автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Нелинейные математические модели теплопроводности и разностные схемы для анализа и синтеза распределенных систем

На правах рукописи

НЕЛИНЕЙНЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ АНАЛИЗА И СИНТЕЗА РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ

Специальность: 05.13.18 - Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Санкт-Петербург - 2006

Работа выполнена в Государственном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Санкт-Петербургский государственный политехнический университет» на кафедре «Системный анализ и управление»

Научный руководитель:

д.т.н., проф.

Козлов Владимир Николаевич

Официальные оппоненты:

д.ф.-м.н., проф.

Белоцерковский Андрей Владленович д.т.н., проф.

Изранцев Виталий Васильевич

Ведущая организация:

Московский государственный технический университет им. Н.Э. Баумана

Защита состоится 25 лл&& 2006 г. в час- на заседании диссертационного совета Д 212.229.10 ГОУ ВПО "Санкт-Петербургский государственный политехнический университет" по адресу: 195251, г. Санкт-Петербург, Политехническая ул., д. 29, корпус 9, ауд. 5Ъ5

С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке ГОУ ВПО «СПбГПУ»

Автореферат разослан 24 апр<.м 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Л7

Малыхина Г.Ф.

аззз

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Фундаментальные исследования в области математических, физических и технических наук требуют непрерывного совершенствования и разработки новых математических моделей для практической реализации сложных технических объектов. Фундаментальные результаты в области моделирования и исследования процессов распространения тепла получены в работах академиков РАН А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, С.К. Годунова, Г.И Марчука, А.И. Леонтьева, А.Е. Шейндлина, О.Н. Фаворского, В.Е. Фор-това и др., а также ведущих ученых Э.М. Карташева, Г.М. Кондратьева, В.А. Кудинова, А.В.Лыкова, С.Г. Михлина, Ю.Г. Назмеева, B.C. Рябенького и др.

Для объектов с тепловой природой процессов целесообразна модернизация и обобщение моделей теплопроводности, расширяющих границы их применения. При этом целесообразно обобщать модели на основе преобразования координат уравнений теплопроводности операторами, позволяющими учесть изменения тепловых свойств многослойных объектов в условиях идеального контакта.

В данной диссертационной работе разработан комплекс математических моделей многослойной теплопроводности в рамках применения кусочно-квадратичных (локально-сглаженных) и кусочно-линейных преобразований переменных, включая преобразование температуры и ее производных. Использование аппроксимирующих кусочно-линейные операторов позволяет разработать обобщенные разностные схемы распределенных многослойных систем. На основе описанных моделей в работе формулируются модифицированные методы моделирования, анализа и синтеза систем многослойной теплопроводности на основе явных и частично-неявных разностных схем.

Применение обобщенных моделей и разностных схем на этапах анализа и синтеза позволит расширить классы проектируемых объектов на основе методов математического моделирования. Поэтому модификация, обобщение моделей теплопроводности и разработка разностных схем для многослойных распределенных систем являются актуальными.

Цели и задачи работы. Цель работы состоит в обобщении и модификации моделей теплопроводности для анализа и синтеза систем управления тепловыми процессами на основе явных и частично-неявных разностных схем. В соответствии с целью работы необходимо решить следующие основные подзадачи:

Подзадача 1. Обобщение и модификация уравнений теплопроводности на основе кусочно-квадратичного и кусочно-линейного преобразования переменных для описания тепловых свойств многослойных объектов.

Подзадача 2. Разработка явных и частично-неявных разностных схем на основе модифицированных моделей теплопрпволнпгти, и исследование условий

РОС. НАЦИОНАЛ! 1!, БИБЛИОТЕК{ С.Петербу 08

:з®?

их устойчивости.

Подзадача 3. Разработка подходов к синтезу программных управлений на основе модифицированных моделей, целевых неравенств и оптимизации для распределенных систем многослойной теплопроводности.

Задачи исследования. Для достижения перечисленных подзадач необходимо:

1. Сформулировать обобщенные модели и адекватные явные разностные схемы для одномерных и двумерных уравнений теплопроводности.

2. Разработать частично-неявные разностные схемы для одномерных и двумерных обобщенных уравнений теплопроводности.

3. Исследовать условия устойчивости разработанных разностных схем для обобщенных уравнений теплопроводности.

4. Разработать методики синтеза программных управлений на основе целевых неравенств и оптимизации для распределенных систем теплопроводности.

Методы исследования. В работе использовались методы математической физики, теории теплопроводности, теории управления распределенными процессами. Расчётные исследования выполнены с помощью метода сеток и программных сред: MathCAD, Mathematica, Microsoft Visual studio 6.0, Origin 7.0.

Научная новизна полученных в работе результатов состоит в следующем:

1. Разработаны обобщенные уравнения теплопроводности на основе преобразования переменных, учитывающие многослойность объектов, а также явные и частично-неявные разностные схемы в условиях идеального контакта слоев.

2. Сформулированы условия устойчивости предложенных разностных схем на основе условий сжатия для операторов на временных слоях.

3. Выполнен комплекс исследований по математическому моделированию тепловых процессов в многослойных объектах с помощью разностных схем.

4. Предложена методика синтеза программных управлений на основе методов целевых неравенств и оптимизации для многослойных объектов теплопроводности.

Достоверность результатов, выводов и рекомендаций определяется корректным использованием математического аппарата, современных численных методов (сеточных методов), сравнительным анализом результатов, полученных в диссертационной работе и вычислительными экспериментами.

Практическая ценность. Результаты работы могут найти применение в процессе моделирования и расчета теплового состояния многослойных одномерных и двумерных объектов, а также при адаптации разработанных разностных схем для других классов задач.

На защиту выносятся следующие основные положения:

1. Обобщенные математические модели теплопроводности для многослойных сред с идеальным контактом слоев на основе применение кусочно-квадратичных и кусочно-линейных преобразований переменных.

2. Методика формулировки явных и частично-неявных разностных схем для одномерных и двумерных обобщенных уравнений теплопроводности и условия их устойчивости.

