автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Ненулевые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром

Мордовским I (>cy^Iapc'IГlcмuьI¡V.vпиIíCx^cll^cl 1!м.Л1,Г1.0гарепд

Н» прапах рукописи

7 ~ " УДК 517.925

') ' Л г»

Бухенский Кирилл Валентинович

1еиулепые периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром

5.13.18 - Теоретические основы математического моделирования, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата фтико-матсматичсских наук

Саранск - 1998

Работа выполнена на кафедре математического анализа 1'и занского государственного педагогическою университета имеш СЛ. Есенина

Научный руководи i ель: доктор физико-математических наук

профессор М.Т.Терехин

Официаньные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор В.Н.Щенников

доктор физико-математических наук профессор А.И.Зеифман

Ведущая организации: Вепоруескии государственный университет

Защита состоится "¡4" октября 1998г u М ч. 00 мин на заседанш диссертационного совета К 063.72.04 по присуждению ученой ere пени кандидата физико-математических наук в Мордовском госу дарственном университете имени Н.П.Огарева по адресу: 430000 г.Саранск, ул.Большевистская, 68.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотек Мордовского тосударс1ве|шо( о университета.

Аыореферат разослан " " Сл^ 1998г.

УчСНЫЙ ( ClipCI.Ipl.

диссертационного сове i а кандидат физико-илемагичёч.кцк наук, доцент С.М.Мурюмип

Общая характеристика работы

Лтуалыюсть темы. В данной работе рассматриваются неавтономные системы дифференциальных уравнений, зависящие от параметра. Предполагается, что система имеет тривиальное решение при любых значениях параметра. Задачей исследования является определение условии существования ненулевых периодических решений. Эта проблема занимает одно из центральных мест в качественной теории дифференциальных уравнений и при исследовании качественного характера различных математических моделей прикладного направления.

Теория нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений находит широкое применение в исследовании колебательных процессов. Фундамент в теории нелинейных колебании был заложен А.Пуанкаре и А.М.Ляпуновым. Большой вклад в развитие этой теории внесли А.А.Андролов, А.А.Витт, С.Э.Хайкин, Б.В.Булгакоз, И.Г.Малкин, Л.И.Мандельштам, Н.Н.Боголюбов, Ю.А.Митропольс-кий. Проблеме поиска периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений посвящены работы Г.В.Каменкова, В.Н Латинского, Е.В.Воскресснского, И.В.Каменева, М.Т.Терехнпа п других математиков.

Вопросы существования периодических решений систем дифференциальных урапнешш тесно связаны с бифуркацией этих систем, которая находит приложение в широком классе прикладных задач.

Привлечение нелинейных членов системы для решения задачи существования периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений открывает новые пути поиска условий существования периодических решений. В связи с этим задача определе-

ния условий существования ненулевых периодических решений нелинейных неавтономных систем дифференциальных уравнений представляется весьма актуальной.

Цель работы. Получение новых достаточных условий существования ненулевых периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений, зависящих от параметра. При этом акцент сделан на возможность представления фундаментальной матрицы системы линейного приближения в виде матрпцанта.

Общая методика исследования основана на методе неподвижной гонки нелинейного оператора. Построение нелинейного оператора основано на свойствах как матрицы линейного приближения, так и свойствах нелинейных вектор-функций.

Плучики новизна. В работе получены новые достаточные условия существования ненулевых периодических решений неавтономных систем дифференциальных уравнений с параметром: Существенно то, что фундаментальная матрица системы линейного приближения представлена в хшде матрицам га. Для решения проблемы привлекаются как свойства матрицы линейного приближения, гак и свойства нелинейных членов системы.

Научиаа в практическая! ценность. Работа носит теоретический и прикладной характер. Полученные результаты мог ут быть применены к исследованию существования периодических решений нелинейных неавтономных систем-дифференциальных уравнений, описывающих физические процессы, природные явления.

На защиту выносятся следующие положения.

