автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.14, диссертация на тему:Непараметрические алгоритмы идентификации и управления линейными динамическими системами

КРАСНОЯРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи УДК 62-506.1

Сергеева (Медведева) Наталья Александровна

НЕПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ АЛГОРИТМЫ ИДЕНТИФИКАЦИИ И УПРАВЛЕНИЯ ЛИНЕЙНЫМИ ДИНАМИЧЕСКИМИ СИСТЕМАМИ

05.13.14 - "Системы обработки информации и управления"

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Красноярск -1998

Работа выполнена в Красноярском государственном техническом университете.

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор,

академик МАН ВШ Рубан А.И.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Разманов И.П. кандидат технических наук, доцент Чайка С.Н.

Ведущая организация: НПО Прикладной механики,

г. Красноярск-26.

Защита состоится " " ОКТЛ^и. 1998 г. в /4 часов на

заседании Диссертационного Совета Д 064.54.01 при Красноярском

государственном техническом университете по адресу: 660074, г.Красноярск, ул.Киренского 26.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Красноярского государственного технического университета.

Автореферат разослан " С&ЗёьЁрЯЛ 998г.

Ученый секретарь Диссертационного совета Д 064.54.01 д.т.н., профессор Ловчиков А.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Проблема управления реальными "производственными процессами- ~ (объектами) и комплексами и их исследованием связана с построением моделей и регуляторов этих процессов, что в свою очередь сводится к проблеме идентификации и управления стохастическими динамическими системами. В настоящее время накоплен большой опыт моделирования динамических систем на основе определенных каким-то образом параметрической структуры модели и класса моделей объекта. В частности, задача идентификации в узком смысле сводится к оцениванию параметров, которые характеризуют динамику процесса. Подобный подход к решению задачи идентификации достаточно широко изучен и включает в себя множество исследованных алгоритмов. В этой области наиболее существенные результаты принадлежат Н.С.Райбману, Я.З.Цыпкину, А.И.Рубану, И.И.Перельману, Н.Еуко£Г, О.Огаире, У.Ципц и другим. Однако, применение такого подхода связано с неизбежным выбором вида модели исследуемого процесса, структура которого часто априори неизвестна. Трудность здесь состоит в том, что порой сложность динамической системы, множество взаимосвязей, существующих между блоками системы не позволяют определить класс моделей и ее параметрическую структуру из-за отсутствия достаточной для этого априорной информации.

Соответственно теория автоматического управления, когда параметрический класс моделей процессов известен, также достаточно хорошо развита и широко используется на практике (А.А.Фельдбаум, А.А.Красопский, Н.Н.Красовский, В.И.Зубов, В.С.Пугачев, Л.А.Растригин, В.Я.Ротач, В.В.Солодовников, Я.З.Цыпкин, В.А.Якубович, М.Ао1а, 11.Ве11тап, А.ВаЬкпБЬпап, 11.Ка1тап, И.КиПко\уз1а и др.).

Однако проблема идентификации и управления линейными динамическими системами (ЛДС) сохраняет свою актуальность в случае, когда параметрический класс моделей процессов не известен. А эта ситуация часто встречается при разработке конкретных систем автоматизации. В этом случае естественно задачи идентификации и управления линейными динамическими системами рассматриваются в условиях непараметрической неопределенности, т.е. когда не известна параметрическая структура исследуемого процесса (В .П. Живоглядов, А.В.Медведев, В.Я.Катковник, А.И.Рубан, А.В.Лапко, А.А.Иванилов, С.Н.Чайка). Подобный путь оказался достаточно конструктивным. Здесь необходимо отметить также фундаментальную работу Л. Заде, Ч. Дезоера "Теория линейных систем" (англ.), где рассматриваются математические аспекты идентификации и управления ЛДС, представляемые в виде интеграла свертки, но отсутствуют вычислительные процедуры, которые можно было бы использовать на практике.

Работа посвящена непараметрической идентификации и управлению в широком смысле линейными динамическими системами, основанной на

представлении линейной модели в виде интеграла свертки. На этом этапе возникает задача статистического оценивания переходных характеристик изучаемого процесса и их производных, отыскания оптимальной модели. Одним из самых сложных вопросов в процессе разработки является вопрос, связанный с выбором параметра размытости при восстановлении весовой функции ЛДС.