3. Методика синтеза программных управлений на основе целевых неравенств и оптимизации для распределенных систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены: на VII всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования в технических университетах»; на X международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки»; на VIII всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования в технических университетах»; на XII международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образования и науки»; на научно-техническом совещании «Современные наукоемкие технологии в промышленности России: Высокопроизводительные вычисления и CALS-технологии» (Уфа 2004г.); на научных семинарах кафедры «Системный анализ и управление» (2002-2005 гг.);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 6 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 136 наименований. Работа содержит 126 стр., включая 10 рис. и 5 табл.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснованы актуальность темы, научная новизна и практическая значимость диссертационной работы, сформулированы основные цели и задачи исследования, сформулированы основные положения, выносимые на защиту, приведены сведения об апробации работы и публикациях.

В первой главе дается анализ классических моделей теплопроводности и обсуждаются направления для обобщения моделей в связи с необходимостью учета специальных свойств теплопроводящих многослойных сред и композитов. Приводятся постановки основных задач. Рассматриваются важные классы негладких операторов, представляющие собой алгебраические кусочно-квадратичные и кусочно-линейные, а также интегральные операторы. Приводятся необходимые определения, свойства и элементы исчисления операторов, которые используются при модификации моделей и формулировке разностных задач.

Показано, что применение обобщенных уравнений теплопроводности по-

зволяет производить анализ и синтез тепловых объектов управления с учетом целевых условий. Отмечено, что при создании моделей объектов необходимо учитывать условия сопряжения и корректно формулировать краевые (граничные) условия, связанные с условиями идеального и неидеального контактов. При учете нелинейных эффектов рассматриваются варианты уравнений теплопроводности. Рассмотренные подходы могут использоваться в зависимости от свойств и характеристик среды, специфики границ и других свойств задач.

Во второй главе на основе кусочно-квадратичных и кусочно-линейных операторов разработана методика формирования обобщенных моделей теплопроводности. Приведены необходимые свойства, элементы исчисления операторов, а также кусочно-линейные модели, методика построения которых используется далее при формулировке моделей многослойных моделей теплопроводности и разностных задач для них. Представлены постановки и алгоритмы конечно-разностного решения задач теплопроводности, рассмотрены нелинейные математические модели теплопроводности.

Рассмотрены варианты применения кусочно-квадратичных уравнений теплопроводности для задач многослойной теплопроводности. Проведен анализ одномерных и двумерных моделей.

Разработана методика построения явных и частично-неявных разностных схем. Обобщенные задачи теплопроводности сформулированы на основе постановки задач для классических линейных уравнений теплопроводности в виде следующей формулировки: пусть в области Б изменения переменных х, у определена некоторая краевая дифференциальная задача

где Ь0 - линейный дифференциальный оператор уравнения теплопроводности, и(х,{)- искомое решение, /(х^) - заданная функция. Дискретный аналог задачи (4) формулируется на основе введения сетки с: И как конечного множества точек из Б, плотность распределения которых характеризуема параметром Ь - шагом сетки. Численное решение задачи (1) вычисляется в узлах сетки.

Обобщение классической задачи формулируется на основе модифицированных канонических форм операторов, аппроксимирующих гладкие (кусочно-квадратичные) операторы и задач для уравнений теплопроводности (1), что позволяет определить обобщенное уравнение теплопроводности для многослойных объектов

(1)

(2)

Нелинейные преобразования переменных в уравнении (2) позволяет учесть из-

6

менения теплофизических свойств среды с помощью суперпозиций кусочно-квадратичных (локально-сглаженных) функций, а также производных температуры по времени у = и по координатам.

Для модификации дифференциальных уравнений теплопроводности использованы кусочно-квадратичные (локально сглаженные) операторы, а для формирования разностных схем их кусочно-линейные аппроксимации:

у = <р1(г) = Ь + айг + ^на]\2~а}\> . (3)

построенные по системе узлов {<яу} с параметрами Ъ, ао, щ е Я1. В целях формулировки вариантных обобщений в уравнениях теплопроводности использована совокупность аппроксимирующих кусочно-линейных операторов типа (3)

= я (*(?), 1 = 1-5. (4)

Разработана методика локального сглаживания в окрестности точек нарушения условий дифференцируемости. В работе отмечена возможность дальнейшего обобщения уравнений теплопроводности при использовании интегральных операторов

I

у(1) = ф(2(т= ¡пШУт (5)

о

где срх (г(?)), / = 1 - 5, определены равенствами (3).

В работе даны интерпретации параметров уравнений (2) с учетом классических коэффициентов температуропроводности. Из уравнений (2) можно получить различные кусочно-линейные уравнения и модели многослойных объектов (сред). При этом важное значение имеет специальный случай обобщенного уравнения теплопроводности (2), когда изменения теплофизических свойств среды зависят от классических коэффициентов температуропроводности (операторов у = р5(г(0) ).

ди д2

"ГГ = ттй (") + /(*> 0» 0<х<1,0<*<7\ (6)

от ох

Для формулировки явных однородных разностных схем для кусочно-линейного уравнения (6) можно произвести замену дифференциального оператора разностным оператором. Тогда для формирования разностных схем можно получить совокупность соотношений для уравнения (6):

и"*1-и"

= А

*=А|>5(М)]+/; =

Ъ (<+2 ) - <Рь («С) Ъ («С) - <Рь (К )

А2

+ Г

где использованы кусочно-линейные операторы типа (3) как аппроксимирующие операторы для кусочно-квадратичных операторов в (2) и (6). На основании разностных схем типа (7) сформулированы разностные задачи

<1-К + гп

г А2 /я

тя = 0, ± 1, ± 2,..., л = 0,1,..., N-1.

(8)

Основу задачи (8) составляет следующая явная кусочно-линейная разностная схема:

т = 0,±1, ±2..... и = 0, 1, ЛГ-1, ЛГг = Г.

Для улучшения качества разностных схем и расширения условий устойчивости в работе рассмотрена методика формулировки частично-неявных схем для частного случая обобщенных уравнений теплопроводности типа (6). Разностные схемы частично-неявного типа можно сформулировать на основе введения сеточной функции ип*х вместо функции и"т в правой части явной разностной схемы (9) для обобщенного уравнения теплопроводности (6). Кусочно-линейное уравнение можно сформулировать относительно сеточной функции . Тогда частично-неявная разностная схема для одномерной задачи примет следующий вид:

в

т = 0,±1, ±2,..., и = 0, 1, N-1, Ыт = Т.

