автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Математическое моделирование процессов теплообмена при электроосмотической фильтрации

На правах рукописи

оозоь^ы.

Валова Ольга Валерьевна

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССОВ ТЕПЛООБМЕНА ПРИ ЭЛЕКТРООСМОТИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Специальность 05 13 18 - «Математическое моделирование, численные методы

и комплексы программ»

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Иркутск - 2007

003057617

Работа выполнена в ГОУ ВПО «Читинский государственный университет» Министерства образования и науки Российской Федерации

Научный руководитель доктор технических наук, профессор

Рашкин Анатолий Васильевич

Официальные оппоненты доктор технических наук, профессор

Корольков Борис Петрович

кандидат технических наук, доцент Макагонова Надежда Николаевна

Ведущая организация Институт угля и углехимии СО РАН

(г Кемерово)

Защита состоится 17 мая 2007 года в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 218 004 01 в ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» Федерального агентства железнодорожного транспорта Российской Федерации по адресу 664074, г Иркутск, ул Чернышевского, 15, ауд А-803

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГОУ ВПО «Иркутский государственный университет путей сообщения» ФАЖТ Российской Федерации

Автореферат разослан 17 апреля 2007 г

Ученый секретарь диссертационного совета

Н П Деканова

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Актуальность темы исследований. Добыча полезных ископаемых является одной из важнейших отраслей промышленности России Однако значительная часть месторождений полезных ископаемых Сибири и Дальнего Востока находится в криолитозоне с обширным распространением многолетнемерз-лых и сезоннопромерзающих горных пород Разработка таких месторождений проводится с применением специальных способов подготовки оттаивания мерзлых пород и предохранения талых пород от промерзания

Одним из способов, позволяющих интенсифицировать процессы теплообмена в горных породах, является электроосмотический Хотя явление электроосмоса известно давно (оно применяется для борьбы с пучением, при закреплении илистого грунта, осушении грунтов), тем не менее его изученность все еще не достаточна Предлагается использовать данный способ для целенаправленного управления теплообменом в горных породах и фильтрацией воды как теплоносителя Исследование перспектив использования электроосмоса с этой целью является актуальной задачей

Прогнозирование эффективности применения способов предварительной подготовки пород в конкретных условиях является актуальной научно-технической задачей при разработке месторождений Наряду с натурными экспериментами и полупромышленными испытаниями для прогнозирования эффективности используется вычислительный эксперимент В этом случае разрабатывается математическая модель, описывающая соответствующие процессы теплообмена, и решение поставленной задачи реализуется с помощью средств вычислительной математики и компьютерных технологий Необходимо, чтобы результаты вычислений согласно математической модели согласовывались с физическим экспериментом, и одновременно математическая модель должна быть достаточно простой для практического использования

Развитие вычислительной техники делает нецелесообразным использование методов и программ, предназначенных лишь для решения отдельных задач частного вида Необходимо иметь методы и программы, позволяющие решать классы задач, предоставляя возможность выбора типа уравнения, класса краевых условий, а также функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты уравнения и условий

Цель диссертационной работы состоит в разработке и обосновании математической модели для решения научно-технической задачи по управлению процессами теплообмена при электроосмотической фильтрации и создании соответствующего программного средства

В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:

1 Разработка математической модели, адекватно описывающей процессы теплообмена при электроосмотической фильтрации

2 Создание программного средства для решения широкого круга краевых задач одномерного уравнения теплопроводности

3 Экспериментальное обоснование разработанной математической модели на примере целенаправленного управления процессами теплообмена при

электроосмотической фильтрации в горных породах

Объект исследований: процесс теплообмена при электроосмотической фильтрации

Предмет исследований: закономерности изменения температуры горных пород при электроосмогаческой фильтрации.

Методы исследования. Методы исследования основаны на методологии математического моделирования, положениях теории теплопроводности, теории разностных схем, объектно-ориентированной технологии создания программных средств Для решения поставленных задач используются методы математического моделирования, численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (метод конечных разностей), интегро-интерполяционный метод построения разностных схем, численные методы прикладной математики, методы объектно-ориентированного проектирования и программирования, лабораторные эксперименты

Достоверность результатов проведенных исследований, содержащихся в работе, определяется корректным использованием математических методов и методов построения математических моделей, проверкой разработанных алгоритмов и программы с помощью эффективных тестовых наборов данных, а также подтверждается хорошей сходимостью результатов вычислений и экспериментальных данных с максимальной погрешностью не превышающей 10 %

В диссертационной работе впервые получены, составляют предмет научной новизны и выносятся на защиту следующие результаты

1) математическая модель, адекватно описывающая процесс теплообмена при электроосмотической фильтрации, в виде уравнения теплопроводности общего вида, коэффициенты которого учитывают выделение и перенос тепла за счет элсктроосмотической фильтрации (для случая горизонтально расположенных сеток-электродов),

2) однородная консервативная разностная схема на неравномерных сетках для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности общего вида с переменными коэффициентами, а также разностные условия третьего рода для данного уравнения,

3) программа, позволяющая решать широкий круг краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности и предоставляющая возможность выбора класса краевых условий, функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты уравнения и условий,

4) методика экспериментального обоснования разработанной математической модели на примере целенаправленного управления процессами теплообмена при электроосмотической фильтрации в горных породах разработка и изготовление экспериментальной лабораторной установки для изучения процесса теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации, разработка методики проведения экспериментов и выявление основных закономерностей изменения температурного поля в горных породах при электроосмотической фильтрации

Практическая значимость полученных результатов

1 Математическая модель теплового режима при электроосмотической

фильтрации для случая горизонтально расположенных сеток-электродов предлагается впервые, кроме этого модель учитывает смену полярности электродов За счет исключения трудноизмеримых малозначимых параметров она позволяет упростить инженерные расчеты, что повышает ее практическую значимость

2 Предложенная математическая модель может применяться для моделирования процессов теплообмена при электроосмотической фильтрации в горных породах, например, в такой прогрессивной технологии как кучное выщелачивание

3 Полученная разностная схема и предусмотренная в программе возможность ввода дискретных функций позволяют учитывать изменение свойств горных пород во времени и пространстве (в случае неоднородных областей) Это повышает достоверность получаемых результатов

4 Предусмотренная в программе возможность использовать в качестве коэффициентов, входящих в уравнение теплопроводности, начальные и граничные условия, аналитических функций позволяет учитывать взаимную зависимость свойств горных пород, формируя выражения для вычисления одних свойств на основе других Это значительно облегчает ввод данных

5 Объектно-ориентированный подход позволил создать гибкую архитектуру программы, которую можно легко модифицировать и использовать для решения других задач Большинство архитектурных решений программы является универсальным (библиотека базовых классов, механизмы взаимодействия между элементами программы, структуры данных и некоторые алгоритмы) Они могут использоваться при разработке программ для решения краевых задач не только уравнения теплопроводности, но и уравнений других типов С некоторой адаптацией их можно применить в любых программах, входными и выходными данными которых являются константы, дискретные функции и вычислимые выражения Вычисления согласно конкретных разностных схем в программе оформлены в виде отдельных подпрограмм, что позволяет легко вносить изменения в существующие алгоритмы решения краевых задач и добавлять новые алгоритмы

6 Разработанная программа может применяться не только в рамках предложенной математической модели, но также для решения широкого круга задач одномерного уравнения теплопроводности

7 Разработанная экспериментальная лабораторная установка позволяет исследовать температурное поле горных пород при этектроосмотической фильтрации в зависимости от внешнего источника - аналога солнечно-радиационного нагрева, светопрозрачного пленочного покрытия на поверхности горных пород, напряжения на сетках-электродах, полярности электродов и влажности горных пород

Внедрение результатов работы. Программа «У1зЬпи2004» для моделирования процессов теплообмена в горных породах принята к использованию в Забайкальском отделении Международной академии наук экологии и безопасности жизнедеятельности (30 МАНЭБ) для пчанирования объемов и сроков ведения вскрышных работ и разработки технологических мероприятий по интенсификации процессов подготовки горных пород к разработке Результаты дис-

сертационного исследования используются в учебном процессе на кафедре открытых горных работ Читинского государственного университета На программу «Vishnu2004» получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ, выданное Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, г Москва, № 2005610608 от 11 марта 2005 г

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических и научно-практических конференциях Горного института ЧитГУ, г Чита, 2000, 2003, 2004 гг , региональной конференции «Проблемы освоения и рационального использования природных ресурсов Забайкалья», i Чита, 2000 г , Межрегиональной и Всероссийской научно-практических конференциях «Энергетика в современном мире», г Чита, 2001, 2006 гг, XXIX научно-технической конференции ЧитГУ, г Чита, 2002 г, третьей межрегиональной научно-практической конференции «Технические науки, технологии и экономика», г Чита, 2003 г, VII Международной молодежной научно-практической конференции «Молодежь Забайкалья творчество и прогресс», г Чита, 2004 г, Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы прикладной математики», г Чита, ЗабГГПУ, 2004 г , межрегиональной и Всероссийской научно-практических конференциях «Кула-гинские чтения», г Чита, 2004, 2005 гг , XI Международной конференции «Информационные и математические технологии в научных исследованиях», Иркутск, 2006 г, на заседаниях научного семинара Энергетического института ЧитГУ, г Чита, 2005, 2006 гг

Публикации. По результатам выпочненных исследований опубликовано 18 печатных работ, б том числе 1 работа представлена в журнале из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов», рекомендованных ВАК РФ [1], 4 работы в реферативных научных журналах [2 - 5], а также статьи в материалах и трудах Международных. Всероссийских и научно-технических конференций [6 - 18] Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам зарегистрировано программное обеспечение, разработанное по теме диссертации [19]

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложения Работа представлена на 150 страницах, включающих 8 таблиц, 45 рисунков, библиографический список из 163 наименований Приложение содержит 60 страниц

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы, сформулированы цель и задачи исследований, изложено краткое содержание диссертации, показана научная новизна и практическая ценность работы, приводятся сведения об апробации, публикациях и внедрении результатов работы

В первой главе проведен анализ существующих математических моделей тепломассопереноса в горных породах при электроосмотической фильтра-

ции, методов решения краевых задач для уравнения теплопроводности и анализ программного обеспечения для расчета распространения тепла в твердых телах Электроосмотическая фильтрация основана на следующих явлениях Неравенство зарядов анионов и катионов в поровом растворе горных пород приводит к тому, что раствор под влиянием внешнего электрического поля перемещается, создавая непрерывный электроосмотический поток Неравенство зарядов в основном обуславливается свойствами солей, растворенных в поровой влаге

При электроосмотической фильтрации одновременно с переносом влаги в дисперсной среде под действием постоянного электрического поля происходит перенос тепла и электрического заряда Перенос влаги обусловлен совокупным действием электроосмотической, диффузионной и термодиффузионной сил Перенос тепла осуществляется как путем кондуктивной теплопроводности, так и за счет конвективного переноса жидкостью Перенос заряда происходит путем ионной проводимости и за счет конвективного переноса зарядов жидкостью

Явление электроосмоса было открыто в 1808 году профессором Московского университета Ф Ф Рейсом В начале 50-х годов 19 века были проведены более детальные исследования этого явления Существенный вклад в разработку теории электроосмоса внесли Г Гельмгольц, Перрен и Смолуховский Развитию теории электроосмоса и его применению посвятили свои работы следующие учечые H M Бурдак, Б П Горбунов, В П Дущенко, В А Козлов, JIИ Курденков, Г M Ломидзе, С В Нерпин, А Ф Чудновский, А В Нетушил, А В Рашкин, А Т Соколовский, Casagrande L, Gray Donald H, Franceschmi Alfonso и др

Явление электроосмоса применяется для борьбы с пучением (авт свид Ю Г Куликов №160680, кл 84 С, 3/10), при закреплении илистого грунта (авт свид П H Ерофеев, А И Котов, Я Я Мотузов, № 237710, кл 84 С, 3/10), осушении грунтов [Справочник по инженерной геологии /п р M В Чуринова]