1) Применение матрпцанта к исследованию неавтономной системы дифференциальных уравнений но поиску непулевых периодических решений.

2) Достаточные условия существования ненулевых периодических решений. Основные требования касаются свойств элементов матрицы системы линейного приближения.

3) Определены уел опия существования периодических решении для-неавтономной системы дифференциальных уравнений п случае, когда первым приближением нелинейной часто системы, является форма относительно неизвестного.

Апробация диссертация.. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского сешШара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанской государственном педагогическом университете, на II Уральской региональной межвузовской научно-практической конференции в г.Уфе, на конференции, посвященной 100-жптпо со для рещдеппя Б.М.Гагагаа в г.ЕСазшт, па семинаре Срсдиеполжского математического общества под руководством профессора Воскресенского Е.В..

Иублнкянян. Основные результаты работы отражены в семи публикациях, список которых приведен и конце автореферата.

Структура п объем диссертация. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, библиографического списка. Общий объем диссертации 96 страниц. Библиографический список содержит 86 наименований.

Краткое содержание рз&этъз.

Во ппедепяа дается обоснование актуальности теыы диссертации, кратко изложен обзор работ по ее тематике, формулируются основные результаты, полученные в диссертации.'

Ilepuau глава посвящена проблеме поиска условий существовании ненулевых периодически решений систем дифференциал!,них уравнений вида:

/ {{t,cc, к)сс, (1)

г де ОС е W(i), WfC):{oce£n, llaclhaj, UA($\

- положительные числа,

f— fri '

tz - т -мерное векторное пространство, т-, П,, па оральные числа.

Норму вектора (Л-- (Q , Q^,... Qл ) определим как

/ta//--/nav/£?./, матрицы А = i Я,- ■) - '

< = Л ^ z

' h.

7Ш= гка* 21 (а. (.

■■ ¿--J~ri K'l СА

Считаем, что выполнены условия:

I. Матрицы J) ft, Х \ и 'fi^y02-) A) OJ -периодические " попеременной t на прямой + ^^С- , непрерывны но со-

вокупности своих переменных на множествах

Со, col > Л (И

lo,Ld]*k/f£) *JL (fc) соответственно, 0, A J = 0, при всех значениях параметра \еЛ(Г) и времени t t Со) cjJ.

И. Система дифференциальных уравнении (I) удовлетиоряст условиям существования, единственности и непрерывной чависимоеш

решения ог начальных данных и параметра.

К К

Ш. Число К такое, что К) - ~ К : Пусть oc.(t7*C,y)to, д:^«/,).)-/,^^^!)} Vf - ^ j - решение системы (1), определенное

при i 6 Го, U! J.

Перейдем к системе вида

Ц (2)

Обошачим фундаментальную матрицу системы (2) как

- единичная (п. матрица, а фундаментальную матрицу системы .

•т. - АН, А)л как ВС£, А), 6(о, А)= £. '

Теорема 1.1. Для того, чтобы решение ос. [ , X) Х-Со^, ~ о(. системы (1) было СХ/ -периодическим, необходимо н достаточно, чтобы система (2) имела СО -периодическое решение с тем же начальным условием.

В §1 главы I показано, что матрицу

а) можно представить в виде

Жомг^ьт^А), о)

где матрица , А ) - ('/■■ А)) является решением

е ~ ■

матричного уравнения и удовлетворяет условиям:

при .

о равномерно относительно

Для дальнейших рассуждения будем использовать возможность представления фундаментальной матрицы X) линейной однородной системы в виде матрицанта

* £ 4

о О О

Данный ряд сходится абсолютно для всякого е 1-"*°', * Г, причем сходимость равномерна па каждом конечном отрезке

СЛ/31с С-^/б). '

Для удобства записи представим матрицу ВСб, к)п форме

/

"''V J' I/-

i^^V/r, A)^ ^Щ Ccjjc/г

0 C'l С s\

л ; \ , iV , &

л/ w л« /

ft ^ j,

где of ^ - ■

Пусть ^ (¿-¡ОН, У) , "S ^^o -решение системы (2).