Уравнение (10) - алгебраическое уравнение, относительно сеточной функции гС1 > а его решение можно получить с помощью преобразования к виду:

те = 0,±1, +2,.., п = 0, 1, ЛГ-1, Ыт = Т. Если определить оператор левой части в (11) равенством:

(П)

(12)

то алгебраическое уравнение, определяющее частично-неявную разностную схему (11) примет вид

(13)

тп = 0,±1, ±2..... « = 0, 1, N-1, т = т.

Для вычисления и"*х можно применить оператор у/'1 к обеим частям (13). Тогда

т = 0,± 1, ±2,..., и = 0, 1, N-1, N7 = Т.

(14)

В результате можно получить частично-неявную разностную схему для одномерного уравнения (6) в следующем виде:

т = 0,±1, ±2,..., я = 0, 1, Я-!, Ыт-Т,

(15)

где обращение кусочно-линейных операторов может быть выполнено аналитически или с помощью вычислительных процедур, рассмотренных в работе.

Разностные схемы для двумерного случая кусочно-квадратичных уравнений теплопроводности можно получить из обобщенного уравнения теплопроводности

д

(рМ)\ —

+ /(х,уЛ

(16)

позволяющем учесть изменения теплофизических свойств среды на основе аппроксимирующих кусочно-квадратичных операторов: первых производных температуры по времени у = ^(¿(О), вторых производных температуры от координаты _у = ^2(г(/)), первых производных температуры от координаты у = <р1 (г(/)), коэффициента теплопроводности от температуры у = <р4 или у = <р;(г(^у Методика формулировки разностных схем для уравнения (16) иллюстрирована на частном случае модифицированных уравнений теплопроводности

ди дг , . д2 . . „

01 ох су (17)

О<*< 1, 0<у< 1, <><¡<1.

причем обоснована общность предлагаемого подхода для других случаев модифицированных уравнений. Явные разностные схемы для двумерного уравнения теплопроводности получены путем замены дифференциального оператора разностным и применения аппроксимирующих кусочно-линейных операторов. Явная разностная схема для (17) принимает вид:

иП-и"

= А,

+ А.

+ - Г2 + Ли>

к

т = 0, ± 1, ± 2.....Л = 0, ±1, ± 2,..., и = 0,1,.... # -1.

На основании разностной схемы (18) сформулирован разностный оператор:

<г -с

Г

4 (<!)=• <Рь

= Г

^ т,к >

(19)

/я = 0, ±1, ±2, ...,¿ = 0, ±1, ±2,..., и = 0,1.....N-1.

На основе оператора (19) явная кусочно-линейная разностная схема для частного случая (17) двумерного обобщенного уравнения теплопроводности (16) принимает вид:

<1 = + {г(<Р5 {<,2* ) " (Си ) + <Рь (<* )) +

+-^(<р5 (и"аМ2) - 2 <ръ (и"тМ1) + <р5 (<* ))+

У

т = 0, ± 1, ± 2, = 0, ± 1, ± 2,л = 0,1, N -1.

В работе сформулирована методика построения частично-неявных разностных схем для частного случая двумерного обобщенного уравнения теплопроводности (20). Поскольку в явной разностной схеме (17) рассматривается функция трех аргументов (две координатные и одна временная переменные), то можно поставить вопрос о построении неявных разностных схем по времени и пространственным аргументам. Разностные схемы частично-неявного типа можно построить на основе замены переменных и"т М на перемен-

ные Си. и1*1> I в пРав°й части явной разностной схемы (20) для частного случая обобщенного уравнения теплопроводности (17). В работе частично-неявные схемы сформулированы при использовании замены сеточной функции на функцию и£ в уравнении (20). В результате частично-неявная разностная схема примет следующий вид:

<1

+

+(<*+2)" 1(Рь (К,ш ) + <Рь (<1)) +

(21)

/я = 0, ± 1, ± 2, ...Д = 0, ± 1, ± 2,..., и = 0,1,Лг —1.

Равенство (21) - алгебраическое уравнение, относительно переменной иРешение его осуществляется стандартным способом - преобразованием последнего уравнения к следующему виду:

X у X

{<М2) - м {<ш))+г/:,к,

(22)

/и = 0, ± 1,±2,...,к = 0, ± 1, ± 2.....п = 0,1,..., N-1.

Если определить вспомогательный монотонный кусочно-линейный оператор в левой части разностной схемы (22) равенством:

«"("-л ) = "».*- ТТ05] - К,*)> (23)

* у

то уравнение (22) преобразуется к следующей форме:

)*<*+^) ~2<р> ))+

(«:,*+2) - 2р5 К*.,))+(24)

от = 0, ± 1, ± 2, = о, ± 1, ± 2,.... п = 0,1,..., N-1.

Для отыскания и^ можно применить оператор I//"1 к обеим частям уравнения (24). Тогда можно получить кусочно-линейные алгебраические уравнения:

)=^"'К,+^ («с«) - («;+и))+

(<м) - 2% (<м))+(25)

/я = 0,±1,±2,...,* = 0,±1,±2.....л = 0,1.....ЛГ-1,

из которых следует окончательный вид разностных схем:

<1 = У'К* + («Су ) - 2<Р, («Си )) +

(<*+2) - 2% +г/;д (26)

/я = 0, ± 1, ± 2, = 0, ± 1, ± 2,..., и = 0,1,..., Ы-1,

где обратный кусочно-линейный оператор определяют частично-неявную разностную схему для уравнения (17).

В третьей главе рассмотрены вопросы исследования устойчивости разностных схем на основе формулировки операторов на временном слое и условий их сжатия, что позволяет получить условия устойчивости в виде ограничений на шаги по временному и координатным переменным. В полученном результате ска-

лярный параметр

а = т\\А\\Ьф1к2 <\ (27)

определяет условие устойчивости явных разностных схем по временному и координатному аргументам.

