автореферат диссертации по химической технологии, 05.17.08, диссертация на тему:Нелинейные эффекты в диффузионном слое жидкости

На правах рукописи

Скурыгин Евгений Федорович

Нелинейные эффекты в диффузионном слое

жидкости

05.17.08,- процессы и аппараты химических технологий

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Москва - 2006

Работа выполнена в ГОУВПО « Ярославский государственный технический университет»

Научный консультант

доктор техн. наук, профессор Дильман В.В.

Официальные оппоненты:

доктор физ.-мат. наук, профессор Тимашев С.Ф.

доктор техн. наук, профессор Холпанов Л.П.

доктор техн. наук, Мартынов Ю.В.

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

Защита состоится 2006 года в/^ч асов на заседании

Диссертационного совета Д.217.024.03 при ФГУП «Научно-исследовательский физико-химический институт им. Л.Я.Карпова» по адресу : 105064, Москва, ул. Воронцово поле, 10.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института. Отзывы, заверенные печатью предприятия, просим направлять по указанному выше адресу.

Автореферат разослан ГёУгТ 2006 г.

Ученый секретарь Диссертационного совета

кандидат техн. наук Вязьмин А.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ПРОБЛЕМЫ. Перенос вещества в диффузионном слое жидкости лежит в основе многих химических и электрохимических технологических процессов. Хорошо известно, что мелкомасштабное хаотическое движение жидкости вблизи межфазной границы резко снижает диффузионные ограничения, что используется для интенсификации химических процессов.

Типичным случаем является массоперенос в жидкости при турбулентном режиме течения. При высоких числах Рейнольдса течение теряет устойчивость, поле скорости во всем объеме имеет случайный, хаотический характер. Перемешивание жидкости, вызванное турбулентным движением, на порядки увеличивает скорость массопереноса по сравнению с молекулярной диффузией.

Другой случай, перенос вещества в условиях нестабильной свободной границы жидкости. Процесс массопереноса сопровождается выделением/поглощением тепла на межфазной границе. Изменения температуры вызывают изменения поверхностного натяжения, что порождает силы, приводящие жидкость в движение. При определенных условиях поверхностная конвекция может вызвать гидродинамическую неустойчивость и привести к резкому увеличению скорости массопереноса, что известно как эффект Марангони, по имени ученого, одним из первых занимавшимся этим явлением.

Два случая — турбулентное течение и покоящаяся жидкость с нестабильной свободной границей - имеют одну и ту же природу ускорения массопереноса. В первом случае мелкомасштабная конвекция вызвана неустойчивостью течения в объеме при больших числах Рейнольдса, во втором — неустойчивостью, порожденной поверхностными силами. В первом случае для ускорения массопереноса требуется создание условий для хаотического движения жидкости во всем объеме, во втором - для достижения такого же эффекта достаточно движения жидкости в тонком приповерхностном слое. Поверхностную конвекцию в литературе часто называют «межфазная турбулентность», чтобы подчеркнуть сходство этих явлений.

При течении жидкости с числом Рейнольдса меньше критического все возмущения скорости в потоке затухают со временем и течение имеет устойчивый ламинарный характер. При достижении чисел Рейнольдса, превышающих критическое значение, в потоке возникает полоса спектра возмущений скорости, которые не затухают со временем, что делает течение неустойчивым. С увеличением числа Рейнольдса расширяется спектр незатухающих пульсаций скорости. В полностью развитом турбулентном течении размер самых крупных пульсаций определяется размером всего потока, а самых маленьких зависит от вязкости жидкости. В случае

поверхностной конвекции представлена только мелкомасштабная часть спектра. С одной стороны, именно этот участок спектра, порожденный силами поверхностного натяжения, определяет скорость межфазного переноса вещества. С другой стороны, мелкомасштабная конвекция имеет много общего с течениями при числах Рейнольдса, незначительно превышающих критическое, что позволяет рассматривать последнюю как зарождающуюся турбулентность. Позволяет применять те же математические методы как при исследовании поверхностной конвекции, так и зарождающейся турбулентности.

Ввиду сложности проблемы массопереноса в условиях хаотической конвекции используют упрощающие модели. Такие модели позволяют детально анализировать явления и во многих случаях позволяют адекватно описывать реальные процессы.

Широкое распространение получила модель пассивной примеси. В этом случае задачи гидродинамики и массопереноса разделяются. Задачу массопереноса можно ставить при заданных гидродинамических характеристиках течения.

Модель пассивной примеси применяется при описании турбулентного массопереноса вблизи твердой поверхности. Наиболее изученным является массоперенос при больших числах Шмидта. Именно такой случай Б с ~ 103 характерен для переноса в жидкостях. Теория Ландау и Левича позволила получить оценку закона затухания турбулентной диффузии вблизи твердой границы. В более поздних работах без использования полуэмпирических гипотез получено выражение для плотности турбулентного потока, что позволило замкнуть уравнение для средней концентрации.

Недостаток информации о характеристиках турбулентности — основная проблема описания турбулентного массопереноса при больших числах Шмидта. Следует сказать, что для 8с ~ 103 толщина диффузионного слоя составляет порядка десяти микрон, и такие методы, как термоанемометрия или визуализация течения, на столь малых расстояниях от стенки не дают результатов. Уникальным методом исследования пристенной турбулентности является разработанный Ханратти электрохимический метод. Последний заключается в измерении пульсаций тока электрода, вмонтированного заподлицо в твердую поверхность, обтекаемою потоком электролита. Пульсации тока электрода содержат информацию о локальной структуре турбулентности в вязком подслое. Интерес к такой информации не ограничивается только проблемами турбулентного массопереноса, но и помогает в решении фундаментальной проблемы турбулентности. В турбулентных течениях пульсации скорости порождаются именно в пристенной области, где градиент средней скорости максимален. Информация о структуре турбулентности в вязком подслое крайне важна для понимания процессов генерации турбулентности. Такая информация может

быть использована для оценки теорий вязкого подслоя, может служить , основой для создания методов гидродинамических расчетов.

Использование электрохимического метода требует построения теории этого метода. Требуется достаточно точное описание отклика диффузионного слоя электрода на пульсации скорости жидкости. Одно из ограничений использования электрохимического метода — проблема учета нелинейных членов в уравнении для пульсаций концентрации, или, что то же - проблема учета вклада высших моментов в уравнении для корреляционной функции пульсаций концентрации.

В диссертации приводится вывод замкнутого уравнения для коррелятора пульсаций концентрации, учитывающего вклад моментов третьего и более высокого порядков. Исследуются флуктуационные характеристики пристенного турбулентного массопереноса.

В случае массопереноса на границе жидкость — твердое тело пульсации скорости резко затухают при приближении к поверхности, что создает ограничения скорости массопереноса. Скорость массопереноса существенно зависит от числа Шмидта. Напротив, на свободной поверхности пульсации скорости не обращаются в ноль, они полностью снимают диффузионные ограничения массопереноса.

В диссертации рассматриваются условия возникновения поверхностной конвекции в сложных процессах массопереноса.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с проектами:

1. Проекты М2В000 и N23003 от Международного научного фонда «Гидроэлектрохимическая структура межфазной границы турбулентный поток - твердый электрод» 1994-1995 гг.

2. Проект от Российского фонда фундаментальных исследований «Импедансная спектроскопия турбулентных потоков растворов электролитов».

3. Научный план стажировки в Нантском университете, Франция, 1993 г. Цель работы.

Исследование нелинейных эффектов в диффузионном слое жидкости, что включает в себя:

1. Вывод замкнутого уравнения для корреляционной функции пульсаций концентрации в пристенном турбулентном диффузионном слое.

2. Анализ флуктуационных характеристик пристенного турбулентного массопереноса.

3. исследование условий возникновения диффузионно - конвективной неустойчивости Марангони в сложных процессах массопереноса на свободной поверхности.

Научная новизна

1. Получено замкнутое уравнение для пространственно- временной корреляционной функции пульсаций концентрации в диффузионном слое жидкости, учитывающее вклад моментов третьего и более высокого порядка.

2. Исследованы спектральные свойства пульсаций плотности потока вещества на границе жидкость - твердое тело в условиях диффузионного слоя постоянной толщины. Показано существенное влияние высших моментов на спектр пульсаций плотности потока.

3. Получены выражения для спектра автокорреляционной функции пульсаций потока массы к поверхности протяженного электрода и взаимного спектра корреляции пульсаций потоков на двух протяженных электродах.

4. Выполнено численное решение задачи массопереноса в развивающемся турбулентном диффузионном слое. Получены приближенные аналитические формулы для плотности потока и суммарного потока вещества на активной поверхности. Вычислены границы применимости формул Левека и Мак Адамса,

5. Проведен расчет передаточных функций отклика диффузионного слоя микроэлектрода на пульсации скорости жидкости в установившемся гидродинамическом пограничном слое.

6. Исследованы 5 различных режимов массопереноса к поверхности дискового электрода в условиях хаотического объемного размешивания электролита. Определены условия режима равнодоступной поверхности электрода.

7. Исследован спектр автокорреляции пульсаций потока к поверхности дискового электрода в условиях повышенного уровня турбулентности, когда средняя скорость пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностью турбулентных пульсаций. Выполнен расчет частотной характеристики отклика диффузионного слоя микроэлектрода на пульсации скорости жидкости. Показано влияние нелинейных эффектов на спектр пульсаций потока.

8. Определены условия возникновения конвективной неустойчивости Марангони в процессе десорбции из жидкости в газовую фазу, протекающем совместно с испарением жидкости.

9. Определены условия возникновения конвективной неустойчивости Марангони в процессе абсорбции, осложненной объемной химической реакцией.

Практическая ценность работы.

Результаты, полученные в диссертации, могут быть применены

1) при исследовании пристенной турбулентности электрохимическим методом;

2) при моделировании турбулентного тепло- и массопереноса в химико -технологических процессах на границе жидкость — твердое тело;

3) при разработке методов интенсификации процессов абсорбции, десорбции, . хемосорбции; в том числе процессов очистки воды, очистки воздуха от углекислого газа в химии и Медицине.

Апробация работы

. Основные результаты диссертации докладывались на следующих научных конференциях.

- 5-й Международный Фрумкинский симпозиум "Современные инструментальные методы в электрохимии. Фундаментальные и прикладные аспекты". Дубна 1991.

- Internstional workshop "Electrochemical diagnostics of flows". Dourdan. 1993. -International workshop "Electrochemical Flow Measurements". Lanhstein. 1996.

- 4th International Conference on "Gas - Liquid and gas- Liquid -Solid Reactor Engineering". Delft. 1999.

- Семинар МГУ rio проблеме «Нелинейная динамика химических реакций, процессов и реакторов». Москва. 15 декабря 2005.

- Московский семинар по горению и взрыву. Институт проблем механики РАН. Москва. 31 мая 2006.

Публикации: по материалам диссертации опубликовано 14 работ.

Структура и объем диссертации: диссертация состоит из введения, 3 частей и заключения, содержит 168 страниц основного текста, 16 рисунков, 2 таблицы, список литературы из 244 наименований и приложение. Общий объем - 197 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во ВВЕДЕНИИ обосновывается актуальность темы и формулируются основные вопросы, рассматриваемые в диссертации.

В ПЕРВОЙ ЧАСТИ содержится обзор литературы по теории массопереноса.

ВТОРАЯ ЧАСТЬ посвящена изучению нелинейных эффектов в пристенном турбулентном диффузионном слое. Приводится вывод замкнутого уравнения для коррелятора пульсаций концентрации, учитывающее вклад моментов третьего и более высокого порядка. Исследуются флуктуационные характеристики турбулентного массопереноса на границе жидкость- твердое тело.

В первой главе содержится вывод замкнутого уравнения для корреляционной функции пульсаций концентрации. В качестве исходного берется известное уравнение конвективной диффузии

дс/З+У Ус-О (2.1)

где С - концентрация примеси, v- вектор скорости жидкости, О -коэффициент молекулярной диффузии, / - время. Согласно методу Рейнольдса, мгновенные значения скорости и концентрации разбивают на средние и пульсационные составляющие

с(г,0 = с (Г,0+с'(г, О V(г,0=и(г,0+\ '(Г,о <с'(г,0>=0 <\'(г,0>=0,

где С - средняя концентрация, и - средняя скорость, символы <..> обозначают статистическое осреднение. Из уравнения (2.1) можно получить следующие также известные уравнения

иРс-£)Р2с=-15г ]т~-<у'С'>) (2.2)

Ьс'=сЬ '/а+и Ус '-£> ^с '=-у 'Ус- У(\ 'с '-<\ 'с '>). (2.3)

Уравнение для средней концентрации (2.2), в отличие от (2.1), содержит неизвестную величину ^ - плотность турбулентного потока, и потому является незамкнутым. Незамкнутость - следствие того, что исходное уравнение (2.1) содержит произведение флуктуирующих величин v и с.