Идея построения непараметрического регулятора состоит в "снятии" переходных характеристик в направлении "выход-вход". Это можно осуществлять на непараметрической модели с целью получения соответствующей выборки. Далее эта выборка используется для восстановления обратного оператора ЛДС, который и является непараметрическим регулятором, обеспечивающим динамику функционирования объекта по заданной траектории.

Разработанные непараметрические модели и регуляторы дают хорошую основу для создания компьютерной системы автоматизации проектирования непараметрических систем идентификации и управления ЛДС по снятым на объекте переходным характеристикам. Последнее обстоятельство обуславливает аюуальность работы и делает ее более адекватной многим задачам практики, чем классическая теория.

Цель работы состоит в построении непараметрических моделей идентификации линейных динамических систем, построения по реализацям "вход-выход" объекта, измеренным с помехами, разработке алгоритмов робастного оценивания, изучении сходимости полученных моделей, синтеза регулятора на основе построения обратного оператора ЛДС.

Методы исследований^. В работе используются методы теории управления, теории вероятностей, математической статистики, линейной алгебры и функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми в области непараметрической идентификации и управления линейными динамическими системами:

-сконструированы и исследованы оценки производных функции регрессии, показана их сходимость в среднеквадратическом;

-предложено решение вопроса построения нового класса робастных оценок и их использования для восстановления стохастических характеристик исследуемого процесса и идентификации ЛДС;

-построены и исследованы новые алгоритмы непараметрического моделирования ЛДС, способ выбора наилучшего значения параметра размытости;

-разработан алгоритм построения линейного регулятора с использованием полученного класса оценок.

Практическая ценность работы определяется широкой применимостью

теоретических результатов для решения задач," связанных с моделированием и--------

анализом стохастических динамических систем, наблюдаемых с помехами. Свойства предложенных оценок определяются их сходимостью в среднеквадратическом. Разработанные в диссертации алгоритмы могут быть применены для построения моделей динамических объектов при наличии помех в наблюдениях (включая выбросы), а также для задач регулирования и управления. Непараметрические алгоритмы были использованы для решения конкретных задач моделирования ресурса крупногабаритных шин (КГШ) автосамосвалов типа БелАЗ (грузоподъемность 110 тонн) Сорского молибденового комбината (точность прогноза для расхода топлива составила 5%, а для ресурса КГШ - 10%, экономический эффект составил не менее 280 рублей на одну шину) и для идентификации химических процессов ректификации на примере колонны К-403 ЦГФУ.

Апробация работы. Основные результаты диссертации были представлены и докладывались на: Научно-технической конференции с международным участием "Проблемы техники и технологий XXI века"

(Красноярск 1994г.), Краевой студенческой научно-технической конференции "Студент, наука и цивилизация" (Красноярск, 1995г.), Всероссийской студенческой научной конференции "Королевские чтения" (Самара, 1995г.), на VIII и IX Международных симпозиумах по непараметрическим и робастным методам в кибернетике (Красноярск, 1995г., 1997г.), на Международных конференциях "Компьютерный анализ данных и моделирование" (Минск, 1995г., Минск, 1998г.), III Международной научно-технической конференции "Микропроцессорные системы автоматики" (Новосибирск, 1996г.), IV Межвузовском фестивале "Молодежь и наука - третье тысячелетие" (Красноярск, 1997г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 18 печатных работ. Основные результаты научных исследований по теме диссертации содержатся в 10 работах. Личный вклад соискателя состоит в разработке методов и

алгоритмов, описанных в печатных трудах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех

глав, заключения, приложения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 150 страниц. Библиография содержит 98 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, приводится обзор основных результатов по рассматриваемой тематике, определяются цели исследования и дается общая характеристика работы.

Первая глава посвящена построению непараметрических оценок производных функции кривой регрессии, плотности распределения вероятности.

Рассмотрим задачу восстановления случайной величины У еЛ'от X еЛ" по статистически независимым наблюдениям Задача

восстановления стохастической зависимости у по х сводится к восстановлению регрессии у по х: у(х)=М{У\х), по выборке |(х(,>>Д 1=1,^, измеренной с

аддитивной ошибкой с нулевым математическим ожиданием и ограниченной дисперсией.

