автореферат диссертации по информатике, вычислительной технике и управлению, 05.13.18, диссертация на тему:Некоторые подходы к построению 3D геологических моделей с использованием разнородной априорной информации

На правах рукописи

Бекман Александр Дмитриевич

НЕКОТОРЫЕ ПОДХОДЫ К ПОСТРОЕНИЮ ЗО ГЕОЛОГИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ РАЗНОРОДНОЙ АПРИОРНОЙ ИНФОРМАЦИИ.

Специальность 05.13.18 — Математическое моделиров численные методы и комплексы программ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Тюмень — 2006

Работа выполнена в Тюменском государственном университете.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор

Кутрунов Владимир Николаевич

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор

Туренко Сергей Константинович

кандидат физико-математических наук, доцент

Мосягин Вячеслав Евгениевич

Ведущая организация: ООО "ТюменНИИГипроГаз", г. Тюмень.

Защита состоится " 21" декабря 2006 г. в 14 ч. 00 мин. на заседании Диссертационного совета К 212.274.01 при Тюменском государственном университете по адресу: 625003, г. Тюмень, ул. Перекопская, 15а, аудитория 217.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Тюменского государственного университета.

Автореферат разослан " " ноября 2006 г.

Учёный секретарь диссертационного совета

Актуальность проблемы.

Высокая эффективность эксплуатации нефтегазового месторождения возможна только при условии правильного планирования и своевременного проведения мероприятий по его разработке. В настоящее время решения о проведении таких мероприятий принимаются с учетом результатов трехмерного моделирования месторождений, в связи с чем корректность трехмерных геологических моделей имеет очень большое практическое значение. Так как результатов непосредственного исследования нефтегазоносного объекта в скважинах, как правило, недостаточно для получения полного представления о его строении, особую практическую важность приобретают разного рода априорные сведения, а также экспертные представления и гипотезы о моделируемом объекте. Необходимость учета таких данных особенно велика в случае малоисследованных, недостаточно разбуренных месторождений. Несмотря на то, что в настоящее время уже существует ряд алгоритмов трехмерного геологического моделирования, позволяющих учитывать тот или иной вид априорных данных, можно выделить несколько перспективных и практически важных направлений для исследований в этой области:

1. Разработка численных методов, позволяющих строить трехмерные модели, согласующиеся с a-priori заданными двумерными моделями в виде традиционных геологических карт;

2. Разработка универсальных численных методов, позволяющих учитывать в одной модели априорную информацию различных типов;

3. Разработка методов корректировки существующих моделей с учетом новой экспертной информации.

Развитие численных методов в указанных направлениях позволит исследователям использовать при построении геологических моделей всю имеющуюся информацию об исследуемом объекте, а также избегать полного перестроения моделей при получении новой информации.

Цель работы состоит в анализе существующих и разработке новых алгортимов построения трехмерных reo лого-математических моделей, позволяющих учитывать разного рода априорную информацию. Задачами, решение которых необходимо для достижения посталвенной цели являются:

• классификация наиболее известных алгоритмов геолого-математического моделирования с точки зрения возможности учёта априорной информации того или иного рода;

• модификация известных методов трехмерного геолого-математического моделирования, для обеспечения возможности согласованния трехмерных моделей с заданными а-рпоп двумерными геологическими картами;

• создание алгоритма построения трехмерных моделей, позволяющего одновременно учитывать различные виды априорной информации;

• создание алгоритма корректировки трехмерных моделей, позволяющего приводить модель в соответствие новой информации, сохраняя по возможности близость к ее первоначальному состоянию.

Научная новизна.

1. Разработан метод построения трехмерных моделей геологических полей на основе алгоритма В-сплайн аппроксимации. Принципиальное отличие метода от ранее известных заключается в возможности учета априорной информации в виде двумерной модели поля и средних значений поля в слоях модели.

2. Разработан метод построения трехмерных моделей геологических полей с помощью модифицированного метода простого крайгинга. Помимо статистических данных модификация позволяет учитывать априорную двумерную модель поля и средние значения параметра в слоях модели.

3. Предложен новый вид целевого функционала, пригодного для построения методом имитации отжига трехмерных литолого-фациальных моделей малоизученных объектов. Кроме скважинных данных функционал позволяет использовать априорные данные в виде карты песчанистости, геолого-статистического разреза, а также представлений эксперта о характерной пространственной ориентации геологических тел.

4. Предложен метод корректировки моделей геологических полей, основанный на авторской модификации метода имитации отжига. Метод позволяет привести существующую модель поля в соответствие новым экспертным данным. Аналитически получены условия сходимости модифицированного алгоритма.

Практическая ценность работы.

Представленные в настоящей работе алгоритмы моделирования трехмерных полей геологических параметров реализованы в модуле "Gektra" программного комплекса "BASPRO Optima" и используются для решения практических задач моделирования нефтегазоносных пластов в научно-исследовательском институте "Тюме нНИИГип роГаз".

Апробация работы.

Основные результаты диссертационной работы докладывались на конференциях и в организациях:

1. 3-я Всероссийская научно-практическая конференция "Геология и нефтегазоносность Западно-Сибирского мегабассейна". ТГНГУ, г. Тюмень, 2004 г.

2. Зб-ая Региональная молодежная конференция "Проблемы теоретической и прикладной математики". УрО РАН ИММ г. Екатеринбург, 2005 г.

3. Межрегиональная конференция "Современные математические методы и информационные технологии в образовании". ТюмГУ, г. Тюмень, 2005 г.

4. Международная конференция "Модернизация образования в условиях глобализации". Круглый стол "Образование через науку и инновации". ТюмГУ, г. Тюмень, 2005 г.

5. П-й Международный научно-технический семинар "Информационные системы и технологии в геологии и нефтегазодобыче". ТГНГУ, г. Тюмень, 2005 г.

6. IV-ая Всероссийская научно-техническая юнференция 'Теология и нефтегазоносность Западно-Сибирского мегабассейна". ТГНГУ, г. Тюмень, 2006 г.

7. Ш-я Международная конференция студентов и молодых ученых «Перспективы развития фундаментальных наук». ТПУ, Томск, 2006 г.

Содержание работы.

Первая глава носит обзорный характер. В главе рассмотрена постановка задачи геолого-математического моделирования, введены основные термины и понятия. В пункте 1.3. приводится обзор известных в литературе подходов к моделированию полей геологических параметров и классификация алгоритмов моделирования с точки зрения возможностей использования различной априорной информации. Анализируются достоинства и недостатки методов, наиболее часто используемых на практике и являющихся основой коммерческих программных продуктов, известных во всём мире, таких как IRAP RMS (Roxar, Норвегия), Petrel (Schlumberger, Франция) и др. Вторая глава посвящена изложению авторских подходов к моделированию трехмерных полей геологических параметров при помощи базиса В-сплайнов. В-сплайны являются традиционным математическим аппаратом геологического моделирования, использовавшимся в исследованиях Волкова А.М., Сидорова А.Н., Хорошева Н.Г., Плавника А.Г. и др. В настоящее время методы В-сплайн аппроксимации широко используются для нужд геологического моделирования, например, в рамках программных комплексов "GST' (ООО "Тюменгеогехнологии"), "ТРИАС" (ООО "Венсис"). Предлагаемые автором модификации известных par нее подходов позволяют учитывать априорную информацию в виде двумерных геологических моделей (карт).

