автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Ненулевые периодические решения систем дифференциальных уравнений

МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ Н. П. ОГАРЕВА

на правах рукописи

РГБ ОД:

■ 9'3 ПИТ 1Ш

Лискина Екатерина Юрьевна ь и

УДК 517.925

НЕНУЛЕВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

05.13.18- Теоретические основы математического моделирования, чнслешгые методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САРАНСК - 2000

Работа выполнена на кафедре математического анализа Рязанского государственного педагогического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических тук,

профессор М- Т. Терехин

Офнщшшшс оппоненты: доктор фгаико-матеыашческих

наук, профессор А. И. Зснфман

кандидат физико-математических наук Л. Ю. Паалов

Ведущая организация: Белорусский государствегашй университет

Защита состоится "1" ноября 2000 г. часмин, на заседании специализированного Совета К 063.72.04 по пригузэдешао ученой степени кащцщата фшико-штеиатических наук в Мордовском государственном университете имени Н.П. Огарева по адресу: 430000, г. Саранск, ул. Большевистская, 68

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Мордовского государственного университета.

Автореферат разослан " УШ/гиЯ^Л- 2000 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, .

канд. физ.-мат. наук, доцент С. М. Мурюмнн.

&161, вн< 3-72; 03

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В настоящей работе изучается неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянной матрицей линейного приближения и нелинейностью, непрерьшной по фазовым переменным и периодическая по аргументу. Задачей исследования является поиск достаточных условий существования 'ненулевых малых периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании фтических, химических, биологических, биофизических, экономических и других процессов.

Вопросам существования периодических решений с;^тем дифференциальных уравнений посвящено большое количество работ, начиная от классических трудов А. Пуанкаре й A.M. Ляпунова до новейших исследований современных математиков. Существенный вклад в развитие этой теории внесли Л И. Мандельштам. A.A. Андронов, Й.Г. Малкин, М.А. Красносельский Эту проблему решали A.A. Бойчук. А.Д. Брюно, С.А. Гребенников, Ю.А. Рябов, Длс. Хейл, Ю.В. Малышев, Е.В. Воскресенский и другие математики.

Многообразие конкретных систем, описывающих реаль-ribie процессы, и сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Обширную область для исследования представляют случаи, требующие .привлечения нелинейных членов для решения задачи. Таким образом, задала поиска условий существования ненулевых периодических решений в. нелинейных случаях является весьма актуальной.

Цель работы: получение достаточных условий существования малых ненулевых периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью искусственного введения в систему малого параметра.

Методика исследования. Задача поиска условий существования ненулевых периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений по средством искус-

(лвенного введения иарамегра сводится к задаче поиска условий существований семейства ненулевых периодических решений системы с параметром, а затем - к отысканию пары: начальное условии, параметр, - определяющей такие решения. Последняя задача решается классическим методом неподвижной точки нелинейного оператора. Построение нелинейного оператора основано как на свойствах матрицы линейного приближения, так и на свойствах нелинейных членов правой части системы.'

Шучшш новшна. В работе предложен новый способ получения достаточных условий существования малых ненулевых периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Доказаны теоремы, являющиеся новыми достаточными условиями существования таких решений.

Научная i? практическая ценность работы заключается в возможности применить полученные признаки существования периодических решений к исследованию конкретных систем дифференциальных уразнений, являющихся моделями природных, социальных и экономических процессов.

На защиту вьщосптся следующие положения:.

3. Приведение системы обыкновенных 'дифференциальны.*" уравнений к системе с параметром. Достаточные условия существования семейства ненулевых периодических решений при условии использования структуры матрицы линейного приближения.

2. Алгоритм разрешимости задачи о существовании семейства малых ненулевых периодических решений при условии, что из нелинейных по параметру и фазовым переменным членов системы можно выделить непрерывные формы по совокупности компонент параметра и фазовой переменной.

3: Критерии существования периодических решений, когда нелинейность системы по параметру и фазовой переменной позволяет выделить форму особого вида

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заазданиях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Ря-

занском государственном педагогическом университете, на VII Международной конференции "Матсмипша. Компьютер. Образовать" в г. Дубна, на IV Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранске, на V Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, в V Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" в г. Алушта, на семинаре Среднеаолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского.

Публикации. Основные результаты ргботы отражены в десяти публикациях, список которых приведен в конце аэто-реферата.

Стру!стура н объем диссертация. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и библиографического списка«• пггературы. Общий объем диссертации 96 страниц машинописного текста. Библиографический список содержит 89 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, содержится краткий обзор работ по ее тематике, сформулированы основные результаты, полученные в работе.

В первой главе исследуется задача поиска, условий существования ненулевых периодических решении сне. лш обыкновенных дифференциальных уравнений в малой окрестности тривиального решения.

В первом параграфе рассматривается преобразование, приводящее . исходную задачу к задаче поиска условий существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений с параметром.

Рассмотрим систему п дифференциальных уравнений: х = Ах + /{1,х), (1.1)

где хе R", Rs - s -мерное вещественное векторное пространство, А - постоянная /? х п -матрица, f(t,x) - п-мерная вектор-функция, определеная и непрерывная по переменным t, х на множестве [0, а>] х ii(e0 ), ¿\, > 0, со -

периодическая по / е }- <ж, оо[, о>0 - некоторое число, множество определяется соотношением

n(i0)= {*б Ii", |х[|< е0 j, lim /(i, *)|НГ' = 0 равномерно

jxg-»0

по t е [О, си], ||а| - mas {Ix, j ). Будем полагать, что система '-I. " . '

(1.1) на множестве [0, &>]хО(гг0) удовлетворяет условиям существования, единственности и непрерывной зависимости решения от начальных данных.

С помощью замены переменных дс={Я4-В(//)]х ( вектор

/1 е Нт, В(р), Е - соответственно известная непрерывная по jj и единичная лх «-матрицы, ii(o) = 0) система (1.1) приводится к в веду

i = ах + q{j.i)x + ¿</, (1.2) .

