автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные задачи на собственные значения, описывающие распространение ТЕ- и ТМ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах

Па правах рукописи

Смолькин Евгений Юрьевич

Нелинейные задачи на собственные значения, описывающие распространение ТЕ- и ТМ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических

волноводах

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

3 MAP 2015

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Пенза — 2015

005559906

005559906

Работа выполнена па кафедре математики и супсркомпыотериого моделирования Федерального государственного бюджетного образовательного учреждения высшего профессионального образования «Пензенский государственный университет».

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Смирнов Юрий Геннадьевич,

доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой «Математика и суперкомпыотер-ное моделирование» ФГБОУ ВПО «Пензенский государственный университет»

Ильинский Анатолий Серафимович, доктор физико-математических наук, профессор, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет им. М. В. Ломоносов» (г. Москва), профессор кафедры «Математическая физика», заведующий лабораторией вычислительной электродинамики;

Карчевский Евгений Михайлович, доктор физико-математических наук, ФГАОУ ВПО «Казанский (Приволжский) федеральный университет» (г. Казань), профессор кафедры «Прикладная математика»;

ФГБОУ ВПО «Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики» (МГТУ МИРЭА) (г. Москва)

Защита состоится 25 марта 2015 г. в 1400 часов па заседании диссертационного совета Д 002.045.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении пауки «Институт вычислительной математики» Российской академии наук (ИВМ РАН), расположенном ио адресу: 119333, г. Москва, ул. Губкина, д. 8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и па сайте ФГБУН «Институт вычислительной математики» Российской академии паук http://www.inm.ras.ru.

Автореферат разослан «у^» февраля 2015 года.

Ученый секретарь дисссртациошгаго совета

Бочаров Г. А.

Общая характеристика работы

Диссертация посвящена разработке методов решения нелинейных задач сопряжения на собственные значения, описывающих распространение ТЕ- и ТМ-волн в двухслойных диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных средой с нелинейностью, выраженной законом Ксрра, где диэлектрическая проницаемость среды нелинейно зависит от интенсивности падающего поля и содерэ/сит в себе слагаемое, определяющее неоднородность среды. Доказаны теоремы о существовании и локализации собственных значений в рассматриваемых нелинейных задачах. Для численного решения задачи предложены два метода: итерационный алгоритм, а также метод, основанный на решении вспомогательной задачи Коши (метод пристрелки). Доказана сходимость предложенных численных методов. С помощью разработанного комплекса программ получены и представлены расчеты постоянных распространения и полей для нелинейных волноводов с различными параметрами.

Актуальность темы

Задачи об исследовании спектра собственных волн различных вол-новедущих систем в электродинамике интенсивно изучаются в течение последних десятилетий и остаются актуальными в связи с их широким практическим применением, например, в современной микроэлектронике, оптике, лазерной технике. Необходимость теоретического исследования существования и свойств собственных волн диктуется практической потребностью разработки и расчета оптических устройств и устройств СВЧ. Успехи в разработке данного направления электродинамики привели к построению различных классов волноведущих структур.

Распространение электромагнитных волн в волноводах с заполнением линейной однородной средой (то есть когда диэлектрическая и магнитная проницаемости постоянны) является классической и хорошо изученной задачей.

По-видимому впервые задачи распространения поляризованных электромагнитных волн в средах с керровской нелинейностью были рассмотрены в работе П. Р. Елеонского, JI. Г. Оганесьянца и В. П. Силина1. В этой работе исходная векторная задача для системы уравнений Максвелла была сведена к анализу системы обыкновенных дифференциальных уравнений для компонент поля. Авторы рассматривали поверхностные распространяющиеся волны. Аналитические решения для системы дифференциальных уравнений (выраженные через эллиптические функции) для задачи о ТЕ-волнах, распространяющихся в слое, были получены H. W. Schiirmann, В. С. Серовым, Ю. В. Шестопаловым2, а также A. D. Boardman3. Аналогичные задачи для ТЕ-волн в круглом

'Eleonskii P. N., Oganes'yants L. G., Silin V. P. Cylindrical Nonlinear Waveguides // Soviet Physics Jctp, 1972, Vol. 35, № 1, p. 44-47.

2Schurmann H. W., Serov V. SM Shestopalov Yu. V. TE-polarizcd waves guided by a losslcss nonlinear thrcc-laycr structure // Phys. Rev. E, 1998, Vol. 58, № 1, p. 1040-1050.

3Boardman A. D., Egan P., Lederer F., Langbein U., and Mihalache D. Tliird-ordcr nonlinear electromagnctic TK and TM guided waves, in Nonlinear Surface Elcctromagnetic Phcnomena, Ed. by Ponath II. E. and Stcgcman G. I. North Holland, Amsterdam, 1991, p. 73-287.

цилиндрическом однородном нелинейном волноводе были рассмотрены Ю. Г. Смирновым, С. Н. Куприяновой'1 и Н. W. Schürmann, Ю. Г. Смирновым, Ю. В. Шестопаловым5. В этих работах были получены достаточные условия существования поверхностных волн, а также представлены некоторые численные результаты. Задача о распространении TM-волн в слое рассматривалась в работе Д. В. Валовика, Ю. Г. Смирнова6, а задача о распространении TM-волн в круглом волноводе исследовалась Ю. Г. Смирновым, Э. Л. Хорошсвой7. Наличие нелинейности в случае однородных волноводов приводит к появлению принципиально новых режимов распространения электромагнитных волн. Важно отметить, что эти нелинейные эффекты наблюдаются в той области изменения спектрального параметра, в которой не существует решения соответствующей линейной задачи.