Уравнения для корреляционных функций пульсаций концентрации также будут незамкнутыми. Определение парного коррелятора

С(г,Г, г/ ')=<с '(г, Ос '(Г \Г)>

• эквивалентно решению следующей бесконечной цепочки уравнений

п^МО Ус (ф- УС(^\ф (2.4)

ЬС(4,77\1..п)=8(11\1..п,0 Рс (ф- УС(^\1..п,ф^8(г1\1..п) Цт(ф

п=1,2... (2.5) 1£(Т1\ 1)=Щ1, ф V? (ф- Я5(т?\1, ф (2.6) Щф..п)=1У(1..п, п) Рс (ф- Щт]\1..п, Г!)+Ш(т]\1..п) Цт(г])

п=1,2... (2.7)

Здесь

ап (П)>

8а1.ап(л|1"П)=<С'(Г|)У,а1(1)..У,ап(п)> Са1..ап(^Г1|1..п)=<с'(^)с'(Л>'а1(1)..У'ап(п)>

- корреляционные функции, символы и г)=(г',1'), а также числа 1..п

обозначают пространственно - временные точки.

Оценки проведены для случая диффузионного слоя постоянной толщины, когда средние значения скорости и концентрации зависят только от одной координаты у, направленной по нормали к границе:

с —с (у) и — и(у)1

где / - единичный вектор в направлении оси х. Граничные условия для уравнений цепочки (2.4)-(2.7) имеют следующий вид

/=0 при 2=0 (2.8)

/->0 при а) Х2+у2+г2 -> со; б) t -*-се> (2.9)

где через /"обозначаются коррелятор С или 5 в соответствующем уравнении цепочки. Условие (2.8) соответствует обращению концентрации в ноль на границе, а условие (2.9) - ослаблению корреляционных связей на ,больших временах и расстояниях.

Исследуем качественную картину явления. Рассмотрим возмущение концентрационного поля с'(г, вызванное появлением в потоке отдельной пульсации скорости.

Изменение поля с' во времени определяется двумя резко различающимися масштабами: гидродинамическим временем (временем корреляции

пульсаций скорости в вязком подслое) и диффузионным То /О, где 6о -толщина диффузионного слоя. Оценки показывают, что для больших чисел Шмидта диффузионное время много больше гидродинамического (То/Ту ~ Бс »1).

£ Ш ° £ О X

время, 1

Рис.1. Эволюция отдельной пульсации концентрации.

На малых временах приближенное уравнение

|/[ ~ Ту для с1 справедливо следующее

дг

,с(с_ ¿у

(2.10)

Возмущение с' генерируется пульсацией V и в силу малости С по отношению к перепаду средней концентрации в диффузионном слое Со, процесс ее порождения описывается линеаризованным уравнением.

Плотность турбулентного потока определяется произведением пульсации скорости и порожденной ею пульсации концентрации. Интегрируя уравнение (2.10) по времени, получим следующее выражение для плотности турбулентого потока

(Тс

<с'(г, г)\у '(г, 0>=-0>У(У) —; (2.11)

4у

£ <у, '(Г, t у*у '(г, 0 > ¿1■

Плотность турбулентного потока определяется градиентом средней концентрации и интегралом от корреляционной функции пульсаций скорости, который можно рассматривать как коэффициент турбулентной диффузии. Такое выражение, полученное в работах С.А.Мартемьянова, М.А.Воротынцева, Б.М.Графова, позволило замкнуть уравнение для средней концентрации.

При I » Ту исходная гидродинамическая пульсация исчезает, а поле с' эволюционирует гораздо медленнее. Его окончательное затухание происходит под действием молекулярной диффузии на временах I ~ ТоПоле с' также переносится средним потоком (член нГс1) и колеблется под 10

действием вновь появляющихся пульсаций скорости (член х' Ус'). Каждая пульсация скорости приводит к малому колебанию облака с', однако суммарное воздействие большого числа гидродинамических пульсаций на промежутке времени 1 ~ То становится существенным. Последнее означает необходимость учета нелинейных членов в уравнении (2.3), что эквивалентно учету высших моментов в цепочке уравнений (2.4) - (2.7) для корреляционных функций.

В диссертации проведен анализ бесконечной цепочки корреляторных уравнений. Для больших чисел Шмидта Бс цепочку удается существенно упростить, если пренебречь моментами, вклад которых в величину коррелятора С мал по параметру Бс"1'2. Проведено суммирование вкладов ведущих моментов цепочки и получено следующее замкнутое уравнение для корреляционной функции пульсаций концентрации.

Ш V) Ус (ф Ус Ш V) ^ 71) (2.12)

Коррелятор пульсаций концентрации выражается через парный коррелятор пульсаций скорости, причем связь между корреляторами нелинейная.

Величины Оар в операторе £ представляют тензорный коэффициент

турбулентной диффузии.

Во второй главе исследуются флуктуационные характеристики массопереноса в стабилизировавшемся по толщине диффузионном слое. Анализируется пространственно- временная корреляционная функция пульсаций плотности потока на границе жидкость - твердое тело. Оценивается спектр пульсаций потоков на протяженном электроде, спектр взаимной корреляции потоков на двух протяженных электродах.

Коррелятор плотностей потока массы в точках поверхности (х,у—0,2') и (х ',у '=0, г') в моменты времени I и

•Кр-р')=<]'(р)]'(р')>

р=(х,г,0 и'О (2-13)

вычисляется из решения уравнения (2.12) для коррелятора С. При этом корреляторы Си Жзависят от разностей аргументов х-х\ (С и (V

также от у и уг). Профиль средней скорости внутри вязкого подслоя можно считать линейным

и(у) = —у, (2-Й)

pv

где t - среднее напряжение трения жидкости, р - плотность, v -кинематическая вязкость жидкости. Для коррелятора пульсаций скорости использованы степенные аппроксимации

War(r,t,r\r) = war(x-x\z-z\t-OynHyTf

\Z, 1 j)

mr = m, = 1 mv = 2

A у

= )war(rj,r,t')dt^dayym^ (2.16)

-OO

Ввиду сложности уравнения для коррелятора С возникает необходимость искать способы его упрощения. Оценки показывают, что для Sc=103 реализуется режим сильной конвекции, когда пульсации концентрации за время своего существования t ~ То успевают сноситься потоком на расстояния, много большие их первоначальных размеров. В результате увеличивается их масштаб в продольном направлении и резко уменьшается амплитуда. В уравнении (2.12) можно пренебречь последним членом, что позволяет представить Фурье-образ коррелятора плотностей потоков

J (к) =J(k Q со) =fdx dz dt J(x,z,t)exp(i*Kx+i*4z+i*cot) (2.17) в следующем виде

J(k)=Qyy(k)Wyy(k); Qyy(k)=Qy(k)Qy(-k), (2.18)

где к=(кХ,со)- волновой вектор, Qy(k)~ передаточная функция. . Фурье - образы коррелятора пульсаций плотности потока и нормальной компоненты скорости пропорциональны, однако связь между ними нелинейная. Передаточная функция Qy(k) зависит от коэффициентов турбулентной диффузии Dap, которые в свою очередь выражаются через гидродинамический коррелятор Wap. Вид передаточной функции Qy(k) определяется величинами трех безразмерных комбинаций переменных к,¿со:

N,= KLd; N2^(^yxx+cfvyy)SD2; N3=[(co/D)2+(>C+<?)2]Sd4; (2.19)

где

г 8 3

Ld=--SD—(D/dyy)l/4; vaY=Day/Dyy при y=SD.

pv D

(2.20)

Получены следующие асимптотические формулы для четырех характерных областей параметров к,С, и со:

1) при|Н|«1, ¡=1,2,3

где

-г 2л/2 £>с0

3 =--^ (2-22)

к д0

- средняя плотность потока в диффузионном слое постоянной толщины, 0=0,915965 - постоянная Каталана;

2) при N1->оо

I

й гкЬ,.

"О

3) при N2 ~>оо

0.{УС)~уг(^ухх+^ууУГ3/4^ З03/2Ю у2-=23/2л/Г(1/4)2 (2.24)

Данные представлены в безразмерных переменных {Э+ = ~—Г 03-г ~'

4) при N3 ->оо

0_{Ъ)~2[1(с<т 4- (¿+ ¿?)Г3/2 7 /О (2.25)

На рис.2 представлены результаты численного расчета зависимости

передаточной функции от частоты со при малых волновых числах к,

£> О) г-- СО =-,

]80 " со, где

С0*=О/5о2 (2.26)

характерная частота пульсаций концентрации.

Линейная теория применима для расчета передаточной функции в области высоких частот и высоких волновых чисел, параметры (2.23) и (2.25). В области низких частот и низких волновых чисел, параметры (2.21), пренебрежение вкладом высших моментов приводит к завышению 0,у примерно в 8 раз, т.е. спектр плотностей потока завышается примерно в 60 раз.

Полученные результаты расширяют возможности вычисления корреляционной функции нормальных пульсаций скорости по измерениям пульсаций потоков в матрице микроэлектродов внутри установившегося диффузионного слоя.

к та х

1 -нелинейная

2 - линейная

3 - формула ( 2.25)

3"

о

ф

о. ф

с

0,01 0,1 1 10

безразмерная частота со

100

Рис.2. Передаточная функция отклика плотности тока на нормальные пульсации скорости в условиях установившегося по толщине диффузионного слоя.

Спектр пульсаций потока на электроде большого размера. В случае, когда длины электрода в продольном и поперечном направлениях много больше соответствующих гидродинамических корреляционных длин, спектр равен

где Б - площадь рабочей поверхности электрода. Если для вычисления коррелятора плотностей потоков J воспользоваться формулой (2.18), то получим для спектра пульсаций потока нулевое значение, поскольку Фурье-образ коррелятора \Ууу при нулевых волновых числах равен нулю. Физически это означает, что в пределах одной пульсации скорости количество жидкости движущейся к поверхности, равно количеству жидкости, движущейся обратно. Все пульсации скорости, целиком попадающие в приэлектродную поверхность, порождают пульсации концентрации, которые не дают вклада в поток к поверхности электрода. Формула (2.18) получена из упрощенного уравнения для коррелятора С, не учитывающего слагаемого г?) У,* представляющего вклад

моментов пятого и более высокого порядка в цепочке корреляторных уравнений. Учет последнего слагаемого приводит уже к ненулевому

00

/(й>) = 5 | г, со)дхск = &/(*- = 0, д = 0, а>),

значению спектра. В области низких частот для спектра получена следующая оценка

/(¿у) ~ А. ТпЬхЬ,Б^2 при со«со. (2.27)

где Ьх, длина корреляции пульсаций скорости в продольном направлении; величина определенная в формуле (2.20), представляет расстояние, на которое сносится пульсация концентрации потоком за время своего существования. Сильная конвекция приводит к уменьшению автокорреляционной функции пульсаций тока большого электрода в Ьц/Ьх »1 раз.

Таким образом, спектр пульсаций потока массы на протяженном электроде определяются главным образом нелинейными эффектами.

Взаимный спектр турбулентных шумов протяженных электродов. Исследуется взаимная корреляция пульсаций потока электродов Е) и Ег прямоугольной формы, имеющих общую границу вдоль оси х, направленной вдоль среднего потока жидкости. Размеры электродов в продольном X и поперечном Z направлениях много больше гидродинамических корреляционных длин Ьх и Ь2 соответственно. Толщина диффузионного слоя над рассматриваемыми электродами постоянна, что достигается введением вверх по потоку электрода Ео, на котором происходит стабилизация диффузионного слоя. Расстоянием между электродами пренебрегается.

В области высоких частот со » для расчета взаимного

спектра электродов применима линейная теория. Взаимный спектр пульсаций потоков протяженных электродов может быть представлен в двух эквивалентных формах : как интеграл от коррелятора нормальных пульсаций скорости

^гс12^(Ьсм'уу(<<Х>,Х,2) ' (2.28а)

или в виде интеграла от поперечных пульсаций скорости

1(0)) = --^г72Х Г* сЬсп„((О,х,г = 0) (2.28Ь)

со

Выражение (2.28) получено без учета в уравнении (2.12) вклада моментов третьего и более высокого порядка и может рассматриваться как первое приближение для спектра взаимной корреляции токов. Учет вкладов от высших моментов приводит к двум классам поправок, изменяющимся по -3 -5

законам со и ю , соответственно. В отличие от основного члена, учитывающего вклад корреляционных моментов только второго порядка, указанные поправки выражаются через интенсивность не только нормальной, а всех трех компонент вектора пульсаций скорости. В области же низких и

15

умеренных частот высшие моменты дают такой же по порядку вклад во взаимный спектр пульсаций потоков, как и моменты второго порядка.

В третьей главе исследуется массоперенос в развивающемся турбулентном диффузионном слое. Получено численное решение задачи о среднем массопереносе. Вычислены передаточные функции отклика диффузионного слоя микроэлектрода на продольные и нормальные пульсации скорости в вязком подслое жидкости.

Средний массоперенос в развивающемся турбулентном диффузионном слое. Рассматривается полностью развитое турбулентное течение жидкости вдоль плоской твердой границы у=0. В ядре потока, у —» оо концентрация диффундирующей примеси равна Со- На активной части твердой границы (у=0, х>0) концентрация равна 0.