в котором (}(ß) - н X п -матрица, определенная и непрерывна^ //.е-М(4о), ) = е> 1И|^ ).. lim öl") = О,

о

l;, х, jj) ~ вектор-функция, непрерывная по (, х и ¡л на множестве (0, й>]хО(50)хМ(#0), <у -периодическая по

fej-oo, oof, g(t, 0,>i) = 0, lim g(/,x, я)И"' =0 равномер-

¡r|-»0

но по /efö.iyj и>еМ(£0), =min{e0>^oiî- Число ¿ai >0 выбранотак, что выполнено неравенства |/>(/*)} <1, piß) -непрерывная функция ц„ определенная равенством

: Предполагается, что справедлив^ представление g{t, х, fi) - gif, х, fi\c, в которой g((, ft)- - n x и -матрица,

непрерывная по t, х и // на множестве [О, <у]хП(<?0)х М(<?0), ¿у-периодическая по /е}-оо, оо[. Вместе с системой (1.2) рассматриваются системы

у = Ау + 0(м)у + G{t, х(/, а, /Д мЪ* . \ О 3)

z = Az+Q{p)z+g{t,x{t><*,Af*)' (,4>

х = Ах. (1.5)

. Теорема 1.1. Если решение л;(l,a,fi) системы <1.2) и решение y(t, а, ц) системы (1.3) для любого фиксированного /л g М(<50 ) удовлетворяют условию л(0, а, /л) = _к(0, а, //) = а, то эти решения совпадают всюду на отрезке [о, <о].

Аналогичная теорема справедлива и для. решений систем (1.2) и(1.4) . ;

Пусть ï(t,a, jj), x(t) - фундаментальные матрицы решений систем (1.3) й (1.5) соответственно, Г(0, а, /л) = Л'(о) = Е. Тогда решете y(t, а, р) системы (1.3), удовлетворяющее начальному условию a, fî) = а, можно записать как y(t, а, /л) = а, /л) а, а матрицу К(/, a, р) можно представить в виде ï(t, a, jj)=X(/)+ ф(/, а, //), где свойства матрицы Ф(/, д, //) полностью определяются свойствами матриц y(f, а,/л), x{t), c(t, х, fi). Тогда условие существования малого ненулевого периодического решения системы (1.2) можно записать так:

[Х{ш)-Е]а + Q'{p)a +G*(a, р)а = 0, (1.6) где Q*{/i), G* («, //) - непрерывные по своим переменным : пх п -матрицы, £?*(о)-0, ^lirn^<7*(a, р)=0, <г = со/оп(а, ц),

Й = max{IHI, И),И = пш{К|}, IHI = '

1=1,» 1=1,и .

Во втором параграфе установлены достаточные условия существования малых ненулевых периодических решений системы (1.2) с использованием стр-хтуры матрицы линейного приближения.

Пусть выполняются условия:

1.!. гапфс{(а)-Е]=0.

1.2. Справедливо представление

где - л* л -матрицы, в элементы которых ком-

поненты вектора ¡Л входят линейно и в степени, больше или равной 2 соответственно.

Введем обозначения ||а| = ра, еа~ р~1а, ¡еа || = 1, |о|« р. Тогда систему (1.6) можно переписать в виде

<2'Меа +Я'\(мУа+в'{ра еа> Р)еа • С1-7)

Устаговлено, что справедливо равенство (¿(¡(/¿^а а£?о(еа)м Н при /»£« из матрицы 00(еа) можно

выделить пхи-матркцу 00(ёа).

Теорема Ц Пусть:

1) выполняются условия 1.1,1.2, т^п,

2) существует вектор е* е Я", |е*|| = 1, такой, что

. Тогда система (1.2) имеет ненулевое со -периодическое • решение.

Замечание. Подставляя найденное решение системы (1.2) в выражение х-\Е+получим семейство малых ненулевых ш -периодических решений системы (1.1)

«М*+М- < . /)«-4 1

Если тп§[х(о)~ Е]~ г, 0 <г< п, спр аведливо представление 1.2. и тЪп, то после замены переменных а = //</( с/ -(/!->)-мерный вектор, А/ - их(и-с)-матрица, столбцами которой являются п -г линейно « независимых решений системы. [лт(й>)-й']аг = 0), то условие сушество&ания малых ненулевых а -периодических решений системы (1.2) можно привести к виду, аналогичному (1.7).

Далее установлено существование единичного вектора еа, удовлетворяющего условию 2) теоремы 1.4.

Теорема 1.5. Для того чтобы существовал единичный вектор еа такой, что с!е! ()0 (еа) * 0 достаточно, чтобы хотя бы один ю коэффициентов

Ч\г% - Ч\п% ( Чг\е,х ... '

выражения

был отличен от нуля.

Во второй главе продолжается изучение той же проблемы. Основные условия налагаются на нелинейные по параметру и фазовой переменной члены правой чести системы (1.2).

В первом параграфе получен атгоригм разрешимости задачи существования ненулевых периодических решений системы (1.2)

Пусть выполняются следующие условия:

2.1. гап%[х(а))-Е]= г, Окг<и.

2.2. Справедливо представление ..

в котором .*(«■, //) форма порядка к по совокупности компонент векторов а и//, к 2 2, !ш о(|сг|]Х ||<т|"А = 0. .

ИИ0 ' ■ ■ ? ' . •

Введем обозначения: !'ст| = р,. а = , . ¡л = рХ, £ = со!оп{0, Л1 Н = 1; 0(р) ~ р~ко{рк), Нт 0(р)= 0, тогда систему (1.6) можно представить в ввде

Теорем« 2.1» Если при любом С > $ГЦ = 1 » выполнено неравенство.?^)^ О, то существует такое число 8' е ]0, что для любых векторов a e U(S')[ р е М(<У') ^ютема (1.2) не имеет малых ненулевых ш -периодических решений.

Теорема 2.2. Пусть:

1) выполняются условия 2.1,2.2;

2) существует вектор е Rn+m, ||<"0jj — 1, такой, что *(£о)=°. Со = cobnifi0, До);

3) rangDs(d0)-n, где Ш(£"0) - пх(я + »¡)-мерная матрица Якоби функции ?(£*)., вычисленная при С -Соу

4) Р0* 0.

Тогда система (1.2) имеет ненулевое о> -периодическое решение.

Замечание. Подставляя найденное решение системы (1.2) в выражение * = [/?+ fl(//)]i, получим семейство малых ненулевых (о -периодических решений системы (1.1) х(/, а')* [¿Ч a*,

Предположим, что при всех £о 6 таких, что У(£0)-0, выполняется равенство rang г, 0 ьг<п.

Сл^ 1ай 0<г<п с помощью замены переменных -Му (А/ - (я+м)х (tt+m~ г) -матрица, столбцами которой являются п+m-r линейно независимых решений системы Ds(g0)A£ = 0, у - (л+т-г)-мерный вектор) переходит в случайг = 0.

В случае г = 0 для формы fj(Co, &С) наименьшего j-го порядка относительно вектора А£ установлены теоремы, аналогичные теоремам 2.1 и 2.2 (форма Pj[Cопределяется по формуле Тейлора для формы ?(£")),

Таким образом, если выполняются условия 2.1, 2.2, то имеет место алгоритм, позволяющий последовательно полу-

чать достаточные условия существования ненулевых й) -периодических решений системы (1.2) с использованием форм порядка ), jе { 2,3,..., к]. Длительность алгоритма зависит от значения j. Алгоритм завершается после того, как закончатся формы порядка /, / е (у , у +1, у -+ 2, ..., Дг}, с отличными от нуля коэффициентами.

