автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.16, диссертация на тему:Исследование задачи о существовании и устойчивостипочти периодических колебаний в нелинейных системах с малым параметром

РГ6 Оь

На правах рукописи Ухалов Алексей Юрьевич

Исследование задачи о существовании и устойчивости почти периодических колебаний в нелинейных системах с малым параметром

05.13.16 - применение вычислительной техники, математического моделирования и математических методов в научных исследованиях (по физико-математическим наукам)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль — 1997

Работа выполнена в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова

Научный руководитель

кандидат физико-математических наук, доцент Бурд В.Ш.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук,

доцент Майоров В.В. доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Юмагулов М.Г.

Ведущая организация

Воронежский государственный университет

Защита состоится "2.4" VAK)UJ\ 1997г. в ^ часов ь заседании диссертационного совета К 064.12.04 в Ярославском государственном университете им. П.Г. Демидова по адресу 150000, г. Ярославль, ул. Советская, д. 14.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЯрГУ по адресу г. Ярославль, ул. Кирова, д. 8/10

Автореферат разослан "'2-V Vvx^k 1997 г. Ученый секретарь

диссертационного совета, кандидат Л физико-математических наук, доцент^^(^^7Т1ендюр а

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из важных направлений теории нелинейных колебаний является исследование вопросов существования и устойчивости периодических и почти периодических колебаний в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями с малым параметром. Задачи такого рода возникают в различных областях механики, физики и техники.

Аналитические и качественные методы исследования почти периодических колебаний разрабатывались многими авторами. H.H. Боголюбов и Н.М. Крылов развили метод усреднения для исследования почти периодических колебаний в нелинейных системах. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах H.H. Боголюбова, H.H. Боголюбова и Ю.А. Митропольского, Г.И. Бирюк, И.Г. Малкина, Дж. Хейла, М. Розо, В.Ш. Бурда, П.П. Забрейко, Ю.С. Колесова, М.А. Красносельского и др. Наиболее детально изучены задачи, в которых вопрос о существовании почти периодических колебаний решается на основе анализа усредненной системы первого приближения (некритические случаи). Существенно менее разработаны методы исследования систем в критических случаях. В связи с этим актуально развитие техники изучения систем дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами и ма-

лым параметром, основанной на построении высших приближений метода усреднения.

Диссертационная работа в основном посвящена изучению ряда задач, в которых существование и устойчивость почти периодических решений могут быть установлены на основе анализа уравнений высших приближений метода усреднения.

Цель работы. Разработка аналитических и качественных методов исследования задач о существовании и устойчивости почти периодических решений для нелинейных дифференциальных уравнений с малым параметром.

Методы исследования. В работе применяются методы качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений: метод малого параметра, метод усреднения; методы функционального анализа: операторные уравнения, принцип сжатых отображений, теория линейных дифференциальных операторов с почти периодическими коэффициентами.

Научная новизна. Получены новые теоремы существования и устойчивости почти периодических решений для обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений с быстрым и медленным временем, одного класса сингулярно возмущенных систем. Показана возможность применения систем высших приближений для решения вопроса о существовании и устойчивости почти периодических решений в крити-

ческих случаях.

Практическая ценность. Работа теоретическая. Полученные результаты могут применяться для исследования уравнений, возникающих в задачах теории колебаний и нелинейной механики.

Объем и структура диссертации. Работа состоит из введения и пяти параграфов, изложена на 78 страницах. Библиография 26 наименований.

Апробация работы. Отдельные результаты диссертации докладывались на конференциях "Нелинейные колебания механических систем" (Нижний Новгород, 1993 и 1996), "Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук" (Ярославль, 1995).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 работ.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первый параграф посвящен задаче о ветвлении почти периодических решений системы дифференциальных уравнений вида

п т

— = *,е), хеЯ\ (1)

где е — малый положительный параметр, Х(Ь,х,е) — функция почти периодическая по £ равномерно относительно х и £, достаточно гладкая по х и е. Системе (1)

сопоставляется усредненная по времени t система

£ = «*<»). (2)

где

*i(y)= lim i Г X(t, у, 0) dt. Т—»oo i Jo

Предполагается, что усредненная система (2) имеет стационарное решение уо (Yi(?/o) = 0). Случай, когда матрица Ао = Yi'y(ya) не имеет собственных значений на мнимой оси, был исследован H.H. Боголюбовым. Теорема H.H. Боголюбова утверждает (при естественных дополнительных предположениях), что когда все собственные значения матрицы Л0 имеют ненулевые вещественные части, система (1) при достаточно малых £ имеет единственное почти периодическое решение xq(t,e), близкое к стационарному решению j/о системы (2).