На основании результатов можно сформулировать утверждение, опреде- •

ляющее достаточные условия устойчивости разностных схем для одномерных задач теплопроводности. При этом разностные схемы представляется соотно- ^

шениями для одномерной нестационарной задачи Коши, операторы на временных слоях удовлетворяют обобщенным условиям Липшица, стационарное решение задачи определяется уравнением, следующими из разностной схемы. Нормы операторов на временных слоях удовлетворяют полученным оценкам. Тогда достаточные условия устойчивости разностной схемы определяются условиями типа (27). Аналогичным образом получены условия устойчивости для частично-неявных схем. Достаточные условия устойчивости частично-неявных разностных схем имеют вид:

кЧ_1(т,к)\\А\\/2+\\А2\\/т < 1 ,

(28)

Н21.х(х,к)1ф \\Х"-Х*\\ < +оо ,

где параметры соотношений, константа Липшица вычисляются с помощью соответствующей леммы, а нормы матриц определяются как максимум модуля

«

компонент векторов расширенных переменных на временных слоях.

В четвертой главе описывается методика синтеза программных управлений на основе метода целевых неравенств и конечномерной оптимизации для ' распределенных систем теплопроводности. При этом сформулированы задачи программного синтеза внешних воздействий, обеспечивающих заданное распределение тепла или близкое к нему в смысле заданного функционала.

Основные результаты и выводы

1. Обобщенные модели теплопроводности позволяют сформулировать явные и частично-неявные разностные схемы для одномерных и двумерных задач теплопроводности в многослойных средах в условиях идеального контакта на основе аппроксимации производных разностями и применения обратных операторов.

2. Разработанные достаточные условия устойчивости явных и частично-неявных разностных схем позволяют определить ограничения на шаги по временному и координатным аргументам на основе формулировки операторов на временных слоях и условий сжатия для этих операторов.

3. Проведенное математическое моделирование тепловых процессов в многослойных средах иллюстрирует расширение возможностей обобщенных моделей теплопроводности на основе адекватных явных и частично-неявных разностных схем.

4. Модификация методики синтеза программных управлений на основе метода целевых неравенств и конечномерной оптимизации для распределенных систем теплопроводности позволяет расширить классы синтезируемых систем управления процессами распространения тепла.

Основные публикации по материалам диссертационной работы:

Козлов В.Н., Магомедов К.А., Хлопин C.B. Негладкие операторы и их применение // Известия ВУЗов. Северо-кавказский регион. Серия «Технические науки», специальный выпуск, 2004. с. 82-84.

2. Козлов В.Н., Магомедов К.А., Хлопин C.B. Разностные задачи для первой канонической формы кусочно-линейных уравнений теплопроводности // Материалы научно-технического совещании «Современные наукоемкие технологии в промышленности России: Высокопроизводительные вычисления и CALS-технологии». Уфимский государственный авиационный технический

15

университет. Редакционно-издательский комплекс УГАТУ. 2005 г. 234с. С 174180.

3. Козлов В Н., Хлопин C.B. Исследование явных разностных схем для кусочно-линейных уравнений теплопроводности // Материалы XII Международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образовании и науке» Санкт-Петербург. - СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2005. 363 с. стр. 300-301

4. Козлов В.Н., Хлопин С.В Разностные схемы для обобщенных кусочно-линейных уравнений теплопроводности // Материалы IX Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы. «Фундаментальные исследования в технических университетах». СПб.: СПбГПУ, 2005. —462 с. стр. 97-99

5. Козлов В.Н., Магомедов К.А., Хлопин C.B. Операторно-функциональный метод моделирования тепловых процессов. Материалы VIII Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы // Сб. «Фундаментальные исследования в технических университетах», Санкт-Петербург. - СПб.: СПбГПУ, 2004. -394 с. стр. 15-17.

6. Хлопин C.B. Использование методов математической статистики для анализаработы web-сайтов Материалы VII Всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы // Сб. «Фундаментальные исследования в технических университетах». Санкт-Петербург. - СПб.: СПбГПУ, 2003. - 441 с. стр. 167-169.

7. Козлов В.Н., Хлопин C.B. Синтез локально-оптимальных стабилизирующих управлений на основе аналитических процедур оптимизации. // Материалы ХП1 Международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии в образовательно-научной деятельности» Санкт-Петербург. - СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2006. 404 с. стр. 336-341.

Лицензия ЛР №020593 от 07.08.97

Налоговая льгота - Общероссийский классификатор продукции ОК 005-93, т. 2; 95 3005 - учебная литература

Подписано в печать 21.04.2006. Формат 60x84/16. Печать офсетная. Уч. печ. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 167.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного составителями, в типографии Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая, 29.

f

ZOO G (\

89 9 9

ВВЕДЕНИЕ

1. Обзор исследований по проблемам теплопроводности и постановки

• задач исследования

1.1 Обзор и анализ нелинейных математических моделей теплопроводности

1.2. Постановки задач исследования моделей теплопроводности

1.3. Выводы

2. Обобщенные задачи теплопроводности и разностные схемы

2.1. Обобщенные математические модели и задачи теплопроводности щ для многослойных объектов

2.2. Кусочно-линейные и кусочно-квадратичные операторы и их свойства

2.3. Явные разностные схемы для одномерных кусочно-линейных уравнений теплопроводности

2.4. Частично-неявные разностные схемы для одномерных кусочно

9 линейных уравнений теплопроводности

2.5. Явные разностные схемы для двумерных кусочно-квадратичных и кусочно-линейных уравнений теплопроводности

2.6. Частично-неявные разностные схемы для двумерных кусочно-квадратичных уравнений теплопроводности

2.7. Моделирование тепловых процессов в сверхпроводящих элементах линий электропередач

• 2.8. Выводы

3. Анализ сходимости и исследование устойчивости разностных кусочно® линейных схем для обобщенных уравнений теплопроводности

3.1 Сходимость и устойчивость кусочно-линейных разностных схем

3.2. Устойчивость разностных схем по правой части

3.3. Методика анализа устойчивости разностных схем для нелинейных уравнений теплопроводности

3.4. Достаточные условия устойчивости частично-неявных разностных схем

3.5. Выводы

4. Синтез управлений для распределенных объектов и систем

4.1. Обзор методов и постановки задач синтеза

4.2. Синтез локально-оптимальных стабилизирующих управлений

4.3 Синтез управлений для теплопроводящих объектов

4.4. Выводы

Актуальность работы. Фундаментальные исследования в области математических, физических и технических наук требуют непрерывного совершенствования и разработки новых математических моделей для практической реализации сложных технических объектов. Фундаментальные результаты в области моделирования и исследования процессов распространения тепла получены в работах академиков РАН А.Н. Тихонова, А.А. Самарского, С.К. Годунова, Г.И Марчука, А.И. Леонтьева, А.Е. Шейндлина, О.Н. Фаворского, В.Е. Фортова и др., а также ведущих ученых Э.М. Карташева, Г.М. Кондратьева, В.А. Кудинова, А.В.Лыкова, С.Г. Михлина, Ю.Г. Назмеева, B.C. Рябенького и др.