Во втором параграфе получены признаки существования малых ненулевых периодических решений системы(1.2), а вместе с ней и системы (1.1), для другого представления нелинейных членов.

Пусть выполняются условие 2.1. н условие:

2.3. Справедливо представление

Q* (ju)a + G*(a,p)a = S(a)p+з0 (а)+í, (er, // где s(a) - пхт -матрица, элементами которой являются формы порядка к-Í, (к ¿ 2), относительно компонент вектора а, 50(а), s,(a, - непрерывные формы порядка к «о совокупности компонент векторов а и р, в форму 5j(er, р) компоненты вектора // входят в степени, не ниже второй,

p¿|<r|, limo(p*)¿r* =Ó, ío(0)=0> s,(a,0)=0, p^-*o ■

lim Jj(ar,1 =0 равномерно относительно a eL/(<?0).

М-»0 '

Введем обозначения: ¡aj| = ра> а = раеа, |<?ag=1. Тогда систему (1.6) можно записать так:

%)м + /Vо(еа(раеа, М)+ Ра*о(рк)= 0.

Пусть так же выполняются условия:

2.4. р = colon{jíu ръ -//д), тЪп

2.5. Существует такой вектор ёа е R", |ёв|=1, что Справедлива следующая :

Теорема 2.5. Пусть:

1) выполняются условия 2.1.2.3-2.5;

2) при любом еа е И", ||ес | = 1, справедливо равенство

{Раеа> м) = ч(раеа>м)+я(раёа^м,м), где Д, Д - векторы размерностей п и т~п соответственно составлены из компонент вектора ц, я{раеа>Р)> ц[ра~ёа, р, д) - формы порядка к по совокупности своих

переменных, я(раеа, 0)= О, У\т^{раеа, Д^ДТ* = О равномерно по ра е ] О, ^тЦ{раеа,р,Щр\ '=0 равномерно по ра е ] 0, <5"о] и Д е М(£0),

3) справедливо представление

Рако(рк)=Ь{раМ)+*г{РаА

где lim Ы|)=0 равномерно по р М(^0),

lrai Э2{ра,|//|)й"1 =0 равномерно по pae]0,öQ] и |iH>

д е Щ<у0), {д € /г"-",]|д|| ^ So}

Тогда система (1.2) имеет ненулевое' со -периодическое решение.

Замечание. Подставляя Найденное решение системы (1.2) в выражение х [£ + /?(//)]?, получим семейство малых ненулевых со -периодических решений системы (1.1)

«•)= \е+^Ь Ж И-

Предположим, что вместе с условиями 2.1. и 2.3 выполняются условия: ■ \.

2.6. т <п.

2.7. Существует такой вектор е'аеЯп, ¡«„1 = 1, что

2.8. На единичной сфере существует некоторая окрестность

N4 (*)={'« ЫН ^(еа) = т,1еа-е'а1йХ\

вектора е'а, в которой га^8{еа) = т.

Тогда для всех еа е (%) систему (1.6) можно привести к виду

Т(еа )м + РаЖа)* ра1ф(раеа> м)+ Ра *<>„ (р*)=0>

Аеа)+Ра Г(Раеа> И)+Р~ак°«~т(р*)=0. где Т(еа) -.тх/л-матрица, т(еа) * 0 для всех

<чг <р(еа)> ф(Раеа'У) ~ соответственно я'

мерные, а у(еа)> $(раеа, ¡л) - (п - от)-мерные вектс функции.

Теорема 2.7. Пусть:

1) выполняются условия 2,1,2.3, 2.6-2.8; ,, 2) существует единичный вектор ёа е {%) такой, ч

3) га^Оу{еа) = п-т,тяй Оц/(еа) - (п-ш)хл-ыерн -' матрица Якоби от функции у/, вычисленная в точке еа - ец .

р'^МУ

4) Э(ри>рк)г

, справедливо представь

.1Ра°п-Л7*\

"»«е я(ра(ра.¡¡//j|)+ i92(ра; )И). lim A{pü, ^ <

равномерно по jjplj е ] О, j, lim i92(p„ J/Ay/jf' =0 равм

Иг?и

мерно по ра е ] 0,30 ].

Тогда система (1.2) имеет ненулевое са -периодичес»^ решение.

Замечание. Подставляя наиденное решение системы (1.2) в выражение х = [¿*+получим семейство малых ненулевых о) -периодических решений системы (1.1)

В третьей главе для системы обыкновенных дифференциальных уравнений найдены условия существования малых ненулевых периодических решений с начальными условиями специального вида.

В первом параграфе получено преобразование, приводящее систему уравнений относительно пары: начальное условие, параметр, - к виду, позволяющему находить условия

существования таких решений-

Условие существования ненулевых (О -периодических решений системы (1.2) записано в виде

D{a,fi)a = 0, (3.1)

где D(a, ft)= [*(«)-{а,

Теорема 3.1. Если ran^X{fo)~Е\= г t 0 £ г < л, тогда существует такое число S\ е]0, (50[, что на множестве U(Sl )xM(#¡ ) справедливо равенство

Slia, ц)р{а, Н{а, р), (3.2)

где S - некоторая постоянная неособенная лх«-матрица, Я (ar,fj) - Непрерывная по (а,//) е 1/{б() х A-/(¿>,) пхп-матрица, один .j столбцов которой содержит г нулевых элементов и п-Г; элементов вида Л, (а,//), / = г + 1,«, Л,(0,0) = 0, /i,(a,p)-*0 при et 0, //->0, detр(а, /и) = 1.

Следствие. Если ráng[x(ú)) - Е] = г, 0£ г <п, тогда существует такое число öj е ] 0, ¿¡(> [, что на множестве Lf(Sl М («?,) справедливо равенство

SD{a,¡u)p{a,p)=H(a,ju), (3.2')

о 'Í-

где S - некоторая постоянная неосооеипая м х/г-матрица, Н(а, fí) - непрерывная по (а, u(t>{ )кЛ/(д\) пхп-

матрица, n-r столбцов которой содержат г нулевых элементов и п-г элеме»ггов вида h¡j(a, р), /, > = г + 1, п, Ау(0,0) = 0, hjjipc, fj)->0 при úr 0, //->-0, detI.

Во втором параграфе приведены достаточные условия существования малых ненулевых периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями специального вида.