Известно, что при непараметрическом оценивании кривой регрессии может быть использован прием формирования новой выборки из исходной обучающей.

Пусть лНд^-гО. имеются Я измерений {(У1\хи,х11,...,хя1), / = , ^ - объем выборки. Восстановим характеристику используя оценку Розенблатга-Парзена для регрессии:

5 т (х:-хУ

Уз(Х1 >Х2 '■••>Хт)= с _ _ \

¡=1 У=1 Ч С5 у

л т ( X —X■

ЕМУ

/=1 М \ У

О)

где ядерная функция и С3- параметр размытости удовлетворяют

известным свойствам:

а) 0<ф(ы)<Л<оо; Ь) Ф(«) = Ф(-и);

СО СО

с) ¡ф(и)с!и = 1. ¿) |ф(м)1|"</м < со Э при „ = (*)

V С5 у

\

Б)С^-»0и 5С;^ооПри 5->00. Коэффициенты размытости С5 ядер эмпирической плотности вероятности зависят от объема выборки 5.

Область определения случайной величины X можно заключить в m -мерный куб, обозначим его через 0(Х). Выберем из области измерений

одно измерение__%l = (xh>x2i>^4xLi) лежащее на границе этого куба. Это

первая точка сетки новой рабочей выборки. Затем фиксируем шаг сетки: Ау-

шаг по /-ой компоненте, j=\,m. Причем, А/ могут быть как одинаковы для всех компонент, так и не быть таковыми.

Далее, каждую из последующих точек получаем следующим образом.

Первые т-1 компонент точки х! оставляем без изменений, а х'т изменяем на

величину шага

Х'тк - х'т} + кткт,кт = 0,1,2,....

Полученную точку подставляем в произведение 1 = и, если

\ 4s /

оно не равно нулю, вычисляем значение по формуле (1). Построение

сетки по компоненте х'т заканчивается, как только ГТ^ 1 ^ j = 0. Затем

переходим к компоненте х'т-\, действуя аналогично описанному выше.

В результате получим новую выборку |(х ^У,')» г = li ^î ], где 5,- объем рабочей выборки. Оценка Xх) по выборке |(х ,'> У,'Х i= \ ^ | примет

•вид:

1 si m (х -х'Л чЧл /=1 У=1 ^ 4SI /

(2)

где = = й(*-0 при 5->со, где Щи).

колоколообразная функция, удовлетворяющая условию нормировки :

= 1,У*еОД, (3)

, SX m fx

^s Ы V1

Const

\

1 « « Гх.-х'Л

"7=гЁ Пщ-Ь^- « Сопа,ЧХ еСКХ).

Условие (3) позволяет придать известной оценке Розенблатта-Парзена более простой вид (2). Далее мы покажем, что эти оценки, построенные по равномерной сетке, гораздо удобнее использовать при оценивании производных функции , чем обычные оценки Розенблатта-Парзена. Заметим, что функция Щи) отличается от Ф(ы) на множитель равный

константе (3), а в дальнейших выкладках мы будем везде учитывать этот факт, специально об этом не упоминая.

Приведенные ниже теоремы сходимости относятся к случаю одной переменной X е Я1.

Теорема I. Пусть финитная Щи) удовлетворяет условиям (*) и обладает следующими свойствами

¡Н(и)Ж=\ и \Н{и)ите1и = А<со> при оо,т=1Д..., (4) ОД) П(»)

и пусть функция у(х) е^ . Тогда оценка (2) является асимптотически

несмещенной, сходится в среднеквадратическом ив •

В качестве оценки производной кривой регрессии предлагается взять аппроксимации в виде

¿=1 V у

где Н^к\и)-1с-я производная функции Н(и). При оценивании производных высоких порядков возникает трудоемкая задача вычисления производных Щи), которые имеют достаточно сложное аналитическое выражение. Поэтому предлагается при непосредственном вычислении оценки использовать вместо аналитических выражений производных Н(и) их соответствующие кусочно-постоянные или какие-либо другие кусочные аналоги, более просто вычисляемые. Численные исследования показали, что точность оценивания слабо зависит от вида ядерной функции. Таким образом оценка (5) может быть видоизменена:

Ч^Я 1=1 V '

где Я"*»- кусочно-постоянная функция, удовлетворяющая интегральным условиям:

|я <к>(и)итс!и= 0, при 0<т£к-1, % \Н^{и)ик^={-1)\ (7) П(") ' ОД

Теорема II. Если выполняются условия (7), то оценка к-ой производной кривой регрессии (6) сходится в среднеквадратическом. Если дополнительно функция

у(*\х) то оценка (6) сходится в в среднем.