Для объектов с тепловой природой процессов целесообразна модернизация и обобщение моделей теплопроводности, расширяющих границы их применения. При этом целесообразно обобщать модели на основе преобразования координат уравнений теплопроводности операторами, позволяющими учесть изменения тепловых свойств многослойных объектов в условиях идеального контакта.

В данной диссертационной работе разработан комплекс математических моделей многослойной теплопроводности в рамках применения кусочно-квадратичных (локально-сглаженных) и кусочно-линейных преобразований переменных, включая преобразование температуры и ее производных. Использование аппроксимирующих кусочно-линейных операторов позволяет разработать обобщенные разностные схемы распределенных многослойных систем. На основе описанных моделей в работе формулируются модифицированные методы моделирования, анализа и синтеза систем многослойной теплопроводности на основе явных и частично-неявных разностных схем.

Применение обобщенных моделей и разностных схем на этапах анализа и синтеза позволит расширить классы проектируемых объектов на основе методов математического моделирования. Поэтому модификация, обобщение моделей теплопроводности и разработка разностных схем для многослойных распределенных систем являются актуальными.

Цели и задачи работы. Цель работы состоит в обобщении и модификации моделей теплопроводности для анализа и синтеза систем управления тепловыми процессами на основе явных и частично-неявных разностных схем. В соответствии с целью работы необходимо сформулировать и решить ряд основных подзадач.

Методы исследования. В работе использовались методы математической физики, теории теплопроводности, теории управления распределенными процессами. Расчётные исследования выполнены с помощью метода сеток и программных сред: MathCAD, Mathematica, Microsoft Visual studio 6.0, Origin 7.0.

Научная новизна полученных в работе результатов состоит в следующем:

1. Разработаны обобщенные уравнения теплопроводности на основе преобразования переменных, учитывающие многослойную структуру объектов, а также явные и частично-неявные разностные схемы в условиях идеального контакта слоев.

2. Сформулированы условия устойчивости разработанных разностных схем на основе условий сжатия для операторов на временных слоях.

3. Выполнен комплекс исследований по математическому моделированию тепловых процессов в многослойных объектах с помощью разностных схем.

4. Предложена методика синтеза программных управлений на основе методов целевых неравенств и оптимизации для многослойных объектов теплопроводности.

Достоверность результатов, выводов и рекомендаций определяется корректным использованием математического аппарата, современных численных методов (сеточных методов), сравнительным анализом результатов, полученных в диссертационной работе и вычислительными экспериментами.

Практическая ценность. Результаты работы могут найти применение в процессе моделирования и расчета теплового состояния многослойных одномерных и двумерных объектов, а также при адаптации разработанных разностных схем для других классов задач.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Обобщенные математические модели теплопроводности для многослойных сред с идеальным контактом слоев на основе применение кусочно-квадратичных и кусочно-линейных преобразований переменных.

2. Методика формулировки явных и частично-неявных разностных схем для одномерных и двумерных обобщенных уравнений теплопроводности и условия их устойчивости.

3. Методика синтеза программных управлений на основе целевых неравенств и оптимизации для распределенных систем.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы были представлены: на VII всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования в технических университетах»; на X международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки»; на VIII всероссийской конференции по проблемам науки и высшей школы «Фундаментальные исследования в технических университетах»; на XII международной научно-методической конференции «Высокие интеллектуальные технологии и генерация знаний в образования и науки»; на научно-техническом совещании «Современные наукоемкие технологии в промышленности России: Высокопроизводительные вычисления и CALS-технологии» (Уфа 2004г.); на научных семинарах кафедры «Системный анализ и управление» (2002-2005 гг.);

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы из 137 наименований. Работа содержит 135 стр., включая 25 рис. и 10 табл.

4.4. Выводы

1. Разработаны модифицированные модели синтеза, основанные на * сведении алгебраической задачи синтеза необходимых тепловых воздействий для обеспечения целевых условий типа равенств, неравенств и также для целевых условий интервального класса, а также на основе целевых неравенств.

2. Предложенные методики синтеза могут быть использованы для синтеза систем стабилизации на основе предложенных процедур программного синтеза.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. В работе предложены обобщенные математические модели нестационарной теплопроводности на основе нелинейных преобразований искомых функций (температуры) классических моделей теплопроводности, которые охватывают широкий класс прикладных задач. На основе обобщения выявлены эквивалентные формулировки задач теплопроводности, допускающие формулировки частично-неявных разностных схем.

2. Для обобщенных математических моделей нестационарной теплопроводности сформулирован комплекс явных и частично-неявных разностных схем для одномерной и двумерной задач теплопроводности, представленных в аналитической форме. Частично-неявные разностные схемы сформулированы на основе разностной аппроксимации дифференциальных операторов уравнений теплопроводности, обращения кусочно-линейных или кусочно-квадратичных операторов. Разработанные явные и частично-неявные разностные схемы качественно исследованы, для них сформулированы достаточные условия их устойчивости на основе введения «операторов на временных слоях» и условий их сжатия. Получены оценки на величины шагов по временному и координатным переменным для частично-неявных схем, позволяющих выполнить моделирование тепловых процессов с увеличенными шагами при сохранении устойчивости.