Предположим, что выполняются условия:

3.1. rartg[x{a>)- Е] = г, 0 £ г < п;

3.2. Существует число ¿>j е]0,такое, что при всех (or, }i) G (/(<?! )aM{S\) имеет место равенство (3.2), в котором н(а, ¡ti), Р(а, р) определены в условии теоремы 3.1;

3.3. Функции h¡(a,p), / = г + 1, и, могут быть представлены в ввде Л,(a, m)=<I¡(m)+%¡(«>/<). i = r + \,n, q¡(o) = О, gy(0, О при а.->0 равномерно по

лем(г>,).

Введем обочначеш1я |1//|| = р^, Л = |Ло| = 1.

Справедлив следующая

Теорема 3.3. Если:

1) выполняются условия 3.1-3.3;

2) р = сЫ0п{ць f42,..., ¡jm ), m > n - г;

3) а = co/on(О,.....О,Д,), ßneR, ßn*0,

4) справедливо представление к / = г +1, п, где Vj (р) - форма порядка к , к 2t 2, относительно вектора р\

5) существует такой вектор ÁQ eRm, ¡Д()|| = 1, что у(Ло ) = 0, где v(¿)=colo.n{vr A {Х ) ',.., v„ (Я));

6) rangD\{Át)) =ñ- г\ где Dy(Á)) (д-т)х/м-мерная матрица Якоби, вычисленная при Я - .

го система (1.2) имеет ненулевое (О -периодическое решение. Аналогичная теорема справедлива и в случае, когда

j-1

Если вместо условия 3.2 предположить выполнимости условия:

3.2'. Существует число 5\ е]0, <?о[ такое, что при всех («./ije (/(<?, )хМ(£,)

1шеет место равенство (3.2'), d котором матрицы Н(а, /и), Р(а, /л) охфеделены в условш1 следствия к теореме 3.1,

то имеет место следующая Теорема 3.4. Если

1) выполняются условия 3.1,3.2';

2) ц = Colone .....Мт). т * (" - г)2;

3) ä = colcm{0,...,0,ß„u.:.,ßn), ßteR, ß,*0, i = г + 1,я;

4) справедливо представление = c*fjskk + qtJ(a, /;),

i, j - r + l, n, А = 1, /л, в котором lim q,Xa, ¡л) = 0 равномер-

JaJ-ю J

но по fi e );

5) числа sk, к = 1, m, удовлетворяют условию

(-л)*—/«?:

6) rangC = {n-rf , где С " (»-rfxm-

detC при т = (п-г¥, , о

матрица, detC = ■ при т > (я-г)

[detCj при т>(п-г) , (и - г)2 х (и - г)2 -матрица ,С| определяется соотношением С// -С{р + С2р, Ji > М - векторы размерностей (н- г)" и т-(«-г)2 соответственно, 1

то система (1.2) имеет ненулевое со -периодическое решение

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность доктору физико-математических наук, профессору М. Т. Терехпну за постояшюе внимание к работе.

СПИСОК ОПУБЛИКОВАН!ЕЫХ РАБОТ

1. Лискина Е. Ю. Об отыскании периодического решения системы дифференциальных уравнений методом малого параметра (сообщение СВМО) // 'Груды Средневолзсско-го математического общества. Саранск: Изд-во СВМО, 1999. Т. 2,№ 1. С. 96-97.

2. Лисктга Е. IO. Необходимое условие существования lía-нулевого периодического решения в огсрестиосш начала координат системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1999. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 2% 11.99, № 3504-В99.

3. Лискина Е. IO. Достаточное условие существования ненулевого периодического решешш дня системы дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1999. 13 с. Деп. в ВИНШИ 29.11.99, № 3505-В99.

4. Лискииа Е. Ю. Усдовия существования периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений (тезисы доклада) // Математика Компыотер. Образование. Тезисы докладов VII Международной конференции (Дубна, 24-29 января 2000 г.). М.: Прогресс-Традиция, 1999. С. 203.

5. Лискина Е. Ю. Существование периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГТТУ, 2000. №3. С. 53-59.

6. Лискина É. Ю. О периодически* решениях системы дифференциальные уравнений // И ¡пеегил Российской ака-

демки естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 60-65.

7. Лискина Е. Ю. Нахожде- <е условий существования периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань,2000. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 07.04.00, № 938-ВОО.

8. Лискина Е. Ю. К вопросу о существовании ненулевых

периодических решений системы дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 2000. 12 с. Деп. в ВИНИТИ 07.04.00, № 939-В00,

9. Лискина Е. Ю. Существование периодического решения специального вида системы обыкновенных дифференци-

: алькык уравнений (тезисы доклада) // Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании. Тезисы докладов 5 всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов (Рязань, 23-25 мая 2000 г,). Рязань: Изд-во РГРТА, 2000: С, 18-20.

10. Лискина Ё. Ю. Существование семейства периодических решений системы дифференциальных уравнений (тезисы доклада) // Метод функций Ляпунова и его приложения. Тезисы докладов V Крымской Международной матемагической школы (Крым, Алушта, 5-13 сентября 2000 г.). Симферополь: Изд-во ТНУ, 2000. С. 101.

Введение.

Глава 1. Ненулевые периодические решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Условия существования ненулевых периодических решений системы дифференциальных уравнений

Глава 2. Существование семейства периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений.

§ 1. Алгоритм разрешимости задачи о существовании ненулевых периодических решений нелинейной системы дифференциальных уравнений.

§ 2. Критерии существования ненулевых периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Глава 3. Периодические решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с начальными условиями специального вида.

§ 1. Преобразование системы уравнений относительно пары: начальное условие, параметр, - к специальному виду.

§ 2. Достаточные условия существования периодического решения с начальными условиями специального вида.

Актуальность темы. В настоящей работе изучается неавтономная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Правая часть системы существенно нелинейна, непрерывна по фазовым переменным и периодическая по независимой переменной. Матрица соответствующей линейной однородной системы постоянна. Изучаемая нелинейная система имеет тривиальное решение. Задача исследования: поиск условий существования ненулевых периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений в малой окрестности нулевого решения.

Необходимость решения данной задачи возникает при математическом моделировании физических, химических, биологических, биофизических, экономических и других процессов [2, 3, 23, 37, 46, 47, 50, 56, 58, 60, 64, 65, 70-73, 76]. Большое количество работ, посвященных этой теме, показывает, что многообразие конкретных систем, описывающих реальные процессы, и сложность проблемы не позволяют пока найти общего подхода к ее решению. Особенно трудны для исследования и, следовательно, наиболее слабо изучены нелинейные критические случаи. Таким образом, одна из основных задач качественной теории - задача поиска условий существования ненулевых периодических решений в нелинейных критических случаях - является весьма актуальной.