Как показано в литературе, в основной части развивающегося диффузионного слоя можно пренебречь молекулярным и турбулентным переносом в продольном направлении. Для плотности турбулентного потока по нормали]ту используются формулы (2.11), (2.16), для средней скорости и -линейная аппроксимация (2.14). Уравнение турбулентного массопереноса принимает следующий вид:

= + (2.29)

ру дх ду

Граничные условия следующие:

~С —> с0 при у -> 00 ИЛИ X -> О с ~> 0 при у -> 0 или х -> 0 (2.30)

Выражение для плотности турбулентного потока ]т~(1ууу! Зс / ду было получено также с помощью полуэмпирических гипотез. Во всех этих работах коэффициент с1уу выражался через кинематическую вязкость и включал подгоночную эмпирическую константу к,

с1уу=ку/у* . (2.31)

Напротив, в формуле (2.16) параметр йуу выражается через точно определяемые гидродинамические характеристики.

Характерная длина стабилизации диффузионного слоя совпадает с масштабом Ьр, определенным формулой (2.20).

В случае, когда длина активного участка массопереноса X много меньше Ьо, для коэффициента массопередачи К(Х) применима известная формула Левека

К(Х)^К0(Х) прпХ-+0; К0(Х) = /3(—)из

РУХ (2.32)

/? = 34/З2"'гф = 0.807

Для протяженного участка активной поверхности (Х»Ьр) коэффициент массопередачи вычисляется по формуле

К(Х)-+Кп(Х) при Х-><я;

с0 У х

г (2.33)

80 - (~т~У'А г = — = 0.9003

где средняя плотность потока в установившемся по толщине

диффузионном слое. Значение А, полученное численно в диссертации, равно 0.1285, Параметр А характеризует влияние входного участка диффузионного слоя на величину коэффициента массопереноса в полностью развитом диффузионном слое.

В промежуточной области значений * X решение задачи массопереноса можно представить в виде

= (2.34)

"о ¿о

где К ) - безразмерная функция. Результаты численного расчета

К представлены на рис. 3.

С ошибкой не более 1% коэффициент массопередачи можно аппроксимировать формулой

К(Х) = К0(Х) + +Р] ~ + р2 А2] С0 ^О Ч)

р0 =1.69*10"3 /7, =0.318 р2= 0.101

для х/Ьо<0.7 и формулой (2.33) для Х/Ьо>0.7.

Формула Левека применима для расчета коэффициента массопереноса с точностью 1% при Х<0.06Ьо, с точностью 5% при

Х<0.22Ьо.

Формула (2.33) для расчета коэффициента массопереноса вне области стабилизации диффузионного слоя применима с точностью 1% при Х>0.5Ьо, с точностью 5% - при Х>0.25Ьр

IX Ф

=т -Вто §

о. ф 5 о го о.

о ф

(о

5

2Г

га

ее

ф

о.

ф ■

с

о

8 го

-численным счет

----формула Левека

....... коэффициент массопередачи

в полностью развитом диффузионном слое

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

безразмерная длина электрода, С

Рис.3. Коэффициент массопередачи в развивающемся турбулентном диффузионном слое.

В определении продольного Ьр и поперечного масштабов Оо, формулы (2.20) и(2.33) присутствуют два гидродинамических параметра. Напряжение трения Т можно выразить через число Рейнольдса с помощью известных формул Блазиуса и Никурадзе. Напротив, параметр с1уу не может быть определен с такой же точностью из-за ограниченной информации об интенсивности и времени корреляции нормальных пульсаций скорости в вязком подслое. При оценке толщины диффузионного слоя 5о и продольного масштаба для с!уу можно использовать полуэмпирическую формулу (2.31).

5о=к"1/48с"1/4у»; Ь0=к"3/48с,/4у.; ^Зс^е"7'8, где с1ь-эквивалентный гидравлический диаметр. Для к=2,4* 10"4

Ьо/4=2,6*1038с1/411е'7/8 (2.35)

Формула (2.35) может быть использована для оценки зон применимости формулы Левека и решения для полностью развитого диффузионного слоя через гидравлический диаметр.

В случае массопереноса на цилиндрической поверхности (для течений в трубах или кольцевых зазорах) выполнена оценка влияния кривизны поверхности на скорость массопереноса. Выражение для коэффициента массопередачи на цилиндрической поверхности можно представить в следующем виде

К(Х)=К°(Х)+еК'(Х) с=80/Я,

где R - радиус кривизны поверхности; для течения в трубе R>0, в кольцевом зазоре R<0. Оценки, проведенные в диссертации, показывают, что поправка, учитывающая кривизну поверхности, для Sc=10 не превосходит 5Re" и для турбулентных течений составляет не более 1%.

Пульсации потока массы на микроэлектроде. Длина электрода X много меньше как длины участка стабилизации диффузионного слоя Ld, так и длины гидродинамических пульсаций Lx. Средний поток массы к поверхности электрода описывается формулой Левека (2.32). Корреляционная функция пульсаций концентрации вычисляется из линеаризованного уравнения в приближении метода пограничного слоя. Для коррелятора пульсаций скорости использовались степенные аппроксимации (2.15).

Для спектра пульсаций тока микроэлектрода в работе С.А.Мартемьянова получено следующее выражение:

I*(<Ü,X,Z) = Pap(co,X)í-zZdz waP(co,0,z)(Z-|z|), (2.36)

где Гц р(ю,Х) = Ра(ю,Х) Рр(-СО,Х) - компоненты передаточного тензора, характеризующего частотные свойства диффузионного слоя, Z - ширина электрода. В этой же работе получены общие формулы для функций Ра(со,Х), a также их асимптотические представления в области высоких и низких частот.

Для более детального описания частотных характеристик диффузионного слоя в диссертации выполнен численный расчет пульсаций концентрации диффундирующего вещества, вызванных как продольными, так и нормальными пульсациями скорости. Результаты расчета представлены на рис.4 и 5, где

Ра(ОЗх)=Ра(Ю,Х)/Ра(05Х) COx^CüD"1^ (2.37)

г

- нормированные передаточные функции

Достоверность результатов численного расчета проверялась сопоставлением с высокочастотными и низкочастотными асимптотиками, полученными в диссертации аналитическим путем

Рх(ю*) -~4lTI а = 2*3'1/3Г(1/3) ~ 3.72 (со. » 1) (2.38) ico {ico)

Ру(со*) =(10)(ico*)"3/2 (со.»1) (2.39)

Рис.4. Передаточные функции отклика тока микроэлектрода на продольные пульсации скорости

Рис.5. Передаточные функции отклика тока микроэлектрода на нормальные пульсации скорости

Результаты проведенных численных расчетов функции Рх и асимптотическое представление этой функции (2.38) хорошо согласуются с результатами монографии Накорякова В.Е., Бурдукова А.П., Кашинского О.Н., Гешева П.И., и принципиально отличаются от выводов работы АшЬагу А., Оез1ошз. С, ТпЬо11е1 В. 1986 г.

В четвертой главе рассматривается массоперенос к поверхности дискового электрода в условиях хаотического размешивания электролита механической мешалкой. В литературе исследованы механизмы массопереноса в условиях равнодоступной поверхности.

Целью настоящей работы является исследование всех возможных механизмов массопереноса к поверхности дискового электрода и определение границ режима равнодоступной поверхности.

Электрод вмонтирован в изолированную твердую поверхность, на которую набегает турбулентный поток жидкости. Течение жидкости вызвано вращением механической мешалки. Система осесимметрична, обтекаемая поверхность плоская, центр электрода находится на оси симметрии. Уравнение для средней концентрации в цилиндрической системе координат(/% г, ф)(координата г направлена по радиусу электрода, координата г - по нормали к поверхности, ф - угловая координата) имеет следующий вид

8с дс „г52с 1 9 8с д . 13... Л

и, — + и.--£>[—г- +--(г —)1 + — /.,., +--(/у... ) = 0,

дг дг дг г ог дг дг г дг

(2.40)

где

„ ОС . _ дс

Л; = "А* -Г- 3Тг = "А, — (2.41)

дг дг

нормальная и радиальная компоненты плотности турбулентного потока, —00

(2.42)

иг и иг - составляющие средней скорости в радиальном и нормальном направлениях. Для средней скорости жидкости вблизи электрода используется степенная аппроксимация

иг = Агг, и, - -Аг2 (2.43)

Значения А>0 соответствуют набеганию потока жидкости на поверхность, напротив А<0 - точке отрыва в месте расположения электрода. С учетом формул (2.41) - (2.43) уравнение (2.40) принимает следующий вид

. дс 2 дс д , ^ 4 дс I д Г 2ч <Эс .

Агг--Аг---(П + (1„г )----[/•(£> + —1 = О

>-\ <-» /-у V 22 / л Ь V гг ' Л

дг дг дг дг г дг дг

(2.44)

Уравнению (2.44) соответствуют следующие граничные условия

с — 0 при 2=0, г< К; (2.45)

д с /дг — 0 при г=0, г>Я; с —> Со при X —> °о, г —> да; дс/дг^ 0 при г=0.

Рис.6. Зависимость толщины диффузионного слоя дискового электрода от его радиуса в условиях хаотического размешивания электролита.

Для радиуса электрода можно выделить следующие три характерных размера:

Л/=А1/2; Я2 = ; К3 = с1ггтВ1/6\АХ2" (2.46)

причем Я] «Из, Я] «Яз.

Соответственно, существуют следующие три характерные области значений радиуса электрода, см. рис.6, 1) Г1«К.|, 2) R1<<R<<R*, 3) К»К*,где

шт{К2Дз}

В первой области (К«К]) средний поток обусловлен исключительно молекулярной диффузией. Толщина диффузионного слоя пропорциональна радиусу электрода. Средний поток массы описывается следующей известной формулой

Т = -4Л£>С0. (2.47)

Во второй области (R1<<R<<R2) средний поток определяется интенсивностью радиальных пульсаций скорости. Толщина диффузионного слоя пропорциональна R1/2. Для среднего потока массы в диссертации получена следующая формула

7 8 3/2 г*3/4 , 1/4 „ ,, ...

I =-—л D агг Со (2.48)

В третьей (R»R*) толщина диффузионного слоя стабилизируется. Поток массы к поверхности электрода определяется интенсивностью турбулентности и направлением среднего потока жидкости. Интенсивность турбулентности определяется безразмерным параметром h

h-Ddzz3/A4 (2.49)

В случае высокой интенсивности турбулентности (h»l) средний ток определяется интенсивностью нормальных пульсаций скорости, R+=R2«R3- Поверхность электрода равнодоступна в диффузионном отношении. Для среднего тока электрода применима следующая известная формула

7 = -25/2 R2 D3/4 dj/4c0 (2.50)

В случае малой интенсивности нормальных пульсаций скорости (h<<l) скорость массопереноса определяется средней скоростью жидкости, R»=R3«R2. При Л>0 (средний поток жидкости набегает на поверхность электрода) ток электрода зависит только от нормальной составляющей средней скорости. Поверхность электрода также равнодоступна в диффузионном отношении. Ток электрода вычисляется по известной формуле

Г = -Yi tiR2 D2'3 А"3 СО YI = 3'2/3Г(1/3) =1,29. (2.51)

При А<0 (поток жидкости направлен от поверхности электрода, центр электрода — точка отрыва потока) существенна как нормальная, так и радиальная составляющие средней скорости. Плотность потока массы существенно неоднородна по поверхности электрода. Для среднего тока электрода в диссертации получена следующая формула

Т = -72 nR2 D2/3A 1/3со 72 = 32/3Г(1/3) =5,59. (2.52)

Поверхность электрода можно считать равнодоступной только в третьей области (R»R*) 1) в случае высокой интенсивности турбулентности h»l, формула (2.50); 2) h«l, А>0, формула (2.51).

Более детальную информацию о пульсациях скорости позволяет получить спектр пульсаций потоков электрода.

Исследуется частотный спектр пульсаций тока дискового электрода в условиях с повышенным уровнем турбулентности, когда средняя скорость пренебрежимо мала по сравнению с интенсивностью турбулентных пульсаций (Ь»1). Для радиуса электрода здесь можно выделить следующие три характерных масштаба:

Л/, И*=И.2, Ьсогг,

где Ьсогг - Длина корреляции пульсаций скорости. Оценки, проведенные в диссертации, показали, что корреляционная длина пульсаций скорости жидкости Ьсогг не превосходит по порядку масштаб Кг. Здесь можно выделить следующие два характерных случая: первый - случай электрода в условиях равнодоступной поверхности (Я»Кг, К>>ЬС0ГГ); второй - случай микроэлектрода, радиус которого много меньше как радиуса стабилизации диффузионного слоя Яг, так и корреляционной длины пульсаций скорости

1-*СОГГ'

Средний поток к поверхности микроэлектрода описывается формулой (2.48) (случай Я<К/ не представляет практического интереса). Частотный спектр пульсаций потока равен

1(<й)=ч?21((й)Ргг(&) Ра(<о)=Р2(<й)Рг(-(й) (2.53)

где Р22 - передаточная функция отклика диффузионного слоя электрода на нормальные пульсации скорости. Толщина диффузионного слоя г* и характерная частота спектра (£>» равны

2,= (Лум Д; =(0/ёгг)!/4К!/2 (2.54)

«с

В области низких частот Р2 равна

г3 _

Рг((й) = при Сй«<э»; (2.55)

численно полученное значение константы р1 равно 0,474.