Рассматривается задача построения модели поля геологического параметра для заданного геометрического каркаса размерностью I х J х К. Для латерального слоя модели с номером к е [1, К] известны скважинные данные в IV точках: {uk(xw>yw) = = 1...1Y. Для каждого вер-

тикального столбца согласно априорной двумерной модели задано среднее значение параметра; /у. Предполагается, что в каждом слое искомое поле

описывается функцией двух переменных вида:

м

Uk(x>y) = У^аткФтк(х,у), (1)

т— 1

где к - номер слоя, а фтк(х,у), т — 1..М, к = 1..К - базисные В-сплайн функции, определяющие функциональное пространство D. Выбор базиса пространства, с одной стороны, должен обеспечить гарантированное существование в D решения, интерполирующего скважинные данные. С другой стороны, необходимо использовать по возможности меньшее число базисных функций, чтобы обеспечить приемлемую вычислительную сложность метода. В связи с этим, в работе предложено представлять базис двумя группами функций. Центры носителей B-сплайн функции первой группы совпадают с точками расположения скважин, вторая группа представлена B-сплайн функциями, расположенными по регулярной сетке, покрывающей исследуемую площадь.

Задача минимизации отклонения модели от априорной карты при вьь полнении условий интерполяции может быть сформулирована в виде функционала:

i j К \ К XV

yz (У2 Kuk(xij>Vij) - fij)2 + X X Xwk(uk(xw, yw) - и*) = min, (2) ¿=i j=i fc=i jfc=i «j=i

где Apk - коэффициенты Лагранжа, a (xij, Uij) - координаты (г, ji)-Toro столбца каркаса. В рамках главы была доказана следующая теорема:

1Ьорема 1. Задача минимизации функционала (2) на функциях из D является некорректной по Адамару при К > 1.

Наряду с интерполяционной постановкой задачи возможна и аппрок-симационная постановка, приводящая к минимизации функционала:

I j к \ К XV

Y1X (12 -J^uk{xij, yij) - fij)2 + ^2^2 (uk(xw, Vw) ~ ui)2 = min. (3)

i=l j=l fc=l Jfc=l w—l

Как показали исследования приведенные во втором пункте главы 2, задача минимизации такого функционала на функциях из D является некорректной при К > 1.

Некорректность задач минимизации функционалов (2) и (3) возникает вследствие неединственности решения и может быть устранена посредством привлечения дополнительной информации о требуемом решении. В

рамках работы рассматривается использование в качестве дополнительной информации средних значений параметра в слоях модели: {üjfc}, к — 1... К. Функционалы интерполяционной и аппроксимационной постановок задачи в этом случае принимают вид, соответственно: / J к м

X X) (X) i X) аткфт(хч, yij) - fij)2 +

t=lj'=l fc=l т= 1 KW М

+ X) X ^wk( £ аткФт(хш,Уги) — U*) + к=1 w=l т= 1 К I J М

+ WEEE(E amk<j>m(xij, Vij) ~ Wfc)2 = min, (4)

fc=li=lj=l m=l I J К M

EE(EiE аткфт(х^,у^) - fij)2 +

t=l j—\ k= 1 m=l К W M

+ X) X) ( X аткФт(Хш, Vw) - U* )2 +

fc=l w—1 m— 1 К I J M

+ ШЕЕЕ(Е аткфт(хгj, Vij) - iTfc)2 = min. (5)

fc=li=lj=l m=1

Весовой коэффициент cj в формулах (4) и (5) вводится для обеспечения возможности регулировать степень влияния последнего слагаемого на решение задачи.

ТЪорема 2. При любых значениях К и и> > 0 задача минимизации функционала (4) в функциональном пространстве D является корректной по Адамару.

ТЬорема 3. При любых значениях ük, К и и) > 0 задача минимизации функционала (5) в функцишалъном пространстве D является корректной по Адамару.

На основе полученных результатов автором разработаны и программно реализованы соответствующие алгоритмы B-сплайн аппроксимации трехмерных полей геологических параметров. Позднее они были включены в модуль "Gektra" программного комплекс "BASPRO Оптима". Работоспособность алгоритмов проверена серией численных экспериментов на реальных данных, один из результатов представлен на рис. 1.

В третьей главе рассматривается авторская модификация метода крайгинга. По сравнению с традиционным методом крайгинга, учитывал ющим априорную информацию только в виде вариограмм или функций

Рис. 1. Карта невязок эффективной толщины по априорной карте и по итоговой В-сплайновой ЗО модели. Шаг изолиний: 2%. Белый цвет соответствует относительному отклонению от априорной карты менее чем на 2%.

коварнации, предлагается дополнить информацию об объекте априорной двумерной картой. Модель исследуемого геологического объекта, как и выше, предполагается послойной, т.е. исследуемый объект в пространстве представляется совокупностью К слоев, в каждом из которых восстанавливаемое свойство описывается функцией двух координат: ик = ик{х, у), где к-номер слоя. В качестве априорной информации используется двумерная модель исследуемого свойства: /(х,у). Предполагается, что в каждом слое модели неизвестная функция ик(х,у) является стационарной в широком смысле гауссовой случайной функцией с математическим ожиданием тк и а-рпоп известной ковариационной функцией С (к). Оценки этих функций в произвольной точке (х, у) предлагается искать в виде линейных комбинаций известных значений в точках, соответствующих скважинам:

XV

ик(х, у) = ^ акш • < = ак(ик)т. (б)

ги=1

Здесь IV - количество скважин, ак = (ак ... а^) - вектор неизвестных коэффициентов для к-того слоя модели, ик = (ик ... ику) - вектор скважин-ных значений для к-того слоя. В отличие от традиционныхгеостатистиче-ских подходов, таких как крайгинг, неизвестные коэффициенты акш(х,у) предлагается определять не только из условия минимизации среднеквад-

ратических отклонений Е(ик(х,у) — ик(х,у))2, но и условия соответствия априорной двумерной и осредненной трехмерной моделей:

к

/(х,у) = 1/К^к(^У)- (7)

А:=1

Решение задачи сводится к минимизации относительно неизвестных акги(х>у) следующего функционала:

К К

£ Е(ик(х, у) - ик(х, у))2 + А . (К ■ /(*,у) - ]Гу)), (8)

/с=1 Л=1

где Л - коэффициент Лагранжа. Задача минимизации данного функционала сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений вида:

{(а1)т\ ( к \

( Р 0 0 Р

. 0 (uY \ . 0 :

о у«1

о

и

Р (иК)т к 0

(ак)т \ Л .

(9)

\K-f{x,y)J

Здесь Р = {Pij} = {C(hij)} - матрица ковариаций, размерностью XV х IV. Ее ij-ым элементом является значение коварнации между случайными величинами Uk(xj,yj) и Uk(xi, у*), причем (xi, у*) и (Xj,yj) - координаты i-той и j-той скважин соответственно. Благодаря стационарности случайной функции Uk(x,y) значение ковариации будет зависеть только от расстояния hij между этими скважинами. Столбец h будет равняться

h— I ... I, где hw - расстояние от точки (х, у) до гу-той скважины. \C(hw)J

Структура матрицы системы позволяет решать поставленную задачу полностью, используя только обращение матрицы Р на векторах ик, к = 1... К, что делает алгоритм в интерполяционной постановке экономичным с вычислительной точки зрения.

В рамках главы также рассмотрена постановка задачи, при которой условие (7) заменяется на условие:

N

f(x, у) = 1/N J2 у) • у), (ю)

fc=l

где sk(x,y) - некоторые весовые коэффициенты. В зависимости от решаемой задачи смысл весовых коэффициентов может быть различным: в качестве sk(x,y) могут выступать мощности k-того слоя геометрического каркаса в точке (х,у), значения песчанистости в этой точке в k-том слое и т.п. Матрица весовых коэффициентов в конкретных задачах моделирования полей геологических параметров должна быть известна заранее. Как показано в главе 3, замена условия (7) на условие (10) увеличивает вычислительную сложность алгоритма незначительно, но расширяет область его практического применения.