Цель работы заключается в получении достаточных условий существования малых ненулевых периодических решений системы п дифференциальных уравнений х = Ах + /((,х), (0.1) в которой х - и-мерный вектор, А - постоянная пхп-матрица, f(t,x) - непрерывная по своим переменным, а>-периодическая по / «-мерная вектор-функция, а>> 0 - некоторое число, f(t,0) = 0, х = 0 является решением системы (0.1).

Методика исследования. Задача поиска условий существования малых ненулевых периодических решений системы (0.1) посредством искусственного введения параметра сводится к задаче поиска условий существования ненулевого периодического решения системы с параметром, а затем - к отысканию пары: начальное условие, параметр, - определяющей такое решение. Последняя задача решается классическим методом неподвижной точки нелинейного оператора. Построение нелинейного оператора основано как на свойствах матрицы линейного приближения, так и на свойствах нелинейных членов правой части системы.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме. Основы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений были заложены А. Пуанкаре [55] и A.M. Ляпуновым [41]. Методы исследования колебаний нелинейных систем, основанные на работах Ляпунова и Пуанкаре, сводятся к представлению периодических решений исследуемых систем в виде степенных рядов, составленных по степеням малого параметра и малых начальных отклонений, абсолютно и равномерно сходящихся для этих значений на любом заданном конечном промежутке времени. Большой вклад в развитие этих методов внесли A.A. Андронов, A.A. Витт, С.Э. Хайкин [3], Б.В. Булгаков [14], И.Г. Малкин [42], Л.И. Мандельштам [45] и другие ученые. Основные идеи качественного исследования систем дифференциальных уравнений содержатся в книге В.В Немыцкого и В.В. Степанова [49].

Открытие А. А. Андроновым [3] и Е. Хопфом [74] бифуркации рождения предельного цикла из состояния равновесия с чисто мнимыми характеристическими корнями при изменении параметров системы легло в основу целого направления исследований. В частности, в работе [74] изучалась п-мерная автономная система дифференциальных уравнений x = f{x,/i), в которой /л - скалярный параметр, матрица fx(0,ju) имеет пару собственных значений a(/j)±ij3(ju). При ju-0 а(0)=0, /?(0)*0 и не существует других собствееных значений матрицы fx.(o,ju), кратных nß, n<aN\{l}. Действительные части других собствееных значений - отрицательны. Было установлено, что при потере устойчивости особой точки изучаемой системы появляется устойчивое периодическое решение (так называемая бифуркация Хопфа). Изучению бифуркаций Хопфа для различных классов систем посвящены работы [6, 47, 73, 75].

Наиболее полно исследованы вопросы существования, устойчивости и бифуркаций периодических решений динамических систем на плоскости в работах A.A. Андронова и его коллег [3-5].

Методы качественного исследования разрабатываются как для автономных, так и для неавтономных систем. В монографии А.Д. Брюно [13] предложен метод нормальных форм, посредством которого исходная система дифференциальных уравнений приводится к такой системе, которая либо легко интегрируется, либо получает более простой вид. При этом требуется определить вид нормализующего преобразования. В ряде работ [19, 20, 30] и, в частности, в работе Ю. В. Малышева [44] вопросы существования, поиска и устойчивости периодических решений автономных систем решаются с помощью построения функций Ляпунова. В статьях H.A. Бобылева и его коллег [8-10] предложены способы доказательства существования циклов в автономных системах обыкновенных дифференциальных уравнений, базирующиеся на методах апостериорных оценок, функционализации параметра и направляющих функций.

Много внимания в качественной теории дифференциальных уравнений уделяется поиску периодических решений систем, содержащих малый параметр. Исследование ведется как итерационными методами, базирующимися на работах Пуанкаре и Ляпунова [24, 30, 34, 59, 69], так и новыми, к которым относят асимптотические методы Н. М. Крылова, Н. Н. Боголюбова, Ю. А. Митропольского

11, 67], метод точечных отображений [3, 15, 48], проекционные методы [34, 59].

Наиболее полно изучены квазилинейные системы при отсутствии резонанса и в критических случаях первого порядка. И.Г. Малкин в монографии [42] рассматривал систему х = Ах + /(() +/л х, /л) (0-2) с 2л--периодической правой частью и скалярным параметром. Предполагалось, что, во-первых, матрица А имеет к нулевых собственных чисел и г пар собственных чисел вида ±1р}, каждое из которых определяет групп решений системы у = Ау, всем указанным числам соответствуют простые элементарные делители (другими словами, г система у = Ау допускает ровно да = £ + 2]Гк линейно неза

7=1 висимых 2л--периодических решений), а во-вторых, порождающая система х = Ах + /{!) имеет семейство 2 п-периодических решений с т-мерным параметром М. Задача о существовании при малом /л такого 2 п-периодического решения системы (0.2), которое при ц = 0 обращается в одно из порождающих решений, сводилась к решению га-мерного уравнения ()(м,/л) = 0. Было установлено, что если существует М = М0 такое, что О{м0,о) = 0 и &х()'м{м,0)^0, то существует единственное решение задачи. Для случая 0{М0,0) = 0 предлагалось проводить деление на /л до тех пор, пока не получится уравнение вида

0. Так же в работе рассмотрен вопрос о периодических решениях автономных систем. В книге [24] для системы вида (0.2) предложен итерационный алгоритм вычисления периодических решений.

A.A. Бойчук и его коллеги [12, 39] изучают критический случай второго порядка (уравнение порождающих амплитуд имеет кратные корни) и распространяют на него метод простых итераций работы [24].

Дж Хейлом [69] был предложен эффективный метод построения периодического решения системы вида z = Az + s Z{z,t,e), где А = diag{0p, в), 0р - нулевая рхрматрица, В — qxq-матрица, удовлетворяющая условию: уравнение у-Ву не имеет нетривиальных периодических решений. Установлены необходимые и достаточные условия существования 7-периодических решений данной системы. Решения строятся методом итераций. В качестве начального приближения используется z = colon(a,0). Вектор а подбирается так, чтобы в последующих итерациях не появлялись непериодические члены.

Э.И. Грудо в работе [25] рассматривает периодическую систему вида x = X(x,yY,.,ym,z,t,fi), yk=Jkyk+Yk(x,yu.,ym,z,t,ju), z = Bz + Z(x,yl,.,ym,z,t,ju), k = \,m, для которой устанавливает условия существования семейства периодических решений в общем критическом случае. Семейство решений может быть представлено сходящимися рядами.