В области высоких частот для функции Рг аналитически получено следующее выражение

\РгМ\ = 20'/2(ы)-3/2Т СО» СО* (2.56)

В основной области

23 _

Рг(а) = Р+((й+)~1 со+~со/со* (2.57)

где безразмерная функция Р+((й+) характеризует частотную зависимость отклика диффузионного слоя электрода на пульсации скорости. Результаты расчета функции Р±((й+) представлены на рис.7. 24

0,1:

1 - нелинейная теория

2 - линейная теория

3 - формула (2.56)

0Л 1 10

Рис.7. Передаточная функция отклика тока микроэлектрода на нормальные пульсации скорости в условиях хаотического турбулентного течения электролита.

В области высоких частот вид Р+((0+) хорошо описывается в рамках линейной теории, для низких частот пренебрежение вклада высших моментов приводит к резкому (примерно в 8 раз) завышению спектра пульсаций токов электрода. Проинтегрировав спектр по частоте, получим следующее выражение для интенсивности пульсаций тока электрода

<1'2> = Р2 А2Г-; р2=- ГРЛ^)РЛ-^(0+ (2.58)

к2 я Л

Численно полученное значение Р2 равно 0,36. Отметим, что в рамках линейной теории параметр (Зг принимает значение 1,74, что завышает коррелятор пульсаций потока примерно в 5 раз.

ТРЕТЬЯ ЧАСТЬ посвящена диффузионно - конвективной неустойчивости Марангони в процессах массопереноса на границе газ -жидкость.

Для процессов массопереноса на свободной поверхности модель пассивной примеси неприменима. Свободная поверхность является активным элементом, влияющим на поле скорости жидкости.

Экспериментально известен гистерезис скоростей процессов абсорбции и десорбции газов слоем жидкости. Скорость процесса десорбции хорошо описывается известным решением уравнения диффузии в неподвижкой жидкости. В случае же абсорбции процесс протекает в

диффузионном режиме только до некоторого критического времени tcr, после чего переходит в более интенсивный конвективный режим. Увеличение скорости массопереноса в процессе абсорбции объясняется движением жидкости в приповерхностном слое, вызванным диффузионно- конвективной неустойчивостью процесса. Вывод об устойчивости процесса десорбции справедлив только в условиях, исключающих испарение и другие параллельные процессы массопереноса. Десорбция в газ, не насыщенный парами воды, обязательно сопровождается ее испарением. В процессе испарения на свободной поверхности происходит интенсивное поглощение тепла, что может привести к нестабильности поверхности. Ускорение процессов десорбции углекислого газа из воды является актуальной задачей в химии и медицине.

В первой главе исследуется конвективная неустойчивость Марангони в процессе десорбции газа из жидкой фазы, протекающей совместно с испарением. Определены условия возникновения конвективной неустойчивости в совмещенном процессе десорбции и испарения.

Рассматривается нестационарный массоперенос в системе газ -жидкость: полубесконечный слой газа А расположен над полубесконечным слоем жидкости, в которой растворены газы А и В. По компоненту А жидкость находится в равновесии с газовой фазой. Газовая и жидкая фазы считаются неподвижными. В начальный момент времени t=0 газовая и жидкая фазы начинают взаимодействовать: газ В десорбирует, а жидкость испаряется.

Поверхностное натяжение зависит от температуры и состава смеси. Поскольку коэффициент диффузии в газовой фазе на три порядка больше, чем в жидкости, основное сопротивление десорбции сосредоточено в жидкой фазе. Поэтому концентрацию десорбируемого компонента на межфазной границе можно считать равной нулю. В этом случае поверхностное

натяжение а зависит только от температуры Т. Для малых изменений температуры примем

су =аоо-8(Т-Тм), (3.1) где Too - температура в глубине слоя жидкости.

Уравнения массопереноса с учетом поверхностной конвекции имеют следующий вид

5ci/at+v,Vc,-DiV2ci=0, z<0 (3.2)

ÔC2/a+V2Vc2-D2V2C2=0, z>0 (3.3)

ST/dt+v, VT-x V2T=0, z<0 (3.4)

д ■> — rot vi+(viv)rotvi-(rotvi)vrv,v>i=0, z<0 (3.5)

д ■>

— го1 Уг+СУгУУсгёУг-Ого^гЭ'Уг-УгУ42=0, г>0 (3.6)

3/

где С] и Сг - концентрации десорбируемого вещества и пара, О] и Ог -соответствующие коэффициенты молекулярной диффузии, У|=(У1х,У1У,Уи) и Уг^^СУгх^гу^гг) - скорости жидкой и газовой фазы, V] и Уг -кинематическая вязкость жидкости и газа, температуропроводность. Координата ъ направлена вверх перпендикулярно межфазной границе, значения г<0 соответствуют жидкой фазе, а г>0 — газовой фазе. Теплопроводность жидкости много выше, чем газа, поэтому теплопереносом в газовой фазе можно также пренебречь.

Начальные условия к уравнениям (3.2) — (3.6) имеют следующий вид:

с/=с/*, Т= Тсо, У/л;=У/^=У/г при г<0, 1=0 (3.7)

с2=0, \2х=^2у=У2г =0 при г>0, /=0 (3.8)

где С[» - концентрация десорбируемого вещества в глубине жидкого слоя. Граничные условия следующие: на свободной поверхности

л л ЗГ 6с. .. ^ дс7

С! =0, С2 = С2% У1г = У2г = 0, -р,С Г —- = —- Я ,£>2 —2-

дг ог сг

дТ тЭу1у дТ

= нри 2=0; дг ох дг су

(3.9)

в глубине слоя жидкости

С] С]., Т Т», VI 0, д\\/дг->0 при г-> -да; (3.10)

В газовой фазе вдали от межфазной границы

с2 -» 0, Уг-> 0, 0 при г -> +оо (3.11)

где Сг* - равновесная концентрация пара на межфазной границе, Н] и Н2 -удельная теплота растворения десорбируемого вещества и удельная теплота йспарения жидкости, р) и рг - плотности жидкости и газа, ср- удельная теплоемкость жидкости.

Метод решения задачи заключается в следующем: сначала ищется решение для процесса в диффузионном режиме (скорости в жидкой и газовой фазах равны нулю), далее проводится линейный анализ устойчивости решения относительно малых возмущений скорости.

Анализ системы уравнений показал, что неустойчивость процесса соответствует положительным значениям величины Р

Р=Г2-Р, (3.12)

27

где

р2= Н2с2.В2'/2 [1/(1+ф2/и2)1/2) + 1/(1±(х^ш)] (3.13)

Н1с,,и,ш[1/(1^(01/у1)Ш)- 1/(1+ (//»,)!/2)] (3.14)

Отметим, что процесс испарения в отсутствие десорбции протекает в неустойчивом режиме =р2 >0). Напротив, десорбция в отсутствие испарения устойчива на сколь угодно большом промежутке времени (Т7 <0). Другими словами, испарение порождает развитие поверхностной конвекции, в то время как десорбция препятствует ей. Неустойчивость в совмещенном процессе имеет место, когда тепловой эффект испарения превосходит тепловой эффект десорбции.

Оценки для системы азот (газ А), вода, двуокись углерода (газ В) в нормальных условиях (температура 20°С, давление атмосферное) позволяют заключить: тепловой эффект испарения примерно в 30 раз больше, чем при десорбции двуокиси углерода. Совмещенный процесс конвективно неустойчив.

В случае, когда массоперенос на свободной границе сопровождается химическими реакциями, поверхностные движения становятся настолько интенсивными, что вызванное ими ускорение массопереноса может превосходить ускорение, вызванное турбулизацией потока. В промышленности используется очистка воздуха от С02 водным раствором моноэтанол амина.

Во второй главе исследуется конвективная неустойчивость Марангони в процессе абсорбции, осложненном объемной химической реакцией. Жидкая ламинарная пленка стекает по вертикальной поверхности в противотоке восходящему газу. В газовой фазе содержится компонент А, который абсорбируется жидкой пленкой. В жидкой фазе содержится поверхностно активный компонент В, который вступает в химическую реакцию с компонентом А

А+пВ=Е+Р (3.15)

Изменение концентрации поверхностно активного хемосорбента приводит к сильному изменению поверхностного натяжения. Устойчивость процесса абсорбции определяется именно зависимостью поверхностного натяжения от концентрации хемосорбента В. Считая возмущения концентрации В малыми величинами, примем

о(В) = а(В)+£(В-В.) (3.16)

где £ - производная поверхностного натяжения по концентрации компонента В

Концентрации компонентов^ и В в диффузионном режиме описываются следующими известными уравнениями

д дх ~£>А э2.

д дх -А,

)/4(0) + гА{0)В{0) = О

(3.17))

)Б(0,+ш-Л(0)Я(0) = О

где и(г) - скорость стекающей пленки, В а, Ов - коэффициенты диффузии компонентов А и В, в жидкости, г - константа скорости химической реакции. Координата х направлена вертикально вниз, а координата 2 перпендикулярно обтекаемой поверхности. При малых числах Рейнольдса свободную поверхность пленки можно считать плоской. На границе газ -жидкость примем 2=0. Скорость в жидкой фазе описывается следующей известной формулой

С/(г) = ^-(й2-г2) (3.18)

где /г - толщина пленки, g -ускорение свободного падения, V -кинематическая вязкость жидкости.

Поскольку коэффициент молекулярной диффузии компонента А в газовой фазе на три порядка выше, чем в жидкости, сопротивлением массопереноса в газовой фазе можно пренебречь. Граничные условия для уравнений (1) зададим в следующем виде:

А(0) = 0, В(0) = В. при х = 0

Ат=А, ЭВ(0)/& = 0 при 2 = 0, х>0 (3.19)

дАт/дг = 0, дВт/дг = 0 при г = Н,х>0 где А* - равновесная концентрация компонента А, В* - начальная концентрация компонента В.

Учет конвекции, вызванной силами поверхностного натяжения, приводит к появлению в уравнениях (3.17) конвективных членов и включению в систему уравнений движения несжимаемой жидкости. Влияние сил поверхностного натяжения учитывается в граничном условии для скорости жидкости на свободной границе

руд\'х/дг = -да/дх р\>дуу/дг = -да/ду при г = 0 (3.20)

Проведенный анализ показал, что для отрицательных значений производной поверхностного натяжения по концентрации В (5<0) процесс хемосорбции протекает в конвективно неустойчивом режиме, что согласуется с экспериментально известным фактом неустойчивости процесса абсорбции

ССЬ водным раствором моноэтаноламина. Для положительных значений Б

устойчивость процесса хемосорбции существенно зависит от абсолютной величины е. Ввиду нелинейности уравнений (3.17) для параметра Е существует характерный масштаб

е*=(гВ*)1/2ру3/2(пА)"1 (3.21)

Для умеренных положительных значений производной поверхностного натяжения £< Е* все возмущения концентраций со временем затухают, что так же согласуется с известным фактом устойчивости абсорбции углекислого газа водным раствором ЫаОН. В случае высоких положительных значений производной поверхностного натяжения Е»Е* имеет место новый случай неустойчивости. В случае высоких значений производной по концентрации хемосорбента при £< 0 имеет место монотонная, а при Е> 0 колебательная неустой ч ивость.

Основные выводы

1. Получено замкнутое уравнение для пространственно — временной корреляционной функции пульсаций концентрации, учитывающее вклад моментов порядка выше второго. Величина коррелятора пульсаций концентрации определяется парным коррелятором пульсаций скорости, связь между корреляторами пульсаций скорости и- концентрации нелинейная. Полученное уравнение позволяет выразить основные флуктуационные характеристики пристенного турбулентного массопереноса через гидродинамические характеристики турбулентного течения.

2. В условиях диффузионного слоя постоянной толщины пренебрежение вкладом высших моментов приводит к резкому (примерно в 60 раз) завышению спектра пульсаций плотностей потока массы.

3. Пульсации потока массы к поверхности протяженного электрода определяются главным образом нелинейными эффектами.

4. В случае массопереноса к поверхности дискового электрода в условиях хаотического размешивания электролита можно выделить следующие два случая: первый- электрод, радиус которого много меньше как размера гидродинамических пульсаций, так и радиуса стабилизации диффузионного слоя; второй — электрод в условиях равнодоступной поверхности, радиус которого много больше размеров гидродинамических пульсаций. В практически важном первом случае средний поток к поверхности электрода определяется интенсивностью радиальных пульсаций скорости, спектр пульсаций потока — интенсивностью нормальных пульсаций; пренебрежение вкладом высших моментов завышает спектр примерно в 8 раз.

5. Процесс десорбции двуокиси углерода из воды совместно с ее испарением в сухой азот при нормальных условиях протекает в гидродинамически неустойчивом режиме.

6. В процессе абсорбции, осложненном объемной химической реакцией, неустойчивость Марангони возможна как при отрицательных, так и при положительных значениях производной поверхностного натяжения по концентрации хемосорбента.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Скурыгин Е.Ф., Воротынцев М.А., О поведении смешанного коррелятора пульсаций скорости жидкости и концентрации пассивной примеси при больших значениях временного аргумента // Электрохимия. Т.23, С.1001-1002, 1987.