Рассмотренный алгоритм 3D моделирования был включен в ПК "BASPRO Оптима" и протестировал на реальных данных. Как показали численные эксперименты, рассматриваемый метод в ряде случаев может приводить к физически нереальным значениям моделируемого параметра в отдельных ячейках модели, например, значениям песчанистости большим единицы или меньшим нуля. Это связано с тем, что априорная информация в виде ограничений на диапазон значений параметране использовалась в методе. Заметим, что таким недостатком обладают и другие известные методы моделирования, например, крайгингиили В-сплайн интерполяция. При замене аномальных значений на физически допустимые возникает отклонение от априорной 2D модели в отдельных столбцах. Несмотря на это, при достаточно большом количестве слоев модели (К>30), рассмотренный алгоритм показывает высокую степень соответствия результатов трехмерного моделирования априорной двумерной модели при сравнительно невысокой вычислительной сложности (см. рис. 2, 3).

Четвертая глава посвящена исследованию возможностей применения динамических методов Монте-Карло для решения задач трехмерного геологического моделирования. Привлекательность этих численных методов в том, что они позволяют использовать для получения решения априорные данные различного рода.

Первый пункт главы содержит базовые понятия, связанные с распределениями Гиббса, потенциальными полями и марковскими случайными функциями.

Второй пункт посвящен изложению принципов метода стохастической релаксации (Gibbs sampling) и метода имитации отжига (Simulated Annealling). Оба численных метода предназначены для моделирования сов-

Рис. 2. Исходная карта песчалистости (слева) и результат осреднения ЗБ модели. Модель построена модифицированным методом крайгинга

Рис. 3. Относительные отклонения результатов осреднения ЗЭ модели от исходной карты. Модель построена модифицированным методом крайгин- • га. Белый цвет соответствует относительному отклонению менее 1%.

местных распределений вероятностей большого числа переменных с конечным множеством значений. Обозначим набор переменных через х = где а - общее число переменных, через 5" - множество возможных значений для переменных ха, а через X - множество всех возможных вариантов х. Метод стохастической релаксации для любой наперед заданной функции Н{х) позволяет моделировать на X вероятностное распределение

1ВД = (И)

где Z - нормирующая константа. Метод имитации отжига основывается, с одной стороны, на свойствах метода стохастической релаксации, а с другой - на утверждении о том, что распределение Гиббса вида

П 0е) = , (12)

при стремлении /3 к бесконечности, стремится к распределению, равномерному на множестве М - множестве глобальных минимумов функции Н(х). Благодаря указаному свойству метод имитации отжига может использоваться для нахождения экстремумов функций многих переменных для случая, когда каждая переменная может принимать лишь конечное число значений.

Третий пункт главы 4 посвящен экспериментам по построению методом имитации отжига моделей поля признака коллектора с учетом априорной карты песчанистости и геоло го-статистического разреза Возможными значениями для ячеек были "1" и "-1", означавшие присутствие коллектора и неколлектора соответственно. При этом использовался целевой функционал вида:

II к

Н(х) = - 53 а{1>а)хгха + 7 • 53 ^У2 + ' ^ (13)

(М) »=0 j=0 к=О

Здесь 7 > 0 и г] > 0 коэффициенты, определяющие приоритеты слагаемых, целочисленные величины I, 3, К задают размерность модели. Второе слаг гаемое отвечает за соответствие модели карте песчанистости, - невязка между значением песчанистости (объемной доли коллектора) по (^)-тому столбцу состояния х и соответствующим значением с карты. Третье слагаемое построено из аналогичных соображений и отвечает за соответствие

Рис. 4. Сечения моделей, полученных при различных коэффициентах анизотропии

Рис. 5. Сечения моделей, полученых на реальных скважинных данных с использованием функционала (13) (а) и того же функционала, дополненного данными о прерывистости модели (б)

модели геолого-статистическому разрезу, задающему долю каллскторских пород для каждого латерального слоя модели. Первое слагаемое в правой части (13) предложено автором для учета анизотропии в модели. Кроме того, оно вносит в модель информацию о том, что большие связные области ячеек с одинаковыми значениями более предпочтительны, нежели мелкие и разрозненные. Запись ^¿з) используется для обозначения пар соседних ячеек, 0!({,в) > 0 - коэффициенты, значения которых выбираются различными для различных направлений смежности ячеек, что и приводит к появлению в модели анизотропии. Результаты экспериментов на простых моделях, с небольшим количеством выделяемых геологических тел, показали возможность гибкого управления результатом посредством выбора коэффициентов ск^) (см. рис. 4).

Эксперименты по моделированию более сложных ситуаций показали необходимость задания дополнительных данных для обеспечения адекватного поведения модели в окрестностях скважин. Применение функционала (13) приводило к слиянию в модели мелких прослоев в крупные тела (см. рис. 5 а)), что не адекватно скважинным данным. Одним из найден-

Рис. б. Сечение корректируемой модели (а) и модели, полученной методом корректировки по реальным скважинпым данным с использованием функционала (13) (б)

ных возможных решений является учет в целевом функционале "карты прерывистости", т.е. сеточной функции, задающей примерное количество переходов от коллектора к неколлектору для каждого столбца модели. Такого рода данные могут быть легко получены на практике, результат их использования приведен на рис. 5 б). Другим возможным решением упомянутой проблемы явился разработанный автором алгоритм корректировки моделей методом имитации отжига.

Теоретическое обоснование метода корректировки изложено в четвертом пункте главы 4. Метод корректировки является авторской модификацией метода имитации отжига Дашгая модификация позволяет привести заранее имеющуюся модель £ = в соответствие новым данным, например, картам, гистограммам и т.п., сформулированным в виде функции Н(х) : X —► Л. Вкратце алгоритм корректировки заключается в следующем:

• Состояние t принимается в качестве начального.

• Пользователем задаются два вещественных коэффициента 0 < < р < 1, таких что р + д = 1.

• Применяется метод имитации отжига. При этом, механизм принятия решения об изменении значения ячейки усложняется. На каждой итерации вероятность ячейки ха перейти в состояние ^ умножается на р, а вероятность перейти в — £<, умножается на д.

Наличие последнего пункта обеспечивает стремление модели как можно менее отличаться от начального состояния I. Поведение алгоритма

при стремлении числа итераций к бесконечности определяется следующими теоремами, доказаны ми автором:

ТЬорема 4. При стремлении параметра (3 к бесконечности распределение поточечно сходится к распределению:

,ht (14)

О, ж £ М,

где h(-, •) - расстояние Хемминга, а = ln(а М С X - множество глобальных минимумов функции Н(х). При этом, для х е М распределение ИР{х), как функция (3, монотонно возрастает, а для остальных х с некоторого момента становится убывающей.

ТЬорема 5. Для сходимости метода корректировки к распределению (14) достаточно, чтобы схема охлаждения удовлетворяла условию:

Полученные теоремы доказывают возможность получения с помощью модифицированного алгоритма имитации отжига моделей, наилучших с точки зрения данных, заложенных в функционал Н(х), и близких к начальному состоянию t с точки зрения метрики Хемминга. Результат работы метода корректировки в одном из экспериментов приведен на рис. 6 б). Для сравнения результат, полученный без учета начального состояния модели, приведен на рис. 5 а). Сравнение рисунков показывает более адекватное поведение модели в окрестностях скважин в случае использования метода корректировки. Благодаря использованию исходной модели t метод позволил достичь одного из таких глобальных минимумов, при котором значения в окрестностях скважин близки к скважинным данным, что более соответствует интуитивному представлению о непрерывности геологических процессов.

Рассмотренные алгоритмы моделирования полей признака коллектора были запрограммированы автором, протестированы на реальных геологических данных и включены в модуль "Gektra" программного комплекса "BASPRO Оптима".