Аналитические модели, описывающие тепломассоперенос в горных породах при электроосмотической фильтрации (H M Бурдак, С В Нерпин, А Ф Чудновский и др ), не позволяют учитывать неоднородность массива горных пород Предлагаются математические модели, описывающие рассматриваемый процесс с помощью системы дифференциальных уравнений, которая учитывает изменение температуры, электрического поля и массоперенос (А В Лыков, В П. Дущенко и др ) Однако, недостаточная изученность электро-влаго- теплопроводных свойств горных пород, а также присутствие в этой системе трудноизмеримых параметров ограничивают ее использование Кроме эгого на настоящий момент нет математической модели описывающей процессы теплообмена в горных породах для горизонтально расположенных электродов

Процесс распространения тепла на отрезке описывается уравнением теплопроводности (уравнение Фурье), общий вид которого выглядит следующим образом

Ф,= р, Д(*,О?0 + Г(х,- X и + Дх,0, (1)

5/ <5х ^ Зх у бх

где н = г<(х,0 - температура, град, фг,г) = сДх,0хр(х,0, - удельная

теплоемкость породы Дж!(кг град), р(х,?) - плотность породы кг/ и3, Л(х,/)-коэффициент теплопроводности Вт Км К), дхи - мощность источников (стоков) тепла (при д<0 - источники, при д>0 - стоки), /(х,Г) - плотность распределения источников (стоков) тепла

Для уравнения (1) ставятся краевые задачи требуется найти непрерывное на отрезке решение уравнения (1) удовлетворяющее на концах отрезка одному из граничных условий

а) для первой краевой задачи задана граничная температура

ы(0,0 = «,(0, и(1,0 = и2(0,

б) для второй краевой задачи на границе задан тепловой поток

ох ох

в) для третьей краевой задачи на границе происходит теплообмен по закону Ньютона с внешней средой, имеющей температуру ¡л{{)

А^о, х = о, (2)

ох

_Яа,/)Мг0=^2(0к(1,0-^(0, — 0» х -1 (3)

ох

Кроме граничных условий задаются начальные условия - распространение температуры в массиве горных пород в начальный момент времени

и(х,0) = и0(х), 0 < х < 1

Анализу и разработке методов решения краевых задач уравнения теплопроводности посвящены работы А А Самарского, А Н Тихонова, А В Лыкова, И А Павлова и др

В настоящее время для решения краевых задач уравнения теплопроводности используются как аналитические, так и численные методы Большинство аналитических решений позволяет получить распределение температуры в однородной среде Процессы теплообмена в сложных средах моделируются, как правило, численными методами, наибольшее распространение среди которых получили метод конечных разностей и метод конечных элементов

Среди аналитических методов, наиболее часто используемых в практике горной теплофизики, выделяют следующие классические методы (метод разделения переменных, метод источников), методы интегральных преобразований с конечными и бесконечными пределами интегрирования (преобразования Лапласа, Фурье, Ханксля и др), методы, использующие понятие термического слоя (интегральный метод теплового баланса, метод Швеца и др), вариационные методы

Среди методов построения разностных схем наибольшее распространение получили следующие методы непосредственная формальная аппроксима-

ция, интегро-интерполяционный метод (ИИМ), вариационно-разностные методы (метод Ритца и Галеркина) метод аппроксимации квадратичного функционала, метод сумматорных тождеств (метод аппроксимации интегрального тождества)

Унифицированным методом приближенного решения дифференциальных уравнении, применимым для широкого класса уравнений математической физики, является метод конечных разностей (или метод сеток) Он используется, когда решение краевой задачи в аналитической форме представить очень трудно или вообще не возможно Результаты моделирования при помощи метода конечных разностей имеют хорошую сходимость с экспериментальными данными Еще одним достоинством данного метода является простота его реализации и универсальность получаемых программ

Развитие вычислительной техники делает нецелесообразным использование разностных схем и программ, предназначенных лишь для решения отдельных задач частного вида Необходимо иметь разностные схемы и программы позволяющие решать классы задач В них должна присутствовать возможность выбора типа дифференциального уравнения, класса краевых и начальных условий, а также функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты дифференциального уравнения и условий Таким свойствам удовлетворяют однородные разностные схемы, которые позволяют решать уравнение теплопроводности с разрывными коэффициентами по одним и тем же формулам без явного выделения точек и линий разрыва коэффициентов

В методе конечных разностей осуществляется переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели При таком переходе должны сохраняться основные свойства физического процесса, прежде всего законы сохранения (тепла, массы, энергии и т д) Разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения, называют консервативными Для получения консервативных разностных схем исходят из уравнений баланса, записанных для элементарных ячеек сеточной области Входящие в уравнения интегралы и производные заменяют приближенными разностными выражениями (такой метод получения разностных схем известен как интегро-ингерполяционный метод или метод баланса) Хотя при решении задач в разработанной программе присутствует возможность выбирать тип разностной схемы, рекомендуется использовать консервативные разностные схемы на неравномерных сетках, полученные методом баланса После апробации на достаточно большом фактическом материале выявлено, что при прочих равных условиях результаты расчета по таким схемам по сравнению с другими схемами имеют меньшую погрешность расхождения с экспериментальными данными

В результате проведенного анализа для моделирования процессов теплообмена в горных породах были выбраны однородные консервативные разностные схемы

Анализу и разработке подходов к построению консервативных разностных схем посвящены работы А А Самарского, С К Годунова, Лакса и Венд-рофа, Г И Марчука, Н Н Яненко, О А Ладыженской, А. А Дородницына, ОМ Белоцерковского, П И Чушкина, Фромма, Кроули, В Ф К^ропатенко,

А П Валиуллина, Митчелла, Е А Волкова, В В Шайдурова и др

Методы построения разностных схем для уравнений эллиптического и параболического типов в классе разрывных коэффициентов разработаны на основе иптегро-интерполяционного метода А H Тихоновым, А А Самарским и ДР

В диссертации проведен анализ программного обеспечения (ПО), используемого для расчета распространения тепла в горных породах Основную часть существующего ПО можно подразделить на два типа программные пакеты, позволяющие решать аналитически или численно некоторые классы краевых задач для уравнения теплопроводности, и программы, написанные для решения конкретных уникальных задач

В диссертации рассмотрены следующие программные пакеты. MATLAB. MAPLE, MATHEMATICA, модуль «HSTAR - тепловой расчет» из пакета COSMOS/M Structural Несмотря на достаточно широкие возможности представленных пакетов, ограничения, имеющиеся при вводе исходных данных, и погрешности используемых методов не всегда позволяют подучить требуемую точность сходимости расчетных и экспериментальных данных

Программы второго типа, как правило, ориентированы на решение конкретных уникальных задач В силу многообразия процессов, протекающих в горных породах, учитываемых в данных программах, не существует их единой классификации При вводе исходных данных такие программы позволяют изменять лишь ограниченное количество параметров, входящих в математическую модель

Таким образом, приходится констатировать, что разработка и совершенствование программ и методов, позволяющих решать широкий класс краевых задач уравнения теплопроводности (предоставляющих возможность выбора класса краевых условий, функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты уравнения и условий), остается актуальной задачей В настоящей работе предлагаются некоторые подходы к разработке и совершенствованию таких программ и методов

Во второй главе предлагается математическая модель, описывающая процесс теплообмена в горных породах при элеироосмотической фильтрации, и однородная консервативная разностная схема на неравномерных сетках для одномерного уравнения теплопроводности общего вида с переменными коэффициентами, а также разностные условия для краевых условий третьего рода данного уравнения Проведено исследование устойчивости полученной разностной схемы

Для управления теплообменом в поверхностном слое горных пород с помощью электроосмотической фильтрации предлагается следующая схема В массиве горных пород имеются поверхностные и погруженные горизонтальные электроды (рис 1) Когда поверхностные электроды являются анодами, а погруженные катодами, нагретая в верхних слоях поровая влага под действием электроосмотических сил перемещается вниз, нагревая более холодные слои После смены полярности электродов в тага поступает в верхние слои и нагревается в них (рис 2) Затем цикл повторяется Для снижения затрат на испарение

и излучение поверхность может быть покрыта светопрозрачной пленкой

Рис 1 Схема для расчета теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации

1 - атмосфера, 2 - воздух, 3 - горные породы в области электроосмоса, 4 - горные породы в естественном состоянии, 5 - светопро-зрачная пленка, 6 - электроды

Катод (-)

И-V-

Рис 2

Катод (-'

пппг

Анод (+)

—V-

Теплообмен во влажных горных породах является сложным термодинамическим процессом, протекающим в неоднородной капиллярно-пористой среде Задача о протекании этого процесса является одной из наиболее сложных задач математической физики Основная трудность решения указанной задачи заключается в необходимости учета неоднородности массива горных пород, изменения агрегатного состояния и теплофизических характеристик среды, взаимной зависимости многих параметров Предлагаегся, не искажая общей физической сущности процессов, в качестве математической модели теплообмена в горных породах при электроосмосе использовать уравнение теплопроводности общего вида, коэффициенты которого учитывают выделение и перс-нос тепла за счет электроосмотической фильтрации

с[х,

.дТ

dt дх\ ох J ох

где T = T(x,t) - температура, град, c(x,t) - объемная теплоемкость породы, Вт с!{иг град), Ä(x,i)- коэффициент теплопроводности породы, Вт/(и град), св - объемная теплоемкость воды, равная 4,187x10° Вт с Км2 град), Qe - скорость фильтрации под действием гравитации и электроосмоса м/с, qv(x,t) - удельная плотность тепловыделения за счет внутренних равномерно распределенных источников (джоулево тепло), Вт/м3

Если иоровая влага под действием электроосмотических сил перемещается вниз, то Q„(x,t) вычисляется по формуле

0,(х о = кф+к,ии,

где Кф- коэффициент фильтрации пород, м/с, К1 - коэффициент электроосмоса пород, м2/{с в), и - напряжение на электродах, В, I - расстояние между электродами, м

Если порозая влага под действием электроосмотических сил перемещается вверх, то 0в(х,0 вычисляется по формуле £)в{х,1) = Кф + К31]/1 В области

без электроосмоса и в случае подачи переменного тока Ой(х,/) = Кф Джоулево тепло <7„(х,/) вычисляется по формулам

ду(х,1) = (и/Ь)2 (1/рэ), либо 9у=Л//V, где и - напряжение на электродах, Б, J - сила тока, А, Ь - расстояние между электродами, м, V - объем горных пород в области электроосмоса, аг , рэ - удельное электрическое сопротивление горных пород, Ом м

Предлагаемая математическая модель учитывает следующие группы свойств горных пород гранулометрический состав, плотностные свойства, водно-физические свойства, коэффициенты фильтрации и электроосмоса, теп-лофизические свойства, электрические свойства Параметры математической модели определялись в лабораторных условиях или рассчитывались с помощью соответствующих формул

Для одномерного уравнения теплопроводности общего вида с переменными коэффициентами (1) получена однородная консервативная разностная схема с параметром на неравномерных сетках

К

К

п,

!,+1

1 '+• 1 к к,

1+1

д;-'*1 - д>-'+1 - и'

+ яГо,5 (0ГГ, >,-1 (4)

к к.

где т - шаг по времени, к - шаг по пространству, 6/+0'5 Я/"0,5 = =Ф„0, ( = 1 + 7/2 или (= , А=л,

■= - > = +о,5 - ^-0,5 = 0.5 X + /г(+1)

Величины Ь, g, (1 к <р должны вычисляться при помощи одного и того же шаблонного функционала Например, если с(а,г), г{х,г), ц(хл) и ./(х,0 непрерывные функции, то можно использовать следующие формулы й(*„0 = с(х„0, £(х,,0 = г(г,,.:), а(х:,0 = д(хп0, ^ = /(х,,7) или <р{ = 0,5(/(*,.';) + /(*,,<;+,)) Ести с(х,0, и Дх,?) разрывны в

узле х = х, можно использовать ¿(х,,?) = 0,5(с(л, - 0,0 + с(х, + 0,?)).