Задачи о распространении собственных электромагнитных волн в нелинейных и неоднородных волноводах являются более сложными. Поскольку многие материалы, используемые при конструировании волноводов для электромагнитных волн, являются неоднородными, а при увеличении интенсивности электромагнитных волн, распространяющихся по таким волноводам, начинают сказываться и нелинейные эффекты, то это указывает па практическую актуальпость исследования нелинейных неоднородных волповедущих структур. С математической точки зрения это нелинейные задачи сопряжения на собственные значения для системы уравнений Максвелла в неоднородной области, общих методов исследования которых пока не разработано.

Цели работы:

— исследовать задачи о распространении ТМ- и ТЕ-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном неоднородном слое с произвольной неоднородностью;

— разработать метод исследования нелинейных задач сопряжения на собственные значения, описывающие распространение ТЕ- и ТМ-волп и исследовать разрешимость рассматриваемых нелинейных задач;

— разработать численные методы нахождения приближенных собственных значений рассматриваемых задач;

4Смирнов Ю. Г., Куприянова С. Н. Распространение электромагнитных волн в цилиндрических диэлектрических волноводах, заполненных нелинейной средой // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2004, Т. 44, .У' 10, с. 1850-1860.

5Schürmann Н. W., Smirnov Yu. G., Shestopalov Yu. V. Propagation of TE-wavcs in cylindrical nonlinear dielectric waveguides // Phys. Rev. E, 2005, Vol. 71, № 1, p. 016614-1-01661410

6Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г. О распространении TM-поляризованных электромагнитных волн в нелинейном слое с нелинейностью, выраженной законом Ксрра // Журпал вычислительной математики и матсматичсс.сой физики, 2008, Т. 48, У' 12, с. 218G-2ÜM.

7Смирнов Ю. Г., Хорошева Э. А. О разрешимости ислипейиой краевой задачи па собственные значения для распространяющихся TM-волн в круглом нелинейном волповоде // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические пауки, 2010, № 3 (15), с. 55-70.

— разработать комплекс программ, реализующих численные методы нахождения приближенных собственных значений (постоянных распространения) и собственных функций (полей) для рассматриваемых задач.

Методы исследования

Проведенные исследования опираются па: методы решения краевых задач на собственные значения для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений; методы теории интегральных уравнений; методы функционального анализа; численные методы исследования задач на собственные значения.

Научная новизна:

— доказаны теоремы существования и локализации собственных значений (постоянных распространения волновода) для рассматриваемых нелинейных задач сопряжения;

— разработан численный метод решения задач сопряжения на собственные значения;

— выполнены расчеты для ряда нелинейных волноводов.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Исходные задачи о распространении ТЕ- и ТМ-волн в двухслойных диэлектрических волноводах кругового сечения, заполненных неоднородной нелинейной средой с нелинейностью, выраженной законом Керра, сведены к исследованию задач сопряжения на собственные значения для систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.

2. Для рассматриваемых задач получены достаточные условия существования и локализации либо одного, либо нескольких собственных значений.

3. Для обеих задач предложены и обоснованы численные методы нахождения приближенных собственных значений и собственных функций. Доказана сходимость предложенных численных методов.

4. Предложенные численные алгоритмы реализованы в виде комплекса программ и тестированы на модельных задачах. Выполнены расчеты приближенных собственных значений и собственных функций для конкретных волноведущих структур.

Теоретическая и практическая значимость

С теоретической точки зрения разработаны методы исследования нелинейных задач сопряжения на собственные значения в многослойных нелинейных неоднородных волноведущих структурах с произвольными неоднородностями в слоях.

Предложенный в рассматриваемой работе метод нахождения приближенных собственных значений может быть использован для практического нахождения постоянных распространения волноведущих структур. Метод эффективен и позволяет находить приближенные собственные значения с любой заданной точностью.

Обоснованность и достоверность результатов

Представленные в диссертации результаты имеют строгое математическое обоснование, численный метод также обоснован и тестирован на модельных задачах.

Апробация работы

Основные результаты работы доложены на научных конференциях и семинарах:

— Международной конференции «14th Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET2012)» (Украина, Харьков, 2012);

— Международной конференции «Days on Diffraction - 2013» (Россия, Санкт-Петербург, 2013);

— Международной конференции «PIERS« (Швеция, Стокгольм, 2013);

— Научном семинаре «Computational Applied Mathematics (САМ) Seminar» (Швеция, Гетеборг, 2014);

— Международной конференции «Days on Diffraction - 2014» (Россия, Санкт-Петербург, 2014);

— Международной конференции «PIERS» (Китай, Гуанчжоу, 2014);

— Научном семинаре «Вычислительная математика и приложения» ИВМ РАН (Россия, Москва, 2014).

Результаты, полученные в диссертации, включены в отчеты НИР и грантов, выполненных па кафедре математики и супсркомпьютсрно-го моделирования ФГБОУ ВПО«Пензенский государственный университет»: гранты РФФИ (№ 12-07-97010-р_А, 2012-2013; № 11-07-00330-А, 2011-2012), ФЦП («Развитие потенциала высшей школы», № 2.1.1/1647, 2009-2011; «Кадры», № 14.В37.21.1950, 2012-2013).