3. Разработаны математические модели синтеза программных тепловых воздействий на объекты, основанные на сведении задачи синтеза заданного теплового распределения по времени и пространству с помощью разработанных разностных схем. При синтезе использованы целевые условия типа неравенств и условия экстремального типа, допускающие их применение для широкого класса задач моделирования тепловых процессов. В результате задачи синтеза сведены к задачам математического программирования - решения систем линейных алгебраических неравенств, приближенного решения задач минимизации модульных или квадратичных функционалов на допустимых множествах, которые аппроксимированы пересечениями линейного многообразия и шара.

4. Проведены вычислительные эксперименты, подтверждающие основные теоретические положения, работоспособность и качественные свойства разностных схем явного и частично-неявного типов при исследовании нестационарных тепловых процессов в многослойных элементах энергетических систем для передачи энергии на основе явления сверхпроводимости, а также сопоставлением результатов моделирования с результатами, полученными методами конечных элементов.

5. Определены области применения разработанных математических моделей, разностных схем и методов синтеза для применения в широком классе задач управления тепловыми процессами.

1. Аббасов Г.М. Исследование устойчивости возмущенной задачи вытеснения одной жидкости другой в подвижных разножидкостных областях // Сб. «Средства математического моделирования».- СПб.: Изд. СПбГТУ, 2001.- с. 64.

2. Алексидзе М.А. Решение граничных задач методом разложения по неортогональным функциям.- Наука, Физматлит, 1978.-351 с.

3. Араманович И.Г., Гуттер Р.С., Люстерник Л.А., Раухваргер И.Л., Сканави М.И., Янпольский А.Р. Математический анализ дифференцирование и интегрирование. М.: Государственное издательство физико-математической литературы. 1961г. 352с.

4. Аминов Г.И., Магомедов К.А., Хамидов А.И. Термоэлектрический комплекс для трансфузиологии // Приборостроение 2000. т.43, №5. с.32-36.

5. Анатычук Л.И. Термоэлементы и термоэлектрические устройства. Справочник.-Киев, 1979.

6. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции.- М.: Наука, 1974.- 431 с.

7. Афанасьева В.И., Зимина О.В., Кириллов А.И. и др. Высшая математика. Специальные разделы.- М.: Физматлит, 2001.- 397 с.

8. Ахатов И.Ш., Газизов Р.К., Ибрагимов Н.Х. Нелокальные симметрии. Эвристический подход / В кн. Современные проблемы математики, т. 34. Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР.- М.: 1989, с. 3-83.

9. Бабичев А.В., Бутковский А.Г., Сеппо Похьолайнен. К единой геометрической теории управления.- М.: Наука, 2001.-352 с.

10. Бакельман И.Я. Геометрические методы решения эллиптических уравнений.- М.: Наука, 1965.-340 с.

11. Бакулин В.Н., Образцов И.Ф., Потопахин В.А. Динамические задачи нелинейной теории многослойных оболочек. Действие интенсивных термосиловых нагрузок, концентрированных потоков энергии.- М.: Наука, 1998.- 463 с.

12. Барилович В. А., Смирнов Ю.А. Основы термогазодинамики двухфазных потоков и их численное моделирование.- СПб.: Изд. «Нестор», 2001.- 294 с.

13. Барилович В. А., Смирнов Ю.А. Основы технической термодинамики и теории тепло- и массообмена.- СПб.: Изд. «Нестор», 2001.-402 с.

14. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г;М. Численные методы.-М.: Лаборатория Базовых знаний, 2001.-632 с.

15. Беккер Р., Теория теплоты. Пер с нем. М.: Энергия 1974г. 504 с.

16. Белоцерковский О.М. Математическое моделирование на суперкомпьютерах // в кн. «Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты».- М.:1. Наука, 2000.- 247 с.

17. Белоцерковский О.М., Гущин В. А., Коньшин В.Н. Метод расщепления для исследования течений стратифицированной жидкости со свободной поверхностью // Журн. вычисл. матем. и матем. физики. 1987, т.27, № 4, с. 594-609.

18. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М., Демьянов А.Ю. Взаимодействие мод возмущений при неустойчивости Рэлея-Тейлора // Докл. АН СССР. 1986. т. 288. с. 1071.

19. Бернштейн С.Н. Собрание сочинений, т. III (уравнения в частных производных), Изд. АН СССР, 1960.

20. Бицадзе А.В., Калиниченко Д.Ф. Сборник задач по уравнениям математической физики.- М.: Наука, Физматлит, 1977.-224 с.

21. Блихер А. Физика силовых биполярных и полевых транзисторов. Пер. с англ. под ред. И.В. Грехова Д.: Энергоатомиздат, 1986. -248 с.

22. Богомолов Д.Ю. Применение численных методов к решению задач течения рабочей среды в соединениях с учетом трехмерной топографии поверхности. Автореф. дисс. на соискание ученой степени канд. техн. наук. М.: 2002.- 19 с.

23. Бутковский А.Г. Теория оптимального управления системами с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1965.

24. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных.- М.: изд. иностр. литер., 1963.-487 с.

25. Владимиров B.C. Обобщенные функции в математической физике.-М.: Наука, Физматлит, 1979.-320 с.

26. Владимиров B.C., Жаринов В.В. Уравнения математической физики.- М.: Физматлит, 2000.- 399 с.

27. Власова Е.А., Зарубин B.C., Кувыркин Г.Н. Приближенные методы математической физики.- М.: Изд. МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2001.699 с.

28. Воднев В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы. М. Издательство МПИ, 1988г. 527с.

29. Вулих Б.З. Введение в функциональный анализ. М.: Наука, 1967г. 416с.

30. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений, М.: Наука. 1971г. — 248с.

31. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. М.: Наука, 1973.

32. Годунов С. К., Рябенький В. С. Введение в теорию разностных схем. М.: Физматгиз, 1962г.

33. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1973г.

34. Гусев В.Г. Физические методы и технические средства для лечебных воздействий.- Уфа, изд. Уфимского гос. авиац. техн. унта, 2001.-126 с.

35. Гущин В.А., Лихачев А.П., Нечипоренко Н.Г., Павлюкова Е.Р. Применение гибридной аппроксимации в газодинамических приложениях // Сб. «Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты»,- М.: Наука, 2000.-с. 165-177.