В п. 1.1 диссертации доказывается теорема 1.1 о существовании и устойчивости почти периодического решения системы (1) в общем критическом случае, когда матрица Ао имеет произвольное число собственных значений с нулевой вещественной частью. Для системы (1) строится усредненная система т-го приближения

% = Ъ1УЫ (3)

dt ¿=i

Предполагается, что выполнены следующие условия

1) Система (3) имеет стационарное решение у = уо(е) (У(0) = уо).

2) Матрица А(е) = 1^«у(Уо(е)) при достаточно малых £ > 0 не имеет собственных значений с нулевой вещественной частью.

3) Справедлива оценка

||£-1(е)Н < (М,а > 0)

где £-1(е) — оператор, действующий в пространстве почти периодических вектор-функций В(Яп), обратный к дифференциальному оператору с почти периодическими коэффициентами

ВДу = % - А{е)у.

4) т > а + т], г/ > а.

Теорема 1.1 утверждает, что при выполнении условий 1)-4) и некоторых дополнительных предположениях (достаточная гладкость правых частей (1) и др.), система (1) имеет единственное в шаре \\у — Уо(^)|| < со^ пространства почти периодическое решение причем свойства устойчивости решения е) совпадают со свойствами устойчивости нулевого решения линейной системы

В п. 1.2 излагается необходимый в дальнейшем алгоритм получения асимптотических разложений собственных значений матрицы а(е), обращающихся в нуль при е = 0. В п. 1.3 приводится метод оценки нормы оператора L-1(£), обратного к оператору

l(£) = а(£).

В п. 1.4 рассматривается пример применения теоремы 1.1 к исследованию задачи о поддержании вращательных режимов маятника с помощью вибрации точки подвеса вдоль вертикальной оси.

Во втором параграфе на основании теоремы 1.1 изучаются два простейших случая вырождения матрицы aq. В п. 2.1 рассматривается случай, когда матрица Ао имеет простое нулевое собственное значение. Устанавливается теорема 2.1 о существовании и устойчивости почти периодических решений системы (1). В п. 2.2 теорема 2.1 применяется к следующей задаче. Рассматривается уравнение движений маятника с быстро осциллирующей точкой подвеса. Дополнительно предполагается, что на маятник действует быстро осциллирующая внешняя сила. Исследуется задача о существовании и устойчивости почти периодического решения, ответвляющегося от верхнего состояния равновесия маятника. В п. 2.3 приводится теорема 2.2 о существовании и устойчивости почти периодических решений системы (1) в случае, когда

матрица Ао имеет двукратное нулевое собственное значение, которому отвечает лишь один собственный вектор (жорданова клетка 2x2). В п. 2.4 приведен иллюстративный пример к теореме 2.2.

В третьем параграфе изучаются резонансные почти периодические колебания трехмерной системы с быстро вращающейся фазой

где /(х,у,<р,*,б), д(х,у,<р,г,е), - тригоно-

метрические многочлены по Ь с частотами, не зависящими от х, у, (р, е, и достаточно гладкими коэффициентами; ш(х,у) - достаточно гладкая функция; е -малый параметр. Рассматривается случай резонанса: предполагается, что существуют числа Хо, уо такие, что ш(х0,у0) = 0, причем выполнено условие невырожденности резонанса и>1(х0,Уо) + и!у(хо,у0) ф 0. Исследуется поведение решений системы (3.1) в /х = у/е- окрестности резонансной точки (Хо,уо). Рядом замен переменных система (4) преобразуется к трехмерной системе вида (1), для которой матрица Ао имеет либо одно простое нулевое собственное значение, либо одно простое нулевое и пару чисто мнимых собственных значений. В п. 3.1

= еД^У^М),

(4)

устанавливается теорема 3.1 о существовании и устойчивости почти периодических решений системы (4). В п. 3.2 теорема 3.1 применяется к исследованию уравнений нелинейного осциллятора, частота которого зависит от медленной переменной. Соответствующая система имеет вид

х = — u)2(z)x + е[а cos(i^i + 5) + bcos i^i — x^L z — — excosuit. (5)

Изучены условия существования колебаний осциллятора (5), близких к колебаниям с постоянной частотой и\.