Личный вклад автора

Постановка задачи о распространяющихся поляризованных электромагнитных волнах принадлежит Ю. Г. Смирнову и Д. В. Валовику. Исследование вопроса разрешимости нелинейной задачи па собственные значения, формулировка и доказательство теоремы о существовании и локализации собственных значений (Глава 1, 2), разработка численного метода (Глава 3) и численные результаты (Глава 4) принадлежат автору.

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах, в том числе четыре опубликованы в журналах, входящих в перечень изданий, рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 54 наименования. Полный объем диссертации 119 страниц текста с 20 рисунками.

Содержание диссертации

Во введении приводится обзор работ по теме диссертации и вопросам, примыкающим к пей; обосновывается актуальность темы, формулируется цель работы, излагаются краткое содержание и основные результаты диссертации.

В главе 1 исследуется задача о распространении поверхностных электромагнитных ТЕ-волн в неоднородном двухслойном диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Рассматриваются монохроматические поверхностные электромагнитные ТЕ-волны, распространяющиеся в изотропном немагнитном диэлектрическом волноводе

Е := {(р, (р, z) : 0 < р < Ru 0 < <р < 2тг} U

U {(p,<p,z) : Ri < р < R2,0 < <р < 2тг} ,

расположенном в пространстве R3 с цилиндрической системой координат Opipz с образующей, параллельной оси Oz. Пространство заполнено изотропной средой без источников с диэлектрической проницаемостью е = £о£з = const, где £о - диэлектрическая проницаемость вакуума.

Доказано, что врсмязависимая задача сводится к уравнениям для комплексных амплитуд.

Электромагнитное поле Ее-™' и He"Iwi (где Е, Н - комплексные амплитуды) удовлетворяет уравнениям Максвелла:

rot Н = — iuisF,,

rot Е = iu)pK, W

где ш - частота электромагнитного поля; условию непрерывности касательных составляющих компонент поля на границах раздела срсд р — Ri, р = /?2 и условию излучения на бесконечности: электромагнитное поле затухает, как 0(|х|_1) при р —> оо в области р > R2.

Диэлектрическая проницаемость во всем пространстве имеет вид £ = ££(), где

( £и о <p<Ri,

е=\ £2(р)+ 5|Е|2, RI<p<R2, (2)

I £3, Р > Й2,

£\, £3 — вещественные положительные постоянные,

|Е|2 = | (Ее"*", е„) |2 + | е„) |2 + | (Ее"*", ег) |2 ,

где е^- - ортонормировапный вектор в направлении оси fc; (•, •) - евклидово скалярное произведение векторов и

О < max (£1, £3) < £2 = min £2 (Р) ■

ре[льл2]

Среда предполагается изотропной и немагнитной. Во всем пространстве полагаем р = ро - магнитная проницаемость вакуума.

Монохроматические ТЕ-волны имеют вид

Ее"*"' = (О, Ev, 0)т , Не"^ = е"™' (Нр, 0, Нг)т .

Предположим, что волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода £, гармонически зависят от г и не зависит от tp. Таким образом, компоненты комплексных амплитуд имеют представление

Ev = Е^ (р) е*', Нр = Нр (р) еHz = Нг (р) е^, (3)

где 7 - неизвестный вещественный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Подставляя выражения (3) в систему (1) и обозначив и {P'il) := Еv (р; 7) и fcg := ui2p0е0, получаем уравнение

(р~\ри))+{к21- 72)ы = 0, (4)

где Ё определятся формулой (2).

Считаем, что функция и дифференцируема так, что

и G С1 [0, +оо) П С2[О, R^ П C2{RUR2) П C2{R2,+ оо). (5)

Считаем, что j2 > тах(£1,ез).

Решения уравнения (4) в областях 0 < р < Rt и р > R> с учетом условия ограниченности поля во всякой конечной области и условия на бесконечности соответственно имеют вид

u = C1I1(k1p), р< Ru (6)

и = С2Кг (k3p), р > Ri, (7)

где к\ := 72 - к%еи Щ := 72 - к$е3.

В оболочке волновода R\ < р < R2 имеем е = е2 (р)+сш2 (р). Тогда из (4) получаем нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка: и" + p~Lu' - р2и + kl (р) и + аи3 = 0, (8)

где а := äkl, kl (р) := к%£2 (р) - I2■

Из условий сопряжения для компонент электромагнитного поля получаем следующие условия сопряжения для функций и (р) и и' (р):

мил, = Ир=ла = о, К]|р=л, = мил, = о, (9)

где [у]| = lim v(p) — lim v (p) - скачок предельных значений функ-

н ' P-+S-0 р—>.s+0

ции в точке s, определенный в силу (5).

Задача Ртребуется доказать существование вещественных значений 7 таких, что при заданном значении С\ Ф 0 (или С2 ^ 0) существует ненулевая функция и(р;гу), которая при р < R\ и р > R2 определяется формулами (6), (7) соответственно, а при R\ < р < R2 является решением уравнения (8), причем определенная таким образом при р е [0, +оо) функция и (р; 7) удовлетворяет условиям сопряжения (9).

Значения 7, являющиеся решениями задачи Рц, называются собственными значениями, а соответствующие им функции и (р; 7) - собственными функциями.