Основные результаты работы.

В рамках диссертационного исследования были установлены следующие тенденции современного развития численных методов построения ЗБ геологических моделей:

1. Разработка методов, позволяющих задавать априорную информацию в терминах, естественных для геологии;

2. Разработка методов, легко пополняемых разнородной, различной степени точности, априорной информацией.

В соответствии с первым направлением, в главах 2 и 3 рассматриваемой диссертации разработаны новые численные методы, позволяющие учитывать в качестве априорных данных об объекте моделирования традиционные для геологической науки типы представления информации: 2Э геологические карты и геолого-статистические разрезы. Как показано в работе, использование данных такого рода позволяет улучшить соответствие модели объективной реальности.

В соответствии со вторым направлением, в главе 4 подробно рассмотрена возможность использования метода имитации отжига для построения литолого-фациальных моделей. Продемонстрированы возможности метода по улучшению качества моделирования посредством использования априорной информации в виде 2Б геологических карт, геолого-статистических разрезов и экспертных представлений о характерной пространственной ориентации гелогических тел. Благодаря отказу от традиционно используемых статистических данных (функций ко вариации и вариограмм) метод может быть использован для моделирования малоисследованных объектов, а вычислительная сложность одной итерации алгоритма снижается с 0(ЛГ2) до О(ЛГ), где N - количество ячеек модели. Кроме того, важным результатом главы 4 является предложенный автором метод корректировки литолого-фациальных моделей на основе модифицированного метода имитации отжига, позволяющий приводить модели в соответствие новым данным, внося минимальные, с точки зрения расстояния Хемминга, изменения.

Основное содержание диссертационной работы изложено в следующих публикациях:

[1] А.Д. Бекман, М.В. Дмитриевский, В.Н. Кутрунов. Неполнота знания и решение задач //' Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. — Тюмень: Издательство "Вектор-Бук", 2006. — С: 21-38.

[2] АД. Бекман, В.Н. Кутрунов. Математика и эксперт // Математические структуры и моделирование, Вьш.13.— Омск: Омск. Гос. ун-т, 2004. - С. 13-26.

[3] А.Д. Бекман, В.Н. Кутрунов. Математика и эмпирическая информация // Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов.— Тюмень: Издательство "Вектор-Бук", 2004.— С. 182-203.

[4] А.Д. Бекман, В.Н. Пьянков. Развитие методики построения трехмерных reo лого-математических моделей // Материалы докладов 3-ей всероссийской научно-практической конференции 'Теология инефте-газоносность западно-сибирского мегабассейна".— Тюменк Издательство "Вектор-Бук", 2004.-С. 238-241.

[5] А.Д. Бекман, В.Н. Кутрунов. Использование метода имитации отжига для улучшения качества трёхмерных литолого-фациальных моделей // Модернизация образования в условиях глобализации. Круглый стол "Образование через науку и инновации". — Тюмень: Изд-во Тюм-ГУ, 2005. — С. 24-26.

[6] А.Д. Бекман, В.Н. Кутрунов. Стохастические сплайны в трехмерном геологическом моделировании и априорная информация в виде карт // Математическое и информационное моделирование: Сборник статей.— Тюмень: Издательство Тюменского государственного университета, 2005. — С. 39-51.

[7] АД. Бекман, В.Н. Кутрунов. Корректировка трехмерных литолого-фациальных моделей с учетом разнородной априорной информации // Нефтегазовое дело (Электронный журнал].— 2006. url: www.ogbus.ru/ authors/Bekman/Bekman_l .pdf.

[8] А.Д. Бскман, D.H. Кутрунов. Использование метода имитации отжига для построения трехмерных геологических моделей в условиях малой изученности месторождения // Вестник Тюменского государственного университета. — 2006. - Т. 5. - С. 24-26.

[9] АД. Бекмап. Некоторые подходы к построению трехмерных моделей поля песчанистости с использованием априорной информации в виде двумерных карт // Математическое и информационное моделирование: Сборник статей.— Тюмень: Издательство "Вектор-Бук", 2004.— С. 25-40.

[10] А.Д. Бекмап. Использование динамических методов Монте-Карло для построения трехмерных литологических моделей // Современные математические методы и информационные технологии в образовании. Межрегиональная конференция. Тез. докл. Тюмень, изд-во ТГУ. — 2005.- С. 15.

[11] АД. Бекмап. Построение трехмерных литологических моделей с учетом разнородной априорной информации с помощью метода имитации отжига // Математическое и информационное моделирование: Сборник статей.— Тюмень: Издательство .Тюменского государственного университета, 2005.— С. 26-39.

[12] АД. Бекман. Огохастэтеский метод построения трехмерных геологических моделей с использованием априорной информации в виде двумерных функций // Труды 36-ой Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики". — Екатеринбург: УрО РАН, 2005.- С. 77-82.

[13] АД. Бекман. Корректировка трехмерных литолого-фациальных моделей с помощью модифицированного метода имитации отжига // Вычислительные методы и программирование. — 2006. — Т. 7.— С. 229235. url: www.num-meth.srcc.msu.su.

[14] АД. Бекман. Построение трехмерных геологических моделей методом имитации отжига в условиях малой изученности месторождения // III Международная конференция студентов и молодых ученых "Перспективы развития фундаментальных наук". Тез. докл. — Томск: Изд-во ТПУ, 2006. - С. 17.

Издательство «Вектор Бук». Лицензия ЛР N 066721 от 06.07.1999г.

Подписано в печать 9.11.06г. Формат 60x84/16. Печать Riso. Усл. печ. л. 1,15. Тираж 100. Заказ 444.

Отпечатано в типографии Издательства «Вектор Бук». Лицензия ПД N 17-0003 от 06.07.2000г. 625004, г.Тюмень, ул. Володарского, 45. Тел. (3452)46-54-04, 46-90-03

Глоссарий

Введение

1 Постановка задачи геологического моделирования. Современные подходы к построению полей геологических параметров.

1.1 Виды и основные способы представления трехмерных геологических моделей.

1.1.1 Цифровая трехмерная адресная геологическая модель (ЦТАГМ).

1.1.2 Цифровая трехмерная адресная фильтрационная модель (ЦТАФМ).

1.2 Типы исходных данных и априорной информации для трехмерного моделирования.

1.2.1 Типы эмпирических исходных данных о геологических объектах.

1.2.2 Примеры априорных сведений о геологических объектах.

1.3 Современные подходы к построению трехмерных геологических моделей.

1.3.1 Построение трехмерных геологических моделей методами послойной интерполяции.

1.3.2 Построение трехмерных геологических моделей с использованием методов крайгипга

1.3.3 Последовательные методы моделирования полей геологических параметров.

1.3.4 Использование метода имитации отжига для построения и корректировки геологических моделей.

2 Построение полей геолого-геофизических параметров с использованием В-сплайнов ( авторский подход применения априорной информации в виде 2D карт).

2.1 Интерполяционная и аппроксимационная постановки задачи моделирования поля геологического параметра.

2.2 Поиск нормального решения задачи моделирования 3D поля геологического параметра.

2.3 Основные результаты численных экспериментов.

3 Новый метод построения 3D геологических моделей. Использование крайгинга с возможностью учета 2D геологических карт.

3.1 Постановка задачи. Теоретическое обоснование подхода к решению.

3.2 Некоторые практически важные обобщения метода.

3.3 Результаты численных экспериментов.

4 Построение 3D литолого-фациальных моделей методом имитации отжига с использованием разнородной априорной информации.

4.1 Гиббсовские распределения, потенциальные поля и марковские случайные функции.

4.2 Динамические методы Монте-Карло: моделирование гибб-совских распределений и метод имитации отжига.