Разностная схема (4) имеет первый порядок аппроксимации по пространству и времени

Рассмотрим третью краевую задачу для уравнения (1), когда все коэффициенты, входящие в уравнение, зависят от времени и пространства

Для краевых условий (2) и (3) получены разностные краевые условия (5) и (6), имеющие второй порядок аппроксимации по времени и пространству

V К К )

(лГ'5 + о М+0'5)

V

= (/Г0-5 + ){оу>* + (1-сг Ы )+

т

(5)

+= (6)

V К К )

= (/?Г0'5 + 0,5МГ'5)(^+1 + а - <тк)+ 0,5 ¿Л,4+0'5^-^¿-¿г °'5,

X

где /7/+05 =^/+0'5 +0,5/г0/0'/+0'5, 5 = + 0,5/гу^+0'5, ст - параметр, входящий в схему (4)

Третья глава содержит описание функциональных возможностей и особенностей реализации разработанного программного обеспечения для моделирования процессов теплообмена в горных породах

Одной из проблем использования метода конечных разностей является то, что при изменении функций, которые входят в уравнения, граничные и начальные условия, приходится заново переписывать значительную часть кода программы Это приводит к временным затратам, а также к неизбежному внесению в программу новых ошибок Разработанная программа позволяет обойти указанную проблему Идея, которая лежит в ее основе, заключается в следующем Метод конечных разностей реализуется для постановки задачи в самом общем виде, без подстановки конкретных значений коэффициентов Например, для уравнения (1) в тексте программы будут использоваться функции с(х, Л(х.1), г(х,!), ц{\ I), /(х,е) без конкретизации того, что они могут вычисляться по каким-либо формулам или быть дискретными функциями Их значения формируются на этапе ввода данных При этом предусматривается, что функции могут являться

1) константами,

2) вычислимыми выражениями,

3) одномерными и двумерными дискретными функциями, определенными на временных и пространственных сетках, и принимающими в узлах сеток числовые значения,

4) дискретные функции, значения которых в узлах сетки являются вычислимыми выражениями (комбинированная зависимость) (рис 3)

Перед расчетом все вычислимые выражения представляются в постфиксной форме и вычисляются, а все дискретные функции приводятся к единым сеткам по времени и пространству При этом можно осуществлять выбор способа вычисления значения дискретной функции в новых узлах сетки (аппрок-

Ввод н реДлкщюминЁ

ПГ* и/1

0Й1ве!8дачияо!1арач;!фе|'ДрВ!1(1И!В<(«1>«1^ зависимость

■ЭакнсИт от вреыгни

зашвитзал;-

. .23.04 гои 12. заш-

1У*КЛ1Л.

8 семи и сеьундааиТгпг

теплсемкт^ь спалгта гэрньл порсдУСс Мн-врагьлвя плотность гср**ык гсорвдЛ:'е*а Ггу^ннй/И

Рис. 3. Форма для ввода функций, имеющих комбинированную зависимость

При реализации программы используется объектно-ориентированный подход. Разработаны библиотека базовых классов, универсальные механизмы взаимодействия элементов системы и ряд алгоритмов. С целью совершенство-пани я взаимодействия между отдельными частями программы разработана система классов-менеджеров. Основные классы программы я связи между ними приведены в табл. 1 и на рис. 4. рис. 5. Результаты проектирования (диаграммы Вариантов Использования, диаграммы Взаимодействия и диаграммы Классов) представлены с помощью унифицированного языка моделирования ЦМЬ.

симация, интерполяция и др.). Таким образом, осуществляется разграничение постановки задачи и реализации ее решения.

Аналитическая функция Комбинированная зависимость |

-1

Параметр -конст анта

ч>

Параметр

Ж

Двумерная дискретная функция

Одномерная дискретная функция

I

Сетка

Дискретная функция от времени Дискретная числовая функция

Рис. 4. Диаграмма классов для параметров (связи между классами)

Таблица 1

Основные классы програлшы, классы-сущности_

№ Название класса Описание

1 ТРагате1ег Класс параметр (абстрактный)

2 ТРагате(егСопз1 Класс параметр-константа

3 ТРагате(ег018сге1е Класс одномерная дискретная функция (абстрактный)

4 ТРагате1егКа1а Класс одномерная дискретная функция, определенная на сетке по времени и принимающая в узлах сетки числовые значения

5 ТРагате1ег8расе Класс одномерная дискретная функция, определенная на числовой сетке и принимающая в узлах сетки числовые значения

6 Трагате1егКа1а8расе Класс двумерная дискретная функция, определенная на числовых сетках и сетках по времени, принимающая в узчах сетки числовые значения

7 ТРагапШегЕхргеззюп Класс аналитическая функция (вычислимое выражение)

8 ТРагат1ЧегМ1хес1 Класс дискретная функция, значения которой в узлах сетки являются вычислимыми выражениями (комбинированная зависимость)

9 ТТлзЮГРагатмегь Класс список параметров

10 ТОЙ Класс одномерная сетка (абстрактный)

И "ШеЙСак Класс одномерная сетка по времени

12 ТШЗрасе Класс одномерная числовая сетка

13 ТВоогс1егСопс1топ Класс граничное условие

14 ТРгоЫет Класс задача

15 ТСгарЬк Класс график

16 ТЬ15Ю('ОгарЬлк5 Класс список графиков

17 ТСоогс11па1еР1апе Свойства координатной плоскости

Рис 5 Диаграмма классов для задач (связи между классами)

Программное обеспечение состоит из трех подсистем подсистема для постановки задачи, подсистема для вычисления температурного поля, подсистема для обработки результатов

При «Постановке задачи» предоставляются следующие возможности ввод сеток для расчета по времени и пространству, ввод начальных условий, ввод граничных условий, ввод обязательных функций, входящих в основное уравнение, формирование дополнительного списка функций Предусмотрен

ввод граничных условий трех видов - первого, второго и третьего рода К обязательным функциям, входящим в основное уравнение относятся: коэффициент теплоемкости, коэффициент теплопроводности; функция при первой производной по пространству (для уравнен и я общего вида); функция из правой части основного уравнения

Для удобства работы с функциями л ред оставляется возможность формировать из них списки (рис. 6). Для работы со списками функций и узлами сеток предусмотрены все стандартные операции для работы со списками (добавление элемента в список, удаление, поиск, выбор и т.п.).

[л^ Синеок пар^ме^рии

■ I

, 3 ХврветврМСп*и гр^а ЙЛЙЖНЫЙГрртТ * ЯШВЩ Харкгерисгмкк воды Харвсгерно .-ли плвник Злягтрнчя-:» ив ив&й<тедисги<н ■• Константы Мвтвогирл^ет зь< Л -I-1----е—!--—13.в.............;3 У 5ла"осзагртФ">Е гррт-аМС П Коэффициент фнльтрацниЛУ у! ПооисгосгоЛ* Я Удвгьчсж л -ЛПСУТО*!***« гр^нтл/Изд

Всгюиь : Умлйгь ЛсддпцЯыйв )' Яаяают. зддма | Ддймиь .Вьфгъвд Оят

1

1

Рис. 6. Форма зля работы со списком параметров

«**1)вой сегкй по «р^Чггнн

г з. о 1 гонг шода ягзмишгт адез V: гз.с4 яюг о в 5№ й гз ¡и гсог пял за ч гз.м гж ¡¡з эо;М йгз и гоогюшп йгзмгюгтзояо йгзмвгагн'омо упмгезггзв-го

■^гТоТЯигшо йгзошомг« са .■>гзоч гонг 1553 ой нзлшвгпвди йгэ.м2Ий1тга :«гз ашишаю и(г:.ач гезг: 3:50:511 «ягзм мог шало я ЕЗ-0" гаогн-эйк взддашшоа ягэ.и.гш-«:зэ м

К :

■ /иге п

Используются одномерные числовые сетки и сетки по времени (рис.7).

Сведения о задаче, граничных условиях, функциях, списках функций и сетках можно сохранять и открывать из файлов

При вычислении температурного поля вначале определяется вид основного уравнения (простое уравнение теплопроводности или уравнение теплопроводности общего вида). Вид уравнения определяется на основе анализа входящих в него функций. Для вычисления температурного поля используется метод конечных разностей, реализовано несколько видов разностных схем. Можно осуществлять выбор, по каким схемам производить вычисление, 7. Форма для работы с сетками ния. Подсистема «Обработка результатов» позволяет проводить статиетиче-

' :рдит и-,'^-.*. р , л- -- чи^

1

Зт**^, чащ .:'.'>

ский анализ полученных результатов, вычислять погрешности и строить графики (рис 8)

Программа написана на языке Object Pascal (в среде программирования

Время, час

Рис 8 Пример сравнения результатов вычислений и экспериментальных данных (точки - значения экспериментальных данных, сплошная линия - результаты вычислении)

Четвертая глава посвящена экспериментальному обоснованию предлагаемой математической модели теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации

Экспериментальное исследование теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации было проведено с помощью специальной лабораторной установки (рис 9), позволяющей проводить послойные измерения температуры горных пород

При проведении экспериментов применяли следующие технические приемы управления теплообменом и электроосмотической фильтрацией

1) наличие или отсутствие на поверхности горных пород свегопрозрачной птенки,

2) нагрев поверхности горных пород инфралампой или е! о отсутствие,

3) подача напряжения без смены полярности электродов,

4) подача напряжения со сменой полярности электродов,

5) отсутствие напряжения на электродах,

6) комбинации вышеперечисленных приемов

Всего было проведено 32 опыта Во всех опытах проводились измерения начального распредетения температуры по гиубине и периодические измерения температуры во время выполнения опыта Кроме этого в опытах с подачей на сетки-электроды напряжения периодически измерялись напряжение, сила тока

и термоэдс тепломеров Для всех опытов построены графики и таблицы с характерными температурными потами (рис 10)

2 Рис 9 Лабораторная установка для изучения теплообмена в горных породах при электроосмотической фильфации 1 - источник тепла, 2 - балан-сомер, 3 - светопрозрачная пленка, 4, 5 - верхняя и нижняя металлические сетки-электроды, 6 - источник постоянного тока, 7 - водонепроницаемая оболочка, 8 - теплоизолятор, 9 - корпус установки, 10 - на глубине от 0 до 0,2 м смесь глины с песком, 11 - на глубине от 0,2 до 0,6 м песчаная горная порода, 12 - элекгрогепломеры на глубине 0,05 и 0,3 м, 13 - электротермометры для измерения температуры горных пород, 14 - вентили, 15 - резиновый шланг, 16 -трубки, 17 - уровень подземных вод

При сравнении температурных полей в период нагрева горных пород выявлены следующие закономерности

1 Самая высокая интенсивность нагрева горных пород отмечается при подаче напряжения на электроды по схеме СВ- СВ+ (рис 10) (здесь и далее принято СВ - верхняя сетка-электрод, СН - нижняя сетка-электрод, сетка со знаком «+» выполняет роль анода, со знаком «-» - катода) Данная закономерность наблюдается как в опытах без смены полярности электродов, так и со сменой полярности

2 Значения разности температур в опытах с подачей на электроды переменного тока находятся между значениями для опытов без смены полярности электродов и с подачей тока по схемам СВ- СН+ и СВ+ СН-

3 Наименее интенсивно процесс нагрева горных пород проходит в опытах без подачи напряжения на электроды

При сравнении температурных полей в период охлаждения горных пород выявлены следующие закономерности

1 После отключения всех источников энергии охлаждение в период наблюдения отмечалось только в области от 0 до 0,15 м

2 В области от 0,2 до 0,5 м отмечалось увеличение температуры горных пород в пределах от 0 до 3 0 С

3 Также выделяются опыты с подачей напряжения по схеме СВ- СН+ Интенсивкость охлаждения в этих опытах меньше, чем в других, а интенсивность нагрева выше

0 10 0 20 0 30 1 00 —л— св- сн+ —

---СВ+ СП- СВ- СН+ -

1 30 2 00 2 30 3 00 3 30 4 00 Время, час

— св4- сн- .....св- сн+ св+ сн-

— переменный ток —О— без напряжения

Рис 10 Изменение температурного поля горных пород под воздействием переменного и постоянного тока

Приведенные закономерности наблюдаются на всех глубинах, в опытах с применением свегопрозрачной пленки и без пленки