Пусть А := 72 и пусть А„, vn (р) - полная система ортонорми-рованных (вещественных) собственных чисел и собственных функций

этой краевой задачи:

Р»'п + v'n + {к1ег (р) Р - Р"1) t'n = А„рг>„, Ri<p< R2, /10ч

VU Ip=Rt = VU \p=R2 = 0 • Эта система существует, так как р 6 C^ßi, Д2], (р) р—р1 £ С'ЧДь Дг]-Тогда при Л Л„ краевая задача Leu = 0, и' \р=п1 = и' \р=п2 = 0 , где

= Jp {ß^fr) (^2 (р) Р — Р-1) ' имсст только тривиальное решение.

Это значит, что при Л ^ \„ существует и единственна функция Грина Ge (р, s; Л) следующей задачи:

LeGe = -ö{p-s), dpGE |= dpGE |p=r2 = 0 (Rx < s < R2). (11)

Функция Грипа Ge (p, s; А) в окрестности собственного значения А; может быть представлена в виде

GE{p,s;X) = -Vi{^s) +G, (р, s; А), (12)

где G1 (р, s; Л) регулярна в окрестности точки \it а An, vn (р) - уже упомянутые системы собственных чисел и собственных функций.

Все собственные значения рассматриваемой краевой задачи (10) являются простыми.

Используя вторую формулу Грина, получаем интегральное представление решения и (s) уравнения (8) при s 6 [i?i, R2]:

Д2

u(s) = a$GE(p,s)fm3(p)dp + f(s), (13)

R\

где / (s) = R2u' {R2 - 0) Ge (Д2, s) - RlU' (Д1 + 0) GE (Ri,s).

Из свойств функции Грина ясно, что / е C[Ri, Д2]- Считаем, что

А ф А„.

"Утверждение 1. Если а < Л2, где А =

311/11\/зШ' «2

||Ni|| = max Г \pGE (p,s)\dp, ||/|| = max |/(s)|, то урав-«б[ЛьЛ2]Л1 «е[Л1,Л2]

пение (13) имеет единственное решение и, являющееся непрерывной функцией: и Е С [/?i, такое, что ||и|| < г», где

2vScos (5 arccos (¥ 11/11 VW) - f) « ||N|| = a ||Ni||.

r* = _/узИС0Н^аГСС0Ч 2 lull Vll^li; - If) u lliNll =a||iNi Отметим, что A > 0 и не зависит от а.

Теорема 1. Пусть ядро N и правая часть f интегрального уравнения (13) непрерывно зависят от параметра А е Лц, N (р, я; А) С С ([Яь Д2] х [Ru Д2] х Л0), / (s, А) С С ([Дь Я2] х Л0), »а некотором отрезке Ло вещественной числовой оси. Пусть такэюе

0 < ||/ (А)|| < - , 1 (И)

3^/3 ||N(A)|| V ^

Тогда решения и(р;Х) уравнения (13) при А е Л0 существуют, единственны и непрерывно зависят от параметра А, и(р-Х) CC{[RUR2} хЛ0) .

Из уравнения (13) при s = /?i + 0Hs = i?2 — 0 получаем систему

л2

и № + 0) = а J Ge (Р, Ri) ри3 (р) dp+ iti

+R2u' {R2 - 0) Ge {Ri, Ri) - Riu' (Ri + 0) GE {Rl} Rr), r2

u(R2-0) =a f GE (p, R2) pu3 (p) dp+ Ri

+R2u' {R2 - 0) Ge {Ri, Ri) ~ Riu' {Ri + 0) GE {Ri, R2).

Используя условия сопряжения (9) и принимая во внимание решения (6), (7), из последнего получаем дисперсионное уравнение в форме

С19{\) = аР{\), (15)

где

g (А) = (Л (ЛхДх) + R^Il (hiRt) Ge {Ri, Ri))x

x (Ki {k3R2) - R2k3I<[ {k3R2) Ge {R2, R2)) +

+ R^kikali {hRi) K[ {k3R2) Ge {Ri, R2) Ge {R2, Ri)

и

P (A) = (l<x {k3R2) - R2k3K[ {k3R2) Ge {R2, R2)) x x J Ge {p, Ri-,X) pu3 (p) dp+

R,

«2

+ R2k3K[ {k3R2) Ge {R2, Ri) J Ge (p, R2\ a) pu3 (p) dp.

Ri

Пули функции Ф(А) = Cig (А) — aP (А) - это значения А, для которых существует нетривиальное решение задачи Ре- То есть, если А = А таково, что Ф (А) = 0, то собственные значения рассматриваемой задачи

определяются из уравнения А = 72.

Ответ на вопрос о существовании решений дисперсионного уравнения для линейной задачи даст следующее

Утверждение 2. Пусть min (£\, е3) > е0, max(ei,e3) < £2 = min £2{р)

р£[ПиЩ

и пусть Ai,...,Ap такие собственные значения задачи (10), что Ai,...,Ap G (max(ei,e3),e2), тогда задача РЕ при а = 0 имеет по крайней мере {р — 1) решений {собственных значений) jj, j = \,р — 1 таких, что jj € (Aj, AJ+i), j = l,p — 1.

Замечание 1. Всегда можно подобрать толщину R2 — Ri оболочки вол-повода Е так, что линейная задача будет иметь решение.

