCC-545, Oak Ridge National Laboratory, Oak Ridge, TN (September 1995)

3. MONK5W-9A User Guide. AEA Technology, 1994.

4. Mori T and Nakagawa M (1994) MVP/GMVP: General Purpose Monte Carlo Codes for Neutron and Photon Transport Calculations based on Continuous Energy and Multigroup Methods, JAERI-Data/Code 94-007.

5. Федеральный надзор России по ядерной и радиационной безопасности. "Программа MCU-RFFI/A с библиотекой констант DLC/MCUDAT-1.0".

6. Аттестационный паспорт программного средства. Регистрационный номер

7. ПС в ЦЭП №388 от 16.04.96. Регистрационный номер паспорта аттестации ПС №61 от 17.10.96. Москва 1996.

8. V.Asmolov, L.Egorova, V.Malofeev et al,» Data Base on WER High Burn-up Fuel Rods under RIA Conditions», Edited by L.Egorova. Final Report. Vol. 1. NSI RRC "Kurchatov Institute", Moscow, ( 1996).

9. V.Asmolov, L.Egorova, V.Malofeev et al,» Data Base on WER High Burn-up Fuel Rods under RIA Conditions», Edited by L.Egorova. Final Report. Vol.2. NSI RRC "Kurchatov Institute", Moscow, (1996).

10. I.Kurchatov, S.Feinberg, N.Dollegal et al, "The IGR Pulse Neutron Reactor", Report No. 322A. Proceedings of the 3-rd International Conference on the Peaceful Use of Nuclear Power Engineering, UN Press, NY, (1965).

11. Цыканов В.А. и др. Исследовательские реакторы института и внутриреак-торные методы исследования, Препринт НИИАР-1 (682) М. ЦНИИатомин-форм,1986.

12. J.L.Hutton, S.Walley. «Microscopic Depletion Using Monte Carlo», Proceedings of the Joint International Conference on Mathematical Methods and Supercomputing for Nuclear Applications, Vol. 1 p. 485, Saratoga Springs, NY, October 5-9,1997.

13. Абагян, Н.И. Алексеев, В.И. Брызгалов и др. Программа MCU-PR с библиотекой ядерных данных DLC/MCUDAT-1.3. Отчет РНЦ "КИ" инв. №36/6-98,15.12.98, Москва, 1998

14. Kalugin, L.V. Maiorov. ALIGR Technique for Reactor Fuel Burn-Up Calculations Using Monte-Carlo Method. 1998 Winter Meeting. Washington, DC November 15-19, 1998. TRANSACTIONS VOLUME 79, ISSN: 0003-018X, pp. 312-313.

15. М.С. Юдкевич. Программа BURNUP. Препринт РНЦ КИ. ИАЭ-6048/5. Москва 1997.

16. Дегтярев A.M., Калугин М.А., Мясников А.А., Чачин Д.В. Разработка полиячейки загрузки для конверсионного режима ПУГР при работе микрокампаниями (вариант t49-4T). Отчет РНЦ КИ N9110/23, Москва, 1997, 29с.

17. А.В.Аввакумов и др. Нейтронно-физические исследования по разработке полномасштабной конверсионной загрузки ПУГР (вариант t49-5). Отчет РНЦ КИ N9110/05, Москва, 1998, 54с.

18. International Handbook of Evaluated Criticality Safety Benchmark Experiments, NEA/NSC/DOC(095)03/II, OECD, Paris, 1995.

19. А.А. Иванов, A.M. Дегтярев, O.C. Фейнберг. Результаты дополнительных экспериментальных исследований на стенде ГРОГ Отчет РНЦ КИ. Инв.№ 91-10/32 от 22.09.98

20. С.В. Акимушкин, В.М. Малофеев, B.C. Сидоров и др. Программный комплекс BARS для трехмерного нейтронно-теплогидравлического расчета реактора ПУГР. Верификационный отчет. Отчет ИПБ РНЦ КИ, инв. №9110/12 от 15.04.99.

21. Основные результаты по исследованию методических и прототипных сборок конверсионных реакторов на стенде ГРОГ. Отчет ИПБ РНЦ КИ № 321101-A-R4,1997.

22. С. Maeder, P. Wydler. International Calculations for a BWR Lattice with Adjacent Gadolinium Pins, EIR-Bericht Nr.532 NEACRP-L-271, Wurenlingen, 1984.

23. Safe core management with burnable absorbers in WWERs. IAEA-TECDOC-858.

24. V.D. Sidorenko et. al. Spectral Code TVS-M for Calculation of Characteristics of Cells, Supercells and Fuel Assemblies of VVER-Type Reactors. 5-th Symposium of the AER, Dobogoko, Hungary, October 15-20, 1995.

25. С.А.Бычков. Подготовка тестовых задач для программы MCU с целью верификации библиотек констант усовершенствованных TBC. Техническая справка РНЦ "Курчатовский Институт", инв.№ 32/1-65-96, М., 1996г.

26. В.Г.Артемов и др. САПФИР ВВР программа для нейтронно-физического расчета ячеек водо-водяных реакторов (описание применения). Отчет НИТИ, инв.№5764.И, 1992г.

27. В.Д.Сидоренко. Программа КАССЕТА-ТВЭГ для расчета TBC с топливом, содержащим гадолиний. Отчет ИАЭ им. И.В. Курчатова, инв.№31.1-1123-906 М., 1990г.

28. А.Н. Новиков, В.Д. Сидоренко, С.Н. Болыпагин, С.А. Бычков, А.П. Лазоренко, И.Е. Рубин. Библиотека ядерных данных и методика расчета по программе ТВС-М. Инв.№32/1-94-97.

29. Neutronics Benchmarks For The Utilization Of Mixed-Oxide Fuel Joint U.S./Russian Progress Report For Fiscal Year 1997, Vol. 3, June 1998,1. ORNL/TM-13603/V3.

30. Kalugin, A. P. Lazarenko, L.V. Maiorov (RRC KI) , A.G. Kalashnikov (IPPE) Computational Benchmarks for LEU and MOX Fuel in VVER Reactors. 1998 Winter Meeting. Washington, DC November 15 19, 1998. TRANSACTIONS VOLUME 79, ISSN: 0003-018X, pp. 290-292.

31. Kalugin, A.Lazarenko, (RRC KI), A.Kalashnikov (IPPE), J. C. Gehin (ORNL) Calculation of the Weapon-Grade MOX VVER Multi-Assembly Benchmarks 1998 Winter Meeting. Washington, DC November 15 19, 1998. TRANSACTIONS VOLUME 79, ISSN: 0003-018X, pp. 292-294

32. M.A. Егоров, M.A. Калугин, B.M. Кватор, Ю.Ю. Клосс, A.JI. Татауров, А.И. Попыкин, О.С. Фейнберг. Программный комплекс САСНЗР. Верификационный отчет. Отчет ОКР ИЯР РНЦ КИ, инв. №33-08/5 от 07.04.99.