Выявленные закономерности объясняются тем, что при подаче на электроды напряжения по схеме СВ+ СН- влага под действием электроосмотических сил перемещается вниз Уменьшение влажности поверхностного слоя приводит к уменьшению теплопроводности горных пород в зоне электроосмоса и как следствие снижению интенсивности нагрева пород В наибольшей степени эго явление проявляется в опытах без пленки Это объясняется тем, что в этом случае происходит дополнительное осушение поверхностного слоя горных пород, за счет испарения влаги, которое в опытах с подачей напряжения на электроды выше, чем в опытах без подачи напряжения, за счет дополнительного нагрева горных пород Джоулевым теплом

Таким образом, из анализа экспериментальных данных следует, чго определяющим фактором, оказывающим влияние на температурное поле при электроосмотической фильтрации, является изменение влажности горных пород под действием электроосмотических сил

Было проведено сравнение данных, полученных экспериментально, и результатов вычислений, проведенных согласно предложенной математической модели при помощи потученной разностной схемы (4) Сравнение результатов вычислений и экспериментальных данных показывает, что предложенная модель достаточно точно описывает рассматриваемый процесс Максимальное расхождение между экспериментальными данными и результатами вычислений не превышает 10 %

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

В результате выполненных исследований решена научно-техническая задача по управлению процессами теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации на основе математического и компьютерного моделирования, Ихмеющая существенное значение для горной теплофизики

Выполненные исследования позволили получить следующие основные результаты

1 Разработана математическая модель, адекватно описывающая процесс теплообмена при электроосмотической фильтрации, в виде уравнения теплопроводности общего вида, коэффициенты которого учитывают выделение и перенос тепла за счет электроосмотической фильтрации (для случая горизонтально расположенных сеток-электродов)

2 Получена однородная консервативная разностная схема на неравномерных сетках для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности общего вида с переменными коэффициентами, а также разностные условия для краевых условий данного уравнения Показана устойчивость полученной разностной схемы Разностная схема имеет первый порядок аппроксимации по пространству и времени Разностные краевые условия имеют второй порядок аппроксимации по времени и пространству

3 Разработана и внедрена программа, позволяющая решать широкий круг краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности и предоставляющая возможность выбора класса краевых условий, функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты уравнения и условий Разработана архитектура программы базовые классы, алгоритмы и механизмы взаимодействия между элементами программы

4 Выполнено экспериментальное обоснование разработанной математической модели теплообмена на примере целенаправленного управления процессами теплообмена при электроосмотической фильтрации в горных породах С этой целью- разработана экспериментальная лабораторная установка для исследования эффективности управления теплообменом в горных породах при различных режимах электроосмотической фильтрации,

- разработана методика проведения экспериментов, включающая в себя оценку общефизических, теплофизических и фильтрационных характеристик горных пород, измерение напряженности электрического поля и силы тока, температуры горных пород и тепловых потоков по глубине в зависимости от характера и условий теплообмена на поверхности и в области электроосмоса, определение коэффициентов фильтрации и электроосмоса,

- выполнены экспериментальные исследования теплообмена горных пород при электроосмотической фильтрации и различных способах управления теплообменом солнечно-радиационного нагревания поверхности пород,

- установлены характерные зависимости темперагурных полей на поверхности пород и массиве от способов управления теплообменом и режимов электроосмотической фильтрации, позволяющие обосновывать параметры ма-

тематической модели

5 Проведены расчеты на основе созданной математической модели теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации для условий, в которых проводились лабораторные эксперименты Хорошая сходимость результатов вычислений и экспериментальных данных (максимальная погрешность не превышает 10 %) указывает на обоснованность предложенной математической модели, использованных численных методов и подходов к разработке программ

6 Из анализа экспериментальных данных следует, что определяющим фактором, оказывающим влияние на температурное поле при электроосмотической фильтрации, является изменение влажности горных пород под действием электроосмотических сил Самая высокая интенсивность нагрева горных пород отмечается в опытах с пленкой при перемещении поровой влаги вверх, когда влажность горных пород максимальна (напряжение на электродах по схеме СВ- СН+ верхняя сетка-электрод выполняет роль катода, нижняя се гка-электрод - анода)

Основные положения диссертации опубликованы в работах:

1 Валова О В Экспериментальное исследование процессов теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации // Вестник ИрГТУ -Иркутск ИрГТУ, 2006 - № 4 (28) - Ч II - С 28 - 30

2 Валова О В Консервативная разностная схема для решения краевых задач уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами // Современные технологии Системный анализ Моделирование - Иркутск ИрГУПС -2005 -№ 4(8) - С 10-17

3 Валова О В Математическая модель задачи тепло-массообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации // Современные технологии. Системный анализ Моделирование - Иркутск ИрГУПС - 2006 № 1 (9) -С 70-76

4 Валова О В , Рашкин А В Расчет теплового режима при оттаивании горных пород // ВестникЧитГУ -Чита ЧитГУ, 2004 -Вып 36 - С 57-58

5 Валова О В Однородные консервативные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами // Вестник ЧитГУ -Чита ЧитГУ, 2004 - Вып 36 - С 68-73

6 Валова О В О некоторых особенностях моделирования процессов теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации // Труды XI международной конференции «Информационные и математические технологии в научных исследованиях» - Иркутск ИСЭМ СО РАН, 2006 - Ч II - С 114120

7 Валова О В Экспериментальное исследование тепломассообмена при оттаивании мерзлых горных пород солнечной радиацией // Материалы третьей научно-технической конференции Горного института - Чита ЧитГТУ, 2000 -Ч II - С 156-158

8 Рашкин А В , Валова О В Численное решение задачи теплопередачи

на основе электроосмотической фильтрации // Региональная конференция «Проблемы освоения и рационального использования природных ресурсов Забайкалья» - Чита ЧитГТУ, 2000 -С 56-59

9. Валова О В Моделирование процессов теплообмена в горных породах // Межрегиональная научно-практическая конференция «Энергетика в современном мире» -Чита ЧитГТУ, 2001 - С 168-169

10 Валова О В , Белицкая О А Компьютерное моделирование процессов теплообмена // Материалы XXIX научно-технической конференции ЧитГТУ - Чита ЧитГТУ, 2002 - Ч II - С. 83 - 85

11 Валова О В Разработка программного обеспечения для исследования теплообмена протаивающих горных пород // Материалы четвертой научно-технической конференции Горного института - Чита ЧитГТУ, 2003 -43-С 40-43

12 Валова О В Организация входных данных при решении краевых задач для уравнения теплопроводности методом конечных разностей // Материалы третьей межрегиональной научно-практической конференции «Технические науки, технологии и экономика» -Чита ЧитГУ, 2003 - С 9-13

13 Валова О В Компьютерное моделирование процессов теплообмена в горных породах с использованием однородных консервативных разностных схем // Материалы VII международной молодежной научно-практической конференции «Молодежь Забайкалья' творчество и прогресс» - Чита ЧитГУ,

2004 -Ч III - С 66-68

14 Валова О В Разностные схемы для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами // Всероссийская научно-практическая конференция «Проблемы прикладной математики» -Чита ЗабГПУ, 2004 - С 9-10

15 Валова О В Разностные схемы для параболических уравнений общего вида // Всероссийская научно-практическая конференция «Проблемы прикладной математики» - Чита ЗабГПУ, 2004 - С 8 - 9

16 Валова О В Подсистема ввода данных при моделировании процессов теплообмена в горных породах // Материалы IV Межрегиональной научно-практической конференции «Кулагинские чтения» - Чита ЧитГУ, 2004 -Ч II -С 7-9

17. Валова О В Моделирование процессов теплообмена в горных породах в условиях электроосмотической фильтрации // Материалы V Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения» - Чита ЧитГУ,

2005 - Ч IV - С 24 - 25

18 Валова О В Использование численных методов для прогноза теплового режима горных пород при электроосмотической фильтрации // Материалы III Всероссийской научно-практической конференции «Энергетика в современном мире» - Чита ЧитГУ, 2006 - С 202 - 206

19 Свидетельство об официальной регистрации программы «Vishnu2004» для ЭВМ, № 2005610608 от 11 03 2005, г Москва

Подписано в печать 12 04 2007 г Формат 60х84'/16 Бумага офсетная Печать трафаретная Гарнитура "Times New Roman" Уел-печ л 1,4

Отпечатано в Глазковской типографи и г Иркутск ул Гоголя,53 Тел 38-78-40 Заказ 428 Тирах 120 экз

Введение.

Глава 1. Обзор моделей и методов моделирования процессов теплообмена при электроосмотической фильтрации.

1.1. Математические модели тепломассопереноса в горных породах при электроосмотической фильтрации.

1.2. Методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности

1.2.1. Аналитические методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности.

1.2.2. Численные методы решения краевых задач для уравнения теплопроводности. Метод конечных разностей.

1.3. Подходы к разработке программного обеспечения для решения уравнений с частными производными.

1.4. Цель и задачи диссертационной работы.

Глава 2. Математическая модель и численная методика моделирования задачи теплообмена при электроосмотической фильтрации.

2.1. Математическая модель теплообмена при электроосмотической фильтрации.

2.2. Применение метода конечных разностей при моделировании процессов теплообмена.

2.2.1. Основные понятия теории разностных схем.

2.2.2. Консервативная разностная схема для нестационарного одномерного уравнения теплопроводности общего вида с переменными коэффициентами.

2.2.3. Разностные краевые условия третьего рода.

2.2.4. Устойчивость разностной схемы.

2.3. Выводы.

Глава 3. Компьютерное моделирование процессов теплообмена.

3.1. Программная реализация.

3.2. Базовые классы программы.

3.3. Основные алгоритмы и модульная структура программы.

3.4. Функциональные возможности программы.

3.5. Сравнение результатов вычислений и экспериментальных 119 данных.

3.6. Выводы.

Глава 4. Экспериментальное исследование процессов теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации. 122 4.1. Экспериментальная лабораторная установка для изучения теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации.

4.2. Методика проведения экспериментов.

4.3. Анализ экспериментальных данных.

4.4. Выводы.

Актуальность темы исследований. Добыча полезных ископаемых является одной из важнейших отраслей промышленности России. Однако значительная часть месторождений полезных ископаемых Сибири и Дальнего Востока находится в криолитозоне с обширным распространением многолетнемерз-лых и сезоннопромерзающих горных пород. Разработка таких месторождений проводится с применением специальных способов подготовки: оттаивания мерзлых пород и предохранения талых пород от промерзания.

Одним из способов, позволяющих интенсифицировать процессы теплообмена в горных породах, является электроосмотический. Хотя явление электроосмоса известно давно (оно применяется для борьбы с пучением, при закреплении илистого грунта, осушении грунтов), тем не менее его изученность все еще не достаточна. Предлагается использовать данный способ для целенаправленного управления теплообменом в горных породах и фильтрацией воды как теплоносителя. Исследование перспектив использования электроосмоса с этой целью является актуальной задачей.

Прогнозирование эффективности применения способов предварительной подготовки пород в конкретных условиях является актуальной научно-технической задачей при разработке месторождений. Наряду с натурными экспериментами и полупромышленными испытаниями для прогнозирования эффективности используется вычислительный эксперимент. В этом случае разрабатывается математическая модель, описывающая соответствующие процессы теплообмена, и решение поставленной задачи реализуется с помощью средств вычислительной математики и компьютерных технологий. Необходимо, чтобы результаты вычислений согласно математической модели согласовывались с физическим экспериментом, и одновременно математическая модель должна быть достаточно простой для практического использования.

Развитие вычислительной техники делает нецелесообразным использование методов и программ, предназначенных лишь для решения отдельных задач частного вида. Необходимо иметь методы и программы, позволяющие решать классы задач, предоставляя возможность выбора типа уравнения, класса краевых условий, а также функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты уравнения и условий.

В первой главе проведен анализ существующих математических моделей тепломассопереноса в горных породах при электроосмотической фильтрации, методов решения краевых задач для уравнения теплопроводности и анализ программного обеспечения для расчета распространения тепла в твердых телах.

Электроосмотическая фильтрация основана на следующих явлениях. Неравенство зарядов анионов и катионов в поровом растворе горных пород приводит к тому, что раствор под влиянием внешнего электрического поля перемещается, создавая непрерывный электроосмотический поток. Неравенство зарядов в основном обуславливается свойствами солей, растворенных в поровой влаге.