Тогда в силу периодичности будут выполняться раиепста& у ft+Щ "v = ч(£Л, А), (tw,J., k)= У) U . -Отсюда при ¿-о

/ • (4)

Чтобы система (4) имела ненулевые относительно lj0 решения, необходимо и достаточно выполнение условия c/etCbfbJ^, A)О , то есть задача заключается в определении таких значений параметра

А , при которых выполняется это условие и но которым можно определить начальные .значения'ненулевых со -периодических решений системы (I).

Для удобства записи введем следующие обозначения: через fi(uij А)обозначим матрицу с элементами вида . и> ■

_ fii ' _ % (*>. а)-- Ц^А ft; ]°rt > У-"

J К'п о

и А) - матрицу с элементами

Ранг матрицы обозначим через £ .

Теорема 1.2. Если:

I) дли uu'R'Mi.i дифференциальных уравнения (1) выполнены ус-¡(оина!,!!;

л =

2) г ^П ;

то существует такое положительное число '8~0 , - , что при всех Л б Jt ] система (I) не имеет ненулевые со -периодические решения.

Во втором параграфе доказаны признаки существования ненулевых периодических решений системы (I). Далее будем считать, что t</i. Обозначим через /Ч (oj> К) минор Ч- -го порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы flftv, А), такой, что d&t /Ч^ (со, А) * О при всех значениях А€ А- {&), Пусгь А определи гель вида

ЛФО при ВС ex AeTl/i^), cj/e^i)), ,

Теорема 1.3 Если на множестве Со, со J * Л- ) х V ) для системы дифференциальных уравнении (1):

1) выполнены условия I, И;

2) возможно представление'

(со, У)~С1?.оС/(И/), .

где qА С и/, к)'-со£сл (а1к (UJ, I),.., А)), С=(С^,

•—: к С

de ¿С * О, Д = Сойэ^/А/,..., А"),

где каждое из чисел

1 -¿,/v удовлетворяет условию III; тогда система (1) имеет ненулевое со-периодическое решение Х|4Х А) _ Так как >c<fi, то пугем преобразования cipoK приведем матрицу Л fco,oC, X) к виду

tr j <\ г . .^'/Я^ЛА^Л^

У) (к**)- матрица. Теорема 1.4. Если на множестве [о,со]У(^). для системы дифференциальных уравнений (I ):

1) выполнены условия I, И;

2) возможно представление

+ А) + о(аТи),

где ( ОЛ А") = Со£ап (а^ л А'.-.О^^Х/А)).

С = (С£/ , с/е^С (А^..,, )> где числа

^ , ^,М.-'с удовлетворяют условию III, (^; =

"при с/-* о равномерно относительно

ц

^ --• Л; .'."■'

то существует непулевое с^ -периодическое решение системы (I) Для следующей теоремы нам потребуется вектор

' ... А " ■ ■. Теорема 1.5. Если на множестве *Л(ол)г И/«) для сис-

темы дифференциальных уравнении (1):

1) выполнены условия I, И;

2) возможно представление

^ , = М 4 оЛ/'А//),

(Л-Г)* ; _ •■.. ^ ■ \

где числа ^ удовлетворяют условию Ш. У7 </,•,!)-

. функции о при VО

равномерно относительно с,^ - I

тогда система (I) имеет семейство ненулевых СЛ -периодических решений

Во второй I лаве рассматривается система вида

л. = А)* * ^ (5)

где {1 (6 , ¿Г, X) -

Составим сисгему вида

= (¿({.х^^ЛХ X), . (6)

где + У).

Тогда решение

Л:^-,«*,.», х/о, и, У)

=оС сисгеиы (5),

являющееся также решением системы (6), можно записать и виде

■ *•

\[й(г< А) +*/г,хСс,с/, А), А)]</г (7)

■'.:'.' о

и уравнение для определения начального условна и) -периодического решения системы (5) по параметру Я будет выглядеть как

и) "

^ (г, У),х) -О.