Представляет интерес построение робастной непараметрической оценки кривой регрессии у=/(х) в классе Н-аппроксимаций:

' ¿2 - пространство функций интегрируемых с квадратом.

1 s

x —x

V Cxs

L\I(x,x„y)

у

где индикаторная функция ¡(х,х,,у,) такова, что

/(x,x,,;-,) = sgn Ф •

■s s j* 1

У- -У;

Су , , ^ s у /

(8)

(9)

Наиболее существенным в задаче оценивания производных функции регрессии по выборке = 1,^} является вопрос о выборе значения

параметра размытости, оказывающего существенное влияние на точность оценивания. Предлагается следующее решение этой проблемы.

Введем меру отклонения между - ^'(х) и у[к) (х) в виде:

ОД

(10)

Выбирать параметр размытости будем, исходя из условия mmW(Csl, х).

сл

Непосредственно вычислить W(CSi,x) нельзя. Используем для этого оценку производной кривой регрессии (5). Учитывая, что одно слагаемое критерия не зависит от выбора Q,, приходим к задаче:

m'mW (С Sl,x) = m'mW '(С S[,x), (П)

(12)

где

ОД од

который в свою очередь может быть оценен выражением:

П(х) П(х)

где У г ^ >- оценка к- производной у(х) по другой выборке |(х;,у,.);г = 1,г| той же природы. Подставляя в (13) непараметрическую оценку производной У*ЧХ), находим:

1

г ^^2 x—x

51

2

V Ol j) k)

dx —

^x-x^

slCslrCr ,=1

Для (14) имеет место следующая теорема.

dx,

V Ч J

Теорема III. Пусть yW(x) и У^Ч*) непрерывные функции. Тогда min W '(Csvx)=min limA/jjF^, (Cr, CS1,

В практических задачах мы имеем только выборку j(x,>.};;);' = l!'s'ij, поэтому вместо (14) имеем оценку

игА<ся.*)«—гтг Лл.

] Од^ы V л/

Для построения непараметрических оценок производных функции плотности вероятности в классе Я-аппроксимаций применима приведенная здесь схема получения численных значений параметра размытости соответствующего имеющейся выборки наблюдений. Аналогичные результаты получены при оценивании производных функции плотности вероятности.

Во второй главе излагаются алгоритмы непараметрического моделирования линейных динамических систем по статистически независимой

выборке наблюдений переходной функции системы = с

использованием выше построенных оценок. Обозначения: и{1) - вход объекта, х(0 - выход объекта.

Известно, что ЛДС описывается интегралом свертки:

1

х(0 = ¿(0М0 + [Щ - гМг) с/г, (16)

о

где к(г) и /г(0 соответственно переходная (реакция системы на единичное возмущение) и весовая (импульсная переходная) функции системы. Непараметрической оценкой х(0 (непараметрической моделью ЛДС) будет статистика

/

*,(0 = + - г)М(Г) ¿г, (17)

о

где при / = 0 и А,(0 соответственно оценки переходной и весовой

функций системы. Чтобы воспользоваться такой моделью, требуется уметь оценивать весовую функцию системы.

и, \

Известно, что "Кч - . В качестве оценки весовой функции ЛДС, в свете вышеизложенного, предлагается взять аппроксимацию в виде:

{ Y\ X -х,

2

(15)

hs{t) = m=^rYJkiH> ¡=1

или

Mz^-l^J:...................-(.«■

Непараметрическая модель ЛДС запишется в виде:

х ДО == fc,(C)«(f) + jf-i-j; к,Н t)dt, (20)

о 'С, tt VC

ее дискретный аналог

1+1 1 1 't-t.