4.2.1 Метод Гиббса.

4.2.2 Метод имитации отжига.

4.3 Пример построения целевой функции для моделирования поля литологии методом имитации отжига

4.3.1 Результаты численных экспериментов.

4.4 Обоснование авторского алгоритма корректировки литологофациальных моделей методом имитации отжига.

4.4.1 Численные эксперименты.

Высокая эффективность эксплуатации нефтегазового месторождения возможна только при условии правильного планирования и своевременного проведения мероприятий по его разработке. В настоящее время решения о проведении таких мероприятий принимаются на основе анализа особого рода информационных моделей - трехмерных геологических моделей разрабатываемых нефтегазоносных объектов. В связи с этим, очень большое практическое значение имеет качество таких моделей, их адекватность реальности.

Трехмерная геологическая модель, как частный случай информационной модели, состоит из позиционной и аттрибутивиой составляющей. Позиционная составляющая представляет собой геометрический каркас -трехмерную сетку, определяющую положение исследуемого объекта в пространстве. Атрибутивная составляющая - поля геологических параметров - описывает внутреннее строение объекта, оценивает свойства геологических пород в различных его точках. Задачи построения этих составляющих решаются, как правило, отдельно. При этом, если при построении геометрического каркаса сейсмические данные обеспечивают довольно точное решение (в пределах известной погрешности), то данные для построения полей геологических параметров гораздо более скудны. Результатов непосредственного исследования нефтегазоносного объекта, как правило, недостаточно для получения полного представления о его строении. Более того, на практике имеющимся данным об объекте может соответствовать множество качественно различных моделей (см., например, [А.Д. Бекман, 2005], [А.Д. Бекман, 2005(2)]). Такие проблемы характерны для многих задач информационного моделирования (см. [В.Г. Гитис, Б.В. Ермаков, 2004]), поэтому при решении таких задач считается необходимым, чтобы модель удовлетворяла не только результатам непосредственного наблюдения моделируемого объекта, но и разного рода дополнительным данным о нем: априорным знаниям, экспертным представлениям и гипотезам. Часто данные такого рода являются трудноформализуемыми и представляют собой многолетний опыт исследователей, использование которого позволяет закладывать в модели те или иные качественные особенности и тем самым улучшать их адекватность действительности.

По причинам актуальности задачи трехмерного геологического моделирования и практической необходимости совершенствования программных средств для такого моделирования, предметом настоящего исследования были выбраны алгоритмы построения полей геологических параметров. В то же время, объектом исследования стали различные формы задания априорных данных и способы их учета в процессе построения этих полей. Это обусловлено, с одной стороны, подчеркнутой выше важностью такого рода данных, а с другой стороны, тем, что проблеме учета таких данных в геологическом моделировании, по мнению автора, в современных исследованиях уделяется недостаточное внимание.

Моделирование полей параметров геологических объектов имеет множество особенностей, не характерных для задач математического моделирования. В частности, одной из таких особенностей, и пожалуй самой важной, является то, что в настоящее время полностью отсутствует детерминистская математическая модель, описывающая взаимосвязь между свойствами геологических пород в различных точках объекта. Более того, закономерности такой взаимосвязи пе выделены достаточно точным образом, в связи с чем не возможно привлечь для моделирования геологической среды аппарат дифференциального исчисления. Это приводит к невозможности обоснованного использования для решения рассматриваемой задачи математических моделей в виде дифференциальных уравнений, с успехом применяющихся для нужд механики, теории упругости, гидродинамики и т.д. Привлекательность численных методов, основанных на таких моделях, с одной стороны в том, что они представляют собой хорошо изученный математический аппарат. С другой стороны, они позволяют точно (или в пределах известной погрешности) восстановить свойства моделируемого объекта во всей изучаемой области по начальным и граничным условиям. Отказ (пусть даже и вынужденный) от такого подхода приводит к полной неопределенности относительно свойств объекта вис скважин. Другими словами, множество возможных вариантов модели представляет собой множество всех возможных функций, принимающих известные нам значения в скважинах и любые значения вне скважин. Тем не менее, нужды практики требуют от исследователя выбрать наиболее правдоподобный (или один из наиболее правдоподобных) вариант модели объекта в качестве основы для принятия решений. Именно этой цели и служат все известные численные методы моделирования полей геологических параметров.

По глубокому убеждению автора, единственным возможным критерием оценки качества модели, т.е. степени ее соответствия реальному объекту, может служить ее соответствие имеющейся информации об объекте. Исходя из этого, представляется разумным для решения каждой конкретной задачи использовать такой численный метод, который бы позволил учесть всю имеющуюся информацию об объекте. С точки зрения достоверности, априорную информацию целесообразно классифицировать на строгую, т.е. требующую точного соответствия, и нестрогую, требующую соответствия приближенного. Каждый из классов информации будет использован в рамках численного метода по-своему. Так, строгая информация будет использована для сужения множества возможных вариантов модели, из которых численный метод будет выбирать единственное решение. Примером строгих априорпых знаний может служить интервал возможных значений исследуемого свойства, полученный в результате статистических исследований породы, составляющей моделируемый объект. Благодаря такому знанию, при моделировании указанного свойства, множество возможных решений может быть сужено за счет исключения из него функций, реализующих значения вне заданного интервала.

Если строгая информация не определяет решение однозначно и в за-уженом множестве возможных вариантов остается некоторый произвол, то выделить единственное решение можно с помощью нестрогой информации. При этом, большинство известных методов реализуют один из двух подходов:

Детерминистский подход. Вся имеющаяся нестрогая информация объединяется в один функционал, заданный па множестве возможных вариантов модели, ограниченном строгими сведениями. Функционал позволяет сравнивать различные варианты модели по степени соответствия заложенной в функционал информации: обычно он задается таким образом, чтобы его наименьшие значения соответствовали вариантам, наилучшим с точки зрения имеющейся нестрогой информации. (Примеры такого рода функционалов приводятся в главах 1 - 3.) Если при этом функционал имеет не единственный минимум, т.е. не определяет решение задачи однозначно, то для обеспечения единственности решения могут потребоваться дополнительные предположения о решении, например, предположения о том, что модель является непрерывно дифференцируемой функцией, удовлетворяет некоторому дифференциальному уравнению и т.п. Такие предположения служат для обеспечения корректности математической постановки задачи, на основании которой выбирается численный метод ее решения. Разумеется, желательно, чтобы эти предположения несли в себе какую-то информацию об объекте, но если такой информации нет, то они могут выбираться произвольно и выбирать любой вариант модели из множества, ограниченного имеющимися строгими и нестрогими сведениями.

Стохастический подход, предполагает задание на множестве возможных решений, ограниченном строгой информацией, вероятностного распределения. Распределение задается таким образом, чтобы вероятность вариантов решения была "пропорциональна" их правдоподобности. Алгоритм выбора в этом случае представляет собой некоторый специализированный метод Монте-Карло, генерирующий небольшую выборку заданного распределения. Полученная выборка анализируется экспертами и один из вариантов объявляется актуальной моделью.

Любой известный численный метод может быть рассмотрен с позиций приведенной выше схемы. Тем не менее, зачастую в рамках распространенных численных методов используется довольно мало информации о моделируемом объекте. Приведем несколько примеров:

• При использовании для нужд геологического моделирования В-сплайнов (см., например, [A.M. Волков, 1988]) кроме использования скважииной информации предлагается в качестве регуляризатора использовать функционал, соответствующий уравнению Лапласа. Привлечение такой информации служит для выделения единственного решения из множества возможных, а также выражает мнение исследователя о том, что исследуемое поле ведет себя подобно мыльной пленке. В качестве строгой информации, ограничивающей множество возможных моделей, используется информация о том, что модель принадлежит пространству В-сплайнов, а значит, представляет собой дважды непрерывно дифференцируемую функцию. Последнее также может являться экспертным мнением относительно моделируемого поля.