Преобразуем его, подегавнв вместо С£ У) выражение (7)

в линейную часть подынтегрального выражения:

и/ и> ±

А К'с /г? ^ А) а:*

О О о

О/ ^ б1>

* ^ ^ *^ дг^Ы Г;, Х")^ -о.

.00 0

Введем обозначение ИсС (I - <? . Положим Л - <?■ е , где ее

, и е.ц - л. Пусть выполнено условие: IV . к.: ^ .

{Аал)л'?1:. ...... .:.... ......:.. ..

К о(т)........♦ /

где

А - со€ок (К*,..., А ^ )

, числа , ¿'=1,(1- удовлетворяют условию I П.

Теорема ТЛ. Если для системы дифференциальных уравнений (5) на множестве [о, Со] х Л ( * V (

1) выполнены условия I, П, IV; •

' ' <■•''■

о О

3) существует значение вектора е = б.*, что допустимо представление

со

: <) А {ЬуУ) сН-С{е*) А + о (ЦК //),

о

где

/ / # < к * к *

С(!е*). р' '

(с?' е*+...+ 01 е*.... с?""^ ... + я* ;,

V Д| ' ЛЛ. Л > Л» ' . лл. А / »

МС{е*)?0 , А - СовоМ- (К1,-, Ал), числа К^ удовлетворяют условию III;

тогда система дифференциальных уравнений (5) имеет ненулевое си -периодическое решение ■ ос ^ ос (Ь , Ж, , А.).

Во втором параграфе получены достаточные условия существо-вання вектора = б- , удовлетворяющего условию 3) теоремы 2.1, а это значит, что система (5) будет иметь ненулевые со -периодические решения.

Теорема 2.2. Если существует такое у € ..., Л-/, что хотя бы один из определителей вида

V

¿7

' л.

£?„; ...... С?.

(3)

7' " " "V

* /и \

отличен от нуля, то вектор е =/е^ , ,) . удовлетворяющий условию 3) теоремы 2.1, существует и устроен следующим образом е = /и е

Если все определители вида (8) обратились в нуль, то п этом случае рассмотрим векторы €. = , , у которых 1-я компонента по модулю равна единице, у -я компонента по модулю меньше единицы, а остальные компоненты нули. Тогда определитель матрицы 0(С-) примегвид

et + й е .. а + q .е. 7 <Г у/

(9)

y'efei, ...,/ij.

Приравняем определитель (9) к нулю и представим его в в«ще

многочлена Л -й степени относительно б? ■ . Получим уравнение

а

п -Н степени относительно &j вида

Л*■ + Л' е, > уГеуiJ- е"" + / е* " ' d ' У л" / А

о.

(10)

п

где А0 , /Jj ,-т,,..., ■ - коэффициенты, представляющие собой

t> * к

суммы определителей, стоящие при 6 . е-, ее соответственно.

/ / а </ i

По предположению условие теоремы 2.2 не выполнено поэтомул^Ри

Предположим, что А*о ■ Тогда у уравнения (10) не более чем [П-~1) корней. Обозначим их через ^ fc-t) ■

Теорема 2.3. Если Л* О .,'то вектор ё*= €*■),

удовлетворяющий условию 3) теоремы 2.1, существует и устроен так \в*\в1, l¿í ,у £fí,J,...,nf п не совпадает ни с одним из ,

e/tr-, е^чь £ {¿,3,..., Л /.

Замечание. Теорема 2.3 будет справедлива, если хотя бы одни из ..., /)м А отличен от нуля. Изменится только число корней уравнения (10).