=+Z-7T Zw "тг1" ко*. (2i)

Георема IV. Пусть u(t) - кусочно-непрерывная функция, а функция H(v) удовлетворяет следующим условиям:

Jtf'(v)cfr=0 и $H'(v)vdv=-1. (22)

ОД од

Тогда оценка (20) сходится в среднеквадратическом.

Пусть ЛДС имеет многомерное входное воздействие. Обозначим вектор входных воздействий объекта i = \п, B(t) sl^. Выходную переменную объекта x{t) без нарушения общности можно считать скалярной функцией. Как и ранее, в качестве модели ЛДС могут быть приняты различные модификации интеграла Дюамеля, например,

п( < ^

=X *.(°)«/(о + Ы1 - т)кмdt - (23)

1=1 V 0 )

где (&,(/),= 1,и) - соответственно измерения переходных и весовых функций ЛДС по каналам "*(0-",(0"> i = l,n Тогда задача идентификации ЛДС сводится к восстановлению переходных и весовых функций ЛДС. В

случае наличия запаздывания Т, по каналу "*(0-г'/(0"> это

естественным образом отражается в форме переходных и весовых функциях и,

как следствие, в наблюдениях

Тогда непараметрическая модель ЛДС с п входами имеет следующий

вид:

**(<) = ¿1 М°)«Д0 + Ь^Е кчн г (24)

j=1 V о ^ s '=1 V L s у у

Для случая, когда х(0 -вектор, состоящий из компонент x(t) = (x,(f),...,x,(t)J, непараметрическая модель ЛДС имеет вид:

> У = 1,/.

(25)

Как было отмечено выше, при наличии запаздываний Тр1=\п,]-\1, Вид модели не изменяется.

Выбор параметра размытости непараметрической оценки весовой функции, являющейся производной переходной функции, можно осуществлять более просто, чем при оценивании производных у(х). Для этого введем следующий квадратичный критерий:

ЩС,)=^(х#,,Ся)-х<!,))2. (26)

51=1

Минимизируя этот критерий по параметру размытости, можно тем самым отыскать его наилучшее значение для данной модели по конкретной выборке

((и„ф' = Ц. Таким образом, осуществляется настройка непараметрической

модели.

Численный пример.

Для имитации системы была задана система 4-го порядка в разностном виде при Дг = 1:

х(Г) = 2286*х(1 -1) -286*х(/ -2) +х(г -3) -0.143**(| -4) + 0.143*и(/- г), (27) где ¡' = 0,1,2,... - дискретное время с интервалом Дг, х- время запаздывания. На х(0 накладывалась помеха величиной 1%.

Фрагмент реализации переходной функции изображен на рисунке 1.

1.5

0.5

50

100

150

200

250 300

Рис. 1.

т

200

Рис. 2.

0.26

На рисунке 2 представлены оцененная весовая функция системы и расчет минимума критерия (26). Минимальное значение критерия (\¥=0.0027) достигается при параметре размытости С, = 0.248.

3 4-

и(1)

-2

вход

Рис. 3.

На рисунке 3 представлено произвольное входное возмущение, рисунок 4 показывает реакцию модели и объекта на него.

выход

з 4-

х(0

Рис. 4.

Помехи - 5%, Запаздывание - 5, - выход объекта,--выход модели.

Важной практической задачей является установление факта линейности объекта, если это имеет место. Использование непараметрических моделей ЛДС позволяет более точно ответить на принадлежность исследуемого процесса классу линейных. Модели ЛДС в виде интеграла свертки не связаны

с выбором какой-либо параметрической структуры. Тогда описание ЛДС моделями типа интеграла свертки будет исчерпывающим, и ошибка соответствующего квадратичного критерия, представляющего собой уклонение выхода объекта от выхода модели, будет обусловлено ошибками измерения и случайными факторами, действующими на процесс.

Пусть построены 2-е непараметрические модели динамической системы в предположении линейности процесса. При этом первая модель получена при условии подачи на вход объекта функции и(0 = ©,1(0 типа с значением

амплитуды а вторая модель - в случае подачи на объект функции = 021(?) с значением амплитуды ©2. Если имеет место соотношение

*,(»(')■',е.) в,

У..ЦГ1 (28)

где Т- время стабилизации реакции модели, то гипотеза о линейности динамической системы справедлива. Могут быть приведены и другие формы записи критериев линейности, в частности непосредственно основанных на принципе суперпозиции:

х(ц(0+ьфУ) = х(Ч(0,/) +х(ч(0,0. (29)

При снятии на объекте переходных характеристик необходимо, чтобы ступенчатое изменение входного воздействия и (0 обеспечивало последовательное перекрытие интервала П{и) для входного воздействия и(() в серии экспериментов. Если возможно, то подать ступенчатое возмущение, равное максимально возможному значению входного сигнала, чтобы надежно выявить нелинейность, если таковая имеется.