При электроосмотической фильтрации одновременно с переносом влаги в дисперсной среде под действием постоянного электрического поля происходит перенос тепла и электрического заряда. Перенос влаги обусловлен совокупным действием электроосмотической, диффузионной и термодиффузионной сил. Перенос тепла осуществляется как путем кондуктивной теплопроводности, так и за счет конвективного переноса жидкостью. Перенос заряда происходит путем ионной проводимости и за счет конвективного переноса зарядов жидкостью.

Явление электроосмоса было открыто в 1808 году профессором Московского университета Ф. Ф. Рейсом. В начале 50-х годов 19 века были проведены более детальные исследования этого явления. Существенный вклад в разработку теории электроосмоса внесли Г. Гельмгольц, Перрен и Смолуховский. Развитию теории электроосмоса и его применению посвятили свои работы следующие ученые Н. М. Бурдак, Б. П. Горбунов, В. П. Дущенко, В. А. Козлов, Л.И. Курденков, Г. М. Ломидзе, С. В. Нерпин, А. Ф. Чудновский, А. В. Нетушил, А. В. Рашкин, А. Т. Соколовский, Casagrande L., Gray Donald Н.,

Franceschini Alfonso и др.

Явление электроосмоса применяется для борьбы с пучением (авт. свид. Ю.Г. Куликов №160680, кл. 84 С, 3/10), при закреплении илистого грунта (авт. свид. П. Н. Ерофеев, А. И. Котов, Я. Я. Мотузов, № 237710, кл. 84 С, 3/10), осушении грунтов [Справочник по инженерной геологии./п.р. М. В. Чуринова].

Аналитические модели, описывающие тепломассоперенос в горных породах при электроосмотической фильтрации (Н. М. Бурдак, С. В. Нерпин, А.Ф.Чудновский и др.), не позволяют учитывать неоднородность массива горных пород. Предлагаются математические модели, описывающие рассматриваемый процесс с помощью системы дифференциальных уравнений, которая учитывает изменение температуры, электрического поля и массоперенос (А.ВЛыков, В. П. Дущенко и др.). Однако, недостаточная изученность электро-влаго- теплопроводных свойств горных пород, а также присутствие в этой системе трудноизмеримых параметров ограничивают ее использование. Кроме этого на настоящий момент нет математической модели описывающей процессы теплообмена в горных породах для горизонтально расположенных электродов.

Процесс распространения тепла на отрезке описывается уравнением теплопроводности (уравнение Фурье). Анализу и разработке методов решения краевых задач уравнения теплопроводности посвящены работы А. А. Самарского, А. Н. Тихонова, А. В. Лыкова, И. А. Павлова и др. В настоящее время для решения краевых задач уравнения теплопроводности используются как аналитические, так и численные методы. Большинство аналитических решений позволяет получить распределение температуры в однородной среде. Процессы теплообмена в сложных средах моделируются, как правило, численными методами, наибольшее распространение среди которых получили метод конечных разностей и метод конечных элементов.

Среди аналитических методов, наиболее часто используемых в практике горной теплофизики, выделяют следующие: классические методы (метод разделения переменных, метод источников); методы интегральных преобразований с конечными и бесконечными пределами интегрирования (преобразования Лапласа, Фурье, Ханкеля и др.); методы, использующие понятие термического слоя (интегральный метод теплового баланса, метод Швеца и др.); вариационные методы.

Среди методов построения разностных схем наибольшее распространение получили следующие методы: непосредственная формальная аппроксимация; интегро-интерполяционный метод (ИИМ); вариационно-разностные методы (метод Ритца и Галеркина); метод аппроксимации квадратичного функционала; метод сумматорных тождеств (метод аппроксимации интегрального тождества).

Унифицированным методом приближенного решения дифференциальных уравнений, применимым для широкого класса уравнений математической физики, является метод конечных разностей (или метод сеток). Он используется, когда решение краевой задачи в аналитической форме представить очень трудно или вообще не возможно. Результаты моделирования при помощи метода конечных разностей имеют хорошую сходимость с экспериментальными данными. Еще одним достоинством данного метода является простота его реализации и универсальность получаемых программ.

Развитие вычислительной техники делает нецелесообразным использование разностных схем и программ, предназначенных лишь для решения отдельных задач частного вида. Необходимо иметь разностные схемы и программы позволяющие решать классы задач. В них должна присутствовать возможность выбора типа дифференциального уравнения, класса краевых и начальных условий, а также функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты дифференциального уравнения и условий. Таким свойствам удовлетворяют однородные разностные схемы, которые позволяют решать уравнение теплопроводности с разрывными коэффициентами по одним и тем же формулам без явного выделения точек и линий разрыва коэффициентов.

В методе конечных разностей осуществляется переход от непрерывной среды к некоторой ее дискретной модели. При таком переходе должны сохраняться основные свойства физического процесса, прежде всего законы сохранения (тепла, массы, энергии и т.д.). Разностные схемы, выражающие на сетке законы сохранения, называют консервативными. Для получения консервативных разностных схем исходят из уравнений баланса, записанных для элементарных ячеек сеточной области. Входящие в уравнения интегралы и производные заменяют приближенными разностными выражениями (такой метод получения разностных схем известен как интегро-интерполяционный метод или метод баланса). В результате проведенного анализа для моделирования процессов теплообмена в горных породах были выбраны однородные консервативные разностные схемы.

Анализу и разработке подходов к построению консервативных разностных схем посвящены работы А. А. Самарского, С. К. Годунова, Лакса и Венд-рофа, Г. И. Марчука, Н. Н. Яненко, О. А. Ладыженской, А. А. Дородницына, О.М. Белоцерковского, П. И. Чушкина, Фромма, Кроули, В. Ф. Куропатенко, А.П. Валиуллина, Митчелла, Е. А. Волкова, В. В. Шайдурова и др. Методы построения разностных схем для уравнений эллиптического и параболического типов в классе разрывных коэффициентов разработаны на основе интегро-интерполяционного метода А. Н. Тихоновым, А. А. Самарским и др.

В диссертации проведен анализ программного обеспечения (ПО), используемого для расчета распространения тепла в горных породах. Основную часть существующего ПО можно подразделить на два типа: программные пакеты, позволяющие решать аналитически или численно некоторые классы краевых задач для уравнения теплопроводности, и программы, написанные для решения конкретных уникальных задач.

В диссертации рассмотрены следующие программные пакеты: MATLAB, MAPLE, MATHEMATICA, модуль «HSTAR - тепловой расчет» из пакета COSMOS/M Structural. Несмотря на достаточно широкие возможности представленных пакетов, ограничения, имеющиеся при вводе исходных данных, и погрешности используемых методов не всегда позволяют получить требуемую точность сходимости расчетных и экспериментальных данных.

Программы второго типа, как правило, ориентированы на решение конкретных уникальных задач. В силу многообразия процессов, протекающих в горных породах, учитываемых в данных программах, не существует их единой классификации. При вводе исходных данных такие программы позволяют изменять лишь ограниченное количество параметров, входящих в математическую модель.

Таким образом, приходится констатировать, что разработка и совершенствование программ и методов, позволяющих решать широкий класс краевых задач уравнения теплопроводности (предоставляющих возможность выбора класса краевых условий, функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты уравнения и условий), остается актуальной задачей. В настоящей работе предлагаются некоторые подходы к разработке и совершенствованию таких программ и методов.

Во второй главе предлагается математическая модель, описывающая процесс теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации, и однородная консервативная разностная схема на неравномерных сетках для одномерного уравнения теплопроводности общего вида с переменными коэффициентами, а также разностные условия для краевых условий третьего рода данного уравнения. Проведено исследование устойчивости полученной разностной схемы.

Теплообмен во влажных горных породах является сложным термодинамическим процессом, протекающим в неоднородной капиллярно-пористой среде. Задача о протекании этого процесса является одной из наиболее сложных задач математической физики. Основная трудность решения указанной задачи заключается в необходимости учета неоднородности массива горных пород, изменения агрегатного состояния и теплофизических характеристик среды, взаимной зависимости многих параметров. Предлагается, не искажая общей физической сущности процессов, в качестве математической модели теплообмена в горных породах при электроосмосе использовать уравнение теплопроводности общего вида, которое учитывает выделение и перенос тепла за счет электроосмотической фильтрации. Предлагаемая математическая модель учитывает следующие группы свойств горных пород: гранулометрический состав; плотностные свойства; водно-физические свойства; коэффициенты фильтрации и электроосмоса; теплофизические свойства; электрические свойства. Параметры математической модели определялись в лабораторных условиях или рассчитывались с помощью соответствующих формул.

Получена однородная консервативная разностная схема на неравномерных сетках для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности общего вида с переменными коэффициентами, а также разностные условия третьего рода для данного уравнения. Разностная схема имеет первый порядок аппроксимации по пространству и времени, разностные краевые условия - второй порядок аппроксимации по времени и пространству.

Третья глава содержит описание функциональных возможностей и особенностей реализации разработанного программного обеспечения для решения широкого круга краевых задач одномерного уравнения теплопроводности.

Одной из проблем использования метода конечных разностей является то, что при изменении функций, которые входят в уравнения, граничные и начальные условия, приходится заново переписывать значительную часть кода программы. Это приводит к временным затратам, а так же неизбежному внесению в программу новых ошибок. Разработанная программа позволяет обойти указанную проблему. Идея, которая лежит в ее основе, заключается в том, что метод конечных разностей реализуется для постановки задачи в самом общем виде, без подстановки конкретных значений коэффициентов. Их значения формируются на этапе ввода данных. При этом предусматривается, что коэффициенты могут являться либо константами, либо дискретными функциями, определенными на временных и пространственных сетках, либо вычислимыми выражениями. Перед расчетом все вычислимые выражения представляются в постфиксной форме и вычисляются, а все дискретные функции приводятся к единым сеткам по времени и пространству. При этом можно осуществлять выбор способа вычисления значения дискретной функции в новых узлах сетки аппроксимация, интерполяция и др.). Таким образом, осуществляется разграничение постановки задачи и реализации ее решения.

При реализации программы используется объектно-ориентированный подход. Разработаны библиотека базовых классов, универсальные механизмы взаимодействия элементов системы и ряд алгоритмов. С целью совершенствования взаимодействия между отдельными частями программы разработана система классов-менеджеров. Результаты проектирования (диаграммы Вариантов Использования, диаграммы Взаимодействия и диаграммы Классов) представлены с помощью унифицированного языка моделирования UML.

Для удобства работы с функциями предоставляется возможность формировать из них списки. Для работы со списками функций и узлами сеток предусмотрены все стандартные операции для работы со списками (добавление элемента в список, удаление, поиск, выбор и т.п.). Используются одномерные числовые сетки и сетки по времени. Сведения о задаче, граничных условиях, функциях, списках функций и сетках можно сохранять и открывать из файлов.

При вычислении температурного поля вначале определяется вид основного уравнения (простое уравнение теплопроводности или уравнение теплопроводности общего вида). Вид уравнения определяется на основе анализа входящих в него функций. Для вычисления температурного поля используется метод конечных разностей, реализовано несколько видов разностных схем. Можно осуществлять выбор, по каким схемам производить вычисления.

Подсистема «Обработка результатов» позволяет проводить статистический анализ полученных результатов, вычислять погрешности и строить графики. Программа написана на языке Object Pascal (в среде программирования Delphi).

Четвертая глава посвящена экспериментальному обоснованию предлагаемой математической модели теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации.

Экспериментальное исследование теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации было проведено с помощью специальной лабораторной установки, позволяющей проводить послойные измерения температуры горных пород.

При проведении экспериментов применяли следующие технические приемы управления теплообменом и электроосмотической фильтрацией: наличие или отсутствие на поверхности горных пород свегопрозрачной пленки; нагрев поверхности горных пород инфралампой или его отсутствие; подача напряжения без смены полярности электродов; подача напряжения со сменой полярности электродов; отсутствие напряжения на электродах; комбинации вышеперечисленных приемов.

Всего было проведено 32 опыта. Во всех опытах проводились измерения начального распределения температуры по глубине и периодические измерения температуры во время выполнения опыта. Кроме этого в опытах с подачей на сетки-электроды напряжения периодически измерялись напряжение, сила тока и термоэдс тепломеров. Для всех опытов построены графики и таблицы с характерными температурными полями.