• Один из традиционных геостатистических методов, простой край-гииг, помимо скважинпых данных использует предположение, что исследуемое поле представляет собой стационарную в широком смысле случайную функцию с заданной функцией ковариации. Исходя из этого предположения, множество возможных вариантов модели сужается до множества функций-оценок, заданных на некоторой конечной сетке, и представляющих в каждом узле этой сетки линейную комбинацию известных скважинпых значений. Критерием выбора единственного решения из этого множества является требование наименьшего среднеквадратического отклонения оценки от неизвестной функции в каждой исследуемой точке (см. [М. Давид, 1980], [Ж. Матерой, 19G8]).

• Численный метод Sequential Gaussian Simulation (SGSIM, см., например, [P. Goovaerts, 1997], глава 8), часто используемый в зарубежных программных продуктах для геологического моделирования, относится к разряду стохастических и базируется на тех же предположениях относительно исследуемого поля, что и крайгинг. Как и в случае крайгипга, множество возможных моделей сужается до множества функций, заданных па некоторой конечной сетке и удовлетворяющих скважинным данным. Вероятностное распределение формулируется на основании требования наилучшего удовлетворения заданной функции ковариации (или вариограммы). Выборка вероятных вариантов получается с помощью специализированного метода типа Монте-Карло. Заметим, что и гипотеза стационарности случайной функции и вариограмма вносятся в задачу извне для возможности осуществления численного метода. На практике проверка гипотезы стационарности является практически невозможной, а вариограмма выбирается из нескольких шаблонов, часто не имеющих отношения к исследуемому объекту.

Любой из численных методов, приведенных в примерах может быть дополнен новой информацией. В частности, в главах 2 и 3 даны модификации этих численных методов, позволяющие учитывать (строго или нестрого) априорную информацию в виде двумерных геологических карт. Относительно двумерных геологических карт требуется заметить, что они являются традиционным для отечественной науки типом геологических моделей. Методы геологического картирования совершенствовались дссятилстиями и несут в себе опыт многих поколений геологов, который может оказаться весьма полезным при построении и трехмерных геологических моделей. Кроме того, двумерный способ представления информации является более удобным для восприятия человеком нежели трехмерный. В связи с этим, методики экспертного контроля трехмерной геологической модели зачастую базируются па анализе ее сечений и построенных по пей двумерных карт. Еще одним доводом за использование априорных двумерных карт при построении трехмерных геологических моделей является то, что, согласно существующим регламентам (см., например, [Регламент по созданию постоянно действующих геолого-технологических моделей.]), подсчет запасов месторождений углеводородов проводится по двумерным моделям, в то время как для целей гидродинамического моделирования требуются модели трехмерные, причем соответствующие двумерным по основным интегральным характеристикам, например, объемам коллекторских пород, объемам нефте- и газопасыщенных пород, запасам углеводородов в пластовых условиях и т.д. Таким образом, создание численных методов, позволяющих строить трехмерные геологические модели в соответствии с имеющимися двумерными, является практически важной задачей.

Представленные в настоящей работе алгоритмы моделирования трехмерных полей геологических параметров были реализованы автором в модуле "Gektra" программного комплекса "BASPRO Оптима" и используются для решения практических задач моделирования нефтегазоносных пластов в научно-исследовательском институте "ТюменНИИГинроГаз".

Заключение.

Исследование современных численных методов построения полей геологических параметров позволяет отметить некоторые тенденции в отношении исследователей к априорной информации. С одной стороны, если в рамках традиционных методов, таких как крайгинги, априорная информация представляла собой гипотезы статистического характера, например, стационарность приращений поля, как случайной функции, то в настоящее время появились способы представления априорной информации в терминах более характерных для геологии. Так, в современных численных методах исследователь может задавать гипотезы о строении исследуемого объекта не в таких абстрактных терминах, как вариограмма или функция ковариации, а в более естественных: характерные направления простирания и размеры тел той или иной породы, объемное соотношение различных пород, обучающие образцы, отражающие основные закономерности строения и т.п. С другой стороны, явной тенденцией является стремление исследователей включить в модель как можно больше видов априорной информации, что позволило бы получать на практике более достоверные модели. Исследования на эту тему можно разделить па два направления:

• Модификация традиционных численных методов для обеспечения возможности учета дополнительной априорной информации.

• Развитие численных методов, формулирующихся в виде задач оптимизации. В рамках такого подхода вся имеющаяся информация о модели формирует целевую функцию, экстремум которой и является решением задачи. Для нахождения экстремума используются, например, динамические методы Монте-Карло или генетические алгоритмы.

Как показали исследования, изложенные во второй и третьей главе настоящей работы, численные методы, допускающие вариационную постановку задачи моделирования, могут быть довольно легко модифицированы таким образом, чтобы позволить учесть такие традиционные для отечественной геологической школы типы данных как геологическая карта и геолого-статистический разрез. Для этого в минимизируемый функционал необходимо ввести дополнительные слагаемые определенного типа, отвечающие за эти типы информации. Однако, так как в рамках этих методов решение ищется в функциональных пространствах определенной структуры, это может повлечь несуществование или неединственность решения такой модифицированной задачи, а значит корректность задачи должна быть исследована дополнительно. Так как обычно решение задачи такого типа сводится к системе линейных уравнений, то в случае, когда существования и неединственности решения, задачу решать не принято - вместо этого ее дополняют новой информацией до получения корректной математической постановки.

Совершенно по-другому выглядит ситуация с группой численных методов, основанных на динамических методах Моитс-Карло. Так как метод оптимизации работает только на конечных множествах, то при непустой области определения целевой функции вопрос о существовании решения всегда решается положительно. При этом, так как целевые функции, как правило, имеют на практике довольно сложный вид, вопрос о единственности решения задачи является весьма сложным. Однако, этот вопрос далеко не так существенней для рассматриваемой группы численных методов. С одной стороны, при соблюдении определенных условий, метод в качестве результата может выдать любой из минимумов целевой функции. С другой стороны, так как с точки зрения целевой функциии такие решения не различаются, то с точки зрения соответствия имеющейся информации о модели они равноправны и равноценны. Если же это не так и исследователь в состоянии указать качественные отличия получаемых решений, то критерий таких отличий также должен быть включен в целевую функцию. Гибкость данного типа численных методов с точки зрения учитываемой априорной информации была продемонстрирована в главе 4, что делает данный тип методов очень привлекательным для практического использования. Дальнейшее исследование данного направления может быть сведено к развитию способов задания различной априорной информации в виде целевой функции, а также исследованию способов уменьшения вычислительной сложности методов.

С точки зрения задач, поставленных во введении настоящей работы, результаты могут быть сформулированы в виде следующих пунктов:

1. Разработай метод построения трехмерных геологических моделей с учетом априорной информации в виде двумерных карт и геолого-статиотичеекого разреза на основе алгоритма В-сплайп интерполяции.

2. Разработан метод построения трехмерных геологических моделей, соответствующих a-priori заданным двумерным моделям и геостатистической информации об особенностях строения геологического объекта, с применением стохастических сплайнов.

3. Разработан метод построения трехмерных геологических моделей, не требующий статистической информации, пригодный в условиях малой изученности объекта.

4. Разработан стохастический алгоритм для внесения дополнительной информации в существующие трехмерные модели с возможностью управления степенью отклонений итоговой модели от первоначально заданной.