2. Skurygin E.F., Vorotyntsev М.А., Martem'yanov S.A., Space-time fluctuations of a passive impurity concentration within the diffusion boundary layer in the turbulent flow of a liquid // J. Electroanal. Chem., V. 259, P.285-293, 1989.

3. Скурыгин Е.Ф., Воротынцев M.A., Мартемьянов С.А., Пульсации концентрации пассивной примеси в диффузионном слое при турбулентном течении жидкости // Электрохимия. Т.25 С.663-667. 1989.

4. Скурыгин Е.Ф., Воротынцев М.А., Мартемьянов С.А., Пульсации плотности тока в турбулентном диффузионном слое постоянной толщины //Электрохимия. Т.25 С.668-673. 1989.

5. Скурыгин Е.Ф., Мартемьянов С.А., Воротынцев М.А., Графов Б.М., // К расчету частотных характеристик турбулентного диффузионного слоя микроэлектрода// Электрохимия. Т.25. С.772-774. 1989.

6. Vorotyntsev М.А., Skurygin E.F., Fluctuative Properties of Turbulent Mass Transfer at an Electrode // Proceeding of the 3th Workshop International, Electrodiffusion Diagnostics of Flows, Dourdan 9-12 mai 1993, P. 149-160.

7. Скурыгин Е.Ф., Мартемьянов C.A., Графов Б.М., Взаимный спектр турбулентных шумов протяженных электродов в условиях постоянства диффузионного слоя. Линейная теория // Электрохимия, Т.32, С. 789-795. 1996.

8. Мартемьянов С.А., Скурыгин Е.Ф., Графов Б.М., Взаимный спектр турбулентных шумов протяженных электродов в условиях постоянства диффузионного слоя. Нелинейные эффекты // Электрохимия, Т.32, С. 1141 --1146. 1996.

9. Skurygin E.F., Martemyanov S.A., Grafov В.М., The cross - correlations of electrodes current pulsations in turbulent flows //Proceedings of the 4lh International Workshop on Electrochemical Flow Measurements -Fundamentals and Applications, 1996, Lahnstein, Germany, Edited by E.Heits, K. Juttner. Poster 3.5.

10. Скурыгин Е.Ф. Предельный диффузионный ток электрода в условиях хаотического размешивания электролита // ТОХТ, Т.34, №6, С.606-611,2000.

11. Skurygin E.F. Dil'man V.V., On Marangoni instability during desorption accompanied by evaporation // Journal of Food Engineering 2000, issue 3, P. 125- 131.

12. Скурыгин Е.Ф., Спектр пульсаций тока электрода в условиях хаотического турбулентного течения электролита // ТОХТ, Т.35, №6, С.574-581, 2001.

13. Martemyanov, S., Skurygin, Е., Legrand, J., Turbulent mass transfer in the developing diffusion layer at large Schmidt numbers // International journal of heat and mass transfer, V 42, P. 2357-2363, 1999.

14. Скурыгин Е.Ф., Дильман В.В., О конвективной неустойчивости Марангони в процессе абсорбции, сопровождающейся с объемной химической реакцией // ТОХТ, Т.40, №2, С.115-123. 2006.

Лицензия ПД 00661 от 30.06.2002 г. Пен. л. 2. Заказ 1669. Тираж 100. Отпечатано в типографии Ярославского государственного технического университета г. Ярославль, ул. Советская, 14 а, тел. 30-56-63.

Введение

Часть 1.

Принципы описания межфазного массопереноса в условиях хаотической конвекции

Глава 1. Уравнения механики многокомпонентных смесей.

1.1.1. Уравнения сохранения массы

1.1.2. Молекулярная диффузия и и закон Фика.

1.1.3. уравнения движения смеси.

Глава 2. массоперенос в пристенном турбулентном диффузионном слое

Глава 3. Диффузионно - конвективная неустойчивость на границе газ -жидкость 3 3 Часть 2.

Нелинейные эффекты пристенного турбулентного массопереноса

Глава 1. Пространственно- временные флуктуации концентрации пассивной примеси в диффузионном слое жидкости

2.1.1. Формулировка проблемы

2.1.2. качественная картина явления

2.1.3. поведение смешанного коррелятора пульсаций концентрации и скорости при больших значениях временного аргумента.

2.1.4. замкнутое уравнение для коррелятора S 53 произвольного порядка

2.1.5. вывод замкнутого уравнения для коррелятора 57 пульсаций концентрации

2.1.6. выводы

Глава 2. Флуктуационные характеристики турбулентного массопереноса 63 условиях диффузионного слоя постоянной толщины.

2.2.1. формулировка проблемы.

2.2.2. Пульсации концентрации в диффузионном слое 64 постоянной толщины

2.2.3. Пульсации плотности потока вещества

2.2.4. Временная корреляция пульсаций потока на электроде большого размера

2.2.5. Взаимный спектр турбулентных шумов протяженных электродов.

2.2.6. выводы.

Глава 3. Турбулентный массоперенос в развивающемся диффузионном слое.

2.3.1. Средний массопереноса в развивающемся диффузионном слое.

2.3.2. Пульсации концентрации в развивающемся диффузионном слое

2.3.3. Численное решение задачи о пульсациях потока массы на микроэлектроде

2.3.4. Выводы

Глава 4. Массоперенос к поверхности дискового электрода в условиях хаотического размешивания электролита. 112 2.4.1. Средний массоперенос к поверхности дискового 112 электрода

2.4.2. Спектр автокорреляции пульсаций потока массы к поверхности дискового электрода в условиях хаотического турбулентного течения электролита

2.4.5. Выводы

Перенос вещества в диффузионном слое жидкости лежит в основе многих химических и электрохимических технологических процессов [1-8].

Хорошо известно, что мелкомасштабное хаотическое движение жидкости вблизи межфазной границы резко снижает диффузионные ограничения, что используется для интенсификации химических процессов.

Типичными случаем является массоперенос в жидкости при турбулентном режиме течения. [9-11] При высоких числах Рейнольдса течение теряет устойчивость, поле скорости во всем объеме имеет случайный, хаотический характер. Перемешивание жидкости, вызванное турбулентным движением, на порядки увеличивает скорость массопереноса по сравнению с молекулярной диффузией.

Другой случай, перенос вещества в условиях нестабильной свободной границы жидкости. Процесс массопереноса сопровождается выделением/поглощением тепла на межфазной границе. Изменения температуры вызывают изменения поверхностного натяжения, что порождает силы, приводящие жидкость в движение. При определенных условиях поверхностная конвекция может вызвать гидродинамическую неустойчивость и привести к резкому увеличению скорости массопереноса, что известно как эффект Марангони, по имени ученого, одним из первых занимавшимся этим явлением [3], [12].

Два случая - турбулентное течение и покоящаяся жидкость с нестабильной свободной границей - имеют одну и ту же природу ускорения массопереноса. В первом случае мелкомасштабная конвекция вызвана неустойчивостью течения в объеме при больших числах Рейнольдса, во втором -неустойчивостью, порожденной поверхностными силами. В первом случае для ускорения массопереноса требуется создание условий для хаотического движения жидкости во всем объеме, во втором - для достижения такого же эффекта достаточно движения жидкости в тонком приповерхностном слое. Поверхностную конвекцию в литературе часто называют «межфазная турбулентность», чтобы подчеркнуть сходство этих явлений [13]-[18].

При течении жидкости с числом Рейнольдса меньше критического все возмущения скорости в потоке затухают со временем и течение имеет устойчивый ламинарный характер. При достижении чисел Рейнольдса, превышающих критическое значение, в потоке возникает полоса спектра возмущений скорости, которые не затухают со временем, что делает течение неустойчивым. С увеличением числа Рейнольдса расширяется спектр незатухающих пульсаций скорости. В полностью развитом турбулентном течении размер самых крупных пульсаций определяется размером всего потока, а самых маленьких - зависит от вязкости жидкости [19]. В случае поверхностной конвекции представлена только мелкомасштабная часть спектра. С одной стороны именно этот участок спектра, порожденный силами поверхностного натяжения, определяет скорость межфазного переноса вещества. С другой стороны, мелкомасштабная конвекция имеет много общего с течениями при числах Рейнольдса незначительно превышающих критическое, что позволяет рассматривать последнюю как зарождающуюся турбулентность. Позволяет применять те же математические методы как при исследовании поверхностной конвекции, так и зарождающейся турбулентности.

В виду сложности проблемы массопереноса в условиях хаотической конвекции используют упрощающие модели. Такие модели позволяют детально анализировать явления и во многих случаях позволяют адекватно описывать реальные процессы.

Широкое распространение получила модель пассивной примеси [1]Л2], [5] , [7] , [9] , [10], [19], [20]. Такая модель широко применяется при описании турбулентного массопереноса вблизи твердой поверхности. Наиболее изученным является массоперенос при больших числах Шмидта. Именно такой случай характерен для переноса в жидкостях. В работах [21-24] без использования полуэмпирических гипотез получено выражение для плотности турбулентного потока, что позволило замкнуть уравнение для средней концентрации

Недостаток информации о характеристиках турбулентности - основная проблема описания турбулентного массопереноса при больших числах Шмидта [20] . Следует сказать, что для Sc ~ 103 толщина диффузионного слоя составляет порядка десяти микрон, и такие методы, как термоанемометрия или визуализация течения на столь малых расстояниях от стенки не дают результатов. Уникальным методом исследования пристенной турбулентности является разработанный Ханратти электрохимический метод [25]. Пульсации тока электрода содержат информацию о локальной структуре турбулентности в вязком подслое. Интерес к такой информации не ограничивается только проблемами турбулентного массопереноса, но и помогает в решении фундаментальной проблемы турбулентности. В турбулентных течениях пульсации скорости порождаются именно в пристенной области, где градиент средней скорости максимален. Информация о структуре турбулентности в вязком подслое крайне важна для понимания процессов генерации турбулентности [26],[27]. Такая информация может быть использована для оценки теорий вязкого подслоя, может служить основой для создания методов гидродинамических расчетов.

Использование электрохимического метода требует построения теории этого метода. Требуется достаточно точное описание отклика диффузионного слоя электрода на пульсации скорости жидкости. Одно из ограничений использования электрохимического метода - проблема учета нелинейных членов в уравнении для пульсаций концентрации, или, что тоже, проблема учета вклада высших моментов в уравнении для корреляционной функции пульсаций концентрации.

В диссертации приводится вывод замкнутого уравнения для коррелятора пульсаций концентрации, учитывающего вклад моментов третьего и более высокого порядков. Исследуются флуктуационные характеристики пристенного турбулентного массопереноса.

В случае массопереноса на границе жидкость - твердое тело пульсации скорости резко затухают при приближении к поверхности, что создает ограничения скорости массопереноса. Скорость массопереноса существенно зависит от числа Шмидта. Напротив, на свободной поверхности пульсации скорости не обращаются в ноль, они полностью снимают диффузионные ограничения массопереноса [3] .

В диссертации рассматриваются условия возникновения поверхностной конвекции в сложных процессах массопереноса.

Результаты диссертации опубликованы в работах [2841] .

Основные выводы диссертации

1. Получено замкнутое уравнение для пространственно -временной корреляционной функции пульсаций концентрации, учитывающее вклад моментов третьего и более высокого порядков. Величина коррелятора пульсаций концентрации определяется парным коррелятором пульсаций скорости, связь между корреляторами пульсаций скорости и концентрации нелинейная. Полученное уравнение позволяет выразить основные флуктуационные характеристики пристенного турбулентного массопереноса через гидродинамические характеристики турбулентного течения.

2. В условиях диффузионного слоя постоянной толщины пренебрежение вкладом высших моментов приводит к резкому (примерно в 60 раз) завышению спектра пульсаций плотностей потока массы.

3. Пульсации потока массы к поверхности протяженного электрода определяются главным образом нелинейными эффектами.

4. В случае массопереноса к поверхности дискового электрода в условиях хаотического размешивания электролита можно выделить следующие два случая: первый- электрод, радиус которого много меньше как размера гидродинамических пульсаций, так и радиуса стабилизации диффузионного слоя; второй - электрод в условиях равнодоступной поверхности, радиус которого много больше размеров гидродинамических пульсаций. В практически важном первом случае средний поток к поверхности электрода определяется интенсивностью радиальных пульсаций скорости, спектр пульсаций потока интенсивностью нормальных пульсаций, пренебрежение вкладом высших моментов завышает спектр примерно в 8 раз.

5. Процесс десорбции двуокиси углерода из воды совместно с ее испарением в сухой азот при нормальных условиях протекает в гидродинамически неустойчивом режиме.

6. В процессе абсорбции, осложненном объемной химической реакцией, неустойчивость Марангони возможна как при отрицательных, так и при положительных значениях динамической производной поверхностного натяжения по концентрации хемосорбента.

1.Берд Р., Стюарт В., Лайтфут Е., Явления переноса. М: Химия, 1974.

2. Эккерт Э.Р. Введение в теорию тепло и массообмена. М.-Л.: Госэнергоиздат, 1957.