В статье [61] существование периодического решения счетной системы дифференциальных уравнений с малым параметром устанавливается с использованием принципа Шаудера.

Особый интерес представляет поиск периодических решений системы

Ы (о.з) с нелинейной, непрерывной и периодической по г правой частью, и в частности, системы вида (0.1). В.А. Плисс в статье [52] устанавливает достаточные условия существования периодического решения системы вида (0.3) с помощью индекса Пуанкаре.

М.А. Красносельский [32, 33, 35, 36] использует тот факт, что периодические решения полностью определяются неподвижными точками оператора сдвига по траекториям системы (0.3). Доказательство существования неподвижных точек опирается на метод направляющих функций, суть которого заключается в построении некоторых функций, заданных в выпуклой области фазового пространства, и последующей оценке вращения векторного поля на границе этой области. В монографиях [32, 33, 36] содержится обоснование метода направляющих функций и его применение к доказательству существования периодических, положительных и ограниченных решений, а в книге [35] -теория вращения векторных полей. Метод направляющих функций используется и в работе [79].

В статье Е. В. Воскресенского [21] развивается разновидность метода сравнения, основанного на подборе системы дифференциальных уравнений, обладающей решениями с заведомо известными свойствами. Близость правых частей сравниваемых уравнений порождает существование однотипных решений.

Работы [27, 28] посвящены определению условий существования периодических и условно-периодических решений системы (0.3) и основаны на развитии идей Ж.Л. Массера.

Проблемы существования и устойчивости периодических решений рассмотрены так же в работах [17, 18, 43, 51, 77, 78].

М.Т. Терехиным [62-65] и его учениками [1, 16, 53, 57] так же исследовались вопросы существования периодических решений, бифуркации и устойчивости систем дифференциальных уравнений. Так в работе [62] изложены некоторые вопросы теории бифуркаций систем обыкновенных дифференциальных уравнений, зависящих как от скалярного, так и от векторного параметра. В статье [1] вопрос о существовании периодических решений системы вида (0.3) решается посредством искусственного введения параметра по независимой переменной. Работы [16, 57] посвящены поиску достаточных условий существования периодических решений нелинейных систем дифференциальных уравнений с параметром методом неподвижной точки нелинейного оператора. В статье [53] найдены достаточные условия существования аналитического семейства периодических решений автономной системы нелинейных дифференциальных уравнений.

Содержание работы. Настоящая работа содержит результаты исследования системы (0.1) с точки зрения существования ненулевых периодических решений в малой окрестности тривиального решения, тогда как работы [21, 32, 33, 52] предполагают поиск условий существования периодических решений в окрестности некоторого ненулевого решения. Более того, в перечисленных работах предложены способы доказательства существования хотя бы одного периодического решения, а в предлагаемой диссертации получен метод поиска целого семейства таких решений. Результаты настоящей работы применимы и для исследования систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, при изучении критических случаев порядка выше первого. При этом при ¡л = 0, в отличие от работ [12, 24, 39, 42], не нужно требовать обращения одного из решений системы с параметром в решение порождающей системы.

Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы.

В §1 главы 1 рассматривается замена переменных, приводящая систему (0.1) к системе с параметром. В отличие от работы [1], в предлагаемой диссертации параметр вводится не по переменной /, а по переменной х. Его размерность может быть выбрана произвольным конечным натуральным числом из соображений удобства. Доказаны теоремы о совпадении решений полученной системы с параметром с решениями соответствующей системы в вариациях. Найдено приближенное представление для фундаментальной матрицы решений системы с параметром. Задача поиска ненулевого периодического решения системы с параметром сводится к отысканию пары: начальное условие, параметр, - удовлетворяющей некоторой системе уравнений.

В § 2 главы I получены признаки существования ненулевых периодических решений системы с параметром, а вместе с ней и системы (0.1). В доказательстве используется структура матрицы линейного приближения системы с параметром при условии, что нелинейные члены можно представить в виде о(|Ы|)+о(Ы|) ( lim o(||er||)=0, lim о^ЫОЫГ1 = 0,

41 ' v " ИИ . ¡ни """ " a&R" — вектор начальных условий). Результаты основных теорем 1.3, 1.4, 1.6 применяются для исследования системы дифференциальных уравнений, моделирующей химическую реакцию Белоусова-Жаботинского [23].

В главе 2 получены условия существования ненулевых периодических решений системы с параметром, а вместе с ней и системы (0.1), с привлечением нелинейных членов. В § 1 разработан алгоритм разрешимости задачи существования семейства малых ненулевых а>-периодических решений при условии, что из нелинейных по параметру и фазовой переменной членов системы можно выделить непрерывные формы порядка к по совокупности компонент параметра и фазовых переменных (2 <к<1). Алгоритм состоит из чередующейся последовательности достаточных условий отсутствия и существования ненулевых «-периодических решений системы с параметром в окрестности решения = Основные теоремы 2.1, 2.2, 2.3.

Полученные результаты применяются для решения задачи о колебаниях вибратора с нелинейной восстанавливающей силой [11].

В § 2 главы 2 установлены критерии существования и отсутствия малых периодических решений при условии, что нелинейность системы по параметру и фазовой переменной позволяет выделить произведение s(a)ju, где ¿'(а) -лхш-матрица, элементами которой являются непрерывные формы порядка к-1 относительно компонент вектора а. Рассмотрены случаи т>п и т<п (т - размерность параметра, п - размерность фазовой переменной). Приводятся примеры.

В главе 3 доказаны условия существования ненулевого а -периодического решения системы дифференциальных уравнений с параметром, а вместе с ней и системы (0.1), когда вектор начальных условий имеет вид а = colon{0,. ,0,ап) или а = colon(0,., 0, аг+\, . ,ап), ссг+\ * 0, .,апФ 0, г<п.

Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [7, 29, 54, 68], по качественной теории - из [4, 5, 26, 49], по функциональному анализу - из [31, 40, 66], по линейной алгебре - из [22, 38].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Приведение системы вида (0.1) к системе с параметром. Достаточные условия существования семейства ненулевых периодических решений при условии использования структуры матрицы соответствующей линейной однородной системы.

2. Алгоритм разрешимости задачи существования семейства малых ненулевых ¿»-периодических решений при условии, что из нелинейных по параметру и фазовым переменным членов системы можно выделить непрерывные формы по совокупности компонент параметра и фазовой переменной.

3. Критерии существования периодических решений, когда нелинейность системы по параметру и фазовой переменной позволяет выделить форму особого вида.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VII Международной конференции "Математика. Компьютер. Образование" в г. Дубна, на IV Международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения" в г. Саранске, на V Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов "Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании" в Рязанской государственной радиотехнической академии, в V Крымской Международной математической школе "Метод функций Ляпунова и его приложения" в г. Алушта, на семинаре Средневолжского математического общества под руководством профессора Е. В. Воскресенского.