36. Дегтярев Г. Л. Об оптимальном управлении процессами тепло- и массопереноса. Труды КАИ, вып. 97, 1968.

37. Демидович Б.П., Марон И.А., Шувалова Э.З. Численные методы анализа. Приближение функций, дифференциальные и интегральные уравнения. М.: Наука, - 1967г. - 368с.

38. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми и диффузионными процессами.- М.: Наука, 1978.- 463 с.

39. Зино И.Е., Троп Э.А. Асимптотические методы в задачах теории теплопроводности и термоупругости.- Л.: изд. ЛГУ, 1978.

40. Калиткин Н.Н. Численные методы. Москва: Наука, 1978 г. 512с.

41. Карташев Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел.-М.: Высшая школа, 2001.-550 с.

42. Карташев Э.М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в области с движущимися границами (обзор).- Инженерно-физический журнал, 2000, т.74, № 2, с. 1 24.

43. Карташев Э.М. Аналитические методы решения смешанных граничных задач теории теплопроводности (обзор). Изв. АН СССР, Энергетика и транспорт, 1986, № 6, с. 116 129.

44. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение: пер. с англ. М.: Мир, 2001г. 575с.

45. Ковалев О.Ф. Численно-экспериментальные методы моделирования магнитных и температурных полей в электромагнитных устройствах.- Автореферат диссертации на соискание ученой степени д.т.н.- Новочеркасск: Южн.- росс. гос. техн. ун-т, 2001.

46. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности.- М.: 1975.

47. Козлов В.Н. Метод нелинейных операторов в автоматизированном проектировании динамических систем- Л.: Изд-во ЛГУ им. А.А.Жданова, 1986. 166 с.

48. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Заборовский B.C. Вычислительные методы синтеза систем автоматического управления Л.: Изд. ЛГУ им. А.А. Жданова, 1989.-232 с.

49. Козлов В.Н., Куприянов В.Е., Шашихин В.Н. Вычислительная математика и теория управления СПб, изд. СПбГТУ.- 1996- 170 с

50. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Аддитивные кусочно-линейные разностные схемы для анализа электрических цепей // Известия

51. РАН «Энергетика», 2002, № 4. с.83 92.

52. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и распределенные системы. Модели теплопроводности. СПб.: изд. СП6ГПУ,2003.- 196 с.

53. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Негладкие операторы и электрические цепи, СПб.: изд. СПбГПУ.- 2003.-103 с.

54. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Разностные схемы на основе принципа аддитивности для кусочно линейных систем// Сб. «Фундаментальные исследования в технических университетах».-СПб.: изд. СПбГТУ, 2001, с. 46-49.

55. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Синтез управлений частотой и активной мощностью энергообъединений с учетом тепловых процессов // Известия РАН «Энергетика», 2003, № 2.- с. 158 169.

56. Козлов В.Н., Магомедов К.А., Кусочно-линейные задачи теплопроводности и разностные схемы.- Труды СПбГПУ «Высокие интеллектуальные технологии образования и науки», СПб.: изд. СПбГПУ,-2003.-е. 359-361.

57. Колешко С.Б. Попов Ф.Д. Механика жидкости и газа. Разностные схемы.: Учеб. Пособие. СПб.: Издательство СПбГТУ, 2001. 74с.

58. Кондратьев Г.М. Регулярный тепловой режим. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1954г. 408с.

59. Кораблев В.А., Тахистов Ф.Ю., Шарков А.В. Прикладная физика. Термоэлектрические модули и устройства на их основе. СПб.: изд. СПбГИТМО (ТУ), 2003.- 39 с.

60. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970г. -712с.

61. Крылов В. И., Бобков В. В., Монастырный П. И. Вычислительные методы.- Т. 1,2, М.: Наука, 1977,1978.

62. Кудинов В.А., Карташев Э.М. Техническая термодинамика, М.: Высшая школа.-2000.- 261 с.

63. Кулик JI.M., Шаповалов Г.Е. Неустановившаяся теплопередача через многослойную плоскую пластину. Известия АН СССР, серия «Энергетика и автоматика», 1971, № 2, с. 72 77.

64. Куликовский А.Г., Погорелов Н.В., Семенов А.Ю. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений.-М.: Физматлит, 2001.-608 с.

65. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные дифференциальные уравнения в частных производных.- М.: Наука, 1964.

66. Ландис Е.М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Физматлит, 1971.-287 с.

67. Лаптинский В.Н. К задаче представления решений нелинейных дифференциальных систем // Сб. «Средства математического моделирования».- СПб.: Изд. СПбГТУ, 2001.- с.98.

68. Латтес Р., Лионе Ж-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: «Мир», 1970. -336 с.

69. Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: Физматлит, 2000г. 296с.

70. Леонтьев А.И. Теория тепломассопереноса.- М., 1997.

71. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями в частных производи ых, М.: Мир, 1972.

72. Лионе Ж.-Л. Управление нелинейными распределенными системами, М.: М ир, 2002.

73. Лурье К. А. Оптимальное управление в задачах математической физики. Наука, 1975.

74. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: 1967.

75. Лыков А.В. Тепломассообмен (справочник) 2-е изд. перераб. и дополн. М.: Энергия, 1978 г. - 480 с.

76. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Разностные задачи для кусочно-линейных уравнений теплопроводности // Известия Северокавказского научного центра РАН. Технические науки. 2003,- № 2.-е. 68-73.

77. Магомедов К.А., Козлов В.Н. Синтез систем термостабилизации энергетических объектов //Труды международной научно-практической конференции «Теоретические и практические проблемы развития электроэнергетики России».- СПб.: Изд. СПбГПУ, 2002.- с. 262 270.

78. Магомедов К.М., Холодов А.С. Сеточно-характеристические численные методы.- М.: Наука, 1988.

79. Мартыненко Н.А., Пустыльников Л.М. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами.- М.: Наука, 1986.- 303 с.

80. Марчук Г.И. Методы расщепления. М.: Наука, 1998г. 264 с.

81. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики.- М.: Физматлит, 1993.-224 с.