Правило: Для установления линейности исследуемого процесса семейство подаваемых на вход возмущений м(/) должно перекрывать весь диапазон изменения и{{) еП(ы), а в каждом эксперименте ступенчатое возмущение должно превышать некоторое X, зависящее от дисперсии ошибки измерения х{{), которое естественно подобрать экспериментальным путем. Затем осуществить проверку соотношений (28) или (29).

Интуитивно ясно, что величина Я должна значительно превышать дисперсию ошибки измерения х(*).

Численное исследование непараметрических моделей ЛДС показывает их достаточно высокую эффективность.

Третья глава посвящена разработке алгоритма управления линейным динамическим процессом на основе оценивания обратного оператора системы.

Линейное преобразование входных сигналов в выходные х: можно -рассматривать"как линейный оператор*",-действующийнадмножестве" входных сигналов U, переводящий U в X. Другими словами:

x(t) = Au(t), (30)

где А - линейный оператор.

Пусть U и Х- евклидовы пространства. В теории линейных операторов известно, что если линейный оператор А отображает взаимно однозначно евклидово пространство U в X, то существует линейный и ограниченный обратный оператор А'1, отображающий X в U. Таким образом, если оценить обратный оператор А 1 для данной линейной системы и "включить" его на входе объекта, то, подавая на вход разомкнутой системы x'(f), на выходе получим x(t) = x\t).

x(t) =Au(t) =A-JTx\t) =Jx\f) =x\t\

(31)

где / -А А'1- единичный оператор.

Оператор обратный оператору (16) имеет вид:

t

lit) = A~'x(t) = х(0и{0)+ jv(t-r)x{r)dr, t > 0,

0

(32)

где и'(0 и v(/) - соответственно переходная и весовая функции "обратной" системы, описываемой уравнением (32). Таким образом и(?) и v(r) могут быть интерпретированы как переходные характеристики "обратного" процесса. На реальном объекте снять такие характеристики нельзя. Но, учитывая, что мы располагаем непараметрической моделью, можно "снимать" переходные характеристики на модели.

Снятие обратных характеристик. Пусть на вход ЛДС подано единичное возмущающее воздействие \(t),Q<t <Т, где Т- время окончания „ переходного процесса, a u(t) = 1(f) - функция Хэвисайда. Обозначим j(?,,*,), ¡' = 1,jJ - реализацию наблюдений "входа-выхода" объекта, причем наблюдения выходной переменной x(t) осуществляются в дискретном времени через интервал At с случайной статистически независимой помехой с нулевым средним и ограниченной дисперсией. В качестве модели ЛДС могут быть взяты непараметрические модели (20), (21).

Реализация наблюдения объекта в направлении "выход-вход", по которой будем оценивать обратный оператор ЛДС, снимем на модели (21). При такой постановке вычислительного эксперимента найдем реализацию u(t) при

Пусть U к Х- два линейны пространства. Линейным оператором, действующим га U в X, называется отображение х = Аи, (и eU,x е X), удовлетворяющее условию А(ац + /Зщ) = аА ц + [ЗА щ.

*(0 =1(0- Иными словами, в отличие от обычного снятия переходных характеристик, когда на вход подается ступенчатое возмущение, предлагается снятие характеристик "наоборот", то есть вычисление последовательности входных воздействий при х (/ = 0) = 0, а х (/ = 1,2,...) = 1.