В четвертом параграфе рассматривается система дифференциальных уравнений вида

^Г = т, х, е), г = ef, (6)

правые части которой периодичны по медленному времени г с периодом и и почти периодичны по быстрому времени t. Системе (6) сопоставляется усредненная по быстрому времени система

% = ¥1(т,у), r = et, (7)

где

1 Г

Yi(r,y)= lim - f X(t,r,y,0)dt.

1 J о

Предполагается, что система (7) имеет ^-периодическое решение Уо(т). Известен следующий результат М. Розо. Пусть линейная периодическая система

где А(т) = Ух^Дг, Уо{т)) не имеет характеристических показателей с нулевой вещественной частью. Тогда система (6) (при естественных дополнительных предположениях) при достаточно малых £ имеет почти периодическое решение близкое к уо(т). В п. 4.1 диссертации развивается техника замены метода усреднения для систем с быстрым и медленным временем. В п. 4.2 доказывается теорема 4.1, обобщающая теорему 1.1 на случай системы (6).

В пятом параграфе обосновывается принцип усреднения на бесконечном промежутке для системы вида

^ = т = /Л, (8)

где х £ Яп, — функция со значениями в

Я", почти периодическая по временам ¿и т равномерно относительно остальных переменных, непрерывно дифференцируемая по х равномерно относительно остальных переменных, непрерывная по ¡1 равномерно относительно т и х. Во времени т система (8) является сингулярно возмущенной. Функция г, ж, /х) усредняется

по быстрому времени

Х(т,ж) = lim ^ Г X(t,r,x,0) dt. Т-юо Г J0

Доказывается следующая теорема Теорема 5.1. Пусть

1) существует почти периодическая функция аГо(т) такая, что Х(т, ж0(г)) = 0 при всех т € R;

2) Жо(т) — дифференцируема и ее производная dx0(T)/dT также является почти периодической функцией;

3) спектр матрицы А(т) = Х¥(т,хо(т)) строго отделен от мнимой оси, т.е. все ее собственные значения удовлетворяют неравенству \Re А(г)| > 70 > 0 при всех

т е R.

Тогда можно указать такие ао и ¡jlq, что при ц € (О,/Ло) система (8) имеет в шаре ||ж—жо(т)|| < ао пространства B(Rn) единственное почти периодическое решение Xo(t, /х) и

lim||ar0(f,AO -®о(т)|| = 0.

Решение xo(t,fx) будет устойчивым, если все собственные значения матрицы А(т) имеют отрицательные вещественные части и неустойчивым, если у матрицы А(т) есть хотя бы одно собственное значение с положительной вещественной частью.

В п. 5.1 вводится понятие равномерно регулярного оператора

т dy

L»v = - Мчу

и приводятся основные свойства равномерно регулярных операторов. Формулируется основная теорема параграфа. В п. 5.2 доказываются три вспомогательные леммы. В п. 5.3 приведено доказательство теоремы 5.1. В п. 5.4 в качестве примера к теореме 5.1 исследуются условия устойчивости состояний равновесия маятника, точка подвеса которого колеблется по закону

f(t) = а 1 COS Wit + (22 cos W21, где wi — W2 — lS.pL2 (A = const).

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ухалов А.Ю. Принцип усреднения на бесконечном промежутке для систем дифференциальных уравнений с быстрым и медленным временем / Яросл. гос. ун-т. — Ярославль, 1994. — 15с. Деп. в ВИНИТИ, N 1107-В94 Деп.

2. Ухалов А.Ю. Почти периодические решения систем дифференциальных уравнений с быстрым и медленным временем в случае вырождения / Яросл. гос. ун-т. — Ярославль, 1995. — Юс. Деп. в ВИНИТИ, N 3395-В95 Деп.

3. Ухалов А.Ю. Ветвление почти периодических решений и принцип усреднения / Яросл. гос. ун-т. — Ярославль, 1996. — 22с. Деп. в ВИНИТИ, N 3596-В96 Деп.

4. Бурд В.Ш., Ухалов А.Ю. Ветвление почти периодических колебаний и метод усреднения // Нелинейные колебания механических систем: III конф.: Тез. докл. — Нижний Новгород, 1993. — С.42.

5. Ухалов А.Ю. Принцип усреднения и существование почти периодических решений в случае вырождения // Актуальные проблемы естественных и гуманитарных наук: Математика. Информатика: Тезисы юбилейной конференции. — Ярославль, 1995. — С.177-180.

6. Ухалов А.Ю. Почти периодические колебания в системах с быстрым и медленным временем // Нелинейные колебания механических систем: IV конф.: Тез. докл. — Нижний Новгород, 1996. — С.154-155.