3. Аксельрод Ю.В., Газожидкостные хемосорбционные процессы. Кинетика и моделирование. М. : «Химия», 1989

4. Процессы и аппараты химической технологии. Явления переноса, макрокинетика, подобие, моделирование, проектирование. М. «Логос». 2000. Т.1. Основы теории процессов химической технологии.

5. Левич В.Г., физико- химическая гидродинамика. М. : Физматгиз., 1959. 669 с.

6. Фрумкин А.Н., Багоцкий B.C., Иофа Э.А., Кабанов Б.Н. Кинетика электродных процессов. М. : изд. МГУ, 1962.

7. Франк-Каменецкий Д.А., Диффузия и теплопередача в химической кинетике. 3-у изд. М.:Наука, 1987. 491с.

8. Гупало Ю.П., Полянин А.Д., Рязанцев Ю.С., Массообмен реагирующих частиц с потоком. М.: Наука, 1985, 336с.

9. Монин A.M., Яглом А.С., Статистическая гидромеханика. Мечаника турбулентности. М.: Наука, 1965. Т.1.

10. Хинце И.О., Турбулентность, ее механизм и теория. М.: Физматгиз, 1963. 680 с.1.. Бетчелор Дж. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1973. 758 с.

11. Г.З.Гершуни, Е.М.Жуховицкий, Конвективная неустойчивость несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1972 .

12. Sterling S.V., Scriven L.E., Interfacial turbulence: hydrodinamic instability and the Marangoni effect. // American Institute Chemical Engineering Journal, V.6, 514-523, 1959

13. Runckenstein E., Berbente S., The occurrence of interfacial turbulence in the case of diffusion accompanied by chemical reaction //Chem. Eng. Sci. 19, 329, 1964.

14. Ю.В. Аксельрод, В.В.Дильман, Ю.В. Фурмер, Межфазная турбулентность в вертикально стекающей пленке жидкости при хемосорбции.// ТОХТ, 1971, т. 5 № 5, С.676 -683.

15. Bratsum D.A., De Wit A., On Marangoni convective patterns driven by an exotermic chemical reaction in two-layer systems //Physics of fluids, 16, NO 4, 1082-1096, 2004.

16. Imaishi N., Fujinawa K., Hozawa M., Suzuki Y., Interfacial turbulence in gas-liquid mass transfer // Int. Chem. Eng., 22 (4), 659-665, 1982.

17. W.J.Thomas, E. Mc K. Nicholl, An optical study of interfacial turbulence occurring during the absorption of C02 into monoethanolamine. // Chem. Engng. Sci. V.22, No 12, 1877-1878. (1967).

18. Ландау Jl.Д., Лифшиц Е.М., Гидродинамика. М.: Наука, 1988.

19. Графов Б.М., Мартемьянов С.А., Некрасов Н.Н., Турбулентный диффузионный слой в электрохимических системах. М.: «Наука», 1990.

20. Мартемьянов С.А., Воротынцев М.А., Графов Б.М., вывод уравнения нелокального переноса вещества в турбулентном диффузионном слое // Электрохимия, Т. 15, № б, С. 913, 1979.

21. Мартемьянов С.А., Воротынцев М.А., Графов Б.М., О функциональном виде коэффициента турбулентной диффузии в приэлектродном слое. // Электрохимия, Т. 15, № б, С. 916, 1979.

22. Мартемьянов С.А., Воротынцев М.А., Графов Б.М. Замкнутое уравнение турбулентного тепло- и массопереноса //Вести. Моск. Ун-та. Сер.1. математика, механика, 1980, № 3, С.67 .

23. Воротынцев М.А., Мартемьянов С.А., Графов Б.М., Замкнутое уравнение турбулентного тепло- и массопереноса //ЖЭТФ, Т.79, С.1797-1808, 1980.

24. Hanratty T.J., Campbell J.A., Measurement of wall shear srtess //Fluid Mechanics Measurements, N.Y., 1983, P. 559.

25. Таунсенд А.А., Структура турбулентного потока с поперечным сдвигом. М. : Изд-во иностр. лит., 1959. 399с.

26. Кутателадзе С.С., Пристенная турбулентность. Новосибирск. Наука, 1973. 228 с.

27. Скурыгин Е.Ф., Воротынцев М.А., О поведении смешанного коррелятора пульсаций скорости жидкости и концентрации пассивной примеси при большихзначениях временного аргумента // Электрохимия. Т.23, С.1001-1002, 1987.

28. Skurygin E.F., Vorotyntsev М.А., Martem'yanov S.A. Space-time fluctuations of a passive impurity concentration within the diffusion boundary layer in the turbulent flow of a liquid // J. Electroanal. Chem., V. 259, P.285-293, 1989.

29. Скурыгин Е.Ф., Воротынцев M.A., Мартемьянов С.А., Пульсации концентрации пассивной примеси в диффузионном слое при турбулентном течении жидкости. // Электрохимия. Т.25 С.663-667. 1989.

30. Скурыгин Е.Ф., Воротынцев М.А., Мартемьянов С.А., Пульсации плотности тока в турбулентном диффузионном слое постоянной толщины. //Электрохимия. Т.25 С.668-673. 1989.

31. Скурыгин Е.Ф., Мартемьянов С.А., Воротынцев М.А., Графов Б.М., К расчету частотных характеристик турбулентного диффузионного слоя микроэлектрода // Электрохимия. Т.25. С.772-774. 1989.

32. Vorotyntsev М.А., Skurygin E.F. Fluctuative Properties of Turbulent Mass Transfer at an Electrode // Proceeding of the 3th Workshop International, Electrodiffusion Diagnostics of Flows, Dourdan 9-12 mai 1993, P. 149-160.

33. Скурыгин Е.Ф., Мартемьянов С.А., Графов Б.М., Взаимный спектр турбулентных шумов протяженных электродов в условиях постоянства диффузионного слоя. Линейная теория. // Электрохимия, Т.32, С. 789 -795. 1996.

34. Мартемьянов С.А., Скурыгин Е.Ф., Графов Б.М., Взаимный спектр турбулентных шумов протяженных электродов в условиях постоянства диффузионного слоя. Нелинейные эффекты. // Электрохимия, Т. 32, С. 1141-1146. 1996.

35. Скурыгин Е.Ф. Предельный диффузионный ток электрода в условиях хаотического размешивания электролита. // ТОХТ, Т.34, №6, С.606-611, 2000.

36. Skurygin E.F. Dil'man V.V., On Marangoni instability during desorption accompanied by evaporation // Jornal of Food Engineering 2000, issue 3, P. 125 131.

37. Скурыгин Е.Ф., Спектр пульсаций тока электрода в условиях хаотического турбулентного течения электролита // ТОХТ, Т.35, №6, С.574-581, 2001.

38. Martemyanov, S., Skurygin, Е., Legrand, J., Turbulent mass transfer in the developing diffusion layer at large Schmidt numbers, International Journal of Heat and Mass transfer, 1999, V 42, pp. 2357-2363.

39. Скурыгин Е.Ф., Дильман В.В., О конвективной неустойчивости Марангони в процессе абсорбции,совмещенной с объемной химической реакцией // ТОХТ, Т.40, №2, С.115-123.

40. Седов Л.И., Механика сплошной среды. М. «Наука», 1976. Т.1.

41. Goldstain S., On diffusion by discontinuous movements and in the telegraph equation //Quart. J. Mech. And Appl. Math. 1951. V.4. Pt 2. P. 129156.

42. Corrsin В., Limitation of gradient transport models in random walk and turbulence // Adv. Geophis. -1974. V. 18a. P.25-60.

43. Шервуд Т., Пигфорд P., Уилки Ч., Массопередача. М.: Химия, 1982. 696 с.

44. Компаниеец В.З., Овсянников А.А., Полак JI.C. Химические реакции в турбулентных потоках жидкости и газа. М.: Наука, 1979, 242 с.

45. Дильман В.В., Кронберг А.Е. Соотношение временных масштабов процесса и моделирование химических реакторов // Хим. Пром-сть. 1983. № 8. С. 464-470.

46. Рид Р., Праусниц Дж., Шервуд Т., свойства газов и жидкостей. JI. : Химия, 1969.

47. Reynolds О., On the dynamical theory of incompressible viscous fluids and the determination of the criterion //Phil. Trans. Roy. Soc., London, V.186, P.23, 1894.

48. Феттер К. Электрохимическая кинетика. М.: Химия, 1967.

49. Пле сков Ю.В., Филиновский В.Ю., Вращаюшийся дисковый электрод, М."Наука", 1972.

50. Накоряков В.Е., Бурдуков А.П., Кашинский О.Н., Гешев П.И., Электродиффузионный метод исследования локальной структуры турбулентных течений. Новосибирск: изд. ИТФ СО АН СССР, 1986.

51. Яглом A.M., Корреляционная теория стационарных случайных функций. М.: гидрометеоиздат, 1981

52. Лойцянский Л.Г., Механика жидкости и газа. М. : Наука, 1970.

53. Турбулентность. Под ред. У.Фроста, Т. Моулдена, М.: Мир, 1980.

54. Boussinesq J., Theorie de la l'ecoulement torbillonant et tumulteux des liquides dans les rectikignes a grande section, V. 1--2, Paris, Gauthier -Villars, 1897.

55. Schmidt W., Der Messenaustauch in frier Luft und Vervandte Erscheinungen, Hamburg, Grand, 1925.

56. Reynolds 0., On the extent and action of the heating surface of stream boilers // Proc. Lit. Phyl. Soc., Manchester, V.14, P.7 --12, 1897.

57. Prandtl L., Bemerkung uber den Warmeudergang in Rohr // Phys. Zc., V.29, No 14, P.487, 1928.

58. Taylor G.I., Conditions of the surface of a hot body exposed to the wind // Great Britain Advisory Comm. Aeronaut, Rep.Mem. 272, 1916.

59. Karman Th. von, The analogy between fluids friction and heat transfer //Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., v.61, P.705.

60. Boelter L.M.K., Martynelly R.C., Jonassen F.//Trans. Amer. Soc. Mech. Engrs., V.63, P.561, 1941.

61. Reichardt R., Natl. Advisory Comm. Aeronaut., Tech. Mem., V.1047, 1943.

62. Fage A., Townend H.C., An examination of turbulence with an ultranicroscope //Proc. Roy. Soc., V. 135, A, P.656, 1932.

63. Lin С.,S., Moulton R.W., Putnam G.L., Mass transfer between Solid wall and Fluid Stream //Ind. Eng. Chem., V.45, No 3, P.636, 1953.

64. T.H.Chilton, A.P.Kolburn, Ind. Engng.Chem., 26, No 11, 1183 (1934) .

65. G.Ribaud, J.Phys.Radium (8), 2, NO 1, 12 (1941).

66. Кадер Б.А., Дильман В.В., Тепло- и массоперенос на входном участке при турбулентном режиме течения и Рг»1.

67. Kader В.М., Gukhman A.A., Turbulent mass transfer with first-order chemical reaction on a wall at Pr»l //Int.J.Heat Mass transfer, V.20, P.1339.

68. B.C.Петухов, В.В.Кириллов, Теплоэнергетика, №4, 63, (1958).

69. W.L/Friend, A.B.Metzner, A.I.Ch.E.J., 4, No 4, 393, (1958).

70. Кадер Б.А., Турбулентный тепломассоперенос при Рг»1 и закон затухания турбулентной диффузии у твердой стенки //Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, № 2, 1977, С.172-175.

71. Кадер Б.А. Яглом A.M., Универсальный закон турбулентного тепло- и массообмена от стенки прибольших числах Рейнольдса и Пекле.//ДАН СССР, 190, №4, 65-68, 1970.

72. Кадер Б.А., К строению вязкого подслоя турбулентного пограничного слоя несжимаемой жидкости //Изв. АН СССР, Механика жидкости и газа, 1966, №6, 157-163.

73. Кадер Б.М., Аронов А.Р., Статистический анализ экспериментальных работ по тепло- и массопередаче при больших числах Прандтля //ТОХТ, 4, 637, 1970.

74. Адинберг Р.З., Дильман В.В. К полуэмпирической теории турбулентного переноса в вязком подслое //ТОХТ, 17, №3, 1983, 361-367.

75. Адинберг Р.З., Дильман В.В., Автомодельные решения уравнений турбулентного пограничного слоя для области вязкого подслоя //ТОХТ, 27, №1, 51-55, 1993.

76. Адинберг Р.З., Дильман В.В., Распределение скорости и температуры в вязком подслое турбулентного свободно- конвективного пограничного слоя на вертикальной пластине //ТОХТ, 21, №3, 339343, 1987.

77. Левич В.Г., Докл. АН СССР, 78, №6, 1105, 1951.

78. R.G.Deissler, Analysis of turbulent heat transfer, mass transfer and friction in smooth tubes at high Prandtl and Schmidt Numbers // NACA Report, 1210, (1955) .

79. Schaw P.V., Reis L.P., Hanratty T.J., Rates of turbulent transfer to a pipe wall in the mass transfer entry region //A.I.Ch.E.Journal, 9, 362364, 1963.