Пусть все A¿ , ¿ 6 {¿ А,обратились в нуль. В этом , случае рассмотрим вектор В = (€±, ■ } у которого 1-я ком-

понента по модулю равна единице, компоненты, поящие на £ -м и т. -ы месте, по модулю меньше единицы, к /1, /я 4 ¿ (дня определенности считаем, что к < п^ ), остальные компоненты равны нулю. Тогда определитель матрицы С fe) примет вид

. . .......... . . . . ..... Л I О О

¿.Ч*> й^^ С ^ I ■

Зафиксируем ТП- -ю компонент у вектора е . Обозначим ее через iF Приравняем определитель (II) к .нулю и представим его в виде многочлена 7V -й степени относительно &к , По предположению условие

теоремы 2.3 не выполнено. Тогда получим уравнение (п.-L) -й сте-

¿ ч . ■ . -С -цени относительно в,, . Обозначим через A f¡ А

к . .. • »• 'li >Л /"•/ ^-K-g.

коэффициенты при ( ' ■ соответственно. Предполо-

•с

жим, что ^ Ф О . Тогда у данног о уравнения не более^ ~±) корней. Обозначим их через <е ; .

Теорема 2.4. Если Д > 0 , то вектор .

е* удовлетворяющий условию Д) георемы 2.1 существует и устроен следующим образом / е *1 = I , ,

и не совпадает ни с одним из <? _ . В =ё тФК,

{Л | остальные компоненты равны нулю.

Резуль тат теоремы 2.4 остается справедливым, если зафиксировать к -ю компоненту вектора в и составить многочлен Л -й степени относительно _ .

Рассуждая подобным образом, приходим к вектору е --(е.х , ,€Д у которого 1-я компонента по модулю равна единице, а остальные компоненты по абсолютной величине меньше единицы. Зафиксируем (л. -л) -е компоненты лектора € , свободной считаем компоненту с индексом р .тоесть Тогда определитель матрицы примет вид

' ^ - - ~ ■ о' ё

(12)

а^ + а^ё + е -к^е < сГ е

/Л А ■■■ у-у р-1 »рр грн *

А/ /и »-/}-/ р-г . V" Р

Приравняем определитель (Г2> к нулю и представим его в виде

многочлена (Я - г) -й степени относительно В.а • Обозначим через

к * к • 4.

А . А ..... А коэффициенты, стоящие при

У ' А. ' ' К-/ * .. » ^

е

соответственно. Предположим, что Пусть

корни полученного уравнения.

Теорема 2,5. Если * о , то вектор ).

удовлетворяющий условию 3) теоремы 2.1 . существует и устроен следующим образом I е* I = I , lej I* I, ej = ejt Je

/e*i'¿I, p ФJ, pe fej,../I j и не совпадает ни с одним из е^,..,

В заключительном параграфе показано применение теорем, доказанных в первых двух параграфах II главы, к системам второго и третьего порядков.

В третьей гл*ае изучается система уравнений вида:

±'-A{t,k)x i fjt, jt,A), ■ (13)

где % fd,^ X) -- zf^ft, X, A) + £ (t, X, A] , X, Aj-

форма порядка К ff ^¿J по ДГ , ^ ^ 3:, А) содержит члены более высокого порядка по X. , чем К . Пусть выполнены условия:

v. Aft j)- OfПК iiSni) ■при всех t в Со, U>] fj. £ S i А"). VI. Дли матрицы 3 ft, А) допустимо представление

в ft', k)=F+ ;yWr + of(IK иs'') ■ 0

Тогда у матрицы В ft, А] существует обратная матрица, которую обозначим как & , и ее можно представить в форме

6 ' ■ . '

о

где В определяется из условий V и VI.

Запишем решение СС (£, <<, А) , А) -U. системы

(13) в виде xft,U,y)- B(6,X)~(tOflUv),

а для ftft, Xft, d, А), А ) будет справедливо преда

танлепье

к

';(t,xft,:c/,x),x)~ f, f-t,u, у) to f'idir].

n

Получаем следующее уравнение д;ы определении начальною значении периодического решения системы (13) по .параметру А

(V и.