Основным результатом первой главы является следующая Теорема 2. Пусть числа Е\, £3, е* = min е2 (р) удовлетворяют условиям тт(£1,£з) > Eq, 8% > max (£1,£з) > 0 и существуют целые числа к > 1 и I > 0, что справедливо max(ei,e3) < А/ < A;+i < ... < Xi+k-i < \i+k < е\, где А, - собственные значения задачи (10). Тогда найдется число Оц > 0 такое, что для всякого а < ао существует по крайней мере к собственных значений 7; задачи Ре, причем 7; е (\Аг_1 + ¿¿_i, y/Xi — Si) , i = 1, к.

В теореме 2 5i являются произвольными достаточно малыми и положительными числами.

В главе 2 рассматривается задача о распространении поверхностных электромагнитных ТМ-волн в неоднородном двухслойном диэлектрическом волноводе кругового сечения, заполненного средой с нелинейностью, выраженной законом Керра.

Постановка рассматриваемой в этой главе задачи почти дословно совпадает с постановкой аналогичной задачи в главе 1. Отличие заключается в типе воли и условиях сопряжения.

Монохроматические ТМ-волны имеют вид

Ee~iut = (Ер, 0, Ezf , He"™4 = е^1 (0, Hv, 0)Г .

Предположим, что волны, распространяющиеся вдоль образующей Oz волновода Е, гармонически зависят от г и не зависят от if. Таким образом, компоненты комплексных амплитуд имеют представление

Ер = Ер (р) e'lz, Ez = Е. (р) eilz, Hv = Н„ (р) е**, (16)

где 7 - неизвестный вещественный спектральный параметр (постоянная распространения электромагнитной волны).

Подставляя компоненты (16) в (1) и обозначив «1 (Р, 7) := Ер (р, 7), и2 (р,7) := «Ег (р, 7), получаем систему

7*4 + (72 - Щ fi = 0,

где е определятся формулой (2).

Считаем, что функции 111,112 дифференцируемы так, что

щеС [О, R^ П С [Яь R2] П С [R-2, +00) П

П С1 [0, R^ П С1 [Дь Я2] П С1 [Д2, +оо), (18) и2 в С [0, Rx] П С [Ru R2] П С [R2, +00) П

П С1 [0, Ri] П С1 [Ru R2] П С1 [R2, +00) П

П C2 (0, Ri) П C2 (Ri,R2) П С2 (Д2, +00). (19)

Считаем, что 72 > тах(£1,£з).

Решения уравнения (17) в областях 0 < р < Ri и р > R2 с учетом условия ограниченности поля во всякой конечной области и условия на

бесконечности соответственно имеют

вил

Г щ (р) = -¿СЛ (М,

\ и2 (р) = С-1/о (к1Р),

]щ(р) = £с2к1(кзР),

1 «2 (р) = С2К0 (к3р) , ^

где к\ := 72 - , £2 := 72 - /с2е3.

В оболочке волновода ^ < р < Я2 система (17) примет вид

-т) (р«1)' - ^ (ра'з)' - (р) И2 = а/2, где

Л := (Ы2+Ы2К/2 := (\щ\2+\и2\2)и2,а := 5£2,/с2 (р) := к20е2 (р)-72.

Из условий сопряжения для компонент электромагнитного поля получаем условия сопряжения для функций щ (р), и2 (р):

[7«1 + «У |р=л, = 0, [и2] | л, = О,

[т«1 + «УиЛа = о, ни = о. ^

Задача Р'щ: требуется доказать существование вещественных значений 7 таких, что при заданном значении С\ ^ 0 (или С2 ф 0) существует ненулевые функции «1 (р; 7), и2 (р; 7), которые при р < Е.х и р > В.2 определяются формулами (20), (21) соответственно, а при Яг < р < Д2 являются решением системы уравнений (22), причем определенные таким образом при р е [0, +оо) функции щ (р; 7), ы2 (р; 7) удовлетворяет условиям сопряоюепия (23).

Значения 7, являющиеся решением задачи Рщ, называются собственными значениями, а соответствующие им функции щ (р; 7), и2 (р; 7) -собственными функциями.

Из системы (22) получаем уравнение

={рШи0+ р£2 (р) И2=4 (7 (рт) ~р/2) • (24)

Пусть А := 72 и пусть А„, уп (р) - полная система ортонормированпых (вещественных) собственных чисел и собственных функций этой краевой задачи

О® + р£2 ^ ^ = <Р< Дг, (25)

«П |р=я, = |р=л2 = о .

Поскольку оператор Ьц имеет непрерывные коэффициенты (не обращающиеся в нуль) рЦ^ е С1 [Дь Я2], ре2 (р) е С [Дь Д2], следовательно, для уравнения Ьл/«2 существуют два линейно независимых решения. Тогда существует функция Грина (или может быть построена обобщенная функция Грина) Сл/ (р, в; А) краевой задачи:

Ьмйм = -6 (р - в), Сд/ \р=Пх = Сл/ |р=л2 = 0 (Дх < в < Д2) • (26)

Функция Грипа Gm (р, s; Л) в окрестности собственного значения А, может бить представлена в виде

Gu(p, s;X) = -^^ + G1{p,r,X), (27)

где Gi (р, s; Л) регулярна в окрестности точки Аь a An, vn (р) уже упомянутые системы собственных чисел и собственных функций.