Последовательность вычислительного эксперимента следующая. Возьмем уже настроенную непараметрическую модель

п

^Ж^ )Д*\ (зз)

приравнивая ее к 1 и решая уравнение, получим

х5(0 = 1 УибП(Г),

**(0=1ЛМп-г;Мту)Дг=1^>1<0= м, .---• (34)

В результате приведенных вычислений получаем реализацию, которую

обозначим: {("„,*„,',,,).« = м}- На основе полученной выборки записываем

непараметрическую модель для обратного оператора в форме оператора Дюамеля:

I

ее дискретныи аналог:

п ( ^ в Л -х.-Х \

\ =Х 7" г 1 х'Ат (36)

/=1 У=1 V У У

Настройка регулятора осуществляется также, как и непараметрической модели.

Таким образом, алгоритм (37) представляет собой непараметрический регулятор ЛДС.

а— +Ь— + х = си, (37)

Численный пример. В качестве уравнения, описывающего технологический процесс, было взято дифференциальное уравнение второго порядка:

с12х , с1х —Г+Ь—

Ж Л

Разностная форма уравнения (37) будет иметь вид:

г А* А* ^

~ ■ , Ь а . (38)

1 + —+—X-

Ы М2

где а=3, Ь=1, с=5, начальные условия: х, = х2 = 0.

Колоколообразная функция H(v) имеет вид:

Я

/-А

С,

М \t-t, 1 cos

5

С

с:

+i

(39)

^s \ ^ ^s J где ц - нормировочный коэффициент.

На рисунке 5 показана переходная характеристика k(t) объекта регулирования при измерении выхода объекта с 5% аддитивной ошибкой.

В соответствии с алгоритмом (34) получаем непараметрический регулятор ЛДС.

6 4 2

U

100 50

о

-50 -100

Г

10 15 20 25 30

t

Рис. 5.

10 15 20 25 30

t

Рис. 6.

8

60 40 20 0

2 4 6 8 ю 12

г

Рис. 7.

На рисунках 6 и 7 представлен расчет управления, полученный с помощью системы уравнений (36), и оценку весовой функции обратной модели.

Проиллюстрируем работу непараметрического регулятора. В качестве задающего воздействия возьмем х'(() = 0.5 + ехр(0.1/).

20 15 10

5

" 5 10 15 20 25 30

Рис.8. *

Рисунок 8 иллюстрирует работу регулятора, где х'(0 - задающий сигнал, а *(/) - выход с объекта после регулирования.

Использование непараметрического регулятора в соответствии с выражением (31) не представляется возможным в связи с тем, что (36) дает неточное значение обратного оператора ЛДС, связанной с ошибками измерения.

В этой связи выработка управляющего воздействия должна осуществляться в соответствии со следующей формулой:

(0 = (0 + <5з (*Ч0 - - А/)), (37)

Г

где - некоторая выбранная функция отклонения, такая, что } 0, | -у 0 с ростом объема выборки.

5 10 15

Рис. 9.

20 25 30

Первое слагаемое в (37) представляет собой (36) и содержит "знание" характеристики объекта, обеспечивающего приведение х(7) к х'(/) в "грубом".

Но поскольку эти "знания" неточны, то второе слагаемое в (37) ^(х (0>х(0) играет роль корректирующего члена, обеспечивающего стремление х(г) к х'(0 в "тонком". На рисунке 9 представлен расчет регулятора, с использованием алгоритма (37).

Таким образом, в алгоритме (37) содержится идея дуализма при управлении.

Четвертая глава содержит примеры практического применения

непараметрических моделей в двух реальных задачах. Первая - состояла в прогнозировании ресурса крупногабаритных шин. В качестве исходного массива данных использовались основные технико-экономические

показатели работы карьерных автосамосвалов за определенный период эксплуатации. В нашем случае это были ежемесячные отчетные данные за 1989-1992гг. по объемам транспортной работы, средней эксплуатационной скорости, расстоянию транспортирования, коэффициентам использования парка автосамосвалов, в течение времени смены, и, наконец, пробегам шин. Очевидно, что для повышения точности моделирования можно включить во входные данные еще ряд параметров, лимитирующих ресурс шин, однако в первом приближении можно взять вышеперечисленные.

В процессе моделирования отыскивается минимум квадратичного

критерия по параметру размытости. Минимум достигается при (^=(17. Используя непараметрическую модель, были проведены необходимые расчеты

по прогнозированию (нормированию) срока службы шин. Сопоставление моделируемого ресурса КГШ с фактическим показало 10% относительную ошибку, что с практической точки зрения вполне приемлемо.