[ № 1 о(нк 1г')'и > [е+ и £ I ум * о(т*") Ь

о о

со (: о о

Введем вектор 2 = ^Д Положим //'X // - /Ц. Тогда 2 ~ Пусп.

• ^ А {■£, У)(И <1 - &л (Ъ.)> ; (М)

о

(де ) -форма -го порядка по . То» да получаем

следующее уравнение

' ; ■; . Ц(,У) ^ с >

где ^ ^) О при у/-г С) . Считаем, что у вектора е. первые^ компонент равны единице, / ¿р,Введем обозначение' е*^ ~ ~Со&>н С^м-.&ъ)- Предположим, что сущесгвуегзначение вектора е*"*) Прц котором

, Ц е*"* (I < I, (15)

Дадим вектору <£ такое приращение ¿е, £ »е ме , чтобы !1&1< _£ . Запишем разложение У (е ] по формуле Тейлора

'((В)-- вы,

ынолншо условие

г<)ё

Ъ е

где ^ (в**) - (Лх/г]-матрица, ск^ ЦС?**) ФО , наплодят первые К компонент вектора л е ., л е содержит оставшиеся компоненты вектора Л <3 . Их будет ровно гп -р.

Составлено операторное уравнение и показано, что'у него существует неподвижная точка /} - Д (?0/.

Определение. Если у вектора и с £ п есть компоненты, совпадающие с компонентами вектора 1/е £ " м, и- € Ж, т о будем говорить, что у вектора И есть компоненты, соответствующие компонентам вектора К .

Рассмотрим вектор

е. = Iг 1 1 , е € е £Г ^

I ч "ч -*- ' ор+1 » • • Ч «уэ**. ' р+П+1' > •'• > • Л»« ' '

компоненты Компоненты

Ьектора бектора

Введем обозначение Г/л €¿11 > = £

Теорема 3.2. Если для системы дифференциальных уравнений (13) на множестве Со ,ооЗ'«-Л(£') * 0]

1) выполнены условия I, II, V, VI;

2) справедливы равенства (14), (15), (16);

3) у' -якомпонента ^'е ^ff)t/l+^(¡...,Лt/*r¡)вcктop¡l ё по модулю равна единице, все остальные компоненты равны нулю;

4) в у' -м столбце магрицы - (е* *) ^ [ее п. по крайней мере один отличный от нуля элемент;

5) среди ненулевых компонент вектора 4 есть компоненты, соответствующие компонентам вектора </ .

Тогда система (3.1) имеет ненулевое со 'Периодическое решение.

Во втором параграфе в условии V считаем, что X . Используем представление ^ У),))« виде

: £ (I, Г. а,> у , Г.Гк~'(t, р (и/")];.

16

где f ft,Л, А) -форма (Jc-i) -го порядки no oC ..

Тогда уравнение для определения начального условия и) -периодического решения системы (13) по параметру Д запишем в виде

Си

[ \ t(i, + off! У (Г) f жА)/с/ = о,

где. Yft }d, А) представляет собой сумму матриц

¡{ft, I), - U fa YW-CftA* A),' A (i\ A )•*

° 0 £

*

0

о о

Иге^.А)// •

, при ¡МЦ'-^о для всех Д ./2 /сГ7].

Ы11

Пусть - Соба^ О, о/,', ..., о) .

Теорема 3.6. Если для системы дифференциальных уравнений (13) на множестве 0о,и>1 * VI 1})

1) выполнены условия I, II, V, VI;

2) возможно представление для ^ -го^ € /^.../'/сюпбца мшрицы о/,

о

~~ К-1

где ^ о^-, А) -- (■ (W, fy А),..., fy А)),

Cj - , de ? <у * О, 'J " Ce&u (kfA^), где каждое

из чисел ¡CL ,удовлетворяет условию Ш, С ■ - С^ёсА^ (cl,,. .,

„_ J и

С-у) ^ 7ej (X) О при ¡¿/1-го для всех А е Л {

Тогда система дифференциальных уравнений (13) имеет ненулевое Си -периодическоерешение.