Все собственные значения краевой задачи (25) являются простыми. Из условий сопряжения (23) и решений (20), (21) получаем и2 (ßi + 0) = Cilo (kiRi), и2 (Я2 - 0) = С2К0 (fc3ß2) • Используя вторую формулу Грина и значения U2 (Й1 + 0) , и2 (Дг — 0), получаем систему

2 «2 2 "1 (s) = J dlßM (P, s) j^j |u| mdp +

«2

+QJfM / (p, s)p|u|2w2e?p - af (s) + fti(s),

R\

112 2 u2 (s) = û7 J dpGjif (p, s) ^ |u| uidp +

«2

+Q J Gm (p, s)p |u| u2dp+h2(s),

Ил

(28)

где

7/ ч h (s)

f(s)=m

i+

7

£2 №)

kfe2 (s).

- Я2ЦЩ dPGM (P, S)\p=R2 C2K() (k3R2) (30)

и |u|2 = |îil|2 + |jt2|2

Система уравнений (28) может быть записана в виде

u = N(|u|2u) +h, (31)

где N = а(К + J), и

Kg = J К (p, s) g (p) dp,

л,

а матрица ядер имеет вид

72 тЬд,ам

К{р,з) = {Кта (p,s)}?t,m=1 = p W 1 (33)

V Tifw j

где индексы у д обозначают частные производные, g = (.gi, ; оператор

1 Г 72 1 + '

J =

(34)

2 1 3

k'i(s) I k%e2(s)

и h = (h.1,/12)1 определен формулами (29),(30).

Отметим, что операторы К, J являются линейными. Будем рассматривать уравнение (31) в пространстве непрерывных функций С [Ri, R2] = С [i?i, R2] х С [J?i, R2] с нормой

IHIc = IMIc + IKIIc,

где||м||с= max |u(x)|.

a:e[Hi,K2j

Утверждение 3. Если а < А2, где А =

||Ni|| = ||K + J||, то уравнение (31) имеет единственное решение в шаре Br< = {u:||u||<r*}, являющееся непрерывной функцией: u € C[i?i, -ñ2],||u|| < rt, где

г, = -2^/5cos (5™ II/II ^т) ~ f).

Теорема 3. Пусть ядра матричного оператора N и правая часть h уравнения (31) непрерывно зависят от параметра 7 £ r0,N(7) С С (Г0), h (7) С С (Го), на некотором отрезке Го вещественной числовой оси. Пусть manotee

Тогда решение и (р; 7) уравнения (31) при 7 G Г0 существует, единственно и непрерывно зависит от параметра 7,и(р;7) cC([fíi,ñ2] хГо).

Используя систему (28) и оставшуюся пару условий сопряжения (23) при s = Ri + 0 и s = Ro — 0, получаем дисперсионное уравнение в форме

С\д (Л) = аР (А), (36)

где

Р(А) = Я (Д2) d%Gu KoiksR^k^y

К2 \tí2) Р-П2

~ H {R\) К\ {k3R2) ~k3— - H {Ri) d2psGM (p, K0 (k3R2) k2(R2),

д (А) = (Л (АхЯО к, + ¿>2SGW (р, з)\,-_щ I0 (Л4Я1) k2(Rо) х

х flu (¿-3Д2) ft3 + (Р. К" -

V К2{П2) р-г*2 /

- (л 8)1-п» s)b х

«2 (Ях) «2 (Д2) ^ "-«1 F """2

X 70 (&1Д1) Ко (^Я2) fc2(Ä2)fc2(Äi),

где

Я (s) := 7Я1 (в) + Я2 (s) =

2 п,

Нули функции Ф (А) = С\д (А) — аР (А) - это значения А, для которых существует нетривиальное решение задачи Рщ. То есть если А = А таково, что Ф(А) = 0, то собственные значения рассматриваемой задачи

определяются из уравнения А = 72.

Из системы (1), обозначив щ (р) := рЩ (р) и к2 := ш2роео, получаем

+(fco?-72)w:i = 0. (37)

Считаем, что функция из дифференцируема так, что Из е С1 [0, +оо) П С2 (О, ДО П С2(ДЬД2) п С2(Д2,+ оо). (38) При 0 < р < R\ решение уравнения (37) имеет вид

«з = C\ph {kip), р< Ri- (39)

При р > Я2 решение уравнения (37) имеет вид

из = С'орКг (кяр), р > Д2. (40)

В оболочке волновода R\ < р < Л2 получаем дифференциальное уравнение второго порядка:

„ е2 (р) р + £2 (р) > , ,2,.л. п (ллЛ

«з--7~~\-из + 2 (Р) «з = 0, (41)

£2 (р) Р

где kl (р) = fc(2£2 (р) - 72-

Из условий сопряжения для компонент электромагнитного поля получаем условия сопряжения для функции и3

NU = NU = м= = (42)

Сформулируем линейную задачу сопряжения на собственные значения.

Задана Р^: требуется доказать существование вещественных значений 7 таких, что при заданном значении Cj" / 0 (или С2 ф 0) суще-

ствует ненулевая функция щ (р), которая при р < Ri и р > R2 определяется формулами (39), (40) соответственно, а при R\ < р < R2 является решением уравнения (41), причем определенная таким образом при р £ [0, +оо) функция из (р) удовлетворяет условиям сопряэюения (42).