80. JI.Г.Лойцянский, Изв. АН СССР. Прикл. Матем. И механ., 24, №4, 637, (I960).

81. W.M.Kays, М.Е.Grawford, Convective Heat and Mass Transfer, Mc Graw-Hill, 1980.

82. W.H.Mc Adams, Heat Transmission, 3th edition, Mc Graw-Hill Book Co. Inc., New-York, 1954.

83. Кишиневский M.X., Корниенко Т.С., Перменов В.А., Экспериментальное исследование закона затухания турбулентных пульсаций у твердой стенки //ТОХТ, 6, 49, 1970.

84. Кишиневский М.Х., Корниенко Т.С., Попович В.П., Исследование массопередачи от вращающихся и неподвижных дисков к турбулентному потоку жидкости //ТОХТ, 4, 199, 1968.

85. Кишиневский М.Х., Корниенко Т.е., Губер Ю.И., Исследование диффузионных потоков к вращающемуся цилиндрическому электроду при турбулентном редиме течения //Электрохимия, 8, 633, 1972.

86. Кишиневский М.Х., Корниенко Т.С., Логинов А.В., Экспериментальное исследование закономерностей турбулентного массопереноса в вязком подслое электрохимическим методом //Теплообмен в пристенных турбулентных течениях, Т.1, 4.1, С.43, Минск, 1976.

87. Шульман З.П., Покрывайло Н.А., Нестеров А.К., Прокопчук Д.А., Метод изучения зутухания турбулентной диффузии в полимерных растворах, снижающих сопротивление //Реофизика. Мтнск: Ин-т тепло- и массообмена АН БССР, 1977.

88. Нестеров А.К., Покрывайло Н.А., Прокопчук Д.А., Шульман З.П., Конвективный массообмен и законзатухания турбулентной диффузии в полимерных растворах, снижающих сопротивление. //Механика турбулентных потоков. М.: Наука, 1980, С.337.

89. Levich V.G., Acta Phisicoxhimica URSS, V. 119, P. 117, 1943.

90. Danckwerts P.V., //Ind. Eng.Chem., 43, 160, 1951.

91. Harriot P., A random eddy modification of the penetratioln theory //Chem. Eng. Sci., 17, 149, 1962 .

92. Hanratty T.J., Turbulent exchange of of mass and momentum with a boundary //A.I.Ch.E.Journal , 2, No3, 359, 1956.

93. Keller L., Friedman A., Differentialgleichungen fur die turbulente Bewengungen einer incompressible flussingkeit // Pros. 1 Midwest Conf. Fluid Dynamics, Delft, 1924.

94. Монин A.M., Яглом А.С., Статистическая гидромеханика. Механика турбулентности. 4.2., М.: Наука, 1967.

95. Kraichnan R.H., The closure problem of turbulenct theory //Proc. Simp. Appl. Math., 13(hydrodynamic instability), 199, 1962.

96. Kraichnan R.H., Invariant principles of and approximation in turbulence dynamics //Proc. Simp.Dynamics of Fluids and Plasmas, Acad. Press. N.Y., 1967.

97. Deissler R.G., On the theory of homogeneous turbulence //Phys. Fluids, 1, No2, 111, 1958.

98. Loeffler A.L., Deissler R.G., Decay of temperature fluctuations in homogeneous turbulence before the final period //Intern. J.Heat Mas. Transfer, 1, No4, 312, 1961.

99. Миллионщиков М.Д., К теории однородной изотропной турбулентности //Докл. АН СССР, 32, №9, 611, 1941.

100. Миллионщиков М.Д., К теории однородной изотропной турбулентности //Изв. АН СССР, Сер. геогр. и геофиз. 5, №4-5, 433, 1941.

101. Taylor G.I., Statistical theory of turbulence. Part 1-4 //Proc. Roy. Soc., V.A150, P.421, 1935.

102. Taylor G.I., Diffusion by continuous movements //Proc. Lond. Math. Soc., V.A20, P.196, 1921.

103. Vedenov A.A., Velikhov E.P., Sagdeev R.Z., //Nucl. Fusion Suppl. 1 82 (1961)

104. Drummond W.E., Pines D. // Nucl. Fusion Suppl. 3, 1049 (1962)

105. Кадомцев Б.Б., Коллективные явления в плазме, М. : Наука, 1976.

106. Основы физики плазмы. Т.1, 2 (Под ред. А.А.Галеева, Р.Судана) М. : Энэргоатомиздат, 1983, 1984.

107. Цытович В.Н., Теория турбулентной плазмы (М.: Атомиздат, 1971

108. Гешев П.И., Характеристики коэффициентов турбулентного обмена в вязком подслое//Журн. Прикл. Механики и техн. Физики. 1974. № 2. С. 61.

109. Гешев П.И., Влияние теплопроводности стенки на величину турбулентного числа Прандтля в вязком подслое //ИФЖ, 35, № 2, С. 282, 1978.

110. В.А.Каминский, В.В.Дильман, О нелокальных моделях турбулентного переноса //ТОХТ, 36, №4, с.347-352, 2002.

111. Laufer J., The structure of turbulence in fully developed pipe flow // NACA Rep. 1174, 1953.

112. Einstein H.A., Li H., The viscous sublayer along a smooth boundary //Proceedings American Society of civil Engineers// J.Eng.Mech.Div., 82, 945, 1956.

113. Meek R.L., Baer A.D., The periodic Viscous sublayer in tourbulent flow //A/I.

114. Е.У.Репик, Ю.П.Соседко, К вопросу о перемежаемой структуре течения в зоне вязкого подслоя турбулентного пограничного слоя //Механика турбулентных потоков, М.: Наука, 1980, С.219-225.

115. Е.У.Репик, Ю.П.Соседко, Качественный анализ явления перемежаемости в пристенной области турбулентного пограничного слоя //Проблемы турбулентных течений, М.: Наука, 1987, С.74-80.

116. Karman Th., Mechanishe Ahnlichkeit und turbulenz //Proc. 3rd International Congress on Applied Mechanics/ Stockholm, 1930, 1, 95-93.

117. Prandtl L., Zur turbulent Stromung in Rohrer und langs P;atten //Ergeb. Aerodyn. Versuchsanst. Gottingen 4, 18-29, 1932.

118. Изаксон А., К формуле для распределения скорости вблизи стенки //Ж. Эксп. и Теор. Физ., 7, 919, 1937.

119. Millikan G.B., A critical discussiion of turbulent flows in in channels and circular tubes //Proceedings 5th Int. Conference Appl. Mech., Cambridge MA, 386, 1938.

120. Bjorgum 0., On the application of asimptotic expansions to turbulent shear flow. //Mat/ Naturv. Serie 1960, Nol8, Arbok University press, Bergen, Norvay.

121. Tennekens H., Outline of a second-order theory of turbulent pipe flow. //А1АА J., 6, 1735-1740, 1968.

122. Yajnik K.S., Asimptotic theory of turbulent shear flows. //J. Fluid Mech., 42, 411-427, 1970.

123. Mellor G.I., The Large Reynolds number, asymptotic theory of turbulent boundary layer //J.Fluid Mech., 10, 851-873, 1972.

124. Afzal N., Millikan's argument at moderately large Reynolds numbers //Phys. Fluids, 19, 600-602, 1976.

125. Panton R.L., Rewiew of wall turbulence as described by composite expansions //Applied Mechanics Rewiews, 58, 1-36, 2005.

126. Колмогоров А.Н., Уравнения турбулентного движения несжимаемой жидкости // Докл. АН СССР, Сер. Физ. б (1942) 56-58.

127. Kolmogorov A.N., A refinement of previous hypotheses concerning the local structure of turbulence in a viscous incompressible fluid at high Reynolds numders //J. Fluid Mech. 13 (1962) 82-85.

128. Обухов A.M., Структура температурного поля в турбулентном потоке

129. Кадер Б.А., Яглом A.M., Спектры турбулентных анизотропных пульсаций скорости и температуры в пристеночных турбулентных потоках //Проблемы турбулентных течений, М.: Наука, 1987, С.65-74.

130. Yaglom A.M., Similarity laws for constant-pressure and pressure-gradient turbulent wall flows. //Ann. Rev. Fluid Mech. 11, 505-540, 1979.

131. Barenblatt G.I., Similarity, Self-similarity, and Intermediate Asimptotics. Plenum Press. N.Y., 1979.

132. G.I.Barenblatt, A.J.Chorin, V.M.Prostokishin, Scaling laws for fully developed turbulent flow in pipes: Discusion on experimental data. // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 94, 773-776, 1997. Applied Mathematics.

133. Barenblatt G.I., Scaling laws for turbulent wall-bounded shear flows at very large Reynoldsnumbers // Journal of Engineering Mathematics 36, 361-384, 1999.

134. Г. И. Баренблатт. Турбулентные пограничные слои при очень больших числах Рейнольдса, //Успехи мат. Наук, 59, 45-62, 2004.

135. Lumley J.H., Yaglom A.M., A century of turbulence //Flow, Turbulence and combustion, 66, 241-286, 2001.

136. Orszag S.A., Patterson G.S., Numerical simulation of the three- dimensional homogeneous isotropic turbulence //Phys.Rev.Lett.28 (1972) 7679.

137. Smagorinsky J., Manabe S., Numerical model for study of global general circulation //Bull.Amer.Meteore.Soc. 43 (12) (1962) 673-673.

138. Deardorff J., A numerical study of three-dimensional turbulent channel flow at a large Reynolds numbers //J.Fluid Mech. 41 (1970) 543-480.

139. Reynolds W.C., Computation of turbulent flows //Am. Rev. Fluid Mech. 8 (1976) 183-208.

140. Schumann U., Subgrid scale motion model for numerical simulation of turbulent flows //Bull.Amer.Phys.Soc. 189 (11) (1973) 1469-1469.

141. Schumann U., Subgrid scale model for finite difference simulations of turbulent flows in plane channels and annuli //J.Comput.Phys. 18 (4) (1975) 376-404.14 6. Рождественский Б. JI., Симакин И.Н.,

142. Моделирование турбулентных течений в плоском канале

143. Журнал вычислительной математики и технической физики, Т.25, №1, 1985, С.96-121.

144. В.Г. Приймак, Б.Л.Рождественский, И.Н.Симакин, Турбулентные режимы течения в трубах и каналах. //Проблемы турбулентных течений, М. : Наука, 1987, С. 57-64 .

145. Moser R.D., Kim J., Monsour N.M., Direct numerical simulation of turbulent channel flow up to Re© =590 //Phys Fluids, 11, No 4, 943-945, 1999.

146. Spalart P.R., Direct simulation of turbulent boundary layer up to Re© =1410 //Journal Fluid Mech., 187, 61-98, 1988.

147. Skote M., Henkes R., Henningson D., Direct numerical simulation of self-similas turbulent boundary layers in adverse presse gradients //Flow, turbulence and combustion. 60, 47-85, 1998. Klawer Academic Publisher.

148. Komminaho J., Landbladh A., Johansson A.V., very large structures in plane turbulent couette flow //Journal Fluid Mech., 320, 259-285, 1996.

149. Струминский В.В., Кинетическая теория турбулентных течений //Проблемы турбулентных течений, М.Наука, 1987, с.14-32.

150. Kline S.J., Reynolds W.C., Schraub F.A., Runstadler P.W., The structure of turbulent boundary layer // J. Fluid Mech., V.30, Part 4, P.741-773, 1967.

151. Kline S.J., Runstadler P.W., Some preliminary results of visual studies of the flow model of thewall layers of a turbulent boundary //Transmission ASME, V. 81, P.166-170, 1959.

152. Popovich А.Т., Hummel R.L., Experimental study of viscous sublayer in turbulent pipe flow // A.I.Ch.E. Journal, V.15, No 5, 1967.

153. Kim Т.Н., Rline S.J., Reynolds W.C., The prediction of Turbulence near a Smooth Wall in a Turbulent Boundary Layer //J.Fluid Mech., 50, P.l, 1971.

154. Corino E.R., Brodkey R.S., A visual investigation of Wall region in Turbulent flow //J.Fluid Mech., 37, P.l, 1969.

155. Хабашпашева E.M., Михайлова E.C., Перепелица Б.В., Ефименко Г.И., Экспериментальное исследование структуры пристенной турбулентности //Пристенное турбулентное течение, Новосибирск, ИТФ СО АН СССР, 4.2., С.138-162, 1974.

156. Luchik Т.С., Tiederman W.C., Timescales and structure of ajections and burst in turbulent channel flows //J.Fluid Mech., 174, P.529-552, 1987 .

157. Durst F., Jovanovic J., LDA measurements in the near-wall region of a turbulent pipe flow //J. Fluid Mech. 295, 305-335, 1995.

158. Alfredson P.H., Johansson A.V., Harritonids J.H., Eckelmann H., The fluctuation wall-shear stress and the velocity field in the viscous sublayer //Phys. Fluids A31, 1026-1033, 1988.

159. Karlsson R.I., Johansson A.V., LDV measurements of higher order moments of velocity fluctuations ina turbulent boundary layer //Laser Anemometry in Fluid Mechanics. Ladoan Instituto superior Tecnico, 1096 L.C. Portugal. 1988.

160. Mitchell J.E., Hanratty T.J, A study of turbulence at a wall using an electrochemical wall shear-stress meter //J.Fluid Mech., 1966. Vol.26, P. 199-221.