Рассмотрим вектор , который устроен следующим обра-

зом и ~ Сх>Со>х Со,..., б.сС^о, ...,<?, ¿>4,, О, .. , о).

Теорема 3.7. Если для системы дифференциальных уравнений (13) на множестве Го, со 3* Л {р') л V( д)

1) выполнены условия!, II,'V, VI;

2) возможно представление для вектора и- ( ои,

,совок (<Г?(ш,с1, А],.,, %г ^ Д), ^ А),..., ^

? А) - + 2 с/ С'/7ЛА /г) /

'•да ^су С - = )>).

.где каждое из чисел ■...', ^ удовлетворяет условию П(,

и/ = £-1, - постоянные коэффициенты,

при {¿-рНо ДЛЯ всех / ¿¿^ / \), А £ А (£'), гел ^^ Д )->«?. при (сС о длявсех /} е ■

Тогда система ( 13) имеет ненулевое -периодическое рпис,-

ние.

На каждом из следующих' шагов добавляем вектору по одной отличной от нуля компоненте до тех пор пока все компоненты, не будут отличны от нуля. ! Ив заключении рассмотрен случай, когда столбцы матрицы

^(€,</, являются формой по совокупности компонент векторов

и и Л . Вводится вектор ^ - ) > ^ 'Л? '([' У е'

е С Е^^> Не (1*1 и рассуждения проводятся-подобно тому, как они были проведены в §1 настоящей главы.

Райты, опубликованные но 1еме диссертации:

1. Нухенский К.В. О существовании периодического решения неавтономной системы дифференциальных уравнений, зависящей от параметра. II Проблемы физико-математическог о образования в педагогических вузах России на современном этапе: материалы И Уральской региональной межвутопекои научно-практической конференции (19-21 мая 1997). Уфа: Башкирский госпсдинститут, 1997. Часть 2. С.3,

2. Бухепский К.В. Периодические решения неавтономной системы дифференциальных уравнений, зависящих от параметра, (тезисы доклада) // Алгебра и анализ. Тезисы докладов школы-хонференцин, посвященной 100-летшо со дня рождения Б.М.Гагаева (16-22 нюня 1997). Казань: Изд-во Казанского матем. общ-ва, 1997. С.41-42.

3. Бухенский К.В. Существование ненулевых периодических решении неавтономной системы дифференциальных уравнений с параметром. I Раз. гос. пед. ун-т - Рязань, 1997, 18с. Деп. в ВИНИТИ 08,01.98, №20 - В98.

4. Бухенский К.В. О периодических решениях неавтономной системы дифференциальных уравнений. / Ряз. гос. пед. уи-т. - Рязань, 1997, 8с. Деп. в ВИНИТИ 08.0i.98, №21-В98.

5. Бухенский К.В. Ненулевые периодические решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром. I Ряз. гос. пед. ун-т. -Рязань, 1997, 13с. Деп. в ВИНИТИ 14.01.98, №68 - В98.

6. Бухенский К.В. Определение условий существования периодических р» шении неавтономной системы уравнений с параметром. I Ряз. гос. пед. ун-т. - Рязань, 1997, Юс. Деп. в ВИНИТИ 14.01.98, №69 - В98.

7. Бухенский К.В. Признаки существования ненулевых периодических решений неавтономной системы дифференциальных уравнений по пели нейш.ш членам. Саранск: Средневолжское матем. общество, 1998, препринт №3.

БУХЕНСКИЙ КИРИЛЛ ВАЛЕНТИНОВИЧ

НЕНУЛЕВЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕАВТОНОМНОЙ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПАРАМЕТРОМ __

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 30.06.98 Формат бумаги 60x84 1/16 Печать офсетная Объем 1,0 н.л. Заказ №144 Тираж 120 экз. ________________ _______ Бесплатно _

Множительная лаборатория Рязанского государственного педагогического университета им. С. А* Есенина 390000. г.Рязань, ул.Свободы, 46