Разумеется, несмотря на отмеченную актуальность работы и практическую значимость полученных результатов, работа не решает всех возникающих па практике задач и не охватывает достаточным вниманием все известные методы построения полей геологических параметров. Многие виды априорной информации и экспертных гипотез еще требуют изучения и формализации в математических терминах. Кроме того, методы оптимизации функций на конечных множествах не ограничиваются динамическими методами Монте-Карло, в частности, перспективным представляется генетический подход к решению рассмотренной в главе 4 задачи. Благодарность.

Автор выражает глубокую признательность и сердечную благодарность научному руководителю Кутрупову Владимиру Николаевичу за познавательное и интересное сотрудничество.

1. А.Н. Тихонов, А.В. Гончарский, В.В. Степанов, А.Г. Ягола. Регуляри-зующие алгоритмы и априорная информация.— М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1983. - С. 200.

2. М.В. Дмитриевский, В.Н. Кутрупов, Е.А. Медведев. Восстановление геологических полей методом крайгипга // Оптимизация технологий разработки нефтяных месторождений. — Екатеринбург: Средне-Уральское книжное издательство, 2003. — С. 191-197.

3. Дж. Альберг, Э. Нильсоп, Дж. Уолш. Теория сплайнов и ее приложения.- М.: Мир, 1972.

4. М.М. Лаврентьев, В.Г. Романов, С.П. Шишатский. Некорректные задачи математической физики и анализа. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1980.-С. 288.

5. В.М. Бондарепко, Г.В. Демура, A.M. Ларионов. Общий курс геофизических методов разведки. — М.: Недра., 1986.— С. 453.

6. Н.С. Бахвалов, Н.П. Жидков, Г.М. Кобельков. Численные методы: Учеб. пособие, — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1987.— С. 600.

7. Д.А. Родионов, Р.И. Коган, В.А. Голубева. Справочник по математических методам в геологии. — М.: Недра, 1987. — С. 335.

8. А.Д. Бекмаи, М.В. Дмитриевский, В.Н. Кутрунов. Неполнота знания и решение задач // Математическое и информационное -моделирование: сборник научных трудов. — Тюмень: Издательство ''Вектор-Бук", 2006.-С. 21-38.

9. Дж. Кемени Дж. Снелл . . Счетные марковские цепи: Пер. с англ. — Москва: "Наука", 1987.- С. 416.

10. А.Н. Тихонов, В.Я. Арсепин. Методы решения некорректных задач. — М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит, 1979. — С. 288.1. Ml

11. А.Н. Сидоров, Н.Г. Хорошев. Метод восстановления трехмерных геолого-геофизических полей // Геология и Геофизика. — 1987. — Т. 1.-С. 135-139.

12. А.Д. Бекмап, В.Н. Кутрупов. Математика и эксперт // Математические структуры и моделирование, Вып. 13.— Омск: Омск. Гос. ун-т,2004. С. 13-26.

13. А.Д. Бскман, В.Н. Кутрунов. Математика и эмпирическая информация // Математическое и информационное моделирование: сборник научных трудов. — Тюмень: Издательство "Вектор-Бук", 2004. — С. 182203.

14. В.Г. Гитис, Б.В. Ермаков. Основы пространственно-временного прогнозирования в геоипформатике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004.- С. 256.

15. А.Д. Бекман, В.Н. Кутрунов. Корректировка трехмерных литолого-фациальных моделей с учетом разнородной априорной информации // Нефтегазовое дело Электронный журнал., URL: www.ogbus.ru/autliors/Bekman/Bekmanl.pdf. — 200G.

16. А.Д. Бекмап, В.Н. Кутруиов. Использование метода имитации отжига для построения трехмерных геологических моделей в условиях малой изученности месторождения // Вестник Тюменского государственного университета. 200G. - Т. 5. - С. 24-2G.

17. Матерой . Основы прикладной геостатистики.— М.: Мир, 1968. — С. 408.

18. Михлин . Вариационные методы в математической физике. — М.:Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1970.-С. 512.

19. Давид. Геостатистические методы при оценке запасов руд. — JI.: Недра, 1980.-С. 3G0.

20. Василенко . Сплайн-функции: теория, алгоритмы, программы. — Новосибирск: Наука, 1983.

21. Василенко . Вариационые задачи и численные методы в теории приближения функций.: Диссертация д.ф.-м.и / Академия наук СССР, Сибирское отделение, Вычислительный центр. — 198G.

22. Волков . Геологическое картирование нефтегазоносных территорий с помощью ЭВМ. М.: Недра, 1988.- С. 221.

23. Аронов . Методы восстановления геолого-геофизических полей сходство, особенности, проблемы // Геофизический журнал. — 1988. — Т. 10, У0- 3. — С. 3-12.

24. Щеглов . Практические методы крайгинга.— М.: ВИЭМС, 1989.— С. 51.

25. Аронов . Методы построения карт геолого-геофизических признаков и геометризация залежей нефти и газа на ЭВМ. — М.:Недра, 1990. — С. 301.

26. Кутрунов . Полином наилучшего равномерного приближения в итерационном методе решения систем алгебраических уравнений // Сибирский математический журнал. — 1992. — Т. Т.ЗЗ. — С. 62-68.

27. Ашкепазы . Сплайн-поверхности и аппроксимационный поиск экстремума // Применение функционального анализа в теории приближений. Тверь: ТвГУ, 1999. - С. 19-30.

28. Березовский . Сглаживающие изогеомстрические и робастпые сплайны: методы и алгоритмы.: Автореферат диссертации к.ф.-м.и / Новосибирский Государственный архитектурно-строительный университет. — 2000.

29. Ашкеиазы . Сплайн-поверхности (дополнительные главы): Учебное пособие. — Тверь: Тверской гос. ун-т, 2001. — С. 35.

30. Фукс . Разработка и исследование алгоритмов интерполяции однозначных поверхностей и их использование при построении цифровых моделей рельефа.: Диссертация к.ф.-м.и / Томский государственный университет. — 2001.

31. Вержбицкий . Основы численных методов.— М.: Высшая школа, 2002.-С. 840.3G. Винклер . Анализ изображений, случайные поля и динамические методы Монте-Карло: Пер. с англ. — Новосибирск, Издательство СО РАН, филиал "Гео 2002. — С. 343.

32. РОСНЕДРА . Регламент по созданию постоянно действующих геолого-техиологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений // РД 153-39.0-047-00. Москва, 2002.

33. Дмитриевский . Оптимизация некоторых алгоритмов восстановления полей геологических и геофизических параметров.: Диссертация к.ф.-м.и / Тюменский государственный университет. — 2003.

34. Пьяиков . Отношение эквивалентности двумерных и трехмерных геологических моделей // Математическое и информационное моделирование. "Вектор Бук": Тюмень, 2004.- С. 3-1G.

35. Плавник . Алгоритмизация геоииформационных технологий в задачах, связанных с картопостроением: Диссертация к.г-м.н / ЗападноСибирский филиал Института Геологии Нефти и Газа СО РАН. — 2004.1.l

36. Волков . Математические модели тектоники осадочного чехла. — Издательство "Вектор-бук", 2005. — С. 126. .

37. М.А. Искандеров. Нефтепромысловая геология и разработка нефтяных и газовых месторождений. — М.: Недра., 1966. — С. 420.

38. А.Н. Сидоров. Математические методы обработки и интерпретации геолого-геофизической информации па примере построения карт геологических параметров // Проблемы нефти и газа Тюмени. — 1979. — Т. 42.-С. 59-64.

39. А.Н. Сидоров. Метод построения оптимальных карт // Тр. ЗапСиб-НИГНИ. 1984. - Т. 192. - С. 32-39.

40. Ф.А. Гришин. Промышленная оценка месторождений нефти и газа. — М.: Недра., 1985.-С. 279.

41. А.И. Роженко. Теория и алгоритмы вариационной сплайн-аппроксимации.— Новосибирск: ИМВиМГ, 2005. — С. 244.