82. Математическая физика. Энциклопедия / Гл. ред. Л.Д. Фаддеев.- М.: Большая Российская энциклопедия, 1998.- 691 с.

83. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.- М.: Наука, 1970.-512 с.

84. Михлин С.Г., Смолицкий X.JI. Приближенные методы решения дифференциальных и интегральных уравнений. М.: Наука, 1965г. -384с.

85. Назмеев Ю.Г. Теплообмен при ламинарном течении жидкости в дискретно-шероховатых каналах.- М.: Энергоатомиздат, 1998.- 372 с.

86. Несис Е.И. Методы математической физики. М.: Просвещение, 1977г.-199с.

87. Новиков И.И., Воскресенский К.И. Прикладная термодинамика и теплопередача. Изд. 2-е. М.: Атомиздат, 1977г. 352с.

88. Новое в численном моделировании: алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты.- М.: Наука, 2000.-247 с.

89. Олейник О.А. Краевые задачи для линейных уравнений эллиптического и параболического типа с разрывными коэффициентами. Изв. АН СССР, сер. матем., 25, 1961.

90. Остапенко В.В. О сильной монотонности нелинейных разностных схем.- «Журнал вычислительной математики и математической физики», 38, № 7,1170-1185.

91. Охотин А.С., Пушкарский А.С., Горбачев В.В. Теплофизические свойства полупроводников.- М., Атомиздат.-1972.

92. Петровский И.Г. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1952г. 232с.

93. Петухов Л.В., Троицкий В.А. Вариационные задачи оптимизации для уравнений гиперболического типа, ПММ, т. 36, № 4, 1972.

94. Пикулин В.П., Похожаев С.И. Практический курс по уравнениям математической физики.- М.: Наука, 1995.- 224 с.

95. Полежаев Ю.В., Юркевич Б.В. Тепловая защита.- М., 1976.

96. Полянин А.Д. Справочник по линейным уравнениям математической физики.- М.: Физматлит, 2001.-576 с.

97. Полянин А.Д., Зайцев В.Ф. Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: точные решения.- М.: Физматлит, 2002.432 с.

98. Рапопорт Э. Я. Оптимизация процессов индукционного нагрева металла.- М.: Металлургия, 1993.-279 с.

99. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике: пер. с англ.- М.: Мир.-590 с.

100. Русак В.Н. Математическая физика.- Минск: Изд. «Дизайн про», 1998.- 207 с.101102103104105106107108109110111112113114115116117118119120

101. Рябенький B.C. Введение в вычислительную математику.- М.: Физматлит, 2000.- 296 с.

102. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем.- М.: Наука, 1971.- 552 с.

103. Самарский А.А. Теория разностных схем. 3-е изд. Испр. М.: Наука, 1989 г.-616 с.

104. Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы дляэллиптических уравнений.- М.: Наука, 1976.-352 с.

105. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Аддитивные схемы для задачматематической физики. М.: Наука, 1999. - 319 с.

106. Самарский А.А., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. —

107. М.: Едиториал УРСС, 2003 г. 784с.

108. Самарский А.А., Гулин А.В. Устойчивость разностных схем.- М.: Наука, 1973.-415 с.

109. Самарский А.А., Михайлов А.П. Математическое моделирование.-М.: Физматлит, 2002.- 320 с.

110. Самарский А.А., Николаев Е.С. Методы решения сеточныхуравнений.- М.: Наука, Физматлит, 1977.-590 с.

111. Сапожников С.З., Китанин Э.Л. Техническая термодинамика итеплопередача.- СПб.: Изд. СП6ГТУ,2001.-319 с.

112. Саульев В.К. Интегрирование уравнений параболического типаметодом сеток.- М.: ГИФМЛ, 1960.-324 с.

113. Сиразетдинов Т.К. Устойчивость систем с распределенными параметрами.-Новосибирск: Наука, 1987.-231 с. Смольников Л.П. Бычков Ю.А., Гудкова Н.В. Расчет систем управления-Л.: 1981.-111 с.

114. Сьярле Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач: пер. с англ.- М.: Мир, 1980.- 352 с.

115. Тихонов А.Н., Гончарский А.В., Степанов В.В., Ягола А.Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. — 1990г. 232с.

116. Тихонов А.Н., Леонов А.С., Ягола А.Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука, 1995г. 312с.

117. Толстых А.И. Схемы заданного порядка, основанные на линейных комбинациях операторов компактного численного дифференцирования //Сб. Новое в численном моделировании. Алгоритмы, вычислительные эксперименты, результаты.- М.: Наука, 2000.-с. 100-120.

118. Фурсиков А.В. Оптимальное управление распределенными системами. Теория и приложения.- Новосибирск, Научная книга,1999.-352 с.

119. Хесс П. Периодическо параболические граничные задачи и « положительность: Пер. с англ.- М.: Мир, 2001.-176 с.

120. Хёрмандер JI. К теории общих дифференциальных операторов в частных производных. М.: Издательство иностранной литературы.• 1959г.-132с.

121. Холодов А.С. Монотонные разностные схемы на нерегулярных сетках для эллиптических уравнений в области со многими несвязными границами. Журнал «Математическое моделирование». 1991, т. 3, № 9. с. 104-113.

122. Холодов А.С. О построении разностных схем с положительной аппроксимацией для уравнений параболического типа // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1978. т.24, № 9. с. 1646-1358.

123. Алгоритмы и вычислительные методы / пер. с англ. — М.: Энергия, 1980.

124. Ши. Д. Численные методы в задачах теплообмена. Пер. с англ. М.: Мир,- 1988г. 544с.

125. Гельфонд О.А. Исчисление конечных разностей. М.: Наука, 1978г.

126. Козлов В.Н., Магомедов К.А. Управление энергетическими системами. Часть 3: модели теплопроводности. СПб.: Изд-во Политехнического университета, 2006. 196 с.

127. Основные публикации по материалам диссертационной работы:

128. Козлов В.Н., Магомедов К.А., Хлопин С.В. Негладкие операторы и их применение // Известия ВУЗов. Северо-кавказский регион. Серия «Технические науки», специальный выпуск, 2004. с. 82-84.