При моделировании процесса ректификации использовались оценки непараметрического типа. В качестве входных данных подавалась единичная функция:

ГМ>0;

1(0 =

о, / < о,

(37)

на выходе же были сняты переходные характеристики — К''= Iх-Далее, используя непараметрические стохастические аппроксимации для

оценивания первой производной переходной функции 40 =

Л

У с,

(38)

находим весовую функцию системы. Затем подставляем полученную оценку в интеграл свертки, который является моделью ЛДС, а в данном случае -процесса ректификации:

^ dk.it — г)^

Л ) <39>

О ' ' 1

Для нахождения наилучшего параметра размытости при моделировании выхода процесса применялась процедура, описанная в главе 2. Данные для расчетов были взяты с колонны К-403 ЦГФУ.

10 --

у

О

Рис.10.

На рисунке 10 представлена оценка весовой функции системы.

Рис.11.

Сравнение непараметрической оценки рассчитанной по формуле (39),

проводилось с оценкой £, взятой из расчетов, проведенных традиционным способом (Рис. 11).

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Сконструирована непараметрическая оценка производной плотности вероятности и функции регрессии и доказана сходимость непараметрических оценок.

2. Дан метод конструирования алгоритмов оценки производных плотности вероятности и кривой регрессии в классе кусочно-постоянных колоколообразных функций и показана их сходимость в среднеквадратическом.

3. Предложен способ отыскания наилучшего значения параметра размытости при оценивании производных плотности вероятности и функции регрессии, а также при идентификации линейных динамических систем.

4. Построен новый класс непараметрических моделей линейных динамических систем с запаздыванием при наличии помех, доказаны соответствующие теоремы сходимости, проведено его численное исследование.

5. Предложен метод построения непараметрического регулятора линейной динамической системы, проведено его численное исследование.

6. Разработаны и применены непараметрические алгоритмы для задач моделирования процессов, протекающих в ректификационных колоннах и в задаче нормирования ресурса шин крупногабаритных автосамосвалов.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Медведева H.A. Непараметрические оценки производной кривой регрессии и модели динамики // Межвузовский сб. научн. статей "Информатика и процессы управления", Красноярск: Изд-во КГТУ, 1995. С. 74-81.

2. Медведева H.A. Непараметрические модели и регуляторы // Известия ВУЗов, Физика, 9, тематический выпуск "Статистический метод обработки экспериментальных данных", Томск: Изд-во ТГУ, 1995. С. 124-129.

3. Medvedeva N.A. Nonparametrical Estimation of Statistical Characteristics in Problem of Modelling // Proceedings of the International Conference "Computer Data Analysis and Modeling", Minsk: BSU, 1995. P. 89 - 93.

4. Агафонов Е.Д., Медведева H.A. Об исследовании непараметрических оценок производной кривой регрессии // Сб. научн. трудов "Информатика и системы управления", Красноярск: Изд-во КГТУ, 1996. С. 176 - 182.

5. Медведева H.A. О непараметрических оценках производной плотности вероятности и кривой регрессии // Межвузов, сб. научн. трудов "Статистические методы оценивания и проверки гипотез", Пермь: Изд-во ПТУ, 1996. С. 59 - 67.

6. Медведев C.B., Медведева H.A. Нормирование расхода топлива для карьерных самосвалов // Автомобильная промышленность, №4, М: "Машиностроение", 1996. С. 3-4.

7. Медведев C.B., Медведева ' H.A. Непараметрические модели в нормировании ресурса крупногабаритных шин // Известия ВУЗов: Горный журнал, №7,1996.

8. Медведева H.A. О линейности динамических систем // Сб. научн. трудов "Информатика и системы управления", Красноярск: Изд-во ЮТУ, 1997. С. 148- 154.

9. Medvedeva N.A. Nonparametric Modelling Algorithmes of Dynamic Processes // CDAM: Proceedings of the Fifth International Conference, V.2. Minsk: BSU, 1998. P. 5-10.

10. Медведева H.A., Оспищева C.JI. Робастная оценка кривой регрессии // Студент, наука и цивилизация: сб. тезисов межвузовской научн. конференции. Красноярск: Изд-во Фонда НТИ и ТДМ, 1998. С.44-47.