Основные результаты исследований опубликованы в работах [80-89].

Заключение

Работа посвящена изучению системы дифференциальных уравнений вида х = Ах + f(t, х), где х - п-мерный вектор, А - постоянная лхи-матрица, f(t,x) - п-мерная вектор-функция, определеная и непрерывная по переменным t, х, со -периодическая по te }-оо, оо[, со> 0 - некоторое число, и удовлетворяющая условию lim f(t, х) ЦхГ1 = 0 равномерно х||н>0 по te [о, со].

Целью работы являлось нахождение достаточных условий существования ненулевых малых со -периодических решений данной системы. Исходная система с помощью замены переменных х = [е + ¿?(//)]х (е - единичная, в(/л) - непрерывная по ¡л, - пхп-матрицы) была сведена к системе с параметром. Была получена система п уравнений относительно начальных данных и параметра, определяющая искомые решения. Эта система исследовалась с помощью принципа неподвижной точки нелинейного оператора. Рассмотрены случаи, когда задача решается:

1) с использованием только матрицы линейной части системы (также найдены условия разрешимости поставленной задачи);

2) с использованием свойств нелинейных членов;

3)начальные условия имеют вид а = colon(О,.,О, ßn), ßn ИЛИ a = colon{p,.,ü,ßr+b — ,ßn)> ßr+1*0,-, ßn*0.

Рассмотрены примеры и прикладные задачи.

1. Абрамов В. В. Периодические решения нелинейной системы дифференциальных уравнений // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. 1999. № 2. С. 5-8.

2. Амелькин В. В Дифференциальные уравнения в приложениях. М.: Наука, 1987. 157 с.

3. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. М.: Физматгиз, 1959. 915 с.

4. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Качественная теория динамических систем второго порядка. М.: Наука, 1966. 568 с.

5. Андронов А. А., Леонтович Е. А., Гордон И. И., Майер А. Г. Теория бифуркаций динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1967. 488 с.

6. Бибиков Ю. Н. Бифуркация типа Хопфа для квазипериодических решений//Дифференц. уравнения. 1980. Т. 16, №9. С. 1539-1544.

7. Бибиков Ю. Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высш. шк., 1991. 303 с.

8. Бобылев Н. А., Булатов А. В., Коровин С. К., Кутузов А. А. Об одной схеме исследования циклов нелинейных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № ГС. 3-8.

9. Бобылев Н. А., Коровин С. К. Итерационный алгоритм приближенного построения циклов автономных систем // Дифференц. уравнения. 1996. Т. 32, № 3. С. 301-306.

10. Бобылев Н. А., Красносельский М. А. Функционализация параметра и теорема родственности для автономных систем // Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6, № 11. С. 1946-1952.

11. Боголюбов Н. 11., Митропольский Ю. А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1955. 344 с.

12. Бойчук А. А., Журавлев В. А., Чуйко. В. Г. Периодические решения автономных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1990. Т. 42, № 9. С. 1180-1187.

13. Брюно А. Д. Локальный метод нелинейного анализа дифференциальных уравнений. М: Наука, 1979. 253 с.

14. Булгаков Б. В. Колебания. М.: Гостехиздат, 1954. 891 с.

15. Бутенин Н. В., Неймарк Ю. И., Фуфаев Н. А. Введение в теорию нелинейных колебаний. М.: Наука, 1976. 384 с.

16. Бухенский К. В. Ненулевые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Мордовский гос. ун-т. Саранск: Изд-во Мордовского гос. ун-та, 1998. 19 с.

17. Былов Б. Ф., Виноград Р. Э. Гробман Д. М. Немыцкий В. В. Теория показателей Ляпунова. М.: Наука, 1966. 567 с.

18. Вайнберг М. М., Треногин В. А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969. 528 с.

19. Веретенников В. Г. Устойчивость и колебания нелинейных систем. М: Наука, 1984. 320 с.

20. Воскресенский Е. В. О периодических решениях возмущенных дифференциальных уравнений // Изв. вузов. Математика. 1991. № 1.С. 11-14.

21. Воскресенский Е. В. О периодических решениях нелинейных систем и методе сравнения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, №4. С. 571-576.

22. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: ГИТТЛ, 1953. 492 с.

23. Гарел Д., Гарел О. Колебательные химические реакции. М.: Мир, 1986. 152 с.

24. Гребенников Е. А., Рябов Ю. А. Конструктивные методы анализа нелинейных систем. М.: Наука. 1979. 431 с.

25. Грудо Э. И. Периодические решения периодических дифференциальных систем в общем критическом случае // Дифференц. уравнения. 1982. Т. 18, № 5. С. 763-767.

26. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967. 472 с.

27. Дзюба С. М. Об условно периодических решениях дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, №8. С. 1020-1023.

28. Дзюба С. М. Ограниченные и периодические решения дифференциальных уравнений // Вестник ТГТУ. 1995. Т. 1, № 34. С. 355-360.

29. Еругин Н. П. Книга для чтения по общему курсу дифференциальных уравнений. Минск: Наука и техника, 1972. 664 с.

30. Каменков Г. В. Избранные труды. Т. Г М.: Наука, 1971. 214 с.

31. Канторович Л. В., Акилов Г. ГГ. Функциональный анализ. М.: Наука, 1984. 572 с.

32. Красносельский М. А. Оператор сдвига по траекториям дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966. 332 с.

33. Красносельский М. А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Наука, 1962. 457 с.

34. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455 с.

35. Красносельский М. А., Забрейко П. П. Геометрические методы нелинейного анализа. М.: Наука, 1975. 511 с.

36. Красносельский М. А., Перов А. И., Поволоцкий А. И., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. М.: ГИФМЛ, 1963. 248 с.

37. Кудрявцева Е. А. Периодические движения планетной системы с двойными планетами. Обобщенная задача Хилла. // Вестн. Моск. Ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 1999. №4. С. 59-61.

38. Курош А. Г. Курс высшей алгебры. М.: ГИФМЛ. 1963. 432 с.

39. Лыкова О. Б., Бойчук. А. А. Построение периодических решений нелинейных систем в критических случаях // Укр. матем. журнал. 1988. Т. 40, № 1. С. 62-69.

40. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 510 с.

41. Ляпунов. А. М. Общая задача об устойчивости движения. М.: Гостехиздат. 1950. 471 с.

42. Малкин И. Г. Некоторые задачи теории нелинейных колебаний. М.: Гостехиздат, 1956. 491 с.

43. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966. 532 с.