Замечание 2. Существует связь между константами С\, С2 в задаче Рд/ и константами С{,С2 в задаче Р^ :

с\ = -ikuVoCi,

С2 = -jt^VoC2-

Рассмотрим дифференциальное уравнение (41), записанное в виде

f—+ —«3--т-т—72адз = о, < р < R2.

\£2(р)р J р £2 (р)р

Перепишем последнее уравнение в операторной форме:

L«3 = 0, L = --^-j\Ri<P<R2.

dp\£2{p)pdpj p £2{P)P

Пусть А := 72. Рассмотрим на отрезке [Дь R2] задачу Штурма-Лиувилля с краевыми условиями 2-го рода:

{ШР<У + ~ "V"> (43)

v'n \р=Ъ = < IР=П2 = 0 • Пусть А n,vn(p) - полная система ортонормированных (в L2[Ri,R2}) вещественных собственных чисел и собственных функций этой краевой задачи. Эта система существует, так как р £ C1[R\,R2], k2(p) - p~l 6 C1[Ri,R2\. Известно, что все собственные значения вещественные и простые (кратности 1). При этом существует лишь конечное число (или не существует совсем) положительных собственных значений, и бесконечное число - отрицательных, и Хп —> —оо , при п —> оо. Упорядочим собственные значения в порядке убывания: - • • < Aj+i < А; < ■ • • < А2 < Aj.

Ответ на вопрос о разрешимости задачи (43) дается следующим утверждением.

Утверждение 4. Пусть (е2 (р) р)' не обращается в нуль и

min(£i,£3) > £0, max(£i,£3) < £3 = min е2(р) и пусть

р€\П ьл2]

Ai,..., Ар такие собственные значения задачи (43), что Ai,...,Ap £ (maxfei,^),^), тогда задача Р^ имеет по крайней мере (р — 1) решений (собственных значений) 7j, j = l,p — 1, таких, что 7? € (Xj, Aj+i), j = 1 ,p- 1.

Замечание 3. Всегда можно подобрать толщину R2 — R\ оболочки волновода £ так, что линейная задача будет иметь решение.

Смысл утверждения 4 заключается в том, что собственные значения задачи Р'h (линейной задачи) лежат между собственными значениями задачи (43).

Справедливо следующее утверждение.

Утверждение 5. Если 7,161, «2 решения задачи Рм (при а = 0,), то 7, из - решения задачи Р*;. Наоборот, если 7, из решения задачи Рм, то 7,и1, - решения задачи Рм (при а = 0). Причем кратность корней задачи Рщ (при а = 0) совпадает с кратностью корней задачи Р^

Выберем отрезки Г,-, такие что каждый отрезок содержит ровно одно собственное значение 7; задачи Рм, кроме того на объединении

к

Г:=1)Г*

¿=1

отрезков Г,-, г = 1,к функция Грипа С?м (р, в; Л) существует и непрерывна. Кроме того, считаем Г,- таковыми, что выполняется условие О (£1) 9 (1~7) < 0, где Г\, Г; - концы отрезков Г; .

Основным результатом второй главы является следующая

Теорема 4. Пусть числа £1, £3, е% = пин £2 (р) удовлетво-

Р<Ь\П1,П2\

ряют условиям пнн(£1,£з) > £о, £2 > тах(е1,£з) > 0 и существуют целые числа к > 1 и I > 0, что справедливо тах(£Ь£з) < Л( < Аг+1 < ... < < Х[+к < е*2, где А* собствен-

ные значения краевой задачи (25). Тогда найдется число ао > 0 такое, что для всякого а < ао существует по крайней мере к собственных

значений 7* задачи Рм, причем 7,- е (\ДЗ> , г = 1, к.

В теореме 4 являются произвольными достаточно малыми и положительными числами.

Глава 3 посвящена формулировке и обоснованию численного метода нахождения приближенных собственных значений рассматриваемых задач Р]£ и Рм- Численный метод основан на методе «пристрелки». Для этого формулируется вспомогательная задача Коши с дополнительными условиями на одной из границ волновода

Приведем краткое описание численного метода нахождения приближенных собственных значений в случае распространения ТЕ-волн. Рассмотрим задачу Коши для уравнения

и" = -р~1и' + р~2и - к2 (р) и - аил (44)

с начальными условиями

и (ДО := и (Дг + 0), и (Д:) := и' (Д1 + 0), (45)

где и (Д1 + 0) и и' (Дх + 0) определяются из решения (39) и имеют вид и(Я1+0) = С\1\ (к\Р\), ы'(Д1+0) = СА (/О^ДО-ттйг1), где С\ — постоянная.

Считая постоянную С\ заданной, из (40) и условий сопряжения (42) на границе р = Д2 получаем дисперсионное уравнение

Д (7) = и' (Д2) К, (к3Я2) + к3и (Д2) (ка (к3Н2) + • (46)

Пусть у/шах (£|, £:j) < 7« < 7* < 00 и Ь7 < оо - некоторая постоянная. Определим множество

П7 := {(p,u;7) :р< Rx + р, \и - и {Ri)\ < е [7.,7*]}.

и число Л/7 такое, что М7 > тах|Р|, где Р - правая часть уравнения

ц,

(44). При этом имеет место следующее

Утверждение 6. Решение и (р; 7) задачи Коши для системы (44) с начальными условиями (45) непрерывное, дифференцируемое относительно р, единственное и существует при всех р 6 (Ri,R2), где R2 < min (р, b7/M7), и непрерывно зависит от 7 для всех 7 6 [7«, 7*].