При сравнении температурных полей в период нагрева горных пород выявлены следующие закономерности:

1. Самая высокая интенсивность нагрева горных пород отмечается при подаче напряжения на электроды по схеме СВ- СВ+ (здесь и далее принято: СВ - верхняя сетка-электрод, СН - нижняя сетка-электрод; сетка со знаком «+» выполняет роль анода, со знаком «-» - катода). Данная закономерность наблюдается как в опытах без смены полярности электродов, так и со сменой полярности.

2. Значения разности температур в опытах с подачей на электроды переменного тока находятся между значениями для опытов без смены полярности электродов и с подачей тока по схемам СВ- СН+ и СВ+ СН-.

3. Наименее интенсивно процесс нагрева горных пород проходит в опытах без подачи напряжения на электроды.

При сравнении температурных полей в период охлаждения горных пород выявлены следующие закономерности:

1. После отключения всех источников энергии охлаждение в период наблюдения отмечалось только в области от 0 до 0,15 м.

2. В области от 0,2 до 0,5 м отмечалось увеличение температуры горных пород в пределах от 0 до 3 0 С.

3. Так же выделяются опыты с подачей напряжения по схеме СВ- СН+. Интенсивность охлаждения в этих опытах меньше, чем в других, а интенсивность нагрева выше.

Приведенные закономерности наблюдаются на всех глубинах, в опытах с применением свегопрозрачной пленки и без пленки.

Выявленные закономерности объясняются тем, что при подаче на электроды напряжения по схеме СВ+ СН- влага под действием электроосмотических сил перемещается вниз. Уменьшение влажности поверхностного слоя приводит к уменьшению теплопроводности горных пород в зоне электроосмоса и как следствие снижению интенсивности нагрева пород. В наибольшей степени это явление проявляется в опытах без пленки. Это объясняется тем, что в этом случае происходит дополнительное осушение поверхностного слоя горных пород, за счет испарения влаги, которое в опытах с подачей напряжения на электроды выше, чем в опытах без подачи напряжения, за счет дополнительного нагрева горных пород Джоулевым теплом. Таким образом, из анализа экспериментальных данных следует, что определяющим фактором, оказывающим влияние на температурное поле при электроосмотической фильтрации, является изменение влажности горных пород под действием электроосмотических сил.

Было проведено сравнение данных, полученных экспериментально, и результатов вычислений, проведенных согласно предложенной математической модели при помощи полученной разностной схемы. Сравнение результатов вычислений и экспериментальных данных показывает, что предложенная модель достаточно точно описывает рассматриваемый процесс. Максимальное расхождение между экспериментальными данными и результатами вычислений не превышает 10 %.

Цель диссертационной работы состоит в разработке и обосновании математической модели для решения научно-технической задачи по управлению процессами теплообмена при электроосмотической фильтрации и создании соответствующего программного средства.

В соответствии с целью были поставлены и решены следующие задачи:

1. Разработка математической модели, адекватно описывающей процессы теплообмена при электроосмотической фильтрации.

2. Создание программного средства для решения широкого круга краевых задач одномерного уравнения теплопроводности.

3. Экспериментальное обоснование разработанной математической модели на примере целенаправленного управления процессами теплообмена при электроосмотической фильтрации в горных породах.

Объект исследований: процесс теплообмена при электроосмотической фильтрации.

Предмет исследований: закономерности изменения температуры горных пород при электроосмотической фильтрации.

Методы исследования. Методы исследования основаны на методологии математического моделирования, положениях теории теплопроводности, теории разностных схем, объектно-ориентированной технологии создания программных средств. Для решения поставленных задач используются методы математического моделирования; численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (метод конечных разностей); интегро-интерполяционный метод построения разностных схем; численные методы прикладной математики; методы объектно-ориентированного проектирования и программирования; лабораторные эксперименты.

Достоверность результатов проведенных исследований, содержащихся в работе, определяется корректным использованием математических методов и методов построения математических моделей, проверкой разработанных алгоритмов и программы с помощью эффективных тестовых наборов данных, а также подтверждается хорошей сходимостью результатов вычислений и экспериментальных данных с максимальной погрешностью не превышающей 10 %.

В диссертационной работе впервые получены, составляют предмет научной новизны и выносятся на защиту следующие результаты:

1) математическая модель, адекватно описывающая процесс теплообмена при электроосмотической фильтрации, в виде уравнения теплопроводности общего вида, которое учитывает выделение и перенос тепла за счет электроосмотической фильтрации (для случая горизонтально расположенных сеток-электродов);

2) однородная консервативная разностная схема на неравномерных сетках для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности общего вида с переменными коэффициентами, а также разностные условия третьего рода для данного уравнения;

3) программа, позволяющая решать широкий круг краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности и предоставляющая возможность выбора класса краевых условий, функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты уравнения и условий;

4) методика экспериментального обоснования разработанной математической модели на примере целенаправленного управления процессами теплообмена при электроосмотической фильтрации в горных породах: разработка и изготовление экспериментальной лабораторной установки для изучения процесса теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации, разработка методики проведения экспериментов и выявление основных закономерностей изменения температурного поля в горных породах при электроосмотической фильтрации.

Практическая значимость полученных результатов.

1. Математическая модель теплового режима при электроосмотической фильтрации для случая горизонтально расположенных сеток-электродов предлагается впервые, кроме этого модель учитывает смену полярности электродов. За счет исключения трудноизмеримых малозначимых параметров она позволяет упростить инженерные расчеты, что повышает ее практическую значимость.

2. Предложенная математическая модель может применяться для моделирования процессов теплообмена при электроосмотической фильтрации в горных породах, например, в такой прогрессивной технологии как кучное выщелачивание.

3. Полученная разностная схема и предусмотренная в программе возможность ввода дискретных функций позволяют учитывать изменение свойств горных пород во времени и пространстве (в случае неоднородных областей). Это повышает достоверность получаемых результатов.

4. Предусмотренная в программе возможность использовать в качестве коэффициентов, входящих в уравнение теплопроводности, начальные и граничные условия, аналитических функций позволяет учитывать взаимную зависимость свойств горных пород, формируя выражения для вычисления одних свойств на основе других. Это значительно облегчает ввод данных.

5. Объектно-ориентированный подход позволил создать гибкую архитектуру программы, которую можно легко модифицировать и использовать для решения других задач. Большинство архитектурных решений программы является универсальным (библиотека базовых классов, механизмы взаимодействия между элементами программы, структуры данных и некоторые алгоритмы). Они могут использоваться при разработке программ для решения краевых задач не только уравнения теплопроводности, но и уравнений других типов. С некоторой адаптацией их можно применить в любых программах, входными и выходными данными которых являются константы, дискретные функции и вычислимые выражения. Вычисления согласно конкретных разностных схем в программе оформлены в виде отдельных подпрограмм, что позволяет легко вносить изменения в существующие алгоритмы решения краевых задач и добавлять новые алгоритмы.

6. Разработанная программа может применяться не только в рамках предложенной математической модели, но также для решения широкого круга задач одномерного уравнения теплопроводности.

7. Разработанная экспериментальная лабораторная установка позволяет исследовать температурное поле горных пород при электроосмотической фильтрации в зависимости от внешнего источника - аналога солнечно-радиационного нагрева, свегопрозрачного пленочного покрытия на поверхности горных пород, напряжения на сетках-электродах, полярности электродов и влажности горных пород.

Внедрение результатов работы. Программа «Vishnu2004» для моделирования процессов теплообмена в горных породах принята к использованию в Забайкальском отделении Международной академии наук экологии и безопасности жизнедеятельности (30 МАНЭБ) для планирования объемов и сроков ведения вскрышных работ и разработки технологических мероприятий по интенсификации процессов подготовки горных пород к разработке.

Результаты диссертационного исследования используются на кафедре открытых горных работ Читинского государственного университета при чтении лекций и выполнении лабораторных работ по дисциплинам «Термодинамика» и «Математическое моделирование».

На программу «Vishnu2004» получено свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ, выданное Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам, г. Москва, № 2005610608 от 11 марта 2005 г.

Документы об использовании результатов работы приведены в прил. 6).

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на научно-технических и научно-практических конференциях Горного института ЧитГУ, г. Чита, 2000, 2003, 2004 гг.; региональной конференции «Проблемы освоения и рационального использования природных ресурсов Забайкалья», г. Чита, 2000 г.; Межрегиональной и Всероссийской научно-практических конференциях «Энергетика в современном мире», г. Чита, 2001, 2006 гг.; XXIX научно-технической конференции ЧитГУ, г.Чита, 2002 г.; третьей межрегиональной научно-практической конференции «Технические науки, технологии и экономика», г. Чита, 2003 г.; VII Международной молодежной научно-практической конференции «Молодежь Забайкалья: творчество и прогресс», г. Чита, 2004 г.; Всероссийской научно-практической конференции «Проблемы прикладной математики», г. Чита, ЗабГГПУ, 2004 г.; межрегиональной и Всероссийской научно-практических конференциях «Кула-гинские чтения», г. Чита, 2004,2005 гг.; XI Международной конференции «Информационные и математические технологии в научных исследованиях», Иркутск, 2006 г.; на заседаниях научного семинара Энергетического института ЧитГУ, г. Чита, 2005,2006 гг.

Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 18 печатных работ, в том числе 1 работа представлена в журнале из «Перечня ведущих рецензируемых научных журналов», рекомендованных ВАК РФ; 4 работы в реферативных научных журналах, а также статьи в материалах и трудах Международных, Всероссийских и научно-технических конференций. Федеральной службой по интеллектуальной собственности, патентам и товарным знакам зарегистрирована программа, разработанная по теме диссертации.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения, библиографического списка и приложения. Работа представлена на 150 страницах, включающих 8 таблиц, 45 рисунков, библиографический список из 163 наименований. Приложение содержит 60 страниц.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

В результате выполненных исследований решена научно-практическая задача по управлению процессами теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации на основе математического и компьютерного моделирования, имеющая существенное значение для горной теплофизики.

Выполненные исследования позволили получить следующие основные результаты:

1. Разработана математическая модель, адекватно описывающая процесс теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации, в виде уравнения теплопроводности общего вида, которое учитывает выделение и перенос тепла за счет электроосмотической фильтрации (для случая горизонтально расположенных сеток-электродов).

2. Получена однородная консервативная разностная схема на неравномерных сетках для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности общего вида с переменными коэффициентами, а так же разностные условия для краевых условий данного уравнения. Показана устойчивость полученной разностной схемы. Разностная схема имеет первый порядок аппроксимации по пространству и времени. Разностные краевые условия имеют второй порядок аппроксимации по времени и пространству.

3. Разработана и внедрена программа, позволяющая решать широкий круг краевых задач для одномерного уравнения теплопроводности и предоставляющая возможность выбора класса краевых условий, функционального пространства, которому принадлежат коэффициенты уравнения и условий. Разработана архитектура программы: базовые классы, алгоритмы и механизмы взаимодействия между элементами программы.

4. Выполнено экспериментальное обоснование разработанной математической модели теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации. С этой целью:

- разработана экспериментальная лабораторная установка для исследования эффективности управления теплообменом в горных породах при различных режимах электроосмотической фильтрации;

- разработана методика проведения экспериментов, включающая в себя: оценку общефизических, теплофизических и фильтрационных характеристик горных пород; измерение напряженности электрического поля и силы тока, температуры горных пород и тепловых потоков по глубине в зависимости от характера и условий теплообмена на поверхности и в области электроосмоса; определение коэффициентов фильтрации и электроосмоса;

- выполнены экспериментальные исследования теплообмена горных пород при электроосмотической фильтрации и различных способах управления теплообменом солнечно-радиационного нагревания поверхности пород;

- установлены характерные зависимости температурных полей на поверхности пород и массиве от способов управления теплообменом и режимов электроосмотической фильтрации, позволяющие обосновывать параметры математической модели.

5. Проведены расчеты на основе созданной математической модели теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации для условий, в которых проводились лабораторные эксперименты. Хорошая сходимость результатов вычислений и экспериментальных данных (максимальная погрешность не превышает 10 %) указывает на обоснованность предложенной математической модели, использованных численных методов и подходов к разработке программ.