161. Sirkar K.K., Hanratty T.J. The limiting behaviour of the turbulent transverse velocity component close to a wall //J. Fluid Mech., 44, Part 3, 605, 1970.

162. Funnicum D.E., Hanratty T.J., Turbulent normal velocity fluctuations close to a wall /Phys. Fluids, V.28, No 6, P. 1654.

163. Нигматулин Р.Ш., Кадер Б.М., Крылов B.C., Соколов JI.А., Электрохимические методы исследования процессов переноса в жидкостях/ Успехи химии, Т. 44, вып. 11, С.2008, 1975.

164. Kashinsky O.N., Randin V.V., Timkin L.S., Yeresheva O.N., //J. Appl. Electrochem., 1994, V. 24, p.694

165. Sobolik V., Wein 0., // Int. J. Heat Mass Transfer, 1991, V.34, p. 1929.

166. Pauli J., Onken U., Sobolik V., //J. Appl. Electrochem. 1991,V. 21, p.1073.

167. Sobolik V., Pauli J., Jnken U., // Exp. Fluids, 1991, V.ll, p.186.

168. Aouabed H., Legentilhomme P., Nouar C., Legrand J., Experimental comparison electrochemical and dot paint methods for the study of decaying swirlingflow // J. Appl. Electrochem. 1994, V.52, pp. 619 -625.

169. Legentilhomme P., Aouabed H., Legrand J., Developing mass transfer for annular swirling decaying flow induced by means of tangential inlet // Chem. Eng. J. 1993, V.52, pp.137 147.

170. Deslouis C., Gil. 0., Sobolik V., //Int.J.H M T , 1990, V.33, p.1363.

171. Baleras F., Deslouis C., Tribollet В., Sobolik V., //J. Applied Electrochem., 1994, V.24, p.676.

172. Alekseenko S.V., Markovich D.M., Electrodiffusion diagnostics of wall shair stress in impamping jets. //J. Applied Electrochemistry 1994, V.24, pp.626 -631

173. Deslouis C., Gil D., Tribollet В., Frequency responce of electrochemical sensors to hydrodynamic fluctuations // J. Fluid Mech. 1990, V.215, P.85 -100.

174. Fortuna G., Hanratty T.J., Frequency response of of the boundary layer on wall transfer probes / Int. J. Heat Mass Transfer V. 14, P. 1499, 1971.

175. Mizushina Т., Maruyama Т., Ide S., Marukami Y., Dynamic behaviour of transfer coefficient inpulsating laminar tube flow / J. Chem. Eng. Jap., V.6, P.152, 1973.

176. Lighthill M.J., The response of laminar skin friction and heat transfer to fluctuations in stream velocity / Proc. Roy. Soc. (London), 1954, V.A--224, P.1156.

177. Dumane J.Y., Etude numerique de la response en frequence des sondes eltctrochemiques /Lett. Heat Mass Transfer, V. 6, P.2903, 1981.

178. Ambary A., Deslouis. C, Tribollet В., Frequence responce of the mass transfer rate in a modulated flow electrochemical probes / Int. J. Heat Mass Transfer, V. 29, No 1, P. 35, 1986.

179. Графов Б.М., О влиянии периодически изменяющегося во времени гидродинамического потока на предельный диффузионный ток // Электрохимия Т. 4, вып. 5, С. 542 545, 1968.

180. Мартемьянов С. А. Корреляция турбулентных пульсаций плотностей токов в стационарном развивающемся вдоль потока и однородном в поперечном направлении диффузионном слое // Электрохимия, Т.21, С.842-845, 1985.

181. М. A. Leveque, "Les lois de la transmission de chaleur par convection", Mines Carbus, Paris, V. 13, 201-239 (1928).

182. Воротынцев M.A., Мартемьянов С.А., Графов Б.М., смешанные корреляторы пульсаций гидродинамической скорости и концентрации диффундирующего вещества при турбулентном течении жидкости // Электрохимия, Т.16, вып. 6, С. 853, 1980.

183. Воротынцев М.А., Мартемьянов С.А., Графов Б.М., Корреляция плотностей тока в различных точках электрода. Корреляционные связи между флуктуациями токов различных электродов. // Электрохимия, Т. 16, вып. 7, С. 915, 1980.

184. Vorotyntsev М.А., Martem'yanov S.A., Grafov В.V., Temporal correlation of current pulsations at one or several electrodes: a technique to study hydrodynamic fluctuations characteristics of turbulent flow //J. Electroanal. Chem., 179, P.l, 1984 .

185. Grafov B.M. // Proceedings of the 3th Workshop International, Electrodiffusion diagnostics of Flows. Dourdan 1993, P.343.

186. С.А.Мартемьянов, M.А.Воротынцев, Б.M.Графов, Распространение диффузионного пограничного слоя вдоль электрода в условиях турбулентного течения //Электрохимия, Т.16, №5, 612-615, 1980

187. Хомченко Т.Н., Мартемьянов С.А., Некрасов Л.Н., Соколов Л.А., Графов Б.М. Турбулентная диффузия на неподвижный электрод в условиях объемногохаотического размешивания электролита //

188. Электрохимия. 1988. Т.24. С.1674 1676.

189. Хомченко Т.Н., Мартемьянов С.А., Некрасов Л.Н., Соколов Л.А., Графов Б.М. Спектральные характеристики турбулентного диффузионного слоя в условиях хаотического объемного размешивания электролита // Электрохимия. 1989. Т.25. С. 154 6 -1548 .

190. Thomson J., On certain curious motions observable at the surfaces of wine and other alcoholic liquors. //Phyl. Mag. 10, 330, 1855.

191. Marangoni C., On the expansion of a drop of liquid floating on the surface of another liquid. Pavia: Tipographia dei fratelli Fusi. 1865.

192. Bernard H., Les tourbillons cellulaires dabs une nappe liquide. //Rev. Gen. Sci. Pures Appl. 11, 12 61-127 6, 1900.

193. Pearson J.R.A., On convection cells induced be the surface tension. //Journal of fluid Mechanics, V.4, 489-500, 1958.

194. Laure P., Etude des mouvements de convection dans une cavite rectangulaire son mise a' un gradient de temperature horizontal // J. Mech. Theor. Et Appl., 1987, 6, No 3, 351 382.

195. Smith M.K., Davis S.H., Instabilities of dynamics thermocapillary liquid layers. 1. Convective instabilities // J. Fluid Mech., 1983, 132, 119 144.

196. Полежаев В.И., Бунэ А.В., Верезуб Н.А. и др., Математическое моделирование конвективного тепломассообиена на основе уравнений Навье Стокса. М. Наука, 1987, 217 с.

197. Полежаев В.И., Белло М.С., Верезуб Н.А. и др., Конвективные процессы в невесомости. М. Наука, 1991, 240 с.

198. Polezhaev V.I., Ermakov М.К., Thermosolutal Marangoni convection short time regimes: proposal for drop tower experiments and real time computer simulation // Microgravity Sci. Technol., 1992, V.5, No 3, P. 172 - 175.

199. Polezhaev V.I., Ermakov M.K., Griaznov V.L. e tal., Computer laboratory on convective processes in microgravity: Concepts, Current results and Perspective // 46th Intern. Astron. Congr. Oslo. Norway: IAF 95, J. 3.11. P.l -9.

200. Ермаков М.К., Никитин С.А., Полежаев В.И., Система и компьютерная лаборатория для моделирования конвективного тепло и массообмена. // Известия Академии наук, Серия: Механика жидкости и газа, 1997, No 3, С. 22 - 38.

201. Бирих Р.В., Рудаков Р.Н., Термокапиллярная неустойчивость деформируемой жидкой пленки. // Известия Академии наук, Серия: Механика жидкости и газа, 1996, No 5, С. 30 36.

202. Зейтунян Р.Х., Проблема термокаппилярной неустойчивости Бенара-Марангони //Успехи физ. наук, 168 (3), 259-286.

203. Muenz К., Marchello J.M., Surface motion and gas absorption. //American Institute Chemical Engineering Journal, V.12,249-253, 1966.

204. Дильман В.В., Некоторые вопросы моделирования и расчета газо жидкостных реакторов //ТОХТ, 9, 844853, 1975.

205. Дильман В.В., Найденов В.И., Олевский В.В., Диффузионно тепловая неустойчивость Марангони в процессе абсорбции //Химическая промышленность, 1992, С.465-467.

206. Дильман В.В., Кулов Н.Н., Лотхов В.А., Найденов В.И., О разнице скоростей десорбции и абсорбции в газах //ТОХТ, 1998, т.32, С.377-387.

207. Дильман В.В., Кулов Н.Н., Лотхов В.А., Каминский В.А., Найденов В.И., О конвекции Марангони при абсорбции газов //ТОХТ, 2000, т. 34, 227.

208. Golovin A.A., Nepomnyashchy A.A., Pismen L.M., Nonlinear evolution and secondary instabilities of Marangoni convection in liquid-gas system with deformable interface //J.Fluid Mech., 341, 317-341, 1997.

209. Еленин Г.Г., Слинько М.Г. Математическое моделирование элементарных процессов на поверхности катализатора //Наука, Технология, Вычислительный эксперимент. М.: «Наука». 1993.

210. Кулов Н.Н., Дильман В.В., Найденов В. И., Нелинейные явления в вязкой жидкости //Российский химический журнал, 39, №2, С.43-47, 1995.

211. Холпанов Л.П., Математическое моделирование нелинейных процессов //ТОХТ, №5, С.466-484, 1999.

212. Brian L.J.P., Marangoni instability in vertical falling film versus horizontal stagnant liquid layers // Chem. Eng. Sci., 1968, 23, N 12, 15131514 .

213. Danckwerts P.V. A.Taveras da Silva, Surface instability during the absorption of C02 by monoethanolamine solutions //Chem. Eng. Sci., 22, No 11, 1513-1514, 1967.

214. Дильман В.В., Кулов Н.Н., Найденов В. И., Диффузионно тепловая неустойчивость Марангони приабсорбции с химической реакцией // ТОХТ, 1999, Т. 33, № 5, С. 495 501.

215. Дильман В.В., Найденов В.И., Хегай В.И., Неизотермическая неустойчивость Марангони в стекающей пленке хемосорбента //ТОХТ, 1988, Т. 22, № 3, С. 3 62 3 67.

216. Дильман В.В., Найденов В.И., О межфазной неустойчивости и влиянии градиента поверхностного натяжения на скорость хемосорбции при гравитационном течении жидкой пленки // ТОХТ, 1986, Т.20, № 3, С. 316 326.

217. Warmuzinski К., Buzek I. 1990. A model of sellular convection during absorption accompfnied by chemical reactions. Chem. Engng. Sci. V. 45, No 1, P. 243-254.

218. Chr. Boyadjiev, On the mechanism and kinetics of the transport processes in systems with intensive interphase mass transfer. 2. Stability. //Int. J. Heat Mass Transfe, 43, 2759-2766, 2000.

219. Chr. Boyadjiev, On the mechanism and kinetics of the transport processes in systems withintensive interphase mass transfer. 3. comparative analysis of the absorption and desorption. //Int. J. Heat Mass Transfe, 44, 1119-1125, 2001.

220. Chr. Boyadjiev, On the mechanism and kinetics of the transport processes in systems with intensive interphase mass transfer. 1. Heat and mass transfer. //Int. J. Heat Mass Transfe, 44, 2505-2509, 2001.

221. Chr. Boyadjiev, V. Boyadjiev, On the non-stationary evaporation kinetics. I. Mathematical model and experimental data. //Int. J. Heat Mass Transfe, 46, 1679-1685, 2003.

222. Chr. Boyadjiev, V. Boyadjiev, On the non-stationary evaporation kinetics. II. Stability. ////Int. J. Heat Mass Transfe, 46, 1687-1692, 2003.

223. Arnold J.H., Trans. A. I. Ch. E., 40, 361-367, (1944) .

224. Лаврентьев M.A., Шабат Б.В., Методы теории функций комплексного переменного. М. : Наука. 1987.

225. Плесков Ю.В., Филиновский В.Ю. Вращающийся дисковый электрод. М.: Наука, 1972. 344 с.

226. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука. 1965.

227. Владимиров B.C., Уравнения математической физики. М.: Наука, 1967.

228. Варгафтик Н.Б., Теплофизические свойства газов и жидкостей. М. : Физматгиз. 1963.24 0. Рамм В.М. Абсорбция газов. М.»Химия». 1976.

229. Курбацкий А.Ф., Моделирование нелокального турбулентного переноса импульса и тепла. Новосибирск, Наука, 1988, 240 с.

230. В.М.Емельянов, В.А.Фрост, Моделирование турбулентного переноса при наличии сил плавучести с использованием уравнения для условно осредненной скорости // Известия РАН, Сер. Механика жидкости и газа, 1997, №3, С.103-111.

231. V.A.Frost, V.A.Kaminsky, А.В.Rabinovich, Modeling of micromixing and the equation for correlation function //Micromixing in turbulent reactive flows. Edited by S.Frolov, V.Frost, D.Roekaerts. Moskow, tour press, 2004, P.51-56.