Рассмотрим функцию

F(R2; 7) := и (R2 — 0; 7) — м (R2 + 0; 7). Используя условия сопряжения (42) на границе р = R2 и решение (40) при р > R2, получаем, что F (R2; 7) = А (7).

Из формулы (46) ясно, что значение F (R2; 7) выражается только через значения решения задачи Коши в точке р = R2.

Пусть 7 = 7 таково, что F (R2; 7) = 0, тогда ясно, что число 7 является собственным значением (постоянной распространения) задачи Ре-Сформулируем критерий существования по крайней мере одного собственного значения.

Утверждение 7. Пусть выполняются условия утверждения 5 и отрезок [7,7] 6 [7«>7*] такой, что F (Дг;7) F (Дг;7) < 0. Тогда существует по крайней мере одна постоянная распространения (эдно собственное значение) 7 £ (7,7) задачи Ре-

Замечание 4. Условие F(R2; 7)F (R2; 7) < 0 является достаточным условием существования постоянной распространения 7 е (7,7) задачи Ре-Справедлива следующая

Теорема 5. Пусть выполняются условия утверо/сдеиия 6 и пусть {7«} ~ последовательность приближенных значений постоянной распространения 7, полученная методом дихотомии, тогда lim 7„ = 7.

п—» оо

Глава 4 посвящена описанию комплекса программ и численным результатам. В главе приводятся блок-схемы алгоритмов вычисления собственных значений и собственных функций рассматриваемых задач.

Результаты расчетов для задачи Р\/ представлены на рис. 1, 2. При расчете использовались следующие значения параметров: £\ = 4, е2 = 9,

£3 = 1, Ri = 2, 2 < R2 < 8, fc0 = 1, Ci = 1.

Компонента Ez непрерывна на границе раздела сред, рис. 2 это иллюстрирует.

Рис. 1: Зависимость постоянной распространения 72 (вертикальная ось) от толщины слоя Д = Я2 — Яг (горизонтальная ось); липейпый (линии 1-Ш) и нелинейный случаи (линии 1-3), е2 (р) = + При Д = 1.5 в линейном случае имеем только одно собственное значение 71 = 2.48 (•), в нелинейном случае — несколько: 72 = 2.545, 7з = 2.9 (.)

Рис. 2: Собственная функция иг (линия I) соответствует линейному случат а = О, 7! = 2.482; линия II соответствует нелинейному случаю а = 0.01,72 = 2.540; линия III соответствует нелинейному случаю а = 0.01, 73 = 2.940

Публикации автора но теме диссертации

Статьи в научных изданиях, рекомендованных ВАК РФ

1. Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г.,Смолькин Е. Ю. Нелинейная задача сопряжения па собственные значения, описывающие распространение ТЕ-волп в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах // Журнал вычислительной математики и математической физики.-2013.-Т. 53, № 7.-С. 1150-1161.

2. Валовик Д. В., Смолькин Е. Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ-волп в круглом диэлектрическом волноводе, заполненном нелинейной средой // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.—2012—№ 3 (23).—С. 29-40.

3. Валовик Д. В., Смолькин Е. Ю. Расчет постоянных распространения неоднородных нелинейных двухслойных круглых цилиндрических волноводов методом задачи Коши // Радиотехника и электроника.-2013 -Т. 58, № 8.-С. 759-767.

4. Смолькин Е. Ю. Метод задачи Коши для решения нелинейной задачи сопряжения па собственные значения для ТМ-волп, распространяющихся в круглом двухслойном диэлектрическом волноводе с керровской нелинейностью // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки.—2012.-JV8 4 (24).-С. 49-58.

Публикации в других издания

5. Smolkin Е. Yu., Valovik D. V. Numerical solution of the problem of propagation of TM-polarizcd electromagnetic waves in a nonlinear two-layered dielcctric cylindrical waveguide // MMET'2012 Proceeding, 2012-P. 68-71.

6. Smirnov Yu. G., Smolkin E. Yu., Valovik D. V. Nonlinear Double-Layer Bragg Waveguide: Analytical and Numerical Approaches to Investigate Wavcguiding Problem // Advances in Numerical Analysis-2014,-Vol. 2014.-P. 1-11.

7. Smolkin E. Yu., Valovik D. V. Propagation of TM Waves in a Double-layer Nonlinear Inhomogeneous Cylindrical Waveguide // PIERS'2014 Proceeding. 2014, 2014-P. 2614-2618.

8. Smolkin E. Yu. Propagation of ТЕ waves in a double-layer nonlinear inhomogeneous cylindrical waveguide // Days on Diffraction'2014 Proceedings, 2014.-P. 204-209.

Научное издание

Нелинейные задачи на собственные значения, описывающие распространение ТЕ- и ТМ-волн в двухслойных цилиндрических диэлектрических волноводах

Специальность 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

Редактор А. Г. Темникова Технический редактор А. Г. Темникова Компьютерная верстка Е. Ю. Смолькина

Подписано в печать 30.01.2015. Формат 60x84^. Усл. печ. л. 1,16. Заказ № 008739. Тираж 100.

Пенза, Красная, 40, Издательство ПГУ Тел./факс: (8412) 56-47-33; e-mail: iic@pnzgu.ru