6. Из анализа экспериментальных данных следует, что определяющим фактором, оказывающим влияние на температурное поле при электроосмотической фильтрации, является изменение влажности горных пород под действием электроосмотических сил. Самая высокая интенсивность нагрева горных пород отмечается в опытах с пленкой при перемещении поровой влаги вверх (напряжение на электродах по схеме СВ- СН+: верхняя сетка-электрод выполняет роль катода, нижняя сетка-электрод - анода), когда влажность горных пород максимальна.

1. Белоцерковский О. М., Чушкин П. И. Численный метод интегральных соотношений // ЖВМ и МФ, 1962. Т. 2. - № 5. - 29 с.

2. Беляев Н. М., Рядно А. А. Методы нестационарной теплопроводности. -М.: Высшая школа, 1978. 328 с.

3. Беляев Н.М., Рядно А. А. Методы теории теплопроводности. Учеб. пособие для вузов. Ч. 2. М.: Высшая школа, 1982. - 304 с.

4. Боггс У., Боггс М. UML и Rational Rose. М.: Лори, 2000. - 580 с.

5. Бурдак Н. М. Расчет водопонижения при электроосмотическом воздействии // Труды Московского энергетического института. М.-Л.: Госэнергоиз-дат, 1953. - Вып. XIV. - С. 144 - 156.

6. Буч Г. Объектно-ориентированный анализ и проектирование с примерами приложений на С++. / пер. с англ. М.: Издательство Бином, СПб.: Невский диалект, 1999. - 560 с.

7. Вазов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. М.: ИЛ, 1963. - 488 с.

8. Валиуллин А. Н. Схемы повышенной точности для задач математической физики. Новосибирск: НГУ, 1973. - 138 с.

9. Валиуллин А. Н., Яненко Н. Н. Экономичные разностные схемы повышенной точности для полигармонического уравнения // Изв. Сиб. отд. АН СССР. Сер. тех. наук, 1967. Т. 13. - № 3. - С. 88 - 96.

10. Валова О. В. Экспериментальное исследование тепломассообмена при оттаивании мерзлых горных пород солнечной радиацией // Материалы третьей научно-технической конференции Горного института. Чита: ЧитГТУ, 2000.- 4.II.-C. 156-158.

11. Валова О. В. Консервативная разностная схема для решения краевых задач уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: ИрГУПС. -2005.-№ 4(8).-С. 10-17.

12. Валова О. В. Математическая модель задачи тепло-массообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. Иркутск: ИрГУПС. - 2006. -№ 1 (9).- С. 70 - 76.

13. Валова О. В. Моделирование процессов теплообмена в горных породах // Межрегиональная научно-практическая конференция «Энергетика в современном мире». Чита: ЧитГТУ, 2001. - С. 168 - 169.

14. Валова О. В. Моделирование процессов теплообмена в горных породах в условиях электроосмотической фильтрации // Материалы V Всероссийской научно-практической конференции «Кулагинские чтения». Чита: ЧитГУ, 2005.-Ч. IV.- С. 24-25.

15. Валова О. В. Однородные консервативные разностные схемы для уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами // Вестник ЧитГУ. Чита: ЧитГУ, 2004. - Вып. 36. - С. 68 - 73.

16. Валова О. В. Подсистема ввода данных при моделировании процессов теплообмена в горных породах // Материалы IV Межрегиональной научно-практической конференции «Кулагинские чтения». Чита: ЧитГУ, 2004. - 4.IL-С.7-9.

17. Валова О. В. Разностные схемы для параболических уравнений общего вида // Всероссийская научно-практическая конференция «Проблемы прикладной математики». Чита: ЗабГПУ, 2004. - С. 8 - 9.

18. Валова О. В. Разностные схемы для уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами // Всероссийская научно-практическая конференция «Проблемы прикладной математики». Чита: ЗабГПУ, 2004. - С. 9 - 10.

19. Валова О. В. Разработка программного обеспечения для исследования теплообмена протаивающих горных пород // Материалы четвертой научнотехнической конференции Горного института. Чита: ЧитГТУ, 2003. - Ч. 3. -С. 40-43.

20. Валова О. В. Экспериментальное исследование процессов теплообмена в горных породах при электроосмотической фильтрации // Вестник ИрГТУ.-Иркутск: ИрГТУ, 2006. № 4 (28). - 4.II. - С. 28 - 31.

21. Валова О. В., Белицкая О. А. Компьютерное моделирование процессов теплообмена // Материалы XXIX научно-технической конференции ЧитГТУ. Чита: ЧитГТУ, 2002. - Ч. И. - С. 83 - 85.

22. Валова О. В., Рашкин А. В. Расчет теплового режима при оттаивании горных пород // Вестник ЧитГУ. Чита: ЧитГУ, 2004. - Вып. 36. - С. 57 - 58.

23. Ван-дер-Поль. Операционное исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа. М.: ИЛ, 1953. - 508 с.

24. Вахромеев Г. С., Ерофеев Л. Я., Канайкин В. С., Номоконова Г. Г. Петрофизика. Учеб. для вузов. Томск: ТГУ, 1997. - 462 с.

25. Ващенко-Захарченко М. Е. Символическое исчисление и приложение его к интегрированию нелинейных дифференциальных уравнений. Киев, 1862.-91 с.

26. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.-512 с.

27. Вожов Е. А. Исследование одного способа повышения точности метода сеток при решении уравнения Пуассона // Вычислительная математика. -М: ВЦ АН СССР, 1957. Вып. 1. - С. 62 - 80.

28. Волков Е. А. Метод неравномерных сеток для конечных и бесконечных областей с коническими точками // Дифференциальные уравнения, 1966. -Т. 2. -№ 10.-С. 1376-1391.

29. Вожов Е. А. Решение задачи Дирихле методом уточнений разностями высших порядков // Дифференциальные уравнения, 1965. Т. 1. - № 7. - С. 946 - 960.

30. Гальперин A.M., Зайцев B.C., Норватов Ю.А. Гидрогеология и инженерная геология. Учеб. для вузов. М.: Недра, 1989. - 383 с.

31. Годунов С. К., Забродин А. В. О разностных схемах второго порядка точности для многомерных задач // ЖВМ и МФ, 1962. Т. 2. - № 4. - С. 706 -708.

32. Годунов С. К., Прокопов Г. П. О расчетах конформных отображений и построении разностных сеток // ЖВМ и МФ, 1967. Т. 7. - № 5. - С. 462 - 468.

33. Годунов С. К., Рябенький В. С. Канонические виды систем линейных обыкновенных разностных уравнений с постоянными коэффициентами // ЖВМи МФ, 1963. Т. 3. - № 2. - С. 211 - 222.

34. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в теорию). М.: Наука, 1977. - 439 с.

35. Годунов С. К., Рябенький В. С. Спектральные признаки устойчивости краевых задач для несамосопряженных разностных уравнений // УМН, 1963. -Т. XVIII. № 3. - С. 3 -14.

36. Годунов С. К., Семендяев К. А. Разностные методы численного решения задач газовой динамики // ЖВМ и МФ, 1962. Т. 2. - № 1. - С. 3 -14.

37. Гончаров С.А. Термодинамика. Учеб. для вузов. М.: МГУ, 1997.441 с.

38. Горбунов Б. П. К вопросу определения методом моделирования продолжительности уплотнения грунтов электроосмосом // Искусственное закрепление грунтов. М.: Госстройиздат, 1960. - Вып. 39. - С. 34 - 36.

39. Горбунов Б. П., Курденков JI. И. Об электроосмосе в песках // Искусственное закрепление грунтов. М.: Госстройиздат, 1962. - Вып. 50.

40. Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. М.: АН СССР, 1948. - 728 с.

41. Грунтоведение. Учеб. для вузов./п.р. Сергеева Е. М. М.: МГУ, 1983.-392 с.

42. Гутмен Т. Применение интегральных методов в нелинейных задачах нестационарного теплообмена // Проблемы теплообмена. М.: Атомиздат, 1967.-С. 41-96.

43. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Физматгиз, 1958. - 207 с.

44. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. - 524 с.

45. Дородницын А. А. Лекции по численным методам решения уравнений вязкой жидкости. М.: ВЦ АН СССР, 1969. - 49 с.

46. Дородницын А. А. Об одном методе численного решения некоторых нелинейных задач аэродинамики // Труды III Всесоюзного математического съезда. М.: АН СССР, 1956. - Т. II. - С. 78.

47. Дущенко В. П., Луцик П. П. Численное решение системы дифференциальных уравнений электроосмотического тепло- и массопереноса методом матричной факторизации // Теплофизика и теплотехника. Киев: Наукова думка, 1970. - Вып. 17. - С. 68 - 72.

48. Дущенко В. П., Семко О. Я. и др. Исследование процессов переноса влаги, тепла и электричества при электроосмотическом обезвоживании дисперсных тел // Теплофизика и теплотехника. Киев: Наукова думка, 1970. -Вып. 16. - С. 62 - 66.

49. Иванов Н. С. Тепло- и массоперенос в мерзлых горных породах. М.: Наука, 1969. - 240 с.

50. Канторович JI. В., Акилов Г. Н. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.-684 с.

51. Козлов В. А. Решение системы уравнений массопереноса при контакте мерзлых песчано-глинистых пород с водной средой. М.: МГГУ, 2005. -Вып. 1.-С. 35-41.

52. Коновалов А. Н. Разностные методы расчета плоских задач теории упругости // МИАН СССР, 1966. Вып. 74. - С. 38 - 54.

53. Кошляков Н. С. Основные дифференциальные уравнения математической физики. M.-JL: Глав. ред. общетехн. лит.-ры, 1936. - 505 с.

54. Курант Р., Фридрикс Р., Леви К. (Courant R., Friedrichs К., Lewy Н.) О разностных уравнениях математической физики // УМН, 1940. Т. VIII. - С. 125 - 160.

55. Курденков Л. И. Исследование закономерности движения воды в грунтах под влиянием постоянного электрического тока // Искусственное закрепление грунтов. М.: Госстройиздат, 1960. - Вып. 39. - С. 37 - 60.

56. Куропатенко В. Ф. Метод построения разностных схем для численного интегрирования уравнений газодинамики // Изв. вузов. Математика, 1962. -Т. 3. № 28. - С. 75-83.

57. Куртенер Д. А., Чудновский А. Ф. Расчет и регулирование теплового режима в открытом и защищенном грунте. Л.: Гидрометеоиздат, 1969. - 300 с.

58. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.-408 с.

59. Ладыженская О. А. Метод конечных разностей в теории уравнений с частными производными // УМН, 1957. Т. XII. - № 5. - С. 123 - 148.

60. Лаке П. Д. Об устойчивости конечно-разностных аппроксимаций решений гиперболических уравнений с переменными коэффициентами // Математика (сб. переводов), 1962. Т. 6. - № 3. - С. 67 - 88.

61. Лаке П. Д., Ниренберг Г. Об устойчивости разностных схем, точная форма неравенства Гординга // Математика (сб. переводов), 1967. Т. 11. -№ 6. - С. 3 - 20.

62. Лесков В. П. Численные методы решения уравнения теплопроводности. Учеб. пособие для вузов. Чита: ЧитГТУ, 1997. - 95 с.

63. Ломизе Г. М. Основные закономерности электроосмотической фильтрации и электроуплотнения грунтов // Труды совещания по инженерно-геологическим свойствам горных пород и методам их изучения. М.: АН СССР, 1956. - Том I. - С. 163 - 177.

64. Ломизе Г. М., Нетушил А. В. Электроосмотическое водопонижение. -М.: Госэнергоиздат, 1958. 176 с.

65. Лыков А. В. Теория сушки. М.: Энергия, 1968. - 472 с.

66. Лыков А. В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967.600 с.

67. Лыков А. В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1971.560 с.

68. Лыков А. В. Явление переноса в капилярно-пористых телах. М.: Гос-техиздат, 1954. - 296 с.

69. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория переноса энергии и вещества. -Минск: АН БССР, 1959. 330 с.

70. Лыков А. В., Михайлов Ю. А. Теория тепло- и массопереноса. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1963. - 536 с.

71. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1989. - 608 с.

72. Марчук Г. И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Госатомиздат, 1961.-667 с.