44. Малышев Ю. В., Захаров В. П. Исследование существования и выпуклости предельных циклов методом обобщенных функций Ляпунова//Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 2. С. 212-216.

45. Мандельштам. Л. И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1972.470 с.

46. Марри Дж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. М: Мир, 1983. 400 с.

47. Марсден Дж., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее применение. ML: Мир, 1980. 367 с.

48. Неймарк Ю. И. Метод точечных отображений в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1972. 471 с.

49. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.: ГИТТЛ, 1949. 550 с.

50. Петрова В. В., Тонков Е. Л. Допустимость периодических процессов и теоремы существования периодических решений // Известия вузов. Математика. 1996. № 11. С. 65-72.

51. Плисс В. А. Нелокальные проблемы теории колебаний. М.-Л.: Наука, 1964. 367 с.

52. Плисс В. А. О существовании периодических решений у некоторых нелинейных систем // Доклады АН СССР. 1961. Т. 137, №5. С. 1060-1073.

53. Погорелов И. А. Периодические решения систем дифференциальных уравнений второго порядка // Вестник РГПУ (бывш. Вести. Ряз. пед. ин-та.). 1997. № 1. С. 83-88.

54. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1965. 332 с.

55. Пуанкаре А. Избранные труды. М.: Наука. 1971. Т. 1. 771 с.

56. Ранцевич В. А., Самсон А. М. О предельных циклах динамической системы, моделирующей работу лазера // Дифференц. уравнения. 1989. Т. 25, № 23. С. 540-542.

57. Ретюнских Н. В. Периодические решения неавтономных систем дифференциальных уравнений: Автореф. дис. . канд. физ.-мат. наук / Удмуртский гос. ун-т. Ижевск: Издво УГУ, 1998. 16 с.

58. Романовский Ю. М., Степанова Н. В., Чернавский Д. С. Математическая биофизика. ML: Наука, 1984. 304 с.

59. Самойленко А. М., Ронто Н. И. Численно-аналитические методы исследования периодических решений. Киев: Вища школа. Изд-во при Киев, ун-те, 1976. 180 с.

60. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1979. 352 с.

61. Сидорова JI. М. О периодических решениях счетной системы дифференциальных уравнений с малым параметром // Барнаул, гос. пед. ун-т. Барнаул, 1998. 6 с. Деп. в ВИНИТИ 08.07.98. № 2144-В 98.

62. Терехин М. Т. Бифуркация систем дифференциальных уравнений. М.: Прометей, 1989. 87 с.

63. Терехин М. Т. Периодические решения систем дифференциальных уравнений. Учеб. пос. к спецкурсу. Рязань: Ряз. пед. ин-т, 1992. 88 с.

64. Терехин М. Т. Устойчивость и предельные циклы в системе типа "хищник-жертва" при наличии внутривидовой конкуренции и заповедника // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. 1999. № 2. С. 82-93.

65. Терехин М. Т., Панфилова Т. JI. Периодические решения системы Ресслера // Известия вузов. Математика. 1999. № 8. С. 70-73.

66. ТреногинВ. А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980. 496 с.

67. Ухалов А. Ю. Почти периодические решения систем дифференциальных уравнений с быстрым и медленнымвременем в случае вырождения // Математические заметки. 1998. Т. 63. Вып. 3. С. 451-456.

68. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970. 720 с.

69. Хейл Дж. К. Колебания в нелинейных системах. М.: Мир, 1966. 230 с.

70. Цегельник В. В. О решениях одной динамической системы с квадратичными нелинейностями// Дифференц. уравнения. 1999. Т. 35, № 7. С. 1003-1004.

71. Bohl Е. On two models of the Belousov-Zhabotinskii reaction // Numerical Treatment of Differential Equation. Teubner-text zur Mathematic. Band 82. BSB B. G. Teubner Verlagsgesellschaft. Leipzig. 1986. P. 8-13.

72. Budd C. J., Lee A. G. Double impact orbits of periodically forced impact oscillators // Proc. Roy. Soc. London. A. 1996. 452, № 1955. P. 2719-2750.

73. Cendra H., Salthu R., Torresi A. Finding nondegenerate Hopf bifurcation points for four-dimensional two-parametric systems // Math. Appl. and Comput. 1997. 33, № 12. P. 115-124.

74. Hopf E. Abzweigung einer periodischen Losung von einer Stationaren Losung eines Differential systems // Ber. Math.-Phus. Sachsische Akademie der Wissenschaften. Leipzig. 1942. 94. S. 122.

75. Hoyle S. L. Hopf Bifurcation for Ordinary Differential Equations with a Zero Eigenvalue // J. Math. Anal, and Appl. 1980. Vol. 74, № 1. P. 212-232.

76. Hristove S. J., Bainov D. D. Periodic solutions of quasilinear non-autonomous systems with impulses // Bui. Austral Math. Soc. 31, № 2. 1985. P. 185-197.

77. Lu Xiguan, Li Yong, Su Yi. Finding periodic solutions of ordinary differential equations via homotopy method // Math. Appl. and Comput. 1996. 78, № 1. P. 1-17.

78. Xiang Zigui, Tang Renhan. Periodic solutions of some higher order nonlinear periodical systems //Hunan. Ann. Math. 1992. 12, № 1-2. P. 56-61.

79. Zanolin F. Continuation theorems for the periodic problem via the translation operator // Rend. Semin. Mat. Univ. e Politecn. Torino. 1996. 54, № l.P. 1-23.

80. Лискина E. Ю. Об отыскании периодического решения системы дифференциальных уравнений методом малого параметра (сообщение СВМО) // Труды Средневолжского математического общества. Саранск: Изд-во СВМО, 1999. Т. 2, № 1. С. 96-97.

81. Лискина Е. Ю. Необходимое условие существования ненулевого периодического решения в окрестности начала координат системы обыкновенных дифференциальных уравнений / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1999. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, № 3504-В99.

82. Лискина Е. Ю. Достаточное условие существования ненулевого периодического решения для системы дифференциальных уравнений с параметром / Ряз. гос. пед. ун-т. Рязань, 1999. 13 с. Деп. в ВИНИТИ 29.11.99, № 3505-В99.

83. Лискина Е. Ю. Существование периодических решений системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 53-59.

84. Лискина Е. Ю. О периодических решениях системы дифференциальных уравнений // Известия Российской академии естественных наук. Дифференциальные уравнения. Рязань: Изд-во РГПУ, 2000. № 3. С. 60-65.

85. Лискина Е. Ю. Существование семейства периодических решений системы дифференциальных уравнений (тезисы доклада) // Метод функций Ляпунова и его приложения. Тезисы