42. А.Д. Бекман. Корректировка трехмерных литолого-фациальных моделей с помощью модифицированного метода имитации отжига // Вычислительные методы и программирование. URL: num-meth.srcc.msu.su. 2006. - Т. 7. - С. 229-235.

43. A. Journel, M. Rossi. When do we need a trend model in kriging? // Mathematical Geology. 2004. - Vol. 21(7). - Pp. 715-739.

44. A.G. Journel. Modeling uncertainity: some conceptual thoughts // Geostatistics for the next century / Ed. by R. Dimitrakopoulos. — Kluwer, Dordrecht, Holland, 1994. Pp. 30-43.

45. Azencott R. Simulated Annealing Parallelization Techniques. — John Wiley, New York, 1992.

46. C. Glasbey. Nonparametric estimators of 2d spectra beyond the nyquist frequency // Invited talk at workshop "Functional and Spatial Data Analysis". 2001. - Pp. 131-135.

47. Carle S. A transition probability-based approach to geostatistical characterization of Hydrostratigraphic architecture: Reprint of ph.d. dissertation / University of California, Davis. — 1996. — P. 182.

48. GO. Deutsch С. V. Annealing techniques applied to reservior modeling and the integration of geological and engineering (well test) data.: Ph.D. thesis / Stanford University. 1992.

49. G.B. Arpat, J. Caers. Reservoir characterization using multiple-scale geological patterns // European Conferenece on the Mathematics of Oil Recovery Cannes, France. — 2004.

50. G2. G.C. Bohling, M.K. Dubois. An integrated application of neural network and markov chain techniques to prediction of lithofacics from well logs // Kansas Geological Survey Open File Report. — 2003. — Vol. 50.

51. Goovaerts P. Geostatistics for Natural Resources Evaluation. — Oxford University Press, 1997. P. 498.

52. G.S. Kimeldorf, G. Waliba. A correspondence between baycsian estimation on stochastic processes and smoothing by splines // The Annals of Mathematical Statistics. 1970. - Vol. 41. - Pp. 495-502.

53. G.S. Weissmann, S.F. Carle, G.E. Fogg . Three-dimentional hydrofacies modelling based on soil surveys and transition probability geostatistics // Water resources research. 1999. - Vol. 35(6). - Pp. 1761-1770.

54. Herault L. Rescaled simulated annealing accelerating convergence of simelated annealing by rescaling of states energies // Journal of Heuristics. - 2000. - Vol. 6. - Pp. 215-252.

55. G7. J. Caers. Stochastic simulation using neural networks: Tech. rep.: Stanford Center of Reservoir Forecasting, Stanford University, 1998.

56. J. Caers, S. Srinivasan. A fast markov chain monte carlo method for conditioning reservior models to dynamic data // 7-th European Conference on the Mathematics of Oil Recovery. — Baveno, Italy, 5 September: 2000.

57. J. Caers, T. Hoffman. The probability perturbation method: a new look at bayesian inverse modeling // Mathematical Geology. — 2005. — Vol. 37(3).

58. J.J. Royer, P.C. Vieira. Dual formalism of kriging // Geostatistics for Natural Resources Characterization, Part 2 / Ed. by G. Verly, M. David, A.G. Journel, A. Marechal.- NATO ASI Series C: Mathematical andыт

59. Physical Sciences, Vol. 122, pp G91702, D. Reidel Pub. Co., Dordrecht, 1984.

60. Journel A. Geostatistcis for conditional simulation of orebodies // Mathematical Geology. 1974. - Vol. 15(7). - Pp. G73-687.

61. K.E. Kerry, K.A. Hawick. Kriging interpolation on higli-perfomancc computers: Tech. rep.: Department of Computer Science, University of Adelaide, SA 5005, Australia, 1998. http://acsys.adelaide.edu.au/reports/035/abs-035.html.

62. Krige D. A Statisticals Approach to Some Mine Valuations and Allied Problems at the Witwatersand: Master's thesis / University of Witwatersand. — 1951.

63. L. Ни, M. Ravalec-Dupin. Elements for an integrated geostatistical modeling of heterogenous reservoirs // Oil & Gas Science and Technology. 2004. - Vol. 59. - Pp. 141-155.

64. R. Shaback, H. Wcndland. Characterization and construction of radial basis functions // Multivariate Approximation and Applications / Ed. by N. Dyn D. , Lcviatan, D. Levin, A.Pinkus. — Cambridge University Press, 2001.— Pp. 1-24.

65. Rajasekaran S. On simulated annealing and nested annealing // Journal of Global Optimisation. 2000. - Vol. 1С. - Pp. 43-5G.

66. Rautli M. Application of 2d methods for scattered data approximation to geophysical data sets // Proc. Conf. SampTA-95. — Riga/Latvia: 1995.

67. Rauth M. Gridding of Geophysical Potential Fields from Noisy Scattered Data: Ph.D. thesis / University of Vienna. 1998.

68. R.K. Beatson, E. Chacko. Fast evalution of radial basis functions: A multivariate momentary evalution scheme // Curve and Surface Fitting / Ed. by A. Cohen, C. Rabut, L.L. Schumaker. — Saint Maolo 1999, Vanderbilt University Press, 2000. Pp. 37-4G.

69. R.K. Beatson, G.N. Newsam. Fast evaluation of radial basis functions // Computer Math. Applic. 1992. - Vol. 24. - Pp. 7-19.

70. Roth C. Incorporating information about edge effects when simulating lithofacies // Mathematical Geology. 2000. - Vol. 32(3).

71. S. Geman, D. Geman. Stochastic relaxation, gibbs distributions, and the bayesian restoration of images // IEEE Trans. PAMI. — 1984. — Vol. 6. — Pp. 721-741.

72. S.F. Carle, G. E. Fogg. Modeling spatial variability with one and multidimensional continuous-lag markov chains // Mathematical Geology. 1997. - Vol. 29(7). - Pp. 891 - 918.

73. S.F. Carle, G. E. Fogg. Tpmod: A transition probability/markov approach to geostatistical modeling and simulation: Tech. rep.: University of California, Davis, 1998.

74. Shepard D. A two dimensional interpolation function for irregularly spaced data // Proceedings of the 23rd National Conferenece, New York. ACM. — 1968. Pp. 517-523.

75. Srivastava R. Reservoir characterization with probability field simulation // Annual Technical Conference of the Society of Petroleum Engineers, SPE 24753. Washington, D.C.: 1992.- Pp. 927-938.

76. Strebelle S. Sequential Simulation Drawing Structures from Training Images.: Undublished doctoral dissertation / Stanford University. — 2000.

77. Strebelle S. Integration of sequence stratigraphy concepts into multiple-point geostatistical models // International Association for Mathematical Geology, IAMG 2003 Portsmouth, UK, September 7-12, 2003. 2003.

78. T. Norberg, L. Rosen, A. Baran, S. Baran. On modelling discrete geological structures as markov fields // Mathematical Geology. — 2002. — Vol. 34(1).

79. W. Li, С. Zhang, J.E. Burt, A. Zhu, J. Feyen. Two-dimentional markov chain simulation of soil typo spatial distribution // Soil Science Society of America Journal. 2004. - Vol. 68.

80. W. P. Gouveia. Optimization framework for reservoir characterization // SEG Technical Program Expanded Abstracts. 1998. - Pp. 882-885.

81. Y. Lin, Y. Tan, S. Rouhani. Identifying spatial characteristics of transmissivity using simulated annealing and kriging methods // Environmental Geology. 2001. - Vol. 41. - Pp. 200-208.

82. Zhu H. Dual kriging // Geostat Newsletter. 1992. - Vol. 4. - Pp. 4-5.