73. Массель Л. В., Болдырев Е А., Горнов А. Ю. и др. Интеграция информационных технологий в системных исследованиях энергетики. Новосибирск: Наука, 2003. - 320 с.

74. Мухин А. А. Прибор для определения электроосмотических свойств грунтов // Труды Московского ордена Ленина энергетического института им. В.М. Ломоносова. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1953. - Вып. XTV. - С. 133 - 134.

75. Нерпин С. В., Чудновский А. Ф. Физика почвы. М.: Наука, 1967.584 с.

76. Павлов А. В. Расчет и регулирование мерзлотного режима почвы. -Новосибирск: Наука, 1980. 240 с.

77. Павлов И. А., Гендлер С. Г., Смирнова Н. Н. Теплообмен в технологический процессах при разработке месторождений полезных ископаемых. Учеб. пособие для вузов. Л.: ЛГИ, 1969. - 94 с.

78. Потемкин С. В. Оттайка мерзлых пород: Учеб. для вузов. М.: Недра, 1991.-160 с.

79. Рашкин А. В. Научные основы использования солнечной энергии для тепловой подготовки пород при дражной разработке. Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. М.: МГРИ, 1989. - 391 с.

80. Рашкин А. В., Авдеев П. Б., Железняк И. И., Субботин Ю. В. Подготовка мерзлых горных пород к разработке в суровых климатических условиях. Учеб. пособие для вузов. Чита: ЧитГУ, 2002. - 79 с.

81. Рашкин А. В., Авдеев П.Б., Субботин Ю.В. Тепловая и водная подготовка горных пород при разработке мерзлых россыпей. М.: Горная книга, 2004.-352 с.

82. Рашкин А. В., Валова О. В. Численное решение задачи теплопередачи на основе электроосмотической фильтрации // Региональная конференция «Проблемы освоения и рационального использования природных ресурсов Забайкалья». Чита: ЧитГТУ, 2000. - С. 56 - 59.

83. Рейс Ф. Ф., Soc. Nat. Met. Moscow 2, 327 (1809).

84. Ржевский В. В., Новик Г. Я. Основы физики горных пород. Учеб. для вузов. М.: Недра, 1984. - 359 с.

85. Рихтмайер Р. Д. О нелинейной неустойчивости разностных схем // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1966.-С. 54-59.

86. Рихтмайер Р. Д., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. М.: Мир, 1972. - 420 с.

87. Рябенький В. С. О применении метода конечных разностей к решению задачи Коши // ДАН СССР 86,1952. № 6. - С. 1071 - 1074.

88. Рябенький В. С. Спектр семейств разностных операторов над функциями на сеточном графе // ЖВМ и МФ, 1967. Т. 7. - № 6. - С. 1392 -1398.

89. Рябенький В. С. Структура спектров свойств несамосопряженных разностных операторов // Материалы к совместному советско-американскому симпозиуму по уравнениям с частными производными. Новосибирск, 1963.

90. Рябенький В. С., Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений. М.: Гостехиздат, 1956. - 171 с.

91. Самарский А. А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1974. - 552 с.

92. Самарский А. А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.269 с.

93. Самарский А. А. Лекции по теории разностных схем. М.: ВЦ АН1. СССР, 1969.-447 с.

94. Самарский А. А. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент // Вестник АН СССР, 1979. Вып. 5. - С. 38 - 49.

95. Самарский А. А. Некоторые вопросы общей теории разностных схем // Дифференциальные уравнения с частыми производными (труды симпозиума, посвященного 60-летию академика С. JI. Соболева). М.: Наука, 1970. - С. 191-223.

96. Самарский А. А. Необходимые и достаточные условия устойчивости двухслойных разностных схем // ДАН СССР, 1968. Т. 181. - № 4. - С. 808 -811.

97. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. - 616 с.

98. Самарский А. А., Андреев В. Б. Разностные методы для эллиптических уравнений. М.: Наука, 1976. - 362 с.

99. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем. М.: Наука, 1973.-415 с.

100. Самарский А. А., Карамзин Ю. Н. Разностные уравнения. М.: Знание, 1978. - 63 с.

101. Самарский А. А., Михайлов А. П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. М.: Наука, Физматлит, 1997. - 320 с.

102. Самарский А. А., Николаев Е. С. Методы решения сеточных уравнений. М.: Наука, 1978.-592 с.

103. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные схемы газовой динамики. М.: Наука, 1975.-351 с.

104. Сердюкова С. И. Исследование устойчивости в С явных разностных схем с постоянными действительными коэффициентами, устойчивых в /2 // ЖВМ и МФ, 1963. Т. 3. - № 2. - С. 365 - 370.

105. Снеддон И. Преобразования Фурье. М.: ИЛ, 1955. - 668 с.

106. СниП 2.02.04-88. Приложение 1: «Физические и теплофизические характеристики вечномерзлых грунтов».

107. Соболев С. JI. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988. - 333 с.

108. Соколовский А. Т., Злочевская Р. И. Об использовании гравитационного и электрического полей при электроосмотическом осушении и уплотнении глинистых грунтов // Вопросы инженерной геологии и грунтоведения, 1978. -Вып. 4. -С. 248 -251.

109. Справочник по инженерной геологии./п.р. Чуринова М. В. М.: Недра, 1974. - 408 с.

110. Справочник по осушению горных пород./п.р. Станченко И. К. М.: Недра, 1984. - 572 с.

111. Справочник по строительству на вечномерзлых грунтах./п.р. Ю. Я. Велли, В. И. Докучаева, Н. Ф. Федорова. Л.: Стройиздат, 1977. - 552 с.

112. Теплофизические исследования криолитозоны Сибири. Новосибирск: Наука, 1983. - 215 с.

113. Теплофизические свойства горных пород./п.р. Э. Д. Ершова. М.: МГУ, 1984. - 204 с.

114. Тихонов А. М., Самарский А. А. Однородные разностные схемы на неравномерных сетках // ЖВМ и МФ. 1962. - Т. 2. - № 5. с. 930 - 933.

115. Тихонов А. Н., Самарский А. А. О разностных схемах для уравнений с разрывными коэффициентами // ДАН СССР, 1956. Т. 108. - № 3. - С. 393 - 396.

116. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Учеб. пособие для вузов. М.: Наука, 1977. - 736 с.

117. Трантер К. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. М.: Гостехиздат, 1956. - 204 с.

118. Фаддеев Д. К., Фаддеева В. Н. Вычислительные методы линейной алгебры. М.: Лань, 2002. - 736 с.

119. Физические свойства горных пород и полезных ископаемых (петро-физика). Справочник геофизика./п.р. Дортман Н. Б. М.: Недра, 1984. - 455 с.

120. Филиппов А. Ф. Об устойчивости разностных уравнений // ДАН СССР, 1955. Т. 100. - № 6. - С. 1045 -1048.

121. Чаповский Е. Г. Лабораторные работы по грунтоведению и механике грунтов. М.: Недра, 1975. - 304 с.

122. Чудновский А. Ф. Теплофизика почв. М.: Наука, 1976. - 352 с.

123. Чудновский А. Ф. Теплофизические характеристики дисперсных материалов. М.: Государственное издательство физико-математической литературы, 1962. - 457 с.

124. Шайдуров В. В. Об одном методе повышения точности разностных решений // Численные методы механики сплошной среды, 1972. Т. 3. - № 2. -С. 96- 104.

125. Шлеер С., Меллор С. Объектно-ориентированный анализ: моделирование мира в состояниях. Киев: Диалектика, 1993. - 300 с.

126. Щербань А. Н., Кремнев О. А., Журавленко В. Я. Руководство по регулированию теплового режима шахт. М.: Недра, 1977. - 359 с.

127. Энкашев М. М. Решение однофазной объединенной задачи теплопроводности для горной выработки методом интегральных соотношений // Физические процессы горного производства. Л.: ЛГИ, 1978. - Вып. 5. - С. 76 - 82.

128. Эфрос А. М., Данилевский А. М. Операционное исчисление и контурные интегралы. Харьков: ГНТИ Украины, 1937. - 383 с.

129. Яненко Н. Н., Шокин Ю. И. О корректности первых дифференциальных приближений разностных схем // ДАН СССР, 1968. Т. 182. - № 4. - С. 776-778.

130. Яненко Н. Н., Шокин Ю. II. О связи корректности первых дифференциальных приближений и устойчивости разностных схем для гиперболических систем уравнений // Матем. заметки, 1968. Т. 4. - № 5. - С. 493 - 502.

131. Яненко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики. Новосибирск: Наука, 1967. - 195 с.

132. Bromwich Т. G. Symbolical Methods in Theory of Conduction of Heat. Proc. Camb. Phil. Soc. 220,441,1921.

133. Casagrande L. Elektroosmotic stabilization of soils. J. Boston Soc. Civil Eng. №1, vol. 39, 1953.

134. Crowley W. Second order numerical advection // J. Сотр. Phys. 1967.1. V. 1, № 4.

135. Fromm J. Е. Numerical method for computing nonlinear, time dependent, buoyant circulation of air in rooms // Л)М J. of Research and Development. -1971.-V. 15, №3.

136. Gray Donald H., Somogyi Frank. Electro-osmotic Dewatering with polarity reversals. "J. Geotechn. Eng. Div. Proc. Amer. Soc. Civ. Eng.", 1977, 103, № 1, 51-54 (англ. Электроосмотическое осушение с переменной полярностью)

137. Heaviside О. Electromagnetic Theory, 1893.

138. Helmholtz Н., Ann. Physik u. Chem. (Wied.) 7,337 (1879).

139. Jeffreys H. Operational Method in Mathematical Physics, Cambridge,1931.

140. Kreiss H. O. Initial boundary value problems for partial differential and difference equations in one space dimensions // Numorical solution of partial differential equations. II. SYNSPADE-1970. N. Y.; L.: Academic Press, 1971.

141. Kreiss H. O. On difference approximations of the dissipative type for hyperbolic differential equations // Comm. Pure Appl. Math. 1964. - V. 17, № 3.p. 335 353.

142. Kreiss H. 0. Uber die Stabilitatsdofinition fur Differenzengleichungen die partielle Differentialgleichungen approzimieren // Nordisk. Tidskr. Informations Behandlung. 1962. - V. 2, № 2. - p. 153 -181.

143. Lax P. D., Richtmyer R. D. Survey of the stability of linear finite difference equations // Comm. Pure Appl. Math.- 1956. V. 9, № 2. - p. 267 - 293.

144. Lax P. D., Wendroff B. On the stability of difference schemes with variable coefficients // Comm. Pure Appl. Math. -1962. V. 15, № 4. - c. 363 - 371.

145. Lax P. D., Wendroff B. System of conservations laws II Comm. Pure Appl. Math. -1960. V. 13, № 2. - p. 217 - 237.

146. Lees M. A priori estimate for the solution of difference approximations to parabolic partial differential equations // Duko Math. J. I960. - V. 27, № 3. -p. 297-311.

147. LeesM. Energy inequalities for the solution of differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1960. - V. 91, № 1. - p. 58 - 73

148. Mitchell A. R. Computational Methods in Partial Differential Equations. -L.: Wiley, 1970.

149. Neuman J., Richtmyor R. D. A method for the numerical calculation of hydrodynamic shocks // J. Appl. Phvs.- 1950. V. 21, № 3. - p. 232 - 243.

150. Quincke G., Ann. Physik u. Chem. (Pogg) 99,513 (1856).

151. Smoluchowski M. in Graetz, Handbuch der Elektrizitat und des Magnet-ismus, II, Leipzig, 336,1914.

152. Strang G. Implicite difference methods for initialboundary value problems//!. Math. Anal. Appl. 1966. - V. 16, № 1.-p. 188 - 198.

153. Tables of Integral Transforms, vol. 1, 2, McGraw Hill Inc., New York,1954.

154. Thomee V. Generally unconditionally stable difference operators // SIAM J. Numer. Anal. -1962. V. 4. № 1. - p. 55 - 69.

155. Wiedeman G., Ann. Physik u. Chem. (Pogg) 87, 321 (1852); 99, 177 (1856).

156. Свидетельство об официальной регистрации программы «Vishnu2004» для ЭВМ, № 2005610608 от 11.03.2005, г. Москва.163. http://www.exponenta.ru.